Introduccin a Las Transformaciones LinealesIntroduccin a las transformaciones lineales La transformacin lineal es una funcin utilizada para la asignacin de un espacio vectorial a otro espacio vectorial con la ayuda de los escalares, la cual satisface la expresin f(a*x+b*y) =a*f(x)+b*f(y). En otras palabras, se consideran 2 espacios vectoriales, V y W. Una transformacin lineal es una grfica T: V W que satisface dos condiciones: 1). T (v1 + v2) = T (v1) + T (v2) donde v1 y v2 son vectores en V. 2). T (xV) = x T (v) donde x es una escala Una transformacin lineal puede ser sobreyectiva o inyectiva. En el caso que, W y V tengan dimensiones idnticas, entonces T puede llegar a ser invertible, esto es, se encuentra T-1 el cual satisface la condicin TT-1 = I. Asimismo, T (0) ser siempre 0.

La teora de la matriz entra en la teora de las transformaciones lineales porque es posible representar cada transformacin lineal como matriz. La multiplicacin de matrices puede considerarse como el ejemplo principal que puede demostrar el concepto de transformacin lineal. Una matriz A de dimensin n x m define que T (v) = Av y aqu v es representado como un vector columna. Veamos un ejemplo: Aqu, la transformacin lineal t es definida como T (x, y) = (y, 2x + 2y, x). En el caso que, V y W sean de dimensin finita, la transformacin lineal est mejor representada con la multiplicacin de matrices en lugar de estableciendo la base del espacio vectorial, tanto para W y V. En el caso que, W y V incluyan un producto escalar y tambin los espacios vectoriales correspondientes y que W y V sean ortonormales, ser simple representar la matriz correspondiente como . Mientras que w y v son de dimensin infinita, la transformacin lineal puede ser continua. Por ejemplo, considera que un espacio polinmico de 1 variable sea v y T una derivada. Entonces, T (xn) = nxn-1, una no continua como xn/n = 0 mientras que T (xn)/n no converge. El resultado de la suma de 2 o ms transformaciones lineales, la multiplicacin de una transformacin lineal por nmero particular, y la multiplicacin de 2 transformaciones lineales, son siempre transformaciones lineales. Una transformacin lineal en la cual su identidad es descrita en el espacio euclidiano siempre es auto-adjunta en el caso de que la matriz A correspondiente sea simtrica en cualquier base ortonormal. Una transformacin lineal que es auto-adjunta y se describa en una dimensin finita unitaria, el espacio (euclidiano) contiene una base ortonormal en la cual su matriz lleva una forma diagonal. Existen dos espacios fundamentales que estn asociados a una transformacin lineal: su kernel ker(T) y su imagen im(T). El kernel y la imagen de una transformacin lineal T corresponden con el espacio nulo y el espacio de la columna de cualquier matriz que represente a T. En un sistema lineal, el nmero de variables es igual al nmero de variables libres ms el nmero de variables angulares, quedando una transformacin lineal final T: V W en la identidad dim V = dim ker(T) dim im(T). Si dim ker(T) = 0 y dim im(T) = dimW, entonces t esta sobre y uno a uno. En este caso, esto se denomina un isomorfismo. -

NUCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACION LINEAL:DEFINICION: Sea una transformacin lnea. La imagen de T, escrito Im T, es el conjunto de las imgenes de los puntos de E en F.

El ncleo de T, escrito como , es el conjunto de elementos de E que se aplican en

Teorema:Sea una aplicacin o transformacin lineal. Entonces la imagen de T es un sub espacio de F y el ncleo de T es un sub espacio de E.Ejemplo:Sea T:, la aplicacin proyeccin en el plano xy: T(x,y,z)=(x;y;0). Claramente la imagen de T es el plano xyimT=podemos observar que el nucleo de T es el eje zker T=Ejemplo 2:Hallar el ncleo e imagen o recorrido de la Transformacin Lineal, definida por Debemos hallar todos los vectores tal que sea el vector 0Podemos observar que nos encontramos ante los siguientes sistemas de ecuaciones:

Formamos una matriz aumentada:

Multipliquemos entonces 2da fila por 2 y summoslo a la 1ra fila

Observar que a cada columna corresponde a las incgnitas Ahora formemos ecuaciones con en funcin de

Sea La solucin del sistema para cualquier escalar El ncleo de T el subespacio unidimensional (una dimensin R) en generado

