MATRICES Una matriz de orden es un arreglo rectangular de nmeros reales expresados en filas y columnas

Abreviadamente la matriz se escribe como ORDEN O DIMENSIN DE UNA MATRIZDefinicin. Es el producto indicado de filas por columnas.Ejemplo: IGUALDAD DE MATRICESDos matrices y son iguales si son del mismo orden y sus elementos correspondientes son iguales, es decir:

Ejemplo: Las matrices y son iguales

TIPOS DE MATRICES1. Matriz fila. Es una matriz que solo tiene una sola fila, es decir, es de orden Ejemplo: 2. Matriz columna. Es una matriz que solo tiene una sola columna, es decir, es de orden Ejemplo: 3. Matriz rectangular. Es una matriz donde el numero de filas es diferente al numero de columnas, es decir; es de orden Ejemplo: 4. Matriz cuadrada. Es una matriz donde el numero de filas es igual al numero de columnas, es decir; es de orden se denota como Ejemplo:

DIAGONAL PRINCIPAL Y TRAZA DE UNA MATRIZ CUADRADAa) La diagonal principal de una matriz cuadrada es una lnea formada por los elementos: La otra diagonal se llama diagonal secundaria.b) La traza de una matriz cuadrada denotado por es la suma de los elementos de su diagonal principal, es decir:

Ejemplo: Diagonal principal: Diagonal secundaria: Traza: PROPIEDADES DE LA TRAZA 1. 2. 3.

5. Matriz nula. Es una matriz donde sus elementos son ceros y se denota por Ejemplo: MATRICES CUADRADAS ESPECIALES1. Matriz diagonal. Es aquella matriz cuadrada donde todos sus elementos son nulos a excepcin de por lo menos un elemento de su diagonal principal, es decir:

Ejemplo: 2. Matriz escalar. Es una matriz diagonal donde los elementos de la diagonal principal son iguales a un numero real , es decir:

Ejemplo: 3. Matriz identidad.- Es una matriz escalar cuyos elementos de su diagonal principal son iguales a la unidad, se denota por es decir:

Ejemplo: 4. Matriz triangular superior.- Es una matriz cuadrada donde todos los elementos que se encuentran por debajo de la diagonal principal son cero. Es decir:

Ejemplo: 5. Matriz triangular inferior.- Es una matriz cuadrada donde todos los elementos que se encuentran por encima de la diagonal principal son ceros: Es decir:

Ejemplo: MATRIZ TRANSPUESTA

Definicin: Dada la matriz de orden , se llama matriz transpuesta de A, a la matriz de orden cuyos elementos se obtienen intercambiando filas por columnas

Ejemplo: Si entonces PROPIEDADES DE LA MATRIZ TRANSPUESTA1. 2. 3. 4. 5.

MATRIZ SIMTRICA. Una matriz cuadrada es simtrica si . Es decir:

Ejemplo: MATRIZ ANTISIMTRICA. Una matriz cuadrada es antisimtrica si . Es decir:

Ejemplo: PROPIEDADES DE LA MATRIZ SIMTRICA y ANTISIMTRICA1. La suma de dos matrices simtricas (antisimtricas), es una matriz simtrica (antisimtrica)2. El producto de dos matrices simtricas, no es una matriz simtrica.3. Si es una matriz cuadrada cualquiera, entonces: es una matriz simtrica. es una matriz antisimtrica.4. Toda matriz cuadrada es la suma de una matriz simtrica y otra antisimtrica.

5. Si es una matriz cualquiera, entonces tanto como , son matrices simtricas.6. La traza de una matriz antisimtrica es cero.MATRIZ IDEMPOTENTE. Una matriz cuadrada es idempotente si Ejemplo: MATRIZ INVOLUTIVA. Una matriz cuadrada es involutiva si Ejemplo: MATRIZ NILPOTENTE. Una matriz cuadrada es nilpotente si donde , se llama matriz nilpotente de ndice Ejemplo:

OPERACIONES CON MATRICES

I. ADICIN DE MATRICES:Dadas las matrices del mismo orden y , la matriz suma es otra matriz, definida por:

Ejemplo: Si y , entonces

II. SUSTRACCIN DE MATRICES:Dadas las matrices del mismo orden y , la matriz diferencia es otra matriz, definida por:

Ejemplo: Si y , entonces

PROPIEDADES:Sean y (matriz nula). Matrices del mismo orden, entonces:1. 2. 3. 4. 5. 6.

