asignatura: matemática docente : lic. josé cún tinoco, mgs...
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Asignatura: Matemática
Docente : Lic. José Cún Tinoco, Mgs.
Semestre : Primero
MATEMÁTICA
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G U I A D E E S T U D I O
CARRERA: TECNOLOGÍA SUPERIOR EN REDES Y TELECOMUNICACIONES
NIVEL: Tecnológico TIPO DE CARRERA: Tradicional
NOMBRE DE LA ASIGNATURA: Matemática CÓDIGO DE LA ASIGNATURA: BM-S1-MATE
PRE – REQUISITO: Ninguna CO – REQUISITO: Ninguna
TOTAL HORAS: Teoría 54 Práctica 40 Trabajo independiente 40
NIVEL: Primero PERIODO ACADÉMICO: Noviembre 2019 – Abril 2020
MODALIDAD: Presencial DOCENTE RESPONSABLE: Lic. José Cún, Mgs.
Copyright©2020 Instituto Superior Tecnológico Ismael Pérez Pazmiño. All rights reserved.
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ÍNDICE:
PRESENTACIÓN 4
SYLLABUS DE LA ASIGNATURA 5
ORIENTACIONES PARA EL USO DE LA GUÍA DE ESTUDIOS 15
DESARROLLO DE ACTIVIDADES 17
UNIDAD 1 17
Matrices
UNIDAD 2 30
Determinantes
UNIDAD 3 38
Ecuaciones Lineales
UNIDAD 4 53
Espacios vectoriales
BIBLIOGRAFIA 66
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PRESENTACIÓN
La presente guía didáctica está diseñada para los estudiantes del primer semestre de
tecnología superior en telecomunicaciones, con el propósito de buscar en ellos el
desarrollo de habilidades y destrezas para el cálculo de sistemas de ecuaciones,
operaciones matriciales, determinación de incógnitas con determinantes,
representación de espacios vectoriales que permitan procesos del pensamiento
creativo y abstracto.
El objetivo de esta guía es incentivar a los estudiantes que vean a esta asignatura, no
solo como una materia a evaluar durante todo el semestre para obtener una
calificación, sino como algo importante que debe convertirse en un aprendizaje
significativo, que les ayudará en la formación y ejecución de carrera profesional.
Este guía didáctica consta del syllabus de la asignatura, plan calendario, desarrollo de
las unidades y cada una de ellas contendrá introducción, objetivos, sustento teórico,
actividades a desarrollar, auto-evaluación y evaluación de la unidad.
En la primera unidad se trata de matrices y sus tipos, operaciones entre matrices
resaltando los algoritmos de resolución.
En la segunda unidad se relaciona operaciones de determinantes con las aplicaciones
algebraicas.
En la tercera unidad se detalla la resolución de sistemas de ecuaciones por los
diferentes métodos y por medio de problemas de razonamiento.
En la cuarta unidad se habla vectores y sus respectivas operaciones de manera
matemática y grafica en el plano y espacio.
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SYLABO DE LA ASIGNATURA
I. DATOS INFORMATIVOS
CARRERA: Tecnología en Redes y Telecomunicación
NIVEL: Tecnológico
TIPO DE CARRERA: Tradicional
NOMBRE DE LA SIGNATURA: MATEMÁTICA CÓD. ASIGNATURA: BM-S1-MATE
PRE – REQUISITO: NINGUNA CO – REQUISITO: NINGUNA
TOTAL HORAS: Componente Docencia: 54
Componente de prácticas de aprendizaje: 40
Componente de aprendizaje autónomo: 40
SEMESTRE: Primero PARALELOS: A
PERIODO ACADÉMICO: Noviembre 2019 – Abril 2020
MODALIDAD: Presencial
DOCENTE RESPONSABLE: Lic. José Cún Tinoco, Mgs.
II. FUNDAMENTACIÓN
A nivel mundial el estudio del campo Matemático concibe el manejo de estructuras
fundamentales asociadas a un conjunto de similares características, cuyo sustento
teórico científico provoca un bagaje de información que permite determinar,
caracterizar, clasificar, separar, definir, operar, evaluar y resolver situaciones de la
praxis común a través de modelizaciones comprobadas en diferentes aplicaciones de
axiomas, postulados, leyes y operaciones en problemas propuestos al comparar
variables.
El reto ante el constante cambio tecnológico y las exigencias actuales de la Educación
Superior han provocado que el estudio de la Matemática en el Ecuador, cambie su
estructura de enseñanza, por lo que el perfil profesional de la carrera Tecnología en
Redes y telecomunicaciones debe estar fundamentado en procesos de razonamiento
lógico matemático propios de las mismas en sus diferentes niveles, mediados por
herramientas web, apoyos virtuales en línea y programas computacionales que
validen las respuestas de cada problemática, optimizando tiempo en su ejecución.
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El desarrollo de la asignatura Matemática, estará apegada estrictamente en el fin
último de la educación, siendo ésta la transformación del individuo, por tal motivo, no
existirá discriminación de ninguna clase en las actividades académicas, aceptando la
diversidad cultural que se presente en el grupo de estudiantes, mostrándose además,
como una asignatura abarcadora, que brinda su aporte cultural, al saber los principios
y orígenes de los conceptos a desarrollar, logrando con esto cumplir con varios
objetivos del Plan Nacional de desarrollo 2017 – 2021.
En la provincia de El Oro los institutos tecnológicos necesitan de una estructuración
en la formación académica, el uso de distribuciones matriciales y vectoriales, la toma
de decisiones en la sistematización de procesos relacionados al diseño de redes y
telecomunicaciones, hace necesario el manejo de sistemas de ecuaciones que
permitan un acercamiento de las variables en procesos de diseño al manipular
operadores a partir de codificaciones y algoritmos de programación de redes y
comunicaciones que ejecutan órdenes para la presentación de resultados por pantalla
y las valoraciones respectivas de sistemas en distribuciones normales con carácter
heurístico en la solución de problemas de orden matricial.
Con este acercamiento surge la necesidad de realizar operaciones matriciales,
determinación de incógnitas con determinantes, representación de espacios
vectoriales y establecer los algoritmos de resolución de ecuaciones como un proceso
de comunicación matemática usando formulación acorde al sustento teórico científico,
que permitan procesos del pensamiento creativo y abstracto.
Por lo que, la Matemática toma al razonamiento lógico matemático como objeto de
estudio para la modelización de situaciones matemáticas que permitan dinamizar el
siguiente objetivo:
Emplear técnicas matemáticas en la utilización de diferentes modelos como una
herramienta para la predicción o explicación de fenómenos complejos, mediante una
actividad organizativa y estructurada para descubrir regularidades y relaciones de
situaciones reales en el área de Redes y Telecomunicaciones.
III. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
• Operar matrices mediante el sustento teórico científico de tipología y algoritmos
de resolución, que nos permitan la verificación de resultados en problemas
complejos, demostrando criticidad y creatividad en el desarrollo.
• Resolver las diferentes operaciones con determinantes a través de procesos
lógico - algebraicos para la solución de aplicaciones algebraicas, alcanzando
responsabilidad en el desarrollo de los tipos de determinantes.
• Resolver sistemas de ecuaciones aplicando algoritmos de resolución en
diferentes metodologías para la evaluación de variables en problemas
propuestos, con un alto grado de honestidad en el método elegido para su
comprobación.
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• Calcular espacios vectoriales con la ayuda de reglas y gráficas del
comportamiento de las variables en forma analítica, alcanzando el
empoderamiento de procesos lógico - algebraicos.
IV. CONTENIDOS
Sistema General de conocimientos
• Unidad 1: Matrices.
• Unidad 2: Determinantes
• Unidad 3: Ecuaciones Lineales
• Unidad 4: Espacios vectoriales
Sistema General de Habilidades
• Unidad 1: Operar matrices.
