Instituto Universitario PolitécnicoSantiago Mariño. Extensión Porlamar

Escuela de Ingeniería Electrónica

Realizado por:Ángelo MaureraC.I V-23.589.338

Profesor:Lcdo. Domingo Méndez

Sección 3Cª (SAIA) 

Porlamar, Junio de 2016

Calcu lo Numér ico

y

Manejo de Errores

 

ANÁLISIS NUMÉRICO Es una rama de la matemática y también es la técnica mediante la cual se puede formular problemas de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas, la computación es una herramienta que nos facilita su desarrollo.  IMPORTANCIA DE LOS METODOS Los métodos numéricos son importantes ya que nos dan la capacidad para entender esquemas numéricos con la finalidad de resolver problemas matemáticos, científicos o de ingeniería en un computador. Los métodos numéricos pueden ser aplicados para resolver procedimientos matemáticos en: · Cálculo de derivadas · Integrales · Ecuaciones diferenciales · Operaciones con matrices · Interpolaciones · Ajuste de curvas · Polinomios

El análisis numérico cobra especial importancia con la llegada de los ordenadores. Los ordenadores son útiles para cálculos matemáticos extremadamente complejos, pero en última instancia operan con números binarios y operaciones matemáticas simples. Desde este punto de vista, el análisis numérico proporcionará todo el andamiaje necesario para llevar a cabo todos aquellos procedimientos matemáticos susceptibles de expresarse algorítmicamente, basándose en algoritmos que permitan su simulación o cálculo en procesos más sencillos empleando números. Definido el error, junto con el error admisible, pasamos al concepto de estabilidad de los algoritmos. Muchas de las operaciones matemáticas pueden llevarse adelante a través de la generación de una serie de números que a su vez alimentan de nuevo el algoritmo (feedback). Esto proporciona un poder de cálculo y refinamiento importantísimo a la máquina que a medida que va completando un ciclo va llegando a la solución. El problema ocurre en determinar hasta cuándo deberá continuar con el ciclo, o si nos estamos alejando de la solución del problema. Finalmente, otro concepto paralelo al análisis numérico es el dela representación, tanto de los números como de otros conceptos matemáticos como los vectores, polinomios, etc. Por ejemplo, para la representación en ordenadores de números reales, se emplea el concepto de coma flotante que dista mucho del empleado por la matemática convencional. En general, estos métodos se aplican cuando se necesita un valor numérico como solución a un problema matemático, y los procedimientos "exactos" o "analíticos" (manipulaciones algebraicas, teoría de ecuaciones diferenciales, métodos de integración, etc.) son incapaces de dar una respuesta. Debido a ello, son procedimientos de uso frecuente por físicos .

NUMEROS DE MAQUINAS DECIMALES

También llamado código binario, es un sistema que consta de dos números, (0) y (1) con base dos, la unidad lógica del computador utiliza componentes únicamente de apagado y encendido, o en una conexión abierto/cerrado. EN BITS existen varios métodos de conversión de números decimales a binarios; aquí solo se analizará uno. Naturalmente es mucho más fácil una conversión con una calculadora científica, pero no siempre se cuenta con ella, así que es conveniente conocer por lo menos una forma manual para hacerlo.

NÚMEROS DE MAQUINAS DECIMALES El método que se explicará utiliza la división sucesiva entre dos, guardando el residuo como dígito binario y el resultado como la siguiente cantidad a dividir. Tomemos como ejemplo el número 43 decimales. 43/2 = 21 y su residuo es 1 21/2 = 10 y su residuo es 1 10/2 = 5 y su residuo es 0 5/2 = 2 y su residuo es 1 2/2 = 1 y su residuo es 0 1/2 = 0 y su residuo es 1 Uniendo el número de abajo hacia arriba tenemos que el resultado en binario es 101011

