calculo numerico de modos y frecuencias de vibrar

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  • 5/22/2018 Calculo Numerico de Modos y Frecuencias de Vibrar

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    FACULTAD DE INGENIERA,

    ARQUITECTURA Y URBANISMO

    ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERA

    CIVIL

    MTODOS NMERICOS PARA EL ANLISIS MODAL

    CURSO :

    INGENIERA ANTISSMICA

    DOCENTE :

    INGSERRANO ZELADA OVIDIO

    ESTUDIANTES:

    ARTEAGA RAMIREZ JUAN LUISGONZALES VASQUEZ JUAN WILLAM DILMERROJAS QUISPE LUIS FERNANDOTORRES PINCHI JANYVASQUEZ ALARCON DEYNIS HANZ

    CICLO :

    VIII

    PIMENTEL, 12 DE NOVIEMBRE DE 2013

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    INGENIERIA ANTISISMICAIng. Serrano Zelada Ovidio Pgina 1

    CALCULO NUMERICO DE MODOS Y FRECUENCIAS DE VIBRAR

    El procedimiento seguido en la seccin precedente para obtener modos y periodos de vibrar es

    laborioso e imprctico en sistemas de ms grados de libertad. Por ello se han desarrollado

    mtodos numricos de aproximaciones sucesivas, dos de los cuales se presentan a

    continuacin. Estos dos mtodos son apropiados para emplearse como una calculadora de

    escritorio o una hoja electrnica de trabajo.

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    Figura 3.7

    1. METODO DE NEWMARK

    Este mtodo, propuesto por su autor en 1943 est basado en procesos de iteracin Stodola

    Vianello (Rosenblueth y Esteva, 1962).

    En la forma en que a continuacin se describe, el mtodo es aplicable al clculo del modo

    fundamental de vibracin de las estructuras llamadas sencillas o cercanamente acopladas.

    En estas estructuras la masa de los pisos intermedios est ligada solo a la de los pisos

    superior e inferior mediante resortes que representan las rigideces de entre pisos

    correspondientes (la figura 3.7 muestra una estructura de este tipo). En su forma ms

    general el mtodo se puede aplicar a cualquier estructura lineal con acoplamiento entre

    diferentes masas (Newmark y Rosenblueth, 1971).

    Los pasos en que consiste el mtodo se han aplicado en la tabla 3.2 a la estructura de lafigura 3.7 y son las siguientes:

    a) Supngase una forma X para el modo. Este es la que aparece en el rengln 1 de latabla. Para comenzar, es usualmente apropiado suponer valores iguales al

    nmero de orden del piso (de abajo hacia arriba)

    b) Obtngase la fuerza de inercia en cada masa correspondiente a la configuracinsupuesta. Estas fuerzas seran MX; como se desconoce el , se calculan losproductos MX= F/, que forman el segundo rengln de la tabla.

    c) A partir de las fuerzas de inercia calclense las fuerzas cortantes en los entrepisos,tambin divididas entre ; esto es, se calcula la V/, como se anota en eltercer rengln de la tabla.

    d) Dividiendo las fuerzas cortantes entre rigideces de entrepiso, obtngase lasdeformaciones de entrepiso tambin divididas entre. Esto se presenta en elrengln cuarto de la tabla como .

    e) Acumulando deformaciones de entrepiso determnese una nueva configuracinde los desplazamientos de las masas (quinto rengln de la tabla).

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    f) Obtngase para cada masa, como los cocientes ); as se llega alsexto rengln de la tabla. Si la configuracin X supuesta es la correcta resultar el

    mismo valor para todas las masas; en caso contrario, es necesario repetir todos

    los pasos empezando con una forma de modo proporcional a

    hasta que se

    obtengan valores de parecidas a todas las masas. As se obtenga unaconvergencia en general bastante rpida.

    La tabla 3.2 influye tres integraciones, que llevaron a una aproximacin suficiente.}

    Los valores de X en cada integracin se normalizaron de manera que la masa del primer

    piso tuviese un desplazamiento unitario, lo cual permite apreciar cmo se va modificando

    de una integracin a otra la forma del modo. Para calcular la frecuencia se pueden

    promediar los valores del ltimo ciclo o, mejor an, determinarla con el cociente de

    Schwartz (que es una forma del cociente de Rayleigh), como sigue:

    Se emplean los valores de y del ltimo ciclo.

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    En el ejemplo estudiado ambos criterios conducen ha y la forma delmodo es (1.000 con 1.752, 2.543).

    2. METODO DE HOLZERPara calcular modos superiores al primero, podemos emplear el procedimiento debido a

    HOLZER (Crandall y Strang, 1957). Este mtodo es solamente aplicable a estructuras

    sencillamente acopladas. Los pasos a dar son:

    a) Supngase arbitrariamente un valor de mayor que el del modo fundamental,previamente obtenido por cualquier mtodo.