• Unidad 2: Resolver las diferentes operaciones con determinantes.
• Unidad 3: Resolver sistemas de ecuaciones aplicando algoritmos de resolución
en diferentes metodologías.
• Unidad 4: Calcular espacios vectoriales.
Sistema General de Valores
• Unidad 1: Creatividad y criticidad en el desarrollo de algoritmos propios de
resolución de matrices.
• Unidad 2: Responsabilidad en el desarrollo de los tipos de determinantes.
• Unidad 3: Honestidad en los métodos aplicados a resolución de sistemas de
ecuaciones.
• Unidad 4: Empoderamiento de procesos lógico - algebraicos en espacios
vectoriales.
V. PLAN TEMÁTICO
TEMAS DE LA
ASIGNATURA
DESARROLLO DEL PROCESO CON TIEMPO EN
HORAS
C CP S CE T L E THP TI THA
Matrices 10 12 - - 3 - 3 28 10 38
Determinantes 7 11 - - 2 - 4 24 10 34
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Ecuaciones
Lineales 7 6 - - 3 - 2 18 10 28
Espacios
vectoriales 9 9 - - 2 - 2 22 10 32
EXAMEN FINAL 2 2 - 2
Total de horas 33 38 - - 10 - 13 94 40 134
Leyenda:
C – Conferencias. L – Laboratorio.
S – Seminarios. E – Evaluación.
CP – Clases prácticas. THP – Total de horas presenciales.
CE – Clase encuentro. TI – Trabajo independiente.
T – Taller. THA – Total de horas de la asignatura.
VI. SISTEMA DE CONTENIDOS POR UNIDADES DIDÁCTICAS
Unidad I: Matrices
Objetivo: Operar matrices mediante el sustento teórico científico de tipología y
algoritmos de resolución, que nos permitan la verificación de resultados en problemas
complejos, demostrando criticidad y creatividad en el desarrollo.
Sistema de
conocimientos Sistema de habilidades Sistema de Valores
Definiciones básicas
Operaciones con matrices
Ejercicios de Repaso
Identificar los elementos
de una matriz y diferenciar
las tipologías de matrices.
Resolver operaciones con
matrices.
Aplicar los algoritmos para
la resolución.
Creatividad y criticidad
en el desarrollo de
algoritmos propios de
resolución de matrices.
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Unidad II: Determinantes
Objetivo: Resolver las diferentes operaciones con determinantes a través de
procesos lógico - algebraicos para la solución de aplicaciones algebraicas, alcanzando
responsabilidad en el desarrollo de los tipos de determinantes.
Sistema de
conocimientos Sistema de habilidades Sistema de Valores
Determinante de una matriz
cuadrada
Rango de una matriz
Ejercicios de Repaso
Resolver determinantes
mediante operaciones
combinadas.
Determinar el rango de una
matriz en ejercicios
propuestos.
Resolver operaciones
complejas con algoritmos
de resolución lógico
algebraicos.
Responsabilidad en el
desarrollo de los tipos de
determinantes.
Unidad III: Ecuaciones Lineales
Objetivo: Resolver sistemas de ecuaciones aplicando algoritmos de resolución en
diferentes metodologías para la evaluación de variables en problemas propuestos, con
un alto grado de honestidad en el método elegido para su comprobación.
Sistema de
conocimientos Sistema de habilidades Sistema de Valores
Ecuaciones Lineales
Sistemas de Ecuaciones
Ejercicios de Repaso
Identificar los miembros de
una ecuación.
Resolver sistema de
ecuaciones por diferentes
métodos.
Resolver sistemas de
ecuaciones aplicables a
problemas de relación de
variables.
Honestidad en los
métodos aplicados a
resolución de sistemas
de ecuaciones.
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Unidad IV: Espacios vectoriales
Objetivo: Calcular espacios vectoriales con la ayuda de reglas y gráficas del
comportamiento de las variables en forma analítica, alcanzando el empoderamiento
de procesos lógico - algebraicos.
Sistema de
conocimientos Sistema de habilidades Sistema de Valores
Vectores
Combinación Lineal de
vectores
Operaciones vectoriales
Bases y Dimensión
Ejercicios de Repaso
Identificar los elementos
de un vector y relacionar
las características de los
espacios vectoriales.
Reconocer las reglas
aplicables a espacios
vectoriales.
Resolver operaciones
entre vectores.
Reconocer la combinación
lineal de vectores.
Resolver problemas
propuestos aplicables al
área.
Empoderamiento de
procesos lógico -
algebraicos en espacios
vectoriales.
VII. ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Y DE ORGANIZACIÓN DE LA
ASIGNATURA.
Esta asignatura será desarrollada aplicando del método problémico apoyado en la
conversación heurística, lo que permitirá al docente utilizar o ejecutar tareas que
conduzca al estudiante a la búsqueda de vías de solución, favoreciendo a la
adquisición del conocimiento nuevo, así el método deductivo, que le permite introducir
conocimientos nuevos en el estudiante; esto ocasionará aprendizajes significativos,
pues podrá construir su propio conocimiento partiendo de otros ya adquiridos.
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La asignatura de Matemática Básica será desarrollada durante el primer semestre de
la carrera de Tecnología Superior en Redes y Telecomunicaciones abarcando cuatro
horas semanales, en cada sesión de clase se hará visible el tema y el objetivo
planteado, con el fin de desarrollar las respectivas habilidades en los estudiantes,
quienes podrán revisar con anticipación los temas propuestos para cada una de las
unidades, con las que se podrá establecer un intercambio de ideas al inicio de la nueva
clase.
Para evidenciar el desarrollo de las clases impartidas en el aula, el estudiante
documentará todas las actividades de aprendizaje plasmándolas en un portafolio y
diarios de campo, lo mismo hará con los respectivos talleres (trabajo en equipo)
realizados en clase, los cuales tendrán una puntuación que contribuirá con la nota
total de la asignatura, proceso que repetirá con las tareas extra clase.
Como material de apoyo se hará llegar al estudiante por medios electrónicos, el
respectivo syllabus de asignatura, así como los contenidos de todos los temas. Los
trabajos extra clase serán recibidos a través de la plataforma, para lo cual el docente
deberá subir al sistema la nueva tarea con sus respectivas orientaciones, con fecha
de apertura y fecha máxima de entrega.
Los estudiantes tendrán una participación activa en los diferentes foros que se subirán
en la plataforma virtual de un tema determinado, el que tendrá una puntuación
respectiva. Con respecto al desarrollo de los temas, es su primera sesión, se aplicará
la conferencia para el desarrollo de conceptos básicos, luego se apoyará en las clases
prácticas, para la aplicación del conocimiento, también se ejecutarán talleres en la
parte final de cada unidad para fortalecer los conocimientos adquiridos mediante
ejercicios de aplicación.
La puntualidad a las sesiones de clases es de vital importancia, es por ello que se
pasará lista al inicio y al final de cada sesión, además, se evaluará cada una de las
unidades académicas desarrolladas con el fin de verificar la asimilación de los
contenidos propuestos.
VIII. RECURSOS DIDÁCTICOS
Básicos: marcadores, borrador, pizarra de tiza líquida.
Audiovisuales: Computador, proyector, celulares inteligentes, tabletas, laptops y
laboratorio de computación.
Técnicos: Materiales de apoyo complementarios, Sistemas de ejercicios de
aplicación práctica, Documentos de apoyo, Separatas, texto básico, guías de
observación, tesis que reposan en biblioteca.
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IX. SISTEMA DE EVALUACIÓN DE LA ASIGNATURA
El sistema de evaluación será sistemático, participativo y permanente con el
objetivo de adquirir las habilidades y destrezas cognitivas e investigativas que
garanticen la calidad e integridad de la formación profesional y la valoración
integral de los aprendizajes.
