algebra

Estrategia didctica de matemtica para docentes de educacin secundaria

Estrategia didctica de matemtica para docentes de educacin secundaria

II UNIDAD: ALGEBRA Introduccin.

El lgebra es la parte de las matemticas que tiene por objeto generalizar todas las cuestiones que se pueden proponer sobre las cantidades, el concepto algebraico de cantidad es mucho ms amplio que el aritmtico, las cantidades no se representan solamente por nmeros que expresan valores determinados, sino que las cantidades se representan mediante letras que pueden expresar cualquier valor que se les asigne. Al igual que en la aritmtica, las operaciones fundamentales del lgebra son adicin, sustraccin, multiplicacin, divisin y clculo de races.

2. EXPRESIONES ALGEBRAICAS.Una expresin algebraica es una combinacin de letras, nmeros y signos de operacin. Las letras suelen representar cantidades desconocidas y se denominan variables o incgnitas. Las expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemtico expresiones del lenguaje cotidiano.Ejemplos:

2.1 Clasificacin de expresiones algebraicas:

Ejemplos:Expresin algebraica racional Expresin algebraica irracional Expresin algebraica racional entera Expresin algebraica racional fraccionaria

2.2 Trmino algebraico y grado de una expresin algebraica.

2.3Tipos de expresiones algebraicas.

Ejemplos: Monomios.

Ejemplos: Polinomios.

Binomios

Trinomios

2.4 Trminos semejantes.Tienen las mismas variables con los mismos exponentes, y son trminos semejantes, no son trminos semejantes.

2.4.1Ordenamiento de una expresin algebraica.El polinomio est ordenado en orden ascendente con respecto a la letra y, y est ordenado en orden descendente con respecto a la letra x.

2.4.2 Evaluacin de expresiones algebraicas.Las expresiones algebraicas aparecen en diversas reas del conocimiento humano: economa, fsica, qumica, biologa, medicina, geometra, industria, agricultura, educacin, etc. El evaluar expresiones algebraicas es una actividad que realizamos a cada momento, generalmente sin darnos cuenta.

Ejemplos:La superficie de una persona se calcula usando , con en libras y en pulgadas Cunto vale para una persona que mide 5 pies y pesa 180 libras?Solucin

Cul es el volumen de agua que cabe dentro de un barril para guardar agua potable. El barril tiene forma cilndrica de 2 metros de altura y radio de la base 0.5 ms?Solucin

El inters que produce un capital es directamente proporcional al capital inicial , al tiempo , y a la tasa de inters , donde , est expresado en tanto por ciento y en aos. Calcular a cunto asciende el inters simple producido por un capital de 25 000 crdobas invertido durante 4 aos a una tasa del anual.Solucin Crdobas

2.5 OPERACIONES ALGEBRAICAS

2.5.1 SUMA Y RESTA DE POLINOMIOSEJEMPLOS

1. Encontrar la suma de (8x2 4x 2) y (2x2 + 5x 3) i) Planteamos la suma: (8x2 4x 2) + (2x2 + 5x 3) = ii) Eliminamos los parntesis: 8x2 4x 2 + 2x2 + 5 x 3 = iii) Identificamos los trminos semejantes y los reordenamos:

=iv) Reducimos los trminos semejantes sumando o restando segn sea el caso, los coeficientes numricos y rescribiendo la(s) variable(s) con igual exponente:

= 10x2 + x 5Conclusin: (8x2 4x 2) + (2x2 + 5x 3) = 10x2 + x 5

2. Restar 4(5ab + 6) de 6 (2ab b2) i). Planteamos la resta en el orden indicado 6 (2ab b2) [ 4( 5ab + 6a2)] =ii). Aplicamos la ley distributiva: [12ab + 6 b2] [20 ab 24a2] =iii) Eliminamos los corchetes, observando que el segundo est precedido de signo menos: = 12ab + 6b2 + 20ab + 24a2iv) Reducimos trminos semejantes y reordenamos: = 24 a 2 + 8ab + 6b2 Conclusin: 6(2ab b2) [ 4 (5ab + 6a2 ] = 24 a2 + 8ab + 6b2

3. Simplificar 9x (2y 3x) (x + 4y) + y (2y x ) 2y + (4y 3x) Tenemos dos opciones: eliminar los smbolos de agrupacin de afuera hacia adentro o bien de adentro hacia afuera. Ambas vas deben conducirnos al mismo resultado. Optemos por la eliminacin de adentro hacia fuera. Siempre hemos de considerar el signo que precede a cada smbolo de agrupacin, tenemos: = 9x 2y 3x x 4y + {y 2y + x 2y + 4y 3x } Podemos ir reduciendo trminos semejantes antes de eliminar el siguiente smbolo de agrupacin. = 9x 2y 4x + { y + x 6y 3x } = 9x + 2y + 4x + { y + x 6y 3x} = 13x + 2y + { 7y + 4x } = 13x + 2y 7y + 4x = 17x 5y

4. Si P(x) = y Q(x) = , obtenga P(x) + Q(x) y P(x) Q(x)

P(x) =

Q(x) =

P(x) + Q(x) =

P(x) =

Q(x) =

P(x) Q(x) =

2.5.2 MULTIPLICACIN EJEMPLOS

5. (2ab) ( 3a2c) (5a4b3c2) = (2) ( 3) (5) (a a2 a4) (b b3) (c c2) = 30a7b4c3. Teniendo el cuidado pertinente podemos obviar el paso intermedio.6. (2xy) (4ax2 5y2z2) = (2xy) (4ax2) + (2xy) ( 5y2z2) = 8ax3y 10 xy3z27. (7ab) ( 3abc 5ab2c3) = (7ab) ( 3abc) + (7ab) ( 5ab2c3) = 21a2b2c 35a2b3c38. (x 2) (x + 3) = x (x + 3) 2 (x + 3) = x2 + 3x 2x 6 = x2 + x 6 9. (xa yb) (xb + ya) = xa (xb + ya) yb (xb + ya) = xa+b + xa ya yb xb ya+b10. (a2 2ab b2) (a2 + 3ab + 5b2 ) Solucin : Multiplicando Multiplicador (resultado del 1er trmino del multiplicador por el multiplicando) (resultado del 2do trmino del multiplicador por multiplicando). Resultado del 3er trmino del multiplicador por el multiplicando producto

2.5.3 PRODUCTOS NOTABLES a ( x + y ) = ax + ay( x y )3 = x3 3x2y + 3xy2 y3

( x + y )2 = x2 + 2xy + y2

( x + y ) ( x2 xy + y2 ) = x3 + y3

( x y )2 = x2 2xy + y2 ( x y ) ( x2 + xy + y2 ) = x3 y3

( x y ) ( x + y ) = x2 y2 ( x + y + z )2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz

( x + a ) ( x + b ) = x2 + ( a+ b )x + ab(x + a) (x + b) (x + c) =

( ax + b ) ( cx + d ) = acx2 + ( ad + bc )x +bd(x + a) (x + b) (x + c) (x + d) =

( x + y )3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

11. (x + 4) ( x + 5) = x2 + (4 + 5) x + (4) (5) = x2 + 9x + 20EJEMPLOS

12. (3x + 7)2 = (3x)2 + 2 (3x) (7) + 72 = 9 x2 + 42 x + 4913. (7x 8y) (7x + 8y) = (7x)2 (8y)2 = 49 x2 64 y214. (x + 1) ( 6x 5) = (1) (6) x2 + [ (1) ( 5) + (1) (6) ] x + (1) ( 5) = 6 x2 + x 5 15. ( x2 y 5xy3) ( x2 y + 5xy3) = ( x2 y)2 ( 5xy3)2 = x4 y2 25x2 y6 16. (2x + 3)( 4 x2 6x + 9)(x 1)( x2 + x + 1) =[(2x + 3)( 4 x2 6x + 9)] [ (x 1)( x2 + x + 1) ] = (8 x3 + 27) (x3 1) = 8 x6 + 19 x3 27 17. (5y 3)3 = (5y)3 3 (5y)2 (3) + 3 (5y) (3)2 (3)3 = 125 y 3 225 y2 + 135 y 27

19. (x 2)(x + 3)(x 5)(x + 9) = Se tiene a = 2, b = 3, c = 5, d = 9; a + b + c + d = 2 + 3 5 + 9 = 5;ab + ac + ad + bc + bd + cd = 6 + 10 18 15 + 27 45 = 47 ;abc + abd + acd + bcd = 30 54 + 90 135 = 69 ; abcd = 270

Luego (x 2)(x + 3)(x 5)(x + 9) = 2.5.4 DIVISIN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS:EJEMPLOS

19. 20.

21.

22. Dividir 6a3 a2b 11ab2 + 6b3 entre 2a + 3bObservamos que los polinomios estn ordenados segn las potencias descendentes de a.Una forma de disponer los polinomios para efectuar la divisin es el que sigue.Siguiendo los pasos sealados anteriormente tenemos:Dividendo 6a3 a2b 11ab2 + 6b3 2a + 3b Divisor 6a3 9a2b 3a2 5ab + 2b2 10a2b 11ab2 + 6b3 10a2b + 15ab2 cociente 4ab2 + 6b3 4ab2 6b3 0 ResiduoLuego (6a3 a2b 11ab2 + 6b3) (2a+ 3b) = 3a2 5ab + 2b2

2.5.5 DIVISIN SINTTICA: P(x) (x a)23. Dividir x3 x 10 entre x 31er. Paso: Escribimos los coeficientes del dividendo con su respectivos signos y a su derecha el valor de a que en este caso es a = 3. Si en el dividendo no aparece una potencia intermedia de x, interpretamos que su coeficiente es cero y tambin lo escribimos en su lugar correspondiente. (En el ejemplo no aparece x2)

Tenemos entonces: 1 0 1 10 3

2do. Paso: bajamos el primer coeficiente y lo escribimos bajo la lnea trazada. Este valor lo multiplicamos por a y el producto lo escribimos debajo del segundo coeficiente. A continuacin efectuamos la suma de estos valores y lo escribimos bajo la lnea trazada.3er Paso: Reiteramos el paso anterior hasta llegar al ltimo coeficiente. En este caso obtenemos. 1 0 1 10 3 3 9 24 1 3 8 144to Paso: Interpretamos el resultado. En el ejemplo el dividendo es de grado 3, luego el cociente ser de grado 2, y sus coeficientes en orden descendentes son los que resultaron en la parte inferior o sea q(x) = x2 + 3x + 8. El ltimo nmero es el residuo, que en este caso es r = 14.

