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UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA

INGENIERÍA DE SISTEMAS ASIGNATURA: CÁLCULO NUMÉRICO

Ing. Luz Marina Bazó.

INTRODUCCION

Los métodos numéricos surgen junto con las matemáticas desde épocas remotas aunque en

aquella época estos procedimientos fueron muy tardados en resolver problemas, los elementos

básicos consistían en operaciones aritméticas.

Con el surgimiento de las computadoras en los años cuarentas, donde las operaciones

fundamentales fueron las aritméticas se hizo una notable contribución a las ciencias ya que los

métodos numéricos y las computadoras embonaron y coincidieron para servirse una de la otra.

En las Ciencias y la Ingeniería en la actualidad son indispensables los métodos numéricos en

la solución de problemas por lo tanto se justifica el aprendizaje de éstos métodos como

herramientas matemáticas.

Dentro de la definición de métodos numéricos, según Steven (1987), lo define como técnicas

mediante las cuales es posible formular problemas de tal forma que sean resueltas con

operaciones aritméticas, Aunque hay muchos tipos de métodos numéricos todos comparten

una característica común, llevan cabo un buen número de tediosos cálculos aritméticos.

Asimismo Nakamura (1992), nos indica que los métodos numéricos nos vuelven aptos para

entender esquemas numéricos a fin de resolver problemas matemáticos, de ingeniería y

científicos en una computadora, reducir esquemas numéricos básicos, escribir programas y

resolverlos en una computadora y usar correctamente el software existente para dichos

métodos y no solo aumenta nuestra habilidad para el uso de computadoras sino que también

amplia la pericia matemática y la comprensi6n de los principios científicos básicos.

En esta asignatura se tiene como objetivo aplicar métodos y criterios en la resolución de

problemas numéricos, evaluando la validez y precisión de los resultados en la aplicación de

algoritmos eficientes que minimicen los errores de medición apoyado en tecnologías

computacionales.




Este primer trabajo se inicia con la unidad I Representación de datos experimentales y el

análisis de error con la aplicación de diferentes métodos para el ajuste de rectas de una serie

de datos, estos son: método grafico, métodos de los promedios, método de mínimo cuadrado.

La unidad II correspondiente a la Resolución de ecuaciones no lineales en una variable

aplicando los métodos de: Bisección, Punto Fijo, newton Raphson así como la solución de

ecuaciones con raíces complejas. La unidad III Resolver sistemas de ecuaciones lineales a

través de los métodos: eliminación Gaussiana y el método iterativo Gauss-Seidel.




Objetivo General: Aplicar métodos y criterios en la resolución de problemas numéricos,

evaluando la validez y precisión de los resultados en la aplicación de algoritmos eficientes que

minimicen los errores de medición apoyado tecnologías computacionales.

Contenido OBJETIVOS ESPECIFICO Tema

UNIDAD I Representación de datos experimentales UNIDAD II Resolución de ecuaciones no lineales en una variable. UNIDAD III Sistemas de ecuaciones lineales

Aplicar los diferentes métodos para una serie de datos representados gráficamente ajustándolo a la curva adecuada manualmente.

Resolver ecuaciones transcendentes definidas en intervalos cerrados o abiertos mediante métodos iterativos realizando cálculos manuales y por medio del computador.

Resolver diferentes sistemas de ecuaciones para varias variables en la determinación de puntos críticos mediante métodos interactivos realizando cálculos manuales y por medio del computador

Errores Método grafico Método de promedio Método de mínimo cuadrado

Método de Bisección Método de Newton Raphson Método Punto Fijo Método Lin-Baristow Método eliminación Gaussiana con pivote Método de gauss Seidal.




UNIDAD I

REPRESENTACION DE DATOS EXPERIMETALES Y ANALISIS DE

ERROR

ANALISIS DE ERRORES.

Errores

Para determinar el valor real de una magnitud física, se realizan medidas de ella, normalmente

mediante la cuenta de un número de sucesos o por comparación con una unidad de medida.

Por el propio procedimiento es imposible determinar el valor verdadero de la magnitud en

cuestión. Todos los valores medidos (xi) sufrirán errores debidos a la limitada precisión de los

aparatos de medida y los sentidos del observador, así como a otras razones intrínsecas de la

estructura de la materia (fluctuaciones, indeterminación, etc). Estos errores se deben al empleo

de instrumentos mal calibrados (p.ej. un reloj que atrasa) o al no tener en cuenta efectos que

influyen en la medida (como el rozamiento del aire en el movimiento de un proyectil).

En esta unidad, se define el concepto de error en términos de métodos numéricos. Debido a

que estos consisten en estrategias de aproximación que se emplean cuando no es posible la

aplicación de técnicas analíticas o exactas en la resolución de problemas prácticos y de

aplicación, se obtiene un resultado que difiere del verdadero valor que se busca. Esta

diferencia se denomina error. Este concepto es de vital importancia en los métodos numéricos,

ya que éste se emplea como referencia para la selección y evaluación de los métodos

numéricos así como de criterio de paro de los mismos. A continuación se presentan algunos

conceptos fundamentales para la cabal comprensión del concepto de error. Asimismo todos

los resultados de la aplicación de métodos numéricos van acompañados de un error que es

conveniente estimar. Es conveniente tener presente en todo momento cuáles son las fuentes de

los errores, lo que puede ser una ayuda definitiva a la hora de resolver eventuales problemas

prácticos, si bien es cierto que éstas actúan siempre juntas, haciendo muy difícil el

conocimiento detallado de la contribución de cada una en cada caso.




Clasificación de los errores

a. Errores inherentes.

Son aquellos errores cometidos por la persona al tomar los datos de lecturas de instrumentos

de medición, al pasar éstos datos a la computadora o bien por verdaderas equivocaciones por

el manejo de los datos.

b. Errores por redondeo.

Es aquel tipo de error en donde el número significativo de dígitos después del punto decimal

se ajusta a un número específico provocando con ello un ajuste en el último dígito que se toma

en cuenta.

c. Errores por truncamiento.

Para llevar a cabo operaciones de algunas funciones matemáticas los compiladores ejecutan

estas funciones utilizando series infinitas de términos, pero es difícil llevar a cabo éstos

cálculos hasta el infinito, por lo tanto la serie tendrá que ser truncada.

. .

X = X + Ex

Donde:

X = cantidad verdadera

__

X = cantidad aproximada

Ex = error absoluto

El error absoluto (Ex) de una cantidad es igual al valor absoluto de la diferencia entre la

cantidad absoluta y su aproximación incluye sus unidades físicas.

