algebra
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Índice: Tema Página. Unidad I.
Operaciones fundamentales del algebra ----------------------------- 15
1. Traducción del lenguaje común al lenguaje algebraico -------------------- 15 2. Notación algebraica. -------------------------------------------------------------- 18 3. Valor numérico de una expresión algebraica --------------------------------- 23 4. Leyes de los exponentes enteros positivos. ---------------------------------- 24 5. Suma y restas de polinomios ---------------------------------------------------- 26 6. Multiplicaciones de monomios ---------------------------------------------------30 7. Multiplicaciones de polinomios por polinomios. --------------------------- 33 8. División de monomios. ------- ---------------------------------------------------- 36 9. División de polinomios por monomios. --------------------------------------- 38 10. Productos notables. --------------------------------------------------------------- 43 11. Factorización de polinomios. --------------------------------------------------- 47 12. Ejercicios. --------------------------------------------------------------------------- 51
Unidad II. Fracciones algebraicas. -----------------------------------------------------53
1. Simplificación de fracciones algebraicas. ------------------------------------53 2. Adicción de fracciones algebraicas. -------------------------------------------58 3. Mínimo común múltiplo de polinomios. ------- ---------------------------- 61 4. Fracciones con denominadores distintos. -----------------------------------64 5. Multiplicación de fracciones. ------------------------------------------68 6. División de fracciones. ---------------------------------------------------------71 7. Operaciones combinadas y fracciones complejas. -----------------------73
Unidad III. Exponentes y radicales. ---------------------------------------------------77
1. Leyes de los exponentes. ------------------------------------------------------77 2. Exponentes enteros negativos y cero. --------------------------------------78 3. Exponentes fraccionarios. -----------------------------------------------------81 4. Leyes de los radicales. ---------------------------------------------------------85 5. Adición y sustracción de radicales. -----------------------------------------89 6. Multiplicación y división de radicales. ---------------------------------------91
Unidad IV. Ecuaciones lineales. -------------------------------------------------------95
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1. Ecuaciones de primer grado. --------------------------------------------------95 2. Ecuaciones de primer grado con una incógnita. --------------------------97 3. Ecuaciones que contienen quebrados. ----- -------------------------------103 4. Solución de problemas mediante las ecuaciones de primer grado------104 5. Ejercicios. -----------------------------------------------------------------------108
Unidad V. Sistemas de ecuaciones. --------------------------------------------------110
1. Resolución de sistemas lineales. ---------------------------------------------110 2. Resolución de ecuaciones simultáneas con más de dos incógnitas. ----117 3. Resolución de ecuaciones simultáneas por determinantes. ----------118 4. Problemas que dan lugar a un sistema de ecuaciones con dos
o más incógnitas.-----------------------------------------------------------------121 5. Ejercicios. ------------------------------------------------------------------------124
Unidad VI. Ecuaciones cuadráticas. ------------------------------------------------127
1. Forma general de la ecuación de segundo grado. ----------------------127 2. Resolución de las ecuaciones cuadráticas puras. ----------------------128 3. Resolución de las ecuaciones cuadráticas mixtas incompletas. -----128 4. Resolución de las ecuaciones cuadráticas completas. ------------------129 5. Ecuaciones que comprenden radicales de segundo orden. ------------135 6. Ecuaciones reducibles a una de segundo grado.------------------------- 137 7. Problemas que implican ecuaciones de segundo grado.----------------138 8. Ejercicios.----------------------------------------------------------------------- 139
Unidad VII. Inecuaciones. ------------------------------------------------------------- 142
1. Generalidades sobre desigualdades. -------------------------------------142 2. Propiedades de las desigualdades. -------------------------------------- 143 3. Resolución de las inecuaciones. ------------------------------------------ 144 4. Inecuaciones simultáneas. -------------------------------------------------- 146 5. Ejercicios. ---------------------------------------------------------------------- 147
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UNIDAD I OPERACIONES FUNDAMENTALES DEL ALGEBRA.
1. Traducción del lenguaje común al lenguaje algebraico.
Notación y terminología algebraica.
Introducción al álgebra.
El álgebra es una rama de las matemáticas que generaliza los métodos y procedimientos
para efectuar cálculos y resolver problemas.
Siendo el álgebra una rama de las matemáticas, sus operaciones son las mismas que las de
la aritmética, es decir: suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación. El
álgebra es una generalización de la aritmética.
En el desarrollo del álgebra, el uso de una letra para representar un numero fijo pero
desconocido proviene de los griegos; sin embargo, el uso de una o varias letras para
representar toda una clase de números no se concibió sino basta finales del siglo XVI.
Durante todos los siglos en que los babilonios, egipcios, griegos, hindúes y árabes
trabajaron en álgebra, no se les ocurrió la idea de usar letras en lugar de números. Estos
pueblos hicieron su álgebra trabajando con expresiones concretas pero no usaron un
símbolo como la "x" para la incógnita.
LITERALES E INCOGNITAS.- Sabiendo que las letras son los símbolos más conocidos
el ser humano, estas fueron tomados para representar valores numéricos, siendo su empleo
convencional a determinadas condiciones o principios de los problemas razón que las
divide en:
LITERALES.- Son letras del abecedario que se utilizan para representar aquellos valores
que son conocidos o que pueden obtenerse directamente, es decir, los datos dados en un
problema se representan par medio de literales.
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INCOGNITAS.- Son letras del abecedario que se utilizan para representar aquellos valores
numéricos que se desconocen y que, para ser conocidos, deberán efectuarse operaciones
matemáticas.
VARlABLES Y CONSTANTES.- Todas las cantidades conocidas se expresan por las
primeras tras del abecedario: a, b, c, d, e..., etc., se denominan también LITERALES ".
Todas las cantidades desconocidas se expresan por las ultimas letras del abecedario: s, t, u,
v, w, x, y, z...se denominan '"INCOGNITAS".
De lo anterior hacemos la siguiente observación:
VARIABLE.- Es una letra o símbolo que puede tomar cualquier valor de un conjunto de
números, es decir, puede cambiar de valor. EJEMPLO:
Si tenemos la función y= 2x, Y si Ie asignamos valores a "x", resulta que el valor de "y"
cambiara conforme "Varia" el valor de X", por ejemplo:
Sí x = 1 sí x = 2 sí x = 3
Y =2(1) Y = 2(2) Y = 2(3)
Y=2 y=4 y=6
CONSTANTE.- Es cualquier letra o símbolo con un valor numérico fijo, es decir, no
pueden cambiar de valor. EJEMPLO: Cualquier numero, por ejemplo "9" siempre será
nueve; π = 3.1416 es una constante que representa la razón de la circunferencia de un
circulo al diámetro.
TRADUCCIÓN DE EXPRESIONES DEL LENGUAJE COMUN AL LENGUAJE
ALGEBRAICO Y VICEVERSA.
Comenzaremos por traducir el lenguaje cotidiano a expresiones algebraicas. Estas
expresiones algebraicas muestran situaciones concretas del mundo real de una manera
abstracta.
Tal vez te parezca muy simple lo que vamos a traducir, pero esta sencillez te clara
confianza para iniciar nuestro estudio algebraico.
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En el lenguaje común o "verbal, se emplean palabras, mientras que en el lenguaje
algebraico se emplean letras y símbolos, que permiten reducir las proposiciones verbales en
proposiciones algebraicas muy simples y fáciles de comprender. EJEMPLOS:
LENGUAJE COMUN: LENGUAJE ALGEBRAICO: I.-
Tres objetos cualesquiera. x .y, z.
2.- La semisuma de dos números 2
a b+
3.- La suma de dos veces un numero mas 2n + 3n = 5n
tres veces el mismo numero es igual a
cinco veces dicho número.
4.- El cubo de un numero menos el w³ - 2w
del mismo numero.
5.- El cociente de dos Fracciones comunes m pn p÷
LENGUAJE ALGEBRAICO: LENGUAJE COMUN:
5n –2n = 3n Cinco veces un numero restado dos
veces el mismo numero es igual a tres veces
dicho numero.
a² + b² Suma de los cuadrados de dos números. 2πr
EI doble producto de π por r(radio).
2 (u -v) El doble de la diferencia de dos números.
A = (l)(a) El área de un rectángulo es igual al producto de su
largo par su ancho.
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2. NOTACIÓN ALGEBRAICA.
Identificación de los elementos de una expresión algebraica.
En la notación algebraica el medio que nos permite conocer los elementos que conforman
una representaci6n matemática; por ejemplo:
EXPRESIÓN ALGEBRAICA.- Es una representación que se aplica a un conjunto de
literales y números que conforman una 0 más operaciones algebraicas.
EJEMPLOS:
X ; 7z² ; 2ª + 5b; √8x; 2 2x ax a++
; etc.
En las expresiones algebraicas, las partes que aparecen separadas por el signo (+) o (-)
reciben el nombre de Términos algebraicos.
TERMINO ALGEBRAICO.- Es cualesquiera de las partes de uno expresión que consta de
uno o vario símbolos no separados entre si por el signo ( +) o (-).
EJEMPLOS:
3x² ; 2mn; u/3; ,√5y³ ; 4x²y; etc.
ELEMENTOS DE UN TERMINO.- Los elementos que constituyen un termino son: el
signo, el coeficiente, la parte literal y el grado.
Términos POR EL SIGNO.- Los términos que van precedidos del signo ( + ), se de
nominan "POSITIVOS"; los que van precedidos del signo (-), se denominan "Negativos".
EJEMPLOS :
8x²y; 2x/3y; 5x; 7uvw } TERMINOS POSITIVOS
-6xy²; -3m/n; -ax ; -8mn } TERMINOS NEGATIVOS.
Cuando un termino no es afectado por ningún signo, se considera positivo, ya que el signo
(+ ) suele no escribirse en términos positivos:
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COEFIClENTE.- Es generalmente el primero de los factores que conforman un termino; el
coeficiente puede ser de dos clases, por ejemplo:
COEFICIENTE Numérico.- Es el factor numérico de un termino.
EJEMPLO: "El coeficiente numérico del termino 5ax es 5"
COEFICIENTE LITERAL.- Es el factor literal de un termino.
EJEMPLO: "El coeficiente literal del termino mby es m”.
Es importante señalar que el coeficiente siempre va acompañado del signo del término.
EJEMPLO: " -2by el coeficiente numérico es -2 ..
Cuando un termino no tiene coeficiente numérico indicado, se sobreentiende que su
coeficiente es la unidad.
EJEMPLO: "axy = 1 axy "
Monomios
Clases de monomios (términos)
Termino entero es el que no tiene denominador con literal como: 5a, ba 34 , a52
Termino fraccionario es el que tiene denominador literal como: - ba3
Termino radical es el que no tiene radical, como los ejemplos anteriores, e irracional el que
tiene radical, como: ab , 3 23
ab .
Términos homogéneos son los que tienen el mismo grado absoluto. Así, yx4 4 , y
yx326 son homogéneos porque ambos son de quinto grado.
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Términos heterogéneos son los de distinto grado absoluto, como 5a, que es de primer
grado, y 3a², que es de segundo grado.
Polinomios
Son aquellos que constan de más de un término, es decir, es la suma algebraica de dos o
más monomios.
Son polinomios en varias variables:
yx 7632 +
378 −+− yxxy
No son polinomios porque la variable:
86 7 2 ++ −xx tiene exponente negativo.
9x + y tiene un radical.
8x + y 3/2 tiene exponente fraccionario.
10xyz
la variable esta en el denominador.
EI polinomio esta constituido por términos
El término es la parte de un polinomio o expresión algebraica separada por los signos mas o
menos.
Ejemplo
4x² -5xy-√2y² son términos 4 x² ,5 xy, √2 y²
E1 termino esta formado par coeficiente (parte numérica), variables (literales o letras),
multiplicados entre sí, llamados factores.
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Coeficiente Exponente
yx 27
Literales
Generalmente se considera que el signo del término pertenece al coeficiente, que es el 5
-5x²y³
A cada uno de los elementos del termino se le conoce como "factor".
Clases de polinomios
Un polinomio es entero cuando ninguno de sus términos tiene denominador literal, por
ejemplo:
2x³ + 7x – 8 , 83
535 2
++xx
Un polinomio es fraccionario, cuando algunos de sus términos tienen literales como
denominadores, por ejemplo:
72−+
dc
ba
Un polinomio es racional cuando ninguno de sus términos contienen radicales, par ejemplo:
2x² + 2xy + y²
Un polinomio es irracional cuando alguno de sus términos contiene algún radical, por
Ejemplo:
823 −+ yx
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Un polinomio será completo cuando sus términos contienen exponentes sucesivos en
relación a una literal, por ejemplo:
xx x 8 35 3 −+
Los polinomios se ordenan alfabéticamente y se agrupan de exponente mayor a exponente
menor, los números constantes se escriben hasta lo último.
Ordenar el siguiente polinomio:
185
518
372723
223
232
+−=
−+−+
−−
−yxx
xxyxyy
xyy
Grado de los polinomios
E1 grado de un término en una sola variable es la potencia de la variable. Si dos o mas
variables se hallan en un termino, el grado de término es la suma de las potencias de las
variables.
Ejemplo:
Grado de un término en una sola variable:
6x³ 3er grado.
2x 1er grado.
3³x 1er grado.
-3 grado cero porque -3x°
Grado de un término en varias variables:
72 x³ y³ 6to grado
4 x² y³ 5to grado
√3 x y² 3er grado
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3. VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA
Es una identidad sabemos que la incógnita puede adoptar cualquier valor y la igualdad
siempre se cumplirá. Mientras que en una ecuación es necesario encontrar las solución, ya
que la incógnita tiene un valor específico.
La cantidad de soluciones para la incógnita en una ecuación está dada por el grado absoluto
de la expresión algebraica.
Si es de primer grado sólo tiene una solución.
Si es de segundo grado tendrá a lo más, dos soluciones reales; es decir, la
incógnita puede adoptar dos valores diferentes y la igualdad se cumple.
Si es de tercer grado, tendrá a lo más tres soluciones... y así sucesivamente.
Dentro de este tema todavía no estudiaremos el procedimiento para encontrar el valor de la
incógnita; ese tema es abordado en los capítulos posteriores.
Lo que por el momento haremos es practicar un sencillo procedimiento: si conocemos el
valor de las incógnitas para una expresión algebraica, lo sustituimos en ésta y encontramos
el valor numérico o comprobamos la igualdad.
Encontrar el valor numérico
¿Cuánto vale la siguiente expresión?
Cuando x = 2 Y y = 4
2(2) ² - 3 (4) =
2(4) – 12 =
8 – 12 =
Podemos afirmar que el valor numérico para 2x² - 3y = -4, si sólo si
2x²- 3y
- 4
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x =2 Y у = 4. Es decir, si el valor numérico de 2x² - 3y = -4, entonces
x = 2 Y y = 4, y si x = 2 Y y =4, entonces 2x² - 3y = -4. Debemos saber,
sin embargo, que si los valores de x y de y cambian, también cambiará el
valor numérico de la expresión algebraica.
4. LEYES DE LOS EXPONENTES ENTEROS POSITIVOS
Exponente.- Indica el número de veces que un término deberá aparecer como factor de si
mismo; por ejemplo:
a5 = (a) (a) (a) (a) (a)
La expresión a5 se llama potencia y se lee “a quinta”. La representación general es:
N Exponente (Entero positivo)
n – ésima potencia a Base
de a.
Leyes de los exponentes.- Se establecen cinco leyes fundamentales de los exponentes
enteros y positivos, dichas leyes son:
Ley I.- “Cuando dos potencias de la misma base, se multiplican, su resultado es un término
de la misma base y con un exponente igual a la suma de los exponentes de las potencias
multiplicadas; Es decir:
Ley II.- “Cuando dos potencias de la misma base, se dividen, su cociente es un término de
la misma base y con un exponente igual a su diferencia de los exponentes de las potencias
divididas”; Es decir:
nm
n
m
aaa −= (Si m > n) mnn
m
aaa
−=
1 (Si n>m)
n n (a ) (a ) = a
25
10 === − aa
aa nm
n
m
(Si m = n)
Ley III.- “Cuando una potencia base se eleva a un expo9nente, su resultado es un termino
de la misma base y con una exponente al que se elevo la potencia”; Es decir:
mnnm aa =)(
Ley IV.- “cuando un producto de uno o mas factores se elevan todos ala vez un exponente,
su resultado es un producto donde cada factor se eleva al exponente de dicho producto”;Es
decir:
mmm baab =)(
Ley V.- “cuando un cociente se eleva aun exponente su resultado es la potencia del
dividendo (numerador) y la potencia del divisor (denominador), realizándose finalmente la
división”; Es decir:
m
mm
ba
ba
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
a) 53232 ))(( uuuu == +
b) 2242
4
mmmm
== −
c) 6)3)(2(32 )( ccc ==
d) 6
3
)3)(2(
333
2
8.22ba
ba
ba
==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
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5. SUMA Y RESTAS DE POLINOMIOS:
SUMA O ADICIONES.- Operación que consiste en reunir dos o mas expresiones
algebraicas de una sola.
Para efectuar adiciones con polinomios, se realizan sumandos solo términos semejantes.
EJEMPLOS:
SUMANDO <--------------- 222 753 aaa ++ = 215 a -------------------- SUMA
2232
3333
632724
532
axaxaxaxxxxmx
mnmnmn
=++
=++
=+
En aritmética se suman los números positivos, en álgebra la suma puede ser con cantidades
positivas y negativas, proceso que se denomina “suma o adición algebraica”.
Al realizar sumas algebraicas de términos semejantes, se recomienda, sumar los términos
positivos y los negativos primeramente y finalmente se calcula su diferencia. si existen
términos no semejantes, la operación que da indicando.
EJEMPLOS:
=−−+++=++−+− YYYXXXXYYXYX 4783684376 10 11X Y−
cbaccbbaacccbbbaaacbacbacba
526273533926523455423625
+−=−+−+−=−++−++−+=+−+−+−++
3232
5353
+=+
+=+
mm
bxaxbxax
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En la suma de polinomios en forma práctica se colocan verticalmente los términos
semejantes, es decir, en forma de columna, al igual que en la aritmética, para facilitar la
operación.
1.- suma las expresiones: .743253 22 babbababa −++−++ acomodando los términos
semejantes, tenemos:
bbabababa
−++
+−
__________472533
2
2
baba 845 2 ++
Resta o Sustracción.- Restar una cantidad “m” de otra cantidad “l”, significado determinar
la cantidad a “m”, de cómo resultado “l”.
rml =− ya que lmr =+
La sustracción con polinomios, se realiza utilizando términos semejantes.
En aritmética la resta indica “disminución”, en el álgebra puede indicar “aumento “ o
“disminución”. Para restar polinomios, es necesario restar del “minuendo“ cada uno de los
términos del “sustraendo “, combinándole el signo a todos sus términos.
EJEMPLOS:
1.- Restar zyx 247 +− de .5911 zyx −+
MINUENDO -------------- ZYX 5911 −+
} ZYX
ZYX247
5911−+−−+
SUSTRAONA ---------- )247( ZYX +−− ---------------------
ZYX 7134 −+ ----- RESULTADO
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2.- Resta 48715 +−+ bcaca de 13611 −+− acbsa
)48715(16311+−+−
−−+bcaca
bcaca
4871516311+−+−
−−+bcaca
bcaca
-----------------------------
524 −+−− bcaca
Signos de agrupación
Cuando una expresión algebraica contiene uno o mas partes del símbolo de la agrupación
en cerrados en otro par, siempre se elimina el de mas dentro.
Para suprimir los signos de agrupación se procede como se indica a continuación:
Los lo que están precedidos del signo + se quita el signó de agrupación y se pone su
termino sin cambiar sus signos interiores + o de – .
Los signos de agrupación presididos del signo del signo – se quitan de agrupación y se
pone el simétrico (signo contrario) de cada término.
