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UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICAFACULTAD DE CIENCIAS DE INGENIERÍAEscuela Académico Profesional de Ingeniería Civil - Huancavelica
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN INDEFINIDA
1. Método de Integración Compleja
a) ∫ sen5 (2 x )dx
Solución
Sabemos que:
sen (ax )= eaxi−e−axi
2 icos (ax )= eaxi+e−axi
2
Reemplazando sen (2x )= e2xi−e−2xi
2i
∫ sen5 (2 x )dx=∫( e2xi−e−2 xi
2 i )5
dx
¿∫ 1
2∗24 i5(e2xi−e−2xi )5dx
utilizando el binomio denewton
(a−b )5=a5−5a4b+10 a3b2−10a2b3+5a b4−b5
sabiendo que i5=i
¿ 116∫
12i
( e(2ix )5−5e (2 ix )4 e (−2 ix )+10 e(2ix )3 e(−2 ix )2−10 e(2 ix )2 e(−2 ix)3+5e (2 ix ) e (−2ix )4−e(−2 ix )5 ) dx
¿ 116∫
12i
¿
Reemplazandoen funcion del seno :
¿ 116∫ ( sen (10 x )−5 sen (6 x )+10 sen(2 x)) dx
¿ 116∫ sen (10 x ) dx−¿ 5
16∫ sen (6 x ) dx+1016∫ sen (2x ) dx¿
¿ 160cos (10 x )− 5
96cos (6 x )+ 5
16cos (2x )+C
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b) ∫cos5 (2x ) dx
Solución
Sabemos que:
sen (ax )= eaxi−e−axi
2 i;cos (ax )= eaxi+e−axi
2
Reemplazando cos (2 x )= e2xi+e−2 xi
2
∫cos5 (2x ) dx=∫( e2 xi+e−2xi
2 )5
dx
utilizando el binomio denewton
(a+b )5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5a b4+b5
¿ 116∫
12
(e(2 ix )5+5 e(2 ix )4 e (−2 ix )+10e(2 ix)3 e (−2 ix )2+10e (2 ix )2e (−2ix )3+5e (2 ix )e (−2 ix )4+e(−2ix )5 ) dx
¿ 116∫
12¿
Reemplazandoen funcion del coseno :
¿ 116∫ (cos (10x )+5cos (6 x )+10cos (2x )) dx
¿ 116∫cos (10 x ) dx+¿ 5
16∫ cos (6 x ) dx+ 1016∫ cos (2 x )dx ¿
¿− 160
sen (10x )− 596
sen (6 x )− 516
sen (2x )+C
c) ∫ tan7 (3x ) dx
Solución:
Sabemos que tan7 (3 x )=( e3xi−e−3xi
i (e3xi+e−3xi ) )7
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Reemplazando en la integral
∫ tan7 (3x ) dx=∫ [ e3 xi−e−3 xi
i (e3xi+e−3 xi ) ]7
dx
Desarrollando con el binomio de newton
(a+b )7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7a b6+b7
¿∫( e21 xi−7e (15 xi )+21e (9 ix )−35e (3 ix )+35e (−3 ix )−21e (−9 ix )+7e (−15 xi )−e21 xi
i7 (e21 xi+7e (15 xi )+21e (9ix )+35e (3 ix )+35e(−3 ix )+21e (−9ix )+7e (−15 xi)+e21 xi ) )dx
Sabemos que: i7=−i
¿∫−( e21 xi−e21 xi−7 ( e (15 xi )−e (−15 xi ) )+21 (e (9 ix )−e (−9 ix ))−35 (e (3 ix )−e (−3 ix ) )i (e21 xi+e21 xi+7 ( e(15 xi)+e (−15 xi) )+21 (e (9 ix )+e (−9ix ) )+35 ( e(3 ix )+e (−3 ix ) )) )dx
Reemplazandoen funcion de seno y coseno :
¿∫−( sen(21x )−7 sen (15 x)+21 sen (9 x )−35 sen (3 x)cos (21 x )+7cos (15 x )+21cos (9 x )+35cos (3 x) )dx
¿−∫( sen (21 x)−7 sen (15 x)+21 sen (9 x)−35 sen(3x )cos (21 x )+7 cos (15 x )+21cos (9x )+35cos (3 x) )dx
Estaintegral sehace complicadoresolver coneste metodo , si
Tratamos de reducir vuelve a la expresión original. Por lo tanto sería
factible resolver con otro método.
d) ∫ sec3 (4 x ) dx
Solución
Sabemos que sec (4 x )= 2
e4xi+e−4 xiReemplazando a la integral
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∫ sec3 (4 x ) dx=∫( 2e4 xi+e−4 xi )
3
dx
utilizando el binomio denewton
utilizando el binomio denewton
(a+b )3=a3+3a2b+3a b2+b3
¿∫( 8
e12 xi+3e4 xi+3e−4 xi+e−12 xi )dx
Estaintegral sehace complicadoresolver coneste metodo , si
Tratamos de reducir vuelve a la expresión original. Por lo tanto sería
factible resolver con otro método.
e) ∫ senh5 (3 x )dx
Solución
Sabemos que senh (3x )= e3 x−e−3x
2Reemplazando a la
integral
∫ senh5 (3 x )dx=∫( e3x−e−3 x
2 )5
dx
(a+b )5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5a b4+b5
¿ 116
∫( e15 x−5e9 x+10e3x−10e−3 x+5e−9 x−e−15 x
2 )dx
Reemplazandoel valor de senhtenemos que :
¿ 116∫ ( senh (15 x )−5 senh (9x )+10 senh (3 x)) dx
¿ 116∫ senh (15x ) dx−5
6∫ senh (9x ) dx+1016∫senh (3 x)dx
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¿cosh (15 x )240
−5cosh (9 x )144
+5cosh (3 x )
24+C
f) ∫cosh3 (4 x )dx
Solución
Sabemos que co sh (4 x )= e4 x+e−4 x
2Reemplazando a la
integral
∫cosh3 (4 x )dx=∫( e4x+e−4 x
2 )3
dx
(a+b )3=a3+3a2b+3a b2+b3
¿ 14∫( e12 x+3e4 x+3e−4 x+e−12 x
2 )dx
Reemplazandoel valor decosh tenemos que :
¿ 14∫ (cosh (12x )+3cosh (4 x ) ) dx
¿ 14∫ cosh (12 x ) dx+ 3
4∫cosh (4 x )dx
¿senh (12 x )
48+3 senh (4 x )
16+C
g) ∫coth 3 (6 x ) dx
Solución
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Sabemos que cot h (6 x )= e6x+e−6 x
e6x−e−6 x Reemplazando a la
integral
∫coth3 (6 x ) dx=∫( e6 x+e−6x
e6 x−e−6x )3
dx
(a+b )3=a3+3a2b+3a b2+b3
¿∫( e18 x+3e6x+3e−6x +e−18 x
e18 x−3e6x+3e−6 x−e−18 x )dx
Reemplazandoel valor de senh y cosh tenemos que :
¿∫( cosh (18 x )+3cosh (6 x )senh (18 x )−3 senh (6 x ) )dx
Estaintegral sehace complicadoresolver coneste metodo , si
Tratamos de reducir vuelve a la expresión original. Por lo tanto sería
factible resolver con otro método.
h) ∫ cosech5 (4 x ) dx
Solución
Sabemos que co sech (4 x )= 2
e4x−e−4x Reemplazando a la
integral
∫ cosech5 (4 x ) dx=∫( 2e4 x−e−4 x )
5
dx
utilizando el binomio denewton
(a+b )5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5a b4+b5
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¿∫( 32
e20 x−5e12 x+10e4x−10e−4 x+5e−12 x−e−20 x )dx
¿16∫( 1
e20 x−5e12 x+10e4 x−10e−4 x+5e−12 x−e−20 x
2 )dx
Reemplazandoel valor de senhtenemos que :
16∫( 1senh (20 x )−5 senh (12 x )+10 senh (4 x ))dx
Estaintegral sehace complicadoresolver coneste metodo , si
Tratamos de reducir vuelve a la expresión original. Por lo tanto sería
factible resolver con otro método.
i) ∫ e3 x sen4(2x )dx
Solución
Sabemos quesen (ax )= eaxi−e−axi
2i; a=2
reemplazando a la integral.
¿∫e3x ( e2xi−e−2 xi
2 i )4
dx
¿ 1
16i2∫ e3 x((e2xi)4−4 ( e2 xi )3 ( e−2xi )+6 (e2xi)
2(e2xi)2−4 ( e−2xi )3 (e2xi )¿+(e−2 xi)4)dx ¿
¿ 1
16i2∫ e3 x (e8 xi+e−8xi−4 ( e4xi+e−4xi )+6)dx
i2=−1
¿ 18∫e3x ( e8xi+e−8xi
2−4 ( e4 xi+e−4 xi
2 )+3)dx
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¿ 18∫e3x (cos (8 x )−4cos (4 x )+3 ) dx
¿ 18∫e3x cos (8 x ) dx−4
8∫ e3 xcos (4 x ) dx+¿ 38∫ e3x dx¿
¿ 18∫e3x cos (8 x ) dx−1
2∫ e3 xcos (4 x ) dx+¿ 38∫ e3x dx¿
sabemos que∫ebxcos (ax )dx=ebx ( asen (ax )+bcos (ax ) )
a2+b2
entonces b=3 ;a=8 ,4
18 [ e3x (8 sen (8x )+3cos (8x ) )
73 ]−12 [ e3x (4 sen (4 x )+3cos (4 x ) )25 ]+ 18 e3 x+C
¿e3 x sen(8x )
73+
e3x cos(8 x )584
−2e3x sen (4 x )
25−3e3x cos(4 x )
50+ 18
e3x+C
j) ∫ e−2 xcos5 (3 x ) dx
Solución
Sabemos queco s (ax )= eaxi+e−axi
2; a=3
reemplazando a la integral.
¿∫e−2x ( e3xi+e−3 xi
2 )5
dx
¿ 132∫ e−2x ((e3xi )5+5 ( e3 xi )4 ( e−3 xi )+10 (e3xi )3 ( e−3 xi )2+10 (e3xi )2 (e−3 xi )3+5 (e3xi ) (e−3 xi )4¿+( e−3xi )5)dx¿
¿ 116
∫e−2x (e15 xi+e−15 xi+5 (e9 xi+e−9xi )+10 ( e6 xi+e−6 xi ))2
dx
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¿ 116
∫e−2x ( e15 xi+e−15 xi
2+5( e9xi+e−9xi
2 )+10 ( e6 xi+e−6 xi
2 ))dx
¿ 116∫e−2x (cos (15 x )+5cos (9 x )+10cos (6 x ) ) dx
¿ 116∫e−2x cos (15 x ) dx+ 5
16∫ e−2xcos (9 x )dx+¿ 1016∫e−2 xcos (6 x ) dx ¿
¿ 116∫e−2x cos (15 x ) dx+ 5
16∫ e−2xcos (9 x )dx+¿ 58∫e−2 xcos (6 x ) dx ¿
sabemos que∫ebxcos (ax )dx=ebx ( asen (ax )+bcos (ax ) )
a2+b2
entonces b=−2 ;a=15 ,9 ,6
¿ 116 [ e−2x (15 sen (15 x )−2cos (15 x ) )
229 ]+ 516 [ e−2x (9 sen (9x )−2cos (9 x ) )85 ]+ 58 [ e−2x6 sen (6 x )−2cos (6 x )
40 ]¿15e−2x sen(15 x )
3664−
e−2x cos (15 x )1832
+e−2x sen (9x )
272−
e−2x cos (9 x )136
+3e−2x sen (6 x )
32−
e−2xcos (6 x )32
+C
k) ∫ e2 x tan2 (2 x )dx
Solución
Sabemos que tan ( ax )= eaxi−e−axi
i (eaxi+e−axi ); a=2
reemplazando a la integral.
¿∫e2x ( e2xi−e−2xi
i (e2xi+e−2xi ) )2
dx
¿∫ e2 x
i2 ( e4 xi+e−4 xi−2e2xi e−2xi
e4 xi+e−4 xi+2e2xi e−2xi )dx
¿∫−e2x ( e4xi+e−4 xi−2e4 xi+e−4 xi+2 )dx
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¿∫−e2x ( e4 xi+e−4xi−22
e4xi+e−4xi+22
)dx
¿∫−e2x ( cos (4 x )−1cos (4 x)+1 )d x
¿−∫ e2x ( cos (4 x )−1cos (4 x )+1 )d x
É staexpresi ó nse hacedificil resolver coneste mé todo
l) ∫ e4 x sec3 ( x )dx
Solución
Sabemos quesec (ax )= 2
( eaxi+e−axi );a=1
reemplazando a la integral.
¿∫e4 x( 2( exi+e− xi ) )
3
dx
¿∫e4 x( 8
e3xi+e−3xi+3e2xi e− xi+3exi+e−2xi )dx
¿∫e4 x( 8
e3xi+e−3xi+3 (e xi+e−xi ) )dx
¿∫e4 x( 4
e3xi+e−3 xi
2+3 ( exi+e− xi
2 ))dx
¿∫e4 x( 4cos (3 x )+3cos (x ))dx
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É staexpresi ó nse hacedificil resolver coneste mé todo
ll) ∫ e2 x sen3(3 x)dx
Solución
Sabemos quesen (ax )= eaxi−e−axi
2i; a=3
reemplazando a la integral.