Este mtodo ligeramente modificado podemos usarlo tambin cuando el divisor es de la forma

ax b. Para ello rescribimos ax b como a y la divisin la hacemos en dos partes: primeramente dividimos entre x y luego el cociente encontrado entre el valor de a para hallar el cociente definitivo. El residuo encontrado en la primera parte permanece igual

24. Efectuar 3x4 4x3 + 4x2 10x + 8 3x 1

Tenemos 3x 1 = 3(x ) luego escribimos3 44 1081/3 1 1 1 3 3 3 3 95 Resulta el cociente q(x)= 1/3 (3x3 3x2 + 3x 9) = x3 x2 + x 3y el residuo r = 5

2.6 FACTORIZACIN

2.6.1 FACTOR COMN MONOMIO: ax + ay = a (x + y )EJEMPLOS

1. 5x 15 = En este caso notamos que los coeficientes numricos tienen como mximo comn divisor a 5, luego dividimos cada trmino entre este valor y obtenemos:5x 15 = 5 (x 3)2. 6a2b3c 3a3b2c2 d + 9 a4b2c3 3abc =Primero buscamos el mximo comn divisor de los coeficientes numricos, que en este caso es 3. Luego buscamos las literales que sean comunes a cada trmino, tomndolas a la menor potencia que aparecen y finalmente dividimos cada trmino entre el factor comn encontrado: 6a2b3c 3a3b2c2d + 9 a4b2c3 3abc = 3abc (2ab2 a2bcd + 3a3 bc2 1)2.6.2 FACTOR COMN POR AGRUPACIN

3. x3 + x2 4x 4 = (x3 + x2) + ( 4x 4) = x2 ( x + 1 ) 4 ( x + 1 )= ( x + 1 ) ( x2 4 ) = ( x + 1 ) ( x 2 ) ( x + 2 ) (Posteriormente veremos que x2 4 = (x 2) (x + 2) ) 4. 2y y2 + 12y3 6y4 = y (2 y + 12y2 6y 3) = y [( 2 y ) + 6y 2( 2 y )] = y (2 y) (1 + 6 y2 )5. 4xz y w + 2yz 2xw = (4xz + 2yz) + ( y w 2xw ) = 2z (2x + y) w ( y + 2x) = ( 2x + y) (2z w ) 2.6.3 TRINOMIO CUADRADO PERFECTO6. Factorizar 9x2 6x + 1Primero notamos que ya est ordenado. Tenemos que la raz cuadrada del primer trmino y el ltimo son 3x y 1, y que el segundo trmino corresponde al doble de ellas. Notamos adems que es negativo, luego 9x2 6x + 1 = (3x 1)2.7. Factorizar 36x2 + 60xy + 25y2Observamos que el primero y el ltimo trmino tienen raz cuadrada exacta, estas son 6x y 5y. Comprobamos que el segundo trmino corresponde al doble del producto de las races y por tanto es un trinomio cuadrado perfecto. Como el segundo trmino es positivo, se trata de una suma. Luego36x2 + 60xy + 25y2 = (6x + 5y )2

8. Factorizar 4a6 9b4 + 12a3 b2 Primeramente notamos que no est ordenado de acuerdo a las potencias de las literales. Adems notamos que los trminos cuadrticos aparecen negativos. Nos conviene entonces ordenarlos y encerrarlos entre parntesis precedido del signo menos. Luego verificamos que corresponde a un trinomio cuadrado perfecto. 4a6 9b4 + 12a3 b2 = 4a6 + 12a3 b2 9b4 = ( 4a6 12a3 b2 + 9b4 ) = ( 2a3 3 b2 )2

9. Factorizar

Considerando que ()2 = x , verificamos que es un trinomio cuadrado perfecto, luego

( + 4 )22.6.4 DIFERENCIA DE CUADRADOS.10. 4x2 9 = ( 2x 3 ) ( 2x + 3 )11. 16x4 25y6 = ( 4x2 5 y3 ) (4x2 + 5 y3 )

12. u2 v = (u ) (u + )

13. 2.6.5 TRINOMIO DE LA FORMA x2 + B x + C14. Factorizar x2 + 5x + 6.Notemos que los coeficientes del trmino lineal y el trmino independiente son positivos, luego los valores de a y b tambin deben ser positivos. Los factores de 6 son (1, 2, 3 y 6). La pareja que satisface la condicin indicada son 2 y 3, luego x2 + 5x + 6 = ( x + 2 ) ( x + 3 ).15. Factorizar y2 7y 8 Notamos que el trmino independiente es negativo, luego uno de los valores a encontrar debe ser negativo y el otro positivo. Dado que el coeficiente del trmino lineal es negativo, el mayor de los valores encontrados debe ser negativo. Los factores de 8 son (1, 2, 4, 8) y la pareja que satisface las ecuaciones son 8 y 1, luego y2 7y 8 = ( y 8 ) ( y + 1 )16. Factorizar z2 + 5z 14. Similar al caso anterior, pero en este caso al mayor de los valores le corresponde signo positivo. Se tiene z2 + 5z 14 = ( z + 7 ) ( z 2 )17. Factorizar x2 + 10xy + 24y2 Ahora notamos que aparecen dos variables, pero que tiene la forma que estamos considerando. A los valores a y b encontrados, le aadimos la segunda variable. x2 + 10xy + 24y2 = ( x + 6 y ) ( x + 4y ) 2.6.6 TRINOMIO DE LA FORMA Ax2 + B x + C18. Factorizar las siguientes expresiones1. 2x2 + 11x + 5

Primera forma: 2x2 + 11x + 5 = = (x + 5) (2x +1)Segunda forma:Multiplicamos ac: (2)(5) = 10 y buscamos dos factores de 10 cuya suma sea b =11, que en este caso son 1 y 10. Luego descomponemos 11x como x + 10x y factorizamos por agrupacin. 2x2 + 11x + 5 = 2x2 + x + 10x + 5 = x ( 2x + 1 ) + 5 ( 2x + 1 ) = ( 2x + 1) ( x + 5 )

19. 10x2 7xy 12y2 =

= = (2x3y) (5x +4y)20. 15x2 2x 8 = 15x2 12x + 10x 8 = ( 15x2 12x ) + ( 10x 8 ) = 3x ( 5x 4 ) + 2 ( 5x 4 ) = ( 5x 4 ) ( 3x + 2 ) 21. 50 a2 45 a b2 18 b4 = 50 a2 60 a b2 + 15 a b2 18 b4 = (50 a2 60 a b2 ) + (15 a b2 18 b4 ) = 10 a ( 5 a 6 b2 ) + 3 b2 ( 5 a 6 b2 ) = (10 a + 3 b2 ) (5 a 6 b2 )

22. 6x2 11x + 4 =

= 2.6.7 SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS

23. 8a3 27 b6 = (2a 3b2) (4a2 + 6ab2 + 9b4)24. 64x3y3 + 125 = (4xy + 5 ) (16x2y2 20 xy + 25)

2.6.8 FACTORIZACIN POR EVALUACIN25. Factorizar x3 2x2 5x + 6Solucin: Los factores del trmino independiente son 1, 2, 3, 6.EvaluemosP ( 1) = ( 1)3 2( 1)2 5 ( 1) + 6 = 1 2 + 5 + 6 = 8 0No nos sirve P (1) = (1)3 2(1)2 5 (1) + 6 = 1 2 5 + 6 = 0luego x 1 es un factorBuscamos el otro factor, usando divisin sinttica:11 2 5 6 1 1 6 1 1 6 0

Luego x3 2x2 5x + 6 = (x 1) (x2 x 6)Notamos que x2 x 6 es un trinomio del tipo x2 + bx + c, fcilmente factorizable: x2 x 6 =(x 3)(x + 2)finalmente tenemos:x3 2x2 5x + 6 = (x 1) (x 3) (x + 2)26. Factorizar x4 x3 7x2 + x + 6Solucin: Los factores del trmino independiente son: 1, 2, 3, 6.

Evaluamos: P (1) = (1)4 (1)3 7 (1)2 + 1 + 6 = 1 1 7 + 1 + 6 = 0 x 1 es un factor.11 1 7 1 6 1 0 7 6 1 0 7 6 0

Buscamos el otro factor: Luego x4 x3 7x2 + x + 6 = (x 1) (x3 7x 6) Intentamos factorizar x 3 7x 6 por el mismo mtodo. El trmino independiente tiene los mismos factores: 1, 2, 3, 6. Evaluamos P (1) = (1)3 7(1) 6 = 1 7 6 = 12 No nos sirve P ( 1) = ( 1)3 7( 1) 6

= 1 +7 6 = 0 x + 1 es un factorAplicamos la divisin sinttica 11 0 7 6 1 1 6 1 1 6 0

Tenemos entonces x4 x3 7x2 + x + 6 = (x 1) (x + 1) (x2 x 6)o sea x4 x3 7x2 + x + 6 = (x 1) (x + 1) (x 3) (x + 2)2.6.9 COMBINACIN DE DIVERSOS CASOS27. KD2 4Kr2 = K(D2 4r2 ) = K (D 2r ) (D + 2 r )28. x4 + x2y2 + y4 = (x4 + 2x2y2 + y4) x2y2 = (x2 + y2) 2 x2y2 = (x2 + y2 xy ) (x2 + y2 + xy )29. 9x 2 64y2 + 112y 49 = 9x 2 (64y2 112y + 49 ) = 9x 2 (8y 7)2 = 3x (8y 7) 3x + (8y 7) = (3x 8y + 7) (3x + 8y 7)30. 9x2 + y2 + 6xy 1 = (9x2 + 6xy + y2) 1 = ( 3x + y) 2 1 = [ (3x + y) 1 ] [ ( 3x + y) + 1] = ( 3x + y 1 ) ( 3x + y + 1) 31. 3 x3 + 2 x2 12x 8 = (3 x3 + 2 x2 ) + ( 12x 8 ) = x2 ( 3x + 2 ) 4 ( 3x + 2 ) = ( x2 4 ) ( 3x + 2) = ( x 2 ) ( x + 2 ) ( 3x + 2 )32. 8 x6 + 19 x3 27 = ( 8 x3 + 27 ) ( x3 1 ) = ( 2x + 3 ) ( 4 x2 6 x + 9) (x 1 ) ( x2 + x + 1 )33. 4 x3 + 6 x2 4 x y2 6 y3 = 2x2 ( 2x + 3y ) 2 y2 ( 2x + 3y ) = (2 x2 2 y2 ) ( 2x + 3y ) = 2 ( x2 y2 ) ( 2x + 3y ) = 2 ( x y ) ( x + y ) ( 2x + 3y )34. x8 + 5x4 6 = (x4 + 6) (x4 1) = (x4 + 6) (x2 + 1) (x2 1) = (x4 + 6) (x2 + 1) (x + 1)(x 1)

2.7 OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS2.6.7 SIMPLIFICACIN:EJEMPLOS

SIMPLIFICACIN

1. = = 2.