EJEMPLOS:
( )[ ] }{ 25234 +−+− xxx [ ( ) ]}{[ ]{ } abbaa
abbaa+−−−−−=+−+−−−
12295238351229523835
}][{ 25234 −−+− xxx { } abbaa 1229523832 −−+−−=
}{ 25234 −−+− xxx abbaa +−+−+−= 1223240162432
225234 =−+−− xxx 2202412 +−= ba
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Ejercicios
1. Sume las tres expresiones en cada uno de los siguientes ejercicios. Sustraiga luego
la tercera expresión de la suma de las dos primeras.
a) 7 3 11 ; 14 10 10 ;8 8 13a b c a b c a b c− + − + + + + Resp: 15 34 ; 15 8a b c a b c+ + − − +
b) 3 4 ;2 4 7 ;3 5xy yz x x xy yz yz x xy+ − − + − + Resp: 4 6 ; 6 2xy yz xy x+ − +
c) 2 3 7 ; 4 3 5 ;2 3 8r rs s s r rs rs s r− + − − + + − Resp: 9 4 6 ;7r rs s r− + +
2. Quite los símbolos de agrupación y simplifique combinando términos semejantes
a) 4 ( 3) (3 1)x y x+ − − + Resp: 4x y+ −
b) ( ) (2 3 ) ( )x y x y x y− − − − − + Resp: y
c) [ ]1 2 (3 ) 3a b a− − − − + Resp: 1 2 2a b− +
d) [ ](3 ) (4 3 )x x x− + − − + Resp: 3 1x +
e) ]{ }2 3 5 6 ( ) 5a ab b a ab b a b⎡− − + − + + − − +⎣ Resp: 6 5 3xy x y+ −
f) ]{ }10 ( 3) ( 6)x y x y⎡+ − + − − −⎣ Resp: 7
3. Evalúe las expresiones siguientes, dado que 2, 3, 1a b c= = − = y 2d = −
a) 2a b c− + b) 2a b d− − c) 6 5a b d− −
d) 2 3a b c d− + + e) ( 2 )b c d− − f) 2 2(3 2 )c a b− −
g) a da d+−
h) 3ab cdc− i) 3 2
4b ad
a−
Respuestas: a) 9; b) 9; c) 29; d) 1; e) -8 ; f) -22; g) 0; h) 0; i) 18
−
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6. MULTIPLICACIONES DE MONOMIOS
Regla
Se multiplica el coeficiente y a continuación de ese producto se escribe letras de los
factores en orden alfabético, poniéndole a cada letra un exponente que tenga en los
factores. El signo del producto vendrá dado por la ley de los signos.
Ejemplos: (1) Multiplicar .32 32 apora
53232 63232 aaXaXa == +
R. El signo del producto es +porque + por + es +.
(2) Multiplicar 342 5 ymxporxy −−
553241342 55)5()( ymxymxymxXxy ==−− ++
R. El signo de producto es +porque- por – da +
(3) Multiplicar xbbpora 22 43 −
xbaxbaxxabbXa 3321222 1243)(3 −=−=− +
R. El signo del producto es - porque + por - da –
(4) Multiplicar 32 4 cbaporab nm−
32132132 4414)( cbacbaXcbaXab nmnmnm ++++ =−=−
R. El signo es producto es – porque + da –
I . Ejercicios:
1.- ab por ab− Resp: 2 2a b−
2.- 22x por x3− Resp: 36x−
3.- ba24− por 2ab− Resp: 3 34a b
4.- 32ba por xa23 Resp: 4 33a b x
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II . Efectúe las operaciones indicadas y simplifique:
1) 3 2( )( )a b b 2) 2 2 3( )( )a b a 3) 2 2(2 )(3 )x xy
4) 2 3 43 (2 )x y x y− 5) 2 4 23 (4 )( )x x y x y− 6) 3 2 3 2(3 )( )x y x y x− −
7) 2 2 3 33 (4 )( 9 )a b ab a b− − 8) 2 3 2( )a b ab 9) 2 2 26 (2 )a b ab
10) 2 2 2 3( ) (2 )a b ab 11) 2 2 3(4 ) ( )ab ab 12) 2 3 3 2( ) ( 8 )x y x y− −
13) 2 3 2 2 2 3( ) (2 ) ( 5 )xy x yz xz− − 14) 2 2 3 2 2 4 5 4( ) (8 ) ( 3 )a b abc b c− −
15) 2 2 2 32 ( ) ( )a b a b− − − 16) 2 2 2( 2 ) ( ) ( )ax a x− − − 17) 2 2 2 22 ( ) (4 )( )a b a b− + −
Respuestas: 1) 3 3a b ; 2) 5 2a b ; 3) 3 26x y ; 4) 6 46x y− ; 5) 7 312x y− ; 6) 7 43x y ;
7) 6 6108a b ; 8) 4 7a b ; 9) 4 524a b ; 10) 7 88a b ; 11) 5 816a b ; 12) 12 564x y− ; 13) 8 8 720x y z
14) 8 24 245184a b c− ; 15) 2 2 2 32a b a b− + ; 16) 2 25a x ; 17) 2 22a b
Multiplicación de Polinomios por Monomios
Sea el producto cba )( +
Multiplicar porcba )( + equivale a tomar la suma )( ba + como sumando c veces; luego:
.),...(),...........(
).....()()(
bcacvecescbbbvecescaaa
cvecesbabacba
+=+++++=
+++=+
Sea el producto (a-b)c.
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Tendremos: ( ) ( ) ( ) ( )............ ,
( ......... , ) ( .. , )a b c a b a b a b c veces
a a a c veces b b b c vecesac bc
− = − + − + −= + + + + += −
Podemos, pues , anunciar lo siguiente:
Reglas para Multiplicar un Monomio por un Polinomio
Se multiplican el monomio por cada uno de los términos del polinomio, teniendo en cuenta
en cada caso las reglas del signo, y se separan los productos parciales con sus propios
signos.
En esta Ley Distributiva de la multiplicación
Ejemplos:
Multiplicar 22 4763 axporxx +−
Tendremos )4(7)4(34)763( 2"222 axaxxaxXxx +=+−
234 282412 axaxax +−= ç
2
2
4763
axxx +−
-----------------------
La operación suele disponerse a si 234 282412 axaxax +−
I. Ejercicios:
(1) xporxx 23 23 −− Resp: 4 36 2x x− +
(2) 322 238 axporyyx −− Resp: 5 3 216 6ax y ax y− +
(3) xporxx 2342 −+− Resp: 3 22 8 6x x x− + −
(4) abaporaa 364 23 +− Resp: 4 3 23 12 18a b a b a b− +
33
II. Efectúe las multiplicaciones indicadas:
1) 6( 7)x + 2) 7( 4)x − 3) ( 3)x y +
4) 5 (2 3)x y − 5) 4 ( 3)x y− − 6) 22 (3 2 )x x x−
7) 26 ( 4 )x x x− − 8) 23 (3 5 )x x x− − − 9) 3 22 (3 5)x x x+ −
10) 2 22 ( 3 )ab a ab b− + − 11) 2 3 2 2 42 ( 5 3 )a b a a b b− + −
12) 3 2 25 ( 4 )a b ab b a− + 13) 3 2 22 (2 3 2)ab a b− − −
14) 2 (5 6) 3 ( 4)x x x x− − − 15) 4 ( 4) 2 (2 3)x x x x− − −
16) 2 22 (3 4 6) ( 8)x x x x x− + − − 17) 2 2 3 2(2 3 4) ( 3 4 )x x x x x x x− − − − −
Respuestas: 1) 6 42x + ; 2) 7 28x − ; 3) 3xy x+ ; 4) 10 15xy x− ; 5) 4 12xy x− +
6) 3 26 4x x− ; 7) 3 26 24x x− + ; 8) 2 39 15 3x x x− + + ; 9) 5 4 36 2 10x x x+ − ;
10) 3 2 2 32 6 2a b a b ab− + − ; 11) 5 4 3 2 52 10 6a b a b a b− − + ; 12) 4 4 3 3 4 25 5 20a b a b a b− + ;
13) 3 3 5 34 6 4a b ab ab− + + ; 14) 27x ; 15) 10x− ; 16) 35 12x x+ ; 17) 4x
7. MULTIPLICACIONES DE POLINOMIOS POR POLINOMIOS
Sea el producto (a+b-c)(m+n).
Haciendo m+n=y tendremos:
cbyayycbanmcba −+=−+=+−+ )())((
34
cnbnancmbmamcncmbmbnnaam
nmcnmbnma
−++−+=−−+++=+−+++= )()()(
(sustituyendo y por su valor m+n)
Podemos enunciar lo siguiente:
Regla para Multiplicar dos Polinomios
Se multiplican todos los términos del multiplicador por cada uno de los términos del
multiplicador, teniendo en cuenta la ley de los signos, y se reducen los términos
semejantes.
Ejemplos: (1) múltiplos a-4 por 3 + a
Tendremos: 34
+−
aa
34
+−
aa
( ) ( )aaa 4− o sea aa 42 −
( ) ( )433 −+ a 123 −a
122 −− aa
Hemos multiplicado el primer término del multiplicador a por los dos término del
multiplicador y el segundo término del multiplicador 3 por los dos termino del
multiplicador escribiendo los productos parciales de modo que los términos
semejantes quedan en columnas y hemos reducido los términos semejantes.
(2) Multiplicador xyporyx 52..34 +−−
Ordenando en orden descendente con relación a la x tendremos:
35
yxyx
2534
−−
yxyx
2534
−−
yx 1520 2 −
)5(3)5(4 yyxx − 268 yxy +−
)2(3)2(4 yyyx +− 22 62320 yxyx +−
I. Ejercicios:
1. 1..3 −+ apora Resp: 2 2 3a a+ −
2. xyporyx 2..28 +− Resp: 2 216 2 4x y xy− +
3. yxporxy 23..54 +−+− Resp: 2 215 22 8x xy y− + −
4. abporba 84.. +−+− Resp: 2 28 12 4a ab b− + −
II. Efectué las operaciones indicadas y simplifique:
1) ( 7)( 4)x x− + 9) 2( 1)((2 2 3)x x x+ − +
2) ( 6)( 6)x x− + 10) 2( 2)( 2 4)x x x− + −
3) ( 1)( 6)x x− − 11) 2(2 1)(4 2 1)x x x− + +
4) (3 1)(4 3)x x− − 12) 2 2( 2 )( 2 4 )x y x xy y− + +
5) (3 2 )(3 4 )x x− + 13) 2 2( 2 1)( 2 1)x x x x+ − − +
6) (7 3 )(8 5 )x x+ − 14) ( 1)( 3) ( 4)x x x x+ + + −
7) ( 4 )(3 4 )x y x y− − 15) (2x+1)(x-2)+ x(x+3)
8) ( 3)( 4)xy xy+ − 16) ( 2)( 4) ( 2)x x x x+ − − −
Respuestas: 1) 2 3 28x x− − ; 2) 2 36x − ; 3) 2 7 6x x− + ; 4) 212 13 3x x− + ; 5)
5) 29 6 8x x+ − ; 6) 256 11 15x x− − ; 7) 2 23 16 16x xy y− + ; 8) 2 2 12x y xy− − ;
9) 32 3x x+ + ; 10) 3 8 8x x− + ; 11) 38 1x − ; 12) 3 38x y− ; 13) 4 24 4 1x x x− + −
14) 22 3x + ; 15) 23 2x − ; 16) 8−
36
8. DIVISIÓN DE MONOMIOS.
Regla para dividir dos Monomios
Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor y a
continuación se escriben en orden alfabético las letras, poniéndole a cada letra un
exponente que tiene en el dividendo y el exponente que tiene el divisor. El signo de
la Ley de los signos.
Ejemplos: (1) Dividir abentreba 24 23 −
baabbaabba 2
2323 2
242/4 =−
=− R.
Porque ( ) ( ) 2332 442 bababaxab ==−−
(2) Dividir baentrecba 234 ..5 −−
cbaba
cbabacba22
55/5 2
34234 =
−−
=−− R.
Porque cbabacba 34234 5)(*5 −=−−
Obsérvese que cuando el dividendo hay una letra que no existe en el divisor, en este
caso c, dicha letra letras a párese en el cociente. Sucede lo mismo que si la c
estuviera en el divisor con exponente cero por que tendríamos.
cccc ==−010/
(3) Dividir 332 4/20 xyymx−
mxxy
ymxxyymx 54
204/20 3
32332 −=
−=− R
Porque 323 20)5(*4 ymxmxxy −=−
Obsérvese que letras iguales en el dividendo y el divisor se cancela por que su
cociente es 1.Así, en es te caso 3y del dividendo se cancela con 3y del divisor,
igual que en. Aritmética suprimimos los factores comunes en el numerador y
denominador de un quebrado.
37
También de acuerdo con la ley de los exponentes 3y / 3y = 33−y = 0y y veremos
mas adelante que 0y =1y1 como factor puede suprimirse en el cociente.
Ejemplo (4) Al aplicar las leyes de los exponentes, simplificar la expresión:
34
2
26x yzxy
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
Solución: Podemos simplificar la fracción primeramente antes de aplicar el
exponente exterior.
3 34 3 9 3 9 3
2 3 3 3
26 3 3 27x yz x z x z x zxy y y y
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
I. Ejercicios:
(1) 243 214 abentreba − Resp: 2 27a b−
(2) 4343 baentrecba− Resp: c−
(3) nmentrenm 225− Resp: 5−
(4) 3232 88 xaentrexa −− Resp: 1
II. Simplifique aplicando las leyes de los exponentes.
1) 5
2
aa
2) 3x
x 3)
6
12
aa
4) 2
8
xx
5) 10
10
xx
6) 10
6
bb−
7) 8
10
( )aa−−
8) 7
7
( )aa
−−
9) 8
4
( 1)( 1)xx++
10) 6
9
( )( )x yx y−−
11) 33bxb
12) 6 4
3 2
x yx y
13) 2 5
6 10
936
a ba b
14) 8 7
4 9
618
a ba b
−
15) 62
5
2aa
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
16) 32 5
6
24x yxy
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
17) 34 2 7
3 4 72x y zx y z
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
18) 43 2 4
2 3
1218
x y zxy z
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
Respuestas: 1) 3a ; 2) 2x ; 3) 6
1a
; 4) 6
1x
; 5) 1 ; 6) 4b− ; 7) 2
1a
− ; 8) 1 ;
9) 4( 1)x + ; 10) 3
1( )x y−
; 11) x ; 12) 3 2x y ; 13) 4 5
14a b
; 14) 4
23ab
− ; 15) 18
64a
38
16) 3
38xy
; 17) 3
68xy
; 18) 8 416
81x z
9. DIVISIÓN DE POLINOMIOS POR MONOMIOS.
Regla para dividir un polinomio por un monomio.
Se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio separando los
cocientes parciales con sus propios signos.
Esta es la ley distributiva de la división.
Ejemplos
Ejemplo 1) Dividir 3 2 23 6 9a a b ab− + entre 3a.
3 2 2 3 2 2
3 2 2 3 6 9 3 6 9(3 6 9 ) 33 3 3 3
a a b ab a a b aba a b ab aa a a a
− +− + ÷ = = − +
Resultado: 2 22 3a ab b− +
Ejemplo 2) Dividir3 2 23 2a a b ab
ab− −−
Solución: 3 2 2 3 2 2 23 2 3 2 3 2a a b ab a ab ab a a b
ab ab ab ab b− − − −
= + + = − + +− − − −
Ejemplo 3) Dividir 2(3 ) (3 )
(3 )x a a x a
x a+ − +
+ y simplificar
2(3 ) (3 )
(3 )x a a x a
x a+ − +
+=
2(3 ) (3 ) (3 ) 3 3(3 ) (3 )
x a a x a x a a x a a xx a x a+ +
− = + − = + − =+ +
Ejercicios: Efectué las operaciones indicadas y simplifique:
1) 2 22
x + 2) 10 55x − 3)
26 33
x xx+ 4)
3 23x x xx
− + 5) 6 33
ax aa+
39
6) 3 2
2
7 147
x xx− 7)
2 3
2
10 155
x y xx+
− 8)
5 4 3
3
12 18 66
x x xx
+ −−
9) 3 2 2 3
2 2
36 2412
x y x yx y
− −−
10) 3 2
2
4 6 82
x x xx
+ − 11) 6 4 2 2 4
3 3
2 33
x x y x yx y
− −−
12) 26( ) 3( )
3( )x a x a
x a− + −
−
13) 2(2 ) (2 )
(2 )x a x x a
x a+ − +
+ 14)
3 2(2 ) (2 )(2 )
x a x ax a
− − −−
Respuestas: 1) 1x + ; 2) 2 1x − ; 3) 2 1x + ; 4) 2 3 1x x− + ; 5) 2 1x + ; 6) 2x − ;
7) 2 3y x− − ; 8) 22 3 1x x− − + ; 9) 3 2x y+ ; 10) 42 3xx
+ − ; 11) 3
3
23 3x x yy y x
− + +
12) 2( ) 1x a− + ; 13) x a+ ; 14) 2(2 ) (2 )x a x a− − −
.
DIVISIÓN DE POLINOMIOS
La división se define como la operación inversa de la multiplicación; así que empezamos con un problema de multiplicación y luego deducimos la operación de división.
40
2 2( 3 5)(2 7) (2 7) 3 (2 7) ( 5)(2 7)x x x x x x x x+ − − = − + − + − − 3 2 2(2 7 ) (6 21 ) ( 10 35)x x x x x= − + − + − + 3 22 31 35x x x= − − + Por consiguiente si 3 2(2 31 35)x x x− − + se divide por (2 7)x − , el resultado es
2( 3 5)x x+ − , es decir, el primer polinomio del problema de multiplicación. El polinomio 3 2(2 31 35)x x x− − + se llama dividendo, (2 7)x − es el divisor, y 2( 3 5)x x+ − , el
cociente. El primer término del dividendo, 32x , proviene de multiplicar el primer término del cociente, 2x , por el primer término del divisor, 2x . De modo que para obtener el primer término del cociente, 2x , dividimos el primer término del dividendo, 32x , por el primer término del divisor, 2x . Multiplicando todo el divisor (2 7)x − por ese primer término del cociente, 2x , obtenemos 3 22 7x x− . Al restar 3 22 7x x− del dividendo, resulta 3 2 3 2 2(2 31 35) (2 7 ) 6 31 35x x x x x x x− − + − − = − + La cantidad 26 31 35x x− + es el nuevo dividendo. El primer término, 26x , del nuevo dividendo proviene de multiplicar el segundo término del cociente, 3x , por el primero del divisor, 2x . Así que para obtener el segundo término del cociente, 3x , se divide el primero del nuevo dividendo, 26x , por el primer término del divisor, 2x . Multiplicando el divisor (2 7)x − por el segundo término del cociente, 3x , se obtiene 26 21x x− . Restando
26 21x x− del nuevo dividendo, resulta 2 2(6 31 35) (6 21 ) 10 35x x x x x− + − − = − + La cantidad 10 35x− + es ahora el nuevo dividendo. Al dividir el primer término, ( 10 ),x− de este nuevo dividendo por el primero del divisor, 2x , se obtiene el tercer término, (-5), del cociente. Multiplicando el divisor (2 7)x − por el tercer término del cociente, (-5), se obtiene 10 35.x− + Restando ( 10 35)x− + del dividendo ( 10 35)x− + , resulta cero. Iniciemos nuevamente el problema disponiéndolo de una manera semejante a la división larga en aritmética. + 2x + 3x - 5 cociente El primer término del cociente es Divisor 2 7x − 32x - 2x - 31x + 35 dividendo − +
41
3 22 / 2x x x= 2 (2 7)x x − = 32x - 27x restar 26x 31x− + 35
El segundo − + 26 / 2 3x x x= + 3 (2 7)x x − = 26x 21x−
restar El tercero 10x− + 35 + − 10 / 2 5x x− = − 5(2 7)x− − = 10x− +35 restar 0 residuo
Por consiguiente 3 2
22 31 35 3 52 7
x x x x xx
− − += + −
−
Ejemplo 2. Dividir 3 2(6 17 16)x x− + por (3 4)x − Solución: Escribimos el dividendo como 3 26 17 0 16x x x− + + 22x+ 3x− 4− 3 4x − 36x 217 x− 0x+ + 16 − + 3 26 / 3 2x x x= + 22 (3 4)x x − = 36x 28x− 29x− + 0x +16 + −
29 /3 3x x x− =− 3 (3 4)x x− − = 29x− 12x+ 12x− +16 + −
12 / 3 4x x− = − 4(3 4)x− − = 12x− +16 0 residuo
Por consiguiente 3 2
26 17 16 2 3 43 4
x x x xx
− += − −
−
42
Ejercicios: Efectúe las divisiones entre polinomios siguientes:
1) 2 3 2
1x x
x+ ++
2) 2 6
2x x
x+ −−
3) 2 14 48
8x x
x− +
− 4)
28 16 62 1
x xx+ ++
5) 29 6 13 1
x xx+ ++
6) 212 25 124 3
x xx+ ++
7) 216 8 14 1
x xx− +−
8) 222 8 21
4 3x x
x+ −
−
9) 3 2
2
4 2 84
x x xx
− − +−
10) 4 3 2
2
3 2 6 3 22
x x x xx x
+ − + −+ −
11) 3 23 4 6
2 3x x x
x− − +
+
12) 3 24 7 21 9
4 3x x x
x− − +
− 13)
3 26 11 14 22 5
x x xx
− − −−
14) 4 2
2
2 11 39 153 5
x x xx x− − −
+ +
15) 4 3 2 2 3 4
2 2
2 3 3 5 32
x x y x y xy yx xy y
+ + − −− −
Respuestas: 1) 2x + ; 2) 3x + ; 3) 6x − ; 4) 4 6x + ; 5) 3 1x + ; 6) 3 4x + ; 7) 4 1x −
8) 2 7x + ; 9) 2x − ; 10) 23 1x x− + ; 11) 2 42 13 2
x xx
− + ++
; 12) 2 964 3
x xx
− − −−
13) 2 123 2 22 5
x xx
+ − −−
; 14) 22 6 3x x− − ; 15) 2 22 3x xy y+ +
43
10. PRODUCTOS NOTABLES.
Se llama productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo
resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la
multiplicación.
