1.Determinar dos nmeros no negativos cuya suma sea 10 y cuyo producto tenga el mayor valor posible. Solucin: Se debe de maximizar el producto P de dos nmeros positivos. Sean estos nmeros: x, y Luego Como la suma de esos nmeros es 10, entonceses la ecuacin auxiliar, de donde. Entonces: Se debe de determinar el valor de x que hace mxima la funcin Derivando: Valores crticos: Ense tiene un valor crtico, y se debe estudiar si es un valor mnimo o un valor mximo. Comoentoncespor lo que ense tiene un valor mximo. Sientonces. Luego, los nmeros positivos cuyo producto es mximo y cuya suma es 10 son ambos iguales a 5. 2.Un rectngulo tiene 120 m. de permetro. Cules son las medidas de los lados del rectngulo que dan el rea mxima? Solucin: Se debe maximizar el rea A de un rectngulo: Designemos con "x", "y" las longitudes de los lados del rectngulo.Luego Como el permetro del rectngulo es 120 m. entonces la ecuacin auxiliar es: de donde. Luego Comoyentonceses un valor crtico. Analicemos si este valor es mximo o mnimo utilizando el criterio de la segunda derivada. Comoy, entonceses un valor mximo. Sientoncespor lo que un cuadrado de lado 30 es el rectngulo de mayor rea y permetro 120m. 3.Una recta variable que pasa por el puntocorta al eje X eny al eje Y en. Hallar el rea del tringulode superficie mnima, suponiendo A y B positivos. Solucin: Se debe minimizar el rea T de un tringulo. Grficamente se tiene: El tringulo es rectngulo y su rea est dada por La recta pasa por los puntos,y, por lo que la pendiente est dada como sigue: i.Tomandoy: ii.Tomandoy: Luego:es la ecuacin auxiliar, de donde(*) Entonces , Comoentonces Determinemos, utilizando el criterio de la primera derivada si los valores crticos son mximos o mnimos: Del cuadro anterior, como T decrece paray crece para entonces ense tiene un valor mnimo. Sientonces(al sustituir en (*)) Luego el rea del tringulo es Adems, la ecuacin de la recta es 4.Una ventana tiene forma de rectngulo, culminando en la parte superior con un tringulo equiltero. El permetro de la ventana es de 3 metros. Cul debe ser la longitud de la base del rectngulo para que la ventana tenga el rea mxima? Solucin: En este caso se debe maximizar el rea de la siguiente figura geomtrica: Se han sealado con las letras "x","y" las longitudes de los lados de la ventana. El rea de la ventana est dada por la suma de las reas del tringulo y del rectngulo. rea del tringulo: rea del rectngulo: rea total: Como el permetro de la ventana es 3 metros entonces:de donde es una ecuacin auxiliar. Luego:. Debemos escribir h tambin en trminos de x. Se tiene en el tringulo: , Luego: Determinamos los valores crticos Luego: El valor crtico es Utilizando el criterio de la segunda derivada se tiene que , y , de dondees un valor mximo. Luego, la longitud de la base del rectngulo debe serpara que la ventana tenga el rea mxima.La altura del rectngulo debe ser:y el lado del tringulo es.5.Un faro se encuentra ubicado en un punto A, situado a 5 Km. del punto ms cercano O de una costa recta. En un punto B, tambin en la costa y a 6 Km. de O, hay una tienda. Si el guardafaros puede remar a, y puede cambiar a , dnde debe desembarcar en la costa,para ir del faro a la tienda en el menor tiempo posible? Solucin: Se debe minimizar el tiempo de recorrido Grficamente la situacin es la siguiente: Sea C el punto de la playa en el que desemboca el guarda faros, designemos con x la distancia. es la distancia en que debe remar desde A hasta C es la distancia en que debe caminar desde C hasta B Note quey Adems se tiene que la distancia S recorrida en un tiempo t es igual a la velocidad por el tiempo: o sea; de donde. La distanciaes recorrida con una velocidad de, y la distanciacon una velocidad de, por lo que el tiempo total de recorrido ser: siendo esta la funcin a minimizar. Luego: Para determinar los valores crticos hacemos Utilicemos el criterio de la segunda derivada para determinar si el valor crtico es un mnimo. , evaluando ense obtiene por lo quees un valor mnimo. Luego, el guarda faros debe desembarcar en un punto C que est aKm. de punto C, para llegar a la tienda en el menor tiempo posible.6.Determinar las dimensiones del cono de mayor rea lateral que puede inscribirse en un cono circular recto de radio 1cm y altura 3cm, como se muestra en la figura siguiente: Solucin: Hay que maximizar el rea lateral del cono inscrito. Las dimensiones de ste son: x radio de la base, h altura y se especifican en la figura de la siguiente manera: El rea lateral de un cono es. Una ecuacin auxiliar se puede obtener por medio de semejanza de tringulos de la siguiente forma: Adems Sustituyendo en la ecuacin del rea lateral