2.6.8 MULTIPLICACIN Y DIVISIN:

Efectuar

3. = = 4.

= = 12.6.9 SUMA Y RESTA: Efectuar las siguientes operaciones:

5. +

Dado que los denominadores son iguales procedemos a sumar los denominadores y simplificamos el resultado. Tenemos:

6. Dado que los denominadores son distintos, buscamos el M.C.D. Para eso factorizamos cada denominador. El M.C.D. est formado por cada uno de los factores distintos con la mxima potencia que aparezcan.En este caso tenemos x2 x 2 = (x 2) (x + 1) ; 2x2 5x + 2 = ( 2x 1) ( x 2) MCD = (2x 1 ) (x 2) (x + 1)Dividiendo el MCD entre cada denominador y multiplicando el resultado por el respectivo numerador se obtiene

= =

= = =

= =

7. Como en el ejemplo anterior, los denominadores son distintos. Buscamos el M.C.D., factorizando cada denominador. El M.C.D. est formado por cada uno de los factores distintos con la mxima potencia que aparezcan.En este caso tenemos:12x + 8 = 4 (3x + 2); 6x + x 2 = (3x + 2) (2x 1) ; 16x 8 = 8 (2x 1) MCD = 8(3x + 2) (2x 1)

Procedemos a dividir el MCD entre cada denominador y multiplicarlo por el respectivo numerador.

=

=

= =

= =

8. = =

9. Buscamos el m.c.m. de los denominadores:2x2 2 = 2 (x2 1) = 2 ( x 1) (x + 1); 2x + 2 = 2 ( x + 1) ; x + 1 = (x + 1)luego el MCD es 2 ( x 1) (x + 1)

=

= =

2.7 EXPONENTES Y RADICALES

A. CONCEPTOS BASICOS SOBRE LOS RADICALES

La radicacin es la operacin inversa de la potenciacin. Si una potencia es entonces la radicacin es .

Se llama raz de un nmero real a otro nmero real cuya potencia es igual a

Donde: es el radical, es el ndice, es el radicando y es la raz.

Por las leyes sobre los signos de las potencias de exponente natural y base negativa tenemos que: Toda raz de ndice impar de un nmero tiene el mismo signo que el radicando.

Toda raz de ndice par de un nmero positivo tiene doble signo.

Toda raz de ndice par y radicando negativo no es real.

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA RADICACIN.Si se multiplica o divide el ndice de la raz y el exponente del radicando por un mismo nmero entero, el valor aritmtico del radical no vara.

Ejemplos:

SIMPLIFICACIN DE RADICALES.Para simplificar un radical se divide el ndice del radical y el exponente del radicando por sus factores comunes.

Ejemplos:

REDUCCIN DE RADICALES A NDICE COMN.Se opera de manera similar a la de reduccin a comn denominador en fracciones: El ndice comn ser el mximo comn mltiplo (mcm) de los ndices. Se divide el ndice comn por cada ndice y el cociente se multiplica por elexponente del radicando.

Ejemplos: El mcm de (2,6,4) es 12 Luego Desarrollando las potencias, tenemos: POTENCIACIN DE EXPONENTE FRACCIONARIO.Una potencia de exponente fraccionario es equivalente a un radical cuyo ndice es el denominador del exponente, y cuyo radicando es la base elevada al numerador del exponente.

Ejemplos: PRODUCTO DE RADICALES.El producto de radicales de igual ndice es otro radical que tiene el mismo ndice y por radicando el producto de los radicandos de los factores. Si los radicales no tienen igual ndice se reducen previamente a ndice comn.

Ejemplos: mcm de (2,36)=6

Extraccin de factores fuera del signo radical. Se divide el exponente del radicando por el ndice de la raz. El cociente se escribe como exponente del factor fuera del signo radical. El resto de la divisin se escribe como exponente del factor dentro del radical.

Ejemplo:

Hacemos la divisin y obtenemos de cociente y de resto Separamos en dos factores, de tal forma que uno ellos sea el mltiplo del ndice ms prximo al exponente del radicando. Aplicamos la descomposicin.

Simplificamos el primer radical.

INTRODUCIR FACTORES DENTRO DEL SIGNO RADICAL.Para introducir dentro del signo radical un factor que multiplica a una raz, se multiplica el exponente del factor por el ndice de la raz y se escribe el producto como exponente del factor dentro de la raz.

Ejemplos:

COCIENTE DE RADICALES.El cociente de radicales de igual ndice es otro radical que tiene el mismo ndice y por radicando el cociente de los radicandos. Si los radicales no tienen igual ndice se reducen previamente a ndice comn.

Ejemplos:

Para extraer factores de un radical con radicando en forma de fraccin se realiza primero el cociente de radicales y despus se extraen independientemente los factores del numerador y del denominador.Ejemplos:

POTENCIA DE UN RADICAL.Otra forma de obtener esta expresin es desarrollando la potencia y aplicando la regla del producto de radicales:

Para elevar una raz a una potencia se eleva el radicando a esa potencia.

Ejemplos:

RAZ DE UN RADICAL.La raz m-sima de la raz n-sima de un nmero es la raz mn-sima de dicho nmero.

Ejemplos:

Los ejercicios siguientes se empiezan a resolver desde el radical ms interior.

RACIONALIZACIN DE DENOMINADORES.La racionalizacin de denominadores es la operacin que elimina las expresiones radicales que pueden aparecer en los denominadores. Para eliminar el radical se multiplican numerador y denominador por la raz que aparece en el denominador.

Es conveniente extraer todos los factores posibles del radical antes de racionalizar.

Ejemplos:

Si el exponente del radicando es m, se multiplica numerador y denominador por la raz n-sima del radicando elevado a n-m.

Ejemplos:

RACIONALIZACIN DE BINOMIOS.Si el denominador es un binomio con radical de ndice dos, se eliminan los radicales del denominador multiplicando numerador y denominador por el conjugado del denominador. Los pares son expresiones conjugadas y su producto es igual . Si o son radicales de ndice dos, las races desaparecern al realizar el producto:

Ejemplos:a) Si el denominador es , su conjugado es y el producto de conjugados dar como resultado , con lo que desaparece el radical.

b) Si el denominador es , su conjugado es y el producto de conjugados dar como resultado . c) Si el denominador es , su conjugado es y el producto de conjugados:

d) Si el denominador es , su conjugado es y el producto de conjugados: .

Ejemplos:Racionalizando el numerador.

Racionalizando el denominador.

B. EJEMPLOS SOBRE LOS CONCEPTOS BASICOS DE LA POTENCIACION Y LA RADICACION

2.7.1 EJEMPLOS OPERACIONES CON RADICALES EJEMPLOS

SIMPLIFICACIN

Simplificar las siguientes expresiones, eliminando exponentes negativos

1.

2.

3. =

= = Simplificar las siguientes expresiones:

4.

Tenemos 81 = 34 , . En el denominador aparece y3. En vista de que no debe aparecer una fraccin bajo el signo radical y dado que en el ejemplo se tiene raz cuarta, rescribimos

Luego =

5. Las propiedades de radicales no contemplan sumas ni restas, slo productos o cocientes. Por tanto hemos de realizar primero la suma de las fracciones que aparecen bajo el signo radical.

luego =

6. Factorizamos la expresin sub-radical y aplicamos las propiedades

= 2.7.2 SUMA Y RESTA DE RADICALES:

7. 3 8.

9.

10. =

2.7.3 MULTIPLICACIN Y DIVISIN DE RADICALES 11.

13.

12 .= = 3 = 6 8

13. (2.7.4 RACIONALIZACIN:Racionalizar el denominador de

14. 15.

16.

Usando el hecho que podemos eliminar radicales en las expresiones de la forma , bastando para ello multiplicar el numerador y el denominador por el respectivo conjugado. Decimos que y son conjugados.

17. Racionalizar el denominador de

El conjugado del denominador es , luego

=

= =


El conjugado del denominador es . Multiplicando numerador y denominador por esta expresin obtenemos:

= =


Si escribimos su conjugado ser , luego

El conjugado del nuevo denominador es

2.8 ECUACIONES LINEALES

Una ecuacin es una igualdad que contiene cantidades conocidas llamadas coeficientes y cantidades desconocidas llamadas variables o incgnitas (se designan por cualquier letra del alfabeto, y en particular por: ). En el caso de las ecuaciones con una variable, se catalogan segn el exponente ms alto de la variable.Ejemplos:Ecuacin lineal de primer grado , ecuacin cuadrtica o de segundo grado , ecuacin de tercer grado .

2.8.1 ECUACIN LINEAL CON UNA VARIABLE.

Sean constantes reales con . Se llama ecuacin lineal o de primer grado con una variable a toda ecuacin de la forma

Ejemplos: Si dos ecuaciones lineales con una variable tienen el mismo conjunto solucin, decimos que son equivalentes entre s. y son equivalentes, tienen el mismo conjunto solucin

Para resolver ecuaciones lineales usaremos el concepto de ecuaciones equivalentes. Para esto "transformaremos" la ecuacin original en otras equivalentes a ella, hasta obtener una ecuacin de la forma , donde es una incgnita y es una constante real.

Las siguientes son algunas "transformaciones" que se pueden usar para obtener ecuaciones equivalentes entre s:1. Permutar miembros de la ecuacin. Es equivalente a 2. Sumar el mismo nmero a ambos miembros de la igualdad. Es equivalente a 3. Multiplicar ambos miembros de la igualdad por un mismo nmero diferente de cero. Es equivalente a con

2.8.2 PROCEDIMIENTO GENERAL PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES CON UNA VARIABLE: 1. Elimine todas las fracciones multiplicando cada lado por el mnimo comn denominador.2. Quitar parntesis.3. Simplifique los trminos semejantes, usando la propiedad aditiva de la igualdad para lograr que la ecuacin tenga la forma: 4. Despeje la variable mediante la propiedad multiplicativa de la igualdad5. Verifique el resultado con la ecuacin originalEJEMPLOS

Resolver las siguientes ecuaciones:1. 4x 3 = 5 4x = 8 Sumamos 3 a cada lado x = 2 Dividimos entre 4 cada lado

2. 4x 60 = 3x 24 Multiplicamos cada lado por 12, que es el m.c.m. de los denominadores x 60 = 24 Restamos 3x a cada lado

x = 36 Sumamos 60 a cada lado

3. 2y + 5y = 3 Multiplicamos por 10 cada lado 7y = 3 Reducimos trminos semejantes

y = Dividimos entre 7 cada lado

4. Multiplicamos el numerador y el denominador de la segunda fraccin por 1

Efectuamos la resta de fracciones 2 = 2(x-6) Multiplicamos por x 6, x 6 2 = 2x-12 Efectuamos la operacin indicada 10 = 2x Trasladamos y reducimos 2x = 10 x = 5 Simplificamos cada lado

5.