__

Ex = |X – X |

El error relativo de una cantidad cualquiera es igual al cociente de el error absoluto entre la

cantidad verdadera, generalmente expresado como porcentaje ya que no tiene unidades.

Erx = Ex / X




Propagación del Error.

Se dice que existe una propagación en los errores cuando al realizar operaciones con números

que ya tienen errores y las operaciones generan nuevos errores. Normalmente se efectúan en

las operaciones aritméticas, (no importa cuál sea su origen).

Ejemplos:

1.- Dos cantidades al ser medidas nos dan los siguientes resultados: A = ( 100 + 1 )m y B = (

8 + 0.8 )ft

Solución.

A B

Error absoluto

Ea = 1m

Error absoluto

Eb = 0.8ft

Error relativo

Er = Ea = 1 m = 0.01 = 1%

A 100

Error relativo

Er = Eb = 0.8 ft = 0.1 = 10%

B 8

2.- Supóngase que se tiene que medir la longitud de un puente (x) y la de un remache (y),

obteniéndose 9 999 y 9 cm respectivamente. Si los valores verdaderos son 10 000 y 10,

calcular:

a) El error absoluto verdadero

b) El error relativo verdadero

Solución.

Puente (x) Remache (y)

a) Error absoluto

Ea = x -

x

= 10 000 - 9 999

= 1

a) Error absoluto

Ea = y - y

= 10 - 9

= 1




1ˆ

ix

b) Error relativo

ˆv

x xe

x

1

10000

0.0001

0.01%

b) Error relativo

ˆv

y ye

y

1

10

0.1

= 10%

Aunque tienen el mismo error absoluto real (1), el error relativo de la medición del remache es

mucho mayor (10%) contra el 0.1% del error en la medición del puente. Para evitar esta

subjetividad en la medición del error, en métodos numéricos se acostumbra el uso del error

relativo. En los ejemplos anteriores, se conocía el verdadero valor buscado. En la práctica, se

desconoce dicho valor, por lo que el error deberá expresarse en términos aproximados,

originando el concepto de error relativo aproximado.

Error relativo aproximado

El error relativo aproximado, mide el error de un método numérico, determinando el error de

la iteración actual respecto el error surgido en la iteración anterior:

Donde = aproximación actual a x.

= aproximación anterior a x.

En métodos numéricos suele establecerse una tolerancia porcentual como criterio de paro, tal

que el error relativo aproximado de un método, no exceda dicha tolerancia.

1ˆ ˆ

i ia

i

x xe

x

ae t

ˆix




donde t, es tolerancia fijada de antemano. A menor tolerancia se tiene mayor precisión en la

aproximación al valor verdadero, sin embargo esto implica un aumento en el número de

iteraciones requeridas para detener el método.

Observaciones sobre la tolerancia t de un método numérico

Puede demostrarse que si el siguiente criterio se cumple, se tiene la seguridad que un resultado

es correcto en al menos n dígitos significativos:

Ejemplo.

Considere al número 1.648721271. Si se desean tres dígitos significativos correctos, cual seria

la tolerancia porcentual como criterio de paro.

Solución.

como se tiene que n = 3. En consecuencia:

De aquí, se tiene que para garantizar al menos tres dígitos significativos correctos, se tiene que

cumplir:

es decir

Ejemplo:

1. Di una cota del error absoluto y otra del error relativo en las siguientes mediciones:

a) La superficie de esta casa es de 96,4 m2.

b) Por la gripe se han perdido 37 millones de horas de trabajo.

c) Juana gana 19 000 Bfs al año.

2110 %

2nt

2 3110 % 0.05%

2t

ae t

21ˆ ˆ 1

10 %ˆ 2

ni i

i

x x

x




a) |Error absoluto < 0,05 m2

|Error relativo < < 0,00052 = 0,052%

b) |Error absoluto < 0,5 millones de horas = 500 000 horas

|Error relativo < < 0,014 = 1,4%

c) — Si suponemos que los tres ceros finales se han utilizado para poder expresar la cantidad

(es decir, que se trata de 19 mil Bsf, redondeando a los ―miles de bolívares fuerte), entonces:

|E.A.| < 0,5 miles de Bsf = 500 Bsf. |E.R.| < 0,5< 0,027 = 2,7%

19

— Si suponemos que es 19 000 Bsf exactamente:

|E.A.| < 0,5 Bsf |E.R.| < 0,5< 0,000027 = 0,0027%

19 000

2.- Efectúa y da el resultado en notación científica con tres cifras significativas. Determina

también, en cada caso, una cota del error absoluto y otra del error relativo cometidos.

3.- Considera los números: A = 3,2 · 107 ; B = 5,28 · 10

4 y C =2,01·10

5.Calcula (B + C)/A.

Expresa el resultado con tres cifras significativas y da una cota del error absoluto y otra del

error relativo cometidos.




4.- Si A = 3,24 · 106; B = 5,1 · 10

–5; C = 3,8 · 10

11 y D = 6,2 · 10

–6, calcula (A/B + C ) · D.

Expresa el resultado con tres cifras significativas y da una cota del error absoluto y otra del

error relativo cometidos.

( A/B+ C ) · D = 2,75 x 106

|E.A.| 0,005 x 106 = 5 · 10

3

E.R. 1,82 x10-3

REPRESENTACION DE DATOS EXPERIMETALES

Dentro de esta unidad se busca llegar a representar gráficamente los datos obtenidos

experimentalmente. Así también, usar en forma correcta el método de rectificación de la curva

para obtener la relación funcional entre variables y por ultimo saber determinar la pendiente

de una recta y la ordenada en el origen aplicando los métodos de promedios, gráficos y de

mínimos cuadrados.

Asimismo unos de los principales objetivos de representar gráficamente el comportamiento de

magnitudes medidas en forma experimental es encontrar un modelo lineal (ecuación de una

recta) que permita determinar los parámetros característicos del sistema en estudio.

Si la relación funcional entre ambas magnitudes físicas no es lineal, se debe estudiar y aplicar

un cambio de variables apropiado que permita encontrar una relación funcional entre tales

magnitudes, de tal forma de obtener un modelo lineal representativo.




RELACION FUNCIONAL LINEAL

Cuando la relación funcional entre dos variables medidas experimentalmente tiende a ser una

línea recta, generalizamos diciendo que nuestro gráfico es una línea recta y en consecuencia le

podemos asociar una expresión del tipo:

y (x) = m x + b

donde m es la pendiente de la recta y b es el coeficiente de posición o corte con el eje de las

ordenadas. Para determinar el valor de estos parámetros, se pueden aplicar los siguientes

métodos:

a) METODO GRAFICO

b) METODO DE PROMEDIOS

c) METODO DE MINIMOS CUADRADOS.

