algebra ii

4to Ao Razonamiento Matemtico 2

PRESENTACIN

El COLEGIO DE CIENCIAS APLICADAS VCTOR VALENZUELA

GUARDIA pone a disposicin de nuestros alumnos el presente Mdulo Terico-

Prctico, del curso de lgebra correspondiente al rea de Ciencias, el cual permitir a

nuestros estudiantes la aprehensin de la asignatura con la visin de sostenerla y

aplicarla en la realidad multidisciplinaria en que hoy se desarrolla la educacin del

pas.

Queremos manifestar el agradecimiento respectivo a la totalidad de nuestra Plana

Docente, la cual en largas sesiones de trabajo, elaboracin y coordinacin han podido

lograr la realizacin de este Mdulo, y extender el agradecimiento a todas las

personas que han aportado para que dicho material sea el ms ptimo posible.

Estas ltimas lneas son para agradecer y felicitar a ustedes por confiarnos su

preparacin, y en este binomio que hemos conformado, sabemos por anticipado que la

calidad en servicios educativos, est asegurada.

La Direccin

COCIAP Vctor Valenzuela Guardia

3

POTENCIAS Y RADICALES EN

Son

Que consisten en

En potenciacin 1n , n .se tiene:

Propiedades:

1.- Dados ,a n , se tiene: 0 1a

2.- Dados ,a n , 0a , se tiene:

1. . 1n n n n n

na a a a a

a3.-

.....

. . .....

fz

yx x y z fa a

3.- . . .. ....... . ......n

p q m p n q n m na b x a b x

4.- n

n m n m

m

aa a a

a5.- .m n m na a a

Ejemplos

E.1. Encuentre el valor de R si:

3 1

21 15 7 .33 6

R

Solucin

Aplicando las propiedades, obtenemos:

23 1

3 7 6 .35

127 7 18

25

116

25

401

25

R

E.2. Reduce utilizando las definiciones

de potencias, reducir:

89

89 Veces

7 7 7 7 7 ....... 7 7K

Solucin

89

89 Veces

89 89

7 7 7 7 7 ....... 7 7

7 7

0

K

K

En radicacin 2n , n

1

n na a . Propiedades:

1.-

n

m n ma a

2.- . . .... . . .......

. . .....

m m m mn p q n p q

n m p m q m

a b c a b c

a b c

3.- 11

mmm m

mm

a a aa b

b bb

4.-

1

. . .... ( . . .... ).....pm m n p un m n p uu a a a

POTENCIACIN Y

RADICACIN

OPERACIONES INVERSAS

Dados dos nmeros base y exponente, determinar un tercer nmero llamado

potencia

Dados dos nmeros radicando e ndice, determinar un tercer nmero llamado raz

n na b b a

Potenciacin y Radicacin

I Bimestre

ALGEBRA


4

EJEMPLOS

1.- Calcule: 6 3 412p x x

Solucin:

6 36 3 412

412

3 63 6 4 12

4 12

3 6 2 6 1 6

6

xp x x p

x

xx

x

x x

x

2.- Reducir: 2 3 4 5 120M x

Solucin:

2 3 4 5 2.3.4.5120 120

120

2.3.4.5 .

M x x

x x M x

3.- Calcular: 2. 2

2. 2. 2M

Solucin

La expresin dada es:

2. 2 4

2

2. 2. 2 2. 2. 2

2. 2. 2 2. 2.2

4.2 2.2 4

4

M

M

4.- Efectuar:

1

11

3 1

3 1

n

nn

K

Solucin:

Transformando el denominador del radicando:

1 1

11 1

1

1 1 1

11 1

1

1

1 1

3 1 3 1

13 11

3

3 1 (3 1)3

3 1 3 1

3

3 3

3

n n

nn n

n

n n n

nn n

n

n

n n

K

K

5.- Simplificar

48 radicales

8 8 8 8

3 3 310

96 radicales

. ....

.......

x x x xN

x x x x x x

Solucin:

48 radicales

8 8 8 8

3 3 310

48 radicales 48 radicales

48 4868 8

40 101048 48 24 1610 3

62

4

2

. ....

........ .......

.

x x x xN

x x x x x x

x x x

xx xx x

xx

x

N x

Aprendiendo a resolver..resolviendo

1.-En cada caso calcule el valor de x .

5 3

3 2

3 2

325 9

13

53

35 7 11 9

45 2 10

1) 2 2) 4

3) 25 4) 7

5) 0,6 4) 2, 2

42 3 36) 7)

3 3

28) 9)

2

x x

x x

x x

x x

a b a bx x

a b

2.- Simplificar

1 61 2

26

2N f

3.- Reducir 4 2 5m m m

4.-Reduzca la siguiente expresin

5

3 5 20. .L x x x

5.- Completar con la alternativa correcta

1000

2 0 3

2

1. . . . x

mR m m m

m m

para R=m

6.- Al reducir a su mnima expresin

3 5 3034 m mM x x .Obtenemos 2.M x Hallar el

valor de 5

m .

7.- Calcule el valor de

1 16J x x

8.- Si: 5 2n , calcular: 1(25) n

a)4 b)16 c) 6,25 d)12,5 e) 3,125

9.- Indicar el exponente final de x en:

4 38 5

3 3 54

x x

x x

a)1 b)2 c) 4 d)0 e) x

10.- Mostrar el equivalente de:

1 22

x

xx

xxx

a) x b) x2 c) x

3 d) x

-1 e) 1

11.- Simplificar 1

2 4 2 2

20

2 2

mn

mnmn mn

M

a)2 b)4 c) 5 d) 10 e) 12

12.- El equivalente de:


5

,b a c b

c aa b b c

a a

a a es:

a)1 b) 1a c) a d) 2a e) 2a

13.- Determinar el exponente final de x en:

42 3 5 3

42 3 5 3

x x x x

x x x x

a)3/2 b)16/7 c) 27/14 d)54/32 e)16/3

14.- Reducir: 1 3 5 7

3 5 7 9

3 3 3 3

3 3 3 3

n n n n

n n n n

a)1/3 b)1/9 c) 1/27 d)1/81 e)3

15.- Mostrar el equivalente de:

1 1 12 .2 .2 ....." "

2 .2 .2 ....." "

n n n

n n n

n factores

n factores

a)1 b)2 c) 2

2n d) 2n e) 22 n

16.- Simplificar:

2 2

2

2

2 1

2 1

2 45(25 )

50

m m

m

m

a) 0,1 b)0,01 c) 0,001 d)1 e)10

17.- Simplificar:

991 1

1

991

5 5 5

5 5 5 52 2 2 2

15

. .

. . .....factores

x x x

x x x x

a)1 b) x c)5/2 d) 2x e) 2

18.-Sabiendo que : a b c abc , se pide determinar

el equivalente de:

a b cb c a c b aab ac bc

x x xx

x x x

a) x b) abx c) bcx d) acx e) 1

19.- Efectuar: 2 1 1 25 5 25 5

5

m m m m

m

a)5 b)31 c)25 d) 1/5 e) 37

20.- Si: 10 10n m n m n mx y x y , calcular el valor

de: x yxy

a)1010

b)1/10 c)(1/10)1/10

d) (1/10)10

e) 1

21.- Calcular: 0,4 0,3 0,2 0,10,5 0,8

0,1 .0,2 .0,3 .0,4

0,5 .0,3

a)1 b)0,06 c) 1,2 d)0,6 e)0,12

22.- Al efectuar : 3 33 3 23 3 .x x x x

Se obtiene:

a) 5x b) 3 x c) 9 x d) 5

9 x e) 2

23.- Luego de simplificar la expresin

3 2 4x x x , el exponente final de x es:

a)19 b)19/24 c) 17/24 d)21/19 e)23/24

ECUACIONES EXPONENCIALES

Definicin.- Se denomina Ecuacin Exponencial a toda

igualdad condicional que se caracteriza por presentar a

su incgnita formando parte de algn exponente.

Ejm: 2 1 3 22 16; 3 81; 2 64

xx x

Propiedades:

1.- ; 0 1x ya a x y a a>

Ejm.Si: 2 86 6 2 8 6x x x

2.- 0; 0 0x xa b x a b a b> >

Ejm.Si: 2 39 3 2 0 2x x x x

TEOREMAS DE CONVERGENCIA (infinitos)

1.- 1......... ; / 2n n n na a a a n n a

2.- 1......... ; / 2n n n na a a a n n a

EJEMPLOS

1.- Evaluar x en: 1

1 22 .4 8x

x x

Solucin

Expresando cada potencia en funcin de la base 2

tenemos:

12 3 1 2

1

2 3 62

12

3 62

2 .(2 ) (2 )

2 .2 2

12 . 2 2 3 6

2

13 8 1 6 16

2

17 7 7 17

xx x

x

x x

xx

x x x x

xx x x

x x

2.- Resolver para cada x : 3 3 3 27x

Solucin

La ecuacin dada es:

1

3 3 33 33 3 3

12

1 2

3 27 3 3 3 3

1 13 9 3 3

3 3 3

1 13 3 2 -

2

x x x

x

x x

x xx


6

3.- Calcular el valor de 2x x si se verifica que:

1 2 12 23 9x x

Solucin

1 2 1 1 2 1 1 2 12 2 2 2 2 2 2.2

1 2 2

3 9 3 (3 ) 3 3

2 2 1 2 2 -3

x x x x x x

x x x x x

4.- Resolver: 1 216 ( 1). 16xx xx x

Solucin

Desarrollando el exponente del segundo miembro y

transponiendo, se obtiene:

2

1 12

1 12

2 116 2 1 16

16 2 16 2

. 16 16

16 16 ( )

x x

x x

x xx xx x

x xx x x x

xx x

x

x x

Elevando al exponente 1xx a ambos miembros

tenemos:

111

1

2

.16 2 16 2

( )16 2

16 16

16

xxx

x

x

xx x x xx x x

xx

x x

x

Comparando

la igualdad, obtenemos:

2 2 2 216 4 2x xx x x

5.- Resolver:

.. .. ..535

.

35

x xx x

x x

Solucin

Para resolver una ecuacin de la forma dada se

recomienda utilizar una variable auxiliar.

.. .. ..535

.

35

x xx x

II

I

x x k

De I :

...5

35.

35

xx

x = k3 5

5 5 3 3

5 3 ...................( )

kk k

k

x k x k x k

x k

De II :

...