La imagen o recorrido de la transformacin lineal es:

La imagen de T es el espacio columna de la matriz formada por los vectores:

Como las dos primeras columnas de la matriz A son independientes,

REPRESENTACION MATRICIAL DE UNA TRANSFORMACION LINEALCualquier Transformacin lineal entre espacios vectoriales de dimensin finita se puede representar por medio de una matriz.TEOREMA:Sea una transformacin lineal. Entonces existe una matriz nica ; tal que:, para todo REPRESENTACIN MATRICIAL CANNICA: Sea una transformacin lineal y sea base cannica para . La matriz con como vector columna es la representacin matricial cannica de T; la notacin lo utilizaremos para denotar un determinado nmero finito de vectores: vectores.Si es la representacin matricial cannica de una transformacin lineal , entonces la matriz cannica es: para todo vector columna.Ejemplo:Hallar la representacin matricial cannica para la transformacin lineal:; Transformacin que parte de un espacio tetradimensional (4 dimensiones) y llega otro espacio de tres dimensional, definida por:

La base para formar la matriz es la cannica ; donde

Escribimos los vectores como vector columna,; siendo la matriz cannica de la Transformacin T; es la matriz de orden ; cuyas columnas son:

En

En En

En Luego la matriz transformada es:

REPRESENTACIONES MATRICIAL RESPECTO A LAS BAdwSES Sean las bases ordenadas Sean una transformacin lineal y sean B y B bases ordenadas por respectivamente. Sea la matriz de cuyo j-esimo vector columna es vector ordenado columna respecto a la base B.Esta Matriz es la representacin matricial de T respecto a las bases B y BTenemos para cada de ; donde y ; son vectores coordenados columna para x respecto a B y BPara determinar la representacin matricial de respecto a las bases ordenadas B y B:a. Forma la matriz partida = b. Usamos la reduccin de Gauss-Jordan para obtener la matriz partida donde I es la matriz identidad de orden y es la representacin matricial deseada.Ejemplo:Sea la Transformacin lineal se define de la siguiente manera: Hallar la representacin matricial , respecto a las bases ordenadas B y B donde:

Para formar la matriz partida, hallamos primero los en la base BPara

Apliquemos la Trasformacin lineal definida

Debemos hallar el vector coordenado de uno, respecto a la base ordenada, formando luego la matriz partida, con los vectores B en forma de columna.

Utilizando la reduccin de Gauss Jordan, tenemos:La 1ra fila multiplicamos por -1 y sumada a la 2da filaYLa 1ra fila multiplicamos por -2 y sumada a la 3ra fila

Desarrollando esta operacin, tenemos:

Sumamos la 2da fila con la 3ra fila

Operando:

Multipliquemos la 3ra fila por

Desarrollando

Multipliquemos la 2da fila por -1 y sumamos con la 1ra fila

(puntos suspensivos)

MATRIZ DE CAMBIO DE BASEEl cambio de base consiste en conocidas las coordenadas de un vector respecto a una base B, encontrar las coordenadas de dicho vector con respecto a otra base B.TEOREMA: Sean bases ordenadas de un espacio vectorial V. La matriz C de cambio de base respecto a las base B, B , que satisfacen la ecuacin:

Se halla la matriz cambio de base reduciendo la matriz aumentada:, los elementos de B, se convierten a matriz identidad, y los elementos de B as{i convertidos forman la matriz C de cambio de base.Esta matriz C es invertible y su inversa es la matriz cambio de base respecto a B, B.

AUTOVALORES Y AUTOVECTORES PROPIOS DIAGONALIZACIN DE UNA MATRIZDEFINICION DE VALOR PROPIO:Sea una matriz de orden , matriz cuadrada. Supongamos que c es un vector distinto de cero en un nmero (puede ser cero), tal que:

es un mltiplo escalar de x. Entonces x se llama un vector propio de y es un valor propio de ALos valores propios y los vectores propios solo estn definidos para matrices cuadradas. El valor propio es un nmero y el valor propio es un vector.Ejemplo:Suponemos que la matriz , entonces es un vector propio que correspondiente al valor propio 3 y que cumple la siguiente igualdad:

A los valores propios se le denominan tambin eigenvalores, donde eigen es una palabra alemn y significa propio.

