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GUÍA DIDÁCTICA Y MÓDULO
GABRIEL JAIME POSADA HERNÁNDEZ
MARÍA VICTORIA BUITRAGO CARDONA
FUNDACIÓN UNIVERSITARIA LUIS AMIGÓ
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS, ECONÓMICAS Y CONTABLES
Colombia, 2008
COMITÉ DIRECTIVO
Fray Marino Martínez PérezRector
Hernán Ospina AtehortúaVicerrector Administrativo y Financiero Director de Planeación
José Jaime Díaz OsorioVicerrector Académico
Francisco Javier Acosta GómezSecretario General
ESTADÍSTICA Gabriel Jaime Posada Hernández María Victoria Buitrago Cardona
Decana Facultad de Ciencias Administrativas, Económicas y Contables:María Victoria Agudelo Vargas
Corrección de estilo:Lorenza Correa Restrepo
Diseño:Colectivo Docente Facultad de Ciencias Administrativas, Económicas y Contables
Impresión:Departamento de Publicaciones FUNLAM
www.funlam.edu.co
TODOS LOS DERECHOS RESERVADOSMedellín – Colombia2008
Estadística 2
CONTENIDO
Pág
GUÍA DIDÁCTICA
PRESENTACIÓN 13
1. FICHA TÉCNICA 15
2. INTENCIONALIDADES FORMATIVAS 16
3. OBJETIVOS 17
3.1. OBJETIVOS ESENCIALES 17
3.2. OBJETIVOS COMPLEMENTARIOS 17
4. UNIDADES TEMÁTICAS 19
5. METODOLOGÍA GENERAL 20
6. EVALUACIÓN INTEGRAL 21
II ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
INTRODUCCIÓN 23
JUSTIFICACIÓN 25
UNIDAD 1. INTRODUCCIÓN Y OBTENCIÓN DE DATOS
ESTADÍSTICOS 27
1.1. ESTADÍSTICA 27
1.1.1. Historia 27
1.1.2. Definición 31
1.1.3. División 32Estadística 3
1.2. CONCEPTOS GENERALES 32
1.2.1. Unidad de investigación 32
1.2.2. Población 33
1.2.3. Muestra 34
1.2.4. Parámetros y estadígrafos 34
1.2.5. Variables 35
1.2.6. Escalas de medición 38
1.3. MUESTREO 42
1.3.1. Métodos de muestreo probabilístico 43
1.3.2. Métodos de muestreo no probabilístico 47
1.3.3. Evaluación del valor de una encuesta 49
1.3.4. Errores en las encuestas 50
1.3.5. Aspectos éticos del muestreo 52
UNIDAD 2. ORDENACIÓN DE DATOS ESTADÍSTICOS
2.1. TABULACIÓN DE DATOS 55
2.1.1. Rango o recorrido 55
2.1.2. Amplitud del rango 59
2.1.3. Número de clases 59
2.1.4. Amplitud del intervalo de clase 60
2.1.5. Límites de las clases 61
2.1.6. Tabulación 62
2.1.7. Marca de clase o punto medio 62
2.2. FRECUENCIAS 63
2.2.1. Frecuencia absoluta 63
2.2.2. Frecuencia relativa 64Estadística 4
2.2.3. Frecuencia absoluta acumulada 66
2.2.4. Frecuencia relativa acumulada 67
2.2.5. Números índices 69
2.3. GRÁFICAS O DIAGRAMAS 70
2.3.1. Histogramas 70
2.3.2. Polígono de frecuencias 72
2.3.3. Ojivas o polígonos de frecuencias acumuladas 74
2.3.4. Diagramas de barras 75
2.3.5. Diagramas circulares 76
2.3.6. Diagrama de tallo y hojas 77
2.3.7. Diagrama de Pareto 80
2.4. TABULACIÓN DE DATOS BINARIOS O CRUZADOS 82
UNIDAD 3. MÉTODOS NUMÉRICOS
3.1. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL O DE PRECISIÓN 88
3.1.1. Media aritmética 88
3.1.2. Mediana 91
3.1.3. Moda 96
3.1.4. Cuantiles 100
3.2. MEDIDAS DE VARIABILIDAD 107
3.2.1. Rango 108
3.2.2. Rango intercuartil 109
3.2.3. Varianza 109
3.2.4. Desviación estándar 114
3.2.5. Coeficiente de variación 115
Estadística 5
3.3. MEDIDAS DE LOCALIZACIÓN 117
3.3.1. Valor z 118
3.3.2. Teorema de Chebyshev 119
3.3.3. Sesgo o forma 122
3.3.4. Diagrama de caja o bigotes 124
3.3.5. Curtosis 128
UNIDAD 4. REGRESIÓN LINEAL Y CORRELACIÓN
4.1. REGRESIÓN LINEAL SIMPLE 132
4.1.1. Diagrama de dispersión 132
4.1.2. Ajuste de una recta por el método de mínimos cuadrados 135
4.2. CORRELACIÓN 141
4.2.1. Coeficiente de correlación 141
4.2.2. Coeficiente de determinación 144
III TEORÍA DE PROBABILIDADES
UNIDAD 1. DEFINICIONES
1.1 INTRODUCCIÓN 148
1.2 QUÉ ES LA PROBABILIDAD 149
1.3 CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD 150
1.3.1 Fenómeno experimento aleatorio 150
1.3.2 Fenómeno o experimento determinístico 150
1.3.3 Prueba 150
1.3.4 Espacio muestral 150
1.3.5 Elemento o punto muestral 152
1.3.6 Evento 152
1.3.7 Intersección de dos eventos a y b 152Estadística 6
1.3.8 Unión de dos eventos a y b 153
1.3.9. Complemento de un evento a 154
UNIDAD 2. TÉCNICAS DE CONTEO
2.1 TÉCNICAS DE CONTEO 157
Regla 2.1.1. Principio de la multiplicación 157
Regla 2.1.2. Principio de permutación 161
Regla 2.1.3 Variaciones o permutaciones 162
Regla 2.1.4 Combinaciones 164
Regla 2.1.5 Particiones 166
2.2 EJERCICIOS RESUELTOS 167
UNIDAD 3. SUCESOS PROBABILÍSTICOS Y REGLAS DE
PROBABILIDAD
3.1 SUCESOS PROBABILÍSTICOS 1723.1.1 Sucesos independientes 172
3.1.2 Sucesos dependientes 172
3.1.3 Sucesos compatibles o mutuamente no excluyentes 172
3.1.4 Sucesos incompatibles o mutuamente excluyentes 172
3.2 DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD 173
3.2.1. Modelo de probabilidad empírico o frecuencialista. 173
3.2.2. Modelo subjetivo 174
3.2.3 Modelo clásico 174
3.3. REGLAS PRINCIPALES DE LA PROBABILIDAD 175
Estadística 7
3.4. AXIOMAS DE PROBABILIDAD 180
3.4.1 Teorema 1: regla de la unión o suma 180
3.4.2 Teorema 2: regla del complemento 180
3.4.3 Teorema 3: probabilidad condicional 181
3.4.4 Teorema 4: regla de la multiplicación o intersección 182
UNIDAD 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES
DE PROBABILIDAD
4.1 INTRODUCCIÓN 191
4.2DISTRIBUCIÓN O FUNCIÓN DE PROBABILIDAD 191
4.3 ALGUNAS DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD 194
4.3.1 Distribución binomial 194
4.3.1.1 Características 195
4.3.1.2 Función de probabilidad de la v.a. binomial 196
4.3.1.3 Tablas de probabilidad acumulada de la binomial 200
4.3.1.4 Parámetros de la distribución binomial 205
4.3.2 Distribución hipergeométrica 206
4.3.2.1 Función de probabilidad de la v.a. hipergeométrica 207
4.3.2.2 Parámetros de la distribución hipergeométrica 212
4.3.3 Distribución de Poisson 212
4.3.3.1 Función de probabilidad de la v.a. Poisson 213
4.3.3.2 Tablas de probabilidad acumulada de la Poisson 213
4.3.3.3 Parámetros de la distribución Poisson 220
Estadística 8
4.4 DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE PROBABILIDAD:
DISTRIBUCIÓN NORMAL 220
4.4.1 La función de densidad de la distribución normal 221
4.4.2 Representación gráfica de esta función de densidad 221
4.4.3 Distribución normal estándar 222
4.4.4 Pasos para buscar en la tabla 222
IV ESTADÍSTICA INFERENCIAL
UNIDAD 1. ESTIMACIÓN
1.1 INTRODUCCIÓN 233
1.2 NIVEL DE CONFIABILIDAD DE LOS RESULTADOS 236
1.3 PRINCIPALES PARÀMETROS, ESTADÍSTICOS
Y SUS SÍMBOLOS 236
1.4 ESTIMACIÓN PUNTUAL 237
1.4.1 Estimación puntual para variable cuantitativa 237
1.4.2 Estimación puntual para variable cualitativa 238
1.5 TAMAÑO DE LA MUESTRA PARA ESTIMAR MEDIAS Y
PROPORCIONES. 238
1.5.1 Determinación estadística del tamaño de la muestra 240
1.5.1.1 Poblaciones infinitas 240
1.5.1.1.1 Proporción conocida 240
1.5.1.1.2 Proporción desconocida 240
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1.5.1.2 Poblaciones finitas
242
UNIDAD 2. INTERVALOS DE CONFIANZA
2.1 INTRODUCCIÓN 244
2.1.1 Intervalos de confianza para el promedio poblacional 244
2.1.1.1 Parámetros y/o estadísticos para utilizar las fórmulas
de intervalos de confianza 245
2.1.2 Intervalo de confianzas para la proporción poblacional p 253
2.1.2.1 Parámetros para utilizar las fórmulas de intervalos de confianza 253
UNIDAD 3. PRUEBA DE HIPÓTESIS
3.1 INTRODUCCIÓN 257
3.2DEFINICIÓN DE PRUEBA DE HIPÓTESIS 257
3.3PASOS PARA LA PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA
EL PROMEDIO Y LA PROPORCIÓN P. 258
4. ESTUDIO DE CASO 272
5. ACTIVIDADES DE RECONOCIMIENTO 276
6. RESPUESTA A PREGUNTAS FRECUENTES 277
7. ACTIVIDADES DE PROFUNDIZACIÓN 281
ANEXOS TABLAS DE PROBABILIDAD ACUMULADA
Anexo A Tabla acumulada de la distribución binomial 297
Anexo B Tabla acumulada de la distribución Poisson 302
Anexo C Tabla acumulada de la distribución normal 305
Estadística 10
Anexo D Tabla de la distribución t-student 307
GLOSARIO 308
BIBLIOGRAFÍA 317
Estadística 11
Estadística 12
PRESENTACIÓN
Apreciado estudiante, bienvenido a la Asignatura Estadística Descriptiva e
Inferencial.
Este módulo ha sido escrito teniendo presente al estudiante que ingresa en
la metodología a distancia, la cual se constituye en uno de los nuevos retos y
alternativas para la formación de profesionales capaces de intervenir
problemáticas sociales contemporáneas, desde la aplicación de la ciencia y
la tecnología con criterios éticos y de calidad.
La educación a distancia responde a la necesidad de ofrecer un proceso de
formación que supere obstáculos representados en grandes distancias
geográficas y escasez de tiempo de personas deseosas de tener las
oportunidades de desarrollo humano que brinda la educación superior.
Dicha metodología exige a cada estudiante un esfuerzo investigativo,
creativo e innovador soportado por la voluntad del compromiso que demanda
nuestra sociedad.
Por esto, para el alcance de los objetivos en este proceso formativo, más que
construir un texto, se ha tratado de presentar un instrumento de
comunicación académica y dinámica entre la institución y el estudiante, en el
que se diferencian dos partes fundamentales: la guía de estudio y trabajo, y
el módulo de aprendizaje.
Estadística 13
La guía considera las orientaciones sobre el desarrollo del curso en cuanto
define los elementos necesarios para la interlocución entre estudiantes y
docente, describiendo en la metodología las actividades a realizar para cada
encuentro, bibliografía complementaria, proceso de evaluación y
compromisos adquiridos por el estudiante. El módulo desarrolla el contenido
conceptual básico que permite al estudiante la comprensión de los
problemas potenciales en el campo administrativo.
Seguros de que en dicho material se encuentran los referentes necesarios
para el desarrollo de un proceso académico con calidad, le deseamos éxitos
en este nuevo ciclo de su formación profesional.
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1. FICHA TÉCNICA
CURSO ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
AUTORES GABRIEL JAIME POSADA HERNÁNDEZ
MARÍA VICTORIA BUITRAGO CARDONA
INSTITUCIÓN FUNDACIÓN UNIVERSITARIA LUIS AMIGÓ
UNIDAD ACADÉMICA FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS,
ECONÓMICAS Y CONTABLES
PROGRAMAS ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS
CONTADURÍA PÚBLICA
NEGOCIOS INTERNACIONALES
PALABRAS CLAVE ESTADÍSTICA, CONTEO, DATOS, MUESTRA,
POBLACIÓN, PROBABILIDAD
ÁREA DE CONOCIMIENTO BÁSICA
CRÉDITOS 3 (TRES)
CIUDAD MEDELLÍN
FECHA JULIO DE 2007
ACTUALIZACIÓN
ADICIÓN DE TEMAS
APROBADA POR
2. INTENCIONALIDADES FORMATIVAS
Estadística 15
El mundo global y nuestra sociedad exigen al profesional moderno el
desarrollo de competencias y habilidades que permitan la solución oportuna
y adecuada a los diferentes problemas que se presentan en las
organizaciones.
La Fundación Universitaria Luis Amigó, consciente de ello, ha generado
constantemente espacios que propician la formación integral de sus
estudiantes, partiendo del reconocimiento del “ser humano” como persona y,
sobre él, la técnica y el saber específico que exige la academia.
Por tal razón, el egresado de la Fundación Universitaria Luis Amigó es un
profesional íntegro, ético y comprometido con la sociedad en la búsqueda de
alternativas viables para el mejoramiento funcional de las organizaciones y la
calidad de vida de sus integrantes.
3. OBJETIVOS
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3.1. OBJETIVOS ESENCIALES
Manejar adecuadamente los conceptos relacionados con estadística.
Aplicar los conceptos y procedimientos matemáticos para describir el
comportamiento de una variable en un conjunto de datos.
Analizar los métodos numéricos de un conjunto de datos.
Generar modelos de regresión lineal simple, y realizar análisis pertinentes
para la toma de decisiones.
Aplicar el concepto de teoría de probabilidad para tomar decisiones bajo
incertidumbre.
Manejar las distribuciones discretas y continuas de probabilidad para
resolver problemas reales, teniendo en cuenta los parámetros
poblacionales y el tipo de situación a resolver.
Realizar inferencias partiendo de parámetros muestrales, por medio de
los intervalos de confianza y prueba de hipótesis.
3.2. OBJETIVOS COMPLEMENTARIOS
Diferenciar conceptualmente la población y la muestra.
Reconocer los tipos de variables y escalas de medición aplicados a un
conjunto de datos.
Estadística 17
Calcular e interpretar las medidas de tendencia central, variabilidad y
localización de un conjunto de datos.
Calcular los parámetros de la ecuación de regresión lineal simple.
Calificar el modelo de regresión lineal simple por medio de los
coeficientes de correlación y determinación.
Reconocer un espacio muestral y su técnica de conteo acorde al
problema.
Reconocer las diferentes reglas de probabilidad y su aplicabilidad.
Aplicar y calcular por fórmula o tabla de probabilidad, las distribuciones
binomial, Poisson, hipergeométrica y normal.
Reconocer la información que se tiene para poder sacar una muestra
aleatoria, con un alto grado de confiabilidad
Diferenciar una variable aleatoria discreta y una variable aleatoria
continua.
Diferenciar un parámetro poblacional y un parámetro muestral.
Aplicar de acuerdo con los estadísticos, un parámetro muestral por medio
del intervalo de confianza o prueba de hipótesis a un nivel de
confiabilidad.
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4. UNIDADES TEMÁTICAS
II ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
UNIDAD 1. INTRODUCCIÓN Y OBTENCIÓN DE DATOS
ESTADÍSTICOS
UNIDAD 2. ORDENACIÓN DE DATOS ESTADÍSTICOS
UNIDAD 3. MÉTODOS NUMÉRICOS
UNIDAD 4. REGRESIÓN LINEAL Y CORRELACIÓN
III TEORÍA DE PROBABILIDADES
UNIDAD 1 DEFINICIONES
UNIDAD 2 TÉCNICAS DE CONTEO
UNIDAD 3 SUCESOS PROBABILÍSTICOS Y REGLAS DE
PROBABILIDAD
UNIDAD 4 VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD
IV ESTADÍSTICA INFERENCIAL
UNIDAD 1 ESTIMACIÓN
UNIDAD 2 INTERVALOS DE CONFIANZA
UNIDAD 3 PRUEBA DE HIPÓTESIS
Estadística 19
5. METODOLOGÍA GENERAL
El curso Estadística, bajo la modalidad a distancia, es realizado por medio
de encuentros presenciales, utilizando como mediaciones la plataforma
Dicom y el módulo.
En los encuentros presenciales se compartirán los temas propuestos, se
realizarán ejemplos aplicados a la administración y se asignarán actividades
para las siguientes asesorías.
Al iniciar el curso, cada estudiante selecciona una organización (puede ser
pública, privada o del sector de la economía solidaria) o un grupo poblacional
de interés (estudiantes, familias, habitantes de un barrio, etc.). Seleccionará
una muestra de elementos (de un tamaño acordado) y generará una base de
datos que contemple las variables cualitativas, cuantitativas discretas y
cuantitativas continuas.
En los elementos de la muestra seleccionada, se aplicarán paulatinamente
los conceptos vistos en el desarrollo del curso. En cada encuentro
presencial se compartirán los avances sobre la secuencia del análisis
estadístico de los elementos de la organización.
A través de la plataforma virtual Dicom, cada estudiante compartirá sus
inquietudes y apreciaciones en el portafolio personal de desempeño. Estas
inquietudes serán resueltas por este medio o socializadas en la siguiente
asesoría.
Estadística 20
6. EVALUACIÓN INTEGRAL
La evaluación del curso Estadística se realizará de forma cualitativa, por
medio del portafolio personal de desempeño (acorde con el artículo 80 del
Reglamento Estudiantil). Se establecerá un proceso dinámico y continuo que
contenga seguimiento, trabajo aplicado y evaluación final.
El seguimiento se realizará a través de evaluaciones cortas sobre temáticas
ya compartidas, designando un espacio para hacerlas, previo acuerdo con
los estudiantes.
El trabajo de aplicación a la organización o población de interés tendrá un
seguimiento durante todo el curso, el cual será tenido en cuenta para la
evaluación final del mismo; además de la presentación, análisis de variables
y conclusiones.
Al finalizar el curso, se realizará la evaluación final o Prueba Acumulativa de
Conocimiento Integral (PACI), la cual pretende evaluar, de forma global,
todos los temas tratados en el curso.
Estadística 21
Estadística 22
INTRODUCCIÓN
La estadística o los métodos estadísticos, como se denomina a veces, está
jugando un papel de gran importancia en casi todas las facetas del
comportamiento humano. Ocupada inicialmente en asuntos del Estado, y de
ahí su nombre, la influencia de la Estadística se ha extendido ahora a la
administración, la economía, los negocios, la comunicación, la agricultura, la
medicina, la física, las ciencias políticas, la psicología, la sociología y muchos
otros campos de la ciencia y la ingeniería.
El propósito de este módulo es presentar desde el manejo de la información,
su representación tabular y medidas, hasta el manejo de las probabilidades,
y llegar a conclusiones poblacionales por medio de la inferencia estadística
en la cual son de gran utilidad, para la manipulación de la información,
respuestas bajo incertidumbre y respuestas poblacionales. Se ha diseñado
para ser usado como complemento del proceso formativo, acompañado de la
plataforma Dicom y los encuentros presenciales. Además, puede ser
considerado como texto de consulta para aquellas personas que estén
interesadas en aplicar la Estadística en el análisis de problemas
investigativos.
Los temas han sido compilados de diferentes autores: Anderson, Sweeney y
Williams; Berenson, Levine y Krehbiel; Walpole y Myers; Spiegel, entre otros.
Cada unidad comienza con enunciados claros de las definiciones pertinentes
y ejemplos aplicados a la vida real. La única base matemática requerida
Estadística 23
para la comprensión de los temas es la aritmética. En la primera unidad se
presenta la conceptualización de la estadística y la forma como se obtiene
una base de datos. La segunda unidad se refiere a la ordenación de datos
estadísticos, según el tipo de variable en la cual se ubican, para luego
representar en la tercera unidad las medidas de tendencia central, de
dispersión y de localización del conjunto de datos. La cuarta unidad
establece la relación entre variables por medio de la regresión lineal y la
correlación. La quinta unidad se refiere a un espacio muestral, las técnicas
de conteo y las reglas de probabilidad. La sexta unidad se refiere a la
diferencia entre variables aleatorias discretas y continuas y sus distribuciones
de probabilidad. La séptima unidad se refiere a resultados poblacionales, por
medio de los intervalos de confianza y prueba de hipótesis, basándose en
resultados muestrales.
Al final, se presenta un estudio de caso, el cual pretende mayor cercanía de
la Estadística a la administración; además de algunas preguntas frecuentes,
con su respectiva respuesta, que se presentan al estudiar la Estadística.
Estadística 24
JUSTIFICACIÓN
El desarrollo científico del siglo XXI exige una formación profesional íntegra,
que reúna conocimientos, experiencia y expectativas, que permita la
utilización adecuada de los recursos y herramientas del mundo actual.
En la actualidad, las áreas administrativas, contables y económicas requieren
de un profesional con conocimientos básicos de cálculo, de tal forma que lo
lleven a incursionar en el campo investigativo y en la toma de decisiones,
para generar nuevos conocimientos a partir de la integración de los
conceptos propios y de las diferentes áreas de estudio, que lo hagan más
competente en los retos del mundo moderno.
Estadística 25
Estadística 26
1. INTRODUCCIÓN Y OBTENCIÓN DE DATOS ESTADÍSTICOS
1.1. ESTADÍSTICA
1.1.1. Historia
Los comienzos de la estadística pueden ser hallados en el antiguo Egipto,
cuyos faraones lograron recopilar, hacia el año 3050 antes de Cristo, prolijos
datos relativos a la población y la riqueza del país. De acuerdo con el
historiador griego Heródoto, dicho registro de riqueza y población se hizo con
el objetivo de preparar la construcción de las pirámides. En el mismo Egipto,
Ramsés II hizo un censo de las tierras con el objeto de verificar un nuevo
reparto.
En el antiguo Israel, la Biblia da referencias, en el libro de los Números, de
los datos estadísticos obtenidos en dos recuentos de la población hebrea. El
rey David, por otra parte, ordenó a Joab, general del ejército, hacer un censo
de Israel con la finalidad de conocer el número de la población.
También los chinos efectuaron censos hace más de cuarenta siglos. Los
griegos efectuaron censos periódicamente con fines tributarios, sociales
(división de tierras) y militares (cálculo de recursos y hombres disponibles).
La investigación histórica revela que se realizaron 69 censos para calcular
los impuestos, determinar los derechos de voto y ponderar la potencia
guerrera.
Pero fueron los romanos, maestros de la organización política, quienes mejor
supieron emplear los recursos de la estadística. Cada cinco años realizaban
un censo de la población, y sus funcionarios públicos tenían la obligación de Estadística 27
anotar nacimientos, defunciones y matrimonios, sin olvidar los recuentos
periódicos del ganado y de las riquezas contenidas en las tierras
conquistadas. Para el nacimiento de Cristo, sucedía uno de estos
empadronamientos de la población bajo la autoridad del imperio.
Durante los mil años siguientes a la caída del imperio romano se realizaron
muy pocas operaciones estadísticas, con la notable excepción de las
relaciones de tierras pertenecientes a la Iglesia, compiladas por Pipino el
Breve en el 758, y por Carlomagno en el 762 DC. Durante el siglo IX se
realizaron en Francia algunos censos parciales de siervos. En Inglaterra,
Guillermo el Conquistador recopiló el Domesday Book o Libro del gran
catastro para el año 1086, un documento de la propiedad, extensión y valor
de las tierras de Inglaterra. Esa obra fue el primer compendio estadístico de
Inglaterra.
Durante los siglos XV, XVI, y XVII, hombres como Leonardo de Vinci, Nicolás
Copérnico, Galileo, Neper, William Harvey, Sir Francis Bacon y René
Descartes, hicieron grandes operaciones al método científico, de tal forma
que cuando se crearon los Estados nacionales y surgió como fuerza el
comercio internacional existía ya un método capaz de aplicarse a los datos
económicos.
Para el año 1532 empezaron a registrarse en Inglaterra las defunciones
debido al temor que Enrique VII tenía por la peste. Más o menos por la
misma época, en Francia la ley exigió a los clérigos registrar los bautismos,
fallecimientos y matrimonios. Durante un brote de peste que apareció a fines
de la década de 1500, el gobierno inglés comenzó a publicar estadísticas
semanales de los decesos. Esa costumbre continuó muchos años, y en 1632
estos Bills of Mortality (Cuentas de mortalidad) contenían los nacimientos y
fallecimientos por sexo. Estadística 28
En 1662, el capitán John Graunt usó documentos que abarcaban treinta años
y efectuó predicciones sobre el número de personas que morirían de varias
enfermedades y sobre las proporciones de nacimientos de varones y mujeres
que cabría esperar. El trabajo de Graunt, condensado en su obra Natural and
political observations... Made upon the bills of mortality (Observaciones
políticas y naturales... hechas a partir de las cuentas de mortalidad), fue un
esfuerzo innovador en el análisis estadístico. Por el año 1540, el alemán
Sebastián Muster realizó una compilación estadística de los recursos
nacionales, comprensiva de datos sobre organización política, instrucciones
sociales, comercio y poderío militar.
Durante el siglo XVII aportó indicaciones más concretas de métodos de
observación y análisis cuantitativo y amplió los campos de la inferencia y la
teoría estadística. Los eruditos del siglo XVII demostraron especial interés
por la estadística demográfica como resultado de la especulación sobre si la
población aumentaba, decrecía o permanecía estática.
En los tiempos modernos, tales métodos fueron resucitados por algunos
reyes que necesitaban conocer las riquezas monetarias y el potencial
humano de sus respectivos países. El primer empleo de los datos
estadísticos para fines ajenos a la política tuvo lugar en 1691 y estuvo a
cargo de Gaspar Neumann, un profesor alemán que vivía en Breslau. Este
investigador se propuso destruir la antigua creencia popular de que en los
años terminados en siete moría más gente que en los restantes, y para
lograrlo hurgó pacientemente en los archivos parroquiales de la ciudad.
Después de revisar miles de partidas de defunción pudo demostrar que en
tales años no fallecían más personas que en los demás. Los procedimientos Estadística 29
de Neumann fueron conocidos por el astrónomo inglés Halley, descubridor
del cometa que lleva su nombre, quien los aplicó al estudio de la vida
humana. Sus cálculos sirvieron de base para las tablas de mortalidad que
hoy utilizan todas las compañías de seguros.
Durante el siglo XVII y principios del XVIII, matemáticos como Bernoulli,
Francis Maseres, Lagrange y Laplace desarrollaron la teoría de
probabilidades. No obstante, durante cierto tiempo, la teoría de las
probabilidades limitó su aplicación a los juegos de azar y hasta el siglo XVIII
no comenzó a aplicarse a los grandes problemas científicos. Godofredo
Achenwall, profesor de la Universidad de Gotinga, acuñó en 1760 la palabra
estadística, que extrajo del término italiano statista (estadista). Creía, y con
sobrada razón, que los datos de la nueva ciencia serían el aliado más eficaz
del gobernante consciente. La raíz remota de la palabra se halla, por otra
parte, en el término latino status, que significa estado o situación. Esta
etimología aumenta el valor intrínseco de la palabra, por cuanto la estadística
revela el sentido cuantitativo de las más variadas situaciones.
Jacques Quételect es quien aplica las estadísticas a las ciencias sociales.
Este interpretó la teoría de la probabilidad para su uso en las ciencias
sociales y resolver la aplicación del principio de promedios y de la
variabilidad a los fenómenos sociales. Quételect fue el primero en realizar la
aplicación práctica de todo el método estadístico, entonces conocido, a las
diversas ramas de la ciencia. Entre tanto, en el período del 1800 al 1820 se
desarrollaron dos conceptos matemáticos fundamentales para la teoría
estadística: la teoría de los errores de observación, aportada por Laplace y
Gauss; y la teoría de los mínimos cuadrados desarrollada por Laplace,
Gauss y Legendre.
Estadística 30
A finales del siglo XIX, Sir Francis Gaston ideó el método conocido por
Correlación, que tenía por objeto medir la influencia relativa de los factores
sobre las variables. De aquí partió el desarrollo del coeficiente de correlación
creado por Karl Pearson y otros cultivadores de la ciencia biométrica como J.
Pease Norton, R. H. Hooker y G. Udny Yule, que efectuaron amplios estudios
sobre la medida de las relaciones.
Los progresos más recientes en el campo de la Estadística se refieren al
ulterior desarrollo del cálculo de probabilidades; particularmente en la rama
denominada indeterminismo o relatividad, se ha demostrado que el
determinismo fue reconocido en la Física como resultado de las
investigaciones atómicas y que este principio se juzga aplicable tanto a las
ciencias sociales como a las físicas.
1.1.2. Definición
La Estadística es la ciencia cuyo objetivo es reunir una información
cuantitativa concerniente a individuos, grupos, series de hechos, etc., y
deducir de ello, gracias al análisis de estos datos, significados precisos o
previsiones para el futuro.
La estadística, en general, es la ciencia que trata de la recopilación,
organización presentación, análisis e interpretación de datos numéricos con
el fin de realizar una toma de decisión más efectiva.
Los estudiantes confunden comúnmente los demás términos asociados con
las estadísticas, una confusión que es conveniente aclarar debido a que esta
palabra tiene tres significados: la palabra estadística, en primer término, se
usa para referirse a la información estadística; también se utiliza para
Estadística 31
referirse al conjunto de técnicas y métodos que se utilizan para analizar la
información estadística; y el término estadístico, en singular y en masculino,
se refiere a una medida derivada de una muestra.
1.1.3. División
La Estadística, para su mejor estudio, se ha dividido en dos grandes ramas:
la Estadística Descriptiva y la Inferencial.
Estadística Descriptiva: consiste sobre todo en la presentación de datos en
forma de tablas y gráficas. Esta comprende cualquier actividad relacionada
con los datos y está diseñada para resumir o describir los mismos sin
factores pertinentes adicionales, esto es, sin intentar inferir nada que vaya
más allá de los datos como tales.
Estadística Inferencial: se deriva de muestras, de observaciones hechas
sólo acerca de una parte de un conjunto numeroso de elementos y esto
implica que su análisis requiere de generalizaciones que van más allá de los
datos. Como consecuencia, la característica más importante del reciente
crecimiento de la estadística ha sido un cambio en el énfasis de los métodos,
los cuales son utilizados para hacer generalizaciones. La Estadística
Inferencial investiga o analiza una población partiendo de una muestra
tomada.
1.2. CONCEPTOS GENERALES
1.2.1. Unidad de investigación
Estadística 32
La unidad de investigación es el elemento a quien va dirigida la investigación,
el cual puede ser una persona, una familia, una vivienda, un estudiante, una
universidad, un empleado, una organización, etc. La unidad debe ser
adecuada al tipo de investigación y debe poseer características claras y
entendibles que permitan mediciones y comparaciones.
1.2.2. Población
Se entiende por población o universo un conjunto grande de elementos o
unidades de investigación, de los cuales se estudia una o varias
características comunes. Por ejemplo, los estudiantes de una universidad,
las universidades de una ciudad, los artículos producidos en una fábrica, las
empresas de un país, los lanzamientos de una moneda, etc.
Según el tamaño, la población puede clasificarse en finita e infinita.
Se considera una población finita cuando tiene un número determinado de
elementos, es decir, se conoce el tamaño de la población. Por ejemplo, los
habitantes de un país, los estudiantes de una universidad, los empleados de
una empresa, los asociados a una cooperativa, etc., mientras que la
población infinita tiene un número indeterminado de elementos, por ejemplo,
los cuerpos que caen, los lanzamientos de un dado, etc.
Esta clasificación sólo existe en la teoría, porque en la práctica existen
poblaciones con un número enormemente grande de elementos, las cuales
son clasificadas como poblaciones infinitas.
Cuando la población está compuesta por un número relativamente alto de
elementos, por razones de costo, tiempo y recursos técnicos que acarrearía Estadística 33
la observación exhaustiva de cada uno de los elementos de la población, es
necesario recurrir a la selección de una muestra representativa de la
población.
1.2.3. Muestra
La muestra es un conjunto de unidades pertenecientes a la población,
seleccionadas adecuadamente; es decir, es una parte de la población o
universo. Por ejemplo, de los 150 empleados de una empresa que
constituyen el universo o población en estudio, al azar se pueden seleccionar
30 empleados, que constituyen la muestra.
Al emplear una muestra se busca lograr que al observar una porción
reducida de unidades, se puedan sacar conclusiones semejantes a las que
se obtendrían si se estudiara el total de la población o universo.
Lo ideal es que el número de elementos o unidades de observación que
constituyen la muestra sea igual al de la población, para evitar los errores al
utilizar muestras no representativas. Sin embargo, por la limitación de
recursos, es preciso acudir al muestreo y asumir los posibles errores que
puedan generarse. Cuando el tamaño de la muestra es igual al de la
población, el trabajo realizado se denomina censo.
1.2.4. Parámetros y estadígrafos
Los parámetros son medidas que describen numéricamente una
característica de la población, tales como: la media aritmética, la varianza, el
coeficiente de variación, etc. Una población puede tener varias
características y, por lo tanto, varios parámetros.Estadística 34
Los estadígrafos o estadísticas son medidas que describen numéricamente
una característica de la muestra; así como los parámetros lo hacen en una
población, igual los estadígrafos lo hacen para la muestra, tales como: la
media aritmética, la varianza, el coeficiente de variación, etc.
1.2.5. Variables
Una variable es cualquier característica o propiedad de una población o de
una muestra, susceptible de asumir distintos valores o modalidades. Por
ejemplo: la altura de cada uno de los estudiantes de un curso puede tomar
distintos valores: ésta puede ser 1.65 m o 1.72 m, o cualquier otro valor, así
la altura es una variable. Esto no significa que la altura de un estudiante
puede variar, sino que la altura puede variar de un estudiante a otro.
El color también es una variable. Si se toma, por ejemplo, el color de las
camisetas de los estudiantes, esta cualidad puede variar de una camiseta a
otra, ya que puede haber camisetas blancas, negras, rojas, azules, etc.
Estos colores son, en este caso, los distintos atributos o modalidades que
puede asumir la variable en mención.
Las características de los objetos pueden ser o no ser susceptibles de
medida; en el primer caso (la altura de los estudiantes) se tiene una
característica cuantitativa, y en el segundo (el color de la camiseta) una
característica cualitativa. Por esta razón, las variables se clasifican en
cualitativas y cuantitativas.
Estadística 35
Variables cualitativas
Las variables cualitativas son las que no permiten construir una serie
numérica definida; los atributos o características que toman son distintas
modalidades observadas cualitativamente. Son variables cualitativas el
color, la profesión, el estado civil, etc.
Para designar variables cualitativas, generalmente se utilizan las primeras
letras del alfabeto en mayúsculas (A, B, C,...) y para designar el atributo se
toman las letras minúsculas acompañadas por subíndices. Por ejemplo, la
variable profesión en una empresa puede ser representada por la letra A y
sus posibles características: administrador, economista, contador, ingeniero,
por a1, a2 , a3 ,a4, respectivamente, en este caso,
a1 = administrador
a2 = economista
a3 = contador
a4 = ingeniero
Variables cuantitativas
Las variables cuantitativas son aquellas que permiten una escala numérica
de medición, toman distintos valores observados cuantitativamente mediante
una medida y una escala de medidas. Son variables cuantitativas la altura,
el peso, el número de hijos de una familia, el salario, el número de artículos
producidos en una semana.
Para designar las variables cuantitativas se utilizan las últimas letras del
alfabeto en mayúsculas (... X, Y, Z). Por ejemplo, la variable altura de cinco Estadística 36
estudiantes se representa por X y las alturas 1.65 m, 1.67 m, 1.68 m, 1.70 m
y 1.72 m, se representan por x1, x2 , x3 , x4 y x5 , respectivamente. En este
caso,
x1 = 1.65 m
x2 = 1.67 m
x3 = 1.68 m
x4 = 1.70 m
x5 = 1.72 m
Las variables cuantitativas pueden clasificarse en cuantitativas continuas y
cuantitativas discretas.
Una variable es cuantitativa continua si entre dos valores consecutivos
puede tomar infinito número de valores; es decir, entre uno y otro valor de la
variable existen infinitas posibilidades intermedias; son variables continuas el
peso, la temperatura, el tiempo, el salario, etc.
Por ejemplo, el peso es una variable cuantitativa continua porque entre los
valores de 65 Kg y 66 Kg existen infinitos valores, éstos pueden ser 65.9 Kg,
65.99 Kg, 65.999 Kg, etc.
Una variable es cuantitativa discreta si entre dos valores consecutivos no
puede asumir otro valor; en este caso la variable no toma valores decimales.
Por ejemplo, el número de empleados de una empresa, el número de
artículos producidos, el número de empresas de la competencia, etc. En
estos casos se habla de un cierto valor como 10, 11, 12 o cualquier otro
número entero, porque es absurdo decir, por ejemplo, que una empresa tiene
11.8 empleados.Estadística 37
1.2.6. Escalas de medición
Una escala es un sistema para asignar valores numéricos a ciertas
características o rasgos mensurables. Existen varios métodos para ordenar
datos; en la mayoría de los casos, las técnicas de medición se pueden
reducir a cuatro tipos de escalas: nominal, ordinal, de intervalos y de razón.
Escala nominal
La escala nominal se aplica a la variable cualitativa, la cual presenta
diferentes categorías o modalidades, cada una de las cuales recibe un
nombre; de ahí la denominación de esta escala. A las variables con tales
características también se les denomina atributos. Las categorías pueden
estar preconstruidas y ser de aceptación general, o puede definirlas el
investigador de acuerdo con sus intereses, pero en cualquier caso deben ser
exhaustivas y mutuamente excluyentes, esto es, que exista una y sólo una
categoría para cada uno de los elementos de la población.
Ejemplos:
Color = {blanco, rojo, azul, verde, violeta, otro}
Tipo de artículo = {normal, imperfecto}
Cargo = {gerente, coordinador, auxiliar}
Las únicas estadísticas básicas que se pueden obtener a partir de estas
variables son la frecuencia y la moda y, por tanto, los métodos estadísticos
disponibles son aquellos que se basan en las mismas. En el caso de una
sola variable, se pueden obtener tablas de frecuencias y diagramas de Estadística 38
barras o de sectores; si se tienen dos variables se puede realizar un análisis
de correspondencia o construir tablas de contingencia.
Escala ordinal
Cada uno de los niveles de esta escala tiene un rango, lo que permite
establecer comparaciones de orden entre los mismos (mayor que, menor
que). No obstante, no es adecuado, en general, suponer que la distancia
entre un nivel y sus niveles adyacentes superior e inferior es la misma.
Ejemplos:
Estado sanitario = {sano, ligeramente afectado, enfermo, muy enfermo,
muerto}
Estrato socioeconómico = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Producción = {alta, media, baja}
Las variables medidas en esta escala contienen más información que
aquellas medidas en escala nominal; por tanto, se podrían aplicar los mismos
métodos y análisis, prescindiendo de la información de orden.
Adicionalmente, se pueden calcular la mediana y la desviación media.
Aunque es posible reemplazar cada una de los niveles por un número
(etiqueta), éste no aporta información adicional y las relaciones que se
pueden establecer siguen siendo las mismas. Así, se podría hacer
corresponder los números del 1 al 5 con cada uno de los niveles de estado
fitosanitario, pero lo único que se podría decir en cuanto a la sanidad es que
1 > 2 > 3 > 4 > 5. En general, será inadecuada la utilización de estos
Estadística 39
números para efectuar operaciones o deducciones matemáticas de otro tipo,
como la obtención del estado fitosanitario promedio, por ejemplo.
Escala de intervalo
Es una escala que contiene más información que las anteriores, pues
además de que existe un orden entre los diferentes niveles, la distancia entre
cualquier par de niveles adyacentes es la misma, lo que implica el uso de
una distancia unitaria de referencia. Esta característica permite establecer
relaciones entre cualquier par de intervalos en la escala; así, es posible
afirmar que la distancia que hay entre 5 y 6 es la misma que hay entre 10 y
11.