22 ............

xx k

k

kk

x k x k x k

x k x k

Igualando

y :

5 2

3

2

2

5 25 2 6

3

3 6 2

:

2 2

k kk k k kk k

k k

Luego

x x


1.- Si:

2 5 5 3

3 4

x x

a a , hallar x

a)2/17 b) 33/17 c) 32/7 d)1/5 e) 35/17

2.- Calcular x si: 5 2 2 327 243x x

a)-2/5 b)-21/5 c)9/5 d) 21/5 e)-9/5

3.- Evaluar x si: 2 3 2

5 49

7 25

x x

a)1/2 b)-1/2 c)1/4 d) -1/4 e)2

4.- Determinar x si: 3 4 2

x

a)2/3 b)1/3 c)3/2 d) 1/4 e)2/5

5.- Calcular x si: 54 2 18x

a)3/4 b)4/3 c)2/3 d) 1/4 e)2/5

6.- Evaluar x si: 2 2

22 2 2x

a)2 b)1/2 c) 2 d) 1/ 2 e)2 2

7.- Si: 5 0,25;x determinar 16xA

a) 0,5 b) 0,25 c) 0,4 d) 0,45 e) 0,2

8.- Si: 39 512;x evaluar 23 x

a) 9 b)1/2 c) 27 d) 1/27 e)1/81

9.- Determinar x si: 23 3 216x x

a) 2 b)3 c) 4 d)5 e)8

10.- Encontrar m si: 11

(8 1 8 ) 10408

mm

a) 1/3 b)2/3 c) 4/3 d) 10/3 e)7/3

11.- Determinar x si: 1 2 33 3 3 351x x x

a) 1 b)2 c) 3 d)4 e)5

12.- Resolver para x si: 1

3 5 25x

x

a) 1/7 b)2/7 c) 3/7 d) 7 e)4/7

13.- Calcular x si:

2 2 4

8 1642 . 8 8 . 16x x x x

a)2/5 b) 5/2 c) 22/5 d) 5/22 e)7/5

14.- Resolver para x si: 2240 9 9x x

a) 1/2 b)1/4 c) 1/8 d)1/3 e)1/5

15.- Determinar x

1 2 3 43 3 3 3 3 360x x x x x

a) 6 b)5 c)4 d)7 e)3


7

16.- Evaluar x si:

91

3

9

1 1

27 3

x

a) 1/2 b)2 c) 3 d)1/3 e)1/9

17.- Proporcionar el valor de x que verifica:

2 1255 532 2

xx x

a) 6 b)2 c)4 d)9 e)3

18.- Determinar x si: 16

75 5

55 25

x

x

a) 6 b)7 c)9 d)5 e)8

19.- Calcular el valor de: N+K, si:

6 6 6 6432 32 32......... ; K=64

64

N

a) 6 b)66 c)62 d)10 e)5

20.- Simplificar la expresin:

3 3 3

3 2 3 2 3 ....

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

ECUACIONES TRASCENDENTES

Definicin.- Se denomina ecuacin trascendente a

toda ecuacin no algebraica.

Ejem. 1 22 6; 4; 0,7; 5 6x x xx x senx x x

CRITERIOS DE COMPARACIN

Si: x ax a x a

Si: x bx b x b


1.- Resolver: ( 1)( 1) 256xx

a) 2 b)3 c) 4 d)5 e)8

2.- Resolver: 3 9 0,3x

x

a) 1/2 b)1/3 c) 1/4 d)1/5 e)1/8

3.- Calcular x , si: 6 2

2xx

a) 12 6 b) 12 8 c) 4 d)2 e)3

4.- Resolver: 3(3 ) 4xx

a) 3/2 b)1/3 c) 2/3 d)1/5 e)1/2

5.- Calcular x , si: 5

5xxx

a) 3 5 b) 5 5 c) 5 d) 5 e)3

6.- Calcular x , si: 3 3

27xxx

a) 3 5 b) 3 3 c) 5 d) 5 e)3

7.- Resolver para x s: 26

4

30x

x-

a) 7 b) 8 c) 5 d)9 e) 10

8.- Encontrar el valor de x en: 4 4

x

x

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

9.- Resolver para x s: 4

xx1

=2

a) 3/2 b)1/8 c) 1/4 d)1/16 e)1/2

10.- Resolver para x s: 21 116. 16

x xxx x

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

11.- Determinar x si:

95 3

5 3 15

x

x

x

a) 5 15 b) 9 15 c) 3 5 d) 15 3 e) 9 5

12.- Un valor de x en: 211 4x x ; es:

a) 10 b) 4 c) 63 d) 64 e) 62

SEGUNDO BIEMESTRE

UNIDAD I

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

es un

representada por dadas por

TRMINO ALGEBRAICO (Monomio)

Definicin.- Es la mnima parte de una expresin

algebraica, en el no existen operaciones de adicin o

sustraccin.

EXPRESIN ALGEBRAICA

CONJUNTO DE TRMINOS

QUE REPRESENTA UNA CANTIDAD

CONSTITUIDA POR

VARIABLES CONSTANTES

LETRAS NMEROS

OPERACIONES

MATEMTICAS ELEMENTALES


8

Ejem: 3

22 2 6 35 ; 7 ;

xyx y x y

z

Todo termino algebraico presenta tres partes, las

cuales son:

Exponentes

5 3 77x y

Variables

Coeficiente

TRMINOS SEMEJANTES

Definicin.- Son aquellos trminos que presentan las

mismas variables e iguales exponentes respecto a la

Variable comn.

Ejem: 5 57 4xy xy son semejantes

CLASIFICACIN DE LAS EXPRESIONES

ALGEBRAICAS

A.- Segn su Naturaleza

1.- Expresin Algebraica Racional.

Es aquella expresin en donde los exponentes de

las variables son nmeros enteros. Estas a su vez se

dividen en:

1.A Expresin Algebraica Racional Entera

Ejem: 4 27 4 4 2 1xy x y x y

2.A Expresin Algebraica Racional Fraccionaria

Ejem: 2 27 5 1xy xyx

2.- Expresin Algebraica Irracional

Es aquella expresin en donde existe al menos una

variable afectada de algn signo radical o exponente

fraccionario.

Ejem: 2

1 4 4 1 5

2 5 3

2 3 3 2

xy x y x

x y xy x

B.- SEGN EL NMERO DE TRMINOS

Monomio.1 trmino

Binomio2 trminos

Trinomio3 trminos

.

Polinomioms de 3 trminos

EXPRESION ALGEBRAICA TRASCENDENTE

Ejem: 2

2 5 5 3

2 cos

yxy x x

x senx x

Ejercicios resueltos

1.- Cuntas de las expresiones son algebraicas?

2 1 3 23 ;3 3;3 5;28; 4 1xxx x x x x

Solucin

Son expresiones algebraicas:

2 1 33 ;3 5;28x x x x

2.- Si los trminos : 3 1 5 24 a b a bx y x y

Son semejantes; calcular a.b

Solucin

Podemos plantear:

3 1 5 24 a b a bx y x y

Donde: 3 5 2 8 4

1 2 1 1

. 4

a a a a

b b b b

a b


1.- Si: 2 7

5 3 ;

A x y

B x y

Determinar: 5 2A B

a) 9 x b) 9 y c) 41 x d)41 y e)20 x 41 y

2.- Si: 1 5 21 ; 2 . ;b aa x b x a b x

Son trminos semejantes, calcular: 2 2a b

a) 31 b) 33 c) 35 d)47 e)19

3.- Si:

2 3 4

5 2 2

4 ;

A x y xy

B x y xy

C x y xy

Evaluar: A B C

a) 6 7x y xy b) 6x y xy c) 3 4x y xy

d) 2 10 4x y xy e) 6x y

4.- Si: 2 4 5 1n mx y x y ; determinar: m n

a) 4 b) 5 c) 3 d)-4 e) 1

5.- Si: 1 42 5nx x se reduce a un solo trmino, Cul

es valor de n?

a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2


9

6.- Cuntas de las siguientes:

1 2 1 4 x2 4 ; 2 3; 3; log 2 ; 3xx y x x x no

son expresiones algebraicas?

a)1 b)2 c) 3 d)4 e) 5

7.- Si se divide la suma por la diferencia de los

trminos: 2 3 2 35 3 ,x y x y se obtiene:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) xy

8.- Si los siguientes trminos son semejantes:

22 5 5 43 8m n n mx y x y Proporcionar el mayor

valor de: m n

a) 3 b) 7 c) 9 d) 11 e) 13

GRADO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

es un

VALOR NUMRICO DE EXPRESIONES

ALGEBRAICAS

Definicin.- Es aquel valor que se obtiene al

reemplazar las variables por constantes o variables y

efectuar dichas operaciones.

Ejem: Sea ( ) 5 3P x x . Hallar:

(0); (1); ( 3)P P P x

Solucin

:

0 (0) 5(0) 3 3

1 (1) 5(1) 3 8

3 ( 3) 5( 3) 3 5 18

si

x P

x P

x x P x x x

VALORES NUMERICOS NOTABLES

Si ( )P x es un polinomio, se cumple:

(0)P = trmino independiente

(1)P = suma de coeficientes

Ejem: Si ( 3) 5 16P x x

Calcular: T. Independiente y suma de coeficientes

Solucion

Se pide (0)P + (1)P

(0)P : ) 3 0 -3i x x . Reemplazando en:

( 3 3) 5( 3) 16 1

(0) 1

P

P

(1)P : ) 3 1 -2i x x . Reemplazando en:

( 2 3) 5( 2) 16 6

(1) 6

P

P

FORMA GENERAL DE UN POLINOMIO DE

VARIABLE X

1 2

0 1 2 1( ) ...................n n n

n nP x a x a x a x a x a

Donde:

; n n grado del polinomio

0 1 2 1, , ,.........., , :n na a a a a son los coeficientes tales

que:

0 0 :a Coeficiente Principal (C.P)

:na Trmino Independiente (T.I)

POLINOMIOS ESPECIALES

1.- Polinomio Homogneo.- Es aquel polinomio que

tiene todos sus trminos el mismo grado.

Ejem: 3 2 2 3( , ) 3 4P x y x x y xy y

2.- Polinomio Ordenado.- Es aquel polinomio que esta

ordenado con respecto a una variable llamada

ordenatriz, donde los exponentes de la mencionada

variable van aumentando o disminuyendo.

Ejemplos:

5 3 3 2 2 4( , ) 9 2 4 3P x y x y x y x y y

4 3 2 2 3 4( , ) 9 2 4P x y x x y x y xy y

17 12 6( ) 5 2 1Q x x x x x

3.- Polinomio Completo.- Es aquel polinomio en el que

el grado de todos sus trminos van desde un mximo

valor hasta el de exponente cero (trmino

independiente)

Ejem: 5 4 3 2( ) 9 2 4 3 5P x x x x x x

4 3 2 2 2( , ) 9 4 10P x y x y x y x xy y

Propiedad

GRADO DE UNA EXPRESIN ALGEBRAICA

EXPONENTE QUE CARACTERIZA A LA EXPRESION ALGEBRAICA

ABSOLUTO SI SE REFIERE A TODAS LAS VARIABLE

RELATIVO SI SE REFIERE A UNA

SOLA VARIABLE

SLO UN TRMINO

TODA LA EXPRESIN


10

En todo polinomio completo y de una sola variable, el

nmero de trminos es equivalente al grado aumentado

en uno.

Es decir: nmero de trminos = Grado + 1

4.- Polinomios Idnticos.- Dos polinomios de las

mismas variables son idnticos si tienen el mismo valor

numrico para cualquier valor o valores asignados a

sus variables.