Buscamos el mcm de los denominadores. En este caso es 70. Multiplicamos cada miembro por este valor para eliminar los denominadores y luego procedemos como en los ejemplos anteriores:

70 (14x 5 (3 x) = 14 (2 +x ) 3514x 15 + 5x = 28 + 14x 35

5x = 8 x =

6. Despejar m de

Restamos a cada lado y reducimos el lado derecho

Escribimos el inverso multiplicativo de cada lado

2.9 ECUACIONES CUADRTICASSean constantes reales con . Se llama ecuacin cuadrtica o ecuacin de segundo grado con una incgnita a toda ecuacin de la forma:

Ejemplos:

Resolver una ecuacin cuadrtica es hallar los valores de la variable que satisfacen la ecuacin.

TeoremaSean constantes reales con tal que y 1. Si entonces no tiene solucin en el conjunto de los nmeros reales, es decir .2. Si entonces tiene solucin nica, es decir

3. Si entonces tiene dos soluciones, es decir

2.9.1 ALGORITMO PARA RESOLVER UNA ECUACIN CUADRTICA.

EJEMPLOS

1. Resolver usando factorizacin la ecuacin x2 + 8x 20 = 0Solucin: x2 + 8x 20 = ( x + 10) (x 2) = 0 (Factorizamos)x + 10 = 0 x 2 = 0 (Igualamos cada factor a cero ) x = 10 x = 2 (Despejamos la variable) El conjunto solucin es: x 10, 2 2. Resolver completando cuadrados la ecuacin 4x2 + 16x +15 = 0Solucin:

4x2 + 16x +15 = 0 4x2 + 16x = 15 x2 + 4x = x2 + 4x + 4 = + 4

(x + 2)2 = x + 2 = , x = 2

x {}3. Resolver usando la frmula general la ecuacin 6x2 +11x 10 = 0Solucin:Identificamos que a = 6, b = 11 y c = 10. Sustituimos en la frmula general

=

x1 = x2 = x { }4. Despejar x de y = x2 x + 4Solucin:Reacomodando tenemos x2 x + 4 y = 0, lo que representa una ecuacin cuadrtica para x. Luego aplicamos la frmula general, teniendo a = 1, b = 1 y c = 4 y, resulta

x = = 5. Si x2 + x + k = 0, hallar el valor de k de manera que una raz sea x = 2

Tenemos a = 1, b = 1 y c = k y r1+ r2 = , luego r1 + r2 = 1 r2 = 1 2 = 3 De r1 r2 = c/a, a = 1 y c = k resulta k = r1 r2 = (2) ( 3) = 6 6. Si una de las races de la ecuacin x2 + 8x + k = 0 es el triple de la otra, halle el valor de k.Tenemos r1 = 3 r2, r1 + r2 = 8 luego 3 r2 + r2 = 4r2 = 8 r2 = 2 r1 = 6 Adems r1 r2 = k, por tanto k = ( 2) ( 6) = 12.

No podemos factorizar, no es posible hallar dos nmeros reales que multiplicados resulten y sumados 1. Si queremos aplicar la formula cuadrtica, observamos que , entonces no hay solucin real,

2.10 ECUACIONES IRRACIONALES Y ECUACIONES DIVERSAS

Resolver las siguientes ecuaciones

1.

Aislamos el radical: Elevamos al cuadrado 3x 2 = (6 2x) 2 para eliminar el radical: 3x 2 = 36 24x + 4x2Resolvemos la ecuacin resultante: 4x2 27x + 38 = 0

Se obtiene inicialmente:x1 = y x2 = 2. Verificamos las races en la ecuacin original:

x1 = No satisface la ecuacin, por tanto se descarta.

x2 = satisface la ecuacinLuego la solucin de la ecuacin es x = 2

2.

Elevemos al cuadrado ambos lados: =

Aislamos (despejamos) el trmino que qued con radical, realizando las operaciones indicadas:

Elevamos de nuevo al cuadrado cada lado, se obtiene: , luego al simplificar resulta x = 4

Verificamos : , 3 + 2 = 5, se cumple, luego la solucin es x = 4

3. Rescribimos la ecuacin de manera que queden separados los radicales

Elevamos al cuadrado cada lado y simplificamos

Separamos el radical y luego elevamos al cuadrado

9 + 24x +16x2 = 4(11 + 8x) = 44 + 32xAl simplificar y reordenar obtenemos la ecuacin cuadrtica 16x2 8x 35 = 0 Resolviendo esta ecuacin resulta:

x = = . Se obtiene x1 = Verificamos estas races en la ecuacin original para descartar posibles races extraas, resultando que slo x = 5/4 satisface la ecuacin y por tanto es la raz buscada.

4. Resolver Solucin:

=

Multiplicando por el denominador de la derecha ambos lados:

Transponiendo trminos y simplificando:

Elevando al cuadrado cada lado:

Simplificando: Descartamos x = 0, ya que hace cero el denominador del lado izquierdo de la ecuacin.

ECUACIONES DIVERSAS Y ECUACIONES REDUCIBLES A ECUACIONES CUADRATICAS Resolver cada una de las ecuaciones.

5. Notemos que x 0, ya que aparece en el denominadorx3 = x x3 x = 0 x (x2 1) = 0 x = 0 x2 1 = 0, x = 0 x = 1 Descartamos la solucin x = 0 y por tanto la solucin es: x = 16. x 4 + 5x 3 + 5x 2 5x 6 = 0 Factorizamos este polinomio usando el mtodo de evaluacin y la divisin sinttica.Factores de 6: 1, 2, 3, 6Para a = 1 1 + 5 + 5 5 6 = 0Luego es divisible entre x 1. Haciendo la divisin sinttica resulta:Tenemos entonces que la ecuacin es equivalente a (x 1) (x3 + 6x2 + 11x + 6) = 0 11 5 5 5 6 1 6 11 61 6 11 6 0

Factorizando el segundo factor: para a = 1, se tiene: 1 + 6 11 + 6 = 0Luego es divisible entre x + 1. Haciendo la divisin sinttica resulta: 11 6 11 6 1 5 6 1 5 6 0

Tenemos entonces (x 1) (x + 1) ( x 2 + 5x + 6) = 0 lo que equivale a (x 1) (x + 1) (x + 2) ( x + 3) = 0 Igualando cada factor a cero, se obtiene: x = 1, 1, 2, 3

7. 3x 19 + 20 = 0

Consideramos inicialmente como incgnita a y factorizando se obtiene:

3x 15 4 + 20 = 0 3 ( 5) 4( 5) = 0

(3 4) ( 5) = 0 3 4 = 0 5 = 0

= 4/3 = 5 x = 16/9 x = 25

8. Tomamos como incgnita inicialmente a Observemos que x 1

x = 5 ( x +1 ) x = 3 ( x +1) x = 5x 5 x = 3x + 3 6x = 5 2x = 3 x = 5/6 x = 3/29. 6u-1/2 17u-1/4+5 = 0Tomamos como incgnita inicial a u-1/4 y factorizamos:6u-1/2 15u-1/4 2u-1/4+5 = 0 3u-1/4 (2u-1/4 5) (2u-1/4 5) = 0(3u-1/4 1)(2u-1/45) = 0 3u-1/4 1=0 2u-1/4 5 = 0

u = 81

10. 2y4 + 3y2 5 = 0Factorizando: 2y4 + 5y2 2y2 5 = 0 y2 ( 2y2 + 5 ) ( 2y2 + 5 ) = 0 ( y2 1) (2y2 + 5) = 0 (y2 1) = 0 2y2 + 5 = 0

y = 1 y = Otra forma: Usando la frmula general, tomando inicialmente como variable y2( 2y2 )2 + 3y2 5 = 0

y2 = = y = 1

=y = 11. 3x2/3 + 8x1/3 3 = 0Factorizando: (3x1/3 1) (x1/3 + 3) = 03x1/3 1 = 0 x1/3 + 3 = 0 x1/3 = 1/3 x1/3 = 3 x = 1/27 x = 27

12.

6x + 13 (multiplicamos cada lado por y transponemos)

6x + 15 (factorizamos)

se descarta porque . x = 1/9

2.11. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DE ORDEN EN DOS Y TRES VARIABLES.DEFINICION Y METODOS DE SOLUCION EJEMPLOS

1. Resuelva usando el mtodo de eliminacin por sustitucin De (1) x = 3 + y , sustituyendo en (2) ( 3 + y) + 2y = 3 3y = 6 y = 2 . Al sustituir en (1) x = 3 + ( 2) = 1. El conjunto solucin es (x , y ) = ( 1, 2 ) (Verificamos en cada ecuacin y vemos que se satisfacen)2. Resuelva usando el mtodo de eliminacin por igualacin De (1) y (2) despejemos x1 : x1 = 12 x2 (3) x1 = 2x2 (4) Igualamos (3) y (4) : 2x2 = 12 x2 3x2 = 12 x2 = 4 Sustituimos en (3) o (4) y obtenemos x1 = 8. Luego (x1, x2 ) = ( 8 ,4 ).3. Resuelva usando el mtodo de reduccin por suma y resta Dejamos igual la (1) y multiplicamos por 2 la (2) : 4x 3y = 6 4x 8y = 10

11y = 16 y = Multiplicamos por 4 la (1) y por 3 la (2):

22x = 9 x = Luego ( x , y ) = ( , )

4. Resolver1) Eliminemos z en (1) y (2)3x + 3y + 3z = 75 x 2y 3z = 59 2x + y = 16 (4)Multiplicando por 3 la (1) y por 1 la (2):2) Eliminemos z en (1) y (3) x + y + z = 252x + 2y z = 53x + 3y = 30(3) x + y = 10 (5)

3) Resolvamos (4) y (5) x = 6 y = 44) Sustituyamos en (1)6 + 4 + z = 25 z = 155) Verificando en (1)6 + 4 + 15 = 25 6) Verificando en (2)6 + 2(4) + 3(15) = 6 + 8 + 45 = 597) Verificando en (3)2(6) + 2(4) 15 = 12 +8 15 = 5Solucin (x, y, z) = (6, 4, 15)

5. Resolver De (1) y (2)2x + y =3 (4)

De (4) y (3) x = 2 ; y = 1De (2) z = x 1 z = 1Verificacin en (1) 2 + (1 ) + 1 = 2 (2) 2 1 = 1 (3) 2 + ( 1 ) = 1 Solucin (x, y, z) = (2, 1, 1)