Esta escala hace uso de un punto cero que se asigna arbitrariamente en
cada sistema y que no implica ausencia de la característica medida. Este
hecho hace imposible establecer comparaciones de razón. Así, para una
característica medida en esta escala, sería incorrecto afirmar que 5 es la
mitad de 10.
Un ejemplo típico es la escala en que se mide la temperatura; para su
medición se pueden utilizar diferentes sistemas: el Celsius, el Fahrenheit1 u
otro. Dentro de cualquiera de estos sistemas es posible afirmar que la
distancia entre dos divisiones cualesquiera es la misma, sin importar el lugar
de la escala. No obstante, en la siguiente tabla se observa cómo una
relación entre dos temperaturas cambia dependiendo del sistema, la cual
explica por qué no puede afirmarse que 5 sea la mitad de 10.
Celsius Fahrenheit
1 (temperatura) ºF = (9/5) * (temperatura) ºC + 32Estadística 40
5 ºC 41 ºF10 ºC 50 ºF
Nótese que cualquier escala ordinal que se construya cuidando que la
distancia entre niveles sea la misma constituirá, en realidad, una escala de
intervalos.
Cuando las variables están medidas en esta escala, se pueden calcular
todos los estadísticos, y es posible usar cualesquiera de los métodos
estadísticos clásicos, siempre que se cumplan los supuestos específicos de
los mismos.
Escala de razones
Es la escala de medición que tiene más información. Posee un punto cero
verdadero que indica ausencia de la característica, lo que permite realizar
comparaciones no sólo de intervalo, sino también de razones, sin importar el
sistema utilizado.
Así, por ejemplo, un objeto que mida 5,08 cm tendrá el doble de longitud con
relación a un objeto que mida 2,54 cm, cualquiera que sea el sistema en que
se registre la longitud, tal como se muestra en la siguiente tabla2.
Centímetros Pulgadas2,54 15,08 2
Como ejemplo de variables medidas en escala de razones, están los conteos
de cualquier característica, pesos y longitudes, ente otras.
2 1 pulgada = 2,54 centímetrosEstadística 41
Cuando se tiene una variable medida en escala de razones, se pueden
calcular todos los estadísticos y es posible utilizar cualesquiera de los
métodos estadísticos clásicos, siempre que se cumplan los supuestos
específicos de los mismos.
Las escalas de medición que contienen poca información se denominan
débiles, y los métodos estadísticos que se pueden aplicar sobre las mismas
son, por lo general, más restringidos. Las escalas de medición con mayor
información se denominan escalas fuertes y pueden analizarse mediante los
métodos diseñados específicamente para su análisis o mediante
cualesquiera de los métodos diseñados para trabajar sobre variables
medidas en una escala más débil, simplemente prescindiendo de la
información adicional.
Una clasificación más amplia llama variables cualitativas a aquellas medidas
en escala nominal, y cuantitativas a las medidas en escala de razones o de
intervalo. Las variables medidas en escala ordinal forman un puente entre
ambas.
1.3. MUESTREO
Los métodos estadísticos proponen diferentes tipos de muestreo, aunque en
general pueden dividirse en dos grandes grupos: métodos de muestreo
probabilísticos y métodos de muestreo no probabilísticos.
1.3.1. Métodos de muestreo probabilísticos
Estadística 42
Los métodos de muestreo probabilístico son aquellos que se basan en el
principio de equiprobabilidad. Es decir, aquellos en los que todos los
individuos tienen la misma probabilidad de ser elegidos para formar parte de
una muestra y, consiguientemente, todas las posibles muestras de tamaño n
tienen la misma probabilidad de ser elegidas. Sólo estos métodos de
muestreo probabilístico aseguran la representatividad de la muestra extraída
y son, por tanto, los más recomendables. Dentro de los métodos de
muestreo probabilístico se encuentran los siguientes tipos:
Muestreo aleatorio simple
El procedimiento empleado es el siguiente: 1) se asigna un número a cada
individuo de la población, y 2) a través de algún medio mecánico (bolas
dentro de una bolsa, tablas de números aleatorios, números aleatorios
generados con una calculadora u ordenador, etc.) se eligen tantos sujetos
como sea necesario para completar el tamaño de muestra requerido.
Este procedimiento, atractivo por su simpleza, tiene poca o nula utilidad
práctica cuando la población que se está manejando es muy grande.
Muestreo aleatorio sistemático
Este procedimiento exige, como el anterior, numerar todos los elementos de
la población, pero en lugar de extraer n números aleatorios sólo se extrae
uno. Se parte de ese número aleatorio i, que es un número elegido al azar, y
los elementos que integran la muestra son los que ocupan los lugares i, i+k,
i+2k, i+3k,...,i+(n-1)k, es decir se toman los individuos de k en k, siendo k el
resultado de dividir el tamaño de la población entre el tamaño de la muestra:
Estadística 43
k=N/n. El número i que se emplea como punto de partida será un número al
azar entre 1 y k.
El riesgo se este tipo de muestreo está en los casos en que se dan
periodicidades en la población ya que al elegir a los miembros de la muestra
con una periodicidad constante (k) se puede introducir una homogeneidad
que no se da en la población. Supóngase que se está seleccionando una
muestra sobre listas de 10 individuos en los que los 5 primeros son varones y
los 5 últimos mujeres; si se emplea un muestreo aleatorio sistemático con
k=10 siempre serán seleccionados o sólo hombres o sólo mujeres; no podría
haber una representación de los dos sexos.
Muestreo aleatorio estratificado
Trata de obviar las dificultades que presentan los anteriores, ya que
simplifica los procesos y suele reducir el error muestral para un tamaño dado
de la muestra. Consiste en considerar categorías típicas diferentes entre sí
(estratos) que poseen gran homogeneidad respecto a alguna característica
(se puede estratificar, por ejemplo, según la profesión, el municipio de
residencia, el sexo, el estado civil, etc.). Lo que se pretende con este tipo de
muestreo es asegurarse de que todos los estratos de interés estarán
representados adecuadamente en la muestra. Cada estrato funciona
independientemente, pudiendo aplicarse dentro de ellos el muestreo
aleatorio simple o el estratificado para elegir los elementos concretos que
formarán parte de la muestra. En ocasiones, las dificultades que plantea son
demasiado grandes, pues exige un conocimiento detallado de la población
(tamaño geográfico, sexos, edades...).
Estadística 44
La distribución de la muestra en función de los diferentes estratos se
denomina afijación, y puede ser de diferentes tipos:
Afijación simple: a cada estrato le corresponde igual número de elementos
muestrales.
Afijación proporcional: la distribución se hace de acuerdo con el peso
(tamaño) de la población en cada estrato.
Afijación óptima: se tiene en cuenta la previsible dispersión de los
resultados, de modo que se consideran la proporción y la desviación típica.
Tiene poca aplicación ya que no se suele conocer la desviación.
Por ejemplo, se está interesado en estudiar el grado de aceptación que la
implantación de la reforma educativa ha tenido entre los padres de un
municipio. A tal efecto se seleccionó una muestra de 600 padres de familia.
Se conoce por los datos del Ministerio de Educación que de los 10.000 niños
escolarizados en la básica, 7.000 acuden a colegios públicos y 3.000 a
colegios privados. Como el interés es que en la muestra estén representados
todos los tipos de colegio, se realiza un muestreo estratificado empleando
como variable de estratificación el tipo de colegio.
Si se emplea una afijación simple serían 300 niños de cada tipo de centro,
pero en este caso parece más razonable utilizar una afijación proporcional
pues hay bastante diferencia en el tamaño de los estratos. Por consiguiente,
se calcula la proporción para cada uno de los estratos respecto de la
población, para poder reflejarlo en la muestra.
Estadística 45
Colegios públicos: 7.000/10.000 = 0.70
Colegios privados: 3.000/10.000 = 0.30
Para conocer el tamaño de cada estrato en la muestra se multiplica la
proporción por el tamaño muestral.
Colegios públicos: 0.70x600 = 420 padres de familia
Colegios privados: 0.30x600 = 180 padres de familia
Muestreo aleatorio por conglomerados
Los métodos presentados hasta ahora están pensados para seleccionar
directamente los elementos de la población, es decir, que las unidades
muestrales son los elementos de la población. En el muestreo por
conglomerados la unidad muestral es un grupo de elementos de la población
que forman una unidad, a la que se denomina conglomerado. Las unidades
hospitalarias, los departamentos universitarios, una caja de determinado
producto, etc. son conglomerados naturales. En otras ocasiones, se pueden
utilizar conglomerados no naturales como, por ejemplo, las urnas electorales.
Cuando los conglomerados son áreas geográficas suele hablarse de
"muestreo por áreas".
El muestreo por conglomerados consiste en seleccionar aleatoriamente un
cierto número de conglomerados (el necesario para alcanzar el tamaño
muestral establecido) y en investigar después todos los elementos
pertenecientes a los conglomerados elegidos.
Por ejemplo, en una investigación se trata de conocer el grado de
satisfacción laboral de los empleados de una cadena de almacenes; se toma Estadística 46
una muestra de 700 empleados. Ante la dificultad de acceder individualmente
a estos empleados, se decide hacer una muestra por conglomerados.
Sabiendo que el número de empleados por almacén es aproximadamente de
35, los pasos a seguir serían:
• Recoger un listado de todos los almacenes.
• Asignar un número a cada uno de ellos.
• Elegir por muestreo aleatorio simple o sistemático los 20 almacenes
(700/35 = 20) que proporcionarán los 700 empleados que se
necesitan.
Finalmente, ante lo compleja que puede llegar a ser la situación real de
muestreo es muy común emplear lo que se denomina muestreo polietápico.
Este tipo de muestreo se caracteriza por operar en sucesivas etapas,
empleando en cada una de ellas el método de muestreo probabilístico más
adecuado.
1.3.2. Métodos de muestreo no probabilísticos
A veces, para estudios exploratorios, el muestreo probabilístico resulta
excesivamente costoso y se acude a métodos no probabilísticos, aun siendo
conscientes de que no sirven para realizar generalizaciones, pues no se
tiene certeza de que la muestra extraída sea representativa, ya que no todos
los sujetos de la población tienen la misma probabilidad de ser elegidos. En
general, se selecciona a los sujetos siguiendo determinados criterios
procurando que la muestra sea representativa.
Estadística 47
Muestreo por cuotas
También denominado en ocasiones "accidental". Se asienta generalmente
sobre la base de un buen conocimiento de los estratos de la población y/o de
los individuos más "representativos" o "adecuados" para los fines de la
investigación. Mantiene, por tanto, semejanzas con el muestreo aleatorio
estratificado, pero no tiene el carácter de aleatoriedad de aquél.
En este tipo de muestreo se fijan unas "cuotas" que consisten en un número
de individuos que reúnen determinadas condiciones, por ejemplo: 20
individuos de 25 a 40 años, de sexo femenino y residentes en una misma
ciudad. Una vez determinada la cuota, se eligen los primeros que se
encuentre que cumplan esas características. Este método se utiliza mucho
en las encuestas de opinión.
Por ejemplo, una universidad desea estudiar la incidencia de las drogas en la
adolescencia. Lo que debería hacer sería: conocer por los informes del
Estado cuáles son los centros educativos más afectados por el problema,
fijar un número de sujetos a entrevistar, proporcional a cada uno de los
estratos (cuotas) y, finalmente, dejar en manos de los responsables del
trabajo de campo a qué sujetos concretos se deberá entrevistar.
Muestreo opinático o intencional
Este tipo de muestreo se caracteriza por un esfuerzo deliberado de obtener
muestras "representativas" mediante la inclusión en la muestra de grupos
supuestamente típicos. Es muy frecuente su utilización en sondeos
preelectorales de zonas que en anteriores votaciones han marcado
tendencias de voto. Estadística 48
Muestreo casual o incidental
Se trata de un proceso en el que el investigador selecciona directa e
intencionadamente los individuos de la población. El caso más frecuente de
este procedimiento es el utilizar como muestra los individuos a los que se
tiene fácil acceso (los profesores de universidad emplean con mucha
frecuencia a sus propios alumnos). Un caso particular es el de los
voluntarios.
Bola de nieve
Se localiza a algunos individuos, los cuales conducen a otros, y éstos a
otros, y así hasta conseguir una muestra suficiente. Este tipo se emplea muy
frecuentemente cuando se hacen estudios con poblaciones "marginales",
delincuentes, sectas, determinados tipos de enfermos, egresados de una
institución, etc.
1.3.3. Evaluación del valor de una encuesta
Cotidianamente se oye o se lee sobre resultados de encuestas en los
diferentes medios de comunicación. Es evidente que los avances
tecnológicos en las comunicaciones han provocado la proliferación de
investigaciones por medio de encuestas; sin embargo, no todas son
aceptables, significativas o importantes.
Para evitar encuestas carentes de objetividad o credibilidad, debe evaluarse
con sentido crítico todo lo que se lee y escucha, además de examinarse el
valor de la encuesta, evaluando los siguientes aspectos:Estadística 49
Propósito de la encuesta: por qué y para quién se realiza. Un resultado
de opinión o una encuesta realizada para satisfacer la curiosidad
pertenece a la esfera de la diversión. Su resultado es un fin en sí mismo,
no un medio para lograr un fin. Debe existir escepticismo ante tales
encuestas porque el resultado no tiene una aplicación posterior.
Determinar si la encuesta está basada en una muestra probabilística o no
probabilística: el único medio disponible para hacer inferencias
estadísticas correctas a partir de una muestra es el uso de un muestreo
probabilístico. Las encuestas que emplean métodos de muestreo no
probabilístico están sujetas a errores significativos, quizá no
intencionales, que pueden generar resultados sin sentido.
1.3.4. Errores en las encuestas
Aun cuando en las encuestas se utilizan métodos de muestreo probabilístico,
están sujetas a errores potenciales, los cuales se describen a continuación:
Error de cobertura o sesgo en la selección
La clave para una selección apropiada en la muestra es un marco de
población adecuado o una lista actualizada de todos los elementos que
participarán en el muestreo. El error de cobertura ocurre si se excluyen
ciertos elementos de la lista de población, de manera que no tienen
oportunidad de ser seleccionados en la muestra. El error de cobertura
conduce a un sesgo de selección. Si el listado es inadecuado porque no se
incluyeron algunos elementos de la población, cualquier muestra
Estadística 50
probabilística aleatoria proporcionará una estimación de las características
del marco, no de la población real.
Error o sesgo de no respuesta
No todas las personas están dispuestas a contestar una encuesta. El error
de no respuesta surge del fracaso al recopilar datos de todos los sujetos de
la muestra y el resultado es un sesgo de no respuesta. Como en general no
se puede suponer que las personas que no responden son semejantes a
aquellas que sí responden, es importante realizar un seguimiento a las no
respuestas después de un periodo determinado. Deben hacerse varios
intentos, ya sea por correo o por teléfono, para convencerlos de que
diligencien la encuesta. Con base en estos resultados, las estimaciones
obtenidas con las respuestas iniciales se combinan con las estimaciones
obtenidas con el seguimiento, de manera que las inferencias hechas a partir
de la encuesta sean válidas.
Error de muestreo
El error de muestreo se presenta cuando se encuesta una muestra y no la
población, es decir, cuando no se aplica un censo. Aun cuando no se puede
evitar este error, sí se puede controlar; una forma importante de controlarlo
es seleccionar un método o un diseño adecuado de muestreo. El error de
muestreo muestra la heterogeneidad o las “diferencias aleatorias” de una
muestra a otra, según la probabilidad de que elementos específicos sean
seleccionados en unas muestras determinadas.
Error de medición
Estadística 51
Se refiere a la falta de precisión en las respuestas registradas, debido a fallas
en la redacción del enunciado de las preguntas, la influencia del
entrevistador en la persona que responde, o por el esfuerzo que realiza la
persona que responde.
1.3.5. Aspectos éticos del muestreo
En la actualidad se existe una tendencia a la proliferación de investigaciones
que se apoyan en encuestas; no todas son buenas, significativas o
importantes, y no todas son éticas. Debe intentarse distinguir entre un
diseño de encuesta deficiente y un diseño carente de ética.
Las consideraciones éticas surgen con relación a cuatro tipos de errores
potenciales que pueden ocurrir cuando se diseñan encuestas que utilizan
muestras probabilísticas aleatorias: error de cobertura o sesgo de selección,
error o sesgo de no respuesta, error de muestreo y error de medición. El
error de cobertura o sesgo de selección se convierte en un problema ético,
sólo si se excluyen a propósito grupos específicos de individuos del marco de
población, para obtener resultados sesgados, que indican una posición más
favorable para los intereses del investigador.
De igual manera, el error o sesgo de no respuesta se convierte en un
problema ético, sólo si es menos probable que grupos o individuos
específicos respondan a una encuesta, y si el investigador la diseña a
propósito con el fin de excluir grupos o elementos.
El error de muestreo se convierte en un problema ético, sólo cuando los
resultados se presentan, a propósito, sin referencia al tamaño de muestra o
Estadística 52
al margen de error, de modo que el investigador puede promover un punto
de vista que de otra manera sería insignificante.
El error de medición se convierte en un problema ético en cualquiera de las
siguientes situaciones:
Un investigador puede elegir preguntas orientadas que guían las
respuestas hacia una dirección específica.
Un investigador, mediante actitudes y tono de voz, puede crear un efecto
deliberado de halo o puede guiar las respuestas en cierta dirección.
Alguien que responde, pero no está de acuerdo con la encuesta, puede
proporcionar información falsa a propósito.
Estadística 53
2. ORDENACIÓN DE DATOS ESTADÍSTICOSEstadística 54
En los datos obtenidos en encuestas, experimentos o mediante cualquier
instrumento de medida, por ser numerosos, se dificulta su interpretación, a
menos que se ordenen y clasifiquen en forma conveniente. Por lo tanto, se
deben agrupar los datos y presentarlos en forma de tablas.
2.1. TABULACIÓN DE DATOS
La tabulación de datos consiste en tomar los distintos valores o atributos que
toma la variable y colocarlos en columna, de acuerdo con algún criterio de
ordenación, y al frente se coloca el número de veces que aparece el valor o
atributo, o sea, la frecuencia.
Para la tabulación de datos correspondientes a variables cualitativas se
puede hacer de acuerdo con el orden cronológico, con el orden alfabético o
en forma convencional.
Por ejemplo, una Cooperativa de Trabajo Asociado Epsilon desea conocer el
nivel de escolaridad de sus asociados y encuentra la siguiente información: 5
profesionales, 15 técnicos, 20 bachilleres y 10 con básica primaria.
Ordenando los niveles de escolaridad en forma convencional se obtiene la
tabla 1.
Estadística 55
Tabla 1. Nivel de escolaridad de los asociados de la Cooperativa de
Trabajo Asociado Epsilon
NIVEL DE ESCOLARIDAD TABULACIÓN FRECUENCIAProfesional ΙΙ Ι Ι Ι 5Técnico ΙΙ Ι Ι Ι ΙΙ Ι Ι Ι ΙΙ Ι Ι Ι 15Bachiller ΙΙ Ι Ι Ι ΙΙ Ι Ι Ι ΙΙ Ι Ι Ι
ΙΙ Ι Ι Ι
20
Básica primaria ΙΙ Ι Ι Ι ΙΙ Ι Ι Ι 10Fuente: Datos hipotéticos
Para la clasificación de datos correspondientes a variables cuantitativas se
utilizan escalas numéricas y se pueden colocar de forma creciente o
decreciente.
Por ejemplo, se seleccionan diez asociados de la Cooperativa de Trabajo
Asociado Epsilon y se les consulta por el número de hijos que poseen en el
momento, obteniendo los siguientes datos: 2, 3, 1, 1, 0, 2, 4, 3, 2, 2.
Ordenando en forma creciente se obtiene la tabla 2.
Tabla 2. Número de hijos de los asociados de la Cooperativa de Trabajo
Asociado Epsilon
NÚMERO DE HIJOS TABULACIÓN FRECUENCIA0 Ι 11 ΙΙ 22 ΙΙ Ι Ι 43 ΙΙ 24 Ι 1
Fuente: Datos hipotéticos
En la tabla 2 se ha ordenado en forma creciente el número de hijos de los
asociados, pero cuando los datos son numerosos o el recorrido de la variable
es largo, este procedimiento no es práctico y, por lo tanto, se deben formar
Estadística 56
grupos o intervalos de clase, mediante el siguiente procedimiento: rango o
recorrido, amplitud del rango, número de clases, amplitud del intervalo de
clase, límites de cada clase y tabulación.
2.1.1. Rango o recorrido (R)
El rango o recorrido (R) de una variable es el campo de variación numérica
de dicha variable, es decir, el intervalo entre el menor valor y el mayor valor
que toma la variable. Se representa como:
Donde, R: rango o recorrido.
Li: límite inferior (menor valor de la variable).
Ls: límite superior (mayor valor de la variable).
Por ejemplo, un grupo de expertos en auditaje analiza el tiempo que tarda
(en minutos) en realizar la auditoría de un proceso similar en diferentes
empresas. Los datos se presentan en la siguiente tabla:
Tabla 3. Tiempo que tarda (en minutos) un grupo de expertos en auditar
un procesoEstadística 57
R = [ Li , Ls ]
Auditor Tiempo
(min)
Auditor Tiempo
(min)
Auditor Tiempo
(min)
Auditor Tiempo
(min)
Auditor Tiempo
(min)Aud. 1 70 Aud. 11 47 Aud. 21 57 Aud. 31 52 Aud.41 51Aud. 2 71 Aud. 12 68 Aud. 22 55 Aud. 32 63 Aud.42 50Aud. 3 62 Aud. 13 60 Aud. 23 55 Aud. 33 65 Aud.43 60Aud. 4 63 Aud. 14 54 Aud. 24 57 Aud. 34 50 Aud.44 56Aud. 5 67 Aud. 15 63 Aud. 25 59 Aud. 35 53 Aud.45 67Aud. 6 65 Aud. 16 60 Aud. 26 74 Aud. 36 59 Aud.46 59Aud. 7 74 Aud. 17 69 Aud. 27 56 Aud. 37 45 Aud.47 68Aud. 8 62 Aud. 18 54 Aud. 28 59 Aud. 38 72 Aud.48 61Aud. 9 65 Aud. 19 73 Aud. 29 71 Aud. 39 64 Aud.49 51Aud. 10 56 Aud. 20 55 Aud. 30 50 Aud. 40 69 Aud.50 64Fuente: Datos hipotéticos
En la tabla 3 el valor mayor es 74 minutos y, el menor, 45 minutos, por lo
tanto:
Li = 45 minutos, Ls = 74 minutos y R = [45, 74]
Límites reales: como los tiempos se registran con aproximación a 1 minuto,
el límite inferior, 45 minutos, incluye el valor 44.6 minutos; por lo tanto, el
valor real del límite inferior es 44.5 minutos; y el límite superior, 74 minutos,
incluye el valor 74.5 minutos; luego, el límite real superior es 74.5 minutos, y
el recorrido real en este caso es:
R = [44.5, 74.5]
2.1.2. Amplitud del rango (AR)
La amplitud del rango de una variable se determina hallando la diferencia
entre el límite superior real y el límite inferior real.
Estadística 58
AR = Ls - Li
Para el ejemplo de la tabla 3 la amplitud del rango es:
AR = 74.5 minutos – 44.5 minutos = 30 minutos
2.1.3. Número de clases (m)
El número de clases puede obtenerse de forma convencional, teniendo en
cuenta que no debe ser menor a 5 ni mayor de 20 clases. Sin embargo,
puede obtenerse por medio de la fórmula de Sturges, la cual es:
Donde n es el número total de datos.
Para el ejemplo de la tabla 3 el número de intervalos es:
m = 1 + 3.3 x log (50)
m = 1 + 3.3 x 1.69
m = 1 + 5.6
m = 6.6
En este caso se pueden tomar 6 ó 7 intervalos.
2.1.4. Amplitud del intervalo de clase (C)
El valor del intervalo de clase no es necesario que sea igual para todos los
intervalos; sin embargo, para fines de simplificación y funcionalidad es Estadística 59
m = 1 + 3.3 x log
conveniente que todas las clases tengan la misma amplitud. Para obtenerla,
se divide la amplitud del rango entre el número m de clases que se considere
más adecuado, teniendo en cuenta que C debe ser un número exacto. En
consecuencia,
Para el ejemplo de la tabla 3 la amplitud del intervalo podría ser:
Si m = 6, entonces C = 30/6, C = 5 minutos
Si m = 7, entonces C = 30/7, C = 4.285714286... minutos
Entre estos dos valores, el más recomendable es C = 5, ya que es exacto.
Por lo tanto, se deben construir 6 intervalos con una amplitud de 5 minutos.
Esto es m = 6 y C = 5.
Cuando la amplitud del intervalo (AR) no es divisible por un número entero,
ésta se puede incrementar hasta hacerla divisible; este incremento debe ser
distribuido proporcionalmente, sumando la mitad al límite superior y restando
la otra mitad al límite inferior.
2.1.5. Límites de las clases
Cada clase tiene un límite inferior il y un límite superior sl ; el límite inferior
de la clase más baja o clase uno es igual al límite inferior del rango L i, y el
límite superior de esta clase es igual al límite inferior, más la amplitud del
intervalo (C). El límite inferior de la clase dos es igual al límite superior de la
Estadística 60
C = AR / m
clase uno, y el límite superior de esta clase es igual al límite inferior, más la
amplitud del intervalo (C). Y así sucesivamente, hasta cubrir el número de
clases definidas.
Para el ejemplo de la tabla 3, los límites de clases serían:
Tabla 4. Límites de clases para el tiempo que tarda (en minutos) un
grupo de expertos en auditar un proceso
Nº DE CLASE LÍMITES DE CLASE
il - sl
INTERVALOS DE CLASE
il - sl
1 44.5 - 44.5 + 5 = 49.5 44.5 - 49.52 49.5 - 49.5 + 5 = 54.5 49.5 - 54.53 54.5 - 54.5 + 5 = 59.5 54.5 - 59.54 59.5 - 59.5 + 5 = 64.5 59.5 - 64.55 64.5 - 64.5 + 5 = 69.5 64.5 - 69.56 69.5 - 69.5 + 5 = 74.5 69.5 - 74.5
Fuente: Datos hipotéticos
2.1.6. Tabulación
Una vez establecidos los intervalos de clase, se procede al conteo como en
el caso para datos no agrupados, como se ilustra en la tabla 5.
Tabla 5. Tabulación para el tiempo que tarda (en minutos) un grupo de
expertos en auditar un proceso
Nº DE CLASE TIEMPO (minutos) TABULACIÓN FRECUENCIAS
Estadística 61
1 44.5 - 49.5 ΙΙ 22 49.5 - 54.5 ΙΙ Ι Ι Ι ΙΙ Ι Ι 93 54.5 - 59.5 ΙΙ Ι Ι Ι ΙΙ Ι Ι Ι
ΙΙ
12
4 59.5 - 64.5 ΙΙ Ι Ι Ι ΙΙ Ι Ι Ι
Ι
11
5 64.5 - 69.5 ΙΙ Ι Ι Ι ΙΙ Ι Ι 96 69.5 - 74.5 ΙΙ Ι Ι Ι ΙΙ 7
Fuente: Datos hipotéticos
2.1.7. Marca de clase o punto medio
Cada clase tiene un punto medio o marca de clase .
ix que representa a cada
intervalo. La marca de clase se calcula como la semisuma entre los límites
inferior y superior de cada intervalo, así:
Tabla 6. Marca de clase para el tiempo que tarda (en minutos) un grupo
de expertos en auditar un proceso
Nº DE
CLASE
INTERVALO
(Tiempo en minutos)
MARCA DE
CLASE1 44.5 - 49.5 472 49.5 - 54.5 523 54.5 - 59.5 574 59.5 - 64.5 625 64.5 - 69.5 676 69.5 - 74.5 72
Estadística 62
2
.is
i
llx
+=
Fuente: Datos hipotéticos
Obsérvese que al pasar de una marca de clase a la siguiente, ésta se
incrementa en las mismas unidades de la amplitud del intervalo C; por esta
razón es que C siempre debe ser un número exacto.
2.2. FRECUENCIAS
2.1.1. Frecuencia absoluta (fi)
Se llama frecuencia absoluta (fi) al número de veces que aparece el valor xi
de una variable X en un colectivo. Así, si en un grupo de 30 empleados hay 6
que tienen una edad de 25 años, se dice que la edad 25 años tiene una
frecuencia de 6.
Las frecuencias absolutas para el grupo de expertos de la auditoría de un
proceso se presentan en la tabla 7.
Tabla 7. Frecuencias absolutas para el tiempo que tarda (en minutos) un
grupo de expertos en auditar un proceso
N° DE CLASE INTERVALO
(Tiempo en minutos)
FRECUENCIA
ABSOLUTA (fI)1 44.5 - 49.5 22 49.5 - 54.5 93 54.5 - 59.5 124 59.5 - 64.5 115 64.5 - 69.5 96 69.5 - 74.5 7
TOTAL 50Fuente: Datos hipotéticos
Estadística 63
Obsérvese que la suma de las frecuencias absolutas debe ser igual al
número total de datos.
2.2.2. Frecuencia relativa (hi)
Se llama frecuencia relativa (hi) al cociente de dividir la frecuencia absoluta
entre el número total de elementos del colectivo. También se puede
representar en porcentaje.
Donde n es el total de elementos.
Así, si en un grupo de 30 empleados hay 6 que tienen una edad de 25 años,
entonces la frecuencia relativa será:
%20100*30
6 ==ih
Aquí la edad 25 años tiene una frecuencia relativa de 20%; es decir, el 20%
de los empleados tiene edad de 25 años.
Las frecuencias relativas para el grupo de expertos de la auditoría de un
proceso se presenta en la 8.
Tabla 8. Frecuencias relativas para el tiempo que tarda (en minutos) un
grupo de expertos en auditar un proceso
Estadística 64
100*n
fh ii =
N° DE CLASE INTERVALO
(Tiempo en minutos)
FRECUENCIA
RELATIVA (hI)1 44.5 - 49.5 (2/50)*100 = 4%2 49.5 - 54.5 (9/50)*100 = 18%3 54.5 - 59.5 (12/50)*100 = 24%4 59.5 - 64.5 (11/50)*100 = 22%5 64.5 - 69.5 (9/50)*100 = 18%6 69.5 - 74.5 (7/50)*100 = 14%
TOTAL 100%Fuente: Datos hipotéticos
Obsérvese que la suma de las frecuencias relativas es igual al 100%.
La frecuencia relativa se aplica a las variables cualitativa, cuantitativa
discreta y continua.
2.2.3. Frecuencia absoluta acumulada (FI)
Se llama frecuencia absoluta acumulada (FI) de un valor xi de una variable X
a la suma de las frecuencias absolutas hasta la correspondiente frecuencia fI
del valor xi .
Tabla 9. Frecuencias absolutas acumuladas para el tiempo que tarda
(en minutos) un grupo de expertos en auditar un proceso
INTERVALO
(Tiempo en
minutos)
FRECUENCIA
ABSOLUTA (fi)
FRECUENCIA ABSOLUTA
ACUMULADA (Fi)
Estadística 65
∑=
=i
kki fF
1
44.5 - 49.5 2 249.5 - 54.5 9 2 + 9 = 1154.5 - 59.5 12 2 + 9 + 12 = 2359.5 - 64.5 11 2 + 9 + 12 + 11 = 3464.5 - 69.5 9 2 + 9 + 12 + 11 + 9 = 4369.5 - 74.5 7 2 + 9 + 12 + 11 + 9 + 7 = 50
Fuente: Datos hipotéticos
2.2.4. Frecuencia relativa acumulada (Hi)
Se llama frecuencia relativa acumulada (HI) de un valor xi de una variable X a
la suma de las frecuencias relativas hasta la correspondiente frecuencia hI
del valor xi .
Tabla 10. Frecuencias relativas acumuladas para el tiempo que tarda (en
minutos) un grupo de expertos en auditar un proceso
INTERVALO
(Tiempo en
minutos)
FRECUENCIA
RELATIVA (hi)
FRECUENCIA RELATIVA
ACUMULADA (Hi)
44.5 - 49.5 4% 4% 49.5 - 54.5 18% 4% + 18% = 22%54.5 - 59.5 24% 4% + 18% + 24% = 46%
Estadística 66
∑=
=i
kki hH
1
59.5 - 64.5 22% 4% + 18% + 24% + 22% = 68%64.5 - 69.5 18% 4% + 18% + 24% + 22% + 18% = 86%69.5 - 74.5 14% 4% + 18% + 24% + 22% + 18% + 14% = 100%
Fuente: Datos hipotéticos
Una vez construidos los intervalos y las frecuencias, se ilustra en una tabla el
consolidado para facilitar la interpretación y el análisis de la variable (ver
tabla 11).
Tabla 11. Intervalos y frecuencias para el tiempo que tarda (en minutos)
un grupo de expertos en auditar un proceso
N° DE
CLASE
TIEMPO EN
MINUTOS
.
ix fi hi Fi Hi
1 44.5 - 49.5 47 2 4% 2 4%2 49.5 - 54.5 52 9 18% 11 22%3 54.5 - 59.5 57 12 24% 23 46%4 59.5 - 64.5 62 11 22% 34 68%5 64.5 - 69.5 67 9 18% 43 86%6 69.5 - 74.5 72 7 14% 50 100%
Fuente: Datos hipotéticos
Para analizar los resultados obtenidos en la tabla anterior, se deben tener en
cuenta los siguientes aspectos:
Las frecuencias absolutas y relativas se interpretan a partir de los
intervalos.
Por ejemplo: 2 expertos tardan entre 44.5 y 49.5 minutos en realizar la
auditoría del proceso o el 4% de los expertos tardan entre 44.5 y 49.5
minutos en realizar la auditoría del proceso; 9 expertos tardan entre 49.5
y 54.5 minutos en realizar la auditoría del proceso o el 18% de los
Estadística 67
expertos tardan entre 49.5 y 54.5 minutos en realizar la auditoría del
proceso, así sucesivamente.
Las frecuencias absolutas acumuladas y relativas acumuladas se
interpretan con la marca de clase del intervalo.
Por ejemplo: 2 expertos tardan menos de 47 minutos en realizar la
auditoría del proceso o 4% de los expertos tardan menos de 47 minutos
en realizar la auditoría del proceso, 11 expertos tardan menos de 52
minutos en realizar la auditoría del proceso o 22% de los expertos tardan
menos de 52 minutos en realizar la auditoría del proceso, así
sucesivamente.
NOTA: las frecuencias acumuladas no se aplican a la variable cualitativa.
2.2.5. Números índice
Un número índice es una medida estadística diseñada para resaltar cambios
en una variable o un grupo de variables relacionadas con respecto al tiempo,
situación geográfica, ingresos, o cualquier otra característica.
El número índice es el cociente que resulta al dividir una determinada
frecuencia de una serie por otra frecuencia de la misma serie, la cual se toma
como base o punto de referencia; puede expresarse en porcentaje o en
miles.
Ejemplo: los precios de un artículo A durante los años 2001 a 2005 fueron
$40.000, $48.000, $56.000, $70.000, $84.000, respectivamente. Al tomar
Estadística 68
como base el año 2001, que corresponde al 100%, se obtienen los índices
para cada año.
Tabla 12. Índices de precios del artículo a, de los años 2001 a 2005
AÑO PRECIO ($) ÍNDICE2001 40.000 (40.000/40.000)*100 = 100%2002 48.000 (48.000/40.000)*100 = 120%2003 56.000 (56.000/40.000)*100 = 140%2004 70.000 (70.000/40.000)*100 = 175%2005 84.000 (84.000/40.000)*100 = 210%
Fuente: Datos hipotéticos
Esto indica que el precio del artículo A se incrementó 20% en el año 2002
con respecto al año 2001; 40% en el año 2003 con respecto al año 2001;
75% en el año 2004 con respecto al año 2001; y 110% en el año 2005 con
respecto al año 2001.
2.3. GRÁFICAS O DIAGRAMAS
Las gráficas permiten describir brevemente las características de un
colectivo. Existen varios tipos de gráficas que pueden utilizarse para
representar el comportamiento de una variable, tales como histogramas,
polígonos de frecuencia, ojivas, diagramas circulares y barras.
2.3.1. Histogramas
Estadística 69
Un histograma de frecuencias consiste en una serie de rectángulos que se
construyen sobre un plano cartesiano. Este tipo de gráfica se aplica a la
variable cuantitativa continua.
Sobre el plano cartesiano, en el eje horizontalm, se ubican los intervalos de
cada clase, y en el eje vertical las frecuencias. Luego, para cada intervalo se
dibuja un rectángulo cuya base es la amplitud del intervalo de cada clase, y
la altura es la frecuencia de cada clase.
Si sobre el eje vertical se ubican las frecuencias absolutas, se obtiene el
histograma de frecuencias absolutas, y si se ubican las frecuencias relativas,
se obtiene el histograma de frecuencias relativas, como se ilustra en las
gráficas 1 y 2 para un grupo de expertos que auditan un proceso.
Gráfica 1. Histograma de frecuencias absolutas para un grupo de
expertos que auditan un proceso
Estadística 70
Gráfica 2. Histograma de frecuencias relativas para un grupo de
expertos que auditan un proceso
2.3.2. Polígono de frecuencias
El polígono de frecuencias se construye de forma similar al histograma; la
diferencia radica en la forma y estructura de la gráfica, la cual se obtiene
ubicando las marcas de clase sobre el eje horizontal; y sobre el eje vertical,
las frecuencias, según el tipo de polígono; si se ubican las frecuencias
absolutas, se denomina polígono de frecuencias absolutas; y si se ubican las
frecuencias relativas, se denomina polígono de frecuencias relativas, como
se ilustra en las gráficas 3 y 4 para un grupo de expertos que auditan un
proceso.
Estadística 71
Gráfica 3. Polígono de frecuencias absolutas para un grupo de
expertos que auditan un proceso
Gráfica 4. Polígono de frecuencias relativas para un grupo de expertos
que auditan un proceso
Estadística 72
Se acostumbra prolongar el polígono hasta las marcas de clase inferior y
superior inmediatas, que corresponderían a las clases de frecuencia cero.
Los polígonos de frecuencia pueden tomar muchas formas, sin embargo, en
la mayoría de los casos toman una forma acampanada que se identifica con
la curva normal.
2.3.3. Ojivas o polígonos de frecuencias acumuladas
La construcción de estos polígonos es similar a los polígonos de frecuencias
absolutas y relativas; la diferencia radica en que aquí se toman las
frecuencias acumuladas, como se puede observar en las gráficas 5 y 6,
donde se presentan los polígonos de frecuencias absolutas y relativas
acumuladas para el grupo de expertos que auditan un proceso.
Gráfica 5. Polígono de frecuencias absolutas acumuladas para un grupo
de expertos que auditan un proceso
Estadística 73
Gráfica 6. Polígono de frecuencias relativas acumuladas para un grupo
de expertos que auditan un proceso
2.3.4. Diagramas de barras
Los diagramas de barras son muy utilizados por la facilidad y sencillez que
ofrecen para presentar características de una población, especialmente de
variables cualitativas o cuantitativas discretas.
Los diagramas de barras consisten en rectángulos de anchura arbitraria en la
cual se ubican los valores de la variable, y de longitud proporcional al número
de observaciones o frecuencias. Las barras se pueden construir de forma
horizontal o vertical, como se muestra en la gráfica 7, correspondiente a los
datos del cuadro 2.
Estadística 74
Gráfica 7. Número de hijos de los asociados de la Cooperativa de
Trabajo Asociado Epsilon
2.3.5. Diagramas circulares
Estas gráficas consisten en un círculo dividido en partes proporcionales a los
porcentajes de cada una de las características o valores de la variable. Se
utilizan principalmente en la representación de variables cualitativas.
Para su construcción, se dividen los 360° de la circunferencia
proporcionalmente a los porcentajes o a las frecuencias absolutas de cada
característica.
En la gráfica 8 se ilustra el nivel de escolaridad de los asociados de la
Cooperativa de Trabajo Asociado Epsilón. En ella, 360° corresponde al
Estadística 75
100% de los asociados; con nivel profesional corresponde 36°; nivel técnico
corresponde 108°; nivel de bachillerato, 144°; y con básica primaria, 72°.