Ejemplos: 2 2( ) ( 2) ( ) 2 8P x x Q x x x

3 3 2 2( , ) ( , )P x y x y Q x y x y x xy y

5.- Polinomio Idnticamente Nulo.- Son aquellas

expresiones que son equivalentes a cero. Estando

reducidas se cumple que cada coeficiente es igual a

cero. Notacin: ( ) 0P x


1.- Determinar el grado de:

4 5 2 6( , ) ( ) ( )P x y x y

a) 31 b) 32 c) 33 d) 34 e) 55

2.- Indicar el grado de:

2 3( ) 1 2 3 ............20N x x x x factores

a) 210 b) 220 c) 410 d)20 e) 100

3.- Para qu valor de n: 2 4( ) nP x x es de 2

grado?.

a) 1 b) 2 c) 3 d)4 e) 5

4.- Si el trinomio:

2 2 1( ) 1 4 4 4aP x a x x x a

Es de tercer grado. Cul es la suma de sus

coeficientes?

a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15

5.- Resolver ab si: ( ) 18 ( ) 9GA N GR y

Siendo: 2 2, 5a a b a bN x y x y

a) 1 b) 3 c) 6 d) 9 e) 12

6.- Efectuar a+b si el grado del monomio:

2 1 3( , ) ( ) ,a bQ x y a b x y es igual a 17 y su

coeficiente tiene el mismo valor que el grado relativo de

x

a) 1 b) 3 c) 6 d) 9 e) 12

7.- Si el monomio

72 3

3

14

.( )

n n

n

x xP x

x

es de grado 2.Calcular el valor de

n

a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9

8.- Si el monomio 2 4 3 1 5 8( , , ) 5 n n nM x y z x y z el

grado relativo a z es 12, hallar el G.A(M)

a) 13 b) 15 c) 17 d) 29 e) 19

10.- Si el grado absoluto de:

3 1 2 2 2 3 3( , ) 2n n n n n nP x y x y x y x y es 11.

Calcular el valor de n

a) 2 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9

11.- Si el polinomio

2 9( , ) 2 3 (2 4 )b a b aP x y a x y b x y es homogneo

y la suma de coeficientes es 9, hallar el valor de ab.

a) -28 b)-42 c) 28 d) 42 e) 16


2 3 6 3 4( , ) 4 2 ( 1)b q a b a b a bP x y a x y b x abx y , es

completo y ordenado con respecto a x en forma

decreciente, hallar la suma de sus coeficientes.

a) 6 b) 16 c) 26 d) 28 e) 32

13.- Si 2 2 8( , ) 15 2m n m n n m n m nP x y x y x y x y

Es un polinomio homogneo, calcular m

a) 8 b) 1/16 c) 64 d) 1/24 e) 32

14.- Sabiendo que:

2 2

( )P x ax b

P p x a x b

Hallar: P(-1)

a) -2 b)-1 c) 0 d) 1 e) 2

15.- Se sabe que: ( ) 4;

9

P x ax

Q x x b

siendo ,a b

Adems: 2P Q x Q P x .Calcular: (a/b)

a) 6 b) 9 c) 3/17 d) 6/9 e) 7

16.- Sea: 3 2

3 2

( ) 3 2 1 3

( ) 3

P x x a b x c x

Q x dx x a b x c

Si la suma de P(x) Y Q(x) da un polinomio

idnticamente nulo. Hallar: a+b+c+d

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 1

17.- Calcular el grado absoluto del monomio

2 2 26( , , ) . .

a b b c a cP x y z x y z .Si: 4a b b c

a) 1 b) 8 c) 16 d) 32 e) 64


11


1 2 2 5( , ) a n m c a b n n aP x y bx cx y ax y ny

es homogneo y la suma de sus coeficientes es 4.

Calcular: 2 2m n

a) 10 b) 20 c) 30 d) 15 e) 25

PRODUCTOS NOTABLES

son

Por ejemplo

2 2 22a b a ab b

2 2 22a b a ab b

3 3 2 2 33 3a b a a b ab b

3 3 2 2 33 3a b a a b ab b

Definicin.- Se denominan as a todas aquellas

multiplicaciones o potenciaciones cuyos resultados:

Productos o potencias, tienen una frecuencia que las

hace reconocibles en una inspeccin.

Algunos resultados mas:

1.- DIFERENCIA DE CUADRADOS

2 2

2 2m n m n m n

a b a b a b

a b a b a b

2.- TRINOMIO AL CUADRADO

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

a b c a b c ab ac bc




3.- SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS

3 3 2 2 3

3 3 2 2 3

3 3

3 3

a b a a b ab b

a b a a b ab b

Ejemplo 1

Efectuar: 2 22 3 2 2L x y x y x y

Solucin

Efectuando la multiplicacin:

2 2

2 2 2 2

2

2 3 2 2

3 6 2 2 2

5

L x y x y x y

L x xy xy y x y

L x xy

Ejemplo 2

Calcular: 2 2 25 2 2 6 19M x x x x

Solucin

Desarrollando cada potencia por separado

2 2

2 2

5 10 25

2 4 4

x x x

x x x

. Luego podemos notar:

2 2 2 2

2

5 2 10 25 4 4

2 6 29

x x x x x x

x x

Luego 2 22 6 29 2 6 19

10

M x x x x

M

Ejemplo propuestos para clase 3

Efectuar:

1.- E = (xy)2 (yz)

2 + (zw)

2 (w

x)2 + 2(xz)(yw)

Rpta.

2.-Efectuar:

E = (a+b)2(a

2+2ab-b

2) (ab)

2(a

2

2abb2)

Rpta.

.

PRODUCTOS NOTABLES

RESULTADOS DE DETERMINADAS MULTIPLICACIONES, OBTENIDOS SIN EFECTUAR LA OPERACIN

BINOMIO SUMA AL CUADRADO

BINOMIO DIFERENCIA AL CUADRADO

BINOMIO SUMA

AL CUBO

BINOMIO DIFERENCIA

AL CUBO


12

3.-Efectuar:

E = 2(a+b)[(a+b)2 2ab + (a-b)

2] +

+ (ab) [(a+b)2 + 4(a

2+b

2)(ab)

2]

Rpta.

4.- Efectuar:

1563030651M

Rpta.

5.- Calcular el valor de E para 2x E = [(x+1)

2(x

2+2x1)

(x1)2(x

22x1)]

2/3

Rpta.

6.- Calcular el valor numrico de:

E = (a2+b

2)3 + (a

2b

2)3 6b

4(a

2b

2)

Para a3 =2, b

3 = 3

Rpta.

7.- Simplificar:

yx

xyyxxyyE

22222 222

Rpta

8.- Calcular

33

33

721

33

721

Rpta.


1. Simplificar: E = (xy)(x+yz) + (yz)(y+zx) +

+ (zx)(z+xy)

a)0 b) x+y+z c) xy+z d) x+yz d) y+zx

2. Simplificar:

1x

1xxxxxxxx1x1xQ

9

36136124

A) x18

+1 B) x91 C) x

9+1

D) 1 E) 1

3. Simplificar:

bab2babaab4E2/1

A) a B) b

C) ba D) a2

E) ba

4. Determinar el valor numrico de: (a+b+3c)(ab+3c)(a3c+b)(a3cb)

12a ; 2b ; 12c

A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13

5. Si:

3 111972x ;

111969y

Hallar el valor de:

x9 9x

3y

3 y

9

A) 27 B) 72 C) 30

D) 20 E) 25

6. Simplificar:

E = (x1)(x+4)(x+2)(x3) + (x2)(x+5)(x+3)(x4)

2(x2+x10)

2 + 56

A) 5x20 B) x2+3x84


13

C) 3(x10) D) Cero

E) Uno

7.- Si: a . b1

+ a1

b = 3; hallar el valor de: 3

2

23

2

2

11ab

ba

E

F) 27 G) 81 H) 189

I) 243 J) 486

8.- Si: 1;x y calcular 2 2

2 2x y x y

a) -1 b) 1 c) 2 d) 0 e) 4

9.- Por cuanto se debe multiplicarse: 33

1x

x

Para obtener: 6

6

1x

x

a) 1x x b) 1x x c) 4 2x x d) 3 3x x

e) 3 3x x

10.- Simplificar 2

2: 4 2 1 2 3E x x x x x x

a) 0 b) 3 c) 2 d) 3x e) 4

11.- Si: 0x y z .Calcular:

3 3 32 2 2x y z y z x z x y

Rxyz

a) 9 b) 27 c) -27 d) 81 e) -81

12.- Si: 5 5 0a c ac calcular:

5

5 5

acA

a c a c

a) 9 b) 27 c) -27 d) 81 e) -81

13.- Si se cumple:

3 3 32 2 2

2 2 23

a bc b ac c ab

a bc b ac c ab

Calcular el valor numrico de:

b c c a a b a b c

a b c b c c a a b

a) 3 b) 5 c) 6 d) 7 e) 9

14.- Simplificar la expresin:

2 2 4 4 2 2 4 4

2 2 4 4 2 2 4 4

m n m n m n m nJ

m n m n m n m n

a) 2m

n b) 2

m

n c)

m

n d) 2

m

n e) 2mn

15.- Si: 3 3

3 3

3 2 2 3 2 2

3 2 2 3 2 2

a

b

.Indicar el valor de:

4 2 2 4 2 23 3

64

a a b b a bR

a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 16

EQUIVALENCIAS NOTABLES

1.- Equivalencias de Legendre

2 2 2 2

2 2 2 2

2

4

a b a b a b

a b a b a b

2.- Equivalencias de Steven

2

3 2

x a x b x a b x ab

x a x b x c x a b c x ab ac bc x abc

3.- Equivalencias de Lagrange

2 22 2 2 2

2 2 2 22 2 2 2 2 2

a b x y ax by ay bx

a b c x y z ax by cz ay bx az cx bz cy

4.- Equivalencias de Argand

4 2 2 4 2 2 2 2m m n m m m n m m m n na a b b a a b b a a b b

Equivalencias Condiconales

Si . a + b + c = 0 . Se verifican:

. a2 + b

2 + c

2 = 2(ab + bc + ac) .

. (ab + bc + ac)2 = (ab)

2 + (bc)

2 + (ac)

2 .

. a3 + b

3 + c

3 = 3abc

Ejemplos

1. Efectuar:

E = (xy)2 (yz)

2 + (zw)

2

(wx)2 + 2(xz)(yw)

Rpta

2. Efectuar:


14

E = (a+b)2(a

2+2ab-b

2)

(ab)2(a

22abb

2)

Rpta.

3. Efectuar:

E = 2(a+b)[(a+b)2 2ab + (a-b)

2] +

+ (ab) [(a+b)2 + 4(a

2+b

2)(ab)

2]

Rpta.

4. Calcular el valor de E para 2x E = [(x+1)

2(x

2+2x1)

(x1)2(x

22x1)]

2/3

Rpta.

5. Simplificar:

yx

xyyxxyyE

22222 222

Rpta.

6. Calcular

M= 3333

721

33

721

Rpta.