A través de un ejemplo se analiza los métodos.

Ejemplo:

En una experiencia de laboratorio se tiene un bloque que desliza por una superficie horizontal

prácticamente sin roce. Mediante un programa computacional se obtiene la siguiente

información, donde x (t) indica la posición y T(s) el tiempo transcurrido.

T (s) 1.2 1.7 2.5 3.3 4.4 4.9 5.4 6.2 7.4

x (cm) 12.5 16.2 22.1 28 36.2 39.9 44.6 49.5 58.4

Se desea encontrar la relación funcional entre las variables, desplazamiento con el tiempo,

esto implica conocer la ―ecuación itinerario‖ del móvil que ha ocupado las siguientes

posiciones en función del tiempo:

a.- Método Gráfico

Consiste en graficar los datos en el sistema de coordenadas y dibujar con una regla la mejor

recta estimada en el gráfico, luego se toma dos puntos de fácil lectura de la recta trazada




(t1,x1), (t2,x2) y se calcula su pendiente m. Para el valor de b se lee donde la recta trazada

corta al eje de las abscisas.

m = x2 - x1 = 58.4 - 16.2 = 7.4 cm/s

t2 – t1 7.4 - 1.7

b = 3.6 cm de manera que la relación funcional es x(t) = 3.6 + 7.4 t (cm)

Desde el punto de vista físico la ecuación anterior corresponde a la ecuación itinerario de un

móvil, que entrega la posición en función del tiempo. Aquí la pendiente m=7,4 corresponde a

la velocidad (componente) con la que se desplaza el móvil y nos dice que en t=0 el móvil

estaba en la posición x= 3,6 m del origen del sistema hacia la derecha.

b.- Método de Promedios:

Consiste en dividir los datos en dos partes, se busca el promedio de cada parte y se ajusta una

línea de tendencia que pasa por los promedios y se obtiene dos ecuaciones, formando un

sistema que permite determinar ―m‖ y ―b‖




t (s) 1.2 1.7 2.5 3.3 4.4 4.9 5.4 6.2 7.4

x (cm) 12.5 16.2 22.1 28 36.2 39.9 44.6 49.5 58.4

Prom t(s)= 1.2+1.7+2.5+3.3= 2.2

4

x(cm)=12.5+16.+22.1+28 = 19.7

4

t(s)= 4.4+4.9+5.4+6.2+7.4= 5.7

5

x(cm)=36.2+39.9+44.6+49.5+58.4 = 45.7

5

En el problema planteado de la tabla de valores se toma los cuatro primeros y los cinco

últimos para formar los dos grupos de manera que resulta un sistema de dos ecuaciones,

19,7 = 2.2.m + b

45,7 = 5,7m+b

Y de allí se obtiene la relación lineal: x (t) = 3,4 + 7,4t (cm)

c.- Método de los mínimos cuadrados

El tercer método, el de los mínimos cuadrados es más preciso pero, necesita muchos más

datos que los comentados hasta ahora y se basa en consideraciones estadísticas para obtener la

pendiente ―m‖ de la recta y el interfecto ―b‖ de la recta con el eje de las ordenadas. Este

método se basa en la siguiente definición: ―la mejor curva de ajuste de todas las curvas de

aproximación a una serie de datos puntuales es la que hace mínima la suma de los cuadrados

de las desviaciones Di de la curva [Di = yi - ( m xi + b )].

Las expresiones para m y b se encuentran con las siguientes ecuaciones:




Donde n es el número total de datos.

Cabe hacer notar que las variables x e y son de carácter genérico en la expresión

matemática, y que estas pasan a tomar otra designación dependiendo de las variables que se

están trabajando.

Así, en el caso de estudio tenemos:

Y X Xi2

XiYi

x (cm) t (s)

12.5 1.2 1.44 15

16.2 1.7 2.89 27.54

22.1 2.5 6.25 55.25

28 3.3 10.89 92.4

36.2 4.4 19.36 159.28

39.9 4.9 24.01 195.51

44.6 5.4 29.16 240.84

49.5 6.2 38.44 306.9

58.4 7.4 54.76 432.16

Sumatoria(∑) 307.4 37 187.2 1524.88

m= 37*307.4 - 9*1524.88 = 7.4

(37)2

- 9 * 187.2

b = 1524.88*37-307.4*187.2 =3.6

(37)2

– 9 * 187.2

de manera que la relación funcional es x(t) = 3.6 + 7.4 t (cm)




RELACIÓN FUNCIONAL NO LINEAL

¿Y cómo se trabaja cuando la distribución de puntos no es una línea recta?

Con los datos experimentales se deben realizar ciertos cambios convenientes en las variables

de modo que convirtamos la curva obtenida en una recta. Este método se conoce con el

nombre de METODO DE RECTIFICACION.

Es un mecanismo que consiste en hacer un nuevo gráfico con una de las variables modificadas

matemáticamente de tal manera que el nuevo gráfico resulte una línea recta

Las relaciones funcionales no lineales que se presentan con más frecuencia, son las del tipo

exponencial y potencial.

Los gráficos Nº1 y Nº2 son curvas cuya intersección con el eje de las ordenadas es de

pendiente nula, la rectificación se logra cambiando la variable x por la de xn , con n número

real mayor que cero, como lo muestra el gráfico Nº3.

Este gráfico Nº4 y disminuye cuando x aumenta, la rectificación se hace con 1 / xn




Generalizando los casos a funciones exponenciales y funciones potenciales

Funciones Exponenciales: y = AeBx

En este caso la relación lineal se obtiene haciendo el siguiente cambio de variables:

Ln y = Bx + Ln A que al compararla con la ecuación de la recta se observa que m = B y

b = LnA.