Binomio al cuadrado
Un binomio al cuadrado es un producto notable, ya que podemos generalizar el proceso
para obtener su resultado.
El cuadrado de la suma de dos términos es igual: 2 2 2( ) 2a b a ab b+ = + +
Cuadrado del primer término más
Doble producto del primero por el segundo, más
El cuadrado del segundo término.
La solución de un binomio al cuadrado es un trinomio que recibe el nombre de
trinomio cuadrado perfecto.
Cuando se trata de una diferencia lo único que cambia es el signo del segundo término
del trinomio.
El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual: 2 2 2( ) 2a b a ab b− = − +
Cuadrado del primer término, menos
Doble producto del primero por el segundo, más
El cuadrado del segundo término.
Debemos entender que para encontrar el resultado de un binomio al cuadrado tenemos que
aplicar la siguiente regla:
• Elevar al cuadrado el primer termino (todo: signo, coeficiente y literales).
• Mas el doble producto del primer termino por el segundo termino (todo: signo,
coeficiente y literales).
• Mas el cuadrado del segundo termino (todo: signo, coeficiente y literales).
Ejemplos: Desarrollar los siguientes binomios al cuadrado
44
1. 2 2 2 2 2(3 8 ) (3 ) 2(3 )(8 ) (8 ) 9 48 64a b a a b b a ab b− = − + = − +
2. [ ]22 2 2(4 2 3) (4 2 ) 3 (4 2 ) 2(4 2 )(3) (3)x y x y x y x y+ + = + + = + + + +
2 216 16 4 24 12 9x xy y x y= + + + + +
Binomios conjugados
El producto de la suma de dos números (a + b) por su diferencia (a – b) es un producto
notable que recibe el nombre de binomios conjugados, y su producto recibe el nombre de
diferencia de cuadrados.
( )( ) 2 2a b a b a b+ − = −
Binomios conjugados = Diferencia de cuadrados
( )( ) 2 2a b a b a b+ − = −
Los binomios conjugados son iguales a:
El cuadrado del primer termino del binomio
Menos
El cuadrado del segundo termino del binomio.
Ejemplos: Desarrollar los siguientes binomios conjugados:
1. 2 2 2 2(8 3 )(8 3 ) (8 ) (3 ) 64 9b c b c b c b c− + = − = −
2. 2 2 2 2 2 2 4(5 6 )(5 6 ) (5 ) (6 ) 25 36p q p q p q p q− + = − = −
3.
2 22 25 3 5 3 5 3 25 9
9 4 9 4 9 4 81 16m n m n m n m n⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + = − = −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Binomios al cubo
45
Un binomio al cubo es un producto notable ya que podemos generalizar el proceso para su
solución. Esto significa que el binomio esta multiplicándose por si mismo tres veces:
( ) ( )( )( )3a b a b a b a b+ = + + +
Primero multiplicaremos dos binomios ya que como son tres términos, la multiplicación
debemos realizarla por partes:
( )( ) ( )2 2 22a b a b a b a ab b+ + = + = + + .
Este resultado lo multiplicamos otra vez por el binomio:
( )( )2 2 3 2 2 32 3 3a ab b a b a a b ab b+ + + = + + +
Binomio al cubo = Cubo perfecto
( )3a b+ = 3 2 2 33 3a a b ab b+ + +
El cubo de un binomio es igual a:
Cubo del primer termino más
El triple producto del cuadrado del
primer termino por el segundo mas
El triple producto del Primer termino
por el cuadrado del segundo mas
Cubo del segundo termino.
Si el cubo es la diferencia de dos números el resultado quedaría:
( )3a b− = 3 2 2 33 3a a b ab b− + −
Ejercicios:
3 3 2 2 3 3 2 2 3(2 5 ) (2 ) 3(2 ) (5 ) 3(2 )(5 ) (5 ) 8 60 150 125x y x x y x y y x x y xy y+ = − + − = − + −
3 3 2 2 3 3 2 2 3(3 2 ) (3 ) 3(3 ) (2 ) 3(3 )(2 ) (2 ) 27 54 36 8a b a a b a b b a a b ab b− = − + − = − + −
46
Resumen de productos notables: 2 2 2( ) 2a b a ab b+ = + + Binomio al cuadrado 2 2 2( ) 2a b a ab b− = − + Binomio al cuadrado
( )( ) 2 2a b a b a b+ − = − Binomios conjugados
( )3 3 2 2 33 3a b a a b ab b+ = + + + Binomios al cubo
( )3 3 2 2 33 3a b a a b ab b− = − + − Binomios al cubo
Ejercicios: Desarrolle los siguientes productos notables:
1. 2(5 3 )x y− Resp 2 225 30 9x xy y− +
2. (2x + 3y)2 Resp: 2 24 12 9x xy y+ +
3. (m + 4)2 Resp: 2 8 16m m+ +
4. (a3 - b3)2 Resp: 6 3 3 62a a b b− +
5. (2m – 3n)2 Resp: 2 24 12 9m mn n− +
6. 2(2 3 2 )x y z− + 2 2 2Re : 4 9 4 12 8 12sp x y z xy xz yz+ + − + −
7. (3 2 )(3 2 )x y x y+ − Resp: 2 29 4x y−
8. 2 4 2 4(6 4 )(6 4 )a b a b− + Resp:
4 836 16a b−
9. (x2 + a2)( x2 - a2) Resp: 4 4x a−
10. 3 2 3 24 7 4 7
x y x y⎛ ⎞⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
Resp: 2 29 4
16 49x y−
11. 3(2 7 )x y− Resp:
3 2 2 38 84 294 343x x y xy y− + −
12. (2 + y2)3 Resp: 2 4 68 12 6y y y+ + +
13. (1 – 3y)3 Resp: 2 31 9 27 27y y y− + +
47
11. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS.
La factorización es un proceso contrario a la multiplicación y su objetivo es simplificarlas
expresiones algebraicas.
Factorizar significa encontrar los factores que pueden originar una cantidad.
I. Factor común.
En este proceso se transforma una suma algebraica en un producto de factores, aplicando la
propiedad distributiva.
Para llevar a cabo este proceso es necesario identificar el factor común en el polinomio. El
factor común puede ser un numero o un monomio, o bien un polinomio.
Ejemplos:
1) 5 5 5( )x y x y+ = +
El numero 5 es el que se repite en ambos términos, es decir, es el factor común. Y los
factores son 5 y (x + y).
2) ( )ax bx cx x a b c− + = − +
X es la que se repite en todos los términos, es decir, es el factor común, y los factores son x
y (a – b + c).
3) 24 8 2x y xy y− + = 22 (2 4 1)y x x− +
El numero 2 y la letra y son los términos que se repiten en todos los términos, por lo tanto,
son comunes, es decir, 2y. Para encontrar el otro factor dividimos el termino común y la
expresión original 24 8 2x y xy y− + entre 2y, dando como resultado, 22 4 1x x− + que
representa al segundo factor.
4) Factorizar el polinomio 3 2 2 2 26 12 24x y x y xy+ −
Solución: El máximo factor común es 26xy .
3 2 2 2 2
3 2 2 2 2 22 2 2
6 12 246 12 24 66 6 6x y x y xyx y x y xy xyxy xy xy
⎛ ⎞+ − = + −⎜ ⎟
⎝ ⎠= 2 26 ( 2 4)xy x x+ −
II. Diferencia de cuadrados
48
El producto de los factores ( )a b+ y ( )a b− es 2 2a b− , es decir, la diferencia de dos
términos cuadrados perfectos. Los factores de una diferencia de cuadrados son la suma
y diferencia de raíces cuadradas respectivas de dichos cuadrados.
Ejemplo 1) Factorizar 29 4a − .
Solución: La raíz cuadrada de 29a es 3a y la de 4 es 2.
Por consiguiente, 29 4 (3 2)(3 2)a a a− = + −
Ejemplo 2) Factorizar completamente 4 481x y− .
Solución: 4 4 2 2 2 281 ( 9 )( 9 )x y x y x y− = + −
2 2( 9 )( 3 )( 3 )x y x y x y= + + −
Ejemplo 3) Factorizar completamente 46 6x − .
Solución: 4 46 6 6( 1)x x− = −
2 26( 1)( 1)x x= + −
26( 1)( 1)( 1)x x x= + + −
Ejemplo 4) Factorizar completamente 2 24( 3)x y− −
Solución: 2 24( 3) [ 2( 3)][ 2( 3)]x y x y x y− − = + − − −
( 2 6)( 2 6)x y x y= + − − +
III. Factorización de un trinomio de la forma x2 + bx + c.
Cuando desarrollamos el producto de binomios con término común obtenemos como
resultado un trinomio de la forma x2 + bx + c. Para factorizar el trinomio, tenemos que
encontrar el par de binomios que lo originaron, siguiendo el siguiente procedimiento:
1. El primer término de ambos factores será la raíz cuadrada del primer término.
2. Los otros dos términos deberán cumplir las siguientes condiciones:
• Dos números que multiplicados den el valor del tercer termino del trinomio (c).
49
• Y sumados deben ser igual al coeficiente del segundo término del trinomio (b).
Ejemplo: x2 + 5x + 6.
Dos números que multiplicados nos den x2, es decir, 2x ;. (x ) (x ).
Dos números que multiplicados nos den el tercer termino (6) y sumados nos den el
coeficiente del segundo termino (5). (x + 3) (x + 2).
Entonces la factorización del trinomio x2 + 5x + 6 = (x + 3) (x + 2).
Ejemplo: a2 + 9a + 20.
Dos números que multiplicados nos den a2, es decir, 2a ;. (a ) (a ).
Dos números que multiplicados nos den el tercer termino (20) y sumados nos den el
coeficiente del segundo termino (9). (a + 5) (a + 4).
Entonces la factorización del trinomio a2 + 9a + 20 = (a + 5) (a + 4).
IV. Factorización de un trinomio de la forma ax2 + bx + c.
Para factorizar trinomios de la forma ax2 + bx + c, aplicamos la siguiente regla:
El trinomio se factoriza en dos factores binomios cuyos primeros términos son aquellos que
multiplicados den como producto el primer termino del trinomio dado; los segundos
términos de los binomios son aquellos que multiplicados den lugar al tercer termino del
trinomio, pero que el producto de los términos extremos e interiores de los binomios
factores, al sumarse algebraicamente den como resultado el termino central del trinomio.
Ejemplos: Factorizar los siguientes trinomios de la forma ax2 + bx + c.
a) 3x2 + 14x + 8 = Se determinan los primeros términos de los factores binomios,
siendo aquellos que multiplicados resulte (3x2) el primer termino del trinomio,
dichos términos son (3x)(x); los segundos términos de los binomios son aquellos
que multiplicados den (8) el tercer termino del trinomio, dichos términos pueden ser
(1)(8) y (2)(4), siendo la ultima proposición la que cumple la condición de que la
suma algebraica del producto de los términos extremos e interiores de los binomios
factores resulte (14x) el termino central del trinomio dado. Por lo que su
factorización es:
50
3x2 + 14x + 8 = (3x + 2) (x + 4)
b) 5x2 - 11x - 36 = Se determinan los primeros términos de los factores binomios,
siendo aquellos que multiplicados resulte (5x2) el primer termino del trinomio,
dichos términos son (5x)(x); los segundos términos de los binomios son aquellos
que multiplicados den (-36) el tercer termino del trinomio, dichos términos pueden
ser (-36)(1), (-18)(2), (-12)(3), (-9)(4), (-6,6), (36)(-1), (18)(-2), (12)(-3), (6)(-6) y
(9)(-4), siendo la ultima proposición la que cumple la condición de que la suma
algebraica del producto de los términos extremos e interiores de los binomios
factores resulte (-11x) el termino central del trinomio dado. Por lo que su
factorización es:
5x2 - 11x - 36 = (5x + 9) (x - 4)
V. Factorización por agrupación.
Cuando tenemos polinomios que no tienen un solo factor común pero algunas literales se
repiten en él, podemos aplicar la propiedad asociativa y conmutativa a estos términos
semejantes y después factorizar.
Por ejemplo, si queremos factorizar el polinomio ax + by – cx + dx – ey; tenemos que
realizar la siguiente operación: juntamos todos los términos que tienen x en común y los
que tienen y en común.
ax + by – cx + dx – ey = (ax – cx + dx) + (by-ey);
= x(a – c + d) + y(b – e).
se escribe el signo de la suma porque este no cambia el signo de los términos que le siguen.
Ejemplo 1: Factoriza 25 3 10 6a ax a x− + − + .
Asociando ( ) ( )2 25 3 10 6 5 10 3 6a ax a x a a ax x− + − + = − − + + .
51
Para facilitar las operaciones algebraicas, el primer término de un polinomio debe ser
positivo, si es posible. En este caso, el segundo binomio es positivo; entonces aplicamos la
propiedad conmutativa.
( ) ( )25 10 3 6a a ax x= − + + +
( ) ( )23 6 5 10ax x a a= + − +
Factorizando: ( ) ( )3 2 5 2x a a a= + − +
Y de nuevo factorizando: ( )( )2 3 5a x a= + −
Ejemplo 2: Factorizar 12 20 9 15ax bx ay by− − +
12 20 9 15 (12 20 ) (9 15 )ax bx ay by ax bx ay by− − + = − − −
12 20 9 15 4 (3 5 ) 3 (3 5 )ax bx ay by x a b y a b− − + = − − −
(3 5 )(4 3 )a b x y= − −
12. EJERCICIOS:
I. Factorizar por factor común
a) 4 4x + b) 12 6x + c) 18 27x − c) 3 29 6x x− d) 3 3bx b+
e) 2 2xy x y+ f) 2 24 8xy x y− g) 2 2 24 12x y x y+ h) 2 26 4 10x y xy xy− +
i) 3 2 32x x y xy− + j) 3 2 2 3 2 24 2 6x y x y x y+ − k) ( ) ( )x a b y a b+ + +
l) 3( 3) ( 3)a x a+ + + m) 4(2 1) (2 1)x x x− + −
II Factorice completamente las siguientes diferencias de cuadrados
a) 2 16x − b) 2 36x − c) 29 25x − d) 281 x− e) 236 1x −
f) 24 81x − g)
2 29 16x y− h) 2 49 4x y− i) 4 2 24 9a b c− j) 6 4a b−
k) 2 2 49x y y− l) 8 12 1036 9a b c− m) 4 416 81x y− n) 2 2( 1)x y+ −
III. Factorizar los trinomios de las forma 2x bx c+ + siguientes:
52
a) 2 3 2x x+ + b) 2 7 12x x+ + c) 2 8 15x x− + d) 2 9 20x x− +
e) 2 4 21x x+ − f) 2 12 45x x+ − g) 2 3 18x x− − h) 2 8 12x x− +
i) 2 29 14x xy y− + j) 2 211 28x xy y− + k) 4 23 10x x− − l) 4 27 8x x+ −
IV Factorizar los trinomios de la forma 2ax bx c+ + siguientes:
a) 22 3 1x x+ + b) 23 7 2x x+ + c) 22 7 6x x+ + d) 22 11 5x x− +
e) 23 4 1x x− + f)
24 9 2x x− + g) 22 5 2x x− + h) 23 11 6x x− +
i) 24 8 6x x− + j) 22 15 8x x+ − k) 23 7 6x x+ − l) 24 5 6x x− −
m) 22 7 4x x− − n) 24 15 4x x− − ñ) 24 19 12x x+ + o) 26 5 4x x− −
p) 26 23 18x x+ − q) 26 7 2x x− + r) 26 11 4x x+ − s) 26 31 18x x+ +
t) 2 23 16 12x xy y− − u) 2 23 7 6x xy y− − v) 2 24 8 5x xy y− − w) 2 26 5 6x xy y− −
x) 4 25 8 4x x+ − y) 4 22 5 12x x− − z) 4 28 29 12x x− −
V. Factorizar por agrupación
a) 3 3x y ax ay+ + + Resp: ( )(3 )x y a+ +
b) 2 2ax ay cx cy− + − Resp: ( )( 2 )x y a c− +
c) 23 9 3xy ax ay a+ − − Resp: ( 3 )(3 )y a x a+ −
d) 2 2 2 2x y x y− − + Resp: ( )( 2)x y x y− + −
e) ax ay bx by+ + + Resp: ( )( )x y a b+ +
53
UNIDAD II FRACCIONES ALGEBRAICAS
1. SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS.
De las propiedades de fracciones estudiadas, se tiene que a acb bc= .
Las fracciones algebraicas ba y ac
bc se llaman equivalentes. Dos fracciones algebraicas
son equivalentes, si tienen el mismo valor cuando se asignan valores específicos a sus
números literales.
Una fracción esta expresada en términos mínimos, o reducida, cuando el numerador
y el denominador no poseen factor común.
Para reducir o simplificar la fracción algebraica bcac a sus términos mínimos, dividimos
tanto el numerador como el denominador por su factor común c, para obtener ba .
Nota: Los números a y c en la expresión bcac son factores del numerador, no términos como
en a + c. También los números b y c son factores del denominador, no términos.
La fracción cbca
++ no se puede reducir a ninguna forma más simple; no es igual a
ba
ni a 11
++
ba . Análogamente,
65
65 b
aba +≠
+ Pero a
ba
baa
aba
665
665
65
+=+=+
Para encontrar el máximo factor común, M.F.C., de un conjunto de polinomios, se
factorizan los polinomios completamente y se toman todos los factores comunes, cada uno
con el mínimo exponente con que aparece en los polinomios dados.
Para reducir a sus términos mínimos una fracción cuyo numerador y denominador son
monomios, se dividen tanto el denominador entre su máximo factor común.
54
Ejemplo:
Reducir 3
23
5436
abccba a sus términos mínimos.
Solución. El máximo factor común de los monomios cba 2336 y 354abc es abc18 .
Dividiendo numerador y denominador entre 18abc, se obtiene. 2
2
3
23
32
5436
cba
abccba= .
Ejemplo: Reducir a su mínima expresión. ( )( )42
63
220236
−−
xxyxyx .
Solución. El máximo factor común es ( )24 2 −xxy .
Al dividir el numerador y denominador entre ( )24 2 −xxy , obtenemos
( )( ) ( )3
42
42
63
259
220236
−=
−−
xyx
xxyxyx
Para reducir a sus términos mínimos una fracción cuyo numerador o denominador o ambos
son polinomios, se factorizan completamente, se determina su máximo factor común y
luego se dividen por este.
Ejemplo Reducir 22
232
121830yx
xyyx − a sus términos mínimos.
Solución. 22
232
121830yx
xyyx − ( )22
2
12356
yxxyxy −
=
Dividiendo el numerador y denominador por 26xy , se obtiene
22
232
121830yx
xyyx − ( )22
2
12356
yxxyxy −
=x
xy2
35 −= .
Ejemplo Reducir yxyx
yx423
3
483624
+ a su mínima expresión.
55
Solución. yxyx
yx423
3
483624
+ ( )xyyxyx
431224
3
3
+=
Se dividen numerador y denominador entre 12x3 y para obtener
yxyx
yx423
3
483624
+ ( )xyyxyx
431224
3
3
+=
xy 432+
= .
Ejemplo Reducir 1
322
2
−−+
xxx a su mínima expresión.
Solución. Al factorizar el numerador y denominador, obtenemos
1
322
2
−−+
xxx ( )( )
( )( )11132
−+−+
=xxxx
Dividiendo el numerador y el denominador, entre su máximo factor común, ( )1−x ,
1
resulta 1
322
2
−−+
xxx ( )( )
( )( )11132
−+−+
=xxxx 2 3
1xx+
=+
1
Nota La fracción 132
++
xx esta reducida; el numerador y el denominador no poseen ningún
factor común.
Notas:
1. ( )ababba −−=+−=−
2. ( ) ( )[ ] ( )222 ababba −=−−=− 3. ( ) ( )[ ] ( )333 ababba −−=−−=−
Ejemplo
( )( ) 1−=−−−
=−−
abab
abba
56
Ejemplo
( )( )
( )( )
3 3
2 2
1 1(1 ) 1
1 1a a
a aa a− − −
= = − − = −− −
o bien, ( )( )
( )( )
111
11
2
3
2
3
−=−−
=−− a
aa
aa
Nota: La fracción baba
−+ no puede reducirse a una forma mas simple, ya que a + b no se
puede escribir como múltiplo de a + b.
Hay que observar también que ba
ba
ba
−=−+
=+− .
Ejemplo Reducir 2
2
4723148
xxxx
−−+− .
Solución. 2
2
4723148
xxxx
−−+− ( )( )
( )( )( )( )( )( ) 2
32412
3241412
3214−−
−=−+
−−−=
−+−−
=xx
xxxx
xxxx
( ) ( )[ ]xx 4114 −−=−
Ejemplo Reducir 2
2
3265
xxxx+−+−
Solución. 2
2
3265
xxxx+−+− ( )( )
( )( )( )
xx
xx
xxxx
−−
=−−−
=−−−−
=13
13
1223 o bien
13
−−
xx .