¿∫e2x ( e3 xi−e−3 xi
2 i )3
dx
¿ 18 i3
∫ e2 x((e3xi)3−3 (e3xi )2 ( e−3 xi )+3(e3 xi)1(e3 xi)2−¿(e−3 xi)3)dx¿
¿∫e2x ( e9xi−e−9xi−3 ( e3 xi+e−3xi )8 i3 )dx
i3=−i
¿−14∫ e2 x(( e9xi−e−9xi
2 i )−3( e3xi−e−3xi
2i ))dx
¿−14∫ e2 x ( sen (9 x )−sen (3 x ) ) dx
¿−14∫ e2 x sen (9 x )dx+ 4
3∫e2x sen (3 x ) dx
sabemos que∫ebx sen (ax ) dx=ebx (bsen (ax )−acos (ax ) )
a2+b2
entonces b=2 ;a=9 ,3
¿−14 [ e2 x (2 sen (9x )−9cos (9 x ) )
85 ]+ 43 [ e2 x (2 sen (3 x )−3cos (3x ) )13 ]+C
¿9e2 xcos (9 x)
340−
e2x sen (9 x )170
+8e2x sen (3 x )
39−4e2x cos(3 x )
13+C
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m) ∫ e√ xcos3(√x )dx
Solución
Sabemos quecos (√x )= e√x i+e−√x i
2
reemplazando a la integral.
¿∫e√x ( e√x i+e−√xi
2 )3
dx
¿ 14∫ e√x (( e3√x i+e−3√x i
2 )+3( e√x i+e−√x i
2 ))dx
¿ 18∫ ( e3√x i+√x+e−3√xi+√x+3e√x i+√x+3e−√x i+√x) dx
¿ 18∫e3√x i+√ x dx+ 1
8∫e−3√x i+√x dx+¿ 38∫ e√ xi+√x dx+¿ 3
8∫ e−√x i+√x dx¿¿
haciendo cambiode variable
√ x=t ;dx=2tdt
¿ 18∫e3 ti+t2 tdt+ 1
8∫ e−3 ti+t2 tdt+¿ 38∫ eti+√x2 tdt+¿ 3
8∫e−ti+√ x2 tdt¿¿
¿ 14∫ e3ti+ t tdt+ 1
4∫ e−3ti+t tdt+¿ 34∫ eti+√ x tdt+¿ 3
4∫ e−ti+√x tdt¿¿
estos integrales no se puederesolver poreste metodo , resolveremos
mediante integracion por partes
14∫ e3 ti+t tdt=¿
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u=t ;du=dt dv=e3 ti+t dt ; v= e3ti+ t
3i+1
14∫ e3 ti+t tdt= t
4 ( e3 ti+t
3 i+1 )−14∫ e3 ti+t
3i+1dt
14∫ e3 ti+t tdt= t
4 ( e3 ti+t
3 i+1 )− e3 ti+t
4 (3i+1 )2+C
haciendo el mismo procedimiento paralos demas integrales
∫ e√ xcos3(√x )dx= t4 ( e3 ti+t
3 i+1 )− e3 ti+t
4 (3 i+1 )2+ t4 ( e−3 ti+t
−3 i+1 )− e−3 ti+t
4 (−3 i+1 )2+ 3t4 ( e3 ti+t
i+1 )− 3e3ti+ t
4 (i+1 )2+ 3 t4 ( e−3 ti+t
−i+1 )− 3e−3 ti+t
4 (−i+1 )2+C
∫ e√ xcos3(√x )dx= t4 ( e3 ti+t (3 i−1 )
−8 )+ t4 ( e−3 ti+t (−3 i−1 )
−8 )+ 3 t4 ( e ti+t (i−1 )
−2 )+ 3 t4 ( e−ti+t (−i−1 )
−2 )−( e3ti+ t (6 i+8 )−100 )−( e−3 ti+t (−6 i+8 )
−100 )− 34 ( eti+ t (2i )−4 )− 34 ( e−ti+t (−2 i)
−4 )+C
Finalmente reemplazando t=√ x
∫ e√ xcos3(√x )dx=√x4 ( e3√x i+√x (3 i−1 )
−8 )+ √ x4 ( e−3√x i+√ x (−3 i−1 )
−8 )+ 3√x4 ( e√xi+√x ( i−1 )
−2 )+ 3√x4 ( e−√xi+√x (−i−1 )
−2 )−( e3√ xi+√x (6 i+8 )−100 )−( e−3√ xi+√x (−6 i+8 )
−100 )−34 ( e√ xi+√x (2 i )−4 )−34 ( e−√x i+√x (−2i )
−4 )+C
n) ∫ e√ x sen2(√ x)dx
Solución
Sabemos quesen (√x )= e√x i−e−√xi
2 i
reemplazando a la integral.
¿∫e√x ( e√x i−e−√x i
2i )2
dx
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¿∫e√x ( e2√ xi+e−2√x i−2 (e√x i e−√x i )4 i2 )dx
i2=−1
¿∫e√x ( e2√ xi+e−2√x i−2−4 )dx
¿−14∫ e√x+2√x i dx−1
4∫ e√ x−2√ xi dx+¿ 12∫ e√x dx ¿
haciendo cambiode variable
√ x=t ;dx=2tdt
¿−14∫ et+2 ti2 tdt−1
4∫e t−2 ti2 tdt+¿ 12∫e t2tdt ¿
estos integrales no se puederesolver poreste metodo , resolveremos
mediante integracion por partes
−12 ∫e t+2ti tdt=¿
u=t ;du=dt dv=e t+2ti dt ; v= e2ti+t
2i+1
−12∫e t+2ti tdt= t
2 ( e2 ti+t
2 i+1 )+12∫ e2 ti+t
2 i+1dt
−12∫e t+2ti tdt=−t
2 ( e2 ti+t
2i+1 )+ 12 ( e2 ti+t
2i+12 )+C
haciendo el mismo procedimiento paralos demas integrales
∫ e√ x sen2(√ x)dx=−12 ∫e t+2 ti tdt−1
2∫e t−2 ti tdt+¿∫e t tdt ¿
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¿− et+2 ti
2 i+1+ t2 ( e t+2 ti
(2 i+1 )2 )+12 ( et+2 ti
(−2 i+1 )2)− t2 ( e−2ti+ t
−2 i+1 )+ 12 (e t t )−12
(e t )+C
¿et+2 ti (2 i−1 )
10−
e t+2 ti (4 i+3 )50
+e t−2 ti (−2i−1 )
10−
e t+2ti (4 i−3 )30
+ 12
(e t t )−12
( et )+C
Finalmente reemplazando t=√ x
∫ e√ x sen2(√ x)dx=e2√ xi+√x (2i−1 )
10−
e2√xi+√x (4 i+3 )50
+e−2√ xi+√x (−2 i−1 )
10−
e2√xi+√x (4 i−3 )30
+(e√x √x )2
−(e√x )2
+C
ñ¿∫e x sen3(x )dx
Solución
Sabemos quesen (ax )= eaxi−e−axi
2i; a=1
reemplazando a la integral.
¿∫ex ( exi−e−xi
2 i )3
dx
¿∫ex ( e3 xi−e−3 xi−3e2xi e−xi+3e−2xi exi )8 i3
dx
¿ 14∫ ex (( e3 xi−e−3 xi
−2i )−3( exi−e− xi
2 i ))dx
¿ 14∫ ex (−sen (3 x)−3 (sen (x)) )dx
¿−14∫ ex sen (3 x )dx−3
4∫ e3 sen (x ) dx
sabemos que∫ebx sen (ax ) dx=ebx (bsen (ax )−acos (ax ) )
a2+b2
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entonces b=1 ;a=3 ,1
¿−14 [ ex ( sen (3 x )−3cos (3 x ) )
10 ]+ 34 [ e3 (sen ( x )−cos ( x ) )2 ]+C
¿−ex sen(3 x )
40+3excos (3 x)
40+3e x sen ( x )
8−3ex cos(x )
8+C
o) ∫ e3 xcos3(√3 x )dx
Solución
Sabemos quecos (√3 x )= e√3 xi+e−√3 xi
2
reemplazando a la integral.
¿∫e3x ( e√3 xi+e−√3 xi
2 )3
dx
¿ 18∫e3x (e3√3 xi+e−3√3x i+3e√3 xi+3e−√3x i ) dx
¿ 14∫ e3x (( e3√3x i+e−3√3 xi
2 )+3( e√3 xi+e−√3x i
2 ))dx
¿ 14∫ e3x (cos (3√3 x )+3cos (√3x ) )dx
¿ 14∫ e3xcos (3√3 x ) dx+ 3
4∫ e3 xcos (√3 x ) dx
estos integrales no se puederesolver poreste metodo , resolveremos
mediante integracion por partes
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p) ∫ e2 xcos2(√2 x)dx
Solución
Sabemos quecos (√2 x )= e√2 xi+e−√2x i
2
reemplazando a la integral.
¿∫e2x ( e√2 xi+e−√2x i
2 )2
dx
¿∫e2x ( e2√2x i+e−2√2x i+24 )dx
¿ 12∫ e2x (( e2√2x i+e−2√2x i
2 )+1)dx
¿ 12∫ e2x (cos (2√2 x)+1 ) dx
¿ 12∫ e2xcos (2√2 x ) dx+ 1
2∫e2x dx
¿ 12∫ e2xcos (2√2 x ) dx+ 1
4e2x+C
La integral∫ e2 xcos (2√2x ) dx no se puederesolver coneste metodo
Pero se puede aplicar otros métodos como integración por partes.
r) ∫ e2 xcosn ( x ) dx
Solución
A) Analizando la integral cuando n= par
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Sabemos queco s (ax )= eaxi+e−axi
2; a=1
reemplazando a la integral.
¿∫e2x ( exi+e− xi
2 )n
dx
utilizando binomio denewton
(a+b )n=(n0)an+(n1)an−1b+(n2)an−2b2+…+( n
n−1)abn−1+(nn)bn
cosn ( x )=
(n0)( enxi+e−nxi)+(n1) (e (n−1 ) xi+e−(n−1 ) xi )+…+( nn2 )
2n
Sabemos que(n0)=(n
n);(n1)=( n
n−1)…
¿ 12n−1∫ e2 x [(n0)( enxi+e−nxi
2 )+(n1)( e( n−1) xi+e−( n−1) xi
2 )+…+( nn2 )]dx
¿ 12n−1∫ e2 x [(n0)cos (nx )+(n
1)cos ( (n−1 ) x )+(n2)cos ( (n−2 ) x )+…+( n
n2 )]dx
¿(n0)2n−1∫ e2 xcos (nx )dx+
(n1)2n−1∫ e2xcos ( (n−1 ) x ) dx+¿
(n2)2n−1∫ e2 xcos ( ( n−2 ) x ) dx+…+
( nn2 )2n−1∫ e2 x dx ¿
sabemos que∫ebxcos (ax )dx=ebx ( asen (ax )+bcos (ax ) )
a2+b2
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∫ e2 xcosn ( x ) dx= e2x
2n−1 {[(n0) ( nsen (nx )+2cos (nx ) )4+n2 ]+(n
1)[(n−1)(sen ((n−1) x )+2cos ((n−1)x ) )4+ (n−1 )2 ]+(n2)[ (n−2 ) sen ( (n−2 ) x )+2cos ( (n−2 ) x)
1+ (n−1 )2+…+
( nn2 )2n ]}
B) Analizando la integral cuando n=impar
Sabemos queco s (ax )= eaxi+e−axi
2; a=1
reemplazando a la integral.
