Instituto Universitario de Tecnología

“Antoni José de Sucre”Extensión de Barquisimeto

Escuela de informática

Proceso de inferencia

Barquisimeto, Marzo 2015

Instituto Universitario de Tecnología

“Antoni José de Sucre”Extensión de Barquisimeto

Escuela de informática

Proceso de inferencia

Alumna:Mariana Rodríguez

C.I: V-26.120.538

Calculo de

predicados

1.- Funciones proporcionales

Consideramos una función proposicional (A, P(x)) con dominio un conjunto A. Al

reemplazar la variable x de p(x) por elementos de A obtenemos proposiciones

verdaderas o falsas. Nos preguntamos ¿para cuántos elementos de A, P(x) es

verdadera?. Como posibles respuestas tenemos:

Para todos los elementos de A.

Para algunos elementos de A.

Para ningún elemento de A.

Los términos todos, algunos, un solo y ninguno, por indicar cantidad, son llamados

cuantificadores. De estos, los fundamentales son todos, algunos y, como caso

particular de este último, un único.

Así, podemos decir que una función proposicional está constituida por los

siguientes elementos:

P(x): que es una proposición abierta que contiene la variable x.

A : que es un conjunto llamado dominio o universo del discurso.

Denotaremos a una función proposicional con dominio A y proposición abierta P(x)

como (A, P(x)). Los elementos de A que hacen a P(x) verdadera forman el

conjunto llamado dominio de verdad de la función proposicional.

2 .Cuantificador Universal

El cuantificador todo se llama cuantificador universal y se le denota con el símbolo

", que es una A invertida (de "all" palabra inglesa para "todos").

Al cuantificar a la función proposicional P(x) mediante el cuantificador universal

obtenemos la proposición:

Para todo elemento x de A, P(x), que se simboliza del modo siguiente:

(" xÎA) ( P(x) )....................................................... (1)

A las proposiciones que tienen esta forma las llamaremos proposiciones

universales.

Otras maneras de leer la proposición (1), son las siguientes:

a. Para cada x en A, P(x)

b. Cualquiera que sea x en A, p(x)

c. P(x), para cada x en A

d. P(x), para todo x en A

Con mucha frecuencia, cuando el dominio A de P(x) está sobreentendido, la

proposición (1) la escribimos simplemente así: (" x) ( p(x) )

La proposición (" x Î A) ( P(x) ) es verdadera si y sólo si P(x) es verdadera para

todo elemento x de A; esto es, si y sólo si el dominio de verdad P(x) coincide con

A.

Ejemplo

Simbolizar las siguientes proposiciones y determinar su valor lógico:

a. Todo hombre es mortal.

b. Cada número natural es menor que.

Solución

Considerar la siguiente función proposicional:

M(x) : x es mortal.

Con dominio el conjunto S formado todos los seres humanos.

La proposición a se escribe simbólicamente así:

("x S) (M(x)).

Esta proposición es verdadera.

a. La proposición b se escribe simbólicamente así:

(" n Î N) (n > 1)

Esta proposición es falsa, ya que para el número natural n=1 no es cierto que

1>1.

3 .Cuantificador Existencial

El Cuantificador: Existe al menos uno, se llama cuantificador existencial, y se le

denota con el símbolo , que es un E al revés.

A la Proposición: Existe al menos un x de A tal que P(x)

La escribiremos simbólicamente del modo siguiente:

( xÎ A) ( P(x)) (2)

A las proposiciones que tienen esta forma las llamaremos proposiciones

existenciales.

Otras maneras de leer la proposición (2) son:

a. Para algún x en A, P(x)

b. Existe un x en A tal que p(x)

c. P(x), para algún x en A

Si el dominio de la función proposicional está sobreentendido, a la proposición (2)

la escribiremos simplemente así:

($ x) ( P(x))

La proposición ($ x Î A) (P(x)) es verdadera si y sólo si P(x) es verdadera al menos

para un x de A. Esto es, si y sólo si el dominio de verdad de P(x) es no vacío.