RESOLUCIN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES MEDIANTE REGLA DE CRAMER.EJEMPLO

7. Resolver usando el la regla de Cramer Solucin: Calculamos los determinantes.

= 1

luego , ; Conjunto solucin: (x, y, z) = (3, 2, 1)

2.12. SISTEMAS FORMADOS POR UNA ECUACIN LINEAL Y UNA CUADRTICA O DOS CUADRTICASEJEMPLOS

1. Resolver Solucin: De ( 1 ) despejamos y y = 10 2x sustituyendo en ( 2 )x2 + (10 2x)2 = 25 x2 + 100 40x + 4x2 = 25 5x2 40x + 75 = 0 x2 8x + 15 = 0 ( x 5 )( x 3) = 0 x1 = 5 x2 = 3para x1 = 5, y1 = 10 2( 5 ) = 0 y para x2 = 3, y2 = 10 2( 3 ) = 4por tanto (x, y) { (5,0) , (3,4) }

2. Resolver Solucin:

De (1) sustituyendo en ( 2 ) 2y2 + 7y 60 = 0

( 2y + 15) (y 4) = 0 y 1 = 4

para y1 = 4 para

Luego (x, y) { (5 , 4 ) , , }

3. Resolver

Solucin : De ( 1) . Sustituyendo en ( 2 ) Se obtiene (3 + 9y) y + 13 y2 = 25 3y + 9y2 +13y2 = 25 22y2 + 3y 25 = 0

( y 1 ) (22y + 25 ) = 0 y1 = 1

para y1 = 1 resulta y para resulta

luego (x, y) { ( 1 , 1 ) , , }

4. Resolver Solucin : De ( 1) y = 5x 3 (3) . Sustituyendo en ( 2 ) ( 5x 3 )2 6x2 = 2525x2 30x + 9 6x2 =25 19x2 30x 16 = 0 ( x 2 ) ( 19x + 8 ) = 0

x1 = 2 , Sustituyendo en ( 3 ) x1 = 2 y1 = 5 ( 2 ) 3 =7

luego (x, y) { (2 , 7 ) , , }

5. Resolver

El sistema es equivalente a 4 = xy (3)De ( 1 ) y = 4 x Sustituyendo en ( 3 ) 4 = x ( 4 x ) x2 4x + 4 = 0 ( x 2 )2 = 0 x = 2 y = 4 x = 2 (x, y) = (2, 2)

6. Resolver Solucin: Sustituyendo ( 1 ) en ( 2 )x 2( x2 + 2x 15 ) = 10

x 2x2 4 x + 30 = 10 2x2 + 3 x 20 = 0 ( 2x 5 ) ( x + 4 ) = 0 , x2 = 4

sustituyendo en (1) se obtiene (x, y) { , , ( 4, 7) }

7.Solucin: Veamos un mtodo alternativo, que puede usarse cuando los trminos con variables tienen igual grado: Haciendo y = mx , ( 1 ) 3x2 5 m2x2 = 7( 2) 3mx2 4m2x2 = 2

. Al dividir miembro a miembro se obtiene 6 10m2 = 21m 28m2 18m2 21m + 6 = 0 6m2 7m +2 = 0

( 2m 1)( 3m 2) = 0

para de (1) : x = 2 y = mx = 1

para x = 3 y = mx = 2 luego (x, y) { ( 2 , 1 ), ( -2 , -1 ), ( 3 , 2 ) , ( -3 , -2 ) }

2.13. PROBLEMAS DE APLICACIN DE ECUACIONES RESOLUCIN DE PROBLEMAS MODELADOS POR .

Las ciencias matemticas, as como el ejercicio de su enseanza siempre han tenido, como principal medio y fin, la resolucin de problemas matemticos. P. Halmos expres su convencimiento de que "los problemas son el corazn de la Matemtica". Desde esta perspectiva, en vista de que el contenido determina el mtodo, esto nos conduce a afirmar que los problemas tambin son el "corazn" de la Didctica de la Matemtica. Al respecto, otros matemticos han aseverado que una clase de matemtica debe estar siempre centrada en resolver problemas, y el papel del profesor debe ser el de buscador de situaciones reflexivas y significativas para el estudiante. Este hecho, por su parte, supone la concepcin del maestro como un profesional de la educacin innovador y creativo.

La resolucin de problemas es considerada en la actualidad la parte ms esencial de la educacin matemtica ya que permite combinar elementos de conocimiento, reglas, tcnicas destrezas y conceptos previamente adquiridos para dar una solucin a una situacin nueva. Es una actitud cognitiva compleja que caracteriza una de las actividades humanas ms inteligentes.

Es a partir de la publicacin de George Polya en 1945 de su obra "How to solve it" que se ilustra por primera vez un camino didctico hacia la enseanza de la resolucin de problemas. Redescubre y desarrolla la heurstica, y precisa una serie de estrategias que deben constituir una herramienta fundamental en la enseanza de la resolucin de problemas. Con su propuesta de las cuatro etapas abri el camino de una didctica de la resolucin de problemas: (comprensin del problema, concebir el plan de solucin, ejecutar el plan de solucin y evaluar la solucin).

Polya, tambin propone los siguientes mandamientos para profesores:1. Intersese en su materia.2. Conozca su materia.3. Trate de leer las caras de sus estudiantes, trate de ver sus expectativas y dificultades, pngase usted mismo en el lugar de ellos.4. Dese cuenta que la mejor manera de aprender algo es descubrindolo uno mismo.5. D a sus estudiantes no solo informacin, sino el conocimiento de cmo hacerlo, promueva actitudes mentales y el habito de trabajo metdico.6. Permtales aprender a conjeturar.7. Permtales aprender a comprobar.8. Advirtales que los rasgos del problema que tiene a la mano pueden ser tiles en la solucin de problemas futuros: trate de sacar a flote el patrn general que yace bajo la presente situacin concreta.9. No muestre todo el secreto a la primera: deje que sus estudiantes hagan sus conjeturas antes, djelos encontrar por ellos mismos tanto como sea posible.10. Sugirales, no haga que lo entiendan a la fuerza.

En el marco de las situaciones escolares, si uno quiere acercarse a una situacin didctica que pueda ser utilizada como va para ensear a resolver problemas, es necesario incluir problemas procedimientos de solucin no rutinarios, logrando que los alumnos aprendan a resolverlos.

Otros cientficos, como Alan Schenfeld, consideran las siguientes dimensiones que influyen en el proceso de resolver problemas:

El dominio del conocimiento representa un inventario de lo que un individuo sabe y de las formas que adquiere ese conocimiento. (los conocimientos informales e intuitivos de la disciplina en cuestin, hechos y definiciones, los procedimientos rutinarios, y otros recursos tiles para la solucin). Los mtodos heursticos como estrategias generales que pueden ser tiles en la resolucin de un problema. Las estrategias meta cognitivas o monitoreo del proceso utilizado al resolver un problema. El sistema de creencias en la cual se ubica la concepcin que tenga el individuo acerca de las matemticas.

ALGUNAS IDEAS PARA RESOLVER PROBLEMAS APLICADOS.1. Si el problema se expresa por escrito, lalo con cuidado varias veces y considere los datos junto con la cantidad desconocida que ha de encontrarse.2. Introduzca variables para denotar las cantidades desconocidas. Este es uno de los pasos ms importantes en la solucin. 3. Si es necesario haga un dibujo para darse una idea.4. Liste los datos conocidos y sus relaciones con la cantidad desconocida.5. Formule una ecuacin que describa con precisin lo que se expresa en palabras.6. Resuelva la ecuacin formulada.7. Compruebe las soluciones obtenidas consultando el enunciado original del problema. Ejemplos:

Un maestro muy ingenioso, actuando de mago propone a sus alumnos lo siguiente:

Piensen un numero, aumntenlo en 15, multipliquen por 3 el resultado obtenido y a esta cifra rstenle 9, luego dividan entre 3 y resten 8. Dganme el resultado final?, y yo les dar el numero que pensaron. Una alumna le dice 32, y el maestro le responde instantneamente; El numero que pensaste fue 28. Cmo consigue el maestro adivinar de prisa?

ComprobacinSea el nmero que piensa la alumna:Aumentado en 15

Se multiplica por 3 el resultado obtenido

A esta cantidad se le resta 9

Se divide por 3

Y se le resta 8

La expresin anterior simboliza el procedimiento planteado por el maestro, ahora vamos a realizar algunas operaciones indicadas para simplificar dicha expresin.

InterpretacinLa expresin representa el nmero pensado por la alumna, ms cuatro. Por tanto el maestro adivina el numero pensado, restando 4 a , en otras palabras !!

Sobre la vida de Diofante (250 d. de C.) aparece en los siglos V o VI un epigrama algebraico que constituye una ecuacin lineal y dice: Transente, sta es la tumba de Diofante: es l quien con esta sorprendente distribucin te dice el nmero de aos que vivi. Su juventud ocup su sexta parte, despus durante la doceava parte su mejilla se cubri con el primer vello. Pas an una sptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco aos despus, tuvo un precioso nio que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereci de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorndole durante cuatro aos. De todo esto, deduce su edad".

ComprobacinSea la edad que vivi Diofante.Su juventud ocupo una sexta parte de su vida.

Despus, durante la doceava parte su mejilla se cubri de vello.

Pas una sptima parte de su vida antes de tomar esposa.

Cinco aos despus, tuvo un precioso nio.

Una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereci de una muerte desgraciada.

Su padre tuvo que sobrevivirle, llorndole durante cuatro aos.

De todo esto, deduce su edad.La expresin anterior representa en suma la vida de Diofante, luego:

Interpretacin:Ochenta y cuatro aos fue la edad de Diofante.Su juventud ocupo una sexta parte de su vida.

Despus, durante la doceava parte su mejilla se cubri de vello.

Pas una sptima parte de su vida antes de tomar esposa.

Cinco aos despus, tuvo un precioso nio.

Una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereci de una muerte desgraciada.

Su padre tuvo que sobrevivirle, llorndole durante cuatro aos.

En un tratado del lgebra escrito por el clebre matemtico Leonhard Euler, publicado en 1770 aparece el siguiente problema: En un hotel se alojan 20 personas entre hombres y mujeres. Cada hombre paga 8 monedas por su hospedaje y cada mujer 7, del mismo valor, ascendiendo el total de la cuenta a 144 monedas. Se pregunta cuntos hombres y cuntas mujeres son

ComprobacinSea el nmero de hombres alojados en el hotel y el nmero de mujeresTal que se cumple:

Segn el valor del hospedaje, tenemos que:

Interpretacin:4 hombres a 8 monedas resulta 32 monedas, 16 mujeres a 7 monedas resulta 112 monedas, entonces 32 +112 =144 monedas.