Gráfica 8. Nivel de escolaridad de los asociados de la Cooperativa de
Trabajo Asociado Epsilon
2.3.6. Diagrama de tallo y hojas
El diagrama de tallo y hoja es una herramienta valiosa y versátil para
organizar un conjunto de datos y entender la distribución y agrupación de los
valores dentro del intervalo de observaciones en el conjunto. Un diagrama
de tallo y hoja separa los datos en dígitos guía, o tallos, y dígitos que le
siguen, u hojas. Para construir el diagrama, primero se ordenan los dígitos
principales de cada dato a la izquierda de una línea vertical. A la derecha de
ésta se registra el último dígito para cada dato conforme al orden de
aparición de las observaciones. El último dígito de cada dato se coloca en la
fila que corresponde a su primer dígito.
Para ilustrar el uso del diagrama de tallo y hojas se consideran los siguientes
datos de la tabla 13. La información es resultado de un examen de aptitudes Estadística 76
de 150 preguntas, aplicado a 50 personas durante un proceso de selección
de personal en Manufacturas Alfa.
Tabla 13. Número de preguntas contestadas en forma correcta en una
prueba de aptitud
112 84 108 76 115 102 124 119 7 11573 68 76 118 94 80 83 95 95 85126 100 141 132 97 98 92 104 134 10782 72 119 96 86 106 81 69 128 10092 92 98 91 127 106 106 113 81 75Fuente: Datos hipotéticos
Inicialmente, se deben ubicar los datos en tallo y hojas, así:
6 9 8
7 2 3 6 3 6 5
8 6 2 3 1 1 0 4 5
9 7 2 2 6 2 1 5 8 8 5 4
10 7 4 8 0 2 6 6 0 6
11 2 8 5 9 3 5 9
12 6 8 7 4
13 2 4
14 1
Posteriormente, se ordena cada línea en forma ascendente, y una vez
ordenado, queda el diagrama de tallo y hojas como sigue:
Estadística 77
6 8 9
7 2 3 3 5 6 6
8 0 1 1 2 3 4 5 6
9 1 2 2 2 4 5 5 6 7 8 8
10 0 0 2 4 6 6 6 7 8
11 2 3 5 5 8 9 9
12 4 6 7 8
13 2 4
14 1
Los números de la izquierda de la línea (6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14) forman
el tallo, y cada dígito de la derecha de la fila es una hoja. Por ejemplo, se
considera la primera fila con un valor de tallo igual a 6, y hojas de 8 y 9, lo
cual significa que hay dos valores que tienen un primer dígito de 6; las hojas
muestran que los valores son 68 y 69. De manera similar, la segunda fila
indica que hay seis valores cuyo primer dígito es siete: 72, 73, 73, 75, 76 y
76.
Si se gira el diagrama de tallo y hojas 90° en sentido contrario a las
manecillas del reloj, se obtiene una imagen similar al histograma de
frecuencias. Aunque el diagrama de tallo y hojas parece ofrecer la misma
información que un histograma, tiene dos ventajas principales:
1. Es más fácil de construir.
2. Dentro de un intervalo de clase, el diagrama de tallo y hojas da más
información que un histograma, porque muestra los valores reales.
2.3.7. Diagrama de ParetoEstadística 78
El diagrama de Pareto es un recurso gráfico que permite representar datos
categóricos (variables cualitativas) y que a menudo proporciona más
información visual que los diagramas de barras o circulares.
El diagrama de Pareto es un tipo especial de diagrama de barras verticales,
donde las respuestas categorizadas se grafican en orden descendente de
frecuencias y se combinan con un polígono acumulado en la misma escala.
El principio fundamental de la gráfica es separar los “pocos vitales“ de los
“muchos triviales”, lo que permite dirigir la atención a las respuestas
importantes. Así, el diagrama alcanza su utilidad máxima cuando la variable
categórica de interés contiene muchas categorías. Este diagrama se utiliza
ampliamente en el control estadístico de procesos y el control estadístico de
calidad del producto.
En la construcción de un diagrama de Pareto, el eje vertical de la izquierda
contiene las frecuencias o porcentajes, el eje vertical de la derecha contiene
los porcentajes acumulados, y el eje horizontal contiene las categorías de
interés. Las barras con separación uniforme tienen el mismo ancho. El
punto en el polígono de porcentajes acumulados para cada categoría se
centra en el punto medio de cada barra. Entonces, al estudiar el diagrama
de Pareto se buscan dos cosas: las magnitudes de las diferencias en las
longitudes de las barras que corresponden a las categorías adyacentes
decrecientes, y los porcentajes acumulados de estas categorías adyacentes.
Para ilustrar el diagrama de Pareto, se utiliza el ejemplo tomado del texto
Estadística para administración, de Berenson y otros, página 60.
Estadística 79
El gerente de operaciones de una planta empacadora de cereales indicó que,
según su experiencia, casi siempre hay nueve razones que dan como
resultado la producción de cajas de cartón no conformes al final del proceso
de empaque: cartón roto, cartón abultado, cartón agrietado, cartón sucio,
agujeros en el cartón, peso de empaque inadecuado, error de impresión,
etiqueta ilegible y tapa superior sin sello.
Se tomó una muestra de 50 cajas de cartón no conformes de la producción
de una semana, con los siguientes datos:
Tabla 14. Porcentajes razones de no conformidad de la producción de
cajas de cartón
RAZÓN DE NO CONFORMIDAD NÚM % % ACUMULADOTapa superior sin sello 16 32.0 32.0Etiqueta ilegible 12 24.0 56.0Cartón sucio 9 18.0 74.0Cartón abultado 4 8.0 82.0Cartón roto 3 6.0 88.0Cartón agrietado 2 4.0 92.0Peso de empaque inadecuado 2 4.0 96.0Agujeros en el cartón 1 2.0 98.0Error de impresión 1 2.0 100.0Total 50 100.00Fuente: Berenson y otros. Estadística para administración, Pág. 60.
Gráfica 9. Diagrama de Pareto para las razones de no conformidad de la
producción de cajas de cartón
Estadística 80
A pesar de los “pocos vitales” de los “muchos triviales”, se determina que las
tapas sin sello (32.0%), las etiquetas ilegibles (24.0%) y los cartones sucios
(18.0%) representan el 74% de las razones de no conformidad. Las otras
dos razones representan el 26%.
2.4. TABULACIÓN DE DATOS BINARIOS O CRUZADOS
Con frecuencia se requiere analizar al mismo tiempo las respuestas de dos
variables, por lo cual es necesario cruzar variables para describir
exitosamente el comportamiento de las mismas. En este caso, se utiliza la
tabulación cruzada o tablas de contingencia.
La tabulación cruzada o tablas de contingencia se emplea para resumir
de manera simultánea los datos para dos variables. Se describirá el
procedimiento mediante la adaptación del ejemplo planteado por Anderson y
otros en el texto Estadística para administración y economía, Pág. 44.
Un informe mundial sobre restaurantes muestra muchas variables, entre
ellas, la evaluación de la calidad del restaurante y los precios característicos.
La calificación de la calidad es una variable cualitativa, con categorías de
bueno, muy bueno y excelente. El precio de la comida es una variable
cuantitativa continua que, por lo general, varía de 10 a 49 dólares. Se tomó
una muestra de 300 restaurantes para un Estado determinado. En la tabla
15 se muestran sólo los datos para los primeros 10 restaurantes.
Tabla 15. Evaluación de calidad y precio de la comida para restaurantes
de un Estado
Estadística 81
RESTAURANTE EVALUACIÓN DE LA
CALIDAD
PRECIO DE LA
COMIDA (dólares)1 Bueno 182 Muy bueno 223 Bueno 284 Excelente 385 Muy bueno 336 Bueno 287 Muy bueno 198 Muy bueno 119 Muy bueno 2310 Bueno 13. . .. . .Fuente: Anderson y otros. Estadística para administración y economía, Pág. 44.
El formato general de la tabulación cruzada para este ejemplo se muestra en
la tabla 16, la cual ha recogido toda la información para el Estado objeto de
análisis. Los encabezados de las márgenes izquierda y superior definen las
clases de las dos variables. En la margen izquierda se encuentran las
categorías de la variable Evaluación de la calidad, y en la parte superior los
valores correspondientes a la variable Precio de la comida. Cada
restaurante tiene una evaluación de la calidad y un precio de la comida.
Así, cada restaurante de la muestra se asocia con una celda que aparece en
uno de los renglones y en una de las columnas de la tabulación cruzada. Por
ejemplo, el restaurante 5 se identifica por tener una evaluación de la calidad
muy buena y un precio de la comida de 33 dólares. Este restaurante
pertenece a la celda de la fila 2 y la columna 3 de la tabla 15. Para elaborar
una tabulación cruzada simplemente se cuenta la cantidad de restaurantes
que pertenecen a cada una de las celdas de la tabla.
Estadística 82
En la tabla 16 se observa que la mayor cantidad de restaurantes (64) en la
muestra tienen calificación de “muy bueno“, y que el precio de la comida está
entre los límites de 20 a 29 dólares. Sólo hay dos restaurantes con
calificación de “excelente” y precio de la comida de 10 a 19 dólares. De las
demás frecuencias se puede llegar a interpretaciones análogas. Además, las
márgenes derecha e inferior de la tabla cruzada indican por separado las
distribuciones de frecuencias de evaluación de la calidad y del precio de la
comida. En la margen derecha se ve que los datos sobre evaluación de la
calidad indican que hay 84 restaurantes buenos, 150 muy buenos y 66
excelentes. De igual forma, la margen inferior indica la distribución de
frecuencias de la variable “costo de la comida”.
Tabla 16. Tabulación cruzada o tabla de contingencia de calificaciones y
precio de la comida para restaurantes de un Estado
EVALUACION DE
LA CALIDAD
PRECIO DE LA COMIDA (dólares)10 - 19 20 - 29 30 - 39 40 - 49
TOTAL
Bueno 42 40 2 0 84Muy bueno 34 64 46 6 150Excelente 2 14 28 22 66TOTAL 78 118 76 28 300Fuente: Anderson y otros. Estadística para administración y economía, Pág. 44.
El valor de una tabulación cruzada consiste en que proporciona una idea de
la relación entre las variables. A partir de los resultados de la tabla 16 los
precios más altos por comida parecen estar asociados con una calidad
mayor del restaurante y el precio más bajo por comida a una calidad menor.
Si se convierten los elementos de la tabla 16 a porcentajes de fila o
porcentajes de columna, se puede tener una mejor idea acerca de la relación
entre las variables. Para los porcentajes de fila, los resultados de dividir Estadística 83
cada frecuencia de la tabla 16 entre su total de fila correspondiente se
muestran en la tabla 17. Por ejemplo, el porcentaje en la primera fila y la
primera columna (50%) se calcula al dividir 42 entre 84 y multiplicar por 100.
Para los porcentajes de columna, los resultados de dividir cada frecuencia de
la tabla 16 entre su total de columna correspondiente se muestran en la
tabla 18. Por ejemplo, el porcentaje en la primera fila y la primera columna
(53.8%) se calcula al dividir 42 entre 78 y multiplicar por 100.
Tabla 17. Tabulación cruzada o tabla de contingencia de porcentaje de
fila para las calificaciones de calidad y los precios de la comida
EVALUACIÓN DE
LA CALIDAD
PRECIO DE LA COMIDA (dólares)10 - 19 20 - 29 30 - 39 40 - 49
TOTAL
Bueno 50.0 47.6 2.4 0.0 100Muy bueno 22.7 42.7 30.6 4.0 100Excelente 3.0 21.2 42.4 33.4 100Fuente: Anderson y otros. Estadística para administración y economía, Pág. 44.
Tabla 18. Tabulación cruzada o tabla de contingencia de porcentaje de
columna para las calificaciones de calidad y los precios de la comida
EVALUACIÓN DE
LA CALIDAD
PRECIO DE LA COMIDA (dólares)10 - 19 20 - 29 30 - 39 40 - 49
Bueno 53.8 33.9 2.6 0.0Muy bueno 43.5 54.2 60.6 21.4Excelente 2.7 11.9 36.8 78.6TOTAL 100 100 100 100Fuente: Anderson y otros. Estadística para administración y economía, Pág. 44.
Estadística 84
Estadística 85
3. MÉTODOS NUMÉRICOS
En la unidad anterior se ordenaron los datos correspondientes a las variables
cualitativa y cuantitativa y se representaron los resultados por medio de
gráficas; sin embargo, el análisis de datos también abarca los cálculos y el
resumen de las características importantes y el análisis de lo que contienen.
En esta unidad se examinarán las medidas de tendencia central, de
variabilidad y de localización para un conjunto de datos. Si se calculan estas
medidas descriptivas globales a partir de una muestra, se denominan
estadísticos; en cambio, si se calculan para toda la población se denominan
parámetros. Esta unidad estará centrada en los estadísticos.
3.1. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL O DE PRECISIÓN
La mayor parte de los conjuntos de datos muestra una tendencia a agruparse
o aglomerarse alrededor de un punto central. Así, para cualquier conjunto
específico de datos, casi siempre se puede seleccionar algún valor típico, o
Estadística 86
promedio, para describir todo el conjunto; este valor típico descriptivo es una
medida de tendencia central, entre las cuales están: la media aritmética, la
mediana, la moda y los cuantiles.
3.1.1. Media aritmética
La media aritmética, también llamada media, es el promedio o medida de
tendencia central que se utiliza con mayor frecuencia, además de que es la
medida de tendencia central representativa por excelencia. Se calcula con la
suma de todas las observaciones en un conjunto de datos, dividida entre el
número de elementos que lo componen. Se representa por X .
Cuando se tienen pocos datos y no se han agrupado, la media aritmética
sería:
Donde
X : media aritmética de la muestra
n : tamaño de la muestra
ix : observación de la variable
∑=
n
iix
1
: suma de todos los valores de la muestra
Por ejemplo, las notas de un estudiante son 2, 4, 3 y 4.
La media aritmética es 5.34
14
4
5342 ==+++=X
Estadística 87
n
xX
n
ii∑
== 1
Cuando los datos se han agrupado con frecuencias, pero no se han
construido intervalos, la media aritmética se calcula como:
Donde if es el número de observaciones de cada valor de la variable; es
decir, la respectiva frecuencia absoluta.
Por ejemplo, tomando el número de hijos de la tabla 2 se tendría:
Tabla 19. Media aritmética para el número de hijos de los asociados de
la Cooperativa de Trabajo Asociado Epsilon
NÚMERO DE HIJOS
ix
FRECUENCIA
if
ii fx .
0 1 01 2 22 4 83 2 64 1 4
∑ == 10ifn ∑ = 20. ii fx
Fuente: Datos hipotéticos
2
10
20.
1 ===∑
=
n
fxX
n
iii , lo que significa que el promedio es 2 hijos.
Cuando los datos se han agrupado con intervalos, la media aritmética se
calcula como:
Estadística 88
n
fxX
n
iii∑
== 1
.
n
fxX
n
iii∑
== 1
.
.
Donde .
ix es la marca de clase de cada intervalo.
Para el ejemplo de la tabla 3, la media aritmética sería:
Tabla 20. Media aritmética para el tiempo que tarda (en minutos) un
grupo de expertos en auditar un proceso
Nº DE
CLASE
TIEMPO EN
MINUTOS
.
ix if.
. ii fx
1 44.5 - 49.5 47 2 942 49.5 - 54.5 52 9 4683 54.5 - 59.5 57 12 6844 59.5 - 64.5 62 11 6825 64.5 - 69.5 67 9 6036 69.5 - 74.5 72 7 504
∑ == 50ifn ∑ = 3035..
ii fx
Fuente: Datos hipotéticos
7.6050
3035.
1
.
===∑
=
n
fxX
n
iii
. lo que significa que el promedio es 60.7 minutos.
3.1.2. Mediana
La mediana, representada por Me, de un conjunto de valores x1, x2, x3,… xn,
es el valor que ocupa el lugar central ordenando los datos en forma
ascendente o descendente, de tal forma que la mitad de las observaciones
Estadística 89
son menores o iguales a la mediana y la otra mitad son mayores o iguales a
dicho valor.
Podría interpretarse la mediana como aquel valor que deja el 50% de las
observaciones por debajo de él y el otro 50% por encima de él.
Cuando los datos están sin agrupar, la posición de la mediana se calcula
mediante las siguientes ecuaciones:
Si el total de datos (n) es impar
Si el total de datos (n) es par
Una vez ubicada la posición, el valor correspondiente a dicha posición en la
mediana.
Por ejemplo, sean los valores 3, 6, 4, 5, 8.
Ordenando se tendría: 3, 4, 5, 6, 8.
El total de datos es n = 5. Por lo tanto, la posición de la mediana será
3
2
15
2
1 XXXMe n === ++
El valor correspondiente a la posición x3 en los datos ordenados es 5.
Estadística 90
2
1+= nXMe
2
122
++
=nn XX
Me
En consecuencia, la mediana Me = 5. Es decir, el 50% de los valores están
por encima de 5 y el otro 50% están por debajo de 5.
Si se tienen los valores 5, 15, 5, 13, 9, 13, 11, 7.
Ordenando se tendría: 5, 5, 7, 9, 11, 13, 13, 15
El total de datos es n = 8. Por lo tanto, la posición de la mediana será
22254
12
8
2
81
22 XXXXXX
Menn +=
+=
+=
++
Los valores correspondientes a las posiciones x4 y x5 en los datos ordenados
son 9 y 11, respectivamente.
En consecuencia, el valor de la mediana será:
102
20
2
119 ==+=Me
Es decir, el 50% de los valores está por encima de 10, y el otro 50% está por
debajo de 10.
Cuando los datos están agrupados en clases o intervalos, la mediana se
calcula mediante los siguientes pasos:
Primer paso: se halla n/2.
Estadística 91
Segundo paso: se ubica el intervalo cuya frecuencia absoluta acumulada Fi
contiene a n/2.
Tercer paso: se calcula la mediana por medio de la siguiente ecuación:
Donde:
il : límite inferior del intervalo que contiene a n/2
n : número total de datos
1−iF : Frecuencia absoluta acumulada anterior al intervalo que contiene a n/2
if : frecuencia absoluta del intervalo que contiene a n/2
c : amplitud del intervalo que contiene a n/2
Por ejemplo, para calcular la mediana para el grupo de expertos de la tabla
3, se realizarán los pasos requeridos a partir de los datos de la tabla 21.
Tabla 21. Mediana para el tiempo que tarda (en minutos) un grupo de
expertos en auditar un proceso
Nº DE
CLASE
TIEMPO EN
MINUTOS
.
ix fi hi Fi Hi
1 44.5 - 49.5 47 2 4% 2 4%2 49.5 - 54.5 52 9 18% 11 22%3 54.5 - 59.5 57 12 24% 23 46%4 59.5 - 64.5 62 11 22% 34 68%5 64.5 - 69.5 67 9 18% 43 86%6 69.5 - 74.5 72 7 14% 50 100%
Estadística 92
cf
Fn
lMei
i
i *2 1−−+=
Fuente: Datos hipotéticos
Primer paso: el total de datos es 50, por lo tanto n/2 es = 25.
Segundo paso: en la frecuencia absoluta acumulada se ubica el valor de 25,
el cual corresponde al cuarto intervalo, con una frecuencia absoluta
acumulada de 34 expertos. Nótese que en el tercer intervalo no es posible
ubicar la mediana, dado que la frecuencia absoluta acumulada hasta este
intervalo es de 23 expertos, y lo querido es de 25 expertos.
Tercer paso: se calcula la mediana por medio de la ecuación, donde:
il = 59.5
n /2 = 25
1−iF = 23
if = 11
c = 64.5 – 59.5 = 5
Luego,
4.609.05.595*11
25.595*
11
23255.59*2 1
=+=+=−+=−
+=−c
f
Fn
lMei
i
i
Es decir, el 50% de los expertos tarda menos de 60.4 minutos en realizar la
auditoría del proceso y el otro 50% tarda más de 60.4 minutos.
A pesar de que la media aritmética es la medida de tendencia central por
excelencia, en algunos casos la mediana es preferida a la media aritmética,
dado que no es sensible a valores extremos.
Suponiendo que se tienen los siguientes datos sobre el salario de
empleados: $490.000, $550.000, $550.000, $580.000 y $990.000.
Estadística 93
La media aritmética X sería $632.000 y la mediana Me = $550.000.
Obsérvese que, en este caso, es más representativa para el conjunto de
datos la mediana que la media aritmética, dado que el salario extremo de
$990.000 influye directamente en el promedio, mostrándolo con un valor
elevado, cuando la mayoría de datos está por debajo de $632.000.
3.1.3. Moda
La moda es útil en estudios de mercadeo como calzado, vestido, etc.
Algunos la consideran como el promedio industrial ya que la fabricación o
venta de artículos está determinada por la moda.
La moda, representada por Mo, de un conjunto de valores x1, x2, x3,… xn, es
el valor que se presenta con mayor frecuencia. Puede ser aplicada a
cualquier tipo de variable.
Cuando los datos están sin agrupar, la moda se obtiene directamente
ordenándolos ascendentemente.
Por ejemplo, sean los valores 4, 3, 2, 5, 4, 4.
Ordenándolos: 2, 3, 4, 4, 4, 5.
Como el valor 4 se presenta 3 veces y los otros valores una vez, la moda es
4.
La moda no necesariamente debe ser única, y hasta puede no existir.
Cuando existen varios valores con la misma frecuencia máxima se denomina
Estadística 94
distribución multimodal, como el ejemplo de la tabla 22. Si existen dos
valores con la misma frecuencia máxima se llama distribución bimodal (ver
tabla 23) y si sólo existe una frecuencia máxima se denomina distribución
unimodal (ver tabla 24).
Tabla 22. Ejemplo de distribución multimodal
ix if
2 53 34 55 36 5
Fuente: Datos hipotéticos
Los valores que tienen mayor frecuencia son 2,4 y 6, por tanto la distribución
es multimodal.
Tabla 23. Ejemplo de distribución bimodal
ix if
2 53 84 35 86 5
Fuente: Datos hipotéticos
Los valores que tienen mayor frecuencia son 3 y 5, por tanto la distribución
es bimodal.
Tabla 24. Ejemplo de distribución unimodal
Estadística 95
ix if
2 33 74 55 36 2
Fuente: Datos hipotéticos
El valor que tiene mayor frecuencia es 3, por tanto, la distribución es
unimodal.
Cuando los datos están agrupados en clases o intervalos, se calcula la
moda mediante los siguientes pasos:
Primer paso: se ubica el intervalo (o los intervalos) de mayor frecuencia
absoluta if .
Segundo paso: se calcula la moda (o las modas) mediante la siguiente
fórmula:
Donde:
il : límite inferior del intervalo de mayor frecuencia absoluta
1∆ : diferencia entre la frecuencia absoluta mayor y la frecuencia absoluta
anterior.
2∆ : diferencia entre la frecuencia absoluta mayor y la frecuencia absoluta
siguiente.
Estadística 96
clMo i *21
1
∆+∆∆+=
c : amplitud del intervalo de mayor frecuencia absoluta.
Por ejemplo, para calcular la moda para el grupo de expertos de la tabla 3,
se realizarán los pasos requeridos a partir de los datos de la tabla 25.
Tabla 25. Moda para el tiempo que tarda (en minutos) un grupo de
expertos en auditar un proceso
Nº DE
CLASE
TIEMPO EN
MINUTOS
.
ix fi hi Fi Hi
1 44.5 - 49.5 47 2 4% 2 4%2 49.5 - 54.5 52 9 18% 11 22%3 54.5 - 59.5 57 12 24% 23 46%4 59.5 - 64.5 62 11 22% 34 68%5 64.5 - 69.5 67 9 18% 43 86%6 69.5 - 74.5 72 7 14% 50 100%
Fuente: Datos hipotéticos
Primer paso: ubicación del intervalo de mayor frecuencia absoluta if . El
tercer intervalo es el que posee la frecuencia absoluta mayor (12 expertos).
Segundo paso: obtención de valores para el cálculo de la moda.
il = 54.5
1∆ = 12 – 9 = 3
2∆ = 12 – 11 = 1
c = 59.5 – 54.5 = 5
2.584
155.545*
13
35.54*
21
1 =+=+
+=∆+∆
∆+= clMo i
Estadística 97
Es decir, el tiempo que más se presenta en realizar la auditoría del proceso
es de 58.2 minutos.
3.1.4. Cuantiles
Los cuantiles son valores que dividen el conjunto de datos en porcentajes
iguales. Pueden ser cuartiles, deciles o percentiles.
Cuartiles (Q): valores que dividen los datos en cuatro partes iguales.
Existen tres cuartiles y se calculan de forma similar a la mediana; de hecho,
el cuartil dos es igual a la mediana.
El primer cuartil Q1 deja acumulado el 25% de los datos de la variable. Se
calcula con los siguientes pasos:
- Primer paso: se halla n/4.
- Segundo paso: se ubica el intervalo cuya frecuencia absoluta acumulada
Fi contiene a n/4.
- Tercer paso: se calcula el primer cuartil por medio de la siguiente
ecuación:
Estadística 98
cf
Fn
lQi
i
i *4 1
1
−−+=
Nota: los componentes de la fórmula tienen la misma descripción que los
componentes de la fórmula para el cálculo de la mediana.
El cálculo del primer cuartil para el ejemplo del tiempo que tardan los
expertos en realizar la auditoría de un proceso se detalla a continuación:
Tabla 26. Primer cuartil para el tiempo que tarda (en minutos) un grupo
de expertos en auditar un proceso
Nº DE
CLASE
TIEMPO EN
MINUTOS
.
ix fi hi Fi Hi
1 44.5 - 49.5 47 2 4% 2 4%2 49.5 - 54.5 52 9 18% 11 22%3 54.5 - 59.5 57 12 24% 23 46%4 59.5 - 64.5 62 11 22% 34 68%5 64.5 - 69.5 67 9 18% 43 86%6 69.5 - 74.5 72 7 14% 50 100%
Fuente: Datos hipotéticos
Primer paso: el total de datos es 50, por lo tanto n/4 es = 12.5
Segundo paso: en la frecuencia absoluta acumulada se ubica el valor de
12.5, el cual corresponde al tercer intervalo, con una frecuencia absoluta
acumulada de 23 expertos.
Tercer paso: se calcula el primer cuartil por medio de la ecuación, donde:
il = 54.5
n /4 = 12.5
1−iF = 11
if = 12
Estadística 99
c = 59.5 – 54.5 = 5
Luego,
12.5562.05.545*12
5.15.545*
12
115.125.54*4 1
1 =+=+=−+=−
+=−c
f
Fn
lQi
i
i
Lo que significa que el 25% de los expertos tarda menos de 55.12 minutos
en realizar la auditoría del proceso.
El segundo cuartil Q2 deja acumulado el 50% de los datos de la variable. Se
calcula con los siguientes pasos:
- Primer paso: se halla 2n/4 = n/2.
- Segundo paso: se ubica el intervalo cuya frecuencia absoluta acumulada
Fi contiene a n/2.
- Tercer paso: se calcula el segundo cuartil por medio de la siguiente
ecuación:
Nótese que los pasos y la fórmula para calcular el segundo cuartil son los
mismos que los de la mediana. En consecuencia, siempre el segundo
cuartil será igual a la mediana.
Estadística 100
cf
Fn
lQi
i
i *2 1
2
−−+=
Luego, para el ejemplo del tiempo que tardan los expertos en realizar la
auditoría de un proceso, Q2 = Me = 60.4 minutos.
El tercer cuartil Q3 deja acumulado el 75% de los datos de la variable. Se
calcula con los siguientes pasos:
- Primer paso: se halla 3n/4.
- Segundo paso: se ubica el intervalo cuya frecuencia absoluta acumulada
Fi contiene a 3n/4.
- Tercer paso: se calcula el tercer cuartil por medio de la siguiente ecuación:
Luego,
72.6422.05.645*9
5.35.645*
9
345.375.64*4
31
3 =+=+=−+=−
+=−c
f
Fn
lQi
i
i
Lo que significa que el 75% de los expertos tarda menos de 64.72 minutos
en realizar la auditoría del proceso.
Deciles (D): valores que dividen los datos en diez partes iguales. Existen
nueve deciles y se calculan de forma similar a los cuartiles.
Estadística 101
cf
Fn
lQi
i
i *4
31
3
−−+=
El primer decil D1 deja acumulado el 10% de los datos de la variable. Se
calcula con los siguientes pasos:
- Primer paso: se halla n/10.
- Segundo paso: se ubica el intervalo cuya frecuencia absoluta acumulada
Fi contiene a n/10.
- Tercer paso: se calcula el primer decil por medio de la siguiente ecuación:
Los demás deciles se calculan con el procedimiento similar al primer decil,
teniendo en cuenta que, en el primer paso, para el segundo decil
corresponde 2n/10; para el tercer decil, 3n/10; para el cuarto decil, 4n/10;
para el quinto decil, 4n/10 = n/2; así sucesivamente hasta el decil nueve, con
9n/10.
Nótese que, al calcular el decil cinco, en el primer paso se presenta el mismo
planteamiento que para el segundo cuartil y para la mediana (n/2). Por tanto,
el decil cinco es igual al cuartil dos y a la mediana.
El cálculo del primer y noveno decil a partir del ejemplo de la tabla 23 para el
tiempo que tardan los expertos en realizar la auditoría de un proceso se
detallan a continuación.Estadística 102
cf
Fn
lDi
i
i *10 1
1
−−+=
75.4425.15.445*2
5.05.445*
2
05.05.44*10 1
1 =+=+=−+=−
+=−c
f
Fn
lDi
i
i
93.7043.15.695*7
25.695*
7
43455.69*10
91
9 =+=+=−+=−
+=−c
f
Fn
lDi
i
i
Percentiles (P): valores que dividen los datos en cien partes iguales.
Existen 99 percentiles y se calculan de forma similar a los cuartiles y deciles.
El primer percentil P1 deja acumulado el 1% de los datos de la variable. Se
calcula con los siguientes pasos:
- Primer paso: se halla n/100.
- Segundo paso: se ubica el intervalo cuya frecuencia absoluta acumulada
Fi contiene a n/100.
- Tercer paso: se calcula el primer percentil por medio de la siguiente
ecuación:
Estadística 103
cf
Fn
lPi
i
i *100 1
1
−−+=
Los demás percentiles se calculan con el procedimiento similar al primer
percentil, teniendo en cuenta que, en el primer paso, para el segundo
percentil corresponde 2n/100; para el tercer percentil 3n/100; para el
percentil 10, 10n/100; para el percentil 50, 50n/100 = n/2; así sucesivamente
hasta el percentil 99, con 99n/100.
Nótese que, al calcular el percentil 50, en el primer paso se presenta el
mismo planteamiento que para el segundo cuartil, para el decil cinco y para
la mediana (n/2). Por tanto, el percentil 50 es igual al decil cinco, al
cuartil dos y a la mediana.
Gráfica 10. Relación entre cuartiles, deciles y percentiles
Q1 Q2 Q3
1% 10% 2 0% 25% 30% 40% 50% 60% 70% 75% 80% 90% 99%
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9
Estadística 104
P1 ..P10 .. P20 P25 P30 ....P40 ..... P50 .. P60 ....P70 P75 P80 ...... P90 . P99
Me
En la gráfica 10 se representa la distribución de cuartiles, deciles y
percentiles, de la cual se deducen las siguientes relaciones:
Q2 = D5 = P50 = Me, Q1 = P25 , Q3 = P75
D1 = P10 , D2 = P20 , D3 = P30 , D4 = P40 , D6 = P60 , D7 = P70 , D8 = P80 ,
D9 = P90
3.2. MEDIDAS DE VARIABILIDAD
Además de las medidas de localización o de tendencia central, es necesario
considerar medidas de dispersión o variabilidad, dado que dos conjuntos de
datos pueden tener promedios similares, pero diferir en la dispersión de
éstos.
Las medidas de variabilidad de mayor uso en estadística son rango, rango
intercuartil, varianza, desviación estándar y coeficiente de variación.
3.2.1. Rango
El rango es la medida de dispersión más sencilla en un conjunto de datos.
Se calcula por medio de la siguiente ecuación:
Estadística 105
Rango = valor máximo – valor mínimo
Aunque el rango es la medida de dispersión más fácil de calcular, casi nunca
se usa como la única medida de dispersión, debido a que se basa sólo en los
valores extremos del conjunto de datos.
Por ejemplo, para el tiempo que tardan los expertos en auditar un proceso, el
rango sería:
Rango = 74 – 45 = 29 minutos
El rango debe interpretarse a partir de los valores extremos; es decir,
mencionar entre qué valores está el rango. Para el ejemplo, se dice que la
variación del tiempo de los expertos es de 29 minutos, el cual oscila entre 45
y 74 minutos.
3.2.2. Rango intercuartil
El rango intercuartil (RIC) es una medida de dispersión que elimina la
influencia de los valores extremos de un conjunto de datos. Se define como
la diferencia entre el tercer cuartil Q3 y el primero Q1. En otras palabras, el
rango intercuartil corresponde al rango del 50% intermedio de los datos.
Para los datos del tiempo que tardan los expertos en realizar la auditoría de
un proceso, los cuartiles son Q1 = 55.12 minutos y Q3 = 64.72 minutos. Así el
rango intecuartil es
Estadística 106
Rango intercuartil (RIC) = Q3 - Q1
RIC = 64.72 – 55.12 = 9.6 minutos.
El intervalo 55.12 a 64.72 suele denominarse mitad central y 9.6 minutos la
dispersión media o rango intercuartil del tiempo que tardan los expertos en
realizar la auditoría de un proceso.
3.2.3. Varianza
La varianza es una medida de dispersión que emplea todos los datos. Se
basa en la diferencia de cada observación (xi) y la media. La diferencia entre
cada xi y el promedio ( x para una muestra y µ para una población) se
llama desviación respecto al promedio. Para una muestra, la desviación
respecto a la media se expresa como )( xxi − ; para una población es
)( µ−ix . Para calcular la varianza, las desviaciones respecto al promedio se
elevan al cuadrado.
Si el conjunto de datos es una población, el promedio de las desviaciones al
cuadrado se llama varianza de la población y se representa con el símbolo
griego 2σ . Para una población con N observaciones o datos, cuando µ
representa el promedio de esa población, la definición de la varianza de la
población es:
En la mayoría de los análisis estadísticos los datos analizados son una
muestra. Cuando se calcula la varianza para la muestra, lo más importante
Estadística 107
N
xi∑ −=
22 )( µ
σ
es emplearla para estimar la varianza de todo el conjunto de datos, es decir,
para la población.
La varianza de la muestra (s2) es la suma de los cuadrados de las
desviaciones con relación a la media aritmética, dividida entre el tamaño de
la muestra menos 1.
Donde:
x : media aritmética de la muestra
n : tamaño de la muestra
ix : cada dato u observación de la variable X.
Si el denominador fuera n en lugar de n – 1, se obtendría el promedio de los
cuadrados de las diferencias con respecto a la media. Sin embargo, se
utiliza n – 1 debido a ciertas propiedades matemáticas deseadas que tiene el
estadístico s2, las cuales lo hacen apropiado para hacer inferencias
estadísticas. Al aumentar el tamaño de la muestra, la diferencia entre n y n –
1disminuye cada vez más.
Cuando se calcula la varianza, las unidades en las cuales fueron medidos los
datos causan confusiones. Como los valores que se suman al calcular la
varianza, que son 2)( xxi − , se elevan al cuadrado, las unidades asociadas
con la varianza de la muestra también se elevan al cuadrado. Por ejemplo, si
Estadística 108
1
)( 22
−−
= ∑n
xxs i
se está calculando la edad en años para un grupo de empleados, la varianza
tendrá (años)2.
Las unidades al cuadrado asociadas con la varianza hacen difícil la
interpretación. Por tanto, se recomienda que se tome la varianza como una
medida útil para comparar el grado de dispersión de dos o más variables y, al
compararlas, la que tienen mayor varianza tiene mayor dispersión o
variabilidad.
Por ejemplo, en la tabla 27 se presenta el salario, en millones de pesos, de
los gerentes de una cadena de almacenes; calcular la varianza.
Tabla 27. Salario en millones de pesos de gerentes
SALARIO
(millones)
ix
MEDIA DE LA
MUESTRA
x
DESVIACIÓN
)( xxi −2)( xxi −
3,5 9.57 -6.07 36.844,5 9.57 -5.07 25.706,0 9.57 -3.57 12.748,0 9.57 -1.57 2.4610,0 9.57 0.43 0.1815,0 9.57 5.43 29.4820,0 9.57 10.42 108.78
∑ =− 0)( xxi ∑ =− 18.216)( 2xxiFuente: Datos hipotéticos
Estadística 109
Luego, la varianza será:
03.366
18.216
1
)( 22 ==
−−
= ∑n
xxs i
Cuando los datos están agrupados en frecuencias o por intervalos, la fórmula
para la varianza puede ser transformada en la siguiente ecuación:
Donde:
x : media aritmética de la muestra
n : tamaño de la muestra
ix : cada dato u observación de la variable X o marca de clase si es
intervalo
if : frecuencia absoluta del valor de la variable X
Para los datos de tiempo que tardan los expertos en realizar la auditoría de
un proceso, presentados en la tabla 10, la varianza sería:
Tabla 28. Varianza para el tiempo que tardan los expertos en realizar la
auditoría de un proceso
Estadística 110
22
2 *x
n
fxs ii −= ∑
Nº DE
CLASE
TIEMPO EN
MINUTOSix if
2ix ii fx *2
1 44.5 - 49.5 47 2 2209 44182 49.5 - 54.5 52 9 2704 243363 54.5 - 59.5 57 12 3249 389884 59.5 - 64.5 62 11 3844 422845 64.5 - 69.5 67 9 4489 404016 69.5 - 74.5 72 7 5184 36288
50=n 715.186*2 =∑ ii fxFuente: Datos hipotéticos
De la tabla 17 se tienen que el promedio es 7.60=x ; luego
81.4949.36843.3734)7.60(50
715.186* 222
2 =−=−=−= ∑ xn
fxs ii
3.2.4. Desviación estándar
La desviación estándar se define como la raíz cuadrada positiva de la
varianza. Se denota por s la desviación estándar de la muestra y por σ la
desviación estándar de la población.
La desviación estándar indica cómo se agrupa o distribuye un conjunto de
datos alrededor de la media. Para la mayor parte de los conjuntos de datos,
la mayoría de los valores observados cae dentro de un intervalo que
corresponde a la media aritmética más o menos una desviación estándar.
Esto implica que el intervalo comprendido entre SX 1− y SX 1+ , por lo
general, incluye la mayoría de los valores de los datos. Por consiguiente, el
Estadística 111
2
2
σσ =
= ss
conocimiento de la media aritmética y la desviación estándar ayudan a definir
en dónde se agrupa la mayor parte de los datos.
Para los datos de tiempo que tardan los expertos en realizar la auditoría de
un proceso, presentados en la tabla 26, la desviación estándar sería:
06.781.492 === ss minutos
La desviación estándar del tiempo de los expertos es 7.06 minutos. Esto
indica que los tiempos que tardan en realizar la auditoría del proceso para la
mayor parte de los expertos se agrupan dentro de 7.06 minutos alrededor de
la media 60.7 minutos; es decir, se agrupan entre 64.531 =− SX y
76.671 =+ SX minutos.
Finalmente, para comprender la variación de los datos se deben tener en
cuenta los siguientes aspectos:
Cuanto más dispersos estén los datos, mayores serán el rango, el rango
intercuartil, la varianza y la desviación estándar.
Cuanto más concentrados u homogéneos sean los datos, menores serán
el rango, el rango intercuartil, la varianza y la desviación estándar.
Si los datos son todos iguales (de manera que no hay variación de los
datos), el rango, el rango intercuartil, la varianza y la desviación estándar
serán iguales a cero.
Estadística 112
Las medidas de variación (rango, rango intercuartil, varianza y desviación
estándar) nunca son negativas.
3.2.5. Coeficiente de variación
El coeficiente de variación, denotado por CV, es una medida descriptiva que
indica lo grande que es la desviación estándar en comparación con la media
aritmética; se expresa en porcentaje y se calcula por medio de la siguiente
ecuación:
Para los datos del tiempo que tardan los expertos en realizar la auditoría de
un proceso, el promedio es 60.7 minutos y la desviación estándar es 7.06
minutos. El coeficiente de variación sería:
%6.11100*7.60
06.7100* ===
X
SCV
Interpretando estos datos, el coeficiente de variación indica que la desviación
estándar de la muestra es el 11.6% del valor de la media de la muestra.
Como medida relativa, el coeficiente de variación resulta especialmente útil
cuando se compara la variabilidad de dos o más conjuntos de datos, que se
expresan en diferentes unidades de medida. Esto se muestra en el siguiente
ejemplo, adaptado del texto Estadística para administración, de Mark L.
