algebra 02
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ADICIN DE POLINOMIOSDados dos polinomios reales: , , El polinomio suma, esta definido por:
SUSTRACCIN DE POLINOMIOSDados dos polinomios reales: , , El polinomio diferencia, esta definido por:
MULTIPLICACION DE POLINOMIOSDados dos polinomios reales: , , El polinomio producto, esta definido por:
Ejemplo: Dado los polinomios: Si el grado del producto de los tres polinomios es 25, el valor de n es:Solucin:
; ; Entonces:
PRODUCTOS NOTABLESSon casos especiales de la multiplicacin de polinomios, con los cuales se obtiene el polinomio producto en forma directa sin efectuar la operacin de la multiplicacin.Sean expresiones algebraicas, entonces:1. Binomio al cuadrado
2. Diferencia de cuadrados
3. Diferencia de cubos
4. Suma de cubos
5. Binomio al cubo
6. Trinomio al cuadrado
7. Trinomio al cubo
8. Identidad de Argand
9. Identidad de Legendre
10. Identidad de Lagrange
Ejemplo: Simplificar la expresin
Ejemplo: Simplificar la expresin
DIVISIN DE POLINOMIOSALGORITMO DE LA DIVISIN Dados dos polinomios reales de grado y de grado , con ; existen dos polinomios nicos y , tales que:
Observacin:1. Grado del dividendo grado del divisor2. Grado del divisor grado del resto 3. Grado del cociente = grado del dividendo grado del divisor4. Grado mximo del resto = grado del divisor 15. Grado mnimo del resto = 0MTODOS DE LA DIVISIN DE POLINOMIOSA. MTODO DE HORNEREste mtodo se utiliza para dividir polinomios, cuyo divisor sea de grado mayor o igual que dos. En este mtodo primero se ordenan y completan los polinomios dividendo y divisor con respecto a una sola variable, luego se utilizan slo coeficientes y el esquema siguiente:
divisor CON SU MISMO SIGNORESIDUO D I V I D E N D OC O C I E N T ECON SU MISMO SIGNOCON SIGNOCAMBIADORECTA MOVIL (INDICA GRADO DEL RESIDUO)
Ejemplo: En la divisin entre deja un residuo de el valor de Solucin:
Igualando los coeficientes se tiene: ; ; Luego B. MTODO DE RUFFINIEste mtodo se utiliza para dividir polinomios cuyo divisor sea de la forma O cualquier expresin transformable a esta. En este mtodo primero se ordenan y completan los polinomios dividendo y divisor con respecto a una sola variable, luego se utilizan slo coeficientes y el esquema siguiente:
D I V I D E N D ORESIDUO
Ejemplo: En la divisin entre se obtiene un cociente entero donde la suma de coeficientes del cociente es igual a dos veces el residuo. Hallar. Solucin:
Como: EJERCICIOS
CEPRU UNSAAC ALGEBRA ALGEBRA CICLO 2012-I
13CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIO
22CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIO
23CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIO1) Si satisface . Encuentre el valor de: .Rpta.: 130.
2) Calcular: , si: .Rpta.: 140.
3) Si , . Calcular: .Rpta.: .
4) Sabiendo que: , y . Encontrar el valor de: .Rpta.: .
5) Si y , calcular el valor de:
Rpta.: 11.
6) Si se sabe que: x+y=xy=5, calcular el valor de:
Rpta.: .
7) Simplificar:
Rpta.: 13.
8) Calcular el valor de , si: .Rpta.: 14.
9) Calcular el valor de , si:.Rpta.: .
10) Si ; el valor de: , es:Rpta: 3
11) Luego de efectuar
Se obtiene:Rpta.: .
12) Dados los polinomios y Si el grado del polinomio producto de los tres polinomios es 25, entonces el valor de n, es:
13) Luego de efectuar
Se obtiene:
14) Si la divisin del polinomio entre deja por residuo Hallar
15) Cul es el valor de , si al dividir el polinomio entre , la suma de los coeficientes es 161 y el residuo 16?
16) Cul es el resto de dividir un polinomio entre si el termino independiente del cociente es 8 y el termino independiente de dicho polinomio es 5?
17) En las siguientes igualdades marcar con (V) si es verdadera o con (F) si es falsa.I)
II)
III)
La secuencia correcta, es:Rpta. FVV
18) Al reducir la expresin , se obtiene:Rpta. 2
19) Reducir
Sabiendo que .Rpta. 56
20)
Si es un trinomio cuadrado perfecto, el valor de , es:Rpta. 25
21) Para . Cunto vale la expresin?
Rpta:80
22) El equivalente de
, n factores, es:
Rpta:23) Sabiendo que , determinar el valor de :
Rpta:20
24)
Si y calcular el valor de .Rpta:52
25) De los siguientes productos
I)
II)
III)
IV)Los que corresponden a la identidad de Argand, son:Rpta: I, II y IV
26) En las siguientes igualdades marcar (V) si es verdadera y con (F) si es falsa segn que corresponde
I)
II)
III)
IV)Rpta:FFVV
27) Simplificar la expresin:
Rpta:
28)
Si . Hallar Rpta:-329)
Si . Hallar . Si se cumple Rpta:1/4
30) El valor de m, para que el polinomio: ,sea equivalente al producto de dos trinomios lineales, es:Rpta. 7
31) El resultado de efectuar:
, empleando identidades es:
Rpta.
