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Elementos de Mecánica Estadística

La Mecánica Estadística estudia los sistemas de muchas partículas interactuante. Permite determinar las propiedades macroscópicas(temperatura, presión, viscosidad, ...) en términos de las microscópicas(interacciones entre partículas, cantidad de movimiento, spin,...)

Supongamos que podamos resolver la ecuación de Schrödinger para una partícula del sistema, determinando cual es su espectro energético. El estado de cada partícula se caracteriza no tan solo por la energía de éste, sino que por un conjunto de parámetros que incluyen spín, momento angular, etc.

{ }, , , , ,...nE n spin momentum momento angularα α α⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

≡ → =Orbital

El estado de un conjunto de N partículas queda determinado por los estados individuales de cada una de ellas, o sea por los orbitales que estén ocupados por las partículas.

Siendo las partículas indistinguibles, no tiene sentido preguntarse cuales de todas son las partículas que ocupan determinados estados. En lugar de eso, es el número de partículas que ocupan un determinado estado (orbital) lo que importa (Número de Ocupación).

Los estados de un sistema de N partículas.

El conjunto de los estados desponibles del sistema

esta determinado por las propiedades internas del sistema (spin de particulas consituyentes, sus interacciones).

El estado (microestado) del sistema esta determinado por distribución de las particulas entre los estados desponibles y se caracteriza por el número de ocupacion

,nE α⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

( )ig E

,nE α⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

( , )i jf E α

Degeneración del nivel (Degenerancia energética)

iE

Caracteristica del sistema

Caracteristica del estado del sistema

( ) 5ig E =

3( ) 4g E =

2( ) 3g E =

1( ) 2g E =

El estado de un conjunto de N partículas queda determinado por los estados individuales de cada una de ellas, o sea por los orbitales que estén ocupados por las partículas.

Siendo las partículas indistinguibles, no tiene sentido preguntarse cuales de todas son las partículas que ocupan determinados estados. En lugar de eso, es el número de partículas que ocupan un determinado estado (orbital) lo que importa (Número de Ocupación).

Los estados de un sistema de N partículas.

El conjunto de los estados desponibles del sistema

esta determinado por las propiedades internas del sistema (spin de particulas consituyentes, sus interacciones).

El estado (microestado) del sistema esta determinado por distribución de las particulas entre los estados desponibles y se caracteriza por el número de ocupacion

,nE α⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

,nE α⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

,

( , )sis i i ji j

E E f E α=∑

,

( , )i ji j

N f E α=∑ Número de particulas

Energía del sistema

Caracteristicas de macroestado del sistema

A la temperatura T=0[K] (cero absoluto), el sistema se encuentra en su estado base: el menor estado energético posible del sistema:

( )sis part mínE E= ∑

0T =Bosones0,1,..S =

Fermiones31 , ,...2 2S =

En el caso de Fermiones, el Principio de Exclusión de Pauli permite tener una sola partícula por. Así que el estado de mínima energía del sistema se consigue colocando una partícula por estado, partiendo desde el menos energético E1, y siguiendo en forma creciente.

El estado de mínima energía del sistema se logra con todas las partículas en el estado E1

Equilibrio térmico a Temperaturas T>0[K]

Cuando T>0[K], el sistema aumenta su energía interna, con lo cual las partículas se distribuyen hacia los estados energéticos superiores, hasta alcanzar una distribución de equilibrio (estacionaria).

A

0T =



A B

0T =



A B

BAE



A B

BAE

ABE



A B

BAE

ABE

0T ≥0T ≥

AB BAE E= Equilibrio

0AB BAT T T= = ≥



En equilibrio térmico, en promedio, el número de ocupación total de cualquier estado energético E, solo depende de la energía del estado:

( )nf E El número promedio de particulasen un estado.

Función =de distribución

nE.................................

iE.................................

El número de los estados con la misma energía

2E ( )ng E1E

i i in E f E g E⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=El número promedio de particulas con iE

Funciones de Distribución.Hay dos realizaciones para las funciones de distribución(en equilibrio térmico), dependientes del tipo de partícula.

Distribución de Bose-Einstein (BE):...para sistemas de Bosones

(spin entero)1

exp 1iBE

iBE

B

f EEC k T

⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠

⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

=−

Distribución de Fermi-Dirac (FD):

1

exp 1iFD

iFD

B

f EEC k T

⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠

⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

=+

...para sistemas de Fermiones

(spin semi entero)

La Constante de Boltzmann:

231,38 10BJk K⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

−= ⋅

Las constantes de normalización se ajustan al número de partículas en el sistema:

;BE FDC C C C⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

− += =

Equilibrio Termodinámico.