Dentro de los aspectos a evaluar se considera:
➢ Asistencia
➢ Puntualidad
➢ Participación Individual en Clases
➢ Participación Grupal intra-extraclase
➢ Foros en la Plataforma
➢ Trabajos Independientes
Se tomó como referencia el Reglamento del Sistema Interno de Evaluación Estudiantil
para proceder a evaluar la asignatura de Matemática Básica, de esta manera se toma
como criterio de evaluación la valoración de conocimientos adquiridos y destrezas
evidenciadas dentro del aula de clases en cada una de las evaluaciones aplicadas a
los estudiantes, demostrando por medio de éstas que está apto para el
desenvolvimiento profesional.
Por ello desde el primer día de clases, se presentará las unidades didácticas y los
criterios de evaluación del proyecto final, evidenciado en el silabo y plan calendario
entregado a los estudiantes. Además, se determinará el objeto de estudio, que en este
caso son las teorías de la matemática básica y cada uno de los puntos que ésta
conlleva para su aprobación.
Se explica a los estudiantes que el semestre se compone de dos parciales con una
duración de diez semanas de clases cada una, en cada parcial se evaluará sobre
cinco puntos las actividades diarias de las clases: trabajos autónomos, trabajos de
investigación, actuaciones en clases, estudio de casos, ejercicios prácticos y talleres;
sobre dos puntos un examen de parcial que se tomará en la semana diez y semana
veinte. De esta manera cada parcial tendrá una nota total de siete puntos como
máximo. El examen final estará representado por un proyecto integrador de
asignaturas en donde cuyo tema es: Mantenimiento Preventivo y Correctivo para
los equipos de cómputo para las empresas públicas y privadas, cuyo aporte que
realiza esta asignatura es el desarrollo de la lógica matemática en el cálculo de
proyección del tiempo de vida de cada uno de los equipos informáticos, tiene una
valoración de tres puntos. Por consiguiente, el alumno podrá obtener una nota total
de diez puntos.
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Los parámetros de evaluación del proyecto o actividad de vinculación de la asignatura
son los siguientes:
Parámetros Generales
- Dominio de contenido 0,50
- Coherencia y redacción del proyecto 0,50
Parámetros Específicos
- Dominio en los cálculos matemáticos 1,00
- Determinación del tiempo de vida de los equipos de cómputo 1,00
TOTAL 3,00
El estudiante no conforme con la nota del proyecto integrador podrá solicitar mediante
oficio una recalificación y obtendrá respuesta del mismo en un plazo no mayor a tres
días hábiles.
El docente tendrá un plazo de 48 horas para socializar las calificaciones obtenidas
luego se asentará en las actas finales y se procederá a recoger la firma de los
estudiantes.
Los proyectos presentados serán sometidos a mejoras o corrección si el caso lo
amerita con la finalidad de ser presentadas en la feria de proyectos científicos que el
Instituto Superior Tecnológico Ismael Pérez Pazmiño lanzará cada año.
Una vez que el estudiante exponga su proyecto integrador y defienda las preguntas
propuestas por el tribunal, será notificado en ese momento la nota obtenida y se
procederá a la respectiva firma de constancia.
Dentro de las equivalencias de notas se clasifican de la siguiente manera:
- 10,00 a 9,50: excelente
- 9,49 a 8,50: muy bueno
- 8,49 a 8,00: bueno
- 7,99 a 7,00: aprobado
- 6,99 a menos: reprobado
Los estudiantes deberán alcanzar un puntaje mínimo de 7,00 puntos para aprobar la
asignatura, siendo de carácter obligatorio la presentación del proyecto integrador.
Si el estudiante no alcance los 7,00 puntos necesarios para aprobar la asignatura,
deberá presentarse a un examen supletorio mismo que será evaluado sobre diez
puntos y equivaldrá el 60% de su nota final, el 40% restante corresponde a la nota
obtenida en acta final ordinaria de calificaciones.
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Aquellos estudiantes que no podrán presentarse al examen de recuperación son
quienes hubiesen reprobado por faltas del 25% o más en la asignatura. Para
presentarse al supletorio deben obtener de la suma del primer parcial, segundo parcial
y sustentación del proyecto como promedio mínimo 2,50 que corresponde al 40% y la
evaluación tendrá una ponderación máxima de 6 puntos equivalente al 60%.
X. BIBLIOGRAFÍA BÁSICA Y COMPLEMENTARIA
• Baldor Aurelio. Algebra. Grupo Editorial Patria. Segunda edición, 2007.
• Baldor Aurelio. Aritmética. Grupo Editorial Patria. Segunda edición, 2007.
• Charles H. Lehmann. Algebra. Editorial Limusa – Wiley. S. A. primera edición
1964.
• David C. Lay. Algebra lineal y sus aplicaciones. Editorial Pearson Prentice Hall.
Addison Wesley Longman. Segunda edición, 1999.
• Granville, Smith, Mikesh. Trigonometría Plana y Esférica.
• M. O. González y J. D. Mancill. Algebra elemental y moderna. Editorial
Kapelusz.
Machala, 29 de Octubre del 2019
Elaborado por: Revisado por: Aprobado por:
Lic. José Cún Tinoco
Docente
Ing. José Arce Apolo
Coordinador de carrera de
Redes y
Telecomunicaciones
Dra. María Isabel
Jaramillo
Vicerrectora
Fecha: 29 de Octubre
del 2019
Fecha: 29 de Octubre del
2019
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ORIENTACIONES PARA EL USO DE LA GUÍA DE ESTUDIOS
Antes de empezar con nuestro estudio, debes tomar en cuenta lo siguiente:
1. Todos los contenidos que se desarrollen en la asignatura contribuyen a tu desarrollo
profesional, ética investigativa y aplicación en la sociedad.
2. El trabajo final de la asignatura será con la aplicación de la metodología de
investigación científica.
4. En todo el proceso educativo debes cultivar el valor de la constancia porque no
sirve de nada tener una excelente planificación y un horario, si no eres persistente.
5. Para aprender esta asignatura no memorices los conceptos, relaciónalos con la
realidad y tu contexto, así aplicarás los temas significativos en tu vida personal y
profesional.
6. Debes leer el texto básico y la bibliografía que está en el syllabus sugerida por el
docente, para aprender los temas objeto de estudio.
7. En cada tema debes realizar ejercicios, para ello debes leer el texto indicado para
después desarrollar individual o grupalmente las actividades.
8. A continuación te detallo las imágenes que relacionadas a cada una de las
actividades:
ICONO ACTIVIDAD
SUGERENCIA
TALLERES
REFLEXIÓN
TAREAS
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APUNTE CLAVE
FORO
RESUMEN
EVALUACIÓN
9. Ánimo, te damos la bienvenida a este nuevo periodo académico.
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DESARROLLO DE ACTIVIDADES
Unidad Didáctica I
Título de la Unidad Didáctica I: Matrices
Introducción de la Unidad Didáctica I: En esta unidad, se desarrollan contenidos de matrices, los tipos de matrices y
operaciones entre matrices, las cuales se direccionan al diseño, planificación y
administrar una red en las telecomunicaciones, permitiendo complementar de manera
óptima los conocimientos específicos de la carrera de Tecnología Superior en Redes
y Telecomunicaciones.
Objetivo de la Unidad Didáctica I:
Operar matrices mediante el sustento teórico científico de tipología y algoritmos de
resolución, que nos permitan la verificación de resultados en problemas complejos,
demostrando criticidad y creatividad en el desarrollo.
