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7/25/2019 algebra 5.pdf

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DIVISIN ALGEBRAICA

NIVEL: SECUNDARIA SEMANA N 1 QUINTO AO

Cuando aprendimos a dividir en el conjunto N, vimos que

esta operacin presentaba el siguiente esquema:

Por ejemplo:

35 843

35 = 8 + 3(4)

Anlogamente para polinomios:

x + 12

x - 1

x + 12

x + 1 (x - 1) + 22

(x + 1)

DIVISIN DE POLINOMIOS

Operacin algebraica definida para polinomios orde-nados en forma descendente que consiste en hallar dos

polinomios llamados cociente y residuo a partir de otros

dos llamados dividendo y divisor.

IDENTIDAD FUNDAMENTAL

D(x) d(x)q(x) + R(x)

Tambin:

D(x) Q(x) + R(x)

d(x) d(x)

Donde:

D(x) :

d(x) :

q(x) :

R(x) :

Ejemplo:

)x(R)x(q

2

)x(d)x(D

3 2)1xx()1x(3x ++++

Observacin

r

r

r

CLASESw Divisin Exacta: R(x)0

D(x)d(x) q(x)

w Divisin Inexacta: R(x) 0

D(x)d(x)q(x) + R(x)

PROPIEDADES

1. )]x(d[)]x(D[)]x(q[ =

Ejm.:6x2x

7xx2

45

++

++

[q(x)] = 5 - 2 = 3

2. [R(x)] < [d(x)]

Ejm.:1x6x

8x2x3

56

++

++

II BIM LGEBRA 5TO. AO


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COLEGIOS TRILCE: SAN MIGUEL FAUCETT MAGDALENA Dpto. de Publicaciones 200392

MTODOS PARA DIVIDIR

MTODO DE HORNER

Ejemplo:

Dividir:

4x3x

4x3x5x3x2

234

+

++

Colocamos los coeficientes del dividendo y divisor.

1 1 -3 5 -3 4

3

-4

Como el divisor es de grado 2, trazamos la lnea divi-

sora 2 lugares hacia la izquierda.

1 1 -3 5 -3 4

3

-4

1 0 1 0 0

3 -4

0 0 0

1 3 -4

x

q(x) = 1x2+ 0x + 1 = x2+ 1

R(x) = 0x + 0 = 0

La divisin es exacta.

Dividir:

2xx2x35xx17x3x10 32

2345

+ +

2 10 3 -17 -1 0

-3

1

5 -6 3 -6 -9

-15 5

-12 18 -6

6 -9

x

2

-5

1

10

-12

3 6

q(x) = 5x2- 6x + 3

R(x) = -6x2- 9x + 1

MTODO DE RUFFINI

Es un caso particular del Mtodo de Horner. Se aplica

para dividir un polinomio D(x) entre un divisor que tenga o

adopte la forma lineal:

d ( x ) = A x + B , A 0

Ejemplo: Dividir:

3x4

5xx10x8 34

++

Colocamos los coeficientes del dividendo e igualamosa cero el divisor.

4x - 3 = 0 8 10 0 -1 5

x = 3/4 6 12 9 6

x 8 16 12 8 11

4 2 4 3 2

Luego:

Q(x) = 2x3+ 4x2+ 3x + 2

R(x) = 11

Ejemplo: -

Dividir:

2x

18x6x5x3 234

+++

x + 2 = 0 3 5 -6 0 18

x = -2 -6 2 8 -16

3 -1 -4 8 2

q(x) = 3x3- x2- 4x + 8

R(x) = 2

TEOREMA DEL RESTO

Nos permite hallar el resto de una divisin, sin

efectuarla:

Enunciado:

En toda divisin de la forma P(x) (Ax + B), el residuo

es igual al valor numrico de P(x) cuandoA

Bx = .