1. Simplificar: E = (xy)(x+yz) + (yz)(y+zx) +

+ (zx)(z+xy)

a) 0 b) x+y+z c) xy+z d) x+yz e) y+zx

2. Simplificar:

1x

1xxxxxxxx1x1xQ

9

36136124

a) x18

+1 b) x91 c) x

9+1

d) 1 e) 1

3. Simplificar:

bab2babaab4E2/1

a) a b) b

c) ba d) a2

e) ba

4. Determinar el valor numrico de: (a+b+3c)(ab+3c)(a3c+b)(a3cb)

12a ; 2b ; 12c

a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13

5. Si:

3 111972x ;

111969y Hallar el valor de: x9 9x3y3 y9

a) 27 b) 72 c) 30

d) 20 e) 25

6. Simplificar:

E = (x1)(x+4)(x+2)(x3) + (x2)(x+5)(x+3)(x4)

2(x2+x10)

2 + 56

a) 5x20 b) x2+3x84

c) 3(x10) d) Cero

e) Uno

7. Si: a . b1

+ a1

b = 3; hallar el valor de: 3

2

23

2

2

11ab

ba

E

a) 27 b) 81 c) 189

d) 243 e) 486

8. Si:

aabcxabcx 88

babcxabcx 88

cabcxabcx 44

Hallar:

abcxabcxR

a) ab b) bc c) 2 d) 2abc e) a

2

9. Si: 33 3232E Hallar el valor numrico de:

3 3 233EEP

a) 1 b) 2 c) 3

d) 3 2 e) 3 3

10. Sabiendo que: a + a1

= 3; determinar el valor de: aaaa aaaaM 1

111

a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60


15

41 42

DIVISIN ALGEBRAICA

Definicin.- Operacin que se realiza entre polinomios que consiste en hallar dos polinomios llamados COCIENTE y RESIDUO, conociendo otros dos polinomios denominados DIVIDENDO y DIVISOR que se encuentra ligados por la relacin:

. D(x) = d(x) Q(x) + R(x) .

Donde:

D(x) : Dividendo

d(x) : Divisor

Q(x) : Cociente

R(x) : Residuo o Resto

Propiedades de la Divisin

Gdo. (D(x)) Gdo. (d(x)) Gdo. (Q(x)) = Gdo. (D(x)) Gdo. (d(x))

Gdo. (R(x)) < Gdo. (d(x))

Adems: Mximo Gdo. (R(x)) = Gdo. (d(x)) 1

PRINCIPALES MTODOS DE DIVISIN

MTODO DE WILLIAM G. HORNER

Pasos a seguir:

1. Coeficiente del dividendo ordenado

decrecientemente en una variable completo o

completado.

2.- Coeficiente del divisor ordenado

decrecientemente en una variable, completo o

completado, con signo contrario salvo el primero.

3. Coeficientes del cociente que se obtienen de dividir

la suma de los elementos de cada columna entre el

primer coeficiente del divisor. Cada coeficiente del

cociente se multiplica por los dems coeficientes

del divisor para colocar dichos resultados a partir

de la siguiente columna en forma horizontal.

4.- Coeficientes del residuo que se obtienen de sumar

la columnas finales una vez obtenidos todos los

coeficientes.

OBSERVACIN:

LA LNEA DIVISORIA SE COLOCAR SEPARANDO TANTOS TRMINOS DE LA PARTE FINAL DEL

DIVIDENDO COMO GRADO DEL DIVISOR:

MTODO DE PAOLO RUFFINI

Pasos a seguir:

1.-Coeficientes del dividendo ordenado

decrecientemente, completo o completado, con

respecto a una variable.

2.- Valor que se obtiene para la variable cuando el

ALGEBRA

II Bimestre


16

divisor se iguala a cero

3.-Coeficientes del cociente que se obtienen de

sumar cada columna, luego que el coeficiente

anterior se ha multiplicado por (2), y colocado en

la siguiente columna.

4.- Resto de la divisin que se obtiene de sumar la

ltima columna

OBSERVACIN:

SI EL COEFICIENTE PRINCIPAL DEL DIVISOR ES

DIFERENTE DE LA UNIDAD, EL COCIENTE

OBTENIDO SE DEBER DIVIDIR ENTRE ESTE

VALOR.

TEOREMA DEL RESTO

Se utiliza para obtener el resto de una divisin.

Consiste en igualar a cero al divisor y despejar la

mayor potencia de la variable, para que sea

reemplazada en el dividendo.

OBSERVACIN:

DESPUS DE REALIZAR EL REEMPLAZO, DEBE

COMPROBARSE QUE EL GRADO DEL POLINOMIO

OBTENIDO SEA MAYOR QUE EL GRADO DEL DIVISOR.

Ejemplo:

2

1023

xxx

Resolucin:

d(x) = x 2 = 0 x = 2. Reemplazo x en D(x):

R(x) = (2)3 + 2(2) 10 R(x) = 2

Ejemplos para clases

1. Sea R el resto y Q el cociente de la divisin:

32

222323

234

xxxxx

Hallar Q + R

Rpta.

2. Al efectuar la divisin:

3x4x

baxbxaxx2

234

El residuo, es (6x7), hallar: (a.b)

Rpta.

3. En la divisin exacta:

anxxbaxnxx

2

32

23

Hallar: E = a9 + b

6

4. Si al dividir:

132

52522

234

xxmxxx

Los coeficientes del cociente son iguales, hallar el

resto.

Rpta.

5. El residuo de la divisin:

22

5322345

y3xy3x2

y4yxyx17yx5x6


17


1. Hallar el residuo de la divisin:

24

23552823

2345

xxxxxxx

a) 1 b) x c) x2

d) x + 1 e) x2 + 1

2. Hallar el valor de (k + m) para que la siguiente

divisin sea exacta:

1

5524

2345

kxxaxmxaxxax

a) 5 b) 1 c) 6

d) 2 e) 4

3. El polinomio

P(x) = 2x6x

511x

4+4x

3+ax

2+bx+c

Es divisible separadamente entre los

binomios (x1), (x+1) y (x23); segn esto,

Cunto vale a+2b+3c?

a) 25 b) 17 c) 15

d) 20 e) 18

4. Calcular la suma de coeficientes del polinomio

cociente, que se obtiene de la siguiente divisin:

6 x 5 x

1 x 2 x x2

5273

a) 69 b) 69 c) 65

d) 63 e) 63

5. Sabiendo que el resto de la siguiente divisin:

8x5+4x

3+mx

2+nx+p entre

2x3+x

2+3, es: R(x) = 5x

23x7; calcular el valor de:

(m+np)

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

6. Encontrar la relacin entre p y q para que: x3

3px + 2q; sea divisible entre (x+a)2

a) p = q b) p2 = q c) p

3 = q

2

d) p = 2q e) p = q

7. Dar la suma de coeficientes del cociente de la

siguiente divisin indicada:

321

364914 246

xxxxxx

a) 24 b) 22 c) 20

d) 23 e) 26

8. Al efectuar la divisin indicada: se obtiene

como residuo (x 2). Determinar el resto que

se obtiene al efectuar: 12

3

x

xP

a) x b) x + 1 c) x 2

d) 3x 2 e) 11x 2

9. Calcular: ab ab3 ; sabiendo que al dividir: (ax2

ax 2b) entre (ax + b) se obtuvo como resto 2b y

adems el trmino independiente del cociente es (

4a)

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

10. Al dividir el polinomio:

P(x) = 2x53x

4x

3+1

entre x3+x

2+bx+b

Se obtiene del resto R(x). Hallar el resto de dividir

dicho resto entre x+1

a) 6 b) 1 c) 3

d) 1 e) 4

11. Al efectuar la divisin: 4 3 2

2

6 5

2 1

x Ax Bx Cx

x x

Se obtiene un residuo igual a 3 2x .Si la

suma de coeficientes del cociente entero es 5,

calcular el valor de: /A B A

a) 1 b) -1 c) -2 d) -3 e) 3

12. Calcular el valor de A B si la divisin:

4 3 2

2

6 14 5

2 5

x Ax x Bx

x x deja como residuo:

3 5x


18

51

a) 17 b) 16 c) 15 d) 14 e) 13

COCIENTES NOTABLES

Definicin.- Son aquellos cocientes que se pueden

obtener en forma directa sin necesidad de efectuar

la operacin de divisin.

Condiciones que debe cumplir: yx

yx mm

Donde

x; a bases iguales

m Z+; m 2

CASOS

1. Si: R = 0 xqyxyx nm

cociente entero

o exacto (C.N.)

2. Si: R = 0 yx

xRxq

yxyx nm

cociente completo

Tambin segn la combinacin de signos se puede

analizar 4 casos.

DEDUCCIN DE LOS COCIENTES

DIVISIN

INDICADA

COCIENTES n Z+

yxyx nn

=xn-1

+xn-2

y+xn-3

y2+...+y

n-1+; n (C.N.)

yxyx nn

=x

n-1+x

n-2y+x

n-3y

2+...+y

n-1+

yxy n2

; n (cociente

completo)

yxyx nn

ompletocociente cn par ;

yx

yy...yxyxx

C.N.imparn;y...yxyxxn

nnnn

nnnn

212321

12321

yxyx nn

ompletocociente cn impar ;

yx

yy...yxyxx

C.N.parn;...nyyxyxxn

nnnn

nnnn

212321

12321

CONDICIN NECESARIA Y SUFICIENTE PARA

OBTENER UN C.N.

De: qp

nm

yx

yx se debe cumplir: r

q

n

p

m; r Z

+

FORMULA DEL TRMINO GENERAL DE UN C.N.

Es una frmula que nos permite encontrar un

trmino cualquiera en el desarrollo de los C.N., sin

necesidad de conocer los dems.

De la divisin: yx

yx nn

a) Si d(x) = x y: . tk = xnk

yk1

.

b) Si d(x) = x+y: . tk = (1)k1

xnk

yk1

.

Donde:

tk trmino del lugar k

x 1er. trmino del divisor.

y 2do. trmino del divisor.

n nmero de trminos de q(x)

Ejemplos:

43223455

yxyyxyxxyxyx

(C.N.)

yx

yyxyyxx

yx

yx 4322344 2

(Cociente Completo)

86336633

1212

yyxyxxyx

yx (C.N.)

TAREA DE CLASE

1. Efectuar:

24677

2221

1

1

1xxx

xx

xx


19

Rpta.

2. Reducir aplicando cocientes notables,

indicando el nmero de trminos del cociente.

1...

1...4242832

2666870

xxxxxxxx

Rpta

3. Hallar el valor de (m + n), si el t60 del desarrollo de:

nm

nm

yx

yx42

296148

Es x140

y1416

, si es cociente notable

Rpta.

4. Sabiendo que: n2 31

n + 234 = 0; hallar el nmero

de trminos de la siguiente divisin exacta.

2

1

yxy

yyx nn

Rpta.

5. Hallar el valor numrico del trmino de lugar

29 del C.N.

3x2

x3x 3636, para x = 1


1. Hallar el quinto trmino del desarrollo:

3515

73

yx

yx

a) 35 y b) 35 5y c) 15 4y

d) 35 5y e) 15 4x

2. El trmino independiente del desarrollo:

xx

xx

1

2

1

64 6

6

; es:

a) 1 b) No existe c) 3

d) 4 e) 2

3. Simplificar:

1...

1...

1...

1...

8910

54550

34

113344

xxxxxxx

xxxxxx

M

a) 2 b) 3 c) 1

d) 4 e) 5

4. Obtener el 20avo. trmino del desarrollo del

cociente notable.