ERRORES RELATIVOS Y ABSOLUTOS Los errores asociados con los cálculos y medidas se pueden caracterizar observando su exactitud y precisión. La precisión se refiere a qué tan cercano está un valor individual medido o calculado con respecto a los otros. Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgos para que cumplan los requisitos de un problema en particular. Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades matemáticas.Error Absoluto: Error que se determina al dividir el error absoluto entre el valor verdadero. Se puede expresar en porcentaje, partes por mil o partes por millón.Error Relativo: Errores que afectan la precisión de una medición. Ocasiona que los datos se distribuyan más o menos con simetrías alrededor de un valor promedio. (Se refleja por su grado de precisión).Cota de Errores Absolutos y Relativos Normalmente no se conoce p y, por tanto, tampoco se conocerá el error absoluto (ni el relativo) de tomar p* como una aproximación de p. Se pretende encontrar cotas superiores de esos errores. Cuantas más pequeñas sean esas cotas superiores, mejor. Sea f una función derivable en I,[a, b] Í I, P la solución exacta de la ecuación f(x)=0 y Pn una aproximación a P. Supongamos |f ’(x)| ³m > 0, " x Î [a, b], donde Pn, P Î [a, b]. Entonces: Esto nos da una cota del error al tomar una aproximación de la solución exacta, conociendo una cota inferior del valor absoluto de la derivada. Algunas veces, en la práctica, la exactitud de una raíz aproximada Pn se estima en función de cómo satisfaga f(Pn) = 0; es decir si el número |f(Pn)| es pequeño, se considera entonces Pn una buena aproximación de P; pero si |f(Pn)| es grande, entonces Pn no se considera como una buena aproximación de la solución exacta P.

COTA DE ERRORESDa una cota para el error absoluto y otra para el error relativo cometidos al Absolutos y hacer las siguientes aproximaciones: Relativos a) Precio de una casa: 275 miles de €.Cota de error b) 45 miles de asistentes a una manifestación. Absoluto <½ unidad c) 4 cientos de coches vendidos. del orden de la Solución: última cifra a) |Error absoluto| < 500 €significativa error relativo<500/275000=0,0018Una cota para el b) |Error absoluto| < 500 personas error relativo es: error relativo=500/45000=0,011 c) |Error absoluto| < 50 coches Cota de error error relativo<50/400=0,125relativo=cota del error absoluto /valor realDa una cota del error absoluto y otra del error relativo en las siguientes aproximaciones: a) Radio de la Tierra: 6 400 km. b) Distancia Tierra-Sol: 150 000 000 km. c) Habitantes de Venezuela: 41 millones. d) Tiempo que tarda la luz en recorrer una distancia: 0,007 segundos. e) Volumen de una gota de agua: 0,4 mm3. a) Cota del error absoluto: = 50 Cota del error relativo: 0,008 b) Cota del error absoluto: = 5 000 000 Cota del error relativo: 0,03 c) Cota del error absoluto: 500 000 Cota del error relativo: 0,12 d) Cota del error absoluto: = 0,0005 Cota del error relativo 0,07 e) Cota del error absoluto: = 0,05 Cota del error relativo= 0,125

FUNCIONES BASICAS DE ERRORES Los principales errores en cálculos numéricos, son los errores de redondeo y los errores de truncamiento, el error de redondeo se asocia con el número limitado de dígitos con que se representan los números en una PC mientras que el error de truncamiento se debe a las aproximaciones utilizadas en la fórmula matemática del modelo.

ERROR DE REDONDEO

El error de redondeo se debe a la naturaleza discreta del sistema numérico de máquina de punto flotante, el cual a su vez se debe a su longitud de palabra finita. Cada número (real) se reemplaza por el número de máquina más cercano. Esto significa que todos los números en un intervalo local están representados por un solo número en el sistema numérico de punto flotante. Es aquel error en donde el número significativo de dígitos después del punto decimal, se ajusta a un número especifico, provocando con ello un ajuste en el último digito que se tome en cuenta."Cualquier número real positivo y puede ser normalizado a: y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n. El procedimiento se basa en agregar 5 x 10 n - (k+1) a y y después truncar para que resulte un número de la forma fl = 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n. El último método comúnmente se designa por redondeo. En este método, si dk+1 ³ 5, se agrega uno (1) a d k para obtener a fl; esto es, redondeamos hacia arriba. Si dk+1 < 5, simplemente truncamos después de los primeros k dígitos; se redondea así hacia abajo 

