capitulo 1 calculo numerico

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CALCULO NUMERICO

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  • 1

    CAPITULO I: MOVIMIENTO: DEFINICIONES. LEYES DE NEWTON. LEY DE GRAVITACIN UNIVERSAL. MOVIMIENTO RECTILNEO.

    Movimiento y reposo Partcula Rapidez media y Rapidez instantnea Desplazamiento. Velocidad media Velocidad instantnea Aceleracin media Aceleracin instantnea Primera Ley de Newton Segunda Ley de Newton Tercera Ley de Newton Ley de gravitacin universal Ejemplos Descripcin de algunos tipos de movimiento Movimiento rectilneo Algunos ejemplos de movimiento rectilneo. Movimiento rectilneo uniforme Movimiento rectilneo uniformemente acelerado Ejemplos

    CAPTULO I.

    Introduccin: Qu es la Fsica? Qu estudia la Fsica? Medicin. Sistema de unidades.

    La Fsica es una ciencia que estudia la naturaleza. Los fsicos tratan de encontrar la esencia de los fenmenos que en ella se observan, pretendiendo no slo establecer las reglas o leyes que rigen el comportamiento de los fenmenos, sino tratan de dar una explicacin coherente y nica a todos aquellos fenmenos que presentan caractersticas afines. En ella se estudia desde los componentes bsicos de la materia y sus interacciones hasta todo el universo conocido. Se generan las teoras que no slo explican los fenmenos observados, sino tambin sirven para predecir lo que ocurrira en determinadas circunstancias. A su vez estas teoras sirven de base para el desarrollo de las dems ciencias naturales, constituyndose la Fsica en la ciencia ms bsica y fundamental de las ciencias naturales.

  • 2

    En el caso del movimiento de los cuerpos, que es el tema que abordaremos en lo que sigue, la Fsica se preocupa, por una parte de la descripcin de los movimientos y adems, de dar una explicacin de cmo se producen los stos. Para lo ltimo, se har uso de la teora de la mecnica clsica formulada por Sir Isaac Newton (1642-1727), conocida como las tres leyes de Newton de la mecnica.

    Al iniciar este estudio veremos que es necesario tener como punto de partida, algunos conceptos primarios. Con ellos se hace posible definir otras cantidades a utilizar en la formulacin de las distintas leyes que rigen los movimientos. Como no es posible dar una definicin de los conceptos primarios, por el carcter que stos tienen, utilizaremos la idea intuitiva que todos tenemos de estas cantidades y que hemos ido adquiriendo y afianzando desde que nacemos. Por ejemplo, todos tenemos una idea de lo que es el tiempo, y hablamos de mucho tiempo o poco tiempo segn las circunstancias. A veces nos parece poco el tiempo para realizar un examen, o nos parece mucho el tiempo que falta para que lleguen las vacaciones. A veces discrepamos en este sentido. Por ejemplo, al considerar el tiempo que usted junto a con un compaero demoran en ir de la universidad a su casa, se pueden tener distintas apreciaciones. A usted podra parecerle poco el tiempo empleado y a su compaero le puede parecer mucho tiempo. En Fsica estas apreciaciones, que pueden resultar tan ambiguas, no bastan para su desarrollo. En este caso se requiere saber cuanto tiempo demoraron. Por lo tanto interesa medir el tiempo empleado en el viaje, y para ello se utiliza un reloj o cronmetro. As, se puede saber en forma precisa el tiempo empleado, quedando de lado cualquier ambigedad.

    El ejemplo anterior nos muestra que si bien es cierto estamos familiarizados con ciertas cantidades, requerimos medir dichas cantidades para referirnos a ellas en forma objetiva. Por lo mismo, para el estudio de los movimientos podemos tomar estos conceptos primarios como punto de partida, sin dar una definicin de ellos, pero si es necesario que ellos tengan asociados procedimientos, instrumentos y unidades que permitan cuantificarlos. Vale decir, necesitamos una definicin operacional de ellos. Los conceptos que tomaremos como primarios son: longitud, masa y tiempo.

    De acuerdo a lo anterior vemos la importancia que tiene la medicin de las cantidades fsicas. Para ello se requiere de un instrumento al cual va asociada una unidad de medida.

    Para medir distancia disponemos de reglas, flexmetros, calibre vernier, tornillo micromtrico, cuenta kilmetros, etc.

    La masa es una cantidad inherente a cada cuerpo y se mide utilizando una balanza.

    Una magnitud derivada es la fuerza, que es una cantidad vectorial, tiene magnitud y direccin, y se mide utilizando un dinammetro.

    Para medir las distintas cantidades se han ido generando unidades de medidas inventadas por el hombre. Existiendo una gran diversidad de unidades. Es as, como los distintos pases y culturas han creado o adoptado distintos conjuntos de unidades o sistemas de unidades. Algunos sistemas an coexisten, pero otros han cado en desuso. Tratando de llegar a un lenguaje comn, los cientficos han adoptado un sistema, denominado Sistema Internacional de

  • 3

    Unidades o sistema S.I. Es as como en los encuentros cientficos y en las revistas cientficas, es el sistema a utilizar.

    Las unidades S.I. para las cantidades bsicas a utilizar en este texto son:

    CANTIDAD SIMBOLO NOMBRE Longitud [m] Metro

    Masa [kg] Kilogramo Tiempo [s] Segundo

    MOVIMIENTO: DEFINICIONES

    Movimiento y reposo.

    Los estados de movimiento o de reposo de un objeto son conceptos relativos, ya que un objeto puede estar en movimiento para un observador y a la vez en reposo para otro. El conductor de un vehculo puede estar en reposo, respecto de un pasajero que va en el mismo vehculo y a la vez puede estar en movimiento respecto de una persona parada en la calle. Un alumno est en reposo respecto a otro alumno que est en su sala de clases y a la vez est en movimiento para un observador situado en la luna.

    Por lo anterior, para referirse al movimiento de un objeto debemos considerar un observador de referencia. Adems, este observador deber tener asociado un sistema de coordenadas y un reloj o cronmetro.

    La aplicacin de las leyes de Newton, que nos permitirn explicar las causas de los movimientos, requiere que el sistema de referencia cumpla con ser un sistema inercial. Este requisito ser analizado ms adelante

    Tambin veremos ms adelante, que la observacin realizada por un observador, es posible transformarla para referirla a otro observador.

    Partcula.

    En muchas situaciones se requiere describir solamente como se traslada un cuerpo como conjunto, sin importar si ste o alguna de sus partes estn rotando. Este es el caso, por ejemplo, cuando se desea estudiar o describir el movimiento de traslacin de un automvil, sin que interese cmo giran sus ruedas u otros componentes. Igualmente cuando interesa describir el movimiento de traslacin de la Tierra alrededor del Sol, sin involucrar su movimiento de rotacin u otros. Para situaciones como las citadas, basta representar a los cuerpos como un punto. Los cuerpos as representados los denominamos partculas.

    Ms adelante se estudiar el movimiento de los cuerpos tomando en cuenta su forma y tamao. Para ello ser muy til este primer estudio, ya que el estudio de los cuerpos se puede abordar como si stos fueran un conjunto o sistema de partculas.

  • 4

    Rapidez Media y Rapidez Instantnea.

    Rapidez Media: La rapidez media de una partcula se define como el cuociente de la

    distancia que recorre la partcula por el tiempo t que esta emplea en hacerlo. O sea:

    Definicin: tdistancia

    mediav =

    De acuerdo a esta definicin, la rapidez media es una cantidad escalar que da en promedio la distancia que recorre la partcula en cada unidad de tiempo. Para aclarar esto se examina el ejemplo siguiente:

    Ejemplo I. 1 Un vehculo parte a las 08:30 horas de Antofagasta llegando a las 11:15 horas a Calama. La figura 1 muestra la trayectoria seguida por el vehculo. En este caso la distancia recorrida, medida a lo largo de la trayectoria, es de 202 [km].

    Entonces, la rapidez media del vehculo se calcula dividiendo la distancia recorrida d =202 [km] por el intervalo de tiempo empleado t = (11:15-08:30) = 02:45 horas (2 horas 45 minutos), que expresado en horas es 2,75 [h]. As:

    2,75[h]202[km]

    vmedia = , lo cual

    aproximadamente da 73,5 [km/h].

    Lo anterior da slo una idea aproximada de cmo se mueve el vehculo, ya que indica que en promedio recorre 73,5 [km] en cada hora. Esto de ninguna manera asegura que el vehculo ha avanzado siempre de la misma manera. As, por ejemplo, en la primera hora pudo haber recorrido menos de 73,5 [km] y en la hora siguiente pudo haber recorrido ms de 73,5 [km]. Indudablemente, con los datos que se manejan en este caso y por la forma de realizar el clculo, no hay manera de precisar estas afirmaciones. Si se quiere mejorar la descripcin debera contarse con informacin para tramos recorridos en intervalos de tiempo menores. Esto es lo que veremos a continuacin.

    Para lo que sigue se hace necesario hacer la distincin entre instante e intervalo de tiempo. Instante es lo que indica el reloj. Por ejemplo, el instante en que parti el vehculo desde Antofagasta es 08:30 horas, y el instante de llegada a Calama es 11:15 horas. En cambio, intervalo de tiempo o tiempo transcurrido es la diferencia del instante final menos instante inicial, o sea 2,75 [h].

    Ya se ha dicho que para mejorar la descripcin del movimiento se requiere medir la rapidez media en intervalos de tiempos ms cortos. Surge la pregunta:

    Fig. 1

  • 5

    qu tan menores deben considerarse los intervalos de tiempos para el clculo de la rapidez media? La respuesta a esta pregunta nos lleva a definir la rapidez instantnea.

    La rapidez instantnea se define de manera que entregue una informacin similar a la rapidez media, pero asociada a un instante. As por ejemplo, supongamos que el vehculo del ejemplo anterior pasa a las 10:00 por el punto indicado como kilmetro 100. Entonces se quiere indicar o describir que tan rpido se va moviendo el vehculo en dicho instante, o expresado de otra manera, que rapidez tiene el vehculo al pasar por dicho punto.

    Para dar respuesta a lo anterior se define la rapidez instantnea, a la cual se llega considerando las rapideces medias para intervalos de tiempo cada vez ms pequeos en torno a un instante de inters, en este caso a las 10:00 horas.

    As, se puede se considerar el intervalo de las 10:00 horas a 10:05 horas y se calcula la rapidez media para estos 5 minutos. Luego, con el propsito de mejorar an ms esta informacin se puede realizar el clculo de la rapidez media entre las 10:00 y las 10:04 horas, y despus se hace lo mismo entre las 10:00 y las 10:03, y as sucesivamente. O sea, se van considerando intervalos de tiempo cada vez ms pequeos en torno al instante 10:00 horas. Esto significa calcular las rapideces medias a medida que t tiende a cero. Al hacer esto se ver que poco a poco las rapideces medias calculadas tendern a diferenciarse cada vez menos una de la siguiente. Entonces, se define la rapidez instantnea vins , o simplemente v, como el lmite al que tienden las rapideces medias cuando t tiende a cero, en torno al instante de inters. En el ejemplo dado, se consider las 10:00 hrs. como el instante de inters, lo cual conduce a la rapidez instantnea que tiene la partcula a las 10:00 horas. Tambin, dicho lmite puede obtenerse considerando intervalos de tiempos tales como, de las 09:55 a las 10:00 horas, luego de las 09:56 a las 10:00 horas y as sucesivamente se toman intervalos cada vez ms pequeos. Ambos procedimientos conducen al mismo lmite.