11

2310

2

x

xx

a) x1 b) 2 c) 3

d) 1 e) 4

5. Qu lugar ocupa dentro del desarrollo del cociente

notable:

52

1090436

yx

yx

El trmino que contiene a x e y con exponentes

iguales.

a) 67 b) 66 c) 65

d) 64 e) 63

6. Si la divisin siguiente:


20

59

2

8n

2

6n

22n63n6

ax

ax

Es un cociente notable, hallar el nmero de

trminos de su desarrollo

a) 25 b) 24 c) 26

d) 27 e) 28

7. Se sabe que el resto de la divisin:

nn

mm

zxzx

Es cero, segn esto Cuntos trminos tiene

el cociente?

a) mn b) mn1

c) m1

n

d) nm

e) mn

8. Reconocer el 5to. trmino del siguiente

cociente notable, si se sabe que al 3ero. es

x36

y2

yx

yx nm

2

a) x30

y6 b) x

36y

4 c) x

32y

4

d) x32

y6 e) x

34y

2

9. Efectuar y simplificar:

1

1

1

1

11

23

nnn

n

n

n

xxxx

xx

a) xn+1 b) x

2n1 c) x

n1

d) x2n

+2 e) x2n

+1

10. Hallar n si l dcimo trmino del desarrollo:

5

153

yx

yx nn; tiene grado absoluto: 185

a) 40 b) 27 c) 45

d) 60 e) 50

11. Si la siguiente divisin:

5 12 4n p

n p

x y

x y; genera un

cociente notable, donde uno de los trminos en su

desarrollo es: 24 3x y .Calcular np

a) 12 b) 15 c) 24

d) 36 e) 48

FACTORIZACIN

Definicin.- Proceso inverso de la multiplicacin por

medio del cual una expresin algebraica racional entera

es presentada como el productos de dos o ms

factores algebraicos.

Factor Divisor: Un polinomio no constante es factor

de otro cuando lo divide exactamente, por lo cual

tambin es llamado divisor.

Factor Primo Racional: Llamamos as a aquel

polinomio que no se puede descomponer en otros

factores. Racionales dentro del mismo campo.

Ejemplo:

El proceso

x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab

es una multiplicacin.

En cambio el proceso

x2 + (a + b)x + ab = (a + b) (x +b)

es una factorizacin

Donde:

(x + a), (x + b), son factores primos.

MTODO DE FACTORIZACIN

Factor Comn Monomio

Consiste en extraer la parte que se repite en

todos los trminos para lo cual se extrae la

expresin repetida, elevada a su menor exponente.

Ejemplo:

Factorizar E = 7x5y

5 2x

3y

3 + x

2y

2

El factor comn monomio ser x2y

2. Ahora

dividiremos cada uno de los trminos cada uno de

los trminos entre dicho factor comn, para lo que

queda en el polinomio. Luego de dicho proceso se

tendr:


21

61

Factor Comn Polinomio

Se usa este mtodo cuando el polinomio posee un

factor comn de 2 o ms trminos. Por lo general, se

encuentra luego de agrupar trminos y bajo los

siguientes criterios:

- De acuerdo al nmero de trminos

Ejemplo: si el polinomio tiene 8 trminos podemos

agrupar de 2 en 2 o de 4 en 4.

- De acuerdo a los coeficientes de los trminos:

Ejemplo:

Factorizar

E = x12

+ x8y

4 + x

4y

8 + y

12

Como no hay factor comn monomio podemos agrupar

los 4 trminos de 2 en 2 y en forma ordenada.

En cada uno de los tres grupos:

E = x6(x

4 + y

4) + y

8(x

4 + y

4)

Factor Comn Polinomio (x4 + y

4). Ahora dividamos

cada agrupacin entre el factor comn polinomio.

Los factores primos no se pueden descomponer en

nuevos factores, tiene un nico divisor que es s mismo

Esta expresin tendr 2 factores primos

Mtodo de las Identidades

Aplicacin de identidades notables para estructuras

conocidas.

Recordemos los siguientes:

A) Trinomio Cuadrado Perfecto

A2 2AB + B

2 = (A B)

2

OBSERVACIN:

EL TRINOMIO O CUADRADO PERFECTO ES EL

DESARROLLO DE UN BINOMIO AL CUADRADO, SE

CARACTERIZA POR PORQUE EL DOBLE DEL PRODUCTO

DE LA RAZ DE DOS DE SUS TRMINOS ES IGUAL AL

TERCER TRMINO:

Todo trinomio cuadrado perfecto se transforma en

binomio al cuadrado.

B) Diferencia de Cuadrados

A2 B

2 = (A + B) (A B)

Ejemplos:

1. Factorizar: x4 4b

2

solucin:

Se tiene: (x2)2 (2b)

2 = (x

2 + 2b) (x

2 2b)

2. Factorizar: x2 + 2xy + y

2 z

6

solucin:

x2 + 2xy + y

2 z

6 (x + y)

2 (z

3)2 = (x + y + z

3)

(x + y z3)

C) Suma o Diferencia de Cubos

A3 B

3 = (A B) (A

2 AB + B2)

Ejemplo:

Factorizar: 27x3 8

solucin:

(3x)3 2

3 = (3x - 2) (9x

2 + 6x + 4)

ASPA SIMPLE

Se utiliza para factorizar expresiones trinomios

o aquella que adopten esa forma:

Ax2m

+ Bxmy

n + Cy2

n


22

62

Ejemplos:

Factorizar: a2 + b

2 + 3a + 3b + 2ab - 28

(a + b)2 + 3(a + b) 28 (a + b + 7) (a + b 4)

ASPA DOBLE

Se utiliza para factorizar polinomios de la

forma: Ax2 + Bxy + Cy

2 + Dx + Ey + F

Ejemplos:

1. Factorizar:

La expresin factorizada es:

(5x + 3y 7) (4x + 2y 1)

2. Factorizar:

La expresin factorizada es:

(3x + 4y + 2z) (2x + 5y + 3z)

ASPA DOBLE ESPECIAL

Se utiliza para factorizar polinomios de la

forma:

Ax4 + Bx

3 + Cx

2 Dx + E.

Regla:

1. Se descompone el trmino de mayor grado y el

trmino independiente, se calcula la suma del

product6o en aspa.

2. A la suma obtenida se le agrega la expresin que

haga falta para ver el trmino central. La expresin

agregada es la que se descompone para

comprobar los otros trminos del polinomio

Ejemplo:

1. Factorizar

MTODO DE LOS DIVISORES BINOMIOS

Con ste mtodo se busca uno o ms factores

binomios primos

Consideraciones:

1. Si P(x0) = 0; entonces: (x- x0) es un factor primo de

P(x).

2. Los dems factores se encuentran al efectuar:

0xxxP

3. Los valores que anulan a P(x); se pueden

encontrar:

ceros

Posiblesx Pincipal deCoef. Divisores

xde PT. indep. Divisores x

Pr0

Ejemplo:

Factorizar: P(x) = x3 + 6x

2 + 11x 6

1

6

Divisor deDivisores

erosPosibles c

Posibles ceros = (1, 2, 3, 6)

Probando con uno de ellos; para x = 1 por Ruffini


23

R = 0 lo que significa que x = 1 es un cero y luego

un factor es (x . 1)

Luego: P(x) = (x +1) (x2 5 x + 6)

x 3

x 2

P(x) = (x 1) (x 3) (x 2)

TAREA PARA LA CLASE

1. Factorizar e indicar un factor de:

3a2 6ab + 3b

2 12c

2

Rpta.

2. (a2 + b

2) (a1

2 + b1

2)(aa1 + bb1)

2 es

equivalente a:

Rpta.

3. Indicar un factor de:

(x3x

2+x

1) (x+1)(x

4+1) + x

4 + 2 (x

3 x

2 + x

1)

Rpta.

4. Factorizar e indicar la suma de sus factores

primos

2(a + b)2 + c(3c + 5a) + 5bc

Rpta.

5. Cuantos factores admite

25(a4 + b

4)2 16(a

4 b

4)2

Rpta.

6. Si a uno de los factores de:

(x+1)3 + (x+2)

3 + (x+3)

3 (2x+1) (x+9) 21

Se le evala para (x = 2), se obtiene 7; indicar el

valor que arroja este mismo factor para x = 4.

Rpta.

7. Factorizar e indicar el nmero de factores

binmicos:

(2x41)(2x42)+(2x42)(2x43) +

+ (2x43) (2x41) + 1

8. Determinar el nmero de factores binmicos

de:

xn+2

xn + x3 + x2 x 1; n N

Rpta.

9. Cuntos factores primos de primer grado admite:

a2(bc) + b

2(ca) + c

2(ab)

Rpta.

10. Factorizar:

x4 3x

3 7x

2 + 27x - 18

Indicando la suma de sus factores primos.


24


1. Cuntos divisores admite:

x10

+ x9 + x

6 + 3x

5 + x

4 + x + 1

a) 12 b) 11 c) 10

d) 9 e) 8

2. Indicar uno de los cuatro factores de:

x8 + x

4 + 1

a) x2x1 b) (x

2 3 x+1)

c) x2+1 d) x+1

e) x1

3. Factorizar

(x+1)(x+3)(x2)(x4) + 24

e indicar la suma de los coeficientes de uno

de los factores

a) 41 b) 5 c) 8

d) 7 e) 6

4. Factorizar:

4x2 15y

2 + 17xy + 12x 9y

e indicar la suma de sus factores primos

a) x5y3 b) x3+3y

c) x+y+1 d) 5x+2y+3

e) 5x2y3

5. Indicar el nmero de factores primos en:

(x2+7x+5)

2 + 3(x

2+1) + 21x + 2

a) 1 b) 3 c) 2

d) 4 e) 5

6. Los polinomios

P(x) = x4 + 2x

3 x 2

Q(x) = x3 + 6x

2 + 11x + 6

Tienen un factor comn. Indicar la suma de

coeficientes de dicho factor comn

a) 1 b) Cero c) 3

d) 4 e) 5

7. Si: A(x) = x2 4x + m + 1

B(x) = x2 (m+1)x + 4

Admiten un factor comn lineal, halle m, si A(x)

B(x) m Z

a) 0 b) 3 c) 2

d) 10 e) 6

8. Un factor primo de:

A(x) = x10

+ x2 + 1; es:

a) x3+x+1 b) x

4-x+1

c) x6x

4+1 d) x

2+x+1

e) x5+x+1

9. Cuantos factores lineales admite:

5 3 24 4P m m m m

a) 5 b) 4

c) 3 d) 2

e) 1

10. Si: 2 2 2

2

x a c b b a c c b a

y c b a ab ac bc

Calcular /x y

a) 2 b) 2(a+b)

c) 1 d) (a-b)

e) -1

11. Uno de los factores primos de:

3 10 7 6 11 2( , ) 626 625P x y x y x y x y es:

a) x+2y b) 5x+2y

c) 2x y d) y+5x

e) x+1

12. La suma de coeficientes de un factor primo

de: 4 2 2( , ) 2 4 50P x y x y x y xy x y

es:

a) 17 b) 11

c) 15 d) 26

e) 10

13. Factorizar: 4 2 2( , ) 3 2P x y x x y y

sealando el termino independiente de un

factor.

a) 1 b) -1

c) 2 d) -2

e) 3


25

M.C.D. M.C.M. FRACCIONES

MXIMO COMN DIVISOR (M.C.D.)

