algebra

Tema: 8.5. Suma de monomios y polinomios.

Objetivo:

Explicar y ejemplificar cómo se efectúa la suma de monomios y polinomios.

Suma de monomios.

Como ya sabemos, en álgebra, se pueden expresar números con letras, en donde las primeras letras del alfabeto, como a, b, c, d, etc. Expresan constantes, es decir, números cualesquiera, pero siempre números. Mientras que las últimas letras del alfabeto, (x,y, z, generalmente), se usan para expresar incógnitas, es decir, números que no conocemos.

De esta manera podemos escribir cualquier expresión aritmético y si involucra letras, cualquier expresión algebráica, como ax+by=c, por ejemplo.

Ya sabemos también el concepto de un término, que está expresado por:

Un signo

Una constante, (letra o número)

Una variable

Un exponente

Cuando una expresión consta solamente de un término, se le conoce como monomio.

Cuando una expresión consta de 2 términos, se le conoce como binomio

Cuando una expresión consta de dos o más términos, se le conoce como polinomio.

Para sumar monomios es necesario que sean términos semejantes; es decir que tengan la misma parte literal y los mismos exponentes.

La suma de monomios la debes efectuar sumando los coeficientes dejando la misma parte literal con sus exponentes, por ejemplo:

1. a + a = 2a

2. (3a2 b)+(5a2 b)+(2a2 b)=

sumamos los coeficientes

(3 + 5 + 2) = 10

se escriben las literales con sus exponentes.

10 a2 b

al resultado se le da el signo de los sumandos

10 a2 b

3. (-a3 b2)+(-7a3 b2)+(-3a3 b2)=-(+1+7+3) a3b2

=-11a3b2

Para sumar los monomios semejantes de signos diferentes se hace los siguiente:

a) Se suman separadamente los monomios positivos y negativos.

(2 a2) + (-7 a2) + (-3 a2) + (5 a2)= (2+5) a2 – ( 7+3)a2 = 7 a2 – 10 a2

b) Se resta el valor absoluto de los coeficientes y se escriben las literales con sus exponentes.

7 a2 – 10 a2 = - 3 a2

c) Se le da el signo del monomio de mayor valor absoluto.

Ejemplos:

1. (-8a3bc3) + (15c3bc3)= (15–8) a3bc3

= 7a3bc3

2. (-3a2 b) + (5a2 b) + ( 7a2 b) + (-2a2 b)= (5+7)a2 b – (3+2) a2 b = 12a2 b – 5 a2 b=7 a2 b

A continuación te proponemos ejercicios para comprobar tu conocimiento acerca de la suma de monomios.

1.- 5 x y + 9 x y + (-5 x y)=

2.- 2 x2 y + 7x2 y + (-3x2 y) + 7x2 y =

3.- (-32 a3 b3) + 17a3 b3 + 15a3b3 =

4.- 3 a2b2 + 6 a2b2 + (-7 a2b2) + (-5 a2b2)=

5.- 15 a2 b3 + (-8 a2 b3) + (-3 a2 b3 )=

Solución:

1. 9xy

2. 13x2y

3. 0

4. –3a2b2

5. 4a2b3

Suma de Polinomios.

Para sumar Polinomios es necesario que sigas los siguientes pasos:

a) Los términos del polinomio se ordenan en forma creciente o decreciente.

b) Se colocan términos semejantes, unos debajo de otros formando columnas.

c) Se suman los coeficientes de cada columna.

Ejemplo:

Hacer la suma de los siguientes polinomios:

1. (– 4x2 + 2x + 5x3) + ( - 4 x – 6x3 + 3x2)

a) Se ordenan los polinomios en orden creciente.

( 5x3- 4 x2+ 2x) + (-6 x3 – 3x2 + 4x)

b) Se forman columnas con los términos semejantes uno abajo del otro.

5x3 – 4x2 + 2x

-6x3 – 3x2 + 4x

c) Se suman los coeficientes de cada columna y se deja la misma parte literal

2. (6 a2b2 + 3ab – 5) + ( a2 b2 – 5 ab – 2) + (-5 a2 b2 – 4 ab)

Como podrás observar lo que se hizo fue sumar.

(6 + 1 - 5) c2 b2 + (3 – 5 – 4) ab + (-5-2)= 2 a2 b2 - 6 ab -7

Ejercicios:

Efectúa la suma de los siguientes polinomios.

1) (a3 + 4) + (a2+ 5a + 1) + ( 3a3 + a2 – 3 a)

2) (-5a + 8b –7d) + ( 3c – 5b – 4d)

3) (4 m2 – mn + 3n2) + (-3m2 + 5 mn – 2n2)

Solución:

1) 4 a3 + 2a2 + 2 a + 5

2) –5 a + 3b + 3c + 11d

3) m2 + 4 mn + n2

Nota: Para ordenar un polinomio, se escriben sus términos en orden alfabético.

Si todos los términos tienen la misma literal, se ordena el polinomio de acuerdo al grado, ya sea en forma creciente o decreciente.

El grado de un polinomio es el del término de mayor exponente.

Ejemplo:

a5 + a3 + 3a

El polinomio es de quinto grado, ya que el exponente mayor es 5.

Ejemplo de orden:

Ordenar 3 a + 2 a3 + a5 + 3

Forma creciente 3 + 3 a + 2 a3 + a5

Forma decreciente a5 + 2 a3 + 3 a + 3

La suma de radicales o paréntesis con expresiones iguales se lleva a cabo igual que la suma de monomios.

1) Se suman los coeficientes.

2) Se multiplica el paréntesis o el radical por la suma de los coeficientes.

Ejemplo:

1.- 3 (a + b) + 2 (a + b) + 5 (a + b)= (3 + 2 + 5) (a + b) = 10 (a + b)

2.-

Ejercicios:

1. 2 (x + y) – 6 (x + y) – 7 (x + y)

2. 7 (x2 + 5) + 2(x2 + 5) –5 (x2 + 5)

3.

Solución:

1. –11 (x + y)

2. 4 (x2 + 5)

3. 12

Ejercicios de aplicación.

Como ya lo hemos mencionado, el álgebra se utiliza para la solución de problemas de aplicación; la suma de polinomios no son la excepción.

1) Un alpinista quiere escalar una montaña de b metros de altura, y el se encuentra a c metros. ¿cuánto le falta para llegar a la cumbre?

Respuesta: cumbre=(b–c) kms.

2) México está a 1022 kms. de Monterrey, por ferrocarril. El tren de Cuernavaca está a x Km de México. ¿a qué distancia está el tren de Cuernavaca del de Monterrey?

Respuesta: d=(1022+x) kms.

3) La cuenta en el banco de una compañía es de x pesos, se hizo un retiro de $ 10,500, después de un abono de tres veces la cantidad inicial, después un retiro de $ 3,250, ¿cuál es el saldo de la cuenta?

S=x+(-10500+3x-3250)

Respuesta: S=4x-13750 pesos.

4) Para comprar un auto que vale $185,000, se cuenta con el importe de dos meses de sueldo de tu Papá y un mes de tu sueldo que es equivalente a 7,450 pesos. ¿qué cantidad falta para los $ 185,000, si tu papa gana 5 veces más mensualmente que tú?

Respuesta: 185,000–11x

5) Para comprar ropa en un almacén tus padres te dieron $5,000. unos jeans te costaron $450, un chaleco te costó a pesos, una chamarra te costó 2a pesos, un saco te costó el triple que el chaleco y gastaste $100 pesos en un nuevo reloj ¿cuánto dinero te quedó?

Respuesta: 4,450– 6a pesos.

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Evaluación

Tema: 8.6. Resta de monomios y polinomios.

Objetivo:

Explicar y ejemplificar cómo se efectúa la resta algebraica de monomios y polinomios.

Resta de monomios.

La resta de monomios es muy parecida a la suma, sólo que hay que cambiar los números del sustraendo por su simétrico y se resuelve aplicando las reglas de la suma.

Ahora bien, si tomamos en cuenta que el valor absoluto de un número algebraico es el valor de dicho número sin tener en cuenta su signo. tenemos entonces que:

Ejemplo: si tenemos (8x) – (6x) =

a) Se convierte la resta en suma cambiando el sustraendo por su simétrico.

(8x) + (-6x) =

b) Se resuelve aplicando las reglas de la suma.

(8x) + (-6x) = (8-6) x = +2x

Ejercicios:

1. 38 ab – (-8 ab)

2. –17 x – (-3 x)

3. –8cg2 – (16 cg2)

Solución:

1. 46 ab

2. –14 x

3. -24 cg2

Nota: recuerda que para suprimir paréntesis que son precedidos por el signo +, se quita el paréntesis sin alterar los signos de las cantidades contenidas dentro de él.

Si el paréntesis es precedido por un signo –, se cambian los signos de las cantidades dentro de él, (se saca el simétrico de las cantidades contenidas en el paréntesis).

Resta de polinomios.

Para restar polinomios se hace lo siguiente:

a) Se convierte la resta en suma cambiando los signos de cada uno de los términos del sustraendo.

b) Se forman columnas de términos semejantes y se suman los coeficientes de cada columna dejando la misma parte literal.