Determinemos los puntos crticos: , Por lo tanto, los valores crticos sony Determinemos cul de esos valores es un valor mximo utilizando el criterio de la primera derivada.210 18 9 A xL x x x t t = = + Comocrece paray decrece paraentonceses un valor mximo. Comodecrece paray crece paraentonceses un valor mnimo. Luego el valor que nos interesa es Por lo tanto, el radio de la base del cono inscrito escm., y la altura es cm.7.Determinar las dimensiones del cono de volumen mnimo circunscrito a una semiesfera de radio R, de tal forma que el plano de la base del cono coincida con el de la semiesfera. Solucin: Hay que minimizar el volumen del cono circunscrito. Si el radio de la base del cono es x y su altura es h, su volumen est dado por: Grficamente se tiene: Haciendo un corte transversal se tiene: Podemos utilizar semejanza de tringulo para obtener una ecuacin auxiliar: de donde

Sustituyendo en la ecuacin del volumen del cono: Utilizando el criterio de la primera derivada, analicemos cul valor crtico corresponde a un valor mnimo: Comodecrece paray crece paraentonces corresponde a un valor mnimo que era lo que nos interesaba. Luego, las dimensiones del cono circunscrito a la esfera son: radio de la base, altura De una lmina cuadrada de lado 10 cm. se cortan cuadrados en cada uno de los vrtices con el objeto de hacer una caja abierta por arriba. Calcula el lado del cuadrado que se debe cortar para que el volumen de la caja sea mximo. Volumen de la caja =x x x ) 2 10 )( 2 10 ( x x x V ) 4 40 100 (2+ =x x x V 100 40 42 3+ =(Funcin a maximizar) 100 80 122+ = ' x x V ;80 24 = ' ' x V0 100 80 122= + x x 0 25 20 32= + x x ; ===355610 206100 20x0 40 80 5 . 24 ) 5 ( > = = ' ' V(mnimo, no se forma caja) 40 8035. 24 )35( = = ' ' V(mximo).La solucin es 35= xEjemplo 4 Un pastor dispone de 1000 metros de tela metlica para construir un cerco rectangular aprovechando una pared ya existente. Halla las dimensiones del cerco a fin de el rea encerrada sea mxima. Permetro = x + 2y = 1000 x = 1000 2y rea = x . y, es decir,) 2 1000 ( y y A =22 1000 y y A =(Funcin a maximizar ) y A 4 1000 = ' ; 4 = ' ' A0 4 1000 = y y = 250 Como la segunda derivada es negativa se trata de un mximo. 5000 250 . 2 1000 2 1000 = = = y xLas dimensiones sern: 500 metros de largo y 250 de ancho. 10x x 5.- Entre todos los rectngulos de permetro 12 cm. cul es el que tiene la diagonal menor?. Solucin: Permetro: 12 2 2 = + y x 6 = + y x x y = 6(condicin que se ha de cumplir) Funcin a minimizar: 2 2 2d y x = +2 2 2 2) 6 ( x x y x d + = + = Es decir, 36 12 2 ) (2+ = x x x d que es la funcin a estudiar. 18 6 26 236 12 2 212 4) (2 2+ =+ = 'x xxx xxx d Igualando ) (x d' a cero y resolviendo la ecuacin resultante se obtienex = 3 Segunda derivada: 18 6 2) 6 2 .(18 6 2 26 418 6 2 2) (222+ + + = ' 'x xxx xxx xx d Valor de la segunda derivada para x = 3: 0323 . 23 . 2 218 18 3 . 20 18 18 3 . 2 2) 3 (2222> = =+ + = ' ' d (mnimo, se trata de un cuadrado) 6.- Una hoja de papel debe contener 18 cm2 de texto impreso. Los mrgenes superior e inferior deben tener 2 cm. cada uno, y los laterales 1 cm. Halla las dimensiones de la hoja para que el gasto de papel sea mnimo. Solucin: Condicin que se tiene que dar: 18 cm2 de texto impreso, es decir, 18 ) 2 )( 4 ( = y x 4182= xy42 10+=xxy Funcin a minimizar: Superficie = 42 1042 10. .2+=+=xx xxxx y x, es decir, 42 102+=xx xS. Derivando, 22) 4 (40 16 2 = 'xx xS. Si hacemos 0 = ' S entonces0 40 16 22= x x0 20 82= x x===210212 82144 8x La solucin negativa no tiene sentido.42 2) 4 () 40 16 2 )( 4 ( 2 ) 4 )( 16 4 ( = ' 'xx x x x xS; 060 36 . 24) 10 (4>= ' ' S Para x = 10, la 2 derivada es positiva, luego es un mnimo. 7.- Halla las dimensiones del rectngulo de rea mxima inscrito en una circunferencia de 10 cm. de radio. Solucin: Condicin que se tiene que dar: 4002 2= + y x2400 x y = Funcin a maximizar: rea = 2400 . x x y x =;2400 x x A = 22222224002 400400400 .400 22400 . 