    La definicin de rapidez instantnea se expresa as:

    Definicin: Rapidez instantnea t 0

    distancia dsv lim

    t dt= =

    Desplazamiento. Velocidad Media.

    Nos hemos referido anteriormente a una cantidad que indica para cada instante la distancia que avanza una partcula en la unidad de tiempo considerada. Esta cantidad es bastante descriptiva, pero no es completa ya que no indica la direccin en que se desplaza la partcula. A fin de incorporar este elemento en la descripcin del movimiento de la partcula consideremos la trayectoria de una partcula, tal como se indica en la figura 2

    En esta figura se ha representado la trayectoria de la partcula y se ha considerado un sistema de referencia XYZ. Se indican dos puntos A y B

    Fig. 2

  • 6

    cualquiera de la trayectoria. El vector AO

    = Ar

    indica la posicin de la partcula para cierto instante tA y el vector BO

    = Br

    indica la posicin de la partcula para el instante posterior tB. El vector BA

    se define como el desplazamiento de la partcula entre los instantes tA y tB , vale decir, en el intervalo de tiempo t = tB - tA. En la figura se observa que BA rBAr

    =+ , o sea: rrrBA AB

    == (vector que va de A hasta B).

    Definicin: Desplazamiento: El desplazamiento de una partcula al moverse de un punto A a un punto B es el vector que va A hasta B, o sea es el vector r .

    En componentes rectangulares este vector se expresa: r = k )z(zj )y(yi )x(x ABABAB ++ ,

    o sea, r = k zjy ix ++

    Al dividir r por el tiempo t que la partcula ha empleado para realizar dicho desplazamiento, se obtiene un promedio del desplazamiento en el tiempo. Se aprecia que esta cantidad es vectorial en la direccin de r . Se denomina Velocidad Media : mediav

    . As:

    Definicin: Velocidad Media t

    rvmedia

    =

    Esta cantidad tiene la particularidad de que involucra a la direccin en que se desplaz la partcula, sin embargo basta considerar algn caso particular para darse cuenta que en general esta cantidad no sirve de mucho para describir el movimiento. Por ejemplo, si en cierto intervalo de tiempo t una partcula parte del punto A y regresa al mismo punto, su desplazamiento r resulta nulo y por consiguiente su mediav

    tambin resulta nula. Luego, lo nico que indicara la velocidad media en este caso, sera que la partcula hizo un viaje de ida y vuelta. No describira cual fue su trayectoria ni que tan rpido se movi la partcula.

    No obstante lo anterior, lo til de esta definicin es la incorporacin en ella del carcter vectorial del desplazamiento. Ello permite que esta cantidad sea cada vez ms descriptiva y por lo tanto ms til mientras ms pequeo sea el intervalo de tiempo para el cual se considere. Preguntarnos qu tan pequeo pueden ser los intervalos de tiempo a considerar?, nos lleva a la idea de velocidad instantnea, que se definir a continuacin.

    Velocidad Instantnea.

    En la figura 3 Se han trazado los vectores desplazamientos ,BA,BA,BA 321

    , etc. Los cuales corresponden a ciertos intervalos de tiempos

  • 7

    t cada vez ms pequeos en torno al instante en que la partcula pasa por el punto A. Con cada uno de estos desplazamientos y el correspondiente tiempo empleado se pueden calcular las respectivas velocidades medias: media(1), vmedia(2), vmedia(3), , etc. Si este proceso se contina, se tendr que a partir de cierto t las velocidades medias comenzarn a diferir cada vez menos una de la siguiente, tendiendo a un valor lmite, cuando t 0 . Este valor lmite recibe el nombre de Velocidad Instantnea de la partcula, correspondiente al instante que pasa por A: Se designa por inst.v

    o simplemente v

    .

    El proceso descrito se puede realizar para cualquier otro instante. As, en general la definicin de velocidad instantnea es la siguiente:

    Definicin: Velocidad Instantnea tdrd

    tr

    lmv0t

    ==

    La velocidad instantnea se puede expresar en la

    forma:dtds

    dsrd

    dtrd

    v inst

    == donde vdtds

    = (rapidez instantnea de la partcula) y

    Tudsrd

    = (vector unitario tangente a la trayectoria en el punto considerado y que apunta en el sentido en que se mueve la partcula) Entonces, la velocidad instantnea puede escribirse: Tinst. uvv

    = El unitario Tu indica que la velocidad instantnea es tangente a la trayectoria en la direccin que se desplaza la partcula y v es el mdulo de la velocidad, o sea es igual a la rapidez instantnea. Esto se grafica en la figura 4.

    En resumen, la velocidad instantnea indica para cada instante, la rapidez instantnea con que se mueve la partcula y la direccin en que se desplaza.

    Expresando el vector posicin en componentes rectangulares: k zj yi xr ++= , la velocidad

    instantnea, en componentes rectangulares, queda expresada como

    sigue: kdtdzj

    dtdyi

    dtdx

    v ++=

    La figura 4 muestra la trayectoria de una partcula en la que para algunos puntos se han dibujado las velocidades instantneas.

    Fig. 3

    Fig. 4

  • 8

    RESUMEN

    Para describir el movimiento de traslacin de un objeto se representa a ste como partcula. La posicin de una partcula se indica con un vector respecto de un determinado punto de referencia.(Observador con un sistema de referencia). Una partcula se mueve o no dependiendo que su posicin cambie o no con

    el tiempo y ello estara dependiendo del observador o punto de referencia considerado.

    La rapidez media es una cantidad escalar que indica, en promedio, la distancia recorrida por la partcula en cada unidad de tiempo. Se calcula para cierto intervalo de tiempo t.

    La rapidez instantnea es una cantidad que tiene un significado similar al de la rapidez media, pero es ms fina, en el sentido que est asociada a un instante y no a un intervalo de tiempo.

    La velocidad media es una cantidad vectorial que considera el desplazamiento de la partcula y el tiempo en que este se realiz. Sirve de base para definir el concepto de velocidad instantnea, que resulta ser mucho ms descriptivo.

    La velocidad instantnea es una cantidad vectorial cuya direccin es tangente a la trayectoria de la partcula y en el sentido que se mueve la partcula. Su mdulo indica con que rapidez instantnea se est moviendo.

    Aceleracin media

    La simple observacin de la figura 4 permite darnos cuenta que en un movimiento curvilneo la velocidad de una partcula vara, ya que an cuando su mdulo o rapidez fuera constante, su direccin cambia de un punto a otro por ser tangente a la trayectoria.

    Una partcula con velocidad constante indica que sta no cambia ni en magnitud ni en direccin, y por lo mismo, la partcula se mueve en lnea recta con rapidez constante.

    Con excepcin de este ltimo caso, en todos aquellos en que la velocidad vara, es necesario contar con un elemento que indique cmo es dicha variacin.

    Tomemos como ejemplo el caso ilustrado en la figura 5 donde se han dibujado las velocidades instantneas para los instantes t1 y t2. Estas velocidades se han designado por

    1v

    y 2v

    ,

    respectivamente. As, en el intervalo 12 ttt = se produce la variacin de velocidad, 1vvv 2

    = , que como se muestra en el diagrama vectorial, apunta hacia la concavidad de la

    Fig. 5

  • 9

    trayectoria. Ahora, si se divide v

    por t , se tiene el cambio de velocidad por unidad de tiempo en dicho intervalo de tiempo. Este cuociente se define como la Aceleracin Media de la partcula y se simboliza por mediaa

    , o sea:

    Definicin: Aceleracin Media 12

    12media tt

    vv

    tv

    a

    ==

    Esta es una cantidad vectorial que indica en promedio que tan rpido cambia la velocidad. Tiene la direccin del v

    y por lo mismo apunta hacia la concavidad de la trayectoria en un movimiento curvilneo (ver figura 5).

    En componentes rectangulares la aceleracin media se expresa como sigue:

    kt

    vjt

    vi

    tv

    a zyxmedia

    +

    +

    =

    Aceleracin Instantnea.

    Se puede llegar al concepto de aceleracin instantnea a partir de la aceleracin media, procediendo en forma similar a como se procedi con la velocidad media para llegar al concepto de velocidad instantnea, o sea, considerando intervalos de tiempo cada vez ms pequeos. Entonces, la aceleracin instantnea se define como sigue:

    Definicin: Aceleracin Instantnea dtvd

    tvlima

    0t

    ==

    Esta cantidad, al igual que en el caso de la aceleracin media, expresa el cambio de velocidad en la unidad de tiempo, pero con la diferencia que el cambio es considerado en un tiempo infinitesimal en torno al instante de inters y no en un intervalo de tiempo t, como es el caso de la aceleracin media.

    En componentes rectangulares la aceleracin instantnea se puede obtener derivando respecto al tiempo, la velocidad instantnea dada en componentes

    rectangulares. As, la aceleracin toma la expresin: kdt

    dvjdt

    dvi

    dtdv

    a zyx ++=

    RESUMEN

    Si la velocidad de una partcula es constante, su movimiento es rectilneo con rapidez constante. No tiene aceleracin. Una partcula con movimiento curvilneo tiene aceleracin.

  • 10

    Que una partcula tenga aceleracin no significa necesariamente que su rapidez cambie, ya que el cambio de velocidad podra ser slo en direccin. Que la velocidad de una partcula tenga siempre la misma direccin (movimiento rectilneo) no significa que su aceleracin sea nula, ya que bien podra variar la rapidez de la partcula. Para analizar separadamente los cambios de rapidez y los cambios de direccin de la velocidad de una partcula, resulta conveniente descomponer su aceleracin en dos componentes: Una componente en la direccin de la velocidad (componente tangencial) y la otra componente en la direccin perpendicular a la velocidad (componente normal). La componente tangencial de la aceleracin da cuenta de los cambios de rapidez de la partcula. La componente normal de la aceleracin da cuenta de los cambios en la direccin de la velocidad de la partcula.

    DINAMICA: LEYES DE NEWTON.

    La dinmica es aquella parte de la mecnica en la que se da una explicacin de como es que se producen los movimientos, tal como los observamos en la naturaleza.

    Respecto de esto, existen algunas explicaciones o teoras, de las cuales unas resultan ser ms o menos sofisticadas que otras, o bien son vlidas dentro de mrgenes o condiciones diferentes.

    En lo que sigue se ver la llamada Teora Newtoniana, que es la teora o explicacin propuesta por Sir Isaac Newton, la cual se sustenta en las conocidas tres Leyes o Principios de Newton.

    Estos principios no surgen de demostraciones a partir de otras cantidades o leyes de referencias, sino que son el resultado de muchas observaciones, experimentaciones y de un trabajo de profunda abstraccin.