Ejemplo:

1. Supongamos que deseas hacer la resta de ( -8x3 + 3x –2x2) – (4x2 + 8x3 -7)

a) Se convierte la resta en suma suprimiendo el paréntesis que es precedido por el signo –.

(-8x3 + 3x –2x2) - (4x2+8x3 - 7)

(-8x3 + 3x –2x2) + (-4x2-8x3 + 7)

b) Se forman columnas de términos semejantes y se suman los coeficientes dejando la misma parte literal.

2. (2a – 7b + 4c) – (-3a – 5b + 4c) =

(2a – 7b + 4c) + (3a + 5b - 4c) =

(no es necesario poner el cero)

Ejercicios:

1) (6x2 – 6x3 + 5x) – (-4 + 6x2 – 3x3)

2) (4x + 8y – 9z) – (-5x +y –z)

3) -(-5x + 7x3 – 4 + 2 x2) – (-9 + 3x -2x2 – 5x3)

Solución:

1) –3x3 + 5x + 4

2) 9x + 7y – 8z

3) –2x3 + 2x +13

Sumas y restas combinadas

En ocasiones es frecuente encontrar sumas y restas combinadas, por lo cual se deben llevar a cabo los siguientes pasos para realizar las operaciones de una forma más fácil.

a) Se eliminan los paréntesis.

b) Se suman los términos semejantes, tomando columnas, ordenando los polinomios.

Ejemplos:

1) (3x3 – 5x2 + 4x -8) – (-7x + 9x3- 8 + 5x2) + (-7 + 8x – 4x3)

a) Se eliminan los paréntesis precedidos por el signo – por lo que en este caso sólo cambiaremos los signos de los términos del segundo paréntesis y los demás quedan igual.

(3x3 – 5x2 + 4x -8) + (+7x - 9x3+ 8 -5x2) + (-7 + 8x – 4x3)

b) Se forman columnas con los polinomios ordenados en forma decreciente y sumamos los términos semejantes.

2) -[-5 x3 + (3x2 –2x3 + 4 - 5 x2)]

Primero eliminamos los paréntesis internos.

-[- 5x3 + (3x2 – 2x3 + 4 – 5x2 )]

Ahora eliminamos el paréntesis exterior y formamos columnas con los términos semejantes para sumar sus coeficientes.

[ + 5x3 –3x2 +2x3- 4 + 5x2]

Ejercicios:

1) -5x2 – [+4a – 7x – (-4a -3b)]

2) –[- (-8x + 5y – 4z) ] – [- 4 x – (-7y –2z)]

3) 18ab – [(6ab – c) + (4ab – c)]

4) 12b – [ ( 7x – b) + (6x – 4b) ]

5) – 15 ]

Solución:

1) -5x2 + 7x – 3b - 8a

2) -6z – 2y + 12 x

3) –8ab +2c

4) 17b - 13x

5) -18

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Evaluación

Tema: 8.7. Multiplicación de monomios y polinomios.

Objetivo:

Explicar y ejemplificar cómo se efectúa la multiplicación algebraica de monomios y polinomios.

Para llevar a cabo la multiplicación algebraica se deben aplicar 3 pasos.

1. Se lleva a cabo la multiplicación de los signos, debes recordar que:

( + ) ( + ) = +

( - ) ( - ) = +

( - ) ( + ) = -

( + ) ( - ) = -

2. Multiplicar los coeficientes.

3. Se efectúa la multiplicación de literales; aquí se presentan casos:

a) Cuando se tienen las mismas literales.

En este caso se tiene que poner a cada una de las literales un exponente igual a la suma de los exponentes de las letras iguales, ejemplo;

a2 . a3 . a6 = a 2+3+6 = a"

x2 y z3 . x y3 z2 = x2+1=3 . y1+3=4. z3+2=5

= x3 y4 z5

b) Cuando los factores tienen literales diferentes; entonces se escriben las literales ordenándolas alfabéticamente. a,b,c,z...

a . b. z= abz

x2y . a . c2 d2= ac2 d2 x2 y

Ejemplos

1. (5x) (-4x2) = - 20 x3

2. (-3x2y)(xy2)(- 7ay) = + 21 ax3 y4

3. (3 x y)(- ab )(-5ab x3y2) = 15 a2 b2 x4 y3

Ejercicios:

Realiza las siguientes operaciones:

1. (-3xy)2 (5y2) (2x2 y3)

2. (2x3 y1/2z) (-4x y 3/2x2)

3. ( 8x-2)(9 x3 y4) (-5xy)

4. (-3xy) [ -(-2x3y)(6x)]

5. (7a3) (-2ab) (-3ab1/2)

Solución:

1. 90x4y7

2. -8x6y2 z

3. 360 x2 y5

4. 36 x5 y2

5. 42 a5 b3/2

Problemas de aplicación.

1) Encuentra el volumen de un cubo de a metros de arista.

2) La velocidad media de un automóvil es de ab km por hora ¿cuánto corre en 5 horas?

3) ¿Qué longitud tiene un puente formado por 5 tramos iguales de longitud x?

4) Se compran 10 libros de álgebra. El precio de cada uno es de 8a pesos ¿cuánto se debe pagar por todos los libros?

5) Se desea comprar una lona rectangular de m metros de largo y n metros de ancho. ¿Cuánto se debe pagar, si las lonas las venden por metros cuadrados y cada metro cuadrado cuesta 5x pesos?

Solución:

1) u = a3

v= 5 ab

3) L = 5x

4) 80a pesos

5) 5x . mn

Multiplicación de un monomio por un polinomio.

Para multiplicar un monomio por un polinomio, se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio y se suman los resultados.

Ejemplo:

1. (-2x) (5x2 –3x + 4) =

Multiplicando el monomio por cada término del polinomio.

(-2x) (5x2) = -10x3

(-2x) (-3x) = 6x2

(-2x) ( 4 ) = -8x

Por lo tanto la solución de la multiplicación es:

(-2x) (5x2-3x+4) = -10x3 + 6x2 -8x

2. (-5y) (-2x +3xy - 5y) =

10xy-15xy2+25y2

Ejercicios:

Realiza las siguientes multiplicaciones.

1. (-3ab) (2a – 3b + 4a2b)

2. (25xy3) (-2x1/2 y-2+ 3x3y –5y)

3. (3x) (2x2 + 4x-3)

4. (2ab + 5ab2 + b3) (ab2)

5. 3/5 x2 (-21 x2- 20x + 8)

6. 16 x3 y3

7. 25 y2

8. (x2y) (5x-3y)

9. 5/9 x3 ( -12x4+24x - 18)

10. 12x2(x3 +

Solución:

1. -12a3b2 – 6a2b + 9ab2

2. 75 x4y4 – 50 x3/2y –125 xy4

3. 6x3 + 12x2 - 9x

4. 2a2b3 + 5a2b4 + ab5

5. –63/5 x4 – 12x2+ 24/5 x2

6. 8x4 y2 + 4x5y + 16/3 x3y5

7. –75/8 xy3- 50/3 y4 –25/12 y5

8. 5x3 y – 3x2y2

9. –20/3 x7+ 40/3 x4 –10 x3

10. 12 x5 + 6x3 – 2x2)

Multiplicación de polinomios.

Para poder multiplicar un polinomio por otro.

a) Se multiplican cada uno de los términos del primer polinomio por los términos del segundo.

b) Al ir multiplicando se acomodan los términos semejantes en columnas.

c) Se suman los coeficientes de cada columna dejando la misma parte literal.

Ejemplos:

1. (2 + 5) (3x – 4)=

2. (3x + 2) (2x2 + 4x –3)

(una forma de no equivocarse es llevar a cabo la multiplicación como con los números enteros).

Ejercicios:

Realiza las siguientes multiplicaciones de polinomios.

1. (2 a – 3b) (5c + 4d)

2. (6 x –3) (x2-4x+5)

3. (x2+3xy + 6)(2x2+ xy +2)

4. (a2-2 ab + b2) (a2 + 2ab)

5. (x+y) (x-y)

Solución:

1. 10 ac + 8 ab – 15 bc - 12 bd

2. 6x3 -27x2 +42x -15

3. 3x4 + 7x3y+ 14x2+3x2 y + 12xy + 12

4. a4 – 3 a2 b2 + 2 ab3

5. x2 – y2

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Evaluación

Tema: 8.8. División de monomios y polinomios.

Objetivo:

Explicar y ejemplificar cómo se realiza una división algebraica de monomios y polinomios.

Para llevar a cabo una división algebraica se deben aplicar 3 pasos:

a) Dividir los signos recordando que:

( + ) ÷ ( + ) = +

( - ) ÷ ( - ) = +

( - ) ÷ ( + ) = -

( + ) ÷ ( - ) = -

b) Se dividen los coeficientes.

c) Se simplifican los exponentes teniendo en cuenta sus leyes.

al exponente del dividendo se le resta el exponente del divisor.

aº = 1 toda cantidad elevada a la cero (su exponente es cero) es igual a la unidad.

a-n =

Ejemplo:

1) –12x3 ÷ 4x2 = -3x

a) Se dividen los signos

( -) ÷ (+)= -

b) Se dividen los coeficientes.

