algebra

UNIVERSIDAD PEDRO RUIZ GALLO

FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS

ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMATICAS

ALGEBRA

presentado por:

Lic. Mat. Walter Arriaga Delgado

LAMBAYEQUE PERU

2014

Dedicatoria

Para mis padres, Martha y Elas; pa-

ra mi adorable esposa, Flor Angela

y para los mas grandes tesoros de mi

vida, mis hijas Alessandra Anghely

y Stefany Grace.

PREFACIO

VISION GENERAL

Una de las situaciones mas dificiles a que se ve enfrentado comunmente un investigador en ma-

tematica es la de tratar de explicar su labor profesional.

La respuesta a esta interrogante a lo largo de la historia de la humanidad han sido de la mas

variable ndole: hay quienes plantean que cultivan esta ciencia por satisfaccion personal, sin buscar

sus aplicaciones inmediatas; otros aseguran que, siendo la busqueda de conocimiento consustancial a

la naturaleza humana y siendo la matematica lenguaje universal, esta debe cultivarse como contribu-

cion al acervo cultural de la humanidad, para permitir a los diversos pueblos comprender su propia

y particular realidad. Tambien se estima necesario que todos los pases, especialmente aquellos en

desarrollo, cultiven las disciplinas basicas para as poder lograr independizarse cientfica, tecnologica

y economicamente.

Concordando en mayor o menor medida con estos planteamientos, se puede constatar que pese a

ser la matematica la mas comun de las ciencias, en el sentido de que esta presente y es utilizada por

todos en la vida cotidiana, ciertamente no es la ciencia con mayor grado de popularidad; mucha gente

tiene sentimientos de aprension, disgusto e incluso miedo a la matematica.

Aun considerando estas dificultades, creemos que no ha sido suficientemente difundido el muy

relevante papel que juega nuestra disciplina en la formacion integral de cada ciudadano; de manera

privilegiada, la matematica aporta a esta formacion capacitando a las personas para tomar decisiones en

la vida, para enfrentar situaciones nuevas, para poder crear y expresar ideas originales; esto se logra por

ejemplo a traves de desarrollar la capacidad de abstraccion, de ensenar a relacionar objetos o situaciones

diversas, de desarrollar la intuicion; en fin, la matematica ayuda a desarrollar una mentalidad crtica

y creativa.

Es entonces muy preocupante que sea la mas desconocida de las ciencias para el ciudadano medio;

es lo que nos atrevemos a llamar el analfabetismo matematico, o, mas generalmente, el analfabetismo

cientfico.

El libro que se encuentra en estos momentos en sus manos pretende presentarle una introduccion,

a nivel elemental y basico, de una parte de las matematicas sumamente util y aplicable a casi todas

las ramas del saber El Algebra.

De la experiencia de dictar cursos, ponencias y diplomados sobre Algebra es que surgieron apuntes

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4 Algebra Walter Arriaga Delgado

de clase que, despues de sucesivas revisiones y ampliaciones, fueron transformandose hasta optar la

forma que ahora presentamos, con la intencion de que sirva como texto gua que inicie al alumno en

esta fascinante rama de las matematicas.

Objetivo

El objetivo de este libro es presentar los temas de manera clara y comprensible para los estudiantes

de cualquier nivel, de forma que los motive a preguntar porque y transmitirles el entusiasmo y gusto

por el estudio de las matematicas y a la vez proporcionar al lector una herramienta de consulta, dando

la informacion basica para la resolucion de estas, as como reforzar la comprension de los temas y

conceptos por medio de una amplia gama de ejercicios resueltos y propuestos. El texto se ha disenado

para brindarle una comprension solida e intuitiva de los conceptos basicos, sin sacrificar la precision

matematica.

Aplicaciones

Una de mis metas fue convencer a los estudiantes de la importancia del Algebra en sus campos de

estudio. As, este libro pretende implementar el estudio de las aplicaciones del Algebra a la Geometra,

Fsica, Qumica, Biologa, Economa, etc.

CARACTERISTICAS

Caractersticas pedagogicas

En base a nuestra experiencia docente y en consejos de muchos colegas, se a includo varios aspectos

pedagogicos para ayudar a los estudiantes a aprender y a ampliar su perspectiva acerca del Algebra.

Problemas resueltos y propuestos

Aqu destacamos la importancia crtica de adquirir destreza en la resolucion de problemas. En los

ejemplos resueltos ensenamos a los estudiantes a pensar sobre los problemas antes de que empiecen a

resolverlos.

Los estudiantes aprenden matematicas viendo ejemplos completos y claros. Estos varan desde

muy simples a muy difciles y compete al docente escoger aquellos mas adecuados para sus alumnos y

proponer otros.

El libro contiene problemas resueltos y propuestos para que el estudiante ponga a prueba su aptitud.

El autor

Captulo 1:

DEFINICIONES BASICAS

1.1. Definicion de ALGEBRA

Es una parte de la Matematica que estudia a las cantidades en su forma mas general posible,

empleando numeros y letras. Tiene por objeto simplificar, generalizar y resolver lo referente a

cantidades desconocidas, utilizando ecuaciones y operaciones adecuadas para llegar a un resul-

tado

1.2. Esquema del desarrollo historico de la Matematica

Siglos L A. C.

Pueblos Primitivos: Medir y contar fueron las primeras actividades matematicas del hombre primitivo. El

trueque la forma de comercio rudimentario que utilizaron. Haciendo marcas en los troncos de los arboles

lograban la medicion del tiempo y el conteo de animales que posean. Aparece el concepto de numero,

origen de la Aritmetica.

Siglos LI - VI A.C - (anos 5000 - 500)

Babilonios: Los pueblos mesopotamicos representaban los numeros con marcas en forma de cuna deacuerdo con su tipo de escritura. Tablillas cuneiformes descifradas hace poco tiempo, documentan

la contribucion de estos pueblos a la ciencia matematica. Representaban los numeros con marcas:

una marca para el 1; dos marcas para el 2 y as hasta el 9.

Asirios y Caldeos: Figuran en estos documentos, conocimientos del Teorema de Pitagoras; operacio-nes algebraicas con ecuaciones de segundo grado; tablas de potencias de segundo y tercer grado; uso

de las fracciones, (usaban como unico denominador el 60). Todo ello requiere un gran dominio de la

matematica elemental. No supone esto una concepcion abstracta de la ciencia. Para hacer multipli-

caciones utilizaban tablas de cuadrados y la regla siguiente: el producto de dos numeros es igual al

cuadrado de su promedio, menos el cuadrado de su semidiferencia. Los conocimientos geometricos

de los Babilonios no forman un sistema; son conocimientos aislados. Dividieron el crculo en 360

partes iguales, fundamento del sistema sexagesimal que usaron. La rueda, aplicacion del crculo, es

creacion de estos pueblos. Saban dividir la circunferencia en 6 partes iguales por lo que se supone

que conocieron el triangulo equilatero.

Egipto: Encontramos los primeros vestigios del desarrollo de una ciencia matematica. Sus exigenciasvitales, sujetas a las periodicas inundaciones del Nilo, los llevaron a perfeccionar la ARITMETICA

y la GEOMETRIA.

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1650 A.C.

Escriba Ahmes (hijo de la luna): Copia de una obra anterior un valioso documento matematico, uno de los

mas antiguos que se conocen con el nombre de papiro de Rhind, por ser este su descubridor; el documento

se encuentra en el Museo Britanico. En el se detallan unos 80 problemas con sus soluciones, entre las

cuales estan las ecuaciones de segundo grado.

Siglos VII-VI A.C (Anos 640-535)

Thales de Mileto - griego: Nacido en la ciudad de Mileto. El primero y mas famoso de los 7 sabios de

Grecia, primer filosofo jonico, primer geometra, Padre de las matematicas griegas. Recorrio Egipto

donde realizo estudios poniendose en contacto con los misterios de la religion egipcia. Se le atribuye el

haber predicho el eclipse de sol en el ano 585, y el haber realizado la medicion de las piramides mediante

las sombras que proyectan. Fue el primero en dar una explicacion de los eclipses. En geometra el Teorema

de Thales es universalmente conocido.

S. VII A.C

India: El Sulva Sutra, documento de reglas relativas a la ciencia en el que se enuncian notables soluciones

a problemas geometricos relacionados con la construccion de templos y altares. De estos documentos se

conservan tres versiones; una de ellas lleva el nombre de Apastamba. En esta version encontramos la

proposicion geometrica que indica que el cuadrado construido sobre la diagonal de un rectangulo es igual

a la suma de los cuadrados construidos sobre dos lados adyacentes. Aparecen tambien reglas para construir

un cuadrado equivalente a un rectangulo dado; o construir un cuadrado igual a la suma de otros dos. Saban

que el cuadrado construido sobre la diagonal de otro es igual al doble de este. Conocan el Teorema de

Pitagoras no solo para el caso 3-4-5, sino en general (15-36-39;12-16-20; 5-12-13; 8-15-17; 15-20-25; 12-35-

37). Saban calcular con muy alta precision aun cuando no usaban el mecanismo actual. Sin embargo la

contribucion mayor de los hindues a la matematica la encontramos en el sistema de numeracion decimal

posicional.

Siglo VI A.C (Anos 585 -500).

Pitagoras - griego: Celebre filosofo nacido en Samoa y muerto en Metaponte. Realizo sus primeros estudios

en su ciudad natal; viajo por Egipto y otros pases de Oriente. Fundo la Escuela de Crotona que era una

sociedad secreta de tipo poltico religiosa la orden de los Pitagoricos. Hizo del numero el principio

universal por excelencia. En geometra es famoso su teorema, que relaciona los lados de un triangulo

rectangulo.

Siglos V - IV A.C, (Anos 408 -335)

Eudoxio - griego: Oriundo de Cnido, estudio con Platon. Matematico y astronomo, viajo por Egipto, Sicilia

e Italia. La Teora de las proporciones procura poner claridad en los problemas del infinito matematico,

Es de su autora el metodo de exhaucion para la demostracion de ciertas propiedades.