1xxxxx xxxx A= =+ = ' Si hacemos 0 = ' A,0 2 4002= x2002= x 2 10 = x Es claro que la solucin es 2 10 = x ya que la negativa no tiene sentido. Comprobaremos que es mximo calculando la segunda derivada: 2222400) 2 400 (400 22400 4xxxxx xA = ' ' Para 2 10 = x, 05200 22000 200 400 2 10 . 4) 2 10 ( < = = ' ' A (mximo) Si , 2 10 = x 2 10 ) 2 10 ( 4002= = y. Se trata de un cuadrado. 8.- En una carretera a travs del desierto un automvil debe ir desde la ciudad A hasta el oasis P situado a 500 Km. De distancia de A. Puede aprovecha para ello una carretera recta que une las ciudades A y B y que le permite ir a una velocidad de 100 Km/h, mientras que por el desierto la velocidad es de 60 Km/h. Sabiendo que la distancia ms corta de P a la carretera que une las ciudades A y B es de 300 Km., determina la ruta que deber usar para ir de A a P en el menor tiempo posible. Solucin: La ruta a seguir es AMP. Aplicando Pitgoras en el tringulo ACP se obtiene: 400 300 5002 2= = AC En el tringulo MCP se obtiene que 2 2300 + = x MP Y el tiempo que tarda el automvil en recorrer la distancia AM + MP es: 6030010042 2++=x xt. Derivando, 2 2 2 2300 601001300 226011001++=++= 'xxxxt Si hacemos 0 = ' t,0300 6010012 2=++xx 1001300 602 2=+ xx Es decir, 2 2300 6 10 + = x x2 2 2300 . 36 36 100 + = x x 2 2300 . 36 64 = x 64300 . 3622= x225 = x La solucin negativa no tiene sentido. 175 225 400 = = AM El automvil deja la carretera a 175 Km. de la ciudad A. Podemos comprobar que es mnimo hallando la segunda derivada: ) 300 ( 6030060 ) 300 ( 60) 300 ( 60300 22. 60 300 60 . 12 2 22 22 22 2 22 22 2++ +=++ += ' 'xxx xxxxxt 2 2 2 2 22 2300 ) 300 ( 6060 ) 300 ( 60+ + += ' 'x xx xt. Para x = 225, 0 ) 225 ( > ' ' t (mnimo) 9.- Un depsito abierto de latn con base cuadrada y capacidad para 4.000 litros, qu dimensiones debe tener para que su fabricacin sea lo ms econmica posible? Solucin: La funcin que tenemos que minimizar es el rea del depsito: xy x A 42+ = Con la condicin de que el volumen y x V2= sea de 4000 litros. 40002= y x 24000xy =, por tanto, 224000. 4xx x A + = xx A160002+ = (funcin a minimizar) 1 21600+ = x x A;232216000 2 160002 16000 . 1 2xxxx x x A= = = ' Si hacemos 0 = ' A, 0 16000 23= x80003= x 20 = x Segundo derivada: 3343 2 232000 2 ) 16000 2 ( 2 . 6xxxx x x xA+= = ' ' Para x = 20, 02032000 20 . 2) 20 (33>+= ' ' A para x = 20 la superficie es mnima. Si x = 20, 102040002 = = y luego la caja debe tener 20 dm. de lado y 10 dm. de altura. 10. Se desea construir una lata de conserva en forma de cilindro circular recto de rea total 150 cm2 y volumen mximo. Determina su generatriz y su radio. Solucin: El rea total de un cilindro es: rea =generatriz radio t 2+ el rea de las dos bases ) (2 2radio radio + t t es decir, 150 . 2 . . 22= + = x y x A t t (Condicin que se tiene que cumplir) Y de aqu, 75 . . .2= + x y x t t xxytt275 = El volumen del cilindro es igual al rea de la base por la altura, por tanto, 322 2. 7575x xxxx y x V tttt t == = (funcin a maximizar) Derivando, 2. 3 75 x V t = ' Si hacemos 0 = ' V, 0 . 3 752= x t t t253752= = x t5 = x Segunda derivada: x V . 6t = ' ' 0 30. 30 5. 65< == =||.|

\|' ' ttt ttttV Para t5= x el volumen es mximo. t ttttttttt105505505.2575= = == y -Una empresa ha decidido mejorar su seguridad instalando 9 alarmas. Un especialista en el tema seala que dada la estructura de la empresa slo puede optar por dos tipos de alarmas, de tipo A o de tipo B; adems, afirma que la seguridad de la empresa se puede expresar como la dcima parte del producto entre el nmero de alarmas de tipo A instaladas y el cuadrado del nmero de alarmas instaladas de tipo B. Cuntas alarmas de cada tipo se deben instalar en la empresa para maximizar su seguridad?. Solucin a. Determinar la funcinLlamemos x a las alarmas de tipo B instaladas, con lo que las alarmas de tipo A sern (9-x) La seguridad de la empresa viene expresada por la funcin F(x)= (9-x) x2 /10= (9x2-x3)/10 b. Calcular el mximo Calculamos f'(x)= (18x-3x2)/10 Resolvemos la ecuacin: f'(x)=0. Soluciones: x=0, x=6 Calculamos f''(x)= (18-6x)/10 ysu signo en estos valores. El mximo se obtiene en x=6 c. Criticar las soluciones Deberemos instalar 6 alarmas de tipo B y 3 de tipo A