12 ÷ 4 = 3

c) Se restan los exponentes de las letras iguales.

2)

3)

4) 9 a5 b4 c5 ÷ 3 a3 bc3 d2 =

5) 48 b2 c5 d4 ÷ 6 a2 b2 c3 d

Ejercicios:

Realiza las siguientes operaciones, toma en cuenta las leyes de los exponentes, así como la de los signos.

1) +a5 b2 c ÷ - ab

2) a10 b6c7 ÷ ab6c4

3) –a3 b2 c4 ÷ -a3 b 2c4

4) 36 a4 x3 y4 ÷ -6 a3 xy

5) +8 a3 b4 c3 ÷ -12 a2 bc5 d

Solución:

1) –a4 bc

2) +a9 c3

3) +1

4) –6 a x2 y3

5)

División de polinomios entre monomios.

Al igual que en la multiplicación, se divide cada uno de los términos del polinomio entre el monomio y se siguen las mismas reglas de signos y exponentes que se dieron en la división de monomios (recuerda que la división no es conmutativa).

Ejemplo:

1) (3a3 + 6a) ÷ a2 = = 3a(3-2) +6a(1-2) = 3 a1 + 6a-1 = 3a +

2) (5 a 2 + 25 a4 15 a3) ÷ ( - 5 a)

a) Se escribe cada término en forma de fracción:

b) Se lleva a cabo la división de coeficientes y signos, y se simplifican los exponentes.

-a(2-1) –5 a(4-1) + 3 a(3-1) = -a – 5 a3 + 3 a2

3) (35 a3 bc – 25 a2 b3 c – 15 a3 b3 c3) ÷ (5 a3 b3 c3)

Ejercicios:

1) (a+b+c+d)÷4

2) (18a3b2- 4 a2 b3 + 3 ab4) ÷ (-3a2b3)

3) (84x2 y2 + 36x2 y3 – 30x4 y4 ) ÷ (20 x2 y2 z)

4) (axy+bxy) ÷ xy

Solución:

1)

2)

3)

4) a+b

Aplicaciones.

Las divisiones algebraicas tienen muchas aplicaciones, sobre todo en problemas donde se involucran, la velocidad, la distancia y el tiempo, pero éstos son sólo unos cuantos, ejemplos:

1) Saber la velocidad con que se desplaza un tren que recorre x km en y horas.

Velocidad

2) Se pagan a pesos por bulto de maíz ¿cuánto pesa el bulto si la tarifa es de x pesos por kilo de maíz?

Pagan a pesos por bulto, cada bulto tiene y kilos.

División de polinomios.

Para dividir 2 polinomios es necesario realizar lo siguiente.

a) Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor.

b) Se multiplica el resultado por todos los términos del divisor y se resta el dividendo (cambiar los signos).

c) Se repiten los pasos (a) y (b) hasta que ya no se pueda dividir.

Ejemplo:

1) (6x2 – x - 15) ÷ (2x + 3)

a) Se divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor.

b) Se multiplica el resultado por todos los términos del divisor y se resta el dividendo (cambiando sus signos).

(2 x + 3) (3 x) = 6x2 + 9x

primer residuo

c) Se repite el paso (a) ahora con el nuevo dividendo que es –10 x-15.

d) Se multiplica el –5 por el divisor y se resta el resultado del dividendo.

(2x+3) (-5) = -10x-15

cambiando los signos = 10x + 15

2) (a3 + 3 a2 b + 3 ab2 + b3) ÷ (a2 + 2 ab + b2)

a2 + 2ab + b2

a) Calculamos el primer término del cociente dividiendo el primer término del dividendo entre el primero del divisor.

Nota: Se deben ordenar los polinomios tanto del dividendo como del divisor en forma decreciente.

b) Se multiplica el primer término del cociente por el divisor y se resta del dividendo.

(a2 + 2 ab + b2) (a) = a3 +2 a2b + ab2

a2 + 2 ab + b primer residuo.

c) Se calcula el segundo término del cociente dividiendo el primer término del primer residuo entre el primer término del divisor.

d) Se multiplica el segundo miembro del cociente por el divisor y se le resta al primer residuo.

(a2 + 2 ab + b2) (b) = a2b + 2ab2 +b3

a2 + 2 ab + b2

Ejercicios:

1) (2x4 – 3x3 + x2 + x –2) ÷ ( x2 – 3x + 2)

2) (a2 + 5a +6) ÷ (a + 3)

3) ( x5+ x2 y3 - x3 – y3) ÷ (x2 –1)

4) (49a2 + 14ab + b2) ÷ ( 7a - b)

5) (-7x3- 10 x2 + x4 –3 +25x) ÷ (x + x2 –3)

Solución:

1) cociente = 2 x2 +3x + 6 Residuo = 13 x – 14

2) cociente = a + 2 Residuo = 0

3) cociente = x3 + y3 Residuo = 0

4) cociente = + 7a + 3b Residuo = 4b2

5) cociente =x2 – 8 x +1 Residuo = 0

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Evaluación

Tema: 8.9. Productos notables.

Objetivos:

Definir el concepto de producto notable. Explicar y ejemplificar los cuatro tipos de productos notables.

Los productos notables, son productos que cumplen ciertas reglas que facilitan la forma de como se deberían resolver comúnmente y su principal característica es que su resultado se conoce a simple vista, sin la necesidad de hacer la multiplicación.

Existen cuatro productos notables.

1) El cuadrado de un binomio.

2) El cubo de un binomio.

3) Binomios conjugados.

4) Binomios con un término en común.

El cuadrado de un binomio.

a) Potencia de un monomio.

Para poder elevar un monomio a una potencia, se multiplica la base por si misma tantas veces como lo indique el exponente. Por ejemplo:

-52 = (-5) (-5) = 25

-x3 = (-x1 )(-x1)(-x1)= -x3

-5x2=(-5)(x)(x)=-5x2

(-5x)2=(-5x)(-5x)=25x2

(3x2)3=(3x2)(3x2)(3x2)=27x6

b) Potencia de un polinomio.

Para elevar un polinomio a una potencia, se multiplica el polinomio por si mismo tantas veces lo indique el exponente.

Ejemplo:

(3 + x)2 = (3 + x) (3 + x) = x2 + 6x +9

Existe una regla especial cuando se trata de elevar un binomio al cuadrado y existen dos casos:

1. Cuando el binomio es una suma, se conoce comúnmente como "el cuadrado de la suma de dos números" y dice lo siguiente:

El cuadrado de la suma de dos números es igual a:

El cuadrado del primer término. Más el doble del producto del primer término por el segundo. Más el cuadrado del segundo término.

Ejemplos:

(x +3)2 = x2 +2(x)(3)+9 = x2+6x+9

a) El cuadrado del primer término x2=(x)(x)

b) Más el doble del producto del primer término por el segundo (2)(x)(3)=6x

c) Más el cuadrado del segundo término (3)2=(3)(3)=9

2. Cuando el binomio es una diferencia, se conoce como "el cuadrado de la diferencia de dos números" y la regla dice:

El cuadrado del primer término Menos el doble del producto del primer término por el segundo Más el cuadrado del segundo.

Ejemplo:

(x-3)2=x2–6x+9

a) El cuadrado del primer término (x)2=(x)(x)=x2

b) El doble del producto del primer término por el segundo 2(x)(-3)=-6x

c) El cuadrado del segundo término (-3)2=9

(no olvides utilizar la ley de los signos al realizar la potenciación de los números)

Ejercicios:

Realiza las siguientes potenciaciones; puedes comprobar tu resultado por medio de la multiplicación.

1) (2x-4)2

2) (5x2+3a)2

3) (a+b)2

4) (-7a2b–2b)2

Solución:

1) 4x2-16x +16

2) 25x4 +30x2a+9a2

3) a2+2ab+b2

4) 49a4b2+28a2b2+4b2

El cubo de un binomio.

Supongamos que tienes el binomio de forma (2x-5)3.

Para resolver esta potencia lo puedes hacer recurriendo a la multiplicación o por producto notable.

Por multiplicación se tendría lo siguiente.

(2x–5)3=(2x-5)(2x-5)(2x-5)

Por producto notable se lleva a cabo la siguiente regla:

El cubo del primer término. El triple del cuadrado del primer término por el segundo. El triple del cuadrado del segundo término por el primero. El cubo del segundo término.

En nuestro caso (2x–5)3=8x3-60x2 +150x-125

a) El cubo del primer término. (2x)3=(2x)(2x)(2x)=8x3

b) El triple del cuadrado del primer término por el segundo. 3(2x)2(-5)=3(2x)(2x)(-5)=3(4x2)(-5)=-60x2

c) El triple del cuadrado del segundo término por el primero. 3(-5)2(2x)=3(-5)(-5)(2x)=3(25)(2x)=150x

d) El cubo del segundo término. (-5)3=(-5)(-5)(-5)=-125

Ejemplo:

(2x2+3y2)3= 8x6+36x4y2+54x2y4+27y6

a) El cubo del primer término. (2x2)3=(2x2)(2x2)(2x2)=8x6

b) El triple del cuadrado del primer término por el segundo. 3(2x2)2(3 y2)=3(4x4)(3y2)=36x4y2

c) El triple del cuadrado del segundo término por el primero. 3(3y2)2(2x2)=3(9y4)(2x2)=54x2y4

d) El cubo del tercer término. (3y2)3=(3y2)(3y2)(3y2)=27y6

Ejercicios:

Realiza las operaciones con las reglas del producto notable.