Anos 427 - 347 A.C.

Platon - griego: Uno de los mas grandes filosofos de la antiguedad, alumno predilecto de Socrates, dio a

conocer las doctrinas del maestro y las suyas propias en los famosos Dialogos. Viajo por el mundo griego y

recibio la influencia de sabios y matematicos. Fundo la Academia en cuyo frontispicio hizo escribir Nadie

entre aqu si no sabe Geometra. Se discuten aqu los fundamentos y los metodos matematicos.

Anos 450 - A.C.. . .

Hipocrates de Quo - griego: Aprendio geometra en Atenas. Su obra mas importante se relaciona con dos

problemas famosos de la antiguedad: la cuadratura del crculo y duplicacion del cubo. Se le atribuye la

introduccion del metodo de razonamiento matematico por reduccion al absurdo.

Siglos IV - III A.C. (Anos 365 -275)

Euclides - griego: Autor de Los Elementos tratado cientfico que se mantuvo incolume hasta el siglo

XIX. Ocupo la catedra de Matematica en El Museo, centro docente creado por Ptolomeo I (General de

Alejandro Magno). Establecio un metodo riguroso para la demostracion geometrica. En su GEOMETRIA

Walter Arriaga Delgado Algebra 7

el postulado fundamental sostiene: Por un punto exterior a una recta solo puede trazarse una paralela a

la misma y solo una.

Siglo III A.C (Anos 287 -212)

Arqumedes - griego: Nacido en Siracusa (Sicilia). Se le considera el sabio mas grande de la antiguedad.

Murio asesinado por una soldado romano. Entre sus trabajos cientficos encontramos respuesta a: volumen

de la esfera; determinacion del valor de pi; sobre los conoides y esferoides; sobre las espirales; sobre la

cuadratura de la parabola. Fue autor de innumerables inventos mecanicos: el tornillo sin fin; la rueda

dentada; el espejo parabolico; etc. Fundo la Hidrostatica al descubrir el principio que lleva su nombre.

Anos 280 - 192 A.C.

Eratostenes - griego: Sabio Alejandrino nacido en Cirene, se ocupo de matematica, geografa y filologa.

Bibliotecario de Alejandra, determino cientficamente la longitud del meridiano terrestre. Se le debe el

metodo matematico para hallar numeros primos, llamado Criba de Eratostenes.

Anos 250 - ...

Apolonio de Pergamo - griego: Pertenecio a la Escuela de Alejandra y enseno en Pergamo. De su obra

se conserva un unico tratado: las Conicas, en ocho libros, uno de los cuales se perdio. Apolonio estudia

las propiedades de estas curvas. Con Apolonio termina la llamada Epoca de oro de la matematica griega.

Siglo II D.C (Anos 100 - 178)

Claudio Ptolomeo - egipcio: Nacido en Ptolemais (Egipto), vivio en Alejandra. Astronomo, ma-tematico, fsico y geografo. Su Sintaxis Matematica (Almagesto) sintetiza y ordena los conocimiento

astronomicos de los griegos, se utilizo en las Universidades hasta el Siglo XVIII. Su sistema geocentri-

co domino la astronoma durante 14 siglos, hasta la aparicion de Copernico.

Heron de Alejandra - griego: Matematico, fsico e inventor. Se le atribuye la invencion de grannumero de aparatos mecanicos muy ingeniosos. Entre sus obras podemos mencionar: Geometra;

Metrica; Dioptra; Neumatica, etc. En trigonometra la formula de Heron permite calcular el area de

un triangulo en funcion de sus lados.

Siglo IV - V, D.C. (Anos 325 - 409)

Diofanto - griego: Matematico de Alejandra. Autor de una Aritmetica en 13 libros de los cuales se

conservan 6, coleccion de problemas con soluciones simbolicas que podran calificarse de algebraicas. Es

el primero en enunciar una teora clara sobre las ecuaciones de primer grado. Ofrecio ademas la formula

para la solucion de la ecuacion de 2o grado. Ejercio considerable influencia sobre Vie`te.

(Anos 370 - 415)

Hypatia - griega: Excepcional mujer, hija del filosofo y matematico Teon. Nacio en Alejandra, estudio en

Atenas. En Alejandra fundo una Escuela donde enseno las doctrinas de Platon y Aristoteles. Uno de

los ultimos matematicos griegos, se distingue por los comentarios realizados a las obras de Apolonio y

Diofanto. Murio asesinada barbaramente.

Siglo V. (Anos 499 - ...)

Aryabhatta - hindu: Su obra mas conocida es el Aryabhatiya escrita en verso sobre temas de astronoma

y matematica. En la seccion destinada a la ganitapada o matematica se dan los nombres de las potencias

de diez hasta el decimo lugar; se formula un conjunto de instrucciones para calcular races cuadradas y

cubicas de numeros enteros y se dan reglas para el calculo de areas. Descubre para el calculo de la longitud

de la circunferencia el numero 3.1416 que hoy llamamos pi. Trata tambien las progresiones aritmeticas y

da problemas sobre interes compuesto. El mayor avance presentado es el sistema de numeracion posicional

decimal. En trigonometra se introduce un concepto equivalente a la funcion seno de un angulo; se dan

as los senos de angulos menores o iguales a 90o para 24 intervalos angulares iguales a tres trescuartos de

grado cada uno. Debemos tener en cuenta sin embargo que los matematicos hindues no daban nunca las

explicaciones de sus calculos ni las demostraciones de sus reglas.


Siglos VI - VII (Anos 588 - 660)

Brahmagupta - hindu: Astronomo y matematico, alumno de Aryabhatta, autor del Brahmasphuta-

siddhanta; en dos captulos de esta obra, encontramos: soluciones generales para ecuaciones cuadraticas;

una solucion general de la ecuacion lineal diofantica; una solucion para la ecuacion indeterminada de

segundo grado llamada de Pell. En geometra establecio varios teoremas sobre superficie de figuras planas.

Se le atribuye conocimiento de las reglas algebraicas para operar con numeros negativos y la regla de los

signos para la multiplicacion.

Siglos IX - X (Anos 850 - ...)

Al-Khuwarizmi - arabe: Nacido en Khuwarismi, Matematico y astronomo es uno de los mas grandes sabios

del Islam. Vivio en Bagdad, trabajo en la Biblioteca del califa Al-Mamun. En su obra encontramos la

notacion posicional de los hindues y el uso de un smbolo para el cero. El termino algoritmo, deriva de su

nombre. La voz ALGEBRA se halla en el ttulo de una de sus obras. Da solucion numerica e ilustracion

geometrica de ciertas ecuaciones de segundo grado. La funcion seno de la trigonometra, creada por

los matematicos hindues, fue utilizada por primera vez en sus tablas astronomicas. Escribio tambien

Aritmetica.

Anos 858 - 929

Al -Battani - arabe: Nacido en Battan (Iran). Astronomo y Matematico, realizo importantes estudios

astronomicos. Rectifico las Tablas de Tolomeo. En matematica, su contribucion fue el Teorema del coseno

para triangulos esfericos.

Siglo XI - XII (Anos 1029 - 1087)

Arzaquel o Al-Zargali- espanol: Astronomo y matematico, nacido en Cordoba (Espana) confecciono las

famosas Tablas Toledanas de observaciones y calculos astronomicos, fundamento de las Tablas Alfon-

sinas.

Anos 1045 - 1130

Omar Khayyam - persa: Poeta, matematico y astronomo Como matematico hizo una clasificacion de las

ecuaciones algebraicas de primero, segundo y tercer grado y dio una solucion geometrica de las ecuaciones

cubicas, aplicando secciones conicas.

Anos 1140 - ...

Bhaskara - hindu: Vivio en la ciudad de Ujanin. Astronomo y matematico dirigio un observatorio as-

tronomico. Compuso en verso su obra Siddhanta shiromani, que trata principalmente de astronoma,

pero dos de sus captulos se dedican a matematica: el VijaGanita, y el Lilavati. Ellos contienen numeroso

problemas sobre ecuaciones lineales y cuadraticas; medidas de areas; progresiones aritmeticas y geometri-

cas; races; ternas pitagoricas y otros.

Siglos XII -XIII (Anos 1175-1250)

Fibonacci o Leonardo de Pisa - italiano: No era un erudito, pero por sus continuos viajes en Europa y el

Cercano Oriente, obtuvo informacion muy importante sobre diversas cuestiones matematicas. Introdujo

en el mundo occidental, la numeracion india y arabiga. En su libro Liber Abacci(1202) explica los

procedimientos para hacer calculos mercantiles. Es famosa la sucesion de Fibonacci.

Anos 1235 - 1315

Raimundo Lulio - espanol: Nacido en Palma de Mallorca, llamado el Doctor Iluminado, por su dedicacion

a la propagacion de la fe. Su Arte Magna enuncia procedimientos para demostrar automaticamente

cualquier verdad, es una especie de matematica universal Fue martirizado y murio en 1315, la iglesia lo

beatifico.

Siglo XIV - XV

Es el fin de la Edad Media, en Occidente se produce una lenta transformacion ideologica que se extiende

por varias generaciones. El individuo aspira a la libertad de pensamiento, de opinion y de creencia. El


proceso de transformacion se ve acelerado por la aparicion de la imprenta (1400-1468). Se traducen y se

imprimen numerosas obras de sabios griegos y la matematica comienza a separarse de la filosofa.

Siglos XV - XVI (Anos 1445 - 1514)

Luca Pacioli - italiano: Nacido en Toscana. Matematico escribio un tratado que resuma todos los cono-

cimientos de su epoca en esta especialidad Summa de arithmetica, geometrica, proportioni et proportio-

nalita. En ella se encuentra un avance respecto al simbolismo algebraico y a la matematica comercial.

