asignatura: estadistica descriptiva. docente:ing. rafael...

Asignatura: Estadistica Descriptiva.

Docente:Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz

Semestre: Tercero.

2 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz

GUIA DE ESTUDIO I. DATOS INFORMATIVOS

NOMBRE DE LA CARRERA: Técnico Superior en Gestión De Producción Y

Servicios

ESTADO DE LA CARRERA: Vigente _X_ No vigente solo para registro de títulos _

NIVEL: Técnico

TIPO DE CARRERA: Tradicional

NOMBRE DE LA SIGNATURA: Estadística Descriptiva

CÓD. ASIGNATURA:

PRE – REQUISITO: BM-S1-MABA

CO – REQUISITO:

TOTAL HORAS: 228

Componente docencia: 88

Componente de prácticas de aprendizaje: 65

Componente de aprendizaje autónomo: 75

SEMESTRE: Tercero PARALELO: “A”

PERIODO ACADÉMICO: noviembre 2019 – abril 2020 (IIPA 2019)

MODALIDAD: Presencial

DOCENTE RESPONSABLE: Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz.

Copyright©2020 Instituto Superior Tecnológico Ismael Pérez Pazmiño. All rights reserved.

Estadística Descriptiva

3

Índice

GUIA DE ESTUDIO ................................................................................................... 2

PRESENTACION ....................................................................................................... 7

Sistema General de conocimientos ......................................................................... 7

SYLLABUS DE LA ASIGNATURA ............................................................................. 8

I. DATOS INFORMATIVOS .................................................................................... 8

II FUNDAMENTACIÓN ....................................................................................... 8

III. OBJETIVOS ESPECÍFICOS .............................................................................. 9

IV. CONTENIDOS .................................................................................................. 9

V. PLAN TEMÁTICO............................................................................................. 10

VI. SISTEMA DE CONTENIDOS POR UNIDADES DIDÁCTICAS ........................ 10

VII ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Y DE ORGANIZACIÓN DE LA

ASIGNATURA. ..................................................................................................... 14

VIII. RECURSOS DIDÁCTICOS ........................................................................... 16

IX. SISTEMA DE EVALUACIÓN DE LA ASIGNATURA ........................................ 16

X. BIBLIOGRAFÍA BÁSICA Y COMPLEMENTARIA ............................................. 18

ORIENTACIONES PARA EL USO DE ESTA GUIA. ................................................ 19

DESARROLLO DE ACTIVIDADES. ......................................................................... 20

Unidad didáctica I. Introducción A La Estadística Descriptiva .................................. 20

INTRODUCCION. ................................................................................................. 20

Actividad De Aprendizaje I De La Unidad Didactica I ............................................ 21

Importancia ........................................................................................................... 21

Variables cualitativas ............................................................................................ 22

Variables Cuantitativas ......................................................................................... 23

Variable discreta ................................................................................................... 23

Variable continua: ................................................................................................. 23

Muestra................................................................................................................. 23

Población .............................................................................................................. 23

Niveles De Medición ............................................................................................. 24

Nivel Nominal........................................................................................................ 24

Nivel Ordinal ......................................................................................................... 25

Nivel de Intervalo .................................................................................................. 25

Nivel de Proporción o Razón ................................................................................ 25

Actividades de Auto - Evaluación De La Unidad I ................................................. 26

Actividad Final Unidad I ........................................................................................ 27



Unidad didáctica II. Presentación y Análisis de Datos ............................................. 29

INTRODUCCION. ................................................................................................ 29

Objetivo ................................................................................................................ 29

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE DE LA UNIDAD DIDACTICA II ..................... 29

Actividad De Aprendizaje I De La Unidad Didactica II .......................................... 29

Ejemplo 1. ............................................................................................................ 31

Foro: ............................................................................................................ 32

Ejemplo 3. ............................................................................................................ 32

Diagrama de Tallo y Hoja. .................................................................................... 34

Actividad De Aprendizaje II De La Unidad Didáctica II ......................................... 36

Representación Gráfica de una Distribución de Frecuencias. .............................. 36

Polígono de Frecuencia ....................................................................................... 36

Punto medio de clase ........................................................................................... 36

Histograma. .......................................................................................................... 37

Tarea- .................................................................................................................. 38

Polígono De Frecuencia Acumulada .................................................................... 38

Diagrama Circular ................................................................................................ 39

Diagrama de Barras ............................................................................................. 40

Actividades de Auto - Evaluación De La Unidad II................................................ 43

Actividad Final de la Unidad II .............................................................................. 43

1.-......................................................................................................................... 43

DESARROLLO DE ACTIVIDADES. ........................................................................ 46

Unidad didáctica III. Medidas De Tendencia Central ............................................... 46

INTRODUCCION. ................................................................................................ 46

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE DE LA UNIDAD DIDACTICA III .................... 47

Actividad De Aprendizaje I De La Unidad Didactica III ......................................... 47

Media Aritmética Datos No Agrupados ................................................................. 47

Media Muestral..................................................................................................... 47

Estadístico ........................................................................................................... 47

Media Poblacional ................................................................................................ 49

Parámetro ............................................................................................................ 49

Media Geométrica ................................................................................................ 50

Aumento Porcentual Promedio Para Un Periodo Determinado ............................ 50

Media Ponderada ................................................................................................. 51

La Mediana Para Datos No Agrupados ................................................................ 52


5

La Moda ................................................................................................................ 52

Actividad De Aprendizaje II De La Unidad Didactica III ......................................... 55

Medidas De Tendencia Central Para Datos Agrupados. ....................................... 55

La Media Aritmética .............................................................................................. 55

La Mediana. .......................................................................................................... 56

La Moda ................................................................................................................ 57

Posiciones Relativas de la Media, Mediana y Moda. ............................................ 57

Sesgo Positivo ...................................................................................................... 59

Sesgo Negativo .................................................................................................... 60

Actividades de Auto - Evaluación De La Unidad III ............................................... 63

Actividad Final de la Unidad III .............................................................................. 63


Unidad didáctica IV. Medidas de Dispersión ......................................................... 64

INTRODUCCION. ................................................................................................. 64

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE DE LA UNIDAD DIDACTICA IV ..................... 65

Actividad De Aprendizaje I De La Unidad Didactica IV ......................................... 65

Medidas De Dispersión Para Datos No Agrupados ............................................... 65

Amplitud de Variación ........................................................................................... 65

Desviación Media ................................................................................................. 65

Varianza Y Desviación Estándar. .......................................................................... 66

Varianza ............................................................................................................... 66

Desviación Estándar ............................................................................................. 66

Varianza Poblacional ............................................................................................ 66

Desviación Estándar Poblacional .......................................................................... 66

Varianza Muestral. ................................................................................................ 67

Formula De La Desviación .................................................................................... 68

Formula Directa .................................................................................................... 68

Desviación Estándar Muestral .............................................................................. 68

Desviación Estándar, Formula Directa .................................................................. 69

Actividad De Aprendizaje II De La Unidad Didactica IV......................................... 69

Medidas De Dispersión Para Datos Agrupados. ................................................... 69

Amplitud De Variación .......................................................................................... 69

Desviación Estándar ............................................................................................. 70

Desviación Estándar Directa Para Datos Agrupados ............................................ 70

Interpretación Y Usos De La Desviación Estándar ................................................ 71


Teorema De Chebyshev. ..................................................................................... 71

La Regla Empírica ................................................................................................ 72

Dispersión Relativa .............................................................................................. 73

Coeficiente De Variación.- .................................................................................... 73

Asimetría .............................................................................................................. 74

Coeficiente De Asimetría de Pearson ................................................................... 75

Coeficiente De Asimetría De Software ................................................................. 75

Actividad De Aprendizaje III De La Unidad Didactica IV ....................................... 78

Otras Medidas de Dispersión ............................................................................... 78

Cuartiles, Deciles Y Centiles ................................................................................ 78

Diagramas De Caja .............................................................................................. 79

Actividades de Auto - Evaluación De La Unidad IV .............................................. 82

DESARROLLO DE ACTIVIDADES. ..................................................................... 84

Unidad didáctica V. Probabilidad. ............................................................................ 84

INTRODUCCION. ................................................................................................ 84

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE DE LA UNIDAD DIDACTICA V ..................... 85

Actividad De Aprendizaje I De La Unidad Didáctica V .......................................... 85

Probabilidad.- ....................................................................................................... 85

Regla Especial De La Adición .............................................................................. 87

Reglas de la multiplicación ................................................................................... 88

Diagramas De Árbol ............................................................................................. 91

Actividad De Aprendizaje II De La Unidad Didáctica V ......................................... 93

Teorema de Bayes ............................................................................................... 93

Foro. .................................................................................................................... 94

Diferencias entre Permutaciones y Combinaciones. ............................................ 94

Principios De Conteo.- ......................................................................................... 94

Fórmula De Las Combinaciones .......................................................................... 97

Actividades de Auto - Evaluación De La Unidad V ............................................... 99

Actividad Final Unidad V ...................................................................................... 99


7

PRESENTACION Señores estudiantes, de parte del INSTIPP reciban nuestro saludo y deseándoles de

antemano se sientan a gusto en nuestra institución. El preparar este material, es para

poder contribuir en alguna manera a la mejora del proceso enseñanza aprendizaje,

consta de elementos básicos que lo orientaran en este proceso, como son principios

básicos de la Estadística Descriptiva, hacer la presentación y descripción de datos, el

estudio de las medidas de tendencia central para datos agrupados y no agrupados,

luego las medidas de dispersión y concluir con una introducción a las probabilidades.

La guía plantea lecturas, trabajos prácticos y el respaldo conceptual de los autores

que se citen.

Tratamos de hacer más fácil el proceso de enseñanza – aprendizaje, pero es

necesario interactuar. Para esto estamos Considerando cinco unidades didácticas:

Sistema General de conocimientos

Unidad I.- INTRODUCCION A LA ESTADISTICA DESCRIPTIVA. Unidad II.- PRESENTACION Y ANALISIS DE DATOS

Unidad III.- MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Unidad IV.- MEDIDAS DE DISPERSION Unidad V.- PROBABILIDAD.


INSTITUTO SUPERIOR TECNOLÓGICO

“ISMAEL PÉREZ PAZMIÑO

SYLLABUS DE LA ASIGNATURA

I. DATOS INFORMATIVOS

NOMBRE DE LA CARRERA: Técnico Superior en Gestión De Producción Y

Servicios

ESTADO DE LA CARRERA: Vigente _X_ No vigente solo para registro de títulos _

NIVEL: Técnico

TIPO DE CARRERA: Tradicional

NOMBRE DE LA SIGNATURA: Estadística Descriptiva

CÓD. ASIGNATURA:

PRE – REQUISITO: BM-S1-MABA

CO – REQUISITO:

TOTAL HORAS: 228

Componente docencia: 88

Componente de prácticas de aprendizaje: 65

Componente de aprendizaje autónomo: 75

SEMESTRE: Tercero PARALELO: “A”

PERIODO ACADÉMICO: noviembre 2019 – abril 2020 (IIPA 2019)

MODALIDAD: Presencial

DOCENTE RESPONSABLE: Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz.

II FUNDAMENTACIÓN

La Estadística Descriptiva es una asignatura Teórica- Práctica, que busca que el

estudiante use el razonamiento lógico y crítico en soluciones de problemas de Gestión

De Producción Y Servicios en la vida cotidiana.

En cuanto a la importancia de esta disciplina para el Técnico De Gestión De

Producción Y Servicios juega un papel muy significativo pues constituye una

herramienta fundamental para el análisis y toma de decisiones de las actividades que

realiza el futuro profesional en esta área.

Ya que el Técnico De Gestión De Producción Y Servicios trata de conceptos que son

esencialmente cuantitativos y cualitativos, en su gran mayoría la toma de decisiones

tiene una aplicación obligadamente Estadística, proporcionando ésta una estructura

sistemática y lógica dentro de la cual pueden estudiarse las relaciones cuantitativas y

cualitativas de esta área de estudio.

Con este acercamiento surge la necesidad de comprender la teoría estadística,

realizar problemas de distribución de frecuencias y representaciones gráficas, calcular

medidas de tendencia central, medidas de dispersión, comprendiendo y resolviendo

problemas de probabilidades, que permiten procesos del pensamiento creativo y

abstracto.


9

Por lo que Estadística Descriptiva toma al razonamiento lógico matemático como

objeto de estudio para la modelización de situaciones que permitan dinamizar el

siguiente objetivo:

Resolver problemas estadísticos a nivel superior sobre distribución de frecuencias,

analizar y criticar gráficos estadísticos, realizar cálculos de medidas de tendencia

central y otras medidas descriptivas así como también problemas de probabilidades,

por medio del sustento teórico científico y formulación respectiva que empleen

procesos estadísticos, de demostración, principios, leyes y procedimientos, que nos

permitan la evaluación de resultados en problemas de la vida diaria, alcanzando

creatividad y criticidad en la manipulación de información estadística, presentadas a

través de gráficas y análisis de la información estudiada.

III. OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Unidad I.- Aplicar los conocimientos básicos, con la ayuda de los constructos

teóricos para la solución a problemas de la actividad profesional con

responsabilidad.

Unidad II.- Organizar los datos obtenidos a través de un cuadro de distribución de

frecuencias para presentarlos a través de una gráfica e interpretar los

resultados con exactitud.

Unidad III.- Calcular las Medidas de Tendencia Central a través de los algoritmos de

resolución para una correcta toma de decisiones y con mucha

responsabilidad.

Unidad IV.- Calcular las Medidas de Dispersión, con el apoyo de las respectivas

formulaciones existentes para aplicarlos en el ámbito profesional con

mucha responsabilidad.

Unidad V.- Calcular las probabilidades, mediante las reglas de la adición y

multiplicación, para ubicar con exactitud los valores calculados.

IV. CONTENIDOS

Sistema General de conocimientos

Unidad I.- INTRODUCCION A LA ESTADISTICA DESCRIPTIVA.

Unidad II.- PRESENTACION Y ANALISIS DE DATOS

Unidad III.- MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Unidad IV.- MEDIDAS DE DISPERSION

Unidad V.- PROBABILIDAD.

Sistema General de Habilidades

Unidad I.- Aplicar los conocimientos básicos.

Unidad II.- Organizar los datos obtenidos

Unidad III.- Calcular las Medidas de Tendencia Central

Unidad IV.- Calcular las Medidas de Dispersión

Unidad V.- Calcular las probabilidades


Sistema General de Valores

Unidad I.- Responsabilidad al desarrollar el trabajo autónomo.

Unidad II.- Exactitud en el trabajo en equipo.

Unidad III.- Responsabilidad al compartir las ideas en el aula.

Unidad IV.- Responsabilidad al presentar los trabajos de investigación.

Unidad V.- Exactitud al resolver los ejercicios en el aula.

V. PLAN TEMÁTICO

DESARROLLO DEL PROCESO CON TIEMPO EN

HORAS

TEMAS DE LA ASIGNATURA C CP S CE T L E THP TI THA

Introducción A La Estadística

Descriptiva. 2 7 2 4 - 4 19 15 34

Presentación Y Análisis De

Datos 2 25 2 4 - 2 35 15 50

Medidas De Tendencia Central 3 25 2 4 3 37 15 52

Medidas De Dispersión 2 20 2 4 - 3 31 15 46

Probabilidad. 2 16 2 4 - 3 27 15 42

EXAMENES 4 4 4

Total, de horas 11 93 10 20 - 19 153 75 228

Nomenclatura:

C - Conferencias.

S - Seminarios.

CP - Clases prácticas.

CE - Clase encuentro.

T - Taller.

L - Laboratorio.

E - Evaluación.

THP - Total de horas presenciales.

TI - Trabajo independiente.

THA - Total de horas de la asignatura.

VI. SISTEMA DE CONTENIDOS POR UNIDADES DIDÁCTICAS

Unidad I: Conceptos Básicos

Objetivo: Aplicar los conocimientos básicos, con la ayuda de los constructos

teóricos para la solución a problemas de la actividad profesional con responsabilidad.

Sistema de conocimientos Sistema de habilidades Sistema de Valores

Introducción.

Que es estadística.

Por qué estudiar estadística.

Tipos de estadística.

Identificar palabras claves

sobre el tema.

Estudiar conceptos básicos

Aplicar en la solución de

problemas de la profesión.

Diferenciar los tipos de

estadísticas.

Responsabilidad al

desarrollar el trabajo

autónomo conceptual

de lo importante que

es estudiar

estadística.


11


Tipos de variables.

Niveles Medición.

Evaluación de la unidad.

Reconocer los tipos de

variables.

Aplicar los niveles de

medición.

Desarrollar problemas

prácticos y conceptuales

Responsabilidad en

reconocer los tipos de

variables y los niveles

de medición.

Unidad II: Presentación y Análisis de Datos

Objetivo: Organizar los datos obtenidos a través de un cuadro de distribución de

frecuencias para presentarlos a través de una gráfica e interpretar los resultados con

exactitud.


Introducción.

Distribución de frecuencias.

Representación de tallo y hoja.

Representaciones gráficas.

Otras representaciones

gráficas.

Graficas engañosas.


Relacionar acertadamente la

introducción a la distribución

de frecuencias.

Resolver problemas de

distribución de frecuencias.

Representar información de

tallo y hoja.

Construir gráficos

estadísticos.

Construir otros gráficos de

frecuencias.

Interpretar graficas

engañosas.

Resolver problemas de la

unidad

Exactitud para

entender y elaborar los

cuadros de

distribución de

frecuencias.

Exactitud en el manejo

de información y al

compartir los

conocimientos

adquiridos en la forma

de realizar e

interpretar las

representaciones

graficas.

Unidad III: Medidas De Tendencia Central

Objetivo: Calcular las Medidas de Tendencia Central a través de los algoritmos de

resolución para una correcta toma de decisiones y con mucha responsabilidad el valor

medio más representativo adoptarlo.


Introducción.

Media poblacional.

Media muestral.

Propiedades de la media

aritmética.

Media ponderada.

Mediana.

Moda.

Conceptualizar las medidas

de tendencia central.

Calcular la media poblacional.

Calcular la media muestral

Aplicar las propiedades de la

media aritmética.

Calcular la media ponderada.

Calcular la mediana.

Calcular la moda.

Responsabilidad

durante el trabajo en

equipo, en el cálculo

de las medidas de

tendencia central.



Media geométrica.

Media, mediana y moda para

datos agrupados.

Posiciones relativas de la

media, mediana y moda

Evaluación de la unidad

Calcular la media geométrica.

Calcular la media, mediana y

moda para datos agrupados.

Determinar las posiciones

relativas de la media,

mediana y moda.

Resolver problemas de la

unidad

Responsabilidad para

analizar las posiciones

relativas de las

medidas de tendencia

central

Unidad IV: Medidas de Dispersión

Objetivo: Calcular las medidas de dispersión, con el apoyo de las respectivas

formulaciones existentes para aplicarlos en el ámbito profesional con mucha

responsabilidad.


Introducción.

Medidas de dispersión para

datos no agrupados: amplitud

de variación, desviación media,

varianza y desviación estándar.

Medidas de dispersión para

datos agrupados: amplitud de

variación, desviación estándar.

Interpretación y usos de la

desviación estándar: teorema

de chebyshev, regla empírica.

Dispersión relativa.

Asimetría.

Asimilar la teoría de otras

medidas descriptivas

Calcular las medidas de

dispersión para datos no

agrupados, amplitud de

variación, la desviación

media, y la desviación

estándar.

Determinar las medidas de

dispersión para datos

agrupados: amplitud de

variación y desviación

estándar.

Interpretar la desviación

estándar: teorema de

Chebyshev y la regla

empírica.

Estimar la dispersión relativa.

Determinar la asimetría.

Calcular otras medidas de

dispersión: deciles, centiles y

Responsabilidad en el

cumplimiento y

entrega de tareas.

Responsabilidad en el

cálculo de las otras

medidas descriptivas.


13


Otras medidas de dispersión:

cuartiles, deciles, centiles,

diagramas de caja.


cuartiles y representarlos en

un diagrama de cajas.

Aplicar lo tratado en la unidad

Unidad V: Probabilidad.

Objetivo: Calcular las probabilidades de diferentes eventos, mediante las reglas

de la adición y multiplicación, y que se ubique con exactitud los valores calculados.

Sistema de conocimiento Sistema de habilidades Sistema de Valores

Introducción.

Concepto de probabilidad.

Enfoques de la probabilidad.

Algunas reglas de

probabilidad.

Diagramas de árbol.

Teorema de Bayes.

Principios de conteo.

Fórmulas de la permutación y

combinación.

Interpretar los principios

generales de la teoría de la

probabilidad.

Analizar los conceptos de

probabilidad.

Analizar los modelos de

distribuciones de probabilidad.

Interpretar las reglas de

probabilidad.

Construir correctamente el

diagrama de árbol.

Aplicar el teorema de Bayes en la

solución de las probabilidades.

Aplicar los principios de

Conteo en la solución de

probabilidades.

Analizar el comportamiento de

las variables con independencia,

en las permutaciones y

combinaciones

Exactitud al trabajar

valores y Compartir

los conocimientos

adquiridos en las

tareas de

investigación.

Exactitud al Valorar

los procesos

matemáticos y la

aplicación de las

diversas fórmulas de

permutación


VII ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Y DE ORGANIZACIÓN DE LA

ASIGNATURA.

Las clases se desarrollarán en cuatro unidades, tomando en cuenta el siguiente

proceso:

Controles de lectura: Se indica la temática a trabajarse al estudiante, el miso

que tiene que revisar el sustento teórico para compartir en la sala de clase.