    Las Leyes de Newton no se cumplen para cualquier sistema de referencia, sino para los llamados Sistemas Inerciales, que son aquellos que se mueven con velocidad constante respecto de las estrellas fijas y cuyo marco de referencia no gira. Es decir, marcos de referencia que no estn acelerados. Al respecto, debe hacerse notar que la Tierra no cumple rigurosamente con estos requisitos, pero la aceleracin asociada a la rotacin y a la traslacin en torno al Sol es pequea, y por lo tanto, su efecto es apreciable para intervalos de tiempos grandes y para grandes distancias. En la mayora de los fenmenos que consideramos el sistema de referencia fijo en tierra, es igual a uno inercial. Por ello, muchos de los fenmenos que ocurren diariamente a nuestro alrededor, son explicables con las Leyes de Newton.

    Hay ciertos fenmenos donde el comportamiento no inercial de la Tierra es evidente. Por ejemplo, el movimiento del aire en un huracn, el movimiento de un lquido en un desage, el pndulo de Foucault, etc.

  • 11

    Otra restriccin que tiene la mecnica newtoniana es que se aplica slo a partculas que se mueven con velocidades pequeas comparadas con la velocidad de la luz (300.000 [km/s] ). Esto tampoco significa una gran restriccin, ya que los objetos que generalmente observamos a nuestro alrededor, se mueven con velocidades muy pequeas comparadas con la velocidad de la luz. Por ejemplo, la velocidad de un cohete, que es grande comparada con la de un automvil, resulta muy pequea comparada con la velocidad de la luz.

    Primera Ley de Newton Segunda Ley de Newton Tercera Ley de Newton Ley de gravitacin universal Movimiento rectilneo Ejemplos

    Primera Ley de Newton o Principio de Inercia.

    Este principio fue descubierto por Leonardo da Vinci (1452 1519), quien lo mantuvo en secreto. Posteriormente Galileo Galilei (1564 1642) lleg a las mismas conclusiones, debiendo para ello dejar de lado algunos prejuicios sustentados por el pensamiento aristotlico, predominante en esa poca, que sostenan que para que un cuerpo se mantuviera en movimiento era necesario seguir ejerciendo alguna accin sobre l. Finalmente fue Isaac Newton quien le dio la forma con que hoy conocemos este principio, el cual establece lo siguiente:

    Si sobre una partcula no se ejerce ninguna accin o las acciones sobre ella se anulan entre s, entonces la partcula est en reposo o se mueve con velocidad constante.

    Nota: A una partcula sobre la cual no se ejerce ninguna accin se le llama partcula libre.

    El principio enunciado anteriormente, Principio de inercia, quiere decir que si una partcula est en reposo y no hay accin neta sobre ella, entonces seguir en reposo. En cambio, si est en movimiento y no hay accin neta sobre ella, entonces seguir en movimiento con la velocidad que tena y por consiguiente se mover con movimiento rectilneo, en una sola direccin y con rapidez constante.

    Tambin el principio de inercia implica, que si una partcula est en reposo, se requiere una accin para sacarla del reposo. En cambio, si la partcula est en movimiento se requiere una accin para detenerla o para cambiar su velocidad, ya sea para aumentar su rapidez, disminuir su rapidez o cambiar su direccin.

  • 12

    Segunda Ley de Newton o Principio de Masa.

    Antes de referirnos a esta ley es necesario decir algo respecto de las cantidades fsicas involucradas en ella.

    Las definiciones de cantidades fsicas, como ya hemos podido apreciar, se hacen en funcin de otras cantidades ya definidas con anterioridad, pero existen algunas cantidades que en una primera instancia se consideran como conceptos primarios, pues no existen otras ya definidas, a partir de las cuales se pueda dar una definicin rigurosa de ellas. Para poder utilizar estos conceptos primarios consideramos aquellas ideas intuitivas que las personas puedan tener de ellos, pero adems se establece un mecanismo u operacin para llegar a medirlos, o sea, se hace una definicin operacional de ellos.

    La masa de una partcula se considerar como un concepto primario. De ella diremos que es una cantidad escalar propia de cada partcula que tiene que ver con la materia que la forma y que se mide comparndola con otra masa considerada como unidad. Para ello se utiliza una balanza de brazos iguales, como se muestra en la figura 6. En ella se muestra cmo mediante una balanza se compara la masa del objeto de la izquierda con los patrones de masa de la derecha.

    La unidad S.I. de masa es 1 [kg] ( un kilogramo masa).

    Si la masa de una partcula se mide con el procedimiento descrito, puede comprobarse que su masa tiene el mismo valor an cuando se mida en diferentes puntos de la Tierra, o si se mide en la Luna. Es importante tener en claro esta caracterstica, pues a menudo hay una tendencia de confundir masa con peso, que como veremos ms adelante son conceptos muy diferentes. La masa medida de esta manera, aprovechando la atraccin gravitacional de la Tierra o de la Luna o de cualquier otro cuerpo, se denomina Masa Gravitatoria.

    Newton observ que el movimiento de un cuerpo est relacionado con las interacciones que ste tiene con otros cuerpos y que en estas interacciones tienen importancia tanto la velocidad con que se est moviendo el cuerpo, como tambin la masa de ste. Es as como al formular su segunda ley, se refiere a una cantidad denominada momento o cantidad de movimiento del cuerpo, la cual se define a continuacin.

    El momento o cantidad de movimiento de una partcula es una cantidad vectorial que se designa por p

    y se define por el producto de su masa por su velocidad, o sea

    Definicin: Momento Lineal vmp =

    Fig. 6

  • 13

    De acuerdo a esta definicin p resulta ser una cantidad vectorial que tiene la misma direccin que la velocidad, o sea es tangente a la trayectoria de la partcula. Mientras mayor es la velocidad de una partcula, mayor es su momento.

    Si una partcula de masa fija, se mueve con velocidad constante, tiene un momento constante. Como ejemplo, se puede citar el caso de una partcula libre, o sea aquella que no tiene interaccin con ninguna otra. De la misma forma aquellas partculas en que las acciones sobre ella se anulan o cancelan entre s, se mueven con momento constante.

    La unidad S.I. del momento es 1 [kg m/s].

    La Segunda Ley de Newton establece que si sobre una partcula hay una fuerza total o fuerza neta distinta de cero, entonces dicha partcula vara su momento. An ms, establece que la magnitud y direccin de dicha fuerza es igual a la rapidez con que vara el momento, o sea

    Segunda Ley de Newton t dp dFtotal

    =

    En el caso de que la partcula mantenga su masa constante se tiene que la Segunda Ley de Newton adopta la forma siguiente:

    dtvmd

    dt)vd(mF

    == , o sea amF

    = (Caso particular de la Segunda Ley de Newton)

    Esta expresin indica que una partcula experimenta una aceleracin cuando hay una fuerza neta sobre ella y que la aceleracin tiene la misma direccin de la fuerza neta.

    En el caso de que la fuerza neta es cero, entonces la aceleracin de la partcula es cero.

    Tambin indica que la aceleracin es directamente proporcional a la fuerza neta, es decir una partcula adquiere una mayor aceleracin mientras ms grande es la fuerza neta sobre ella

    Por otra parte si a partculas de masas diferentes se le aplica la misma fuerza, sus aceleraciones sern diferentes. Siendo mayor la aceleracin para la partcula de menor masa.

    La expresin amF

    = permite definir el concepto de fuerza como sigue: Si a una partcula de 1 [kg] de masa se le aplica una fuerza neta F

    de manera que la partcula adquiere una aceleracin de 1[m/s2], entonces dicha fuerza es igual a 1 [kg m/s2]. Esta unidad se ha nominado 1 Newton y se simboliza 1 [N].

    Las fuerzas se miden con una instrumento denominado dinammetro, el cual se basa en la propiedad elstica que tienen los resortes. En el Laboratorio de Fsica Ud. puede solicitar verlos.

  • 14

    Tercera ley de Newton o Principio de Accin y Reaccin.

    Esta ley se refiere a la interaccin entre dos partculas y dice lo siguiente:

    En la interaccin de dos partculas entre s, una ejerce sobre la otra una fuerza opuesta y de igual magnitud.

    As por ejemplo, si la partcula 1 acta con la partcula 2, la 1 ejerce sobre la 2 una fuerza 21F

    (fuerza sobre 2 debida a 1) que es igual en magnitud a fuerza 12F

    que sobre la 1 ejerce la 2, pero estas fuerzas actan en direcciones contrarias.1 una fuerza (fuerza sobre 1 debida a 2), donde 2112 FF

    = . La situacin se muestra en la figura 7.

    Una tendencia muy comn en los alumnos es pensar que si las fuerzas son iguales, entonces se anulan entre s. Esto es cierto si en alguna ocasin estas fuerzas tuvieran que sumarse. Pero, cuando se aplica la segunda Ley de Newton a la partcula 1, sobre sta aparece la fuerza sobre 1 debido a la 2, pero no la fuerza sobre 2 debido a 1, ya que esta fuerza est ltima est aplicada a la partcula 2 y no a la 1.

    Las fuerzas a las que se ha hecho referencia se denominan fuerza de accin y fuerza de reaccin.

    A nuestro alrededor encontramos mltiples ejemplos de las fuerzas de accin y reaccin. Por ejemplo, cuando Ud. golpea la mesa con el puo, ste ejerce una fuerza sobre la mesa y la mesa ejerce otra fuerza igual y contraria sobre el puo. As, mientras ms grande sea la fuerza que aplica el puo sobre la mesa, ms grande es la fuerza que la mesa aplica sobre el puo.

    Ahora bien, con el propsito de aplicar las Leyes de Newton en el entendimiento y resolucin de algunas situaciones, se hace necesario revisar algunos tipos de fuerzas.

    Peso: El peso de una partcula es la fuerza con que es atrada por la Tierra. Esto es si hablamos del peso que tiene la partcula en la Tierra. El peso de la partcula en la Luna sera la fuerza con que la Luna la atrae. La Ley de Gravitacional Universal indica como es sta fuerza.

    Ley de Gravitacin Universal.

    Sir Isacc Newton fue quien descubri la Ley de Gravitacin Universal.

    Antes de esto, Johannes Kepler (1571-1630) haba formulado sus leyes sobre el movimiento planetario, las cuales dedujo a partir de una gran cantidad de datos obtenidos por el astrnomo Ticho Brahe (1546-1601).

    Fig. 7

  • 15

    Posteriormente, Newton basndose en las Leyes de Kepler, descubre la Ley de Gravitacin Universal.

    La ley de gravitacin universal establece que todos los cuerpos se atraen gravitacionalmente con fuerzas iguales y opuestas y que la magnitud de esta fuerza es directamente proporcional al producto de las masas de los cuerpos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa sus centros. Es decir:

    2m mF G

    r

    ====

    G es la constante de proporcionalidad y recibe el nombre de Constante de Gravitacin Universal: G = 6,67 x 10-11 [Nm2kg-2].

    Esta ley es vlida para partculas. Tambin se puede demostrar que es vlida para cuerpos de simetra esfrica (se necesita integrar en tres dimensiones. Se deja esto para el curso de matemticas) considerando toda la masa de la esfera como concentrada en su centro.

    De acuerdo a esta ley, un cuerpo colocado sobre la superficie de la Tierra experimenta una fuerza que apunta hacia el centro de la Tierra y su magnitud est dada por la expresin anterior, por lo que se deben considerar las masas del cuerpo y de la Tierra, y la distancia del cuerpo al centro de la Tierra. Debido a esto ultimo, si el cuerpo se aleja del centro de la Tierra entonces su peso disminuye. Ello se hace apreciable cuando las distancias son muy grandes. Llegando al caso que para puntos muy lejos de la tierra el peso de los cuerpos es prcticamente nulo. Sin embargo, para alturas no muy grandes generalmente se desprecian las pequeas diferencias y por ello se considera el peso como un valor constante.