Anos 1499 - 1557

Nicolas de Tartaglia - italiano: Nacido en Brescia, fue uno de los mas destacados matematicos de su epoca.

Hallo un metodo para solucionar las ecuaciones de tercer grado, y sostuvo una polemica con Cardano sobre

quien fue el primero en descubrir dicha solucion.

Anos 1501 - 1576

Girolamo Cardano - italiano: Matematico, medico y astronomo nacido en Pavia. Publico en su Arte

Magna (1545) la formula que Tartaglia descubriera para la solucion de las ecuaciones cubicas, y que se la

comunico bajo la promesa de no darla a conocer. En dicha obra se incluye tambien la solucion de Ferrari

a las ecuaciones de cuarto grado. Analizo las relaciones entre coeficientes y races de una ecuacion.

Anos 1580

Bombelli, Raffaele - italiano: Matematico nacido en Bolonia, algebrista famoso del siglo XVI. Su Tratado

de Algebra (1572) incorpora por primera vez la idea de los numeros complejos y da algunas reglas para

operar con ellos. Con este descubrimiento resuelve el caso irreducible de la ecuacion de tercer grado. Otro

aporte fue el estudio completo de las ecuaciones cuarticas, con un metodo general para su resolucion.

Siglos XVI - XVII (Anos 1540 -1603)

Francois Vie`te - frances: Nacido en Fontenay-le-Comte, poltico y militar que tena como pasatiempo

favorito las matematicas, puede considerarsele como el fundador del ALGEBRA moderna al introducir

la notacion algebraica. Dio formulas para la solucion de las ecuaciones de 6o grado; resolvio ecuaciones

numericas de hasta 45o completo el desarrollo de la Trigonometra de Ptolomeo; calculo pi con 9 decimales.

Anos 1550-1617

John Neper - escoces: Baron de Merchiston (nacio y murio en ese castillo, cerca de Edimburgo), dedicado

en sus ratos de ocio al cultivo de los numeros. Descubrio el principio que rige a los logaritmos y publico la

primer tabla en 1614. Tuvo una discusion con Burgi sobre quien haba sido el primero en trabajar con

logaritmos. Fue amigo de Henry Briggs, profesor del Gresham College de Londres, que trabajo con los

logaritmos en base 10 y publico su primer tabla en 1624. En matematica se conocen como analogas de

Neper las proporciones que se pueden establecer entre los elementos de un triangulo esferico cualquiera;

la regla de Neper en trigonometra, permite resolver los casos de triangulos esfericos rectagulos.

Anos 1596 - 1650

Renato Descartes - frances: Filosofo y matematico, nacio en Normanda, fue soldado y recorrio Hungra,

Suecia e Italia. La reina Cristina de Suecia lo invita a su corte, para que le de clases de matematica. Se lo

considera el primer filosofo de la edad moderna y sistematiza el metodo cientfico. Es el primero en aplicar

rigurosamente el algebra a la geometra, creando as la GEOMETRIA ANALITICA. Murio en Suecia.

Ideo el sistema de coordenadas llamado cartesiano.

Anos 1593-1662

Gerard Desargues - frances: Arquitecto e Ingeniero militar Los conceptos e ideas expuestos en su tratado

sobre las conicas Brouillon-Proyect, forman parte de la Geometra Proyectiva. Conocido es el Teorema

de Desargues.

Anos 1598-1647

Cavalieri Bonaventura - italiano: Nacio en Milan, fue jesuita y matematico, enseno en Bolonia. Se lo

considera precursor del calculo infinitesimal. Su obra Geometra de los indivisibles aparece en 1635.


Anos 1601 - 1665

Pierre Fermat - frances: Nacio en Beaumont-de-Lomage y murio en Castres. Matematico que estudio a los

matematicos griegos. Hizo aportes muy importantes a la teora de los numeros, al algebra, al analisis y a

la geometra analtica. Fundo la moderna teora de los numeros, o ARITMETICA SUPERIOR. Expuso

teoremas fundamentales del calculo de probabilidades. Se conoce como ultimo teorema de Fermat el

que sostiene que: con numeros naturales, no es posible hallar 4 numeros tales que xn + yn = zn, cuya

demostracion aun no a sido hallada.

Anos 1623 - 1662

Blas Pascal - frances: Nacido en Clermont-Ferrand, matematico, fsico y teologo, De naturaleza enfermi-

za, a los 12 anos - segun la hermana - haba demostrado las 32 proposiciones de Euclides; siendo aun

nino, escribio el Ensayo sobre las conicas; a los 16 anos inventa la maquina aritmetica que construye

en 1643; simplifico la geometra Proyectiva; dio junto con Fermat los primeros teoremas del calculo de

Probabilidades. Son conocidas las siguientes cuestiones: caracol de Pascal; recta de Pascal; triangulo de

Pascal.

Anos 1630 - 1677

Isaac Barrow - ingles: Matematico y Teologo fue maestro de Newton sobre el que influyo notablemente.

Ideo el llamado triangulo diferencial o triangulo caracterstico para la determinacion de las tangentes a

las curvas planas, que inspiro el concepto de derivada de Newton.

Anos 1654 - 1705)

Jacques Bernoulli I - suizo: Enseno matematica en Basilea, fundo el moderno calculo de variaciones.

Estudio la curva elastica, la catenaria, y la espiral logartmica. Invento el calculo exponencial y escribio uno

de los primeros tratados sobre el calculo de probabilidades: Ars conjectandi.

Anos 1661 - 1704

LHopital, Guillaume Francois Antoine - frances: Matematico, discpulo de Juan Bernoulli y autor de la

primera obra sistematica sobre Analisis infinitesimal. El Teorema de LHopital, permite calcular el lmite

de ciertos tipos de expresiones indeterminadas.

Siglos XVII - XVIII (Anos 1642 - 1727)

Isaac Newton - ingles: El mas grande de los matematicos ingleses. Su libro Principia Mathemathicabasta

para asegurarle un lugar sobresaliente en la Historia de las matematicas. Descubrio simultaneamente con

Leibnitz el Calculo diferencial y el Calculo integral. En Algebra le debemos el desarrollo del binomio que

lleva su nombre. Segun Leibnitz Si se considera la matematica creada desde el principio del mundo hasta

la epoca en que Newton vivio. Lo que el realizo fue la mejor mitad.

Anos 1646 - 1716

Leibnitz, Gottfried Wilhelm - aleman: Nacido en Leipzig. Filosofo. Jurisconsulto y matematico la mente

mas universal de su epoca, domino toda la ciencia. Viajo por Francia, Inglaterra y Holanda; en Hannover

fue Bibliotecario y consejero del duque de Brunswick. Descubrio simultaneamente con Newton el Calculo

diferencial y el Calculo integral, desarrollo el Analisis combinatorio, invento las coordenadas polares y el

sistema binario de numeracion. Murio en Hannover.

Anos 1667 - 1748

Jean Bernouli I - suizo: Hermano y discpulo de Jacques. Enseno en Groningen (Holanda) y sucedio a su

hermano mayor en la catedra de Basilea. Contribuyo grandemente a la difusion del calculo infinitesimal.

Fue el maestro de Euler. Es conocida la ecuacion diferencial de primer orden llamada de Bernouli.

Anos 1685 - 1731

Taylor, Brook - ingles: Matematico y cientfico, cultivo la Fisica, la Musica y la Pintura. Fue discpulo de

Newton, y se dio a conocer en 1708 al presentar en la Royal Society un trabajo acerca de los centros de

oscilacion. Su obra fundamental Metodos de los incrementos directos e inversos contiene los principios


basicos del calculo de las diferencias finitas. En el Algebra Elemental conocemos el Teorema de Taylor,

cuya consecuencia es el Teorema de Mac Laurin.

Siglo XVIII (Anos 1707 - 1783)

Euler Leonard - suizo: Nacido en Basilea, fue alumno de Juan Bernouli. Matematico excelente, durante

12 anos gano el premio anual que ofreca la Academia de Pars sobre diversos temas cientficos. Federico

El Grande lo llamo a Berln Catalina de Rusia lo llevo a San Petersburgo donde trabajo incesantemente.

Sistematizo el calculo infinitesimal unificando las escuelas de Newton y de Leibniz. Son conocidas: la

formula de Euler (eix = cosx + i senx), que para x = pi resulta: eipi + 1 = 0; funciones de Euler son las

funciones a y a que se utilizan en analisis matematico; se llama relacion de Euler la que vincula las caras,

aristas y vertices de un poliedro cualquiera. Los ultimos 17 anos de su vida estuvo totalmente ciego.

Anos 1704 - 1752

Cramer, Gabriel - suizo: Matematico, autor de un trabajo en que explica las causas de la inclinacion de las

orbitas de los planetas. Es autor ademas de la regla que lleva su nombre, para la solucion de un sistema

de ecuaciones lineales.

Anos 1717 - 1783

DAlembert, Jean Le Rond - frances: Nacio y murio en Pars. Matematico, fsico y filosofo, hijo ilegtimoabandonado por sus padres en el atrio de la capilla de Saint Jean Le Rond. Estudio matematica por su

cuenta. En 1747 publica una memoria sobre las cuerdas vibrantes, da la ecuacion diferencial que lleva

su nombre y la integra. As funda la teora de las ecuaciones en derivadas parciales. Junto con Diderot

elabora la Enciclopedia en la que trata del calculo diferencial y las conicas. Fue secretario perpetuo de

la Academia Francesa. Puede considerarsele junto con Rousseau, precursor de la Revolucion.