Al preguntrsele a Pitgoras por el nmero de sus alumnos, dio la siguiente respuesta: La mitad de mis alumnos estudia Matemtica, la cuarta parte estudia Fsica, la sptima parte aprende Filosofa y aparte de stos hay tres ancianos Puedes deducir cuntos alumnos tena el famoso matemtico griego?

ComprobacinSea el nmero total de alumnos que tiene Pitgoras. La mitad de sus alumnos estudia Matemtica, esto lo expresamos por . La cuarta parte estudia Fsica implica . La sptima parte estudia Filosofa seria y tendramos que aadir a los tres ancianos.

Interpretacin:Estudian Matemtica. , estudian Fsica , estudian Filosofa.. Sumando tenemos: 14+7+4+3=28 alumnos.

Adems las siguientes sugerencias podran ser de utilidad en el planteamiento y solucin de diversos problemas:

1) Leer el problema con mucho cuidado, varias veces si es necesario, hasta que estemos claro, de que se trata.2) Escribir los datos y hechos importantes y sus relaciones. Si el problema est bien redactado cada palabra, verbo, adjetivo, etc. tiene relevancia.3) Identificar las cantidades desconocidas en trminos de una variable, si es posible. Si es necesario habr que utilizar ms de una variable.4) Escribir la ecuacin que relacione las cantidades desconocidas y los hechos en el problema o bien las relaciones en caso de varias incgnitas. En muchas ocasiones un grfico o diagrama ayuda a visualizar las relaciones. Salvo casos muy especiales, debe tenerse al menos la misma cantidad de ecuaciones como incgnitas hayan en el problema. 5) Resolver la ecuacin o el sistema de ecuaciones que surja en el planteo del problema y verificar la o las soluciones.6) Responder a las preguntas establecidas en el problema (original). Muchas veces no basta con resolver la ecuacin o el sistema de ecuaciones aunque si sea necesario.

EJEMPLO: Traduciendo al lenguaje algebraico:

Exprese como una ecuacin algebraica las siguientes proposiciones. Considere x al primer nmero, y al segundo y z al tercero:a) La suma de tres nmeros es 4: Se tiene x + y + z = 4b) El segundo nmero ms el tercero es igual al primero: y + z = xc) La suma del tercer nmero y cuatro veces el segundo es igual al primer nmero: z + 4y = xd) La suma del doble del primer nmero y tres veces el tercer nmero es 1 ms que el segundo nmero: 2x + 3z = y + 1e) El segundo nmero es igual a la suma del primer y tercer nmero: y = x + zf) Dos veces el primer nmero es 11 ms que la suma de los otros dos nmeros: 2x 11 = y + z

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Las edades de un padre y su hijo difieren en 30 aos y dentro de 5 aos la edad del padre ser el triple de la del hijo. Qu edad tienen en la actualidad?

SOLUCIN

Sea x la edad del padre y sea y la edad del hijo. A partir de la informacin formamos las ecuaciones:- Las edades difieren en 30 aos: x = y + 30 (1)- Dentro de 5 aos la edad del padre ser el triple de la del hijo: x + 5 = 3 (y + 5) (2)

Resolvemos el sistema formado por (1) y (2):Sustituyendo (1) en (2): (y + 30) + 5 = 3 (y + 5) = 3y + 15 3y y = 35 15 2y = 20 y = 10

Sustituyendo este valor en (1) se obtiene x = y + 30 = 40Por tanto la edad del padre es 40 aos y la edad del hijo es 10 aos.

2. Un padre tiene 44 aos y su hijo 20 cunto tiempo ha pasado desde que la edad del padre fue el cudruplo de la del hijo?

Sea x el tiempo transcurrido, luego 44 x = 4 (20 x) = 80 4x 4x x = 80 44 = 36 x = 12 aos.3. A puede realizar cierta tarea en 6 das y B puede realizarla en 10 das En cunto tiempo podrn realizarla trabajando juntos?

Sea x el nmero de das que necesitan para completar la tarea.

Dado que A realiza la tarea en 6 das, cada da avanza de la obra y como B tarda 10 das, cada da avanza . Trabajando juntos avanzan de la obra. La obra completa, dado que estamos considerando fracciones, ser la unidad: 1. Luego se tiene x = das.

4. A puede hacer un trabajo en 8 das y trabajando junto con B pueden hacerlo en 4 das cunto tiempo tardara B en realizarlo por si solo?

Como A lo realiza en 8 das, cada da avanza . Sea x el nmero de das que tarda B, luego cada da avanza . Dado que juntos lo hacen en cuatro das, cada da avanzan , es decir

+ = , al despejar x, se obtiene x = 8 das.

5. A y B trabajando juntos realizan cierta tarea en 6 das. A puede realizarla en 5 das menos que B. Cul es el tiempo que requiere cada uno para realizar el trabajo por si solo?

Sea x el tiempo que tarda A y sea y el tiempo que tarda B.Luego se forma el siguiente sistema:

Sustituyendo (2) en (1)

12y 30 = y2 5yy2 17y + 30 = 0 (y 15) (y 2) = 0 y = 2 y = 15.Si y = 2, resultara x = 3, lo cual carece de sentido en el contexto del problema, por tanto descartamos este valor.Si y = 15, resulta x = 10. Es decir A tarda 10 das y B tarda 15 das.

6. Se tiene una solucin de cido al 75%, cuntos litros de cido puro hay que agregar a 48 litros de esta solucin para que la solucin resultante sea una solucin al 76%?

La solucin inicial tiene (0.75) (48 litros) = 36 litros de cido puro y 12 litros de otra sustancia. Sea x la cantidad de litros de cido puro que se aade, luego el volumen final ser (x + 48) litros, de los cuales (x + 36) correspondern al cido puro.Dado que la solucin final es una solucin al 76%, se tiene:

x 0.76x = 36.48 360.24x =0.48 x = 2 litros

7. Un automvil recorre 120 km con velocidad constante. Si hubiera aumentado su velocidad en 10 km/hora, habra realizado el recorrido en 2 horas menos. Con qu velocidad hizo el recorrido?

Sea v la velocidad del auto, t el tiempo en horas utilizado en este recorrido, luego . (1)Al interpretar los datos se tiene: si hubiera aumentado su velocidad en 10 km/h, es decir v + 10, habra realizado el recorrido en 2 horas menos, o sea en t 2 horas, luego

(2)De (1) y (2) se tiene vt = (t 2) (v + 10) = vt 2v + 10t 20 2v = 10t 20v = 5t 10 (3)Sustituyendo (3) en (1): t (5t 10 ) = 1205t2 10t 120 = 0(t 6) ( t + 4 ) = 0t = 6 t = 4

Descartamos t = 4, por carecer de sentido, luego el tiempo utilizado es 6 horas. Al sustituir este valor en (3), resulta una velocidad de v = 5 (6) 10 = 20 km / hora.

8. En un jardn de 6 x 12 metros, se desea construir una acera que bordeando el jardn, deje un rea de 40 m2. La acera debe ser de anchura constante. Cul debe ser esta anchura?

Sea x el ancho de la acera; como sta bordea el jardn, el rectngulo interior que se forma tiene dimensiones (6 2x) y (12 2x) metros.12 m6 m(12 2x) m(6 2x) m

Como el rea debe ser 40 m2, se tiene:(6 2x)(12 2x) = 40 72 30x + 4x2 = 40 4x2 36x + 32 = 0 x2 9x + 8 = 0(x 1) (x 8) = 0 x = 1 x = 8. Descartamos x = 8, ya que en el contexto del problema nos conduce a un absurdo, ya que no podemos construir una acera de 8 m. de ancho cuando slo se dispone de un jardn de 6 m. de ancho, luego la anchura es x = 1 m.

Para cercar una finca ganadera que tiene forma rectangular de 750 m2 de superficie, se han utilizado 110 m de valla metlica. Calcule las dimensiones de la finca.SolucinRazonemos de la siguiente manera: Si el permetro tiene 110 mts de longitud, entonces la mitad del permetro mide 55 mts. Vamos a considerar que la base y altura del rectngulo miden mts y mts.

La superficie rectangular es:

Factorizando.

Interpretacin Conjunto solucin es:

10. Hallar un nmero entero sabiendo que la suma con su inverso es SolucinSea el nmero y su inverso, entonces:

InterpretacinDe las respuestas observamos que la solucin entera que satisface las condiciones del problema, es 5.

Hallar dos nmeros reales que sumados resulten 18 y restados 4SolucinComo no conocemos los nmeros, vamos a asignarle algunos smbolos, sean estos: el primer nmero y el segundo numero La suma resulta 18, entonces . La diferencia resulta 4, entonces . La modelacin del problema la expresamos por el SEL

Vamos a utilizar el mtodo de reduccin para resolverlo

Sustituyendo en

El conjunto solucin es Interpretacin: Sumando 11 y 7 obtenemos 18. Quitndole 7 a 11 obtenemos 4 Por tanto los nmeros buscados son 11 y 4.

Si Luis tiene el triple de dinero que tiene Jos y entre ambos tienen 200 crdobas. Cunto tiene cada uno?

SolucinSean e la cantidad de dinero en crdobas que tienen Jos y Luis. Dado que el segundo tiene el triplo de la cantidad que tiene el primero, entonces . Entre ambos suman 200 crdobas, luego .

El problema se ajusta al siguiente modelo lineal:

Utilizando el mtodo de sustitucin, reemplazamos la ecuacin (1) en .

Sustituyendo en (1) obtenemos.El conjunto solucin es Interpretacin: Jos tiene 50 crdobas y Luis el triple de esta cantidad, o sea 150 crdobas.

La suma de los dgitos de un nmero entero de dos cifras es 9. Si se invierte el orden de las cifras el nmero queda aumentado en 27.SolucinSea el dgito de las unidades, el dgito de las decenas. Se tiene Porque la suma de los dgitos es 9El nmero, escrito de forma decimal, es: Al invertir los dgitos, el nuevo nmero es: Invirtiendo la diferencia entre el ltimo y el primero obtenemos:

Luego, las ecuaciones que modelan el problema son:

Resolvemos el modelo, usando el mtodo de reduccin

Reemplazamos en : El conjunto solucin es Interpretacin:El nmero buscado es Si invertimos los dgitos tenemos 63Luego hacemos la resta 63-36=27g

En una eleccin para presidentes de seccin ante el consejo estudiantil en un instituto pblico de secundaria. El candidato Juan, obtuvo 25 votos ms que Jorge y entre los dos obtuvieron 187 votos. Cuntos votaron por Juan?