Resúmenes de clase: El estudiante en cada clase tomará apuntes de las partes

esenciales, las mismas que serán validadas la clase siguiente mediante

preguntas simples por participación voluntaria.

Actividades extra clase: Consisten en resolución de sistemas de ejercicios o

problemas propuestos por cada temática.

Talleres o actividades intra clase: Se entregará un material de apoyo teórico el

mismo que se lo debe de resolver con el direccionamiento del docente,

respetando los niveles de asimilación: Familiarización, Reproducción,

Producción y Creación.

Participación activa en la pizarra: Esta se desarrollará de acuerdo a la temática,

por participación voluntaria o elección al azar, para la validación de procesos y

algoritmos de resolución.

Trabajos de investigación: Consiste en procesos de carácter investigativo en el

cual el estudiante pone de manifiesto su creatividad al proponer organizadores

gráficos, con ejemplos y caracterizaciones del sustento teórico de la temática

consultada.

GeoGebra: Aplicación de sistemas de ejercicios o problemas propuestos de las

temáticas inferidas en los que se tiene que evaluar usando el programa

GeoGebra.

Trabajos colaborativos: Se formarán grupos de trabajo para la solución de

problemas propuestos usando a mediación tecnológica para la consecución de

los informes.

Portafolio: Será revisado por evaluaciones tomadas a los estudiantes

(parciales, finales y supletorias) y servirá como material de apoyo teórico, en el

mismo se acumulará todos los trabajos desarrollados dentro y fuera de clase.

Actividades EVA: Se trabaja con el entorno virtual AMAUTA, en el que se

enviarán tareas y se contará con un espacio de ideologización entre

estudiantes con el direccionamiento de preguntas disparadoras o generadoras

de conflictos socio cognitivos, a través de foros de discusión permitiendo

reflexiones metacognitivas en cada aporte.

Para el desarrollo de la asignatura los estudiantes tienen el apoyo de links en el blog,

en los cuales se ha subido direcciones de libros de consulta o textos guías.

Al final de cada unidad se realizarán clases prácticas de vinculación en una institución

nocturna, para evidenciar lo asimilado en cada clase, es decir serán cuatro clases

prácticas por semestre.

Los métodos utilizados son:


15

Método Reproductivo:

Método Explicativo y Método Ilustrativo: El alumno se apropia de conocimientos

elaborados y los reproduce mediante modos de actuación. El docente explica y dirige

la clase mientras el estudiante atiende y asimila los conocimientos. El estudiante

ilustra a través de ejemplos la temática inferida.

Método de Exposición Problemática: Es un método intermedio, pues supone la

asimilación de la información elaborada y de elementos de la actividad creadora. Se

establecen grupos de trabajo, facilita cierta información y permite al estudiante que

contribuya con su creatividad, ejemplifica los algoritmos de resolución de problema y

se colabora con el estandarte para la creación de su propio ejercicio.

Método Productivo:

Método Heurístico o de Búsqueda parcial de Método Investigativo. - Permite al

estudiante alcanzar conocimientos nuevos, como resultado de la actividad creadora.

El docente estimula a la investigación, y con dicha información realiza talleres de

producción textual y estimula al mismo a crear sus propios ejercicios.

Las Técnicas de Enseñanza se detallan a continuación:

Del interrogatorio: En el uso de preguntas y respuestas para obtener información y

puntos de vista de aplicación de lo aprendido, mediante esta técnica se pretende

despertar y conservar el interés, se exploran experiencias, capacidad, criterio de los

estudiantes y comunicación de ellos.

ÇDel redescubrimiento: Realizar un aprendizaje satisfactorio y efectivo en el cual el

estudiante observa, piensa y realiza.

De la discusión dirigida: Realizar un análisis, una confrontación, una clasificación de

hechos, situaciones, experiencias, problemas, con presencia de docente. Se centra

en la discusión, en el cual se obtienen conclusiones positivas o valederas.

Operatoria: Consiste en realizar actividades de operaciones que permitan el

razonamiento y la comprensión facilitando el aprendizaje

De la resolución de problemas: Permite solucionar problemas matemáticos mediante

un orden lógico, secuencial, práctico y de razonamiento.

Lluvia de ideas: El grupo actúa en un plano de confianza, libertad e informalidad y sea

capaz de pensar en alta voz, sobre un problema, tema determinado y en un tiempo

señalado.

Diálogos simultáneos: Lograr la participación de un gran grupo, dividido en parejas,

respecto a un tema de estudio, trabajo, tarea o actividad.

Del informe o trabajo escrito: En elaborar pasos para trabajos escritos con estilo

propio.


Foros de discusión: Ingresar a AMAUTA para que dejen sus opiniones sobre temáticas

formuladas en la pantalla del foro y en el blog creado para reforzar la asignatura en

http://matematicaemiliojacomeinstituto.blogspot.com.

Habrá tres documentos pedagógicos básicos que permiten evidenciar los resultados

de las actividades del trabajo autónomo y de grupos, desarrollados a partir del sílabo

de la asignatura.

Carpeta con trabajos extractase e intraclase, grupales (hasta 3 a 5 alumnos).

Desarrollo de ejercicios aplicados a la teoría.

Carpeta de trabajos autónomos. En especial consultas sobre temas especiales

y que hayan sido sustentados demostrando su dominio.

Registro de avance académico. Revisión de trabajos extractase, trabajos

autónomos, lecciones orales en el aula, pruebas escritas y exámenes escritos.

Evidencia el cumplimiento y la calidad del trabajo.

VIII. RECURSOS DIDÁCTICOS

Básicos: marcadores, borrador, pizarra de tiza líquida.

Audiovisuales: Computador, proyector, celulares inteligentes, tabletas, laptops y

laboratorio de computación.

Técnicos: Materiales de apoyo complementarios, Sistemas de ejercicios de

aplicación práctica, Documentos de apoyo, Separatas, texto básico, guías de

observación, tesis que reposan en biblioteca.

IX. SISTEMA DE EVALUACIÓN DE LA ASIGNATURA

El sistema de evaluación será sistemático, participativo y permanente con el objetivo

de adquirir las habilidades y destrezas cognitivas e investigativas que garanticen la

calidad e integridad de la formación profesional y la valoración integral de los

aprendizajes.

Para la respectiva evaluación se valorará la gestión de aprendizaje propuestos por el

docente y con la interacción directa y colaborativa de los estudiantes, la gestión de la

práctica y experimentación de los estudiantes, y la gestión de aprendizaje que los

estudiantes propondrán mediante la investigación que se verá evidenciado en el

trabajo autónomo.

Se tomó como referencia el Reglamento del Sistema Interno de Evaluación Estudiantil

para proceder a evaluar la asignatura de Matemática Básica, de esta manera se toma

como criterio de evaluación la valoración de conocimientos adquiridos y destrezas

evidenciadas dentro del aula de clases en cada una de las evaluaciones aplicadas a

los estudiantes, demostrando por medio de éstas que está apto para el

desenvolvimiento profesional.

Por ello desde el primer día de clases, se presentará las unidades didácticas y los

criterios de evaluación del proyecto final, evidenciado en el silabo y plan calendario


17

entregado a los estudiantes. Además, se determinará el objeto de estudio, que en este

caso son las teorías de la matemática básica y cada uno de los puntos que ésta

conlleva para su aprobación.

Se explica a los estudiantes que el semestre se compone de dos parciales con una

duración de diez semanas de clases cada una, en cada parcial se evaluará sobre

cinco puntos las actividades diarias de las clases: trabajos autónomos, trabajos de

investigación parcial que se tomará en la semana diez y semana veinte. De esta

manera cada parcial tendrá una nota total de siete puntos como máximo. El examen

final estará representado por un proyecto integrador de asignaturas que tiene una

valoración de tres puntos. Por consiguiente, el alumno podrá obtener una nota total

de diez puntos como máximo.

Una vez que el estudiante exponga su proyecto integrador y defienda las preguntas

propuestas por el tribunal, será notificado en ese momento la nota obtenida y se

procederá a la respectiva firma de constancia.

Dentro de las equivalencias de notas se clasifican de la siguiente manera:

10,00 a 9,50: excelente

9,49 a 8,50: muy bueno

8,49 a 8,00: bueno

7,99 a 7,00: aprobado

6,99 a menos: reprobado

Los estudiantes deberán alcanzar un puntaje mínimo de 7,00 puntos para aprobar la

asignatura, siendo de carácter obligatorio la presentación del proyecto integrador.

Si el estudiante no alcance los 7,00 puntos necesarios para aprobar la asignatura,

deberá presentarse a un examen supletorio mismo que será evaluado sobre diez

puntos y equivaldrá el 60% de su nota final, el 40% restante corresponde a la nota

obtenida en acta final ordinaria de calificaciones.

Aquellos estudiantes que no podrán presentarse al examen de recuperación son

quienes hubiesen reprobado por faltas con un 25% o más en la asignatura. Para

presentarse al supletorio deben obtener de la suma del primer parcial, segundo parcial

y sustentación del proyecto como promedio mínimo 2,50 que corresponde al 40% y la

evaluación tendrá una ponderación máxima de 6 puntos equivalente al 60%. Los

parámetros de evaluación del proyecto o actividad de vinculación de la asignatura son

los siguientes:

Parámetros Generales. 1,50

Dominio del Tema 0,50

Redacción, coherencia y desarrollo del proyecto integrador y artículo científico 1,00


Parámetros Específicos. 1,50

Veracidad en la recolección de datos (encuestas, entrevistas) 0,40

Precisión en los cálculos estadísticos. 0,40

Correcta graficacion de la información estadística. 0,30

Análisis y coherencia en la determinación de factibilidad del proyecto. 0,40

La nota obtenida en la asignatura se sumará y promediará al resto de asignaturas y

esa será la nota que obtendrá cada estudiante por la presentación del proyecto

integrador.

El estudiante no conforme con la nota del proyecto integrador podrá solicitar mediante

oficio una recalificación y obtendrá respuesta del mismo en un plazo no mayor a tres

días hábiles.

El docente tendrá un plazo de 48 horas para socializar las calificaciones obtenidas

luego se asentará en las actas finales y se procederá a recoger la firma de los

estudiantes.

Los proyectos presentados serán sometidos a mejoras o corrección si el caso lo

amerita con la finalidad de ser presentadas en la feria de proyectos científicos que el

Instituto Superior Tecnológico Ismael Pérez Pazmiño lanzará cada año.

X. BIBLIOGRAFÍA BÁSICA Y COMPLEMENTARIA

Lind – Marchal – Mason, 11va edición (2006). Estadística para administración y

economía. Editorial Alfaomega.

LIND Douglas, MARCHAL William, MASON Robert (2004). Estadística para

Administración y economía. Editorial Alfaomega.

Martínez Ciro. (2008). Estadística y muestro. Editorial Ecoe.

Richard I Kevin& David S. Rubin, 6ta edición (1996). Estadística para Administración.

Editorial Prantice hall – Hispanoamericana, S.A.

William J Srevenson. Estadística para administración y economía. Editorial Harla.

William Menderhall, 2da edición (1990). Estadística para administración. Grupo

editorial Iberoamérica.

Machala, 31 de octubre de 2019

Elaborado por: Revisado por: Aprobado por:

Ing. Rafael S. Salcedo Muñoz.

Docente

Ing. Carolina Quevedo

Coordinadora de carrera

Dra. María Isabel Jaramillo

Vicerrectora Académica

Fecha:31 de octubre de 2019 Fecha: Fecha:


19

ORIENTACIONES PARA EL USO DE ESTA GUIA.

Teniendo en cuenta que el material que se presenta es de apoyo tanto para el docente

como para el señor estudiante, se debe considerar como una herramienta muy útil, en

esta se ofrecen orientaciones metodológicas y didácticas, formulaciones que deben

ser utilizadas de acuerdo al tema presentado, y con el apoyo de los textos compartidos

vía online de parte del docente, no constituye el contenido total de cada tema, pero si

la parte más interesante y útil dentro de cada temática. Se plantean situaciones reales,

así como también como situaciones propuestas.

La presente guía se la debe manejar con ética y respeto, ya que esta apegada al

programa de la asignatura para el nivel que se propone.

De ante mano les deseo éxitos y la disponibilidad para cualquier consulta sobre

cualquier tema que falte aún más refuerzo.

Recuerda que la Seguridad Ocupacional tiene un sistema de aprendizaje en la

mayoría de los casos por experiencias propias, pero con la guía que estamos

proponiendo debemos prevenir antes que lamentar

Usted puede, revísela constantemente y si es necesario solicite ayuda adicional.

A continuación, inserto los iconos que se usaran en esta guía en las diferentes

actividades.

SUGERENCIA

APUNTE CLAVE

TALLERES

FORO

REFLEXIÓN

RESUMEN

TAREAS

EVALUACIÓN

Ing. Rafael Salcedo Muñoz.


DESARROLLO DE ACTIVIDADES.

Unidad didáctica I. Introducción A La Estadística Descriptiva

INTRODUCCION.

En el transcurso de la carrera y de su vida profesional, el estudiante de Gestion de

Produccion y Servicios, necesitará trabajar cotidianamente con la Estadistica.

Que accion o actividad no esta vinculada a la Estadistica, en muchas ocasiones ni

siquiera nos damos cuenta que estamos aplicando la estadistica en nuestro diario

vivir. Comunmente salimos de nuestro hogar y en el trayecto al trabajo, al Instituto,

vamos observando, analizando y hasta cuantificando lo que vemos y nos sentimos

asombrados cuando algo que rutinariamente observamos en tiempo y espacio, no

esta, y empieza nuestro analisis ¿Qué paso? Y una serie de conclusiones que

sacamos.

Entonces la Estadistica es una herramienta que es muy util, en este capitulo nos

introducimos a este interesante mundo, del analisis, clasificacion, graficacion, toma de

decisiones.

Objetivo. Aplicar los conocimientos básicos, con la ayuda de los constructos teóricos

para la solución a problemas de la actividad profesional con responsabilidad.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE DE LA UNIDAD DIDACTICA I

Introducción A La Estadística Descriptiva.

Conceptos Basicos

Niveles De Medicion


21

Actividad De Aprendizaje I De La Unidad Didactica I

Como observamos la estadística se encarga de recopilar información importante,

organizarla, clasificarla, analizarla e interpretarla y de presentarla en una gráfica.

Importancia

La estadística es muy importante en casi cualquier área

profesional, esto incluye las áreas de Informática, matemáticas y

economía.

Esta te permite:

1) Determinar los futuros problemas antes que ocurran, al establecer límites tolerables

en los procesos productivos.

2) Determinar si un lote de producción cumples los requisitos mínimos de calidad con

solo tomar una muestra significativa.

3) Conocer el estado actual de la producción al hacer cambios comparándolo con los

procesos sin cambios.

4) Evaluar probables nuevos procedimientos, y su impacto en la producción

y muchas otras cosas más dependiendo de tu imaginación y en lo que lo vas a aplicar.

Estadistica

Recopila Datos

Organiza

PresentaAnaliza

Interpreta

Clasificacion de la Estadistica

Descriptiva Métodos para organizar, resumiry presentar datos de manerainformativa.

Inferencial

Métodos que se emplean paradeterminar una propiedad deuna población con base en lainformación de una muestra deella


La estadística descriptiva comprende las técnicas que se emplean

para resumir y describir datos numéricos. Son sencillas desde el

punto de vista matemático y su análisis se limita a los datos

coleccionados sin inferir en un grupo mayor. El estudio de los

datos se realiza con representaciones gráficas, tablas, medidas

de posición y dispersión.

El problema crucial de la estadística inferencial es llegar a proposiciones acerca de la

población a partir de la observación efectuada en muestras bajo condiciones de

incertidumbre. Ésta comprende las técnicas que, aplicadas en una muestra sometida

a observación, permiten la toman de decisiones sobre una población o proceso

estadístico. En otras palabras, es el proceso de hacer predicciones acerca de un todo

basado en la información de una muestra.

La inferencia se preocupa de la precisión de los estadígrafos descriptivos ya que estos

se vinculan inductivamente con el valor poblacional.

Entre los usos más frecuentes, les planteo algunos ejemplos:

Conocer el porcentaje de la población que necesita agua.

Conocer el porcentaje de población que tiene diabetes

Conocer el porcentaje de personas que utilizan tomate para preparar sus comidas

Conocer el porcentaje de personas que consumen tortilla.

Conocer el porcentaje de protección social que se asigna en áfrica.

Conocer e interpretar el porcentaje de personas que tienen microempresas en el

Ecuador.

Conocer el porcentaje de niños desnutridos en el país.

Variables cualitativas

Son las variables que expresan distintas cualidades,

características o modalidad. Cada modalidad que se presenta se

denomina atributo o categoría y la medición consiste en una

clasificación de dichos atributos. Las variables cualitativas pueden

ser dicotómicas cuando sólo pueden tomar dos valores posibles

Tipos De Variables

Cuantitativas

Discreta

Continua

Cualitativas

Dicotómicas

Politómicas


23

como sí y no, hombre y mujer o son politómicas cuando pueden

adquirir tres o más valores. Dentro de ellas podemos distinguir:

Variable Cualitativa Ordinal o variable cuasi cuantitativa: La variable puede tomar

distintos valores ordenados siguiendo una escala establecida, aunque no es necesario

que el intervalo entre mediciones sea uniforme, por ejemplo: leve, moderado, grave.

Variable cualitativa nominal: En esta variable los valores no pueden ser sometidos

a un criterio de orden como por ejemplo los colores.

Foro.

Importancia de la estadística en la carrera de gestión de la

producción y servicios

Variables Cuantitativas

Son las variables que se expresan mediante cantidades numéricas. Las variables

cuantitativas además pueden ser:

Variable discreta : Es la variable que presenta separaciones o interrupciones en la

escala de valores que puede tomar. Estas separaciones o interrupciones indican la

ausencia de valores entre los distintos valores específicos que la variable pueda

asumir. Ejemplo: El número de hijos (1, 2, 3, 4, 5).

Variable continua: Es la variable que puede adquirir cualquier valor dentro de un

intervalo especificado de valores. Por ejemplo, la masa (2,3 kg, 2,4 kg, 2,5 kg,) o la

altura (1,64 m, 1,65 m, 1,66 m,), o el salario. Solamente se está limitado por la

precisión del aparato medidor, en teoría permiten que siempre exista un valor entre

dos variables.

Muestra

La mayoría de los estudios estadísticos, se

realizan no sobre la población, sino sobre un

subconjunto o una parte de ella, llamado

muestra, partiendo del supuesto de que

este subconjunto presenta el mismo

comportamiento y características que la

población. En general el tamaño de la

muestra es mucho menor al tamaño de la

población. Los valores o índices que se

concluyen de una muestra se llaman

estadígrafos y estos mediante métodos

inferenciales o probabilísticos, se aproximan a los parámetros poblacionales.

Población

Es el conjunto de todos los elementos que presentan una característica común

determinada, observable y medible. Por ejemplo, si el elemento es una persona, se

puede estudiar las características edad, peso, nacionalidad, sexo, etc. Los elementos

que integran una población pueden corresponder a personas, objetos o grupos (por

ejemplo, familias, fábricas, empresas, etc.). Las características de la población se

resumen en valores llamados parámetros.

Población.

Muestra

http://es.wikipedia.org/wiki/Valor_num%C3%A9rico


Niveles De Medición

El primer paso en el análisis de datos es simplemente entender lo que estos significan.

Esto se facilita clasificando cada variable según su nivel de medición. El nivel de

medición se refiere a la relación entre los valores que se asignan a los atributos de

una variable.

Una variable es cualquier cantidad que puede ser medida y cuyo valor varía a través

de la población. Por ejemplo, si consideramos una población de estudiantes, la

nacionalidad del estudiante, género, calificaciones, etc. son todas las variables

definidas, y su valor correspondiente diferirá para cada estudiante.

Si queremos calcular el salario promedio de los ciudadanos de un país, podemos salir

y registrar el salario de todas y cada una de las personas para calcular el promedio o

elegir un muestreo aleatorio de toda la población y calcular el salario promedio para

esa muestra, y luego usar las pruebas estadísticas para obtener conclusiones para

una población más amplia.

El tipo de prueba estadística que puede utilizarse para llegar a una conclusión sobre

la población en general depende del nivel de medición de la variable considerada. El

nivel de medición de una variable no es otra cosa que la naturaleza matemática de

una variable o cómo se mide una variable.

Tarea.

Plantee tres situaciones de la vida real que usted las pueda

describir como un asunto estadístico

Nivel Nominal: Es el nivel más bajo de medición en cuanto a suministro de

ecuaciones, las observaciones solo se pueden contar o clasificar (no hay un orden

lógico de las categorías). Las categorías son mutuamente excluyentes y exhaustivas.

Por ejemplo: preferencia de comida: desayuno, comida, cena

https://www.questionpro.com/es/analisis-de-datos.html

https://www.questionpro.com/blog/es/muestreo-aleatorio-simple/


25

preferencia religiosa: 1= budista, 2= musulmana, 3= cristiana, 4= judía, 5= otra

orientación política: izquierda, derecha, independiente

otros valores nominales son números de seguro social, códigos postales y números

de teléfono.

Nivel Ordinal: Las observaciones mantienen un orden, las categorías de datos están

ordenadas de acuerdo a las características. Por ejemplo:

clasificación: 1er lugar, 2do lugar… último lugar

nivel de acuerdo: no, tal vez, si

orientación política: izquierda, independiente, derecha

Nivel de Intervalo.

Tiene todas las características del nivel ordinal, pero además la diferencia entre dos

valores tiene un tamaño constante, el cero es solo un numero en escala, es decir, no

representa la ausencia de la condición.