Berenson y otros, página 120.
Estadística 113
100*X
SCV =
Suponga que un inversionista desea adquirir acciones en una de dos
compañía A o B, listadas en la Bolsa de Valores. Si ninguna de las
compañías ofrece dividendos a sus clientes y ambas tienen igual
clasificación (según los servicios de inversión) en términos del crecimiento
potencial, el inversionista quizá considere la volatilidad o variabilidad de
ambas acciones para ayudar en la decisión de inversión.
Supóngase que cada acción de la compañía A ha promediado $150.000 en
los últimos meses, con desviación estándar de $30.000. Además, durante el
mismo período el precio promedio de las acciones en la compañía B fue de
$36.000 con una desviación estándar de $12.000. ¿Cómo puede determinar
el inversionista cuáles acciones son más variables?
Solución
En términos de las desviaciones estándar, el precio de las acciones de A
parece más volátil o variable que el de las acciones de B. Sin embargo,
como los precios promedio por acciones de las dos compañías son tan
diferentes, es más conveniente que el inversionista considere la variabilidad
del precio respecto al promedio con el fin de analizar la estabilidad de ambas
acciones.
Los coeficientes de variación para las compañías A y B serían:
%0.20100*000.150$
000.30$100* ===
X
SCVA y %3.33100*
000.36$
000.12$100* ===
X
SCVB
En consecuencia, en relación con la media, el precio de las acciones B es
más variable que el de las acciones A.
Estadística 114
3.3. MEDIDAS DE LOCALIZACIÓN
Hasta el momento se han descrito algunas medidas de tendencia central y
de dispersión. La media es la que más se usa como medida de tendencia
central, mientras que la desviación estándar y la varianza son las más
empleadas para la dispersión. Las medidas de localización relativa se
apoyan en la media y la desviación estándar para ubicar valores particulares
de un conjunto de datos.
3.3.1. Valores z
Al usar la media y la desviación estándar se puede determinar la localización
relativa de cualquier observación. Supóngase que hay una muestra de n
datos, con sus valores representados por x1 , x2 , x1 x3 ,. . . .,xn . Además, se
han calculado la media x y la desviación estándar s de la muestra. Existe
otro valor asociado con cada valor xi de los datos que se denomina valor z, el
cual se calcula con la siguiente ecuación:
Donde,
iz : valor de z del elemento xi
x : media de la muestra
s : desviación estándar de la muestra.
Estadística 115
s
xxz ii
−=
Con frecuencia se le da el nombre de valor estandarizado al valor de z. El
valor iz se interpreta como el número de desviaciones estándar que dista xi
de promedio x . Por ejemplo, si 2.1=iz indica que x1 es 1.2 desviaciones
estándar por encima de la media de la muestra. Igualmente, 5.02 −=z
indica que x2 está a 0.5, o ½ desviación estándar por debajo de la media de
la muestra. Obsérvese que los valores de z positivos corresponden a
observaciones o datos con valores mayores que la media, y que los valores
de z negativos corresponden a observaciones con valores menores que la
media. Un valor z igual a cero indica que el valor de una observación es
igual a la media.
Los valores de z para el ejemplo de la tabla 25, donde se presenta el salario,
en millones de pesos, de los gerentes de una cadena de almacenes, con
media $9.57 millones y desviación estándar $6 millones, serán:
Tabla 29. Valores z para el salario en millones de pesos de gerentes
SALARIO
(millones)
ix
DESVIACIÓN
)( xxi −
VALOR Z
s
xxi −
3,5 -6.07 -1.014,5 -5.07 -0.846,0 -3.57 -0.608,0 -1.57 -0.26
10,0 0.43 0.0715,0 5.43 0.9020,0 10.42 1.74
Fuente: Datos hipotéticos
Estadística 116
Obsérvese que el valor z de 1.74 para el séptimo dato indica que es el más
alejado del promedio; está a 1.74 desviaciones estándar por encima del
promedio.
3.3.2. Teorema de Chebyshev
El teorema de Chebyshev permite inferir la proporción de valores que deben
quedar dentro de una cantidad específica de desviaciones estándar respecto
a la media.
Por ejemplo, cuando z es igual a 2, 3 y 4 desviaciones estándar, se tienen
las siguientes implicaciones a partir del teorema de Chebyshev:
• Cuando menos, el 0.75 o 75% de los datos debe estar a menos de 2
desviaciones de la media (z = 2).
• Cuando menos, el 0.89 u 89% de los datos debe estar a menos de 3
desviaciones de la media (z = 3).
• Cuando menos, el 0.94 o 94% de los datos debe estar a menos de 4
desviaciones de la media (z = 4).
Estadística 117
Teorema de Chebyshev
Cuando menos
−
2
11z
de los datos debe estar a menos de z desviaciones
estándar de separación respecto a la media, siendo z cualquier valor mayor que 1.
Como ejemplo de la aplicación del teorema de Chebyshev, supóngase que
las puntuaciones de un examen de ingreso de 100 aspirantes al programa de
Administración de una universidad tuvieron un promedio de 70 puntos y una
desviación estándar de 5 puntos. ¿Cuántos aspirantes tuvieron
puntuaciones entre 60 y 80? ¿Cuántos entre 58 y 82?
Para las puntuaciones de 60 a 80 se observa que el valor 60 está a dos
desviaciones estándar por debajo del promedio: (60-70)/5 = -2, y que el valor
80, a dos desviaciones estándar por encima del promedio: (80-70)/5 = +2. Al
aplicar el teorema de Chebyshev, cuando menos el 0.75 o 75% de los datos
debe tener valores menores de dos desviaciones estándar del promedio.
Así, cuando menos o mínimo 75 de los 100 aspirantes deben haber obtenido
puntuaciones entre 60 y 80.
Para las puntuaciones entre 58 y 82, (58-70)/5 = -2.4 indica que 58 están a
2.4 desviaciones estándar por debajo del promedio, y que (82-70)/5 = +2.4
indica que 82 están a 2.4 desviaciones estándar por encima del promedio.
Aplicando el teorema de Chebyshev con z = 2.4 se obtiene:
( ) 826.04.2
11
11
22=
−=
−
z
Lo que significa que, mínimo 82.6% de los aspirantes deben tener
puntuaciones entre 58 y 82.
La regla empírica
Estadística 118
Una de las ventajas del teorema de Chebyshev es que se aplica a cualquier
conjunto de datos, independientemente de la forma de la distribución de los
mismos. Sin embargo, en las aplicaciones prácticas se ha encontrado que
muchos conjuntos de datos tienen una distribución en forma de colina o de
campana. Cuando se cree que los datos tienen aproximadamente esa
distribución, se puede aplicar la regla empírica para determinar el porcentaje
de elementos que debe estar dentro de determinada cantidad de
desviaciones estándar respecto al promedio.
Por ejemplo, en una línea de producción se llenan, automáticamente,
envases de plástico con detergente líquido. Con frecuencia, el volumen de
llenado tiene una distribución en forma de campana. Si el volumen promedio
de llenado es de 16 cm3 y la desviación estándar 0.25 cm3, se puede aplicar
la regla empírica para concluir:
Estadística 119
Regla empírica para datos con distribución en forma de campana
• Aproximadamente 68% de los elementos están a menos de una desviación estándar de la media.
• Aproximadamente 95% de los elementos están a menos de dos desviaciones estándar de la media.
• Casi todos los elementos están a menos de tres desviaciones estándar de la media.
• Aproximadamente 68% de los envases llenos tienen entre 15.75 y 16.25
cm3 (esto es, menos de una desviación estándar de la media).
• Aproximadamente 95% de los envases llenos tienen entre 15.50 y 16.50
cm3 (esto es, menos de dos desviaciones estándar de la media).
• Casi todos los envases llenos tienen entre 15.25 y 16.75 cm3 (esto es,
menos de tres desviaciones estándar de la media).
3.3.3. Sesgo o forma
El sesgo o forma es la manera como se distribuyen los datos. La distribución
de los datos es simétrica (en forma de campana) o no lo es. Si no es
simétrica, recibe el nombre de distribución asimétrica o sesgada.
Para describir el sesgo o la forma, se deben comparar la media y la mediana.
Si ambas medidas son iguales, por lo general se considera que los datos son
simétricos (o con sesgo cero). Por el contrario, si la media es mayor que la
mediana, los datos se describen como sesgados a la derecha, o con sesgo
positivo. Si la media es menor que la mediana, los datos suelen llamarse
sesgados a la izquierda, o con sesgo negativo. Es decir,
El sesgo positivo surge cuando la media aumenta debido a algunos valores
grandes y poco usuales; el sesgo negativo ocurre cuando la media se reduce
debido a algunos valores muy pequeños. Los datos son simétricos cuando Estadística 120
Media > Mediana: sesgo positivo o a la derecha
Media = Mediana: simetría o sesgo cero
Media < Mediana: sesgo negativo o a la izquierda
en realidad no hay valores extremos en ninguna dirección, de tal manera que
los valores grandes y pequeños se equilibran.
Gráfica 11. Forma o sesgo de un conjunto de datos
La grafica 11 muestra la forma o sesgo de tres conjuntos de datos. Los
datos del primer cuadro son simétricos; cada mitad de la curva es la imagen
del espejo de la otra mitad. Los valores grandes y pequeños se compensan,
y la media es igual a la mediana.
Los datos del cuadro del centro tienen sesgo negativo o a la izquierda. Se
observan una cola larga y una distorsión hacia la izquierda, causadas por
valores en extremo pequeños. Estos valores tan pequeños jalan la media
hacia abajo y resulta menor que la mediana. Los datos del tercer cuadro
tienen un sesgo positivo o a la derecha. Se observan una cola larga hacia la
derecha de la distribución y una distorsión hacia la derecha, causadas por
valores muy grandes. Estos valores en extremo grandes jalan la media hacia
arriba y resulta mayor que la mediana.
El sesgo para el ejemplo de la tabla 25, donde se presenta el salario, en
millones de pesos, de los gerentes de una cadena de almacenes, con media
$9.57 millones y mediana $8 millones, será positivo o a la derecha, dado que
la media es mayor que la mediana. Además, el conjunto de datos presenta
Estadística 121
un valor extremo muy alto, el cual atrae la media hacia el extremo derecho
de la distribución.
3.3.4. Diagrama de caja o bigotes
El diagrama de caja o bigotes es un resumen gráfico de los datos basado en
el resumen de cinco números.
En un resumen de cinco números se emplean cinco cantidades para resumir
los datos:
Valor mínimo
Primer cuartil (Q1)
Mediana (Me = Q2)
Tercer cuartil (Q3)
Valor máximo
La forma más ágil de elaborar un resumen de 5 números es poner los datos
en orden ascendente. Así facilita la identificación del valor mínimo, los tres
cuartiles y el valor máximo.
Por ejemplo, los salarios mensuales, en miles de pesos, de 12 egresados de
un programa de Administración son 2.940, 2.920, 2.950, 2.710, 2.850, 2.755,
2.890, 2.880, 2.880, 3.130, 3.325 y 3.050.
Organizando los datos y calculando los cuartiles, se tiene la siguiente
distribución:
2710 2755 2850 2880 2880 2890 2920 2940 2950 3050 3130 3325
Estadística 122
Q1 = 2865 Q2 = 2905
(Mediana)
Q3 = 3000
Al analizar los datos anteriores se ve un valor mínimo de 2.710 y un valor
máximo de 3.325 miles de pesos. Así, el resumen de los cinco números de
los datos de salarios es 2.710, 2.865, 2.905, 3.000 y 3.325 miles de pesos.
Aproximadamente una cuarta parte, 25% de los valores de los datos, están
entre dos números adyacentes del resumen de cinco números.
El diagrama de caja y bigotes resume gráficamente los cinco números.
Los pasos para trazar un diagrama de caja y bigotes son los siguientes:
• Se traza un rectángulo con los extremos en el primer y tercer cuartiles.
Este rectángulo contiene el 50% intermedio de los datos. Para los
datos de salarios Q1 = 2.865 y Q3 = 3.000.
• En la caja se traza una recta vertical en el lugar de la mediana (2.950
para los datos de salarios). Así, la línea de la mediana divide los
datos en dos partes iguales.
• Se ubican los límites mediante el rango intercuartil, RIC = Q3 - Q1. Los
límites en el diagrama de caja están a 1.5(RIC) por debajo de Q1 y
1.5(RIC) por encima de Q3 . Para los datos de salarios RIC = Q3 - Q1 =
3.000 – 2.865 = 135. Así, los límites son 2.865 – 1.5(135) = 2.662,5 y
3.000 + 1.5(135) = 3.202,5. Se considera que los datos fuera de estos
límites son valores atípicos.
• Los bigotes de la caja se trazan con líneas punteadas, desde los
extremos de la caja hasta los valores mínimo y máximo dentro de los
límites. Así, los bigotes terminan en los valores de salarios de 2.710 y
3.130.
Estadística 123
• Por último, se marcan con un asterisco (*) las localizaciones de los
valores atípicos. Para el ejemplo se localiza un valor atípico de 3.325.
Gráfica 12. Diagrama de caja y bigotes con líneas que muestran los
límites
En la gráfica 12 se trazaron las líneas que indican el lugar de los límites con
el fin de mostrar cómo se calculan éstos y dónde se ubican en el caso de los
salarios. Aunque siempre se calculan, por lo general no se trazan en los
diagramas de caja. En la gráfica 13 se muestra el aspecto habitual de un
diagrama de caja y bigotes para los datos de los salarios.
Estadística 124
Grafica 13. Diagrama de caja y bigotes de los sueldos mensuales de un
grupo de egresados de un programa de Administración
Observación
Al utilizar el diagrama de caja y bigotes se tiene la opción de identificar los
mismos valores atípicos que los encontrados con el método de valores z:
menores que –3 y mayores que +3. Sin embargo, el objetivo de ambos
métodos es identificar elementos que se deben revisar para asegurar la
validez de los datos. Se deben revisar los valores atípicos identificados por
cualquiera de los métodos.
Estadística 125
3.3.5. Curtosis
La curtosis mide si los valores de la distribución están más o menos
concentrados alrededor de los valores medios de la muestra. El coeficiente
percentil de Curtosis (k) analiza el grado de concentración que presentan los
valores alrededor de la zona central de la distribución; se calcula con la
siguiente ecuación:
Donde,
Q3: tercer cuartil.
Q1: primer cuartil.
P90: percentil 90.
P10: percentil 10.
Nota: es importante recordar que el P10 es igual al D1 y el P90 es igual al D9.
Según el coeficiente de Curtosis, se definen 3 tipos de distribuciones, los
cuales se ilustran en la gráfica 14:
Gráfica 14. Tipos de distribución según el coeficiente de Curtosis
Estadística 126
1090
1321 )(
PP
QQk
−−
=
Distribución mesocúrtica: presenta un grado de concentración medio
alrededor de los valores centrales de la variable (el mismo que presenta una
distribución simétrica o normal). El valor de k = 0.263.
Distribución leptocúrtica: presenta un elevado grado de concentración
alrededor de los valores centrales de la variable. El valor de k > 0.263.
Distribución platicúrtica: presenta un reducido grado de concentración
alrededor de los valores centrales de la variable. El valor de k < 0.263.
Para el ejemplo de la tabla 23 del tiempo que tarda un grupo de expertos en
realizar la auditoría de un proceso, Q1 = 55.12, Q3 = 64.72, P10 = D1 = 44.7 y
P90 = D9 = 70.9.
El coeficiente percentil de Curtosis (k) será:
183.02.26
8.4
2.26
)6.9(5.0
7.449.70
)12.5572.64()( 21
1090
1321
===−−
=−−
=PP
QQk
Por lo tanto, el coeficiente percentil de Curtosis es 0.183, lo que quiere decir
que se trata de una distribución platicúrtica, es decir, con una reducida
concentración alrededor de los valores centrales de la distribución.
Estadística 127
Estadística 128
4. REGRESIÓN LINEAL Y CORRELACIÓN
En las unidades anteriores se ha centrado la atención en el tratamiento de
los valores que puede tomar una variable definida en una investigación, tanto
en el nivel de muestra como en el de población. Sin embargo,
frecuentemente las investigaciones implican considerar dos o más variables.
Los procedimientos para el análisis de la relación de dos variables serán
contemplados en esta unidad.
4.1. REGRESIÓN LINEAL SIMPLE
La regresión es un método para determinar la relación existente entre una
variable independiente y otra dependiente, con fines de predicción de esta
última variable ante los cambios de la primera.
La variable independiente o predictora suele representarse por X y la variable
dependiente por Y. En algunos casos, la variable independiente se asocia
con medidas de “causa” y la dependiente con medidas de “efecto”.
En la producción industrial pueden ser variables independientes: el número
de trabajadores, el tiempo de labor semanal, la cantidad de materia prima,
entre otras. Y variables dependientes: el número de artículos producidos, los
ingresos semanales, el posicionamiento en el mercado, etc. Obsérvese que
Estadística 129
las variables dependientes se muestran como “efecto” de las variables
independientes o “causa” del proceso de producción.
Por ejemplo, una compañía de bienes raíces residenciales en una ciudad
desea predecir los costos mensuales del alquiler de apartamentos, basado
en el área en metros cuadrados. Se seleccionó una muestra aleatoria con
los siguientes datos:
Tabla 30. Área y costo de alquiler de apartamentos
APARTAMENTO ÁREA (m2) COSTO MENSUAL (miles de pesos)1 79 4752 135 8003 101 6004 114 7505 67 4756 138 8507 106 8258 67 4679 65 437
10 89 57511 102 70012 119 82513 184 115014 127 90015 109 70016 114 72517 116 55018 117 85019 107 60020 83 57521 126 80022 97 82523 70 60024 93 40025 111 875
Fuente: Adaptación del texto Estadística para administración. Berenson y otros, pág. 466.
Estadística 130
En este caso, se busca relacionar las variables área y costo mensual; donde
la variable independiente (X) es el área, y la dependiente (Y), el costo
mensual.
4.1.1. Diagrama de dispersión
Cuando se toma una muestra de dos variables o bivariada, se obtiene una
serie de pares de datos. Estas parejas son de la forma (x,y) y se pueden
representar como puntos en un plano bidimensional o plano cartesiano; la
representación gráfica de las parejas se conoce como diagrama de
dispersión.
La regresión lineal pretende encontrar una recta que represente todos los
puntos que se encuentran en el plano cartesiano.
En la gráfica 15 se ilustran algunos diagramas de dispersión.
Gráfica 15. Representación de algunos diagramas de dispersión
Para el ejemplo de la tabla 30, el diagrama de dispersión se presenta en la
gráfica 16.Estadística 131
Gráfica 16. Diagrama de dispersión para el área y costo de alquiler de
apartamentos
El diagrama de dispersión muestra una relación lineal positiva; es decir, a
medida que crece el área aumenta el valor del alquiler del apartamento.
Adicionalmente, no se observa ningún valor atípico.
4.1.2. Ajuste de una recta por el método de mínimos cuadrados
Sobre el diagrama de dispersión se puede trazar un sinnúmero de líneas
rectas que represente el conjunto de datos y facilite la predicción para la
variable dependiente. Sin embargo, este método intuitivo es demasiado
subjetivo.
El objeto de la regresión lineal consiste en determinar una recta de la forma
ii xbby += 0 , que sea representativa del conjunto de datos muestrales; este
Estadística 132
proceso se conoce como ajuste de una recta y se utiliza como procedimiento
el método de mínimos cuadrados.
En este sentido, el método de mínimos cuadrados es objetivo y no depende
de la apreciación personal del investigador, sino de relaciones matemáticas
preestablecidas.
La tarea está en determinar los parámetros 0b y b en la ecuación de
regresión lineal simple ii xbby += 0 , donde
ix : es el i-ésimo valor de la variable X.
iy : es el i-ésimo valor de la variable y
0b : es el valor que toma la variable dependiente "y", cuando la variable
independiente "x" vale 0, y es el punto donde la recta cruza el eje vertical.
b : determina la pendiente de la recta, su grado de inclinación.
Una vez hallados los parámetros 0b y b , los valores calculados a partir de
la ecuación de regresión se denominan valores estimados, y se representan
por iy .
En el método de mínimos cuadrados se emplean los datos de la muestra
para determinar los parámetros 0b y b que minimizan la suma de los
cuadrados de las desviaciones entre los valores observados de la variable
dependiente iy y los valores estimados de la variable dependiente iy .
La desviación se obtiene entre la diferencia de los valores “reales” iy y los
valores “estimados” iy ; por tanto, la suma de los cuadrados de las
desviaciones debe ser mínima. Esto es,
Estadística 133
min ∑ − )ˆ( ii yy
Con el cálculo diferencial se puede demostrar que los parámetros 0b y b
que minimizan el cuadrado de las desviaciones son:
y
Los parámetros para el ejemplo de la tabla 30, se calculan a partir de los
datos presentados en la tabla 31.
Tabla 31. Valores para el cálculo de parámetros de la compañía de
bienes raíz
APARTAMENTO X Y XY X2 Y2
1 79 475 37525 6241 2256252 135 800 108000 18225 6400003 101 600 60600 10201 3600004 114 750 85500 12996 5625005 67 475 31825 4489 2256256 138 850 117300 19044 7225007 106 825 87450 11236 6806258 67 467 31289 4489 2180899 65 437 28405 4225 190969
10 89 575 51175 7921 33062511 102 700 71400 10404 49000012 119 825 98175 14161 68062513 184 1150 211600 33856 132250014 127 900 114300 16129 81000015 109 700 76300 11881 49000016 114 725 82650 12996 52562517 116 550 63800 13456 30250018 117 850 99450 13689 72250019 107 600 64200 11449 36000020 83 575 47725 6889 33062521 126 800 100800 15876 64000022 97 825 80025 9409 68062523 70 600 42000 4900 36000024 93 400 37200 8649 16000025 111 875 97125 12321 765625
Estadística 134
∑ ∑∑ ∑∑
−−
=)(2ii
iiii
xxn
yxyxnb
n
xbyb ii∑ ∑−
=0
TOTAL 2.636 17.329 1.925.819 295.132 12.797.183Fuente: Adaptación del texto Estadística para administración. Berenson y otros, pág. 466.
De la tabla 29 se tiene que:
∑ = 636.2ix , ∑ = 329.17iy , ∑ = 819.925.1ii yx , ∑ = 132.2952ix y n =
25
por tanto,
73804,5804.429
231.466.2
)636.2()132.295(25
)329.17)(636.2()819.925.1(25
)( 22==
−−=
−−
=∑ ∑
∑ ∑∑ii
iiii
xxn
yxyxnb
14120,8825
53,203.2
25
)636.2)(73804,5(329.170 ==−=
−= ∑ ∑
n
xbyb ii
en consecuencia, el modelo de regresión para estimar el costo de alquiler
mensual de un apartamento a partir del área será:
xy 73804,514120,88ˆ +=
Este modelo representa la integración de todos los puntos ubicados en el
diagrama de dispersión, y garantiza que la suma del cuadrado de las
desviaciones es mínima, como se ilustra en la gráfica 17.
Gráfica 17. Modelo de regresión lineal para el área y costo de alquiler de
apartamentos
Estadística 135
Interpretación de bo y b
bo = 88,1412 indica que cuando el cambio en el área es cero, el cambio
esperado en el costo de alquiler mensual es de 88,1412 miles de pesos; es
decir, que el costo de alquiler mensual aumenta 88,1412 miles de pesos. La
pendiente b = 5,73804 señala que por cada incremento de 1 m2 en el área,
se pronostica que el cambio esperado en el costo mensual de alquiler es de
5,73804 miles de pesos, cuyo significado es que se pronostica que el costo
de alquiler aumenta 5,73804 miles de pesos por cada 1 m2 de incremento en
el área.
Predicciones
Estadística 136
Con la ecuación de regresión encontrada, es posible predecir algunos
valores para la variable dependiente a partir de la variable independiente
Observación
Cuando se utiliza un modelo de regresión con propósitos de pronóstico, es
importante que se tenga en cuenta sólo el intervalo de valores que toma la
variable independiente y que fueron usados para construir el modelo.
Entonces, si se predice un valor de Y para un valor dado de X, es posible
interpolar dentro de este intervalo de valores de X, pero no se debe
extrapolar hacia fuera de este intervalo. Por ejemplo, cuando se usa el área
en m2 para predecir el alquiler mensual, se observa en la tabla 29 que los
metros cuadrados varían de 65 a 184. Por tanto, las predicciones de costos
de alquiler mensual deben hacerse sólo para apartamentos con un área
entre estas medidas. Cualquier pronóstico de costos de alquiler mensual con
áreas fuera de este intervalo es poco confiable.
4.2. CORRELACIÓN
Hasta el momento se ha considerado el problema de la regresión lineal
simple o estimación de una variable dependiente a partir de una variable
independiente. Sin embargo, surge el interrogante: ¿Qué tanto se relacionan
las variables dependiente e independiente? La correlación pretende dar
respuesta a esta pregunta e intenta medir el grado de asociación entre dos
variables por medio de los coeficientes de correlación y determinación.
4.2.1. Coeficiente de correlación
Estadística 137
El coeficiente de correlación (r) es la medida de la intensidad de la relación
entre dos variables. Se calcula con la ecuación
Donde,
( )( )∑∑∑ − yxxyn : desviación conjunta de los datos X y Y
( )22 ∑∑ − xxn : desviación de los datos X
( )22 ∑∑ − yyn : desviación de los datos Y
El coeficiente de correlación toma valores comprendidos entre –1 y +1, de tal
forma que cuando r = -1 ó r = +1 existe una correlación perfecta entre las
variables. Esto es, todos los puntos del plano cartesiano están alineados (o
se ajustan perfectamente) a la línea recta de la ecuación de regresión.
Cuando r = 0, no existe correlación entre las variables. La correlación
aumenta cuando r se acerca de 0 a +1 ó de 0 a –1.
En la medida en que los puntos se acerquen a la recta, el coeficiente de
correlación será más próximo a 1, y si los puntos se alejan de la recta, el
coeficiente de correlación será más próximo a cero.
Aunque la correlación o la medida de la intensidad de la relación puede
oscilar entre –1 y +1, no existe una regla precisa para afirmar si la correlación
es buena o mala entre las variables, ya que la calificación depende del rigor Estadística 138
( )( )( ) ( )2222 * ∑∑∑∑
∑∑∑−−
−=
yynxxn
yxxynr
del estudio y la experiencia del investigador para juzgar los resultados de
acuerdo con las expectativas planteadas. Sin embargo, en la tabla 32 se
presenta un esquema que puede ayudar a la calificación de un modelo de
regresión.
Tabla 32. Calificación del modelo de regresión
r CALIFICACIÓN r-0.1-0.2-0.3
Correlación nula0.10.20.3
-0.4-0.5-0.6
Correlación baja0.40.50.6
-0.7-0.8-0.9
Correlación alta0.70.80.9
-1.0 Máxima correlación 1.0
Gráfica 18. Correlación entre dos variables
En la gráfica 18 se presenta la correlación entre dos variables. Obsérvese
que en la correlación lineal positiva, la pendiente de la recta es positiva, y en
la correlación lineal negativa, la pendiente es negativa. Al calcular el
coeficiente de correlación, el signo debe ser el mismo del parámetro b1, dado Estadística 139
que este parámetro corresponde a la pendiente de la recta. En
consecuencia, existe una igualdad de signos entre la pendiente de la recta y
el coeficiente de correlación.
El coeficiente de correlación para el ejemplo de la tabla 29, en el cual se
relaciona el área con el precio de alquiler de apartamentos sería:
( )( )( ) ( ) 222222 )329.17()183.797.12(25*)636.2()132.295(25
)329.17)(636.2()819.925.1(25
* −−
−=−−
−=
∑∑∑∑∑∑∑
yynxxn
yxxynr
8489.0296,037.905.2
321.466.2
18,431.4*59,655
321.466.2 ===r
Como r = 0,8489 y la pendiente b1 es positiva, indica que hay alta correlación
entre el área y el precio de alquiler de los apartamentos.
4.2.2. Coeficiente de determinación
Para predecir una variable en función de otra predomina la incertidumbre, y
la pregunta forzada es ¿qué tan bien se ajusta a los datos la ecuación de
regresión? En este aparte se muestra que el coeficiente de determinación
(r2) es una medida de la bondad de ajuste para una ecuación de regresión.
El coeficiente de determinación (r2) expresa el porcentaje de variación de la
variable dependiente causado o atribuido por la variación de la variable
independiente.
Estadística 140
Coeficiente de determinación = (Coeficiente de correlación)2 * 100r2 = (r)2 * 100
El coeficiente de determinación para el ejemplo de la tabla 29, en el cual se
relaciona el área con el precio de alquiler de apartamentos, sería:
r2 = ( 0,8489 )2 * 100 = 72%
Este valor permite concluir que el 72% del aumento en el costo de alquiler
del apartamento se debe al incremento en el área, el otro 28% se debe al
cambio producido por otras variables que no fueron analizadas en el modelo
(por ser regresión lineal simple).
Además de los coeficientes de correlación y determinación, la correlación
puede ser analizada con mayor profundidad por medio de la inferencia del
coeficiente de correlación poblacional (p) (se lee rho), la cual incluye pruebas
de hipótesis e intervalos de confianza para p.
Estadística 141
Estadística 142
Estadística 143
1.1 INTRODUCCIÓN
En nuestra vida aparecen a diario, no importa en el ámbito que nos estemos
desenvolviendo, muchas situaciones bajo incertidumbre como, por ejemplo:
qué posibilidad tengo de conseguir el empleo, qué posibilidad tengo de ganar
la evaluación, qué posibilidad hay de que compren el producto, qué
probabilidad hay de que una persona se recupere de la enfermedad, qué
posibilidad hay de que todos los productos salgan bajo las especificaciones
exigidas, qué posibilidad tengo de encontrar la información que necesito,
etc. La respuesta a todas las preguntas anteriores tiene un grado de
Incertidumbre, aunque tengamos alguna base para obtener las primeras
respuestas. Pero existen otros casos en que las respuestas no dependen de
conocimientos anteriores sino del azar. Como, por ejemplo, qué posibilidad
tengo al lanzar un par de dados de obtener un 7 o un doble uno.
En nuestro lenguaje cotidiano, palabras como “probablemente…”, “es poco
probable que…”, “hay muchas posibilidades de que…” hacen referencia a
esta incertidumbre.
La teoría de la probabilidad pretende ser una herramienta para modelizar y
tratar de obtener respuesta a estas incertidumbres. Cuando se aplican las
técnicas estadísticas a la recogida, análisis e interpretación de los datos, la
teoría de la probabilidad proporciona una base para evaluar la fiabilidad de
las conclusiones alcanzadas y las inferencias realizadas. Debido al
importante papel desempeñado por la probabilidad dentro de la estadística,
es necesario familiarizarse con sus elementos básicos, lo que constituye el
objetivo del presente tema.
Estadística 144
Al estudiar las probabilidades existen los siguientes objetivos:
• Familiarizar al estudiante con experiencias de la vida diaria en las que
interviene el azar.
• Entender los enfoques de la probabilidad más usuales así como sus
peculiaridades, ventajas e inconvenientes.
• Manejar el lenguaje de la probabilidad, sus propiedades y aplicarlo a
problemas concretos.
• Entender los teoremas de la probabilidad y su aplicabilidad.
1.2 ¿QUÉ ES LA PROBABILIDAD?
La teoría de probabilidad es la teoría matemática que modela los fenómenos
aleatorios. Estos deben contraponerse a los fenómenos determinísticos, en
los cuales el resultado de un experimento, realizado bajo condiciones
determinadas, produce un resultado único o previsible: por ejemplo, el agua
calentada a 100 grados centígrados, a presión normal, se transforma en
vapor. Un fenómeno aleatorio es aquel que, a pesar de realizarse el
experimento bajo las mismas condiciones determinadas, tiene como
resultados posibles un conjunto de alternativas, ejemplos: lanzar un dado o
una moneda. O sea que la probabilidad es darle una medida o un valor a la
incertidumbre.
Estadística 145
1.3 CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD
1.3.1 Fenómeno experimento aleatorio. Es el proceso mediante el cual
se obtiene una observación o una medida de un fenómeno o es aquel
que en las mismas condiciones iniciales produce distintos resultados
finales, que son conocidos por anticipado pero no se puede predecir
con certeza el resultado en cada experiencia en particular. Ejemplo:
lanzar una moneda, un dado, etc.
1.3.2 Fenómeno o experimento determinístico. Es aquel en el que las
mismas condiciones provocan los mismos efectos, como por ejemplo:
un capital bajo el mismo intervalo de tiempo, produce el mismo
resultado.
1.3.3 Prueba. Es una observación particular.
1.3.4 Espacio muestral (S). Es el conjunto de todos los resultados
posibles de un experimento estadístico.
Ejemplos:
a. Considérese el experimento de lanzar un dado. Sus resultados posibles
son: S = (1,2,3,4,5,6).
b. Considérese el experimento de lanzar una moneda una sola vez. Sus
resultados posibles son: S= (cara, sello).
c. Considérese el experimento de lanzar una moneda dos veces. Sus
resultados posibles son:
S = [(Cara, cara), (cara, sello), (sello, cara), (sello, sello)].Estadística 146
d. Un experimento consiste en lanzar una moneda al aire. Si sale cara, se
lanza otra vez la moneda. Si sale sello, se lanza un dado una vez. Sus
resultados posibles son:
Sea C =Cara y S = Sello
e. Un experimento consiste en lanzar primero un dado y después lanzar una
moneda, siempre y cuando el número en el dado sea par. Si el resultado
del dado es impar, la moneda se lanza 2 veces. Encuentre el espacio
muestral.
f. Si queremos lanzar una moneda 5 veces, al especificar todos los
resultados posibles, es necesario saber cuántos resultados tendría, dado
que es muy fácil perderse en el desarrollo.
Habría resultados posibles. Si queremos lanzar una moneda
10 veces habría resultados posibles.
En muchos casos no es necesario desagregar los resultados posibles sino
que es importante y necesario saber el total de resultados posibles en un
experimento. Dada la complejidad de los experimentos, en muchas
ocasiones es difícil saber el total de resultados posibles del experimento y es
necesario utilizar fórmulas que son proporcionadas por una de las
Estadística 147
herramientas de las matemáticas llamada técnicas de conteo. Tema que
veremos más adelante.
1.3.5 Elemento o punto muestral. Es cada uno de los elementos o
resultados del espacio muestral.
1.3.6 Evento. Un evento es un subconjunto de un espacio muestral. En
muchos experimentos solo nos interesa averiguar ciertos elementos
de un espacio muestral. Ejemplo: al lanzar un dado, solo nos
interesa encontrar los números primos.
S = (1, 2, 3, 4, 5,6) A = (1, 2,3, 5).
1.3.7 Intersección de dos eventos A y B. A∩ B.
Es el evento que contiene a los elementos comunes a A y a B, o sea:
Gráficamente,
Ejemplo
Sea el espacio muestral S = (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) y los Eventos:
A = ( 1,2,3,4,5)
Estadística 148
A B
B = ( 0,1,3,6,8 )
C= (3,4,6,9)
GRAFICANDO,
1.
2.
3.
4.
1.3.8 Unión de dos eventos a y b: A∪B.
Es el evento que contiene a todos los elementos que pertenecen a A o a B o
a ambos. O sea:
Gráficamente,
Estadística 149
A B
C7
2
8 0
34 6
9
Ejemplo
Con el espacio muestral del ejercicio anterior, hallar los siguientes eventos:
1.3.9 Complemento de un evento a: A’.
Es el conjunto de todos los elementos de S (del espacio muestral) que no
están en A, o sea:
Gráficamente,
S
Estadística 150
Ejemplo
Con el espacio muestral del ejercicio anterior, hallar los siguientes eventos:
Estadística 151
A
Estadística 152
2.1 TÉCNICAS DE CONTEO
Es una herramienta matemática que sirve para conocer el total de resultados
posibles en un experimento estadístico. Las principales son:
Regla 2.1.1: Principio de la multiplicación
Ejemplo 1: Sarita es una niña que vive en un distrito, tiene de vestuario 3
sombreros, 2 faldas y 2 blusas. Sarita desea vestir cada día de una manera
diferente. Su problema es saber en cuántos días puede salir a la calle
vestida de manera diferente.
SOLUCIÓN
Sea = sombrero 1 =sombrero 2 = sombrero 3
= falda 1 = falda 2
=blusa 1 =blusa 2
El número de resultados finales:
3 sombreros 2 faldas 2 blusas
Número de resultados posibles o número de vestidos diferentes:
Estadística 153
Si un acontecimiento A puede ocurrir de m maneras diferentes, y si para
cada una de esas m maneras posibles de ocurrencia de A, un segundo
acontecimiento B puede ocurrir de n maneras diferentes, entonces, el
número de manetas diferentes en que puede ocurrir el acontecimiento A
seguido del acontecimiento B es m x n
3x2x2=12
Según el diagrama de árbol, los resultados son:
Estadística 154
1|||x
øø
(0ø2pp�7•7
àà
¸
2
(S1 , f 1 , b 1) (S2 , f 1 , b 1) (S3 , f 1 , b 1)(S1 , f 1 , b 2) (S2 , f 1 , b 2) (S3 , f 1 , b 2)(S1 , f 2 , b 1) (S2 , f 2 , b 1) (S3 , f 2 , b 1)(S1 , f 2 , b 2) (S2 , f 2 , b 2) (S3 , f 2 , b 2)
Ejemplo 2: ¿Cuáles son los resultados posibles al lanzar una moneda 3
veces?
Solución sea c = cara s = sello
El número de resultados finales:
Primera moneda 2 resultados= c, s
Segunda moneda 2 resultados=c, s
Tercera moneda 2 resultado= c, s
Total de resultados posibles= 2x2x2=8 resultados.
Estadística 155
C
S
C
C
SS
C
S
C
SS
S
CC
Según el diagrama de árbol, los resultados son:
(C,C,C),(C,C,S),(C,S,C)(C,S,S,),(S,C,C),(S,C,S),(S,S,C)(S,S,S).
Ejemplo 3: Suponga que se seleccionan en forma aleatoria 3 artículos de
un proceso de manufactura. Se examina cada uno de ellos y se les clasifica
como D-Defectuosa y B-Bueno. ¿Cuáles son los resultados posibles?
Solución
El número de resultados posibles:
• Primer artículo, dos resultados posibles = B,D
• Segundo artículo, dos resultados posibles B,D
• Tercer artículo, dos resultados posibles B,D
• Total de resultados posibles= 2x2x2=8 resultados.
(B,D,B),(B,D,D),(B,B,B),(B,B,D),(D,D,B),(D,D,D,)(D,B,B,)(D,B,D).Estadística 156
B
DB
B
D
B
DB
D
DB
DB
D
Regla 2.1.2. Principio de permutación
Ejemplo 4: ¿De cuántas maneras podemos organizar cuatro personas en
una fila?
Solución
Sea A la persona 1
B la persona 2
C la persona 3
D la persona 4.
Para saber el total de resultados posibles = 4! = 1.2.3.4= 24 resultados
posibles:
Estadística 157
Se define el número de permutaciones de n objetos como el total de
maneras como se pueden ordenar o agrupar los n objetos el cual equivale
a
1x2x3x ... x n = n ! , definido como factorial de n.
n! (factorial) es el producto de los enteros
Desde 1 hasta n.
Ejemplo 3! = 1.2.3 =6 5!=1.2.3.4.5=120
0!
=1
(A B C D) (B A C D) (C A BD) (D A B C)(A B D C) (B A DC) (C A DB) (D A C B)(A C B D) (B C A D) (C B AD) (D B A C)(A C D B) (B C DA) (C B DA) (D B C A)(A D B C) (B D A C) (C D AB) (D C A B)(A D C B) (B D C A) (C D BA) (D C B A)
Ejemplo 5. Se tiene un equipaje conformado de pantalones: P; camisas: C;
y zapatos: Z. ¿De cuántas maneras se puede colocar en un armario de 3
compartimentos?
Para saber el total de resultados posibles = 3! = 1.2.3.= 6 resultados
posibles:
(P C Z)(P Z C)(ZP C)(ZC P)(C Z P)(C P Z)
Regla 2.1.3: Variaciones o permutaciones
Estadística 158
Cuando se permutan u organizan de los n elementos, solo r ( r ≤ n),
teniendo en cuenta o siendo importante el orden ya que tiene sentido,
decimos que es una variación o permutación . Su fórmula:
.