Funciones Potenciales: y = Axm

En este caso la relación lineal se obtiene haciendo el siguiente cambio de variables:

Log y = mlog x + Log A




EJERCICIO

1.- Luego de haber desarrollado la actividad en el laboratorio, se obtuvieron los siguientes

datos, que se muestran en la siguiente tabla:

OBTENCIÓN DE VALORES DE LA PENDIENTE,

Y DEL COEFICIENTE DE POSICIÓN USANDO

DISTINTOS METODOS:

Tiempo (s) Distancia

(cm)

1 0.1239 0.0230

2 0.2440 0.0460

3 0.3658 0.0690

4 0.4890 0.0920

5 0.6133 0.1150

6 0.7351 0.1380

7 0.8573 0.1610

8 0.9776 0.1840

9 1.098 0.2070

10 1.2190 0.2300

11 1.3370 0.2530

12 1.4570 0.2760




UNIDAD II

RESOLUCION DE ECUACIONES NO LINEALES EN UNA VARIABLE

Los métodos numéricos de resolución de ecuaciones no lineales suelen ser métodos iterativos

que producen una sucesión de valores aproximados de la solución, que se espera, que converja

a la raíz de la ecuación. Estos métodos van calculando las sucesivas aproximaciones en base a

los anteriores, a partir de una o varias aproximaciones iniciales.

En análisis numérico un algoritmo de búsqueda de raíces es un método numérico o algoritmo

para encontrar las soluciones aproximadas de una ecuación dada por la expresión f(x) = 0 para

una función matemática f dada. A la solución x de la ecuación se le llama raíz o cero de la

función.

En la resolución numérica de ecuaciones no lineales algunos de los métodos más conocidos

son los métodos de bisección, Iteración de punto, si la función es además derivable y la

derivada se conoce, el método de Newton es muy utilizado.

Método de Bisección

Es un algoritmo de búsqueda de raíces que trabaja dividiendo el intervalo a la mitad y

seleccionando el subintervalo que tiene la raíz.

Dada una función f(x) continua en un intervalo [a, b] en donde f(a) y f(b) son de signos

distintos, debe existir un valor x comprendido en el intervalo a < x < b para el cual f(x) = 0,

como lo ilustra la gráfica de la figura 1.1. Este método requiere divide varias veces a la mitad

los subintervalo [a, b] y en cada paso corregir la mitad que contenga a x.




Para empezar, hacemos a1 = a y b1 = b y

calculamos el punto medio del intervalo y lo

llamamos x1 = (a+b) / 2 y obtenemos de esta

manera la primera raíz aproximada (x1), para

determinar si x1 es una buena aproximación se

sustituye en la función dada f (x1) si el valor

obtenido es menor que la tolerancia permitida, se

podrá decir que x1 es una buena aproximación,

caso contrario; se pregunta, f(x1 ) tiene el mismo

signo que f(a1) o f(b1). Si f(x1) y f(a1) tienen el

mismo signo, entonces, x pertenece al intervalo [x1, b1,] y tomamos a2 = x1 y b2 = b1. Si f (x1)

y f(b1) tienen el mismo signo, entonces, x pertenece al intervalo [a1, x1,] y tomamos a2 = a1 y

b2 = x1 . Luego repetimos este proceso al intervalo [a, b]. Esto produce el método descrito en

el algoritmo del método de Bisección siguiente:

Paso 1: Hacer a1 = a y b1 = b

Paso 2: Iniciar el proceso con i = 1

Paso 3: Calcular xi = (ai+bi) / 2

Paso 4: Si xi es una buena aproximación vaya al paso 10

Si xi no es una buena aproximación vaya al paso 5

Nota: Para calcular el error de la tolerancia permitido se utiliza < E. Una vez

obtenida la primera aproximación se utiliza cualquiera de los siguientes tipos de errores:

Error absoluto < E

< E con xi 0 Error relativo

1 ii xx

1 ii xx

xi

)(xif




Paso 5: si f(xi) f(ai)> 0 vaya al paso 6

Si f(xi) f(ai) < 0 vaya al paso 8

Paso 6: ai+1 = xi, bi+1 = bi

Paso 7: Hacer i = i+1 y vaya al paso 3

Paso 8: ai+1 = ai, bi+1 = xi

Paso 9: Hacer i = i+1 y vaya al paso 3

Paso 10 Termina el proceso

Ejemplo:

Usar el método de bisección, para aproximar la raíz de , en el intervalo

[1, 1.5] y con un error de tolerancia de 1%

Iteración ai bi xi=( ai+ bi)/2 F(xi) Error < t

Método de Newton Raphson

Este método, el cual es un método iterativo, es uno de los más usados y efectivos. A diferencia

del método anterior, el método de Newton-Raphson no trabaja sobre un intervalo sino que

basa su fórmula en un proceso iterativo.

Suponga que se tiene la aproximación xi a la raíz xr de f(x),

Se traza la recta tangente a la curva en el punto

(xi,f(xi)) ; ésta cruza al eje x en un punto xi+1 que

será la siguiente aproximación a la raíz xr .




Para calcular el punto xi+1, se calcula primero la ecuación de la recta tangente. Se sabe que la

pendiente es la primera derivada m = f`(xi)

Y por lo tanto la ecuación de la recta tangente es:

Hacemos y=0:

Y despejamos x:

Que es la fórmula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente aproximación:

, si

El método de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde asegure que se encuentra la

raíz, y de hecho no se tiene ninguna garantía de que se aproxime a dicha raíz. Desde luego,

existen ejemplos donde este método no converge a la raíz, en cuyo caso se dice que el método

diverge. Sin embargo, en los casos donde si converge a la raíz lo hace con una rapidez

impresionante, por lo cual es uno de los métodos preferidos por excelencia.

También se tiene, que en el caso de que , el método no se puede aplicar. Esto

significa, geométricamente, que la recta tangente es horizontal y por lo tanto no intersecta al

eje x en ningún punto, a menos que coincida con éste, en cuyo caso xi mismo es una raíz

de f(x).

El algoritmo del método de Newton Raphson se describe a continuación:

Paso 1: Hacer i = 1

Paso 2: Cálculo de las raíces aproximadas







obtenida la primera aproximación se utiliza cualquiera de los siguientes tipos de errores:

Error absoluto < E

Error relativo < E con 0

Paso 4: Haga i = i + 1 y vaya al paso 2

Paso 5 Termina el proceso

Ejemplo

Usar el método de Newton-Raphson, para aproximar la raíz de ,

comenzando con xo = 1 y hasta que .

Iteración de Punto Fijo

Este método se aplica para resolver ecuaciones de la forma

Si la ecuación es , entonces puede despejarse x ó bien sumar x en ambos lados

de la ecuación para ponerla en la forma adecuada.

Ejemplos:

1) La ecuación cos x- x = 0 puede transformar en cos x = x

2) La ecuación tan x – e-x

= 0 se puede trasformar en x + tan x – e-x

= x .