Siglos XVIII - XIX (Anos 1736 - 1813)

Lagrange, Jose Luis - italiano: Nacio en Turin, murio en Paris. Se intereso por la matematica al leer un

elogio del calculo infinitesimal de Halley. Fue nombrado profesor a los 19 anos y organizo la Academia

de Ciencias de Torino; a los 23 anos es miembro de la Academia de Berlin, cuya seccion de Fsica y

Matematica dirigio durante 20 anos. Estudio la teora de las formas cuadraticas y demostro el celebre

Teorema de Bachet de Meziriac (todo entero puede descomponerse en la suma de no mas de cuatro

cuadrados). Investigo las ecuaciones indeterminadas de segundo grado con dos incognitas. Independizo el

calculo de variaciones de la geometra. En su obra maestra Mecanica Analtica, aplica el analisis y el

calculo de variaciones. Su contribucion al Algebra se encuentra en la memoria que escribio en Berln hacia

1767 Sobre la resolucion de las ecuaciones numericas. Fue amigo de Napoleon que lo nombro Senador.

Anos 1746 - 1818

Monge, Gaspar - frances: Nacido en Beaune, fue Ministro de Marina durante la Revolucion . Posteriormente

Napoleon lo enva a Italia, Egipto y Siria. Fue el creador de la Geometra descriptiva. A el se deben varios

teoremas sobre ecuaciones en derivadas parciales y captulos de geometra diferencial. Sus Lecciones de

geometra Descriptiva y Aplicacion del Analisis a la geometra son de 1794.

Anos 1749 - 1827

Laplace, Pierre Simon - frances: Nacio en Beaumont-en-Auge. Matematico, fue profesor en el Colegio

Militar de Pars. Su Teora analtica de la probabilidades (1812) es la primera exposicion sistematica

del Calculo de probabilidades.

Anos 1752 - 1833

Legendre, Adrien Marie - frances: Nacido en Pars. Es un matematico cuyos trabajos mas importante se

relaciona con las integrales elpticas y la teora de numeros, con su ley de reciprocidad cuadratica. Su obra

principal Tratado de las funciones elpticas y las integrales eulerianas. Fue el iniciador de la Teora de

las formas, de las que desarrollo las cuadraticas, binarias y ternarias.

Anos 1768 -1830

Fourier, Jean Baptiste Joseph - frances: Matematico y Fsico teorico nacido en Auxerre y muerto en


Pars; quedo huerfano a los 8 anos de edad. Enseno en la Escuela Normal y en la Politecnica. Acompano a

Napoleon Bonaparte a Egipto y fue Secretario del Instituto del Cairo Su principal obra es Teora analtica

del calor; propone aqu su celebre ecuacion diferencial de propagacion del calor. Ademas contribuye con

el desarrollo de una funcion en serie trigonometrica o Serie de Fourier y propone un metodo matematico

para la solucion de numerosos problemas de vibraciones y ondulaciones.

Anos 1777 -1855

Gauss, Karl Friedrich - aleman: Nacio cerca de Brunswick y murio en Gotinga. Matematico, Fsico y

Astronomo, se lo suele llamar Prncipe de la matematica. Nino prodigio aprendio a contar antes que a

hablar. En su tesis de doctorado (1799) demostro por primera vez el Teorema fundamental del algebra. Dio

unidad y amplitud a la Teora de los numeros. En su obra maestra Disquisiciones Aritmeticas inventa

el concepto de numeros congruentes modulo p; descubrio la ley de reciprocidad cuadratica; sistematizo la

teora de los numeros complejos. En analisis investiga las funciones de variables complejas; descubre

la doble periodicidad de las funciones elpticas. En geometra introduce las coordenadas curvilineas (o

gaussianas). Crea de esta manera la geometra intrnseca. Creo la Geometra diferencial; la teora de las

representaciones conformes y emprendio el estudio de la Topologa; el metodo de los mnimos cuadrados;

la Campana de Gauss o curva normal de errores.

Anos 1781-1848

Bolzano, Bernhard - aleman: Matematico nacido en Praga, fue sacerdote catolico. Es uno de los iniciadores

de la fundamentacion rigurosa del Analisis mediante su aritmetizacion . Formulo el concepto de funcion

continua y sus teoremas fundamentales. Las modernas teoras del infinito hallan tambien en Bolzano un

precursor. Expuso sus originales concepciones en las Paradojas del Infinito.

Anos 1781-1840

Poisson, Simeon Denis - frances: Fsico matematico nacido en Pithiviers. Ingreso en la escuela Politecnica

donde llego a suceder a Cauchy. Fue el primer profesor de Mecanica de la Sorbona. Estudio la celebre

ecuacion diferencial en derivadas parciales que lleva su nombre. Pertenecio a la escuela que introdujo

el rigor en el analisis. En su obra Investigacion sobre la probabilidad de los juicios (1837), expuso la

distribucion que lleva su nombre.

Anos 1789 - 1857

Cauchy, Agustin Louis - frances: Matematico nacido en Pars, formulo rigurosamente el calculo infinite-

simal a partir del concepto de lmite; estudio las funciones de variables compleja. Nos lego la formula de

Cauchy; el principio de convergencia de Cauchy para una sucesion; el problema de Cauchy: el Teorema de

Cauchy, etc. Su vida estuvo sometida a los azares de su tiempo (revoluciones y contra revoluciones) . No

acepto el cargo en la Academia por no tener que jurar ante la Revolucion. Fue profesor de matematica en

Turin. Comenzo la creacion sistematica de la teora de grupos, imprescindibles en la matematica moderna.

Dio su definicion del concepto de funcion.

Anos 1793 - 1856

Lobatchewski Nicolas - ruso: Matematico, estudio en la Universidad de Kazan de la que fue posteriormente

Profesor, Decano de la Facultad de Matematica y Rector. Combate la idea de Kant del espacio y establece

la relatividad de esta nocion. Combate la geometra de Euclides, que se mantena intacta por mas de 22

siglos. Es el creador junto con Bolyai de las GEOMETRIA NO EUCLIDIANAS y pude considerarsele

como el precursor de la Teora de la Relatividad.

Anos 1802 - 1829

Abel, Niels Henrik - noruego: Matematico que vivio durante toda su vida en extrema pobreza. Trato de

abrirse paso entre los matematicos del continente, pero no lo logro. Obtuvo con Jacobi el Gran Premio de

Matematica del Instituto de Francia, por su trabajo sobre funciones elpticas. Fue uno de los mas grandes

algebristas del siglo XIX. Demostro el Teorema General del Binomio. Llevo a cabo la demostracion de la

imposibilidad de resolucion de las ecuaciones de 5o grado. Murio desconocido.


Anos 1802-1860

Bolyai, Janos - hungaro: Matematico que a los 22 anos escribio su Ciencia absoluta del Espacio (1832)

donde expone un sistema geometrico completo que prescinde del postulado de las paralelas de Euclides

Bolyai demuestra as que dicho postulado es independiente de los demas, y que basta reemplazar alguno o

todos los postulados de Euclides para obtener nuevas geometras, todas logicamente verdaderas. De este

modo demostro la inutilidad de los esfuerzos de su padre (Wolfgang - 1775 - 1856) por demostrar dicho

postulado con ayuda de los demas.

Anos 1804 - 1851

Jacobi, Karl Gustav - aleman: Matematico, Profesor en la Universidad de Berln y Koenigsberg, comparte

con Agel el Gran Premio del Instituto de Francia por su trabajo sobre funciones elpticas. Fue el primero

en aplicar estas funciones a la teora de numeros. Su obra sobre ecuaciones diferenciales inicia una nueva

etapa en la Dinamica. Es famosa en este campo la ecuacion de Hamilton-Jacobi. Ideo la forma sencilla de

los determinantes que se estudian hoy en el Algebra.

Anos 1811- 1832

Galois, Evariste - frances: Despues de realizar estudios en un Liceo, ingresa a la Escuela Normal de Pars.

Acusado de peligroso republicano va a parar a la carcel. No fue la unica vez que estuvo en prision. Acabado

de salir muere de un pistoletazo a los 21 anos de edad. A pesar de esta corta vida dejo una estela profunda

en la historia de la matematica. Es el creador de la teora de grupo y autor de la demostracion del Teorema

que lleva su nombre sobre resolucion de las ecuaciones de primer grado.

Anos 1815 -1864

Boole, George - ingles: Nacio en Lincoln (Inglaterra) y murio a los 49 anos en Ballintemple (Irlanda).

Estudio algebra por su cuenta, as como los trabajos de Laplace y Lagrange que llegaron a ser mas tarde

las bases para sus primeros papeles matematicos. Desde los 16 anos se gano la vida con la ensenanza y en

1849 fue nombrado Profesor Universitario en Cork. Publico alrededor de 50 escritos. Recibio la medalla

de la Real Sociedad por su aplicacion de metodos algebraicos para la solucion de ecuaciones diferenciales.

Boole redujo la logica a un algebra simple, elaborando as la llamada Logica Booleana, que tiene una

amplia aplicacion en comunicaciones telefonicas y en el diseno de computadoras. Su obra principal es

Investigacion de las leyes del pensamiento en las que se fundan las teoras matematicas de la logica y de

la probabilidad.

Anos 1815-1897

Weierstrass, Karl Wilhelm Theodor - aleman: Matematico, maestro de escuela y mas tarde Profesor de

la Universidad de Berln. Puede considerarsele como el padre del Analisis moderno. En sus primeras

investigaciones abordo el problema de los numeros irracionales. Luego se dedico el resto de su vida al

estudio de las funciones de variables complejas y de variables reales. Su nombre es inseparable del de su

discpula Sonia Kovalewski, valiosa matematica rusa.

Anos 1826-1866

Riemann, Bernhard - aleman: Matematico nacido en Selasca, discpulo de Gauss. Se inicio en Gotinga co-

mo estudiante de filologa y teologa. Sus contribuciones se relacionan con: a) Teora de numeros; estudio el

problema de la distribucion de los numeros primos. b) Teora de las funciones; Estudio las funciones de

variables complejas; establecio el plano multiple.o superficie de Riemann; estudio las funciones algebrai-

cas, funciones elpticas y funciones abelianas. c) Geometra; Su memoria Sobre las hipotesis que sirven de

fundamento a la geometra establece la diferencia entre espacio infinito e ilimitado que tuvo importancia

en el desarrollo de la Teora de la Relatividad. d) Series trigonometricas; expone su teora de la integracion

en la cual considera funciones acotadas con infinitos puntos de discontinuidad. e) Topologa; sus trabajos

se refieren al genero de las superficies. A los 40 anos fallecio en Italia, donde se haba trasladado buscando

un clima mas favorable para curar su tuberculosis.