    El peso de un cuerpo se suele simbolizar por P

    (peso) o W

    (de weight).

    Si se considera un cuerpo de masa m en cada libre, o sea cuando sobre l acta slo su peso, la aceleracin con que se mueve el cuerpo es la aceleracin de gravedad g . Entonces aplicando la segunda ley de Newton se tiene:

    gmWas, gayWFdonde ,amF

    ====

    Este resultado muestra que el peso de un cuerpo se puede expresar en funcin de dicho producto. Adems, nos muestra que al llevar este cuerpo de un lugar de la tierra a otro, con g diferente se tiene que el peso tambin es diferente, o sea el peso de un cuerpo vara de un lugar a otro de la tierra y un indicador de ello son los distintos valores de g . Ahora, si una partcula se aleja de la tierra a una distancia considerable, entonces la variacin de su peso debe ser tomada en cuenta. Es as como una partcula alejada lo suficiente de la Tierra puede llegar a tener un peso despreciable. No obstante ello, su masa es la misma.

  • 16

    En la figura de la derecha se considera una partcula ubicada a una distancia h sobre la superficie de la tierra.

    Un cuerpo sobre la superficie de la Luna experimenta un peso aproximadamente igual a la sexta parte del peso que experimenta en la superficie de la Tierra, lo cual se debe a lo pequea que es la masa de la luna comparada con la masa de la tierra.

    RESUMEN

    Newton expresa su teora en funcin de las interacciones de las partculas con otra u otras partculas. Las acciones sobre la partcula en estudio las representa por fuerzas. La suma de las fuerzas que acta sobre una partcula es la fuerza resultante, fuerza neta o fuerza total sobre la partcula. Si una partcula est aislada, obviamente la fuerza neta sobre ella es nula.

    En tal caso Newton expresa el comportamiento de sta en base a su primer principio.

    Si la fuerza neta sobre una partcula no es nula, Newton explica el comportamiento mediante su segundo principio. El tercer principio de Newton establece que en las interacciones entre las

    partculas las fuerzas entre dos cualquiera de ellas son de igual magnitud y opuestas en direccin.

    Newton postula que el movimiento de una partcula no slo depende de la fuerza aplicada, sino tambin depende de la masa de la partcula y que en las interacciones entre partculas no slo interesa la velocidad que tienen stas al interactuar sino tambin interesa la masa.

    Vinculado a lo anterior, se plantea una cantidad denominada momento lineal de la partcula, que es el producto de su masa por su velocidad. Todos los cuerpos experimentan entre ellos una fuerza de atraccin gravitacional. Un cuerpo sobre la superficie de la tierra experimenta una fuerza gravitacional dirigida hacia el centro de la tierra (direccin vertical). La fuerza que ejerce la tierra sobre los cuerpos es proporcional a la masa de stos.

    Descripcin de algunos tipos de movimientos.

    Con las definiciones dadas anteriormente se puede realizar la descripcin de diferentes tipos de movimientos. Se comenzar realizando la descripcin de

  • 17

    movimientos rectilneos, para luego abordar la descripcin de movimientos curvilneos.

    Movimiento Rectilneo.

    Para abordar este estudio de una forma ms simple y cmoda de modo que las definiciones adopten una forma ms sencilla, se procede como sigue:

    Se hace coincidir el eje X con la trayectoria de la partcula, eligindose su origen en forma arbitraria y de manera que facilite la ubicacin de los puntos de inters.

    Con lo anterior, se logra que las relaciones para la posicin, velocidad y aceleracin, establecidas anteriormente en componentes rectangulares, toman una forma ms simple como se indica a continuacin:

    kzjyixr ++= queda ixr = ,

    kdtdzj

    dtdyi

    dtdx

    v ++=

    queda idtdx

    v =

    kdtvdj

    dtvd

    idtvd

    a zyx

    ++= queda idt

    xdidtdv

    a 2

    2

    ==

    Lo anterior hace evidente que ay v,r

    son paralelas al eje X. Ahora bien, las cantidades escalares x,

    dtdx

    v = y dtdv

    a = de las

    ltimas expresiones obtenidas pueden tomar signos positivos o negativos, segn estn ellas en la direccin del eje X o en sentido contrario. As, el valor v = - 4 [m/s] indica que la partcula se mueve en direccin contraria al eje X y el valor a = 2 [m/s2] indica de que su aceleracin apunta hacia el lado positivo del eje X.

    A continuacin se presentan algunos ejemplos de movimiento rectilneo.

    Ejemplo I. 2

    Una partcula de 0,05 [kg] de masa se mueve sobre el eje X de acuerdo a la ley 2x = (2t +10t - 48) , donde x se expresa en metros y t en segundos. Determine la velocidad, la aceleracin y la fuerza neta sobre la partcula y a partir de dicha informacin determine en qu intervalos de tiempo la partcula aumenta su rapidez y en cuales la disminuye. Haga sobre el eje X un dibujo de la trayectoria de la partcula.

  • 18

    Solucin:

    Como la posicin de la partcula est dada por una sola componente, en

    este caso x = 2t2 +10t 48. Su velocidad tiene una nica componente dxvdt

    ==== .

    Por lo que se obtiene: v = 4 t + 10, donde v est en [m/s] y t est en [s]. El hecho que la velocidad tenga una sola componente, a lo largo del eje X, ello es compatible con su movimiento a lo largo de dicho eje.

    La aceleracin se obtiene derivando la velocidad respecto al tiempo, en este caso se deriva slo la componente en el eje X, resultando as, la aceleracin tambin con una sola componente, a lo largo del eje X. O sea: dv a 4

    dt= == == == = [m/s2].

    De acuerdo a la segunda ley de Newton, la fuerza neta sobre la partcula est dada por a mF

    = , que en este caso resulta [N] i 0,2 i40,05F ==

    . Escalarmente F = 0,2 [N].

    Note que la fuerza es constante y obviamente es paralela con la aceleracin. As, la situacin planteada trata de una partcula sobre la cual hay fuerza neta constante que produce una aceleracin constante. Esto a su vez indica que su velocidad es variable de manera uniforme con el tiempo.

    Con el propsito de visualizar como cambia la posicin x, y la velocidad v con el tiempo haremos los grficos correspondientes: x/t y v/t. (figura 8).Como en este caso la relacin que describe el movimiento de la partcula no est acotada en el tiempo, los instantes negativos se consideran y se interpretan como anteriores al instante que se defini como cero.

    En la figura 8 se muestran los grficos de posicin en funcin del tiempo y de velocidad en funcin del tiempo. En el primer grfico se puede observar lo siguiente: x es positivo para - < t < -8; x = 0 en t = - 8; x es negativo para -8 < t < 3; x = 0 en t = 3 y x es positivo para valores de t > 3 [s].

    En el grfico de v en funcin de t, se tiene que v es negativa para t < - , es cero para t = -2,5 [s] y es positiva para t > - 2,5 [s].

    Para determinar en qu punto se detiene la partcula, se calcula la posicin x para t = -2,5 [s]. Se obtiene x = -60,5 [m], o sea ste es el punto a partir del cual la velocidad cambia de direccin, ya que pasa de negativa a positiva.

    Fig. 8

  • 19

    La informacin anterior ms el hecho de que la fuerza neta F y la aceleracin son positivas, ayuda a representar el movimiento de la partcula sobre el eje X, lo cual se muestra en la figura 9. En ella se observa que la partcula antes de t = -8 [s] se mueve en la direccin negativa del eje X y como su aceleracin tiene signo positivo, es contraria a su velocidad, o sea su movimiento resulta desacelerado. Al llegar al punto - 60,5 [m] la partcula se detiene, pero como en dicho punto hay una fuerza positiva sobre ella, sta se devuelve hacia el lado positivo del eje X, con movimiento acelerado.

    Ejemplo I. 3

    Una partcula con movimiento rectilneo pasa por un punto A con una velocidad constante de 10 [m/s]. Dos segundos despus, otra partcula pasa por un punto B situado a 100 [m] del punto A, dirigindose hacia este con una rapidez constante de 4 [m/s]:

    a) Considere un eje X y respecto a l exprese las posiciones de cada partcula en funcin del tiempo.

    b) Calcule cunto demoran en encontrarse las partculas y a qu distancia de B lo hacen.

    Solucin:

    (a)

    En la figura 10 se muestra el eje X, dirigido hacia la derecha, en el cual se indican las posiciones conocidas de las partculas. Se ha puesto x = 0 en el punto A y en consecuencia al punto B le corresponde el punto x igual a 100 [m]. De acuerdo a este eje la componente de la velocidad de la primera partcula es v = 10 [m/s], lo cual indica que dx = 10[m/s]

    dt.

    Para la segunda partcula, cuya velocidad es contraria al eje X, v = - 4 [m/s]. As, para esta partcula, dx = - 4 [m/s]

    dt.

    Las ecuaciones de posicin en funcin del tiempo para cada una de las partculas se obtienen como sigue:

    Partcula A.

    dxv 10[m / s] 10 dx 10dt dx 10dt C

    dt==== ==== ==== = += += += +

    Fig. 9

    Fig. 10

  • 20

    As, x = 10 t + C. Si se considera t = 0 en el instante que la partcula est en el punto x = 0, se obtiene C = 0. Por lo tanto: xA = 10t (con x en [m] y t en [s]).

    Partcula B.

    dxv 4 [m/s] 4 dx 4dt dx 4dt C

    dt= = = = = = = = = = = = = += += += +

    As, x = - 4 t + C . Considerando que para t = 2 la partcula se encuentra en el punto x = 100, se obtiene C = 108. As: xB = 108 4t ( x en [m] y t en [s] ).

    Respuesta: La posicin de la primera partcula en funcin del tiempo, segn el eje x considerado, est dada por: xA = 10t, con x en [m] y t en [s] y vlida desde t = 0. La posicin de la segunda partcula, en funcin del tiempo, segn el eje considerado, est dada por xB = 108 4t, con x en [m] y t en [s] y vlida desde el instante t = 2 [s].

    (b)

    La condicin de encuentro de las partculas es que las posiciones de ambas partculas sean iguales para el mismo instante t, o sea xA = xB. Considerando esta condicin se forma un sistema con las ecuaciones de movimiento de ambas partculas.

    Igualando las posiciones se tiene:

    10t = 108 4t t = 7,71 [s]. En este caso, el sistema de ecuaciones arroja un nico resultado para t. Ello indica que dicho valor el es el nico instante en que las partculas tiene la misma posicin. Ahora, obviamente al reemplazar este valor de t en cualquiera de las ecuaciones del sistema debera arrojar el mismo valor de x, ya que esa fue la condicin de partida al igualarse los x.

    Entonces, el punto de encuentro se determina reemplazando t = 7,71 [s] en cualquiera de las dos ecuaciones.

    Por ejemplo, en xB = 108 4t, se tiene: xencuentro = 77,16 [m]. Respuesta: El encuentro de las partculas se produce 7,71 [s] despus

    que la primera partcula pasa por A, o sea 5,71 [s] que la segunda partcula pasa por el punto B.