Es decir:

=

+ AB

PstoReBAx

)x(P

d(x) = Ax + B, A0


Ejemplo: -


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REGLA PRCTICA PARA CALCULAR

EL RESTO DE UNA DIVISIN

I. El divisor se iguala a cero.

II. Se elige una variable conveniente y se despeja estavariable.

III.La variable elegida se busca en el dividendo para re-emplazarlo por su equivalente, luego se realizan las

operaciones indicadas y obtenemos el resto.

Ejemplo:1. Hallar el resto en:

2x

1x3x3x 23

++

Solucin:P(x) = x3- 3x2+ 3x - 1

Aplicamos regla prctica:

x + 2 = 0 x = -2

Luego:

R = P(-2) = (-2)3- 3(-2)2+ 3(-2) - 1

R = -8 - 12 - 6 - 1 = -27

R = -27

2. Halle el resto en:

1x

1xxxxx4

26182460

+

++++

Solucin:P(x) = x60+ x24+ x18+ x6+ x2- 1

Aplicamos regla prctica.

x4+ 1 = 0 x4= -1

Luego:

P(x) = (x4)15+ (x4)6+ (x4)4. x2+ (x4)x2+ x2- 1

Reemplazando:

R = (-1)15+ (-1)6+ (-1)4x2+ (-1)x2+ x2- 1

R = -1 + 1 + 1 . x - x + x - 12 2 2

R = x2- 1

TEOREMAS

1. Si al dividendo y al divisor se le multiplica por unpolinomio no nulo, entonces el cociente no se altera

pero el resto queda multiplicado por dicho polinomio.

2. Si al dividendo y al divisor se le divide por un polinomiono nulo, entonces el cociente no se altera pero el res-

to queda dividido por dicho polinomio.

EJERCICIOS DE APLICACIN

1. Calcular: a + b; si x5+ ax + b es divisible por (x - 1)2

a) -1 b) 0 c) 1d) 2 e) N.A.

2. Hallar: m + nSi: x4- 3x3+ mx + n - 3 es divisible entre:

x2- 2x + 4

a) 4 b) -13 c) 7d) -9 e) N.A.

3. Hallar el trmino independiente del cociente si aldividir:

2x3

2bxx5xxx3 2345

++++

Deja de resto cero.

a) -2 b) -3 c) -4d) -1 e) N.A.

4. Calcular el resto de dividir:

23x

4x22x2x22x22x 2356

+

+++

a) 2 b) 3 c) 4d) -4 e) 5

5. Calcular:n

m si la divisin:

nx2x3

mx10x5x4x62

234

++

++

Es exacta:

a) 1/2 b) 2 c) 3/10

d) 3 e) -5


PROF. RICHARD BARRIOS VELSQUEZ.


4/5

6. Calcular A + B; si la divisin:

3x6x2

5x29BxAxx142

234

+

+++

Deja como resto: 2x + 1

a) -12 b) -13 c) -14

d) -15 e) -16

7. Determinar el valor de k para que el coeficiente deltrmino lineal del cociente entero valga (-45) en la

divisin:

3x

7kxx6x2 235

+

a) 81 b) -81 c) 72d) -72 e) 0

8. Hallar la suma del cociente entero y del residuo de ladivisin:

2

2345

)1x(

1xx4x4x2x

++

a) x3+ 4x - 7 b) x3- 3x + 9 c) x3+ 5x - 1

d) x3- 6x + 2 e) N.A.

9. Calcular: m + n; si: x6+ mx + n es divisible entre:x2- 2x + 1

a) -2 b) -1 c) 1d) 2 e) 0

10. Calcular la suma de coeficientes del cociente dedividir:

1x

1nx)2n(x 1n

+++

a) n b) n + 1 c) -3d) 1 e) N.A.

11. Determinar el cociente entero que resulta al dividir:

1x3

1xx6xx3 21920

++++

a) x19- 6x + 2 b) x19- 19x + 1 c) x19+ x - 11

d) x19+ 2x - 1 e) N.A.