)(

)(

1

´

11

i

iii

xf

xfxx

)(xif

1 ii xx

1 ii xx

xi

xi




Dada la aproximación xi, la siguiente iteración se calcula con la fórmula:

Supongamos que la raíz verdadera es , es decir,

Restando las últimas ecuaciones obtenemos:

Por el Teorema del Valor Medio para derivadas, sabemos que si g (x) es continua en

intervalo cerrado a,b y diferenciable en intervalo abierto (a,b) entonces existe un

tal que .

En nuestro caso, existe en el intervalo determinado por xi y xr tal que:

De aquí tenemos que:

O bien,

Tomando valor absoluto en ambos lados,

Observe que el término es precisamente el error absoluto en la (i + 1) - ésima

iteración, mientras que el término corresponde al error absoluto en la i - ésima

iteración.

Por lo tanto, solamente si , entonces se disminuirá el error en la siguiente




iteración. En caso contrario, el error irá en aumento.

En resumen, el método de iteración del punto fijo converge a la raíz si para x en un

intervalo que contiene a la raíz y donde g(x) es continua y diferenciable, pero

diverge si en dicho intervalo.

Se analiza lo descrito con los siguientes ejemplos:

g(x) = cos x y claramente se cumple la condición de que

Por lo tanto el método sí converge a la raíz.

g(x) = x + tan x – e-x

y en este caso,

Por lo tanto, el método no converge a la raíz.

Para la aplicación de este método a fin de encontrar las raíces se sigue los siguientes pasos:

1. Deben dar la función a la cual le debemos encontrar la raíz

2. Deben dar un valor inicial xo.

3. Se despeja x de la función f(x) de manera que se encuentre una nueva función de x llamada

g(x).

4. Derivar la función g(x). En el caso de que el valor absoluto de la derivada de g(x) sea

menor a uno, se asegura que el despeje realizado funcione.

5. Se evalúa g(x) utilizando primero xo. El resultado de esta evaluación se convierte en el

nuevo valor de x y así se continúa hasta encontrar la raíz deseada desde luego, satisfaciendo

un error deseado.

El algoritmo del método de punto fijo se describe a continuación:

Paso 1: Despejar x de la función f(x) para obtener g(x)




Paso 2: Tome i =1

Paso 3: Hacer xi=g(xi-1).




obtenida la primera aproximación se utiliza cualquiera de los siguientes tipos de

errores:

Error relativo < E con

Paso 5: Tome i=i+1 y vaya al paso 3

Paso 6: Termina el proceso

Ejemplo

Usar el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz de ,

comenzando con y hasta que.

)(xig

1 ii xx

xi

xi




Método Lin-Bairstow

Raíces Complejas

Los métodos vistos hasta el momento permiten obtener las raíces reales de ecuaciones

algebraicas y trascendentales. Sin embargo, ninguno de ellos permite el cálculo de las raíces

complejas de los mismos. Esta sección está dedicada al estudio de dos métodos que permiten

obtener las raíces, tanto reales como complejas, de un polinomio.

Método de Lin

Este método en sí mismo no encuentra las raíces del polinomio, sino una expresión de la cual

pueden deducirse las raíces. La ventaja de este método es que a través de éste pueden

obtenerse todas las raíces del polinomio, ya sean reales o complejas.

El método de Lin consiste en factorizar una ecuación de grado n en un polinomio cuadrático

por un polinomio de grado n-2, de manera que se obtienen las raíces por parejas del factor

cuadrático, y se repite el procedimiento en tanto sea necesario.

Sea P(x) = 0 una ecuación algebraica de la forma

…(I)

Se Obtiene un factor cuadrático de la forma

Y se expresa nuevamente (I)

…(II)

donde y son los residuos del polinomio.

1 20 1 2 1( ) n n n

n nP x a x a x a x a x a

2x px q

2 2 3 40 1 2 3 2 1( ) ( )( )n n n

n n n nP x x px q b x b x b x b x b b x b

1nb x nb




Para determinar los coeficientes del polinomio reducido se efectúa la

multiplicación en (II)

…(III)

Ahora, igualar los coeficientes de las mismas potencias en (I) y (III)

Y despejando los coeficientes del polinomio reducido

De manera que los coeficientes del polinomio reducido están dados por

Y los residuos por

Para que x2 + px +q sea un factor del polinomio P(x) es necesario que bn-1 y bn sean iguales

a cero

…(IV)

Despejando a p y q de (2.8):

; 0,1,2, , 2ib i n

1 2 1 2 30 0 0 1 1 1

2 3 4 3 22 2 2 3 3 3

22 2 2 1

( ) n n n n n n

n n nn n n

n n n n n

P x b x pb x qb x b x pb x qb x

b x pb x qb x b x pb x qb x

b x pb x qb b x b

0 0

1 1 0

2 2 1 0

1 1 2 3

2

n n n n

n n n

a b

a b pb

a b pb qb

a b pb qb

a b qb

1 2 1 2; 0,1,2, , 2; 0k k k kb a pb qb k n b b

1 1 2 3

2

n n n n

n n n

b a pb qb

b a qb

1 2 3

2

0

0

n n n

n n

a pb qb

a qb

0 0

1 1 0

2 2 1 0

1 1 2 3

2

n n n n

n n n

b a

b a pb

b a pb qb

b a pb qb

b a qb




p q

…(V)

Si se conocen los valores de p y q podemos calcular los coeficientes

del polinomio reducido.

A partir de valores iniciales para p y q y mediante un proceso iterativo se determinan estos

valores con la precisión que se requiera. Para ello, se definen los incrementos y :

…(VI)

Donde p* y q* son las nuevas aproximaciones de p y q, respectivamente, y están dadas por

(V)

…(VII)

Sustituyendo (VII) en (VI)

O sea

Esto es

1 3

2

2

n n

n

n

n

a qbp

b

aq

b

; 0,1,2, , 2ib i n

* ; *p p p q q q

p q

1 3

2

2

n n

n

n

n

a qbp p

b

aq q

b

1 2 3 1

2 2

2

2 2

n n n n

n n

n n n

n n

a pb qb bp

b b

a qb bq

b b

1

2

2

*

*

n

n

n

n

bp p

b

bq q

b

1 3

2

2

*

*

n n

n

n

n

a qbp

b

aq

b




El método converge cuando bn-1 , bn , y tienden a cero, y para cualquiera de ellos se

puede fijar la tolerancia en el error.

Note que si bn-1 = 0 no es posible aplicar el método.