1) (2m6–n8)3

2) (5x+2)3

3) (2a2b–bc2)3

4) (3x7+2x4)3

5) ( 4ab–c)3

Solución:

1) 8m18–12m12n8+6m6n16–n24

2) 125x3+150x2+60x+8

3) 8a6b3–12a4b3c2+6a2b3c4–b3c6

4) 27x21+54 x18+36x15+8x12

5) 64a3b3–48a2b2c+12abc2–c3

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Evaluación

Tema: 8.10. Binomios conjugados.

Objetivos:

Definir a qué se le llama binomio conjugado. Explicar y ejemplificar cómo se soluciona una operación con binomios

conjugados.

Se les llama binomios conjugados al producto de la suma de dos números por su diferencia; es decir que tienen los mismos términos, pero uno con signo contrario, por ejemplo:

(a+b)(a–b)

Para resolver este producto, se puede hacer uso de la multiplicación.

o se puede usar la siguiente regla:

El producto de dos binomios conjugados es igual al cuadrado del primer término, menos el cuadrado del segundo término.

En nuestro caso (a + b)(a – b)

a) el cuadrado del primer término ( a )2= ( a ) ( a ) = a2

b) menos el cuadrado del segundo

-(b)2 = - (b) (b)= -b2

(a + b) (a – b) = a2 – b2

Ejemplos:

1. (5x – 3y) (5x + 3y)= (5x)2(3y)2 =25x2 – 9 y2

2. ( 7 a2-3b2) (7 a2 +3b2) = ( 7 a2)2- (3b2)2 =49 a4 – 9b2

3. ( 10 x y2 +4x2z) (10 x y2 – 4x2z) =100x2 y4 –16x4 z2

Ejercicios:

Resuelve conforme a la regla de binomios conjugados.

1. ( x y2z –3xy) ( xy2z + 3xy)

2. (- x + y) (x +y)

3. (4 ab – 2 cd) (4 ab + 2 cd)

4. (a +3) (a – 3)

5. ( 3 a3 + 4 b2) (3 a3 – 4b2)

Solución:

1. x2 y4 z2 – 9x2 y2

2. y2 – x2

3. 16 a2 b2 – 4 c2 d2

4. a2 – 9

5. 9 a6 – 16 b4

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Evaluación

Tema: 8.11. Binomios con un término común.

Objetivos:

Explicar y ejemplificar cómo se realiza la solución de binomios que poseen un término común.

Definir los principales problemas de aplicación que se presentan en la resolución de binomios con un término común.

Dos binomios con un término en común serían ( 3x +5) (3x – 2); el término común es 3x y los términos no comunes son +5 y –2.

El producto de dos binomios con un término en común, es posible realizarlo mediante la multiplicación de polinomios o por medio de la siguiente regla:

a) Primero se saca el cuadrado del término común.

b) Se hace la suma de los términos no comunes y se multiplica por el término común.

c) Se multiplican los términos no comunes, ejemplo:

1.- ( 3x +5) (3x – 2)= 9x2 + 9x – 10

a) El cuadrado del término común.

(3x)2= (3x) (3x) = 9x2

b) La suma de los términos no comunes por el término común.

(+ 5-2) (3x) = (3) (3x) = +9x

c) Se multiplican los términos no comunes.

(5) (-2) = -10

2.- ( x + y) (x + z) = x2 + x ( y x z)

a) el cuadrado del término común (x)2 = x2

b) La suma de los términos no comunes por el término común.

(y + z) (x) = x (y + z)

c) la multiplicación de los términos no comunes.

(y) (z) = yz

Comprobando por medio de la multiplicación.

x2 + xy + xz + yz = x2 + xy + xz + yz

Ejercicios:

Realiza las siguientes multiplicaciones por medio de la regla del producto notable para los binomios con un término común.

1. (8x – 5) (8x –3)

2. (5 y2 – 3x) (5y2 + 2x)

3. (3 a2 b +2) (3 a2 b + 2x)

4. (8x2 – 3y) (8x2 – 2y)

5. ( 9xy2z3 – 2x1/2) (9x2z3 + 3)

Solución:

1. 64 x2 – 64x + 15

2. 25 y4 – 5xy2 –6x2

3. 9 a4 b2 + 6 a2 b x + 6 a2 b + 4x

4. 64 x4 – 40 x2 y + 6 y2

5. 81 x2 y4 z6 – 18 x3/2 y2 z3 + 27 xy2z – 6x1/2

Existen dos productos que también son productos notables, pero no es muy común que los encontremos.

a) Si la suma de dos números se multiplica por el cuadrado del primer término, menos el producto de los dos términos, más el cuadrado del segundo, se obtiene como resultado el cubo del primero, más el cubo del segundo término.

Esto es, (a+b) (a2–ab+b2)=a3+b3

Si efectuamos la multiplicación.

Si lo hacemos según la regla.

(a + b) (a2 – ab + b2) = a3 + b3

El cubo del primero (a)3 = a . a . a = a3

más el cubo del segundo = (b) 3 b. b. b = b3

b) Si la diferencia de dos números, se multiplica por el cuadrado del primero, más el producto de los términos, más el cuadrado del segundo término, se tiene como resultado el cubo del primero, menos el cubo del segundo término.

Es decir, si tenemos (x – y) (x2 + xy + y2)

Al hacer la multiplicación.

Podemos obtener el mismo resultado si sólo seguimos la regla:

(x – y) (x2 + x y + y2) = x3 – y3

a) El cubo del primer término.

(x)3 = x . x .x= x3 – y3

b) El cubo del segundo término.

(- y )3 = - y . –y. –y = y3

Problemas de aplicación.

Puedes resolver estos problemas, mediante el uso de productos notables,

1) Calcular el área de un cuadrado que tiene como lado ( a + b)

2) Calcular el área de un rectángulo, cuya base es ( 2x +4) y cuya altura es (2x –3).

3) Calcular el volumen de un sólido rectangular que tiene como base un rectángulo de (x +y) metros de lado y su altura es de (2 x –y) metros

4) ¿A qué distancia el punto de partida se encuentra después de (a–y) horas en un tren que corre ( a2+ay+y2) km por hora?

5) Calcular el precio de un terreno que tiene (2x – 5y) m de base y ( 2x + 5y)m de altura. El precio del metro cuadrado es (4x2+10y2) pesos.

Solución:

1) A= a2+ 2 ab + b2

2) A= 4x2 + 2x – 12

3) V= (X2 – y2) (2x – y) = (2x3 – x2y – 2xy2 + y3)m3

4) d= a3 – y3

5) 16x2 – 60x2y2 – 250 y2 pesos cuesta el terreno.

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Evaluación

Tema: 8.12. Fracciones algebraicas.

Objetivos:

Definir el concepto de fracción algebraica. Explicar cómo se lleva a cabo la simplificación de fracciones algebraicas.

Una fracción algebraica es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas.

La fracción puede tener tres significados.

1. División.- Cuando el numerador es el dividendo y el denominador es el divisor.

2. Razón.- Cuando se comparan dos cantidades de la misma especie.

3. Parte de un todo.- Cuando dividimos una unidad y tomamos una parte determinada de ella.

En este tema te enseñaremos a simplificar y realizar operaciones algebraicas.

Simplificación de Fracciones Algebraicas.

Una de las razones por las cuales se llevan a cabo las aplicaciones más importantes de la factorización o descomposición en factores de una expresión algebraica, se debe a que nos ayuda a realizar la simplificación y operaciones con fracciones algebraicas.

Así mismo, existe una propiedad fundamental que se debe tener en cuenta para hacer cualquier operación o simplificación de una fracción y es la siguiente:

Si al numerador y al denominador de una fracción se les multiplica o divide por la misma cantidad, excepto el cero, no cambia el valor de la fracción y nos da como resultado las fracciones equivalentes.

Ejemplo:

Si tenemos la fracción , y queremos una fracción equivalente. Podemos

multiplicar por dos el denominador y el numerador

Nota: El signo denota equivalencia.

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Evaluación

Tema: 8.13. Fracciones con monomios y polinomios.

Objetivo:

Explicar cómo se factorizan la fracciones con monomios y polinomios.

Fracciones con monomios.

Para simplificar estas fracciones se hace lo siguiente:

a) Se le saca mitad, tercera, cuarta parte, etc. Al numerador y al denominador de los coeficientes.

b) Se le resta al exponente del dividendo y al exponente del divisor. Si el exponente es negativo se convierte en positivo cambiando al numerador o al denominador según sea el caso.