¿∫e2x ( exi+e− xi
2 )n
dx
utilizando binomio denewton
(a+b )n=(n0)an+(n1)an−1b+(n2)an−2b2+…+( n
n−1)abn−1+(nn)bn
cosn ( x )=
(n0)( enxi+e−nxi)+(n1) (e (n−1 ) xi+e−(n−1 ) xi )+…+( nn2 )
2n−1
Sabemos que(n0)=(n
n);(n1)=( n
n−1)…
¿ 12n−1∫ e2 x [(n0)( enxi+e−nxi
2 )+(n1)( e( n−1) xi+e−( n−1) xi
2 )+…+( nn2 )]dx
¿ 12n−1∫ e2 x [(n0)cos (nx )+(n
1)cos ( (n−1 ) x )+(n2)cos ( (n−2 ) x )+…+( n
n2 )cos ( n
2 )]dx
¿(n0)2n−1∫ e2 xcos (nx )dx+
(n1)2n−1∫ e2xcos ( (n−1 ) x ) dx+¿
(n2)2n−1∫ e2 xcos ( ( n−2 ) x ) dx+…+
( nn2 )2n−1∫ e2 xcos ( n
2 )dx ¿
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sabemos que∫ebxcos (ax )dx=ebx ( asen (ax )+bcos (ax ) )
a2+b2
∫ e2 xcosn ( x ) dx= e2x
2n−1 {[(n0) ( nsen (nx )+cos (nx ) )n2+1 ]+(n1)[ (n−1) (sen ((n−1)x )+2cos ((n−1) x ) )
( n−1 )2+1 ]+(n2)[ (n−2 ) sen ( (n−2 ) x )+2cos ( (n−2 ) x )
(n−2 )2+1+…+( n
n2 )
n2
sen(( n2 ) x)+cos (( n
2 ) x)( n2 )
2
+1 ]}7.- METODO DE INTEGRACIOIO TRIGONOMÉTRICA
a) ∫ sen5 (2 x )dx = ∫ sen4 (2 x ) sen (2x )dx = ∫ sen2 (2 x ) sen2 (2x ) sen (2x )dx
= ∫(1−cos2 (2 x ))(1−cos2 (2 x ))sen (2 x)dx
= ∫(1−2cos2 (2 x )+cos4 (2 x )) sen(2 x)dx
= ∫(sen (2 x)−2cos2 (2 x ) sen (2x )+cos4 (2x ) sen (2x ))dx
=
∫ sen(2x )dx−∫ 2cos2 (2x ) sen (2 x ) dx+∫ cos4 (2 x ) sen(2x )dx
= −cos (2x )
2 + cos3 (2 x )3
– cos5 (2 x )10
+c
b) ∫cos5 (3x ) dx = ∫cos4 (3 x )cos (3 x)dx = ∫cos2 (3x ) cos2 (3 x )cos (2 x)dx
= ∫(1−sen2 (3 x ))(1−sen2 (3 x ))cos (3x )dx
= ∫(1−2 sen2 (3 x )+sen4 (3 x ))cos (3 x)dx
= ∫(cos (3 x)−2 sen2 (3x ) cos (3x )+sen4 (3 x )cos (3 x))dx
=
∫cos (3 x)dx−∫2 sen2 (3x ) cos (3 x)dx+∫ sen4 (3 x ) cos (3 x)dx
= sen (3 x)3
- 2 sen3 (3 x )
9 +
sen5 (3 x )15
+c
c) ∫ tang6 (2x ) dx = ∫ tang4 (2 x ) tang2 (2x ) dx
= ∫(1−sec2 (2 x ))2 tang2 (2 x )dx
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=∫(1−2 sec 2 (2 x )+sec4 (2 x )) tang2 (2 x )dx
= ∫(tang2 (2 x )−2 sec2 (2x ) tang2 (2 x )+sec 4 (2 x )tang2 (2x ))dx
=∫ tang2 (2x ) dx−¿∫2 sec2 (2 x ) tang2 (2 x ) dx+∫ sec4 (2 x ) tang2 (2x ) ¿dx
=∫(1−sec2 (2 x ))dx−tang3 (2x )
3+∫(1+tang2 (2 x ))sec 2 (2 x ) tang2 (2 x ) dx
=∫ dx−∫ sec2 (2 x ) dx−tang3 (2 x )
3+∫ sec2 (2x ) tang2 (2 x ) dx+∫ sec2 (2 x )tang4 (2 x )dx
=x−tang (2x )
2−
tang3 (2x )3
+tang3 (2x )
6+
tang5 (2x )10
+c
d) ∫ cosec5 (2 x ) dx=¿ ∫ cosec4 (2x ) cosec(2x )dx
= ∫(1+cot2 (2x ))2 cosec(2x )dx
=∫(1+2cot2 (2x )+¿cot4 (2 x ))cosec(2x )dx ¿
=∫(cosec(2x )+2cot2 (2 x )cosec (2x )+¿cot4 (2 x ) cosec(2 x))dx ¿
e) ∫ sen5 ( x )tang4 ( x ) dx = ∫ sen5 ( x ) sen4 ( x )cos4 ( x )
dx
= ∫ sen ( x ) sen8 ( x )cos4 ( x )
dx
= ∫ sen ( x )(1−cos2 ( x ))2(1−cos2 ( x ))2
cos4 ( x )dx
¿∫ sen ( x )¿¿¿
¿∫ sen ( x )cos4 ( x )
dx−∫ sen ( x )4cos2 ( x )cos4 ( x )
dx+∫ sen ( x )6cos4 ( x )cos4 ( x )
dx−∫ sen (x )4 cos6 ( x )cos4 ( x )
dx+∫ sen ( x ) cos8 ( x )cos4 ( x )
dx
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¿∫ sen ( x )cos4 ( x )
dx−4∫ sen ( x )cos2 ( x )
dx+6∫ sen ( x ) dx−4∫ sen ( x ) cos2 ( x )dx+∫ sen ( x )cos4 ( x ) dx
¿ 13cos3 ( x )
− 4cos ( x )
−6cos (x )+ 4 cos3 ( x )3
−cos5 (x )5
+c
f) ∫cos4 ( x ) sen3 ( x ) dx=∫cos4 ( x ) sen2 ( x ) sen ( x )dx
=∫cos4 ( x )(1−cos¿¿2 ( x ))sen (x ) dx ¿
=∫(cos4 ( x )−cos6 (x ))sen ( x ) dx
=∫(cos4 ( x ) sen ( x )−cos6 ( x ) sen (x ))dx
=∫cos4 ( x ) sen (x)dx−∫cos6 (x ) sen ( x )dx
=−cos5 ( x )
5+cos7 ( x )7
+c
g) ∫ tan3 (3x ) sen3 (x ) dx
h) ∫ sec2( x3 )sen2( x
2 )dx
i) ∫ sen2 (2 x ) cos2( x2 )cos2( x
4 )dx
j) ∫ sen3 (2 x ) sen2( 2x3 ) sen2( 3 x
4 )sen( 2 x5 )dx
k) ∫cos2 (3x ) cos2( 3 x2 )cos2( 2 x
3 )cos ( 5 x2 )dx
l) ∫ tan3 ( x ) sec4 (2x ) dx
ll) ∫ senh3 (2 x ) senh2 (2x ) dx ) ¿∫ senh (2x )(cos h2 (2 x )−1)(cos h2 (2 x )−1)dx
¿∫ senh (2x )(cosh 4 (2 x )−2cosh2 (2 x )+1)dx
¿∫ senh (2x ) cosh4 (2x ) dx−∫ senh (2 x )2cosh2 (2 x ) dx+∫ senh (2 x )dx
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m) ∫cosh2 (3 x )cosh2 (2x ) cosh2 (4 x ) dx
n) ∫ tan h (2x ) sen h2 (2 x ) dx=∫ tan h (2 x )(cosh2 (2 x )−1)dx
¿∫ senh (2 x )cosh (2 x )
(cosh2 (2x )−1)dx
¿∫ senh (2 x )cos h2 (2x )cosh (2 x )
dx−∫ senh (2x )cosh (2x )
dx
ñ)
s¿∫ sen h3(2x )cos(2 x) senh( x2)dx
senh ( z )= ez−e−z
2
∫( e2 · x
2− e−2 · x
2 )3
cos(2x )senh( x2 )dx
senh ( z )= ez−e−z
2
∫(e
x2
2−
e− x2
2)(
e6 xcos (2 x )8
−3e (2 x ) cos (2x )
8+3e−2 xcos (2 x )
8−
e−6 xcos (2x )8
)dx
∫(e13 x2 cos (2 x )16
−e
(11 x2 )cos (2 x )16
−3e
5x2 cos (2x )16
+3e
3x2 cos (2x )16
+3 e
−3 x2 cos (2 x )16
−3e
−5 x2 cos (2 x )16
–e
−11 x2 cos (2 x )16
+e
−13 x2 cos (2x )16
¿)dx ¿
Aplicando:
∫ eax+b cos (cx+d)dx=eax+b ¿¿
e13 x2 (13cos (2x )
1480+
sen (2 x )370 )−e
11 x2 ( 11cos (2 x )
1096+
sen (2x )274 )−e
5 x2 (15cos (2x )
328+3 sen (2x )82 )+e
3 x2 ( 9cos (2 x )
200+3 sen (2x )50 )+e
−3 x2 ( 3 sen (2x )
50−9cos (2 x )200 )+e
−5x2 ( 15cos (2x )
328−3 sen (2 x )82 )+e
−11 x2 ( 11cos (2x )
1096−
sen (2 x )274 )+e
−13 x2 ( sen (2 x )
370−13cos (2x )1480 )+c
t ¿ .∫ sen2 x
(1−senx )3dx
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2∫ senxcosx
(1−senx )3dxu=1−senx−du=cosxdx
Remplazando:
−2∫ 1−u
u3du
−2u
+ 1u2
+c= −21−senx
+ 1
(1−senx )2+c
u¿ .∫ co s32 xsen2 x
dx
∫ (2cos ( x )2−1 )3
sen ( x )2dx
∫ 8cos ( x )6
sen (x )2dx−∫ 12cos ( x )4
sen ( x )2dx+∫ 6cos ( x )2
sen ( x )2dx−∫ 1
sen ( x )2dx
2cos ( x )5
sen (x )−cos ( x )3
sen ( x )+3cos ( x )sen ( x )
+3x+∫ 6cos ( x )2
sen ( x )2dx−∫ 1
sen ( x )2dx
2cos ( x )5
sen (x )+
sen ( x )2 cosxsen ( x )
−3cos ( x )sen ( x )
−3 x+c
v¿ .∫ dx
( cosx−senx )4
Desarrollando por partes:
dx=dv1
(cosx−senx )4=u
x=v4 (cos ( x )+sen (x ) ) dx
(cos ( x )−sen ( x ) )5=du
Remplazando:
x
(cosx−senx )4−4∫ x (cos ( x )+sen ( x ) ) dx
(cos ( x )−sen (x ) )5
Aplicando partes en el segundo miembro:
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(cos ( x )+sen ( x )) dx
(cos ( x )−sen ( x ) )5=dvu=x
−14 ( cosx−senx )
=v du=dx
−x4 ( cosx−senx )
+ 14∫
dxcosx−senx
Remplazando el total:
x
(cosx−senx )4− x
(cosx−senx )+∫ dx
cosx−senx
x(cosx−senx )4
− x(cosx−senx )
− 1√2ln( tan(
x2 )+1−√2
tan( x2 )+1+√2 )+c
w ¿ .∫ cos2 x2 senx+3cosx
dx
∫ 2cos2 x−12 sen2 x+3cosx
dx
∫ 2co s2 x2 senx+3cosx
dx−∫ 12 senx+3cosx
dx
Haciendo:
senx= 2t1+ t2
cosx=1−t 2
1+t 2dx= 2dt
1+t2
∫ 4 (1−2 t2+t 4 )4 t +3−3 t 2
dx−∫ 2dt(4 t+3−3 t 2)
dt
−4¿
−( 544 √131053
+ 12881 ) ln(3 tan( x
2 )−√13−2)+(544 √131053
−12881 ) ln(3 tan( x
2 )+√13−2)−4 tan ( x
2 )(3 tan( x2 )
2
+6 tan( x2 )+7)
27−∫ 2dt
(4 t+3−3 t 2)dt
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−( 544 √131053
+ 12881 ) ln(3 tan( x
2 )−√13−2)+(544 √131053
−12881 ) ln(3 tan( x
2 )+√13−2)−4 tan ( x
2 )(3 tan( x2 )
2
+6 tan( x2 )+7)
27− 3
√13ln( t−2
3−√133
t−23+ √133
)+c
y ¿ .∫ Se n22xsenxcos3 x
dx
∫ 4 ( sen2 xcos2 x )senxcosx (2cos2 x−1)
dx
2∫ sen2x(2cos2x−1)
dx
Haciendo cambio de variable:
2cos2 x−1=u
−du4
=sen2 xdx
−12 ∫ du
u
−12ln (2cos2 x−1 )+c
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METODO DE FRACCIONES PARCIALES
a¿ .∫ 3 x+22 x2+7 x – 6
dx
3 x+22x2+7 x−6
=1 /2( A
(x+ 9712
4+ 74 )
+ B
( x−9712
4+ 74 )
)
Remplazando:
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∫ −13√97+29197 (4 x – √97+7 )
dx+∫ −13√97+29197 (4 x –√97+7 )
dx
( 34−13 √97388 ) ln (4 x –√97+7 )+(13√97+291 ) ln (4 x+√97+7 )
388+c
b¿ .∫ 2x2+4 x−63 x5−5 x2−11 x+2
dx
La expresión 3 x5−5 x2−11 x+2 no contiene factores primos ni complejas por lo que no se puede solucionar el ejercicio.