57
EJERCICIOS 1
Reducir las siguientes fracciones a sus términos mínimos:
1. 3
6
xx 2. 7
2
xx 3. 2
5
128
xx 4. 6
3
249
xx
5. 252
34
6354
cbacba 6. 386
548
8064
zyxzyx 7.
baabc
2
3
1520−
8. 44 5
73a bab
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
9. ( )( )222
33
62
baba 10. ( )
( )23
32
63ab
ba− 11. ( )( )2
33
63
baxbax
++ 12. ( )
( )322
216212
−−
xxxx
13. ( )( )42
223
2114
yxxyyxyx
−− 14. 32
2
3216168
xxxx
++ 15.
baaabba
23
22
4422
−− 16. 2
22
)3(9baba
+−
17. 34
12
2
++−xx
x 18. 962411
2
2
+−+−
xxxx 19.
432410
2
2
−−+−
xxxx 20.
9412112
2
2
−+−
xxx
21. 14312
2
2
++−+
xxxx 22.
3114274
2
2
−+−+
xxxx
Respuestas a los ejercicios anteriores
1. 3x ; 2. 5
1x
; 3. 3
2 3x ; 4. 383x
; 5. cb
a2
2
76 ; 6. 4
22
54
yzx ; 7.
ac
34 3
− ; 8. 8
12
81ba ; 9.
ba
92 5
10. 3
4
43
ba
− ; 11. 2
)(2 bax + ; 12. )2(4
3−xx ; 13. 2
2
)(32
yxx−
; 14. x2
1 ; 15. a
b2
; 16. baba
33
+−
17. 31
+−
xx ; 18.
38
−−
xx ; 19.
16
+−
xx ; 20.
324+−
xx ; 21.
1312
+−
xx
58
2. ADICCIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS.
La adicción de fracciones algebraicas es semejante a la de fracciones aritméticas.
Empezaremos tratando la suma de fracciones algebraicas con denominadores iguales, y
luego, extenderemos el análisis a la suma de fracciones algebraicas con denominadores
distintos.
FRACCIONES CON DENOMINADORES IGUALES.
Se define la suma de fracciones con denominadores iguales mediante la relación.
cba
cb
ca +
=+
Esto muestra que la suma de dos fracciones con el mismo denominador es una
fracción cuyo numerador es la suma de los numeradores, y cuyo denominador es el
denominador común.
Ejemplo Efectuar xx23
+
Solución. xx23
+ xx523
=+
=
Observación. Para evitar errores al sumar los numeradores, es necesario encerrarlos entre
paréntesis, aplicar la ley distributiva y luego efectuar operaciones.
Después de combinar las dos fracciones en una sola, se reducen términos semejantes y
la nueva fracción a su mínima expresión.
59
Ejemplo Efectuar 22 23
2 xx
xx −
++
Solución. 22 23
2 xx
xx −
++ ( ) ( )
xxx
xxx
xxx 1
22
233
233
222 ==−++
=−++
=
Ejemplo Efectuar 2
22
4+
++ x
xx
Solución. 2
22
4+
++ x
xx
( ) 22
222
24=
++
=++
=x
xx
x .
Ejemplo Efectuar 2
22
22
2
2
2
−+−
−−+
−xx
xxxx
x
Solución.
22
22
2
2
2
2
−+−
−−+
−xx
xxxx
x ( ) ( )2
222
222
2222
22
2
22
−+−
=−++−−
=−+−−−
=xx
xxx
xxxxx
xxx
( )( )( ) 2
212
12+
=−+
−=
xxxx .
Ejemplo Efectuar 3114
353114
92
2
2
2
−−−
−−−
+xxxx
xxxx
Solución. 3114
353114
92
2
2
2
−−−
−−−
+xxxx
xxxx ( ) ( )
3114359
3114359
2
22
2
22
−−+−+
=−−−−+
=xx
xxxxxx
xxxx
( )( )( )
( )( )( ) 14
4314
34314
343114
4122
2
+−=
−+−−
=−−
−=
−−−
=x
xxx
xxxxxx
xxxx .
Observación. La regla para sumar fracciones se puede extender a cualquier número de
ellas.
L+++ca
ca
ca 321
ca
ca
caa
can L++
+++ 321
caaaa n++++ L321
60
EJERCICIOS 2
1. xxx526
−+ 2. xxx 2
123
27
−− 3. 222
51520xxx
−−
4. 53
553
2−
+− xxx 5.
221
−−
−+
xx
xx 6.
322
3223
+−
+++
xx
xx
7. 2727
2714
+−
−+ x
xx
x 8. 1
21
2−
−− xxx 9.
252534 22
+−
+++
xxx
xxx
10. 24
12413
−+
−−+
xx
xx 11.
526
5243
−−
+−−
xx
xx 12.
xxx
xxx
844
844
22 −−
−−+
13. 43
343
1222 −−
+−−
−xxxx
x 14. 352352
222
2
−+−
−+ xxx
xxx
15. 6112
36112
322
2
2
2
−−+
−−−
−xxxx
xxxx 16.
23233
2
2
2
2
+−−
++−
−xxxx
xxxx
Respuesta a los ejercicios anteriores
1. x3 ; 2.
x23 ; 3. 0 ; 4.
5352
−+
xx ; 5.
21−x
; 6. 32
4+xx ; 7. 1; 8. 2 ; 9. x ; 10.
12 −xx
11. 2 ; 12. )2(
2−xx
; 13. 4
2−x
; 14. 3+x
x ; 15. 12 +x
x ; 16. 1
2−xx
61
3. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE POLINOMIOS.
Para obtener el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de un conjunto de números, se
descomponen éstos en sus factores primos y se escriben con sus exponentes respectivos.
Luego se toman todas las bases, cada una a su potencia mayor.
Definición. Un polinomio p es el mínimo común múltiplo (m.c.m.), de un conjunto de
polinomios, si:
1. Cada polinomio del conjunto divide a p y
2. Cualquier polinomio divisible por todos los polinomios del conjunto, es también
divisible por p.
Para encontrar el m.c.m. de un conjunto de polinomios, se factorizan los polinomios
completamente y se toman todos los factores distintos, cada uno a la máxima potencia que
aparezca en los polinomios dados.
Ejemplo Determinar el m.c.m. de x2y, xy3 y y2z.
Solución. Los factores literales son x, y y z. La potencia máxima de x es 2, la de y es
3, y la de z es 1. Por consiguiente, m.c.m. = x2y3z.
Ejemplo Hallar el m.c.m. de 60x3, 72y2 y 80xy.
Solución. 53260 2 ⋅⋅=
23 3272 ⋅=
5280 4 ⋅=
Por lo tanto, el m.c.m. de los coeficientes = .720532 24 =⋅⋅
El m.c.m. de los monomios 23720 yx= .
Ejemplo Determinar el m.c.m. de x(-2), (x-3)(x-2) y (x-2)2.
Solución. Los factores distintos son x, (x-2) y (x-3).
La mayor potencia de x es 1, la de (x-2) es 2, y la de (x-3) es 1.
Por consiguiente, m.c.m. = x(x-2)2 (x-3).
62
Obsérvese que el m.c.m. de (x-3) y (x-5) es (x-3)(x-5).
Ejemplo Encontrar el m.c.m. de x2-x y x2-1.
Solución. Primeramente se factoriza cada polinomio completamente.
( )12 −=− xxxx
( )( )1112 −+=− xxx
Por lo tanto, m.c.m. = ( )( )11 +− xxx .
Ejemplo Hallar el m.c.m. de 2x2 + 3x-2 y 2x2-7x+3.
Solución.
( )( )212232 2 +−=−+ xxxx
( )( )312372 2 −−=+− xxxx
Entonces, m.c.m. = ( )( )( )3212 −+− xxx .
Ejemplo Obtener el m.c.m. 132 2 +− xx , 21 x− y 12 2 −+ xx .
Solución.
( )( )112132 2 −−=+− xxxx ( )( )
( )( )11212111
2
2
+−=−+
−+=−
xxxxxxx
Puesto que ( ) ( )11 −−=− xx , podemos escribir ( )x−1 como ( )1−− x o bien, ( )1−x como
( )x−− 1 .
Reacuérdese que .11 +=+ xx
Por lo tanto, ( )( )112132 2 −−=+− xxxx
( )( )111 2 −+−=− xxx
A si que, m.c.m. ( )( )( )1112 +−−= xxx .
( )( )11212 2 +−=−+ xxxx
63
EJERCICIOS 3
1. 8, 12 Y 18 2. x, x2 y 4x 3. 9x, 12x y 4x2
4. xy, xy2, y xy3 5. 4xy, 14xy2 y 8x2y 6. 9xy, 12x3y y 15x2y
7. ( ) 24,3 xxx + y ( )12 =x 8. ( ) ( )1,1 2 −− xxx y ( )12 −xx
9. 32,12 −− xx y ( )( )3212 −− xx 10. ( ) 5,2 2 ++ xx y ( )( )52 ++ xx
11. ( )( )313 ++ xx y ( )213 +x 12. ,1,12 ++ xx y ( )21+x
13. ( ) ,4,2 2 +− xx y 2−x 14. ,, 232 xxxx −− y 22 −x
15. ,1812,94 2 −− xx y 2718 −x 16. ,4816,12 22 +−− xxxx y xx 42 −
17. ,34,1 22 ++− xxx y 322 −+ xx 18. ,86,128 22 +−+− xxxx y 24102 +− xx
19. ,18152,968 22 ++−+ xxxx y 18214 2 −+ xx
20. ,3118,6724 22 ++−− xxxx y 232 xx −− .
64
4. FRACCIONES CON DENOMINADORES DISTINTOS.
Las fracciones se pueden sumar solamente cuando sus denominadores son iguales. Si los
denominadores no lo son, se obtienen su mínimo común múltiplo, llamado mínimo común
denominador, m.c.d. (no confundir con M.C.D. que significa máximo común divisor). Se
cambia cada fracción a una equivalente que tenga el m.c.d. Como denominador mediante
la regla, bcac
ba= y luego se efectúan operaciones. La suma de fracciones algebraicas con
denominadores distintos es, por lo tanto, una fracción cuyo numerador es la suma de los
denominadores de las fracciones equivalentes, y cuyo denominador es el mínimo común
denominador (m.c.d.). La fracción final debe conducirse a sus términos mínimos.
Ejemplo Efectuar xxx 3
2627
2 −+
Solución. El m.c.d. =6x2.
Escribimos fracciones equivalentes con denominador 6x2 y luego se realizan operaciones.
xxx 326
27
2 −+( )( )
( )( )
( )( )xx
xxxx
x2322
666
3237
2 −+=( ) ( ) ( )
222 622
666
637
xx
xxx
−+=
( ) ( ) ( )222 63617
643621
6226637
xx
xxx
xx +
=−+
=−+
= .
Ejemplo Efectuar la operación y simplificar 2
23 −+
+ xxx
Solución. El m.c.d. = ( )( )23 −+ xx .
Al escribir fracciones equivalentes con denominador ( )( )23 −+ xx y efectuar luego la suma,
obtenemos.
22
3 −+
+ xxx ( )
( )( )( )
( )( )3232
232
+−+
+−+
−=
xxx
xxxx ( ) ( )
( )( ) ( )( )23622
23322 2
−+++−
=−+++−
=xx
xxxxx
xxx
( )( )236−+
+=
xxx .
65
En vez de escribir fracciones equivalentes con denominador igual al m.c.d. y luego
combinar los numeradores de las fracciones, escribimos una sola fracción con el m.c.d.
como denominador. Se divide el m.c.d. por el denominador de la primera fracción y luego
se multiplica el cociente resultante por el numerador de esa fracción para obtener la
primera expresión del numerador. Se repite el procedimiento con cada fracción y se
relaciona con los resultados mediante los signos de las fracciones correspondientes.
⊗ ( )( )( )
( )( )( )
( )( ) ( )( )( )( )( )234
1364209223
13634
209+−+
−+−−+=
+−−
−−+
−xxx
xxxxxx
xxx
x
÷
El numerador no se encuentra factorizado; así no es posible efectuar reducción. Hay que
asegurarse de poner el producto entre paréntesis procedió por el signo adecuado.
( ) ( )( )( )( )234
521164029 22
+−+−+−−−
=xxx
xxxx
( )( )( )234521164029 22
+−++−−−−
=xxx
xxxx
( )( )( )( )( )
( )( )( )234343
23412133 2
+−+−−
=+−+
+−=
xxxxx
xxxxx
( )( )2443++
−=
xxx .
66
Ejemplo Efectuar la operación y simplificar.
222 345
49223
122
xxxxx
xxx
−−+
++−
−−−
+
Solución.
222 345
49223
122
xxxxx
xxx
−−+
++−
−−−
+( )( ) ( )( ) ( )( )xxxx
xxx
x−+
++−
−−
−++
=14
5412
23112
2
Tomamos el m.c.d. ( )( )( )4112 +−+= xxx
( )( ) ( )( ) ( )( )xxxxx
xxx
−+−+
+−−
−−+
+=
145
41223
1122
( )( ) ( )( ) ( )( )xxxxx
xxx
−+−
+−−
−−+
+=
145
41223
1122
( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )4112
12523124+−+
+−−−−++=
xxxxxxxx
( ) ( )( )( )( )4112
51025386 22
+−+−−+−−++
=xxx
xxxxx
( )( )( )411251025386 22
+−+−−−+−++
=xxx
xxxxx
( )( )( )( )( )
( )( )( )4112121
411221 2
+−+−+
=+−+
−+=
xxxxx
xxxxx
( )( )( )( )( ) 4
14112
121+
−=+−+
−+−=
xxxxxx .
67
EJERCICIOS 4
Reducir a una sola fracción y simplificar:
1. xxx 5
6273+− 2.
yx
yx
yx
52
23
+− 3. xxx 5
6432
2 +− 4. 22 21
3133
xxx−+
5. x
xx
x2
25
13 −+
+ 6. x
xx
x10
54
2 ++
− 7. x
xx
x7
314
67 −−
− 8. 2515
33
xx
xx −
−+
9. 2
54−
++x
x 10. 4
53
3−
++ xx
11. 32
32 −+
+ xxx 12.
21
32 −+
+ xxx
13. 1
132
2+
−− xx
14. 1
112
2+
−− xxx 15.
3962 +
+− x
xx
x 16. 22
32 +
+−+ x
xxxx
17. 12
2472
832 +
−−−
−xxx
x 18. 9
1812
722 −
+−− xxx
x 19. 45
243
2322 −−
+−
−−−
xxx
xxx
20. 2
42
3444
2 −+
+−
−−
xxxx 21.
41
15211
12772
22 −−
−+−
++−
−xxx
xxx
x
68
Respuesta a los ejercicios anteriores
1. x10
7 ; 2. y
x10
− ; 3. 2156028
xx − ; 4. 26
2615x
x+ ; 5. x
x10
811 − ; 6. 207 ; 7.
145 ; 8. 2
2
1535
xx +
9. 2
)1)(3(−
++x
xx ; 10. )4)(3(
38−+
+xx
x ; 11. )32)(2(
62 2
−++xx
x ; 12. )2)(32(
32
−++
xxx
13. )1)(32(
5+− xx
; 14. )1)(12(
12 2
+−+xx
x ; 15. 3−x
x ; 16. 1−x
x ; 17. )4)(12( −+ xx
x
18. )3)(4(
247−−
−xx
x ; 19. )1)(1(
2−+ xx
x ; 20. 2
5−x
; 21. 5
2+x
5. MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES.
El producto de las fracciones ba y
dc se definió en el capitulo 2 como
bdac ; o sea
bdac
dc
ba
=× .
Así que el producto de dos fracciones es una fracción cuyo numerador es el producto de los
numeradores, y cuyo denominador es de los denominadores. En general,
n
n
n
n
ba
ba
ba
bbaa
ba
ba
ba
ba
LL4
4
3
3
21
21
3
3
2
2
1
1 ⋅⋅=⋅⋅
n
n
ba
ba
bbbaaa
L4
4
321
321 ⋅=
n
n
bbbbaaaa
L
L
321
321=
Nota: Redúzcase siempre la fracción resultante a sus mínimos términos.
69
Ejemplo Encontrar el producto yxba
2
23
827 y 22
2
8116
bayx .
Solución. bax
byaxyxba
bayx
yxba
32
8181627
8116
827
322
323
32
3
2
23
=⋅⋅
=⋅
Nota: Es más fácil reducir 8181627
⋅⋅ que
648432 , que es el resultado de los productos de los
coeficientes.
Es decir, no se puede multiplicar los números hasta que la fracción haya sido simplificada.
Ejemplo Simplificar ( )( )
( )( )333
223
2323
3422
94
23
yxyx
yxyx
⋅− .
Solución. ( )( )
( )( )333
223
2323
3422
94
23
yxyx
yxyx
⋅− ( )
( )( )( )3332
2232
2323
3422
32
23
yxyx
yxyx
⋅−
= .
996
464
646
1266
32
23
yxyx
yxyx
⋅−
=
151366
161246
3223
yxyx
⋅⋅
=
xy
xy
422 −==
Para multiplicar fracciones cuyos numeradores o denominadores son polinomios,
primeramente se factorizan estos completamente. Se consideran las fracciones como una
sola, y se dividen los numeradores y denominadores por su máximo factor común para
obtener una fracción equivalente ya reducida.
Ejemplo Simplificar 3103
165112
32
2
2
2
+−−+
⋅++
−xx
xxxxxx .
1 1 1
Solución. 3103
165112
32
2
2
2
+−−+
⋅++
−xx
xxxxxx ( )
( )( )( )( )( )( ) 5133
1213512
3+
=−−+−
⋅++
−=
xx
xxxx
xxxx .
1 1 1
70
EJERCICIOS 5
Efectué las siguientes multiplicaciones y simplifique:
1. 2720
3239
6536
⋅⋅ 2. 12815
12558
8764
⋅⋅ 3. xy
yx 2
3
2 249
⋅
4. 63
82
42
32 7214
bayx
yxba
⋅ 5. 27
8
68
35
3
3
2816
6026
3935
baxy
yxba
bayx
⋅⋅ 6. 2
3
3
2
2
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −x
yyx
7. ( )( )
( )( )33
332
32
22
23
94
yxyx
xyyx
⋅ 8. ( )( )
( )( )432
22
24
323
35
106
yxxy
xyyx −
⋅ 9. 204
326
3062
2
2
3
−+
⋅+−
xxx
xxxx
10. 32
122
42
34
2
−+⋅
+−xx
yxyxxx 11.
158209
12796
2
2
2
2
++++
⋅++++
xxxx
xxxx
12. 1521610
1492110
2
2
2
2
−++−
⋅+−+−
xxxx
xxxx 13.
xxxx
xxxx
11281342
1340920
2
2
2
2
−+−+
⋅−+−+
14. 22
22
22
22
20193673
32075367
yxyxyxyx
yxyxyxyx
+−−+
⋅−++−
Respuesta a los ejercicios anteriores
1. 21 ; 2.
251 ; 3.
yx
29 ; 4. 3
4
34aby ; 5. 45
3
92
xay ; 6. 4
1y
− ; 7. 27
4 3xy
8. 3
2x ; 9. 4
3x ; 10. )3()1(
2 +−
xxxy ; 11. 1 ; 12.
58
+−
xx ; 13.
86
−−
xx ; 14.
yxyx
4323
−−
71
6. DIVISIÓN DE FRACCIONES
De la definición de división de fracciones, considerada en el capitulo 2, tenemos que
a c a db d b c÷ = ⋅ .
El resultado anterior muestra como transformar la división de fracciones en una
multiplicación de fracciones.
Las fracciones dc y
cd se llaman inversas multiplicativas o reciprocas.
Nota: La reciproca de la expresión a + b es ba +
1 , no ba11
+ .
La reciproca de ba11
+ es
ba11
1
+ o en forma simplificada,
abab+
.
abab
baba
⋅+
=+
111
111
abab
bab
aab
ab
baab
ab+
=+
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=11
1
Ejemplo Simplificar b
aba
209
53 2
2
3
÷ .
Solución. b
aba
209
53 2
2
3
÷3
2 2
3 20 45 9 3a b ab a b
= × =
Nota: Obsérvese la diferencia entre
bcfade
fe
cd
ba
fe
dc
ba
=⋅⋅=⋅÷ y bceadf
cedf
ba
dfce
ba
fe
dc
ba
=⋅=÷=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅÷ .
Ejemplo Simplificar 3537672012
15174328
2
2
2
2
+−+−
÷−−−+
xxxx
xxxx .