Siglos XIX - XX Anos 1842-1913

Weber, Heinrich - aleman: Matematico nacido en Heidelberg. Autor de importantes trabajos sobre teora


de los numeros , analisis matematico y calculo diferencial. Sus obras principales son: Manual de Algebra

y Enciclopedia elemental de Matematica.

Anos 1845-1918

Cantor, George - ruso: Matematico nacido en San Petersburgo, vivio alli hasta 1856 fecha en que su familia

se radica en Alemania. En sus ultimos anos tuvo que ser internado en el manicomio de Halle, donde murio.

Sus primeros trabajos se relacionan con las series trigonometricas y las teoras de los numeros irracionales.

Trabajo en colaboracion con Dedekind. En 1872 demostro que los numeros trascendentes son de un tipo de

infinitud mayor que el de los numeros algebraicos; de aqu deriva su aritmetica transfinita. Posteriormente

elaboro su celebre teora de conjuntos. Entre las consecuencias mas notables de las teoras de Cantor se

encuentra la referente a la existencia de distintos tipos y jerarquas de infinitud. Su influencia se nota en

el Analisis Moderno, en la Topologa abstracta y en los estudios epistemologicos modernos.

Anos 1854 -1912

Poincare, Jules-Henri - frances: Matematico que estudio en la Escuela Politecnica de Pars. Fue Profesor

de Analisis Matematico en Caen, luego es nombrado Profesor de Mecanica y Fisica Experimental en la

Facultad de Ciencias de Pars. Independientemente de sus contribuciones a la matematica es un verdadero

divulgador de los metodos cientficos. Circulan por todo el mundo sus obras Ciencia e Hipotesis y Valor

social de las Ciencias. Es importante su trabajo sobre las ecuaciones fuchsianas.

Anos 1858 - 1947

Plank, Max - aleman: Matematico y Fisico, recibio el premio nobel de Fsica de 1918. Sus estudios se

desarrollaron alrededor de las relaciones entre el calor y la energa. Llevo a cabo la renovacion de la Fsica

al introducir su famosa teora de los quanta basada en la discontinuidad de la energa radiante. La base

de la Fsica moderna es la constante universal de Plank. En sus trabajos se unen maravillosamente la

Fsica y la Matematica. Alemania creo el Instituto de Fsica Max Plank.

Anos 1879 - 1955

Einstein Albert - aleman: Matematico y Fsico, Profesor del Instituto Politecnico y de la Universidad de

Zurich. Director de la Seccion de Fsica del Instituto Emperador Guillermo. Recibio en 1921 el premio

Nobel de Fsica, por sus trabajos acerca de la Teora de la Relatividad del tiempo, que modifica la Teora

de Gravitacion universal de Newton. Trabajando con otros cientficos de diversas nacionalidades en la

Universidad de Prnceton logro la desintegracion del atomo, base de la Bomba Atomica.

Anos 1862-1943

Hilbert, David - aleman: Matematico nacido en Koenigsberg y muerto en Gotinga. Su obra abarca gran

parte de los campos en que se divide la matematica moderna. Sus trabajos se relacionan con: la teora de los

cuerpos; ecuaciones integrales; sistemas de infinitas ecuaciones con infinitas incognitas. Fue el iniciador y el

impulsor del movimiento de axiomatizacion de la matematica moderna. Su obra principal Fundamentos

de la Geometra (1899). En analisis introdujo los llamados espacios de Hilbert y en general los espacios

abstractos. Fue el creador de la llamada Metamatematica.

Anos 1871-1956

Borel, Emile - frances: Matematico nacido en Aveyron. Realizo numerosos trabajos en el campo del

Analisis Matematico: teora de funciones; suma de series divergentes; teora de conjuntos y calculo de

probabilidades. Sus libros: Coleccion Borel, tratado de calculo de Probabilidades, El azar, El

espacio y el tiempo, etc.

Anos 1875-1941

Lebesgue, Henri Leon - frances: Matematico nacido en Beauvais. Prosiguio con los trabajos de Cantor

relacionados con la Teora de Conjuntos. Creo la nueva teora de la integracion que lleva su nombre.

Contribuyo tambien en las Teoras de las Series Trigonometricas.

Siglo XX (Anos 1903- ...)

Neumann, John Von N.: Matematico Norteamericano nacido en Budapest (Hungra). Sus trabajos sobre


Logstica matematica, Teora de Conjuntos, Teora Cuantica, Operadores, etc. lo situan entre los primeros

investigadores de esta ciencia. Fue Profesor de Fisica-Matematica en el Instituto de Altos Estudios de

Princeton.

Anos 1935 - ...

Bourbaki, Nicolas - frances: Es este un nombre supuesto para un movimiento de matematicos franceses

que entendieron que el desarrollo matematico en esa epoca, estaba estancado. Las investigaciones desarro-

lladas bajo este nombre colectivo presenta una coleccion completa de la matematica en forma moderna:

estructuras fundamentales y teoras levantadas sobre ellas. En 1939 comenzaron a aparecer los Elementos

de Matematicas en fascculos. Sus iniciadores fueron: Andre Weil; Henri Cartan; Jean Dieudonne; Claude

Chevalley; Laurent Schwarz y otros. Aparecieron hasta ahora unos 30 volumenes.

1.3. Origen del Algebra

1.3.1. Introduccion.

Algebra, rama de las matematicas en la que se usan letras para representar relaciones aritmeticas.

Al igual que en la aritmetica, las operaciones fundamentales del algebra son adicion, sustraccion,

multiplicacion, division y calculo de races. La aritmetica, sin embargo, no es capaz de generalizar

las relaciones matematicas. El algebra, por el contrario, puede dar una generalizacion que cumple las

condiciones del teorema: a2 + b2 = c2.

El algebra clasica, que se ocupa de resolver ecuaciones, utiliza smbolos en vez de numeros es-

pecficos y operaciones aritmeticas para determinar como usar dichos smbolos. El algebra moderna

ha evolucionado desde el algebra clasica al poner mas atencion en las estructuras matematicas. Los

matematicos consideran al algebra moderna como un conjunto de objetos con reglas que los conectan

o relacionan. As, en su forma mas general, se dice que el algebra es el idioma de las matematicas.

1.3.2. El origen del Algebra.

Los babilonios desarrollaron tecnicas y metodos para medir y contar, impulsados en parte por la

necesidad de resolver problemas practicos de agrimensura, de intercambio comercial y del desarrollo

de las tecnicas cartograficas. Entre las tablillas babilonicas descubiertas se han encontrado ejemplos

de tablas de races cuadradas y cubicas, y el enunciado y solucion de varios problemas puramente

algebraicos, entres ellos algunos equivalentes a lo que hoy se conoce como una ecuacion cuadratica.

Un examen cuidadoso de las tablillas babilonicas muestra claramente que mediante esos calculos sus

autores no solo intentaban resolver problemas del mundo real, sino otros mas abstractos y artificiales,

y que lo hacan para desarrollar tecnicas de solucion y ejercitarse en su aplicacion.

Uno de ellos, en terminos modernos, dice: He sumado el area del cuadrado con los dos tercios del

lado del cuadrado y el resultado es

7

12


Se requiere hallar la longitud del lado del cuadrado. En cuanto que, hasta la mitad del siglo XIX, el

algebra se ocupo principalmente de resolver ecuaciones de este tipo, puede decirse que fue en Babilonia

donde tuvo su origen esta ciencia.

Fueron los arabes quienes le dieron a la nueva ciencia de plantear y resolver ecuaciones un nombre:

aljabr. La nueva civilizacion que surgio en la pennsula arabiga en la primera mitad del siglo VII,

habra de transformar muy pronto la vida de gran parte del mundo habitado de entonces. Menos de

un siglo despues de la captura de La Meca por Mahoma en el ano 630 d.C., el ejercito islamico haba

convertido a las tribus politestas dcl Medio Oriente y usurpado al imperio bizantino los territorios de

Siria y Egipto. La conquista de Persia se completo hacia el ano 641 d.C. Los sucesores de Mahoma,

los califas, primero establecieron su capital en Damasco pero, tras cien anos de guerras, el califato se

dividio en varias partes.

La fundacion en 766 d.C. por parte del califa al - Mansur de Bagdad como la nueva capital de

su califato, significo cl comienzo de una etapa mas tolerante del islamismo y permitio el desarrollo

intelectual de sus habitantes. Su sucesor, el califa Harun al - Rashid, quien goberno entre 786 y

809, establecio en Bagdad una biblioteca en la que se reunieron manuscritos provenientes de varias

academias del Cercano Oriente, algunas de las cuales haban sido establecidas por miembros de las

antiguas academias de Atenas y Alejandra que tuvieron que cerrarse a raz de la persecucion de los

romanos. Un programa de tradt4cciones al arabe de textos clasicos de la matematica y ciencia de los

griegos y los hindues era una de las actividades del Bayal al-Iliktna (Casa dc la sabidura), un instituto

de investigaciones que fundara cl califa al - Ma mun y que funciono durante mas de 200 anos.

Muhammmad ibn Musa al - Khwarizmi, un miembro del Bayal al-Hikma fue el autor de varios

tratados sobre astronoma y matematicas, entre ellos uno dc los primeros tratados islamicos acerca

del algebra. Fue gracias a la traduccion al latn de su libro acerca del sistema de numeracion hindu,

Algorithmi de numero indorum, que Europa Occidental conocio ese novedoso sistema de numeracion.

Su obra mas importante, sin embargo, fue su tratado de algebra que, con el ttulo Ilisab al-/abra

wal- muqabala (La ciencia de la reduccion y confrontacion) probablemente significaba la ciencia de las

ecuaciones.