Organizador Gráfico de la Unidad didáctica I:
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ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE DE LA UNIDAD DIDÁCTICA I:
Actividad de Aprendizaje 1 de la Unidad Didáctica I:
MATRIZ
Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma
rectangular, formando filas y columnas.
De modo general, estas filas y columnas se identifican con las letras m y n. La m para
las filas y la n para las columnas.
Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento
se distingue de otro por la posición que ocupa; es decir, la fila y la columna a las que
pertenece.
Elemento de una matriz
Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un
elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna
a la que pertenece.
Una matriz es de diversos tipos y formas. Se pueden clasificar en:
Matriz Cuadrada
Es aquella que tiene igual número de filas y de columnas, por ejemplo, la matriz:
En esta matriz se tiene tres filas y tres columnas y se dice que es una matriz 3x3. Se
lee “tres por tres”.
Matriz Rectangular
Es aquella que no son iguales los números de filas y de columnas, por ejemplo, la
matriz:
En este ejemplo tiene dos filas y tres columnas, hablamos de una matriz 2x3 , matriz
"dos por tres".
Las matrices suelen denotarse con letras mayúsculas:
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TIPOS DE MATRICES:
Matriz rectangular
Matriz fila: matriz que solo tiene una fila
Matriz columna: matriz que solo tiene una columna
Matriz cuadrada
Matriz simétrica: una matriz cuadrada es simétrica cuando los elementos a ambos
lados de la diagonal principal son iguales.
Matriz antisimétrica (o hemisimétrica): matriz cuadrada en la que los elementos a
ambos lados de la diagonal principal son opuestos (iguales pero con distinto signo).
Matriz diagonal: matriz cuadrada donde los elementos que no están en la diagonal
principal son cero.
Matriz escalar: matriz cuadrada donde los elementos que no están en la diagonal
principal son cero y los elementos de la diagonal principal son iguales.
Matriz triangular superior: todos los elementos por debajo de la diagonal principal
son cero.
Matriz triangular inferior: todos los elementos por encima de la diagonal principal
son cero.
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Actividad de Aprendizaje 2 de la Unidad Didáctica I:
OPERACIONES CON MATRICES
Suma y resta de matrices
La unión de dos o más matrices solo puede hacerse si dichas matrices tienen la misma
dimensión. Cada elemento de las matrices puede sumarse con los elementos que
coincidan en posición en diferentes matrices.
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En el caso de restar dos o más matrices se sigue el mismo procedimiento que usamos
para sumar dos o más matrices.
Suma de matrices
La suma de dos matrices de dimensión A y B es otra matriz que se denota como A+B
con misma dimensión que las otras dos y definida como A+B=(aij)+(bij)=(aij+bij).
Ejemplo práctico
Resta de matrices
La resta de dos matrices de dimensión A y B es otra matriz que se denota como A -
B con misma dimensión que las otras dos y definida como A - B=(aij) - (bij)=(aij - bij).
Ejemplo práctico
Actividad de Aprendizaje 3 de la Unidad Didáctica I:
Multiplicación entre Matrices
Dos matrices A y B son multiplicables si el número de columnas de A coincide con
el número de filas de B.
Mm x n x Mn x p = M m x p
Resolver los siguientes ejercicios:
1. A + B; 2. A + C; 3. B – C; B + C – A
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El elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de
la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B
y sumándolos.
Ejemplo:
Para multiplicar un número por una matriz, se multiplica por el número cada término
de la matriz.
Ejemplo:
División entre matrices
La división de matrices se define como el producto del numerador multiplicado por la
matriz inversa del denominador. Es decir, sean las matrices A y B tal que A/B = AB-
1:
Ejemplo práctico
Si una matriz está dividida entre un escalar, todos los términos de la matriz quedarán
divididos por ese escalar.
Ejemplo:
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Actividad de Aprendizaje 4 de la Unidad Didáctica I:
PROCESOS
Matriz opuesta
La matriz opuesta a otra matriz es la que tiene todos los elementos de signo contrario
a la matriz original. Por ejemplo, si tenemos la matriz A:
Su matriz opuesta sería:
La matriz opuesta a A se designa como -A, donde que todos los elementos son de
signo contrario a los elementos de la matriz A.
Matriz traspuesta
Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene
cambiando ordenadamente las filas por las columnas.
Revisar la plataforma AMAUTA donde encontrará un foro con el Tema
Operaciones Básica matemáticas de matrices, el cual reforzará los contenidos
vistos hasta el momento.
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Determinante de una matriz
El determinante de una matriz de dimensión mxn es el resultado de restar la
multiplicación de los elementos de la diagonal principal con la multiplicación de los
elementos de la diagonal secundaria.
Para calcular el determinante de una matriz, necesitamos que su dimensión tenga el
mismo número de filas (m) y de columnas (n). Por tanto, m=n. La dimensión de una
matriz se representa como la multiplicación de la dimensión de la fila con la dimensión
de la columna.
Matriz 2x2
Matriz 3x3
CALCULE LA DETERMINANTE A LAS SIGUIENTES MATRICES
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Matriz adjunta:
Sea A una matriz de dimensión mxn, denotamos al elemento de la fila i y columna j de
A por ai,j. Con esta notación, si la matriz A es de dimensión 2x2, tiene la forma
Y, si es de dimensión 3x3,
La matriz adjunta de A, Adj(A), tiene la misma dimensión que A y si denotamos por
adi,j al elemento de la fila i y columna j de Adj(A), entonces
donde Ai,j es la matriz que se obtiene al eliminar la fila i y columna j de A
Ejemplos del cálculo de la matriz adjunta 2X2
Ejemplo de matriz adjunta de 3x3
CALCULE LA MATRIZ ADJUNTA DE LAS SIGUIENTES MATRICES
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Matriz inversa
Se llama matriz inversa de una matriz cuadrada A, y se expresa A-1, a la única matriz
que cumple que:
A·A-1 = I = A-1·A
Es decir, la matriz inversa de A es la única matriz que al multiplicarla por ella
obtenemos la matriz identidad del orden correspondiente.
Matriz de 2x2
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Matriz 3x3
El producto de una matriz por su inversa es igual al matriz identidad.
A · A-1 = A-1 · A = I
Se puede calcular la matriz inversa por dos métodos:
1º Cálculo por determinantes
Ejemplo
1. Calculamos el determinante de la matriz, en el caso que el determinante sea nulo
la matriz no tendrá inversa.
2. Hallamos la matriz adjunta, que es aquella en la que cada elemento se sustituye
por su adjunto.
3. Calculamos la traspuesta de la matriz adjunta.
4. La matriz inversa es igual al inverso del valor de su determinante por la matriz
traspuesta de la adjunta.
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Actividades de Auto-evaluación de la Unidad Didáctica I:
Resolver los siguientes ejercicios.
Calcular la matriz inversa de las siguientes matrices
A= B=
−
−
−
356
344
122
A C= =
−
−
201
243
121
Revisa la plataforma AMAUTA donde encontrará un foro con el Tema Resolución
de una matriz inversa, el cual reforzará los contenidos vistos hasta el momento.
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29
Actividad de Evaluación de la Unidad Didáctica I:
La tarea será subida a la plataforma AMAUTA, estar pendiente.
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Unidad Didáctica II
Título de la Unidad Didáctica II: Determinantes
Introducción de la Unidad Didáctica II: En esta unidad, se desarrollan contenidos de determinantes y los tipos de resolución,
las cuales se direccionan a la organización de datos en matrices para dar solución a
los circuitos, permitiendo complementar de manera óptima los conocimientos
específicos de la carrera de Tecnología Superior en Redes y Telecomunicaciones.
Objetivo de la Unidad Didáctica II:
Resolver las diferentes operaciones con determinantes a través de procesos lógico -
algebraicos para la solución de aplicaciones algebraicas, alcanzando responsabilidad
en el desarrollo de los tipos de determinantes.