Solución. 3537672012
15174328
2
2
2
2
+−+−
÷−−−+
xxxx
xxxx ( )( )
( )( )( )( )( )( )765
76125343412
−−−−
÷−++−
=xxxx
xxxx
1 1 1 1
( )( )( )( )
( )( )
2 1 4 3 ( 5) 6 71
4 3 5 (2 1) 6 7x x x xx x x x− + − −
= ⋅ =+ − − −
1 1 1 1
72
Ejemplo
2 2 2
2 2 2
24 49 40 36 63 88 72 18 7754 51 14 27 30 8 8 37 20
x x x x x xx x x x x x+ − + − + −
÷ ×+ − + − − +
Solución:
2 2 2
2 2 2
24 49 40 36 63 88 72 18 7754 51 14 27 30 8 8 37 20
x x x x x xx x x x x x+ − + − + −
÷ ×+ − + − − +
Es mejor ponerla toda como un producto
(8 5)(3 8) (3 4)(9 2) (6 7)(12 11)(6 7)(9 2) (12 11)(3 8) (8 5)( 4)
x x x x x xx x x x x x− + + − + −
= × ×+ − − + − −
3 44
xx+
=−
EJERCICIOS
1. 15 4526 39
÷ 2. 56 63 2738 57 16
÷ × 3. 2 3
2
10 49 27
x xy y
÷ 4. 2 3 3
2 4
17 5126 13
a b a bx x
÷
5. 2 3 4
2 6 3
6 158 12
a b a bx y xy
÷ 6. 2 4 4 9
4 2 3 6
4 89 27
a b a bx y x y
÷ 7. 3 4 3 2
2 2 2 2
x y a b ba b x y y
× ÷
8. 2 2 6
3 3
14 425 10
a b bb a a
÷ × 9. 3 2
2 2 2
43 3
x xx xy x y
÷− −
10. 3 3 2
2 2 2 1x x x xx x x x+ −
÷− − +
11. 2 2
2 2
9 6 272 3 10 9
x x xx x x x
+ − −÷
+ − − + 12.
2 2
2 2
2 8 4 43 4 6 8
x x x xx x x x+ − − +
÷− − − +
73
13. 2 2
2 2
4 12 10 67 6 7 8
x x x xx x x x− − + +
÷− + + −
14. 2 2
2 2
3 2 6 165 4 20
x x x xx x x x− + + +
÷− + + −
15. 2 2 2
2 2 2
12 35 18 6 23 18 4 19 122 17 36 6 19 36 12 11 36
x x x x x xx x x x x x
− + − − − +÷ ×
− + − − − −
Respuesta e los ejercicios anteriores
1. 12
; 2. 94
; 3. 152
yx
; 4. 2 2
6b x
a; 5.
2
2 3
35
ba xy
; 6. 4
2 5
32
ya b x
; 7. 2a xy ; 8. 75b
9. 4( )
3x y+
; 10. 2
2
1xx+
; 11. 2
2
9( 3)xx++
; 12. 41
xx++
; 13. 1; 14. 58
xx++
;
15. (3 2)(4 3)(2 9)(3 2)
x xx x− −− +
7. OPERACIONES COMBINADAS Y FRACCIONES COMPLEJAS.
En las secciones anteriores tratamos la adición y sustracción de fracciones, así como su
multiplicación y división. En todos los casos la respuesta final fue una fracción en forma
reducida. En esta sección se usaran las cuatro operaciones en un solo problema y también
se requerirá que la respuesta final sea una fracción reducida.
Cuando no hay símbolos de agrupación en el problema, primero se efectuaran las
multiplicaciones y divisiones en el orden en que aparecen. Solamente después de que todas
las multiplicaciones y divisiones se han realizado, se efectúan las adiciones y sustracciones.
Ejemplo Efectuar las operaciones indicadas y simplificar:
132352
3462
125
2
2
2 +−−+
÷+−
+−
+ xxxx
xxx
x
74
Solución.
132352
3462
125
2
2
2 +−−+
÷+−
+−
+ xxxx
xxx
x( )
( )( )( )( )( )( )112
31213
3212
5−−+−
÷−−
+−
+=
xxxx
xxx
x
1 1 1
( )( )( )
( )( )( )( )112
31213
3212
5−−+−
÷−−
+−
+=
xxxx
xxx
x
1 1 1
( ) ( )( )( )312
122353
212
5−++−−
=−
−+
=xx
xxxx ( )( ) ( )( )312
17312
24155−+
−=
−+−−−
=xx
xxx
xx .
Cuando hay símbolos de agrupación, como en el problema
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
2123
24
xxxx
se tiene la opción de efectuar primero la multiplicación o bien las operaciones de los
términos, dentro de los paréntesis. Este último es mas sencillo como se ilustra en los
ejemplos siguientes:
Ejemplo Realizar las operaciones indicadas y simplificar:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
2123
24
xxxx
Solución.
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
2123
24
xxxx ( ) ( )
( ) ( ) ( )21263
242
21223
)2(42 2
−+−
⋅+−+
=−+−
⋅+−+
=x
xx
xxxx
xx
xxx
( ) ( )( )( )
( ) xxx
xxx
xx
xxx 3
223
22
263
222
=−+
⋅+−
=−+
⋅+−
= .
Ejemplo Realizar las operaciones indicadas y simplificar:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
929
329
xx
xx
75
Solución.
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
929
329
xx
xx ( )
( )( )( )92
99232
932+
++÷
−−−
=x
xxx
xx
( ) ( )( )( )
( )( )
( )( )( )( )( )( )332
923332
9232
33292
99232
932 22
+++−
=++
+⋅
−−+
=+
++÷
−−−
=xxxx
xxx
xxx
xxx
xxx
Nota: Puesto que ( ) ( )dcba +÷+ se puede escribir como dcba
++ , podemos
expresar ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+÷⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +− 22
4436113xxxx
en la forma
2
2
443
6113
xx
xx
−+
+−la cual se llama fracción
compleja.
Dada una fracción compleja, es posible simplificar el problema como está, en forma
de fracción, o escribirlo en forma de división, y simplificar. A veces puede simplificarse
fácilmente una fracción compleja multiplicando numerador y denominador por el mínimo
común múltiplo de todos los denominadores que intervienen.
Ejemplo Simplificar
1811
127
83
94
−
−.
Solución.
25
25
44422732
1811
127
172
83
94
172
1811
127
83
94
−=−
=−−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=−
−
Ejemplo Simplificar
531223
13135
−++
++−
xx
xx
76
Solución.
531223
13135
−++
++−
xx
xx
( )( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )( )[ ]( ) ( )( )[ ]12235313
1351353
531223
15313
13135
15313
++−++−+−
=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−++
−+
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
++−
−+
xxxxxx
xxxx
xxxx
( )[ ]( )[ ]
( )( )( )( )
( )( )( )( )( )( )
( )( )( )( )1313
45313231342353
29913814353
1210991313514353
2
2
2
2
−+−−
=−−+−−−
=+−++−−
=+−−++−−−
xxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
EJERCICIOS 7
1. 1
282
333
22
2
2 −−+
⋅−−
++
+ xxx
xxx
x 2.
86168
124123
32 22 ++++
+−−
++
− xxxx
xxx
xx
3. 1
11 2 −⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
xx
x 4.
1926 2 −
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
xx
x 5. ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
131113
xx
6. ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
2214
xxx 7. ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
232
343
xxx
xx 8. ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
121
121
xx
xx
9. ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+−−
2952
131
xx
xx 10. ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
41
414
4 xxxx
11. ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−÷⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
1297
1232
xx 12. ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
++−÷⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
++−
3233103
321143
xx
xx
13.
321
21
43
−
− 14.
181
361
43
87
+
− 15.
2
2
3114
1112
xx
xx
−−
−−
Respuesta a los ejercicios impares anteriores:
1. 5 1( 3)( 4)
xx x
++ −
; 3. 11x +
; 5. 3 ; 7. (3 2)x x − ; 9. ( 2)(2 1)x x+ −
11. 4 114 2
xx−−
; 13. 34
; 15. 44 1xx+
−+
77
UNIDAD III EXPONENTES Y RADICALES
1. LEYES DE LOS EXPONENTES
Sea an = a . a . a … a ( n factores)
La cantidad an es llamada la n-ésima potencia de la base a, y n es llamado el
exponente.
En este capitulo extenderemos la definición de exponentes para incluir a todos los números
racionales. Antes de pasar a nuevos exponentes, sin embargo enunciamos cinco leyes de
los exponentes y demostrado que tales leyes son validas para los exponentes enteros
positivos. La base a y b en el enunciado de las leyes pueden ser cualquier números reales
para los cuales no se anule ninguno de los denominadores en consideración. Las
demostraciones de las leyes I y II están dadas en la unidad 1.
Ley I aman = am+ n
Ley II
Si m > n
= 1 Si m = n
Si m< n
Ley III
(am)n = amn
Demostración. Por definición, (am)n significa am tomando n veces como factor.
Pero cada am tiene a a como factor m veces repetido.
Por tanto, aparece a, en total, mn veces repetido como factor del producto, dando así ambm.
nmn
m
aaa −=
mna −=1
78
Ley IV
(ab)m = ambm
Demostración. Por definición (ab)m significa el producto obtenido tomando ab como
factor m veces repetido. Por tanto, el factor a ocurre m veces y el factor b ocurre m veces.
Por los axiomas de conmutatividad y asociatividad podemos reordenar los factores de tal
modo que todos los factores a aparezcan inicialmente y todos los factores b sigan. Así
podemos escribir (ab)m =ambm.
Ley V
(a/b)m = am / bm Si b ≠ 0
Demostración. Por definición ( ab)m significa el producto de m factores iguales a la
fracción a/b. Recordando la definición que dimos para el producto de fracciones, tenemos
am como numerador de él producto de las fracciones y bm como denominador de tal
producto.
Ejemplos.
(a2)3 = a2. 3 =a6 (4a)3 = 43 a3 = 64a3
( )( ) 4
8
4
422
1622 yxxx
yy
==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ mm
mn
mn
xxxx 42
22 2
22
==+
2. EXPONENTES ENTEROS NEGATIVOS Y CERO
Hemos definido los exponentes enteros positivo y establecido cinco leyes de
exponentes que se aplican a ellos. Nuestro siguiente paso es el extender la idea de
exponentes para incluir al cero y a los enteros negativos. Los nuevos exponentes se definen
de modo tal que satisfagan las cinco leyes de exponentes.
Primero determinaremos qué significado hay que darle al símbolo a0. Si la Ley II ha
de ser válida cuando m = n, tenemos
0aaaa nn
n
n
== − ( )0≠a
79
Esta división nos dará, de acuerdo con la Ley II, un exponente nulo. Pero cualquier número
distinto de cero dividido por sí mismo tiene como cociente a 1. Esto nos conduce a definir
el exponente cero de la siguiente manera:
Definición 7-1.Si a es un número no nulo, entonces
10 =a
A continuación, y de manera semejante, determinamos el significado que ha de darse a
a-n cuando –n es un entero negativo. Si la Ley I ha de ser válida cuando m = -n, entonces
a-n a n = a0 =1
Dividiendo ambos miembros de esta ecuación por an, tenemos
nn
aa 1
=−
De este modo hacemos la siguiente definición.
Definición 7-2. Si n es un entero positivo y a ≠ 0, entonces
nn
aa 1
=−
Las definiciones de a0 y a-n ha sido consecuencia de las leyes de los exponentes. De
haberse dado las definiciones sin referencia a dichas leyes hubiera sido fácil verificar que
satisfacen a las leyes de los exponentes.
EJEMPLOS.
( ) ( ) ( ) 1333 022 =−=−− − 23535 aaaa == −−
Como lo ilustra la última ecuación, se puede pasar un factor del numerador al
denominador o viceversa, si se altera el signo del exponente de dicho factor. Sin embargo,
los sumandos del numerador o del denominador no puede manejarse de esta manera. Así
por ejemplo,
( )0≠a
33
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−
ab
ba
2
5
5
2
bxay
byax
=−
−
80
que no es igual a x2+ y2.
EJERCICIOS
Encuentre el valor de cada una de las expresiones, usando las leyes de los exponentes.
1. 22 . 23 2. (23)2 3. 4-1
4. (- 4)0 5. (2a)0 6. 3-3
7. 52 . 5-3 8. (52)-2 9. (2 . 3)-2
10. (4-2)-2 11. (-3)-2 12. (3 . 8)0
13. 1
71 −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 14.
1
32 −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 15. (2 . 70)-4
Simplifique cada expresión realizando las operaciones indicadas y dejando el resultado
sin exponentes negativos o nulos.
16. (2xy)-2(3xy3) 17. (x2y-2)-1(x3y0)2 18. (a b-3)(a-1b-1)-1
19. 22
12
−−
−−
baba 20.
baba41
221
23
−−
−−
21. 201
322
105
−−
−
baba
22. 2
2
23
737
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛xz
yzx 23. ( )
( )363
354
48
yxyx 24. ( )
( )32
23
510
yxxy
25. 2
10
23
2
−
−
−−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛rqp 26.
3
1
42 −
− ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛pq
qp 27. 1
2
03 −
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛rqp
28. 1
11
232
−
−− + 29. 11
11
1212−−
−−
−+ 30. 1
11
353
−
−− −
31. 2 2
1 1
x yx y
− −
− −+ 32.
2
2 2
yx y
−
− −− 33.
2 2
2( )x y
xy
− −
−
+
22
22
22
22 1111
yxyx
yxyx +
=+
=+ −−
81
Solución a los ejercicios impares anteriores:
1. 32 ; 3. 14
; 5. 1 ; 7. 15
; 9. 136
; 11. 19
; 13. 7 ; 15. 116
; 17. 4 2x y
19. b ; 21. 2 525
a b ; 23. 3
3
8xy
; 25. 6 4
2
p qr
; 27. 2
3
rp
; 29. 3− ; 31. 2 2
1xy x y+
33. 2 2x y+
3. EXPONENTES FRACCIONARIOS
En esta sección vamos a extender la idea de exponentes para incluir todos los números
racionales. Sin embargo, antes de introducir los exponentes fraccionarios, necesitamos
considerar la siguiente definición.
Definición 7-3. Si a y b son dos números tales que la n-ésima potencia de a
(siendo n un entero positivo) es igual a b, entonces a es llamada la n-ésima raíz de
b.
De acuerdo con esta definición, las ecuaciones
22 = 4, (-2)2 = 4, 33 = 27, (-3)3 = -27
muestran que +2 y - 2 son raíces cuadradas de 4, que 3 es una raíz cúbica de 27. Puesto
que cuatro tiene dos raíces cuadradas, podría uno preguntarse cuántas raíces n-ésimas
tiene un número. Aunque la demostración aparece posteriormente, enunciamos ahora que
todo número no nulo tiene dos raíces cuadradas, tres raíces cúbicas, cuatro raíces cuartas, a
y así sucesivamente. Pero algunas de estas raíces se refieren a un nuevo sistema numérico.
Este nuevo sistema numérico, que introduciremos después, no es naturalmente el sistema de
82
los números reales. Vemos de inmediato que un numero negativo no tiene raíz real de
orden par (cuadrada, cuarta, sexta y así sucesivamente). Esto es cierto porque cualquier
potencia par de un nuecero positivo o negativo es número positivo. ahora deseamos
concentrar nuestra atención solamente en los números reales. Diferiremos para después,
por tanto, la consideración de números y raíces de números que son reales.
En lo que se refiere a las raíces de los números, escribimos los siguientes enunciados,
pero sin demostración:
1. Un numero positivo tiene exactamente dos raíces pares reales, siendo una de ellas
positiva y la otra negativa.
2. Un número positivo o negativo tiene exactamente una raíz de orden impar, siendo el
signo de la raíz igual al signo del número.
3. Un número negativo no tiene raíces reales de orden par.
Si n es un número entero positivo, par, la raíz positiva n-ésima principal de a.
Cuando n es impar, la raíz n-ésima real de un numero positivo o negativo a es llamada la
raíz n-ésima principal. La raíz n-ésima principal de un numero se denota por .n a El
símbolo n a es llamado un radical, a es llamado el radicando y n es llamado el índice,
u orden del radical. Estamos excluyendo de nuestra consideración el caso en que el
radicando es negativo y el índice es un número par.
Tenemos a continuación algunos ejemplos de raíces principales
,636 = ,283 = ,3814 = 2325 −=−
Observamos que -6 es raíz cuadrada de 36 y de -3 es una raíz cuarta de 81, pero ninguna es
raíz principal. El negativo de la n-ésima raíz principal de un numero a se denota por n a− . Por tanto, 3814 −=− .
83
Estamos ahora en posición de de considerar exponentes de la forma m/n, donde m es
un entero positivo o negativo y n es un entero positivo. Tomamos en primer lugar m = 1
y buscamos una interpretación de .1 na Si la Ley III ha de ser valida, tenemos
( ) aaa nnnn ==1
En esta ecuación muestra la n-ésima potencia de de na1 es igual a a, o bien, que na1 es
una n-ésima raíz de a. Especificando esta raíz como la n-ésima raíz principal de a,
tenemos por definición
( ) nnn aa =1
En esta definición a puede ser cualquier numero real cuando n es impar, pero excluimos
los valores negativos de a cuando n es par.
Aplicando la Ley III nuevamente, con el entero m ≠ 1, tenemos
( ) n mnmnm aaa ==1
y, además,
( ) ( )mnmnnm aaa == 1
Resumiendo, tenemos la siguiente definición:
Definición 7-4. Si m/n es un número racional con n positivo, entonces
( )mnn mnm aaa ==
La forma n ma significa la n-ésima raíz principal de am, y la forma ( )mn a
significa la m-ésima potencia de la raíz n-ésima principal de a. En cada forma el
denominador n del exponente indica una raíz y el numerador m indica una potencia. Sin
embargo, nuevamente notamos, que n representa aquí a cualquier entero positivo y m
representa a cualquier entero positivo o negativo.
Iniciamos nuestro estudio de exponentes definiendo exponentes enteros positivos y
estableciendo las cinco leyes de operación. Extendemos entonces las definiciones para
incluir a todos los números racionales. Aunque demostraciones completas de las leyes de
los exponentes se hicieron tan solo para los exponentes enteros de positivos, es puede
demostrar que las leyes son validas para todos los exponentes racionales.
84
Suponiendo que la Ley III es valida para los exponentes racionales, podemos
demostrar que un exponente fraccionario puede reducirse a términos mínimos. Así si m, n
y c son enteros, n y c son no nulos, tenemos
( ) nmccnmcncm aaa ==
Ejemplo 1. ( ) 4288 22332 === 46488 32332 === .
Ejemplo 2.
( ) 271
31
81
181 334
43 ===− .
Ejemplo 3.
( ) ( ) ( ) 823232 33553 −=−=−=− .
Ejemplo 4.
( )( ) 224543313545314335 yxyxyxyx == ++ .
Ejemplo 5.
cba
cba
cba
244 3132
31
322121
232
34
==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−−
−
−
.
EJERCICIOS
Encuentre el valor de cada expresión.
1. 2116− 2. 254 3. 3164−
4. 32
278⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 5.
23
94 −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 6.
41
8116
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
7. ( ) 5432− 8. ( ) 4415 − 9. ( ) 4415 −−
85
Simplifique cada expresión, dejando los resultados libres de exponentes negativos o
nulos.
10. 3432 xx 11. 5354 −xx 12. 3432 −− xx
13. 3223 55 ÷ 14. 6141 xx ÷ 15. ( ) 112 −−yx
16. ( ) 4852 −−y 17. ( ) 4431 −−− yx 18. 3/ 2 1 3/ 2
5/ 2 5/ 2 1/ 2
94
a ba b
−
−
19. 214121
324331
1627
baba
− 20. 51 2 3 5
0 2 5
x yx y
−−
−
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
21. 353131
322123
84
yxyx
−
Respuesta a los ejercicios impares anteriores
1. 14
; 3. 14
; 5. 278
; 7. 16 ; 9. 5 ; 11. 1/5x ; 13. 5/ 65 ; 15. 2
yx
;
17. 4 3x y ; 19. 1/ 63
4ab ; 21.
5/ 64xy
4. LEYES DE LOS RADICALES
De los reyes de los exponentes pueden obtenerse ciertas leyes útiles de radicales.
Damos aquí una lista de 6 leyes para radicales que son consecuencia inmediata de las leyes
correspondientes para exponentes, que aparecen en la columna de la derecha. en estas
formulas imponemos la restricción de que c, m y n sean enteros positivos, e imponemos
la restricción d que a y b, sean tales que no se anule dominador alguno y tales que ningún
radical de orden par tenga radicándoos positivos.
I. ( ) aaannn n == ( ) ( ) aaa nnnn == 11
II. nnn baab = ( ) nnn baab 111 =
86
III. n
nn
ba
ba= n
nn
ba
ba
1
11
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
IV. n mcn cm aa = nmcncm aa =
V. nmn m aa = ( ) mnnm aa 111 =
VI. nq npmqq pn m aaa += ( ) nqnpmqqpnm aaa /+=
Estas leyes pueden emplearse para hacer cambios necesarios en los radicales, de los
cuales los más comunes son:
1. Remover factores del radicando.
2. Remover el denominador de un radicando.
3. Expresar un radical dentro de un signo radical.
4. Incluir a un factor dentro de un signo radical.
Un radical se dice que esta en su forma más simple cuando se han llevado a cabo, y
hasta donde es posible, las operaciones 1,2 y 3. La operación 2 es llamada racionalizando
el denominador.