SolucinSea y los votos depositados por Juan y Pedro.Como Juan obtuvo 25 votos ms que Pedro, entonces:

La suma de los votos por ambos candidatos es: El modelo lineal lo constituyen el par de ecuaciones y . Sumando se tiene:

Luego:Sustituyendo en (1) o (2), obtenemos:

Los candidatos Juan y Pedro obtuvieron 106 y 81 votos respectivamente.

Se desea repartir 500 crdobas entre tres personas, con las siguientes condiciones:a. La primera persona debe recibir el doble de la segunda.b. La segunda persona debe recibir el triple de la tercera. Cunto deber entregrseles a cada persona?

SolucinSea la cantidad de dinero que recibe la primera persona. Sea la cantidad de dinero que recibe la segunda persona.Sea la cantidad de dinero que recibe la tercera persona.

La cantidad de dinero que reciben las tres juntas es , que a su vez, cubre el total de 500 crdobas.

Luego: La primera persona debe de recibir el doble de la segunda.Luego: La segunda recibe el triple de la tercera.Luego:

El problema se ajusta al siguiente modelo lineal

La ecuacin han sido transformadas.Resolvamos el sistema, por la regla de Cramer.

El determinante de sistema es:

El numerador de , en la solucin es:

El numerador de , en la solucin es:

El numerador de , es:

La solucin del modelo es:

El conjunto solucin es

Interpretacin:La primera persona recibe 300 crdobas; la segunda recibe 150 crdobas y la tercera recibe 50 crdobas.

Una persona va al mercado con 400 crdobas y ocurre lo siguiente:a. Gasta el total de su dinero en compras.b. En verduras y carne gasta 300 crdobas.c. En verduras y en artculos de higiene 280 crdobas.Cmo gast su dinero?

SolucinSea la cantidad gastada en verduras. Sea la cantidad gastada en carne.Sea la cantidad gastada en artculos de higiene.

La condicin que gasto todo su dinero implica que En verduras y carne gasta 300 crdobas.Luego: En verduras y en artculos de higiene gasta 280 crdobas.Luego:

El problema lo hemos modelado mediante el sistema:

Resolvindolo por el mtodo de Gauss:Transformaciones elementales:Pivote: Escribimos igual fila 1, multiplicamos fila 1 por -1 y sumamos con fila 2Escribimos igual fila 1, multiplicamos fila 1 por -1 y sumamos con fila 3Dividimos la fila2 y fila 3 por -1

De la ltima matriz transformada obtenemos el sistema equivalente:

Reemplazando en (1) se tiene:


Interpretacin:En verduras se gasto la cantidad de 180 crdobas, en carne 120 crdobas y en artculos de higiene 100 crdobas.

En tres islas vive una poblacin estable de 35,000 aves. Cada ao, el 10% de la poblacin de la isla A emigra a la isla B, el 20% de la poblacin de la isla B emigra a la isla C, y el 5% de la poblacin de la isla C emigra a la isla A. Calcule el numero de aves en cada isla, si no vara la poblacin total de cada isla de un ao al siguiente.

Solucin En la grafica siguiente se ilustran las islas A, B y C. Sean el nmero de pjaros que emigran de A a B el nmero de pjaros que emigran de B a C el nmero de pjaros que emigran de C a A

Al ser la poblacin de estable la poblacin de pjaros:

La poblacin total de pjaros no vara de un ao a otro, entonces son iguales los porcentajes de aves que emigran de una isla a otra:

El problema lo modelamos con el SEL siguiente:

Vamos a utilizar reduccin para resolver el SELMultiplicamos la ecuacin (2) por -1 y le sumamos la ecuacin (1)

Ahora resolvemos el sistema en dos variables formados por la ecuacin (3) y (4)

Sumando (3) y (4) obtenemos:

Sustituyendo y en (3)

Como ya conocemos y , las sustituimos en (1) para conocer


Interpretacin:De emigran a el 10% de 10,000 o sea 1000 avesDe emigran a el 20% de 5,000 o sea 1000 avesDe emigran a el 5% de 20,000 o sea 1000 aves

2.14. DESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUTO

Una gran cantidad de propiedades se desprenden de los axiomas de campo de los nmeros reales, sin embargo el lgebra de los nmeros reales no queda reducida a dichos axiomas, stos se complementan con un orden que nos permite, adems de tener una estructura ms completa, poder hacer analogas y aplicaciones ms complejas. Por ejemplo, se podr construir un modelo para el movimiento, o tambin obtener el rea y volumen de figuras geomtricas, analizar variables que cambian continuamente con respecto al tiempo y muchas otras aplicaciones fsicas. La idea medular del orden en los nmeros reales es que se pueden dividir los nmeros en tres conjuntos, positivos, negativos y cero. Y que es posible establecer un orden total en los nmeros reales. Esto se puede resumir en tres propiedades.

2.14.1 AXIOMAS DE ORDEN: El conjunto de los nmeros reales tiene un subconjunto, llamado conjunto de nmeros reales positivos el cual satisface los siguientes axiomas. Axioma 1

Axioma 2

Axioma 3

Si un nmero no es positivo ni cero se dice que es negativo, o sea que un nmero es negativo si es positivo. Existe otra forma muy popular en nuestros das de presentar el orden en los nmeros reales por medio de desigualdades directamente sin hacer mencin a los axiomas anteriores, se toma como una relacin entre dos nmeros que satisface ciertas propiedades y que por razones heursticas es mejor considerar las propiedades de orden de esta manera. 2.14.2 DESIGUALDAD. Si a, b son nmeros reales decimos que a es menor que b y se representa a < b si b-a es positivo. Similarmente, decimos que a es mayor que b y se representa a > b cuando b < a. La relacin a < b significa que a < b a = b; y a > b significa que a > b a = b. Por lo tanto, un nmero es positivo si y slo si es mayor que 0, y negativo si y slo s es menor que 0.

2.14.3 PROPIEDADES BSICAS DE DESIGUALDADES.1. Ley de tricotoma. Se cumple una y slo una de las condiciones siguientes:

2. Propiedad aditiva

3. Primera propiedad multiplicativa

4. Segunda propiedad multiplicativa:

5. 6. 1 > 07. 8. 9. entonces ambos son positivos ambos son negativos10. entonces un numero es positivos y el otro negativo11. 12.

2.14.4 DESIGUALDADES LINEALES.Si una proposicin numrica abierta con una variable se puede expresar utilizando alguno de los cuatro smbolos siguientes , le llamamos desigualdad abierta o simplemente desigualdad. Resolver una desigualdad significa encontrar el conjunto de valores para la cual la proposicin resulta verdadera.

Ejemplos: 2x -1 > 5. Solucin:


Para poder expresar mejor la solucin de una desigualdad numrica es conveniente asociar cada nmero real con un punto sobre una recta, llamada recta numrica. Escogemos como un punto cualquiera de la recta y los enteros equidistantes a la derecha del 0 los positivos y los negativos a la izquierda, los racionales en forma proporcional de manera que un nmero mayor que otro est siempre a la derecha; como se puede ver en la figura siguiente:

Tambin es conveniente definir los conjuntos de nmeros entre dos nmeros dados, los cuales jugarn un papel importante en la solucin de desigualdades

Algunas veces cuando se trabaja con dos desigualdades se pueden combinar de tal forma que uno de los trminos sea comn y se puede usar una notacin que simplifica su manejo.

Luego,

Jaime tiene dos calificaciones de 71 y 82 sobre 100. Cunto debe sacar en el tercer examen para tener un promedio de 80 o ms?Solucin

Debe sacar calificaciones mayores que 87

Valores absolutoEl valor absoluto de un nmero real denotado por , se define por: Propiedades de los valores absolutos

Ejemplos

Aplicamos la definicin de valor absoluto

Hacemos transformaciones equivalentes

Comprobacin

Despejemos el valor absoluto

Aplicamos la definicin de valor absoluto

Hacemos transformaciones equivalentes

Comprobacin

Aplicamos la primera propiedad de valor absoluto

Aplicamos la segunda propiedad de valor absoluto

EJEMPLOS VARIADOS DESIGUALDADES LINEALES CON UNA VARIABLEEJEMPLOS

Resolver las siguientes desigualdades. Indicar el conjunto solucin usando la notacin de intervalos:1) x 3 0 Sumando a cada lado 3: (x3) + 3 0 + 3 x 3 o sea x (3, )

2) 5x + 6 0 5x 6Sumando ( 6) a cada lado x 6/5 Dividimos cada lado por 5. Se conserva el sentido x ( , 6/5) de la desigualdad ya que 5 > 0 3) 6x 1 9x + 5 6x 9x 5 + 1Restamos 9x y sumamos 1 a cada lado. 3x 6 Reducimos trminos semejantes. x 6/3Dividimos por ( 3) cada lado. x 2 El sentido de la desigualdad cambia porque 3< 0 (propiedad vii). x ( , 2)4) 4 3x + 5 8Esta expresin contiene dos desigualdades: 4 3x + 5 y 3x + 5 8Ambas desigualdades pueden resolverse al mismo tiempo: 4 3x + 5 8 4 5 3x 8 5Restamos 5 a cada miembro 9 3x 3 9/3 x 3/3 Dividimos por 3 cada miembro, el sentido de la desigualdad se conserva porque 3>0 3 x 1 x( 3,1)

5) 2 Similar a la anterior 8 5 3x 2 Multiplicamos por 4 cada miembro. 8 5 3x 2 5 Restamos 5 a cada miembro 13 3x 3 13/3 x -3/3 Dividimos entre 3 y cambiamos el sentido de la desigualdad, ya que 3 < 0 13/3 x 1 o sea 1 x 13/3 x [1, 13/3]

6) Se tiene x + 1 > 0Aplicando la propiedad: 1/a > 0 a > 0 x 1Restamos 1 a cada miembro x (1,)

7) Antes de multiplicar por x cada lado, hemos de diferenciar dos posibilidades: i) x 0, ii) x 0 i) Si x 0, resulta al multiplicar por x cada lado, 4 2x ya que x 0 o sea 2x 4Dividiendo entre 2 resulta: x 2 Se tiene entonces x 0 y x 2 luego x (0, 2) ii) Si x 0, resulta 4 2x, cambia el sentido de la desigualdad porque x 0. 4 2x o sea 2x 4. Al dividir entre 2, tenemos x 2. Dado que no hay nmero real negativo que cumpla x 2, se descarta esta posibilidad. Luego el conjunto solucin es el obtenido en la primera parte: x (0, 2)

8) Diferenciamos dos posibilidades: i) x + 2 o ii) x + 2 0i) Si x + 2 0 o sea x 2 (1)

Al multiplicar cada miembro por 3 (x + 2) se conserva el sentido de la desigualdad y se obtiene.3(2x 3) 1(x + 2) 6x 9 x + 2 6x x < 2 + 9 5x < 11, x < 11/5 (2)Luego se tiene de (1) y (2): x > 2 y x < 11/5 o sea x ( 2, 11/5)ii) Si x + 2 < 0 o sea x < 2 (3)Multiplicamos por 3(x + 2) cada miembro y cambiamos el sentido de la desigualdad, ya que 3(x + 2) es negativo3 (2x 3) > 1 (x + 2) 6x 9 > x + 2 5x > 11 x > 11/5 (4)Se tiene ( x < 2 x > 11/5 ) = ya que no hay nmero real que satisfaga ambas expresiones. De (i) y (ii) tenemos: x (2, 11/5)

DESIGUALDADES CUADRTICAS2.14.5 DESIGUALDADES CUADRTICASUna desigualdad en la variable se llama cuadrtica cuando la podemos escribir en la forma:

Donde son constantes con . Para resolver esta desigualdad, es decir, encontrar el conjunto de valores que la satisfacen, escribimos el lado izquierdo como el producto de dos expresiones lineales, esto es, factorizamos (de ser posible) y examinamos el signo de los factores en los intervalos definidos por las races de los factores.