c ¿ .∫ 4 x−39 x3−81 x
dx
1/9∫ 4 x−3x ( x2−9 )
dx
4 x−3x ( x2−9 )
= Ax+3
+ Bx−3
+ Cx
Remplazando:
∫ x3−∫( 5
6 ( x+3 )dx)+∫( 1
2(x−3) )dx
9
ln ( x – 3 )18
−5ln ( x+3 )54
+ln (x )27
+c
d ¿ .∫ 3 x+2x4−4 x2−3
dx
3x+2x4−4 x2−3
= Ax−1
+ Bx+C
x2+x−3
Remplazando:
∫ −5x−1
dx+∫ 5 x+13x2+x−3
dx
−5 ln ( x−1 )+∫ 5 x+13x2+x –3
dx
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Desarrollando el segundo miembro:
∫ 5 x+13x2+x –3
dx= Ax+√13 /2+1 /2
+ Bx−√13 /2+1 /2
Remplazando:
∫ 21√13+6513 (2x−√13+1 )
dx+∫ −21√13+6513 (2 x+√13+1 )
dx
(21 √1326
+ 52 ) ln (2x – √13+1 )+(−21√13+65 ) ln (2 x+√13+1 )
26+c
e ¿ .∫ x6+3 x5−8 x3+x−44 x5−9x3−32x2+72
dx
Llevando a una fracción propia:
∫−34
x4+ 274
x3+24 x2−17 x−58
(x−2)(x2+2 x+4)(2 x+3)(2x−3)dx+∫ 1
4xdx+∫ 34 dx …….θ
Desarrollando el primer termino de la integral:
−34
x4+274
x3+24 x2−17 x−58
( x – 2 ) ( x2+2 x+4 ) (2 x+3 ) (2x – 3 )=
Ax−2
+Bx+C
x2+2x+4+
D2 x+3
+¿
E2x−3
Hallando las ecuaciones de la fracción:
−34
=4 A+4 B+2D+2 E
274
=8 A−8B+4C−3D+3 E
24=7 A−9B−8C
−17=18 A−18 B+9C+16D+16E
58=36 A−18C−24D+24 E
Remplazando e integrando las ecuaciones:
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∫ 194 (x−2)
+∫−389x962
−653481
x2+2x+4+∫
−358943682x+3
+∫−259117762 x−3
19ln (x−2 )4
−917√3ATAN (√3 ( x+1 )
3 )2886
−389ln ( x2+2 x+4 )
1924−3589
ln (2 x+3 )8736
−2591ln (2x−3 )3552
……. α
Remplazando el resultado final deα enθ:
19ln (x−2 )4
−917√3ATAN (√3 ( x+1 )
3 )2886
−389ln ( x2+2 x+4 )
1924−3589
ln (2 x+3 )8736
−2591ln (2x−3 )3552
+ 18
x2+ 34
x+c
f ¿ .∫ x4+3 x2+ x−1
x ( x2−4 )3(x−3)dx
x4+3 x2+x−1
x ( x2−4 )3(x−3)= A
X+ BX +C
X2−4+ DX +E
( x2−4 )2+ FX +G
( x2−4 )3+ H
X−3
Hallando las ecuaciones de la integral:
A + B + H=0
3A + 3B – C=0
12A + 8B + 3C - D + 12H=0
36A + 24B - 8C - 3D + G=1
48A + 16B + 24C - 4D + F - 3G + 48H=0
144A + 48B - 16C - 12D + 3F + 3G=-3
64A + 48C - 9G + 64H=-1
192A=-1
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Remplazando los valores:
∫ 17x+24
4 (4 – x2 )3dx−∫ 17 (7 · x+16 )
80 ( x2−4 )2dx−∫ 461 x+1408
1600 ( x2−4 )dx+∫ 22
75 (x−3 )dx−∫ 1
192 xdx
22 ln (x−3 )75
−75 ln ( x−2 )256
+31 ln ( x+2 )6400
−ln ( x )192
+ 91 x3+238 x2−244 x−612320 ( x+2 )2 ( x−2 )2
+c
g¿ .∫ 4 x5−6 x3+2 x−13 x2 ( x−1 )3 ( x+5 )2
dx
13∫ 4 x5−6 x3+2 x−1
x2 ( x−1 )3 ( x+5 )2dx
4 x5−6 x3+2 x−1x2 ( x−1 )3 ( x+5 )2
=( Ax2
+ Bx+ C
( x−1 )3+ D
( x−1 )2+ E
x−1+ F
(x+5 )2+ G
x+5)
Sacando las ecuaciones:
B+E+G=0
A+7 B+D+8 E+F+2G=4
7 A−2B+C+9D+6 E−3F−12G=0
2 A+46 B−10C−15D+40 E−3 F−14G=6
46 A−65 B−25C+25D−25 E+F+5G=0
65 A−25B=2
25 A=1
Remplazando los valores:
13∫
11761
5400 ( x+5 )2dx−1
3∫14671
54000 ( x+5 )dx−1
3∫1
36 ( x –1 )3dx+ 1
3
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∫ 19
108 ( x – 1 )2dx+1
3∫107
432 ( x –1 )dx+ 1
3∫1
25 x2dx+1
3∫3
125 xdx
−14671 ln (x+5 )162000
+107 ln ( x−1 )1296
+ln ( x )125
−4237 x2−6599 x+22125400 ( x+5 ) ( x−1 )2
− 175 x
+c
h¿ ,∫ x3−4 x2+2x−9( x+5 )3 ( x−1 )2 x
dx
x3−4 x2+2 x−9( x+5 )3 (x−1 )2 x
= A( x+5 )3
+ B( x+5 )2
+ CX+5
+ D(x−1 )2
+ EX−1
+ FX
Sacando las ecuaciones:
B+C+E+F=0
8C+ D+14 E+13 F=0
A+3 B+6C+15D+60E+46 F=1
2 A+9 B+40C−75D−50 E+10 F=4
A+5 B+25C+125D−125E−175 F=2
125 F=−9
Remplazando los valores:
∫ 61
45 ( x+5 )3dx+∫ 197
2700 ( x+5 )2dx+∫ 37
2250 ( x+5 )dx−∫ 5
108 ( x−1 )dx+∫ 1
18 ( x – 1 )dx−∫ 9
125 xdx
37 ln ( x+5 )2250
+ln ( x−1 )18
−9 ln ( x )125
+ 2x2+38 x−16575 (1−x ) ( x+5 )2
+c
i ¿.∫ x5+6 x3−3 x−2( x+6 )2 ( x2+16 )3
dx
x5+6 x3−3 x−2( x+6 )2 ( x2+16 )3
= A( x+6 )2
+ BX+6
+ CX +D
( x2+16 )3+ EX+F
( x2+16 )2+ GX+H
X2+16
Hallando las ecuaciones:
B+G=0
A+6 B+12G+H=0
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48 B+E+68G+12H=19
48 A+288B+12 E+F+384G+68H=0
768B+C+52 E+12 F+1408G+384H =6
768 A+4608B+12C+D+192 E+52 F+3072G+1408H=0
4096 B+36C+12D+576E+192F+9216G+3072H=−3
4096 A+24576B+36D+576F+9216H =−2
Remplazando los valores:
∫ 791 x+7526
676 ( x2+16 )3dx−∫ 3137 x+74362
35152 ( x2+16 )2dx−∫ 11121 x−184454
1827904 ( x2+16 )dx−∫ 283
4394 ( x+6 )2dx+∫ 11121
1827904 (x+6 )dx
5979249atan( x4 )
467943424−11121 ln ( x2+16 )3655808
+11121 ln (x+6 )1827904
+ 131445 x4−2287298 x3+15351088x2−29836768x+171126272
8998912 ( x+6 ) ( x2+16 )2+c
j ¿ .∫ x+1x4 ( x−6 )3
dx
x+1x4 (x−6 )3
= A
X4+ B
X3+ C
X2+ D
X+ E
( x−6 )3+ F
( x−6 )2+ G
X−6
Hallando las ecuaciones:
D+G=0
C−18D+F−12G=0
B−18C+108D+ E−6 F+36G=0
A−18B+108C−216D=0
18 A−108 B+216C=0
108 A−216B=1
216 A=−1
Remplazando las ecuaciones:
∫ 7
1296 ( x−6 )3dx−∫ 11
3888 (x−6 )2dx+∫ 23
23328 ( x−6 )dx−∫ 1
216 x4dx−∫ 1
144 x3dx−∫ 1
324 x2dx−∫ 23
23328 xdx
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23 ln ( x−6 )23328
−23 ln ( x )23328
+ 22 x−1537776 ( x−6 )2
+ 1324 x
+ 1
288 x2+ 1
648 x3+c
k ¿ .∫ 3x+2( x+2 )3 ( x2−2x+4 )
dx
3 x+2( x+2 )3 ( x2−2 x+4 )
= A
( x+2 )3+ B
( x+2 )2+ C
x+2+ Dx+E
x2−2 x+4
Hallando las ecuaciones:
C+ D=0
B+2C+6D+E=0
A+12D+6 E=0
2 A−8C−8D−12E=−3
4 A+8 B+16C+8E=2
Remplazando las ecuaciones:
∫ 14−5 x
72 ( x2−2x+4 )dx−∫ 1
3 ( x+2 )3dx+∫ 1
12 (x+2 )2dx+∫ 5
72 ( x+2 )dx
√3arctan (√3 (x−1 )3 )
24−5 ln ( x2−2 x+4 )
144+5 ln ( x+2 )72
− x
12 ( x+2 )2+c
l ¿ .∫ 4 x2−3 x+4x ( x−6 )(2 x2+5 x+8)
dx
4 x2−3x+4x ( x−6 ) (2 x2+5x+8 )
= Ax
+ Bx−6
+ Cx+D2x2+5 x+8
Hallando las ecuaciones:
2A + 2B + C=0
7A - 5B + 6C – D=-4
22A - 8B + 6D=3
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48A=-4
Remplazando los valores:
∫ 47−10 x
44 (2x2+5 x+8 )dx+∫ 13
66 ( x−6 )dx−∫ 1
12xdx
119√39arctan(√39 (4 x+5 )
39 )1716
−5 ln (2 x2+5 x+8 )
88+13 ln (x−6 )
66−ln ( x )12
+c
¿¿ .∫ x−2x2 ( x2+x+1 ) ( x−3 )2
dx
x−2x2 ( x2+ x+1 ) ( x−3 )2
= A
x2+ B
x+ Cx+D
x2+x+1+ E
( x−3 )2+ F
x−3
B + C + F=0
A - 5B - 6C + D+ E - 2F=0
5A - 4B - 9C + 6D - E + 2F=0
4A + 3B + 9D + E - 3F=0
3A + 9B=1
9A=-2
∫ 6−31x
169 ( x2+x+1 )dx+∫ 1
117 ( x−3 )2dx−∫ 8
4563 ( x−3 )dx−∫ 2
9 x2dx+∫ 5
27 xdx
43√3arctan(√3 (2x+1 )
3 )507
−31 ln ( x2+x+1 )
338−8 ln ( x−3 )4563
+5 ln (x )27
− 1117 ( x−3 )
+ 29 x
+c
m ¿( X2+3 X+6 )
( X+2 ) ( X2+4 )
( X2+3 X+6 )( X+2 ) ( X2+4 )
Cumple con la propiedad de fracción propia, entonces pasamos a
resolver.
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( X2+3 X+6 )( X+2 ) ( X2+4 )
= A( X+2 )
+ BX+C( X2+4 )
A ( X 2+4 )+ (BX+C ) ( X+2 )=( X2+3 X+6 )----------2
CUANDO X=−2 remplazando en la ecuación 2
A (8 )=(−32 )
A=−4
Resolviendo la ecuación 2
A X2+4 A+B X2+2BX+CX +2C=X2+3 X+6
X2 ( A+B )+X (2B+C )+4 A+2C=X2+3 X+6 IGUALADO SE TIENE LA ECUACIÓN
SE TIENE
A+B=1
(2B+C )=3
4 A+2C=6
Hallando AYB
−2 A−2 B=−2
2B+C=3
−2 A+C=1
−8+C=1
C=9
B=−3
∫ ( X 2+3 X+6 ) dx
( X+2 ) ( X2+4 )=∫−4 dx
( X+2 )+∫ (−3 X+9 ) dx
( X2+4 )=−4 ln|X+2|−3∫ ( X−3 )
X 2+4
∫ ( X 2+3 X+6 ) dx
( X+2 ) ( X2+4 )=¿−4 ln|X+2|−3
2ln|X2+4|+ 9
2arcctan
X2
+C
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n¿∫ ( X 3+4 X+2 ) dx
( X+2 ) ( x3) ( X2−3 x+5 )
( X 3+4 X+2 )( X+2 ) ( x3 ) ( X2−3 x+5 )
Cumple con la propiedad de fracción propia, entonces pasamos a resolver.
( X 3+4 X+2 )( X+2 ) ( x3 ) ( X2−3 x+5 )
= A( X+2 )
+ BX3+
CX2+
DX 1+
E( X2−3 X+5 )
( X 3+4 X+2 )( X+2 ) ( x3 ) ( X2−3 x+5 )
=A ( X3 ) ( X2−3 X+5 )+B ( X+2 ) ( X2−3x+5 )
❑
+C ( X+2 ) ( X 2−3 x+5 ) ( X )+D ( X+2 ) ( X2−3 x+5 ) ( X2 )+E ( X+2 ) ( x3 )( X+2 ) ( x3 ) ( X2−3 x+5 )
=¿
( X 3+4 X+2 )=A ( X3 ) ( X2−3 X+5 )+B ( X+2 ) ( X2−3 x+5 )+¿
+C ( X+2 ) ( X2−3 x+5 ) ( X )+D ( X+2 ) ( X2−3 x+5 ) ( X2 )+E ( X+2 ) ( x3 )=¿
X3+4 X+2=A X5−3 X4 A+5 X3 A+X3 B−X 2B−XB+10 B+X 4C−X3C−X2C+10 XC
+X 5D−X4 D−X3D+10 X2D+E X 4+2 E X3
Hallando las ecuaciones algebraicas
X5 ( A+D )+ X4 (−3 A+C−D+E )+ X3 (5 A+B−C−D+2E )+ X2 (−B−C+10D )
X (−B+10C )+ (10 B )=X3+4 X+2
A+B=0
−3 A+C−D+E=0
5 A+B−C−D+2 E=1
−B−C+10D=0
−B+10C=4
10B=2=B=15
, , A=−15
,C=215
,D=2250
, E=−21850
=−10925
,
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∫ ( X3+4 X+2 ) dx
( X+2 ) ( x3 ) ( X2−3 x+5 )=−15∫ dx
( X+2 )+15∫ dx
X3+215∫ dx
X2+¿
2250∫
dx
X1−¿ 109
25 ∫ dx
( X2−3 X+5 )=¿¿
∫ ( X3+4 X+2 ) dx
( X+2 ) ( x3 ) ( X2−3 x+5 )
¿−15ln|X+2|− 1
10 X2− 215 X
+ 2250ln|X|−109
25 ∫ dx
(x−32 )
2
−94+5
∎
∎∫ dx
(x−32 )
2
+114
∎Remplazando en la formula∫ du
u2+a2=1
a+arctg
ua+c
∎∫ dx
(x−32 )
2
+114
= 411
+arctg ⌈(x−3
2 )411
⌉+c
∫ ( X3+4 X+2 ) dx
( X+2 ) ( x3 ) ( X2−3 x+5 )=−15ln|X+2|− 1
10 X2− 215 X
+ 2250ln|X|−109
25411
+arctg ⌈( x−3
2 )411
⌉+c
ñ¿∫ (2 X2+X−4 ) dx
( X+4 )2 ( x2 ) ( x+4 )
(2 X2+X−4 )( X+4 )2 ( x2 ) ( x+4 )
Cumple con la propiedad de fracción propia, entonces pasamos
a resolver.