12. Hallar el residuo de la divisin indicada:

1x

1x6xxx2x33

5134755

+

+++

a) 4x2- 7x + 2 b) -3x2+ 8x - 1 c) -4x2+ x - 1

d) 3x2+ 7x + 1 e) N.A.

13. Calcular el resto de la divisin:

2x

x6)3x()3x2( 45

++++

a) 1 b) -6 c) -3d) 12 e) N.A.

14. Hallar el resto que resulta de dividir:

1x

5x7xx3xx43

462244

+

++++

a) 4x2+ 5x - 8 b) 3x2- 6x + 1 c) 5x2+ x - 6

d) 6x2+ 4 e) N.A.

15. Al dividir:

7x

mx5x3x52

34

+

++

Se obtuvo de residuo: ax + 218

Hallar: a + m

a) 2 b) 5 c) 8d) 10 e) 11

TAREA DOMICILIARIA N 1

1. En la divisin:

1xx

aaxx2xx32

234

+

+++

el residuo es un trmino independiente. Calcular dichoresto.

a) 13 b) 20 c) 22d) 32 e) 24

2. Para efectuar una divisin segn la regla de PaoloRuffini se plante el siguiente esquema:

2a2

4 -3 -b a

8a c e

4 b d f

Calcular el residuo.

a) 8 b) 9 c) 10d) 11 e) 12

3. Determinar el resto en la divisin:

nm3xm

10mnxnx3

7n23m5

+

++




5/5

a) 13 b) 18 c) 22d) 26 e) N.A.

4. Hallar el cociente, si la siguiente divisin:

3x7x5x

cx17bxaxx

23

234

++

++++

Es exacta:

a) x + 1 b) x - 1 c) x2+ 1d) 2x + 3 e) x - 2

5. Proporcionar el resto de:

6x5x

)3x()2x(2

37

+

+

a) x + 5 b) x - 5 c) 2x - 5d) 2x + 5 e) x - 3

6. Calcular el resto de:

8x5x

2)5x(x)9x5x(2

22n2

++

+++++

a) 66 b) 62 c) 64d) 8 e) N.A.

7. Si la divisin:

22

432234

y2xyx2y3xy5yx6yxx6

++

Deja el resto (-16)

Hallar y

a) 1 b) 3 c) 2d) -1 e) 4

8. Hallar el resto en:

1x

16n3x)3n(x)1n(nx 2n1nn

+++

a) 11 b) 12 c) 13d) 14 e) 15

9. Hallar el resto de:

3zyx

)1z(z)1z2)(yx()yx( 2

++++++

a) 1 b) 2 c) 3d) 6 e) 9

10. Para que la divisin de:

1xx

baxx2

24

++

++

Sea exacta, seale los valores de a y brespectivamente.

a) 1; -1 b) -2; 1 c) 1; 1d) 1; -2 e) -1; 1

11. Si (x + 1) es un factor de: x2+ cx + 2 y (2x - 1) es un

factor de: dx2

+ 5x - 4 entonces el valor de c

des:

a) 1/2 b) 4 c) -1/2d) -6 e) 6

12. Calcular el valor de (A + B + C) si la divisin:

3xx2

CBxAxx4x823

235

++

++++

Deja como resto: 3x2+ 2x + 1

a) 12 b) 18 c) 24d) 30 e) 36

13. Calcular a si la suma de coeficientes del cociente es161, tal que el resto es 16.

1x

ab2bx2ax51

++

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

14. Hallar el valor de m . n sabiendo que:

P(x) = 10x5+ x4- 9x3+ 16x2+ mx + nes divisible por (x - 1)(2x + 3)

a) 9 b) 18 c) 81d) 27 e) 243

15. Hallar el resto de dividir:

bax

bax)baba(x)ba(xx)ab(x 33222345

+++++++++

a) a3 b) b3 c) 2a3

d) 2b3 e) a + b



Sabiendo que el dividendo es ordenado y completo.

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