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    b) Supngase la amplitud del movimiento en la primera masa a partir del apoyo.Conviene suponer un valor unitario esta amplitud supuesta es tambin igual al

    desplazamiento del primer entre piso.

    c) Calclense la fuerza cortante en el primer resorte, donde es larigidez de entre piso, y la fuerza de inercia en la primera masa,

    d) Por equilibrio determnese la fuerza cortante en el segundo resorte

    e) Obtngase la deformacin de este ltimo, f) Calclese la amplitud del desplazamiento de la segunda masa, , y

    la fuerza de inercia en la misma,

    g) Reptanse los pasos (d) a (f) con el tercer resorte y la tercera masa.h) Continese el proceso hasta llegar a la ltima masa. Si se satisface el equilibrio

    entre la fuerza cortante del ltimo resorte y la fuerza de inercia de la masa

    aludida, la frecuencia escogida y las amplitudes calculadas corresponden a un

    modo natural de vibracin. Por lo general, tales fuerzas no son iguales y su

    diferencia constituye un residuo.

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    Representando en una grfica los residuos contra los distintos valores de supuestos, seobtendr una curva cuyos ceros corresponden a las frecuencias naturales. Un cambio de

    signo correspondientes a dos valores de indica que hay una frecuencia comprendida enese intervalo de valores y podemos interpolar, por ejemplo linealmente, para lograr una

    mejor aproximacin a la frecuencia buscada.

    Cuando se est probando un valor de X suficientemente prximo al correspondiente a un

    modo de vibrar (cuando el residuo es pequeo), se encuentra que una aproximacin ms

    precisa de dicha frecuencia es (Crandall y Strang, 1957).

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    La tabla 3.3 resume los clculos hechos para el segundo modo del edificio de la figura 3.7.

    Las operaciones se han hecho con mayor precisin en el ltimo ciclo, y los resultados

    finales, , y forma modal (1.000, 0.851, -1.964).

    La grafica de los residuos versus se muestra en la figura 3.9, la cual incluye tambinpuntos correspondientes a la frecuencia del tercer modo de vibrar.

    Figura 3.9 Mtodo de HOLZER.

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    3. METODO DE STODOLA

    Un procedimiento muy usual para el clculo manual de los modos y frecuencias en sistemas

    chicos, es el Stodola Vianello. Tambin se pueden elaborar programas de computadora

    para usarlo en sistemas grandes.

    El procedimiento a seguir en este mtodo es el siguiente:

    Considrese el sistema de ecuaciones, en el cual se hacen las transformaciones se siguen:

    {}

    {} []{}

    {} []{}

    []= Matriz de flexibilidades.

    Por iteraciones en (2) pueden obtenerse simultneamente los valores caractersticas de y

    los correspondientes valores de , desarrollando el siguiente procedimiento.

    1. Supngase arbitrariamente un conjunto de valores para las , sustityanse estosvalores en el sistema descrito y calclese en cada ecuacin el valor de Si la formasupuesta es correcta, los valores de as calculados sern iguales ente s.

    2. Si lo anterior no sucede, es necesario hacer ciclos sucesivos utilizando en cada uno deellos, como datos iniciales, la forma del modo obtenida en el ciclo anterior. En cada

    ciclo se obtendr una nueva aproximacin a la forma de los modos. Esto se logra

    calculando los valores del segundo miembro de la ecuacin (2) y dividiendo entre un

    mismo valor arbitrario en todas las ecuaciones.

    En la ecuacin (2), el producto matricial []contiene las propiedades dinmicas dela estructura, por lo que este producto es llamado matriz dinmica de la estructura.

    []

    {

    } {}

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    3. Con la nueva aproximacin a la forma del modo obtngase el valor de en cadaecuacin. El proceso se repite hasta lograr la igualdad entre los valores de determinados en cada una de las ecuaciones. Es comn no calcular el valor de

    en

    cada iteracin, sino que para cada una de ellas, la forma supuesta en la iteracin

    anterior se compara con la obtenida en esta para lo cual es necesario estar

    normalizando en cada paso con respecto a una sola amplitud, normalmente la

    primera. En el ejemplo de la ilustracin que se desarrollara, se seguir este

    procedimiento.

    Este procedimiento tambin se puede aplicar en la ecuacin (1)

    Cuando se usa la ecuacin (1) el mtodo converge al modo de vibracin mxima

    frecuencia y si se usa la ecuacin (2) se converge al modo de mnima frecuencia o

    modo fundamental, esta ltima es la ms usual considerando los periodos dominantes

    de los temblores y los periodos comunes en las estructuras; generalmente son de

    inters los modos inferiores o frecuencias menores.

    Este mismo procedimiento puede usarse para calcular los modos sucesivos al primero

    reduciendo el nmero de ecuaciones originales. Esto se logra aplicando la condicin de

    ortogonalidad entre el modo calculado y otro cualquiera, se dices que se ha borrado

    del sistema el modo ya conocido.

    Al establecer la ortogonalidad de los dos modos, se expresa una amplitud del modo

    desconocido en funcin de los dems del mismo, lo que hace que queden n-1

    ecuaciones homogneas con n-1 incgnitas.

    Al sistema de ecuaciones resultante se le aplica de nuevo el procedimiento Stodola

    Vianello para obtener este modo. El proceso continua para obtener los siguientes

    modos de vibrar, si es que son de inters.

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    Ejemplo Ilustrativo:

    Obtener todos los modos de vibrar con sus respectivas frecuencias, de la estructura

    mostrada en la figura.

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