algebra

CEP Santa Mara de la Providencia

DESIGUALDAD.- Es una relacin entre dos cantidades de diferente valor.

Si: a b ( a > b o a < b La notacin a emplear es:a > b; se lee: "a es mayor que b". a < b; se lee: "a es menor que b".

a b; se lee: "a es mayor o igual que b"

a b; se lee: "a es menor o igual que b". CLASES DE DESIGUALDADES:1. DESIGUALDAD ABSOLUTA.- Es aquella que e verifica para todos los valores reales que se asignan a sus variables.Ejemplo:x2 + 1 > 0; se verifica x ( R.(: se lee: para todo; ( R: pertenece a los reales). As:52 + 1 > 0 ( 26 > 0 (-3)2 + 1 > 0 ( 26 > 0 (-3)2 +1 > 0 ( 10 >0

2. DESIGUALDAD RELATIVA.- Tambin es conocida con el nombre de desigualdad condicional o inecuacin. Es aquella que se verifica slo para ciertos valores de sus incgnitas.

Ejemplo: 5x -1 > 9 ( x > 2As: 5(4) 1 > 9 ( 19 > 9 5(10) - 1 > 9 ( 49 > 9RECTA NUMRICA REAL.- Es una recta geomtrica; donde se establece una biyeccin es decir; a cada nmero real se hace corresponder un nico punto de la recta y para cada punto de la recta slo le corresponde un nico nmero real.

NMEROS POSITIVOS.- Es aquel conjunto de nmeros mayores que el cero. Es decir:

Si: "a" es positivo, entonces: a > 0.NMEROS NEGATIVOS.- Es aquel conjunto de nmeros menores que el cero. Es decir:

Si: "b" es negativo, entonces: b < 0.NMERO MAYOR QUE OTRO.- Un nmero ser mayor que otro, s, y slo s, su diferencia es un nmero positivo. Es decir: Si: a ( b ( a - b > 0Ejemplos:1) 12 > 7 ( 12 7 > 0 ; 5 > 0

2) 8 > -3 ( 8 (-3) > 0; 11 > 0

NMERO MENOR QUE OTRO.- Un nmero ser menor que otro, s y slo s; su diferencia es un nmero negativo. Es decir:Si:

a < b ( a b < 0

Ejemplos:

1) 5 < 14 ( 5 14 < 0; -9 < 0

2) -6 < 10 ( -6 10 < 0; -16 < PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES:

1. Siendo una cantidad mayor que otra y sta mayor que una tercera, entonces la primera cantidad ser mayor que la tercera (principio de transitividad). Es decir:

Si: a > b y b > c, entonces: a > c. Ejemplo:

24 > 13 y 13 > 5, entonces: 24 > 5.

2. Si una cantidad es mayor que otra, entonces sta ser menor que la primera. Es decir.

Si: a > b, entonces: b < a. Ejemplos:

1) Si: 16 > 9, entonces: 9 < 16.',

2) Si: 6 < x, entonces: x > 6.3. Si a ambos miembros de una desigualdad se le suma o resta una misma cantidad, el sentido de la desigualdad no cambia. Es decir:Si: a > b y m ( R entonces: a + m > b + m

a m > b mEjemplos:1) Dada la desigualdad: 8 > 3. Adicionemos 7 a cada miembro: 8 + 7 > 3 + 7 ( 15 > 10 iCierto!2) Dada la desigualdad: 6 > -2. Restemos 5 a cada miembro: 6 5 > - 2 5 ( 1 > - 7 Cierto!