El algoritmo del método consiste en los siguientes pasos:

1. Hacer p=q=0.

2. Calcular los coeficientes del polinomio reducido

Y los residuos

3. Verificar que y calcular las nuevas aproximaciones de p y q

Si se concluye que no es posible aplicar el método para resolverle

polinomio en cuestión.

4. Sea T la tolerancia deseada (el margen de error permitido). Si <T

y <T se han encontrado aproximaciones a los valores de p y q con

un margen de error menor a T (fin del método). De lo contrario es

necesario hacer una nueva iteración comenzando en el paso 2 haciendo p=p* y q=q*.

Ejemplo.

Obtén una aproximación a las raíces del siguiente polinomio aplicando el método de Lin

considerando una tolerancia de 0.01 en los valores de p y q y redondeo a tres cifras

significativas:

1 2 1 2; 0,1,2, , 2; 0k k k kb a pb qb k n b b

1 1 2 3

2

n n n n

n n n

b a pb qb

b a qb

2 0nb

2 0nb

1

2

2

*

*

n

n

n

n

bp p

b

bq q

b

*p p

*q q




Solución.

Tenemos que

Sean p=q=0 los valores iniciales.

Los coeficientes del polinomio reducido están dados por

los residuos, por

Como , puede aplicarse el método y las nuevas aproximaciones son

Se tiene entonces que =0.5 y que =0.667 y es necesario que ambos

valores sean menores a 0.01, por lo que es necesario hacer una

nueva iteración.

Los resultados de cada iteración se resumen en la siguiente tabla:

i bo b1 b2 b3 b4 p* q* *p p

*q q

0 1 -1 6 -3 4 -0.5 0.667 0.5 0.667

1 1 -0.5 5.08 -0.127 0.612 -0.525 0.787 0.025 0.12

2 1 -0.475 4.96 -0.0222 0.0965 -0.529 0.806 0.004 0.019

3 1 -0.471 4.94 -0.00711 0.0184 -0.530 0.810 0.001 0.004

4 3 26 3 4 0x x x x

0 1 2 3 41, 1, 6, 3, 4; 4a a a a a n

0 0

1 1 0

2 2 1 0

1

( 1) (0)(1) 1

(6) (0)( 1) (0)(1) 6

b a

b a pb

b a pb qb

3 3 2 1

4 4 2

( 3) (0)(6) (0)( 1) 3

(4) (0)( 6) 4

b a pb qb

b a qb

2 2 0nb b

3

2

4

2

* 0.5

* 0.667

bp p

b

bq q

b

*p p *q q




El polinomio puede expresarse entonces como

Como se alcanzó la tolerancia deseada, el residuo se puede despreciar, y se tiene

De donde puede concluirse que las raíces del polinomio son

Método de Bairstow

Este método depende de dividir el polinomio entre un factor cuadrático. Sea P(x)=0, el

polinomio general de grado n de la forma

El factor cuadrático es

Se tiene que

Al igual que en el método de Lin, se concluir que

y los coeficientes del polinomio reducido están dados por

4 3 2( ) 6 3 4 0P x x x x x

00184.000711.0)0184.04741.0)(810.0530.0()( 22 xxxxxP

)0184.04741.0)(810.0530.0()( 22 xxxxP

1 2 3 40.265 0.86, 0.265 0.86, 0.236 2.21, 0.236 2.21x i x i x i x i

1 20 1 2 1( ) n n n

n nP x a x a x a x a x a

2x px q

2 2 3 40 1 2 3 2 1( ) ( )( )n n n

n n n nP x x px q b x b x b x b x b b x b

0 0

1 1 0

2 2 1 0

1 1 2 3

2

n n n n

n n n

b a

b a pb

b a pb qb

b a pb qb

b a qb

1 2 1 2; 0,1,2, , 2; 0k k k kb a pb qb k n b b




q

y los residuos por

Bairstow estudió la posibilidad de encontrar aproximaciones de los residuos 1nb y nb a través

de una serie de Taylor para las variables independientes y

Igualando a cero tenemos

De esta forma, pueden calcularse los valores de y al resolver el sistema de

ecuaciones lineales y, consecuentemente, obtener los valores de las nuevas

aproximaciones

El algoritmo del método consiste en los siguientes pasos:

1. Hacer p=q=0.

2. Calcular los coeficientes del polinomio reducido

1 1 2 3

2

n n n n

n n n

b a pb qb

b a qb

1 11 1( *, *)

( *, *)

n nn n

n nn n

b bb p q b p q

p q

b bb p q b p q

p q

1 11

n nn

b bp q b

p q

n nn

b bp q b

p q

*p p p *q q q

*p p p *q q q

p

1 2 1 2; 0,1,2, , 2; 0k k k kb a pb qb k n b b




Y los residuos

3. Calcular las derivadas parciales de los residuos y :

4. Resolver el sistema

5. Obtener los valores de las nuevas aproximaciones

6. Sea T la tolerancia deseada (el margen de error permitido). Si

<T y <T se han encontrado aproximaciones a los valores de p y q

con un margen de error menor a T (fin del método). De lo contrario es necesario hacer

una nueva iteración comenzando en el paso 2 haciendo p=p* y q=q*.

Ejemplo.

Obtén una aproximación a las raíces del siguiente polinomio aplicando el método de Bairstow

considerando una tolerancia de 0.01 en los valores de p y q y redondeo a tres cifras

significativas:

Solución.

Tenemos que

Sean p=q=0 los valores iniciales.

Los coeficientes del polinomio reducido están dados por

4 3 26 3 4 0x x x x

0 1 2 3 41, 1, 6, 3, 4; 4a a a a a n

1 1 2 3

2

n n n n

n n n

b a pb qb

b a qb

1nb nb

1 1, , ,n n n nb b b b

p q p q

1 11

n nn

b bp q b

p q

n nn

b bp q b

p q

*p p p *q q q

*p p

*q q




* 0.667q q q

* 0.389p p p

0.389p 0.667q

los residuos, por

y las derivadas parciales, por

Resolviendo el sistema

Se tiene que y .

Entonces

y

Se observa que =0.389 y que =0.667 y es necesario que ambos

valores sean menores a 0.01, por lo que es necesario hacer una

nueva iteración.