En los ejemplos ilustrativos y ejercicios siguientes, supondremos que todos los
números literales son positivos.
Ejemplo 1. Simplifiquemos los radicales 2375 ba y ( )73 8 yx + .
Solución,
( ) ( ) ( ) aabaabababa 353532575 22223 ===
( ) ( ) ( ) ( ) 323 633 7 228 yxyxyxyxyx ++=++=+ .
Ejemplo 2. Racionalicemos los denominadores de
87
52 y 3
22xb
Solución,
1051
510
2510
2510
52
====
33
3 3
33
33
2 421
24
84
84
2bx
xxbx
xbx
xbx
xb
==== .
Ejemplo 3. Reduzcamos el orden de los radicales
4 225a y 6 938 yx
Solución,
( ) aaa 5525 4 24 2 ==
( ) xyyxyxyyx 2228 36 336 93 === .
Ejemplo 4. Incluyamos el coeficiente de
24112x
x − ,
con la potencia apropiada, dentro del signo radical.
Solución.
122
22 4
4114
4112 −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=− x
xx
xx .
EJERCICIOS
Exprese cada uno de los siguientes radicales en su forma más simple.
1. 12 2. 3 16− 3. 2420 ba
4. 3 4248 yx 5. 3 5464 yx 6. 54 432 yx
7. 32 8.
a53 9. 3
98
88
10. 3
43
− 11. 4272 12. 33
2x
13. 332
yx 14. 3
4
4
92yx− 15. 4
34bc
16. 43
38a
17. 4 9 18. 44 81x
19. 6 96 8x y 20. 8 46 81x y 21. 42
9x
Dando el coeficiente el exponente apropiado, inclúyalo dentro del signo radical.
23. 2 3 24. 2x y 25. 2
424
xxx−
26. 5
2
3 29
a xx a
; 27. 33a b
b a 28. 2
1 124
aa
−
Emplee las leyes de radicales adecuadas para expresar cada uno de los radicales
repetidos como un radical único.
29. 3 3 30. 3 3a 31. 32 16
Respuesta a los ejercicios impares anteriores:
1. 2 3 ; 3. 22 5a b ; 5. 234xy xy ; 7. 1 63
; 9. 32 33
; 11. 41 63
;
13. 231 183
xyy
; 15. 41 42
bcc
; 17. 3 ; 19. 2xy y ; 21. 1 3xx
23. 12 ; 25. 4 x− ; 27. 3ab ; 29. 6 3 ; 31. 62 2
89
5. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE RADICALES
Radicales del mismo orden y mismo radicando son llamados radicales semejantes.
Una suma algebraica de radicales semejantes puede ser expresada como un radical sencillo
usando la ley distributiva. Radicales no semejantes se transforman en radicales
equivalentes que son semejantes mediante las simplificaciones pertinentes. Radicales que
no se pueden expresar como radicales semejantes pueden sumarse interponiendo entre ellos
un signo de ( + ), pero su suma no puede escribirse como un radical único.
Ejemplo 1.
4 241 22 18 6 4 2 (9)(2) 6 22 4
− + = − =
22326 +−=
24= .
Ejemplo 2.
aaaaaaa 226221632 3333 4 −−=−−
( ) aaa 226 3 −−= ,
Los radicales no semejantes 3 2a y a2 no pueden combinarse en un radical
único.
Ejemplo 3.
abab
aba
abba
bba
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=−=−
1111 .
90
EJERCICIOS
Simplifique los radicales en cada uno de los siguientes problemas y combine entonces
todos los radicales semejantes.
1. 183250 +− 2. 122775 −− 3. 28 3 63 112+ −
4. 12475220 −+ 5. 286350 + 6. 8122
21
−+
7. 122713
31
+− 8. 60535
353 −+ 9. 3 3 32 16 54 50+ +
10. 333 548116 ++ 11. xxx 21838 3 +−
12. xyyxxy −− 33 164 13. 3642 753123 yxyxyx −+
14. 3 443 43 16542 baabab +− 15. 3 623 353 2 81243 babaa −+
16. 3 43 316 54 24a a a+ + 17. 3 3 32 4 2 52 2 16ab a b ab+ +
18. 2 34 25 20 5a a a+ + 19. 62 2 343 9 27a a a− +
20. 66 343 2 4 4 6 8a a a+ + 21. 1 22 2x
x x− −
Respuesta a los ejercicios impares anteriores:
1. 4 2 ; 3. 7 7 ; 5. 5 2 5 7+ ; 7. 2 3 ; 9. 3 37 2 50+ ; 11. (2 8) 2x x−
13. 2 3(2 15 ) 3x x x y y+ − ; 15. 32 2(1 2 3 ) 3ab b a+ − ; 17. 3 2(1 2 ) 2a b ab+ +
19. 3a ; 21. 3 22
x xx−
91
6. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE RADICALES.
Para multiplicar radicales de órdenes distintos, es necesario explicarlos como radicales
equivalentes del mismo orden. El orden de los nuevos radicales deberá ser el M.C.M. de
los órdenes de los radicales originales. El orden de un radical puede elevarse (formula IV.
Sec. 7-4) multiplicando el orden del radical y el exponente del radicando por el mismo
entero positivo mayor que 1.
Ejemplo 1. Multipliquemos 3 22 a por 3 235 ba .
Solución.
33 33 23 6106103522 bababaa ==⋅ .
Ejemplo 2. Encontremos el producto ( )( )5345332 −+ .
Solución. Los binomios tienen cantidades semejantes, y multiplicamos de la manera
usual.
( )( )5345332 −+ 53151038 ⋅−+⋅=
15109 += .
Ejemplo 3. Encontramos el producto de 35 y 3 26 .
Solución. Expresamos primero cada radical como un radical de orden 6, que es el
mínimo común múltiplo de los órdenes de los radicales dados. Así,
66 236 26 33 10830233023302635 =⋅=⋅=⋅
La formula III de la Sec. 7-4 muestra como expresar el cociente de dos radicales del
mismo orden como un radical único. Como en la multiplicación, sin embargo, los
radicales de dos órdenes distintos deben ser primero convertidos en radicales del mismo
orden. Consideramos la división de dos radicales como completa cuando el cociente no
tenga radicales en el denominador y el radical del numerador, si lo hay, esta expresado en
su forma más simple. El proceso de quitar radicales de un denominador es llamado
racionalización del denominador.
92
Ejemplo 4. Encontremos el cociente de 3 66 dividido por 5 .
Solución.
3051
5556
56
56
=⋅⋅
== ,
o, alternativamente,
3051
530
55
56
==⋅ .
Ejemplo 5. Encontramos el cociente de 3 56 dividido por 22 .
Solución.
. 66 36 233
20023
4256
22
2256
2256
=⋅
=⋅=
De otro modo, convirtiendo a exponentes fraccionarios, tenemos
66 326362
2121
2131
21
31
2002325
23
4256
222256
2256
=⋅=⋅⋅
=⋅⋅⋅⋅
=⋅⋅ .
Cuando el divisor es un binomio que contiene un radical de segundo orden en uno o
ambos términos, racionalizamos el denominador multiplicando el dividendo y divisor por
expresión adecuadamente elegida. Para este propósito, observamos que el producto de
ba + y ba − es una expresión radical a – b. Por tanto, un factor de
racionalización del tipo en consideración se obtiene cambiando el signo de uno de los
términos del divisor.
Ejemplo 6. Dividamos ( )3223 − por ( )3324 − .
Solución.
566
273218624
33243324
33243223
33243223 +
=−
−+=
++
⋅−−
=−−
93
EJERCICIOS
Multiplique como se indica y simplifique el resultado.
1. 72 ⋅ 2. 2872 ⋅⋅ 3. 3053 ⋅⋅
4. 32 218 xyyx ⋅ 5. 33 96 ⋅ 6. 3 23 43 aa ⋅
7. 33 2 416 aba ⋅ 8. 3 23 ⋅ 9. 3 32 ⋅
10. 4 82 ⋅ 11. 43 xxx ⋅⋅ 12. 33 322 ⋅⋅
13. 43 432 ⋅⋅ 14. ( )( )332432 −+ 15. aa +⋅− 33
16. Encuentre el valor de 762 +− xx si 23+=x
17. Encuentre el valor de 12 2 ++ xx si 12 −=x
18. Encuentre el valor de 52 −+ xx si 23 +
Efectué las divisiones y exprese cada resultado en su forma más simple.
19. 763 ÷ 20. 3311 ÷ 21. xx 287 2 ÷
22. aa 315 4 ÷ 23. 35220 xx ÷ 24. 33 4108 ÷
25. 3 23 272 aa ÷ 26. 33 4 415 xx ÷ 27. 3 33 ÷
28. 393 ÷ 29. 3 22 baab ÷
30.5
3515 + 31. 53
1−
32. 23
1−
33. 25
2+
34. 5757
−+ 35.
532354
+− 36.
23722273
−+
94
Respuesta a los ejercicios impares anteriores:
1. 14 ; 3. 15 2 ; 5. 33 2 ; 7. 34a b ; 9. 6 72 ; 11. 12x x
13. 32 3 ; 15. 9 a− ; 17. 6 3 2− ; 19. 3 ; 21. 12
x ; 23. 1x
25. 3 21 28aa
; 27. 6 3 ; 29. 6 5 41 a ba
; 31. 3 54+ ; 33. 5 2 2
23−
35. 9 15 267−
95
Unidad IV. ECUACIONES LINEALES. 1. ECUACIONES DE PRIMER GRADO.
Objetivo especifico: El alumno resolverá ejercicios y problemas que impliquen ecuaciones
lineales con una incógnita.
Ecuación:
Es una igualdad que solo se verifica para un valor determinado (o valores
determinados) de la incógnita; es decir, una ecuación es una igualdad condicional.
Al conjunto de términos situados a la izquierda de signos iguales se le llama primer
miembro de la ecuación y al conjunto de términos que están a la derecha se le llama
segundo miembro.
Esto es una ecuación:
2x – 5 = x + 3
Primer segundo
Miembro Miembro
Propiedades de las ecuaciones
1.- Si a cada miembro de una ecuación se le suma o resta una misma cantidad, la
ecuación sigue siendo cierta.
2.- Si cada miembro de una ecuación se multiplica por un mismo numero, la
ecuación sigue siendo cierta.
3.- Si cada miembro de una ecuación se divide entre un mismo numero (excepto
cero) la ecuación sigue siendo cierta.
96
Identidad
Es una igualdad que es cierta para cualquier valor numérico que se le asigne a la
literal (o literales); es una igualdad absoluta.
Se escribe: 4a + 6a ≡ 10a
Raíz o solución de una ecuación
Es el valor o valores de la incógnita que hacen cierta la ecuación.
Así la raíz de 3x – 9 = 5x – 23 es x = 7
Porque: 3(7) – 9 = 5(7) – 23
12 = 12
De igual manera las raíces de x2 – 7x + 10 = 0 son x1 = 2
x2 = 5
porque: (2)2 – 7 (2) + 10 = 0 (5)2 – 7(5) + 10 = 0
4 – 14 + 10 = 0 25 – 35 + 10 = 0
- 14 + 14 = 0 - 35 + 35 = 0
0 = 0 0 = 0
Ecuación Literal
Es aquella en la que algunas o todas las cantidades conocidas están representadas
por letras.
ax + bx – c = 0
son ecuaciones literales 0ax=
97
ax
- 1 + b = 0
Ventajas de las ecuaciones literales
Con las ecuaciones literales, se obtienen formulas aplicadas no solo a un problema
determinado si no a todos los de su misma especie; generalizan por tanto los problemas, lo
cual es una finalidad del álgebra.
Así, por ejemplo, en la formula del interés:
i = Art en donde:
i = interés
A = capital
r = rédito anual
t = tiempo en años
Esta ecuación se puede resolver con respecto a cualquier de las literales, obteniéndose:
iArt
= irAt
= itAr
=
2. ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
Ecuación de primer grado es aquella en que, después de efectuadas todas las
reducciones posibles, el exponente de la incógnita es igual a la unidad.
Ejemplos de resolución
Haciendo uso de las propiedades de las ecuaciones, resolver la siguiente ecuación:
98
Súmese 3 a cada miembro 5x – 3 = 2x + 12
+ 3 = + 3
Réstese 2x a cada miembro 5x = 2x + 15
- 2x = - 2x
3x = 15
Divídase entre 3
x = 5 raíz
Comprobación: sustituimos el valor de la raíz en la ecuación original y si se verifica la
igualdad, entonces el problema esta bien resuelto, se no se verifica, habrá que revisar
nuevamente el procedimiento seguido.
5(5) – 3 = 2(5) + 12
25 – 3 = 10 + 12
22 = 22
Ejemplo
Resuelve: 52x + 4 = x + 13
Multiplicamos por 2: 2 52x + 4 = 2(x + 13)
Restamos 2x: 5x + 8 = 2x + 26
-2x = -2x
Restamos 8: 3x + 8 = 26
- 8 = - 8
3x = +18
99
Divídase entre 3:
Comprobación: 5*62
+ 4 = 6 + 13
15 + 4 = 6 + 13; 19 ≡ 19
19 = 19
Transposición de términos Por los ejemplos anteriores se ve que puede suprimir un término cualquiera en un miembro, siempre que se agregue al otro su simétrico. Esto equivale a afirmar que puede pasarse un término de un miembro a otro respetando la siguiente regla: Si el término esta sumando pasa restando Si el término esta restando pasa sumando Si el término multiplicando pasa dividiendo Si el término esta dividiendo pasa multiplicando A esto se le llama transposición de términos. Intercambio de miembros Es recomendable que los términos que contengan la incógnita se pongan siempre en el
primer miembro de la ecuación:
Así, las ecuaciones 25 = 3x - 4 y 12 = 2x + 3
Conviene escríbelas 3x – 4 = 35 y 12x + 3 = 12
Cambio de signo
+ -
- +
X
÷ X
x = 6
÷
100
En una ocasión cualquiera se puede cambiar los signos de todos sus términos, lo que
equivale a multiplicarlos por (- 1), con lo cual la igualdad no se altera. Esto es de gran
utilidad según se ve continuación:
Forma original Forma preferible
-2x + 5 = - 25 2x – 5 = 25
- 8x - 3 = x – 6 8x + 3 = -x + 6
Ecuación con raíz negativa
Existen ecuaciones cuya raíz es un número negativo; esto no implica ningún problema, se
resuelve como ecuaciones que tienen por raíz un número positivo:
Así: Comprobación:
7x – 5 = 3x – 25 7(-5) -5 = 3(-5) -25
7x – 3x = -25 + 5 -35 -5 = -15 - 25
4x = -20 -40 = -40
204
x = −
Ejemplo
Resuelve: Comprobación:
16x – 192 = 0 16 (12) – 192 = 0
16x = 192 192 - 192 = 0
19216
x = 0 = 0
x = -5
x = 12
101
Ejemplo:
Resuelve: Comprobación:
a = 12a – 44 (4) = 12(4) – 44
a – 12a = - 44 4 = 48 – 44
- 11a = -44 4 = 4
11a = 44
44
11
Ejemplo
Resuelve: Comprobación:
X=300+11x (-30) = 300 + 11 (-30)
X - 11x =300 -30 = 300 - 330
-10x = 300 -30 = -30
10x = -300
30010
x = −
X= -30
Ejemplo
Resuelve: comprobación:
2z + 96 = 15z – 8 - 5z 2(13) + 96 = 15 (13) – 8 – 5 (13)
2z + 96 = 10z – 8 26 + 96 = 195 – 8 - 65
2z - 10z= -8 – 96 122 = 122
-8z = -104
8z = 104
1048
z =
Z = 13
a =
a = 4
102
Ejemplo
Resuelve: comprobación:
5c – 9 + c = 2x – 73 5(-16) – 9 + (-16) = 2(-16) -73
6c – 9 = 2c – 73 -80 – 9 – 16 = -32 - 73
6c - 2c = - 73 + 9 105 = 105
4c = -64
644
c = −
C = -16
Ejemplo
Resuelve: Comprobación:
y – 2 = -5(39 - y)- 3 49 - 2 = -5 (39-49) -3
y – 2 = -195 + 5y - 3 47 = -5 (-10) -3
y – 2 = - 198 + 5y 47 = 50 - 3
y- 5y = - 198 + 2 47 = 47
-4y = -196
4y = 196
1964
y =
y=49
Ejemplo
Resuelve: Comprobación:
84 - 19y = - 7 (60 + y) 84 – 19 (42) = -7 (60+42)
84 - 19y = - 420 - 7y 84 – 798 = -7 (102)
-19y + 7y = - 420 – 84 -714 = -714
-12y = 504
103
50412
y =
y = 42
Ejemplo:
Resuelve: comprobación:
5(4x - 7) - (3x - 1) 2 = -5 5 (4 (2) – 7) - (3 (2 ) – 1) 2 = -5
20x – 35 - 6x + 2 = -5 5 (8 – 7) – (6 – 1) 2 = -5
14x – 33 = -5 5(1) – 2(5) = -5
14x = 28 5 - 10 = -5
-5 = -5
2814
x =
x = 2
3. ECUACIONES QUE CONTIENEN QUEBRADOS
Cuando una ecuación contiene quebrados, se transforman en otra equivalencia que
tenga forma entera, multiplicando ambos miembros de la ecuación por el m.c.m. de los
denominadores.
Ejemplo
Resuelve la siguiente ecuación:
3 335 1004 5x x− = − m.c.m. de 4 y 5 = 20
3 320 35 20 1004 5x x⎡ ⎤ ⎡ ⎤− = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Comprobación:
15x – 700 = 2000 – 12x 3*100 3*10035 1004 5
− = −
15x + 12x = 2000 + 700 75 – 35 = 100 -60
27x = 2700 40 ≡ 40
X = 100
104
Ejemplo
Resuelve la siguiente ecuación:
5 3542 7 4x x x− = − + m.c.m. de 2,7 y 4 = 28
5 328 28 542 7 4x x x⎡ ⎤ ⎡ ⎤− = − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Comprobación:
14x – 20x = -1512 + 21x 56 5*56 3*56542 7 4− = − +
15x - 20x - 21x = -1512 28 – 40 = -54 + 42
-27x = -1512 -12 ≡ -12
27x = 1512
4. SOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE EL USO DE ECUACIONES DE
PRIMER GRADO
Un problema que se puede resolver mediante una ecuación comprende varias cantidades
desconocidas (incógnitas), relacionadas con otros que se conocen (datos). En el enunciado
de un problema se indican como se relacionan los datos con las incógnitas.
El procedimiento general para resolver este tipo de problemas es designar por x la incógnita
y luego expresar la relación matemática que hay entre los datos y las incógnitas por medio
de una ecuación.
La solución de esta ecuación es, evidentemente, la solución del problema.
Cuales son los tres números consecutivos cuya suma es igual a 48?
Primer número: x
Segundo numero: x + 1
X = 56
105
Tercer número: x + 2
Condición: (x) + (x+1) + (x+2) = 48
x + x + 1 + x + 2 = 48
3x + 3 = 48 Los tres números
3x = 48 – 3 son 15, 16 y 17.
3x = 45
x = 45 / 3
x = 15
Cuál es el número que aumentando en 20 se triplica? Número pedido a condición:
X + 20 = 3x
X – 3x = -20
-2x = -20
2x = 20
x= 20 / 2
x = 10
Como se paga una deuda de $700.00 con 52 monedas, unas de $20.00 y otras de $10.00
Numero de monedas de $ 20.00: x
Numero de monedas de $ 10.00: 52 – x
Valor de las monedas de $ 20.00: 20x
Valor de las monedas de $ 10.00: 10(52 – x)
Condición: 20x + 10(52 – x) = 700
20x + 520 – 10x = 700
10x + 520 = 700
10x = 700 – 520
10x = 180
18010
x =
x = 18
18 monedas de $ 20.00
106
34 monedas de $ 10.00
1. Un padre de familia tiene 45 años y su hijo 20. ¿Dentro de cuanto tiempo será la edad del
padre el doble de la del hijo?
Número de años pedido = x
Edad del padre pasados x años: 45+x
Edad del hijo pasados x años: 20+x
Condición: (45+x) = 2(20+x)
45+x = 40+2x
x - 2x = 40-45
-x =-5
x = 5
Dentro de cinco años la edad del padre será el doble de la del hijo.
2. Un recipiente, alimentado por 3 llaves, puede ser llenado en 30 minutos por la primera,
en 20 minutos por la segunda y en 40 minutos por la tercera, ¿en cuánto tiempo llenarán el
recipiente las 3 llaves juntas?