    Las partculas se encuentran a 77,16 [m] del punto A, lo que equivale a 22,84 [m] del punto B.

    COMENTARIOS SOBRE GRFICOS.

    En el caso del movimiento rectilneo las cantidades vectoriales involucradas son todas paralelas, ya sea en la direccin del eje x o bien contrarias

  • 21

    a l. Esto hace posible la representacin de ellas considerando su componente escalar, en la cual la direccin se identifica o describe con el signo que la precede. Como ya se ha visto anteriormente, esto permite la representacin de estas cantidades en funcin del tiempo, utilizando slo dos ejes de coordenadas.

    Se ha convenido colocar en el eje de las abscisas (eje vertical) la cantidad a considerar, y el tiempo se representa en el eje de las ordenadas (eje horizontal).

    Para hacer un buen anlisis y utilizar mejor la informacin que pudieran entregar los grficos es necesario tener en cuenta algunos elementos matemticos que recordamos a continuacin.

    Interpretacin grfica de la derivada.

    Recordemos que en el grfico de una funcin F(x) representada en funcin de x, figura 11, la pendiente m de la tangente en un punto cualquiera de la grfica tiene el significado de la derivada de F(x) con respecto a x, la cual se evala para el punto correspondiente. En la figura han trazado en rojo las tangentes geomtricas en los puntos x1 y x2. Las pendientes m de estas rectas estn dadas por la derivada que se indica en le grfico, la cual se evala para los respectivos puntos.

    La interpretacin anterior puede aplicarse, en el presente estudio, a los casos de la posicin x de la partcula, representada en funcin del tiempo, y a la velocidad v representada en funcin del tiempo.

    Fig. 11

  • 22

    A modo de ejemplo se ha representado la posicin x de una partcula que se mueve segn lo expresa la funcin indicada en la parte superior de la figura 12. Aplicando lo recordado, se tiene que la derivada de x en funcin de t, corresponde a las pendientes de las tangentes geomtricas. Por otra parte, sta derivada, por definicin corresponde a la velocidad de la partcula.

    Las pendientes, de las rectas trazadas en rojo en el grfico, corresponden a las velocidades de la partcula en los instantes: t = -2 [s], t = 1,5 [s], t = 3 [s] y t = 4,5 [s]. Los valores de estas pendientes (velocidades), segn la informacin que se tiene en este ejemplo, se pueden calcular grficamente o bien derivando la funcin correspondiente y evalundola para los respectivos instantes. Segn lo muestra el grfico se puede adelantar, viendo la inclinacin de las tangentes, que en los instantes t = -2 [s] y 4,5 [s] las pendientes (velocidades) son positivas, lo que indica que en estos instante la partcula se est moviendo hacia el lado positivo del eje x. En el instante t = 1,5 [s], la pendiente (velocidad) es negativa, o sea la partcula en dicho instante se est moviendo en la direccin negativa del eje x. En el instante t = 3 [s] la pendiente es cero, ello indica que la partcula se detiene en dicho instante.

    En el caso de la grfica de la velocidad en funcin del tiempo, figura 13, las pendientes de las tangentes son iguales a las derivadas de v respecto de t, evaluadas para los instantes correspondientes, o sea corresponden a la definicin de la aceleracin de la partcula. Esto nos indica que de una grfica de velocidad en funcin del tiempo podemos calcular las aceleraciones de la partcula u obtener alguna informacin de ellas a travs de las pendientes.

    Fig. 13

  • 23

    Tambin, en este grafico se observa que la partcula tiene una aceleracin variable, por cuanto las tangentes en los diferentes puntos tienen pendientes diferentes.

    As, tambin puede apreciarse en que casos estas aceleraciones son positivas (a favor del eje x) o negativas (en direccin contraria al eje x). A modo de ejemplo, en el instante t = 0 se ve que es negativa, en t = 1 [s] es cero y en t = 4 [s] es positiva.

    Otro recuerdo matemtico que resulta muy conveniente tener en cuenta, es el significado del rea entre la grfica y el eje de ordenadas, entre dos valores cualquiera. Esta rea puede tener significado para nuestro estudio, el cual va a depender de la funcin que se est analizando.

    En el grfico de F(x) en funcin de x, figura 14, se ve que una pequea rea dA, la sombreada con rojo, tiene ancho dx y alto un valor de F(x), o sea dA = F(x) dx. Entonces, al considerar todas las reas de este tipo entre la grfica y los valores entre x1 y x2 se tiene el rea A achurada con verde. Matemticamente el rea A corresponde a la integral de los dA, o sea a la integral de F(x) dx. Este conocimiento lo aplicaremos en la interpretacin del rea en una grfica de v en funcin de t.

    La figura 15, de v en funcin de t, corresponde al mismo ejemplo anterior. En el se ha destacado en verde ciertas reas. La expresin a la derecha del grfico muestra que las reas, tratndose de v en funcin de t, corresponden al desplazamiento de la partcula entre los instante que se considera el rea. As, para el ejemplo propuesto, el rea entre t = -2,5 [s] y t = - 1,5 [s] que est por sobre el eje t, representa un desplazamiento en la direccin positiva del eje x. En cambio, el rea entre t = 1 [s] y t = 2,5 [s], representa un desplazamiento en la direccin negativa del eje x.

    En todos aquellos ejercicios de movimientos rectilneos, que resulte fcil del punto de vista grfico calcular las pendientes y las reas, lo visto anteriormente se convierte en una herramienta muy til a utilizar, y por lo mismo es un conocimiento muy conveniente de tener presente.

    Fig. 14

  • 24

    Movimiento Rectilneo Uniforme.

    En el ejemplo 2 se present el caso de dos partculas que se movan con velocidades constantes. Estos movimientos reciben el nombre de Movimientos rectilneos uniformes.

    A continuacin, con el propsito de obtener una ecuacin que permita tratar todos los casos de movimientos con velocidad constante, se har un tratamiento similar al ya realizado para cada partcula del ejemplo 2. Este anlisis se har en forma general, es decir, sin considerar valores particulares. La ventaja de esto es que se llega a establecer una ecuacin que evita tener que repetir el proceso de integracin cada vez que se quiera abordar un caso de movimiento con velocidad constante.

    Para simplificar el proceso, se hace coincidir el eje x con la trayectoria de la partcula, que como ya se sabe es rectilnea. Entonces, la posicin de la partcula queda dada por la coordenada x que viene siendo la nica componente de su vector posicin. Por lo mismo, su velocidad tiene una sola componente que

    es igual a dxvdt

    ==== . As, para referirse a la posicin y la velocidad de la partcula,

    basta utilizar sus: x y dxv =dt

    .

    A partir de dtdx

    v = se tiene dx = v dt dx v dt C= += += += + , donde v se puede extraer de la segunda integra por ser constante, entonces se tiene:

    Fig. 15

  • 25

    x = v t + C.

    Si para un instante cualquiera to la partcula se encuentra en xo, se obtiene C = xo v to , que reemplazar en la ecuacin anterior se obtiene la siguiente expresin para la posicin x de la partcula:

    )tt (vxx ooo +=

    Esta relacin sirve para describir cualquier movimiento con velocidad constante. Para ello, respetando las condiciones impuestas en su deduccin, se debe hacer coincidir un eje x con la trayectoria de la partcula. En funcin de este eje las cantidades vectoriales involucradas tendrn signo positivo o negativo segn ellas estn en la direccin positiva o negativa del eje x, respectivamente. Debe hacerse notar, que de acuerdo a la deduccin de esta relacin, xo es la posicin de la partcula en el instante to, donde los subndices cero para x y t, no indican que necesariamente estos valores deben ser los valores iniciales. Solamente indican que ellos van apareados o se corresponden. Estos subndices permiten diferenciarlos de los valores x y t que no lo llevan, y que a su vez tambin se corresponden.

    Con lo anterior ya tenemos la forma de describir el movimiento de una partcula con velocidad constante. Pero falta contestar la pregunta: En qu casos una partcula se mueve con velocidad constante? o qu condiciones deben darse para tener un movimiento de este tipo?

    La respuesta a esta pregunta la encontramos en las leyes de Newton.

    La primera ley indica que si una partcula est libre de interacciones entonces est en reposo o en movimiento con velocidad constante. La otra posibilidad la explica la segunda ley de Newton, ya que an cuando una partcula no est libre de interacciones, pero la suma de las fuerzas sobre ella, o sea la fuerza neta, es nula, entonces la partcula tiene aceleracin cero, lo que equivale a que su velocidad sea constante, situacin que tambin incluye la posibilidad que est en reposo.

    En resumen, cualquiera de las dos posibilidades indica que este movimiento resulta cuando la fuerza total o fuerza neta sobre la partcula es cero.

    Observe que la ecuacin obtenida no es aplicable a la partcula del ejemplo 1, ya que dicha partcula tiene velocidad variable. En cambio, si es aplicable a ambas partculas del ejemplo 2.

    Tarea: Verifique que al aplicar la ecuacin x = xo + v (t to) a ambas partculas del ejemplo 2 se llega a las mismas ecuaciones particulares anteriormente establecidas para ellas.

    La expresin anterior, de x en funcin del tiempo, se puede representar en un grfico x/t. No es difcil darse cuenta, por

    Fig. 17

    Fig. 16

  • 26

    el tipo de relacin, que el grfico correspondiente es una lnea recta, como se muestra en la figura 16

    El grfico de velocidad en funcin del tiempo, figura 17, como v es constante, resulta una recta paralela al eje t. El grfico de la derecha ilustra un caso donde v es constante y positiva.

    Se observa que en este caso, el rea A que da el valor del desplazamiento para un intervalo de tiempo cualquiera, es fcil de calcular a partir de los valores de v, t1 y t2.

    En grfico de ejemplo, concuerda el signo asignado al rea con el hecho que el desplazamiento es positivo, por cuanto la velocidad de la partcula indica que sta se mueve en la direccin positiva del eje x.

    Movimiento Rectilneo Uniformemente Acelerado (MUA). Se dice que una partcula tiene un Movimiento Rectilneo Uniformemente

    Acelerado cuando se mueve en lnea recta con aceleracin constante.

    Que la partcula tenga aceleracin implica que su velocidad cambia. Una aceleracin constante indica que los cambios de velocidades son proporcionales a los intervalos de tiempo. Por lo mismo, a intervalos de tiempo iguales se producen cambios de velocidad iguales. Por ejemplo, una aceleracin de 3 [m/s2] paralela a la velocidad, implica que la partcula gradualmente experimentar cambios en la direccin del movimiento a razn de 3 [m/s] en cada segundo. Es decir, si inicialmente la partcula tiene una velocidad igual a 2 [m/s], al cabo de un segundo su velocidad habr cambiado a 5 [m/s], y al siguiente segundo su velocidad ser de 8 [m/s] y as en adelante mientras se mantenga dicha aceleracin. En este ejemplo, se aprecia que la partcula se ir moviendo cada vez ms rpido, y por lo mismo para intervalos de tiempos iguales las distancias recorridas sern cada vez mayores. Este aumento de la rapidez ocurre en todos los casos que la aceleracin tiene la misma direccin (signo) de la velocidad.

    Como la partcula tiene un movimiento rectilneo, se considera un eje X coincidente con su trayectoria.