Organizador Gráfico de la Unidad didáctica II:
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE DE LA UNIDAD DIDÁCTICA II:
Actividad de Aprendizaje 1 de la Unidad Didáctica II:
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
El determinante de una matriz de dimensión mxn es el resultado de restar la
multiplicación de los elementos de la diagonal principal con la multiplicación de los
elementos de la diagonal secundaria.
Para calcular el determinante de una matriz, necesitamos que su dimensión tenga el
mismo número de filas (m) y de columnas (n). Por tanto, m=n. La dimensión de una
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matriz se representa como la multiplicación de la dimensión de la fila con la dimensión
de la columna.
Regla de Sarrus
Matriz 2x2
Matriz 3x3
Regla de Laplace
La regla de Laplace para calcular determinantes se puede aplicar para matrices
cuadradas de cualquier dimensión, pero normalmente se hace para dimensión mayor
que 3.
CALCULE LA DETERMINANTE A LAS SIGUIENTES MATRICES
Revisa la plataforma AMAUTA donde encontrará un foro con el Tema Regla de
Sarrus, el cual reforzará los contenidos vistos hasta el momento.
MATEMÁTICA
32
Hay dos versiones de la regla: desarrollo por una fila y desarrollo por una columna.
Consejo: desarrollar por la fila o la columna que tenga más ceros.
Desarrollo por la fila ii de la matriz AA de dimensión nn:
siendo AijAij la matriz de dimensión n−1n−1 resultante al eliminar la fila ii y la
columna jj de AA.
Por tanto, si la matriz es dimensión nn, tendremos que calcular nn determinantes de
matrices de dimensión n−1n−1. Esta es la razón por la que solo usamos esta regla
cuando no hay otra opción (dimensión mayor que 3).
Para ver la fórmula de forma más intuitiva, observad el desarrollo por la fila 11 de una
matriz de dimensión 3:
Hemos escrito el símbolo ×× en las entradas de la matriz que se han eliminado,
obteniendo así determinantes de matrices 2x2.
Desarrollo por la columna jj de la matriz AA de dimensión nn es
Calcularemos el determinante de la siguiente matriz de dimensión 3:
Como tenemos un 0 en la segunda fila, desarrollamos por la fila 2:
MATEMÁTICA
33
Matriz de dimensión 4x4
Desarrollamos el determinante por la fila 1 porque tiene un 0, aunque también
podríamos escoger la fila 4, la columna 2 o la columna 4:
MATEMÁTICA
34
Actividad de Aprendizaje 2 de la Unidad Didáctica II:
Rango
Es el número que expresa el orden del mayor Menor no nulo de la matriz A.
Por ejemplo, veamos el rango de la matriz A:
se tiene que r(A) = 3, puesto que al menos hay un menor de orden 3 no nulo:
y por supuesto no es posible tomar menores de orden 4 ó mayores porque sólo hay
tres filas.
El rango de matrices es fundamental para el cálculo algebraico en espacios
vectoriales, aplicaciones lineales y en sistemas de ecuaciones lineales.
Cálculo del rango de una matriz por determinantes
En general, como el rango es el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula, los
pasos a seguir para el cálculo del rango por determinantes son:
1 Descartamos las filas (o columnas) que cumplan con alguna de las condiciones:
CALCULE LA DETERMINANTE A LAS SIGUIENTES MATRICES
Revisa la plataforma AMAUTA donde encontrará un foro con el Tema Regla de
Laplace, el cual reforzará los contenidos vistos hasta el momento.
MATEMÁTICA
35
Todos sus coeficientes son ceros.
Hay dos filas (o columnas) iguales.
Una fila (o columna) es proporcional a otra.
Una fila (o columna) es combinación lineal de otras.
2 Si al menos un elemento de la matriz no es cero su determinante no será nulo y, por
tanto, el rango será mayor o igual a 1.
3 El rango será mayor o igual a 2 si existe alguna submatriz cuadrada de orden 2, tal
que su determinante no sea nulo.
4 El rango será mayor o igual a 3 si existe alguna submatriz cuadrada de orden 3, tal
que su determinante no sea nulo.
5 El rango será mayor o igual a 4 si existe alguna submatriz cuadrada de orden 4, tal
que su determinante no sea nulo.
De este mismo modo se trabaja para comprobar si tiene rango superior a 4, hasta que
la submatriz (o las submatrices) del mayor orden posible tenga (o tengan)
determinante nulo.
Ejemplo del cálculo del rango de una matriz por determinantes
1 Dada B la matriz, calcular su rango, rang(B).
Solución:
De acuerdo a los pasos anteriores podemos realizar lo siguiente.
1 Suprimimos la tercera columna porque es combinación lineal de las dos primeras:
c3 = c1 + c2.
MATEMÁTICA
36
2 Comprobamos si tiene rango mayor o igual que 1, para ello se tiene que cumplir
que al menos un elemento de la matriz no sea cero y por tanto su determinante no
será nulo.
|2|=2≠0
3 Tendrá rango mayor o igual que 2 si existe alguna submatriz cuadrada de orden
2, tal que su determinante no sea nulo.
4 Tendrá rango mayor o igual que 3 si existe alguna submatriz cuadrada de orden
3, tal que su determinante no sea nulo.
Como todos los determinantes de las submatrices son nulos, tienen rango menor que
3, por tanto rang(B) = 2.
Actividades de Auto-evaluación de la Unidad Didáctica II:
Resolver los siguientes ejercicios.
Hallar el rango de las siguientes matrices
Revisa la plataforma AMAUTA donde encontrará un foro con el Tema Rango, el
cual reforzará los contenidos vistos hasta el momento.
MATEMÁTICA
37
Dadas las matrices calcular las determinantes con el método Sarrus
Dadas las matrices calcular las determinantes con el método Laplace.
A=
Dadas las matrices calcular el rango. A =
Actividad de Evaluación de la Unidad Didáctica II:
La tarea será subida a la plataforma AMAUTA, estar pendiente.
MATEMÁTICA
38
Unidad Didáctica III
Título de la Unidad Didáctica III: Ecuaciones Lineales
Introducción de la Unidad Didáctica III: En esta unidad, se desarrollan contenidos de sistemas de ecuaciones utilizando los
diferentes métodos de resolución y desarrollando la lógica matemática a través de la
resolución de problemas, permitiendo complementar de manera óptima los
conocimientos específicos de la carrera de Tecnología Superior en Redes y
Telecomunicaciones.
Objetivo de la Unidad Didáctica III:
Resolver sistemas de ecuaciones aplicando algoritmos de resolución en diferentes
metodologías para la evaluación de variables en problemas propuestos, con un alto
grado de honestidad en el método elegido para su comprobación.
Organizador Gráfico de la Unidad didáctica III:
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE DE LA UNIDAD DIDÁCTICA III:
Actividad de Aprendizaje 1 de la Unidad Didáctica III:
ECUACIONES
Una ecuación es una igualdad algebraica en la que aparecen letras (incógnitas) con
valor desconocido. El grado de una ecuación viene dado por el exponente mayor de
la incógnita. Solucionar una ecuación es encontrar el valor o valores de las incógnitas
MATEMÁTICA
39
que transforman la ecuación en una identidad. Dos ecuaciones son equivalentes si
tienen las mismas soluciones.
Para conseguir ecuaciones equivalentes, sólo se puede aplicar alguna de las
siguientes propiedades:
Propiedad 1: Sumar o restar a las dos partes de la igualdad una misma expresión.
Propiedad 2: Multiplicar o dividir las dos partes de la igualdad por un número diferente
de cero.
Ejercicio 1
Actividad de Aprendizaje 2 de la Unidad Didáctica III:
SISTEMA DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES.
