OrigendelosErroresenlosClculos

Error de Truncacin Es la diferencia entre el valor verdadero y el valor

producido por un mtodo numrico o algoritmo usando aritmtica exacta

Es un error inherente al mtodo, debido a la aproximacin introducida por ste

Ejemplo:

ex=1 x x2

2

x3

3 !

k=4

xk

k !

ErrordeTruncacin Ejemplo: e0.5 =1.6487213 en la calculadora Si tomamos diferente nmero de trminos de la

serie infinita, obtenemos

ex1 e0.51ex1x e0.51.5

e x1x x2

2e0.51.625

e x1x x2

2 x

3

3 !e0.51.64583333

ErrordeTruncacin

Ya vimos en varios mtodos numricos el error de truncacin del mtodo

Ejemplo: diferenciacin numrica

f ' x = f xh f xh2h

h2

6f ' ' '

OrigendelosErroresenlosClculos

Errores de Redondeo Es la diferencia entre el resultado obtenido por un

algoritmo empleando aritmtica exacta y el resultado producido por el mismo algoritmo usando precisin aritmtica limitada

Se debe a la capacidad finita de las computadoras para representar a los nmeros reales

Generalmente se emplea como representacin de los reales el conjunto de nmeros en punto flotante

nmeros complejos

nmero reales 2

racionales pq

punto flotanteMbe

ERROR de REDONDEO!!

Origen del Error de Redondeo en Computacin: precisin finita de las computadoras

Representacindenmerosenpuntoflotante

Un nmero en representacin de punto flotante se escribe (o almacena)de la siguiente manera:

d.dddde

mantisasigno base

exponente

Esto representa al nmero:

d 0d11d p1

p1 e con 0d iEjemplo: -100.5 en base 10 se escribe -1.005 x 102Por lo que uno slo debera almacenar la mantisa -1005 y el exponente 2

Qu queremos decir con BASE?

Base natural: 10

1045=5x100+4x101+0x102+1x103

Cualquier nmero natural puede ser usado como base

Otras bases empleadas:

Base 8: Octal

Base 16: Hexadecimal

Base 2: Binario

7038=3x80+0x81+7x82=45110

13916=9x160+3x161+1x162=31310

1012=1x20+0x21+1x22=510

Basedelsistemanumrico Para representar un nmero en una Base

determinada, requiero disponer de smbolos o dgitos

Base 10, uso 10 dgitos: 0-9 Base 2, uso 2 dgitos: 0 y 1 Base 8, uso 8 dgitos: 0-7 Base 16, uso 16 dgitos: 0-9, A-F

Ejemplo: A02F16=4100710 Las computadoras usan internamente el formato

binario, o sea Base 2

Representacinbinariadenmerosenpuntoflotantesimpleprecisin

Se emplea en standard de IEEE 754 Nmeros reales representados con 4 bytes 1 bit para el signo 8 bits para el exponente (con bias 127) 23 bits para la mantisa (1 bit oculto, normalizado) Mayor nmero real representable: 2127 1038

Menor nmero real representable: 2-126 10-38

Slo hay posibilidad de representar 232 nmeros, o sea aproximadamente 109 nmeros

Con 24 bits la precisin es de 7 dgitos (224 107)

Conjuntodenmerosenpuntoflotante

Caractersticas:- conjunto finito, acotado superior e inferiormente- presenta regiones de Overflow y Underflow- los elementos del conjunto no estn uniformemente distribuidos- la precisin depende del nmero de bits de la mantisa - el rango depende de la base y el exponente

ParmetrosparaelstandardIEEE754

Ejercicio: calcular el rango y el nmero aproximado de dgitos significativospara el formato doble precisin

Ejercicio:calcularelconjuntoderealesenpuntoflotante

Asuma que dispone de 8 bits 1 bit para el signo 4 bits para el exponente (bias 7) 4 bits para la mantisa (1 bit oculto) Proponga una estrategia para representar el resto

de los reales

Erroresderedondeoenlosclculos

Suma: Alinear las mantisas hasta que los exponentes

coincidan Sumar las mantisas Despreciar los bits que sobran (truncar o redondear)

Multiplicacin: Sumar los exponentes Multiplicar las mantisas Despreciar los bits que sobran en la mantisa

Ejemplosimple

Para exagerar el error de redondeo vamos a usar slo 2 dgitos de mantisa

1.0 como nmero flotante es 1.0x100

0.01 como nmero flotante es 1.0x10-2

Qu pasa cuando sumamos estos nmeros? El rden en que realizamos la suma puede

afectar el resultado?

1.0k=1

100

0.01

Cancelacincatastrfica

Si dos nmeros son muy similares, es posible que su resta d como resultado cero (ejemplo: diferenciacin numrica)

Divisin N/D da error de redondeo muy grande si N>>D

CancelacinCatastrfica

! 0.1 0.953101798043 !! 0.01 0.995033085317 !! 0.001 0.999500333083 !! 0.0001 0.999950003333 !! 0.00001 0.999995000040 !! 0.000001 0.999999499918 !! 0.0000001 0.999999950584 !! 0.00000001 0.999999988923 !! 0.000000001 1.00000008224 !! 0.0000000001 1.00000008269 !! 1.00000000E-11 1.000000082735 !! 1.00000000E-12 1.000088900582 !! 1.00000000E-13 0.999200722163 !! 1.00000000E-14 0.999200722163 !! 1.00000000E-15 1.110223024625 !! 1.00000000E-16 0. !