0 0

1 1 0

2 2 1 0

1

( 1) (0)(1) 1

(6) (0)( 1) (0)(1) 6

b a

b a pb

b a pb qb

3 3 2 1

4 4 2

( 3) (0)(6) (0)( 1) 3

(4) (0)( 6) 4

b a pb qb

b a qb

3 32 1

4 42

6.00; 1.00

0.00; 6.00

b bb b

p q

b bb

p q

*q q*p p

6.00 1.00 3.00

0.00 6.00 4.00

p q

p q




4 3 2( ) 6 3 4 0P x x x x x

Los resultados de cada iteración se resumen en la siguiente tabla:

i bo b1 b2 b3 b4 p* q* *p p

*q q

0 1 -1 6 -3 4 -0.389 0.667 0.389 0.667

1 1 -0.611 5.10 -0.609 0.598 -0.368 0.784 0.021 0.117

2 1 -0.632 4.98 -0.672 0.0957 -0.501 0.765 0.133 0.019

3 1 -0.499 4.99 -0.118 0.183 -0.521 0.802 0.02 0.037

4 1 -0.479 4.95 -0.0369 0.0301 -0.528 0.808 0.007 0.006

El polinomio puede expresarse entonces como

Como se alcanzó la tolerancia deseada, se asume que el residuo se puede despreciar, y se tiene

que

De donde puede concluirse que las raíces del polinomio son

1 2 3 40.264 0.86, 0.264 0.86, 0.240 2.21, 0.240 2.21x i x i x i x i

0)95.4479.0)(808.0528.0()( 22 xxxxxP

00301.00369.0)95.4479.0)(808.0528.0()( 22 xxxxxxP




UNIDAD III

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Y NO LINEALES

Sistema de ecuaciones es el conjunto de ecuaciones para las cuales se buscan soluciones

comunes, que es el valor de las incógnitas que satisfaga a la vez a todas las ecuaciones de los

sistemas.

En una primera clasificación se puede distinguir entre sistemas de ecuaciones lineales y

sistemas de ecuaciones no lineales. En un sistema de ecuaciones lineales, pueden

representarse usando matrices en la forma Ax = b y, en este caso, disponemos de métodos

exactos (regla de Cramer, método de Gauss) que, en principio, permitirían resolver el sistema

despejando las incógnitas. Sin embargo, la resolución numérica de un buen número de

problemas prácticos (difusión de calor, deformación de materiales, etc) conduce a sistemas de

ecuaciones lineales donde el número de ecuaciones e incógnitas puede ser de varios miles,

incluso millones. En estos casos, donde los métodos tradicionales resultan inoperantes,

podemos intentar aproximar la solución mediante un método iterativo.

En un sistema de ecuaciones no lineales, alguna ecuación es no lineal. La resolución exacta de

un sistema no lineal puede ser imposible incluso para sistemas con solo dos ecuaciones con

dos incógnitas. No obstante, en algunos casos podemos construir un método iterativo que

aproxime una solución a partir de una estimación inicial.

Dentro de la resolución de sistema de ecuaciones lineales existen los métodos de sustitución,

eliminación, reducción, determinantes, gráficos. En esta unidad se aborta el método

eliminación Gaussiana, método gauss-Seidel.




Método de eliminación de Gauss

Este método se aplica para resolver sistemas lineales de la forma:

El método de eliminación Gaussiana (simple), consiste en escalonar la matriz aumentada del

sistema:

para obtener un sistema equivalente :

donde la notación a`ij se usa simplemente para denotar que el elemento aij cambió. Se

despejan las incógnitas comenzando con la última ecuación y hacia arriba. Por esta razón,

muchas veces se dice que el método de eliminación Gaussiana consiste en la eliminación

hacia adelante y sustitución hacia atrás.

Ejemplo:

1. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

usando el método de eliminación Gaussiana (simple).

Solución. Escalonamos la matriz aumentada del sistema:

Multiplicando por (-4) fila 1 restando a la fila 2

Multiplicando `por (-7) fila 1 restando a la fila 3




Se tiene

Y dividiendo el segundo renglón entre –3 , tenemos la matriz equivalente:

Por lo tanto, el sistema equivale a:

De la última ecuación se tiene; sustituir este valor en la ecuación de arriba para obtener x2 = -

18 ; sustituir estos valores en la ecuación de arriba para obtener x1 = 7 .

Por lo tanto, la solución del sistema es:

Ahora bien, si el problema puede presentar elemento muy cercano a cero.

Ejemplo: Resolver el siguiente sistema, usando eliminación Gaussiana (simple)

Solución. Usando eliminación Gaussiana (simple) se obtiene:




3

22 x

dando el sistema equivalente:

De donde, ; sustituyendo arriba y se obtiene:

El resultado cambia drásticamente de acuerdo al número de cifras significativas que se usen.

Se resume los resultados en la siguiente tabla:

#

Cifras

Significativas

x2 x1

(*)

Error relativo

porcentual

3 0.667 -33 10,000 %

4 0.6667 -3 1,000 %

5 0.66667 0 100 %

6 0.666667 .3 10 %

7 0.6666667 0.33 1 %

Ahora se resuelve el mismo sistema pero intercambiando los renglones 1 y 2

Lo cual da el sistema equivalente:




De donde se obtiene ; sustituyendo arriba da:

Nuevamente se toma distintas cifras significativas, los resultados se resume en la siguiente

tabla:

#

Cifras

Significativas

x2

x1

(*)

Error Relativo

Porcentual

3 0.667 0.333 0.1 %

4 0.6667 0.3333 0.01 %

5 0.66667 0.33333 0.001 %

6 0.666667 0.333333 0.0001 %

7 0.6666667 0.3333333 0.00001 %

En este último caso, el error relativo porcentual no varía drásticamente como en la solución

anterior.

Así, que los elementos que son cercanos a cero, son elementos malos para hacer ceros. En

general, para evitar este problema se elige como elemento para hacer ceros (el cual recibe el

nombre de elemento pivotal o simplemente pivote) como el elemento mayor en valor

absoluto de entre todos los candidatos.

A este procedimiento se le llama pivoteo parcial y aplicado a la eliminación Gaussiana, da el

llamado método de eliminación Gaussiana con pivoteo (parcial).

3

22 x




Podemos resumir el pivoteo (parcial) como sigue:

Para elegir el elemento pivote en la primer columna se escoge el elemento mayor (con

valor absoluto) de toda la primera columna.

Para elegir el elemento pivote en la segunda columna, se escoge el elemento mayor (con

valor absoluto) de toda la segunda columna exceptuando el elemento a12.

Para la tercera columna se exceptúan los elementos a13 y a23, etc.