III. MULTIPLICACIN DE UNA MATRIZ POR UN ESCALARDada la matriz entonces Ejemplo: Si encontrar

IV. MULTIPLICACIN DE MATRICES:Dadas las matrices y , tales que el nmero de columnas de la primera matriz y el nmero de filas de la segunda matriz son iguales, entonces el producto , es otra matriz de orden , la cual se define por: Donde:

En el producto de orden sus elementos se obtienen como la suma parcial del producto de filas por columnas.Ejemplo: Si una matriz de orden y una matriz de orden entonces el producto de las dos matrices es otra matriz es de orden Donde:

..Por lo tanto:

PROPIEDADES:Sean , (matriz nula) e (matriz identidad); matrices de rdenes compatibles con respecto a la adicin y multiplicacin, entonces:1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Si no implica que 8. Si no implica que 9. Si 10. Si entonces son matrices conmutativas11. Si entonces son matrices no conmutativas12. Si entonces son matrices anticonmutativas13. ; ; .14. ; .15. ; .

DETERMINANTES

Definicin: El determinante es una funcin que aplicada a una matriz cuadrada la transforma en un escalar. Se denota por

DETERMIANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN Si entonces Ejemplo: Si entonces

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN .REGLA DE SARRUS. Se utiliza slo para calcular el determinante de una matriz cuadrada de orden, utilizando la regla de Sarrus se sigue los siguientes pasos: Se escriben las dos primeras filas a continuacin de la tercera. Se trazan tres diagonales de derecha a izquierda y tres de izquierda a derecha Se multiplican las diagonales, las diagonales de izquierda a derecha cambian de signo. Luego la suma algbrica es el valor del determinante.Si entonces

Ejemplo:

Si entonces

PROPIEDADES: Sean matrices cuadradas, entonces:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Si una fila o una columna de la matriz cuadrada A son todos ceros, entonces |A| = 0 Entonces Entonces 8. Si dos filas o dos columnas de la matriz cuadrada A son respectivamente proporcionales, entonces |A| = 0. Entonces La primera columna es proporcional con la tercera columna. Entonces La segunda fila es proporcional con la tercera fila.

9. Si es una matriz triangular superior, triangular inferior, diagonal, escalar o identidad, entonces Entonces Entonces 10. 2f1 + f2Si es la matriz que se obtiene al sumar un mltiplo de una de las filas de a otra, entonces Entonces 11. Si es la matriz que se obtiene al intercambiar dos filas o dos columnas de , entonces 12. Si a todos los elementos de una fila o una columna de la matriz cuadrada A se multiplica por una constante k entonces el |A| queda multiplicado por k13. Si entonces es una matriz singular.14. Si entonces es una matriz no singular.

MATRIZ DE COFACTORESS A es una matriz cuadrada de orden el cofactor del elemento se denota por y se define como: Donde es el determinante que resulta de eliminar la fila con la columna de la matriz Ejemplo: Si El cofactor de es: El cofactor de es: El cofactor de es: El cofactor de es: El cofactor de es: El cofactor de es: El cofactor de es: El cofactor de es: El cofactor de es: Luego:

MATRIZ ADJUNTASi es una matriz cuadrada de orden , se define la matriz adjunta de y se denota por a la transpuesta de la matriz de cofactores de la matriz A. Es decir:

Del ejemplo anterior: MATRIZ INVERSASea una matriz cuadrada no singular, entonces la matriz inversa de existe y se denota por

INVERSA DE UMA MATRIZ DE ORDEN Dada la matriz no singular, entonces la matriz inversa de esta dado por: Donde (matriz identidad)Ejemplo: Dada la matriz Encontrar la matriz inversa de El determinante de A es: Entonces:

INVERSA DE UMA MATRIZ DE ORDEN Dada la matriz no singular, entonces la matriz inversa de esta dado por:

Donde: (matriz identidad)Ejemplo: Dada la matriz Encontrar la matriz inversa de El determinante de A es: Entonces:

El elemento de la matriz inversa de A es La traza de la matriz inversa de A es: PROPIEDADES1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

EJERCICIOS

CEPRU UNSAAC ALGEBRA CEPRU UNSAAC ALGEBRA

65CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIO

84CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIO

85CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIO1. Calcular .