Ejemplos:

Fracciones con Polinomios.

Para simplificar fracciones con polinomios hay que considerar lo siguiente:

a) Se factoriza el numerador y el denominador de la fracción.

b) Se eliminan los factores iguales del numerador y del denominador.

Ejemplo:

a) Factorizamos el numerador.

a2 + 2ab + b2 es un trinomio cuadrado perfecto por lo que podemos expresar como:

b) Factorizamos el denominador que es la diferencia de cuadrados y lo podemos expresar mediante la siguiente fracción:

(a2+2ab+b2)=(a+b)(a-b)

Por lo tanto podemos expresar la fracción de la siguiente manera:

Se eliminan los factores iguales del numerador y del denominador.

En nuestro caso los factores iguales son: (a + b).

Ejercicio:

Reduce los siguientes fracciones:

1)

6)

2)

7)

3)

8)

4)

9)

5)

10)

Solución:

1) 6)

2) 7)

3) 8)

4) 9)

5) 10)

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Evaluación

Tema: 8.14. Ecuaciones lineales o de primer grado.

Objetivos:

Definir el concepto de igualdad. Explicar las diferencias existentes entre ecuaciones de primer grado y de las de

segundo grado.

Igualdades.

1. Las igualdades son 2 conjuntos que representan el mismo número de elementos.

2. A las igualdades que admiten sólo algún valor dado a las letras que las forman se les llama ecuaciones.

3. Las igualdades que admiten cualquier valor atribuido a las letras que la forman se les denomina identidad.

4. Una ecuación contiene una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas.

5. Podríamos decir entonces que las ecuaciones se componen de valores e incógnitas.

Se encuentran estructuradas de la siguiente manera: el primer miembro que son las cantidades que se encuentran antes del signo =, el segundo miembro el que se encuentra después de dicho signo y las incógnitas que son las literales que reemplazan las cantidades desconocidas.

Ejemplo:

3 + x = 5

Primer miembro 3 + x

Incógnita x

Segundo miembro 5

El hecho de resolver una ecuación, significa buscar el valor o valores que satisfagan la ecuación, es decir, encontrar las raíces de la ecuación.

Ahora bien, para poder resolver una ecuación se deben tomar en cuenta las reglas de las igualdades que son las siguientes:

A. Si a los dos miembros de una igualdad, se les suma o resta por la misma cantidad, la igualdad subsiste.

B. Si los miembros de una igualdad se multiplican o dividen por la misma cantidad excepto el cero, en el caso de la división la igualdad se conserva.

El grado de una ecuación es el término de mayor grado.

(El grado de un término con respecto a una literal es el exponente de esa literal en ese término)

Una ecuación puede ser de primer grado, con una o varias incógnitas o de segundo grado con una o varias incógnitas, etc.

Una Ecuación de primer grado es aquella que después de haber efectuado las operaciones indicadas, su incógnita tiene exponente igual a 1.

Ejemplo:

1. 3x+5+2x=12-32x

El exponente de x es 1 por lo tanto es de primer grado.

2.

El exponente de x es 1, por lo tanto es de primer grado.

3.

El exponente mayor de x es 2 por lo tanto no es una ecuación de primer grado, es entonces una ecuación de segundo grado.

Una ecuación entera es la que no tiene incógnitas en el denominador.

Una ecuación fraccionaria es la que tiene incógnitas en el denominador.

Ejemplo:

(x-2)+ (x-1), es una ecuación entera.

, es una ecuación entera.

3x + 2 = 7y, es una ecuación entera de primer grado con dos variables

,es una ecuación fraccionaria con dos variables y es de primer grado.

Se dice que dos ecuaciones son equivalentes, cuando una se obtiene de la otra, sumando, restando, multiplicando o dividiendo ambos miembros de la ecuación por la misma cantidad. Ejemplo:

Las ecuaciones y 4x - 8 = x + 2, son equivalentes.

La segunda ecuación se obtuvo al multiplicar ambos miembros de la primera por 4(x+2).

El término independiente es aquel que no tiene incógnita.

Ejemplo:

2x + 3= 5

Los términos independientes de la ecuación anterior son: 3 y 5.

Propiedades de las ecuaciones.

Estas ecuaciones se derivan de las propiedades de las igualdades.

1. Si un término está sumado en un miembro, puede pasar al otro miembro restando.

Ejemplo:

5 + x = 8

El 5 está sumando en el primer miembro por lo cual si lo pasa al segundo miembro lo debes cambiar restando, es decir:

x= 8 - 5

esto se debe a que si sumamos una cantidad en ambos miembros de una ecuación la igualdad se conserva según la regla A de las igualdades:

-5 +5 + x = 8 - 5

x = 8 - 5

x = 3

2. De igual manera, podemos afirmar que por la regla A de las igualdades, que si un término está restando en un lado de la ecuación puede pasar sumando del otro lado:

x - 5 = 3

x - 5 + 5 = 3 +5

x = 8

es decir:

x - 5 = 3

X = 3 + 5

X = 8

Por la propiedad de la regla B de las igualdades se afirma:

3. Si en una ecuación un término está multiplicando puede pasar al otro miembro dividiendo sin cambiar su signo

Ejemplo:

1. -8x = 24

x=

x = -3

2. 5x = 10

x =

x = 2

3. –x = 2

x =

x = -2

4. –6 = 2x

-3 = x

4. Cuando una ecuación tiene uno o varios términos dividiendo, pueden pasar al otro miembro, multiplicando.

Ejemplo:

1.

x = (3) (4)

x = 12

2.

x = (2) (-5)

X = 10

3.

8 = (4) (x)

2 = x

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Tema: 8.15. Solución de ecuaciones algebraicas.

Objetivos:

Explicar cómo se lleva a cabo la solución de ecuaciones algebraicas. Explicar los procedimientos que se utilizan en la resolución de ecuaciones

algebraicas.

Solución de ecuaciones de la forma x+a=c ó x-a=c.

Para resolver una ecuación de suma o resta debes hacer lo siguiente:

Se despeja la incógnita, es decir se deja la incógnita en un sólo miembro.

Cambia los términos independientes a un sólo miembro, aplicando la regla A y B de las igualdades.

Se hace la suma o resta de los términos semejantes.

Ejemplo:

1) 2 + x = 11

Solución: despejamos la incógnita pasando el 2 como –2 del otro lado de la ecuación.

El resultado lo podemos comprobar sustituyendo la incógnita por el valor numérico encontrado la raíz de la ecuación cumpliéndose la igualdad.

2 + 9 = 11, por lo tanto el 9 es el resultado de esta ecuación.

11 = 11 ó raíz de la ecuación.

2) x – 8 = 15

Solución: como el ocho está restando de un lado, pasa sumando del otro lado.

x = 15 + 8

x = 23

3) x + 2 = 1

Resultado: el 2 pasa del otro lado de la ecuación como –2, es decir, pasa restando.

x = 1 - 2

x = -1

4) 5 + y = 7

Solución:

y = 7 - 5

y = 2

5) x - 5 = 3

Solución:

x = 3 + 5

x = 8

Solución de ecuaciones de la forma ax=b, a=bx, ax+b=c.

Para las ecuaciones del tipo ax = b y a = bx, se despeja la incógnita, que en este caso pasa dividiendo el coeficiente de las x del otro lado de la ecuación.

Ejemplos:

1) 2) 3)

Para resolver las ecuaciones del tipo ax+b=c, dx-f=g, debes de tomar en cuenta las siguientes consideraciones:

a) Coloca los términos independientes en un sólo miembro de la ecuación según sea el caso y después se suman los términos semejantes.

ax = c - b

dx = g + f

b) Despeja la incógnita; es decir ésta pasa dividiendo al coeficiente de la x del otro lado de la ecuación.

c) Se debe de simplificar lo más que se pueda.

Ejemplo:

3x = 18 + x

Paso 1.Colocamos los términos independientes de un lado de la ecuación y las incognitas en el otro miembro.

3x - x = 18 (x estaba de un lado sumando y pasa del otro lado restando)

2x = 18 (por la resta que realizamos en el primer miembro de 3x - x)

Paso 2. Despejamos la incognita; en este caso el 2 que está multiplicando pasa al otro miembro dividiendo.

Paso 3.Simplificamos

x = 9

La raíz de la ecuación es 9

Solución a las ecuaciones de la forma:

Para resolver este tipo de ecuaciones se deben seguir los siguientes pasos:

a) El término que se encuentra dividiendo se pasa al otro lado de la ecuación, multiplicando:

Ejemplo:

Primer caso despejando: x = b.a

Segundo caso

despejando: a = b.x

Tercer caso despejando: c.x = b.a

b) Se pasa dividiendo el coeficiente de la incógnita del otro lado de la ecuación:

Primer caso: x = b.a

Segundo caso:

Tercer paso:x=

c) Se reduce hasta donde sea posible.

Ejemplo:

1)

Cómo el 5 está dividiendo de un lado, pasa multiplicando del otro lado.

20x (400) (5)

Despejamos x y el 20 que está multiplicando, pasa dividiendo al otro miembro.

x=

Simplificamos.

x=

x= 100

2) -36=

La x está dividiendo de un lado y pasa multiplicando del otro lado.