Definicin.- El Mximo Comn Divisor de 2 o ms

polinomios es otro polinomio que tiene la caracterstica

de estar contenido en cada uno de los polinomios. Se

obtiene factorizando los polinomios y viene expresado

por la multiplicacin de factores primos comunes

afectado de sus menores exponentes.

MNIMO COMN MLTIPLO (M.C.M.)

Definicin.- El Mnimo Comn Mltiplo de 2 o ms

polinomios es otro polinomio que tiene la caracterstica

de contener a cada uno de los polinomios. Se obtiene

factorizando los polinomios y viene expresado por la

multiplicacin de los factores primos comunes y no

comunes afectados de sus mayores exponentes.

Ejemplo:

Hallar el M.C.D. y M.C.M. de los polinomios:

A(x) = (x+3)4 (x

2+1)

6 (x2)

2 (x+7)

6

B(x) = (x+7)2 (x

2+1)

3 (x2)

4 (x+5)

8

C(x) = (x+5)4 (x

2+1)

2 (x2)

3 (x+3)

3

Rpta: como ya estn factorizados el:

M.C.D. (A,B,C) = (x2+1)

2 (x2)

M.C.M. (A,B,C) = (x2+1)

6 (x2)

4 (x+3)

4 (x+7)

6 (x+5)

6

Propiedad:

Solo para dos polinomios: A(x), B(x).

Se cumple:

M.C.D. (A,B) . M.C.M. (A,B) = A(x) . B(x)

FRACCIONES ALGEBRAICAS

Fraccin Algebraica

Definicin.- Una fraccin algebraica, se obtiene

como la divisin indicada de dos polinomios N(x) y

D(x) siendo D(x) polinomios no constantes.

Denotado: xDxN

Donde:

N(x): polinomio numerador (no nulo).

D(x): polinomio denominador (no constante)

Ejemplo:

2

12

xx

; 2

17

4

x

x;

4

4822

xxx

Signos de una Fraccin

a) Signo del Numerador: +

b) Signo del Denominador:

c) Signo de la fraccin propiamente dicha:

yx

F

ALGEBRA

III Bimestre


26

73

OBSERVACIN:

SI INTERCAMBIAMOS UN PAR DE SIGNOS POR UN

MISMO SIGNO EL VALOR DE LA FRACCIN NO SE

ALTERA EN EL EJEMPLO ANTERIOR, ES DECIR:

yx

yx

yx

yx

F

Tambin:

BA

BA

BA

Ejemplo: Sumar: x 0

yx

y

yx

x

xy

y

yx

xS

1yx

yxS

Ejemplo:

Simplificar

6116

1923

2

xxx

xxF

solucin:

Factorizando y Simplificando:

2

3

321

133

xx

xxxxxx

F

OPERACIONES CON FRACCIONES

1. Adicin o Sustraccin

Se presentan los siguientes casos:

A) Para fracciones homogneas:

Ejemplo:

2222 x

zyx

xz

x

y

xx

B) Para fracciones heterogneas:

Ejemplo:

bdfbdebfcadf

fe

dc

ba

C) Para 2 fracciones

Regla practica:

ywyzwz

wz

yx

2. Multiplicacin

Ejemplo:

fdbeca

fe

dc

ba

..

.....

7

7

7

1.

2.

2

7.

1 xx

xx

xx

xx

xx

3. Divisin

Ejemplo:

c

d.

b

a

d

c

b

a. Invirtiendo

bcad

dcba

TAREA DE CLASE

1. Hallar el M.C.D. de: P = 20x4 + x

2 1

Q = 25x4 + 5x

3 x 1 y R = 25x

4 10x

2 + 1

Rpta.

2. Hallar el M.C.M. de: P = x2 2x 15

Q = x2 25 y R = 4ax

2 + 40ax + 100a

Rpta.

3. Hallar el M.C.D. de los polinomios:

P(x) = x3 + 5x

2 x + 5 , Q(x) = x

4 + 2x

3 2x 1


27

4. Hallar el M.C.D. y M.C.M. de:

P = 3x3 + x

2 8x + 4 y Q = 3x

3 + 7x

2 4

E indicar el producto de sus factores no comunes

Rpta.

5. Hallar la suma de coeficientes del M.C.M. de:

P(x) = x4 11x

2 18x 8 , Q(x) = x

4 1

R(x) = x3 6x

2 + 32

Rpta.

6. El producto de dos polinomios es:

(x6 2x

3 + 1) y el cociente de su M.C.M. y su

M.C.D. es (x1)2. Hallar el M.C.D.

Rpta.

7. Hallar la suma de los trminos del M.C.D. de

los polinomios:

P(x,y) = x3 xy

2 + x

2y y

3

Q(x,y) = x3 xy

2 x

2y + y

3

R(x,y) = x4 2x

2y

2 + y

4

Rpta.


1. Hallar el M.C.D. de:

P(x) = x3 1 y Q(x) = x

4 + x

2 + 1

a) x2+x+1 b) x

2+1

c) x1 d) x2x+1

e) x21

2. Hallar el nmero de factores primos en que se

descompone el M.C.M. de los polinomios

P(x) = x2 3x + 3, Q(x) = x

2 5x + 6 y

R(x) = x2 4x + 3

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

3. El M.C.D. de:

x4 + 2x

3 px

2 + qx + r y x

3 + 7x

2 qx + 20

es (x2+3x+5), hallar: pqr.

a) 340 b) 340 c) 680

d) 680 e) 170

4. El producto de dos polinomios es: (x21)

2 y el

cociente de su M.C.M. y M.C.D. es (x1)2. Calcular

el M.C.D.

a) x+1 b) x2+1 c) (x+1)

d) x1 e) (x1)

5. Hallar la suma de coeficientes del M.C.M. de:

x3 + 9x

2 + 24x 24 y x

3 + 2x

2 13x + 10

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

6. Al simplificar:

4 2 2

2 3 2

27 20 100 100.

7 30 3 9 3

a a a a a

a a a a a a

Obtenemos:

a) 10

3

aa

b) 10

3

aa

c) 3

3

aa

d) 10

3

aa


28

e) 1

7. Hallar el valor de E en la expresin:

baxbax

bxax

E2

23

Para: 2

bax

a) 1 b) a+b c) ab

d) (ab)3 e) Cero

8. Simplificar:

xybbybxaxya

abxy4baxyyxabM

222

22

a) ax+by b) axby

c) byax

byax d)

byax

byax

e) 1

9. Calcular el valor de la expresin:

M= nana

mama

2

2

2

2 Cuando:

bmmn

a4

a) 1 b) Cero c) 4mn

d) m+n e) 2

10. Si:

bcacb

x2

222

22

22

acb

cbaz

Calcular:; xzzx

E1

a) Cero b) 1 c) a+b+c

d) abc e)

abc1

11. Calcular n-k+c si:

2

22

5 12 13

7 5 37 5 3

x x n kx c

x x xx x x

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

12. Luego de simplificar la fraccin:

22

22

5 36

6 25

x x

x x

sus trminos suman:

a) 2 2x b) 10 x c) 12

d) 10 12x e) 22 10x x

BINOMIO DE NEWTON

FACTORIAL

Definicin.- El factorial es un operador exclusivo de

nmeros naturales. Matemticamente se define:

2n/Nn;xn.....x3x2x1n

22

63x2x13

244x3x2x14

Propiedad:

1. 1nnn

Ejem: 7 6 7 6 6 6 6

2. 1 1

3. 0 1

Observacin: Existen 2 operadores mas ; los cuales son:

)n2(x....x8x6x4x2n2

nx2n2

)xn2(x).....3x2(x)2x2(x)1x2(n2

n

Cofactorial:

)1n2(x.......x7x5x3x11n2

n2

1n21n2

n

Propiedad:

1n1n.n


29

NMERO COMBINATORIO

Definicin.- Siendo n y k nmeros naturales, la

notacin n

kC que denota: Combinatorio de n en k y se

define de la manera:

, 0nkn

C n k k nn k k

Propiedades Bsicas:

1) 1C:nC;1Cn

n

n

1

n

0

2) Complemento:

n

kn

n

k CC

3) Degradacin:

1n

1k

n

k Ck

nC

4) Reduccin:

1n

1k

n

1k

n

k CCC

BINOMIO DE NEWTON

Definicin: Es una expresin matemtica que tienen la

forma de una funcin polinomial.

Es un binomio de la forma:

(a+b)n , para n = 0,1,2,3,.......

Sabemos:

nonn

22nn2

1nn1

onno

n

3233

222

1

0

baC....baCbaCbaC)ba(

bab3ba3a)ba(

bab2a)ba(

ba)ba(

1)ba(

.

.

.

en forma polimonial:

Zn

1 2 2

1 2( , ) ( ) .....n n n n n n n n n

o nP x a x a C x C x a C x a C a

Ejm:

44

4

34

3

224

2

134

1

44

0

4 aCxaCaxCaxCxC)ax(

5

a

4

xa4

3

ax6

2

ax4

1

x)ax(

4322344

Para n =4 5ObtuvoSe Trminos

En general:

Un polinomio: P (x + a)n Tiene (n + 1) Trminos

Un binomio: (x + a) n . Tiene (n + 1) Trminos

Ejem:

P (x + a) = (10x + 3a) 5

Tiene 5 + 1 = 6 Trminos

Trmino General:

Contenido de Izquierda a derecha:

kknn

K1K axCT

donde:

T K+1 es el trmino de lugar ( k+1)

Ejm:

En el desarrollo de P (x,a) = ( x2+a

3) 6

, determine el

tercer termino

Solucin:

686

2

23426

2123 axC)a()x(CTT

Contando de derecha a izquierda:

knkn

K1K axCT

donde:

T K+1 es el trmino de lugar ( k+1)

Ejm: En el desarrollo de P (x,a) = ( x3+a

2) 5

, determine

el trmino de lugar con respecto al final.

Solucin:

495

3

22335

3134 axC)a()x(CTT

Trmino Central:

El desarrollo del binomio tendr un nico trmino

central en cambio si n es par, luego la posicin que

ocupa este Trmino es:

11

n . 2

n

2

n

n

2

n)1

2

n(

axCTTc ; n es par


30

Ejem: En el siguiente problema; Determinar el trmino

Central del desarrollo de:

P(x; a) = (x2 + a)

6

Como : n = 6

n es par la posicin ser 32

n;1

2

n

6 2 3 3 6 6 3

3 31 ( ) ( )2

nTc T C x a Tc C x a

Sabemos:

Propiedades:

1. (a+b) n tiene (n+1) Trminos.

2. Exponente de a van

disminuyendo de n hasta 0

Exponente de b van aumentando de 0 hasta

3. En cada trmino , la suma de exponentes de a y b

es igual a n.

4. Coeficientes del 1 y ltimo Trmino son iguales a

1.