Rpta.: 16.

2. Sean: y ; si e , son dos matrices de orden dos por dos, tal que: , entonces , es:Rpta.: .

3. Hallar la traza del producto matricial:

Rpta.: 235.

4. Dadas las matrices: y , calcular: Rpta.: .

5. Calcular la traza de (), si , es solucin de la ecuacin matricial: , donde:, Rpta.: .

6. Nos dan el polinomio , y la matriz ; calcular la suma de los elementos de: .Rpta.: 0.

7. Se tiene la matriz , tal que ; donde matriz simtrica, matriz antisimtrica, luego el valor de: , es:Rpta.: .

8. Si ; , hallar la suma de los elementos de la tercera fila de la matriz .Rpta.: 26.9. Sean las matrices y , tales que; , encuentre: , si se cumple que .Rpta.: 43.

10. Dada la matriz , definido por: , mostrar su forma desarrollada, para luego calcular la suma de sus elementos.Rpta.: 3.

11. Dadas las matrices , , hallar la suma de los elementos de la matriz , en:

Rpta.: 7

12. Hallar el valor del polinomio de la matriz , Si .Rpta.: .

13. Si , hallar la traza de la matriz D, donde .Rpta.: 3.

14. Si , y , hallar la traza de la matriz D, donde .Rpta.: 7.

15. Dadas las matrices , , y . Hallar .Rpta.: .

16. Si y , dos matrices, si la traza de la matriz es , el valor de es:Rpta.: 4.

17. Sea la matriz ; tal que, Det, luego: es: Rpta.: .

18. Calcular el determinante de la matriz.; Rpta.: .

19. El determinante de: , es.

Rpta.: .

20. Hallar los valores de x, para los cuales la matriz: ; es singular:Rpta.: .

21. Calcular el determinante de , si ; Siendo .Rpta.: .

22. Sean y nmeros enteros positivos pares, con estos nmeros se forma la matriz: , si Det. Hallar el determinante de la matriz .Rpta.: .

23. El determinante de. Rpta.: 2.5.

24. Hallar el valor de , si el determinante de la matriz: , es 9.Rpta.: 1.

25. Hallar el valor de: Rpta.: .

26. Calcular: Rpta.: .

27. El determinante de , en la matriz:

Rpta.: 116.

28. Calcular la matriz inversa de: .Rpta.: .

29. Si la matriz: , es simtrica, calcular la traza de .Rpta.: .

30. Determinar , si: Rpta.: 12.

31. Si , es una matriz triangular inferior: , calcular: .Rpta.. 16.

32. Hallar el valor de , en la matriz escalar:

Rpta.: 9.

33. La traza de la matriz diagonal:, es:Rpta.: 19.

34. Dada la matriz triangular superior: , hallar .Rpta.: 24.

35. Hallar el cofactor de: .Rpta.: .

36. Dada la matriz: , es idempotente; calcular: .Rpta.: .

37. Dada la matriz simtrica:

. Determinar traza de .Rpta.: 51.

38. Calcular ; sabiendo que la matriz:

; es simtrica.Rpta.: 10.

39.

Sea ; donde . Determinar el valor de .Rpta.: 11.

40.

Si ; es una matriz triangular superior. Hallar .Rpta.: 80.

41. Halle el valor de k sabiendo que:

; es singular.

Rpta.:

42. Calcular:

Rpta.: 2935.

43. Resolver la ecuacin:

.

Rpta.:

44. Dada la matriz:

. Calcular traza de .Rpta.: no existe.