El Algebra de Muhammad contiene instrucciones practicas para resolver ciertas ecuaciones lineales

y cuadraticas. Lo que la gente quiere, dice el autor, cuando realiza sus calculo.., es un numero. Ese

numero no es mas que la solucion de una ecuacion.

Otro importante algebrista arabe fue Omar Khayyam (1048-1131), mejor conocido en Occidente

por su Rubaiyat, una coleccion de unos 600 poemas. Fue el el primero en hacer una clasificacion

sistematica de la ecuaciones cubicas y resolver algunas de ellas.

La contribucion de los algebristas islamicos de los siglos Xl y XII en el desarrollo del algebra

habra sido mas notoria si no hubiera tardado tanto en ejercer su influencia en Europa, donde, un poco

despues, el algebra habra de consolidarse definitivamente.


1.3.3. Historia del Algebra.

La historia del algebra comenzo en el antiguo Egipto y Babilonia, donde fueron capaces de resolver

ecuaciones lineales (ax = b) y cuadraticas (ax2 + bx = c), as como ecuaciones indeterminadas como

x2 + y2 = z2, con varias incognitas. Los antiguos babilonios resolvan cualquier ecuacion cuadratica

empleando esencialmente los mismos metodos que hoy se ensenan.

Los matematicos alejandrinos Heron y Diofante continuaron con la tradicion de Egipto y Babilo-

nia, aunque el libro Las aritmeticas de Diofante es de bastante mas nivel y presenta muchas soluciones

sorprendentes para ecuaciones indeterminadas difciles. Esta antigua sabidura sobre resolucion de

ecuaciones encontro, a su vez, acogida en el mundo islamico, en donde se la llamo ciencia de re-

duccion y equilibrio. (La palabra arabe aljabr que significa reduccion, es el origen de la palabra

algebra). En el siglo IX, el matematico al-Jwarizmi escribio uno de los primeros libros arabes de algebra,

una presentacion sistematica de la teora fundamental de ecuaciones, con ejemplos y demostraciones

incluidas. A finales del siglo IX, el matematico egipcio Abu Kamil enuncio y demostro las leyes fun-

damentales e identidades del algebra, y resolvio problemas tan complicados como encontrar las x, y, z

que cumplen x + y + z = 10, x2 + y2 = z2, y xz = y2. En las civilizaciones antiguas se

escriban las expresiones algebraicas utilizando abreviaturas solo ocasionalmente; sin embargo, en la

edad media, los matematicos arabes fueron capaces de describir cualquier potencia de la incognita x,

y desarrollaron el algebra fundamental de los polinomios, aunque sin usar los smbolos modernos. Esta

algebra inclua multiplicar, dividir y extraer races cuadradas de polinomios, as como el conocimiento

del teorema del binomio. El matematico, poeta y astronomo persa Omar Khayyam mostro como ex-

presar las races de ecuaciones cubicas utilizando los segmentos obtenidos por interseccion de secciones

conicas, aunque no fue capaz de encontrar una formula para las races. La traduccion al latn del Alge-

bra de al-Jwarizmi fue publicada en el siglo XII. A principios del siglo XIII, el matematico italiano

Leonardo Fibonacci consiguio encontrar una aproximacion cercana a la solucion de la ecuacion cubica

x3+2x2+ cx = d. Fibonacci haba viajado a pases arabes, por lo que con seguridad utilizo el metodo

arabigo de aproximaciones sucesivas.

A principios del siglo XVI los matematicos italianos Scipione del Ferro, Tartaglia y Gerolamo Car-

dano resolvieron la ecuacion cubica general en funcion de las constantes que aparecen en la ecuacion.

Ludovico Ferrari, alumno de Cardano, pronto encontro la solucion exacta para la ecuacion de cuar-

to grado y, como consecuencia, ciertos matematicos de los siglos posteriores intentaron encontrar la

formula de las races de las ecuaciones de quinto grado y superior. Sin embargo, a principios del siglo

XIX el matematico noruego Niels Abel y el frances Evariste Galois demostraron la inexistencia de

dicha formula.

Un avance importante en el algebra fue la introduccion, en el siglo XVI, de smbolos para las

incognitas y para las operaciones y potencias algebraicas. Debido a este avance, el Libro III de la

Geometra (1637), escrito por el matematico y filosofo frances Rene Descartes se parece bastante a un

texto moderno de algebra. Sin embargo, la contribucion mas importante de Descartes a las matematicas


fue el descubrimiento de la geometra analtica, que reduce la resolucion de problemas geometricos a

la resolucion de problemas algebraicos. Su libro de geometra contiene tambien los fundamentos de

un curso de teora de ecuaciones, incluyendo lo que el propio Descartes llamo la regla de los signos

para contar el numero de races verdaderas (positivas) y falsas (negativas) de una ecuacion. Durante

el siglo XVIII se continuo trabajando en la teora de ecuaciones y en 1799 el matematico aleman Carl

Friedrich Gauss publico la demostracion de que toda ecuacion polinomica tiene al menos una raz en

el plano complejo (vease Numero (matematicas): Numeros complejos).

En los tiempos de Gauss, el algebra haba entrado en su etapa moderna. El foco de atencion se

traslado de las ecuaciones polinomicas al estudio de la estructura de sistemas matematicos abstractos,

cuyos axiomas estaban basados en el comportamiento de objetos matematicos, como los numeros com-

plejos, que los matematicos haban encontrado al estudiar las ecuaciones polinomicas. Dos ejemplos de

dichos sistemas son los grupos y las cuaternas, que comparten algunas de las propiedades de los siste-

mas numericos, aunque tambien difieren de ellos de manera sustancial. Los grupos comenzaron como

sistemas de permutaciones y combinaciones (vease Combinatoria) de las races de polinomios, pero

evolucionaron para llegar a ser uno de los mas importantes conceptos unificadores de las matematicas

en el siglo XIX. Los matematicos franceses Galois y Augustin Cauchy, el britanico Arthur Cayley y

los noruegos Niels Abel y Sophus Lie hicieron importantes contribuciones a su estudio. Las cuaternas

fueron descubiertas por el matematico y astronomo irlandes William Rowan Hamilton, quien desa-

rrollo la aritmetica de los numeros complejos para las cuaternas; mientras que los numeros complejos

son de la forma a + bi, las cuaternas son de la forma a+ bi+ cj + dk.

Despues del descubrimiento de Hamilton, el matematico aleman Hermann Grassmann empezo a in-

vestigar los vectores. A pesar de su caracter abstracto, el fsico estadounidense J. W. Gibbs encontro en

el algebra vectorial un sistema de gran utilidad para los fsicos, del mismo modo que Hamilton haba

hecho con las cuaternas. La amplia influencia de este enfoque abstracto llevo a George Boole a escribir

Investigacion sobre las leyes del pensamiento (1854), un tratamiento algebraico de la logica basica.

Desde entonces, el algebra moderna tambien llamada algebra abstracta ha seguido evolucionando; se

han obtenido resultados importantes y se le han encontrado aplicaciones en todas las ramas de las

matematicas y en muchas otras ciencias.

1.3.4. Un poquito mas de la historia del algebra

Sabas que el algebra que se estudia en secundaria es muy antigua?

Aqu encontraras algunos pasajes de su historia. Desde el siglo XVII aC. los matematicos de

Mesopotamia y de Babilonia ya saban resolver ecuaciones de primero y segundo grado. Ademas

resolvan tambien, algunos sistemas de ecuaciones con dos ecuaciones y dos incognitas En el siglo

XVI aC. los egipcios desarrollaron un algebra muy elemental que usaron para resolver problemas

cotidianos que tenan que ver con la reparticion de vveres, de cosechas y de materiales. Ya para

entonces tenan un metodo para resolver ecuaciones de primer grado que se llamaba el metodo de


la falsa posicion. No tenan notacion simbolica pero utilizaron el jeroglfico hau (que quiere decir

monton o pila) para designar la incognita. Alrededor del siglo I dC. los matematicos chinos escribieron

el libro Jiu zhang suan shu (que significaEl Arte del calculo), en el que plantearon diversos metodos

para resolver ecuaciones de primero y segundo grado, as como sistemas de dos ecuaciones con dos

incognitas. Con su abaco (suan z) tenan la posibilidad de representar numeros positivos y negativos.

En el siglo II, el matematico griego Nicomaco de Gerasa publico su Introduccion a la Aritmetica y

en ella expuso varias reglas para el buen uso de los numeros.

En el siglo III el matematico griego Diofanto de Alejandra publico su Aritmetica en la cual, por

primera vez en la historia de las matematicas griegas, se trataron de una forma rigurosa no solo las

ecuaciones de primer grado, sino tambien las de segundo. Introdujo un simbolismo algebraico muy

elemental al designar la incognita con un signo que es la primera slaba de la palabra griega arithmos,

que significa numero. Los problemas de algebra que propuso prepararon el terreno de lo que siglos

mas tarde sera la teora de ecuaciones. A pesar de lo rudimentario de su notacion simbolica y de

lo poco elegantes que eran los metodos que usaba, se le puede considerar como uno de los precursores

del algebra moderna.

En el siglo VII los hindues haban desarrollado ya las reglas algebraicas fundamentales para manejar

numeros positivos y negativos.

Siglo IX. Epoca en la que trabajo el matematico y astronomo musulman Al-Jwarizmi, cuyas obras

fueron fundamentales para el conocimiento y el desarrollo del algebra. Al - Jwarizmi investigo y escri-

bio acerca de los numeros, de los metodos de calculo y de los procedimientos algebraicos para resolver

ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Su nombre latinizado dio origen a la palabra algoritmo que, usada

primero para referirse a los metodos de calculos numericos en oposicion a los metodos de calculo con

abaco, adquirio finalmente su sentido actual de procedimiento sistematico de calculo. En cuanto a

la palabra algebra, deriva del ttulo de su obra mas importante, que presenta las reglas fundamentales

del algebra, Al-jabr wal muqabala.

