ALGEBRA

PRELIMINARES

Dado que fundamentalmente trabajaremos con el cuerpo de los reales (ℝ) y de los complejos

(ℂ), empezaremos estudiando sus propiedades. Antes que nada definiremos los conceptos de

“cuerpo” y “grupo”:

▪ Grupos: sea G un conjunto de elementos no vacío con una cierta operación binaria interna

definida (que puede ser la suma, el producto u otras cosas como rotaciones, permutaciones,

etc). Si denotamos a esta por ejemplo con un asterisco , entonces , teniendo dos elementos

(ejemplo: la suma o multiplicación de nº reales, que dan como

resultado otro nº real). Bien, pues diremos que el conjunto G es un grupo (respecto a la

operación interna) si cumple las siguientes 3 propiedades (axiomas de grupo):

i. ( ) ( ) → propiedad asociativa

ii. → existencia del elemento neutro ( )

iii. → existencia de elementos inversos

Además, diremos que el grupo G es abeliano (o conmutativo) si cumple la ley conmutativa,

esto es, si

Ejemplos de grupos:

El conjunto 𝕫 de los enteros forma un grupo abeliano para la operación interna de la

adición (𝕫 ). Su elemento neutro es y cada elemento tiene definido su

correspondiente inverso.

Sin embargo, el mismo conjunto 𝕫 no forma un grupo respecto de la operación interna

del producto (𝕫 ) pues no existen elementos inversos que pertenezcan a 𝕫.

Los racionales ℚ y reales ℝ forman grupos respecto de las operaciones internas del

producto y la adición.

Podríamos definir nuestro propio grupo siempre que se cumplan los axiomas. Por

ejemplo, digamos:

{ } → Grupo compuesto por 2 elementos, donde “e” será el neutro.

Definimos la operación binaria interna * mediante una tabla:

* e b

e e b

b b e

Como puede comprobarse cumple la estructura de grupo abeliano respecto de la

operación interna definida.

Notar que pues

de ese modo no tendría

inverso (elemento tal que al

operarlos de lugar al

neutro)

Otro ejemplo importante para la física es el conjunto de permutaciones, que forman

un grupo para la composición de aplicaciones.

Llamamos permutación a una operación que consiste en la variación del orden o de

la disposición de los elementos de un conjunto (es una simple reordenación de los

mismos). Dado un conjunto de números N, el nº de permutaciones distintas que

podemos hacer es N!

Ejemplo: tengamos el conjunto ( ), si llamamos a la permutación de la

posición primera con la tercera, su matriz asociada será → (

) , situando

en la primera fila los elementos del dominio y en la segunda las imágenes

relacionadas con los elementos reordenados (3), (1), (2). Podemos entender

como una aplicación biyectiva.

Bien, pues el grupo de permutaciones está formado por todas las posibles

permutaciones de un conjunto de N elementos (se suele denominar ). Cada

elemento del grupo representa una acción de permutación (como la que se acaba de

ver), y la operación interna es la de composición (◦). Estudiemos por ejemplo el grupo

, sus elementos son ( elementos):

(

) (

) (

)

(

) (

) (

)

Donde será el elemento neutro.

Imaginemos que queremos operar , esto no es más que una secuencia sucesiva

de permutaciones sobre el conjunto ( ) → primero intercambia la posición 1

con la 2 y luego intercambia