Ejemplo 6: Se tiene a cuatro concursantes para un primer y segundo
puesto. ¿Cuáles son los resultados posibles para los cuatro concursantes?
Solución
• Sea A el concursante 1
• Sea B el concursante 2
• Sea C el concursante 3
• Sea D el concursante 4
El total de resultados posibles:
(A B) (B A)(A C) (C A)(A D) (D A)(B C) (C B)(B D) (D B)(C D) (D C)
(A,B) significa que el concursante A ocupó el primer puesto y B ocupó el
segundo puesto. En cambio (B,A) significa que el concursante B ocupó el
primer puesto y el concursante A ocupó el segundo puesto; estos dos
resultados son diferentes.
Estadística 159
Ejemplo 7. Si en el ejercicio de las prendas (ejemplo 5), se tuvieran
pantalones: P; interiores I; camisas: C; y zapatos: Z, ¿de cuántas maneras se
pueden colocar en un armario de 3 compartimentos, teniendo en cuenta que
la prenda sobrante se coloca en otro armario?
Solución
El total de resultados posibles:
(P I C) (P C I) (I C P) (I P C) ( C I P) (C P I)(P I Z) (P Z I) (I P Z) (I Z P) ( Z I P) (Z P I)(P C Z) (P Z C) (C I P) (C P I) ( I C P) (I P C)(I C Z) (I Z C) (C I Z) (C Z I) ( Z I C (Z C I)
Regla 2.1.4: Combinaciones
Ejemplo 8: Se tienen cuatro reglas de salud:
• Regla A: no fumar
Estadística 160
Cuando se organizan de los n elementos, solo r ( r ≤ n), sin tener en
cuenta el orden o al cambiar de orden no se pierde el sentido, decimos que
es una combinación . Su fórmula:
.
• Regla B: hacer ejercicios
• Regla C: tomar 7 u 8 vasos diarios de agua
• Regla D: comer verduras.
Si actualmente todas no se cumplen y se quieren cumplir 2 de ellas, ¿cuáles
serían las opciones?
Solución
El total de resultados posibles:
Si se tiene las soluciones (A,B) y (B, A) se está diciendo no fumar y hacer
ejercicios, y para el segundo se está diciendo, hacer ejercicios y no fumar;
este resultado es igual.
Teniendo en cuenta lo anterior, los resultados quedarían:
(A B)(A C)(A D)(B C)(B D)(C D)
Estadística 161
Regla 2.1.5: Particiones
Ejemplo 9: Un colegio participa en 4 partidos de fútbol en una temporada.
¿De cuántas maneras puede el equipo terminar la temporada con 2 victorias,
1 derrotas y 1 empate?
• Sea V victoria (2)
• Sea D derrota (1)
• Sea E empate (1)
Solución
Para saber el número de resultados posibles.
Estadística 162
El número de particiones distintas de n objetos en los cuales n1 son de
una
clase, n2 de una segunda clase, ..., nk de una k - ésima clase, coincide con
el número de formas de hacer una partición de un conjunto de n objetos en
k
celdas con n1 objetos en la primera celda, n2 elementos en la segunda
celda y así sucesivamente donde
��
V V D E V D E V D E V VV V E D V E D V E D V VV D V E D V V E E V D VV E V D D V E V E V V D
2.2 EJERCICIOS RESUELTOS
1. Un vendedor de autos quiere presentar a sus clientes todas las
diferentes opciones con que cuenta: auto convertible, auto de 2 puertas y
auto de 4 puertas, cualquiera de ellos con rines deportivos o estándar.
¿Cuántos y cuáles diferentes arreglos de autos y rines puede ofrecer el
vendedor?
Solución
Para solucionar el problema se emplea la técnica de la multiplicación, (donde
m es número de modelos y n es el número de tipos de rin).
Sea m = 3 A auto convertible B 2 puertas C 4 puertas
n = 2 D rin deportivo E rin estándar
Estadística 163
Número total de arreglos = 3 x 2 = 6 arreglos diferentes
De acuerdo con el diagrama de árbol, los resultados posibles son:
(A,D),(A,E), (B,D),(B,E),(C,D),(C,E).
2 Suponga que hay ocho tipos de computadora pero solo tres espacios
disponibles para exhibirlas en la tienda de computadoras. ¿De cuántas
maneras diferentes pueden ser arregladas las 8 máquinas en los tres
espacios disponibles?
Solución
Para solucionar el problema se emplea la técnica de Permutación, (donde n
es el número de máquinas y r es el número de espacios disponibles).
Estadística 164
E
D
B
A
E
CD
E
D
3. Una tarjeta de circuito impresa se puede comprar con cinco proveedores.
¿De cuántas maneras de pueden escoger tres proveedores de los cinco?
Solución
Para solucionar el problema se emplea la técnica de las combinaciones,
(donde n son los 5 proveedores y r son los 3 proveedores a escoger).
4. Un estudiante desea acomodar ocho libros en un anaquel. Calcule el
número de maneras en que puede hacerlo si la condición es que:
a. Tres libros específicos siempre deben quedar juntos.
b. Tres libros específicos nunca deben quedar todos juntos.
Solución del numeral a
Estadística 165
Número total de arreglos
N
Número total de arreglos
N
En realidad los 8 puestos se convierten en 6; ya que 3 libros deben quedar
juntos. Pero esos 3, a su vez, se pueden organizar de diferentes maneras.
Supongamos que los libros 1,2,3 deben quedar juntos…..
LIBROS 1 2 3 4 5 6 7 8PUESTOS 2 3 4 5 61
Solución del numeral b
3 separados es lo contrario a los 3 juntos. Esto quiere decir que al organizar
8 libros (8!=40320) y al restarle los resultados de los 3 juntos (4320), nos
quedan los resultados de los 3 separados.
5. Un comité de 5 personas se va a elegir entre 10 principales y 7 suplentes,
¿de cuántas maneras es posible si ha de haber más principales que
suplentes?
Solución
Para que los principales sean más que los suplentes deben quedar:
3 principales y 2 suplentes o 4 principales y un suplente o 5 principales y 0
suplentes. .
Estadística 166
Estadística 167
Recordemos que en matemáticas el conector y significa producto y el conector o significa suma
3.1 SUCESOS PROBABILÍSTICOS
De acuerdo con la forma como ocurren dos o más sucesos probabilísticos
estos pueden ser:
3.1.1 Sucesos independientes: son aquellos sucesos en donde la
ocurrencia de uno de ellos no depende de la ocurrencia de otro u
otros sucesos. Ejemplo: sacar de una urna una pelota blanca, si
antes se sacó una pelota negra y se devolvió a la urna.
3.1.2 Sucesos dependientes: son aquellos sucesos en donde la ocurrencia
de uno de ellos sí depende de la ocurrencia de otro u otros sucesos.
Ejemplo: sacar de una urna una pelota blanca, si antes se sacó una
pelota negra y no se devolvió a la urna.
3.1.3 Sucesos compatibles o mutuamente no excluyentes: son aquellos
sucesos que pueden ocurrir al mismo tiempo o simultáneamente, es
decir, la ocurrencia de uno de ellos no excluye la ocurrencia de otro u
otros sucesos. Ejemplo: se lanzan dos dados al mismo tiempo,
¿puede salir el 1 o el 5?
3.1.4 Sucesos incompatibles o mutuamente excluyentes: son aquellos
sucesos que no pueden ocurrir al mismo tiempo en forma simultánea,
es decir, que la ocurrencia de uno de ellos excluye la ocurrencia de
otro. O sea A∩B = ∅ Ejemplo: En el lanzamiento de dos
dados simultáneamente, sacar al mismo tiempo dos números pares y
que su suma sea impar.Estadística 168
3.2 DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD
La posibilidad de que se presente un evento resultante de un experimento
estadístico se evalúa por medio de un conjunto de números reales llamados
Probabilidades que caen en el rango (0,1). A cada punto en el espacio
muestral se le asigna una probabilidad tal que la suma de todas las
probabilidades tiene que ser igual a 1.
3.2.1. Modelo de probabilidad empírico o frecuencialista
El modelo de frecuencia relativa llamado también modelo a posteriori utiliza
datos que se han observado empíricamente, registra la frecuencia con que
ha ocurrido algún evento en el pasado y estima la probabilidad de que el
evento ocurra nuevamente con base en estos datos históricos.
La probabilidad de un evento con base en el modelo de frecuencia relativa se
determina mediante:
Ejemplo
Un resultado de Gregor J. Mendel (1822-1884)) en uno de sus experimentos
con cruzamiento de plantas fue de 355 guisantes amarillos (A) y 123 verdes
(V) o sea que la frecuencia relativa para los guisantes amarillos fue de
Estadística 169
. En otro experimento obtuvo 315 guisantes amarillos y
108 verdes o sea que la frecuencia relativa para los guisantes amarillos fue
de . La estabilidad de las frecuencias relativas
alrededor de 0.74 para la ocurrencia de guisantes amarillos y 0.26 para los
guisantes verdes lo condujeron a formular la ley. Por lo tanto, se le llamó a
la frecuencia constante la probabilidad del evento A.
3.2.2. Modelo subjetivo
Es el grado de creencia personal de la posibilidad de que ocurra un suceso.
Ejemplo: Posibilidad de que gane mi equipo favorito es de un 70%.
3.2.3. Modelo clásico
En este enfoque se asume que todos los resultados de un experimento
tienen la misma posibilidad de ocurrir. La probabilidad clásica de un evento
A se determina
Ejemplo
Se tiene una muestra de 20 artículos y 5 de ellos son defectuosos; al
seleccionar uno en forma aleatoria, la probabilidad de que sea defectuoso es
de 5/20 =0.25 y la probabilidad de que sea un artículo bueno es de
15/20=0.75.Estadística 170
3.2 REGLAS PRINCIPALES DE LA PROBABILIDAD
Para asignar probabilidades a los puntos muestrales se ha convenido:
Antes de entrar a ver los axiomas de probabilidad es importante que se
experimenten varios puntos:
1. Es necesario el conocimiento de la teoría de conjuntos para poder
interpretar muchos problemas de probabilidades.
2. En muchos casos, no se necesitan las reglas de probabilidades para
poder obtener la respuesta de probabilidad…; es suficiente tener buena
interpretación de lo que se pregunta y tener clara la fórmula básica de
probabilidad.
Estadística 171
REGLAS DE PROBABILIDAD
La probabilidad de cada punto
muestral debe estar entre 0 y 1, o
sea
La suma de las probabilidades de todos
los puntos muestrales debe ser igual a
uno
u
1 2
Los casos favorables son aquellos que cumplen con la condición, y los casos
posibles son todos los resultados posibles en un experimento estadístico
(espacio muestral).
Para comprobar lo anterior, se hará un ejemplo donde la respuesta es
obtenida solamente utilizando la lógica y la fórmula anterior, y después se
comprobará la respuesta utilizando las reglas de probabilidad.
Ejemplo 1 de probabilidad
En un curso, 10 alumnos aprobaron Historia, 15 aprobaron Matemáticas y 14
aprobaron Español; 3 alumnos aprobaron Español e Historia, 5 Matemáticas
y Español, 3 aprobaron Matemáticas e Historia y 1 solo aprobó las 3
materias. Si seleccionamos un estudiante en forma aleatoria, hallar:
a. Probabilidad de que haya aprobado Matemáticas
b. Probabilidad de que haya aprobado solamente Matemáticas
c. Probabilidad de que no haya aprobado Matemáticas
d. Probabilidad de que haya aprobado Matemáticas o Historia
e. Probabilidad de que haya aprobado Historia y Español
f. Si aprobó Español, ¿cuál es la probabilidad de que haya aprobado
Historia?
Solución
Para mayor comprensión es necesario realizar un Diagrama de Venn con
toda la información que se tiene de los 10 estudiantes:
Estadística 172
29
a. Para hallar la probabilidad de que haya aprobado Matemática, se tienen
como casos favorables los que aprobaron Matemáticas, que en este caso
son 15, y como casos posibles, los estudiantes que se están analizando,
que en este caso son 29. O sea la fórmula queda:
La probabilidad de que haya aprobado
Matemática es de 51.72% o sea que el 51.72% de los estudiantes
aprobaron Matemáticas.
b. Para hallar la probabilidad de que haya aprobado solamente Matemática,
se tienen como casos favorables, los estudiantes que aprobaron
Matemáticas, y no Español ni Historia. En este caso, son 8 los
estudiantes que solo aprobaron Matemáticas; los casos posibles son
todos los estudiantes que se están analizando, que en este caso son 29.
O sea la fórmula queda:
Estadística 173
M E
H
4 8
2
7
1 2
5
. La probabilidad de que haya
aprobado Matemática solamente es 27.59%, o sea, que el 27.59% de
los estudiantes aprobó solamente Matemática.
c. Para hallar la probabilidad de que no haya aprobado Matemàtica, se
tienen como casos favorables 14 estudiantes que no aprobaron
Matemática; como casos posibles, los estudiantes que se están
analizando, que en este caso son 29.
. La probabilidad de que no haya aprobado
Matemática es 48.28%, o sea, que el 48.28% de los estudiantes no
aprobó Matemática.
d. Para hallar probabilidad de que haya aprobado Matemática o Historia, se
utiliza la definición de unión en teoría de conjuntos, o sea, los que
aprobaron Matemática o Historia o ambos, como casos favorables; en
este caso son 22 los estudiantes y todos los casos posibles son todos los
estudiantes que se están analizando que, en este caso, son 29.
. La probabilidad de que haya aprobado
Matemática o Historia es 75.86%, o sea, que el 75.86% de los
estudiantes aprobaron Matemática o Historia.
e. Para hallar la probabilidad de que haya aprobado Historia y Español se
utiliza la definición de intersección en teoría de conjuntos, o sea, los que
aprobaron tanto Español como Historia, como casos favorables; en este
Estadística 174
caso son 3 los estudiantes y todos los casos posibles son todos los
estudiantes que se están analizando, que en este caso son 29.
La probabilidad de que haya aprobado
Historia y Español es 10.34%, o sea, que el 10.34% de los estudiantes
aprobaron Historia y Español.
f. Para hallar la probabilidad de que haya aprobado Historia dado que
aprobó Español, quiere decir que se conoce que aprobó Español y de
ellos, cuántos aprobaron Historia. Por lo tanto, el total de casos posibles
cambia; no son 29, sino que son el total que aprobó Español (14) y de
ellos los casos favorables (los que aprobaron Historia) son 3.
. La probabilidad de que haya aprobado
Historia dado que aprobó Español es 21.43%, o sea, que el 21.43% de
los estudiantes que aprobaron Español, también aprobaron Historia.
Estadística 175
¡observa que hasta ahora no se han necesitado los axiomas de probabilidad, para responder las preguntas. Solo se ha necesitado de tu buena interpretación y análisis!
Para comprobar las preguntas anteriores, se utilizan los axiomas.
3.3 AXIOMAS DE PROBABILIDAD
3.4.1 Teorema 1: Regla de la unión o suma
Si A y B son dos eventos cualquiera, entonces la probabilidad de A o B
Ejemplo:
Probabilidad de que haya aprobado Matemáticas o Historia (numeral d. del
ejercicio anterior).
3.4.2 Teorema 2: Regla del complemento
Estadística 176
EVENTOS MUTUAMENTE
NO EXCLUYENTES EXCLUYENTES
EE
Si A’ es el complemento de A, entonces:
Ejemplo:
Probabilidad de que no haya aprobado Matemática. (Numeral c. del ejercicio
anterior).
3.4.3 Teorema 3: Probabilidad condicional
A la probabilidad de que un evento A ocurra dado que un evento B ya
ocurrió, se llama probabilidad condicional y se escribe .
Donde A es la pregunta, y B es lo conocido, y su fórmula es:
Ejemplo:
Si aprobó Español, ¿cuál es la probabilidad de que haya aprobado Historia?
Estadística 177
1
(Numeral f. del ejercicio anterior). Otra forma de plantear la pregunta es:
¿cuál es la probabilidad de que haya aprobado Historia dado que aprobó
Español?
3.4.4 Teorema 4: Regla de la multiplicación o intersección
A la probabilidad de que ocurra un Evento A y B
Ejemplo:
Probabilidad de que haya aprobado Historia y Español. (Numeral e. del
ejercicio anterior).
Como son eventos dependientes,
Estadística 178
1
EVENTOS
DEPENDIENTES INDEPENDIENTES
I
Ó
EJEMPLO 2 DE PROBABILIDAD
La asociación de estudiantes de Estadística en una universidad muy grande
quería determinar si hay una relación entre el interés de un estudiante por la
Estadística y su capacidad para las Matemáticas. Se selecciona una
muestra aleatoria de 200 estudiantes y se obtienen los siguientes resultados:
80 tienen capacidad baja para las Matemáticas, de los cuales 15 tienen
interés medio en la Estadística.
90 tienen interés bajo por la Estadística, de los cuales 15 tienen capacidad
media para las Matemáticas.
40 tienen interés alto por la Estadística de los cuales 10 tienen capacidad
media para las Matemáticas.
50 tienen capacidad alta para las Matemáticas, de los cuales 25 tienen
interés alto por la Estadística.
Si se selecciona un estudiante en forma aleatoria,
a. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga capacidad alta para las
Matemática?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga interés bajo o medio por la
estadística?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga capacidad media para las
Matemáticas o un interés alto por la Estadística?
d. ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga capacidad alta para las
Estadística 179
Matemáticas?
e. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga capacidad alta para las
Matemáticas, dado que su interés por la Estadística es bajo?
f. ¿Cuál es la probabilidad de que tanto la capacidad para las Matemáticas
como el interés por la Estadística sean medios?
Solución
Para mayor comprensión del ejercicio, es adecuado llevar los datos a un
Cuadro de contingencia o doble entrada.
1. El 25% de los estudiantes tienen capacidad alta
para las Matemáticas.
2. Como los eventos son mutuamente excluyentes,
El 80% de los estudiantes tienen
interés bajo o medio por la Estadística.
Estadística 180
OPCIÓN ALTO MEDIO BAJO TOTAL
ALTO 25 10 15 50
MEDIO 10 45 15 70
BAJO 5 15 60 80
TOTAL 40 70 90 200
CA
PA
CID
AD
M
AT
EM
ÁT
ICA
S
INTERÉS -ESTADÍSTICA
3. Como los eventos son mutuamente no excluyentes,
EL 50% de los
estudiantes tienen capacidad media para las Matemáticas o un interés
alto por la Estadística.
OPCIÓN ALTO MEDIO BAJO TOTAL
ALTO 25 10 15 50
MEDIO 10 45 15 70
BAJO 5 15 60 80
TOTAL 40 70 90 200
CA
PA
CID
AD
M
AT
EM
ÁT
ICA
S
INTERÉS -ESTADÍSTICA
4. El 75% de los estudiantes
no tienen capacidad alta para las Matemáticas
5. Se sabe que el interés por Estadística es bajo; o sea que es una
probabilidad condicional y su fórmula es:
Estadística 181
El 16.67% de los estudiantes que tienen interés bajo por la Estadística tienen
una capacidad media para la Matemática.
OPCIÓN ALTO MEDIO BAJO TOTAL
ALTO 25 10 15 50
MEDIO 10 45 15 70
BAJO 5 15 60 80
TOTAL 40 70 90 200
CA
PA
CID
AD
M
AT
EM
ÁT
ICA
S
INTERÉS -ESTADÍSTICA
6. Como los eventos son dependientes, la fórmula es:
El 7.5% de los estudiantes, tienen una capacidad media para las
Matemáticas y un interés medio por la Estadística.
EJEMPLO 3 DE PROBABILIDAD
La probabilidad de que un hombre casado vea un cierto programa de
Estadística 182
televisión es de 0.4, y la de que una mujer del mismo estado civil lo haga,
0.5; la probabilidad de que un hombre vea el programa, dado de que su
esposa lo hace, es de 0.7. Encuentre la probabilidad de que:
1. Una pareja de casados vea el programa.
2. Una esposa no vea el programa, dado que su esposo lo hace.
3. Al menos una persona de un matrimonio vea el programa
4. Ninguno de los dos vea el programa
Solución
Parámetros: sea H: hombre casado M: mujer casada.
1.
La probabilidad de que una pareja de casados vea el programa es de un
35%.
2. Es más fácil si se obtiene el denominador de un
Diagrama de Venn.
Estadística 183
PROBABILIDAD TOTAL 1
1
La probabilidad de que una esposa no vea el programa, dado que su esposo
lo hace, es de 12.5%.
3.
La probabilidad de que al menos una persona de un matrimonio vea el
programa es de 55%
4.
La probabilidad de que ninguno de los dos vea el programa es de 45%.
EJEMPLO 4 DE PROBABILIDAD
Estadística 184
M H
0.45
0.15
0.35 0.05
Suponga que en un estante de una biblioteca hay ocho libros de Física
iguales (mismo autor, edición y título), excepto que cuatro son ediciones
rústicas y los otros cuatro están empastados (o encuadernados). Suponga,
además, que en forma sucesiva vienen tres lectores y cada uno de ellos pide
a la bibliotecaria un ejemplar de ese libro para llevar a casa. Si la
bibliotecaria los elige al azar, ¿cuál es la probabilidad de que al primero le
toque empastado, al segundo rústico y al tercero también rústico?
Solución
El espacio muestral sería: (r, r, r, r, e, e, e, e).
Sea A, el evento de sacar un libro empastado
Sea B, el evento de sacar un libro rústico
Sea C, el evento de sacar un libro rústico
La probabilidad de que al primero le toque empastado, al segundo rústico y
al tercero también rústico es 14.29%.
Estadística 185
Estadística 186
4.1 INTRODUCCIÓN
De lo visto anteriormente en probabilidades y espacio muestral, se concluye
que muchos experimentos son muy complejos dados los múltiples
resultados.
Una forma de suavizar o canalizar el tema de las probabilidades es por
medio de fórmulas que asocien el experimento con una función o distribución
de probabilidad de acuerdo con sus características. Por ejemplo, son
muchos los experimentos que tienen que ver con solo dos posibles
resultados (defectuoso-no defectuoso, ganar-perder, vivir-morir, vender-no
vender, etc.); otros experimentos, tienen que ver con el número de resultados
en un intervalo de tiempo o región específica (número de llamadas por
minuto a un conmutador, número de artículos defectuoso por lote, número de
clientes en un banco por mes, etc.); otros experimentes tienen que ver con la
toma de una medida y bajo una situación normal (peso, tiempo, estatura,
dimensiones, temperatura, área, etc.).
Las fórmulas o distribuciones de probabilidad son una herramienta muy
importante para solucionar problemas bajo incertidumbre sin necesidad de
desarrollar todos los posibles resultados del experimento y de acuerdo con
las características de la situación.
4.2 DISTRIBUCIÓN O FUNCIÓN DE PROBABILIDAD
Como ya se vio al principio del módulo, las variables aleatorias son aquellas
que se asocian a la ocurrencia de un fenómeno aleatorio. Cuando una de
Estadística 187
estas variables aleatorias toma diversos valores, la probabilidad asociada a
cada uno de tales valores puede ser organizada como una distribución de
probabilidad, la cual es la distribución de las probabilidades asociadas a cada
uno de los valores de la variable aleatoria.
Las distribuciones de probabilidad pueden representarse a través de una
tabla, una gráfica o una fórmula, en cuyo caso a tal regla de
correspondencia se le denomina función de probabilidad.
Existen dos tipos de distribuciones; distribuciones de probabilidad para
variables discretas y para variables continuas.
Para una variable discreta, la distribución de probabilidades es, por lo
general, una tabla que asocia una probabilidad a cada valor que puede tomar
la variable aleatoria. La probabilidad de que la variable esté dentro de un
rango de valores se halla por medio de la suma de todos los enteros que
estén dentro del rango, incluyendo los extremos. Por ejemplo:
Al considerar las variables continuas se encuentra uno el problema de que,
lo más probable, los datos que se puedan recabar no sean completamente
exactos, o dos o más de ellos no coincidan, por lo que se tienen que trabajar
en intervalos y, en ese momento, modelar una función se convierte en un
problema serio.
Sin embargo, se pueden realizar aproximaciones y describir la probabilidad a
través de modelos teóricos de probabilidad cuya gráfica es una línea
continua, a diferencia de las variables discretas que les corresponde un
Estadística 188
histograma. La probabilidad de que la variable esté dentro de un rango de
valores no se puede hallar por medio de la suma, dado que sería una suma
infinita; en estos casos la probabilidad se halla por medio de la integral
definida o sea:
En distribuciones continuas de probabilidad, la probabilidad de que X tome
un valor exacto es igual a cero; esto quiere decir que no existe la igualdad.
Estadística 189
¡NO OLVIDAR!
¡
4.2.1 Paralelo entre la distribución discreta y la continua de
probabilidad
DISCRETA CONTINUACondiciones para que
sea distribución de
probabilidad
1.
2.
Esperanza
matemática
Varianza matemática
4.3 ALGUNAS DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE
PROBABILIDAD
4.3.1 Distribución binomial
4.3.1.1 Características
Estadística 190
• En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el
suceso A y su contrario A’, como por ejemplo, defectuoso-no
defectuoso, ganó-perdió, sobrevivió-no sobrevivió, cara-sello, etc.
• El suceso A se conoce como éxito (se representa por p) y el suceso
contrario A’ se conoce como fracaso (se representa por q y es igual a
1-p.
• El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los
resultados obtenidos anteriormente.
• El éxito y, por ende, el fracaso se dan en términos de probabilidad y
son parámetros poblacionales obtenidos de conocimientos y/o
experiencias de estudios anteriores.
• El experimento consta de un número n de pruebas o muestras.
• El objetivo de la distribución binomial es buscar la probabilidad de
éxito en la muestra
Todo experimento que tenga estas características se dice que sigue el
modelo de la distribución binomial.
A la variable x, que expresa el número de éxitos obtenidos en cada prueba
del experimento, se le llama variable aleatoria binomial.
La variable binomial es una variable aleatoria discreta y sólo puede tomar
los valores 0, 1, 2, 3, 4, ..., n suponiendo que se han realizado n pruebas.
4.3.1.2 Función de probabilidad de la v.a. binomial
Estadística 191
Función de probabilidad de la distribución binomial, para hallar la
probabilidad de obtener x-éxitos en la muestra.
Ejemplo 1
La probabilidad de que una determinada vacuna surta efecto es de 0.8.
Calcule la probabilidad de que una vez administrada a 15 pacientes:
a) A ninguno le surta efecto
b) A 12 les surta efecto.
c) A máximo 3 no les surta efecto.
d) A mínimo 13 les surta efecto
e). De 10 a 12 no les surta efecto
Solución:
Se trata de una distribución binomial con los siguientes parámetros:
• Probabilidad de que la vacuna surta efecto: 0.8
• Probabilidad de que la vacuna no surta efecto 0.2
• Tamaño de muestra: 15
a). Para la primera pregunta: la probabilidad de que a ninguno le surta
efecto, el :Estadística 192
• Éxito poblacional p=0.8
• Fracaso poblacional q=0.2
• Éxito de la muestra= a ninguno de la muestra, les surta efecto o sea
P(x=0)
No hay posibilidad de que de los 15, a ninguno le surta efecto
b). Para la probabilidad de que a 12 les surta efecto, el
• Éxito poblacional p=0.8
• Fracaso poblacional q=0.2
• Éxito de la muestra= a 12 de la muestra, les surta efecto o sea
P(x=12)
La posibilidad de que de los 15 a 12 les surta efecto es de un 25.01%
c) Para la probabilidad de que a máximo 3 no les surta efecto, el:
• Éxito poblacional p=0.2
• Fracaso poblacional q=0.8
• Éxito de la muestra= a 0, 1 ,2 o 3 de los de la muestra, no les surta
efecto o sea
Estadística 193
La posibilidad de que de los 15, a máximo 3 no les surta efecto, es de 64.89%.
d) Para la probabilidad de que mínimo a 13 les surta efecto, el:
• Éxito poblacional p=0.8
• Fracaso poblacional q=0.2
• Éxito de la muestra= a 13,14 o 15 de los de la muestra, les surta
efecto, o sea,
La posibilidad de que de los 15, a mínimo 13 les surta efecto es de 39.8%.
e). Para la probabilidad de que, de 10 a 12 no les surta efecto, el:
Estadística 194
• Éxito poblacional p=0.2
• Fracaso poblacional q=0.8
• Éxito de la muestra= a 10,11 o 12 de los de la muestra, no les surta
efecto, o sea,
No hay posibilidad de que de los 15, a 10,11 ó 12 no les surta efecto la
vacuna.
Ejemplo 2
Una empresa productora sabe por experiencia que el 10% de sus artículos
salen defectuosos. Un cliente interesado en los artículos decide hacer un
pedido significativo, siempre y cuando al seleccionar una muestra aleatoria
de tamaño 5, no más de un artículo salga defectuoso. ¿Cuál es la
probabilidad de que haga el pedido?
Solución:
Estadística 195
Se trata de una distribución binomial con los siguientes parámetros:
Probabilidad de éxito: p= 0.1
Probabilidad de fracaso: q=0.9
Tamaño de muestra: n=5
Criterio de aceptación o compra: encontrar en la muestra máximo 10
artículos defectuosos o sea,
La posibilidad de que el cliente compre es de un 91.86%
4.3.1.3 Tablas de probabilidad acumulada de la distribución binomial
En muchos casos, hallar la probabilidad resulta largo y se tiene mayor riesgo
de una equivocación en su cálculo. Para solucionar esto, se crearon unas
tablas de probabilidad acumulada que facilitan la solución de problemas
binomiales.
La tabla acumulada de probabilidad binomial tiene los siguientes parámetros:
(ver anexo A)
Estadística 196
n x 0,10 0,20 0,25 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90
9 0 0,3874 0,1342 0,0751 0,0404 0,0101 0,0020 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000
1 0,7748 0,4362 0,3003 0,1960 0,0705 0,0195 0,0038 0,0004 0,0000 0,00002 0,9470 0,7382 0,6007 0,4628 0,2318 0,0898 0,0250 0,0043 0,0003 0,0000
3 0,9917 0,9144 0,8343 0,7297 0,4826 0,2539 0,0994 0,0253 0,0031 0,00014 0,9991 0,9804 0,9511 0,9012 0,7334 0,5000 0,2666 0,0988 0,0196 0,0009
5 0,9999 0,9969 0,9900 0,9747 0,9006 0,7461 0,5174 0,2703 0,0856 0,00836 1,0000 0,9997 0,9987 0,9957 0,9750 0,9102 0,7682 0,5372 0,2618 0,0530
7 1,0000 1,0000 0,9999 0,9996 0,9962 0,9805 0,9295 0,8040 0,5638 0,22528 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9980 0,9899 0,9596 0,8658 0,6126
9 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
p
(CONTINUACIÓN) TABLA ACUMULADA DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Para trabajar con la tabla binomial se deben seguir los siguientes pasos: (ver
tabla anterior)
1. Matematizar la pregunta.
2. Como la tabla es acumulada, se debe llevar la pregunta a menor e igual
, con la siguientes reglas:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
Estadística 197
Tamaño de muestra n
Probabilidad de éxito pNúmero de éxitos en la muestra
3. Se busca en la primera columna el tamaño de la muestra n
4. Se busca en la primera fila la probabilidad de éxito p
5. Se busca en la segunda columna el valor de X.
6. La intersección entre la segunda columna (x) y el valor de p, es la
probabilidad acumulada. O sea la .
Ejemplo 3
Volviendo al ejemplo 6.1, y resolviéndolo por medio de la tabla acumulada
binomial, se tiene:
a) A ninguno le surta efecto
• Éxito poblacional p=0.8
• Fracaso poblacional q=0.2
• Éxito de la muestra= a ninguno de la muestra, les surta efecto o sea
P(x=0)
n x 0,10 0,20 0,25 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,9015 0 0,2059 0,0352 0,0134 0,0047 0,0005 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
1 0,5490 0,1671 0,0802 0,0353 0,0052 0,0005 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
2 0,8159 0,3980 0,2361 0,1268 0,0271 0,0037 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000
3 0,9444 0,6482 0,4613 0,2969 0,0905 0,0176 0,0019 0,0001 0,0000 0,0000
4 0,9873 0,8358 0,6865 0,5155 0,2173 0,0592 0,0093 0,0007 0,0000 0,0000
5 0,9978 0,9389 0,8516 0,7216 0,4032 0,1509 0,0338 0,0037 0,0001 0,0000
6 0,9997 0,9819 0,9434 0,8689 0,6098 0,3036 0,0950 0,0152 0,0008 0,0000
7 1,0000 0,9958 0,9827 0,9500 0,7869 0,5000 0,2131 0,0500 0,0042 0,0000
8 1,0000 0,9992 0,9958 0,9848 0,9050 0,6964 0,3902 0,1311 0,0181 0,0003
9 1,0000 0,9999 0,9992 0,9963 0,9662 0,8491 0,5968 0,2784 0,0611 0,0022
10 1,0000 1,0000 0,9999 0,9993 0,9907 0,9408 0,7827 0,4845 0,1642 0,0127
11 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9981 0,9824 0,9095 0,7031 0,3518 0,0556
12 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9963 0,9729 0,8732 0,6020 0,1841
13 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9995 0,9948 0,9647 0,8329 0,4510
14 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9995 0,9953 0,9648 0,7941
15 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
p
b). Para la probabilidad de que a 12 les surta efecto,
Estadística 198
• Éxito poblacional p=0.8
• Fracaso poblacional q=0.2
• Tamaño de muestra n=15
n x 0,10 0,20 0,25 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,9015 0 0,2059 0,0352 0,0134 0,0047 0,0005 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
1 0,5490 0,1671 0,0802 0,0353 0,0052 0,0005 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
2 0,8159 0,3980 0,2361 0,1268 0,0271 0,0037 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000
3 0,9444 0,6482 0,4613 0,2969 0,0905 0,0176 0,0019 0,0001 0,0000 0,0000
4 0,9873 0,8358 0,6865 0,5155 0,2173 0,0592 0,0093 0,0007 0,0000 0,0000
5 0,9978 0,9389 0,8516 0,7216 0,4032 0,1509 0,0338 0,0037 0,0001 0,0000
6 0,9997 0,9819 0,9434 0,8689 0,6098 0,3036 0,0950 0,0152 0,0008 0,0000
7 1,0000 0,9958 0,9827 0,9500 0,7869 0,5000 0,2131 0,0500 0,0042 0,0000
8 1,0000 0,9992 0,9958 0,9848 0,9050 0,6964 0,3902 0,1311 0,0181 0,0003
9 1,0000 0,9999 0,9992 0,9963 0,9662 0,8491 0,5968 0,2784 0,0611 0,0022
10 1,0000 1,0000 0,9999 0,9993 0,9907 0,9408 0,7827 0,4845 0,1642 0,0127
11 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9981 0,9824 0,9095 0,7031 0,3518 0,0556
12 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9963 0,9729 0,8732 0,6020 0,1841
13 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9995 0,9948 0,9647 0,8329 0,4510
14 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9995 0,9953 0,9648 0,7941
15 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
p
c) Para la probabilidad de que a máximo 3 no les surta efecto, el:
• Éxito poblacional p=0.2
• Fracaso poblacional q=0.8
• Tamaño de muestra n=15
Estadística 199
n x 0,10 0,20 0,25 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,9015 0 0,2059 0,0352 0,0134 0,0047 0,0005 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
1 0,5490 0,1671 0,0802 0,0353 0,0052 0,0005 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
2 0,8159 0,3980 0,2361 0,1268 0,0271 0,0037 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000
3 0,9444 0,6482 0,4613 0,2969 0,0905 0,0176 0,0019 0,0001 0,0000 0,0000
4 0,9873 0,8358 0,6865 0,5155 0,2173 0,0592 0,0093 0,0007 0,0000 0,0000
5 0,9978 0,9389 0,8516 0,7216 0,4032 0,1509 0,0338 0,0037 0,0001 0,0000
6 0,9997 0,9819 0,9434 0,8689 0,6098 0,3036 0,0950 0,0152 0,0008 0,0000
7 1,0000 0,9958 0,9827 0,9500 0,7869 0,5000 0,2131 0,0500 0,0042 0,0000
8 1,0000 0,9992 0,9958 0,9848 0,9050 0,6964 0,3902 0,1311 0,0181 0,0003
9 1,0000 0,9999 0,9992 0,9963 0,9662 0,8491 0,5968 0,2784 0,0611 0,0022
10 1,0000 1,0000 0,9999 0,9993 0,9907 0,9408 0,7827 0,4845 0,1642 0,0127
11 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9981 0,9824 0,9095 0,7031 0,3518 0,0556
12 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9963 0,9729 0,8732 0,6020 0,1841
13 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9995 0,9948 0,9647 0,8329 0,4510
14 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9995 0,9953 0,9648 0,7941
15 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
p
d) Para la probabilidad de que mínimo a 13 les surta efecto, el:
• Éxito poblacional p=0.8
• Fracaso poblacional q=0.2
• Tamaño de muestra n=15
n x 0,10 0,20 0,25 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,9015 0 0,2059 0,0352 0,0134 0,0047 0,0005 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
1 0,5490 0,1671 0,0802 0,0353 0,0052 0,0005 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
2 0,8159 0,3980 0,2361 0,1268 0,0271 0,0037 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000
3 0,9444 0,6482 0,4613 0,2969 0,0905 0,0176 0,0019 0,0001 0,0000 0,0000
4 0,9873 0,8358 0,6865 0,5155 0,2173 0,0592 0,0093 0,0007 0,0000 0,0000
5 0,9978 0,9389 0,8516 0,7216 0,4032 0,1509 0,0338 0,0037 0,0001 0,0000
6 0,9997 0,9819 0,9434 0,8689 0,6098 0,3036 0,0950 0,0152 0,0008 0,0000
7 1,0000 0,9958 0,9827 0,9500 0,7869 0,5000 0,2131 0,0500 0,0042 0,0000
8 1,0000 0,9992 0,9958 0,9848 0,9050 0,6964 0,3902 0,1311 0,0181 0,0003
9 1,0000 0,9999 0,9992 0,9963 0,9662 0,8491 0,5968 0,2784 0,0611 0,0022
10 1,0000 1,0000 0,9999 0,9993 0,9907 0,9408 0,7827 0,4845 0,1642 0,0127
11 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9981 0,9824 0,9095 0,7031 0,3518 0,0556
12 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9963 0,9729 0,8732 0,6020 0,1841
13 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9995 0,9948 0,9647 0,8329 0,4510
14 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9995 0,9953 0,9648 0,7941
15 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
p
Estadística 200
e) Para la probabilidad de que, de 10 a 12 no les surta efecto, el:
• Éxito poblacional p=0.2
• Fracaso poblacional q=0.8
• Tamaño de muestra n=15
(Ver anexo tablas de probabilidad)
4.3.1.4 Parámetros de la distribución binomial
Ejemplo 4
La probabilidad de que el carburador de un coche salga de fábrica
defectuoso es del 8 por 100. Hallar:
a) El número de carburadores defectuosos Esperados en un lote de 548
b) La varianza y la desviación típica.
Solución:
Estadística 201
Medianp=µ
Varianzanpq=2σ
Desviación típicanpq=σ
Parámetros:
Probabilidad de éxito:
Probabilidad de fracasos:
Tamaño de muestra= 548
a)
b)
Interpretación
En promedio se espera que salgan aproximadamente 44 carburadores
defectuosos, con una variación de aproximadamente 6 carburadores.
4.3.2 DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA
Los experimentos que tienen este tipo de distribución tienen las siguientes
características:
a) Igual que en la distribución binomial, trabaja con los experimentos que
tienen solo dos resultados posibles.
b) Se conoce el tamaño de la población. La población se obtiene por lo
general por medio de un lote, producción, caja, o sea, un total, del cual se
extrae una muestra aleatoria para ser analizada.
c) De la población se tienen dos características:
- Una llamada éxito (se denota por K)
Estadística 202
- Otra llamada fracaso (se denota por N-K)
d) El éxito y el fracaso poblacional de la distribución se dan en términos de
cantidad y son obtenidos por experiencia y/o estudios anteriores.
e) Cada ensayo o repetición del experimento no es independiente de los
demás.
d) Se selecciona una muestra aleatoria de tamaño n y se busca la
probabilidad de exitos (x) en la muestra.
4.3.2.1 Función de probabilidad de la v.a. hipergeométrica
En estadística, la distribución hipergeométrica es una distribución de
probabilidad discreta con tres parámetros discretos N, k y n cuya función de
probabilidad es:
Ejemplos 5:
Si de un lote de 25 artículos se sabe que 5 están defectuosos, hallar las
siguientes probabilidades en una muestra de 8 artículos seleccionados del
lote aleatoriamente.
a) Probabilidad de que de los 8, salgan 3 defectuosos.
b) Probabilidad de que de los 8, salgan 6 buenos.
c) Probabilidad de que de los 8, salgan mínimo 4 defectuosos.
d) Probabilidad de que de los 8, salgan entre 3 y 4 buenos.