Un ejemplo de una escala de intervalo es la temperatura, medida en una escala

Fahrenheit o Celsius, un grado representa la misma cantidad subyacente de calor,

independientemente de dónde ocurra en la escala.

Sí lo medimos en unidades Fahrenheit, la diferencia entre una temperatura de 46 y 42

es la misma que la diferencia entre 72 y 68. las escalas de medición de intervalos

iguales pueden ser utilizadas para medir opiniones y actitudes.

Construir bajo estos niveles de medición requiere de una comprensión más profunda

de principios matemáticos y estadísticos. sin embargo, es importante comprender los

diferentes niveles de medición al utilizar e interpretar escalas: hora del día en un reloj

de 12 horas intervalo de tiempo de día – intervalos iguales; reloj analógico (12 horas),

la diferencia entre la 1 y 2 pm es la misma que la diferencia entre las 11 y 12 am.

Nivel de Proporción o Razón: Es el nivel más alto, tiene todas las características del

nivel de intervalo, pero además el cero tiene significado y la relación entre dos

números tiene sentido.

regla: pulgadas o centímetros

ingresos: dinero ganado el año pasado

años de experiencia laboral

de razón- el tiempo de 24 horas tiene un 0 absoluto (medianoche); 14 en punto está

dos veces más lejos de la medianoche que las 7 en punto.

Taller.

Plantear y resolver 1 ejercicio de cada nivel de medición.

Observamos la importancia de la Estadística en nuestra vida

diaria y profesional, el tipo de información que recolectamos y que

procesamos, es importante identificar si la variable es cualitativa

o cuantitativa.


Los niveles de medición también nos ubican al tipo de información que vamos a

procesar y la importancia de usar uno de ellos. Por lo que resumimos:

I. La estadística es la ciencia que recoge, organiza, presenta, analiza e interpreta

datos con el fin de facilitar la toma de decisiones más eficaces.

II. Existen dos clases de estadística.

A. La estadística descriptiva que consiste en un conjunto de procedimientos

para organizar y resumir datos.

B. La estadística inferencial implica tomar una muestra de una población y

llevar a cabo cálculos relativos a ésta sobre la base de los resultados de la

muestra.

Una población es un conjunto de individuos u objetos de interés o las medidas que

se obtienen de todos los individuos u objetos de interés.

Una muestra es una parte de la población.

III. Existen dos tipos de variables.

A. Una variable cualitativa es de naturaleza no numérica.

1. Por lo común, lo que interesa es el número o porcentaje de

observaciones en cada categoría.

2. Los datos cualitativos se reúnen en gráficas y diagramas de barras.

B. Existen dos tipos de variables cuantitativas, que se presentan de forma

numérica.

1. Las variables discretas toman ciertos valores, y existen vacíos entre

éstos.

2. Una variable continua adopta cualquier valor dentro de un intervalo

específico.

IV. Existen cuatro niveles de medición.

A. En el caso del nivel nominal, los datos se distribuyen en categorías sin

un orden particular.

B. El nivel ordinal de medición supone que una clasificación se encuentra

en un nivel superior a otra.

C. El nivel de medición de intervalo posee la característica de clasificación

correspondiente al nivel ordinal de medición, además de que la distancia

entre valores es constante.

D. El nivel de medición de razón cuenta con todas las características del

nivel de intervalo, además de que existe un punto 0 y que la razón entre

dos valores resulta significativa.

Actividades de Auto - Evaluación De La Unidad I.

1. Ubique las variables en las siguientes tablas de clasificación.

Resuma en cada tabla sus observaciones y evalúe si los resultados

son verdaderos. Por ejemplo, el salario se presenta como una


27

variable cuantitativa continua. También es una variable de escala de

razón.

a) Salario

b) Género

c) Volumen de ventas de reproductores MP3

d) Preferencia por los refrescos

e) Temperatura

f) Lugar que ocupa un estudiante en clase

g) Calificaciones de un profesor de finanzas

h) Cantidad de computadoras domésticas

2. Explique la diferencia entre variables cualitativas y cuantitativas.

Proporcione un ejemplo de variable cuantitativa y otro de variable

cualitativa.

3. Explique la diferencia entre muestra y población.

Actividad Final Unidad I

1. La siguiente gráfica representa las utilidades en millones de dólares de ExxonMobil

en el periodo que va de 2003 a 2009. ¿Fueron más altas en un año que en los

otros? ¿Las ganancias aumentaron, se redujeron o permanecieron sin cambios

durante el periodo


2. En los siguientes problemas indique si recogería información utilizando una

muestra o una población y por qué lo haría.

a) Estadística 201 es un curso que se imparte en la universidad. El profesor A.

Verage ha enseñado a alrededor de 1 500 estudiantes los pasados cinco años.

Usted quiere conocer el grado promedio de los estudiantes que toman el curso.

b) Como parte del proyecto de investigación, usted necesita dar a conocer la

rentabilidad de la compañía líder en Fortune 500 durante los pasados diez años.

c) Usted espera graduarse y conseguir su primer empleo como vendedor en una

de las cinco principales compañías farmacéuticas. Al hacer planes para sus

entrevistas, necesitará conocer la misión de la empresa, rentabilidad, productos

y mercados.

d) Usted se encuentra comprando un nuevo reproductor de música MP3, como el

iPod de Apple. El fabricante anuncia la cantidad de pistas que almacena la

memoria. Considere que los anunciantes toman en cuenta piezas de música

popular cortas para calcular la cantidad de pistas que pueden almacenarse. Sin

embargo, usted prefiere las melodías de Broadway, que son más largas. Usted

desea calcular cuántas melodías de Broadway podrá guardar en su reproductor

MP3.

3. Explique la diferencia entre variable discreta y continua. Proporcione un

ejemplo de cada una.


29


Unidad didáctica II. Presentación y Análisis de Datos

INTRODUCCION.

Para la presentación de datos podemos utilizar tablas o cuadros, gráficos y figuras. El

uso de uno u otro vendrá determinado por el tipo de comunicado. Pero todos ellos,

deben seguir unas reglas para su elaboración. Un gráfico ayuda al análisis de datos

de manera que se puedan encontrar tendencias importantes que ayudarán en la toma

de decisiones.

El cálculo o la consideración de las frecuencias ayuda a poder identificar las

tendencias de la información recogida y que estamos analizando, ya que muestras los

valore altos, bajos, medios y aun los menos importantes o que deben ser motivo de

análisis o de volverlos a tomar o revisarlos.

En esta unidad, podremos elaborar las tablas de frecuencias, calcular las frecuencias,

tanto absolutas o relativas y luego presentarlos en diversas graficas estadísticas.

Objetivo.- Organizar los datos obtenidos a través de un cuadro de distribución de

frecuencias para presentarlos a través de una gráfica y la interpretación de resultados

con ética.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE DE LA UNIDAD DIDACTICA II

Actividad De Aprendizaje I De La Unidad Didactica II

Tabla de Frecuencias.- Es la agrupacion de datos sean estos

cualitativos o cuantitativos, mas que nada cuando se tiene

demasiada informacion. Claro que en algunos casos hay

informacion que no es que se pierda pero al establecer intervalos

no brilla con luz propia. Consiste en una tabla.

Presentacion y Analisis de Datos

Distribucion de Frecuencias

Frecuencia Absoluta

Simple Acumulada

Frecuencia Relativa

Decimal Porcentual

Representaciones Graficas

poligono de frecuencia

ojiva histogramadiagrama de barras

circular

Frecuencia Absoluta

Simple

es la cantidad de veces que se

repite un valor en un intervalo de

clase

𝐟𝟏 + 𝐟𝟐 + 𝐟𝟑 +⋯……𝐟𝐧= 𝐍

se lo representa con: f


La sumatoria de las frecuencias absolutas nos da como resultado el numero total de

datos “N”. ∑𝑓 = 𝑁

𝒇𝒓 =𝒇

𝑵 ; esta fórmula se la aplica para cuando se trata de una población.

𝒇𝒓 =𝒇

𝒏; cuando se trata de una muestra.

Generalmente esta frecuencia se la utiliza en forma porcentual. Por lo que la formulas

quedan de la siguiente manera:

𝒇𝒓 =𝒇

𝑵∗ 𝟏𝟎𝟎% o 𝒇𝒓 =

𝒇

𝒏∗ 𝟏𝟎𝟎%

La sumatoria de las frecuencias relativas decimales debe ser igual a 1. Y en forma

porcentual debe ser igual al 100%.

Frecuencia Absoluta

Acumulada

es la suma de las frecuencias del intervalo

mas la frecuencia del intervalo anterior

Se lo representa

como F.

Frecuencia Relativa

es el cociente entre la frecuencia absoluta de

un intervalos y el numero total de datos

se la representa como: fr

Numero de Intervalos.

Es la cantidad de intervalos de clase quetendra nuestro cuadro de distribucion defrecuencias

𝟐𝐤 ≥ 𝐍

Amplitud de Intervalo

Nos permite tener el rango de cada intervalo. oseamarca la distancia entre el limite inferior (li) y ellimite superior (ls).

H Mayor valor de la serie de datos.

𝐢 ≥𝐇−𝐋

𝐤L menor valor de la serie de datos.

k es el numero de intervalos.


31

Ejemplo 1.

Las estaturas en centímetros de los alumnos de tercer semestre de Gestión de la

Producción y Servicios, paralelo “A”, del INSTIPP, son las siguientes:

170; 158;166; 174; 176;178; 180; 169; 175; 177; 175; 178; 176; 177; 176 y 162.

Al considerar todo el paralelo estamos frente a una población, por lo tanto: N = 16.

Primero se ordenan los datos en forma creciente:

158; 162; 166; 169; 170; 174; 175; 175; 176; 176; 176; 177; 177; 178; 178; 180.

Luego calculamos el número de intervalos (k):

2𝑘 ≥ 𝑁 24 = 16, 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜: 𝑘 = 4.

Finalmente calculamos la amplitud del intervalo que nos permite elaborar nuestro

cuadro de distribución de frecuencias.

𝑖 ≥𝐻 − 𝐿

𝑘≥

180 − 158

4≥

22

4≥ 5,50

Podemos quedarnos con la calculada: 𝑖𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎 = 5,50.

O podemos asumir un valor superior, igual debemos declarar cual asumimos, en este

ejemplo yo voy a asumir el valor calculado:

𝑖𝑎𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑜 = 5,50

estatura f F 𝒇𝒓 𝒇𝒓% 𝑭𝒓 𝑭𝒓%

158,00 163,50 2 2 0,1250 12,50 0,1250 12,50

163,50 169,00 1 3 0,0625 6,25 0,1875 18,75

169,00 174,50 3 6 0,1875 18,75 0,3750 37,50

174,50 180,00 10 16 0,6250 62,50 1,0000 100,00

1,0000 100,00

𝒇𝒓 =𝒇

𝑵=

𝟐

𝟏𝟔= 𝟎, 𝟏𝟐𝟓𝟎

Por lo general se trabaja con dos decimales, pero en el caso que la sumatoria de la

frecuencia relativa no sea igual a uno, hay que analizar a que intervalo le quitamos o

le aumentamos decimales para que la suma de 1. Repito el cuadro con dos decimales:


158,00 163,50 2 2 0,13 13,00 0,13 13,00

163,50 169,00 1 3 0,06 6,00 0,19 19,00

169,00 174,50 3 6 0,19 19,00 0,38 38,00

174,50 180,00 10 16 0,63 63,00 1,01 101,00

1,01 100,00

Como podemos observar al redondear a dos decimales en la columna de frecuencia

relativa se obtiene más de uno (1).

Entonces debemos decidir a qué frecuencia le quitamos o le aumentamos lo que falte

o sobre, el hecho es que debe ser igual a uno exactamente.

Entonces podríamos quitar el 0,01 a la frecuencia 0,13 o a 0,63, por ahora le

quitaremos al 0,13 y queda la tabla así:



158,00 163,50 2 2 0,12 12,00 0,12 12,00

163,50 169,00 1 3 0,06 6,00 0,18 18,00

169,00 174,50 3 6 0,19 19,00 0,37 37,00

174,50 180,00 10 16 0,63 63,00 1,00 100,00

1,00 100,00

Ejemplo 2

Se tiene el siguiente reporte de casos

de coronavirus al 31 de mayo de 2020 en

24 provincias del Ecuador, como se

observa en el siguiente cuadro:

elaborar un cuadro de distribución de

frecuencias con la cantidad de

contaminados por Provincia.

Iniciamos ordenando la información:

76, 105, 110, 152, 186, 201, 203, 228,

237, 312, 331, 357, 395, 398, 477, 771,

852, 869, 1043, 1094, 1509, 2235, 3940,

14061.

Calculamos el número de intervalos:

2𝑘 ≥ 24

25 ≥ 24 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜: 𝑘 = 5

𝑖 ≥𝐻 − 𝐿

𝑘≥

14061 − 76

5

𝑖 ≥13985

5: por lo tanto: 𝑖𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 ≥ 2797 𝑖𝑎𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑜 = 2800

contagiados f F 𝒇𝒓 𝒇𝒓% 𝑭𝒓 𝑭𝒓%

76 2876 22 22 0,92 92,00 0,92 92,00

2876 5676 1 23 0,04 4,00 0,96 96,00

5676 8476 0 23 0,00 0,00 0,96 96,00

8476 11276 0 23 0,00 0,00 0,96 96,00

11276 14076 1 24 0,04 4,00 1,00 100,00

1,00 100,00

Foro:

Utilidad de los cuadros de distribución de frecuencias

Ejemplo 3.

De datos cualitativos:

La empresa Oro auto de la ciudad de Machala, registro las siguientes ventas de autos

en el mes de enero de 2020.

Nissan 26; Mazda 31; kia 42; Hunday 28; Chevrolet 50.

Elaborar un cuadro de frecuencias.

marca f F 𝒇𝒓 𝒇𝒓% 𝑭𝒓 𝑭𝒓%


33

Nissan 26 26 0,15 15,00 0,15 15,00

Hunday 28 54 0,16 16,00 0,31 31,00

Mazda 31 85 0,17 17,00 0,48 48,00

Kia 42 127 0,24 24,00 0,72 72,00

Chevrolet 50 177 0,28 28,00 1,00 100,00

177 1,00 100,00

Tarea.

Al observar el cuadro nos damos cuenta que se elaboró el cuadro

en base a la frecuencia absoluta simple, ósea a la cantidad de

vehículos vendidos en forma creciente sin importar la marca.

La ventaja principal de organizar los datos en la distribución de

frecuencias estriba en que nos permite visualizar de manera

rápida la forma de la distribución sin necesidad de llevar a cabo

ningún cálculo. En otras palabras, podemos ver dónde se

concentran los datos y, asimismo, determinar si hay valores

extremadamente grandes o pequeños.

Sin embargo, hay dos desventajas que se presentan al organizar los datos en la

distribución de frecuencias:

1) se pierde la identidad exacta de cada valor;


2) no es clara la forma en que los valores de cada clase se distribuyen. Para mayor

precisión.

Diagrama de Tallo y Hoja.

La ventaja de usar esta representación es que considera todos los

valores observados, pudiendo identificar quien tiene mayor o

menor repetición o frecuencia, no se pierden o se esconden los

valores como ocurre en el cuadro de distribución de frecuencias.

Si recordamos el ejemplo de contagiados por Covid 19 en las 24 Provincias de el

Ecuador, en el cuadro de distribución de frecuencias observamos que la amplitud es

de 2800, pero que ocurre con los valores intermedios, simplemente se pierden por que

utilizamos un intervalo.

Para explicar el Diagrama de Tallo y Hoja nos valdremos del siguiente ejercicio.

Supóngase que tenemos el siguiente cuadro de distribución de frecuencias:

Edad de personas

que asisten al cine

frecuencia

10 25 3

25 40 7

40 55 4

55 70 9

70 85 11

85 90 8

Y si analizamos cada intervalo nos damos cuenta que hay una distancia en cada

intervalo de 15, y no podemos visualizar que valores hay en la parte intermedia.

Por ejemplo, en el cuadro de frecuencias del ultimo intervalo nos da la siguiente

información:

85 90 8

Pero en realidad no sabemos que valores hay entre 85 y 90, solo se ve que hay 8

valores.

Y si la serie de datos del cuadro anterior de manera ordenada es la siguiente:

10,18,19,25,28,28,29,30,36,39,40,48,52,54,54,55,59,59,63,68,68,68,69,69,72,73,74,

78,80,80,80,83,83,84,84,86,87,87,88,88,89,90.

Ahora si se identifica que valores van de 85 a 90, entonces la representación de tallo

y hoja lo que hace es considerar cada valor.


35

Es importante siempre ordenar la serie de datos y el diagrama de tallo y hoja queda

así:

TALLO HOJA

1 0,8,9

2 5,8,8,9

3 0,6,9

4 0,8

5 2,4,4,5,9,9

6 3,8,8,8,9,9

7 2,3,4,8

8 0,0,0,3,3,4,4,6,7,7,8,8,9

9 0

Analizando la información observamos que por ejemplo 3 personas van al cine, una

de 10 años otra de dieciocho y otra de 19, también podemos observar que los que

más asisten al cine están entre los 80 y 89 años de edad, podría ser que se trate de

alguna obra de sus tiempos, y así se puede identificar cada valor.

Este diagrama si bien es cierto nos refleja la información real, cuando se trata de

información abundante se vuelve poco manejable y se recurre a otros diagramas o al

cuadro de frecuencias.

Diagrama De Tallo Y Hoja

Tallo

Es el digito o digitos principales

Hojas

Son los digitos secundarios


Taller.

Actividad De Aprendizaje II De La Unidad Didáctica II

Representación Gráfica de una Distribución de Frecuencias.

Estas representaciones graficas son preferidas en las empresas

y en forma general, ya que nos muestran la información, de

manera más clara, se puede identificar las tendencias, o lo que

ocurre con cierta información que se ha procesado.

Polígono de Frecuencia.- Consiste en segmentos de recta que

conectan los puntos que forman las intersecciones de los puntos

medios de clase y las frecuencias de clase. Por lo que en nuestro

cuadro de distribución de frecuencias debemos agregar el punto

medio de clase. En este tipo de graficas generalmente se

representa la frecuencia absoluta simple.

Vamos a realizar el polígono de frecuencias del ejemplo 1, para lo cual copiaremos el

cuadro de frecuencias, únicamente hasta la frecuencia absoluta, y le agregaremos el

punto medio.

Punto medio de clase

𝐱𝐦 =𝐋𝐬 + 𝐋𝐢

𝟐


37

𝐱𝐦 =𝐋𝐬 − 𝐋𝐢

𝟐=

𝟏𝟔𝟑, 𝟓𝟎 + 𝟏𝟓𝟖

𝟐=

𝟑𝟐𝟏, 𝟓𝟎

𝟐

𝐱𝐦 = 𝟏𝟔𝟎, 𝟕𝟓

Histograma. - Es una representación gráfica de una variable en forma de barras,

donde la superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores

representados. En el eje vertical se representan las frecuencias, y en el eje horizontal

los valores de las variables, normalmente señalando las marcas de clase, es decir, la

mitad del intervalo en el que están agrupados los datos.

Se utiliza cuando se estudia una variable continua, como franjas

de edades o altura de la muestra, y, por comodidad, sus valores

se agrupan en clases, es decir, valores continuos. En los casos

en los que los datos son cualitativos (no-numéricos), como sexto

grado de acuerdo o nivel de estudios, es preferible un diagrama

de sectores.

Los histogramas son más frecuentes en ciencias sociales,

humanas y económicas que en ciencias naturales y exactas. Y

permite la comparación de los resultados de un proceso.

Foro.

Representaciones Graficas Estadísticas

Tomaremos la información del ejemplo 1, en lo que respecta a intervalos de clase y

frecuencia absoluta simple:

estatura 𝐱𝐦 f

158,00 163,50 160,75 2

163,50 169,00 166,25 1

169,00 174,50 171,75 3

174,50 180,00 177,25 10


estatura f

158,00 163,50 2

163,50 169,00 1

169,00 174,50 3

174,50 180,00 10

Tarea-

Polígono De Frecuencia Acumulada.- Se conoce como polígonos de frecuencia

para datos agrupados a aquellos que se desarrollan mediante la marca de clase que

tiene coincidencia con el punto medio de los distintos intervalos. En el momento de la

representación de todas las frecuencias acumuladas que forman parte de una tabla

de datos agrupados.

Seguiremos trabajando con la información del ejemplo 1.

estatura Xm f F

158,00 163,50 160,75 2 2

163,50 169,00 166,25 1 3

169,00 174,50 171,75 3 6

174,50 180,00 177,25 10 16


39

Diagrama Circular.- Los gráficos circulares, también llamados gráficos de pastel o

gráficas de 360 grados, son recursos estadísticos que se utilizan para representar

porcentajes y proporciones. El número de elementos comparados dentro de un gráfico

circular puede ser de más de 5, y los segmentos se ordenan de mayor a menor,

iniciando con el más amplio a partir de las 12, como en un reloj.

Una manera fácil de identificar los segmentos es sombreando de claro a oscuro, donde

el de mayor tamaño por lo general es el más claro y el de menor tamaño, el más

oscuro.

En este tipo de grafico generalmente se trabaja con la frecuencia relativa, más que

nada porcentual, pero mientras más información se introduzca mejor, para la

interpretación gráfica.