(2 X2+X−4 )( X+4 )2 ( x2 ) ( x+4 )
= A( X+4 )3
+ B( X+4 )2
+ C( X+4 )
+ DX 2+
EX
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(2 X2+X−4 )( X+4 )2 ( x2 ) ( x+4 )
=A ( x2 )+B ( x2 ) ( X+4 )+C ( x2 ) ( X+4 )2+D ( X+4 )3+E ( X+4 )3 ( X )
( X+4 )2 ( x2 ) ( x+4 )
(2 X2+X−4 )=A X2+B X3+4 B X2+C X 4+8C X3+16CX 2+D X3+12D X 2+48 XD+
64D+E X4+12 E X3+48 E X 2+64 EX
2 X2+X−4=X 4 (C+E )+ X3 (B+8C+D+12E )+X2 ( A+4 B+16C+12D+48 E )+¿
X (48D+64 E )+64D
IGUALANDO SISTEMA DE ECUACIONES
C+ E=0
B+8C+D+12E=0
A+4 B+16C+12D+48 E=2
48D+64 E=1
64D=¿-4
D=−116
, E= 116
, C=−116
, B=−516
, A=21=2
∫ (2 X2+ X−4 ) dx
( X+4 )2 ( x2 ) (x+4 )=2∫ dx
( X+4 )3− 516
∫ dx( X+4 )2
− 116
∫ dx( X+4 )
− 116
∫ dxX2+
116
∫ dxX
∫ (2 X2+ X−4 ) dx
( X+4 )2 ( x2 ) (x+4 )= −1
( X+4 )2+ 516 ( X+4 )
− 116ln|X+4|− 1
16 X+ 116ln|X|+C
O ¿∫ ( X−4 ) dx
( X2−2 X+4 ) ( X2+3 X+9 )
( X−4 )( X2−2 X+4 ) ( X2+3 X+9 )
Cumple con la propiedad de fracción propia , entonces pasamos aresolver
( X−4 )( X2−2 X+4 ) ( X2+3 X+9 )
= AX+B
( X2−2 X+4 )+ CX +D
( X2+3 X+9 )
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( X−4 )( X2−2 X+4 ) ( X2+3 X+9 )
=AX+B ( X2+3 X+9 )+CX +D ( X2−2X+4 )
( X2−2 X+4 ) ( X2+3 X+9 )
( X−4 )=AX +B ( X2+3 X+9 )+CX +D ( X2−2 X+4 )
X−4=A X 3+B X2+3 A X2+3 BX+9 AX+9 B+C X3+D X 2−2C X2−2DX+4CX +4 D
X−4=X3 ( A+C )+X2 ( B+3 A+D−2C )+ X (3B+9 A−2D+4C )+9 B+4D
1. A+C=02. B+3 A+D−2C=03. 3B+9 A−2D+4C=14. 9 B+4 D=−4
Multiplicamos la ecuación 2 por 2 luego sumamos la ecuación 2 y 3
2B+6 A+2D−4C=0
5B+15 A=1
3B+9 A−2D+4C=1
Multiplicamos la ecuación 3 por -3 luego sumamos la ecuación 3 y 4
−9 B−27 A+6D−12C=3
−27 A+10D−12C=−1=−15 A+10D=−1
9 B+4 D=−4
Multiplicamos la ecuación por - 9 luego a la ecuación 4 por 5 pasando a sumar la ecuación y 4.
−45B−135 A=−9
−135 A+20D=−29
45 B+20D=−20
Multiplicamos la ecuación por - 2 luego a la ecuación por 1 pasando a sumar la ecuación y .
30 A−20D=2
−105 A=−27
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−135 A+20D=−29
A= 927
=13
,C=−927
=−13
,B=−45
, D=4 ,
∫ ( X−4 ) dx
( X 2−2 X+4 ) ( X2+3 X+9 )=∫
( 13−45 X )dx
( X2−2 X+4 )+∫
(−45 +4 X )dx
( X2+3 X+9 )
∫ ( X−4 ) dx
( X 2−2 X+4 ) ( X2+3 X+9 )=13∫
1
( X2−2 X+4 )dx−4
5∫Xdx
( X2−2 X+4 )−¿¿
45∫
1dx
( X2+3 X+9 )+4∫ Xdx
( X2+3 X+9 )
¿ 13∫
1
( X−1 )2+(√3 )2dx−4
5∫Xdx
( X−1 )2+(√3 )2−¿ 45∫
1dx
( X2+3 X+9 )+¿¿¿
4∫ Xdx
( X2+3 X+9 )
Remplazando en la formula∫ du
u2+a2=1
a+arctg
ua+c
Remplazando en la formula∫ udu
au2+bu+c= 12aln|au2+bu+c|− b
2a∫dx
au2+bu+c
Remplazando en la formula∫ du
au2+bu+c=
1
√b2−4 aclog|2au+b−√b2−4ac
2au+b+√b2−4 ac |b2>4ac
∫ du
au2+bu+c= 1
√b2−4 acarctg
2au+b
√b2−4ac+cb2<4 ac
¿ −715 ∫
1
( X−1 )2+(√3 )2dx−2
5ln|( X−1 )2+(√3 )2|−34
5 ∫ 1dx
( X2+3 X+9 )+¿¿
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2 ln|X2+3 X+9|
∫ ( X−4 ) dx
( X 2−2 X+4 ) ( X2+3 X+9 )=
−715 ( 1(√3 )
+arctgX−1√3 )±25 ln|( X−1 )2+(√3 )2|
−345
1
√−27arctg
2 X+3√−27
++2 ln|X2+3 X+9|+C
p¿∫ (3 X+2 ) dx
( X2+ X+4 )3 ( X2−X+4 )2
(3 X+2 )
( X2+X+4 )3 ( X2−X+4 )2= AX+B
( X 2+ X+4 )3+ CX +D
( X2+ X+4 )2+ EX+F
X 2+ X+4+¿
GX+H
( X2−X+4 )2+ IX+J
X2−X+4
(3 X+2 )
( X2+X+4 )3 ( X2−X+4 )2=
( AX+B ) ( X 2−X+4 )2+(CX +D ) ( X2+X+4 )❑
( X2−X+4 )2+( EX+F ) ( X2+ X+4 )2 ( X2−X+4 )2+ (GX+H ) ( X 2+ X+4 )3+X❑
( X 2+ X+4 )3 ( X2−X+4 )2
(IX +J ) ( X2+X+4 )3 ( X2−X+4 )❑
(3 X+2 )=A X5+X 4 ( B−2 A )+ X3 (9 A−2B )+ X2 (−8 A+9 B )+X (16 A−8B )+16 B+¿
CX 7+X6 (−C+D )+ X5 (11C−D )+ X4 (−7C+11D )+X3 (44C−7D )+ X2 (−16C+44 D )
+X (64C−16D )+64D+E X9+F X8+14 E X7+14 F X6+81 E X5+81 F X 4+80 E X3+¿
80 FX2+256 EX+256 F+GX 7+ X6 (3G+H )+ X5 (15G+3H )+ X4 (40G+15H )+¿
X3 (135G+40H )+X 2 (108G+135H )+X (64G+ 108H )+64H+ X9 I +X 8 (2 I+J )+¿
X7 (16 I+2J )+ X6 (37 I +16 J )+X5 (155 I+37 J )+ X4 (133 I+155 J )+ X3 (496 I+133 J )+¿
X2 (368 I+496J )+X (256 I+368J )+256J
3 X+2=X9 ( E+ I )+ X8 ( F+2 I+J )+ X7 (C+14E+G+16 I+2J )+¿
X6 (−C+D+14 F+3G+H+37 I +16 J )+¿
X5 ( A+11C−D+81E+155 I+37J +15G+3H )+¿
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X 4 (B−2 A−7C+11D+81F+40G+15H+133 I+155J )+¿
X3 (9 A−2B+44C−7D+80E+135G+40H +496 I +133J )+¿
X2 (−8 A+9 B−16C+44D+80 F+108G+135H+368 I+496J )+¿
X (16 A−8B+64C−16D+256E+64G+108H+256 I+368 J )+¿
16 B+64D+256 F+64H+256 J
E+ I=0
F+2 I +J=0
C+14E+G+16 I +2J=0
−C+ D+14 F+3G+H +37 I +16 J=0
A+11C−D+81E+155 I +37J +15G+3H =0
B−2 A−7C+11D+81 F+40G+15H +133 I +155 J=0
9 A−2B+44C−7D+80E+135G+40H+496 I +133J=0
−8 A+9B−16C+44D+80 F+108G+135H +368 I+496=0
16 A−8B+64C−16D+256E+64G+108H+256 I+368 J=1
16 B+64D+256 F+64H+256 J=2
q¿∫ ( X+2 )3dx
( X2+5 X+12 )2=¿
( X+2 )3
( X2+5 X+12 )2Cumple con la propiedad de fracción propia, entonces pasamos a
resolver.
( X+2 )3
( X2+5 X+12 )2= AX+B
( X2+5 X+12 )2+ CX +D
X2+5 X+12
( X+2 )3
( X2+5 X+12 )2=
( AX +B )+(CX +D ) ( X2+5 X+12 )( X2+5 X+12 )2
( X+2 )3=( AX +B )+(CX +D ) ( X2+5 X+12 )
X3+6 X2+12X+8=+C X3+X2 (5C+D )+ X ( A+12C+5D )+12D+B
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IGUALANDO EL SISTEMA DE ECUACIONES
C=1 ,
5C+D=6
A+12C+5D=12
12D+B=8
D=1
A=−5
B=−4
∫ ( X+2 )3dx
( X 2+5 X+12 )2=−∫ (5 X+4 ) dx
( X2+5 X+12 )2+∫ ( X+1 ) dx
X2+5 X+12
¿−∫ ⌈ 5 ( X+5 )−21⌉ dx
( X2+5 X+12 )2+¿∫ Xdx
X 2+5 X+12+∫ dx
X2+5 X+12¿
¿−5∫ ( X+5 ) dx
( X2+5 X+12 )2+∫ 21dx
( X2+5 X+12 )2+¿∫ Xdx
X2+5 X+12+∫ dx
X2+5 X+12¿
Remplazando en la formula∫ du
u2+a2=1
a+arctg
ua+c
Remplazando en la formula∫ udu
au2+bu+c= 12aln|au2+bu+c|− b
2a∫dx
au2+bu+c
Remplazando en la formula∫ du
au2+bu+c=
1
√b2−4 aclog|2au+b−√b2−4ac
2au+b+√b2−4 ac |b2>4ac
∫ du
au2+bu+c= 1
√b2−4 acarctg
2au+b
√b2−4ac+cb2<4 ac
∫ ( X+2 )3dx
( X 2+5 X+12 )2=52 ( 1
X2+5 X+12 )−212 ( 1X2+5 X+12 )+¿
12ln|X2+5 X+12|−¿ ( 5
2√−23− 1
√−23 )arctg2 X+5√−23
+c¿
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r ¿∫ (4 X 2+3 X+2 ) dx
( X+2 )2 ( X2+1 )2
(4 X2+3 X+2 )( X+2 )2 ( X2+1 )2
Cumple con la propiedad de fracción propia , entonces pasamos aresolver
(4 X2+3 X+2 )( X+2 )2 ( X2+1 )2
= A( X+2 )2
+ BX+2
+ CX +D
( X2+1 )2+ EX +F
X2+1
(4 X2+3 X+2 )( X+2 )2 ( X2+1 )2
=A ( X2+1 )2+B ( X2+1 )2 ( X+2 )+(CX+D ) ( X+2 )2+ (EX+F )
( X+2 )2 ( X2+1 )2
( X+2 )2 ( X2+1 )❑
4 X2+3 X+2=A X4+2 X2 A+ A+B X5+2B X4+2B X3+4 B X2+BX+2 B+C X 3+¿
X2 (4C+D )+ X (4C+4D )+4D+X5 E+ X4 (4E+F )+ X3 (5E+4 F )+X2 (4E+5 F )+¿
X (4E+4F )+4 F
4 X2+3 X+2=X5E+X4 ( A+2B+4E+F )+X3 (2B+C+5E+4 F )+¿
X2 (2 A+4 B+4C+ D+4E+5 F )+ X ( B+4C+4D+4E+4 F )+( A+2B+4D+4 F )
E=0
A+2 B+4E+F=0------1
2B+C+5E+4 F=0--------2
2 A+4 B+4C+D+4E+5 F=4-----------3
B+4C+4D+4E+4 F=3------------4
A+2 B+4D+4 F=2---------5
Multiplicamos la ecuación 1 por -4 ,luego a la ecuación 2 por 1 , pasando a sumar la ecuación 1 y 2.
−4 A−8B−4 F=0
Ecuación (1,2) −4 A−6 B+c=0
2B+C+4 F=0
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Multiplicamos la ecuación 4 por -1, luego a la ecuación 5 por 1 , pasando a sumar la ecuación 4 y 5.
−B−4C−4 D−4 F=−3
Ecuación (4,5) A+B−4C=−1
A+2 B+4D+4 F=2
Multiplicamos la ecuación (1,2) por 1, luego a la ecuación (4,5) por 4 , pasando a sumar la ecuación (1,2) y (4,5) .
−4 A−6 B+c=0
Ecuación (1, 2 , 4 , 5) 10B+15C=4
4 A−4 B−16C=−4
Multiplicamos la ecuación 1 por 1, luego a la ecuación 2 por -1 , pasando a sumar la ecuación 1 y 2.