3) Dada la desigualdad: x + 4 < 15. Restemos 4 a cada miembro: x + 4 4 < 15 - 4 ( x < 114. Si multiplicamos a ambos miembros de una desigualdad por una misma cantidad positiva, el sentido de la desigualdad no cambia. Es decir:Si: a > b y m > 0 ; entonces: am > bm. Ejemplos:1) Dada la desigualdad: 7 > 2 y adems: m = 6. Entonces: 7 x 6 > 2 x 6

42 > 12 Es verdad!2) Dada la desigualdad: > 10 y adems: m = 2. Entonces: x 2 > 10 x 2 x > 205. Si multiplicamos a ambos miembros de una desigualdad por una misma cantidad negativa, el sentido de la desigualdad cambia. Es decir:

Si: a > b y m < 0 ; entonces: am < bm. Ejemplos:1) Dada la desigualdad: 16 > 5 y m = -3. Entonces:16(-3) < 5(-3) Se invierte el sentido !

- 48 < - 15 Verdadero !2) Dada la desigualdad: < 1 y adems: m = -6. Entonces:- x (-6) > 1 X (-6) Se invierte el sentido! x > - 6

6. Si dividimos a ambos miembros de una desigualdad por una misma cantidad positiva, el sentido de la desigualdad no cambia. Es decir:Si: a > b y m > 0. Entonces:

Ejemplo:

Si: 35 > 20 y m = 5. Entonces: >

7 > 4 Verdadero !

7. Si dividimos a ambos miembros de una desigualdad por una misma cantidad negativa, el sentido de la desigualdad cambia. Es decir:Si: a > b y m < 0. Entonces:

Ejemplo:Si: 40 > 8 y m = - 4.Entonces:

Se invierte el sentido! -10 < -2

Verdadero!

PRCTICA DIRIGIDA N 1

01.-Escribir el smbolo > o < en cada casillero segn corresponda.

1) 12 10

4) (-34) (-4)3

2) 7 9

5) (-2)5 (-5)23) -42 -24

6)

02.- Llenar cada espacio en blanco con un nmero que haga cierto el enunciado.

1) 23 >

4) (-7)4 > ..

2) -5 < ...

5) < (-3)33) 0 >

6) > -5403.- Indicar que enunciado son verdaderos y cules son los falsos:

1) 12 7 > 15 9 ...

2) (-4)(5) > (6)(-3).

3) (5)(2)(4)2 > (15)(2)2 .

4) -8 < -4 < 0 .

5) (4)(3) < (5)(4) < (4)(7) .

6) -10 4 < -4 < 10 4

04.- Completar los casilleros en blanco, escribiendo S o No segn corresponda:

DesigualdadMultiplicando a ambos miembrosCambia el sentido

14 > 9+5

10 > 0-100

-8 < 3+4

-12 < -7-6

5 > -26-8

DesigualdadMultiplicando a ambos miembros por Cambia el sentido

-6 < 64

12 > -4-2

-1/3< 5-9

-15 < -16

1 > -11-18

05.- Si: a > 5. Cules de los siguientes enunciados son verdaderos y cules son falsos?

1) a + (-9) > 5 + (-9)( )

2) a + 12 > 5 + 12 ( )

3) a x 7 > 5 x 7 ( )

4) ( )

5) a(-4) > 5 (-4) ( )

TAREA DOMICILIARIA 01.- Escribir el smbolo > o < en cada casillero segn corresponda:

1) -4 -3

6) 0 -9

2) -72 (-7)2

7) - 1 13)

8)

4) (-2)6 33

9) 5)

10)

02.- Llenar en cada espacio en blanco con un nmero que haga cierto el enunciado.

1) 23 <

7) (-5)3 > .

2) -15 >

8) 10 <

3) (-6)2

9) -9 >

4) .. > -60

10) <

5) . <

11) >

6) .. > (-5)3

12) .. < 0

03.-Indicar que enunciados son verdaderos y cules son falsos:

1) 17 5 < 24 10 ( )

2) (-6)(8) > (7)(-8) ( )

3) 4 x 52 < 53 ( )

4) -10 > -15 > - 20 ( )

5) -18 < -7 < 1 ( )

6) -1 5 < 0 < 9 7 ( )

04.- Si: -8 < -5. Cules de los siguientes enunciados son verdaderos y cules son falsos?