El cuadro del ejemplo 3 lo tomamos para este gráfico, ya que por lo general se lo

utiliza para datos cualitativos.

marca f 𝒇𝒓 𝒇𝒓%

Nissan 26 0,15 15,00

Hunday 28 0,16 16,00

Mazda 31 0,17 17,00

Kia 42 0,24 24,00

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

155,25 160,75 166,25 171,75 177,25 182,75

FREC

UEN

CIA

AC

UM

ULA

DA

Poligono de Frecuencias Acumuladas ventas de Autos e n Oroauto Machala

http://es.wikipedia.org/wiki/Estad%C3%ADstica

http://es.wikipedia.org/wiki/Porcentaje

http://es.wikipedia.org/wiki/Proporci%C3%B3n


Chevrolet 50 0,28 28,00

177 1,00 100,00

Diagrama de Barras.- Un diagrama de barras, también conocido como diagrama de

columnas, es una forma de representar gráficamente un conjunto de datos o valores

y está conformado por barras rectangulares de longitudes proporcionales a los valores

representados. Los gráficos de barras son usados para comparar dos o más valores.

Las barras pueden orientarse vertical u horizontalmente.

Este tipo de graficas también se lo utiliza mucho para representar información

cualitativa.

marca f

Nissan 26

Hunday 28

Mazda 31

Kia 42

Chevrolet 50

177

Chevrolet28%50

Kia24%42

Mazda17%31

Hunday16%28

Nissan15%26

AUTOS VENDIDOS ENERO EN OROAUTO

Chevrolet Kia Mazda Hunday Nissan

http://es.wikipedia.org/wiki/Rect%C3%A1ngulo

http://es.wikipedia.org/wiki/Longitud


41

Taller.

26 2831

42

50

0

10

20

30

40

50

60

Nissan Hunday Mazda Kia Chevrolet

MARCAS DE VEHICULOS

Vehiculos vendidos en enero en oroauto

Nissan Hunday Mazda Kia Chevrolet


I. Una tabla de frecuencias es una agrupación de datos

cualitativos en clases mutuamente excluyentes, que

muestra el número de observaciones que hay en cada

clase.

II. Una tabla de frecuencias relativas muestra la fracción del número de

frecuencias en cada clase.

III. Una gráfica de barras es una representación de una tabla de frecuencias.

IV. Una gráfica de pastel muestra la parte que cada clase representa del número

total de frecuencias.

V. Una distribución de frecuencias es una agrupación de datos en clases

mutuamente excluyentes que muestra el número de observaciones que hay en

cada clase.

A. Los pasos para construir una distribución de frecuencias son los siguientes:

1. Decidir el número de clases.

2. Determinar el intervalo de clase.

3. Establecer los límites de cada clase.

4. Anotar los datos en bruto de las clases.

5. Enumerar los elementos en cada clase.

B. La frecuencia de clase es el número de observaciones que hay en cada

clase.

C. El intervalo de clase es la diferencia entre los límites de dos clases

consecutivas.

D. El punto medio de clase representa la mitad entre los límites de clases

consecutivas.

VI. Una distribución de frecuencias relativas muestra el porcentaje de

observaciones de cada clase.


43

VII. Existen tres métodos para hacer una representación gráfica de una distribución

de frecuencias.

A. Un histograma representa el número de frecuencias en cada clase en forma

de rectángulo.

B. Un polígono de frecuencias consiste en segmentos de recta que unen los

puntos formados por la intersección del punto medio de clase con la frecuencia

de clase.

C. Una distribución de frecuencias acumulativas muestra el número o

porcentaje de observaciones por debajo de valores dados.

Actividades de Auto - Evaluación De La Unidad II.

1. un conjunto de datos incluye 85 observaciones. ¿Cuántas clases

recomendaria para elaborar una distribucion de frecuencias.

2. Un conjunto de datos consta de 184 observaciones que van de 62

a 530.

a. ¿Qué intervalo de clase recomendaria?

b. ¿Qué amplitud de intervalos usaria ud?

3. A continuacion se muestra el numero de minutos que emplea un grupo de ejecutivos

para viajar en automovil de su casa al trabajo.

a) ¿Cuántas clases recomendaría?

b) ¿Cuántos intervalos de clase sugeriría?

c) ¿Qué intervalo de clase sugeriría como límite inferior de la primera clase?

d) Organice los datos en una distribución de frecuencias.

e) Comente la forma de la distribución de frecuencias.

f) Elabore un polígono de frecuencias

4. Los siguientes datos proporcionan las cantidades semanales que gasta en

abarrotes una muestra de hogares.

a) ¿Cuántas clases recomendaría?

b) ¿Qué intervalo de clase sugeriría?

c) ¿Cuál recomendaría como límite inferior de la primera clase?

d) Organice los datos en una distribución de frecuencias.

e) construya un histograma.

Actividad Final de la Unidad II

1.- Un científico social investiga el uso de iPods entre los estudiantes universitarios.

Una muestra de 45 estudiantes reveló que escucharon ayer el siguiente número de

canciones.


Organice esa información en una distribución de frecuencias.

a) ¿Cuántas clases sugiere?

b) ¿Cuál es el intervalo de clase más apropiado?

c) ¿Cuál es el límite inferior de la clase inicial?

d) Elabore la distribución de frecuencias.

e) Describa el perfil de la distribución.

f) Construya una ojiva o polígono de frecuencias acumuladas.

2.- El siguiente histograma muestra los resultados en el primer examen de una clase

de estadística.

a) ¿Cuántos estudiantes presentaron el examen?

b) ¿Cuál es el intervalo de clase?

c) ¿Cuál es el punto medio de la primera clase?

d) ¿Cuántos estudiantes obtuvieron un resultado inferior a 70?

3. En 2006, Canadá exportó productos a Estados Unidos por un valor de 303.4 mil

millones de dólares. Los cinco productos principales fueron:

a) Realice una gráfica de barras.

b) ¿Qué porcentaje de las exportaciones totales de Canadá a Estados Unidos

representan las categorías “Derivados del petróleo” y “Autos de pasajeros”?


45

c) De los cinco principales productos de exportación, ¿qué porcentaje del total

representan “Derivados del petróleo” y “Autos de pasajeros”?

4. Merrill Lynch concluyó un estudio relacionado con el tamaño de las carteras de

inversión en línea (acciones, bonos, fondos mutuos y certificados de depósito) en una

muestra de clientes del grupo de 40 a 50 años de edad. A continuación, aparece el

valor de las inversiones en miles de dólares de los 70 participantes.

a) Organice los datos en una distribución de frecuencias.

b) ¿Cuántas clases sugeriría? ¿Qué valor propondría para un intervalo de clase?

c) Diseñe un histograma. Interprete el resultado que obtuvo.



Unidad didáctica III. Medidas De Tendencia Central

INTRODUCCION.

Después de haber aprendido en unidad II a construir tablas de frecuencias y haber

realizado alguna representación gráfica, el siguiente paso para llevar a cabo un

estudio preliminar de los datos recogidos es el cálculo de diferentes magnitudes

características de la distribución. Se definen entonces diversas medidas que serán

capaces de resumir toda la información recogida a un pequeño número de valores.

Estas medidas resumidas van a permitir comparar nuestra muestra con otras y dar

una idea rápida de cómo se distribuyen los datos. Es evidente que todas estas

medidas solo pueden definirse para variables cuantitativas.

A las medidas de ubicación a menudo se les llama promedios. El propósito de una

medida de ubicación consiste en señalar el centro de un conjunto de valores.

La mayor parte de las serie de datos muestran una clara tendencia a agruparse

alrededor de un cierto punto central. Así pues, dada cualquier serie de datos particular,

por lo general es posible seleccionar algún valor o promedio típico para describir toda

la serie de datos. Este valor descriptivo típico es una medición de tendencia central o

de ubicación.

Objetivo: Calcular las Medidas de Tendencia Central a través de los algoritmos de

resolución para una correcta toma de decisiones y con mucha responsabilidad.

Medidas de Tendencia Central

datos no agrupados

Media Aritmetica

muestral poblacional Geometrica Ponderada

Mediana Moda

Datos Agrupados

Media Aritmetica

Muestral poblacional geometrica Ponderada

Mediana Moda

https://aprendiendoadministracion.com/los-datos-estadisticos-tipos-y-tecnicas-de-obtencion/


47

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE DE LA UNIDAD DIDACTICA III

Actividad De Aprendizaje I De La Unidad Didactica III

Media Aritmética Datos No Agrupados.

Media Muestral.- Cuando se tiene una serie de datos no

agrupados y que corresponden a una parte de una población,

estamos frente a la media muestral, que es la suma de todas las

observaciones y dividida para el numero de términos. Se la calcula

así: �̅� =∑𝒙

𝒏

La media de una muestra o cualquier otra medición basada en

una muestra de datos recibe el nombre de estadístico

Estadístico.- Es la característica de una muestra.

Ejemplo:

Un grupo de empleados de un Supermercado, tienen los siguientes descuentos en

dólares en el mes de mayo 2020.

15. 23, 25, 18, 32, 24, 27, 21, 34, 33, 26, 22, 28.

Se ordena la información: 15, 18, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 32, 33, 34.

Aplicamos la fórmula:

�̅� =∑ 𝑥

𝑛=

15 + 18 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 32 + 33 + 34

13

�̅� =328

13= 25,23

Media Muestral

Valores De La

Muestra

x

Sumatoria.

∑

simbolo de la media

�̅�

numero de

terminos

n


Por lo que se concluye que el valor medio de descuentos que tuvieron los empleados

del supermercado es de $25,23.

Tarea.

1. Los ingresos anuales de una muestra de empleados de

administración media en Indurama son: $42 900, $49 100, $48

300 y $56 800.

a) Proporcione la fórmula de la media muestral.

b) Determine la media muestral.

c) ¿Es la media que calculó en el inciso b) un estadístico o un parámetro? ¿Por qué

razón?

2. Calcule la media de los siguientes valores muestrales: 16.25, 12.91, 14.58.

3. El director de relaciones humanas de Ford inició un estudio de las horas de trabajo

extra en el Departamento de Inspección. Una muestra de 15 trabajadores reveló que

éstos laboraron la siguiente cantidad de horas extras el mes pasado.

Si al ejercicio que resolvimos le aplicamos:

∑(𝑥 − �̅�) = (15 − 25,23) + (18 − 25,23) + (21 − 25,23) + (22 − 25,23) + (23 − 25,23) +

(24 − 25,23) + (25 − 25,23) + (26 − 25,23) + (27 − 25,23) + (28 − 25,23) + (32 − 25,23) +

(33 − 25,23) + (34 − 25,23)

∑(𝑥 − �̅�) = = −10,23 − 7,23 − 4,23 − 3,23 − 2,23 − 1,23 − 0,23 + 0,77 + 1,77 + 2,77 + 6,77

+ 7,77 + 8,77 = 0

Como se observa se cumple la propiedad.

La media es única. Sólo existe una media en un conjunto de

datos.

Todo conjunto de datos de intervalo o denivel de razón posee una media.Recuerde que los datos del nivel de razónincluyen datos como edades, ingresos ypesos, y que la distancia entre losnúmeros es constante.

La suma de las desviaciones de cada valor de la media es cero.

Expresado simbólicamente,

∑⬚ 𝒙− �̅� = 𝟎

Todos los valores se encuentran incluidos en el cálculo de la media.

Propiedades De La Media

Aritmetica


49

La media tiene un punto débil. Recuerde que el valor de cada elemento de una

muestra, o población, se utiliza cuando se calcula la media. Si uno o dos de estos

valores son extremadamente grandes o pequeños comparados con la mayoría de los

datos, la media podría no ser un promedio adecuado para representar los datos.

Media Poblacional. El cálculo es igual al caso anterior, pero cambia su simbología,

ya que se trata de una población.

𝜇 =∑𝑥

𝑁

Cualquier característica medible de una población recibe el

nombre de parámetro. La media de una población es un

parámetro.

Parámetro.- característica de una Población.

Foro.

Medidas de Tendencia Central para datos no agrupados.

Ejemplo:

Los trabajadores de la empresa Macondoc, reciben los siguientes sueldos mensuales:

580, 610, 650, 480, 530, 630, 600, 670, 540 y 640, calcular el sueldo mensual medio

de casa trabajador.

Se lo considera que es una población ya que toma en cuenta a todos los trabajadores.

Primero se ordena la información:

480, 530, 540, 580, 600, 610, 630, 640, 650, 670

𝜇 =∑𝑥

𝑁=

480 + 530 + 540 + 580 + 600 + 610 + 630 + 640 + 650 + 670

10

Media Poblacional

Valores De La Muestra

x

Sumatoria.

∑

simbolo de la media

Poblacional

μ

numero de

terminos

N


𝜇 =5930

10= 593.

Entonces el sueldo mensual promedio de cada trabajador de Macondoc es de 593

dólares mensuales.

Tarea.

1. Todos los estudiantes de una determinada clase constituyen

una población. Sus calificaciones en el curso son de 92, 96,

61, 86, 79 y 84.

a) Proporcione la fórmula de la media poblacional.

b) Calcule la calificación media del curso.

c) ¿Es la media que calculó en el inciso b) un estadístico o un parámetro? ¿Por qué

razón?

2. Calcule la media de la siguiente población de valores: 7, 5, 7, 3, 7, 4.

3. Plantee usted un ejercicio, que tenga que ver con los gastos diarios de su hogar,

considere que la información se trata de una población, analice el resultado.

Media Geométrica.- La media geométrica resulta útil para determinar el cambio

promedio de porcentajes, razones, índices o tasas de crecimiento. Posee amplias

aplicaciones en la administración y la economía, ya que con frecuencia hay interés en

determinar los cambios porcentuales de ventas, salarios o cifras económicas, como el

producto interno bruto, los cuales se combinan o se basan unos en otros. La media

geométrica de un conjunto de n números positivos se define como la raíz enésima de

un producto de n variables. La fórmula de la media geométrica se escribe de la

siguiente manera:

𝐌𝐆 = √𝒙𝟏. 𝒙𝟐 …… . . 𝒙𝒏𝒏 .

La Media Geométrica, siempre es menor a la media aritmética, y si se trata de una

serie de datos, con demasiados valores o valores muy altos resulta un poco dificultoso

su cálculo, por lo que la media geométrica más bien se la utiliza para otros fines.

Ejemplo. La siguiente información corresponde a la cantidad de vehículos que han

cometido una infracción de tránsito durante cinco días: 3, 5, 4, 2, 6. Calcular la media

geométrica.

Igual primeramente ordenamos los datos: 2, 3, 4, 5, 6.

𝑀𝐺 = √𝑥1. 𝑥2. 𝑥3. 𝑥4. 𝑥5𝑛 = √2.3.4.5.6

5= √720

5= 3,73

Que sería el valor medio de infracciones de tránsito diarias

Si calculáramos la media aritmética tendríamos:

�̅� =∑𝑥

𝑛=

2 + 3 + 4 + 5 + 6

5=

20

5= 4

Como observamos se cumple que: 𝑀𝐺 < �̅�

Aumento Porcentual Promedio Para Un Periodo Determinado

determinar, el aumento promedio porcentual de una población.

Por ejemplo, calcular el aumento porcentual promedio de los casos de covid 19 en

Ecuador si el 29 de marzo de 2020 eran 1924 y el 27 de abril son 23240.


51

Este aumento se lo calcula por medio de la siguiente formula:

𝐌𝐆 = √𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒂𝒍 𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 𝒅𝒆𝒍 𝒑𝒆𝒓𝒊𝒐𝒅𝒐

𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒂𝒍 𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒑𝒆𝒓𝒊𝒐𝒅𝒐

𝒏

− 𝟏

Del 29 de marzo al 27 de abril son 30 días, por lo tanto: n = 30

𝐌𝐆 = √𝟐𝟑𝟐𝟒𝟎

𝟏𝟗𝟐𝟒

𝟑𝟎

− 𝟏 = √𝟏𝟐,𝟎𝟕𝟗𝟑𝟎

− 𝟏 = 𝟏, 𝟎𝟖𝟔𝟔 − 𝟏 = 𝟎, 𝟎𝟖𝟔𝟔

Para expresarlo en porcentaje lo multiplicamos por 100: lo que nos daría un 8,66% de

incremento diario de casos de Covid 19 en Ecuador.

Media Ponderada. Es un caso particular de la media aritmética, y se presenta cuando

existen valores que son repetitivos en una serie de datos.

La expresión que nos ayuda en el cálculo es:

Donde:

Por ejemplo, la empresa Macondoc, tiene 3 choferes con un sueldo de $ 680,

mensuales, 5 oficiales de albañilería que tienen un sueldo de $ 400, 4 maestros con

un sueldo de $ 720 y 6 pintores con un sueldo de $ 640. En este ejemplo si

desglosáramos cada sueldo, tendríamos datos, pero como hay valores comunes

aplicamos la fórmula de media ponderada.

�̅�𝑤 =𝑤1𝑥1 + 𝑤2𝑥2 + 𝑤3𝑥3 + 𝑤4𝑥4

𝑤1 + 𝑤2 + 𝑤3 + 𝑤4=

3(680) + 5(400) + 4(720) + 6(640)

3 + 5 + 4 + 6

�̅�𝑤 =2040 + 2000 + 2880 + 3840

18=

10760

18= 597,78

Entonces el sueldo promedio mensual de Macondoc es de: $ 597,78.

La fórmula en forma resumida queda:

frecuencia:

w

Valor Observado:

x

𝐌𝐞𝐝𝐢𝐚

𝐏𝐨𝐧𝐝𝐞𝐫𝐚𝐝𝐚

𝐱𝐰


La Mediana Para Datos No Agrupados. En un conjunto de datos, la mediana es el

valor central, o sea que la mitad de datos están por debajo de la mediana y la otra

mitad están por encima de ella.

Se dice que la mediana es más representativa que la media aritmética.

La representaremos como: 𝑀𝑒.

En el caso que la serie de datos sea impar la ubicación de la mediana será:

𝑛 + 1

2

Cuando la serie de datos es par podríamos ubicar los dos valores centrales y sacamos

el promedio de los dos valores.

Ejemplo.

Calcular la mediana de los sueldos mensuales de los trabajadores de la empresa

Macondoc.

580, 610, 650, 480, 530, 630, 600, 670, 540 y 640,

Primero se ordena la información:

480, 530, 540, 580, 600, 610, 630, 640, 650, 670; observamos que la serie de datos

es par, por lo que la mediana será el promedio de los dos valores que se ubican en el

centro, así:

𝑀𝑒 =600+610

2=

1210

2= 605

De acuerdo a la Mediana el sueldo medio mensual sería de $ 605.

Si lo comparamos con el valor de la media observamos que existe una diferencia de

$ 12, que en todo caso es aceptable.

Ejemplo. Calcular la Mediana de un grupo de empleados de un Supermercado de la

ciudad de Machala y que tienen los siguientes descuentos en dólares en el mes de

mayo 2020.

15. 23, 25, 18, 32, 24, 27, 21, 34, 33, 26, 22, 28.

Se ordena la información: 15, 18, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 32, 33, 34.

Como es una serie impar aplicamos: 𝑛 + 1

2=

13 + 1

2=

14

2= 7

Lo que nos indica que la mediana es el dato que está en la posición 7. Que

correspondería al dato: $ 25. Que sería el descuento medio.

La Moda.- simplemente es el valor que más se repite, necesariamente no representa

un valor medio o de posición central.

Cuando existen dos valores que tienen igual número de datos se dice que es una serie

de datos bimodal.

Si hubieran más de dos valores con igual número de repeticiones se dice que la serie

es polimodal.

Si no existen números que se repitan se dice que no existe moda.

En realidad, la moda no se utiliza mucho con los datos numéricos. Sin embargo, entre

las diferentes medidas de tendencia central que consideramos, la moda es la única


53

que puede usarse con datos de nivel de medición nominal. (Recuerde que el nivel de

medición nominal se refiere a datos que consisten únicamente en nombres, etiquetas

o categorías).

La representaremos como: Mo.

La siguiente información corresponde al promedio de calificaciones en Estadística

Descriptiva de los alumnos de Tercer Semestre de Gestión de Producción y Servicios

2019. Encontrar la moda.

7,97; 7,61; 7,97; 7,56; 8,05; 8,32; 7,61; 7,83; 7,98; 7,00; 8,03; 8,27; 8,75; 7,48; 7,80.

Ordenando las notas se tendría:

7,00; 7,48; 7,56; 7,61; 7,61; 7,80; 7,83; 7,97; 7,97; 7,98; 8,03; 8,05; 8,27; 8,32; 8,75

Por lo que la moda seria: 7,61 y 7,97 ; por lo tanto, esta serie de datos es bimodal.

Ejemplo.

La empresa Oro auto de la ciudad de Machala, registro las siguientes ventas de autos

en el mes de enero de 2020.

Nissan 26; Mazda 31; kia 42; Hunday 28; Chevrolet 50.

Tarea.

1. En junio, una inversionista compró 300 acciones de Oracle

(una compañía de tecnología de la información) a $20 cada

una. En agosto compró 400 acciones más a $25. En

noviembre compró otras 400 acciones, pero el precio bajó a

$23 cada título. ¿Cuál es el precio promedio ponderado de

cada acción?

2. ¿Qué informaría usted como valor modal de un conjunto de observaciones si

hubiera un total de:

a) 10 observaciones y no hubiera dos valores iguales;

b) 6 observaciones, todas iguales;

c) 6 observaciones con valores de 1, 2, 3, 4 y 4?

3. La empresa de contabilidad de Aguilar & Aguilar de la ciudad de Machala se

especializa en la elaboración de declaraciones del impuesto sobre la renta de

profesionales independientes, como médicos, dentistas, arquitectos y abogados.

La firma emplea a 11 contadores que preparan declaraciones. El año pasado, el

número de declaraciones que elaboró cada contador fue la siguiente:

58 75 31 58 46 65 60 71 45 58 80

Determine la media, la mediana y la moda de los números de declaraciones que

elaboró cada contador. Si usted elaborara una, ¿qué medida de ubicación

recomendaría?