En el siglo X vivio el gran algebrista musulman Abu Kamil, quien continuo los trabajos de Al-

Jwarizmi y cuyos avances en el algebra seran aprovechados en el siglo XIII por el matematico italiano

Fibonacci.

Durante este mismo siglo, el matematico musulman Abul Wafa al Bujzani, hizo comentarios sobre

los trabajos de Diofanto y Al-Jwarizmi y gracias a ellos, los europeos conocieron la Arithmetica de

Diofanto.

En 1202. Despues de viajar al norte de Africa y a Oriente, donde aprendio el manejo del sistema

de numeracion indoarabigo, Leonardo de Pisa, mejor conocido como Fibonacci, publico el Liber Abaci

(Tratado del Abaco) obra que en los siguientes tres siglos fue la fuente principal para todos aquellos

estudiosos de la aritmetica y el algebra.

En el siglo XV, el matematico frances Nicolas Chuquet introdujo en Europa occidental el uso de

los numeros negativos, introdujo ademas una notacion exponencial muy parecida a la que usamos hoy


en da, en la cual se utilizan indistintamente exponentes positivos o negativos.

En 1489 el matematico aleman Johann Widmann dEger invento los smbolos + y parasustituir las letras p y m que a su vez eran las iniciales de las palabras piu (mas) y minus (menos)

que se utilizaban para expresar la suma y la resta.

En 1525, el matematico aleman Christoph Rudolff introdujo el smbolo de la raz cuadrada que

usamos hoy en da: Este smbolo era una forma estilizada de la letra rde radical o raz.

Entre 1545 y 1560, los matematicos italianos Girolamo Cardano y Rafael Bombelli se dieron cuenta

de que el uso de los numeros imaginarios era indispensable para poder resolver todas las ecuaciones

de segundo, tercero y cuarto grado.

En 1557 el matematico ingles Robert Recorde invento el smbolo de la igualdad, =.

En 1591 el matematico frances Francois Vie`te desarrollo una notacion algebraica muy comoda,

representaba las incognitas con vocales y las constantes con consonantes.

1.3.5. Crucigrama algebraico

Un crucigrama es un juego que consiste en adivinar, mediante breves indicaciones, las palabras

que corresponden a una serie de casillas colocadas cruzandose horizontal y verticalmente en un dibujo.

Aqu encontraras un crucigrama muy divertido. Para llenarlo tendras que resolver 17 ecuaciones de

primer grado. Anmate!

Verticales Horizontales

1) 3x + 2 = 32 3) 7x - 4 = 171

2) x/5 = 16 4) 8x - 920 = 7,080

3) 2x + 8 = 440 6) 1/2x + 8 = 88

5) 2x - 9 = x + 18 7) 5x = 35,745

8) 9x + 9 = 900 10) 4x - 4 = 3x + 6

9) 1/4x - 2 = 250 11)5/2 x + 40 = 500

13) x/3 - 11 = x - 233 12) x/9 - 43 = 1,000

15) x + 5 = 2x - 80 14) x/7 - 5 = 0

16) 5x - 4x + 3x + 8 = 8

Que tal, resulto divertido?

1.3.6. Magia con algebra

Te gusta hacer trucos de magia?

Has probado al hacerlos con un poco de algebra?

En lugar de sombrero de mago necesitaras una hoja de papel y en lugar de varita magica un lapiz.

Listo?

Vamos a hacer la prueba con uno a ver que tal funciona:

a. Piensa un numero


Figura 1.1: Crucigrama

b. Al numero que pensaste sumale el numero que sigue.

c. Al resultado del paso anterior sumale 9.

d. Divide el resultado entre 2

e. A lo que quedo restale el numero que pensaste.

El numero que quedo es 5!. Impresionado? Veamos en donde quedo el algebra:

Nosotros no sabemos cual es el numero que pensaste. Es una incognita as que le llamaremos x.

Ahora hay que sumarle el numero que sigue, o sea, x+1. As la suma que se hace es x+(x+1) = 2x+1.

Ahora hay que sumar nueve, as que tenemos que hacer 2x + 1 + 9 que es igual a 2x + 10. Hay que

dividir el resultado entre 2. Veamos pues: (2x+10)/2 = x+5 Y, finalmente, hay que restar el numero

que habas pensado. Es decir hay que resolver: x + 5 x . Pero curiosamente el resultado de estaoperacion da 5. As que el numero que te quedo es 5. Te sorprende?

Aqu encontraras mas trucos algebraicos, puedes ponerlos a tus amigos, a tu familia. Pero lo mas

importante es que descubras por que funcionan, es decir que practiques un poco el algebra.

Truco 1:

En una caja o en un frasquito guarda 20 cositas iguales, pueden ser canicas, clips, cerillos, frijoles,

en fin, lo que se te ocurra. Pdele a alguien que piense un numero entre el 1 y el 9. Saca de la caja el

numero de cositas que tu amigo penso. Cuenta cuantas cositas quedaron dentro de la caja. Tiene que

haber quedado un numero de dos dgitos. Suma esos dos dgitos y saca de la caja el numero de cositas

que obtuviste de sumar los dos dgitos. Saca de la caja dos cositas mas.

Repite este truco 3 veces mas Que esta pasando? Intenta explicarlo.

Truco 2:


Piensa un numero. Multiplcalo por 5. Suma 8 al resultado. A lo que quedo, restale 3. Divide entre

5 el resultado del paso anterior. A lo que quedo resta el numero que pensaste en un principio. El

numero que quedo es el 1

Explica que es lo que paso.

Truco 3:

Esta vez el truco lo vas a hacer tu. En los renglones vacos, escribe las instrucciones adecuadas

para que se cumpla el truco.

Piensa un numero. Multiplcalo por 7. Este renglon te toca a ti. A lo que te quedo resta el numero

que pensaste al principio.

Te quedo el numero 1.

Truco 4:

Escribe el numero del mes en que naciste. Por ejemplo, si es junio el 6, si es noviembre el 11, etc.

Multiplica ese numero por 2. A lo que quedo, sumale 5. A lo que quedo, multiplcalo por 50. A lo que

quedo sumale tu edad actual (no la que vas a cumplir este ano, la que tienes en este momento, hoy).

Al numero que quedo hay que restarle 250, en el resultado de la resta, las decenas y las unidaddes

representaran la edad de la persona, las centenas y los millares, el mes de nacimiento.

Intenta explicar que sucede.

Te gustaron los trucos?

Por que no inventas los tuyos propios?

1.3.7. Al - Jwarizmi

Figura 1.2: Al - Jwarizmi

Abu Jafar Mohammet ibn Mose Al - Jwarizmi fue uno de los mejores matematicos arabes de la

Edad Media. Si bien no sabemos mucho acerca de su vida privada, conocemos a profundidad su obra


matematica que afortunadamente llego a nosotros gracias a las traducciones al latn que de ella se

hicieron durante la Edad Media y el Renacimiento.Al - Jwarizmi vivo del ano 780 al 835. Nacio en

una ciudad llamada Jwarizm que actualmente se llama Jiva y esta en Uzbekistan.

Vivio en la corte del califa Abdula al - Mamun quien haba fundado una academia de ciencias

que se llamaba La Casa de la Sabidura en la que trabajaban los mejores cientficos y matematicos,

entre ellos, por supuesto, Al - Jwarizmi. De esta academia salio la primera expedicion que realizaron

los arabes para calcular la circunferencia de la Tierra y en la que se realizaron varios experimentos de

navegacion y observaciones astronomicas. Al - Jwarizmi fue un miembro muy activo de esta expedicion.

En la Casa de la Sabidura se desempeno como bibliotecario, matematico y astronomo y escri-

bio varios textos, fundamentalmente de matematicas.

El mas importante de todos ellos es, sin duda, Al - jabar wal Muqabala, que es un tratado sobre

como plantear y resolver ecuaciones para resolver problemas de la vida cotidiana. El libro empieza as:

Este interes por la ciencia, con la que Ala ha dotado al califa Al - Mamun, caudillo de los creyentes, me

ha animado a componer esta breve obra sobre el calculo por medio del algebra, en la que se contiene

todo lo que es mas facil y util en aritmetica, como por ejemplo todo aquello que se requiere para calcular

herencias, hacer repartos justos y sin equvocos, resolver pleitos, realizar comercio y transacciones con

terceros, todo aquello en donde este implicada la agrimensura, la excavacion de pozos y canales, la

geometra y varios asuntos mas.

Con el paso de los siglos los matematicos reconocieron que la obra de Al - Jwarizmi era tan

importante que se hicieron varias traducciones al latn, que era el idioma en el que se escriba la

ciencia en la Europa de esa epoca.

Para finales del siglo XVI nadie tena dudas ya: Al - Jwarizmi era el verdadero padre del algebra.

UTILIDAD:

Los conocimientos son indispensables en el desarrollo de los curso tales como: La geometra, trigono-

metra, geometra analtica, calculo diferencial e integral, etc.

SIMBOLOS QUE SE UTILIZAN EN EL ALGEBRA:

Los smbolos que se utilizan en el algebra son los numeros y las letras.

Los numeros se utilizan para representar cantidades conocidas y las letras se utilizan para representar

toda clase de cantidades, ya sean conocidas o desconocidas.

Para las cantidades conocidas, se emplea generalmente las primeras letras del alfabeto : a, b, c, ....

Para las cantidades desconocidas, emplearemos generalmente las ultimas letras del alfabeto : ... , x, y, z.

Si una letra representa diferentes valores, entonces se emplea la misma letra afectada de comillas o

subndices. a , a , ... , se lee a prima ; a segunda ; ... a1, a2 , ... , se lee a sub uno ; a sub

dos ; ...