Tiempo que tardan las 3 llaves juntas: x
La primera llena en x minutos: 130
* (x) = 30x
La segunda llena en x minutos 120
*(x) = 20x
La tercera llena en x minutos: 140
*(x) = 40x
Condición: 30x +
20x +
40x = 1
4x + 6x + 3x = 120
13x = 120
12013
x =
107
x = 9.23 minutos
3. Un agricultor puede arar un terreno empleando un tractor en cuatro días, un ayudante
suyo puede hacer el mismo trabajo con un tractor más pequeño en seis días, ¿en cuántos
días pueden arar el campo si trabajan conjuntamente?
Tiempo que tardan juntos = x
El agricultor ara en x días = 4x
el ayudante ara en x días = 6x
Conducción: 4x +
6x = 1
3x + 2x = 12
5x = 12
x = 125
= 2 25
días.
Ejemplos
¿Cuantos litros de un líquido que contiene 74% de alcohol se debe mezclar con 5 litros de
otro liquido que contiene 90% de alcohol, se desea una mezcla de 84% de alcohol?
Numero de litros de la solución de 74% de alcohol que debe emplearse = x
Numero de litros de alcohol aportados por la solución al 74% = 0.74x
Numero de litros de alcohol aportados por la solución al 90% = 0.90 (5)=4.5
Numero de litros en la mezcla = x + 5
Numero de litros de alcohol en la mezcla = 0.84(x+5)
0.74x + 4.5 = 0.84( x+5)
0.74x + 4.5 = 0.84x + 4.2
0.74x – 0.84 = 4.2 – 4.5
- 0.10x = -0.3
0.30.10
x = x = 3 litros.
108
5. EJERCICIOS.
Resuelve las siguientes ecuaciones y compruébala cada una.
1. 8 8 4 5x x x− + = + 2. 720 2157x x− =
3. 7 2 9 6 4 3x x x+ − = + − 4. 12 22 3 2 13m m m+ − = −
5. 2(7 8) 7(2 ) 26x x− + − = 6. 5(4 7) 20(3 1) 5x x− − − −
7. 3(7 2 ) 11 4(2 3)x x− = − − 8. 9( 1) 7(3 ) 38 0x x+ + − − =
9. 5(8 3) 3 2(4 3)x x− = − − 10. 6 17 13( 1) 4x x− = − −
11. (5 )(2 ) ( 3) 0x x x x− − − − = 12. 4(4 3) 3(7 6 ) 16x x x− + − =
13. 3 1 2 22 6 3 3x x+ = − 14. 1 1
3 4 3 4x x− = −
15. 3 4 14 3 2 3x x− = − 16. 5 1 2 1
4 12 3 2x x+ = −
17. 3 1 2 66 3
x x++ = 18. 5 1
4 8x x ++ =
19. 3 1 2 3 12 3
x x− +− = 20. 4 2 3 1
3 4 12x x− +
− =
Respuesta a los ejercicios impares anteriores:
1. 3x = ; 3. 16
x = − ; 5. 4x = ; 7. 1x = ; 9. 12
x = 11. 52
x =
13. 1x = − ; 15. 4x = 17. 5x = 19. 3x =
109
Resolver los siguientes problemas en palabras:
El tercio de un número, sumado con su cuarta parte da 35, ¿cual será ese número?
Resp: 60
Los 5/6 del precio de una fabrica, disminuidos en $ 300 000.00, valen $ 56 300 000.00
¿cual será el precio de la fabrica?
Un padre deja 2/3 de sus bienes a uno de sus hijos, los 5/16 al segundo, y los $ 640
restantes al tercero. Encontrar la suma repartida. Resp: $30720
Hace dos años la edad de Juan era la mitad de lo que será dentro de nueve años, ¿qué edad
tiene actualmente Juan?
¿Cuántos alumnos hay en una clase si la tercera parte de ellos están leyendo, la cuarta parte
escribiendo y los otros 20 resolviendo problemas? Resp: 48
La diferencia de dos números es 565, su cociente es 5 y el residuo de la división es 85,
¿cuales son esos números?
Una llave llenaría un tanque en 10 horas, y otra llave lo llenaría en 15 horas. Estando el
tanque vació, ¿en cuanto tiempo se llenara, si se abren las dos llaves a la vez?
Resp: 6 horas
110
Unidad V SISTEMAS DE ECUACIONES.
DEFINICIÓN DE SISTEMA DE ECUACIONES:
Se le llama sistema de ecuaciones al conjunto de ecuaciones independientes que
tienen una o mas soluciones comunes. También se llaman ecuaciones simultáneas.
1. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Resolver un sistema de ecuaciones simultáneas es hallar el conjunto de valores
que satisfagan simultáneamente cada una de las ecuaciones.
1. Solución
gráfica
Por suma
2. o resta
3. Por
igualación
Por
4. sustitución
Solución grafica
Si se trata de resolver el siguiente sistema:
2x + y = 16………………..1
x + y = 10………………..2
Se procede como sigue:
En la ecuación (1) despejamos el valor de (y), colocando esta incógnita es función de (x)
como a continuación se indica:
y = 16 – 2x
111
Ahora efectuamos una tabulación (damos valores a x y vemos que valores adopta y).
En la ecuación (2) también despejamos a (y) y tabulamos: Tabulaciones
A continuación, graficamos ambas ecuaciones (ambos lugares geométricos) en un sistema
de ejes coordenados:
La solución grafica del sistema de ecuaciones simultaneas esta dada por el punto de
intersección entre ambas rectas.
Solución: x = 6
112
y = 4
Comprobación: 2(6) + (4) = 16
16 = 16
(6) + (4) = 10
10 = 10
Solución por suma o resta
Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método de
eliminación por suma o resta, se aplica el siguiente procedimiento:
1. Multiplicamos los dos miembros de una ecuación, o de ambas, por factores
tales que igualen los coeficientes de una misma incógnita.
2. Sumamos las ecuaciones si dichos coeficientes son de signos contrarios, y las
restamos si son del mismo signo.
3. Resolvemos la ecuación resultante del paso anterior, con lo cual obtenemos el
valor de una incógnita.
4. Sustituimos este valor en cualquiera de las ecuaciones originales y resolvemos
para la otra incógnita.
Resuelve el siguiente sistema de operaciones:
x + y = 4…………….1
+ x – y = 2…………….2
Sumamos ambas ecuaciones
2x = 6
62
x = , x = 3
Sustituimos en 1:
(3) + y = 4 x = 3
y = 4 – 3 y = 1
y = 1
Comprobación:
113
(3) + (1) = 4
4 = 4
(3) – (1) = 2
2 = 2
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones simultaneas:
X + 2y = 5………………….1
X + y = 4………………….2
Multiplicamos la ecuación 2 por (- 1) y la sumamos a la ecuación 1
X + 2y = 5
+ -x –y = -4
y = 1
Sustituimos en 1:
x + 2(1) = 5
x + 2 = 5
x = 5 –2
x = 3
x = 3
y = 1
114
Solución por igualación
Para resolver un sistema de dos ecuaciones simultaneas, eliminando por el método de
igualación, aplicamos el siguiente procedimiento:
1. Despejamos en cada ecuación la incógnita que se quiere eliminar.
2. Igualamos las dos expresiones del paso anterior.
3. Resolvemos la ecuación resultante de la igualación, con lo cual obtenemos el valor de
una de las incógnitas.
4. Sustituimos el valor hallado en una de las expresiones que representa el valor de la otra
incógnita y resolvemos para ella.
Resuelve:
X + y = 12 (1
X – y = 8 (2
Despejamos a x en ambas ecuaciones e igualamos:
De 1: x = 12 – y de 2: x = 8 +y
Por lo tanto:
12 –y = 8 + y
-y –y = 8 – 12
-2y = - 4
2y = 4
y = 2
Como: Comprobación:
x =12 – y (10) + (2) = 12
x = 12 – (2) 12 = 12
x = 10 (10) - (2) = 8
x = 10 8 = 8
y = 2
115
Resuelve las siguientes ecuaciones simultáneas:
15x = 10 – 20y………………….1
25x = 30y + 80…………………..2
Multiplicamos la ecuación 1 por 3 y la ecuación 2 por 2 y luego las sumamos:
45x = 30 – 60y
50x = 60y + 160
95x = 190
19095
x =
x = 2
Sustituimos en 1: Comprobación:
15(2) = 10 – 20y 15(2) = 10 –20(-1)
30 = 10 – 20y 30 = 10 +20
20y = 10 – 30 30 = 30
20y = -20 25(2) = 30(-1) + 80 y = - 1 50 = - 30 + 80 x = 2 50 = 50
y = -1
Solución por sustitución:
El procedimiento es el siguiente:
1. Despejamos una incógnita en una de las ecuaciones.
2. Sustituimos la ecuación que representa su valor en la otra ecuación.
3. Resolvemos la nueva ecuación con lo cual se obtiene el valor de la incógnita no
eliminada.
4. Sustituimos el valor así hallado en la expresión que representa el valor de la otra
incógnita, y resolvemos la ecuación resultante.
116
Resuelve:
x + y = 23………………… (1
x – y = 7………………… (2
Despejamos el valor de y en la ecuación 1:
y = 23 – x………. (3
El valor de y obtenido en la ecuación 3 se sustituye en la ecuación 2:
x – (23 – x) = 7
x – 23 + x = 7
2x = 7 + 23
2x = 30
x = 15
Sustituimos en 3:
y = 23 – (15)
y = 8
x = 15
y = 8
Comprobación:
(15) + (8) = 23
23 = 23
(15) – (8) = 7
7 = 7
117
2. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS CON MÁS DE DOS
INCÓGNITAS
Para resolver estos sistemas se pueden escoger cualquiera de los métodos vistos
anteriormente.
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas:
2x – 6y – 5z = -11…………………. (1
10x + 9y – 3z = 50………………… (2
4x – 8y + z = 15…………………. (3
Para eliminar a (y) de las ecuaciones 1 y 2, multiplicamos la ecuación 1 por 9 y la
ecuación 2 por 6 y sumamos ambas expresiones:
+ 18x – 54y – 45z = - 99
60x + 54y – 18z = 300
78x - 63z = 201…………….. (4
Ahora multiplicamos la ecuación 2 por 8 y la ecuación 3 por 9 y las sumamos:
80x + 72y – 24z = 400
+ 36x – 72y + 9z = 135
116x - 15z = 535………. (5
Ahora hagamos simultáneas las ecuaciones 4 y 5. Eliminemos a z multiplicando la
ecuación 4 por (- 15) y la ecuación 5 por 63 y luego sumemos:
-1170x + 945z = - 3015
7308x – 945z = 33705
6138x = 30690
306906138
x =
x = 5
Sustituimos en 5:
118
116(5) –15z = 535
580 – 15z = 535
- 15z = 535 – 580
- 15z = - 45
15z = 45
z = 3
Sustituimos en 1:
2(5) – 6y – 5(3) = -11
10 – 6y – 15 = - 11
6y – 5 = - 11
6y = - 11 + 5
6y = - 6
y = - 1
3. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS POR DETERMINANTES Antes de entrar a la resolución de ecuaciones simultaneas por determinantes, veamos
que es un determinante y como se resuelve.
Determinante de segundo orden. Es la ordenación cuadricular de 4 números y se
desarrolla de la manera siguiente.
a b = ad – bc c d
X = 5 Y = -1 Z = 3
119
Calcula el valor del siguiente determinante: 3 5 = (3)(7) – (5)(- 20) = 21 + 10 = 41 -2 7 Determinante del tercer orden. Es una ordenación cuadricular de números, que consta de 3
columnas y 3 renglones y se desarrolla de la manera siguiente:
A1 b1 c1 a1 b1 c1 a1 b1 A2 b2 c2 = a2 b2 c2 a2 b2 A3 b3 c3 a3 b3 c3 a3 b3 = a1b2c3 + a3b1c2 + a2b3c1 – a3b2c1 – a1b3c2 – a2b1c3 Calcula el valor del siguiente determinante: 3 2 4 3 2 4 3 2 -5 0 7 = -5 0 7 -5 0 1 3 5 1 3 5 1 5 = (3)(0)(5) + (2)(7)(1) + (4)(-5)(5) – (1)(0)(4) – (3)(7)(3) -(5)(-5)(2) = 0 + 14 – 100 – 0 - 63 + 50 = - 99 Veamos ahora la aplicación de los determinantes a la resolución de sistemas de ecuaciones
simultáneas. El procedimiento es el siguiente:
1. Se ordenan las ecuaciones de tal modo que las constantes aparezcan en el miembro de
la derecha y las variables en el de la izquierda.
2. Calculamos el valor del determinante formado por la ordenación cuadricular de los
coeficientes de las incógnitas; a dicho determinante le llamaremos ∆ (delta).
3. En el determinante ∆ sustituimos la primer columna (correspondiente a los coeficientes
de la primer incógnita por la columna de las constantes de las ecuaciones y calculamos
el valor de este nuevo determinante al cual le llamaremos ∆x (delta equis).
120
Si sustituimos la segunda columna en delta por la columna de las constantes, entonces
tendremos a ∆y (delta ye) y así sucesivamente
Aplicando la siguiente formula
, ,x x zx y zΔ Δ Δ= = =Δ Δ Δ
Nota: Si en lugar de x, y, z las incógnitas tuvieran otras literales,
únicamente haremos las modificaciones pertinentes.
Resuelve por determinantes:
2X + 3Y = 8
3X - Y = 1
2 3
∆= = (2)(-1) – (3)(3) = -2 –9 = -11
3 -1
8 3
∆x = = (8)(-1) – (1)(3) = -8 –3 = -11
1 -1
2 8
∆y = = (2)(1) – (3)(8) = 2 – 24 = -22
3 1
11 111
xx Δ −= = =Δ −
22 211
yy Δ −= = =Δ −
X = 1 Y = 2
121
4. PROBLEMAS QUE DAN LUGAR A UN SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS O MÁS INCÓGNITAS
1. Dividir el número 132 en dos partes tales que los 5/7 de la una y los 3/5 de la
otra, sumen 88
Primera parte: x
Segunda parte: y
Condiciones:
x + y = 132… (1
...8853
75
=+ yx (2
Multiplicamos la ecuación 1 por (-3/5) y luego sumamos con la ecuación 2:
3 3 3965 5 5
5 3 887 5
5 3 396887 5 525 21 3080 2772
4 30877132 7755
x y
x y
x x
x xx
xyy
− − = −
+ =
− = −
− = −=== −=
x =77
y =55
2. Tres personas pueden hacer un trabajo en 3 días; la primera y la segunda lo harían en
16/5 de día, la segunda y la tercera juntas pueden hacerlo en 12 días. ¿En cuantos días lo
haría cada persona sola?
122
Numero de días que emplearía la primera: x
Numero de días que emplearía la segunda: y
Numero de días que emplearía la tercera: z
En un día la primera hace 1;x
la segunda en el mismo tiempo hace yy1 la tercera .1
z
Condiciones:
L31111
=++zyx
(1
16511
=+yx
…(2
L12111
=+zy
(3
Multiplicamos la ecuación 2 por (-1) y la sumamos a la ecuación 1
1651131111
−=−−
=++
yx
zyx
484811
4815161
165
311
=
=
−=
−=
zz
z
z
Sustitución en 3:
164831
481
1211
121
4811
=
=
−=
=+
yy
y
y
123
Sustituimos en 2:
41641
161
1651
165
1611
=
=
−=
=+
xx
x
x
3. Una caja registradora contiene 50.00 en monedas de 5 centavos y 25 centavos. En total
son 802 monedas, siendo 10 veces mayor el número de las de 5 centavos que el de las de 10
centavos. Encontrar cuantas monedas hay de cada valor.
Numero de monedas de 5 c = x
Numero de monedas de 10c = y
Numero de monedas de 25 c = z
Condiciones:
.05x + .1y + .25z = 50 … 1
x + y + z = 802… 2
x = 10y… 3
15.205.25.5.21.0101111.05.
010111125.1.05.
−=−+−−+=−−
=Δ
15050500020050010018021.50
01001180225.1.50
−=−+−−+=−−
=Δx
X = 4
Y = 16
Z = 48
124
Por lo tanto, 70015.2
1505=
−−
=ΔΔ
=xx
Sustituimos en 3: 10y = 700 ∴ y = 70
Sustituimos en 2: (700) + (70) + z = 802 ∴z = 32
700 monedas de 5 c
70 monedas de 10c
32 monedas de 25 c
EJERCICIOS
Resuelve por método grafico los siguientes sistemas de ecuaciones simultáneas:
1. 42
x yx y+ =− =
2. 31
x yx y+ =− =
3. 51
x yx y+ =− =
4. 3 2 73 5
x yx y+ =+ =
5. 3 4
3 2x y
x y− =+ = −
Resuelve por el método de eliminación por suma o resta los siguientes sistemas de
ecuaciones simultáneas:
6. 2
2 1x y
x y+ =− =
7. 4 63 1
x yx y− =+ =
8. 2 63 8
x yx y+ =+ =
9. 6 7 108 13 6
x yx y− =− =
10. 2 33 2 8
x yx y− =+ =
11. 3 2
3 5 6x yx y+ = −+ = −
12. 2 7 265 9
x yx y− = −+ =
13. 5 2 37 3 10
x yx y+ =− =
14. 4 3 63 5 19
x yx y+ =− =
Resuelve por método de eliminación por igualación los siguientes sistemas de
ecuaciones simultáneas:
15. 5 13 7
x yx y− =+ =
16. 2 23 7
x yx y− =+ =
17. 5
4 10x yx y− = −+ =
18. 4 5 25 3 21
x yx y− =+ =
125
19. 2 11 672 5 20
y xx y− =+ =
20. 3 7 27 8 2
x yx y+ =+ = −
21. 4 3 53 2 3
x yx y+ =+ =
22. 2 3 53 4 18
x yx y− =+ = −
Resuelve por el método de eliminación por sustitución los siguientes sistemas de
ecuaciones simultáneas:
23. 3 02 5
x yx y− =+ =
24. 4 5
3 4 17x yx y+ =− = −
25. 5 75 3 3 2
y xx y x+ =− = +
26. 3 2
3 5 6x y
x y+ = −+ = −
27. 7 6 173 18
x yx y− =+ =
28. 37
2 3 31 13x y
x y x y− =+ = +
29. 2 6
2 4 3x y y
x y y− = ++ = +
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por cualquiera de los métodos de
eliminación:
30. 12
2 2 2 33 7
x y zx y z
x y z
+ + =+ + =− + =
31. 2 4 2 03 5 3 4
7 2 7
x y zx y z
x y z
− + =+ − =− + = −
32. 3 2 9
4 3 192 8
x y zx y zx y z
− + − = −− − =
− + + = −
33. 713
x y zx y zy z x
− + =+ − =+ − =
34. 2 95 2 6
x y zx z yx y z
+ =+ = +− = −
35. 14
6(4 )
x y zx y zy x z
+ = +− = −− = − +
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones simultáneas por el método de
determinantes.
36. 2 43 4 1
x yx y− =− =
37. 3 52 3 7
x yx y+ =− =
38. 4 3 2
4 0x y
x y+ = −− + =
39. 3 2 4 14 5 22 3 6
x y zx y zx y Z
− + =+ − =− + = −
126
Solución a los ejercicios impares anteriores: 1. 3, 1x y= = ; 3. 3, 2x y= = ; 5. 1, 1x y= =− ; 7. 1, 2x y= = − ; 9. 4, 2x y= = 11. 2, 0x y=− = ; 13. 1, 1x y= = − ; 15. 1, 4x y= = ; 17. 2, 3x y= − = ; 19. 5, 6x y= − = ; 21. 1, 3x y= − = ; 23. 1, 3x y= = ; 25. 2, 1x y= = ; 27. 5, 3x y= = ; 29. 3, 0x y= = ; 31. 1, 2, 3x y z= = = ; 33. 4, 2, 5x y z= = = 35. 10, 5, 1x y z= = = ; 37. 2, 1x y= = − ; 39. 1, 3, 1x y z= = = Resuelve los siguientes problemas:
1. Dividir el número 1000 en dos partes tales que si de los 5/6 de la primera restamos un
cuarto de la segunda, se obtiene 10. Resp: 240, 760
2. Hallar tres números A.B.C. tales que A con la mitad de B, B, con el tercio de C y C con
el cuarto de a, sea cada uno igual a 1000.
3. El perímetro de un rectángulo es de 300 m. La base tiene 30 m más que la altura.
Hallar las dimensiones del rectángulo. Resp: 90 m, 60m
4. Dos fuentes que emanan agua, una durante 3 días y 5 días la otra, han llenado un tanque
de 1 200 m3; durante 2 y 4 días, respectivamente, han llenado otro tanque de 840 m3.
¿Cuánta agua proporciona cada fuente por día?
127
Unidad VI ECUACIONES CUADRÁTICAS. Objetivo especifico
El alumno resolverá ejercicios y problemas que impliquen ecuaciones de segundo
grado y reducibles a segundo grado.