En este ejemplo la moda seria la marca Chevrolet por ser el más vendido en el mes

de enero

Ejemplo.

La siguiente información corresponde a computadoras vendidas en un almacén de la

localidad, encontrar la moda.

9, 2, 5, 7, 5, 3, 8, 9, 4, 2, 6, 8, 5, 6, 10, 12, 5, 7, 11, 8, 4, 5, 6, 13, 10, 5, 7, 11, 8, 8, 6.

Ordenamos los datos:

2, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 11, 11, 12, 13.

Por lo que en este ejemplo la moda seria 5. Y es única.

Taller. La tasa de desempleo en el estado de Alaska durante los

12 meses de 2004 aparece en la siguiente tabla:

a) ¿Cuál es la media aritmética de la tasa de desempleo en Alaska?

b) Encuentre la media y la moda de la tasa de desempleo.

c) Calcule la media aritmética y la mediana sólo de los meses de invierno (de

diciembre a marzo). ¿Es muy diferente?

2. Estime la media geométrica de los siguientes incrementos porcentuales: 2, 8,

6, 4, 10, 6, 8 y 4.

3. El U.S. Bureau of Labor Statistics publica mensualmente el índice de precios al

consumidor. Informa el cambio de precios de una canasta de artículos en el

mercado de un periodo a otro. El índice de 2000 fue de 172.2. En 2019 se

incrementó a 614.5. ¿Cuál es el aumento porcentual anual promedio del

periodo?

28% 24% 17% 16% 15%

50

42

3128

26

Chevrolet Kia Mazda Hunday Nissan

frec

uen

cia

Autos vendidos Enero en Oroauto


55

Actividad De Aprendizaje II De La Unidad Didactica III

Medidas De Tendencia Central Para Datos Agrupados.

Para proceder al cálculo de las medidas de tendencia central para

datos agrupados debemos recurrir a las tablas de distribución de

frecuencias, para considerar los intervalos de clase y más que

nada los puntos medios de clase o marca de clase como se la

conoce, las frecuencias absolutas simples, las frecuencias

absolutas acumuladas y el número de datos.

La Media Aritmética. Para el cálculo de la media aritmética de

datos agrupados usamos la siguiente formula:

�̅� =∑ 𝑓. 𝑥𝑚

𝑛 𝑠𝑖 𝑠𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎.

�̅� =∑𝑓. 𝑥𝑚

𝑁 𝑠𝑖 𝑠𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛.

Ejemplo.

Las estaturas en centímetros de los alumnos de tercer semestre de Gestión de la

Producción y Servicios, paralelo “A”, del INSTIPP, son las siguientes:

170; 158;166; 174; 176;178; 180; 169; 175; 177; 175; 178; 176; 177; 176 y 162.

Calcule la media aritmética para datos agrupados.

Para ello copiamos el cuadro de distribución de frecuencias realizado anteriormente.

Eliminamos ciertas columnas y aumentamos otras, recordando que siempre debemos

hacer el proceso para la construcción de cuadros de frecuencia.

estatura 𝑥𝑚 f f. xm

158,00 163,50 160,75 2 321,50

163,50 169,00 166,25 1 166,25

169,00 174,50 171,75 3 515,25

174,50 180,00 177,25 10 1772,50

total 16 2775,50

�̅� =∑𝑓. 𝑥𝑚

𝑁=

2775,50

16= 173,47 𝑐𝑚𝑠.

Tarea.

La siguiente información recogida del INEC sobre el precio de la

canasta básica en el mes de mayo del 2019 (color oscuro) y

mayo del 2020 (color claro)


Calcular la media aritmética para datos agrupados, de los dos periodos, analizarlos

de manera general y comparar entre el precio de la canasta básica de la costa y el

de la sierra.

La Mediana.

Para el caso de datos agrupados, se debe aplicar una fórmula:

𝑀𝑒 = 𝐿𝑖 +

𝑛2 − 𝐹

𝑓𝑖

Donde:

Me Mediana.

𝐿𝑖 Límite inferior del intervalo donde se ubica la Mediana.

n numero de términos.

F Frecuencia absoluta acumulada del intervalo anterior a donde se presume esta

la mediana.

i Amplitud del intervalo.

f frecuencia absoluta simple donde se encuentra ubicada la mediana.

Para ubicar la mediana en un cuadro de distribución de frecuencias, se divide el

número de datos para 2 y se compara con la frecuencia acumulada que sea igual o

superior y ahí en ese intervalo se ubica la mediana.

En este caso: 𝑛

2=

16

2= 8, ubicamos 8 o el inmediatamente superior a 8 en la

columna de la frecuencia acumulada y ese valor seria 16, por lo que nuestra mediana

va a estar ubicada en el último intervalo.

n = 16. 𝐿𝑖 = 174,50

F = 6 i = 5,50

f = 10 Ubicación de la mediana

estatura f F

158,00 163,50 2 2

163,50 169,00 1 3

169,00 174,50 3 6

174,50 180,00 10 16

total 16


57


𝑛2 − 𝐹

𝑓𝑖 = 174,50 +

8 − 6

10. 5,50 = 174,50 +

2

10. 5,50 = 174,50 + 1,10

𝑀𝑒 = 175,60

Si el valor de la mediana esta entre los valores del intervalo escogido, quiere decir que

está bien calculada y ese sería el valor de la mediana.

En el caso que escogiéramos un intervalo equivocado, por ejemplo, el anterior:

𝑀𝑒 = 𝐿𝑖 +𝑛

2−𝐹

𝑓𝑖 = 169 +

8−3

3. 5,50 = 169 +

27,50

3= 169 + 9,17 = 178,17.

Como se aprecia este valor de la mediana no está en el intervalo anterior nos envía al

siguiente intervalo.

Tarea.

Calcular la mediana para datos agrupados, del ejercicio de la

tarea anterior, de los dos periodos, analizarlos de manera general

y comparar entre el precio de la canasta básica de la costa y el de

la sierra.

Foro.

Aplicaciones de las medidas de tendencia central para datos

agrupados

La Moda.- Para datos agrupados se considera el intervalo de mayor frecuencia y se

considera el valor medio como moda.

Para el caso del ejemplo anterior la moda estaría en el último intervalo porque tiene

frecuencia 16, y seria.

𝑀𝑜 =174,50 + 180,00

2=

354,50

2= 177,25.

Que vendría a ser la moda.

Tarea.

Calcular la moda del ejercicio de la tarea anterior

Posiciones Relativas de la Media, Mediana y Moda.

Cuando las medidas de Tendencia Central

son iguales, se tiene una distribución

simétrica en forma de campana.

En el caso de este grafico se aprecia que las

tres medidas de tendencia central son

iguales, la línea entre cortada del histograma

nos indica que está en el centro y hacia la

izquierda y hacia la derecha se observa que

tiene la misma forma ósea es simétrica.


Ejemplo.

La siguiente información, corresponde a los pacientes atendidos diariamente en un

subcentro de salud de la ciudad de Machala por asuntos de gripe. Calcular las

medidas de tendencia central para datos no agrupados y para datos agrupados y

comentar y comparar los resultados, además ubique las medidas de tendencia central

en la gráfica.

31, 36,15, 24, 28, 38, 22, 21, 37, 22, 33, 26, 34, 19,23, 33, 18, 27, 32, 29, 26, 28.

Ordenamos la información:

15, 18, 19, 21, 22, 22, 23, 24, 26, 26, 27, 28, 28, 29, 31, 32, 33, 33, 34, 36, 37, 38.

La media aritmética es:

�̅� =∑𝑥

𝑛

=15 + 18 + 19 + 21 + 22 + 22 + 23 + 24 + 26 + 26 + 27 + 28 + 28 + 29 + 31 + 32 + 33 + 33 + 34 + 36 + 37 + 38

22

�̅� = 27,36

La mediana esta entre: 27 y 28. 𝑀𝑒 =27+28

2=

55

2= 27,50.

La serie es polimodal ya que existen 4 valores con igual número de repetición, en

estos casos también no se considera ninguno de estos valores como moda.

Para datos agrupados tendríamos:

2𝑘 ≥ 𝑛 25 > 22 32 > 22 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜: 𝑘 = 5

𝑖 ≥𝐻 − 𝐿

𝑘≥

38 − 15

5≥

23

5≥ 4,60

𝑖𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 = 4,60. 𝑖𝑎𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑜 = 5

pacientes 𝑥𝑚 f F 𝑓. 𝑥𝑚

15 20 17,50 3 3 52,50

20 25 22,50 5 8 112,50

25 30 27,50 6 14 165,00

30 35 32,50 5 19 162,50

35 40 37,50 3 22 112,50

22 605,00

La media Aritmética para datos agrupados es: �̅� =∑𝑓.𝑥𝑚

𝑛=

605,00

22= 27,50

La mediana se tendría en el tercer intervalo:


𝑛2 − 𝐹

𝑓𝑖 = 25 +

11 − 8

6. 5 = 25 +

3

6. 5 = 25 + 2,50 = 27,50

Y la moda estaría en el mismo intervalo y seria: 𝑀𝑜 = 27,50

Las tres medidas de tendencia central son las mismas por lo tanto se trata de una

distribución simétrica.


59

Cuando la distribución no es simétrica, se dice que la información es sesgada, por lo

que la relación entre las tres medidas es diferente.

Sesgo Positivo.- Se produce cuando la media aritmética es la mayor de las tres

medidas. Le sigue la mediana y luego la moda. Si la distribución tiene un sesgo muy

pronunciado, la media aritmética no es representativa y toman un papel más

preponderante la mediana o la moda.

En el siguiente ejemplo tenemos la cantidad de estudiantes que se matricularon en el

INSTIPP en el periodo 2019, y se trata de un caso de sesgo positivo.

15 15 11 13 23 14 15 22 13 11 13 15 13

12 13 28 12 12 13 20 14 32 10 11 12 20

13 14 12 14 13 20 14 11 11 11.

Ordenando la información:

10 11 11 11 11 11 11 12 12 12 12 12 13

13 13 13 13 13 13 13 14 14 14 14 14 15

15 15 15 20 20 20 22 23 28 32.

2𝑘 ≥ 𝑛 2𝑘 ≥ 36 26 = 64 64 > 36 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜: 𝑘 = 6

𝑖 ≥𝐻 − 𝐿

𝑘≥

32 − 10

6≥

22

6≥ 3,67

𝑖𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 = 3,67 𝑖𝑎𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑜 = 4,00

ubicación de la Me,Mo

matriculados 𝑥𝑚 f F 𝑓. 𝑥𝑚

10 14 12 20 20 240

14 18 16 9 29 144

18 22 20 3 32 60

22 26 24 2 34 48

26 30 28 1 35 28

30 34 32 1 36 32

36 552

�̅� = 𝑀𝑒 = 𝑀𝑜 = 27,50

�̅� =∑𝑓. 𝑥𝑚

𝑛=

552

36

�̅� = 15,33



𝑛2 − 𝐹

𝑓𝑖 = 10 +

18 − 0

20. 4 = 10 +

18

5= 10 + 3,60 = 13,60

La moda: Mo = 12

Mo Me �̅�

Sesgo Negativo.- en este caso la media es la menor de las medidas de tendencia

central, la mediana es mayor que la media y la moda es la mayor de las tres.

El mismo ejemplo, pero con datos diferentes.

15 25 31 28 23 20 33 22 27 32 33 15 30

33 29 28 33 28 34 20 33 32 32 29 25 20

28 22 29 14 13 20 27 31 32 33.

Ordenando la información:

13 14 15 15 20 20 20 20 22 22 23 25 25

27 27 28 28 28 28 29 29 29 30 31 31 32

32 32 32 33 33 33 33 33 33 34

2𝑘 ≥ 𝑛 2𝑘 ≥ 36 26 = 64 64 > 36 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜: 𝑘 = 6

𝑖 ≥𝐻 − 𝐿

𝑘≥

34 − 13

6≥

21

6≥ 3,50

𝑖𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 = 3,50 𝑖𝑎𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑜 = 4,00

Mo = 31

matriculados 𝑥𝑚 f F 𝑓. 𝑥𝑚

13 17 15 4 4 60

17 21 19 4 8 76

21 25 23 3 11 69

25 29 27 8 19 216

29 33 31 10 29 310

33 37 35 7 36 245

36 976

ubicacion de la Me, �̅�


61


𝑛2 − 𝐹

𝑓𝑖 = 25 +

18 − 11

8. 4 = 25 +

7

8. 4

𝑀𝑒 = 25 + 3,50 = 28,50

�̅� Me Mo

Taller.

Del cuadro que se presenta, tomar la información de las ocho

columnas de la derecha y calcule las medidas de tendencia

central para datos agrupados y no agrupados.

Y realice un histograma con el polígono de frecuencia, y ubique la media, mediana y

moda, analizando si es una distribución uniforme o asimétrica

�̅� =∑𝑓. 𝑥𝑚

𝑛=

976

36

�̅� = 27,11


Una medida de ubicación es un valor que sirve para describir el

centro de un conjunto de datos. La media aritmética es la medida

de ubicación que más se informa. Se calcula mediante la suma de

los valores de las observaciones, que luego se divide entre el

número total de observaciones.

Las características principales de la media aritmética son las siguientes:

a) Por lo menos se requiere la escala de medición de intervalo.

b) Todos los valores de los datos se incluyen en el cálculo.

c) Un conjunto de datos sólo posee una media. Es decir, que es única.

d) La suma de las desviaciones de la media es igual a 0.

La media ponderada se encuentra multiplicando cada observación por su

correspondiente ponderación. Ésta es un caso especial de la media aritmética.

La mediana es el valor que se encuentra en medio de un conjunto de datos ordenados.

1. Para determinar la mediana, se ordenan las observaciones de menor a mayor y se

identifica el valor intermedio.

2. Las principales características de la mediana son las siguientes:

a) Se requiere por lo menos la escala ordinal de medición.

b) No influyen sobre ésta valores extremos.

c) Cincuenta por ciento de las observaciones son más grandes que la mediana.

d) Ésta es única de un conjunto de datos.

La moda es el valor que se presenta con mayor frecuencia en un conjunto de datos.

1. La moda se determina en el caso de datos de nivel nominal.

2. Un conjunto de datos puede tener más de una moda.

La media geométrica es la enésima raíz del producto de n valores positivos.

La media geométrica también se emplea para determinar la razón de cambio de un

periodo a otro.


63

La media geométrica siempre es igual o menor que la media aritmética

Actividades de Auto - Evaluación De La Unidad III.

1. Considere en una población los siguientes cinco valores: 8, 3, 7,

3 y 4.

Calcular las medidas de tendencia central para datos no

agrupados.

2. Determine Las medidas de tendencia central, realice en la misma

grafica un histograma y un polígono de frecuencias y marque la

posición de estas medidas centrales

Actividad Final de la Unidad III

1. Considere a los siguientes seis valores como una población: 13, 3, 8, 10, 8 y 6.

Calcular las medidas de tendencia central para datos no agrupados.

2. Determine Las medidas de tendencia central, realice en la misma grafica un

histograma y un polígono de frecuencias y marque la posición de estas medidas

centrales



Unidad didáctica IV. Medidas de Dispersión

INTRODUCCION.

Una medida de ubicación, como la media o la mediana, solamente describe el centro

de los datos. Desde este punto de vista resulta valiosa, pero no dice nada sobre la

dispersión de los datos.

Un valor pequeño en una medida de dispersión indica que los datos se acumulan con

proximidad alrededor de la media aritmética. Por consiguiente, la media se considera

representativa de los datos. Por lo contrario, una medida grande de dispersión indica

que la media no es confiable.

Una segunda razón para estudiar la dispersión en un conjunto de datos consiste en

comparar la propagación en dos o más distribuciones.

Ahora se consideran varias medidas de dispersión. La amplitud de variación o

intervalos tiene como objetivo identificar o localizar los valores máximos y mínimos

de una serie de datos, y la desviación media, la varianza y la desviación estándar se

basan en las desviaciones respecto a la media

Objetivo: Calcular las Medidas de Dispersión, con el apoyo de las respectivas formulaciones existentes para aplicarlos en el ámbito profesional con mucha responsabilidad.

Medidas de

Dispersion

Datos No Agrupados

Amplitud

De

Variacion

Desviacion Media

Varianza Desviacion Estandar

Datos

Agrupados

Amplitud De

Variacion

Desviacion Estandar

Interpretacion

Y Usos De La Desviacion Estandar

Teorema De

Chebyshev

Regla Empirica

Dispersion Relativa

Coeficiente De

Variacion

Asimetria

Coeficiente De

Asimetria

De

Pearson

Coeficiente De

Asimetria

De

Software

Otras Medidas De Dispersion

Cuartiles Deciles Centiles

Diagrama

De

Caja


65

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE DE LA UNIDAD DIDACTICA IV

Actividad De Aprendizaje I De La Unidad Didactica IV

Medidas De Dispersión Para Datos No Agrupados

Amplitud de Variación.- también conocida como amplitud de intervalo, es la medida

de dispersión más sencilla, simplemente es la diferencia entre el valor mayor y el

menor de un conjunto de datos debidamente ordenados. Se lo calcula mediante la

expresión:

𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 − 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟.

𝐴𝑉 = 𝑉𝑀 − 𝑉𝑚

Ejemplo:

La producción diaria de cajas de banano en una bananera de la Provincia de El Oro

es: 354, 487, 524, 610, 355, 480, 560. Mientras que en otra de las mismas

características es: 580, 388, 447, 425, , 520, 540, 395, Calcule la amplitud de

variación de ambas bananeras e indique en cual existe más dispersión.

Primeramente, se ordena la información de menor a mayor.

354, 355, 480, 487, 524, 560, 610. 𝐴𝑉 = 𝑉𝑀 − 𝑉𝑚 = 610 − 354 = 256

388, 395, 425, 447, 520, 540, 580. 𝐴𝑉 = 𝑉𝑀 − 𝑉𝑚 = 580 − 388 = 192

Calculamos las medias aritméticas:

�̅� =∑ 𝑥

𝑛=

354 + 355 + 480 + 487 + 524 + 560 + 610

7=

3370

7= 481,43

�̅� =∑𝑥

𝑛=

388+395+425+447+520+540+580

7=

3295

7= 470,71.

Por lo que se concluye que en la segunda bananera hay menor dispersión ya que la

distancia entre la media y la amplitud de la variación es menor.

Desviación Media.- Se la considera como el promedio aritmético

de los valores absolutos de las desviaciones con respecto a la

media aritmética. Tiene una ventaja respecto a la amplitud de

variación, ya que la desviación media considera todos los valores.

La expresión que nos permite calcular la desviación media es:

𝐷𝑀 =∑|𝑥 − �̅�|

𝑛

Donde:

n numero de valores observados

x cada valor observado.

�̅� media aritmética

| | valor absoluto.

En el ejercicio anterior calcular la desviación media. Para esto, aunque no se trata de

datos agrupados podríamos hacer una tabla para abreviar procesos:


𝐷𝑀 =∑|𝑥 − �̅�|

𝑛=

510,57

7= 72,94

Aquí tenemos que el número de cajas

varia en 72,94 cajas por día con

respecto a la media

𝐷𝑀 =∑|𝑥 − �̅�|

𝑛=

455,71

7= 65,10

Aquí tenemos que el número de cajas

varia en 65,10 cajas por día con

respecto a la media

se confirma que en la primera bananera hay más dispersión.

Varianza Y Desviación Estándar.

La varianza y la desviación estándar también se fundamentan en

las desviaciones de la media. Sin embargo, en lugar de trabajar

con el valor absoluto de las desviaciones, la varianza y la

desviación estándar lo hacen con el cuadrado de las

desviaciones.

Varianza.- es la media aritmética de las desviaciones cuadráticas con respecto a la

media. Se debe resaltar que la varianza siempre es positiva y puede llegar a valer

hasta cero solo cuando todas las observaciones son iguales.

Desviación Estándar.- simplemente es la raíz cuadrada de la varianza, pero se

considera únicamente el valor positivo.

Varianza Poblacional.- para el caso de una población se la calcula con la siguiente

formula: 𝜎2 =∑(𝑥−𝜇)2

𝑁

Donde:

𝜎2 Es la varianza de la población (𝜎 . es la letra minúscula del alfabeto griego se

llama sigma) se lee sigma al cuadrado.

X Es cada valor observado.

N numero de datos de la población.

𝜇 media aritmética poblacional.

Desviación Estándar Poblacional.- es la raíz cuadrada de la

varianza, pero solo se considera el valor positivo.

Numero cajas

�̅� (x – �̅�) |𝑥 − �̅�|

354 481,43 -127,43 127,43

355 481,43 -126,43 126,43

480 481,43 -1,43 1,43

487 481,43 5,57 5,57

524 481,43 42,57 42,57

560 481,43 78,57 78,57

610 481,43 128,57 128,57

510,57

Numero cajas

�̅� (x – �̅�) |𝑥 − �̅�|

388 470,71 -82,71 82,71

395 470,71 -75,71 75,71

425 470,71 -45,71 45,71

447 470,71 -23,71 23,71

520 470,71 49,29 49,29

540 470,71 69,29 69,29

580 470,71 109,29 109,29

455,71


67

Ejemplo. La producción diaria de cajas de banano durante una

semana en una bananera de la Provincia de El Oro es:

354, 487, 524, 610, 355, 480, 560.

Calcular la varianza poblacional y la desviación estándar

poblacional.

Inicialmente calculamos la media que en este caso la calculamos como poblacional

ya que estamos considerando el total diario durante una semana.