(x)(-36) = 81

-36x = 81

Despejamos la incógnita; en este caso es –36, como de un lado esta multiplicando pasa al otro miembro dividiendo.

x=

Simplificamos y tenemos que:

x=

Solución de ecuaciones de la forma:

Para resolver este tipo de ecuaciones se hace los siguiente:

Se multiplican ambos miembros de la ecuación por el denominador.

Primer caso, ecuación de la forma:

, cax=b

Segundo caso, ecuación de la forma:

Tercer caso, ecuación de la forma:

Se despeja la incógnita.

x = primer caso

- x= c b –a segundo caso

x = - (cb - a) = (- cb + a) = ( a – cb)

ax – C x = -b Tercer caso (Agrupamos términos semejantes en un miembro de la ecuación x(a-c)=-b, e independientes en otro; (a-c) multiplican a x por otro lado de la ecuación)

x =

Ejemplo:

Resolver las siguientes ecuaciones:

1) 4x=

Multiplicamos ambos miembros por el denominador, en este caso por 2.

(2)(4x) =

8x = 20

Despejamos la incógnita; en este caso el 8 está multiplicando de un lado, por lo tanto pasa dividiendo del otro lado.

X =

Simplificamos

x =

2) .

Multiplicamos ambos miembros de la ecuación por el denominador, en este caso el 4.

(y - 3) = 48

Se despeja la incógnita; en este caso el 3, está restando, por lo tanto pasa del otro lado sumando.

y=48+3

Simplificamos.

y=51

3)

Multiplicamos ambos miembros de la ecuación por el denominador, en este caso por 2x.

=12(2x)

7x + 5 = 24x

Colocando términos independientes de un lado y términos con incógnita del otro.

7x - 24x = -5

Reducimos términos semejantes:

-17x = -5

Despejamos la incógnita: en este caso es –17, que está multiplicando de un lado, pasa dividiendo del otro lado.

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Evaluación

Tema: 8.16. Solución de ecuaciones con paréntesis.

Objetivos:

Explicar cuáles son los procedimientos a seguir para la resolución de ecuaciones con paréntesis.

Ejemplificar cómo se efectúa la solución de ecuaciones con paréntesis.

a (ax + b) = cx

a + ax = (cx - x)

a (a - x) = (c + x)b

(ax - b) = b (bx-c)

Para poder resolver las ecuaciones de este tipo, debes de seguir los siguientes pasos:

a. Eliminar los paréntesis efectuando las operaciones indicadas.

b. Agrupar los términos semejantes con la incógnita en un miembro y los términos independientes en otra.

c. Se suman los términos semejantes y se despeja la incógnita.

d. Se comprueba si se desea.

Ejemplos:

1. 2(3x + 5) = 8x

Solución:

a) Se eliminan paréntesis efectuando la multiplicación correspondiente.

6x + 10 = 8x

b) Se agrupan términos semejantes en un lado de la ecuación y términos independientes en otro.

6x - 8x = -10

c) Se suman los términos semejantes.

-2x = -10

d) Se despeja la incógnita y simplificamos la ecuación.

x =

x = 5

2. 2 + 2x = 3(4x - x)

Solución:

a) Se eliminan paréntesis efectuando las operaciones indicadas.

2 + 2x = 12x - 3x

2 + 2x = 9x

b) Se agrupan términos semejantes de un lado e independientes del otro.

2x - 9x = -2

-7x = -2

c) Se suman los términos semejantes y se despeja x.

x =

d) Se simplifica la ecuación.

x =

e) Se efectúa su comprobación.

2 + 2 = 3 (4 - )

2 + = 3 ( - )

3. 4(4 - x) = 2(2 + x)

Solución:

a) Se eliminan paréntesis.

16 - 4x = 4 + 2x

b) Se agrupan términos semejantes de un lado e independientes del otro.

-4x - 2x = 4 - 16

c) Se suman los términos semejantes y se despeja x.

-6x = -12

x =

d) Se simplifica la ecuación.

x = 2

e) Se efectúa su comprobación.

4(4 - 2) = 2(2 + (2))

16 – 8 = 8

8 = 8

4.

Solución:

a. Multiplicamos ambos miembros de la ecuación por 4.

3(3x - 4) = 8(4x - 5)

b. Eliminamos los paréntesis.

9x -12 = 32x -40

c. Sumamos los términos semejantes.

9x-32x= -40+12

-23x=28

d. Despejamos x y simplificamos.

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Evaluación

Tema: 8.17. Solución de ecuaciones con fracciones.

Objetivos:

Definir los pasos a seguir para efectuar la solución de ecuaciones con fracciones.

Ejemplificar cómo se lleva a cabo la solución de ecuaciones con fracciones.

En este tipo de ecuaciones se contemplan todas aquellas de forma:

Para que puedas resolverlas debes tomar en cuenta lo siguiente:

a. Buscar el mínimo común múltiplo de los denominadores.

b. Se divide el común denominador entre cada uno de los denominadores y se multiplica el resultado por el numerador.

c. Se agrupan los términos semejantes y se suman.

d. Se despeja la incógnita y se comprueba.

Ejemplo:

1.

a. El mínimo común múltiplo de 2,3 es 6.

b. Se divide el común denominador entre cada uno de los denominadores y el resultado se multiplica por el numerador.

6 entre 3 = 2 por lo tanto 2(2 + x).

6 entre 2 = 3 por lo tanto 3( 3 - x).

2(2 + x) = 3(3 –x ).

c. Eliminamos paréntesis y agrupamos los términos semejantes.

4 + 2x = 9 - 3x

2x + 3x = 9 - 4

d. Sumamos términos semejantes.

5x = 5

e. Despejamos la incógnita y comprobamos.

x = 1

1 = 1

2.

a. El común denominador de x. x+2 es x(x+2)

b. Dividiendo el común denominador entre cada denominador y multiplicando el resultado por el numerador tenemos:

(x + 2) 3 = (2 + 5) x

c. Eliminando paréntesis y agrupando términos semejantes.

3x + 6 = 2x + 5x

d. Términos semejantes y despejando la incógnita.

6 = 4x

e. Simplificando

3.

a. El común denominador de 3 y 4 es 12.

b. Dividiendo CD (común denominador) entre cada denominador y el resultado se multiplica por el numerador.

4[2(5 - x)] = (3)(3)

c. Eliminando paréntesis.

4[10 - 2x] = 9

40 - 8x = 9

d. Agrupando términos semejantes.

-8x = 9 - 40

e. Sumando términos semejantes y despejando la incógnita.

-8x = -31

4.

a. El común denominador es 5x.

b. 4x = 5[12x - 9]

c. Se agrupan los términos semejantes.

d. 4x = 60x - 45

e. Se despeja la incógnita.

45 = 56x

x =

En general, para resolver una ecuación de primer grado con una incógnita se siguen los siguientes pasos:

a. Se suprimen los denominadores si los hay.

b. Se suprimen los paréntesis.

c. Se reducen términos semejantes.

d. Se agrupan las incógnitas en un miembro y términos independientes en otro.

e. Se despeja la incógnita.

f. Se comprueba el resultado.

A continuación te sugerimos que realices ejercicios similares a los siguientes, con la finalidad de que reafirmes tus conocimientos sobre el tema anterior.

1. 9x-23=20x-18

2.

3. 11x-8x=24

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Índice

Evaluación

Tema: 8.18. Sistema de ecuaciones lineales.

Objetivos:

Definir qué es un sistema de ecuaciones. Definir y explicar los principales métodos de resolución de sistemas de

ecuaciones lineales. Explicar cómo se desarrolla la aplicación de determinantes en la solución de

sistemas de ecuaciones lineales.

La resolución de ecuaciones que tienen dos o más variables se les llama ecuaciones lineales. En éstas cada valor de x le corresponde un valor determinado de y.

Los sistemas de ecuaciones son varias ecuaciones que comparten una o más incógnitas, por ejemplo:

Donde el valor de "x" y "y" satisfacen simultáneamente ambas ecuaciones.

En la solución de una ecuación lineal, el conjunto de valores que puede tener tanto K1, K2, K3... es igual al número de incógnitas que posea la ecuación. A este respecto, existe una clasificación de las diferentes maneras en las cuales se pueden solucionar las ecuaciones lineales, y esto se debe a la representación gráfica que más adelante explicaremos, pero en principio las soluciones pueden ser:

Incompatibles cuando no hay solución. Trivial cuando la única solución es el cero para cualquier variable. Compatible, sólo en los siguientes casos:

a) Indeterminado o no hegemónico cuando exista una infinidad de soluciones.

b) Determinado u homogéneo cuando sólo existe una sola solución.

Para que exista solución al número de incógnitas, el resultado debe ser igual al número de ecuaciones.

Así mismo, también existe lo que se llama sistemas equivalentes de ecuaciones lineales, es decir, un sistema es equivalente a otro cuando la solución es la misma.