ERROR DE TRUNCAMIENTO

El error de truncamiento es el error que aparece cuando un procedimiento infinito se hace finito. El ejemplo clásico del error de truncamiento, es cuando se corta la expresión de una función, en series de potencia. La expansión de una función en series de potencias de Taylor está dada por: Como se ve, esta expansión es infinita lo cual no es práctico para calcular un valor de la función, de ahí que la serie se trunca, lo cual produce automáticamente un erro, el cual es precisamente llamado error de truncamiento. Póngase como ejemplo, el cálculo del valor de Aquí se tendrán diferentes errores, dependiendo el número de términos usados para calcular la exponencial. Los errores de truncamiento tienen relación con el método de aproximación que se usará ya que generalmente frente a una serie infinita de términos, se tenderá a cortar el número de términos, introduciendo en ese momento un error, por no utilizar la serie completa (que se supone es exacta). En una iteración, se entiende como el error por no seguir iterando y seguir aproximándose a la solución. En un intervalo que se subdivide para realizar una serie de cálculos sobre él, se asocia al número de paso, resultado de dividir el intervalo "n" veces. Cualquier número real positivo y puede ser normalizado a: y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n. Si y está dentro del rango numérico de la máquina, la forma de punto flotante de y, que se representará por fl , se obtiene terminando la mantisa de y en kcifras decimales. Existen dos formas de llevar a cabo la terminación. Un método es simplemente truncar los dígitos dk+1, dk+2, . . . para obtener fl = 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n.

ERROR DE SUMA Y RESTA

Como cada suma introduce un error, proporcional al épsilon de la máquina, queremos ver como estos errores se acumulan durante el proceso. El análisis que presentamos generaliza al problema del cálculo de productos interiores. En la práctica muchas computadoras realizarán operaciones aritméticas en registros especiales que más bits que los números de máquinas usuales. Estos bits extras se llaman bits de protección y permiten que los números existan temporalmente con una precisión adicional. Se deben evitar situaciones en las que la exactitud se puede ver comprometida al restar cantidades casi iguales o la división de un número muy grande entre un número muy pequeño, lo cual trae como consecuencias valores de errores relativos y absolutos poco relevantes. ERRORES DE SUMA Y RESTA Sean: x± x y z± z x + z = (x + z) ± ( x + z) x – z = (x – z) ± ( x + z)

CÁLCULOS ESTABLES E INESTABLES

Otro tema de frecuente aparición en el análisis numérico es la distinción entre los procesos numéricos que son estables y los que no lo son. Un concepto muy relacionado es el de problema bien condicionado o mal condicionado. Un proceso numérico es inestable cuando los pequeños errores que se producen en alguna de sus etapas se agrandan en etapas posteriores y degradan la calidad de los resultados. Un problema está mal condicionado si pequeños cambios en los datos de entrada pueden dar lugar a grandes cambios en las respuestas.  La condición de un problema matemático relaciona a su sensibilidad los cambios en los datos de entrada. Puede decirse que un cálculo es numéricamente inestable si la incertidumbre de los valores de entrada aumenta considerablemente por el método numérico. Un proceso numérico es inestable cuando los pequeños errores que se producen en alguna de sus etapas, se agrandan en etapas posteriores y degradan seriamente la exactitud del cálculo en su conjunto. El que un proceso sea numéricamente estable o inestable debería decidirse con base en los errores relativos, es decir investigar la inestabilidad o mal condicionamiento , lo cual significa que un cambio relativamente pequeño en la entrada, digamos del 0,01%, produce un cambio relativamente grande en la salida, digamos del 1% o más. Una fórmula puede ser inestable sin importar con qué precisión se realicen los cálculos.

CONDICIONAMIENTO Las palabras condición y condicionamiento se usan de manera informal para indicar cuan sensible es la solución de un problema respecto de pequeños cambios relativos en los datos de entrada. Un problema está mal condicionado si pequeños cambios en los datos pueden dar lugar a grandes cambios en las respuestas. Para ciertos tipos de problemas se puede definir un número de condición: "Un número condicionado puede definirse como la razón de los errores relativos". Si el número de condición es grande significa que se tiene un problema mal condicionado; se debe tomar en cuenta que para cada caso se establece un número de condición, es decir para la evaluación de una función se asocia un número condicionado, para la solución de sistemas de ecuaciones lineales se establece otro tipo de número de condición; el número condicionado proporciona una medida de hasta qué punto la incertidumbre aumenta.