El Potencial Químico:

Podemos escribir las Funciones de Distribución de una forma que le den un significado físico a las constantes de normalización.

1 1

exp 1 exp 1i

i iB B

f EE EC k T k T

µ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

±

±

= =−± ±

Donde:

expB

C k Tµ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

± = −

El signo (+) se usa para la distribución de Fermi-Dirac y el (-) para la de Bose-Einstein.

En la descripción que se da para la función de distribución, aparecen dos Parámetros Termodinámicos.

Ellos son parámetros macroscópicos, la Temperatura T y el Potencial Químico µ.

La Temperatura define cual es el estado de equilibrio ante cambios en la energía total E del sistema.

El Potencial Químico define cual es el estado de equilibrio ante cambios en el número total de partículas N del sistema.

Entre dos receptáculos en equilibrio, puede establecerse un flujo de energía (si están separados por una pared conductora de calor) o de partículas (si se tiene una pared porosa).

E

E

N

N

I IIµ µ=I IIT T=

Distribución de Bose-Einstein.

La función de distribución BE dice cual es el número promedio de partículas en un estado:

1

exp 1iBE

iBE

B

f EEC k T

⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠

⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

=−

Cuanto menor es la constante de normalización, mayor es la cantidad de partículas que acceden al estado energético i-ésimo.

Si tomamos en cuenta que la cantidad (promedio) de partículas que pueden haber es siempre un número positivo o cero, entonces se encuentra una cota inferior para CBE

exp 1iBE

B

EC k T⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

≥ 1BEC ≥

1

exp 1

máxBE BE

i

B

f fE

k T

≤ =⎛ ⎞ −⎜ ⎟⎝ ⎠

0iBEf E⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

≥

Distribución del gas de fotones

1

exp 1

máxBE BE

i

B

f fE

k T

≤ =⎛ ⎞ −⎜ ⎟⎝ ⎠

La Distribución de Bose-Einstein de un gas de Bosones, no puede alojar a más partículas por estado con que el número .

Una pregunta intrigante es que pasa cuando el número de partículas N excede el límite anterior. La respuesta es que las partículas excedentes pasan a formar parte de otro estado de la materia, el “Estado Condensado de Bose”, que es el conjunto de los Bosones en E=0.

iE máxBEf

cond BENN N= +En el estado condensado de Bose.

Partículas distribuidas según la estadística de BE.

Para el 4He, a la temperatura de 2,2[K] los Ncond átomos forman un estado líquido superfluído, es decir un líquido que no tiene viscosidad.

Distribución de Fermi-Dirac.

1

exp 1iFD

iFD

B

f EEC k T

⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠

⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

=+

Donde es el número promedio de partículas por estado con energía EiFDf

La función de distribución cumple el Principio de Exclusión que solo permite tener a una partícula por estado cuántico.

Para el número de ocupación

promedio este requiremiento resulta en: 1 exp 0FiFD FD

B

Ef E C k T

⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

≤ → = − ≥


1 1

exp 1 exp 1iFD

ii FFD

B B

f EE EEC k T k T

⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= =−+ +

Donde es el número promedio de partículas por estado con energía EiFDf

La función de distribución cumple el Principio de Exclusión que solo permite tener a una partícula por estado cuántico.

Para el número de ocupación

promedio este requiremiento resulta en: 1 exp 0FiFD FD

B

Ef E C k T

⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

≤ → = − ≥

A se le denomina Energía de Fermi..., pero

¿Cuál es el significado físico de ?FE

FE

Veamos cuál es el comportamiento de la función de distribución a T=0[K]:

0

0

1 1 1exp 1exp 10

1 1 0exp 1exp 1

FD F

i F B

FD F

i F B

f E EE E k T

Tf E E

E E k T

⎧⎛ ⎞⎪ ⎜ ⎟⎪ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎝ ⎠

⎣ ⎦⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎨

⎛ ⎞⎪⎜ ⎟⎪ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎝ ⎠⎪ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎩

=

=

< = = =−∞ +

− − += →

> = = =+∞ ++ − +


Conclusiones:

Un gas de Fermiones (p.ej. Electrón) a temperatura T=0 tiene a todas sus partículas en los estados energéticos comprendidos entre 0 y EF

A T=0, el electrón con más energía tendrá la energía de Fermi EF

23

FNE V

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∼

Los Fermiones a T=0 tienen energía no nula (energía de punto cero), o sea

¡Los electrones se mueven a T=0 !

En contraste, los Bosones y las partículas clásicas a T=0 están en reposo(en estado de mínima energía)

Gas Ideal y Distribución de Maxwell-Boltzmann.

