Erika Riveros Morán

Erika Riveros M

APLICACION DE LA DERIVADA

Interpretación Geométrica

Objetivo:

Encontrar la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto dado de ella.

Para precisar correctamente la idea de tangente a una curva en un punto, se utilizará la noción de

límite. En efecto, sea P un punto fijo sobre la curva correspondiente a la gráfica de la función

)(xfy y sea Q otro punto de esta curva.

La recta que pasa por P y Q se conoce como secante a la curva, entonces la

tangente a la curva en es la posición límite (cuando existe) de la recta secante cuando Q se mueve

hacia P.

Sabemos que la pendiente de una recta L que pasa por los dos puntos y

es

En términos de coodenadas, consiste en que si

( ) ( ) , siendo un número tal que sea cercano a

entonces las pendientes de las rectas secante y tangente están dadas por:

Si entonces

[

]

[

]

En consecuencia, la recta tangente (si no es vertical) a la curva en , es la recta que pasa por

con pendiente Tgm que satisface.

[

]

[

]

[

]

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La pendiente de la recta tangente, la velocidad instantánea y la densidad de un material son

manifestaciones de la misma idea básica. Existen otras versiones de este concepto en el campo de la

Ingeniería Química, Economía, Biología, etc.

Un buen sentido matemático sugiere la necesidad de estudiar este concepto independientemente

de las diversas aplicaciones.

LA DERIVADA EN EL TRAZADO DE CURVAS

Significados de los signos de la Primera y Segunda derivada.

Plantearemos a través del estudio del signo de la primera derivada, las condiciones que debe cumplir una función para que sea constante, creciente o decreciente. Veremos que si el gráfico de una función “sube” o “baja” depende directamente del signo de la primera derivada. Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente o decreciente en dicho punto. Tiene la siguiente interpretación geométrica: si la función es creciente en el intervalo , la recta tangente a la curva , forma con el eje X un ángulo agudo . Recordar que

Si la función es decreciente en el intervalo a, b, la recta tangente a la curva forma con el eje X un ángulo obtuso

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Una función es creciente en un punto a, si su derivada es positiva Una función es decreciente en un punto a, si su derivada es negativa.

Teorema

Sea f una función continua en a, b y derivable en Entonces:

i) Si para todo , f es Creciente en a, b

ii) Si para todo , f es Decreciente en a, b ¿Dónde se producen esos cambios?

Los puntos claves en la teoría de máximos y mínimos son los llamados puntos críticos. Punto Crítico

Sea continua en se dice que es punto crítico si: a) llamado punto crítico estacionario.

b) no existe, llamado punto crítico singular.

c) También son considerados puntos críticos los extremos y , llamados puntos críticos fronteras.

Estudiar la monotonía de una función es hallar los intervalos en los que es creciente y decreciente

Se procede de la siguiente forma:

Se obtienen los puntos críticos.

Con los puntos obtenidos dividimos el dominio en intervalos.

Se estudia el signo de la derivada en cada uno de los intervalos obtenidos.

Ejemplo 1

Determinar los intervalos de monotonía de la función:

–

,

Solución: Se debe realizar un estudio del signo de la primera derivada, lo que realizaremos con ayuda de un cuadro apropiado.

Debemos obtener tal que

– –

Para , es decir, es positiva Para , es decir, es negativa Para , es decir, es positiva La monotonía de la función queda reflejada en la siguiente tabla:

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Por lo tanto, f es creciente en

, es decreciente en

Ver gráfico de en la figura

Ejemplo 2

Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función , D Solución

Hallamos la derivada 9123)( 2 xxxf D

La igualamos a cero y resolvemos la ecuación resultante:

1

3

2

24

2

12164x

Dividimos el dominio R por los puntos y y obtenemos los intervalos

)1,( , )3,1( y ),3(

Estudiamos el signo de la derivada en un punto cualquiera de cada intervalo:

Para x = 0 9)0( f , es decir, es positiva

Para x = 2 3)2( f , es decir, es negativa

Para x = 4 9)4( f , es positiva

La monotonía de la función queda reflejada en la siguiente tabla:

Intervalos (- ∞, 1) (1, 3) (3, +∞)

Signo de la derivada + - +

Función

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Cuya gráfica es la siguiente

Máximos y mínimos

Son los puntos en que la función cambia de monotonía. Definición Diremos que es un:

Máximo Local (Relativo) de si existe un intervalo abierto que contiene a tal que

cuando x está en el entorno de .

Mínimo Local (Relativo) de si existe un intervalo abierto que contiene a tal que

cuando x está en el entorno de .