DIVISION DE POLINOMIOS
32) Al dividir , entre , se obtiene el residuo , y cociente . Calcular .Rpta.: 16.
33) Calcular la suma de los coeficientes del cociente de la siguiente divisin
Rpta.: 244.
34) Determinar el polinomio , si este es de tercer grado, divisible por , se anula cuando , su trmino independiente es y al dividir entre su residuo es Rpta.: .
35) Calcular , sabiendo que al dividir , entre , se obtiene como residuo .Rpta.: 11.
36) Hallar el resto de dividir , entre .Rpta.: .
37) En el cociente notable , el desarrollo tiene siete trminos. Cul es el valor de ?.Rpta.: 49.
38) Determinar el valor de , si .Rpta.: .
39) Determinar el valor de , si el trmino central del cociente notable de , es el cuarto trmino de valor .Rpta.: .
40) Si la divisin
Es exacta, entonces el valor de: , es: Rpta.: .
41) En una divisin efectuada por el mtodo de Horner, se obtuvo el siguiente esquema:
Determinar la suma de coeficientes del dividendo.Rpta.: 5.
42) Si la divisin del polinomio entre , deja por residuo . Hallar: . Rpta.: 87.
43) Cul es el valor de , si al dividir el polinomio entre , la suma de los coeficientes es 161 y el residuo 16?Rpta.: 3.
44) Cul es el resto de dividir un polinomio entre si el termino independiente del cociente es 8 y el termino independiente de dicho polinomio es 5?Rpta.: .
45) Hallar el valor de m si la siguiente divisin:
; es exacto.Rpta.: 3.
46) Hallar el cociente en la siguiente divisin:
Rpta.: .
47) Determine el resto en:
Rpta.: 9.
48) Hallar el resto de:
.
Rpta.:
49) En la siguiente divisin la suma de coeficientes del cociente es:
Rpta.: 7.
50) Calcular el resto de:
Rpta.: 216225.
51) Hallar el doble del resto de la divisin:
Rpta.: 68.
52) Si el resto de la divisin:
; es . Calcular Rpta.: 11.
53) En la divisin:
; El resto es 40 y la suma de coeficientes del cociente es 352. Hallar .Rpta.: 8.
54) En la divisin:
; Los coeficientes del cociente vandisminuyendo de en uno en uno a partir del primero y el resto es igual a . Calcular el valor de .Rpta.: 66.
55) Hallar el residuo de dividir:
Rpta. 5
56) Hallar el valor de a, si al dividir:
entre , el resto es 4. Rpta. 5
57)
Los restos de dividir de P(x) por los binomios y son respectivamente 8 y -7. Hallar el resto de dividir P(x) entre .
Rpta.
58) Calcule el valor de a para que la suma de coeficientes del cociente sea 161, talque el resto es 16.
Rpta.3
59) Calcular m si el resto de la divisin:
es igual al resto de la divisin .Rpta. 3
60) Calcular el residuo de la divisin:
Si el cociente evaluado en cero es 3. Rpta. 9
61) En la divisin:
entre el residuo es 4.Hallar la suma de coeficientes del dividendo.Rpta. 10
62) En el esquema de la divisin de polinomios por el mtodo de Hornner
Hallar Rpta:19 63) Si en la divisin
el resto es , hallar la suma de coeficientes del cocienteRpta:315
64)
Calcular , si la divisin es exacta Rpta:16
65)
Si al polinomio se le divide entre , se obtiene un cociente de grado , termino independiente y residuo . Hallar .Rpta:4
66) Para efectuar una divisin segn el mtodo de Ruffini se planeteo el siguiente esquema
Determinar el restoRpta:11
67) Cul es el valor de a, si al dividir elpolinomio ax263+5bx+5b-a entre x-1, la suma de los coeficientes del cociente es 1330 y el residuo 30?Rpta. 5
68) En el siguiente esquema de Ruffini
Hallar la suma de los coeficientes del cociente.Rpta:2
69) Dividir
luego, hallar el valor del cociente cuando toma el valor de 4.Rpta:3
70)
Al dividir , entre , el resto es:
Rpta:71)
Al efectuar la divisin en x de el residuo es . Determinar .Rpta:672)
Encontrar la relacin entre p y q para que al dividir entre el residuo sea cero.
Rpta:
73)
Hallar un polinomio de segundo grado de la forma tal que al ser dividido entre el resto es cero, y al ser dividido entre el resto es 5.
Rpta:
74) Cuando el polinomio
se divide entre se obtiene un cociente cuyos coeficientes van disminuyendo de uno a uno a partir del primero y un residuo identico a . Calcular Rpta:16