A+2 B+F=0
Ecuación ( 1 , 2 X ) A−C−3F=0
−2B−C−4 F=0
Multiplicamos la ecuación 2 por 1, luego a la ecuación 5 por -1 , pasando a sumar la ecuación 2 , 5 Y (1 , 2 X )
2B+C+4 F=0
Ecuación ( 2 ,5 (1 , 2 X) ) 4 D+3F=2
−A−2B−4D−4 F=−2
A−C−3F=0
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Multiplicamos la ecuación 2 por 1, luego a la ecuación 5 por -1 , pasando a sumar la ecuación 2 , 5 Y (1 , 2 X )
2B+C+4 F=0
Ecuación ( 2 ,5 ) C−A−4D=−2
−A−2B−4D−4 F=−2
REMPLAZANDO ( 1 , 2 X ), ( 2 ,5 ) en ( 2 ,5 (1 , 2 X) )
4 D+3F=2
𝐴+2𝐷=1 ECUACIÓN (XXX)
REMPLAZANDO ( 1 , 2 X ), ( XXX) en ( 2 ,5 (1 , 2 X) )
4 D+3F=2
2D−C=1 ( YYY )
REMPLAZANDO , ( XXX) en (4,5)
A+2D=1 A+B−4C=−1
4C−B+2D=2¿PPP)
REMPLAZANDO (1, 2 , 4 , 5)), ( Y Y Y ) en (PPP)
10B+15C=4 2D−C=1 EN 4C−B+2D=2
4C−(4−15C)10
+(1+C )=2
40C−4+15C+10+10C=20
C=1465
,D= 79130
, A=−1465
, F=−28195
,B= 113
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∫ (4 X2+3 X+2 ) dx
( X+2 )2 ( X2+1 )2=−1465
∫ dx
( X+2 )2+ 113
∫ dxX+2
+∫( 1465 X+ 79
130 )dx
( X 2+1 )2− 28195
∫ dx
X2+1
∫ (4 X2+3 X+2 ) dx
( X+2 )2 ( X2+1 )2= 1465 ( X+2 )
+ 113ln|X+2|+ 1
130∫ 28 X+79
( X2+1 )2− 28195
arctan x
s¿∫ (3 X4+2 X2+10 ) dx
( X2+4 )2 ( X 2+2 )3
(3 X 4+2 X2+10 )( X2+4 )2 ( X2+2 )3
Cumple conla propiedad de fracción propia , entonces pasamos aresolver
(3 X 4+2 X2+10 )( X2+4 )2 ( X2+2 )3
= AX+B
( X2+4 )2+CX +D
X2+4+ EX+F
( X2+2 )3+ GX+ H
( X2+2 )2+ IX+J
X2+2
(3 X 4+2 X2+10 )( X2+4 )2 ( X2+2 )3
=( AX+B ) ( X2+2 )3+(CX +D ) ( X2+2 )3 ( X 2+4 )+ ( EX+F )
❑
( X2+4 )2+(GX +H ) ( X2+4 )2 ( X2+2 )+( IX+J ) ( X2+2 )2 ( X2+4 )2
( X2+4 )2 ( X2+2 )3X❑
3 X 4+2 X2+10=A X7+B X6+6 A X5+6B X 4+12 A X3+12B X2+8 AX+8B+¿
CX 9+D X8+10CX7+10D X6+36CX 5+36D X4+56CX 3+56D X2+32CX+32D+¿
EX5+F X 4+8 EX3+8F X2+16 EX+16 F+GX 7+H X6+10GX 5+¿
10H X4+32GX 3+32H X2+32GX+32H+ IX9+J X8+12 IX7+12J X6+52 IX 5+52J X 4+¿
96 IX 3+96J X2+64 IX+64 J
¿ X 9 (C+ I )+ X8 ( D+J )+ X7 ( A+10C+G+12 I )+ X6 (B+10D+H+12J )
+X 5 (6 A+36C+E+10G+52 I )+ X4 (6B+36D+F+10H+52J )
+X 3 (12 A+56C+8E+32G+96 I )+X2 (12B+56D+8 F+32H+96J )
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+X (8 A+32C+16E+32G+64 I )+(8 B+32D+16F+32H+64 J )
Sistema de ecuaciones:
C+ I =0
D+J=0
A+10C+G+12 I=0
B+10D+H+12J=0
6 A+36C+E+10G+52 I =0
(6 B+36D+F+10H+52 J )=3
12 A+56C+8E+32G+96 I=0
12B+56D+8F+32H+96J=2
8 A+32C+16E+32G+64 I=0
8 B+32D+16F+32H+64 J=10
t ¿∫ dx
( X2+16 )5
dx
( X2+16 )5Cumple con la propiedad de fracción propia , entonces pasamos aresolver
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1
( X2+16 )5= AX+B
( X 2+16 )5+ CX +D
( X 2+16 )4+ EX+F
( X2+16 )3+ GX +H
( X2+16 )2+ IX +J
( X2+16 )1
1
( X2+16 )5=
( AX+B )+ (CX +D ) ( X2+16 )+( EX+F ) ( X2+16 )2+ (GX+H )
( X2+16 )5
( X2+16 )3+ (IX +J ) ( X2+16 )4
❑
1= ( AX+B )+(CX+D ) ( X2+16 )+( EX+F ) ( X2+16 )2+(GX+ H ) ( X2+16 )3
+( IX+J ) ( X2+16 )4
1=AX+B+C X3+D X2+16CX +16D+E X5+F X4+16 E X3+16 F X2+162EX+162F
G X7+H X6+(3 ) x (16 )G X5+(3 ) x (16 ) H X 4+(3 ) . (16 )2G X3+(3 ) . (16 )2 HX2+(16 )3GX
+163H+I X9+J X8+(4 ) . (16 ) I X7+(4 ) . (16 ) JX6+(6 ) . (16 )2 I X5+(6 ) . (16 )2 J X4+¿
(4 ) . (16 )3 I X3+(4 ) . (16 )3 JX2+(16 )4 IX+ (16 )4 J
1=(B+16D+162F+163 H+(16 )4 J )+ X ( A+16C+162 E+(16 )3G+(16 )4 I )
+X 2 (D+16 F+(3 ) . (16 )2H )+(4 ) . (16 )3 J ¿+X3 (C+16E+ (3 ) . (16 )2G+(4 ) . (16 )3 I )+¿
X 4 ( F+(3 ) x (16 ) H + (6 ) . (16 )2 J )+ X5 ( E+(3 ) x (16 )G+(6 ) . (16 )2 I )+X6 ( H+(4 ) . (16 ) J )+¿
X7 (G+(4 ) . (16 ) I )+J X 8+ I X9
Sistema de ecuaciones:
B+16D+162 F+163H+(16 )4 J=1
A+16C+162 E+(16 )3G+(16 )4 I=0
(D+16 F+(3 ) . (16 )2H )+ (4 ) . (16 )3 J=0
C+16E+ (3 ) . (16 )2G+(4 ) . (16 )3 I=0
F+ (3 ) x (16 ) H +(6 ) . (16 )2 J=0
E+(3 ) x (16 )G+ (6 ) . (16 )2 I=0
H +(4 ) . (16 ) J=0
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G+(4 ) . (16 ) I=0
J=0
I=0 , G=0 , H=0 , E=0 , F=0 , C=0 , A=0D=0 , B=1
∫ dx
( X 2+16 )5= AX+B
( X2+16 )5+ CX+D
( X2+16 )4+ EX+F
( X2+16 )3+ GX+H
( X2+16 )2+ IX+J
( X2+16 )1
∫ dx
( X 2+16 )5=∫ dx
( X2+16 )5
u¿∫ (2 X3+4 X+8 ) dx
X3 ( X4−9 )2 ( X4−25 )3
(2 X3+4 X+8 )X3 ( X4−9 )2 ( X 4−25 )3
con la propiedad de fracción propia , entonces pasamosaresolver
(2 X3+4 X+8 )X3 ( X+√3 )2 ( X−√3 )2 ( X 2+3 )2 ( X+√5 )3 ( X−√5 )3 ( X2+5 )3
= AX3 +
A1
X2+A2
X+¿
B
( X+√3 )2+
B1X+√3
+ C
( X+√3 )2+
C2
X+√3+ MX+N
( X2+3 )2+
M1 X+N1
X 2+3+ D
( X+√5 )3+¿
D1
( X+√5 )2+
D3
X+√5+ E
( X−√5 )3+
E1( X−√5 )2
+E2
X−√5+ PX+Q
( X2+5 )3+
P1 X+Q1
( X2+5 )2+¿
P2X+Q 2
X2+5
2 X3+4 X+8=¿
u¿∫ ( X 3+ X−4 ) dx
(2X 2+3 X+3 )3
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( X3+ X−4 )(2 X2+3 X+3 )3
con la propiedad de fracción propia , entonces pasamos aresolver
( X3+ X−4 )(2 X2+3 X+3 )3
= AX+B
(2 X2+3 X+3 )3+ CX+ D
(2 X2+3 X+3 )2+ EX+F2 X2+3 X+3
X3+ X−4= ( AX+B )+(CX+ D ) (2X 2+3 X+3 )+( EX+F ) (2 X2+3 X+3 )2
X3+ X−4= ( AX+B )+(2C X3+ X2 (2D+3C )+ X (3D+3C )+3D )+4 EX5+¿
X 4 (4 F+12E )+ X3 (12 F+21E )+ X2 (21F+18E )+X (18F+9 E )+9F
X3+ X−4=4 EX5+X 4 (4 F+12E )+ X3 (12 F+21E+2C )+ X2 (21F+18E+2D+3C )+¿
X (18 F+9E+3D+3C+A )+9 F+3D+B
E=0
F=0
C=12
D=−34
A=−74
B=74
∫ ( X3+X−4 ) dx
(2 X2+3 X+3 )3=−74∫ ( X−1 )dx
(2 X 2+3 X+3 )3+ 14∫ (2 X−3 ) dx
(2 X2+3 X+3 )2
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5. MÉTODO DE LOS BINOMIOS DIFERENCIALES
a¿∫ dx
X2 (3+X2 )32
∫ ( X2+3 )−32 . X−2dx
A=1, B=3 , N=2 , P=−32
, M=-2
II ¿b¿ M +1N
+P⊂Z
Remplazando
U X2=X2+3
X2 (U−1 )=3
X=( 3U −1 )
12
derivando
dx=312×−
12
(U−1 )−32 du
∫( 3U−1
+3)−32 × .( 3
U−1 )−1
×312×
−12
(U−1 )−32 du
∫ du
U32 . (U−1 )
∫ . (U −1 )−1× U−32 du
I ¿b¿ P<0U=T K
U=T2
DERIVANDO
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du=2Tdt
∫ (T 2−1 )−1 . (T )−3.2 (T )dt
∫ (T 2−1 )−1 (T )−22dt
∫ 2dt
(T 2−1 ) T2
Hallamos utilizando el método de fracciones parciales
2
(T2−1 )T 2= A
T−1+ B
T+1+ C
T 2+ D
T
2= (T +1 ) T2 A+B (T−1 )T 2+C (T 2−1 )+D (T 2−1 )T
2=T 3 ( A+B+D )+T 2 ( A−B+C )+T (−D )−C
A+B+D=0
A−B+C=0
D=0
C=−2
A=1 ,B=−1
∫ 2dt
(T 2−1 ) T2=2∫ dt
t−1−∫ dx
T+1−2∫ dt
T2
∫ dx
X2 (3+X 2)32
=2 ln|T−1|−ln|T +1|+ 2T
+C
b¿∫ dx
X (5+X2 )13
∫ ( X2+5 )−13 ( X )−1dx
A=1, B=5, N=2 , P=−13
, M=−1
Página 54
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II ¿a¿ M +1N
⊂Z
Remplazando
U=X2+5
(U−5 )12=X
derivando
dx=12
(U −5 )−12 du
Remplazando
∫ (U )−13 (U−5 )
−12 12
(U −5 )−12 du
12∫
du
(U )13 (U −5 )
Aplicando nuevamente el método de los binomios diferenciales
12∫ (U−5 )−1 (U )
−13 du
A=1, B=−5, N=1 , P=−1 , M=−13
I ¿ P<0U=T K
U=T3
DERIVANDO
du=3T2dt
∫ (T 3−5 )−1 . (T )−1 .3T 2dt
∫ (T 3−5 )−1 (T )13dt
∫ (T ) dt
(T 3−5 )
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Hallamos utilizando el método de fracciones parciales
T
(T 3−( 3√5 )3)= A
T− 3√5+ BT+C
T2+T3√5+( 3√5 )2
T=A (T 2+T 3√5+( 3√5 )2)+( BX+C ) (T−3√5 )
T=T 2 ( A+B )+T ( A 3√5+C−B3√5 )+ A ( 3√5 )2−C
3√5
A+B=0
A 3√5+C−B 3√5=1
A ( 3√5 )2−C3√5 A=0 ,
A=−B
C=A 3√5
A= 1
3 3√5
B= −13 3√5
C=13
∫ Tdt
(T 3−( 3√5 )3 )=
1
33√5∫
dt
T− 3√5+∫
( −13 3√5
T +13 )dt
(T 2+T 3√5+ ( 3√5 )2 )
∫ Tdt
(T 3−( 3√5 )3 )= 1
3 3√5ln|T−3√5|− 1
3 3√5∫Tdt
(T 2+T 3√5+( 3√5 )2 )+ 13∫
dt
T 2+T3√5+ ( 3√5 )2
Remplazando en la formula∫ udu
au2+bu+c= 12aln|au2+bu+c|− b
2a∫dx
au2+bu+c
Remplazando en la formula∫ du
au2+bu+c=
1
√b2−4 aclog|2au+b−√b2−4ac
2au+b+√b2−4 ac |Página 56
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b2>4ac
∫ du
au2+bu+c= 1
√b2−4 acarctg
2au+b
√b2−4ac+cb2<4 ac
∫ Tdt
(T 3−( 3√5 )3 )=3 1
3 3√5ln|T−3√5|− 3
6 3√5ln|T2+T 3√5+( 3√5 )2|+¿
12
1
(√ ( 3√5 )2−4 ( 3√5 )2)arctg( 2T + 3√5
√ ( 3√5 )2−4 ( 3√5 )2 )+C
C ¿∫ dx
X (2+4 X2 )23
∫ (4 X 2+2 )−23 ( X )−1dx
A=4, B=2, N=2 , P=−23