Máximo Global (Absoluto ) en si para todo

Mínimo Global (Absoluto) en si para todo

Ejemplo 3

Consideremos el gráfico de la siguiente función: – –

Podemos observar que f tiene un: Máximo Local en , Mínimo Local en

Teorema: tiene un máximo o un mínimo local , y si existe, entonces

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En la primera gráfica, c es un punto crítico singular; y en la segunda es un punto crítico estacionario

El mínimo o máximo de una función en un intervalo se llaman valores extremos o extremos de la función. CRITERIOS Para la determinación de máximos y mínimos podemos utilizar los siguientes criterios: Criterio de la primera derivada:

Se determinan los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Existe máximo relativo en los puntos en que la función pasa de creciente a decreciente.

Existe mínimo relativo en los puntos en que pasa de decreciente a creciente. Criterio de la segunda derivada:

Calculamos la primera derivada, la igualamos a cero y resolvemos la ecuación resultante.

Hallamos la segunda derivada.

Las raíces de la ecuación obtenida se sustituyen en la segunda derivada.

Si el resultado obtenido es positivo existe mínimo y si es negativo máximo. Ejemplo 4

Para –

del ejemplo 1) determinar los puntos máximos y mínimos

usando criterio de primera derivada.

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Solución: Los puntos críticos son y y del siguiente cuadro

Observamos que, en se tiene un valor máximo y corresponde a ; y en se tiene

un valor mínimo y corresponde a

Los puntos extremos son: Punto máximo y punto mínimo

Ejemplo 5 Obtener los máximos y mínimos de la función usando segundo criterio Solución:

Hallamos la primera derivada y resolvemos la ecuación 0)( xf

033)( 2 xxf 12 x 1x

Obtenemos 2ª derivada: Evaluamos en la segunda derivada en los puntos obtenidos:

06)1(6)1( f Mínimo para x = - 1 , y corresponde a

061.6)1( f Máximo para x = 1 , y corresponde a

Los puntos extremos son: Punto mínimo y punto máximo

Concavidad y convexidad.

Otra característica cualitativa importante del gráfico de una función es su concavidad, la cual está vinculada estrechamente al signo de la segunda derivada.

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Definición

Una curva es Cóncava hacia arriba o convexa si toda la curva está situada encima de la recta tangente en cualquier punto dado de la curva (Ver figuras).

Una curva es Cóncava hacia abajo si toda la curva está situada por debajo de la recta tangente en

cualquier punto dado de la curva (Ver figura).

A continuación enunciaremos los criterios que permiten determinar la concavidad del gráfico de una función Criterios para analizar concavidad

Suponga que existe en un intervalo . Entonces:

Si es Cóncava hacia arriba en

Si en , f es Cóncava hacia abajo en

Puntos de inflexión son aquellos en los que la función cambia de convexa a cóncava o de cóncava a convexa.

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Ejemplo 6

Estudiar la concavidad del gráfico de la función

Solución

De acuerdo al criterio debemos estudiar el signo de la segunda derivada.

–

– –

Por lo tanto el gráfico de la función dada es:

Cóncavo hacia arriba en y en

Cóncavo hacia abajo en

Notemos que y = 0, además en y se produce un cambio de concavidad, por lo tanto, y son puntos de inflexión del gráfico de la función

Ejemplo 7

Graficar

en el intervalo obteniendo los intervalos de monotonía,

concavidad, puntos extremos y de inflexión.

Solución:

Para determinar los intervalos de monotonía y puntos extremos necesitamos la primera

derivada de .

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(

)

(

)

√ (

)

Obtenemos los puntos críticos:

Como (

) y

Necesitamos x tal que

Si (

) √

punto crítico

estacionario

Como la primera derivada en una función racional cuando denominador es cero

√

punto crítico singular

Además , son puntos críticos fronteras

√

√

es creciente en y decreciente en

En se tiene un valor máximo y corresponde a , en se tiene un valor

mínimo y correponde a .

es un punto máximo, es un punto minimo.

Como está definida en unintervalo cerrado, se debe analizar también el los puntos críticos

fronteras

Para √

Para √

Se tiene: , , ,

Puntos extremos son:

De ellos

es punto mínimo global, punto mínimo local (estacionario).

es punto máximo global, es punto máximo local (estacionario)

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Para analizar concavidades y obtener puntos de inflexión se necesita la segunda derivada.

(

)

√

Obtenemos puntos críticos:

Para

√

Cuando √

Punto crítico

√

Como no hay cambio de concavidades, no existe punto de inflexión.

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Ejercicios propuestos

Trazar la gráfica de las siguientes funciones, obteniendo los intervalos de monotonía y concavidad, puntos extremos y de inflexión. a)

b)

c) √

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d)

e) √ √