𝜇 =∑𝑥

𝑁=

3370

7= 481,43

𝜎2 =∑(𝑥 − 𝜇)2

𝑁=

56771,68

7= 8110,24

𝜎 = √∑(𝑥−𝜇)2

𝑁= √8110,24 =90,06

Las medidas de dispersión siempre se comparan

con otra del mismo tipo generalmente, por lo

tanto, calcularemos la varianza y la desviación

estándar de la otra bananera.

𝜇 =∑𝑥

𝑁=

3295

7= 470,71.

𝜎2 =∑(𝑥 − 𝜇)2

𝑁=

34399,40

7= 4914,20

𝜎 = √∑(𝑥 − 𝜇)2

𝑁= √4914,20 = 70,10

Por lo que se concluye que hay menos dispersión en la segunda bananera, tanto por

los valores de la varianza que son menores y lo mismo ocurre con la desviación

estándar poblacional.

Tarea.

La siguiente serie de datos corresponde al sueldo de un grupo

de empleadas domésticas, considere que se trata de una

población.

324,358, 420, 354, 487, 424, 410, 325, 440, 500.

Calcular la varianza poblacional y la desviación estándar

poblacional.

Varianza Muestral. Para calcular esta varianza se puede usar dos fórmulas: la una

es la fórmula de las desviaciones y la otra es por la formula directa.

Numero cajas

(x - 𝜇) (𝑥 − 𝜇)2

354 -127,43 16238,40

355 -126,43 15984,54

480 -1.43 2,04

487 5,57 31,02

524 42,57 1812,20

560 78,57 6173,24

610 128,57 16530,24

3370 0,00 56771,68

Numero cajas

(x - 𝜇) (𝑥 − 𝜇)2

388 -82,71 6840,94

395 -75,71 5732,00

425 -45,71 2089,40

447 -23,71 562,16

520 49,29 2429,50

540 69,29 4801.10

580 109,29 11944,30

3295 0,00 34399,40


Formula De La Desviación.- toma el nombre de muestral, porque se considera una

muestra y varia con respecto a la poblacional en el denominador ya que en la muestral

se divide para (n – 1), y según estudios se dice que es un ajuste o corrección

estadística al usar este denominador, se lo representa como: 𝒔𝟐. Y la fórmula para

calcular es: 𝑠2 =∑(𝑥−�̅�)2

𝑛−1

Donde:

𝑠2 varianza muestral.

x Valor de cada observación.

�̅� Media aritmética.

n es el número de datos.

Formula Directa.- tiene el mismo significado, pero algunos lo consideran como más

fácil el uso de esta fórmula. 𝑠2 =∑𝑥2−

(∑𝑥)2

𝑛

𝑛−1

La siguiente serie de datos corresponde a visitas por mes realizadas por un

fiscalizador a una obra, desde el mes de enero del 2020 hasta la fecha.

3, 7, 5, 8, 4, 9.

Calcular la varianza muestral, por las dos fórmulas:

Inicialmente ordenamos los datos, luego calculamos la media aritmética de la muestra.

3, 4, 5, 7, 8, 9.

�̅� =∑𝑥

𝑛=

3+4+5+7+8+9

6=

36

6= 6.

Calculamos la varianza muestral

𝑠2 =∑(𝑥−�̅�)2

𝑛−1=

28

5= 5,60 𝑠2 =

∑𝑥2− (∑𝑥)2

𝑛

𝑛−1=

244− (36)2

6

6−1=

244− 1296

6

5=

244−216

5

𝑠2 =28

5= 5,60

Como se aprecia por los dos métodos sale el mismo valor.

Foro.

Medidas de Dispersión de datos no agrupados, ¿para qué

sirven?

Desviación Estándar Muestral.- es un estimador de la desviación estándar

poblacional. Como lo indicamos anteriormente en la poblacional es igual a la raíz

Visitas (x) 𝑥 − �̅� (𝑥 − �̅�)2

3 -3 9

4 -2 4

5 -1 1

7 1 1

8 2 4

9 3 9

36 6 28

Visitas (x) 𝑥2

3 9

4 16

5 25

7 49

8 64

9 81

36 244


69

cuadrada de la varianza poblacional, en el caso de una muestra igual es la raíz

cuadrada de la varianza muestral, solo el valor positivo.

Desviación Estándar Muestral Método De La Desviación.

𝑠 = √∑(𝑥 − �̅�)2

𝑛 − 1

Desviación Estándar, Formula Directa.-

𝑠 =√∑𝑥2 −

(∑𝑥)2

𝑛𝑛 − 1

Para el ejemplo anterior calcular la desviación estándar por las dos fórmulas.

𝑠 = √∑(𝑥−�̅�)2

𝑛−1= √5,60 = 2,37 𝑠 = √∑𝑥2−

(∑𝑥)2

𝑛

𝑛−1= √5,60 = 2,37

Taller.

A. Los pesos de unos contenedores enviados a Colombia son

95000 103000 105000 110000

104000 105000 112000 90000.

Igual cantidad de contenedores envía otra empresa a Perú, con los siguientes

pesos:

87000 128000 89000 93500

104000 110000 160000 98000

Calcule:

1. La amplitud de la varianza.

2. La desviación media.

3. La varianza y desviación estándar muestral por los dos métodos.

4. Compare y comente los dos resultados.

B. El informe anual de la Cemento Nacional incluyó las siguientes ganancias

primarias por acción común durante los pasados 5 años:

$2.68, $1.03, $2.26, $4.30 y $3.58.

Si supone que éstos son los valores poblacionales:

a) ¿Cuál es la varianza?

Actividad De Aprendizaje II De La Unidad Didactica IV

Medidas De Dispersión Para Datos Agrupados.

Amplitud De Variación.- para el caso de datos agrupados se la

calcula mediante la diferencia entre el límite superior del ultimo

intervalo y el límite inferior del primer intervalo.

𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 = 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑢𝑙𝑡 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟 − 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 1𝑒𝑟 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟

𝐴𝑉 = 𝐿𝑠 − 𝐿𝑖


Ejemplo: La siguiente información, corresponde

a los pacientes atendidos diariamente en

un subcentro de salud de la ciudad de

Machala por asuntos de gripe. Calcular

la amplitud de variación.

𝐴𝑉 = 𝐿𝑠 − 𝐿𝑖 = 40 − 15 = 25

Desviación Estándar.- Para calcular la desviación estándar de

datos agrupados en una distribución de frecuencias, se necesita

ajustar ligeramente la fórmula utilizada para datos no agrupados.

Pondere cada una de las diferencias cuadradas por el número de

frecuencias en cada clase. La fórmula es:

𝑠 = √∑𝑓(𝑥𝑚−�̅�)2

𝑛−1.

En el ejercicio anterior adecuamos la tabla de frecuencias para poder calcular la

desviación estándar

Pacientes(x) 𝑥𝑚 f 𝑓. 𝑥𝑚 𝑥𝑚 − �̅� (𝑥𝑚 − �̅�)2 𝑓(𝑥𝑚 − �̅�)2

15 20 17,50 3 52,50 -10 100 300

20 25 22,50 5 112,50 -5 25 125

25 30 27,50 6 165,00 0 0 0

30 35 32,50 5 162,50 5 25 125

35 40 37,50 3 112,50 10 100 300

22 850

�̅� =∑𝑓. 𝑥𝑚

𝑛=

605,00

22= 27,50

𝑠 = √∑𝑓(𝑥𝑚 − �̅�)2

𝑛 − 1= √

850

22 − 1= √40,48 = 6,36

Desviación Estándar Directa Para Datos Agrupados

𝑠 =√∑𝑓(𝑥𝑚)2 −

(∑𝑓𝑥𝑚)2

𝑛𝑛 − 1

Para comparar con el cálculo anterior utilizamos parte de la información de la tabla

anterior.

Pacientes(x) 𝑥𝑚 (𝑥𝑚)2 f 𝑓. 𝑥𝑚 𝑓(𝑥𝑚)2

15 20 17,50 306,25 3 52,50 918,75

20 25 22,50 506,25 5 112,50 2531,25

25 30 27,50 756,25 6 165 4537,50

30 35 32,50 1056,25 5 162,50 5281,25

pacientes f

15 20 3

20 25 5

25 30 6

30 35 5

35 40 3

22


71

35 40 37,50 1406,25 3 112,50 4218,75

22 605 17487,50

𝑠 =√∑𝑓(𝑥𝑚)2 −

(∑ 𝑓𝑥𝑚)2

𝑛𝑛 − 1

=√17487,50 −

(605)2

2222 − 1

=√17487,50 −

36602522

21

𝑠 = √17487,50 − 16637,50

21= √

850

21= √40,48 = 6,36

Se puede observar que por las dos fórmulas sale el mismo valor

Interpretación Y Usos De La Desviación Estándar

La desviación estándar normalmente se utiliza como medida para comparar la

dispersión de dos o más conjuntos de observaciones.

La desviación estándar es un promedio de las desviaciones individuales de cada

observación con respecto a la media de una distribución. Así, la desviación

estándar mide el grado de dispersión o variabilidad. En primer lugar, midiendo la

diferencia entre cada valor del conjunto de datos y la media del conjunto de datos.

La desviación típica como medida absoluta de dispersión, es la que mejor nos

proporciona la variación de los datos con respecto a la media aritmética, su valor se

encuentra en relación directa con la dispersión de los datos, a mayor dispersión de

ellos, mayor desviación típica, y a menor dispersión, menor desviación típica.

Teorema De Chebyshev.

Ya se ha insistido en el hecho de que una desviación estándar

pequeña de un conjunto de valores indica que éstos se localizan

cerca de la media. Por lo contrario, una desviación grande revela

que las observaciones se encuentran muy dispersas con respecto

a la media. El matemático ruso P. L. Chebyshev (1821-1894)

estableció un teorema que nos permite determinar la mínima

porción de valores que se encuentran a cierta cantidad de

desviaciones estándares de la media.

Por ejemplo, de acuerdo con el teorema de Chebyshev.

Por lo menos tres de cuatro valores, o 75%, deben encontrarse entre la media más

dos desviaciones estándares y la media menos dos desviaciones estándares. Esta

relación se cumple con independencia de la forma de la distribución.

�̅� ± 2𝑠

Además, por lo menos ocho de los nueve valores, 88.9%, se encontrarán más de tres

desviaciones estándares y menos tres desviaciones estándares de la media, y.

�̅� ± 2𝑠


Por lo menos 24 de 25 valores, o 96%, se encontrará entre más y menos cinco

desviaciones estándares de la media. El teorema de Chebyshev establece lo

siguiente:

�̅� ± 5𝑠

Teorema De Chebyshev En cualquier conjunto de observaciones (muestra o

población), la proporción de valores que se encuentran a k desviaciones estándares

de la media es de por lo menos:1 −1

𝑘2 , siendo k cualquier constante mayor que 1.

La media aritmética del ejercicio anterior es: 27,50 y la desviación estándar: 6,36. ¿Por

lo menos qué porcentaje de las aportaciones se encuentra en más 3?5 desviaciones

estándares y menos 3.5 desviaciones de la media?

k = 3,5 1 −1

𝑘2 = 1 −1

(3,5)2= 1 −

1

12,25= 1 − 0.08 = 0,92 ∗ 100 = 92%

lo que nos indica que el 92% esta alrededor de más o menos 3,5 desviaciones

estándar.

La Regla Empírica

El teorema de Chebyshev se relaciona con cualquier conjunto de valores; es decir,

que la distribución de valores puede tener cierta forma. Sin embargo, en cualquier

distribución simétrica con forma de campana, es posible ser más precisos en la

explicación de la dispersión en torno a la media. Estas relaciones que implican la

desviación estándar y la media se encuentran descritas en la regla empírica, a veces

denominada regla normal.

Por lo tanto, la regla empírica establece que, en cualquier distribución de frecuencias

simétrica con forma de campana, aproximadamente 68% de las observaciones se

encontrarán entre más y menos una desviación estándar de la media; cerca de 95%

de las observaciones se encontrarán entre más y menos dos desviaciones estándares

de la media y, de hecho, todas (99.7%), estarán entre más y menos tres desviaciones

estándares de la media.

Estas relaciones se representan en la gráfica, en el caso de una distribución con forma

de campana con una media de 100 y una desviación estándar de 10.

68% �̅� ± 1𝑠

95% �̅� ± 2𝑠

99,7% �̅� ± 3𝑠


73

Ejemplo.

Se tiene una muestra de tarifas electricas y tiene una distribucion simetrica, la media

es de $145 y la desviacion estandar es $18. Encontrar.

1. Entre que cantidades se encuentra aproximadamente el 68% de las tarifas

electricas.

2. Entre que cantidades aproximadamente se encuentra el 95% de las tarifas

electricas.

3. Y entre que cantidades estarian el 99,7% de las tarifas electricas

El 68% estaría: �̅� ± 1𝑠 = 145 + 18 = 163 ; 145 − 18 = 127. Por lo tanto, el

68% de las tarifas eléctricas estarían entre $127 y $163.

EL 95% estaría: �̅� ± 2𝑠 = 145 + 2(18) = 145 + 36 = 181 ; 145 − 36 = 109

Entonces el 95% se encuentra entre: $109 y $181.

El 99,7% esta: �̅� ± 3𝑠 = 145 + 3(18) = 145 + 54 = 199 ; 145 − 54 = 91

Por lo tanto, el 99,7% de las tarifas eléctricas estaría entre: $91 y $199.

Foro.

Medidas de dispersión datos agrupados, diferencia con los datos

no agrupados

Dispersión Relativa.- con la finalidad de poder comparar dos variables diferentes Karl

Pearson desarrollo una medida relativa que toma el nombre de coeficiente de

variación.

Coeficiente De Variación.- Es la razón de la desviación estándar y la media

aritmética, como es un coeficiente se lo expresa en porcentaje. Es muy utilizado

cuando:

1. Los datos están en unidades diferentes. Por ejemplo, estatura, sueldos.

2. Los datos están en las mismas unidades, pero los valores medios están muy

distantes.

Se lo calcula con la siguiente formula: 𝐶𝑉 =𝑆

𝑋 (100).

Ejemplo.- Los empleados de Macondoc recibieron la siguiente bonificación media por

el día del padre $ 300,00 con una desviación de $ 60,00. La media de los años de

trabajo es de 12 años con una desviación de 3 años. Compare las dispersiones

relativas de las dos distribuciones empleando el coeficiente de variación.

𝐶𝑉 =𝑆

𝑋 (100) =

60

300(100) = 20%. 𝐶𝑉 =

𝑆

𝑋 (100) =

3

12(100) = 25%.

Donde se observa que hay más dispersión relativa con respecto a los años de

trabajo que a los bonos entregados, ya que: 25% > 20%.


Tarea.

El sueldo medio de un grupo de trabajadores eléctricos es de

$ 728 y la desviación estándar es de $ 54. Determinar:

1. Entre que cantidades se encuentra aproximadamente el 68% de

las tarifas electricas.

2. Entre que cantidades aproximadamente se encuentra el 95% de las tarifas

electricas.

3. Y entre que cantidades estarian el 99,7% de las tarifas electricas.

4. Si se sabe que estos trabajadores tienen una media de 20 años de trabajo y

una desviacion estandar de 7 años. Calcule los coeficientes de variacion y

compare y analice los resultados.

Asimetría

En la unidad anterior pudimos revisar la asimetría y simetría de los datos con

respecto a las medidas de posición como la media, mediana y moda. Y se pudo

analizar los tipos de simetría sin embargo los recordaremos brevemente.

Cuando se tiene una serie de datos simétrica, la media y la mediana tienen el

mismo valor y los datos se encuentran uniformemente distribuidos.

Una serie de datos es asimétrica o sesgada hacia la derecha o positivamente

asimétrico, cuando los valores se encuentran extendidos más hacia la

derecha del pico que hacia la izquierda y existen un solo pico. Aquí la media

es mayor que la mediana.

En una serie de datos se tiene una distribución sesgada hacia la izquierda o

es negativamente asimétrica cuando existe un solo pico y las observaciones

se encuentran más hacia la izquierda en la dirección negativa que hacia la

derecha.


75

Coeficiente De Asimetría de Pearson.- El valor que nos da al calcularlo esta entre

(- 3 y – 3). Un valor cercano a (- 3), nos indica que existe una asimetría negativa. Un

valor positivo cercano a (1,50) nos indica una asimetría moderada. Si el valor del

coeficiente de asimetría es cero, quiere decir que es una distribución simétrica, ósea

que la media, mediana y moda son iguales. La fórmula que permite su cálculo es:

𝐶𝐴 =3(�̅� − 𝑀𝑒)

𝑠

Coeficiente De Asimetría De Software.- Esta fórmula nos permite entender mejor la

asimetría, ya que el segundo miembro de la formula contiene la diferencia de cada

valor con respecto a la media, dividida entre la desviación estándar. Al estar elevada

al cubo mantiene el sentido de la diferencia.

𝐶𝐴 =𝑛

(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)[∑(

𝑥 − �̅�

𝑠)3

]


Ejemplo.

Calcular el coeficiente de asimetría por Pearson y Software de la ganancia por

acción en el año 2019 de una muestra de 15 empresas productoras de software,

estas ganancias se muestran en la siguiente serie de datos de forma ordenada y su

unidad es el dólar.

0,09 0,13 0,41 0,51 1,12

1,20 1,49 3,18 3,50 6,36

7,83 8,92 10,13 12,99 16,40.

Calculamos la desviación estándar.

�̅� =74,26

15= 4,95.

Me = 3,18.

𝑠 =√∑𝑥2 −

(∑𝑥)2

𝑛𝑛 − 1

𝑠 =√749,3720 −

(74,26)2

1515 − 1

𝑠 =√749,3720 −

5514,547615

15 − 1

𝑠 = √749,3720 − 367,6365

14

𝑠 = √381,7355

14= √27,27

𝑠 = 5,22

Ahora calculamos el coeficiente de asimetría por la fórmula de Pearson.

𝐶𝐴 =3(�̅� − 𝑀𝑒)

𝑠=

3(4,95 − 3,18)

5,22=

3(1,77)

5,22=

5,31

5,22= 1,017

Ahora calcularemos el coeficiente de asimetría por la fórmula de Software.

𝐶𝐴 =𝑛

(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)[∑(

𝑥 − �̅�

𝑠)3

] =15

(15 − 1)(15 − 2)[11,8274] =

177,411

14(13)

𝐶𝐴 =177,411

182= 0,9748

Por lo que se observa que la información tiene una pequeña asimetría positiva.

Ayudándonos de GeoGebra el grafico queda así:

Ganancia(x) 𝑥2 𝑥 − �̅�

𝑠 (

𝑥 − �̅�

𝑠)3

0,09 0,0081 -0,9310 -0,8070

0,13 0,0169 -0,9234 -0,7873

0,41 0,1681 -0,8697 -0,6579

0,51 0,2601 -0,8506 -0,6154

1,12 1,2544 -0,7337 -0,3950

1,20 1,4400 -0,7184 -0,3708

1,49 2,2201 -0,6628 -0,2912

3,18 10,1124 -0,3391 -0,0390

3,50 12,2500 -0,2778 -0,0214

6,36 40,4496 0,2701 0,0197

7,83 61,3089 0,5517 0,1679

8,92 79,5664 0,7605 0,4399

10,13 102,6169 0,9923 0,9772

12,99 168,7401 1,5402 3,6539

16,40 268,9600 2,1935 10,5537

74,26 749,3720 11,8274


77

Taller.

1. El ingreso medio de un grupo de observaciones de una

muestra es de $500; la desviación estándar es de $40. De

acuerdo con el teorema de Chebyshev, ¿por lo menos qué

porcentaje de ingresos se encontrará entre $400 y $600?

2. Una muestra de tarifas de renta de los departamentos de Ciudad del Sol de

Machala se asemeja a una distribución simétrica con forma de campana. La

media de la muestra es de $500; la desviación estándar de $20. De acuerdo con

la regla empírica conteste las siguientes preguntas:

a. ¿Entre qué dos cantidades se encuentra aproximadamente 68% de los

gastos mensuales en alimentos?

b. ¿Entre qué dos cantidades se encuentra alrededor de 95% de los gastos

mensuales en alimentos?

c. ¿Entre qué dos cantidades se encuentran casi todos los gastos mensuales

en alimentos?

3. Calcular el coeficiente de asimetría por Pearson y Software de la ganancia por

cada metro de publicidad de una muestra de 15 empresas dedicadas a esta

actividad, estas ganancias se muestran en la siguiente serie de datos de forma

ordenada y su unidad es el dólar.

3,00 3.45 4,36 3,87 5.01

4,44 3,98 4,28 5,20 5,05

4,67 4,93 5,09 4,81 5,24

MEDIA

MEDIANA


Actividad De Aprendizaje III De La Unidad Didactica IV

Otras Medidas de Dispersión. La desviación estándar es la

medida de dispersión que más se utiliza. No obstante, existen

otras formas de describir la variación o dispersión de un conjunto

de datos. Un método consiste en determinar la ubicación de los

valores que dividen un conjunto de observaciones en partes

iguales.

Estas medidas incluyen los cuartiles, deciles y percentiles. Los cuartiles dividen a un

conjunto de observaciones en cuatro partes iguales. Para explicarlo mejor, piense en

un conjunto de valores ordenados de menor a mayor. La mediana es el valor

intermedio de un conjunto de datos ordenados de menor a mayor. Es decir que 50%

de las observaciones son mayores que la mediana y 50% son menores. La mediana

constituye una medida de ubicación, ya que señala el centro de los datos. De igual

manera, los cuartiles dividen a un conjunto de observaciones en cuatro partes iguales.