    De dva = a i idt

    =

    , se tiene la relacin escalar dtdv

    a = , de donde

    Fig. 17

  • 27

    dv = a dt, as =t

    t

    v

    v oo

    adtdv , donde sabemos que a es constante. Luego

    =t

    t

    v

    v oo

    dtadv v vo = a (t to). As, despejando v en funcin del

    tiempo t se tiene:

    )tt ( avv oo +=

    De acuerdo a la deduccin de la frmula, en ella v es la componente de la velocidad de la partcula en el instante t, y vo es la componente de la velocidad de la partcula en el instante to. Las cantidades escalares v, vo y a tienen signos de acuerdo a la direccin que tengan en relacin al eje x considerado, lo cual se debe a que estas cantidades son componentes de los vectores v , ov

    y a

    . Los instantes t y to toman valores de acuerdo al cero del cronmetro utilizado.

    Por otra parte de dtdx

    v = se tiene que dx = v dt =t

    t

    x

    x oo

    dt vdx ,

    donde v no es constante, puesto que el movimiento tiene aceleracin. Se hace necesario reemplazar v en funcin de t para resolver la integral. Entonces, como v = vo + a (t to). Se reemplaza en el integrando del segundo miembro

    [ ] +=t

    too

    x

    x oo

    dt )tt ( avdx

    Una vez desarrolladas las integrales se obtiene la relacin siguiente:

    21o o o o2x = x + v ( t - t ) + a ( t - t )

    Esta relacin da la posicin x de la partcula para un instante t cualquiera, o sea x en funcin del tiempo. En ella xo y vo son respectivamente la posicin y la velocidad de la partcula en el instante to. La aceleracin a, por ser constante, es vlida para todo instante.

    Por ltimo, a partir de dtdv

    a = dv a dt= , y como dtdx

    v = se

    tiene, multiplicando miembro a miembro, que adxvdv = , entonces:

    =x

    x

    v

    v oo

    adxvdv .

    Al integrar se obtiene:

    )xx ( a 2vv o2o +=2

    Esta relacin expresa la componente v de la velocidad de la partcula en funcin de su posicin x. Esta relacin permite relacionar la posicin de la

  • 28

    partcula con la o las velocidades que tiene al pasar por dicha posicin. Al extraer raz cuadrada para despejar el valor de v, se obtienen dos resultados, los cuales tienen igual magnitud, pero son de distinto signo. Ello indica, que en general, la partcula pasa dos veces por el mismo punto; una vez a favor del eje X y otra vez en direccin contraria.

    De acuerdo a las ecuaciones establecidas para el movimiento rectilneo con aceleracin constante o movimiento rectilneo uniformemente acelerado (MUA), se obtienen grficos como los que se ilustran en la figura 18.

    Por la forma de la relacin de x en funcin de t, el grfico resultante debe ser una parbola. La relacin entre v y t indica que la relacin es una lnea recta cuya pendiente indica el valor de la aceleracin. El tercer grfico obviamente es una recta paralela al eje t.

    De acuerdo a la segunda ley de Newton, sobre la partcula hay una fuerza neta constante que es la causante de dicha aceleracin. Esta fuerza tiene la misma direccin de la aceleracin, por lo que en ste ejemplo acta en la misma direccin de la velocidad. En trminos coloquiales se dice que la fuerza neta est empujando a la partcula.

    Consideremos el caso en que la aceleracin constante es contraria a la velocidad. Por ejemplo, una partcula se mueve con una velocidad de 15 [m/s] y lo hace con una aceleracin constante de -3 [m/s2]. Esto implica que la velocidad cambia, de manera gradual y uniforme, en -3 [m/s] en cada segundo. Es decir, que transcurrido un segundo la velocidad habr disminuido a 12 [m/s], y al siguiente segundo tendr una velocidad de 9 [m/s] y as en adelante. Llegar un instante en que su velocidad ser cero, es decir la partcula se detendr. Si el movimiento an mantiene la misma aceleracin, entonces la velocidad comenzar a tomar valores negativos, siendo -3 [m/s] un segundo ms tarde de haberse detenido, y despus de otro segundo ser -6 [m/s], y as sucesivamente.

    En algunos textos, esta situacin donde la rapidez disminuye se le llama desaceleracin o retardacin del movimiento. En este caso la fuerza neta acta en sentido contrario a la velocidad, es decir la fuerza est frenando a la partcula. Para el estudio de los movimientos rectilneos con aceleracin constante, como los ejemplos examinados, se pueden establecer algunas relaciones a partir de las definiciones de velocidad y aceleracin. Estas relaciones se desarrollarn

    Fig. 18

  • 29

    algebraicamente, para as llegar a ecuaciones que evitarn repetir el mismo desarrollo cada vez que se requiera resolver ste tipo de problemas.

    Ejemplos

    Ejemplo I. 4

    Una partcula de 0,5 [kg] de masa se encuentra inicialmente en reposo en un punto A e inicia su movimiento bajo la accin de una fuerza neta constante F = 0,10 [N] dirigida hacia un punto B. La distancia de A hasta B es de 400 [m]. La fuerza F se aplica slo durante 30 [s]. A los 15 [s] que se deja de aplicar la fuerza, se aplica una nueva fuerza neta sobre la partcula, pero en direccin contraria a su desplazamiento. Esta fuerza hace que la partcula pase por el punto B con una velocidad de 5 [m/s]. Calcule:

    a) La aceleracin de la partcula bajo la accin de la primera fuerza y la velocidad que tiene en el instante que se deja de aplicar la fuerza.

    b) La distancia que recorre la partcula bajo la accin de la primera fuerza y la distancia que alcanza a recorrer cuando no hay fuerza neta sobre ella.

    c) La aceleracin que tiene la partcula cuando se le est aplicando la segunda fuerza neta, y el valor de esta ltima.

    d) El tiempo total que emplea la partcula en ir de A hasta B.

    Solucin:

    (a) De acuerdo a la segunda ley de Newton a = F/m = 0,10/0,5 = 0,2 [m/s2].

    Para calcular la velocidad a los 30 [s] de aplicada F, es necesario considerar un eje x a lo largo de la trayectoria a fin de aplicar las ecuaciones para este tipo de movimiento (figura 19). As:

    El punto 0 del eje se hace coincidir con el punto A, por lo tanto al punto B le corresponde el punto 400 [m]. Los valores en rojo son valores que se determinan a medida que se resuelve el problema. Inicialmente no se conocen. Se considera t = 0 cuando comienza a aplicarse la primera fuerza. Entonces para t = 0, v = 0, ya que la partcula parte desde el reposo. La primera fuerza se aplica hasta el instante t = 30 [s]. O sea la aceleracin a = 0,2 [m/s2] en los primeros 30 [s] del movimiento de la partcula.

    Como el movimiento es MUA se aplica la ecuacin v = v0 + a (t-t0), y reemplazando v0 = 0; t0 = 0; a = 0,2 y t = 30, se tiene: v = 6 [m/s].

    Fig. 19

  • 30

    Respuesta: La aceleracin de la partcula al aplicar la primera fuerza es 0,2 [m/s2] y su velocidad a los 30 [s] de haber partido es de 6 [m/s].

    (b) La distancia que recorre la partcula cuando se aplica la primera fuerza, se aplicando la ecuacin x = x0 + v0 (t t0) + a (t t0)2, calculando x para t = 30 [s]. As, se reemplaza x0 = 0; v0 = 0; t0 = 0 ; a = 0,2 y t = 30. Resultando x = 90 [m]. Cuando se deja de aplicar la fuerza, el movimiento contina con velocidad constante igual a 6 [m/s]. O sea, es rectilneo uniforme. Entonces, se aplica la ecuacin: x = x0 + v (t t0) para calcular la posicin x de la partcula en el instante t = 45 [s]. As, se reemplaza, x0 = 90 [m], t0 = 30 [s] y v = 6 [m/s] y t = 45 [s]. Resulta x = 180 [m]. O sea, con este tipo de movimiento la partcula se movi del punto 90 [m] al punto 180 [m], recorriendo por lo tanto 90 [m].

    Respuesta: La partcula recorre 90 [m] cuando se aplica la primera fuerza y 90 [m] cuando la fuerza neta sobre ella es cero.

    (c) A partir del instante t = 45 [s], cuando la partcula va pasando por el punto 180 [m] se aplica la segunda fuerza, que por ser constante y contraria a su desplazamiento hace que la partcula tenga aceleracin constante y contraria al desplazamiento. O sea, la partcula comienza a disminuir su rapidez a partir de dicha posicin. Las ecuaciones que se pueden aplicar son las del movimiento MUA. Se aplica v2 = v02 + 2a (x x0), donde v0 = 6 [m/s] para x0 = 180 [m] y v = 5 [m/s] en x = 400 [m]. Entonces resulta a = - 0,025 [m/s2]. El signo menos confirma que la aceleracin es contraria al eje x. Aplicando la segunda ley de Newton, resulta F = m a = 0,5 (-0,025) = -0,0125 [N].

    Respuesta: La aceleracin de la partcula es a = - 0,025 [m/s2] cuando se aplica la segunda fuerza, y sta es contraria a su desplazamiento y con una magnitud de 0,0125 [N].

    (d) Se sabe que desde el punto 180 [m], en el instante 45 [s], hasta el punto 400 [m] la partcula se mueve con a = -0,025 [m/s2], pasando por el punto 400 [m] con una velocidad de 6 [m/s]. Aplicando la ecuacin v = v0 + a (t t0) se tiene:

    5 = 6 0,05 (t 45), de donde t = 85 [s]. Entonces, Si la partcula pasa por A en t = 0 y pasa por B en t = 85 [s], se concluye la respuesta que se da a continuacin:

    Respuesta: La partcula demora 85 [s] en ir desde A hasta B.

    Ejemplo I. 5

    Dos puntos A y B de una carretera rectilnea estn separados una distancia de 1500 [m]. En cierto instante pasa una moto por A en direccin a

  • 31

    B, lo hace con una rapidez de 5 [m/s] y con una aceleracin constante de 2 [m/s2] en la misma direccin que su velocidad. A los 4 [s] despus pasa por B un automvil, movindose con rapidez constante de 40 [m/s] en direccin hacia A.

    a) Escriba las ecuaciones de posicin en funcin del tiempo para cada vehculo.

    b) Determine cuntos segundos despus que el automvil pasa por B se produce el encuentro de los vehculos.

    c) Determine a qu distancia de B se produce el encuentro de los vehculos.

    Solucin:

    (a)

    Para escribir las ecuaciones que describan los movimientos de ambos cuerpos, es necesario considerar un eje x que coincida con la trayectoria de ellos. Se utilizar un eje x dirigido de A hacia B, con su origen en el punto A (figura 20). Obviamente al punto B le corresponde el valor 1500 [m]. Al considerar el instante cero cuando la moto parte del punto cero, en el instante 4 [s] el automvil pasa por el punto 1500 [m] con una velocidad constante igual a 40 [m/s].

    Considerando lo anterior y que el movimiento de la moto es MUA y el del automvil es con rectilneo uniforme, las ecuaciones de posicin en funcin del tiempo son las siguientes:

    Respuesta: Para la moto: xM = 5 t + 2 t2. Para el automvil: xA = 1500 40 (t 4).