Sea un gas de partículas muy diluido (clásico); el número de partículas por estado será muy pequeño.

Bajo la hipótesis anterior, se hablará de que el sistema corresponde a un Gas Ideal.

En esta situación, que es el límite Clásico, la distancia promedio entre las partículas es muy grande(comparada con los tamaños atómicos o moleculares) y los efectos cuánticos serán despreciables.

La hipótesis de gas diluido, puede expresarse como si la función de distribución fuese muy pequeña:

1 1 1exp 1i

B

f E CEC k T

⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠

⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

±

±

= →±

En este límite tanto la distribución FD, como la BE dan el mismo resultado(o sea es independiente del tipo de partícula).

exp iiMB MB

B

Ef E C k T⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

=

A este resultado se le conoce como Distribución de Maxwell-Boltzmann y fue descubierta mucho antes que la Mecánica Cuántica existiera.

En el modelo de Gas Ideal, se considera que las partículas no tienen ninguna estructura interna(tamaño nulo).

Como no hay interacciones la energía es puramente cinética. El espectro energético es continuo.

La energía cinética es:2

2pE m=

2 2 2 2zx yp p p p= + +

Calculemos el número promedio de partículas por unidad de energía n(E):

MB gn E d EE EE df⎛ ⎞ ⎛ ⎛⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝

⎞⎜ ⎟⎝ ⎠⎠

=

el número de los estados

con energías entre E y E+dE.el número de partículas con energías

distribuidas entre E y E+dE.

El número promedio de particulas por estado

Densidad de Estados en un Gas Ideal.

El estado de una partícula de gas ideal queda completamente especificado por las componentes de su momentum

2 2 21, , 2z zx y x yp p p p E p p pm⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= → = + +

2( ) 4edN p p dpπ ⋅∼[ , ]p p dp+El número de los estados dentro de

El volumen de la cascarón




= → = + +

2( )edN p a p dp= ⋅[ , ]p p dp+El número de los estados dentro de




= → = + +

El número de los estados dentro de [ , ]p p dp+ 2edN a p dp= ⋅

2

2p pE dE dpmm= → =




= → = + +

eadN p dEm

=[ , ]p p dp+El número de los estados dentro de

2

2p pE dE dpmm= → =

El número de los estados

dentro de [ , ]E E dE+

e b E dEdN g E dE⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= =

La densidad de los estados

b Eg E⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

Finalmente, el número promedio de partículas por unidad de energía es:

BE

k TMBn E dE f E g E dE Ge EdE⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

−= =

BE

k Tn E Ge E⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

−=

El número total de partículas permite encontrar cual es la constante de proporcionalidad G:

31 22

0 0... 2

BE

k TBN n E dE G e E dE G k Tπ ⎛ ⎞⎛ ⎞

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

−∞ ∞= = = =∫ ∫

322

BNG k Tπ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

−→ =

Con lo cual queda completa la descripción de la función de distribución de MB:

3 12 22 BE

k TB

Nn E k T e Eπ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

−−=

La energía total del gas se calcula a partir usando la función de distribución en la forma usual:

3 32 2

0 0

2 3... 2B

Ek T

B BTotalNE E n E dE k T e E dE N k Tπ

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

−∞ ∞−= ⋅ = = = ⋅∫ ∫

La energía promedio

por partícula tiene que ser:32 BE k T=totEE N=

Ecuación de Estado del Gas Ideal.

Esta ecuación dice cual es la relación que existe entre los parámetros termodinámicos (macroscópicos) de un Gas Ideal, en la forma:

, , , 0P V T N⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Φ =

La presión de un fluido es debida al choque de las partículas con las paredes del recipiente que las contenga:

FP A=

La componente X de la fuerza promedio, se debe al momentum transferido en la dirección X, luego del choque con la pared:

xxpF t

∆= ∆

Supongamos que el choque es elástico(se conserva la energía cinética) y que todas las partículas tienen la misma velocidad; entonces en cada choque se transmite a la pared un momentum:

2x xp mvδ =

Durante un pequeño intervalo de tiempo, el momentum que se transfiere a la pared es:

2x xp p f mv fδ∆ = ∆ = ∆

El número de choques ocurridos durante el intervalo de tiempo es iguala la densidad de partículas y el volumen donde se encuentran las partículas que chocan con la pared:

xNf Av tV

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∆ = ∆

Al reunir todas las fórmulas, se obtiene una expresión para la presión:

21 2x xp NP mvt VA

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∆= =∆

Que se puede escribir como:

22 xPV Nmv=

Lo anterior descansaba en la suposición de tener velocidades iguales para todas las partículas. Nosotros sabemos que eso no es así. Hay una distribución de velocidades. El resultado al que llegamos solo serviría para algún tipo de promedio:

2 2

2

x xi v v

Nii N

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(i) Reemplazamos por la velocidad cuadrática media (rms).