Coeficientes del 2 y penltimo trmino son iguales

a n.

En general: los coeficientes son SIMTRICOS.

Definiciones Previas Combinatorios:

- !nn

nx....x2x1n

- nkosiendoCCn

kn

n

k

- nkC

k

n

TAREA DE CLASE

1. En el desarrollo del Binomio:

14

x

1x

Qu lugar ocupa el trmino de 2do grado?

Rpta.-

2. Seale el trmino independiente de x en el

desarrollo de:

92

5.0

x

x

5.0

Rpta.-

3. Hallar (n+k,) si T3= 405 xk al desarrollar :

n2 )3x(

Rpta.-

4. Calcular (n +m). Si:

14mn

8

Rpta.-

5. Efectuar: 98710

Rpta.-

6. Hallar (k+n) si:

2

n228

3

n43

1k2

2111

k2

227

36

6

3

ax20Tc

201x2x3

4x5x6C

!! 1 1

!

( ) ! ! !

( ) ! ! ! 1 1

a aa b

b b

axb a x b

a b a b a b


31

7. Qu valor asume n en : (xn

+ x-2

) 17

de modo

que el producto de los trminos centrales sea

constante?

Rpta.-

8. Al efectuar:

n12n2n2 )x1()1x()xx( Se obtiene 31

trminos. Halle el segundo trmino.

Rpta.-

9. Determine la suma de los coeficientes del

desarrollo de:1n24 )xynx( , sabiendo que uno

de sus trminos admite como parte literal x9y

10

Rpta.-

10. Qu lugar ocupa el Trmino que tiene como

grado absoluto 17 ; en el desarrollo de:

142 )y2x(

Rpta.-

11. Calcular el valor de n para que el dcimo

trmino del desarrollo de:

15

n

2

3 xcontenga,x

1x

Rpta.-


1. Reducir:

1xx

1xx

22

22

a) x b) x-1

c) 1 d) xx e) x2

2. Hallar el valor de n

)2n2(99)!n2()!1n2(

)!n2()!1!n2(

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

3. Siendo : 42!b!a

!10

Calcular: ab

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42

4. Si se cumple que:

1

2!x

2

2!x

3

3!x

Calcular : (x + 1)!

a) 60 b) 24 c) 6 d) 20 e) 720

5. Indicar el valor de k en el desarrollo de (x + 1)36

. si

los trminos de lugar k-4 y k2, tienen igual

coeficientes.

a) 7 b) 6 c) 5 d) 9 e) 10

6. Si el grado absoluto del Trmino en el desarrollo

de:

30es)cba( n2

Hallar el grado absoluto del trmino central.

a) 28 b) 27 c) 26 d) 25 e) 24

7. Dado el binomio (x + a)4.

Calcular: 42 T.T

a) 44ax16 b) 44ax4 c) 33ax16 d) 33ax4 e) 4xa

8. En el desarrollo del binomio (x5+x

3) 10

. Calcular el

sptimo trmino.

a) 32x210 b) 34x210 c) 36x210 d) 38x210

e) 32x200


32

5039nn....33221

Radicando

9. Qu lugar ocupa el trmino cuya suma de

exponentes de x e y sea 48 con el desarrollo del

binomio. (x2+ y

3) 18

.

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

10. Dado el binomio n14 )xx( .Hallar n para que

el 5to trmino resulte del 1er grado.

a) 12 b) 14 c) 18 d) 20 e) 24

11. Dado el binomio

n

2x

x

1el trmino de lugar 17

es de la forma .xCT2n

1617

a) 19 b) 20 c) 21 d) 22 e) 23

12. Indicar el valor de m es (x7+ y

m) 25

si el trmino de

lugar 14 es de la forma: .yx 3984

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

13. Si en el desarrollo del binomio (3x3 + 2x

-1y

2) n existe

un trmino cuyas potencias de x e y son

respectivamente 5 y 8 encontrar el nmero de

trminos del desarrollo.

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 6

14. Calcular el quinto trminos del desarrollo de:

8

x

4

4

x

a) 59 b) 69 c) 70 d) 71 e) 19

15. Halla el valor de n

a) 7 b) 5 c) 6 d) 8 e) 9.

16. Dar el nmero de trminos del desarrollo de:

.)zyx( 6

a) 28 b) 56 c) 7 d) 21 e) 30

RADICACIN

Definimos la raz n-sima principal de un nmero real a denotado por :

n a

Sea: 0by0adondebabann Si

n es par y a , b son nmeros reales arbitrarios si n es impar:

El smbolo n a para la raz n sima principal de a se

le llama RADICAL ; el entero n es el INDICE y a

es el RADICANDO.

n a

Propiedades bsicas de los radicales:

Sean n 2 y m 2 enteros positivos y a , b son

nmeros reales, si todos los radicales estn definidos.

Tenemos las siguientes propiedades:

1) nnn baab

2) n

n

n

b

a

b

a

3) mnn m )a(a

4) mnm n aa

Operaciones:

Sea: .Radicalesn

xxxx

211.2

1x2

1

2/1

1

xxxx1n

2212

2x2

n.2x2

4/34 3

2

xxxxxx2n

ndice


33

5 4 3 n46n2n

)x( x2x3x4x5M

1X x1xx

xx 1xxx

xA

231.2

2x2x2

12x2x2

8/78 7

3

xxxxxxx3n

.

.

n212

.Radicalesn

n

xx.....xxnn

Si tenemos :

?aaa2 3 4

a a a1 3 1 4 1

X +

(Multiplica y se suma)

(1x3+1) 4+1 = (4x4) +1 = 7

en el denominador : 2 x 3 x 4 = 24

2417

a 3 4 aaaa

TAREA DE CLASE

1. Calcular x 2y si: 2

15 62 8 y 3 81x y x y

Rpta.- 2. Calcular ab si:

14 32 8 y 3 3 9

b a b aa b a b

Rpta.-

3. Si:2aa 32163 . Calcular x en:

1289a1x

1a 2

Rpta.- 4. Calcular x si:

Rpta.-

5. Calcular x si: 63x8x8n3n3

Rpta.- 6. Para que sea el valor de n la expresin: Resulte ser un monomio de 2 grado. Rpta.- 7. Reducir: Rpta.-

8. Reducir: 3 3 3 432 ......xxxxR

Rpta.-

9. Resolver:

22)22

x(2x

2.x

Indicando el valor de:

)1xx)(1xx(22

Rpta.-

10. Efectuar:

2

1

aa

ax ax3x2xx

xx

x....xxxK 2x 3232x

2x2


34

6228)2(B;8A

8

Rpta.-

11. Si: 1XXXa Hallar

x 1x axR Rpta.- 12. Si al Reducir

Radicales20

x........xxx

El exponente final de x es de la forma ;

20

20

n

1n; n N. Halle : n

Rpta.- 13. Si se cumple que:

Calcular: 32aa

Rpta.- 14. Si:

2

2x x Calcular: x.)2(2

43 )2()2(

Rpta.-

15. Racionalizar: 33 18122

10

Rpta.-


1. Si: m = X

x122x

5P

;5n;5

Hallar x en Pnm 232

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

2. Indicar la mayor solucin al resolver:

5x

5

x21

5

x2

)6(13)2(6)3(2

a) -5 b) -10 c) 10 d) 2 e) 5

3. Calcular x Si:

511x2x2n3n3

a) 1n4 b)

1n8 c) n16 d) 1n2 e)

1n8

4. Calcular: 1b1a

abbaM

Si: 2

1a;5b

ba

a) 57 b) 50 c) 58 d) 62 e) 64

5. Si: Calcular: A

B

a) 2 b) 4 c) 8 d) 16 e) 1/4

6. Evaluar:

122

2 2

2

22

a) 1 b) 2 c) 2 d) 22 e) 4

7. Efectuar:

3 3

3 3

4 )21(

12 )122(

2

2

a) 2 b) 2 c) 3 2 d) 3 4 e) 3 2 +1

8. Si: abba aba.b Halle el equivalente de:

11....66a........55253


35

.....xxxxxxX

...

X1X1

b1 a1a.bE

a) 1 b) c) 1/3 d) 2 e) 4

9. Reducir:

1a1a

a1a a

44

44

a) 1 b) 2 c) 4 d) e)

10. Obtener

3 3319 1313 9.3

a) 3 3 b) 3 c) 3 d) 33 e) 3 3 3

11. Resolver:

x

1

x3

4x

1

x

1

3x

1

Siendo: x 1 a) 4/3 b) 2 c) 3/2 d) 5 e) 3

12. Hallar x en :

2

4x

1

x xx

1x

2

a) b) - c) d) - e) 1/16

13. Resolver:

a) b) c) 8/27 d) 4/9 e) 2/3

14. Hallar x en:

0x,x39x 34

3

6

3

4

3

a) 3/3 b) 1 c) 3 d) 3 e) 3 3

15. Calcular:

Radicales15

x......xxx

a)15

14

2

12

x b) 16

16

2

12

x

c) 15

15

2

12

x d) 1212

15

15

x e) 15

15

2

12

x 16. Calcular:

2611E

a) 23 b) 223 c) 33 d) 23

e) 223 17. Calcular:

7 333

3 222

XXX

XXXE

a) 2415

x b) 1211

x c) 2419

x d) 1213

x e) 2413

x

18. Hallar x

xxx

x

2

1

x64

16x

a) 2 b) 4

c) 8 d) 16

e) 32 19. Evaluar:

122 2 2 22

2

a) 1 b) 2

c) 2 d) 22

e) 4 20. Hallar a Si:

n......1212a3

Siendo : 3n = .....662 a) 4 b) 3

c) 8 d) 5

e) 6


36

2 2 2 3 ( )

2 4 2 3 3 1

3 1 3 1

2 22

L Artificio

L

L

RADICALES DOBLES

Tiene la expresin: Ba (A B +)

es llamado radical doble.

Ejm: 75;32 Son ejemplos de radicales

dobles.

En algunas ocasiones es necesario expresar un radical

doble como la suma de dos radicales simples (es decir

BA ) el proceso mediante la cual esto es llevado a

cabo se llama transformacin de radicales dobles a simples.

Nos preguntamos cuando es posible descomponer un

radical doble en la suma de dos radicales simples, el

siguiente teorema establece para que esto sea posible.

Teorema:

Si BAC2

es un cuadrado perfecto entonces

2

CA

2

CABa

Transformacin de un Radical doble de la forma

B2a en radicales simples

yxB2a ; x y

Donde:

x . y = B x + y = A

Ejm:

271429

15526

32L

TAREA DE CLASE

1. Hallar: x )1x(248216

Rpta.:

2. Si: x63425 . Hallar x

Rpta.:

3. Efectuar: 625

2223E

Rpta.:

4. Calcular M si la expresin:

)1xx(X22M

Siendo x 1

Rpta.:

ALGEBRA

IV Bimestre


37

5. Determinar el valor de M

13

M24583

Rpta.:

6. Dada un funcin que depende de x:

1)n(2x;1xx)x(f 2

Hallar la suma de 3 primero trminos, siendo n N.