A este respecto, se crearon varios métodos que sirven de ayuda en la resolución de las ecuaciones lineales, y estos son los siguientes:

Método de sustitución. Método de igualación. Método de suma y resta. Método por determinantes. Método gráfico.

Método por sustitución.

Este método consiste en resolver el sistema de ecuaciones mediante sustituciones y se resuelve de la siguiente manera:

1). Se despeja de una de las ecuaciones una incógnita.

2). Se sustituye la incógnita que se despejó en la otra ecuación.

3). Se procede a resolver la ecuación lineal nueva (es decir la ecuación donde sustituiste la incógnita) y se encuentra el valor de la incógnita.

4). Se sustituye el valor de la incógnita encontrada en la ecuación despejada.

5). Se comprueba el sistema con los valores encontrados.

Ejemplo:

1) Resolver el sistema:

Solución:

1) Despejamos la x de la ecuación 1.

2) Sustituimos la ecuación 3 en la ecuación.

3) Resolvemos la ecuación anterior 4.

4) Sustituimos el valor de Y en la ecuación 3 para encontrar el valor de x.

Por lo tanto la solución al sistema es:

x = 1y = -2

5) Comprobación, sustituyendo los valores encontrados en las ecuaciones, las igualdades se deben cumplir.

Sustituyendo y = -2 y x = 1 en la ecuación 1.

Sustituyendo y = -2 y x = 1 en la ecuación 2.

3(1)-4(-2)=13+8=1111 = 11

Como la igualdad se cumple en las dos ecuaciones, la solución del sistema es x = 1 y y = -2.

2) Resolver el sistema:

6x+2y-5z=13..........13x+3y-2z=13..........27x+5y-3z=26..........3

Solución:

1). De la ecuación 1 despejamos z.

2). Sustituimos 4 en la ecuación 2 y 3, en la 2 y simplificamos.

3). Sustituyendo 4 en 3.

4). Ahora nos queda el sistema.

5). De la ecuación 5 despejamos x.

6). Sustituimos la ecuación 7 en la ecuación 6:

7). Sustituyendo el valor de y en la ecuación 7.

8). Sustituyendo el valor de x y y en la ecuación 2 y resolviéndola tenemos:

9). Comprobando en las ecuaciones 3 y 1.

Ejercicio:

Resuelve por el método de sustitución los siguientes sistemas y comprueba tus resultados.

1)

2)

3)

4)

5)

Índice Avanza

Tema: 8.19. Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas.

Objetivos:

Diferenciar a las ecuaciones de segundo grado. Identificar los nombres que recibe la ecuación de segundo grado

Una ecuación se llama cuadrática cuando el máximo exponente de cualquiera de sus incógnitas es 2.

Por ejemplo:

En general la ecuación cuadrática tiene la forma:

ax2+bx+c=

0

También se le llama ecuación cuadrática mixta completa.

Cuando en la ecuación de segundo grado b=0, es una Ecuación Cuadrática Pura y tiene la forma:

ax2+c = 0

(La ecuación carece del término de primer grado)

Cuando en la ecuación Cuadrática donde c = 0 es una Ecuación Cuadrática Mixta Incompleta y tiene la forma

ax2 + bx = 0

(La ecuación carece de término independiente.)

Índice

Tema: 8.20. Solución de ecuaciones cuadráticas mixtas incompletas.

Objetivo:

Identificar la solución de las ecuaciones cuadráticas mixtas incompletas.

Para resolver una ecuación de la forma ax , se hace lo siguiente:

Se factoriza dicha ecuación, como el resultado de la ecuación es igual a cero entonces uno de los factores debe ser igual a cero, por lo anterior podemos decir que se deben cumplir las siguientes condiciones:

a) Se hace cero el primer factor y se resuelve la ecuación que nos queda.

b) Se hace el segundo factor igual y se resuelve la ecuación que nos queda.

c) Los valores encontrados son las raíces de la ecuación.

Ejemplo:

1. 3x

a) Factorizamos la ecuación

x(3x+6)=0

si x=0

3x+6=0

3x=-6

x=

x=-2

b) Las raíces son:

x1=0

x2=-2

c) Comprobando los valores

3(0)

3(-2)

12-12=0

2. 6x Las raíces son:

x1=0

6x si x=0

3x + 15=0

3x = -15

x= -5

x2=-5

3.- 8x –3x

5x2 - 3x2 = -2x -8x

x(2x + 10) = 0

si x=0

2x + 10 = 0

2x = -10

x = -5

Las raíces son:

x1=0

x2=-2

Índice

Evaluación

Tema: 8.21. Solución de ecuaciones cuadráticas de la forma ax2+c=0 puras.

Objetivo:

Identificar el proceso para resolver ecuaciones cuadráticas de la forma ax2+c=0,pura.

Para resolver este tipo de ecuaciones se observa si la ecuación se puede factorizar mediante una diferencia de cuadrados o despejando la incógnita y sacando la raíz cuadrada , Ejemplo:

1. 9x -81=0

(3x-9)(3x+9) Factorizando por diferencias de cuadrados.

2. Igualando cada factor con cero y resolviendo las ecuaciones que quedan de la siguiente forma:

3x - 9 = 0 3x + 9 = 0

3x = 9 3x = -9

x = 3 x = -3

3. Las raíces de la ecuación son: x=3 y x=-3

Supongamos que ahora tienes la ecuación.

16x -64=0 Se despeja la incógnita y se resuelve la ecuación

16x -64=0

16x

x =

X =4

Índice

Evaluación

Tema: 8.22. Ecuaciones cuadráticas completas de la forma ax2+bx+c=0.

Objetivo:

Identificar los procedimientos para resolver las ecuaciones cuadráticas completas.

Existen tres formas para resolver una ecuación cuadrática completa:

Por factorización.

Este método consiste en factorizar la ecuación de segundo grado, encontrando los factores e igualando cada uno de éstos a cero y se resuelven las ecuaciones resultantes.

Ejemplo:

1) x

En este caso se trata de un trinomio de segundo grado , por lo que se factoriza

(x+2) (x+2) =0

Igualamos los dos factores con cero y resolvemos

x+2 = 0 x+2=0

x1= -2 x2=-2

2) y +8y+12=0

No se trata de un trinomio cuadrado perfecto , entonces los factores de esta ecuación son dos binomios con un termino en común.

(y+2) (y+6) =0

Igualando los dos factores con cero.

y+2 = 0 y+6 = 0

y1=-2 y2=-6

3)

Primero igualamos la ecuación con cero

x

Hacemos la factorización

(x-5) (x-2) =0

Igualamos los factores con cero

x-5=0 x-2=0

x1= 5 x2 = 2

4) 9x

Haciendo la factorización

(3x-9) (3x-9)=0

Igualando con cero los dos factores

3x -9 = 0 3x-9 = 0

3x = 9 3x = 9

x1 = 3 x2 = 3

5) x-2=

a) Igualando con cero

x

b) Factorizando

(x+7) (x-3)=0

c) Igualando los factores con cero

x+7= 0 x-3=0

Completando el trinomio cuadrado perfecto.

Este método consiste en completar trinomios cuadrados perfectos haciendo uso de las reglas o propiedades de las igualdades, para resolver se siguen los siguientes pasos:

1) Despejar el término independiente ax

2) Se divide toda la ecuación entre el coeficiente del término de segundo grado.

3) Se suma a ambos lados de la ecuación la mitad del coeficiente del término de primer grado elevado al cuadrado.

4) La expresión que nos queda en el primer miembro de la ecuación, es un trinomio cuadrado perfecto que descomponemos en dos factores.

5) A ambos miembros se les saca la raíz cuadrada

6) Se despeja la incógnita

Ejemplo:

a) 2x

1) 2x2-7x=-3 Se despeja el término independiente.

2) Se divide toda la ecuación por el del término cuadrático.

3) Se saca la mitad del término de primer grado , se eleva al cuadrado y se suma a ambos miembros de la ecuación.

Trinomio cuadrado perfecto.

4) Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto

5) Se saca la raíz cuadrada a ambos miembros de la ecuación.

6) Se despeja la incógnita

Las raíces son:

b)

(13-x)(x+2) = (11-2x)(x+3)

13x+26-x

-2x+13x-11x-x +2x +6x= 33-26

1. Se despeja el término independiente

2. Se completa el trinomio cuadrado perfecto

3. Se factoriza

4. Se saca la raíz cuadrada de la ecuación

5. Se despeja la incógnita

Resolución por medio de la ecuación general.

La ecuación general se deduce del método para completar cuadrados y sirve para resolver cualquier ecuación cuadrática y sólo basta sustituir los coeficientes de la ecuación en la fórmula que es:

Para resolver ecuaciones de este tipo:

Ejemplo:

1) x2 + 4x + 3 = 0

a = 1 b = 4 c= 3

Sustituyendo los valores en la fórmula

X=

X=

X=

X=

2)

Sustituyendo los valores

Ejercicios: Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas y comprueba tu resultado (utiliza el método que desees)

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

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Evaluación

Tema: 8.23. Aplicaciones de las ecuaciones de segundo grado.

Objetivo:

Identificar algunos casos prácticos donde se aplican las ecuaciones de segundo grado.