    (b) La condicin de encuentro es que en cierto instante t, la moto y el

    automvil se encuentra en el mismo punto x. Por lo tanto, para calcular cual es el valor de ese instante se hace xM = xA. En tal caso:

    5 t + 2 t2 = 1500 40 (t 4),

    de donde t2 + 45 t -1660 = 0.

    De la ecuacin anterior se obtienen: t= 24 [s] y t = - 69 [s]. El valor 69 no es solucin ya que las ecuaciones de los movimientos son vlidas slo a partir del instante cero, que es cuando la moto parte desde el punto A.

    Como el instante de encuentro es t = 24 [s], y el automvil pasa por B en el instante 4 [s], se tiene:

    Fig. 20

  • 32

    Respuesta: Los vehculos se encuentran 20 [s] despus que el automvil pasa por B.

    (c) Reemplazando el valor de t en cualquiera de las dos ecuaciones, se

    encuentra el valor de x de encuentro. Al hacerlo resulta el punto x = 696 [m], entonces:

    Respuesta: Como el punto B est en x = 1500 [m], a distancia de B al punto de encuentro es 804 [m].

    Ejemplo I. 6

    El grfico v/t (figura 21) corresponde a una partcula de 0,08 [kg] de masa que se mueve a lo largo del eje X.

    Determine: a) La aceleracin de la

    partcula en el intervalo entre t = 0 y t = 5 [s].

    b) La velocidad de la partcula a los 8 [s]. c) La aceleracin media de la partcula entre t = 0 y t = 8 [s]. d) La distancia recorrida por la partcula entre t = 5 [s] y

    t = 10 [s]. e) Calcule la o las fuerzas netas que actan sobre la partcula

    (magnitud y direccin), indicando el correspondiente intervalo de tiempo en que lo hacen.

    f) Indique qu tipo de movimiento tiene la partcula a partir de t = 15 [s].

    (a)

    En un grfico v/t la pendiente de la tangente a la grfica es igual a la aceleracin. En este caso la tangente a la grfica entre t = 0 y t = 5, coincide con la grfica. Su pendiente se puede calcular tomando dos puntos de dicho tramo. Tomando los puntos (0,12) y (5, 20) se tiene:

    Respuesta: a = 1,6 [m/s2], valor que es vlido para cualquier punto del intervalo considerado.

    (b)

    Respuesta: En el grfico se observa que entre t = 5 [s] y t = 10 [s] la velocidad es constante e igual a 20 [m/s]. Luego a t = 8 [s] le corresponde dicho valor.

    Fig. 21

  • 33

    (c)

    La aceleracin media para cierto intervalo de tiempo, es el cuociente entre la variacin de las velocidades instantneas y el intervalo de tiempo correspondiente. Como para t = 8 [s], v = 20 [m/s] y para t = 0, v = 12 [m/s], se tiene a = (20 12)/ (8 0) = 1 [m/s2].

    Respuesta: Entre t = 0 y t = 8 [s] la aceleracin media es 1 [m/s2].

    (d)

    El desplazamiento de la partcula entre t = 5 [s] y t = 10 [s] corresponde numricamente igual al rea, en este caso es 100 [m]. Entonces el desplazamiento de la partcula es 100 [m] en la direccin positiva del eje x. Como en este caso, la partcula slo se mueve en esa direccin, resulta que la distancia recorrida coincide con la magnitud del desplazamiento, o sea es igual a 100 [m].

    Respuesta: El distancia recorrida por la partcula entre t = 5 [s] y t = 10 [s] es 100 [m].

    (e)

    Respuesta: La fuerza neta, de acuerdo a la segunda ley de Newton es igual a F = m a. Para el tramo ( 0 < t

  • 34

    experimentan la misma aceleracin, que es vertical hacia abajo. Esta aceleracin se simboliza por g

    . El valor de g es aproximadamente de 9,8 [m/s2]. Algunos autores, para simplificar los clculos suelen aproximarla a 10 [m/s2].

    Si una partcula se deja caer o se lanza verticalmente, hacia arriba o hacia abajo, tiene una trayectoria rectilnea. Ahora, debido a la aceleracin constante que adquiere, su movimiento es rectilneo uniformemente acelerado. Por lo mismo, sern aplicables las relaciones determinadas anteriormente para este tipo de movimiento. En el caso que el objeto se deja caer desde el reposo respecto a Tierra se denomina cada libre.

    Ejemplo I. 7

    Desde el borde de la terraza de un edificio de 45,0 [m] de altura se lanza verticalmente hacia arriba una piedra con una velocidad inicial de 25 [m/s] y dos segundos despus desde una ventana situada 4,4[m] ms abajo cae un macetero, determine: (a)Cul llega primero al suelo? (b) Con qu diferencia de tiempo lo hacen? (c) Con qu velocidad llegan al suelo? (d) Cul es la altura mxima que alcanza la piedra respecto del suelo?

    Solucin:

    El movimiento de ambos cuerpos puede ser descrito por las ecuaciones del movimiento rectilneo uniformemente acelerado. Para ello es necesario colocar un eje paralelo a la trayectoria de los cuerpos, o sea hay que colocar un eje vertical. Este eje arbitrariamente puede apuntar hacia arriba o hacia abajo. En la figura 22 el eje est orientado hacia arriba y de acuerdo a esto, las componentes de los vectores tendrn signos positivos o negativos, segn su direccin sea a favor o contraria al eje.

    En la figura se ha considerado un eje X vertical hacia arriba con el cero a nivel del suelo. En este caso la terraza queda situada en el punto x = 45,0 [m] y la ventana en el punto 40,6 [m]. El cronmetro o reloj para medir los tiempos, arbitrariamente, se coloca en cero cuando se lanza la piedra. De acuerdo a esto, el cronmetro marcar 2 [s] cuando comienza a caer el macetero.

    Entonces las ecuaciones para los cuerpos son:

    Ecuaciones para la piedra:

    x = 45 + 25 t 9,8 t2 (1) v = 25 9,8 t (2) v2 = 252 2. 9,8 (x 45) (3)

    Fig. 22

  • 35

    Ecuaciones para el macetero:

    x = 40,6 9,8 (t 2)2 (4) v = - 9,8 (t 2) (5) v

    2 = - 2. 9,8 (x 40,6) (6)

    Haciendo x = 0 en las ecuaciones (1) y (4) se obtiene el instante t en que cada uno de los cuerpos llega al suelo, respectivamente.

    As, de (1) se obtiene t1 = 6,51 [s] y t2 = - 1,41[s] . De estas dos soluciones slo tiene sentido el valor de t positivo, o sea la piedra llega al suelo en el instante t = 6,51 [s] aprox.

    En (4) se obtiene t1 = 4,88 [s] y t2 = - 0,88 [s]. De estas dos soluciones slo tiene sentido el valor de t positivo, o sea el macetero llega al suelo en el instante t = 4,88 [s] aprox.

    Respuesta: (a) El macetero llega primero al suelo.

    Respuesta: (b) El macetero llega al suelo 1,63 [s] antes que la piedra.

    Con las ecuaciones (2) y (5) se puede determinar la velocidad con que llegan al suelo la piedra y el macetero. Para ello basta reemplazar en ellas los instantes t = 6,51 [s] y t = 4,88, respectivamente.

    Tambin se pueden determinar las velocidades con que llegan al suelo ambos cuerpos utilizando las ecuaciones (3) y (6), en donde basta determinar los valores de v cuando x = 0. Haciendo esto se obtienen: v = 38,8[m/s] para la piedra y v = 28,2 [m/s] para el macetero. De estos valores slo deben considerarse los valores negativos, ya que ellos indican que las velocidades son hacia abajo (contrarias al eje X que tiene direccin positiva hacia arriba).

    Respuesta: (c) El macetero llega al suelo con una velocidad de 28,2 [m/s] vertical hacia abajo y la piedra con una velocidad de 38,8 [m/s], tambin vertical hacia abajo.

    Finalmente, haciendo v = 0 en la ecuacin (3) puede determinarse la posicin x en que la velocidad se hace cero por efecto de la desaceleracin experimentada, vale decir se determina el punto en que la piedra no puede seguir subiendo. Este valor resulta x = 76,9 [m] aproximadamente.

    Respuesta: (d) La piedra llega a una altura de 76,9 [m] medida desde el suelo y a una altura de 31,9 [m] medida desde la terraza.

    Ejemplo I. 8 Un globo asciende verticalmente con velocidad constante de 4 [m/s].

    Cuando va a una altura de 60 [m] del suelo se suelta desde l una bolsa de arena que queda sujeta a la accin de la gravedad. Determine: a) El tiempo que demora la bolsa desde que se solt hasta que lleg al suelo. b) La velocidad con que la bolsa llega al suelo.

  • 36

    Solucin:

    Cuando la bolsa se suelta desde el globo, tiene la misma velocidad que ste, pero queda sujeta a la accin gravitatoria. Por lo tanto, su movimiento es rectilneo uniformemente acelerado, con aceleracin g y con velocidad inicial de 4 [m/s] hacia arriba, en el instante que se suelta. Este instante lo podemos definir como cero.

    Utilizamos entonces las ecuaciones del movimiento rectilneo uniformemente acelerado, para lo cual es necesario colocar el eje X coincidiendo con la trayectoria del paquete. (figura 23). Dicho eje arbitrariamente se ha fijado apuntando hacia arriba con el punto cero en el suelo. Entonces las ecuaciones a utilizar son las siguientes:

    x = 60 + 4 t 4,9 t2 (1)

    v = 4 9,8 t (2)

    v2 = 42 2 . 9,8 (x 60) (3)

    Haciendo x = 0 en la ecuacin (1) se determina el instante en que la bolsa llega al suelo. Esto da como resultados: t1 = - 3,11 [s] y t2 = 3,93 [s]. Obviamente la solucin admisible es t2, ya que un tiempo negativo significa antes de que se soltara la bolsa.

    Respuesta: (a) La bolsa demora 3,93 [s] desde que se solt hasta que lleg al suelo.

    Con el propsito de determinar la velocidad con que la bolsa llega al suelo, puede hacerse x = 0 en la ecuacin (3), o bien se hace t = 3,93 [s] en la ecuacin (2). Utilizando esta ltima se tiene v = -34,5 [m/s].

    Respuesta: (b) La bolsa llega al suelo con una velocidad de 34,5 [m/s] dirigida verticalmente hacia abajo.

    Ejemplo I. 9

    Un ascensor sube acelerando a razn de 1,20 [m/s2]. En el instante en que su velocidad es de 2,40 [m/s], un perno de 4,2 [g] se suelta del techo del ascensor, que est a 2,61 [m] del piso. Calcule el tiempo que tarda el perno desde que se suelta hasta que llega al piso del ascensor y la fuerza que acta sobre el perno durante dicho movimiento.

    Solucin:

    Este problema se puede abordar considerando el movimiento del ascensor y del perno, vistos desde un sistema fijo. En tal caso, para determinar el tiempo que tarda el perno en llegar al piso del ascensor se puede resolver como un tpico

    Fig. 23

  • 37

    problema de encuentro entre el perno y el piso del ascensor. Entonces, lo que corresponde hacer es establecer las ecuaciones de posicin en funcin del tiempo para el perno y para el piso, ambas ecuaciones respecto del sistema fijo. Con el propsito de establecer las ecuaciones mencionadas anteriormente es necesario considerar un eje vertical, ya que la trayectoria de ambos cuerpos es vertical. Dado de que la direccin del eje es arbitraria, se elige aquella que se considere ms cmoda de utilizar. En este caso se eligi un eje vertical dirigido hacia arriba (figura 24). El origen del eje se fij en la posicin que est el piso del ascensor en el instante que el perno se suelta del techo. Dicho instante se toma como cero.