D x= f xh f x h

ExactituddeMquina La exactitud de una operacin en punto flotante

se caracteriza por el psilon de la mquina (unit round-off)

Este valor es el nmero decimal ms pequeo que cumple fl(1+ eps)>1

Si r 1

El error relativo mximo cometido al representar un nmero x en el rango de nmeros de punto flotante es:

fl x x

xeps

ErrorAbsolutoyErrorRelativo Error Absoluto: suma de Errores de Truncacin +

Errores de Redondeo Tambin se lo conoce con el nombre de Error de

Cmputo Error Relativo: Error Absoluto dividido el valor

calculado El Error Relativo suele multiplicarse por 100 y

espresarse como % del valor calculado Por lo general el Error Absoluto slo puede

estimarse o acotarse, por lo tanto el Error Relativo tambin

Errorhaciaadelanteyhaciaatrs Supongamos que queremos calcular y=f(x) Debido al error de cmputo obtenemos

Eadelante= y=y yEatrs= x=x x

y=f x x= f 1 y

Errorhaciaadelanteyhaciaatrs Ejemplo: calculo el cos(1)

cos x =n=0

1n x2n

2n !=1 x

2

2x

4

4 !...

y=f 1=cos 10.5403

y=f 1cos 1=112

2=0.5

x=arccos y =arccos0.5 1.0472

Eadelante= y=y y0.50.5403=0.0403Eatrs= x=x x1.04721=0.0472

SensibilidadyCondicionamiento

Se dice que un problema est bien condicionado (es insensible) si un pequeo cambio en los datos de entrada produce un pequeo cambio en la solucin

Un problema est mal condicionado (es sensible) si un pequeo cambio en los datos de entrada causa un cambio grande en la solucin

SensibilidadyCondicionamiento Nmero de Condicin

cond= cambiorelativo en la solucincambiorelativo endatos deentrada

= f xf x / f x

xx / x= y / y x /x

Si cond >>1 entonces estamos ante un problema mal condicionado o sensible

El nmero de condicin es un factor de amplificacin que relacionael error relativo hacia adelante con el error relativo hacia atrs

Es difcil de calcular exactamente, por lo que se lo suele estimar o acotar

SensibilidadyCondicionamiento Estimacin del nmero de condicin de una

funcin f(x) para un valor perturbado de x

cond=f xf x / f x xx / x

= f xhf x / f x

h/ x

f xhf x h f ' x

condh f ' x / f x h/ x =

x f ' x f x

SensibilidadyCondicionamiento Ejemplo de Sensibilidad:

el clculo del valor tan(x) cerca de /2

tan(1.57078) 6.58058x104

tan(1.57079) 1.58058x105

Para x 1.57079 cond 2.48275x105

SensibilidadyCondicionamiento Probar en Scilab

A=[93.47710.20228.8321.96332.81662.41426.82136.81657.234]

b=[34.717770.924182.9271]

c=[34.770.982.9]

Resolver y comparar:

Ax=b

Ax=c

Algoritmo

Ab Abdallh Mu ammad ibn Ms al-Khwrizm: Matemtico, gegrafo y astrnomo persa Vivi entre el 780 y 850 de nuestra era

Algoritmo: es el procedimiento, paso a paso, empleado en un clculo

Para una funcin f(x) dada, pueden existir mltiples algoritmos que se pueden emplear para su cmputo

Estabilidad

Un algoritmo es estable si el resultado producido es relativamente insensible a perturbaciones durante el cmputo

Estabilidad del algoritmo es anlogo a el condicionamiento del problema

Desde el punto de vista de anlisis de error hacia atrs, un algoritmo es estable si el resultado producido es la solucin exacta de un problema cercano

Exactitud Exactitud: grado de cercana de la solucin

calculada a la solucin real del problema La exactitud depende de la estabilidad del

algoritmo y de la condicin del problema Se obtienen resultados exactos cuando se aplican

algoritmos estables a problemas bien condicionados.

Se pueden obtener resultados inexactos cuando Se aplica un algoritmo estable a un problema mal

condicionado Se aplica un algoritmo inestable a un problema

bien condicionado

ProblemasBienDefinidos Se dice que un problema est bien definido si

Existe solucin La solucin es nica La solucin depende en forma continua de los

datos Un problema puede estar bien definido y an as

ser sensible a perturbaciones Un algoritmo puede simplificar el problema sin

empeorar su sensibilidad Infinito Finito No lineal Lineal Complejo Simple

Resumen

Problemas bien definidos Errores de cmputo

Error de truncacin Error de redondeo

Sensibilidad (condicionamiento) del problema Nmero de condicin

Estabilidad del algoritmo

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