Estadística 203
e) Se considera aceptable el lote, si en la muestra todos están buenos.
¿Cuál es la probabilidad de que se acepte el lote?
Solución:
Parámetros
• Tamaño de población N=25
• Características de la población:
- Cantidad de artículos defectuosos= 5
- Cantidad de artículos buenos= 20
• Tamaño de la muestra n=8
a) Para la probabilidad de que de los 8, salgan 3 defectuosos, se tiene:
N= 25
K= 5 (recordar que la muestra y la población deben contener el mismo
sentido de éxito)
N-K=20
n=8
La probabilidad de que salgan 3 defectuosos es de un 14.33%
b) Para la probabilidad de que de los 8, salgan 6 buenos.
Estadística 204
N= 25
K= 20 (recordar que la muestra y la población deben contener el mismo
sentido de éxito)
N-K=5
n=8
La probabilidad de que de los 8, salgan 6 buenos es de 35.84%
c) Para la probabilidad de que de los 8, salgan mínimo 4 defectuosos.
N= 25
K= 5 (recordar que la muestra y la población deben contener el mismo
sentido de éxito)
N-K=20
n=8
Esto quiere decir que la
Estadística 205
Tener en cuenta que aunque el tamaño de la muestra es 8 no se pueden encontrar ni 6, 7 u 8 defectuosos, ya que en la población hay máximo 5 defectuosos
La probabilidad de que de los 8 salgan mínimo 4 defectuosos es 2.35%
d) Para la probabilidad de que de los 8, salgan entre 3 y 4 buenos.
N= 25
K= 20
N-K=5
n=8
La probabilidad de que de los 8 salgan entre 3 y 4 buenos es de 2.35%.
e) Para aceptar el lote, deben existir todos buenos o cero malos. O sea, que
se soluciona de cualquiera de las dos maneras, sin cambiar el resultado:
Todos buenos Cero defectuosos
N= 25 N=25
K= 20 K=5
N-K=5 N-K=20
n=8 n=8
Estadística 206
La probabilidad de que se acepte el lote es de 11.65%
Ejemplos 6:
Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado 6 tabletas
de narcótico en una botella que contiene 9 píldoras de vitamina que son
similares en apariencia. Si el oficial de la aduana selecciona 3 tabletas
aleatoriamente para analizarlas, ¿cuál es la probabilidad de que el viajero
sea arrestado por posesión de narcóticos?
Solución:
N = 9+6 =15 total de tabletas
K= 6 tabletas de narcótico
N-K= 9
n = 3 tabletas seleccionadas
x = 0, 1, 2, o 3 tabletas de narcótico = variable que indica el número de
tabletas de narcótico que se pueden encontrar al seleccionar las 3 tabletas
P(viajero sea arrestado por posesión de narcóticos) = p(de que entre las 3
tabletas seleccionadas haya 1 o más tabletas de narcótico)
Estadística 207
Existe un 81.54% de posibilidad de que el viajero sea arrestado por
posesión ilegal de narcóticos.
4.3.2.2 Parámetros de la distribución hipergeométrica
4.3.3 DISTRIBUCIÓN DE POISSON
La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta.
Trabaja con la probabilidad de ocurrencia en un tiempo determinado o región
específica, teniendo como parámetro de la distribución el promedio de
ocurrencias en el mismo intervalo de tiempo o región específica. Por
ejemplo, el número de llamadas telefónicas que entran a un conmutador por
hora; número de personas que se inscriben a la universidad por semestre,
número de artículos defectuosos que salen por hora, etc.
Condición: Los eventos deben ser independientes.
4.3.3.1 Función de probabilidad de la v.a. Poisson
Estadística 208
Media
Varianza )
Su distribución de probabilidad está dada por
Donde:
• es la base del logaritmo natural= (e = 2.71828...),
• x! es el factorial de x,
• µ es un número real positivo, equivalente al número esperado de
ocurrencias durante un intervalo dado.
4.3.3.2 Tablas de probabilidad acumulada de la distribución Poisson
Como en la distribución binomial, existen tablas que facilitan el cálculo de las
probabilidades. La tabla de distribución Poisson también es acumulada y
necesita llevar las preguntas a menor e igual ( ).
La tabla acumulada de probabilidad Poisson tiene los siguientes parámetros:
(Ver anexo B)
Estadística 209
x 0,1 0,2 0,30 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,90 0,9048 0,8187 0,7408 0,6703 0,6065 0,5488 0,4966 0,4493 0,4066
1 0,9953 0,9825 0,9631 0,9384 0,9098 0,8781 0,8442 0,8088 0,7725
2 0,9998 0,9989 0,9964 0,9921 0,9856 0,9769 0,9659 0,9526 0,9371
3 1,0000 0,9999 0,9997 0,9992 0,9982 0,9966 0,9942 0,9909 0,9865
4 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9998 0,9996 0,9992 0,9986 0,9977
5 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9998 0,9997
6 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
µ
Para trabajar con la tabla Poisson se siguen los siguientes pasos: (ver tabla
anterior)
1. Matematizar la pregunta.
2. Como la tabla es acumulada, se lleva la pregunta a menor e igual ,
con la siguientes reglas:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
3. Se busca en la primera fila el valor del promedio
4. Se busca en la primera columna el valor de la variable x
5. La intersección entre la fila y la columna es la probabilidad acumulada.
O sea la .
Estadística 210
EJEMPLO 7
Si en promedio ocurren 5 accidentes por día, hallar las siguientes
probabilidades:
a). Probabilidad de que en un día ocurran 3 accidentes.
b). Probabilidad de que en un día ocurran más de 2 accidentes.
c). Probabilidad de que en un día ocurran menos de 4 accidentes.
d). Probabilidad de que en un día ocurran entre 4 y 6 accidentes.
e). Probabilidad de que en un MEDIO día ocurra 1 accidente.
Solución
Parámetro:
Promedio de accidentes por día.
Observación: cada pregunta se resuelve tanto por fórmula como por tabla
para comprobar el resultado.
a). Para la probabilidad de que en un día ocurran 3 accidentes.
Por fórmula:
Por tabla: ver reglas para manejo de tablas Poisson
La probabilidad de que en un día ocurran 3 accidentes es de 14.03%.Estadística 211
x 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 50 0,3679 0,2231 0,1353 0,0821 0,0498 0,0302 0,0183 0,0111 0,00671 0,7358 0,5578 0,4060 0,2873 0,1991 0,1359 0,0916 0,0611 0,04042 0,9197 0,8088 0,6767 0,5438 0,4232 0,3208 0,2381 0,1736 0,12473 0,9810 0,9344 0,8571 0,7576 0,6472 0,5366 0,4335 0,3423 0,26504 0,9963 0,9814 0,9473 0,8912 0,8153 0,7254 0,6288 0,5321 0,44055 0,9994 0,9955 0,9834 0,9580 0,9161 0,8576 0,7851 0,7029 0,61606 0,9999 0,9991 0,9955 0,9858 0,9665 0,9347 0,8893 0,8311 0,76227 1,0000 0,9998 0,9989 0,9958 0,9881 0,9733 0,9489 0,9134 0,86668 1,0000 0,9998 0,9989 0,9962 0,9901 0,9786 0,9597 0,93199 1,0000 0,9997 0,9989 0,9967 0,9919 0,9829 0,968210 0,9999 0,9997 0,9990 0,9972 0,9933 0,986311 1,0000 0,9999 0,9997 0,9991 0,9976 0,994512 1,0000 0,9999 0,9997 0,9992 0,998013 1,0000 0,9999 0,9997 0,999314 1,0000 0,9999 0,999815 1,0000 0,999916 1,0000
µ
b). Para la probabilidad de que en un día ocurran más de 2 accidentes.
Por fórmula:
Estadística 212
Como no se conoce el tamaño de la muestra, no se sabe hasta dónde va la suma…. Pero por definición de probabilidad se sabe que
H
Por tabla: ver reglas para manejo de tablas Poisson
La probabilidad de que en un día ocurran más de 2 accidentes es de 87.54%.
x 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 50 0,3679 0,2231 0,1353 0,0821 0,0498 0,0302 0,0183 0,0111 0,00671 0,7358 0,5578 0,4060 0,2873 0,1991 0,1359 0,0916 0,0611 0,04042 0,9197 0,8088 0,6767 0,5438 0,4232 0,3208 0,2381 0,1736 0,12473 0,9810 0,9344 0,8571 0,7576 0,6472 0,5366 0,4335 0,3423 0,26504 0,9963 0,9814 0,9473 0,8912 0,8153 0,7254 0,6288 0,5321 0,4405
µ
c). Para la probabilidad de que en un día ocurran menos de 4 accidentes.
Por fórmula:
Estadística 213
Por tabla:
La probabilidad de que en un día ocurran menos de 4 accidentes es de
26.50%
x 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 50 0,3679 0,2231 0,1353 0,0821 0,0498 0,0302 0,0183 0,0111 0,00671 0,7358 0,5578 0,4060 0,2873 0,1991 0,1359 0,0916 0,0611 0,04042 0,9197 0,8088 0,6767 0,5438 0,4232 0,3208 0,2381 0,1736 0,12473 0,9810 0,9344 0,8571 0,7576 0,6472 0,5366 0,4335 0,3423 0,2650
4 0,9963 0,9814 0,9473 0,8912 0,8153 0,7254 0,6288 0,5321 0,44055 0,9994 0,9955 0,9834 0,9580 0,9161 0,8576 0,7851 0,7029 0,61606 0,9999 0,9991 0,9955 0,9858 0,9665 0,9347 0,8893 0,8311 0,76227 1,0000 0,9998 0,9989 0,9958 0,9881 0,9733 0,9489 0,9134 0,86668 1,0000 0,9998 0,9989 0,9962 0,9901 0,9786 0,9597 0,9319
µ
d). Para la probabilidad de que en un día ocurran entre 4 y 6 accidentes.
Por fórmula:
Estadística 214
Por tabla: ver reglas para manejo de tablas Poisson
La probabilidad de que en un día ocurran entre 4 y 6 accidentes es de
49.72%.
e). Probabilidad de que en un MEDIO día ocurra 1 accidente.
Por fórmula:
Por tabla: ver reglas para manejo de tablas Poisson
Estadística 215
Como la variable de interés x, tiene que tener la misma unidad de medida del promedio, entoncesu
x 1 1,5 2 2,5 3 3,5x 1,0000 1,5000 2,0000 2,5000 3,0000 3,50000 0,3679 0,2231 0,1353 0,0821 0,0498 0,03021 0,7358 0,5578 0,4060 0,2873 0,1991 0,13592 0,9197 0,8088 0,6767 0,5438 0,4232 0,32083 0,9810 0,9344 0,8571 0,7576 0,6472 0,53664 0,9963 0,9814 0,9473 0,8912 0,8153 0,72545 0,9994 0,9955 0,9834 0,9580 0,9161 0,85766 0,9999 0,9991 0,9955 0,9858 0,9665 0,93477 1,0000 0,9998 0,9989 0,9958 0,9881 0,9733
µ
La probabilidad de que en un MEDIO día ocurra 1 accidente es de 20.52%.
4.3.3.3 Parámetros de la distribución Poisson
4.4 DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE PROBABILIDAD:
DISTRIBUCIÓN NORMAL
La distribución normal, también llamada distribución de Gauss o distribución
gaussiana, es la distribución continua de probabilidad más importante de
toda la Estadística, debido a que su función de densidad es simétrica y con
forma de campana, lo que favorece su aplicación como modelo a gran
número de variables estadísticas.
Estadística 216
MediaVarianza
4.4.1 Función de densidad de la distribución normal
Donde:
MediaVarianza
σ Desviación estándar
4.4.2 Representación gráfica de esta función de densidad
Estadística 217
4.4.3 Distribución normal estándar
La probabilidad de que la variable aleatoria (que sigue una distribución
normal) se encuentre entre dos valores determinados será en general difícil
de calcular (hay que usar la integral de la función de probabilidad). Para ello,
existen tablas que dan estos valores directamente.
Dado que la variable de interés X, puede tomar valores ∞<<∞− X , se
tipifica la variable de interés para así poder trabajar con la tabla, quedando la
distribución normal, como una distribución normal tipificada con
μ = 0 y σ = 1.
Para tipificar la variable de interés X, se lleva a la fórmula:
4.4.4 Pasos para buscar en la tabla (ver anexo C)
1. Plantear la pregunta matemáticamente.
2. Dado que las tablas son acumulativas, se lleva la pregunta a
menor. Utilizando las siguientes reglas:
1. Se tipifica cada valor de X utilizando la fórmula:
Estadística 218
σµ−= xZ . El valor de Z debe quedar con dos decimales.
2. Para buscar en la tabla, tanto el signo como el entero y el primer
decimal, se encuentra en la primera columna. El segundo decimal se
encuentra en la primera fila. La intersección entre la fila y la columna es
la respectiva probabilidad.
Ejemplo. Suponga que Z=0.43, luego 6664.0)43.0( =<zp
Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05
0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736
0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088
0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422
0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734
0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023
0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289
1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531
Ejemplo 8
El peso promedio de las bolsas de café tiene una distribución
aproximadamente normal con un peso promedio de 501 gramos y una
desviación estándar de 15 gramos.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que una bolsa de café tenga un peso menor
a 532.05 gms?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que una bolsa de café tenga un peso mayor
a 448.5 gms?
Estadística 219
c. ¿Cuál es la probabilidad de que una bolsa de café tenga un peso entre
456 y 513.75 gms?
d. ¿Cual es el peso máximo para que cubra el 59.10% de las bolsas de
café?
Solución:
Sea X la variable de interés que significa el peso de las bolsas de café.
Parámetros:
Peso promedio de las bolsas de café
Desviación estándar
a. Para la probabilidad de que una bolsa de café tenga un peso menor a
532.05 gms:
Estadística 220
Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879
0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224
0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549
0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852
0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133
0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389
1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621
1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830
1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015
1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177
1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319
1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441
1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545
1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633
1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706
1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767
2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817
2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857
2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890
2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916
2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936
2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952
2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964
La probabilidad de que una bolsa de café tenga un peso menor a 532.05 gms
es de 98.08%.
b. Para la probabilidad de que una bolsa de café tenga un peso mayor a
448.5 gms:
Estadística 221
Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04
-3,9 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
-3,8 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001
-3,7 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001
-3,6 0,0002 0,0002 0,0001 0,0001 0,0001
-3,5 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002
-3,4 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003
La probabilidad de que una bolsa de café tenga un peso mayor a 448.5 gms
es de 99.98%
c. Para la probabilidad de que una bolsa de café tenga un peso entre 456 y
513.75 gms:
Estadística 222
Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05
0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736
0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088
0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422
0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734
0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023
0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289
Z 0,00 0,01 0,02 0,03
-3,9 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
-3,8 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001
-3,7 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001
-3,6 0,0002 0,0002 0,0001 0,0001
-3,5 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002
-3,4 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003
-3,3 0,0005 0,0005 0,0005 0,0004
-3,2 0,0007 0,0007 0,0006 0,0006
-3,1 0,0010 0,0009 0,0009 0,0009
-3,0 0,0013 0,0013 0,0013 0,0012
-2,9 0,0019 0,0018 0,0018 0,0017
d. 59.10% significa la probabilidad. Lo que interesa es conocer el peso
máximo (x) de las bolsas de café que cubre dicho porcentaje o
probabilidad.
Se halla el valor de 0.5910 en la tabla normal, encontrando así el valor
de Z que le corresponde; luego se despeja el valor de X o variable de
interés.
Estadística 223
Z 0,00 0,01 0,02 0,03
0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664
0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019
El peso máximo para que cubre el 59.10% de las bolsas de café es
504.45gms.
Ejemplo 9
La resistencia a la tracción de cierto componente de metal se distribuye
normalmente con una media de 10.000 kilogramos por centímetro cuadrado
y una desviación estándar de 100 kilogramos por centímetro cuadrado.
a. ¿Qué proporción de estos componentes excede 10.150 kilogramos por
centímetro cuadrado de resistencia a la tracción?
b. Si las especificaciones requieren que todos los componentes tengan
resistencia a la tracción entre 9.800 y 10.200 kilogramos por centímetro
Estadística 224
cuadrado inclusive, ¿qué proporción de piezas esperaría que se
descartaran?
Solución:
Sea X la variable de interés que significa la resistencia a la tracción
(kilogramos/centímetros cuadrados).
Parámetros:
Resistencia promedio
Desviación estándar
a.
El 6.68% de los componentes de metal excede en 10.150
kilogramos/centímetros cuadrados a la resistencia a la tracción
b. Se descartan todas las piezas que están por fuera de las
especificaciones.
Estadística 225
O sea
El 4.56% de las piezas se descartarán, ya que no cumplen con las
especificaciones.
Estadística 226
Estadística 227
Estadística 228
1.1 INTRODUCCIÓN
A manera de ejemplo, el rector de una universidad desea conocer la nota
promedio de Todos los estudiantes que cursaron el semestre
inmediatamente anterior y la proporción de estudiantes que obtuvieron una
nota superior a 4.0.
Para solucionar el ejemplo anterior, se retoma todo lo visto anteriormente; se
saca una muestra aleatoria de n estudiantes (ya sea por encuesta
directamente a los n-estudiantes o por datos históricos obtenidos de
Admisiones).
Con las n-notas se saca una nota promedio y se cuenta el número de
estudiantes que obtuvieron un promedio superior a 4.0. Para efecto del
ejemplo, se seleccionó una muestra de 25 estudiantes con los siguientes
resultados:
ESTUDIANTE NRO
NOTA PROMEDIO
ESTUDIANTE NRO
NOTA PROMEDIO
ESTUDIANTE NRO
NOTA PROMEDIO
ESTUDIANTE NRO
NOTA PROMEDIO
ESTUDIANTE NRO
NOTA PROMEDIO
1 3,8 6 3,5 11 3,5 16 4,3 21 3,82 4,3 7 4 12 3,8 17 3,2 22 3,63 4,5 8 4,1 13 4,2 18 3,5 23 3,54 4 9 3,6 14 4,8 19 3,8 24 4,25 3,3 10 3,2 15 4 20 3,6 25 3,5
Estadística 229
Para hallar el promedio de la muestra, se trabaja con la media aritmética. Y
para obtener la proporción de estudiantes con una nota superior a 4.0, se
trabaja con la proporción muestral. Al recordar sus fórmulas, tenemos:
Para la nota promedio de todos los estudiantes:
X: Variable de interés que significa la nota promedio
: La nota promedio del estudiante i
n Tamaño de la muestra que en este caso es igual a 25
Para la proporción de estudiantes con una nota superior a 4.0:
x Total de estudiantes de la muestra que obtuvieron una nota superior a 4.0.
n Tamaño de la muestra que en este caso es igual a 25
De acuerdo con los datos, se tiene:
Estadística 230
Para datos sin agrupar
Interpretación de resultados:
Los 25 estudiantes en el semestre anterior obtuvieron en promedio una nota
promedio de 3.8.
De los 25 estudiantes, el 28% obtuvo el semestre anterior una nota superior
a 4.0.
La interpretación se puede dar solamente de los estudiantes que
pertenecieron a la muestra. Pero el interés en la investigación es obtener
respuesta de todos los estudiantes, o sea, de la población.
Todo el proceso anterior es muy válido y necesario… pero no suficiente. Lo
anterior es lo que se conoce como Estadística Descriptiva, y se necesita
de otras herramientas de la Estadística, para poder hablar de toda la
población. Esto es lo que se conoce como Estadística Inferencial, que es
el tema de esta parte del módulo.
Estadística 231
¡Ojo con la interpretación!
1.2NIVEL DE CONFIABILIDAD DE LOS RESULTADOS
Cuando se selecciona una muestra aleatoria, el nivel de confiabilidad o
seguridad de los resultados ya no es del 100%, porque no se están tomando
todos los datos; por lo tanto, la confiabilidad de un estudio o investigación
dependerá del nivel de seguridad (porcentaje) con el cual se desea que los
parámetros estén contenidos en la muestra seleccionada. Los niveles de
confiabilidad deben ser mínimo del 95%; o sea, entre 95% y 99%; este valor
es escogido por el investigador o por el presupuesto de la investigación,
aclarando que entre mayor sea el nivel de confianza mayor será el costo del
estudio, dado que aumentará el tamaño de la muestra.
1.3 PRINCIPALES PARÁMETROS, ESTADÍSTICAS Y SUS SÍMBOLOS
Estadística 232
NOMBREPOBLACIÓN (PARÁMETRO)MUESTRA
(ESTADÍSTICO)
(
TAMAÑO Nn
N
MEDIA
MMMMM
DESVIACIÓN
ESTÁNDAR
E
S
S
VARIANZA
VVVVV
PROPORCIÓN
PPPPP
1.4 ESTIMACIÓN PUNTUAL
Si a partir de las observaciones de una muestra se calcula un solo valor
como estimación de un parámetro de la población desconocido, el
procedimiento se denomina estimación puntual. Existen básicamente tres
parámetros muestrales:
1.4.1 Estimación puntual para variable cuantitativa
Esencialmente son dos los parámetros de interés:
• Media: se toma como aproximación la media de la muestra. Al recordar
la fórmula (Unidad 3 de Estadística Descriptiva):
Estadística 233
DATOS SIN AGRUPAR DATOS AGRUPADOS
• Varianza de la población: se toma como aproximación la cuasivarianza
de la muestra. Al recordar la fórmula se tiene:
1.4.2 Estimación puntual para variable cualitativa
• Proporción: se toma como aproximación la proporción muestral,
Estadística 234
DATOS SIN AGRUPAR DATOS AGRUPADOS
Casos favorables es el total de resultados de la muestra que cumple con la
condición.
1.5 TAMAÑO DE LA MUESTRA PARA ESTIMAR MEDIAS Y
PROPORCIONES
El tamaño de la muestra, un tema que siempre preocupa, no tiene fácil
solución y va estrechamente unido a la representatividad.
No existe un tamaño ideal de la muestra. A efectos descriptivos, se considera
una muestra grande cuando n > 30. Una muestra debe ser lo suficientemente
grande como para ser representativa, pero el número de elementos
necesarios para lograr la representatividad varía de una investigación a otra.
Cuanto más homogénea es una población en la/s característica/s objeto de
estudio, más fácil resulta obtener muestras representativas sin necesidad de
que sean grandes. Es decir, el tamaño de la muestra está en relación directa
con la desviación típica de las puntuaciones en la/s características de la
variable a investigar.
El tamaño de la muestra puede dilucidarse en parte preguntándose por
• La cuantía del error que es probable cometer al calcular diversos
estadísticos partiendo de muestras de diferente tamaño.
• Nivel de confianza: Es el porcentaje de confiabilidad con el cual se estima
la verdadera proporción de éxito. El nivel de confianza tiene relación
directa con el tamaño de la muestra, por lo tanto, se dirá que a mayor
Estadística 235
nivel de confianza más grande debe ser el tamaño de la muestra. El nivel
es fijado por el investigador, de acuerdo con su experiencia.
Por ejemplo: con un nivel de confianza del 95% se determinaría que de 100
muestras aleatorias diferentes se podría esperar que la proporción de éxito
se encuentre en 95 de ellas.
Nivel de confianza 1- α = 0.95.
1.5.1 Determinación estadística del tamaño de la muestra
Conociendo el nivel de confianza que se quiere alcancen los datos, se puede
aplicar una ecuación matemática para estimar el tamaño de la muestra.
Según se trate de poblaciones infinitas o finitas, la determinación variará,
según las siguientes ecuaciones:
1.5.1.1 Poblaciones infinitas
En este caso pueden presentarse dos situaciones:
1.5.1.1.1 Proporción conocida
Conociendo la proporción de elementos que posee la característica
a través de estudios previos.
En este caso se aplica la fórmula:
Estadística 236
Z Valor de la distribución normal que genera un nivel de confiabilidad 1 - α.
P Proporción de éxito
Q Proporción de fracaso = 1-P
E Error muestral admisible: El error muestral admisible es el error que se
está dispuesto a cometer en la precisión de la estimación de la proporción. O
sea, es el margen de error que el investigador fija de acuerdo con el
conocimiento que tenga acerca del parámetro que piensa estimar. No es
recomendable un margen de error superior al 5%.
Pasos para hallar el valor de Z:
• Tomar el nivel de confiabilidad 1- α =
• Despejar el nivel de no confiabilidad α
• Hallar el valor de α/2
• Dicho resultado es restado de 1. = 1- α/2
• Buscar 1- α/2 en la tabla normal (de adentro hacia afuera) y hallar el
valor de Z.
1.5.1.1.2 Proporción desconocida
Si se desconoce la proporción de individuos que poseen la característica, se
toma p = 50% y q = 50%.
2
Estadística 237
22
Ejemplo:
El número de elementos óptimo de una muestra, estimando qué proporción
de sujetos poseen una característica al nivel de confianza del 99.7% y un
error de estimación admitido del 2%, será:
p=q= 0.5 ya que no se conoce la proporción
E = 0.02
Para hallar Z
Nivel de confiabilidad 1- α = 0.997
Nivel de no confiabilidad α = 0.003
Valor de α/2 = 0.0015
1- α/2= 1-0.0015=0.9985
Z=3.0
32*0.5.0.5n = ------------------- = 5625 elementos.
0.022
1.5.1.2 Poblaciones infinitas
En este caso se emplea la siguiente fórmula:
Estadística 238
Ejemplo:
Revisar
El número óptimo para un estudio de 60.000 personas inscritas en cursos de
formación, estableciendo un nivel de confianza de 95.5%, el margen de error
en el 3% y si suponemos que la opción por inscribirse en cursos de
formación, o no, es del 50%., sería:
Estadística 239
2.1 INTRODUCCIÓN
Los resultados obtenidos sobre la nota promedio y la proporción de alumnos
con una nota superior a 4.0, del ejemplo que se encuentra en la Introducción
de la Unidad1, no son suficientes para poder hablar del promedio y la
proporción poblacional; es necesario incluir otros métodos y entre ellos está
el de los intervalos de confianza.
Una estimación de intervalo es un intervalo de valores reales que se utiliza
para estimar un parámetro de población. Aunque existen muchos parámetros
poblacionales desarrollados a partir de los resultados de una muestra, en
este módulo solo se verán dos.
2.1.1 Intervalo de confianza para el promedio poblacional
A un nivel de confiabilidad del , el intervalo de confianza para el
promedio poblacional se obtiene por medio de una de las siguientes
fórmulas:
Estadística
Condición Fórmula
240
1
2
3
• Si por estudios anteriores se tiene el parámetro , se utiliza la
fórmula 1.
• Si no se tiene el parámetro y el tamaño de la muestra es mayor o
igual que 30, se utiliza la fórmula 2.
• Si no se tiene el parámetro y el tamaño de la muestra es menor
que 30, se utiliza la fórmula 3
2.1.1.1 Parámetros y/o estadísticos para utilizar las fórmulas de
Intervalo de confianza
• Tamaño de muestra n
• Media aritmética de la muestra .
• Desviación estándar poblacional en caso de no conocerla, se halla la
desviación estándar muestral (s).
• Para hallar el valor de se utiliza la tabla normal.
• Para hallar el valor de se utiliza la tabla t-student.
Para hallar seguimos los siguientes pasos (ver anexo C)
• Se tiene nivel de confianza .
• Se halla el nivel de error
• Se halla
• Se calcula
• Se busca en la tabla normal de adentro hacia fuera, el valor de ,
y se halla el valor de .
Estadística 241
Ejemplo.
Con un nivel de confianza del 95% y tamaño de muestra n=40, buscamos en
la tabla normal ya que el tamaño de la muestra es mayor de 30.
• Nivel de confianza .
• Nivel de error
•
•
• Se busca en la tabla normal de dentro hacia fuera, el valor de 0.975 y el
valor de =1.96
Estadística 242
Método para hallar (ver anexo D)
• Nivel de confianza .
• Nivel de error •
•
• Se halla el valor de
• Se busca en la primera columna el valor de
• Se busca en la primera columna el valor de v
• La intersección entre la fila y la columna es el valor de t
Estadística 243
Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07
0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808
0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157
0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486
0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794
0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078
0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340
1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577
1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790
1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980
1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147
1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292
1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418
1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525
1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616
1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693
1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756
2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808
Ejemplo.
Con un nivel de confianza del 95%, tamaño de muestra n=10, y
.
Se busca en la tabla t-student ya que el tamaño de la muestra es menor de
30. y .
• Nivel de confianza .
• Nivel de error •
•
•
• La intersección entre la fila y la columna es el valor de t =2.262
Estadística 244
n 0.75 0.80 0.85 0,9 0.95 0.975 0,99 0.995
1 1.000 1.376 1.963 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657
2 0,816 1.061 1.386 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925
3 0,765 0.978 1.250 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841
4 0,741 0.941 1.190 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604
5 0,727 0.920 1.156 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032
6 0,718 0.906 1.134 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707
7 0,711 0.896 1.119 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499
8 0,706 0.889 1.108 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355
9 0,703 0.883 1.100 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250
10 0,7 0.879 1.093 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169
TABLA T-STUDENT
1
Ejemplo 1
Retomando el ejemplo que se tiene en la introducción del capítulo, hallar la
nota promedio a un nivel de confianza del 99% de todos los estudiantes que
cursaron el semestre inmediatamente anterior.
SOLUCIÓN
Como la desviación estándar poblacional desconocida y el tamaño de la
muestra es menor de 30, utilizamos la fórmula:
• Tamaño de la muestra
• Media muestral .
• Como no se conoce la desviación estándar poblacional , se halla
la desviación estándar muestral s.
.
Para hallar el valor de :
• Con un nivel de confianza del 99%, tamaño de muestra n=25.
Estadística 245
• Nivel de confianza .
• Nivel de error
•
•
•
• t =2.797
Reemplazando en la fórmula,
Interpretación
Estadística 246
Hay un 99% de confiabilidad al afirmar
que la nota promedio de los estudiantes
de la universidad está entre 3.6 y 4.0
Ejemplo
Un fabricante de pintura necesita por efecto de calidad del producto, el
tiempo promedio de secado de una pintura nueva para exteriores. Si en 42
áreas de prueba de igual tamaño, se obtuvo un tiempo promedio de secado
de 30.2 minutos y una desviación estándar de 1.1 minutos, ¿cuál será el
tiempo promedio real de secado, con un 95% de confiabilidad?
Solución
• Necesitamos un intervalo de confianza para .
• Desviación estándar poblacional desconocida;
• Tamaño de muestra mayor de 30.
• Su fórmula es:
• Parámetros muestrales:
• Tamaño de la muestra
• Media muestral .
• Desviación estándar muestral s.
.
Estadística 247
• Para hallar el valor de : (aunque la desviación estándar
poblacional es desconocida, el tamaño de la muestra es mayor de
30)
• Con un nivel de confianza del 95%, tamaño de muestra n=42.
• Tenemos nivel de confianza .
• Despejamos el nivel de error
• Hallamos a
• Calculamos
• Buscamos en tabla normal el valor de
Con todos los datos, procedemos a reemplazar en la fórmula:
Interpretación
Estadística 248
Hay un 95% de confiabilidad al afirmar
que el tiempo de secado de la nueva
pintura está entre 29.9 y 30.5 minutos
Fórmula
FFF
2.1.2 Intervalo de confianza para la proporción poblacional p
A un nivel de confiabilidad del , el intervalo de confianza para la
proporción poblacional se obtiene por medio de la siguiente fórmula:
2.1.2.1 Estadísticos para utilizar la fórmula de Intervalo de confianza
• Tamaño de muestra n
• Proporción muestral
• Proporción muestral
• Para hallar el valor de se utiliza la tabla normal.
Estadística 249
Ejemplo
Continuando con el ejemplo que se tiene en la introducción del capítulo, falta
hallar la proporción de estudiantes que obtuvieron una nota promedio mayor
de 4.0, a un nivel de confianza del 99%.
SOLUCIÓN
Su fórmula es:
• Tamaño de la muestra
• Proporción muestral son 7 los estudiantes de la muestra
que sacaron una nota superior a 4.0 (resaltados en la tabla de resultados
del ejercicio, con amarillo)
• Por la Ley del Complemento ( teoría de conjuntos)
Para hallar el valor de :
• Con un nivel de confianza del 99%, tamaño de muestra n=25.
• Tenemos nivel de confianza .
• Despejamos el nivel de error
Estadística 250
• Hallamos a
• Calculamos
• Buscamos en tabla normal el valor de
Con todos los datos, procedemos a reemplazar en la fórmula:
Interpretación
Preguntas:
• ¿Por qué razón el intervalo dio tan amplio?
• Si le disminuimos el nivel de confianza, ¿qué pasaría con la amplitud del
intervalo?Estadística 251
Hay un 99% de confiabilidad al afirmar que la
proporción de estudiantes que sacaron una
nota superior a 4.0 está en el 5 y el 50%
• Conclusiones.
Estadística 252
3.1 INTRODUCCIÓN
Retomando el ejemplo propuesto en la introducción de esta unidad, el rector
de la universidad, en vez de preguntar (como lo hizo en el ejemplo), Afirma
que el promedio de los alumnos de dicha universidad fue de 4.2, y más del
60% de ellos obtuvo una nota superior a 4.0, esto con un margen de error del
5%.
Fuera de los intervalos de confianza, existe otra forma de plantear el deseo
de conocer un parámetro poblacional, y es por medio de una hipótesis
lanzada.
3.2DEFINICIÓN DE PRUEBA DE HIPÓTESIS
Una prueba de hipótesis es una afirmación o conjetura que se lanza sobre un
parámetro poblacional; su objetivo en un nivel de significancia o error es
demostrar por medio de resultados muestrales, si existe suficiente evidencia
o no que apoye la hipótesis.
En este módulo, se conocerá la forma de comprobar las hipótesis
relacionadas con los parámetros poblacionales (Promedio) y p
(Proporción).
Estadística 253
3.3 . Pasos para la prueba de hipótesis para el promedio y la
proporciòn p.
PASO 1 Plantear o matematizar la hipótesis lanzada y
matematizar la hipótesis que la contradice
Ejemplo 1:
1.1 El peso promedio de los artículos exportados es de 20 kilos.
.
1.2 El tiempo promedio para atender a una persona en una
cafetería es mínimo de 8 minutos.
1.3 Más del 35% de las solicitudes de préstamo en el banco x son
para vivienda.
1.4 Un fabricante de cierta marca de cereal de arroz afirma que el
contenido de grasa saturada no excede 1.5 gramos.
.
.
Estadística 254
El (asterisco *) en los ejemplos, significa que son las hipótesis que se lanzaron
1.5 El gerente de una sucursal bancaria en una ciudad pequeña
afirma que la proporción de ahorradores a quienes se les paga
su sueldo semanalmente es menos del 20%
PASO 2 Definir las hipótesis
En la solución de la prueba de hipótesis, existen dos clases de
hipótesis; la hipótesis que se plantea y la hipótesis que la contradice.
Las hipótesis son:
• Hipótesis nula: Se representa por . Una hipótesis nula con
respecto a un parámetro poblacional siempre se establecerá de
modo que especifique un valor exacto del parámetro; esto quiere
decir que la hipótesis nula contiene la matematización de la
hipótesis que contiene los signos:
• Hipótesis alternativa: Se representa por Una hipótesis
alternativa contiene la contradicción de la hipótesis nula o sea que
la hipótesis alternativa contiene la representación matemática que
contiene los siguientes signos:
Estadística 255
Ejemplo 2:
Teniendo en cuenta el ejercicio 1 de este tema, se clasificará cada hipótesis
dentro de la nula y de la alternativa
Ejemplo
nro.
Hipótesis
nula
Hipótesis
alternativa1.1 .
1.2
1.3
1.4 . .
1.5
PASO 3 Seleccionar el nivel de significancia
Estadística 256
<>
Observemos que la hipótesis que lanzamos no
siempre queda planteada en la hipótesis nula
Observemos que la hipótesis nula siempre contiene el signo
=
El nivel de significancia es la probabilidad de rechazar la hipótesis nula
cuando es verdadera. Se le denota mediante la letra griega α, también es
denominada como nivel de riesgo; este término es más adecuado, ya que se
corre el riesgo de rechazar la hipótesis nula, cuando en realidad es
verdadera. Este nivel está bajo el control de la persona que realiza la prueba.
Si suponemos que la hipótesis planteada es verdadera, entonces, el nivel de
significación indicará la probabilidad de no aceptarla, es decir, que esté fuera
de área de aceptación. El nivel de confianza (1-α) indica la probabilidad de
aceptar la hipótesis planteada, cuando es verdadera en la población.
PASO 4 Definir la región crítica
Como se sabe por el tema de intervalo de confianza, los parámetros
poblacionales dependen por lo general de los resultados muestrales; pero es
necesario definir a partir de qué valores muestrales se puede aceptar como
parámetro poblacional, ya que es muy importante no caer en el error de la
subjetividad. Suponiendo que la afirmación dada por el rector (ejercicio de la
introducción) es suficiente para un estadístico una nota promedio muestral
de 3.8 y en cambio para otro no.
Por esto, es necesario definir estadísticamente, y sujetos al nivel de
significancia, el área a partir de qué valores vamos a aceptar la hipótesis
nula y rechazar la hipótesis alternativa. Esto es lo que se conoce como
región crítica. La región crítica depende de la hipótesis alternativa, tamaño de
muestra y conocimiento o no de la desviación estándar poblacional (si el
parámetro poblacional se refiere al promedio ).
Los pasos a seguir están resumidos en el siguiente cuadro:
Estadística 257
Cuadro 1. Definición de la región crítica
Hipótesis /condición
y/o
Buscar el valor de en la tabla normal de adentro hacia afuera y encontrar el
valor de
y
Buscar el valor de en la tabla t-student. con v=n-1. y encontrar el valor de
graficar al lado
izquierdo con signo
negativo y al lado derecho
con signo positivo
Buscar el valor de en la tabla normal y encontrar Buscar el valor de en la tabla t-student. encontrar
graficar al lado
izquierdo con signo negativo
Buscar el valor de en la tabla normal y hallar Buscar el valor de en la tabla t-student. encontrar
graficar al lado
derecho con signo positivo
Hipótesis
Buscar el valor de en la tabla normal de adentro hacia afuera y encontrar el
valor de
graficar al lado
izquierdo con signo
negativo y al lado derecho
con signo positivo
Buscar el valor de en la tabla normal y encontrar
graficar al lado
izquierdo con signo negativo
Buscar el valor de en la tabla normal y hallar
graficar al lado
derecho con signo positivo
PASO 4.1 Graficas de la regiones críticas
De acuerdo con lo visto en el cuadro anterior, se tienen las siguientes
gráficas:
HIPÓTESIS
Estadística 258Rechazo
Rechazo
1.
2.
3.
PASO 5 Calcular el estadístico de prueba
Estadística 259
No rechazo
Rechazo
Valor determinado a partir de la información muestral, que se utiliza para
determinar si se rechaza la hipótesis nula. La elección del estadístico de
prueba depende (igual que en los intervalos de confianza) del tamaño de
muestra y conocimiento o no de la desviación estándar poblacional (si el
parámetro poblacional se refiere al promedio ).
CUADRO 2. Estadísticos de prueba
Prueba de hipótesis para
condición Estadístico de prueba
y
y
Prueba de hipótesis para
Estadístico de prueba
PASO 6 Tomar una decisión
Estadística 260
En este último paso de la prueba de hipótesis, se calcula el estadístico de
prueba, su resultado se coloca en la gráfica y se toma la decisión de
rechazar o no la hipótesis nula así:
• Si el estadístico de prueba cae en la región de aceptación, aceptar la
hipótesis nula.
• Si el estadístico de prueba cae en la región de rechazo, rechazar la
hipótesis nula.
Tener presente que en una prueba de hipótesis solo se puede tomar una de
dos decisiones: aceptar o rechazar la hipótesis nula. Debe subrayarse que
siempre existe la posibilidad de rechazar la hipótesis nula cuando no debería
haberse rechazado (error tipo I). También existe la posibilidad de que la
hipótesis nula se acepte cuando debería haberse rechazado (error de tipo II).
Ejemplo :
Continuando con el ejemplo del rector, a un nivel de significancia del 5%,
comprobar la hipótesis lanzada por él.
Paso 1 Plantear o matematizar la hipótesis lanzada y matematizar la
hipótesis que la contradice
.