45. Dada las ecuaciones matriciales:

; . Hallar traza de .

Rpta.:

46.

Si . Hallar .Rpta.: .

47. Si

y

La traza de , es:

Rpta:

48.

Si y son matrices involutas y , la traza de la matriz Rpta: 4

49.

Determine , de modo que Rpta: 8

50.

Hallar el valor de en la matriz simtrica Rpta: 5/4

51.

Si , el valor del determinante de la matriz , es:Rpta: 0

52. El valor de x, en

, es:

Rpta:

53. La traza de la matriz inversa de , es:Rpta:20

54. La suma de los elementos de la tercera columna de la matriz inversa de , es:Rpta:2

55.

Hallar el valor de si el determinante de la matriz , es 16.Rpta:4

56. La traza de la matriz adjunta de , es:Rpta:1

57.

Dada la ecuacin matricial donde y . El mayor de sus elementos de , es:Rpta:11

58.

Sean las matrices , y . Si , hallar la suma de los elementos de .Rpta:13

59.

Halle el valor de , si las matrices y son iguales.Rpta:30

60.

Halle los valores de para que la matriz tenga inversa.

Rpta:

61.

Sean las matrices y tal que . Calcular el valor de y .

Rpta: 4,

62.

Dadas las matrice y que cumplen

Halle Rpta:0

63.

Dada la matriz tal que su forma desarrollada, es:

Rpta:

64. La traza de la matriz diagonal , es:

Rpta:

65. El producto de los elementos de la diagonal principal de la matriz simtrica , es:

Rpta:

66.

Dada la matriz tal que su transpuesta es:

Rpta:

67.

Dada la matriz , la traza de la matriz , es:

Rpta:

68.

Dadas las matrices , . La matriz , es:

Rpta:

69.

Sea una matriz cuadrada tal que ; luego el valor de , es

Rpta: 70.

Dada la ecuacin matricial . Calcular la suma de elementos de la matriz , si

Rpta:

71. La traza de la matriz inversa de:

, es:Rpta: 11/4 72. Halla la matriz en la ecuacin

siendo:

Rpta:

73. Determinar Traz(A2n) donde

.

Rpta: Traz(A2n)=2m2n

74.

Si ;

Hallar , si

Rpta:

75. Dada la matriz:

. La suma de los elementos de la diagonal principal de la matriz inversa de A, es:Rpta: 2

76. Dada la matriz antisimtrica:

,

el valor de , es:Rpta: 3 77. Dada las siguientes proposiciones, determinar su valor de verdad:

IUna matriz cuadrada es simtrica si y solo si

IISi A es una matriz simtrica, entonces rA es tambin una matriz simtrica IIISi A y B son matrices multiplicables que cumple: Si AxB = 0, entonces no implica que A=0 B=0.IVLa transpuesta de una matriz triangular superior, es una matriz triangular inferior.VSi A es una matriz antisimtrica, entonces el valor de su traza es cero.Rpta: FFVVV

78. Si la matriz: no es inversible, hallar la suma de los valores de m. Rpta. 4

79. Dada las matrices:

; Si la traza de la matriz AB es 76, entonces el valor de a, es:Rpta. 3

80. Dada las matrices:

; Indique la suma de los elementos de la matriz C-D, siendo C=M.N yD=Nt. MtRpta. 0

81. Dada la matriz:

Hallar el producto de c13 y c23 de la matriz de cofactores.Rpta. -18

82. Dada la matriz: . Calcular: Traz(A)+Traz(A-1)

Rpta. 47/683. Resolver la ecuacin:

Rpta. 84. Calcular el valor de k para que el determinante de la matriz A sea igual a 9, donde la matriz A, es:

Rpta. K=785. Dada las matrices:

El valor de: , es: Rpta. M=60

86. Dada las matrices:

.Determinar la traza de la matriz X, si la matriz X satisface la ecuacin matricial: CX+ABt = BBtRpta. -18

87. Si , hallar el valor de:

, sabiendo que:

Rpta. -2

88. Hallar los valores de x para que la matriz:

Tenga inversa.

Rpta.