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de 2 o + ecuaciones que tienen las mismas
soluciones y las soluciones del sistema es el conjunto de valores que satisfacen a la
Resolver las siguientes ecuaciones
Revisa la plataforma AMAUTA donde encontrará un foro con el Tema Ecuaciones
de primer grado con una incógnita, el cual reforzará los contenidos vistos hasta
el momento.
MATEMÁTICA
40
vez a todas las ecuaciones que forman el sistema. Gráficamente se representa el
sistema con una llave que abarca las ecuaciones. Hay dos métodos de resolución:
• Método gráfico
• Método algebraico
El Método algebraico tiene tres diferentes procedimientos que son:
• Método de reducción
• Método de sustitución
• Método de igualación
• Regla de Cramer
Los cuatros se pueden utilizar indiferentemente para la solución de un sistema de
ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Tipos de solución
Consideremos un sistema como el siguiente:
En un sistema de ecuaciones se pueden dar los siguientes casos:
Sistema compatible
Sí admite soluciones. La compatibilidad de un sistema se determina a partir
del determinante de la matriz 2x2 que constituye el sistema o equivalentemente de los
cocientes de la primera ecuación y la segunda.
Sistema compatible determinado. - Sí admite un número finito
de soluciones; en el caso de dos ecuaciones lineales con dos
incógnitas, si el sistema es determinado solo tendrá una
solución. Su representación gráfica son dos rectas que se
cortan en un punto; los valores de x e y de ese punto son la
solución al sistema.
MATEMÁTICA
41
Sistema compatible indeterminado. - El sistema admite un
número infinito de soluciones; su representación gráfica son
dos rectas coincidentes. Las dos ecuaciones son equivalentes
y una de ellas se puede considerar como redundante:
cualquier punto de la recta es solución del sistema.
Sistema incompatible. - El sistema no admite ninguna
solución. En este caso, su representación gráfica son dos
rectas paralelas y no tienen ningún punto en común porque
no se cortan. El cumplimiento de una de las ecuaciones
significa el incumplimiento de la otra y por lo tanto no tienen
ninguna solución en común.
Actividad de Aprendizaje 3 de la Unidad Didáctica III:
MÉTODO ALGEBRAICO
Métodos de sustitución
Consiste en aislar en una ecuación una de las dos incógnitas para sustituirla en la
otra ecuación. Este método es aconsejable cuando una de las incógnitas tiene
coeficiente 1.
Los pasos del método de sustitución
Para resolver un sistema de ecuaciones por el método de sustitución seguiremos los
siguientes pasos:
1. se despeja una incógnita en una de las ecuaciones
2. se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo una
ecuación con una sola incógnita
3. se resuelve la ecuación
4. el valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita
despejada
5. los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema
Ejemplo de método de sustitución
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones
1. Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones.
MATEMÁTICA
42
Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente más bajo
2. Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior:
3. Resolvemos la ecuación obtenida:
4 Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada
5 Solución
Métodos de igualación.
El método de igualación, consiste en despejar la misma incógnita en ambas
ecuaciones e igualar las expresiones obtenidas.
Los pasos del método de igualación
Básicamente, el método de igualación consiste en:
1. Despejar una incógnita en una de las ecuaciones, que quedará en función de la
otra incógnita (seguiremos teniendo una ecuación).
2. Despejar la misma incógnita en la otra ecuación
3. Igualar los segundos miembros de las dos incógnitas despejadas, formando una
nueva ecuación con una incógnita.
4. Despejar la única incógnita que nos quede. Obtenemos el valor numérico de una
incógnita.
5. Sustituir la incógnita despejada en el paso 4 por su valor numérico en cualquiera
de las dos ecuaciones originales
Resolver las siguientes ecuaciones con el método de
Sustitución.
Ejercicio 177 del algebra (Del 1 al 5)
MATEMÁTICA
43
6. Operar para obtener el valor numérico de la otra incógnita.
EJEMPLO DE MÉTODO DE IGUALACIÓN
Métodos de reducción.
Consiste en simplificar el sistema realizando operaciones aritméticas entre las
ecuaciones.
Pasos del método de reducción.
Para resolver un sistema de ecuaciones por el método de reducción seguiremos
los siguientes pasos:
Resolver las siguientes ecuaciones con el método de
Igualación.
Ejercicio 176 del algebra (Del 1 al 5)
MATEMÁTICA
44
1. Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por un número tal que las
ecuaciones resultantes tengan un coeficiente en común
2. Realizamos una resta (o suma según sea el caso de los signos de los coeficientes)
para desaparecer (eliminar) una de las incógnitas
3. Se resuelve la ecuación resultante
4. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve
5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema
Resolver las siguientes ecuaciones con el método de
Reducción.
Ejercicio 178 del algebra (Del 1 al 5)
MATEMÁTICA
45
Método de cramer
La regla de Cramer proporciona la solución de sistemas de ecuaciones
lineales compatibles determinados (con una única solución) mediante el cálculo de
determinantes. Se trata de un método muy rápido para resolver sistemas, sobre todo,
para sistemas de dimensión 2x2 y 3x3. Para dimensiones mayores, los determinantes
son bastante más engorrosos.
Recordad que un sistema de ecuaciones puede escribirse en forma matricial como
AX = B
donde
A es la matriz de coeficientes del sistema,
X es la matriz con las incógnitas,
B es la matriz con los términos independientes de las ecuaciones.
Para poder aplicar Cramer, la matriz A tiene que ser cuadrada y regular (determinante
distinto de 0).
Paso 1. Se prepara la matriz de los coeficientes y se halla el determinante
Identificamos los coeficientes de las incógnitas y construimos la matriz M con ellos:
Calculamos su determinante:
Bien, ya tenemos que el determinante de la matriz de coeficientes es -7
Paso 2. Se prepara la matriz de la incógnita x, y se halla el determinante
La matriz de la incógnita X es la misma matriz de coeficientes con una diferencia. En
lugar de colocar los coeficientes de X, se ubican los valores numéricos que quedaron
al otro lado de las ecuaciones.
Veamos:
MATEMÁTICA
46
Ya con esto tenemos la Matriz de X, y procedemos a calcular su determinante:
El determinante de la Matriz X es -49
Paso 3. Se prepara la matriz de la incógnita y, y se halla el determinante
La matriz de la incógnita Y es la misma matriz de coeficientes con una diferencia. En
lugar de colocar los coeficientes de Y, se ubican los valores numéricos que quedaron
al otro lado de las ecuaciones.
Veamos:
Ya con esto tenemos la Matriz de Y, y procedemos a calcular su determinante:
El determinante de la Matriz Y es -14
Paso 4. Hallamos el valor de las incógnitas.
El valor de Y va a ser igual al determinante de la matriz Y dividido en el determinante
de la matriz de coeficientes:
El valor de X va a ser igual al determinante de la matriz X dividido en el determinante
de la matriz de coeficientes:
Resolvemos:
MATEMÁTICA
47
Paso 5. Verificación de la solución del sistema.
Nuestra solución:
Actividad de Aprendizaje 4 de la Unidad Didáctica III:
MÉTODO GRAFICO
El método gráfico, como su nombre indica, se utiliza para resolver sistemas de
ecuaciones con dos incógnitas de una forma gráfica.
Para entender este método, debes tener muy claro cómo es la ecuación de una recta.
La ecuación de una recta en su forma explícita tiene esta forma:
Donde m y n son variables.
Si te das cuenta, la ecuación de una recta es una ecuación con dos incógnitas, x
e y, tal y como tenemos en un sistema de ecuaciones.
Por tanto, cada una de las ecuaciones que forman un sistema corresponde a la
ecuación de una recta, por lo que podemos representar cada una de ellas en los ejes
cartesianos y el punto de corte de ambas rectas corresponderá a la solución del
sistema de ecuaciones.