Paso 2 Definir las hipótesis.
.
Paso 3 Seleccionar el nivel de significancia
Estadística 261
Paso 4 Definir la región crítica
Teniendo en cuenta el ejercicio, se tienen los siguientes datos (los datos se
encuentran en el ejemplo 1 del tema intervalos de confianza):
. .
Según lo anterior, y . Por lo tanto, se utiliza de la
tabla 1
Hipótesis /condición
y
Buscar el valor de en la tabla t-student. con v=n-1. y encontrar el valor de
graficar al lado
izquierdo con signo
negativo y al lado derecho
con signo positivo
Estadística 262
Paso 5 Estadístico de prueba.
condición Estadístico de prueba
y
Paso 6 Decisión
Estadística 263
2.064
-4.76
-2.064 2.064
Como el estadístico de prueba cae en la región de rechazo, se rechaza la hipótesis nula.
“La nota promedio de los estudiantes no es de 4.2. El rector no tiene la razón”.
Con respecto a la afirmación del rector: “más del 60% de ellos obtuvo una
nota superior a 4.0”, se siguen los pasos para verificar la hipótesis lanzada
por él:
Paso 1
Paso 2 Definir las hipótesis.
.
Paso 3
Paso 4 Definir la región crítica.
Hipótesis
Buscamos el valor de
en la tabla normal y hallamos
graficamos al lado
derecho con signo positivo
Paso 5 Estadístico de prueba.
Estadística 264
Estadístico de prueba
Paso 6 Decisión.
Ejemplo:
Históricamente el promedio de clientes que compran con tarjeta de crédito en
una determinada tienda es como mínimo 35; sin embargo, la dueña de la
tienda piensa que esta cifra ha disminuido significativamente. De una
muestra aleatoria de 50 clientes, 20 compraron con tarjeta de crédito con una
desviación estándar de 2 clientes. A un nivel de significancia del 96%, ¿se
está cumpliendo lo que piensa la dueña?
Solución
Paso 1
Paso 2 Definir las hipótesis
Estadística 265
-3.26 1.65
Como el estadístico de prueba cae en la región de aceptación, aceptamos la hipótesis nula,
“el 60% o menos de los estudiantes obtuvo una nota promedio superior a 4.0. El rector no tiene la razon”.
Paso 3
Paso 4 Definir la región crítica
. .
Según lo anterior, y . Por lo tanto,
Hipótesis /condición
y/o
Buscamos el valor de en la tabla normal y encontramos
graficamos al lado
izquierdo con signo negativo
Paso 5 Estadístico de prueba
condición Estadístico de prueba
y0
Paso 6 Decisión
Estadística 266
Estadística 267
-53 -1.75Como el estadístico de prueba cae en la región de
rechazo, rechazamos la hipótesis nula,“la cantidad de clientes que pagan con tarjeta de crédito
ha disminuido”. La señora tiene la razón”.
4. ESTUDIO DE CASO
La revista Propiedades de julio de 2006, con respaldo de La Lonja, Camacol
y El Colombiano, promociona la venta de apartamentos nuevos en diferentes
zonas de la ciudad de Medellín y el Área Metropolitana. Se ha dividido el
territorio en cuatro zonas, las cuales se describen a continuación:
Zona 1: Centro, Manrique, Aranjuez, Prado, Buenos Aires, Loreto,
Milagrosa y Villa Hermosa.
Zona 2: Poblado, Envigado, Sabaneta, San Diego, Las Palmas.
Zona 3: Laureles, América, Estadio, Castilla, Pedregal, Bello,
Tricentenario y Conquistadores.
Zona 4: Rosales, Belén, La Mota, Guayabal, Itagüí y la Estrella.
En la siguiente tabla, se especifica la localización del apartamento, el
número de alcobas y el precio.
ZONA Nº DE ALCOBAS PRECIO ($ en miles)1 2 27.9001 2 29.2001 3 31.4701 3 32.4001 3 34.8001 2 35.5001 3 37.9441 2 38.5001 2 39.8801 3 44.415
Estadística 268
ZONA Nº DE ALCOBAS PRECIO ($ en miles)1 2 55.9001 3 58.7362 2 38.9002 2 48.9002 2 51.0002 2 55.1002 3 304.0002 3 61.5002 3 374.0002 2 72.6002 2 116.0002 3 113.2002 3 135.2002 3 217.9303 3 35.0003 3 41.9003 3 45.9003 3 50.7503 2 54.9803 3 64.1003 3 158.1003 2 71.9003 3 84.5003 2 96.7853 3 104.3413 3 120.0004 1 28.5604 2 38.1504 3 37.4004 3 44.3004 2 42.8004 3 45.0004 2 48.9004 3 58.0004 3 90.0004 3 104.9004 3 229.3604 2 110.000
Fuente: Revista Propiedades, julio de 2006.
Estadística 269
Un inversionista desea adquirir una propiedad nueva, y para tomar la
decisión se hace los siguientes interrogantes:
• ¿Cuál será la zona de mayor valor promedio?
• ¿Cómo es la variación del costo en cada una de las zonas?
• ¿Cuál es la zona con precio más estable?
• ¿Se podría pronosticar el precio a partir del número de alcobas en cada
zona y en todo el territorio?
• ¿Sería confiable este pronóstico?
• A partir de estos interrogantes, ¿qué zona le sugiere usted al
inversionista?
• A un nivel de confianza del 95%, ¿cuál es el precio promedio de las casas
en Medellín?
• A un nivel de confiabilidad del 96%, ¿cuál es la proporción de casas con
un precio superior a 90.000?
• Si el inversionista, afirma a un nivel de significancia del 5% que el precio
promedio de las casas es superior a 50.000, ¿qué le diría usted al
inversionista?
• Si el inversionista afirma a un nivel de significancia del 4% que el 60% de
las casas con un costo superior a 90.000 tiene 3 habitaciones, ¿que le
diría usted?
Estadística 270
5. ACTIVIDADES DE RECONOCIMIENTO
Para lograr el alcance de los objetivos planteados en el curso, es necesario
que los estudiantes tengan claridad en los siguientes conceptos y
operaciones:
Operaciones aritméticas: suma, resta, multiplicación y división.
Porcentaje.
Sumatoria de números enteros.
Coordenadas en el plano cartesiano
Función lineal: ecuación de línea recta, pendiente, gráfica en el plano
cartesiano.
Teoría de conjuntos
Técnicas de conteo
Desigualdades
Estadística 271
6. RESPUESTA A PREGUNTAS FRECUENTES
Desde el punto de vista estadístico, ¿cuál es la importancia de la variable
en una investigación?
R/ La variable es la que determina la característica que se va a
investigar. Es la que se cuantifica con el fin de obtener la muestra. Es, a
la vez, la que determina la población para la investigación.
¿Qué indica el signo negativo de la pendiente de una recta?
R/ Indica que la curva desciende a medida que aumenta el valor de la
variable independiente X.
Si un investigador encuentra que, en un conjunto de datos, la media, la
mediana y la moda son iguales, ¿qué se puede deducir de la distribución
de los datos?
R/ La distribución de los datos se ajusta a una curva normal, ya que los
tres estadígrafos de tendencia central son iguales y se localizan en el
punto central de la curva.
¿Qué sentido tiene hablar de intervalos de clase cuando se tienen datos
sin agrupar?
R/ No tiene ningún sentido, ya que el concepto de intervalo de clase se
origina por la necesidad de agrupar los datos dentro de ciertos límites,
con el fin de facilitar la comprensión y el manejo de una muestra.Estadística 272
¿Qué se entiende por marca de clase?
R/ La marca de clase es el punto central de un intervalo. Es aquel valor
que representa el intervalo de clase.
¿Qué significa el sesgo?
R/ El sesgo significa la tendencia de los datos a agruparse a la derecha o
izquierda de la media.
¿Que se entiende por probabilidad?
R/ La probabilidad es la posibilidad relativa de que ocurra un suceso o
evento.
¿Qué una técnica de conteo?
R/ Una técnica de conteo es una herramienta matemática que sirve para
hallar el total de resultados en un experimento estadístico.
¿Qué es Estadística Inferencial?
R/ La Estadística Inferencial es la rama de la Estadística que sirve para
hallar parámetros poblacionales, partiendo de resultados muestrales.
¿Qué significa nivel de confiabilidad?
Estadística 273
R/ Confiabilidad indica cuán seguros podemos estar de que el proceso
seguido resulte en valores que representen verdaderamente la población. Se
usa más comúnmente con intervalos de confianza. En sentido probabilístico,
si tuviéramos una confiabilidad del 95%, decimos que si repitiéramos el
proceso muchas veces, en cerca del 95% de las veces obtendríamos
resultados que reflejan verdaderamente la realidad. Cerca del 95% de los
intervalos así construidos contendrían el valor desconocido del parámetro.
¿Qué significa nivel de significancia?
R/ Nivel de significancia corresponde a la probabilidad de error tipo I que
estamos dispuestos a permitir cuando hacemos una prueba de hipótesis.
Usualmente se expresa como un porcentaje. Los valores más comunes son
1%, 5%, 10%. Una significancia del 5% quiere decir que de cada cien
pruebas donde rechacemos la hipótesis nula, nos permitimos la posibilidad
de haberla rechazado en 5 ocasiones a pesar de ser cierta. El nivel de
significancia se selecciona de acuerdo con una amplia gama de criterios que
incluyen el costo de cometer error tipo I y la tradición en el área de contenido
sobre el cual se está haciendo la prueba.
¿Qué se entiende por intervalo de confianza?
R/ Intervalo de confianza es el rango de valores dentro del cual se
encuentra un parámetro con una determinada probabilidad (esta
probabilidad es el denominado nivel de confianza).
Estadística 274
¿Qué se entiende por prueba de hipótesis?
R/ Una prueba de hipótesis es un procedimiento por el cual establecemos
hipótesis nula y alterna con el fin de resolver un problema. El procedimiento
incluye el diseño y selección de la muestra. Luego de tomados los datos de
la muestra, se calcula el valor de una prueba estadística. A un nivel de
significancia previamente seleccionado, la estadística prueba se compara
con el valor obtenido de la tabla de la distribución estadística apropiada. Esa
comparación nos lleva a tomar la decisión de rechazar o no la hipótesis nula.
¿Qué se entiende por proporción?
R/ Proporción es la fracción cuyo numerador está formado por un subgrupo
de individuos incluido en el denominador.
Estadística 275
7. ACTIVIDADES DE PROFUNDIZACIÓN
1. Una emisora realizó una encuesta musical a los nuevos oyentes, la cual
contenía, entre otras, las siguientes preguntas:
a) ¿Cuántos CD y casetes compró usted en los últimos 12 meses?
b) ¿Es actualmente miembro de un club radial? (Sí o No).
c) ¿Qué edad tiene usted?
d) Incluyéndose usted, ¿cuántas personas (adultos y niños) viven en su
casa?
e) ¿Qué tipo de música le interesa comprar?
Diga si en cada pregunta se piden datos cualitativos o cuantitativos
(discretos o continuos).
2. La dependencia de recursos humanos de una empresa clasifica las
ocupaciones de los trabajadores como profesional, de oficina y obrero.
Los datos se registran con 1, que indica profesional; 2, oficina; y 3,
obrero.
a) ¿Cuál es la variable?
b) ¿Qué tipo de variable es?
c) ¿Qué tipo de escala de medición se está usando?
3. Diga si cada una de las siguientes variables es cualitativa o cuantitativa
(discreta o continua) e indique la escala de medición que sea apropiada
para cada una.
Estadística 276
a) Edad en años
b) Sexo
c) Posición en la lista de clase
d) Marca de automóvil
e) Número de personas que están a favor del aborto.
f) Ventas anuales
g) Tamaño de la gaseosa (pequeña, mediana o grande)
h) Código o clasificación del cargo del empleado
i) Ganancias anuales
j) Forma de pago (efectivo, cheque, tarjeta de crédito)
4. Las calificaciones de un estudiante en seis pruebas fueron: 5, 2, 1, 3, 4 y
1.
Calcular las siguientes medidas e interpretar los resultados.
a) Media aritmética
b) Mediana
c) Moda
d) Desviación estándar
e) Coeficiente de variación
5. Supongamos que las estaturas, en metros, de los empleados de una
empresa son:
1,65 1,53 1,71 1,69 1,80 1,67 1,60 1,62 1,86
1,64 1,85 1,73 1,77 1,60 1,62 1,59 1,98 1,81
1,78 1,56 1,59 1,57 1,60 1,86 1,71 1,81 1,52
1,92 1,98 1,58
Estadística 277
a. Construir intervalos de clase.
b. Distribución de frecuencias: absoluta, relativa y acumuladas.
c. Gráficas: barras, circular, histogramas, polígonos y ojivas.
d. Diagrama de tallo y hojas.
e. Medidas de tendencia central.
f. Medidas de variabilidad.
g. Medidas de localización.
6. Los siguientes datos representan la altura en centímetros y peso en
kilogramos de los alumnos de una clase. Considere que la altura
es la variable independiente "x" y que el peso es la variable
dependiente "y".
Alumno Estatura Peso Alumno Estatura Peso Alumno Estatura Peso1 1,25 32 11 1,25 33 21 1,25 332 1,28 33 12 1,28 35 22 1,28 343 1,27 34 13 1,27 34 23 1,27 344 1,21 30 14 1,21 30 24 1,21 315 1,22 32 15 1,22 33 25 1,22 326 1,29 35 16 1,29 34 26 1,29 347 1,30 34 17 1,30 35 27 1,30 348 1,24 32 18 1,24 32 28 1,24 319 1,27 32 19 1,27 33 29 1,27 35
10 1,29 35 20 1,29 33 30 1,29 34Fuente: datos hipotéticos
a) Construir el diagrama de dispersión.
b) Hallar los parámetros bo y b1 del modelo de regresión lineal simple.
c) Graficar el modelo de regresión encontrado.
d) Calificar el modelo mediante los coeficientes de correlación y
determinación.Estadística 278
e) Realice proyecciones para el peso y analícelas.
7. A los participantes de una convención se les ofrecen 6 recorridos por día
para visitar lugares de interés durante 3 días de duración del evento.
¿En cuántas formas puede una persona acomodarse para hacer alguno
de ellos? R/18
8. Los estudiantes de un colegio privado de Humanidades se clasifican
como estudiantes de primer año, de segundo, de penúltimo, y también de
acuerdo con su sexo: hombre, mujer. Encuentre el número total de
clasificaciones posibles para los estudiantes de este colegio.
R/ 6
9. Un comité de 5 personas se va a elegir entre 10 principales y 7
suplentes. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto?
a. Si en el comité ha de haber más principales que suplentes. R/4242
b. Debe haber 4 suplentes. R/350
10.¿De cuántas maneras puede vestirse un individuo con 10 pantalones, 15
camisas y 2 chaquetas? R/ 300
11.¿Cuántos números con al menos 4 dígitos se pueden formar con las
cifras 1,2,3,5,7,8 sin repetir cifras? R/ 1800
12.En el último año de la escuela, en un grupo de 100 alumnos se encontró Estadística 279
que 42 cursaron Matemáticas, 68 Sicología, 54 Historia, 22 Matemática
e Historia, 25 Matemática y Sicología, 7 Historia pero no Matemática ni
Sicología, 10 las tres materias y 8 ninguna de las tres. Si se selecciona
un estudiante aleatoriamente, encuentre la probabilidad de que:
a. Una persona inscrita en Sicología haya estudiado las tres materias.
b. Una persona que no se inscribió en Sicología haya tomado Historia y
Matemática.
13.La probabilidad de que a un automóvil al que se le llena el tanque de
gasolina necesite también un cambio de aceite es de 0.25. La de que
requiera un nuevo filtro de aceite, de 0.40, y de que la haga falta tanto
cambio de aceite como de filtro de 0.14.
a. Si debe cambiar el aceite, ¿cuál es la probabilidad de que necesite un
filtro nuevo?
b. Si necesita un filtro nuevo, ¿cuál es la probabilidad de que requiera que
se le cambie el aceite?
14.Para parejas de casados que viven en una cierta ciudad de los suburbios,
la probabilidad de que la esposa trabaje es de 0.21 y la de que su
esposo lo haga, de 0.28. y la de que ambos trabajen, de 0.15. Si los
eventos son DEPENDIENTES, ¿cuál es la probabilidad de que
a. Al menos un miembro de la pareja de casados trabaje
b. Trabaje un esposo, dado que su esposa lo hace
c. Trabaje una esposa, dado que su esposo no lo hace
Estadística 280
15.Un distribuidor de ligas garantiza que el 10% son defectuosas. Un
consumidor controla cada paquete extrayendo 10 ligas sin reemplazo. Si
la muestra no contiene ligas defectuosas, él acepta el paquete. De otra
manera lo rechaza. Encontrar la probabilidad de que en este proceso
cualquier paquete se rechace
16.En una cierta área de la ciudad se da como una razón del 70% de los
robos la necesidad de dinero para comprar estupefacientes. Encuentre la
probabilidad que dentro de los 5 próximos asaltos reportados en esta
área:
a. Exactamente 2 se debieron a la necesidad de dinero para comprar
drogas.
b. Cuando mucho 3 se debieron a la misma razón arriba indicada.
17.Al probar una cierta clase de neumáticos para camión en un terreno
escabroso se encontró que 25% de los camiones terminaban la prueba
con los neumáticos dañados. De los siguientes 15 camiones probados,
encuentre la probabilidad de que:
a. De 3 a 6 tengan ponchaduras.
b. Menos de 4 tengan pinchaduras.
18.Solo 40% de todos los insectos expuestos a un insecticida en condiciones
de laboratorio pudieron sobrevivir. Si se expone una muestra de 8
insectos a este insecticida, cuál es la probabilidad de que:
a. Sobrevivan 4 insectos
b. No sobrevivan 3.
Estadística 281
19.Según “NBC”, el 40% de los televidentes de Colombia sintonizan
generalmente RCN. De una muestra aleatoria de 15 televidentes hallar
las siguientes probabilidades:
a. Por lo menos cinco televidentes sintonicen RCN
b. Catorce televidentes no sintonicen RCN.
20.Una fuerza de tareas gubernamental sospecha que algunas fábricas
violan los reglamentos contra la contaminación ambiental con respecto a
la descarga de cierto tipo de producto. Quince empresas están bajo
sospecha pero no todas se pueden inspeccionar. Suponga que cuatro
de las empresas violan los reglamentos.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que la inspección de seis empresas no
encuentre ninguna violación?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que la inspección de seis empresas
encuentre que mínimo tres de ellas violan los reglamentos?
21.Una compañía fabricante utiliza un esquema de aceptación de producción
de artículos antes de que se embarquen. El plan tiene dos etapas. Se
preparan cajas de 25 artículos para su embarque y se prueba una
muestra de tres en busca de defectuosos. Si se encuentra alguno
defectuoso, toda la caja se regresa para verificar el 100%. Si no se
encuentran defectuosos, la caja se embarca.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que una caja que contiene tres defectuosos
se embarque?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que una caja que contenga sólo un artículo
defectuoso se regrese para su revisión?
Estadística 282
22.Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado 6
tabletas de narcóticos en una botella que contiene 9 píldoras de vitamina
que son similares en apariencia. Si el oficial de la Aduana selecciona 3
tabletas aleatoriamente para analizarlas, ¿cuál es la probabilidad de que
el viajero sea arrestado por posesión ilegal de narcóticos?
23.Se está planeando un nuevo hospital para el pueblo “x”, una comunidad
que todavía no tiene su propio hospital. Si el pueblo tiene en promedio 14
nacimientos por semana, calcule las probabilidades. de que el número de
nacimientos en un día sea:
a. Al menos de 3 nacimientos.
b. Entre 1 y 3 nacimientos.
24.Concediendo que el conmutador de una oficina de consultoría recibe en
promedio 0.6 llamadas por minuto, determine las probabilidades de que:
a. Haya más de una llamada.
b. Haya menos de tres llamadas.
25.El número promedio de quejas de pasajeros recibidas en la Secretaría de
Transporte es de 6 quejas diarias. En un día cualquiera, cuál es la
probabilidad de que la secretaría de transporte reciba:
a. No más de dos quejas.
b. Entre cuatro y siete quejas.
c. No reciba quejas.
Estadística 283
26.El diámetro interno ya terminado de un anillo de pistón está normalmente
distribuido con una media de 10 centímetros y una desviación estándar
de 0.03 centímetros.
a. ¿Qué proporción de los anillos tendrá un diámetro interno que exceda
de 10.075 centímetros?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que un anillo de pistón tenga un diámetro
interno entre 9.97 y 10.03?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que un anillo de pistón tenga un diámetro
interno inferior a 10.03?
27.La resistencia a la tracción de cierto componente de metal se distribuye
normalmente con una media de 10,000 kilogramos por centímetro
cuadrado y una desviación estándar de 100 kilogramos por centímetro
cuadrado.
a. ¿Qué proporción de estos componentes excede 10.150 kilogramos por
centímetro cuadrado de resistencia a la tracción?
b. Si las especificaciones requieren que todos los componentes tengan
resistencia a la tracción entre 9.800 y 10.200 kilogramos por centímetro
cuadrado inclusive, ¿qué proporción de piezas esperaría que se
descartaran?
28.La vida útil de cierto tipo de lavadora automática tiene una distribución
aproximadamente normal con una vida promedio de 3.1 años y una
desviación estándar de 1.2 años.
b. ¿Cuál es la probabilidad de que una lavadora dure entre 2.9 y 3.5 años?
c. Si este tipo de lavadora tiene garantía de un año, ¿qué fracción de la
cantidad vendida originalmente, necesitará ser reemplazada?
Estadística 284
29.En un proceso industrial, el diámetro de un cojinete es una parte
componente importante. El comprador establece que las especificaciones
en el diámetro sean 3.0 ± 0.01 cm. La implicación es que ninguna parte
que caiga fuera de estas especificaciones se aceptará. Se sabe que en
el proceso, el diámetro de un cojinete tiene una distribución
aproximadamente normal con un promedio de 3.0 y una desviación
estándar de 0.005. ¿Qué porcentaje de cojinetes se descartarán?
30.Una muestra aleatoria de 36 cigarrillos de una determinada marca dio un
contenido promedio de nicotina de 3 miligramos, con una desviación
estándar de 1 miligramo. Obtenga e interprete un intervalo de confianza
del 95% para el verdadero contenido promedio de nicotina en estos
cigarrillos, si el contenido en nicotina de estos cigarrillos sigue una
distribución normal. El fabricante garantiza que el contenido promedio de
nicotina es 2.9 miligramos, ¿qué puede decirse de acuerdo con el
intervalo hallado?
31.Los siguientes números representan el tiempo (en minutos) que tardaron
15 operarios en familiarizarse con el manejo de una nueva máquina
adquirida por la empresa: 3.4, 2.8, 4.4, 2.5, 3.3, 4.0, 4.8, 2.9, 5.6, 5.2, 3.7,
3.0, 3.6, 2.8, 4.8. Supongamos que los tiempos se distribuyen
normalmente. Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la media
poblacional.
32.Un fabricante produce focos que tienen un promedio de vida con
distribución aproximadamente normal y una desviación estándar de 40
horas. Si una muestra de tamaño 30 focos tiene una vida promedio de
780 horas, encuentre un intervalo de confianza del 96% para la media
Estadística 285
poblacional de todos los focos que produce esta empresa.
33.Una máquina de refrescos está ajustada de tal manera que la cantidad
de líquido despachada se distribuye aproximadamente normal con una
desviación estándar igual a 0.15 decilitros. Encuentre un intervalo de
confianza del 95% para la media de todos los refrescos que sirve esta
máquina, si una muestra aleatoria de 36 refrescos tiene un contenido
promedio de 2.25 decilitros.
34.Un fabricante de fibras sintéticas desea estimar la tensión de ruptura
media de las fibras. Diseña un experimento en el que se observan las
tensiones de ruptura, en libras, de 16 hilos del proceso seleccionados
aleatoriamente. Las tensiones son: 20.8, 20.6, 21.0, 20.9, 19.9,
20.2, 19.8, 19.6, 21.1, 20.4, 20.6, 19.7, 19.6, 20.3, 20.7,
20.9. Supóngase que la tensión de ruptura se distribuye normalmente,
hallar un intervalo del 95% de confianza para estimar la tensión de
ruptura promedio de la fibra.
35.Se selecciona una muestra aleatoria de 500 fumadores de cigarro y se
encuentra que 86 de ellos prefieren la marca X. Encuentre el intervalo de
confianza de 90% para la fracción de la población de fumadores que
prefieren la marca X.
36.El gerente de una sucursal bancaria en una ciudad pequeña querría
determinar la proporción de ahorradores a quienes se les paga su sueldo
semanalmente. Una muestra aleatoria de 100 indica que a 30 no se les
paga semanalmente. Estime un intervalo de confianza del 96% para la
proporción real de ahorradores que reciben su sueldo semanalmente.
Estadística 286
37.Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración que está
distribuida aproximadamente en forma normal con una media de 800
horas y una desviación estándar poblaciones de 40. Pruebe la hipótesis
de que µ = 800 horas en contraposición de la alternativa de que µ ≠ 800
horas si una muestra aleatoria de 30 focos tiene una duración promedio
de 788 horas. Utilice un nivel de significancia de 0.04.
38.Una muestra aleatoria de 36 refrescos de una máquina despachadora
automática tiene un contenido promedio de 21.9 decilitros, con una
desviación estándar de 1.42 decilitros. Pruebe la hipótesis de que µ ≥
22.2 decilitros en contraposición a la hipótesis alternativa, µ < 22.2, en el
nivel de significancia de 0.04.
39.La altura promedio de las mujeres en el grupo de primer año de una
institución de enseñanza superior es de 162.5 centímetros. con una
desviación estándar poblacional de 6.9 centímetros. ¿Hay alguna razón
para creer que existe un cambio en la altura promedio si una muestra
aleatoria de 50 mujeres del grupo actual tiene una altura promedio de
165.2 centímetros? Utilice un nivel de significancia de 0.05.
40.Se afirma que un automóvil recorre un promedio anual de más de 20.000
km. Para probar esta afirmación, se le solicita a una muestra aleatoria
de 100 propietarios de automóvil que lleve un registro de los km que
recorre. ¿Estaría usted de acuerdo con esta afirmación si en la muestra
aleatoria resulta un promedio de 23.500 km y una desviación estándar
poblaciones de 3.900 km? Utilice un nivel de significancia de 0.05.
Estadística 287
41.Pruebe la hipótesis de que el contenido promedio en recipientes de un
lubricante en particular es de 10 litros si los contenidos de una muestra
aleatoria de 10 recipientes son 10.2, 9.7, 10.1, 10.3, 10.1, 9.8, 9.9,
10.4, 10.3, 9.8 litros. Utilice un nivel de significancia de 0.01 y suponga
que la distribución de los contenidos es normal.
42.Una muestra aleatoria de 8 cigarros de una marca determinada tiene un
contenido promedio de nicotina de 4.2 miligramos y una desviación
estándar muestral de 1.4 miligramos. ¿Está esto de acuerdo con la
afirmación del fabricante de que el contenido promedio de nicotina no
excede de 3.5 miligramos? Suponga que la distribución de los contenidos
de nicotina es normal. Asuma un nivel de significancia de 0.01.
43.Un fabricante de televisores anuncia que el 90% de sus aparatos no
necesita ninguna reparación durante los dos primeros años de uso. La
Oficina de Protección al Consumidor selecciona una muestra de 100
aparatos y encuentra que 14 necesitaron alguna reparación durante los
dos primeros años de uso. Al nivel de significancia de 0.01, ¿a qué
conclusión puede llegar la Oficina de Protección al Consumidor?
44.Una compañía productora de combustibles asegura que una quinta parte
de los hogares en una cierta ciudad se calienta con petróleo. ¿Se tiene
alguna razón para dudar de esta afirmación si, en una muestra aleatoria
de 1000 hogares en esta ciudad, se encuentra que 236 se calientan con
petróleo? Utilice un nivel de significancia de 0.01.
Estadística 288
45.Se cree que al menos 60% de los residentes en una cierta área favorecen
una demanda de anexión de una ciudad vecina. ¿Qué conclusión sacaría
usted si sólo 110 en una muestra aleatoria de 200 votantes favorecen al
acta? Utilice un nivel de significancia de 0.04.
46.Un cantante graba en vídeo-cinta sus actuaciones y registra el total de los
tiempos que debe esperar a que el público deje de aplaudir. En
actuaciones anteriores, el tiempo promedio que tenía que esperar era de
65.1 segundos. Interesado en saber si sus actuaciones son mejores,
seleccionó una muestra aleatoria de 15 actuaciones en la que utilizó
nuevos tipos de música, dando como resultado un tiempo promedio de
espera de 71.5 segundos y una desviación estándar de 21.3 segundos.
¿Cree usted, a un nivel de significancia del 0.05, que sus viejas
actuaciones no son mejores que las actuaciones nuevas?
47.Se cree que un protector solar es efectivo sólo en un 70% de los casos.
Resultados experimentales con un nuevo protector solar, mostraron que
de 60 personas seleccionadas aleatoriamente, 15 no fueron protegidas
contra el sol. ¿Es ésta suficiente evidencia para concluir a un nivel de
significancia de 0.05, que tanto el nuevo como el viejo protector solar son
igual de efectivos?
48.En el banco Jefferson, dado la cantidad de quejas por parte de los
usuarios por el tiempo (en minutos) que deben hacer fila para que los
atiendan, se hizo un estudio para mirar el tiempo (en minutos) que se
demoran en la fila antes de que los atiendan, para buscar la solución al
problema después de haber aumentado el número de ventanillas y los
resultados fueron los siguientes:
10.2 5.3 8.5 9.3 20.1 3.5 5.5 7.3Estadística 289
8.5 5.4 6.7 10.2 10.5 15.5 25 23.2
19.5 17.3 26.5 10.5 9.3 8.5 4.3 5.8
6.5 4.3 15.3 10.8 19.5 23.2
Después del aumento de las ventanillas, ¿cuál es el tiempo promedio real
(con un nivel de significancia del 0.05 ) de espera de los clientes?
49.En el banco Z, dada la cantidad de quejas por parte de los usuarios
(cuenta con 30 clientes fijos, de los cuales 8 están satisfechos) por el
tiempo (en minutos) que deben hacer fila para que los atiendan, se hizo
un estudio, para buscar la solución al problema; se sabe:
• El tiempo de espera se distribuye aproximadamente normal con un
tiempo promedio de 22.5 minutos y una desviación estándar de 2.5
minutos.
• En promedio se retiran del banco 2 clientes por mes.
• De una muestra aleatoria de tamaño 150 clientes, el 60% de ellos son
hombres.
Responder:
a. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de espera sea superior a 18
minutos?
b. De una muestra aleatoria de 15 clientes, ¿cuál es la probabilidad de que
al menos 12 estén satisfechos con el servicio del banco?
c. Si el 15% de los clientes se retiran del banco en menos de 20 días, ¿cuál
sería el tiempo promedio de retiro de ellos?
d. Con una confianza del 95%, ¿cuál sería la proporción de clientes
hombres en el banco?
e. Los clientes afirman que consideran el servicio inefectivo si el promedio
de tiempo de espera es por lo menos de 18 minutos, ¿cuál es la
probabilidad de que sigan reclamando?
Estadística 290
f. De una muestra aleatoria de 10 clientes, ¿cuál es la probabilidad de que
8 clientes estén satisfechos?
g. Si el 35% de los clientes esperan menos de 22 minutos, ¿cuál sería el
tiempo de espera promedio real?
h. ¿Cuál es la probabilidad de que ningún cliente esté insatisfecho?
i. ¿Cuál es la probabilidad de que se retire un cliente en al menos 10 días?
j. ¿Cuál es la probabilidad de que en un mes no se retiren clientes?