(ii) En promedio, solo la mitad de las partículas se dirigen hacia la pared.

Además como no hay direcciones preferenciales, se debe cumplir que los valores medios de las componentes de la velocidad sean iguales:

2 2 2zx yv v v= =

2 2 2 2 2 213zx y xv v v v v v= + + ⇒ =

O sea que se tendrá.

Con las consideraciones anteriores se puede obtener un resultado más refinado:

22 23 2 3

m vPV N N E= =

Recordando que la expresión para la energía promedio en un gas ideal:

32 B BE k T PV Nk T= ⇒ =

...se obtiene la Ecuación de Estado del Gas Ideal.

Esta Ecuación de Estado se puede rescribir en términos de la masa por mol de moléculas, utilizando la relación:

M AN mNµ =

El número de Avogadro es un factor de conversión igual a:

23 16,02 10AN mol⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

−= ⋅

La fórmula final es:

BAM

mPV N k Tµ=

Una derivación más rigurosa.

La presión parcial en las paredes debida a la fracción de partículas que tienen velocidad tal que su componente X se encuentre en el rango [vx , vx + dvx], se puede obtener con la sustitución:

2 22 2x xPV Nmv VdP mv dN= → =

El numero de partículas en el intervalo de velocidad también puede obtenerse usando la función de distribución:

( ) 2x x xMBdN v Nf v dv⎛ ⎞

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

=

Reemplazando:

2 22 x xMBVdP mv Nf v⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

=

Con lo cual tendríamos un simple problema de integración:

2 20

2 x x xMBPVdP mN v f v dv⎛ ⎞

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∞=∫ ∫

Notemos que el integrando es una función par. Sacando partido de eso, aparece una cantidad más familiar con la energía cinética media:

2 2 2 2 20

1 12 2x x x x x x xMB MBv f v dv v f v dv v⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∞ ∞

−∞= =∫ ∫

De donde se sigue:

223 2

m vPV N→ =

...el cual es el mismo resultado que se obtuvo cuando se hizo un análisis más cualitativo.

Aplicación de la Distribución de Maxwell-Boltzmann.

Predice una relación general de la forma:

0B

Ek Tn E n e⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

−=

Donde la densidad energética de estados n(E) es una función continua (un continuo de estados energéticos).

La energía puede ser de cualquier tipo: cinética o potencial.

Ejemplo 1. Evaporación:

exp

expB

Vk TBV

L LB

Ek Tn en Ek T

ω

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

−−

= =−

...la distancia de separación es r.

Ejemplo 2. Columna de Gas en un campo gravitatorio:

La energía potencial gravitatoria con una referencia arbitraria:

E mgh=

La función de distribución:

0B

mghk Tn h n e⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

−=

Radiación de Cuerpo Negro.

Absorción y Reflexión:

Cuerpo Real (común y corriente) Cuerpo Negro (Idealización)

Un “Cuerpo Negro” es objeto ideal, que absorbe en todas las frecuencias del espectro electromagnético.

Emisión Térmica a T>0.

Recordemos que una carga eléctrica acelerada emite radiación electromagnética.

Por lo tanto se puede esperar que debido al movimiento térmico de los electrones y los núcleos de los átomos constituyentes de un material se radie energía en forma de ondas electromagnéticas.

La Segundad Ley de la Termodinámica dice que un buen absorbente será también

un buen emisor.

Modelo de de Cuerpo Negro.

Cuerpo Negro Agujero pequeño en una cavidad≈

Absorbe tota la radiación incidente

Radiación incidente

Modelo de de Cuerpo Negro.

Lo más cercano que se puede llegar en la construcción de un emisor de cuerpo negro corresponde a una cavidad con un pequeño agujero.

La radiación que cruce el agujero hacia el exterior de la cavidad será la radiación de cuerpo negro.

La radiación emitida por la cavidad a través del agujero se origina a partir de la radiación electromagnética que se presenta dentro de la cavidad con la temperatura de sus paredes T>0.

La radiación está en equilibrio térmico con las paredes.

Este equilibrio se logra debido a las múltiples interacciones de la radiación con las paredes interiores(cada vez que rebota). Como la luz se mueve muy rápido, ocurren muchos choques por segundo.