1) -8 10 < - 5 10 ( )

2) 8 + 3 > -5 + 3 ( )

3) (-8)(6) < (-5)(6) ( )

4) (-3)(-8) > (-3)(-5) ( )

5) ( )

6) ( )

05.- Dar 5 nmeros enteros que escritos en cada casillero permitan que la desigualdad sea cierta.

1) + 8 < 12

Rpta:

2) - 3 < 3

Rpta:

3) 2( ) ) 5 < 11

Rpta: ..

4) -9 ( +2

Rpta: ..

INTERVALO.- Es aquel subconjunto de los nmeros reales (R), cuyos elementos x estn comprendidos entre los extremos a y b; siendo estos tambin nmeros reales que pueden estar o no incluidos en el intervalo.

CLASES DE INTERVALOS: Se llaman intervalo abierto, al subconjunto de nmeros reales, comprendidos entre a y b. El intervalo abierto se representa: (a; b) o [a; b].

Grficamente:

x ( (a; b) ( a < x < b.

Ejemplo:

Representa grficamente: x ( (-1;4)

II. INTERVALO CERRADO.- Se llama intervalo cerrado, al subconjunto de nmeros reales comprendidos entre a y b, incluyendo a y b.

El intervalo cerrado se presenta: [a; b].

Grficamente:

x ( [a; b] ( a ( x ( b.

Ejemplo:

Representar grficamente: x ( [-4; 2].

III. INTERVALOS MIXTOS.- Los intervalos mixtos pueden ser:

1. INTERVALO CERRADO A LA IZQUIERDA Y ABIERTO A LA DERECHA DE EXTREMOS a y b.- Es el subconjunto de los nmero reales x comprendidos entre a y b, sin incluir el extremo b, sin incluir el extremo b, se representa: [a; b] o [a; b].

Grficamente:

x ( [a; b] ( a ( x < b.

Ejemplo:


2. INTERVALO CERRADO A LA DERECHA Y ABIERTO A LA IZQUIERDA DE EXTREMOS a y b.- Es el subconjunto de los nmeros reales x comprendidos entre a y b, sin incluir el extremo a, se representa: [a; b] o [a; b].

Grficamente:

x ( [a; b] ( a < x ( b

Ejemplo:


3. INTERVALO CERRADO EN a POR LA IZQUIERDA.-Es el subconjunto de los nmeros reales x mayores o iguales que a; se representa: [a; +(] o [a; +(].

Grficamente:

x ( [a; (] ( a ( x < + (.

Ejemplo:

Representar grficamente: x ( [-2; +(].

4. INTERVALO ABIERTO EN a POR LA IZQUIERDA.-

Es el subconjunto de los nmeros reales x mayores que a, se representa: (a; +() o [a; +(].

Grficamente:

x ( [a; +(] o [a; +(] o [a; +(].

Ejemplo:

Representar grficamente: x ( (-1; +().

05.- INTERVALO CERRADO EN b POR LA DERECHA.- Es el subconjunto de los nmeros reales x menores o iguales que b, se representa: (-(; b) o [-(; b].

Grficamente:

x ( (-(; b) ( -( < x ( b.

Ejemplo:

Representar grficamente: x ( (-( ; 4]

6. INTERVALO ABIERTO EN b POR LA DERECHA.-Es el subconjunto de los nmeros reales x menores que b, se representa: (-( ;b) o [-(; b].

Grficamente:

x ( (-(; b) ( -( < x ( b.

Ejemplo:

Representa grficamente: x ( (-(; 2).

PRCTICA DIRIGIDA N 2a) Expresar de forma de intervalo y grficamente.

01. 5 ( x ( 9

08. 10 ( 0

Rpta:

Rpta: ...

02. -1 ( x ( 4

09. -2 ( x < + (Rpta: ...

Rpta: ...