Observe que resolver

Se puede interpretar para que valores de , este producto es estrictamente positivo.

Ejemplos

Solucin:Tenemos la desigualdad en su forma canonca, procedemos a factorizarla

Las races de los factores son los nmeros . Con ellos hacemos una particin de la recta real en tres intervalos:

Encima de cada intervalo ponemos dos pares de parntesis, en cada uno ira el signo de cada factor y usaremos valores de prueba para determinar el signo de cada factor en cada intervalo.

Los signos resultantes para cada factor son

De igual forma seleccionamos valores de prueba para los otros intervalos:



Luego, vamos a colocar un par de parntesis debajo de cada intervalo y dentro del mismo, el signo resultante de la multiplicacin de signos del intervalo respectivo.

El conjunto solucin ser la unin de intervalos que tengan un producto estrictamente positivo, as concluimos que:

PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER DESIGUALDADES CUADRTICAS

1. Escribir la desigualdad en su forma canonca:

2. Factorizar el lado izquierdo, sino se puede la solucin es trivial: o

3. Colocar las races de los factores en la recta real y dos pares de parntesis encima de cada intervalo establecido por las races.

4. Tomar valores de prueba, evaluar los factores en los valores de prueba y colocar el signo resultante en el parntesis respectivo del factor.

5. Debajo de cada intervalo definido por los factores colocar un par de parntesis, realizar la multiplicacin de signo de arriba y colocar el resultado en el parntesis de abajo.

6. El conjunto solucin ser la unin de todos los intervalos con signo positivos

Valores de prueba




Observe que en la solucin agregamos los extremos, esto se debe a que la desigualdad que estamos resolviendo es del tipo mayor o igual.

En esta desigualdad

No se puede factorizar el lado izquierdo, la solucin es o , es evidente que no puede ser , ya que la suma de dos nmeros estrictamente positivos no es menor o igual que cero, entonces

Se desprende que:

Valores de prueba




Como la desigualdad es del tipo menor o igual, entonces nos interesan los intervalos que tengan signo negativo

Para que un frmaco tenga efectos benficos, su concentracin en la sangre debe ser mayor que determinado valor, al cual se le llama concentracin teraputica mnima. Supngase que la concentracin, en mg/L, de determinado frmaco a las t horas despus de haberla ingerido oralmente es

Determine cuando se rebasa la concentracin teraputica mnima de 4 mg/L.

SolucinEl denominador , eso nos permite multiplicar por esta expresin ambos lados de la desigualdad para obtener:

Como la concentracin teraputica mnima es 4, entonces:

Las races son y .

Usamos los valores de prueba




La desigualdad es del tipo menor, entonces nos interesan los intervalos que tengan signo negativo

Dentro del contexto del problema, la concentracin teraputica mnima se rebasa cuando EJEMPLOS VARIADOS SOBRE DESIGUALDADES CUADRATICAS UTILIZANDO OTRO PROCEDIMIENTO DE SOLUCIONEJEMPLOS

Resolver las siguientes desigualdades9. x 5x 24 0Solucin:Las races de x 5x 24 = 0 son x = 8 y x = 3x 5x 24 = (x 8) (x + 3) Se tiene entonces: (x 8) (x + 3) 0Para que el producto sea positivo hay dos posibilidades: ambos factores son positivos o ambos son negativos, luego [ x 8 0 x + 3 0 ] x 8 < 0 x + 3 < 0 ]lo cual equivale a: (x 8 x 3 ) ( x < 8 x < 3 ) (1) (2)La parte (1) es una interseccin de dos intervalos abiertos (8, ) (3, ) = (8,)De manera similar la parte (2): (, 3) ( ,8) = (,3).El conjunto solucin es la unin de estas intersecciones: x ( , 3) (8, )

10. x x 6 0Solucin: Factorizamos la expresin x x 6 y obtenemos (x 3) (x + 2) 0Para que el producto sea negativo, los factores deben tener signos diferentes, luego.[ x 3 0 x + 2 0 ] [ x 3 0 x + 2 0]o sea ( x 3 x 2) (x 3 x 2)tenemos: x 3 x 2 (1) x 3 x 2 2 x 3 [2,3 ] (2)La unin de las partes ( 1 ) y ( 2 ) : [ 2,3] = [ 2, 3]. El conjunto solucin es : x [ 2, 3]

11. x 2x 4 0Solucin: Dado que no hay nmeros enteros cuyo producto sea 4 y su suma 2, usamos la frmula general para hallar las races: a = 1, b = 2 , c = 4

x =luego las races son: x1 = 1 + y x2 = 1

DESIGUALDADES DE GRADO n 2 Y DESIGUALDADES CON FUNCIONES RACIONALES.EJEMPLOS

12. Resolver x 3x 10 0i) Hallamos las races, es decir resolvemos x 3x 10 = 0, resultando x1 = 2 y x2 = 5ii) Formamos los intervalos ( , 2) , ( 2, 5) y (5, )iii) Escogemos un valor de prueba k en cada intervalo y determinamos el signo de x 3x 10 = (x 5) (x + 2) 0

Intervalos(, 2)(2, 5)(5, )

Valor de K 306

Signo decada factor( ) ( )() (+)(+) (+)

Signo de P(x)++

iv) Dado que en este caso la desigualdad planteada es P(X) 0, formamos el conjunto solucin con la unin de los intervalos que resultaron +.Por ser estrictamente mayor que cero, los extremos del intervalo son abiertos, luego x 3x 10 0 x ( ,2) (5, )13. Resolver x3 x 6x 0Races: x3 x 6x = x (x x 6) = x (x 3) (x + 2) = 0 x = 0, x = 3, x = 2Ordenamos las races de menor a mayor: x1= 2 x2 = 0 y x3 = 3Formamos los intervalos ( , 2), (2, 0), (0, 3) y (3, ). Escogemos los valores de pruebas y determinamos el signo de P(x)

Intervalos(-,2)(2,0)(0,3)(3, ).

Valor de K 3114

Signos(-) (-) (-)(-) (-) (+)(+) (-) (+)(+) (+) (+)

Signos de P(x)++

El conjunto solucin de x3 x2 6x 0 ser x ( , 2] [0, 3]Notemos que los intervalos son cerrados en 2, 0 y 3, ya que el conjunto solucin contiene las races de polinomio por ser del tipo .

14. Races del numerador: x = 2 y x = 3. Races del denominador: x = 4Ordenando las races de menor a mayor: 3, 2, 4

Intervalos

Intervalos(, 3)( 3, 2)(2, 4)(4, )

Valor de K-4035

Signos de cada factor

Signos de P(x)/Q(x)++

Dado que la desigualdad es de la forma , el conjunto solucin est formado por los intervalos que han resultado () en unin con las races del numerador. En este caso:x ( , 3 ) ( 4, ) { 2, 3 } , lo que es equivalente a x ( , 3 ] U { 2 } U ( 4, )

(Hemos de notar que x = 4 no pertenece al conjunto solucin dado que es una raz del denominador)

15 . Races del numerador : x = 0 y x = 5; Races del denominador : x = 3 , races ordenadas de menor a mayor: 5, 0, 3Intervalos(, 5)( 5, 0)(0, 3)(3, )

Valor de K 6 114

Signo de cada Factor

Signos de P(x) / Q(x)++

Conjunto solucin :

ECUACIONES Y DESIGUALDADES CON VALORES ABSOLUTOS.

PROPIEDADES EJEMPLOS

Hallar el conjunto solucin de:16. | 4x 5 | = 3 De acuerdo a la definicin de valor absoluto hay dos posibilidades:4x 5 = 3 4x 5 = 34x = 3 + 5 4x = 3 + 54x = 8 4x = 2

x = 2 x =

por tanto

17. Esta ecuacin es equivalente a | 3x + 4 | = 8 luego, 3x + 4 = 8 3x+ 4 = 8 3x = 4 3x = 12

x = x = 4 18. | x | < 5De acuerdo a la propiedad #7, del valor absoluto | x | < 5 5 < x < 5 , luego el conjunto solucin esta dado por x ( 5, 5 ) 19. | x | > 2Usando la propiedad #8, se tiene:

| x | > 2 ,

por tanto R \ 2, 220. | x 1 | 2 Usando la propiedad #9, se tiene:

| x 1 | 2 , 1 x 3 por tanto: x [1 , 3 ]

21. Intercambiando de posicin x 2 y el 2, y dado que para x 2, ambos son positivos, se tiene , con x 2

por la propiedad # 9 : o sea

por tanto el conjunto solucin es : R \ Debemos asegurarnos que la raz del denominador est fuera del conjunto solucin. Eneste caso se cumple.

22. 5 | x 2 | | 2x 1 | , x 2 y x 1/2 25 (x2 4x +4 ) 4x2 4x + 1 , 25x2 100x +100 4x2 4x + 1 21x2 96x + 99 0 , 7x2 32x +33 0 ( x 3) (7x 11 ) 0 x ( ,11 7 3 , ) {x 1/2 x 2} x ( , 1/2 ) ( 1/2, 11/7] [ 3, )23. x2 +x 4 2 x2 +x 4 2 x2 + x 4 2 x2 + x 6 0 x2 + x 2 0 ( x + 3 ) ( x 2 ) 0 ( x + 2 ) ( x 1 ) 0x ( , 3 ) (2 , ) x ( 2 , 1 ) x ( - , - 3 ) ( - 2 , 1 ) ( 2 , )

31

32Comisin Matemtica CNU, UNI, UNAN-Managua, UNAN-Len y MINED 37

algebra

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