Estadística 291
ANEXOS TABLAS DE PROBABILIDAD ACUMULADA
Anexo A
n x 0,10 0,20 0,25 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90
1 0 0,9000 0,8000 0,7500 0,7000 0,6000 0,5000 0,4000 0,3000 0,2000 0,10001 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
2 0 0,8100 0,6400 0,5625 0,4900 0,3600 0,2500 0,1600 0,0900 0,0400 0,0100
1 0,9900 0,9600 0,9375 0,9100 0,8400 0,7500 0,6400 0,5100 0,3600 0,19002 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
3 0 0,7290 0,5120 0,4219 0,3430 0,2160 0,1250 0,0640 0,0270 0,0080 0,0010
1 0,9720 0,8960 0,8438 0,7840 0,6480 0,5000 0,3520 0,2160 0,1040 0,02802 0,9990 0,9920 0,9844 0,9730 0,9360 0,8750 0,7840 0,6570 0,4880 0,27103 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
4 0 0,6561 0,4096 0,3164 0,2401 0,1296 0,0625 0,0256 0,0081 0,0016 0,00011 0,9477 0,8192 0,7383 0,6517 0,4752 0,3125 0,1792 0,0837 0,0272 0,00372 0,9963 0,9728 0,9492 0,9163 0,8208 0,6875 0,5248 0,3483 0,1808 0,05233 0,9999 0,9984 0,9961 0,9919 0,9744 0,9375 0,8704 0,7599 0,5904 0,34394 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
5 0 0,5905 0,3277 0,2373 0,1681 0,0778 0,0313 0,0102 0,0024 0,0003 0,00001 0,9185 0,7373 0,6328 0,5282 0,3370 0,1875 0,0870 0,0308 0,0067 0,00052 0,9914 0,9421 0,8965 0,8369 0,6826 0,5000 0,3174 0,1631 0,0579 0,00863 0,9995 0,9933 0,9844 0,9692 0,9130 0,8125 0,6630 0,4718 0,2627 0,08154 1,0000 0,9997 0,9990 0,9976 0,9898 0,9688 0,9222 0,8319 0,6723 0,40955 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
6 0 0,5314 0,2621 0,1780 0,1176 0,0467 0,0156 0,0041 0,0007 0,0001 0,00001 0,8857 0,6554 0,5339 0,4202 0,2333 0,1094 0,0410 0,0109 0,0016 0,00012 0,9842 0,9011 0,8306 0,7443 0,5443 0,3438 0,1792 0,0705 0,0170 0,00133 0,9987 0,9830 0,9624 0,9295 0,8208 0,6563 0,4557 0,2557 0,0989 0,01594 0,9999 0,9984 0,9954 0,9891 0,9590 0,8906 0,7667 0,5798 0,3446 0,11435 1,0000 0,9999 0,9998 0,9993 0,9959 0,9844 0,9533 0,8824 0,7379 0,46866 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
7 0 0,4783 0,2097 0,1335 0,0824 0,0280 0,0078 0,0016 0,0002 0,0000 0,00001 0,8503 0,5767 0,4449 0,3294 0,1586 0,0625 0,0188 0,0038 0,0004 0,00002 0,9743 0,8520 0,7564 0,6471 0,4199 0,2266 0,0963 0,0288 0,0047 0,00023 0,9973 0,9667 0,9294 0,8740 0,7102 0,5000 0,2898 0,1260 0,0333 0,00274 0,9998 0,9953 0,9871 0,9712 0,9037 0,7734 0,5801 0,3529 0,1480 0,02575 1,0000 0,9996 0,9987 0,9962 0,9812 0,9375 0,8414 0,6706 0,4233 0,14976 1,0000 1,0000 0,9999 0,9998 0,9984 0,9922 0,9720 0,9176 0,7903 0,52177 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
8 0 0,4305 0,1678 0,1001 0,0576 0,0168 0,0039 0,0007 0,0001 0,0000 0,00001 0,8131 0,5033 0,3671 0,2553 0,1064 0,0352 0,0085 0,0013 0,0001 0,00002 0,9619 0,7969 0,6785 0,5518 0,3154 0,1445 0,0498 0,0113 0,0012 0,00003 0,9950 0,9437 0,8862 0,8059 0,5941 0,3633 0,1737 0,0580 0,0104 0,00044 0,9996 0,9896 0,9727 0,9420 0,8263 0,6367 0,4059 0,1941 0,0563 0,00505 1,0000 0,9988 0,9958 0,9887 0,9502 0,8555 0,6846 0,4482 0,2031 0,03816 1,0000 0,9999 0,9996 0,9987 0,9915 0,9648 0,8936 0,7447 0,4967 0,18697 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9993 0,9961 0,9832 0,9424 0,8322 0,56958 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
TABLA ACUMULADA DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
p
Estadística 292
n x 0,10 0,20 0,25 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90
9 0 0,3874 0,1342 0,0751 0,0404 0,0101 0,0020 0,0003 0,0000 0,0000 0,00001 0,7748 0,4362 0,3003 0,1960 0,0705 0,0195 0,0038 0,0004 0,0000 0,00002 0,9470 0,7382 0,6007 0,4628 0,2318 0,0898 0,0250 0,0043 0,0003 0,00003 0,9917 0,9144 0,8343 0,7297 0,4826 0,2539 0,0994 0,0253 0,0031 0,00014 0,9991 0,9804 0,9511 0,9012 0,7334 0,5000 0,2666 0,0988 0,0196 0,00095 0,9999 0,9969 0,9900 0,9747 0,9006 0,7461 0,5174 0,2703 0,0856 0,00836 1,0000 0,9997 0,9987 0,9957 0,9750 0,9102 0,7682 0,5372 0,2618 0,05307 1,0000 1,0000 0,9999 0,9996 0,9962 0,9805 0,9295 0,8040 0,5638 0,22528 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9980 0,9899 0,9596 0,8658 0,61269 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
10 0 0,3487 0,1074 0,0563 0,0282 0,0060 0,0010 0,0001 0,0000 0,0000 0,00001 0,7361 0,3758 0,2440 0,1493 0,0464 0,0107 0,0017 0,0001 0,0000 0,00002 0,9298 0,6778 0,5256 0,3828 0,1673 0,0547 0,0123 0,0016 0,0001 0,00003 0,9872 0,8791 0,7759 0,6496 0,3823 0,1719 0,0548 0,0106 0,0009 0,00004 0,9984 0,9672 0,9219 0,8497 0,6331 0,3770 0,1662 0,0473 0,0064 0,00015 0,9999 0,9936 0,9803 0,9527 0,8338 0,6230 0,3669 0,1503 0,0328 0,00166 1,0000 0,9991 0,9965 0,9894 0,9452 0,8281 0,6177 0,3504 0,1209 0,01287 1,0000 0,9999 0,9996 0,9984 0,9877 0,9453 0,8327 0,6172 0,3222 0,07028 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9983 0,9893 0,9536 0,8507 0,6242 0,26399 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9990 0,9940 0,9718 0,8926 0,651310 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
11 0 0,3138 0,0859 0,0422 0,0198 0,0036 0,0005 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
1 0,6974 0,3221 0,1971 0,1130 0,0302 0,0059 0,0007 0,0000 0,0000 0,00002 0,9104 0,6174 0,4552 0,3127 0,1189 0,0327 0,0059 0,0006 0,0000 0,00003 0,9815 0,8389 0,7133 0,5696 0,2963 0,1133 0,0293 0,0043 0,0002 0,00004 0,9972 0,9496 0,8854 0,7897 0,5328 0,2744 0,0994 0,0216 0,0020 0,00005 0,9997 0,9883 0,9657 0,9218 0,7535 0,5000 0,2465 0,0782 0,0117 0,00036 1,0000 0,9980 0,9924 0,9784 0,9006 0,7256 0,4672 0,2103 0,0504 0,00288 1,0000 0,9983 0,9935 0,9821 0,9240 0,8062 0,6446 0,4671 0,2719 0,07389 1,0000 0,9983 0,9936 0,9826 0,9292 0,8330 0,7333 0,6669 0,5671 0,286910 1,0000 0,9983 0,9936 0,9827 0,9299 0,8384 0,7599 0,7601 0,8034 0,670411 1,0000 0,9983 0,9936 0,9827 0,9299 0,8389 0,7635 0,7799 0,8893 0,9842
12 0 0,2824 0,0687 0,0317 0,0138 0,0022 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
1 0,6590 0,2749 0,1584 0,0850 0,0196 0,0032 0,0003 0,0000 0,0000 0,00002 0,8891 0,5583 0,3907 0,2528 0,0834 0,0193 0,0028 0,0002 0,0000 0,00003 0,9744 0,7946 0,6488 0,4925 0,2253 0,0730 0,0153 0,0017 0,0001 0,00004 0,9957 0,9274 0,8424 0,7237 0,4382 0,1938 0,0573 0,0095 0,0006 0,00005 0,9995 0,9806 0,9456 0,8822 0,6652 0,3872 0,1582 0,0386 0,0039 0,00016 0,9999 0,9961 0,9857 0,9614 0,8418 0,6128 0,3348 0,1178 0,0194 0,00057 1,0000 0,9994 0,9972 0,9905 0,9427 0,8062 0,5618 0,2763 0,0726 0,00438 1,0000 0,9999 0,9996 0,9983 0,9847 0,9270 0,7747 0,5075 0,2054 0,02569 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9972 0,9807 0,9166 0,7472 0,4417 0,110910 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9968 0,9804 0,9150 0,7251 0,341011 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9978 0,9862 0,9313 0,717612 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
p
(CONTINUACIÓN) TABLA ACUMULADA DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Estadística 293
n x 0,10 0,20 0,25 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90
13 0 0,2542 0,0550 0,0238 0,0097 0,0013 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,00001 0,6213 0,2336 0,1267 0,0637 0,0126 0,0017 0,0001 0,0000 0,0000 0,00002 0,8661 0,5017 0,3326 0,2025 0,0579 0,0112 0,0013 0,0001 0,0000 0,00003 0,9658 0,7473 0,5843 0,4206 0,1686 0,0461 0,0078 0,0007 0,0000 0,00004 0,9935 0,9009 0,7940 0,6543 0,3530 0,1334 0,0321 0,0040 0,0002 0,00005 0,9991 0,9700 0,9198 0,8346 0,5744 0,2905 0,0977 0,0182 0,0012 0,00006 0,9999 0,9930 0,9757 0,9376 0,7712 0,5000 0,2288 0,0624 0,0070 0,00017 1,0000 0,9988 0,9944 0,9818 0,9023 0,7095 0,4256 0,1654 0,0300 0,00098 1,0000 0,9998 0,9990 0,9960 0,9679 0,8666 0,6470 0,3457 0,0991 0,00659 1,0000 1,0000 0,9999 0,9993 0,9922 0,9539 0,8314 0,5794 0,2527 0,034210 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9987 0,9888 0,9421 0,7975 0,4983 0,133911 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9983 0,9874 0,9363 0,7664 0,378712 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9987 0,9903 0,9450 0,745813 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
14 0 0,2288 0,0440 0,0178 0,0068 0,0008 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,00001 0,5846 0,1979 0,1010 0,0475 0,0081 0,0009 0,0001 0,0000 0,0000 0,00002 0,8416 0,4481 0,2811 0,1608 0,0398 0,0065 0,0006 0,0000 0,0000 0,00003 0,9559 0,6982 0,5213 0,3552 0,1243 0,0287 0,0039 0,0002 0,0000 0,00004 0,9908 0,8702 0,7415 0,5842 0,2793 0,0898 0,0175 0,0017 0,0000 0,00005 0,9985 0,9561 0,8883 0,7805 0,4859 0,2120 0,0583 0,0083 0,0004 0,00006 0,9998 0,9884 0,9617 0,9067 0,6925 0,3953 0,1501 0,0315 0,0024 0,00007 1,0000 0,9976 0,9897 0,9685 0,8499 0,6047 0,3075 0,0933 0,0116 0,00028 1,0000 0,9996 0,9978 0,9917 0,9417 0,7880 0,5141 0,2195 0,0439 0,00159 1,0000 1,0000 0,9997 0,9983 0,9825 0,9102 0,7207 0,4158 0,1298 0,009210 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9961 0,9713 0,8757 0,6448 0,3018 0,044111 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9994 0,9935 0,9602 0,8392 0,5519 0,158412 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9991 0,9919 0,9525 0,8021 0,415413 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9992 0,9932 0,9560 0,771214 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
15 0 0,2059 0,0352 0,0134 0,0047 0,0005 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
1 0,5490 0,1671 0,0802 0,0353 0,0052 0,0005 0,0000 0,0000 0,0000 0,00002 0,8159 0,3980 0,2361 0,1268 0,0271 0,0037 0,0003 0,0000 0,0000 0,00003 0,9444 0,6482 0,4613 0,2969 0,0905 0,0176 0,0019 0,0001 0,0000 0,00004 0,9873 0,8358 0,6865 0,5155 0,2173 0,0592 0,0093 0,0007 0,0000 0,00005 0,9978 0,9389 0,8516 0,7216 0,4032 0,1509 0,0338 0,0037 0,0001 0,00006 0,9997 0,9819 0,9434 0,8689 0,6098 0,3036 0,0950 0,0152 0,0008 0,00007 1,0000 0,9958 0,9827 0,9500 0,7869 0,5000 0,2131 0,0500 0,0042 0,00008 1,0000 0,9992 0,9958 0,9848 0,9050 0,6964 0,3902 0,1311 0,0181 0,00039 1,0000 0,9999 0,9992 0,9963 0,9662 0,8491 0,5968 0,2784 0,0611 0,002210 1,0000 1,0000 0,9999 0,9993 0,9907 0,9408 0,7827 0,4845 0,1642 0,012711 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9981 0,9824 0,9095 0,7031 0,3518 0,055612 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9963 0,9729 0,8732 0,6020 0,184113 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9995 0,9948 0,9647 0,8329 0,451014 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9995 0,9953 0,9648 0,794115 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
(CONTINUACIÓN) TABLA ACUMULADA DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
p
Estadística 294
n x 0,10 0,20 0,25 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90
16 0 0,1853 0,0281 0,0100 0,0033 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00001 0,5147 0,1407 0,0635 0,0261 0,0033 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000 0,00002 0,7892 0,3518 0,1971 0,0994 0,0183 0,0021 0,0001 0,0000 0,0000 0,00003 0,9316 0,5981 0,4050 0,2459 0,0651 0,0106 0,0009 0,0000 0,0000 0,00004 0,9830 0,7982 0,6302 0,4499 0,1666 0,0384 0,0049 0,0003 0,0000 0,00005 0,9967 0,9183 0,8103 0,6598 0,3288 0,1051 0,0191 0,0016 0,0000 0,00006 0,9995 0,9733 0,9204 0,8247 0,5272 0,2272 0,0583 0,0071 0,0002 0,00007 0,9999 0,9930 0,9729 0,9256 0,7161 0,4018 0,1423 0,0257 0,0015 0,00008 1,0000 0,9985 0,9925 0,9743 0,8577 0,5982 0,2839 0,0744 0,0070 0,00019 1,0000 0,9998 0,9984 0,9929 0,9417 0,7728 0,4728 0,1753 0,0267 0,000510 1,0000 1,0000 0,9997 0,9984 0,9809 0,8949 0,6712 0,3402 0,0817 0,003311 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9951 0,9616 0,8334 0,5501 0,2018 0,017012 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9991 0,9894 0,9349 0,7541 0,4019 0,068413 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9979 0,9817 0,9006 0,6482 0,210814 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9967 0,9739 0,8593 0,485315 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9967 0,9719 0,814716 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
17 0 0,1668 0,0225 0,0075 0,0023 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00001 0,4818 0,1182 0,0501 0,0193 0,0021 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,00002 0,7618 0,3096 0,1637 0,0774 0,0123 0,0012 0,0001 0,0000 0,0000 0,00003 0,9174 0,5489 0,3530 0,2019 0,0464 0,0064 0,0005 0,0000 0,0000 0,00004 0,9779 0,7582 0,5739 0,3887 0,1260 0,0245 0,0025 0,0001 0,0000 0,00005 0,9953 0,8943 0,7653 0,5968 0,2639 0,0717 0,0106 0,0007 0,0000 0,00006 0,9992 0,9623 0,8929 0,7752 0,4478 0,1662 0,0348 0,0032 0,0001 0,00007 0,9999 0,9891 0,9598 0,8954 0,6405 0,3145 0,0919 0,0127 0,0005 0,00008 1,0000 0,9974 0,9876 0,9597 0,8011 0,5000 0,1989 0,0403 0,0026 0,00009 1,0000 0,9995 0,9969 0,9873 0,9081 0,6855 0,3595 0,1046 0,0109 0,000110 1,0000 0,9999 0,9994 0,9968 0,9652 0,8338 0,5522 0,2248 0,0377 0,000811 1,0000 1,0000 0,9999 0,9993 0,9894 0,9283 0,7361 0,4032 0,1057 0,004712 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9975 0,9755 0,8740 0,6113 0,2418 0,022113 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9995 0,9936 0,9536 0,7981 0,4511 0,082614 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9988 0,9877 0,9226 0,6904 0,238215 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9979 0,9807 0,8818 0,518216 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9977 0,9775 0,833217 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
18 0 0,1501 0,0180 0,0056 0,0016 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
1 0,4503 0,0991 0,0395 0,0142 0,0013 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,00002 0,7338 0,2713 0,1353 0,0600 0,0082 0,0007 0,0000 0,0000 0,0000 0,00003 0,9018 0,5010 0,3057 0,1646 0,0328 0,0038 0,0002 0,0000 0,0000 0,00004 0,9718 0,7164 0,5187 0,3327 0,0942 0,0154 0,0013 0,0000 0,0000 0,00005 0,9936 0,8671 0,7175 0,5344 0,2088 0,0481 0,0058 0,0003 0,0000 0,00006 0,9988 0,9487 0,8610 0,7217 0,3743 0,1189 0,0203 0,0014 0,0000 0,00007 0,9998 0,9837 0,9431 0,8593 0,5634 0,2403 0,0576 0,0061 0,0002 0,00008 1,0000 0,9957 0,9807 0,9404 0,7368 0,4073 0,1347 0,0210 0,0009 0,00009 1,0000 0,9991 0,9946 0,9790 0,8653 0,5927 0,2632 0,0596 0,0043 0,000010 1,0000 0,9998 0,9988 0,9939 0,9424 0,7597 0,4366 0,1407 0,0163 0,000211 1,0000 1,0000 0,9998 0,9986 0,9797 0,8811 0,6257 0,2783 0,0513 0,001212 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9942 0,9519 0,7912 0,4656 0,1329 0,006413 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9987 0,9846 0,9058 0,6673 0,2836 0,028214 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9962 0,9672 0,8354 0,4990 0,098215 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9993 0,9918 0,9400 0,7287 0,2662
16 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9987 0,9858 0,9009 0,549717 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9984 0,9820 0,849918 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
(CONTINUACIÓN) TABLA ACUMULADA DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
p
Estadística 295
n x 0,10 0,20 0,25 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90
19 0 0,1351 0,0144 0,0042 0,0011 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
1 0,4203 0,0829 0,0310 0,0104 0,0008 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
2 0,7054 0,2369 0,1113 0,0462 0,0055 0,0004 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
3 0,8850 0,4551 0,2631 0,1332 0,0230 0,0022 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000
4 0,9648 0,6733 0,4654 0,2822 0,0696 0,0096 0,0006 0,0000 0,0000 0,0000
5 0,9914 0,8369 0,6678 0,4739 0,1629 0,0318 0,0031 0,0001 0,0000 0,0000
6 0,9983 0,9324 0,8251 0,6655 0,3081 0,0835 0,0116 0,0006 0,0000 0,0000
7 0,9997 0,9767 0,9225 0,8180 0,4878 0,1796 0,0352 0,0028 0,0000 0,0000
8 1,0000 0,9933 0,9713 0,9161 0,6675 0,3238 0,0885 0,0105 0,0003 0,0000
9 1,0000 0,9984 0,9911 0,9674 0,8139 0,5000 0,1861 0,0326 0,0016 0,0000
10 1,0000 0,9997 0,9977 0,9895 0,9115 0,6762 0,3325 0,0839 0,0067 0,0000
11 1,0000 1,0000 0,9995 0,9972 0,9648 0,8204 0,5122 0,1820 0,0233 0,0003
12 1,0000 1,0000 0,9999 0,9994 0,9884 0,9165 0,6919 0,3345 0,0676 0,0017
13 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9969 0,9682 0,8371 0,5261 0,1631 0,0086
14 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9994 0,9904 0,9304 0,7178 0,3267 0,0352
15 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9978 0,9770 0,8668 0,5449 0,1150
16 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9996 0,9945 0,9538 0,7631 0,2946
17 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9992 0,9896 0,9171 0,5797
18 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9989 0,9856 0,8649
19 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
20 0 0,1216 0,0115 0,0032 0,0008 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
1 0,3917 0,0692 0,0243 0,0076 0,0005 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
2 0,6769 0,2061 0,0913 0,0355 0,0036 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
3 0,8670 0,4114 0,2252 0,1071 0,0160 0,0013 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
4 0,9568 0,6296 0,4148 0,2375 0,0510 0,0059 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000
5 0,9887 0,8042 0,6172 0,4164 0,1256 0,0207 0,0016 0,0000 0,0000 0,0000
6 0,9976 0,9133 0,7858 0,6080 0,2500 0,0577 0,0065 0,0003 0,0000 0,0000
7 0,9996 0,9679 0,8982 0,7723 0,4159 0,1316 0,0210 0,0013 0,0000 0,0000
8 0,9999 0,9900 0,9591 0,8867 0,5956 0,2517 0,0565 0,0051 0,0001 0,0000
9 1,0000 0,9974 0,9861 0,9520 0,7553 0,4119 0,1275 0,0171 0,0006 0,0000
10 1,0000 0,9994 0,9961 0,9829 0,8725 0,5881 0,2447 0,0480 0,0026 0,0000
11 1,0000 0,9999 0,9991 0,9949 0,9435 0,7483 0,4044 0,1133 0,0100 0,0001
12 1,0000 1,0000 0,9998 0,9987 0,9790 0,8684 0,5841 0,2277 0,0321 0,0004
13 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9935 0,9423 0,7500 0,3920 0,0867 0,0024
14 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9984 0,9793 0,8744 0,5836 0,1958 0,0113
15 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9941 0,9490 0,7625 0,3704 0,0432
16 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9987 0,9840 0,8929 0,5886 0,1330
17 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9964 0,9645 0,7939 0,3231
18 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9995 0,9924 0,9308 0,6083
19 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9992 0,9885 0,8784
20 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
(CONTINUACIÓN) TABLA ACUMULADA DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
p
Estadística 296
ANEXO B
x 0,1 0,2 0,30 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
0 0,9048 0,8187 0,7408 0,6703 0,6065 0,5488 0,4966 0,4493 0,4066
1 0,9953 0,9825 0,9631 0,9384 0,9098 0,8781 0,8442 0,8088 0,7725
2 0,9998 0,9989 0,9964 0,9921 0,9856 0,9769 0,9659 0,9526 0,9371
3 1,0000 0,9999 0,9997 0,9992 0,9982 0,9966 0,9942 0,9909 0,9865
4 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9998 0,9996 0,9992 0,9986 0,9977
5 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9998 0,9997
6 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
x 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0
0 0,3679 0,2231 0,1353 0,0821 0,0498 0,0302 0,0183 0,0111 0,0067
1 0,7358 0,5578 0,4060 0,2873 0,1991 0,1359 0,0916 0,0611 0,0404
2 0,9197 0,8088 0,6767 0,5438 0,4232 0,3208 0,2381 0,1736 0,1247
3 0,9810 0,9344 0,8571 0,7576 0,6472 0,5366 0,4335 0,3423 0,2650
4 0,9963 0,9814 0,9473 0,8912 0,8153 0,7254 0,6288 0,5321 0,4405
5 0,9994 0,9955 0,9834 0,9580 0,9161 0,8576 0,7851 0,7029 0,6160
6 0,9999 0,9991 0,9955 0,9858 0,9665 0,9347 0,8893 0,8311 0,7622
7 1,0000 0,9998 0,9989 0,9958 0,9881 0,9733 0,9489 0,9134 0,8666
8 1,0000 1,0000 0,9998 0,9989 0,9962 0,9901 0,9786 0,9597 0,9319
9 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9989 0,9967 0,9919 0,9829 0,9682
10 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9990 0,9972 0,9933 0,9863
11 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9991 0,9976 0,9945
12 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9992 0,9980
13 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9993
14 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9998
15 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999
16 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
TABLA ACUMULADA DE LA DISTRIBUCIÓN POISSON
µ
Estadística 297
(Continuaciòn)
x 5,5 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5
0 0,0041 0,0025 0,0015 0,0009 0,0006 0,0003 0,0002 0,0001 0,0001
1 0,0266 0,0174 0,0113 0,0073 0,0047 0,0030 0,0019 0,0012 0,0008
2 0,0884 0,0620 0,0430 0,0296 0,0203 0,0138 0,0093 0,0062 0,0042
3 0,2017 0,1512 0,1118 0,0818 0,0591 0,0424 0,0301 0,0212 0,0149
4 0,3575 0,2851 0,2237 0,1730 0,1321 0,0996 0,0744 0,0550 0,0403
5 0,5289 0,4457 0,3690 0,3007 0,2414 0,1912 0,1496 0,1157 0,0885
6 0,6860 0,6063 0,5265 0,4497 0,3782 0,3134 0,2562 0,2068 0,1649
7 0,8095 0,7440 0,6728 0,5987 0,5246 0,4530 0,3856 0,3239 0,2687
8 0,8944 0,8472 0,7916 0,7291 0,6620 0,5925 0,5231 0,4557 0,3918
9 0,9462 0,9161 0,8774 0,8305 0,7764 0,7166 0,6530 0,5874 0,5218
10 0,9747 0,9574 0,9332 0,9015 0,8622 0,8159 0,7634 0,7060 0,6453
11 0,9890 0,9799 0,9661 0,9467 0,9208 0,8881 0,8487 0,8030 0,7520
12 0,9955 0,9912 0,9840 0,9730 0,9573 0,9362 0,9091 0,8758 0,8364
13 0,9983 0,9964 0,9929 0,9872 0,9784 0,9658 0,9486 0,9261 0,8981
14 0,9994 0,9986 0,9970 0,9943 0,9897 0,9827 0,9726 0,9585 0,9400
15 0,9998 0,9995 0,9988 0,9976 0,9954 0,9918 0,9862 0,9780 0,9665
16 0,9999 0,9998 0,9996 0,9990 0,9980 0,9963 0,9934 0,9889 0,9823
17 1,0000 0,9999 0,9998 0,9996 0,9992 0,9984 0,9970 0,9947 0,9911
18 1,0000 1,0000 0,9999 0,9999 0,9997 0,9993 0,9987 0,9976 0,9957
19 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9995 0,9989 0,9980
20 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9998 0,9996 0,9991
21 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9998 0,9996
22 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9999
23 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999
24 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
TABLA ACUMULADA DE LA DISTRIBUCIÓN POISSON
µ
Estadística 298
(continuaciòn)
x 10 11 12 13 14 15 16 17 18
0 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
1 0,0005 0,0002 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
2 0,0028 0,0012 0,0005 0,0002 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
3 0,0103 0,0049 0,0023 0,0011 0,0005 0,0002 0,0001 0,0000 0,0000
4 0,0293 0,0151 0,0076 0,0037 0,0018 0,0009 0,0004 0,0002 0,0001
5 0,0671 0,0375 0,0203 0,0107 0,0055 0,0028 0,0014 0,0007 0,0003
6 0,1301 0,0786 0,0458 0,0259 0,0142 0,0076 0,0040 0,0021 0,0010
7 0,2202 0,1432 0,0895 0,0540 0,0316 0,0180 0,0100 0,0054 0,0029
8 0,3328 0,2320 0,1550 0,0998 0,0621 0,0374 0,0220 0,0126 0,0071
9 0,4579 0,3405 0,2424 0,1658 0,1094 0,0699 0,0433 0,0261 0,0154
10 0,5830 0,4599 0,3472 0,2517 0,1757 0,1185 0,0774 0,0491 0,0304
11 0,6968 0,5793 0,4616 0,3532 0,2600 0,1848 0,1270 0,0847 0,0549
12 0,7916 0,6887 0,5760 0,4631 0,3585 0,2676 0,1931 0,1350 0,0917
13 0,8645 0,7813 0,6815 0,5730 0,4644 0,3632 0,2745 0,2009 0,1426
14 0,9165 0,8540 0,7720 0,6751 0,5704 0,4657 0,3675 0,2808 0,2081
15 0,9513 0,9074 0,8444 0,7636 0,6694 0,5681 0,4667 0,3715 0,2867
16 0,9730 0,9441 0,8987 0,8355 0,7559 0,6641 0,5660 0,4677 0,3751
17 0,9857 0,9678 0,9370 0,8905 0,8272 0,7489 0,6593 0,5640 0,4686
18 0,9928 0,9823 0,9626 0,9302 0,8826 0,8195 0,7423 0,6550 0,5622
19 0,9965 0,9907 0,9787 0,9573 0,9235 0,8752 0,8122 0,7363 0,6509
20 0,9984 0,9953 0,9884 0,9750 0,9521 0,9170 0,8682 0,8055 0,7307
21 0,9993 0,9977 0,9939 0,9859 0,9712 0,9469 0,9108 0,8615 0,7991
22 0,9997 0,9990 0,9970 0,9924 0,9833 0,9673 0,9418 0,9047 0,8551
23 0,9999 0,9995 0,9985 0,9960 0,9907 0,9805 0,9633 0,9367 0,8989
24 1,0000 0,9998 0,9993 0,9980 0,9950 0,9888 0,9777 0,9594 0,9317
25 1,0000 0,9999 0,9997 0,9990 0,9974 0,9938 0,9869 0,9748 0,9554
26 1,0000 1,0000 0,9999 0,9995 0,9987 0,9967 0,9925 0,9848 0,9718
27 1,0000 1,0000 0,9999 0,9998 0,9994 0,9983 0,9959 0,9912 0,9827
28 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9991 0,9978 0,9950 0,9897
29 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9996 0,9989 0,9973 0,9941
30 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9998 0,9994 0,9986 0,9967
31 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9993 0,9982
32 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9996 0,9990
33 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9998 0,9995
34 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9998
35 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999
36 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999
37 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
TABLA ACUMULADA DE LA DISTRIBUCIÓN POISSON
µ
Estadística 299
ANEXO C
Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
-3,9 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
-3,8 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001
-3,7 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001
-3,6 0,0002 0,0002 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001
-3,5 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002
-3,4 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0002
-3,3 0,0005 0,0005 0,0005 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0003
-3,2 0,0007 0,0007 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0005 0,0005 0,0005
-3,1 0,0010 0,0009 0,0009 0,0009 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0007 0,0007
-3,0 0,0013 0,0013 0,0013 0,0012 0,0012 0,0011 0,0011 0,0011 0,0010 0,0010
-2,9 0,0019 0,0018 0,0018 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,0014
-2,8 0,0026 0,0025 0,0024 0,0023 0,0023 0,0022 0,0021 0,0021 0,0020 0,0019
-2,7 0,0035 0,0034 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,0026
-2,6 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036
-2,5 0,0062 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,0052 0,0051 0,0049 0,0048
-2,4 0,0082 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0068 0,0066 0,0064
-2,3 0,0107 0,0104 0,0102 0,0099 0,0096 0,0094 0,0091 0,0089 0,0087 0,0084
-2,2 0,0139 0,0136 0,0132 0,0129 0,0125 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,0110
-2,1 0,0179 0,0174 0,0170 0,0166 0,0162 0,0158 0,0154 0,0150 0,0146 0,0143
-2,0 0,0228 0,0222 0,0217 0,0212 0,0207 0,0202 0,0197 0,0192 0,0188 0,0183
-1,9 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0239 0,0233
-1,8 0,0359 0,0351 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,0294
-1,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,0367
-1,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455
-1,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,0559
-1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,0681
-1,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,0823
-1,2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1093 0,1075 0,1056 0,1038 0,1020 0,1003 0,0985
-1,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,1170
-1,0 0,1587 0,1562 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,1379
-0,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,1611
-0,8 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894 0,1867
-0,7 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2296 0,2266 0,2236 0,2206 0,2177 0,2148
-0,6 0,2743 0,2709 0,2676 0,2643 0,2611 0,2578 0,2546 0,2514 0,2483 0,2451
-0,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,2776
-0,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121
-0,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,3483
-0,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859
-0,1 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,4247
0,0 0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,4641
TABLA DE PROBABILIDADES ACUMULADAS NORMAL
Estadística 300
(Continuaciòn)Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879
0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224
0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549
0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852
0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133
0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389
1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621
1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830
1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015
1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177
1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319
1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441
1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545
1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633
1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706
1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767
2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817
2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857
2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890
2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916
2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936
2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952
2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964
2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974
2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981
2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986
3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990
3,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993
3,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995
3,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997
3,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998
3,5 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998
3,6 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999
3,7 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999
3,8 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999
3,9 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
TABLA DE PROBABILIDADES ACUMULADAS NORMAL
Estadística 301
ANEXO D
0,4 0,3 0,2 0,15 0,1 0,05 0,025 0,02 0,015 0,01 0,008 0,005 0,003
1 0,325 0,727 1,376 1,963 3,078 6,314 12,706 15,895 42,433 31,821 42,433 63,657 127,321
2 0,289 0,617 1,061 1,386 1,886 2,920 4,303 4,849 8,073 6,965 8,073 9,925 14,089
3 0,277 0,584 0,978 1,250 1,638 2,353 3,182 3,482 5,047 4,541 5,047 5,841 7,453
4 0,271 0,569 0,941 1,190 1,533 2,132 2,776 2,999 4,088 3,747 4,088 4,604 5,598
5 0,267 0,559 0,920 1,156 1,476 2,015 2,571 2,757 3,634 3,365 3,634 4,032 4,773
6 0,265 0,553 0,906 1,134 1,440 1,943 2,447 2,612 3,372 3,143 3,372 3,707 4,317
7 0,263 0,549 0,896 1,119 1,415 1,895 2,365 2,517 3,203 2,998 3,203 3,499 4,029
8 0,262 0,546 0,889 1,108 1,397 1,860 2,306 2,449 3,085 2,896 3,085 3,355 3,833
9 0,261 0,543 0,883 1,100 1,383 1,833 2,262 2,398 2,998 2,821 2,998 3,250 3,690
10 0,260 0,542 0,879 1,093 1,372 1,812 2,228 2,359 2,932 2,764 2,932 3,169 3,581
11 0,260 0,540 0,876 1,088 1,363 1,796 2,201 2,328 2,879 2,718 2,879 3,106 3,497
12 0,259 0,539 0,873 1,083 1,356 1,782 2,179 2,303 2,836 2,681 2,836 3,055 3,428
13 0,259 0,538 0,870 1,079 1,350 1,771 2,160 2,282 2,801 2,650 2,801 3,012 3,372
14 0,258 0,537 0,868 1,076 1,345 1,761 2,145 2,264 2,771 2,624 2,771 2,977 3,326
15 0,258 0,536 0,866 1,074 1,341 1,753 2,131 2,249 2,746 2,602 2,746 2,947 3,286
16 0,258 0,535 0,865 1,071 1,337 1,746 2,120 2,235 2,724 2,583 2,724 2,921 3,252
17 0,257 0,534 0,863 1,069 1,333 1,740 2,110 2,224 2,706 2,567 2,706 2,898 3,222
18 0,257 0,534 0,862 1,067 1,330 1,734 2,101 2,214 2,689 2,552 2,689 2,878 3,197
19 0,257 0,533 0,861 1,066 1,328 1,729 2,093 2,205 2,674 2,539 2,674 2,861 3,174
20 0,257 0,533 0,860 1,064 1,325 1,725 2,086 2,197 2,661 2,528 2,661 2,845 3,153
21 0,257 0,532 0,859 1,063 1,323 1,721 2,080 2,189 2,649 2,518 2,649 2,831 3,135
22 0,256 0,532 0,858 1,061 1,321 1,717 2,074 2,183 2,639 2,508 2,639 2,819 3,119
23 0,256 0,532 0,858 1,060 1,319 1,714 2,069 2,177 2,629 2,500 2,629 2,807 3,104
24 0,256 0,531 0,857 1,059 1,318 1,711 2,064 2,172 2,620 2,492 2,620 2,797 3,091
25 0,256 0,531 0,856 1,058 1,316 1,708 2,060 2,167 2,612 2,485 2,612 2,787 3,078
26 0,256 0,531 0,856 1,058 1,315 1,706 2,056 2,162 2,605 2,479 2,605 2,779 3,067
27 0,256 0,531 0,855 1,057 1,314 1,703 2,052 2,158 2,598 2,473 2,598 2,771 3,057
28 0,256 0,530 0,855 1,056 1,313 1,701 2,048 2,154 2,592 2,467 2,592 2,763 3,047
29 0,256 0,530 0,854 1,055 1,311 1,699 2,045 2,150 2,586 2,462 2,586 2,756 3,038
30 0,256 0,530 0,854 1,055 1,310 1,697 2,042 2,147 2,581 2,457 2,581 2,750 3,030
31 0,256 0,530 0,853 1,054 1,309 1,696 2,040 2,144 2,576 2,453 2,576 2,744 3,022
32 0,255 0,530 0,853 1,054 1,309 1,694 2,037 2,141 2,571 2,449 2,571 2,738 3,015
40 0,255 0,529 0,851 1,050 1,303 1,684 2,021 2,123 2,542 2,423 2,542 2,704 2,971
60 0,254 0,527 0,848 1,045 1,296 1,671 2,000 2,099 2,504 2,390 2,504 2,660 2,915
120 0,254 0,526 0,845 1,041 1,289 1,658 1,980 2,076 2,468 2,358 2,468 2,617 2,860
αV
VALORES CRÍTICOS DE LA DISTRIBUCIÓN T
Estadística 302
GLOSARIO
Ajuste de una recta: aproximación a una ecuación de una serie de parejas
de datos (x,y), relacionados linealmente.
Amplitud: es la distancia entre el valor máximo observado y el valor mínimo
observado en un conjunto o distribución de datos.
Amplitud intercuartila: es la distancia entre la primera y tercera cuartilas del
conjunto de datos.
Al azar, estocástico: este término representa una idea que debe ser
expresada en términos del concepto de probabilidad. Tenemos la noción de
que un fenómeno ocurre en forma aleatoria cuando no sigue un patrón
particular que se pueda describir directamente por ecuaciones. Así, no
podemos hacer una predicción perfecta del resultado que se obtendrá del
fenómeno. Al decir que un proceso es aleatorio estamos diciendo que sigue
alguna distribución de probabilidad.
Atributo: característica cualitativa de un objeto o individuo tal como sexo,
país de origen, estado marital.
Censo: decimos que realizamos un censo cuando se observan todos los
elementos de la población estadística
Coeficiente de correlación: medida de la intensidad de la relación entre dos
variables.
Estadística 303
Coeficiente de determinación: medida en la cual las variaciones de una
variable se pueden atribuir a las variaciones en la otra variable.
Confiabilidad: indica cuán seguros podemos estar de que el proceso
seguido resulte en valores que representen verdaderamente la población. Se
usa más comúnmente con intervalos de confianza. En sentido probabilístico,
si tuviéramos una confiabilidad del 95%, decimos que si repitiéramos el
proceso muchas veces, en cerca del 95% de las veces obtendríamos
resultados que reflejan verdaderamente la realidad. Cerca del 95% de los
intervalos así construidos contendrían el valor desconocido del parámetro.
Correlación: relación existente entre dos variables sin un nexo definido de
dependencia.
Datos: valores que se obtienen al observar directamente los resultados de
una variable en la muestra o población. Pueden ser numéricos o cualitativos.
Diagrama de dispersión: gráfica en la cual se presentan las parejas (x,y) de
datos de una muestra.
Distribución bimodal: distribución de datos que tiene dos modas.
Distribución multimodal: distribución de datos que tiene más de una moda.
Distribución unimodal: distribución de datos que tiene una sola moda.
Estadígrafos: cálculos realizados con los datos de la muestra.
Estadística 304
Encuesta: método de obtener datos de una población o muestra, sin
ejercer control alguno sobre los factores que pueden afectar las
características de interés o resultados de la encuesta.
Error tipo I: ocurre cuando rechazamos la hipótesis nula siendo ésta cierta.
Error tipo II: ocurre cuando no rechazamos la hipótesis nula siendo ésta
falsa.
Error muestral: es la diferencia entre un estadístico y su parámetro
correspondiente. Es una medida de la variabilidad de las estimaciones del
parámetro usando muestras repetidas en torno al valor de la población; nos
da una noción clara de hasta dónde y con qué probabilidad una estimación
basada en una muestra se aleja del valor que se hubiera obtenido por medio
de un censo completo.
Error no muestral: son errores que ocurren en la selección, recolección,
anotación y tabulación de los datos. Son usualmente resultado de error
humano.
Espacio muestral: es el conjunto de todos lo posibles resultados de un
experimento.
Estadística: es una función real de los datos, concretamente, es un valor
que se calcula a partir de los datos. Ejemplos: suma, producto, mediana,
máximo, desviación absoluta, media de los datos.
Estadística 305
Estadística Descriptiva: métodos que usamos para describir los datos que
se han obtenido de la muestra o población. Nos sirve para presentar una
idea de la realidad y para hacer inferencia informal.
Estadística Inferencial: métodos probabilísticos que usamos para tomar
decisiones, estimar, predecir o hacer generalizaciones sobre una población
basados en una muestra.
Estadística prueba: cantidad calculada de los datos maestrales, que se usa
para decidir si se rechaza o no la hipótesis nula. Generalmente, un valor
grande de esta estadística es un indicador que nos apunta hacia el rechazo
de la hipótesis nula.
Estimador: el estimador de un parámetro poblacional es una función de las
observaciones que de alguna manera resulta en un valor cercano al
parámetro poblacional. Por ejemplo, la media de la muestra es un estimador
de la media poblacional.
Estimador insesgado: es un estimador cuyo promedio es el valor del
parámetro desconocido. Su valor esperado es el valor del parámetro
poblacional. Un estimador insesgado es uno que tiene la propiedad de
exactitud.
Evento: conjunto o colección de uno o más posibles resultados de un
experimento. Un evento ocurre cuando cualquier resultado contenido en el
evento es observado.
Eventos independientes: dos eventos son independientes si el que uno
ocurra no afecta la probabilidad de que el otro ocurra
Estadística 306
Eventos mutuamente excluyentes: son dos o más eventos que no pueden
ocurrir simultáneamente.
Exactitud: una medida (o un instrumento para medir) tiene la propiedad de
exactitud cuando las observaciones que se toman se distribuyen alrededor
del valor "real". El valor "real" es un parámetro de la población cuyo valor es
usualmente desconocido, tal como la media poblacional. Un estimador de un
parámetro es exacto cuando es insesgado, es decir, cuando su valor
esperado o promedio es igual al parámetro que se estima. Por ejemplo, la
media muestral es un estimador exacto (insesgado) para la media
poblacional.
Experimento: es un proceso que cuando lo llevamos a cabo resulta en uno y
sólo uno de los posibles resultados que podríamos obtener (probabilidad).
Generalmente, son datos observados de los miembros de la población o
muestra, ejerciendo control sobre uno o más de los factores que podrían
alterar la característica de interés o los resultados del experimento (ciencia).
Función de densidad: se asocia a una variable aleatoria continua X. Es una
función, f(x), no negativa y su integral sobre todos los números reales resulta
en 1. El área bajo f(x) y sobre el intervalo [a, b] (el integral de f(x) desde a
hasta b) nos da la probabilidad de que X adquiera algún valor en ese
intervalo: P( a <= X <= b).
Función de distribución acumulativa: se asocia a cualquier variable
aleatoria X. F(x) nos da la probabilidad de que X sea menor o igual al
número x: F(x) = P( X ≤ x).
Función de probabilidad: se asocia a una variable aleatoria discreta X. Es
una función, f(x), no negativa, tal que la suma sobre todos los posibles Estadística 307
valores que puede asumir X resulta en 1. La función de probabilidad de X
evaluada en un número a es igual a la probabilidad de que X sea igual al
número a: f(a) = P( X = a).
Hipótesis nula: es una aseveración sobre el valor de un parámetro
desconocido de una población. Se presume cierta hasta tanto se demuestre
lo contrario. Esta hipótesis se rechaza o no (no decimos se acepta)
dependiendo del valor de la estadística prueba o del valor p al nivel de
significancia deseado.
Individuos: se llama unidad estadística o individuo a cada uno de los
elementos que componen la población estadística. El individuo es un ente
observable que no tiene por qué ser una persona, puede ser un objeto, un
ser vivo, o incluso algo abstracto.
Margen de error: cuando deseamos estimar el valor de un parámetro,
usamos una estadística para ello y construimos un intervalo alrededor de esa
estadística. Decimos entonces que con una confiabilidad establecida, el
intervalo incluye el valor desconocido del parámetro. El margen de error es la
mitad del ancho de ese intervalo.
Método de mínimos cuadrados: método para ajustar una recta, que hace
mínimo el promedio de los errores de las estimaciones de Y, a partir de X.
Muestra: es un subconjunto finito de elementos de la población. A las
características que poseen los elementos de la población y que son objeto
de estudio se denominan variables. A cada valor medido de la variable le
llamamos dato.
Estadística 308
Nivel de significancia: probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es
cierta. Probabilidad de cometer un error tipo I. Este nivel es seleccionado por
el investigador antes de realizar el experimento. Los valores más
comúnmente seleccionados son niveles de .01, .05 y .10.
Parámetros: cálculos realizados con los datos de la población.
Prueba de hipótesis: es un procedimiento por el cual establecemos
hipótesis nula y alterna con el fin de resolver un problema. El procedimiento
incluye el diseño y selección de la muestra. Luego de tomados los datos de
la muestra, se calcula el valor de una estadística prueba. A un nivel de
significancia previamente seleccionado, la estadística prueba se compara
con el valor obtenido de la tabla de la distribución estadística apropiada. Esa
comparación nos lleva a tomar la decisión de rechazar o no la hipótesis nula.
Población: llamamos población estadística, universo o colectivo al conjunto
de referencia sobre el cual van a recaer las observaciones.
Regresión: relación que se da entre una variable independiente y otra
dependiente.
Significancia: corresponde a la probabilidad de error tipo I que estamos
dispuestos a permitir cuando hacemos una prueba de hipótesis. Usualmente
se expresa como un porcentaje. Los valores más comunes son 1%, 5%,
10%. Una significancia del 5% quiere decir que de cada cien pruebas donde
rechacemos la hipótesis nula, nos permitimos la posibilidad de haberla
rechazado en 5 ocasiones a pesar de ser cierta. El nivel de significancia se
selecciona de acuerdo con una amplia gama de criterios que incluyen el Estadística 309
costo de cometer error tipo I y la tradición en el área de contenido sobre el
cual se está haciendo la prueba.
Tabla de contingencia: es una tabla que sirve para clasificar a los
miembros de un grupo de acuerdo con algunas características cualitativas o
cuantitativas.
Variable: característica de un conjunto de elementos.
Variable aleatoria: es una función que asigna un valor numérico a cada
suceso elemental del espacio muestral. Es decir, una variable aleatoria es
una variable cuyo valor numérico está determinado por el resultado del
experimento aleatorio. La variable aleatoria la notaremos con letras en
mayúscula X, Y, ... y con las letras en minúscula x, y, ... sus valores.
Variable aleatoria discreta: se dice que una variable aleatoria X es discreta
si puede tomar un número finito o infinito, pero numerable, de posibles
valores. Una variable aleatoria discreta se obtiene después de sumar o
contar; trabaja con números enteros, ejemplo: número de artículos
defectuosos en una producción, número de artículos vendidos por día,
número de personas que se presentan a la universidad, etc.
Variable aleatoria continua: se dice que una variable aleatoria X es
continua si puede tomar un número infinito (no numerable) de valores, o bien,
si puede tomar un número infinito de valores correspondientes a los puntos
de uno o más intervalos de la recta real. Una variable aleatoria continua se
obtiene después de hacer una medición; trabaja con números reales.
Estadística 310
Ejemplo: temperatura, estatura, presión, tiempo, área, dimensiones, peso
etc.
Variable dependiente: aquella cuyos valores dependen de los valores que
tome la variable independiente.
Variable independiente: aquella que puede manipular el investigador,
determinando los valores que puede tomar.
Estadística 311
BIBLIOGRAFÍA
BIBLIOGRAFÍA FUNDAMENTAL
ANDERSON, David; SWEENEY, Dennis y WILLIAMS, Thomas. Estadística para administración y economía. 8ª edición. Thomson, México, 2003. 884 p.
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BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA
CHAO, Lincoln y CASTAÑO, José María. Estadística para las ciencias administrativas, Lincoln. 3. ed. Bogotá: McGraw-Hill, 1993. 464 p
LIND, Douglas A; MASON, Robert D. y MARCHAL, William G. Estadística para administración y economía. España: McGraw-Hill, 2000. 575 p.
SPIEGEL, Murray. Estadística. 2. edición. McGRAW-HILL, España, 1993.665p.
WALPOLE, Ronald E. y MYERS, Raymond H. Probabilidad y estadística, 4. ed México: McGraw-Hill, 1992. 757 p.
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