En un diagrama matricial, tenemos que los elementos pivotes de cada columna se escogen

de entre los siguientes:

Ejemplo 1:

Usar eliminación Gaussiana con pivoteo para resolver el siguiente sistema:

Solución. la matriz aumentada del sistema:




2

1

2

2.0

Para escoger el primer elemento pivote en la columna 1, se toma el elemento mayor con valor

absoluto entre -1 , -2 y -0.2 , el cual obviamente es el -2 ; por lo tanto se intercambia el

renglón 1 y 2 (éste es el primer pivoteo realizado):

Y se procede a hacer ceros debajo del pivote. Para ello, se multiplica el renglón 1 por

y se suma al renglón 2. También, multiplica el renglón 1 por y se suma al

renglón 3. Esto da la matriz:

Se procede a escoger el pivote de la columna 2, pero únicamente entre 0.5 y 1.25, el cual

obviamente resulta ser 1.25. Por lo tanto se intercambia los renglones 2 y 3 (éste es el

segundo pivoteo realizado):

Y procede a hacer ceros debajo del elemento pivote. Para ello multiplica el renglón 2 por

y se suma al renglón 3 para obtener:

La cual es una matriz escalonada. El sistema equivalente es:

25.1

05.




Y con la sustitución hacia arriba, obtenemos la solución del sistema:

Método de Gauss-Seidel

El método de eliminación para resolver ecuaciones simultáneas suministra soluciones

suficientemente precisas hasta para 15 o 20 ecuaciones. El número exacto depende de las

ecuaciones de que se trate, del número de dígitos que se conservan en el resultado de las

operaciones aritméticas, y del procedimiento de redondeo. Utilizando ecuaciones de error, el

número de ecuaciones que se pueden manejar se puede incrementar considerablemente a más

de 15 o 20, pero este método también es impráctico cuando se presentan, por ejemplo, cientos

de ecuaciones que se deben resolver simultáneamente.

Sin embargo, existen varias técnicas que se pueden utilizar, para resolver grandes números de

ecuaciones simultáneas. Una de las técnicas más útiles es el método de Gauss-Seidel. Este

método tiene la desventaja de que no siempre converge a una solución o de que a veces

converge muy lentamente. Sin embargo, convergirá siempre a una solución cuando la

magnitud del coeficiente de una incógnita diferente en cada ecuación del conjunto, sea

suficientemente dominante con respecto a las magnitudes de los otros coeficientes de esa

ecuación.

Es difícil definir el margen mínimo por el que ese coeficiente debe dominar a los otros para

asegurar la convergencia y es aún más difícil predecir la velocidad de la convergencia para

alguna combinación de valores de los coeficientes cuando esa convergencia existe. No

obstante, cuando el valor absoluto del coeficiente dominante para una incógnita diferente para

cada ecuación es mayor que la suma de los valores absolutos de los otros coeficientes de esa




ecuación, la convergencia está asegurada. Ese conjunto de ecuaciones simultáneas lineales se

conoce como sistema diagonal.

Un sistema diagonal es condición suficiente para asegurar la convergencia pero no es

condición necesaria. Afortunadamente, las ecuaciones simultáneas lineales que se derivan de

muchos problemas de ingeniería, son del tipo en el cual existen siempre coeficientes

dominantes.

La secuencia de pasos que constituyen el método de Gauss-Seidel es la siguiente:

1. Asignar un valor inicial a cada incógnita que aparezca en el conjunto. Si es posible

hacer una hipótesis razonable de éstos valores, hacerla. Si no, se pueden asignar

valores seleccionados arbitrariamente. Los valores iniciales utilizados no afectarán la

convergencia como tal, pero afectarán el número de iteraciones requeridas para dicha

convergencia.

2. Partiendo de la primera ecuación, determinar un nuevo valor para la incógnita que

tiene el coeficiente más grande en esa ecuación, utilizando para las otras incógnitas los

valores supuestos.

3. Pasar a la segunda ecuación y determinar en ella el valor de la incógnita que tiene el

coeficiente más grande en esa ecuación, utilizando el valor calculado para la incógnita

del paso 2 y los valores supuestos para las incógnitas restantes.

4. Continuar con las ecuaciones restantes, determinando siempre el valor calculado de la

incógnita que tiene el coeficiente más grande en cada ecuación particular, y utilizando

siempre los últimos valores calculados para las otras incógnitas de la ecuación.

(Durante la primera iteración, se deben utilizar los valores supuestos para las

incógnitas hasta que se obtenga un valor calculado). Cuando la ecuación final ha sido

resuelta, proporcionando un valor para la única incógnita, se dice que se ha

completado una iteración.




5. Continuar iterando hasta que el valor de cada incógnita, determinado en una iteración

particular, difiera del valor obtenido en la iteración previa, en una cantidad menor que

cierto error seleccionado arbitrariamente. El procedimiento queda entonces completo.

Ejemplo

Resolver el siguiente sistema de ecuación por el método Gauss-Seidel utilizando un error =

0.001.

0.1 x1 + 7.0 x2 - 0.3 x3 = -19.30

3.0 x1 - 0.1 x2 - 0.2 x3 = 7.85

0.3 x1 - 0.2 x2 - 10.0 x3 = 71.40

Solución:

Primero ordenar las ecuaciones, de modo que en la diagonal principal esten los coeficientes

mayores para asegurar la convergencia.

3.0 x1 - 0.1 x2 - 0.2 x3 = 7.85

0.1 x1 + 7.0 x2 - 0.3 x3 = -19.30

0.3 x1 - 0.2 x2 - 10.0 x3 = 71.40

Despejar cada una de las variables sobre la diagonal:

Suponer los valores iniciales x2 = 0 y x3 = 0 y calcular x1

Este valor junto con el de x3 se puede utilizar para obtener x2

La primera iteración se completa sustituyendo los valores de x1 y x2 calculados obteniendo:




En la segunda iteración, se repite el mismo procedimiento:

Comparando los valores calculados entre la primera y la segunda iteración, se tiene el error

absoluto de cada variable:

Como se observar, no cumple la condición

para i = 1, 2, 3

Se toma los valores calculados en la última iteración como supuestos para la siguiente

iteración. Se repite el proceso:

Comparar de nuevo los valores obtenidos (calculo error absoluto)

errorxx ii 01




Como se observa todavía no se cumple la condición

para i = 1, 2, 3

Así que se hace otra iteración

Comparando los valores obtenidos

Dado que se cumple la condición, el resultado es:

x1 = 3.0

x2 = -2.5

x3 = 7.0

Como se puede comprobar no se tiene un número exacto de iteraciones para encontrar una

solución. En este ejemplo, se hicieron 3 iteraciones, pero a menudo se necesitan más

iteraciones.

errorxx ii 12

40034340 guia i calculo numerico

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