El primer cuartil, que se representa mediante Q1, es el valor debajo del cual se

presenta 25% de las observaciones, y el tercer cuartil, que simboliza Q3, es el valor

debajo del cual se presenta 75% de las observaciones. Lógicamente, Q2 es la

mediana. Q1 puede considerarse como la mediana de la mitad inferior de los datos y

Q3 como la mediana de la parte superior de los datos. Asimismo, los deciles dividen

un conjunto de observaciones en 10 partes iguales y los percentiles en 100 partes.

Cuartiles, Deciles Y Centiles. Para formalizar el proceso de

cálculo, sea: 𝑳𝒄, la Ubicación Del Centil Deseado. Por tanto, si se

quiere obtener el centil 33 se utilizará el símbolo 𝑳𝟑𝟑, y si se

deseara la mediana, el centil 50 corresponde a la mediana 𝑳𝟓𝟎, el

numero de observaciones es (n). para ubicar la observación

central se usa la expresión: 𝒏+𝟏

𝟐.

Por lo tanto, para ubicar el centil usamos la fórmula: (𝑛 + 1)𝐶

100; Donde (C) es el

centil buscado.

Ejemplo.

Las comisiones que ganaron 15 empleados de una aseguradora ecuatoriana son:

2038 1758 1721 1637 2097

1940 2311 2054 2406 1471

2047 1460 2205 1787 2287

Localizar la mediana, el primer y tercer cuartil de las comisiones ganadas.

Como en toda serie de datos, lo primero que debemos hacer es ordenar la

información de menor a mayor:

1460 1471 1637 1721 1758

1787 1940 2038 2047 2054

2097 2205 2287 2311 2406

Según lo establecido la mediana es: 𝑳𝟓𝟎, por lo tanto:


79

𝑳𝟓𝟎 = (𝑛 + 1)𝐶

100= (15 + 1)

50

100= 16

1

2= 8

Entonces la comisión ubicada en la posición 8, ósea: $ 2038, corresponde a la

mediana.

El primer cuartil es el que se encuentra en: 𝑳𝟐𝟓, aplicando la formula se tiene:

𝑳𝟐𝟓 = (𝑛 + 1)𝐶

100= (15 + 1)

25

100= 16

1

4= 4.

Por lo tanto, el primer cuartil corresponde a la comisión ubicada en la posición 4, que

es: $ 1721.

Y para calcular la comisión que se encuentra ubicada en el tercer cuartil, es: 𝑳𝟕𝟓:

𝑳𝟕𝟓 = (𝑛 + 1)𝐶

100= (15 + 1)

75

100= 16

3

4= 12

Entonces la comisión ubicada en el tercer cuartil, es la que está en la posición 12 de

la serie de datos y es: $ 2205.

El ejemplo anterior tiene un número impar de datos, veamos lo que sucede cuando la

serie es par.

Ejemplo. Los siguientes valores corresponden a los sueldos de 8 trabajadores de la

empresa de construcción y mantenimiento Macondoc:

650 820 480 730 590 600 720 550, ordenándolos se tiene:

480 550 590 600 650 720 730 820.

Encontrar el valor del primer cuartil.

𝑳𝟐𝟓 = (𝑛 + 1)𝐶

100= (8 + 1)

25

100= 9

1

4= 2,25

Según el cálculo se encuentra en la posición 2,25 no es un numero entero, entonces

para cualquier valor de cuartiles que se pida y no salga un valor entero procedemos

de la siguiente manera:

2,25 se encuentra entre: 2 y 3, que corresponde a los sueldos: $ 550 y $ 590, y

calculamos la diferencia entre estos dos valores y seria: $40.

El 2,25 me dice posición 2 +0,25, entonces posición 2 es igual a $ 550

Y a la diferencia $ 40 le multiplicamos por 0,25 que da: 10. Este valor le sumamos a $

550 y obtenemos que al primer cuartil le corresponde un sueldo de $ 560 ubicado en

𝑳𝟐𝟓

Diagramas De Caja. Un diagrama de caja es una representación gráfica, basada en

cuartiles, que ayuda a presentar un conjunto de datos. Para construir un diagrama de

caja, sólo necesita cinco estadísticos: el valor mínimo, Q1 (primer cuartil), la mediana,

Q3 (tercer cuartil) y el valor máximo.

Ejemplo.

La empresa de moto express Feroz, en una muestra de 20 entregas a registrado los

siguientes tiempos en minutos:

13 18 19 23 27 19 16

13 13 18 19 28 13 18

19 29 30 18 16 18


Determinar el valor mínimo, el primer cuartil, la mediana, el tercer cuartil y el valor

máximo y representarlos en un diagrama de caja.

Ordenamos los tiempos y tenemos:

13 13 13 13 16 16 18

18 18 18 18 19 19 19

19 23 27 28 29 30.

El valor mínimo es: 13 minutos.

El primer cuartil lo calculamos con la fórmula:

𝑳𝟐𝟓 = (𝑛 + 1)𝐶

100= (20 + 1)

25

100= 21

1

4= 5,25

Por lo tanto, el primer cuartil se encuentra entre la posición 5 y 6.

Posición 5 corresponde a: 16 minutos.

La diferencia entre la posición 5 y 6 es: 16 – 16 = 0(0,25)= 0 minuto.

Entonces el primer cuartil: 𝑄1 = 16 + 0 = 16 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠.

𝑳𝟓𝟎 = (𝑛 + 1)𝐶

100= (20 + 1)

50

100= 21

1

2= 10,50

Entonces la mediana esta entre la posición 10 y 11.

Posición 10, corresponde a 18.

Posición 11, corresponde a 18.

La diferencia es cero (0), por lo tanto: 0,50(0) = 0, por lo que concluimos que la media

es: 18.

Cálculo del tercer cuartil.

𝑳𝟕𝟓 = (𝑛 + 1)𝐶

100= (20 + 1)

75

100= 21

3

4= 15,75.

Por lo tanto, el tercer cuartil se encuentra entre la posición 15 y 16.

Posición 15, corresponde a: 19.

Posición 16, corresponde a: 23

La diferencia es 4(0,75) = 3,00

Sumados al 19 nos queda: 𝑄3 = 22,00 minutos

Para realizar la gráfica es importante escoger una escala adecuada, como se nota en

la figura siguiente.

𝑄1 Valor

mínimo Me Valor

máximo 𝑄3


81

Se construye un rectángulo que inicia en el primer cuartil (𝑄1)y termina en el tercer

cuartil (𝑄3), luego marcamos la mediana con una línea vertical (𝑄2), luego trazamos

dos líneas horizontales (salientes de la caja), que salen desde la caja hasta el valor

mínimo y desde la caja hasta el valor máximo

Amplitud Cuartilica.- es el valor que resulta de restar: (𝑄3) - (𝑄1)= 22 – 16 = 6.

Taller.

La fábrica de bloques Orobloques de la ciudad de Machala a

registrado las siguientes ventas del 1 al 6 de junio del 2020.

450 470 530 520 480 650 580 450 700 640

580 670 710 620 680 590 610 670 580 520

460 620 700 560 400 410 550 720 640 430

Determinar el valor mínimo, el primer cuartil, la mediana, el tercer cuartil y el valor

máximo y representarlos en un diagrama de caja.

La suma de las desviaciones de la media es igual a 0.

La dispersión es la variación o propagación en un conjunto de

datos.

La amplitud de variación o rango es la diferencia entre el valor

máximo y el mínimo en un conjunto de datos.

Las principales características de la amplitud de variación son:

a) Sólo dos valores se emplean en su cálculo.

b) Recibe la influencia de los valores extremos.

c) Es fácil de calcular y definir.

La desviación absoluta media es la suma de los valores absolutos de las desviaciones

de la media, dividida entre el número de observaciones.

Las principales características de la desviación absoluta media son las siguientes:

a) No influyen excesivamente sobre ella valores grandes o pequeños.

b) Todas las observaciones se emplean para realizar el cálculo.

c) Los valores absolutos son de alguna forma difíciles de manejar.

La varianza es la media de las desviaciones al cuadrado de la media aritmética.

Las principales características de la varianza son:

a) Todas las observaciones se utilizan para realizar el cálculo.

b) No influyen excesivamente sobre ella observaciones extremas.

c) Resulta de alguna manera difícil trabajar con las unidades, pues son las unidades

originales elevadas al cuadrado.

La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza.


1. Las principales características de la desviación estándar son:

a) Se expresa en las mismas unidades de los datos originales.

b) Es la raíz cuadrada de la distancia promedio al cuadrado de la media.

c) No puede ser negativa.

d) Es la medida de dispersión que se informa con más frecuencia

Se interpretó la desviación estándar empleando dos medidas.

A. El teorema de Chebyshev establece que independientemente de la forma de la

distribución, por lo menos: 1 −1

𝑘2 de las observaciones se encontrarán a k

desviaciones estándares de la media, siendo k mayor que 1.

B. La regla empírica afirma que, en el caso de una distribución en forma de campana,

alrededor de 68% de los valores se encontrarán a una desviación estándar de la

media; 95%, a dos y casi todas, a tres.

Actividades de Auto - Evaluación De La Unidad IV.

1. Las edades de una muestra que se tomó de turistas extranjeros

que vuelan de Miami a Galápagos fueron las siguientes:

52, 21, 60, 47, 54, 37, 72, 55, 43 y 41.

a) Calcule la amplitud de variación.

b) Estime la desviación media.

c) Calcule la desviación estándar.

2. El gerente de la tienda Sivisapa de la localidad estudia la cantidad de artículos

que compran los consumidores en el horario de la tarde. A continuación,

aparece la cantidad de artículos de una muestra de 30 consumidores:

15 8 6 9 9 4 18 10 10 12 12 4

7 8 12 10 10 11 9 13 5 6 11 14

5 6 6 5 13 5

a) Estime la amplitud de variación y la desviación estándar de la cantidad

de artículos.

b) Calcule desviación estándar de los datos agrupados.

c) Determinar el valor mínimo, el primer cuartil, la mediana, el tercer cuartil

y el valor máximo y representarlos en un diagrama de caja.

d) Calcular el coeficiente de asimetría por Pearson y Software

e) Entre que cantidades se encuentra aproximadamente el 68% de los

productos entregados

f) Entre que cantidades aproximadamente se encuentra el 95% de los


g) Y entre que cantidades estarian el 99,7% de los articulos entregados


83

Actividad Final Unidad IV

1. Las estaturas en metros de un grupo de jugadores que se tomó son los

siguientes:

1,40 1,52 1,21 1,60 1,47 1,54 1,37 1,72 1,55 1,43 y 1,41.

a) Calcule la amplitud de variación.

b) Estime la desviación media.

c) Calcule la desviación estándar.

2. La fábrica de lámparas LED Sylvania de Ecuador evalúa la cantidad de artículos

que se han distribuido en el mes de febrero de 2020. A continuación, aparece

la cantidad de lámparas entregadas de una muestra de 30 consumidores:

150 180 160 190 290 140 185 210 110 120 172 124

117 138 172 180 150 191 179 173 145 216 171 164

155 126 156 145 193 185 160 142 135 200 210 220

a) Estime la amplitud de variación y la desviación estándar de la cantidad

de artículos.

b) Calcule desviación estándar de los datos agrupados.

c) Determinar el valor mínimo, el primer cuartil, la mediana, el tercer cuartil

y el valor máximo y representarlos en un diagrama de caja.

d) Calcular el coeficiente de asimetría por Pearson y Software

e) Entre que cantidades se encuentra aproximadamente el 68% de los


f) Entre que cantidades aproximadamente se encuentra el 95% de los


g) Y entre que cantidades estarian el 99,7% de los productos entregados



Unidad didáctica V. Probabilidad.

INTRODUCCION.

El cálculo de la probabilidad de que algo ocurra en el futuro. Esta faceta de la

estadística recibe el nombre de inferencia estadística o estadística inferencial. Quien

toma decisiones, pocas veces cuenta con la información completa para hacerlo.

La inferencia estadística se relaciona con las conclusiones relacionadas con una

población sobre la base de una muestra que se toma de ella.

Dada la incertidumbre existente en la toma de decisiones, es importante que se

evalúen científicamente todos los riesgos implicados. La teoría de la probabilidad, a

menudo conocida como la ciencia de la incertidumbre, resulta útil para hacer esta

evaluación. Su aplicación permite a quien toma decisiones y posee información

limitada analizar los riesgos y reducir al mínimo el riesgo que existe, por ejemplo, al

lanzar al mercado un nuevo producto o aceptar un envío que quizá contenga partes

defectuosas. Puesto que los conceptos de la probabilidad son importantes en el

campo de la inferencia estadística.

en esta unidad se introduce el lenguaje básico de la probabilidad, que incluye términos

como experimento, evento, probabilidad subjetiva y reglas de la adición y de la

multiplicación.

Objetivo: Calcular las probabilidades, mediante las reglas de la adición y

multiplicación, para la interpretación de los valores calculados con ética.

probabilidad

conceptos basicos

enfoques reglasdiagrama de

arbol

teorema de Bayes

Principio de conteo

Fórmulas de la permutación y combinación.


85

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE DE LA UNIDAD DIDACTICA V

Actividad De Aprendizaje I De La Unidad Didáctica V

Probabilidad.- Valor entre cero y uno, inclusive, que describe la

posibilidad relativa (oportunidad o casualidad) de que ocurra un

evento.

En el estudio de la probabilidad se utilizan tres palabras clave:

experimento, resultado y evento. Dichos términos son empleados

en el lenguaje de la vida cotidiana, pero en estadística adquieren

significados específicos.

Foro.

Las Probabilidades.

ResultadoResultadoparticular de unexperimento.

Evento Conjunto de unoo más resultados de unexperimento.

ExperimentoProceso QueInduce A QueOcurra Una YSólo Una DeVarias PosiblesObservaciones


Enfoques Para Asignar Probabilidades

Probabilidad clásica.- La probabilidad clásica parte del supuesto deque los resultados de un experimento son

igualmente posibles. De acuerdo con el punto de vista clásico, laprobabilidad de un evento

que se está llevando a cabo se calcula dividiendo el número deresultados favorables entre el

número de posibles resultados:

𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 =𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠

𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠

Probabilidad Empírica .- La probabilidad de que un evento ocurrarepresenta una fracción. de los eventos similares que ocurrieron en elpasado.

𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 =𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑜𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒

𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠


87

Ejemplo.

Cuál es la probabilidad que al lanzar el dado salga un número impar.

Los probables resultados serían: 1,2,3,4,5,6.

Y los posibles impares serian: 1,3,5

• Probabilidad de que sea impar =numero de resultados favorables

numero total de posibles resultados=

3

6= 0,50

Una empresa de transporte de pasajeros reporta que, en el mes de enero del 2020,

realizaron 640 viajes a Guayaquil, habiéndoles ocurridos 4 accidentes, que

probabilidad existe de que el próximo viaje sea con éxito.

𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑣𝑖𝑎𝑗𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑡𝑜𝑠𝑜 =𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑖𝑎𝑗𝑒𝑠 𝑒𝑥𝑖𝑡𝑜𝑠𝑜𝑠

𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑣𝑖𝑎𝑗𝑒𝑠=

636

640= 0,99

Por lo que se concluye que hay un 0,99 de posibilidades que el viaje sea un éxito.

Reglas de la adición.- Existen dos reglas de la adición:

La regla especial de la adición y .

La regla general de la adición.

Regla Especial De La Adición.- Para aplicar la regla especial de

la adición, los eventos deben ser mutuamente excluyentes.

Recuerde que mutuamente excluyentes significa que cuando un

evento ocurre, ninguno de los demás eventos puede ocurrir al

mismo tiempo.

Un ejemplo de eventos mutuamente excluyentes en el experimento del lanzamiento

del dado son los eventos “un número 4 o mayor” y “un número 2 o menor”. Si el

resultado se encuentra en el primer grupo {4, 5 y 6}, entonces no puede estar en el

segundo grupo {1 y 2}. Otro ejemplo consiste en que un producto proveniente de la

línea de montaje no puede estar defectuoso y en buen estado al mismo tiempo. Si dos

eventos A y B son mutuamente excluyentes, la regla especial de la adición establece

que la probabilidad de que ocurra uno u otro es igual a la suma de sus probabilidades.

Adicion

Multiplicacion

Reglas de la

Probalidad


Esta regla se expresa mediante la siguiente fórmula:

𝑃(𝐴 𝑜 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵)

Si hubiera más eventos se adecua la formula, por ejemplo, si hubiera tres eventos:

𝑃(𝐴 𝑜 𝐵 𝑜 𝐶) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐶)

Una máquina automática llena bolsas de plástico con una combinación de frijoles,

brócoli y otras verduras. La mayoría de las bolsas contiene el peso correcto, aunque,

como consecuencia de la variación del tamaño del frijol y de otras verduras, un

paquete podría pesar menos o más. Una revisión de 4 000 paquetes que se llenaron

el mes pasado arrojó los siguientes datos:

Peso Evento N° de paquetes Probabilidad que

ocurra el evento

Menos peso A 250 0,062

Peso completo B 3450 0,863

Mas peso C 300 0,075

4000 1,000

¿Cuál es la probabilidad de que un paquete en particular tenga mas o menos peso?

Aplicando la regla de la adicion se tiene:

𝑃(𝐴 𝑜 𝐶) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐶) = 0,062 + 0,075 = 0,137

Reglas de la multiplicación

Para determinar la probabilidad de dos eventos que se presentan

simultáneamente emplee la regla de la multiplicación. Hay dos

reglas de la multiplicación, la regla especial y la regla general.

Regla especial de la multiplicación La regla especial de la

multiplicación requiere que dos eventos, A y B, sean

independientes, y lo son si el hecho de que uno ocurra no altera

la probabilidad de que el otro suceda.

Regla Especial de la Multiplicación.

P(A y B) = P(A)P(B)

En el caso de tres eventos independientes, A, B y C, la regla especial de la

multiplicación que se utiliza para determinar la probabilidad de que los tres eventos

ocurran es: P(A y B y C) = P(A)P(B)P(C)

Ejemplo.

Una encuesta que llevó a cabo la American Automobile Association (AAA) reveló que

el año pasado 60% de sus miembros hicieron reservaciones en líneas aéreas. Dos de

ellos fueron seleccionados al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos hicieran

reservaciones el año pasado?

Solución La probabilidad de que el primero haya hecho una reservación el año

pasado es de 0.60, que se expresa como P(R1) =0.60, en la que R1 representa el

hecho de que el primer miembro hizo una reservación.

La probabilidad de que el segundo miembro elegido haya hecho una reservación es

también de 0.60, así que P(R2) = 0.60. Como el número de miembros de la AAA es

muy grande, se supone que R1 y R2 son independientes. En consecuencia, de


89

acuerdo con la fórmula P(A y B) = P(A)P(B), la probabilidad de que ambos hayan

hecho una reservación es de 0.36, que se calcula de la siguiente manera:

P(R1 y R2) = P(R1)P(R2) = (0.60)(0.60)= 0.36

Todos los posibles resultados pueden representarse como se muestra a continuación.

Aquí, R significa que se hizo la reservación y NR, que no se hizo. Con las

probabilidades y la regla del complemento se calcula la probabilidad conjunta de cada

resultado. Por ejemplo, la probabilidad de que ningún miembro haga una reservación

es de 0.16. Además, la probabilidad de que el primero y el segundo miembros (regla

especial de la adición) hagan una reservación es de 0.48 (0.24 + 0.24). También se

puede observar que los resultados son mutuamente excluyentes y colectivamente

exhaustivos. Por lo tanto, las probabilidades suman 1.00.

Resultados Probabilidad conjunta

𝑅1 𝑅2 (0,60)(0,60) = 0,36

𝑅1 𝑁𝑅2 (0,60)(0,40) = 0,24

𝑁𝑅1 𝑅2 (0,40)(0,60) = 0,24

𝑁𝑅1 𝑁𝑅2 (0,40)(0,40) = 0,16

1,00

Tarea.

Una encuesta a un grupo de estudiantes de posgrado reveló que

el año pasado 70% de sus miembros hicieron la prueba. Dos de

ellos fueron seleccionados al azar. ¿Cuál es la probabilidad de

que ambos hicieran la prueba?

Regla General De La Multiplicación.- Si dos eventos no son independientes, se dice

que son dependientes.

Por ejemplo, supongamos que hay 10 latas de refresco en un refrigerador, 7 de los

cuales son normales y 3 dietéticos. Se saca una lata del refrigerador. La probabilidad

de que sea una lata de refresco dietético es de 3/10, y la probabilidad de que sea una

lata de refresco normal es de 7/10. Luego, se elige una segunda lata del refrigerador

sin devolver la primera. La probabilidad de que la segunda lata sea de refresco

dietético depende de que la primera lo haya sido o no. La probabilidad de que la

segunda lata sea de refresco dietético es: 2/9, si la primera bebida es dietética (sólo

dos latas de refresco dietético quedan en el refrigerador). 3/9, si la primera lata elegida

es normal (los tres refrescos aún están en el refrigerador). La denominación adecuada

de la fracción 2/9 (o 3/9) es probabilidad condicional, ya que su valor se encuentra

condicionado (o depende) del hecho de que un refresco regular o dietético haya sido

el primero en ser seleccionado del refrigerador.

Probabilidad Condicional.- Probabilidad de que un evento en particular ocurra, dado

que otro evento haya acontecido.


La regla general de la multiplicación sirve para determinar la probabilidad conjunta de

dos eventos cuando éstos no son independientes.