Si el tamaño del agujero es lo suficientemente pequeño, se alcanzará un estado de equilibrio entre la radiación y las paredes a temperatura T.

Se podrá considerar que

la radiación dentro de la cavidad es

un gas de fotones en equilibrio.

Gas de Fotones dentro de una Cavidad.

Los fotones por ser Bosones, seguirán la estadística de Bose-Einstein con la función de distribución

1

exp 1BE

B

f EE

k T

γ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

=−

El número promedio n(E) de fotones, por unidad de energía es:

BEn E dE f E g E dEγ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

¿Qué hay acerca de la densidad de estados en los fotones?

Los fotones al interior de una cavidad se comportan como ondas estacionarias, cuyos nodos se encuentran en las paredes.

Consideremos un caso fácil de resolver; el de una cavidad cúbica de arista L. En ella las ondas quedan descritas como:

g E⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

322 yx znn nsen sen senL L L L

ππ πψ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

=

El momentum de los fotones se puede escribir en términos del número de onda en cada dirección:

x x x

y y y

z z z

p k nLp k nLp k nL

π

π

π

= =

= =

= = x

Cada estado fotónico se caracteriza por tres números cuánticos enteros:

, , 0,1,2,...zx yn n n⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

...y adicionalmente por dos estados de polarización.

La energía de cada estado viene dada por:

2 2 2 2 2 2z zx y x ycE cp E c p p p n n nLπ= → = + + = + +

Estimemos el número N(E) de estados fotónicos con energía menor que un valor dado E.

2 2 2zx yc cE n n n RL Lπ π= + + = L Ec π=

Como cada punto está asociado a un volumen igual a 1, el numero de estados será aproximadamente igual al volumen del octante de radio R, (multiplicado por 2, dado que hay dos estados de polarización):

Calculemos el número de puntos al interior de un octante positivo de radio R. La suposición que usaremos es que R es mucho mayor que 1.

R

xn

yn

zn

( )N E =El número de los puntos al interior del octante positivo del radio R

33 31 42 8 3 3 3

LN E R R cπ π π

π⎛ ⎞

⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

= × ⋅ = = 33 3

83

VN E Eh cπ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

=

La densidad de estados se obtiene derivando:

23 38 V Eh c

g E π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=23 3

8g EdN VdN dE dE E dEdE h cπ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

= = =

El número de fotones por unidad de energía:

23 3

8

exp 1BE

B

V E dEn E dE f E g E dEh c E

k T

γ π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= =−

Este resultado se puede expresar en términos de la frecuencia, usando E=hv:

23

8

exp 1B

V dn h hdc h

k T

π ν νν νν

⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠

⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

=−

( )2

38

exp 1B

Vnc h

k T

π ννν

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

=−

( ) ( )n n h hν ν= ⋅

La densidad volumétrica de energía radiante, por unidad de frecuencia, al interior de la cavidad será:

( ) ( ) ( )3

38

exp 1B

h n hV c h

k T

ν ν π νε ν ε νν

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⋅= → =

−

La Irradiancia Expectral S(v) corresponde a la potencia de la radiación por unidad de área y de frecuencia:

( ) ( ) ( )3

22

4exp 1

B

c hS SA t c hk T

ε π νν ε ν νν ν⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∆= = ⇒ =∆ ∆ ∆

−

La frecuencia a la que ocurre la máxima potencia de emisión de radiación es:

0 2,8max

BmaxkdS Td hν

νν

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= ⇒ ≈ Ley de Wien

Como consecuencia, a mayor temperatura, se emitirá el máximo de radiación a una frecuencia mayor, o sea se radiará en promedio a frecuencias mayores.

Ello se puede comprobar al calentar un metal; a medida que su temperatura va aumentando, habrán cambios de color en la secuencia:

Infrarrojo + Rojo + Amarillo +... Blanco

La potencia de la radiación (Irradiancia) corresponde a la energía emitida por unidad de área:

( )5 43 4

2 3 20 022 ...15

exp 1

B

B

kh dS S d Tc h ch

k T

ππ ν νν νν

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∞ ∞= = = =

−∫ ∫

Así se obtiene la llamada Ley de Stefan- Boltzmann:

5 44

3 22;15

BkS Th c

πσ σ= =

En el límite de baja frecuencia es de aplicación la ley de Rayleigh-Jeans:

( ) 22

21 exp 1 BB B B

h h h S k Tk T k T k T cπν ν ν ν ν

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⇒ − ≈ → =

Esta ley puede derivarse a partir de la Electrodinámica Clásica y por lo tanto no contiene a la constante de Planck h, que es un atributo de la Mecánica Cuántica.

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