SIGNOS:

Signos de operacion u operadores matematicos:


SIMBOLO OPERACION RESULTADO

+ Adicion Suma

Sustraccion Resta. Multiplicacion Producto

Division Cociente()n Potenciacion Potencia

n

Radicacion Raz

Cuadro 1.1: Signos de operacion u operadores matematicos

SIGNOS DE RELACION:

= Para valores

Para polinomios Comparacion algebraica entre polinomios

> Menor que

< Mayor que

SIGNOS DE COLECCION:

Son smbolos que se utilizan para separar o agrupar expresiones . Estos son:

( ) Parentesis

{ } Llave[ ] Corchete

Barra de vinculo

Indice general

Prefacio 3

1. DEFINICIONES BASICAS 5

1.1. Definicion de ALGEBRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Esquema del desarrollo historico de la Matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3. Origen del Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.1. Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.2. El origen del Algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.3. Historia del Algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.4. Un poquito mas de la historia del algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3.5. Crucigrama algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3.6. Magia con algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3.7. Al - Jwarizmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Introduccion 5

2. EXPRESIONES ALGEBRAICAS 31

2.1. Definicion: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2. Termino algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3. Terminos semejantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4. Clasificacion de las expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.5. Teora de exponentes y radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.6. Ecuaciones exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3. GRADOS DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS 55

3.1. Definicion: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.2. Grados en operaciones con polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.3. Polinimios especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.3.1. Polinomio Homogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

25


3.3.2. Polinomio Ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.3.3. Polinomio Completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.3.4. Polinomio Entero en x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.3.5. Polinomio monico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.3.6. Polinomios identicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.3.7. Polinomios equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.3.8. Polinomio identicamente nulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.4. Valor numerico de un polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4. MULTIPLICACION ALGEBRAICA 75

4.1. Adicion y sustraccion de expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.2. Multiplicacion de expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.3. Productos notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5. DIVISION ALGEBRAICA 97

5.1. Definicion: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.2. Metodo clasico o division normal: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.3. Metodo de coeficientes separados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.4. Metodo de Guillermo Horner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.5. Metodo de Paolo Ruffini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.6. Teorema del resto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.7. Divisibilidad algebraica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.8. Cocientes notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6. FACTORIZACION 125

6.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

6.2. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

6.3. Criterios de factorizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

6.3.1. Criterio del factor comun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

6.3.2. Criterio del factor comun por agrupacion de terminos . . . . . . . . . . . . . . 127

6.3.3. Criterio de las identidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

6.3.4. Criterio de las aspas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

6.3.5. Criterio de los divisores binomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

6.3.6. Criterio de los artificios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

7. MAXIMO COMUN DIVISOR. MINIMO COMUN MULTIPLO. FRACCIONES

ALGEBRAICAS 145

7.1. Maximo Comun Divisor MCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

7.2. Mnimo Comun Multiplo MCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145


7.3. Fracciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

7.4. Fracciones Parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

8. POTENCIACION 161

8.1. Factorial de un numero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

8.1.1. Numero combinatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

8.1.2. Coeficiente binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

8.2. Analisis combinatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

8.2.1. Principios fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

8.2.2. Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

8.2.3. Variaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

8.2.4. Combinaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

8.3. Binomio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

9. RADICACION 181

9.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

9.2. Clasificacion de los radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

9.3. Radicales Dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

10.MATRICES Y DETERMINANTES 197

10.1. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

10.1.1. Algo de historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

10.1.2. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

10.1.3. Orden de una Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

10.1.4. Igualdad de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

10.1.5. Matrices Especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

10.1.6. Operaciones con Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

10.1.7. Traza de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

10.1.8. Transpuesta de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

10.1.9. Matriz simetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

10.1.10.Matriz antisimetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

10.1.11.Matriz involutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

10.1.12.Matriz nilpotente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

10.1.13.Matriz idempotente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

10.1.14.Matriz conjugada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

10.1.15.Matriz hermitiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

10.1.16.Matriz antihermitiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

10.1.17.Matriz ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215


10.1.18.Matriz positiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

10.2. Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

10.2.1. Algo de historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

10.2.2. Calculo de Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

10.2.3. Propiedades Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

10.2.4. Menores y Cofactores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

10.2.5. Calculo de Determinantes por Cofactores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

10.3. Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

10.3.1. Matriz de cofactores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

10.3.2. Adjunta de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

10.3.3. Metodo de Gauss Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

10.4. Rango de una Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

10.5. Otras matrices importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

11.ECUACIONES 239

11.0.1. Historia de las ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

11.0.2. Clasificacion de las ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

11.0.3. Ecuaciones de primer grado con una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

11.0.4. Sistema de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

11.0.5. Ecuaciones de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

11.0.6. Ecuacion Cubica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

11.0.7. Ecuacion Cuartica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

11.0.8. Ecuacion Bicuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

11.0.9. Ecuacion Polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

11.0.10.Planteamiento de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

12.INECUACIONES 275

12.0.11.Desigualdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

12.0.12.La recta real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

12.0.13.Inecuacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

12.0.14.Inecuaciones de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

12.0.15.Inecuaciones de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

12.0.16.Inecuaciones polinomicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

12.0.17.Inecuaciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

12.0.18.Ecuaciones e inecuaciones irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

12.0.19.Inecuaciones exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

12.0.20.Inecuaciones logartmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

12.0.21.Sistemas de inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283


12.1. Valor Absoluto y Maximo Entero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

12.1.1. Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

12.1.2. Maximo entero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

13.LOGARITMOS 299

13.1. Historia de los logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

13.2. Propiedades generales: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

13.3. Propiedades operativas: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

13.3.1. Cologaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

13.3.2. Antilogaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

13.3.3. Logaritmo natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

13.4. Inecuaciones logartmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

14.FORMULARIO 315

Bibliografa 338

Indice de Materias 338

Captulo 2:

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Objetivos:

z Clasificar una expresion algebraica segun la naturaleza de los exponentes y segun el numero

de terminos.

z Capacitar para reconocer los exponentes de cocientes, productos, potencias o races enesimas.

z Aplicar la relacion de base a base y exponente a exponente en la resolucion de las ecuaciones

exponenciales.

2.1. Definicion:

Es un conjunto de numeros y letras relacionadas entre s por las distintas operaciones fundamen-

tales (Adicion, Sustraccion, Multiplicacion, Division, Radicacion y Potenciacion), en forma finita y sin

variables como exponentes.

Ejemplo 2.1.1.

5x2y3 3x7z2

y5+

3yzx

Constante: Es aquella magnitud que adquiere un valor fijo, en el estudio o desarrollo de un fenomeno

matematico y esta representado (no siempre) por las primeras letras del abecedario a, b, c, ... etc.

Variable: Es aquella magnitud que no presenta un valor fijo, en el estudio o desarrollo de un fenomeno

matematico y esta representado (no siempre) por las ultimas letras del abecedario x, y, z, w, ... etc.

Notacion Matematica: Es aquella representacion simbolica de una expresion matematica que nos

permite diferenciar a las variables de las constantes.

2.2. Termino algebraico

Es la mnima expresion algebraica en la que sus elementos se encuentran relacionadas por las

operaciones de multiplicacion, division, potenciacion y radicacion.

31


P (x, y) = 5ax2 + 2bxy + 3cy2

constantesvariables

nombre

generico

Figura 2.1: Notacion matematica

En un termino algebraico se distinguen las siguientes partes:

1. Coeficiente (incluyendo el signo).

2. Variables o parte literal.

3. Los exponentes de las variables

7x2y3

coeficiente

parte literal (variables)

exponente

Figura 2.2: Partes de un termino algebraico

2.3. Terminos semejantes

Son aquellos que tienen la misma parte literal, afectadas de los mismos exponentes.

Ejemplo 2.3.1.

5x3yz5; 0, 5x3yz5; 3x3yz5; 14x3yz5 ; son terminos semejantes.Dos terminos se pueden sumar o restar si son semejantes, para lo cual se resta o se suma los

coeficientes y se escribe la misma parte literal.

Ejemplo 2.3.2.

9x5y2; 3x5y2; x5y2; son terminos semejantesSumando y restando se tiene:

9x5y2 3x5y2 + x5y2 = 7x5y2


2.4. Clasificacion de las expresiones algebraicas

I. Segun la naturaleza de los exponentes: Una expresion algebraica puede ser:

1. Expresion Algebraica Racional (EAR): Son aquellas cuyas variables estan afectadas por

exponentes enteros. Estas a su vez pueden ser:

1.1 Expresion Algebraica Racional Entera (EARE): Cuando los exponentes de sus

variables son enteros positivos, incluyendo el cero (Z+0 enteros no negativos).

1.2 Expresion Algebraica Racional Fraccionaria (EARF): Cuando los exponentes de

sus variables son enteros negativos (Z).

2. Expresion Algebraica Irracional (EAI): Son aquellas cuyas variables estan afectadas por

exponentes fraccionarios (Q).

Nota: Toda expresion que no cumple con estas condiciones se le conoce con el nombre de ex-

presion no algebraica o Trascendente (ET).

Expresion

8

>

>

>

>

>

>

>

>

>

:

E. Algebraica

8

>

>

>

>

>

:

E. A. Racional

8

0 y a 6= 1EE2. Si ax = bx a = b a > 0 y b > 0EE3. Si xx = aa x = aEE4. Si x

x = a

a x = a

EE5. Si ax = by x = y = 0, para todo a, b R.

Formas indeterminadas:

FI1.mq

xnm

xn mxn . . . = m1xn

FI2.m

q

xn m

xn mxn . . . = m+1xn

FI3.

n(n+ 1) +q

n(n+ 1) +

n(n+ 1) + . . . = n+ 1


FI4.

n(n+ 1)q

n(n+ 1)

n(n+ 1) . . . = n

FI5. nn

nn

nn...

= n

FI6. xxx...

= n x = nn


EJERCICIOS RESUELTOS 1.

SOL: Expresiones algebraicas y teora de exponentes 2

algebra

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