Por ejemplo, cuando el evento B ocurre después del evento A, y A influye en la

probabilidad de que el evento B suceda, entonces A y B no son independientes. La

regla general de la multiplicación establece que, en caso de dos eventos, A y B, la

probabilidad conjunta de que ambos eventos ocurran se determina multiplicando la

probabilidad de que ocurra el evento A por la probabilidad condicional de que ocurra

el evento B, dado que A ha ocurrido. Simbólicamente, la probabilidad conjunta,

P(A y B), se calcula de la siguiente manera:

Regla General De La Multiplicación

P(A y B) = P(A)P(B|A)

Ejemplo. Un golfista tiene 12 camisas en su clóset. Suponga que 9 son blancas y los

demás azules. Como se viste de noche, simplemente toma una camisa y se la pone.

Juega golf dos veces seguidas y no las lava. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos

camisas elegidas sean blancas?

El evento que se relaciona con el hecho de que la primera camisa seleccionada sea

blanca es W1. La probabilidad es P(W1) = 9/12, porque 9 de cada 12 camisas son

blancas. El evento de que la segunda camisa seleccionada sea blanca también se

identifica con W2. La probabilidad condicional relacionada con el hecho de que la

segunda camisa seleccionada sea blanca, dado que la primera camisa seleccionada

es blanca también, es P(W2|W1) =8/11. ¿A qué se debe esto? A que después de que

se selecciona la primera camisa, quedan 11 camisas en el clóset y 8 de éstas son

blancas.

Para determinar la probabilidad de que se elijan 2 camisas blancas aplicamos la

fórmula: P(A y B) = P(A)P(B|A)

𝑃(𝑊1𝑦𝑊2) = 𝑃(𝑊1)𝑃(𝑊2|𝑊1) = (9

12) (

8

11) = 0,55

Por consiguiente, la probabilidad de seleccionar dos camisas, y que ambas sean de

color blanco, es de 0.55.

A propósito, se supone que este experimento se llevó a cabo sin reemplazo. Es decir,

que la primera camisa no se lavó y se colocó en el clóset antes de hacer la selección

de la segunda. Así, el resultado del segundo evento es condicional o depende del

resultado del primer evento. Es posible ampliar la regla general de la multiplicación

para que incluya más de dos eventos. En el caso de los tres eventos, A, B y C, la

fórmula es:

P(A y B y C) = P(A)P(B|A)P(C|A y B)


91

En el caso del ejemplo de la camisa de golf, la probabilidad de elegir tres camisas

blancas sin reemplazo es:

𝑃(𝑊1 𝑦 𝑊2 𝑦 𝑊3) = 𝑃(𝑊1)𝑃(𝑊2|𝑊1)𝑃(𝑊3|𝑊1𝑦𝑊2) = (9

12)(

8

11)(

7

10) = 0,38

De esta manera, la probabilidad de seleccionar tres camisas sin reemplazo, todas las

cuales sean blancas, es de 0.38.

Diagramas De Árbol.- El diagrama de árbol es una gráfica útil para organizar cálculos

que implican varias etapas. Cada segmento del árbol constituye una etapa del

problema. Las ramas del árbol se ponderan por medio de probabilidades.

Ejemplo.

Con la información de la siguiente tabla procederemos a explicar el diagrama de árbol.

Para mostrar la construcción de un diagrama de árbol.

1. Para construir un diagrama de árbol, comenzamos dibujando un punto grueso a la

izquierda para representar la raíz del árbol.

2. En este problema, dos ramas principales salen de la raíz: la rama superior

representa el evento “permanecería” y la rama inferior el evento “no permanecería”.

Sus probabilidades se anotan sobre las ramas, en este caso, 120/200 y 80/200. Estas

probabilidades también se denotan P(A1) y P(A2).

3. De cada una de las ramas principales salen cuatro ramas, las cuales representan

el tiempo de servicio: menos de 1 año, 1 a 5 años, 6 a 10 años y más de 10 años. Las

probabilidades condicionales de la rama superior del árbol, 10/120, 30/120, 5/120,

etc., se anotan en las ramas adecuadas, que son P(B1|A1), P(B2|A1), P(B3|A1) y

P(B4|A1), en las cuales B1 se refiere a menos de 1 año de servicio; B2, a 1 a 5 años

de servicio, B3, a 6 a 10 años de servicio y B4, a más de 10 años. En seguida,

anotamos las probabilidades condicionales en la rama inferior.

4. Por último, las probabilidades conjuntas relativas al hecho de que los eventos A1 y

Bi o los eventos A2 y Bi ocurrirán al mismo tiempo aparecen al lado derecho. Por

ejemplo, de acuerdo con la fórmula:

P(A y B) = P(A)P(B|A)

la probabilidad conjunta de seleccionar al azar a un ejecutivo que permanecería en la

compañía y que tenga más de 1 año de servicio es: Como las probabilidades conjuntas

representan todos los posibles resultados (permanecería, 6 a 10 años de servicio, no

permanecería, más de 10 años de servicio, etc.), deben sumar 1.00, Tal como lo

muestra la gráfica.


Taller.

Considere una encuesta a algunos consumidores relacionada con

la cantidad relativa de visitas que hacen a una tienda Sears (con

frecuencia, en ocasiones o nunca) y con el hecho de que la tienda

se ubique en un lugar conveniente (sí y no). Cuando las variables

son de escala nominal, tal como estos datos, por lo general los

resultados se resumen en una tabla de contingencias.

a) El número de visitas y la ubicación en un lugar conveniente, ¿son variables

independientes? ¿Por qué razón? Interprete su conclusión.

b) Dibuje un diagrama de árbol y determine las probabilidades conjuntas.


93

Actividad De Aprendizaje II De La Unidad Didáctica V

Teorema de Bayes.- En el siglo XVIII, el reverendo Thomas

Bayes, un ministro presbiteriano inglés, planteó esta pregunta:

¿Dios realmente existe? Dado su interés en las matemáticas,

intentó crear una fórmula para llegar a la probabilidad de que Dios

existiera sobre la base de la evidencia de que disponía en la

Tierra. Más tarde, Pierre-Simón Laplace perfeccionó el trabajo de

Bayes y le dio el nombre de teorema de Bayes. De una forma

entendible, el teorema de Bayes es el siguiente:

𝑃(𝐴𝑖|𝐵) =𝑃(𝐴𝑖)𝑃(𝐵|𝐴𝑖)

𝑃(𝐴1)𝑃(𝐵|𝐴1) + 𝑃(𝐴2)𝑃(𝐵|𝐴2)

En la fórmula anterior los eventos A1 y A2 son mutuamente excluyentes y

colectivamente exhaustivos, y Ai se refiere al evento A1 o a A2. De ahí que en este

caso A1 y A2 sean complementos. El significado de los símbolos utilizados se ilustra

en el siguiente ejemplo.

Suponga que 5% de la población de Umen, un país ficticio del Tercer mundo, tiene

una enfermedad propia del país. Sea A1 el evento “padece la enfermedad” y A2 el

evento “no padece la enfermedad”. Por lo tanto, si se selecciona al azar a una persona

de Umen, la probabilidad de que el individuo elegido padezca la enfermedad es de

0.05 o P(A1) = 0.05. Esta probabilidad, P (A1) = P(padece la enfermedad) = 0.05,

recibe el nombre de probabilidad a priori. Se le da este nombre, porque la probabilidad

se asigna antes de obtener los datos empíricos.

Probabilidad A Priori.- Probabilidad basada en el nivel de información actual.

Por ende, la probabilidad a priori de que una persona no padezca la enfermedad es

de 0.95, o P(A2) = 0.95, que se calcula restando 1 - 0.05. Existe una técnica de

diagnóstico para detectar la enfermedad, pero no es muy precisa. Sea B el evento “la

prueba revela la presencia de la enfermedad”. Suponga que la evidencia histórica

muestra que, si una persona padece realmente la enfermedad, la probabilidad de que

la prueba indique su presencia es de 0.90.

De acuerdo con las definiciones de probabilidad condicional que se establecieron en

el capítulo, dicho enunciado se expresa de la siguiente manera:

𝑃(𝐵|𝐴1) = 0.90

Suponga la probabilidad de que la prueba indique la presencia de la enfermedad en

una persona que en realidad no la padece es de 0.15.

𝑃(𝐵|𝐴2) = 0.15

Elija al azar a una persona de Umen y aplique la prueba. Los resultados indican que

la enfermedad está presente. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona en realidad

padezca la enfermedad? Lo que desea saber, en forma simbólica, es P(A1|B), que se

interpreta de la siguiente manera:

P(padece la enfermedad | la prueba resulta positiva).

La probabilidad P(A1|B) recibe el nombre de probabilidad a posteriori.


Probabilidad A Posteriori.- Probabilidad revisada a partir de información adicional.

Con la ayuda del teorema de Bayes, cuya formula es:


𝑃(𝐴1)𝑃(𝐵|𝐴1) + 𝑃(𝐴2)𝑃(𝐵|𝐴2)=

(0,05)(0,90)

(0,05)(0,90) + (0,95)(0,15)

𝑃(𝐴𝑖|𝐵) =0,0450

0,1875= 0,24

De esta forma, la probabilidad de que una persona padezca la enfermedad, dado que

la prueba fue positiva, es de 0.24.

¿Cómo interpreta el resultado? Si selecciona al azar a una persona de la población,

la probabilidad de que se encuentre enferma es de 0.05. Si se le somete a la prueba

y resulta positiva, la probabilidad de que la persona padezca realmente la enfermedad

se incrementa cinco veces, de 0.05 a 0.24. En el problema anterior sólo había dos

eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos A1 y A2. Si hay n

eventos A1, A2, …, An, el teorema de Bayes, cuya fórmula es:


𝑃(𝐴1)𝑃(𝐵|𝐴1) + 𝑃(𝐴2)𝑃(𝐵|𝐴2)

se transforma en:

Con la notación anterior, los cálculos del problema de Umen se resumen en la

siguiente tabla:

Evento 𝐴𝑖 Probabilidad a

priori 𝑃(𝐴𝑖)

Probabilidad

Condicional

𝑃(𝐵|𝐴𝑖)

Probabilidad

conjunta.

𝑃(𝐴𝑖 𝑦 𝐵)

Probabilidad a

posteriori.

𝑃(𝐴𝑖|𝐵)

Padece la

enfermedad

𝐴1

0,05 0,90 0,0450 0,0450

0,1875= 0,24

No Padece la

enfermedad

𝐴2

0,95 0,15 0,1425 0,1425

0,1875= 0,76

𝑃(𝐵) = 0,1875 1,00

Foro.

Diferencias entre Permutaciones y Combinaciones.

Principios De Conteo.- Si la cantidad de posibles resultados de

un experimento es pequeña, resulta relativamente fácil contarlas.

Por ejemplo, existen seis posibles resultados del lanzamiento de

un dado, a saber:


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Sin embargo, si hay un número muy grande

de resultados, tal como el número de caras y

cruces en un experimento con 10

lanzamientos de una moneda, sería tedioso

contar todas las posibilidades. Todos podrían

ser caras, una cruz y nueve caras, dos caras

y ocho cruces, y así sucesivamente. Para

facilitar la cuenta, se analizarán tres fórmulas

para contar: la fórmula de la multiplicación la

fórmula de las permutaciones y la fórmula de

las combinaciones.

Fórmula De La Multiplicación.- Si hay m formas de hacer una cosa y n formas de

hacer otra cosa, hay m x n formas de hacer ambas cosas.

Número total de disposiciones = (m)(n).

Si hubiera más eventos la formula se amplía.

Ejemplo.

Un distribuidor de automóviles quiere anunciar que por $29.999 usted puede

comprar un convertible, un sedán de dos puertas o un modelo de cuatro puertas y

elegir entre rines de rayos o planos. ¿Cuántas disposiciones de modelos y rines

puede ofrecer el distribuidor?

Solución Por supuesto, el distribuidor podría determinar el número total de

disposiciones haciendo un diagrama y contando. Hay seis.

Mediante la fórmula de la multiplicación se verifica el resultado (en cuyo caso m es el

número de modelos y n el tipo de rin). De acuerdo con la fórmula:

Número total de disposiciones = (m)(n).

Número total de posibles disposiciones = (m)(n) = (3)(2) = 6

No resultó difícil contar todas las posibles combinaciones de modelos y rines en este

ejemplo. Sin embargo, supongamos que el distribuidor decidió ofrecer nueve modelos

y siete tipos de rines. Resultaría tedioso representar y contar todas las posibles


alternativas. Más bien, se puede aplicar la fórmula de la multiplicación. En este caso,

hay (m)(n) = (9)(7) = 63 posibles disposiciones. Observe en el ejemplo que, en la

fórmula de la multiplicación, había dos o más agrupamientos de los cuales usted hizo

selecciones. El distribuidor, por ejemplo, ofreció una variedad de modelos y de rines

para elegir. Si un constructor de casas le ofrece cuatro diferentes estilos de exteriores

y tres modelos de interiores, se aplicaría la fórmula de la multiplicación para determinar

cuántas combinaciones son posibles. Hay 12 posibilidades.

La aplicación de este método es fácil de aplicar y obtener una respuesta satisfactoria.

Fórmula de las permutaciones.- Como se ve, la fórmula de la multiplicación se aplica

para determinar el número de posibles disposiciones de dos o más grupos. La fórmula

de las permutaciones se aplica para determinar el número posible de disposiciones

cuando sólo hay un grupo de objetos.

Presentamos unos ejemplos de esta clase de problemas.

Ejemplo.

• Tres piezas electrónicas se van a montar en una unidad conectable a un aparato de

televisión. Las piezas se pueden montar en cualquier orden. La pregunta es: ¿de

cuántas formas pueden montarse tres partes?

Solución. Un orden sería: primero el transistor, en seguida las LED y en tercer lugar

el sintetizador. A esta distribución se le conoce como permutación.

• Un operador de máquinas debe llevar a cabo cuatro verificaciones de seguridad

antes de hacer arrancar su máquina. No importa el orden en que realice las

verificaciones. ¿De cuántas formas puede hacerlas?

Permutación.- Cualquier distribución de ( r ) objetos

seleccionados de un solo grupo de (n) posibles objetos

𝑛𝑃𝑟 =𝑛!

(𝑛 − 𝑟)!

Donde:

r es el número total de objetos seleccionados

n es el número total de objetos

Ejemplo.

Respecto del grupo de tres piezas electrónicas que se van a montar en cualquier

orden, ¿de cuántas formas se pueden montar? Solución Hay tres piezas electrónicas

que van a montarse, así que n = 3. Como las tres se van a insertar en la unidad

conectable, r = 3.

𝑛𝑃𝑟 =𝑛!

(𝑛 − 𝑟)!=

3!

(3 − 3)!=

3(2)(1)

0!=

6

1= 6

Existen seis formas en que las tres piezas electrónicas, representadas con las letras

A, B, C, se pueden ordenar, quedándonos de la siguiente manera:

ABC ACB BAC BCA CAB CBA.


97

Ejemplo.

Tornería El Oro cuenta con ocho tornos, aunque sólo hay tres espacios disponibles

en el área de producción para las máquinas. ¿De cuántas maneras se pueden

distribuir las ocho máquinas en los tres espacios disponibles?

Como podemos observar en este ejemplo (𝑛 ≠ 𝑟).

n = 8; r = 3. Aplicando la formula tendremos:

𝑛𝑃𝑟 =𝑛!

(𝑛 − 𝑟)!=

8!

(8 − 3)!=

(8)(7)(6)(5)(4)(3)(2)(1)

(5)(4)(3)(2)(1)=

(8)(7)(6)

1= 336

Taller.

1. Se diseñan 6 modelos de camisetas para un equipo de

básquet, pero en el área de costura solo pueden elaborar 3

modelos.

De cuantas formas se pueden confeccionar las camisetas.

2. Suponga que: P(A) = 0,40 y P(B|A) = 0,30. ¿Cuál es la

probabilidad conjunta de A y B.

Fórmula De Las Combinaciones.- Si el orden de los objetos seleccionados no es

importante, cualquier selección se denomina combinación. La fórmula para contar el

número de ( r ) combinaciones de objetos de un conjunto de ( n ) objetos es:

𝑛𝐶𝑟 =𝑛!

𝑟! (𝑛 − 𝑟)!

Ejemplo.

Se van a delegar a 3 estudiantes para una exposición de un proyecto, sólo existe

una posible combinación con estos tres estudiantes; el grupo formado por: Kleber,

José y Paul es el mismo grupo que forman: José, Paul y Kleber. Aplicando la fórmula

de las combinaciones tenemos:

𝑛𝐶𝑟 =𝑛!

𝑟! (𝑛 − 𝑟)!=

3!

3! (3 − 3)!=

(3)(2)(1)

(3)(2)(1)(0!)=

6

6(1)= 1

Tarea.

Un músico piensa escribir una escala basada sólo en cinco

cuerdas: B bemol, C, D, E y G. Sin embargo, sólo tres de las cinco

cuerdas se van a utilizar en sucesión,

por ejemplo:

C, B bemol y E. No se permiten repeticiones como B bemol, B bemol y E.

a) ¿Cuántas permutaciones de las cinco cuerdas, tomadas de tres en tres, son

posibles?


b) De acuerdo con la fórmula:

𝑛𝐶𝑟 =𝑛!

𝑟! (𝑛 − 𝑟)!

¿Cuántas permutaciones son posibles?

1. Una probabilidad es un valor entre 0 y 1, inclusive, que

representa las posibilidades de que cierto evento ocurra.

A. Un experimento es la observación de alguna actividad o

el acto de tomar una medida.

B. Un resultado es una consecuencia particular de un

experimento.

C. Un evento es la colección de uno o más resultados de

un experimento.

2. Existen tres definiciones de probabilidad.

A. La definición clásica se aplica cuando un experimento generará n resultados

igualmente posibles.

B. La definición empírica se emplea cuando el número de veces que ocurre un

evento se divide entre el número de observaciones.

C. Una probabilidad subjetiva se basa en cualquier información disponible. III.

Dos eventos son mutuamente excluyentes si como consecuencia de que uno

de los dos sucede, el otro no puede ocurrir.

4. Los eventos son independientes si el hecho de que un evento suceda no influye

en que el otro ocurra.

5. Las reglas de la adición se refieren a la unión de eventos.

Una probabilidad conjunta es la posibilidad de que dos o más eventos sucedan al

mismo tiempo.

Una probabilidad condicional es la posibilidad de que un evento suceda, dado que otro

evento ha sucedido.

El teorema de Bayes es un método que consiste en revisar una probabilidad, dado

que se ha logrado información adicional. En el caso de dos eventos mutuamente

excluyentes y colectivamente exhaustivos.

Existen tres reglas de conteo útiles para determinar el número de resultados de un

experimento.

La regla de la multiplicación establece que si hay m formas de que un evento suceda

y n formas de que otro pueda suceder, entonces hay mn formas en que los dos

eventos pueden suceder.

Una permutación es un arreglo en el que el orden de los objetos seleccionados de un

conjunto específico es importante.

Una combinación es un arreglo en el que el orden de los objetos seleccionados de un

conjunto específico no es importante.


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Actividades de Auto - Evaluación De La Unidad V.

1. Berdine’s Chicken Factory posee varias tiendas en el área del

Hilton Head, Carolina del Sur. Al entrevistar a los candidatos para

el puesto de mesero, al propietario le gustaría incluir información

referente a la propina que un mesero espera ganar por cuenta (o

nota). Un estudio de 500 cuentas recientes indicó que el mesero

ganaba las siguientes propinas por turno de 8 horas

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una propina sea de $200 o más?

b) Las categorías $0 a $20, $20 a $50, etc., ¿se consideran mutuamente

excluyentes?

c) Si las probabilidades relacionadas con cada resultado se sumaran, ¿cuál

sería el total?

d) ¿Cuál es la probabilidad de que una propina sea de $50?

e) ¿De que una propina sea inferior a $200?

2. En un programa de empleados que realizan prácticas de gerencia en Claremont

Enterprises, 80% de ellos son mujeres y 20% hombres. Noventa por ciento de

las mujeres fue a la universidad, así como 78% de los hombres.

a) Al azar se elige a un empleado que realiza prácticas de gerencia. ¿Cuál es

la probabilidad de que la persona seleccionada sea una mujer que no asistió a

la universidad?

b) ¿El género y la asistencia a la universidad son independientes? ¿Por qué?

c) Construya un diagrama de árbol que muestre las probabilidades

condicionales y probabilidades conjuntas.

d) ¿Las probabilidades conjuntas suman 1?00? ¿Por qué?

3. En el estado de Maryland, las placas tienen tres números seguidos de tres

letras. ¿Cuántas diferentes placas son posibles?

Actividad Final Unidad V

1. Macondoc empresa de Mantenimiento y Construcción de Obras Civiles está de

acuerdo en no construir casas iguales en una nueva ciudadela. Se ofrecen

cinco diseños de exterior a los posibles compradores. La constructora ha

uniformado tres planos de interior que pueden incorporarse a cualquiera de los

cinco modelos de exteriores. ¿Cuántos planos de exterior e interior se pueden

ofrecer a los posibles compradores?


2. . Un proveedor minorista de computadoras compró un lote de 1 000 discos CD-

R e intentó formatearlos para una aplicación particular. Había 857 discos

compactos en perfectas condiciones, 112 se podían utilizar, aunque tenían

sectores en malas condiciones y el resto no se podía emplear para nada. a)

¿Cuál es la probabilidad de que un CD seleccionado no se encuentre en

perfecto estado? b) Si el disco no se encuentra en perfectas condiciones, ¿cuál

es la probabilidad de que no se le pueda utilizar?

3. Una compañía de entregas rápidas debe incluir cinco ciudades en su ruta.

¿Cuántas diferentes rutas se pueden formar suponiendo que no importa el

orden en que se incluyen las ciudades en la ruta?

asignatura: estadistica descriptiva. docente:ing. rafael...

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