03. -7 < x < 2

10. -5 ( x < + (Rpta:

Rpta:

04. -3 < x < 5

11. +( > x > -3Rpta:

Rpta: 05. -6 ( x < 1

12. 0 < x < + (

Rpta:

Rpta:

06. 4 ( x ( 8

13. -( < x ( 7

Rpta:

Rpta:

07. 12 > x > -5

14. -( < x < -2Rpta:

Rpta:

b) Dadas las grficas; expresarlo en forma de intervalo.

1.

2.

03.

04.-

05.-

06.-

07.-

08.-

TAREA DOMICILIARIA a) Expresar de forma de intervalo y grficamente.

01. -2 ( x < 10

09. -1 ( x < + (Rpta:

Rpta: ...

02. -4 < x ( 0

10. 12 > x > 5

Rpta: ...

Rpta: ...

03. 7 < x < + (

11. -8 > x ( -10Rpta:

Rpta:

04. -8 ( x ( 2

12. < x ( 3Rpta:

Rpta: 05. < x x > 0

Rpta:

Rpta:

07. - < x (

15. -7 > x > -15

Rpta:

Rpta:

08. -( < x < 9

16. -20 < x < -15

Rpta:

Rpta:

b) Dadas las grficas expresarlo en forma de intervalo.1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Se llama inecuacin de primer grado a toda inecuacin que admite algunas de las siguientes formas:

ax + b > 0

; ax + b ( 0

ax + b < 0

; ax + b ( 0

Donde:

x: es la incognita.

a y b: parmetros / {a; b} ( R

Consideramos a la inecuacin:

ax + b < 0 ( ax < -b

I) Si: a > 0 ( x < -; es decir el conjunto solucin es:

x ( (-(; -).

II) Si: a < 0 ( x > -; es decir el conjunto solucin es:

x ( (-; +().

RESOLUCIN DE INECUACIN DE PRIMER GRADO:

Se produce de la siguiente manera:

1. Suprimimos los signos de coleccin.

2. Reducimos trminos semejantes.3. hacemos transposicin de trminos empleando las propiedades de las desigualdades.4. volvemos a reducir los trminos semejantes.5. se despeja la incgnita.Ejemplo:

Resolver: 4x 8 < x (3x - 4)

Resolucin:

Suprimimos los signos de coleccin.

4x 8 < x (3x - 4)

Reducimos los trminos semejantes:

4x 8 < x 2x + 4

Transponemos trminos:

4x + 2x < 4 + 8

Reducimos trminos:

6x < 12

Despejamos la incgnita (x) dividiendo a ambos miembros por 6;

Graficamos:

x ( (-(; 2).

PRCTICA DIRIGIDA N 3

Resolver las siguientes inecuaciones:

01. x - 7 > 2

09. 6x 7 < 2(x + 1)Rpta:

Rpta: ...

02. x + 12 < 8

10. 2x + 3 > 3(x 2)

Rpta: ...

Rpta: ...

03. 5 x > 0

11. 4(x - 1) + 2 ( x + 5Rpta:

Rpta:

04. 6 6x < 0

12. 3(x + 2) (x -1) > 8 + xRpta:

Rpta: 05. 7x 1 < x + 8

13. x(x + 3) x2 < 2 - xRpta:

Rpta:

06. 5x 8 ( 1 - x

14. 6 (x + 4) ( -3x + 1

Rpta:

Rpta:

07. 3x + 2 ( 23

15. 5(x - 2) < 3(2x + 7)

Rpta:

Rpta:

08. 3 + 2(x - 1) > 5 + x

16. 3x 8 < 5(2x - 3)

Rpta:

Rpta:

TAREA DOMICILIARIA

Resolver las siguientes inecuaciones:

01. x + 12 > 15

09. 9(x+7)6(18+2(x+9)

Rpta:

Rpta: ...

02. x 6 ( 1

10. 2(x+1)+3>5(x2)+7

Rpta: ...

Rpta: ...