Al igual que las ecuaciones de primer grado, las ecuaciones cuadráticas nos ayudan a resolver problemas, por ejemplo:

1) Calcular la velocidad y cuánto tiempo es necesario para hacer un recorrido de 200 Km. Sabiendo que el número de horas es 5 unidades mayor que el promedio de la velocidad por hora.

Planteamiento.

La velocidad por hora es x

El número de horas necesarias es x+5

La distancia la podemos encontrar con la fórmula S=vt

=x(x+5)

Ejercicios:

1) La altura de un rectángulo es 2 m. mayor que su base, hallar sus dimensiones si se sabe que su área es de 80 m2

Respuesta:

8m. de base10 m. de altura

2) Calcular cuanto tiempo tarda en caer un cuerpo libremente para recorrer 490 m.

( )

Respuesta: 10 segundos.

3) Hallar un número tal que su cuadrado disminuido 6 veces el número sea igual al mismo número.

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Evaluación

Tema: 8.24. Logaritmos.

Objetivos:

Definir el concepto de logaritmo. Explicar las principales características de los logaritmos. Ejemplificar el uso que poseen los logaritmos en matemáticas.

La palabra "Logaritmo", viene de dos términos griegos; logos que significa razonar o calcular y arithmos, que quiere decir número, por lo que logaritmo significa "numero calculador" y se le atribuye al gran polemista político y religioso inglés John Napier (1550-1617) su invención, que surgen del deseo de facilitar los cálculos en la investigación astronómica.

Como veremos más adelante, los logaritmos son en esencia exponentes y que hay dos clases importantes. Napier es considerado como el inventor del logaritmo natural, el cual está basado en el número e. Mientras que su amigo y colaborador, el matemático inglés Henry Briggs (1561-1631) se le considera como el creador del logaritmo común, el cual tiene como base el número 10 (diez).

Concepto de Logaritmo.

Cuando trabajamos con potencias, es muy claro que:

101 = 10

102=100

103=1000

Nota.- En estos ejemplos, estamos tomando un número cualquiera, en este caso 10, para ejemplificar el concepto, sin embargo, puede ser cualquier número.

Bajo el esquema mostrado, es decir, el número 10 como base, Surge una pregunta interesante:

¿Qué exponente debo colocar al 10 para que el resultado sea 20?

Resulta obvio que es un número mayor que 1 pero menor a 2. Esto nos lleva a la conclusión de que debe ser un número fraccionario como exponente.

En conclusión, podemos decir que:

Un logaritmo es un exponente al que hay que elevar una base, para que nos resulte el número buscado.

Si lo decimos formalmente:

El logaritmo de un número real y positivo n, en la base b, es el exponente x de la potencia a la que hay que elevar la base para obtener el número n.

Según esta definición, la base b, puede ser cualquier número, sin embargo, lo más común es encontrarnos solamente dos bases para el uso de los logaritmos, lo cual nos lleva a las dos clases de logaritmos que existen:

Logaritmos Naturales Manejan como base el número e

Logaritmos Comunes Manejan como base el número 10

Aunque formalmente, los logaritmos se pueden manejar con cualquier base, es difícil encontrar tablas de logaritmos con base 2, por ejemplo. En realidad, solamente podrás conseguir tablas con base 10 y tablas con base del número e.

Sin embargo, y en base también a la definición que acabamos de leer, resulta que es la operación contraria a la potenciación, es decir:

103 = 1000

log10 1000 = 3

en donde: bx = n

Potenciación Logaritmo

x Exponente Resultado (logaritmo)

b Base de la potencia Base del logaritmo

n Resultado (potencia) Número real y positivo

Existen ciertas características con los logaritmos que debemos tener en cuanta y poder entenderlos mejor:

1. El logaritmo de un número en su misma base, siempre será igual a la unidad

Logb b = 1 ya que: b1 = b

2. En cualquier base, el logaritmo de la unidad es igual a cero

logb 1 = 0 ya que: b0 = 1

3. Logaritmo de un número negativo.- Por definición, la base es un número real y positivo, por lo tanto no puede existir el logaritmo de un número negativo. La razón es que no se pueden encontrar exponentes para los números positivos que los transformen en números negativos.

Logaritmos Comunes.

Como se ha mencionado anteriormente, los logaritmos comunes, son aquellos que tienen como base el número 10. (Generalmente se escribe como Log) Como son los más usados, de ahora en adelante, no se indicará la base, sin embargo, es importante hacer notar que todo lo que se diga para este tipo de logaritmos, es válido para cualquier base o para los logaritmos naturales (generalmente se escriben como ln). La única diferencia es que se deben tomar las tablas correspondientes, es decir, cuando se esté trabajando con logaritmos naturales, se debe tomar la tabla basada en el número e. Si se está trabajando con base 2, se debe tomar la tabla basada en este número.

Al estar trabajando nosotros con los logaritmos comunes, se tomará como base la tabla elaborada por Hoüel basada en los cálculos de Henry Briggs (creador de los logaritmos base 10).

Partes de un Logaritmo.

Como hemos visto anteriormente, el logaritmo nace la necesidad de conocer el exponente al que hay que elevar el número 10 para que el resultado sea un número cualquiera. De esta manera:

Si buscamos el logaritmo de 35 y sabemos que:

101 = 10

102 = 100

Entonces el exponente que buscamos es mayor que 1 pero menor a 2. Afortunadamente no debemos calcularlo, ya que en cualquier calculadora científica,

nos proporciona el valor, como no contamos con una de ellas, tendremos que consultar las tablas de logaritmos.

Podemos concluir que tenemos una parte entera y una fraccionaria o decimal. A la parte entera, la conocemos como Característica y en forma práctica, podemos decir que es el número de dígitos con los que cuenta en número, menos uno. Es decir:

El número 35 consta de 2 dígitos.

Se toma el 2, se le resta la unidad y nos da la característica del logaritmo (2-1=1)

La parte fraccionaria del logaritmo, es el valor obtenido en la tabla, en este caso 5441 y se le conoce como Mantisa.

Dicho de otra manera, los elementos de un logaritmo son:

Característica

Siendo ésta la parte entera

Mantisa Que es la parte decimal

En el ejemplo anterior, que buscamos el logaritmo base 10 de 35:

Log 35 = 1.5441

Ejemplos:

Determinar la característica de los siguientes números:

Característica Razón

6 0 Es mayor a 1 y menor a 10






Característica de números menores a 1.

Los números menores a 1 tienen una característica negativo, que se determina por el número de ceros que preceden a la primera cifra significativa.

Determinar la característica de los siguientes números:

Característica Razón

0.25 Es mayor a .01 y menor a .1



Fíjate que la característica tiene el signo negativo en la parte superior del número. Esto se debe a que la mantisa siempre es positiva, sin embargo la característica puede ser negativa, entonces se tuvo que encontrar la manera de indicar la parte entera negativa y la parte decimal positiva.

Determinación de la Mantisa de un número.

Para la determinación de la mantisa, eliminamos el punto decimal y consideramos el número completo para buscarlo en las tablas adecuadas y es el número que se muestra en ella,

Ejemplo:

Teniendo la sig. tabla de logaritmos base 10:

No. 0 1 2 3 4 5

10 0000 0043 0086 0128 0170 0212

11 0414 0453 0492 0531 0569 0607

12 0792 0828 0864 0899 0934 0969

13 1139 1173 1209 1239 1271 1303

14 1461 1492 1523 1553 1584 1614

15 1761 1790 1818 1847 1875 1903

Encontrar la mantisa de los siguientes números:

Característica

Mantisa Logaritmo

.12 0792 .0792

15 1 1761 1.1761

134 2 1271 2.1271

.00125 0969 .0969

Como puedes observar, el logaritmo se forma por la unión de la característica y la mantisa, solamente se separan por un punto decimal y obtenemos el logaritmo del número.

Operaciones con Logaritmos.

Debido a que los logaritmos son esencialmente exponentes de una base, generalmente 10, las operaciones con los logaritmos, se definen exactamente igual que las operaciones de exponentes, es decir potenciación.

Todo esto se facilita si se recuerdan las 3 leyes de logaritmos, que nos proporcionan la solución a cualquier operación con logaritmos.

1. El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores.

2. El logaritmo de un cociente, es la diferencia del logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.

3. El logaritmo de la potencia de un número, es el producto del exponente y el logaritmo del número.

Ejemplos:

1) Hallar por logaritmos el valor de 3364.8 x 0.003 x 25.76

Log(3364.8x0.003x25.76)=log3364.8+log0.003+log25.76

=3.5270+ .4771 + 1.4109

=2.4153

antilog 2.41 53 = 260.1956

33664.8 x 0.003 x -25.76 = 260.1956

2) Hallar el valor de (0.875/35.14) por logaritmos

Log (0.875/35.14) = log 0.875 – log 35.14

= .9420 - 1.5458

= .3962

antilog .3962 = 0.02490

3) Hallar el valor de 7.86 por logaritmos.

log 7.86 = 6 (log 7.8)

= 6(0.8921)

= 5.3526

antilog 5.3526 = 225216.3937

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