Definición Una ecuación con una sola incógnita es de segundo grado o cuadrática cuando
después de reducida a su más simple expresión, el más alto grado de la incógnita es
2.
1. FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
Toda ecuación de segundo grado con una incógnita puede reducirse en forma
general:
En donde a es el coeficiente de la incógnita al cuadrado, b es el coeficiente de la
incógnita a la primera potencia y c es el termino independiente.
Ecuación cuadrática completa Una ecuación de segundo grado es completa cuando consta de 3 términos: uno en que
aparece la incógnita al cuadrado, en otro en que aparece la incógnita a la primera
potencia y en un término independiente.
Ecuación cuadrática incompleta:
Una ecuación de segundo grado es incompleta cuando carece del término independiente o
del término con la incógnita a la primera potencia.
Cuadráticas puras y cuadráticas mixtas
Es cuadrática pura ax2 + c = 0
ax2 + bx = 0
ax2 + bx + c = 0
128
Son cuadráticas mixtas
ax2 + bx + c = 0
2. RESOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES CUADRÁTICAS PURAS
En todas las cuadráticas puras, la incógnita es igual a más menos la raíz cuadrada
del cociente del termino independiente entre el coeficiente de x2 con el signo cambiado.
ax2 + c = 0
ax2 = -c
acx −=2
Ejemplo:
Resuelve la siguiente ecuación:
2x2 + 7 = 194
5 2
+x
8x2+ 28 = 5x2 + 76
8x2- 5x2 + 28 – 76 = 0
3x2-48 = 0 ∴ 416348
±=±=−
−±=x
3. RESOLUCIÓN DE LAS CUADRÁTICAS MIXTAS INCOMPLETA
La ecuación de segundo grado en que falta el término independiente tiene una raíz
nula (igual a cero), y la otra es igual al cociente formado por el coeficiente del
termino en x con signo contrario entre el coeficiente de x2.
ax2 + bx = 0
x(ax + b) = 0 ∴ x1 = 0
x = 0
(ax + b) = 0 ∴ abx −=
Ejemplo:
acx −±=
X 1 = 4 X2 = -4
129
Resuelve la siguiente ecuación:
x2 – 9x = 0
x(x – 9) = 0
x1 = 0
x – 9 = 0
x2 = 9
x1 = 0
x2 = 9
4. RESOLUCIÓN DE LAS CUADRÁTICAS MIXTAS COMPLETAS. Métodos para resolver cuadráticas mixtas incompletas
Resolución de cuadráticas mixtas completas por el método grafico
Procedimiento:
1. Igualamos la cuadrática a una nueva variable (y)
2. Tabulamos: dando valores a x calculamos los valores que adopta y.
3. Graficamos.
4. los valores de x para los cuales y valedero, serán las raíces solución
de la ecuación.
Método grafico
Factorización
completando el cuadrado
Por formula
130
Ejemplo:
Resuelve la siguiente ecuación
x2 + x – 2 = 0.
y = x2+ x - 2
Tabulación
x y -3 4
-2 0
-1 -2
0 -2
1 0
2 4
3 10
X1 = -2 X2 = 1
131
Resolución de cuadráticas mixtas completas por factorización
Procedimiento:
1. Factorizamos la ecuación.
2. Igualamos cada sector a cero y resolviendo para la incógnita en cada
caso obtenemos las raíces de la ecuación.
Ejemplo:
x2 + x – 20 = 0
x2 + x – 20 = 0
(x + 5) (x – 4) = 0
x + 5 = 0 ∴ 51 −=x
x – 4 = 0 ∴ 42 =x
Ejemplo:
Resuelve la siguiente ecuación:
352 2 −− xx
0352 2 =−− xx
2x2 – 6x + x – 3 = 0
2x(x – 3) + 1(x -3) = 0
(x – 3) (2x + 1) = 0 ∴ 31 =x
x – 3 = 0 ∴ 21
2 −=x
2x + 1 = 0
Resolución de cuadráticas mixtas completando el cuadro
Ejemplo:
Resuelve la siguiente ecuación:
x2 + 6x – 16 = 0
1. Cambiar el término independiente al segundo miembro:
x2 + 6x = 16
132
2. Agregar a cada miembro de la ecuación la mitad del coeficiente de x elevado al cuadrado
(la mitad de 6 es 3, que el cuadrado de 9), por lo tanto,
x2 + 6x + 9 = 16 + 9
x2 + 6x + 9 = 25
3. Como el primer miembro es un trinomio cuadrado perfecto, lo sustituimos por un
binomio al cuadrado: 2( 3) 25x + =
4. Extraemos raíz cuadrada en ambos miembros de la ecuación.
5.
Ejemplo:
Resuelve la siguiente ecuación:
2x2 + 9x – 5 = 0
En este caso, primero dividimos la ecuación entre 2 para que el coeficiente
de x2 sea la unidad.
Ejemplo:
x2 + x – 20 = 0
x2 + x – 20 = 0
(x + 5) (x – 4) = 0
x + 5 = 0 ∴ 51 −=x
x – 4 = 0 ∴ 42 =x
Ejemplo:
Resuelve la siguiente ecuación:
352 2 −− xx
0352 2 =−− xx
2x2 – 6x + x – 3 = 0
2x(x – 3) + 1(x -3) = 0
(x – 3) (2x + 1) = 0 ∴ 31 =x
2x+1 = 0 x – 3 =0 ∴ 21
2 −=x
133
Resolución de cuadráticas mixtas completas por formula general
Deducción de la formula general. La formula general se deduce al resolver la ecuación
literal. 2 0ax bx c+ + =
Por el método de completar cuadrado:
aacb
abx
aacb
abx
aacb
abx
abac
abx
ab
ac
abx
abx
acx
abx
acx
abx
24
2
24
2
44
2
44
2
44
0
2
2
2
2
2
22
2
2
2
22
2
2
−±−=
−±=+
−±=+
+−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+−=++
−=+
=++
Formula general
La naturaleza de las raíces puede deducirse a partir del valor numérico del radicando
(b2- 4ac), también llamado discriminante, de acuerdo con las siguientes reglas:
1. Si (b2 -4ac) > 0. y además cuadrado perfecto, acb 42 −
Es racional: las raíces son reales, desiguales y racionales.
2. Si b2 -4ac)> 0, ser cuadrado perfecto, acb 42 −
Es irracional; las raíces son reales, desiguales e irracionales
3. Si (b2 -4ac) = 0, las raíces son reales e iguales y cada raíz vale –b/2a.
aacbbx
242 −±−
=
134
4. Si (b2 – 4ac) < 0, entonces acb 42 − es imaginario: las raíces son
complejas.
Ejemplo:
x2 – 8x + 15 = 0
X = a
acbb2
42 −±−
X = )1(2
)15)(1(4)8()8( 2 −−±−−
228
2482
60648
±=
±=
−±=
x
x
x
∴ 3
26
52
10
2
1
==
==
x
x
Ejemplo:
125
11
11
=+
+− xx
Multiplicamos ambos miembros por el m.c.m. de los denominadores (x2-1) 12:
12(x + 1)1+12(x-1)1=5(x2-1)
12x +12 +12x -12 = 5x2 – 5
24x = 5x2 -5
5x2 + 24x + 5 = 0
5x2 – 24x -5 = 0
X1 = 5 X2 = 3
135
1010057624
)5(2)5)(5(4)24()24( 2
+±=
−−−±−−=
x
x
5. ECUACIONES QUE COMPRENDEN RADICALES DE SEGUNDO ORDEN
xx =− 92 2
Elevamos al cuadrado ambos miembros:
2x2 -9 = x2
2x2-x2 = 9
x2 = 9
x = 9± ∴
Resuelve la siguiente ecuación:
032122 2 =+−+− xxx
Cambiamos el segundo miembro de la ecuación a los términos que no tienen radical.
122 2 +− xx = 2x -3
Elevamos ambos miembros al cuadrado:
2x2- 2x +1 = (2x -3)2
2x2 -2x +1 = 4x2 -12 +9
2x2- 2x +1 - 4x2 +12x -9 = 0
X1 = 5
X251
X1 = 3
X2 = -3
102624
1067624
±=
±=
x
x
136
2x2 +10x -8 = 0
x2-5x +4 = 0
(x-4)(x-1) = 0
x -4 = 0
x-1=0 ∴∴
¡ Muy importante!
Los valores obtenidos no significan que sean las soluciones pedidas. Tenemos que
comprobar estos valores sustituyéndolos en la ecuación original, debido a que se pudieron
ver introducido raíces extrañas.
Comprobación:
Al sustituir el valor de x = 4 en la ecuación original nos da:
22(4) 2(4) 1 2(4) 3 0
32 8 1 8 3 0
25 5 00 0
− + − + =
− + − + =
− ==
Podemos ver que si se cumple la igualdad, por lo tanto x = 4 si es solución.
Al sustituir el valor de x = 1 en la ecuación original nos da:
22(1) 2(1) 1 2(1) 3 0
2 2 1 2 3 0
1 1 02 0
− + − + =
− + − + =
+ ==
Podemos ver que obtenemos un absurdo, por lo tanto x = 1 no es solución.
X1 = 4
X2 = 1
137
6. ECUACIONES REDUCIBLES A UNA DE SEGUNDO GRADO
Resuelve:
3x4 = 2x2 + 1
Hacemos la sustitución z = x2 quedando:
3z2 = 2z + 1
3z2 - 2z – 1 = 0
z = 6
1242)3(2
)1)(3(4)2()2( 2 +±=
−−−±−−
∴±
=16
42z z1 = 1
z2 = 31
Pero, x2 = z, por lo tanto:
31
1
±=
±=
x
x
Resuelve:
8x6 = 19x3 +27
Sustitución: x3 = z
8z2 = 19z +27
8z2 -19z – 27 = 0
z = )27)(8(4)19()19( 2 −−−+−− = 86436119 ++
2(8) 16
z = 16
3519 + ∴ z1= 87
1654
=
z2= -1
3 zx = = 3 8/27 =3/2
1133 −=−== zx
ix
x
31
1
3
1
−=
=
ix
x
31
1
4
2
−=
=
X =3/2
X = -1
138
7. PROBLEMAS QUE IMPLICAN ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Hallar un número tal que sumado con su cuadrado de 2550
Número pedido: x
Condición: x + x2 =2550
X2+ x -2550 = 0
21020011
)1(2)2550)(1(4)1()1(1 2 +±−=
−−±−=x
21011±−
=x ∴
Ejemplo:
Se va a fabricar una caja de base cuadrada sin tapa, con una hoja cuadrada de cartón,
cortando cuadrados de 3cm de las esquinas y doblando los lados.
Si la caja debe tener 48 cm3, ¿Qué tamaño debe tener la hoja que se va a usar?
Condición: largo. Ancho. Alto = 48
(x – 6) (x- 6) (3) = 48
X1 = 50
X2 = -51
139
( x-6)2 = 16
x1 = +4 +6 = +10
x2 = - 4 +6 = + 2
Como x es la medida del lado de la hoja de cartón, el valor de x= 2 es inaceptable, por lo
tanto, la raíz aceptable es:
Dimensiones de la caja: 4cm * 4cm *3cm
Volumen de la caja: 48 cm3
8. EJERCICIOS PROPUESTOS
Resuelve las siguientes ecuaciones:
1. 8x2 – 2x = 0
2. 7x2 + 21x = 0
3. 11x2 – 44x = 0
Resuelve las siguientes ecuaciones por el método gráfico:
4. x2- 5x+ 6 =0
5. x2 + 4x + 3 = 0
6. x2 -6x +8 = 0
Resuelve las siguientes ecuaciones por el método de factorización:
7. x2+6x -7 =0
8. x2 – 4x -32 =0
9. x2 + 11x = -18
10. x2- 13x = -30
11. x2+2x -8 = 0
Resuelve las siguientes ecuaciones por método de completar cuadrados:
12. x2 + x4 – 21 = 0
X= 10 cm
140
13. x2 – 7x + 12 = 0
14. 8x2 = 6x – 1
15. 3x2 – 5x -8 = 0
16. 5x2 + 500 = 100x
Resuelve las siguientes ecuaciones por la fórmula general:
17. x2 = 2x +35
18. x2 +3x -54 = 0
19. 3x2 +8x – 35 = 0
20. x2 + a2 – b2 = 2ax
21. a2bx2 = 2ax +4b +4
Resuelve las siguientes ecuaciones:
22. 12532 −=+− xxx
23. 1522 ++= xx
24. 3615 =+−− xx
Respuesta a los ejercicios impares anteriores:
1. 1 210,4
x x= = ; 3. 1 20, 4x x= = ; 5. 1 21, 3x x= − = − ; 7. 1 21, 7x x= = −
9. 1 22, 9x x= − = − ; 11. 1 22, 4x x= = − ; 13. 1 24, 3x x= = ; 15. 1 28 , 13
x x= = −
17. 1 27, 5x x= = − ; 19. 1 27 , 53
x x= = − ; 21. 1 22 2 2,bx x
ab a+
= = − ; 23. 32
x = ;
141
Resuelve los siguientes problemas que implican ecuaciones cuadráticas:
1. Si el cuadrado de un número le agregamos el quíntuplo de dicho número se obtiene 36.
Hallar el número.
Resp: 4
2. Un campo rectangular es tal que su longitud es el triple de la anchura. Si se aumenta la
longitud en 20 m, y la anchura en 8 m, el área resulta triplicada. ¿Cuál es la superficie del
campo?
3. El producto de dos números naturales consecutivos supera en 2 al séxtuplo del siguiente
número consecutivo. Encuentre los dos primeros números.
Resp: 7 y 8
4. ¿Cuál es el numero que sumado con su raíz cuadrada da por resultado 1640?
5. Si cada uno de los lados opuestos de un cuadrado se duplica y cada uno de los otros
lados opuestos se disminuye 2 pies, el área del rectángulo supera en 32 pies cuadrados al
área del rectángulo original. Encuentre la longitud del lado del cuadrado.
Resp: 8 pies.
6. La capacidad de una alberca es de 300 m3 y puede drenarse con una rapidez de ½ m3 por
minuto mayor que la rapidez con que puede llenarse. Calcúlese la rapidez de drenado si se
necesitan 20 minutos mas para llenarla que para drenarla.
142
Unidad VII INECUACIONES. Objetivo especifico:
El alumno aplicara las leyes que rigen a las desigualdades en la resolución de
cuestiones dadas.
Definición
Una desigualdad es una proposición de acuerdo con la cual una cantidad real es
mayor o menor que otra.
Simbología
a = b Significa que a es diferente de b.
a > b Significa que a es mayor que b.
a < b Significa que a es menor que b.
1. GENERALIDADES SOBRE DESIGUALDADES
Los términos a la izquierda de la desigualdad constituyen el primer miembro, y los que
están a la derecha, el segundo miembro.
De la definición de desigualdad se deducen las siguientes consecuencias:
1. Todo número real positivo es mayor que cero.
5 > 0, 7 > 0, 3 > 0
2. Todo numero real negativo es menor que cero.
- 3 < 0, - 2 < 0, -10 < 0
3. De dos números reales negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto.
-20 > -25, -5 > -7 , -3 > -7
Desigualdades absolutas y condicionales
Una desigualdad valida para todos los valores reales de la variable es una
Desigualdad absoluta.
Una desigualdad valida para algunos valores reales de la variable es una desigualdad
Condicional.
Desigualdad absoluta: x2 + 2 > x
Desigualdad condicional: 3x – 5 > 0
143
Las desigualdades condicionales también se llaman Inecuaciones
2. PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
1. Una desigualdad no se afecta cuando se le suma o resta un mismo numero a cada
miembro
Sea: x > b x mayor que b
Entonces: x + a > b + a
También: x – a > b – a
2. Una desigualdad no se afecta cuando sus miembros se multiplican o dividen por un
mimo número positivo.
Sea: x < b
Entonces: ax < ab
También: xa
< ab
3. Una desigualdad cambia de sentido cuando se multiplican o se dividen sus dos
Miembros por un mismo número negativo
Sea: x > b
Entonces: - ax < - ab
También: - xa
< - ab
4. Si ambos miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a la misma
Potencia, la desigualdad no se afecta.
Sea: x > b
Entonces: x2 > b2
5. Si ambos miembros de una desigualdad son negativos y se elevan a potencia impar
la desigualdad no se afecta, pero hay cambio de sentido en la desigualdad si el grado de la
potencia es par.
Sea: - x > - b
Entonces: - x3 > - b3
Sea: - x > - b
Entonces: x2 < b2
144
6. Si se suman miembro a miembro varias desigualdades del mismo sentido, resulta
una desigualdad del mismo sentido que aquellas.
Sean: , ,x a y b z c> > >
Resulta: x y z a b c+ + > + +
7. Si se restan miembro a miembro dos desigualdades de sentido contrario, resulta una
desigualdad de igual sentido que el minuendo.
Sea: ( ) ( )a b c d> − <
Resulta: a c b d− > −
3. RESOLUCIÓN DE LAS INECUACIONES
La solución de una desigualdad consiste en encontrar los valores de la variable para los
cuales la desigualdad es valida.
En el procedimiento para resolver inecuaciones utilizaremos las propiedades vistas
anteriormente. El método algebraico para resolver inecuaciones es muy semejante al de las
ecuaciones y consta de los siguientes pasos.
1. Cambiamos el miembro de la izquierda los términos que contienen a la variable, y
al miembro de la derecha los términos constantes.
2. Sumamos los términos en cada miembro
3. Dividimos ambos miembros de la desigualdad obtenida en el paso anterior entre el
coeficiente de la variable, teniendo cuidado de que dicho coeficiente negativo, debe
cambiarse el signo de la inecuación.
Ejemplo:
Resuelve:
4x + 5 > 2x -3
4x – 2x > -3 – 5
2x > -8
x > -4
La inecuación se verifica para cualquier valor mayor que -4.
Comprobación: 4(-3) + 5 > 2(-3) -3
-12 + 5 > -6 -3
-7 > -9
145
Ejemplo:
Resuelve: x + 4 > 5x – 8
x – 5x > -8 – 4
-4x > -12
4x < 12
x < 3
La inecuación se verifica para cualquier valor menor que 3.
Comprobación: (2) + 4 > 5(2) – 8
2 + 4 > 10 – 8
6 > 2
Ejemplo:
Resuelve:
523
38 −
<+ xx
5( 8 + x ) < 3( 3x – 2 )
40 + 5x < 9x – 6
5x -9x < -6 – 40
-4x < -46
x > 46/4
La inecuación se verifica para cualquier x mayor que 23/2
Comprobación: 8 + 12 < 3(12) -2
3 5
20 < 36 – 2
3 5
20 < 34
3 5
Ejemplo: Resuelve: |3x + 2| < 4
La inecuación se satisface las dos siguientes desiguales:
3x + 2 < 4 y
3x + 2 > -4
146
3x < 2 y
3x > -6
x < 6 y x > -18
Entonces la solución es: -18 < x < 6
Ejemplo: Resuelve: |x - 4| < 2
x - 4 > 2
x < 6
x – 4 > -2
x > 2
2 < x < 6
4. INECUACIONES SIMULTÁNEAS
Son las que satisfacen para los mismos valores de la variable.
Ejemplo: Resuelve: 8x – 5 > 2
815 −x … (1
8
32032 −>−
xx … (2
En 1: 16x – 10 > 15x - 8
16x – 15x > -8 + 10
x > 2
En 2: 16x – 24 > 20x – 3
16x – 20x > -3 + 24
-4x > 21
4x < -21
421−
<x
Solución: Las inecuaciones se satisfacen para valores comprendidos entre -21/4 y 2.
Ecuaciones e inecuaciones combinadas
Ejemplo Resuelve: x + 2y < 10… (1
3x – 5y = 8… (2
Multiplicamos la ecuación 1 por 5 y la ecuación 2 por dos y sumamos:
5x + 10y < 50
147
6x + 10y = 16
11x < 66
x < 6
Multiplicamos la ecuación 1 por (-3) y la sumamos a la ecuación 2:
-3x – 6y > -30
3x -5y = 8
-11y > -22
11y < 22
y < 2
Si (x) y (y) son respectivamente que 6 y 2 la inecuación (1) se verifica, y cuando x = 6 y
(y) = 2 entonces se verifica la ecuación (2).
EJERCICIOS.
Resolver las siguientes inecuaciones:
1. (x + 5) > 3 – 3x
2. 47523
+>+ xx
3. 3x + 5 < 7x – 1
4 | x – 1 | < 2
5 | 5x + 3 | > 2
Resolver los siguientes sistemas de inecuaciones simultáneas.
6.
55 4 7724 2 253
x x
x x
+ +
+ +
f
p
7. 115 2( 1)3
4( 4) 3 14
x x
x x
− +
− −
f
p
Resuelve los siguientes sistemas:
8. 3x + 2y > 37
2x + 3y = 33
9. 7x + 2y > 25
3x + 5y = 19
148