    El perno al soltarse queda sujeto a la accin gravitatoria, pero con una velocidad inicial que es la que llevaba por ir movindose junto con el ascensor. El piso del ascensor se mueve como lo hace el ascensor, vale decir, se mueve verticalmente con una aceleracin constante de 1,20 [m/s2] hacia arriba.

    A ambos cuerpos, por moverse con aceleracin constante, se les aplica la frmula:

    221

    oo tgtvxx +=

    Entonces, la ecuacin vlida para el perno desde que se suelta del techo es:

    x = 2,61 + 2,40 t 4,9 t2 (1)

    Y la ecuacin para el piso del ascensor es:

    x = 0 + 2,40 t + 0,60 t2 (2)

    Las ecuaciones indican, respectivamente, las posiciones en funcin del tiempo para el perno y para el piso del ascensor.

    La condicin de encuentro, o sea cuando el perno llega al piso del ascensor, es que las posiciones x sean iguales para instantes t iguales. Para encontrar las soluciones basta resolver un sistema con las ecuaciones (1) y (2). As, igualando las x se tiene:

    2,61 + 2,40 t 4,9 t2 = 2,40 t + 0,60 t2

    De donde se obtiene t = 0,69 [s] aprox.

    Como los movimientos en estudio se describen a partir del instante definido como cero, las soluciones negativas de t se descartan. Entonces, el perno tarda 0,69 [s] desde que se suelta hasta llegar al piso del ascensor.

    La fuerza que acta sobre el perno desde que se suelta es la fuerza que ejerce la tierra sobre l, o sea su peso. De acuerdo a la segunda ley de Newton,

    Fig. 24

  • 38

    como sta es la nica fuerza, ella es la fuerza neta. As: F = m(-g) = - m g = - 4,2.10-3.9,8 = - 41.10-3[N]. El signo menos indica que la fuerza es contraria al eje X, o sea apunta verticalmente hacia abajo.

    Respuesta: (a) El perno tarda 0,69 [s] desde que cae del techo del

    ascensor hasta que llega al piso de ste.

    RESUMEN

    El estudio del movimiento rectilneo se puede realizar en forma escalar colocando un eje que coincida con la trayectoria de la partcula. La orientacin de este eje es arbitraria. De acuerdo a lo anterior, la posicin de la partcula puede ser indicada por una sola coordenada en funcin del tiempo, por ejemplo x = x(t). La velocidad tendr una sola componente: v, la cual resulta de derivar x con respecto a t. Derivando v con respecto a t se obtiene la componente escalar de la aceleracin. Los signos de las cantidades: x, v y a, indican en qu direccin estn los vectores que se corresponden a stas componentes. En el grfico de x = x(t), la pendiente de las tangentes geomtricas en cualquier punto de la grfica dan el valor de la velocidad. En el grfico de v = v(t), la pendiente de las tangentes geomtricas en cualquier punto de la grfica dan el valor de la aceleracin. En el grfico de v = v(t), el rea entre la grfica y el eje t dan el valor del desplazamiento de la partcula para el intervalo de tiempo considerado. El movimiento rectilneo uniforme, o sea con velocidad constante, se describe con una sola ecuacin que indica x en funcin de t. La fuerza neta sobre una partcula con movimiento rectilneo uniformes es nula. El movimiento rectilneo uniformemente acelerado (MUA), vale decir que tiene aceleracin constante, se describe con tres ecuaciones: x en funcin de t, v en funcin de t y v en funcin de x. Estas tres ecuaciones no son linealmente independientes entre s. La fuerza neta sobre un MUA es constante. La ecuaciones planteadas son suficientes para el estudio de casos particulares. No se requieren otras ecuaciones. Cualquier otro movimiento diferente a los dos analizados, pueden estudiarse a partir de las definiciones de posicin, velocidad y aceleracin en funcin del tiempo.

  • 39

    PREGUNTAS Y PROBLEMAS SOBRE EL CAPTULO I.

    PREGUNTAS: 1. Cundo se dice que una partcula est en reposo y cundo est en

    movimiento? 2. Por qu se dice que los estados de movimiento o reposo son conceptos

    relativos? Cite un ejemplo. 3. Escriba la definicin de rapidez media y refirase a cada uno de los

    componentes que en ella intervienen. 4. Un cuerpo se mueve sobre una recta partiendo de cierto punto de referencia.

    Inicialmente se mueve 35 metros hacia la derecha y posteriormente 13 metros hacia la izquierda. Encuentre la distancia recorrida y el desplazamiento. Resp. 48 [m] y 22 [m].

    5. Escriba la definicin de velocidad media e indique donde est la diferencia con la rapidez media.

    6. Qu relacin existe entre la velocidad instantnea y la rapidez instantnea? 7. Si la velocidad de una partcula es constante qu informacin contiene esto

    respecto de la trayectoria y rapidez de la partcula? 8. Si la velocidad instantnea de una partcula es constante implica que su

    rapidez instantnea lo sea? Cmo es la fuerza neta sobre la partcula? 9. Si una partcula se mueve siempre en lnea recta significa ello que su

    movimiento es con velocidad constante? Explique. Significa que la fuerza neta es constante?

    10. Un ciclista se mueve a la velocidad constante de 8 [m/s] durante 20 minutos. Encuentre la distancia que recorre. Resp. 9600 [m].

    11. La fuerza neta sobre el ciclista de la pregunta anterior, es nula o slo es constante diferente de cero?

    12. Un automvil que se mueve en una sola direccin comienza su movimiento con una rapidez constante de 40 [m/s] y la conserva durante 20 [s], luego cambia su rapidez a 20 [m/s] y la conserva durante 5 [s]. Encuentre la velocidad media en ese intervalo de 25 [s]. Resp. 36 [m/s]. En todo el tiempo la fuerza neta sobre el automvil es nula? Explique.

    13. Una persona sale a caminar y controla el tiempo que emplea en recorrer cada cuadra: La tabla muestra los tiempos empleados en las primeras doce cuadras. Determine: (a) El tiempo que demora la persona en recorrer las doce cuadras. (b) La rapidez media para las doce cuadras en [cuadra/min]. (c) Exprese el resultado anterior en [cuadra/s]. (d) Repita los puntos anteriores para las seis primeras cuadras.

    t [min] 1,3 1,1 1,0 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,4 1,4 1,3 1,0 Resp. a) 14,5 [min] b) 0,83 [cuadras/min] c) 0,0138 [cuadras/s] d) : a) 6,7 [min] b) 0,90 [cuadras/min] c) 0,015 [cuadras/s]. 14. Si la rapidez media de una partcula en un recorrido de 500 [km] es de 80

    [km/h] significa ello que en 2 horas avanz160 [km] Por qu?

  • 40

    15. Si la rapidez de una partcula es constante e igual a 50 [km/h] significa ello que su rapidez media para cualquier intervalo de tiempo es de 50 [km/h]?

    16. Si la rapidez instantnea de una partcula es constante e igual a 70 [km/h] significa ello que en cada hora recorre 70 [km].

    17. Un vehculo tiene una velocidad inicial de 8 [m/s] y la cambia a 32 [m/s] en 12 segundos. Encuentre la aceleracin. Resp. 2 [m/s2]. Cmo es la fuerza neta sobre el vehculo? nula, constante o variable?

    18. Encuentre la velocidad del movimiento descrito por el grfico.

    Resp. 2 [m/s]. Cmo es la fuerza neta sobre la partcula? En qu basa su respuesta?

    19. El grfico corresponde a un objeto que se mueve a lo largo del eje X. Cul de las siguientes aseveraciones es la mejor?

    a) El objeto se mueve con a constante. b) El objeto no se mueve. c) El objeto se mueve con rapidez uniformemente

    creciente. d) El objeto se mueve con rapidez constante. e) El objeto se mueve con aceleracin uniformemente creciente.

    20. En qu grfica la pendiente da el valor de la velocidad de la partcula? 21. En qu grfica la pendiente da valor de la aceleracin de la

    partcula?

    22. Respecto al grfico adjunto Cul es la rapidez en el instante 2 s?

    a) 0,4 m/s; b) 2,0 m/s; c) 2,5 m/s; d) 5,0 m/s; e) 10,0 m/s.

    23. Qu entiende por un movimiento rectilneo uniforme? Cmo es la fuerza neta sobre la partcula?

    24. Qu entiende por un movimiento rectilneo uniformemente acelerado? Cmo es la fuerza neta?

    25. La velocidad en un movimiento rectilneo se puede expresar con signo negativo o positivo. De qu depende ello? Ocurre lo mismo con la aceleracin?

    26. La aceleracin de gravedad siempre es vertical hacia abajo o depende de cmo se mueve el cuerpo?

    27. Un cuerpo parte del reposo con aceleracin constante de 2 [m/s2]. Encuentre la velocidad final despus de 40 segundos. Resp. 80 [m/s].

    28. Encuentre la aceleracin correspondiente al grfico. Resp. 0,5 [m/s2].

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    29. Se muestra el grfico velocidad/tiempo de un auto de que se mueve rectilneamente Cul es su aceleracin a los 90 s?

    a) 0,22 [m/s2] ; b) 0,33 [m/s2] ; c) 1,0 [m/s2] ; d) 9,8 [m/s2] ;

    e) 20 [m/s2].

    30. El grfico muestra el movimiento de un objeto en lnea recta. En t = 65 [s] la magnitud de la aceleracin instantnea del objeto es aproximadamente:

    a) 1 m/s2 ; b) 2 m/s2 ; c) 9,8 m/s2 ; d) 30 m/s2 ; e) 34 m/s2.

    31. El grfico muestra el movimiento de un objeto. Cul es la mejor interpretacin de su movimiento?

    a) El objeto rueda por un plano horizontal, enseguida por un plano inclinado y, finalmente se detiene.

    b) El objeto est detenido al comienzo y enseguida se desliza por un plano inclinado, detenindose.

    c) El objeto se mueve con rapidez constante; a continuacin se desliza por un plano inclinado detenindose.

    d) El objeto est detenido al comienzo, enseguida se mueve hacia atrs y se detiene.

    e) El objeto se mueve por la superficie horizontal, a continuacin cae por la pendiente y sigue movindose.

    32. Un objeto parte del reposo sometido a una aceleracin constante durante 10 [s] a partir de los cuales contina movindose con una rapidez constante. Cul de los siguientes grficos describe correctamente la situacin? A, B, C, D o E?

    33. El grfico posicin/tiempo corresponde al de un mvil durante 5 [s] de su movimiento rectilneo. Cul de los siguientes grficos velocidad v/s tiempo es la mejor representacin del movimiento del cuerpo durante los 5 [s]?

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    34. Los cinco grficos posicin/tiempo corresponden a los movimientos de cinco objetos en movimiento rectilneo. Todos estn en la misma escala. Cul objeto tie