Resolver las siguientes ecuaciones con el método de Cramer.
Ejercicio 184 del algebra (Del 1 al 5)
Revisa la plataforma AMAUTA donde encontrará un foro con el Tema métodos
de resolución de un sistema de ecuaciones 2x2, el cual reforzará los
contenidos vistos hasta el momento.
MATEMÁTICA
48
Pasos para resolver un sistema de ecuaciones por el método gráfico
Los pasos para resolver un sistema de ecuaciones por el método gráfico son los
siguientes:
1. Despejamos la incógnita «y» en cada una de las ecuaciones
2. Representamos cada una de las rectas en los ejes de coordenadas
3. Las coordenadas del punto de corte de ambas rectas, será la solución del sistema
de ecuaciones.
Ejemplo de un sistema de ecuaciones resuelto por el método gráfico
Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones, el cual lo vamos a resolver por el método
gráfico:
En primer lugar, en la primera ecuación:
Despejamos «y»:
Ya tenemos la «y» despejada, aunque su forma no es igual la ecuación explícita de
una recta, ya que en el segundo término tenemos una fracción y la ecuación de una
recta tiene dos términos:
Si separamos el segundo miembro en dos términos, manteniendo el denominador
vemos que nos quedan dos términos, como en la ecuación de la recta:
Este paso no es necesario hacerlo. Tan sólo lo he hecho para que veas que
efectivamente tenemos la ecuación de una recta.
Una vez tenemos la «y» despejada, vamos a representar la recta en los ejes
cartesianos. Si necesitas ayuda para saber cómo representar una recta, en esta
lección lo tienes explicado paso a paso.
Para representar una recta, necesitamos dos puntos de la misma. Para obtenerlos,
vamos a elegir dos valores de x al azar y obtendremos su correspondiente valor de
«y». Yo voy a elegir los valores x=0 y x=1 (pero repito que pueden ser cualquiera).
MATEMÁTICA
49
Para x=0, calculamos su correspondiente valor de «y», sustituyendo x por 0 en la
expresión donde despejamos la «y»:
Hacemos lo mismo para x=1:
Con los valores obtenidos, vamos creando la tabla de valores:
Una vez tenemos ambos puntos, los representamos en los ejes de coordenadas. Ten
en cuenta que en 5/3 es igual a 1,66 para que te sea más fácil ubicarlo en los ejes:
Para representar la recta, sólo tenemos que unir ambos puntos y alargar al recta por
ambos extremos:
Ya tenemos la recta de la primera ecuación representada. Ahora vamos a hacer lo
mismo con la segunda ecuación:
Despejamos «y»:
MATEMÁTICA
50
Damos dos valores a x para obtener sus correspondientes valores de «y». En este
caso, también voy a elegir x=0 y x=1.
Para x=0, su valor de «y» es:
Para x=1, su valor de «y» es:
Ordenamos los resultados en una tabla de valores:
Ahora, en los mismos ejes donde ya tenemos representada la primera recta,
representamos los puntos de la segunda recta:
Y volvemos a unir ambos puntos para obtener la representación gráfica de la segunda
recta, alargándola por los dos extremos:
El punto de corte de ambas rectas corresponde con la solución del sistema de
ecuaciones. En este caso, se ve claramente que el punto de corte es (1,1), por lo que
la solución del sistema es x=1, y=1, que son las coordenadas del punto de corte.
MATEMÁTICA
51
Actividades de Auto-evaluación de la Unidad Didáctica III:
Resolver los siguientes ejercicios.
Dadas los siguientes sistemas de ecuaciones resolver por los métodos de: Sustitución,
Igualación, Reducción y Cramer.
Resolver las siguientes ecuaciones con el método Gráfico.
Revisa la plataforma AMAUTA donde encontrará un foro con el Tema Método
gráfico de un sistema de ecuaciones de 2x2, el cual reforzará los contenidos
vistos hasta el momento.
MATEMÁTICA
52
Utilizando el método de cramer, resuelve:
Utilizando el método gráfico, resuelve:
Actividades Actividad de Evaluación de la Unidad Didáctica III
La tarea será subida a la plataforma AMAUTA, estar pendiente.
MATEMÁTICA
53
Unidad Didáctica IV
Título de la Unidad Didáctica IV: Espacios vectoriales
Introducción de la Unidad Didáctica IV: En esta unidad, se desarrollan contenidos de Vectores y las diferentes operaciones
entre vectores utilizando los algoritmos de resolución, permitiendo complementar de
manera óptima los conocimientos específicos de la carrera de Tecnología Superior en
Redes y Telecomunicaciones.
Objetivo de la Unidad Didáctica IV:
Calcular espacios vectoriales con la ayuda de reglas y gráficas del comportamiento
de las variables en forma analítica, alcanzando el empoderamiento de procesos lógico
- algebraicos.
Organizador Gráfico de la Unidad didáctica IV:
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE DE LA UNIDAD DIDÁCTICA IV:
Actividad de Aprendizaje 1 de la Unidad Didáctica IV:
VECTOR
Un vector tiene tres características esenciales: módulo, dirección y sentido. Para que dos vectores sean considerados iguales, deben tener igual módulo, igual dirección e igual sentido.
MATEMÁTICA
54
Los vectores se representan goemétricamente con flechas y se le asigna por lo general una letra que en su parte superior lleva una pequeña flecha de izquierda a derecha como se muestra en la figura.
Las principales características de un vector
Vectores con igual módulo, pero distintas direcciones
Módulo: está representado por el tamaño del vector, y hace referencia a la intensidad de la magnitud ( número). Se denota con la letra solamente A o |A|
• Vectores de igual módulo. Todos podrían representar, por ejemplo, una velocidad de 15 km/h, pero en distintas direcciones, por lo tanto todos tendrían distinta velocidad.
• Vectores de distinto módulo. Se espera que el vector de menor tamaño represente por ejemplo una velocidad menor que la de los demás.
• Vectores de distinto módulo: Así, los vectores de la figura podrían representar velocidades de 20 km/h, 5 km/h y 15 km/h, respectivamente.
Vectores de distinto módulo, pero igual dirección y sentido
Dirección: corresponde a la inclinación de la recta, y representa al ángulo entre ella y un eje horizontal imaginario ( ver figura 2) . También se pueden utilizar los ejes de coordenadas cartesianas (x, y y z) como también los puntos cardinales para la dirección.
• Vectores de distinto módulo: Dos vectores tienen la misma dirección cuando la inclinación de la recta que los representa es la misma, es decir, cuando son paralelos.
• Vectores de igual dirección: Sin importar hacia dónde apuntan o cuál es su tamaño, los vectores de la figura son paralelos, por lo que tienen la misma dirección.
MATEMÁTICA
55
Vectores con igual módulo, dirección, pero sentidos contrarios.
Sentido: está indicado por la punta de la flecha. (signo positivo que por lo general no se coloca, o un signo negativo). No corresponde comparar el sentido de dos vectores que no tienen la misma dirección, de modo que se habla solamente de vectores con el mismo sentido o con sentido opuesto. Representación geométrica de un vector
Ya has aprendido que los vectores son definidos a través de tres características, que son: módulo, dirección y sentido. Aunque su posición en el espacio no es uno de los componentes para definirlo, el estudio de los vectores se facilita si los ubicamos en un sistema de coordenadas cartesianas que nos ayude a tener mayor precisión, de manera de poder representarlos de una forma algebraica como de una manera geométrica.
Esta imagen muestra la traslación de los vectores al origen.