, M=−1
II ¿a¿ M +1N
⊂Z
Remplazando
U=4 X2+2
12
(U−2 )12=X
derivando
dx=14
(U−2 )−12 du
Remplazando
∫ (4 X 2+2 )−23 ( X )−1dx
∫ (U )−23 (12 (U−2 )
12 )
−114
(U−2 )−12 du
12∫ (U )
−23 (U−2 )−1du
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12∫
du
(U )23 (U −2 )
Aplicando nuevamente el método de los binomios diferenciales
12∫ (U−2 )−1 (U )
−23 du
A=1, B=−2, N=1 , P=−1 , M=−23
I ¿ P<0U=T K
U=T3
DERIVANDO
du=3T2dt
∫ (T 3−2 )−1 . (T )−2 .3T 2dt
∫ (T 3−2 )−13dt
∫ 3dt
(T 3−2 )
Hallamos utilizando el método de fracciones parciales
3
(T 3−( 3√2 )3 )= A
T− 3√2+ BT+C
T 2+T3√2+( 3√2 )2
T=A (T 2+T 3√2+( 3√2 )2 )+(BT +C ) (T− 3√2 )
T=T 2 ( A+B )+T ( A 3√2+C−B3√2 )+ A ( 3√2 )2−C
3√2
A+B=0
A 3√2+C−B 3√2=0
A ( 3√5 )2−C3√2=3 ,
A=−B
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C=−2 A 3√2
A=( 3√2 )2
B=−( 3√2 )2
C=−2 ( 3√2 )3
∫ 3dt
(T 3−( 3√2 )3 )=( 3√2 )2∫ dt
T− 3√2+∫ (−( 3√2 )2T−2 ( 3√2 )3 )dt
(T 2+T3√2+( 3√2 )2 )
∫ 3dt
(T 3−( 3√2 )3 )
¿ ( 3√2 )2 ln|T−3√2|−( 3√2 )2∫ Tdt
(T2+T 3√2+( 3√2 )2)−2 ( 3√2 )3∫ dt
T 2+T3√2+( 3√2 )2
Remplazando en la formula∫ udu
au2+bu+c= 12aln|au2+bu+c|− b
2a∫dx
au2+bu+c
Remplazando en la formula∫ du
au2+bu+c=
1
√b2−4 aclog|2au+b−√b2−4ac
2au+b+√b2−4 ac |b2>4ac
∫ du
au2+bu+c= 1
√b2−4 acarctg
2au+b
√b2−4ac+cb2<4 ac
∫ 3dt
(T 3−( 3√2 )3 )=( 3√2 )2ln|T− 3√5|−( 3√2 )
2
2
ln|T 2+T 3√5+( 3√5 )2|
−3 1
(√ ( 3√2 )2−4 ( 3√2 )2)arctg( 2T + 3√2
√ ( 3√2 )2−4 ( 3√2 )2 )+C
d ¿∫ dx
(1+ X3 )13
∫ ( X3+1 )−13 ( X )0dx
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A=1, B=1, N=3 , P=−13
, M=0
II ¿b¿ M +1N
+ p⊂ Z
Remplazando
U X3=X3+1
(U−1 )−13 =X
derivando
dx=−13
(U−1 )−43 du
Remplazando
∫ ( X3+1 )−13 ( X )0dx
−13 ∫( 1
(U−1 )+1)
−13 (U −1 )
−43 du
−13 ∫ (U )
−13 (U−1 )
13 (U−1 )
−43 du
❑
−13 ∫ (U )
−13 (U−1 )−1du
−13 ∫ du
(U )13 (U−1 )
Aplicando nuevamente el método de los binomios diferenciales
−13 ∫ (U−1 )−1 (U )
−13 du
A=1, B=−1, N=1 , P=−1 , M=−13
I ¿ P<0U=T K
U=T3
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DERIVANDO
du=3T2dt
Remplazando
−13 ∫ (T 3−1 )−1T−13T 2dt
−∫ (T 3−1 )−1. (T )1dt
−∫ (T ) dt
(T3−1 )
Hallamos utilizando el método de fracciones parciales
−∫ (T ) dt
(T3−1 )
T
(T 3−(1 )3 )= A
T−1+ BT+C
T2+T +1
T=A (T 2+T+1 )+( BT+C ) (T−1 )
T=T 2 ( A+B )+T ( A+C−B )+ A−C
A+B=0
A+C−B=1
A−C=0 ,
A=−B
C=A
A=13
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B=−13
C=13
−∫ Tdt
(T 3−(1 )3 )=13∫ dt
T−1+∫
(−13 T +13 )dt
(T 2+T +1 )
∫ Tdt
(T 3−(1 )3 )
¿−13ln|T−1|+¿ 1
3∫Tdt
(T 2+T +1 )−13∫
dt
T2+T +1¿
Remplazando en la formula∫ udu
au2+bu+c= 12aln|au2+bu+c|− b
2a∫dx
au2+bu+c
Remplazando en la formula∫ du
au2+bu+c=
1
√b2−4 aclog|2au+b−√b2−4ac
2au+b+√b2−4 ac |b2>4ac
∫ du
au2+bu+c= 1
√b2−4 acarctg
2au+b
√b2−4ac+cb2<4 ac
−∫ Tdt
(T 3−(1 )3 )=−13ln|T−1|+ 1
6ln|T 2+T +1|−1
21
(√−3 )arctg( 2T+1
√−3 )+C
e ¿∫ dx
3√ X (4− 3√X )12
∫ (−X13+4 )
−12
( X )−13 dx
A=−1, B=4, N=13
, P=−12
, M=−13
II ¿a¿ M +1N
⊂Z
Remplazando
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U=−X13+4
(−U +4 )3=X
derivando
dx=3 (−U +4 )2du
Remplazando
∫ (−X13+4 )
−12
( X )−13 dx
∫ (U )−12 (−U +4 )−13 (−U +4 )2du
3∫ (U )−12 (−U +4 )1du
3∫ (−U +4 ) du
(U )12
Aplicando nuevamente el método de los binomios diferenciales
3∫ (−U +4 )1 (U )−12 du
P=1
I ¿ a¿ P>0
∫ dx
3√ X (4− 3√X )12
=3∫ (−U12+4U
−12 )du
∫ dx
3√ X (4− 3√X )12
=−3( 23U32+8U
12 )+C
f ¿∫ dx
X5 (6−X4 )12
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∫ (−X4+6 )−12 ( X )−5dx
A=−1, B=6, N=4 , P=−12
, M=−5
II ¿a¿ M +1N
⊂Z
Remplazando
U=−X4+6
(−U +6 )14=X
derivando
dx=14
(−U+6 )−34 du
Remplazando
∫ (−X4+6 )−12 ( X )−5dx
∫ (U )−12 (−U +6 )
−54 14
(−U +6 )−34 du
14∫ (U )
−12 (−U +6 )−2du
Aplicando nuevamente el método de los binomios diferenciales
14∫ (−U +6 )−2 (U )
−12 du
A=−1, B=6, N=1 , P=−2 , M=−12
I ¿b¿ P<0U=T K
U=T2
DERIVANDO
du=2T1dt
Remplazando
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14∫ (−T 2+6 )−2 (T )−12 (T 1) dt
12∫ (−T 2+6 )−2dt
12∫
dT
( T2−6 )2
Aplicando el método de fracciones parciales:
1
(T2−6 )2esuna fraccion parcial :
1
(T2−6 )2= A
(T−√6 )2+ B
T−√6+ C
(T +√6 )2+ D
T +√6
1
(T2−6 )2=A (T+√6 )2+B (T +√6 )2 (T−√6 )+C (T−√6 )2+D (T−√6 )2 (T +√6 )
1
(T2−6 )2=A T 2+2√6 AT+6 A+B T 3+√6B T 2−6TB−6 √6 B+CT 2−2√6CT +6C
+D T 3−√6DT 2−6TD+6√6D
1
(T2−6 )2=T 3 ( B+D )+T 2 ( A+√6 B+C−√6D )+T (2√6 A−6B−2√6C−6D )+¿
(6 A−6√6B+6C+6 √6D )
SISTEMA DE ECUACIONES
B+D=0
A+√6 B+C−√6D=0----------------1
2√6 A−6 B−2√6C−6D=0----------------2
6 A−6√6B+6C+6√6D=1---------------3
REMPLAZANDO
B−¿ D--------1
A+2√6B+C=0----------------2
2√6 A−2√6C=0----------------3
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6 A−12√6 B+6C=1---------------4
Remplazando la ecuación 2 en la ecuación 4
−24 √6 B=1
B= −124√6
, D= 1
24 √6
Multiplicamos la ecuación 2 por −2√6, luego a la ecuación 3 por 1 , pasando a sumar la ecuación 2 Y 3:
−2√6 A−24 B−2√6C=0
−24 B=4√6C=0
C= 124
2√6 A−2√6C=0
Remplazando la ecuación 2 Y 3 en la ecuación 3
C= 124
2√6 A−2√6C=0
A= 124
∫ dt
(T 2−6 )2= 124∫
dt
(T−√6 )2− 124 √6∫
dtT−√6
+ 124∫
dt
(T +√6 )2+ 124√6∫
dtT +√6
∫ dt
(T 2−6 )2=12 { −124 (T−√6 )
−1
24√6ln|T−√6|− 1
24 (T−√6 )+
124√6
ln|T+√6|}+C
g¿∫ dx
X4 (3+X2 )12
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∫ ( X2+3 )−12 ( X )−4dx
A=1, B=3, N=2 , P=−12
, M=−4
II ¿b¿ M +1N
+P⊂Z
Remplazando
U X2=X2+3
( 3U−1 )
12=X
derivando
dx=−(3 )
12
2(U −1 )
−32 du
Remplazando
∫ ( X2+3 )−12 ( X )−4dx
∫ ( X2+3 )−12 ( X )−4dx
∫ (U )−12 (U −1 )
12 (U −1 )2 (3 )
−12 (3 )
12 (3 )−2
−2(U−1 )
−32 du
1−18∫
(U−1 ) du
U12
1−18∫ (U −1 )U
−12 du
Aplicando nuevamente el método de los binomios diferenciales
1−18∫ (U −1 )U
−12 du
I ¿ a¿ P>0
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P=1
1−18∫ (U
12−U
−12 ) du
∫ ( X2+3 )−12 ( X )−4dx= 1
−18 ( 23 U32−12
U12)+C
∫ ( X2+3 )−12 ( X )−4dx¿=−1
27U32+ 136
U12+C
h¿∫ (X 12+2)
13
X−1dx
A=1, B=2, N=12
, , P=13
, M=−1
II ¿a¿ M +1N
⊂Z
Remplazando
U =X12+2
(U−2 )2=X
derivando
dx=2 (U −2 )1du
Remplazando
∫ ( X12+2)
13
( X )−1dx
∫ (U )13 (U −2 )−22 (U−2 )1du
2∫ (U−2 )−1 (U )13 du
Aplicando nuevamente el método de los binomios diferenciales
A=1, B=2, N=1 , , P=−1 , M=13
I ¿b¿ P<0U=T K U =T3
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dU =3T2dt
Remplazando:
2∫ (U−2 )−1 (U )13 du=6∫ (T3−2 )−1 (T )3dt
¿6∫ T 3dt
(T3−2 )1yaque no cumplecon ser fraccion parcial , pasamos aresolverlaecuacion
comvertimos la ecuaciona praccion propia de lasiguiente forma :
dividimos la ecuacionT 3
(T 3−2 )1=1+ 2
T3−2
∫ ( X12+2)
13X−1dx=6∫ dt+12∫ dt
T3−2=6+12∫ dt
T 3−2
1
T3−2= A
(T− 3√2 )+ BT +C
(T 2+ 3√2T+ ( 3√2 )2 )
1=A (T 2+ 3√2T+( 3√2 )2)+( BT+C ) ( T−3√2 )
1=T 2 ( A+B )+T ( 3√2 A−3√2B+C )+( 3√2 )2 A−3√2C
A+B=0 A=−B
3√2 A−3√2B+C=0−C=2 3√2 A= −23 3√2
( 3√2 )2 A− 3√2C=1 A= 1
3 ( 3√2 )2B= −1
3 ( 3√2 )2
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∫ ( X12+2)
13X−1dx
¿6T+ 4
3 ( 3√2 )2∫ dt
(T−3√2 )− 4
( 3√2 )2Tdt
(T 2+ 3√2T +( 3√2 )2 )− 8
3√2dt
(T 2+ 3√2T +( 3√2 )2 )
Remplazando en la formula∫ udu
au2+bu+c= 12aln|au2+bu+c|− b
2a∫dx
au2+bu+c
Remplazando en la formula∫ du
au2+bu+c=
1
√b2−4 aclog|2au+b−√b2−4ac
2au+b+√b2−4 ac |b2>4ac
∫ du
au2+bu+c= 1
√b2−4 acarctg
2au+b
√b2−4ac+cb2<4 a
∫ ( X12+2)
13X−1dx
¿6T+ 4
3 ( 3√2 )2ln|T−3√2|− 4
( 3√2 )2ln|T 2+ 3√2T +( 3√2 )2|−¿¿
( 3√2 )2−1623√2
1
√−3 ( 3√2 )2arctg( 2T + 3√2
√−3 ( 3√2 )2 )+C
i ¿∫ X2dx
(a+b X5 )185
∫ ( b X5+a )−185 X 2dx
A=b, B=a, N=5 , P=−185
, M=2
II ¿b¿ M +1N
+P⊂Z
Remplazando
U bX5=bX5+a
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( aU−b )
15=X
derivando
dx=−( a )
15
5(U−b )
−65 du
Remplazando
∫ ( b X5+a )−185 X 2dx