Rpta.:

7. Si: 5M5M)M30(2

Hallar M

Rpta.:

8. Si C es un cuadrado perfecto BAC 2

Se cumple: 2

7

B

A

Y su radical doble tiene la expresin BA ,

donde A 15. Hallar B.

Rpta.:

9. Si A = 11 y B = 72 de un radical doble, se tiene en la expresin final a simples:

)3x4x

Hallar x:

Rpta.:

10. Simplificar: 333 48216132E

Rpta.:


1. Si: E24621217

Siendo: E un radical simple, donde su radical el

doble tiene la expresin: 2)1N(N

Hallar N:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

2. Se cumple que:

2

n151nn19

2

Hallar n:

a) 6 b) 4 c) 10 d) 8 e) 2

3. Calcular: J= 6363079

a) 4 b) 6 c) 7 d) 5 e) 3

4. Hallar E:

EE21029214512

a) 4 b) 3 c) 2 d) 5 e) 6

5. Determinar: x: 34252x

a) 22 b) 23 c) 32 d) 6 e) 5

6. Hallar las soluciones de x:

6)221029(xx

a) 2,4 b) -2,3 c) -2, -4 d) 1,3 e) 2,3

7. Hallar M: 5821

5252461M

a) -1 b) 1/2 c) 1/4 d) 1 e) 2


38

8. Hallar: M= 3

231628

a) 122 b) 322 c) 12 d) 122

e) 342

9. Reducir: 362831028E

a) 26 b) 32 c) 13 d) 34 e) 13

10. Hallar n:

n554)1n2(

a) 3 b) 4 c) 2

d) 6 e) 8

11. Si: 1nn3628

Hallar: 3n24

a) 2 b) 3 c) 1

d) 22 e) 3

12. Si: n53)1n(282

a) 6 b) 1 c) 3

d) 2 e) 32

13. Si: 11CA

2

3

C

A Hallar el radical doble:

a) 223 b) 353

c) 353 d) 659

e) 659

14. Resolver: 4

5352461

a) 2 b) 1 c) 1/3 d) 2 e) 1/2

15. Determinar M:

261183M

a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 4

16. Determinar: H= 32431239

a) 6 b) 5 c) 4 d) 7 e) 8

17. Hallar:

2

2223

a) 1/2 b) c) 1/3 d) 2 e) 1

18. Resolver:

10

24926112

a) 2 b) 1 c) 1/3 d) e)

19. Reducir:

6224

224324

a) 1 b) 1/4 c) 2 d) 1/2 e) 2

2

20. Si:

3nn526 2

Hallar n

a) 1 b) 3 c) 5 d) 2 e) 4


39

RACIONALIZACION

Definicin.- Racionalizar un cociente es rescribir este

cociente de modo que el denominador no contenga

radicales. Aqu la idea principal para lograr lo que la

definicin se pide determinar una expresin adecuada

de modo que, al ser multiplicada por el radical en el

denominador, el nuevo denominador no tenga

radicales.

Factor Racionalizante (F.R.): Es el menor nmero

irracional que multiplicado por otro irracional da como

resultado un nmero Racional.

Nmero Irracional x (FR) = Nmero Racional

Ejemplo: ( 22 ) ( 2 ) = 8

FR

Casos:

I) PARA MONOMIO:

m nA FR A A es primo.

Ejemplo: 3 22

N

222 3

3 2

primo F.R.

As concluimos:

n nmAFR ; A un nmero primo

II) PARA BINOMIO: Aqu consideramos como productos notables:

3322

3322

22

babababa

babababa

bababa

OBS: Para denominadores:

* 1n21n2 ba sale: a b

* n2n2 ba no acepta C N

* n2n2 ba sale a b (Por C N)

TAREA DE CLASE

1. Simplificar:

108

126273

Rpta.:

2. Resolver: 7

218

122

9

Rpta.:

3. Hallar: M= 2

20

12

10

Rpta.:

4. Determinar: E2 2. Si:

23

2

23

9E

Rpta.:

5. Hallar x: si x 0

x2 + mx + m = 0

Adems: 13

8

3

12m


40

6. Racionalizar:9 25yx

3

Rpta.:

7. Racionalizar: 221217

1

4

Rpta.:

8. Si: 2

a2a

14012

1

. Hallar a

Rpta.:

9. Hallar: E2 + 1

6

12

627

5E

2

Rpta.:

10. Hallar:

1228

4

Rpta.:

11. Resolver m

01mm30211

11

Rpta.:

12. Efectuar:

232323

1

412

Rpta.:


1. El valor Racionalizado de: 22

2 es:

a) 22 b) 224 c) 22 d) 224

e) 2

22

2. La sgte. Expresin:

2

34

23

23

a) Es un nmero entre 3 y 4. b) Igual a 5. c) Igual a 4. d) Es un # comprendido entre 4 y 5. e) Entre 2 y 3.

3. Hallar: a

7

aa27

70430

2

a) 3 b) 1 c) 3/2 d) 2 e) 4


41

4. Racionalizar:

325

325

a) 4

517 b)

3

214 c)

2

313

d) 5

214 e)

3

615

5. Calcular x:

348

4

1027

3

x211

1

a) 30 b) 5 c) 20 d) 13 e) 10

6. Racionalizar: 25

3

a) 25 b) 2

25 c)

3

25

d) 5

32 e)

10

25

7. Racionalizar: 33

32

a) 3

93 b)

2

273 c)

3

183 d)

3

163 e)

3

323

8. Simplificar: 85072

2 se obtiene:

a) 1/3 b) 1/9

c) 2/9 d) 4/9

e) 18/99

9. Racionalizar: 33 43

1

a) 33 43 b) 7

43 33 c)

7

12229 333

d) 33 34 e) 3 34 2

10. La expresin:

aba

b

22

2

es:

a) ba b) bba22

c) 22

bab

d) aab e) aba22

11. Efectuar:

23

347

32

23

a) 32 b) 26 c) 26 d) 32

e) 13

12. Efectuar:

1027

3

30211

1

1228

1

a) 0 b) 1 c) 15 d) 32 e) 6

13. Despus de racionalizar el denominador es:

532

532

a) 9 b) 7 c) 11 d) 13 e) 17

14. Racionalizar:

)52()5b2a5(

)445)(35)(b25a(

a) 1055

4 b) 95 c) 510

5

3

d) 105 e) 5 3 .

15. Racionalizar: 321

3

a) 5

6213 b) 36

4

3 c) 622

9

3

d) 4

262 e) 2 6 2

2

16. Racionalizar: 1x1x

2x1x

a) 11x2

b) x1x2

c) x1x2

d) 1x1x e) x1x2

17. Simplificar: 1x22x1x22x

1

a) 2 b) 1/2 c) 1/4 d) 1/3 e) 4


42

ECUACIONES

Ecuaciones: (Igualdad Condicional)

Es una igualdad que slo se satisface o verifica para

sistemas particulares de valores numricos atributos a

sus letras. Las letras reciben el nombre de incgnitas,

que por lo general se representa con las ltimas letras

del alfabeto.

As: 5x 3 = 3x + 1

2x = x = 2

Ya que: 5(2) 3 = 3 (2) + 1

7 = 7

Clasificacin de las ecuaciones:

Las ecuaciones pueden ser:

1. Ecuacin posible o compatible.- Admite solucin. Pueden ser:

- Determinada.- # limitado de soluciones. - Indeterminada.- # ilimitado de soluciones.

2. Ecuacin Imposible incompatible o absurda.- Aquella que no admite solucin

3. Ecuacin Algebraica.- Pueden ser:

- Racional.- Pueden ser racional entera o fraccionaria.

- Irracional.- Si alguita incgnita, figura bajo radical

Ejm:

(1) 4x + 9 = x2 12 racional entera.

X = (-3) y x =7

(2) 1x

5

4x

1x3racional

fraccionaria.

(3) 31x

1

5

1xIrracional

4. Ecuacin Trascendente.- Son no algebraicas. Ejm:

(1) log 0211x

(2) ax + 1

= 5 (3) Sen 3x + 1 = 0

Ecuaciones Equivalentes: Son ecuaciones que tienen las mismas soluciones.

Ejm:

5x 3 = 2x + 9 4x 1 = x + 11

3x = 12 3x = 12

x = 4 x = 4

Ambas soluciones es x = 4, son iguales.

Ecuaciones de primer grado con una incgnita:

Definicin: Una ecuacin de primer grado o lineal con una incgnita es aquella que puede reducirse a la forma:

ax + b = 0

Siendo:

a y b coeficientes

Resolviendo

ax = -b

Pasando b al segundo miembro con signo cambiado.

. De acuerdo a los valores que tomen a y b pueden suceder:

1) Si a 0 , b 0 tendremos:

a

bx

2) Si a 0 y b 0 tendremos: x = 0

3) Si a = 0 y b = 0 tendremos: 0x = 0

Observamos que x puede tomar cualquier valor.

4) Si a = 0 y b 0 tendremos: 0x = -b

Observamos que esta solucin es absurda.

Ejm:

. Resolver y discutir:

m2 (x 1) = 5 (5x m)

Solucin:


43

5m

m

)5m)(5m(

)5m(mx

Efectuando: m2x m

2 = 25x 5m

(m2 25) x = m

2 5m

(m + 5) (m 5) x = m (m 5)

Discusin:

(1) Si m2 25 0

(2) Si m = 5 ; 0x = 0

La ecuacin es compatible indeterminada.

(3) Si: m = -5 ; 0x = 50

La ecuacin es incompatible.

Ecuacin de Segundo Grado:

Forma General: ax2 + bx + c = 0

x incgnita

Hay dos soluciones:

a2

ac4bbx

a2

ac4bbx

2

2

2

1

Discusin de las Races.- Se define como

discriminante de la ecuacin: ax2 + bx + c = 0 ; a 0

D = 2 4b ac

D Discriminante

1) Si D 0 ; las soluciones son nmeros reales diferentes.

2) Si D = 0 ; las soluciones son nmeros reales iguales.

3) Si D 0 ; las soluciones son nmeros complejos conjugados.

Propiedades de las Races:

Sea: x1 , x2 races de ax2 + bx + c = 0 ; a 0

Suma: x1 + x2 = -b/a

producto: x1 + x2 = c/a

Diferencia: x1 + x2 = aD ; x1 x2

TAREA DE CLASE

1. Para que valor de m: las races de la ecuacin:

1m

1m

12x5

x3x2

, sern iguales en magnitud pero de

signo contrario.

Rpta.:

2. Resolver: 14

5x7

3

4x3

2

2x5

Rpta.:

3. Resolver: 6

1x7

2

1x

3

2x5

Rpta.:

4. Resolver:

2

2

2

2x

3x

10x6x

5x4x

Dos formas de resolver una

ecuacin de 2do grado


44

Rpta.:

5. Resolver la ecuacin. 721xx 2

Rpta.:

6. Dar los valores de x: 2

5

2x

3x

3x

2x

Rpta.:

7. Dar los valores de X:

09x3x23x3x222

Rpta.:

8. Resolver:

2x14x14

x14x1433

33

Rpta.:

9. Hallar el valor de x:

2 2 24 9 5 7 1 2x x x x x x

Rpta.:

10. Resolver:

3xx2xx2

1

algebra ii

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