Una de las características es que cuando tenemos un vector que no está en el origen de nuestro plano cartesiano, lo podemos trasladar, de manera que siempre el origen sea el (0,0) y así facilitar nuestros cálculos, pues sólo necesitaremos el punto final para determinarlo. En el dibujo anterior hemos llamado p al vector CD trasladado. Por otro lado hemos llamado q al vector AB trasladado. Si sus puntos de origen se trasladan al origen, veremos que el vector que antes tenía como coordenadas (0,2) y (3,5) ha sido traslado, de manera que sólo debemos identificar el punto final que en este caso corresponde a (3,3). De igual forma se ha procedido para el vector q.
MATEMÁTICA
56
Actividad de Aprendizaje 2 de la Unidad Didáctica IV:
OPERACIONES MATEMATICAS
Suma de vectores En la suma analítica de vectores se suman sus respectivas componentes.
Para restar dos vectores libres y se suma con el opuesto de .
Ejemplo
Resta de vectores
Para restar dos vectores libres y se resta con el opuesto de .
Graficar en el plano cartesiano los siguientes vectores.
A = (3, 8); B = (-2, 7); C = (-4, -5); D = (9, -6)
Revisa la plataforma AMAUTA donde encontrará un foro con el Tema Vectores y
sus elementos, el cual reforzará los contenidos vistos hasta el momento.
MATEMÁTICA
57
Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los
vectores.
Ejemplo
Propiedades de la suma y resta de vectores 1 Asociativa
2 Conmutativa
3 Elemento neutro
4 Elemento opuesto
Resolver las siguientes operaciones de vectores.
A = (3, 8); B = (-2, 7); C = (-4, -5); D = (9, -6)
1. A + B; 2. C – D; 3. B + D; 4. C – A
Revisa la plataforma AMAUTA donde encontrará un foro con el Tema Suma y
resta de vectores, el cual reforzará los contenidos vistos hasta el momento.
MATEMÁTICA
58
Multiplicación
Producto de vector por escalar
La multiplicación de un vector por un número se escribe o . El número
también se conoce como escalar. Además, la multiplicación por escalar es otro vector
que satisface las siguientes propiedades:
• tiene la misma dirección que .
• Si es positivo, entonces tiene el mismo sentido que .
• Si es negativo, entonces tiene el sentido contrario que .
• El módulo de es
Observemos la siguiente figura que representa la multiplicación de por 3.
En términos de componentes, si , entonces la multiplicación por escalar
está dada por
Ejemplo
Consideremos los vectores . Entonces:
El producto escalar de por 3 está dado por:
Producto entre vectores
Sea A = (Ax, Ay, Az) y B = (Bx, By, Bz), el producto escalar (denominado también producto punto o producto interno) de dos vectores se define como:
A · B = AxBx + AyBy + AzBz
Ahora, otra forma de expresar el producto escalar es:
A ∙ B = |A| |B| cosθ
Donde |A| y |B| son los módulos de A y B, y θ es el ángulo entre ambos vectores.
El producto escalar de dos vectores da como resultado un número real.
MATEMÁTICA
59
Ejemplo 1: Determine el producto escalar de A = (2, 4, 6) y B = (-2, 3, 8).
Vemos que para el vector A , 2 es la componente “x”, 4 es “y” y 6 es “z”. Para el vector B, -2 es la componente “x”, 3 “y” y 8 es “z”. El producto escalar será:
A · B = AxBx + AyBy + AzBz = (2)(-2) + (4)(3) + (6)(8) = – 4 + 12 + 48 = 56
Actividad de Aprendizaje 3 de la Unidad Didáctica IV:
ESPACIOS VECTORIALES
Resolver las siguientes multiplicaciones de vectores.
A = (3, 8); B = (-2, 7); C = (-4, -5); D = (9, -6)
• 2*A; 2. A * B; 3. 4*C; 4. C * D
Revisa la plataforma AMAUTA donde encontrará un foro con el Tema
Multiplicación de Vectores, el cual reforzará los contenidos vistos hasta el
momento.
MATEMÁTICA
60
Actividades de Auto-evaluación de la Unidad Didáctica I:
Actividad de Evaluación de la Unidad Didáctica I:
MATEMÁTICA
61
Actividad de Aprendizaje 4 de la Unidad Didáctica IV:
Vectores en un plano
Vector de posición de un punto en el plano de coordenadas
El vector que une el origen de coordenadas O con un punto P se llama vector de
posición del punto P.
Coordenadas o componentes de un vector en el plano
Si las coordenadas de A y B son:
Determine cuáles de los siguientes subconjuntos de Rn×n son subespacios
de Rn×n
.
1. Las matrices simétricas.
2. Las matrices no singulares.
3. Las matrices triangulares.
Revisa la plataforma AMAUTA donde encontrará un foro con el Tema Espacios
Vectoriales, el cual reforzará los contenidos vistos hasta el momento.
MATEMÁTICA
62
Las coordenadas o componentes del vector son las coordenadas del extremo
menos las coordenadas del origen.
MÓDULO DE UN VECTOR Y VECTOR UNITARIO
Módulo de un vector
El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define.
El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene
módulo cero.
1. Cálculo del módulo conociendo sus componentes
Ejemplo: Hallar el modulo de los siguientes vectores
Solución
2. Cálculo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos
Ejemplo
MATEMÁTICA
63
Puntos en los vectores
1 Coordenadas del punto medio de un segmento
Las coordenadas del punto medio de un segmento coinciden con la semisuma de
las coordenadas de los puntos extremos.
2 Condición para qué tres puntos estén alineados
Hallar los módulos de los siguientes vectores
Calcular la distancia entre los siguientes puntos:
Revisa la plataforma AMAUTA donde encontrará un foro con el Tema Vectores
en el plano, el cual reforzará los contenidos vistos hasta el momento.
MATEMÁTICA
64
Los puntos A (x1, y1), B(x2, y2) y C(x3, y3) están alineados siempre que los
vectores tengan la misma dirección. Esto ocurre cuando sus
coordenadas son proporcionales.
3 Simétrico de un punto respecto de otro
Si A' es el simétrico de A respecto de M, entonces M es el punto medio del
segmento AA'. Por lo que se verificará igualdad:
Hallar las coordenadas de puntos medios de un segmento
Calculamos las coordenadas del punto medio realizando la media de cada
una ;
MATEMÁTICA
65
Actividades de Auto-evaluación de la Unidad Didáctica IV:
Resolver los siguientes ejercicios.
1. Calcula el módulo del vector u = (4,3) .
2. Los puntos A(1,2) y B(2,4) del plano determinan en vector AB. Calcula sus coordenadas y su módulo.
3. Calcula el módulo de los siguientes vectores:
a) u = (1,2) c) w = (5,12)
b) v = (6,8) d) t = (15,20)
4. Calcula la distancia entre los puntos: a) A(2,0) y B(8,0); b) A(5,6) y B(8,2)
Actividad de Evaluación de la Unidad Didáctica IV:
La tarea será subida a la plataforma AMAUTA, estar pendiente.
Revisa la plataforma AMAUTA donde encontrará un foro con el Tema
Coordenadas de puntos en el plano, el cual reforzará los contenidos vistos
hasta el momento.
MATEMÁTICA
66
BIBLIOGRAFIA
Baldor Aurelio. Algebra. Grupo Editorial Patria. Segunda edición, 2007.
Baldor Aurelio. Aritmética. Grupo Editorial Patria. Segunda edición, 2007.
Charles H. Lehmann. Algebra. Editorial Limusa – Wiley. S. A. primera edición 1964.
David C. Lay. Algebra lineal y sus aplicaciones. Editorial Pearson Prentice Hall.
Addison Wesley Longman. Segunda edición, 1999.
Granville, Smith, Mikesh. Trigonometría Plana y Esférica.
M. O. González y J. D. Mancill. Algebra elemental y moderna. Editorial Kapelusz
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