03. 4x + 2 < 2x + 12 11. 3x(x+1)+2x(x+2)(5x(x+3)-24

Rpta:

Rpta:

04. 3(2x - 1) > 2(x + 3) 12. 0 ( x +(2x + 1) - (3x + 2)Rpta:

Rpta: 05. 2(x + 1) (x 4) < -x + 13 13. 1 > 7x2-(3x2+1)-4x(x+1)+4x

Rpta:

Rpta:

06. x(x + 5)x(x2)>3(-2 - x) + 2 14. 3(x-4)+7 19c) x < -19d) x < -21e) x > -19

04.- Resolver: x + 7 > 9 indicar el menor valor entero que verifique la inecuacin.

a) 0b) 1c) 2d) 3e) 4

05.- Luego de resolver:

hallar el menor valor entero que verifique la inecuacin.

a) 3b) 4c) 5d) 6e) 7

06.- Luego de resolver: 2(x - 2) > 3x - 10

Indique el mayor valor entero que verifique la inecuacin.

a) 5b) 6c) 7d) 8e) 4

07.- Resolver: 2x - 5 < x + 3

a) x > 8b) x < 8c) x < 7d) x < -7e) x < 9

08.- Resolver: x + 3 < 3x - 7 indicar el menor nmero entero que toma "x".

a) 7b) 5c) 6d) 8e) 9

09.- Resolver: (x - 1)(x + 2) > (x + 4)(x - 2)

a) x < 6b) x > 6c) x > 5d) x < 5e) x < 7

10.- Resolver la siguiente inecuacin:

3x - 8 > -2x + 2

a) x < 3b) x > 5c) x > 2d) x < 2e) x < 5

11.- De los siguientes enunciados cuntos son verdaderos?

1. ( ................( )

2. ( ................( )3. ( ................( )4. ( ................( )5. ( ................( )a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

12.- De los siguientes enunciados cuntos son verdaderos?

1. -2x > -3 (2x > 3 .............()

2. 2x > -8 (x < 4 ...............()

3. 12x > -24 (x < -2 ..............()

4. -13x < 26 (x > -2 ..............()

5. -4x > 16 (x < -4 ...............()

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

13.- Resolver: 3x - 5 > 2x - 4

a) x < 3b) x < 2c) x < 4d) x < 5e) x > 1

14.- Resolver la siguiente inecuacin:

a) x < 8b) x < 7c) x > 7d) x < 8e) x < 9

13.- Indique el mayor valor entero que verifica la inecuacin:

a) -17b) -18c) -16d) 14e) 17

14.- Resolver:

a)

b)

c)

d)

e)

15.- Dar como respuesta el nmero de soluciones enteras de la siguiente inecuacin:

2x - 5 < x + 3 < 3x - 7

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 516.- Cul es el menor entero que satisface la siguiente inecuacin?

a) 14b) 15c) 16d) 17e) 13

17.- Hallar el menor entero que no satisface a la siguiente inecuacin:

a) -11b) -10c) -12d) 1e) 0

18.- Indicar la suma de los valores enteros y positivos que verifican la inecuacin:

a) 28b) 36c) 49d) 66e) 21

19.- Cul es el mayor nmero entero x que verifica:

a) -2b) -1c) 0d) 1e) 2

20.- Encontrar el menor nmero natural par que verifica:

a) 8b) 6c) 4d) 10e) 12

21.- Cul es el menor nmero natural impar que verifica la siguiente inecuacin?

a) 1b) 3c) 5d) 7e) 9

22.- Hallar le valor de x, entero positivo, que satisface a la inecuacin siguiente?

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

23.- El mayor entero que cumpla relacin:

Es tal que la mitad del cuadrado del consecutivo dicho valor es:

a) 16b) 20c) 18d) 12e) 14

24.- Resolver:

a) x (

e) x ( [1, 4; + (>

Captulo 1

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4

EMBED PBrush

C.E.P. Santa Mara de la Providencia

Captulo 3

Captulo 2

EMBED MSPhotoEd.3

140

Cuarto Periodo 1ero. de Secundaria

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