−15a3
∫ (U −b )2 (U )−185 dx
−15a3 (−53 U
−35 + 5b
4U
−85 −5b2
13U
−135 )+C
∫ ( X2+3 )−12 ( X )−4dx
∫ ( X2+3 )−12 ( X )−4dx
∫ (U )−12 (U−1 )
12 (U−1 )2 (3 )
−12 (3 )
12 (3 )−2
−2(U−1 )
−32 du
1−18∫
(U−1 ) du
U12
1−18∫ (U −1 )U
−12 du
Aplicando nuevamente el método de los binomios diferenciales
1−18∫ (U −1 )U
−12 du
I ¿ a¿ P>0
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P=1
1−18∫ (U
12−U
−12 ) du
∫ ( X2+3 )−12 ( X )−4dx= 1
−18 ( 23 U32−12
U12)+C
∫ ( X2+3 )−12 ( X )−4dx¿=−1
27U32+ 136
U12+C
j ¿∫ ( X 4+3 )−12 X−11 dx
A=1, B=3, N
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¿4 , , P=−12
, M=−11
II ¿b¿ M +1N
+P=X
⊂Z
Remplazando
U X 4=X 4+3
derivando
dx=2 (U −2 )1du
Remplazando
∫ ( X12+2)
13
( X )−1dx
∫ (U )13 (U −2 )−22 (U−2 )1du
2∫ (U−2 )−1 (U )13 du
Aplicando nuevamente el método de los binomios diferenciales
A=1, B=2, N=1 , , P=−1 , M=13
I ¿b¿ P<0U=T K U =T3
dU =3T2dt
Remplazando:
2∫ (U−2 )−1 (U )13 du=6∫ (T3−2 )−1 (T )3dt
¿6∫ T 3dt
(T3−2 )1yaque no cumplecon ser fraccion parcial , pasamos aresolverlaecuacion
comvertimos la ecuaciona praccion propia de lasiguiente forma :
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dividimos la ecuacionT 3
(T 3−2 )1=1+ 2
T3−2
∫ ( X12+2)
13X−1dx=6∫ dt+12∫ dt
T3−2=6+12∫ dt
T 3−2
METODO DE HERMITE
a. ∫ x3+2 x+8(x−1)2(x2+4)3
dx es una fracción propia
Solución:
∫ x3+2 x+8(x−1)2(x2+4)3
dx= A x 4+B x3+C x2+ Dx+E(x−1)(x2+4)2
+∫ Fx2+Gx+H(x−1)(x2+4)
x3+2x+8(x−1)2(x2+4)3
=(x−1 ) ( x2+4 )2 d ( A x4+B x3+C x2+Dx+ E )
dx−(A x4+B x3+C x2+Dx+E)
d ((x−1)(x2+4)2)dx
((x−1)(x2+4)2)2+ Fx2+Gx+H
(x−1)( x2+4)
(x¿¿3+2 x+8) ( x2+4 )=[ (x−1 ) ( x4+8 x2+16 ) (4 A x3+3B x2+2Cx+D ) ]−[ ( A x4+B x3+C x2+Dx+E ) (( x2+4 )+2 ( x2+4 ) (2 x ) )]+[ ( Fx2+Gx+H ) ( x−1 ) ( x2+4 )3 ]¿x5+4 x3+2 x3+8x+8 x2+32=[ ( x5+8 x3+16 x−x4−8x2−16 )(4 A x3+3 B x2+2Cx+D)]− [ ( A x4+B x3+C x2+Dx+E )(4 x3+x2+16 x+4)]+[ ( Fx3+G x2+Hx−Fx2−Gx−H )( x6+12 x4+48x2+64) ]x5+6 x3+8x2+8 x+32=[ 4 A x8+3B x7+2C x6+D x5+32 A x6+24 B x5+16C x 4+8D x3+64 A x4+48B x3+32C x2+16Dx−4 A x7−3B x6−2C x5−D x4−32 A x5−24 B x4−16C x3−8D x2−64 A x3−48B x2−32Cx−16D ]−[4 A x7−A x6−16 A x5−4 A x4−4 B x6−Bx5−16B x4−4 B x3−4Cx5−Cx4−16C x3−4C x2−4D x4−Dx3−16D x2−4Dx−4 Ex3−Ex2−16 Ex−4 E ]+[ F x9+12Fx7+48 Fx5+64 F x3+G x8+12G x6+48G x4+64G x2+H x7+12H x5+48H x3+64Hx−F x8−12 F x6−48F x4−64 F x2−G x7−12Gx5−48G x3−64Gx−Hx6−12H x 4−48H x2−64H ]x5+6 x3+8x2+8 x+32=x9 (F )+x8 (4 A+G−F )+x7 (3B−8 A+12 F+H−G )+x6 (2C+31 A−7B+12G−12F−H )+x5 (D+23B−6C−48 A+48F+12H−12G )+x4 (15C+60 A−5D−40 B+48G−48 F−12H )+x3 (7D+44 B−32C−64 A−4E+64 F+48H−48G )+x2 (28C−24 D−48B−E+64G−64 F−48H )+x (12D−32C−16E+64H−64G )−16D−4E-64HIgualando ambos miembros tenemos:F=04 A−F+G=0−8 A+3 B+12F−G+H=031 A−7 B+2C−12F+12G−H=0−48 A+23B−6C+D+48 F−12G+12H=160 A−40 B+15C−5D−48 F+48G−12H=0−64 A+44 B−32C+7D−4E+64F−48G+48H=6−48B+28C−24D−E−64 F+64G−48H =8−32C+12D−16E-64G+64H=8−16D−4E-64H=32
b. ∫ x3−27(x2−1)2(x2−16)3
dx es una fracción propia
Solución:
∫ x3−27(x2−1)2(x2−16)3
dx= A x5+B x4+C x3+D x2+Ex+F(x2−1)(x2−16)2
+∫ G x3+H x2+ Ix+J(x2−1)(x2−16)
dx
x3−27(x2−1)2(x2−16)3
=( x2−1)(x2−16)2
d ( A x5+B x4+C x3+D x2+ Ex+F )dx
−( A x5+B x 4+C x3+D x2+Ex+F )d (( x2−1)(x2−16)2)
dx((x2−1)(x2−16)2)2
+G x3+ H x2+ Ix+J(x2−1)(x2−16)
(x¿¿3−27) ( x2−16 )=( x2−1 ) ( x4−32x2+256 ) ( A x4+B x3+C x2+D x1+ E )−( A x5+B x4+C x3+D x2+Ex+F ) [2 x ( x2−16 )2+4 x ( x2−16 ) ]+(G x3+ H x2+ Ix+J )(x2−1) ( x2−16 )3¿
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( x5−16 x3−27 x2+432 )=( x6−33 x4+288 x2−256 ) ( A x4+B x3+C x2+ D x1+E )−[ ( A x5+B x4+C x3+D x2+Ex+F )(2 x5−60 x3+448 x)]+(G x3+H x2+ Ix+J ) ( x2−1 )(x6−48 x4+768 x2−4096)x5−16 x3−27 x2+432=( A x10+B x9+C x8+D x7+E x6−33 A x8−33B x7−33C x6−33D x5−33 E x4+288 A x6+288B x5+288C x4+288D x3+288 E x2−256 A x4−256B x3−256C x2−256D x1−256 E )−(2 A x10+2B x9+2C x8+2D x7+2E x6+2 F x5−60 A x8−60 B x7−60C x6−60D x5−60 E x4−60 F x3+448 A x6+448 B x5+448C x4+448D x3+448 E x2+488 Fx )+( G x3+H x2+ Ix+J ) (x8−49 x6+816 x4−4864 x2+4096)x5−16 x3−27 x2+432=A x10+B x9+C x8+D x7+E x6−33 A x8−33B x7−33C x6−33D x5−33 E x4+288 A x6+288B x5+288C x4+288D x3+288 E x2−256 A x4−256 B x3−256C x2−256Dx−256E-2 A x10−2 B x9−2C x8−2D x7−2 E x6−2 F x5+60 A x8+60 B x7+60C x6+60D x5+60E x 4+60F x3−448 A x6−448B x5−448C x4−448D x3−448E x2−488 Fx+G x11+H x10+ I x9+J x8−49G x9−49H x8−49 I x7−J x6+816G x7+816H x6+816 I x5+816 J x4−4864G x5−4864H x4−4864 I x3−4864 J x2+4096G x3+4096H x2+4096 Ix+4096 Jx5−16 x3−27 x2+432=x11 (G )+x10 (−A+H )+x9 (−B+ I−49G )+x8 (−C+27 A+J−49H )+ x7 (−D+27 B−49 I+816G )+x6 (−160 A−E+27C−J +816H )+x5 (−160 B−2F+27D+816 I−4864G )+ x4 (−256 A+27E-160C+816J−4864 H )+ x3 (−256 B+60 F−160D−4864 I+4096G )+x2 (−256C−160E-4864 J+4096H )+x (−256D−488 F+4096 I )−256E+4096 JIgualando ambos miembros tenemos:G=0−A+H=0−B+ I−49G=0−C+27 A+J−49H=0−D+27 B−49 I +816G=0−160 A−E+27C−J +816H=0−160B−2 F+27D+816 I −4864G=1−256 A+27E-160C+816 J−4864H=0−256 B+60 F−160D−4864 I+4096G=−16−256C−160E-4864 J+4096H=−27−256D−488 F+4096 I=0−256E+4096 J=432
c. ∫ x3+81 xx (x2+3)2(x2−25)4
dx=∫ x2+81(x2+3)2(x2−25)4
dx
∫ x2+81(x2+3)2(x2−25)4
dx= A x7+B x6+C x5+D x4+E x3+F x2+Gx+H(x2+3)(x2−25)3
+∫ I x3+J x2+Kx+ L(x2+3)(x2−25)
dx
x2+81(x2+3)2( x2−25)4
=(x2+3)(x2−25)3
d ( A x7+B x6+C x5+D x4+E x3+F x2+Gx+ H )dx
−( A x7+B x6+C x5+D x4+E x3+F x2+Gx+H )d (( x2+3)(x2−25)3)
dx((x2+3)(x2−25)3)2
+ I x3+J x2+Kx+L( x2+3)(x2−25)
( x2+81 )(x2−25)2=( x2+3 ) (x6−75 x4+1875 x2−15625) (7 A x6+6B x5+5C x4+4D x3+3 E x2+2Fx+G )−[ ( A x7+B x6+C x5+D x4+E x3+F x2+Gx+H )(2x ( x2−25 )3+(x2+3)3(x2−25)22 x)]+ ( x2+3 ) ( x2−25 )5( I x3+J x2+Kx+ L)( x2+81 ) ( x4−50 x2+625 )=( x8−72 x6+1650 x4−1000 x2−46875 ) (7 A x6+6 B x5+5C x4+4D x3+3 E x2+2Fx+G )−¿
d. ∫ (x+2)3 x3
x (x2+√2)2(x2+25)2dx
e. ∫ (x−3)5(x+2)3
x (x2−√2)3(x3−27)2dx
f. ∫ x(x+4)3(x−1)2
x2(x−√2)4 (x3+81)3dx
g. ∫ x( x2−9)3( x+3)3
x3(x+1)5(x3−81 x)4dx=∫ x( x2−9)3(x+3)3
x3(x+1)5(x3−81 x)4dx
∫ x( x2−9)3( x+3)3
x3(x+1)5(x3−81 x)4dx=
A x15+ A1 x14+…+ A13 x3+ A14 x2+ A15 x+ A16
x3(x+1)5(x3−81x )4+∫ I x3+J x2+Kx+L
x3(x+1)5(x3−81 x)4dx
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x (x2−9)3(x+3)3
x3(x+1)5(x3−81 x)4=
x3(x+1)5(x3−81 x)4d ( A x15+ A1 x14+…+ A13 x3+ A14 x2+ A15 x+ A16)
dx−( A x15+A1 x14+…+ A13 x3+ A14 x2+ A15 x+ A16)
d (x3(x+1)5(x3−81 x)4)dx
(x3(x+1)5(x3−81x )4)2+
I x3+J x2+Kx+L
x3(x+1)5(x3−81 x)4
x (x2−9)3(x+3)3=(x6−75x4+1875 x2−15625) (7 A x6+6B x5+5C x4+4 D x3+3 E x2+2 Fx+G )−[ ( A x7+B x6+C x5+D x4+E x3+ F x2+Gx+H )(2 x ( x2−25 )3+(x2+3)3 (x2−25)22 x)]+( x2+3 ) ( x2−25 )5(I x3+J x2+Kx+L)
( x2+81 ) ( x4−50 x2+625 )=( x8−72 x6+1650 x4−1000 x2−46875 ) (7 A x6+6 B x5+5C x4+4D x3+3 E x2+2Fx+G )−¿
h. ∫ x (x2−2)2(x−2)4
x2(x−4 )4(x3−125 x)5dx
i. ∫ (x2−16)3(x+5)5
x (x−5)3(x3+125 x )4dx
j. ∫ sen2(x)−cos2(x )tan2 (x )+sec
3(x)dx
k. ∫ sen3 (2 x )+cos2(2 x)tan2 (3 x )−sec2(3 x)
dx
l. ∫ sen2(x)cos (x )−cot2(x )tan 3 ( x )−sen(x )cos3(x )
dx
j ¿∫ sen2 ( x )−cos2 ( x )tan2 ( x )+sec2 (x )
dx
considerando la ecuacion: tan( x2 )=t
→ si :2 cos2( x2 )=1+cos ( x );2 sen2( x
2 )=1−cos ( x )
dvidiendo ambas ecuaciones tenemosque :
cos (x )=1−t2
1+t 2; sen ( x )= 2t
1+ t2
→ x=2arctan (t );dx= 2dt
1+t 2
→∫ sen2 ( x )−cos2 ( x )tan2 ( x )+sec2 ( x )
dx=∫( 2t1+t 2
)2
−(1−t2
1+ t2)2
(
2 t
1+t 2
1−t 2
1+t 2
)
2
+( 11−t 2
1+t 2
)3
2dt1+t 2
→∫ sen2 ( x )−cos2 ( x )tan2 ( x )+sec2 ( x )
dx=∫2 (6 t¿¿2−1−t 4)¿¿¿¿
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j ¿∫ sen3 (2x )+cos2 (2 x )tan2 (3x )−sec2 (3 x )
dx=¿
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