Ejemplo

Simbolizar las siguientes proposiciones y determinar su valor lógico:

a. Algunos hombres son genios.

b. Existe un número natural mayor que 1.

c. Existe un número real cuyo cuadrado es negativo.

Solución

Considerar la función proposicional:

a. G(x): x es un genio.

Con dominio el conjunto S formado por todos los seres humanos.

La proposición a, se simboliza así:

($ x Î S) ( G(x))

Esta proposición es verdadera.

b. La proposición b, se simboliza así:

($ n Î N) (n > 1)

y es verdadera.

c. La proposición c, se simboliza así:

($ x Î R) (x2 < 0)

Esta proposición es falsa, ya que el cuadrado de todo número real es no negativo.

4 .Cuantificador Existencial de Unicidad

Como un caso particular del cuantificador existencial "existe al menos uno"

tenemos el cuantificador existe un único o existe sólo uno, que lo llamaremos

cuantificador existencial de unicidad y lo simbolizaremos por $ !. Así la expresión:

($ ! x Î A) ( P(x))....................................... (3)

Se leerá de cualquiera de las siguientes formas:

a. Existe un único x en A tal que P(x)

b. Existe un sólo x en A tal que P(x)

c. Existe uno y sólo un x en A tal que P(x)

d. P(x), para un único x en A

La proposición (3) es verdadera si y sólo si el dominio de verdad de P(x) es un

conjunto unitario, esto es, si y sólo si P(x) es verdadero para un único x de A.

Ejemplo

Simbolizar las siguientes proposiciones y determinar su valor lógico:

a. Existe un único número natural que sumado con 3 da 10 .

b. Existe sólo un número real tal que su cuadrado es 16.

c. Existe un único número real tal que su cuadrado es - 4.

Solución

a. $ ! x Î N) ( 3 + x = 10 )

Verdadero: Sólo el número 7 cumple con 7 + 3 = 10

b. ($ ! x Î R) (x2 = 16 )

Falsa: x= -4 y x= 4 cumplen con x2 = 16

c. ($ ! x Î R) (x2 =- 4)

Falsa: no existe ningún número real cuyo cuadrado sea - 4.

5 .Reglas de negación de Cuantificadores

Negación de Cuantificadores

Las dos leyes de De Morgan nos proporcionan las relaciones entre la negación, la

conjunción y la disyunción. Como las proposiciones universales y existenciales

son generalizaciones de la conjunción y disyunción, respectivamente, es de

esperar que las leyes de De Morgan también tengan sus respectivas

generalizaciones. Efectivamente así sucede con de De Morgan o reglas de la

negación de cuantificadores. Estas dicen lo siguiente:

1. ~ ((" x Î A) (P(x))) º ($ x Î A) (~ P(x))

2. ~ (($ x Î A) ( P(x))) º (" x Î A) (~ P(x))

Estas reglas nos dicen que para negar una proposición con cuantificadores se

cambia el cuantificador, de universal a existencial o viceversa, y se niega la

proposición cuantificada.

Ejemplo

Usando las reglas de la negación de cuantificadores hallar la negación de las

siguientes proposiciones:

a. ($ n Î N) (n2 = n)

b. (" x Î R) (x > 2 ® x2 > 3)

Solución

a. ~ [($ n Î N) (n2 = n )] º (" n Î N) ~ ( n2 = n) (Negación de cuantificadores)

º (" n Î N) ( n2 ¹ n) (Negación de la función proposicional)

b. ~ [(" x Î R) (x > 2 ® x2 > 3)] º ($ x Î R) ~ (x > 2 ® x2 > 3)

º ($ x Î R) ~ (~ (x > 2) Ú (x2 >3) (L. del condicional)

º ($ x Î R) (x > 2) Ù (x2 £ 3) (L.de De Morgan)

Proposiciones con dos Cuantificadores

Podemos considerar funciones proposicionales de varias variables de la forma

(A,B,C,P(x,y,z)), pero en nuestro caso trabajaremos con funciones proposicionales

de dos variables, las cuales denotaremos por (A,B,P(x)) con dominio de x el

conjunto A y dominio de y el conjunto B. Así podemos obtener las siguientes

proposiciones:

(" xÎ A)(" yÎ B)(P(x,y))º (" yÎ B)(" xÎ A)(P(x,y))

1. ($ xÎ A)($ yÎ B)(P(x,y)) º ($ yÎ B)($ xÎ A)(P(x,y))

2. (" xÎ A)($ yÎ B)(P(x,y))

3. (" yÎ B)($ xÎ A)(P(x,y))

4. ($ xÎ A)(" yÎ B)(P(x,y))

5. ($ yÎ B)(" xÎ A)(P(x,y))

Proposiciones como las anteriores son llamadas funciones proposicionales de

dos variables. De dichas proposiciones obtenemos el valor lógico, analizando el

dominio de sus variables y los cuantificadores que contiene.

Ejemplo

Determinar el valor lógico de las siguientes proposiciones:

1. (" xÎ N)($ yÎ N) (y> x)

2. ($ xÎ R)(" yÎ R)(x+y = 0)

3. (" xÎ R)($ yÎ R)(x+y = 0)

Solución

VL[(" xÎ N)($ yÎ N)(y> x)] = 1, ya que para cualquier x en N existe y = x+1 tal que y>

x.

VL[($ xÎ R)(" yÎ R)(x+y = 0)] = 0, no existe ningún número real que sumado con

todo número real sea igual a cero.

VL[(" xÎ R)($ yÎ R)(x+y = 0)] = 0, ya que dado un número real x existe y = -x tal que

x+y=0.

Veamos ahora como podemos negar proposiciones con dos cuantificadores.

Negación de Proposiciones con dos Cuantificadores

~ [(" xÎ A)($ yÎ B)(P(x,y))] º ($ xÎ A)(" yÎ B)(~ P(x,y))

~ [(" xÎ A)(" yÎ B)(P(x,y))] º ($ xÎ A)($ yÎ B)(~ P(x,y))

~ [($ xÎ A)(" yÎ B)(P(x,y))] º (" xÎ A)($ yÎ B)(~ P(x,y))

~ [($ yÎ B)($ xÎ A)(P(x,y))] º (" yÎ B)(" xÎ A)(~ P(x,y))

Ejemplo

Negar la proposición ($ xÎ R)(" yÎ R)(x+y = 0)

Solución

~ [($ xÎ R)(" yÎ R)(x+y = 0)] º (" xÎ R)($ yÎ R)(~ (x+y = 0))

º (" xÎ R)($ yÎ R)(x+y ¹ 0))

Inferencias lógicas

La inferencia lógica es llamada también llamada LÓGICA INFERENCIAL. Es un

proceso que consiste en pasar de un conjunto de premisas a una conclusión, sin

la necesidad de elaborar tablas o cuadros muy extensos.

· Todo ejercicio o problema que se resuelve usando inferencia lógica, tiene la

forma:(p^q^r^s^………..^w)C

· Aquí: p; q; r; s; t; ..... ; w son llamadas premisas.

· Este conjunto de premisas originan como consecuencia otra proposición

“ C ” , llamada CONCLUSIÓN, la cual también se le llama ARGUMENTO

LÓGICO.

Ejemplo.

Si Maradona es un argentino es aficionado al futbol. Pero Maradona no es

aficionado al futbol. Por lo tanto, no es argentino.

Solución: (Se recomienda seguir los siguientes pasos para resolver una inferencia

lógica)

1). Determinar todos las proposiciones y las simbolizamos. Sean las

proposiciones:

P: Maradona es argentino;

Q: Maradona es aficionado al futbol.

2). Elaboramos el esquema molecular [(pq) ^(~q)] ~p

3) Identificamos a las premisas y al conclusión.

Premisas: (pq)

(~q)

Conclusión: (~p)

4) Elaboramos y analizamos la tabla de la verdad del esquema molecular.

p q [(pq) ^ (~q)] ~p

V V V F F V F

V F F F V V F

F V V F F V V

F F V V V V V

5). Respuesta: como el resultado final es una tautología, la conjugación de

premisas implica la conclusión, por lo tanto la inferencia es válida.