Tambin es un vector propio correspondiente al valor propio , ya que:

Supongamos que deseamos encontrar todos los valores propios de una matriz cuadrada de orden . Sabemos que:

A esta ecuacin la multiplicamos por la matriz identidad del mismo orden ; en ambos lados encontraremos un polinomio en

por la propiedad simtrica de la igualada, tenemos.

=0 es un valor propio de la matriz A tiene una solucin no trivial es singular (determinante igual a cero)det

5.3 La matriz de una transformacin lineal.Si A es una matriz de m*n y T: Rn-Rmest definida por Tx = Ax, entonces, T es una transformacin lineal. Ahora se ver que para toda transformacin lineal de Rnen Rmexiste una matriz A de m*n tal que Tx = Ax para todo xRn. Este hecho es de gran utilidad. Si Tx = Ax. Entonces un T = NAe Im T = RA. ms aun, v(T) = dim un T = v(A) y p(T) = dim Im T = p(A). As se puede determinar el ncleo, la imagen, la nulidad y el rango de una transformacin lineal de Rn-Rmdeterminando el espacio nulo y la imagen de la matriz correspondiente. Adicionalmente, una vez que se sabe que Tx = Ax. Se puede evaluar Tx para cualquier x en Rnmediante una simple multiplicacin de matrices.Pero esto no es todo. Como se ver, cualquier transformacin lineal entre espacios vectoriales de dimensin finita se puede representar mediante una matriz.Teorema 1Sea T: Rn-Rmuna transformacin lineal. Existe entonces una matriz nica de m*n, ATtal que

DemostracinSea w1= Te1, w2= Te2,, wn= Ten. Sea ATla matriz cuyas columnas son w1, w2,, wny hagamos que ATdenote tambin a la transformacin de Rn-Rm, que multiplica un vector en Rnpor AT. si

Entonces

De esta forma, ATei= wipara i = 1,2,.n., T y la transformacin ATson las mismas porque coinciden en los vectores bsicos.

Ahorase puede demostrar que ATes nica. Suponga que Tx = ATx y que Tx = BTx para todo xRn. Entonces ATx = BTx, o estableciendo CT= AT BT, se tiene que CTx = 0 para todo x Rn. En particular, CTeies la columna i de CT. As, cada una de las n columnas de CTes el m-vector cero, la matriz cero de m*n. Esto muestra que AT= BTy el teorema queda demostrado.

Definicin 1 Matriz de transformacinLa matriz ATen el teorema 1 se denomina matriz de transformacin correspondiente a T o representacin matricial de T.

NOTA. La matriz de transformacin ATest definida usando las bases estndar tanto en Rncomo en R3. Si se utilizan otras bases, se obtendr una matriz de transformacin diferente.

TEOREMA 2 sea ATla matriz de transformacin correspondiente a la transformacin lineal T. entonces.i.Im T = Im A = CATii.P (T) = p (AT)iii.Un T = NATiv.v (T) = v (ATEjemplo 1 Representacin matricial de una transformacin de proyeccinEncuentre la matriz de transformacin ATcorrespondiente a la proyeccin de un vector en R3sobre el plano xy.Solucin

Teorema 4Sean V y W espacios vectoriales de dimensin finita con dim V = n. sea T: V-W una transformacin lineal y sea ATuna representacin matricial de T respecto a las bases B1en V y B2 en W. entoncesI.p (T) =p (AT) ii. V (A) = v (AT) iii. V (a) + p (T) = n

Teorema 5Sea T: Rn-Rmuna transformacin lineal. Suponga que C es la matriz de transformacin de T respecto a las bases estndar Sny Smen Rny Rm, respectivamente. Sea A1la matriz de transicinde B2a base Smen Rm. Si ATdenota la matriz de transformacin de T respecto a las bases B1y B2, entonces.

Geometra de las transformaciones lineales de R2en R2.Sea T: R2-R2una transformacin lineal con representacin matricial ATAhora de demostrar que si ATes invertible, entonces T se puede escribir como una sucesin de una o ms transformaciones especiales, denominadasexpansiones, compresiones, reflexiones y cortes.

Expansiones a lo largo de los ejes x o yUna expansin a lo largo del eje x es una transformacin lineal que multiplica a la coordenada x de un vector en R2por una constante C>1. Esto es

De manera similar, una expansin a lo largo del eje y es una transformacin lineal que multiplica la coordenada y de todo vector en R2por unaconstante C>1. Como antes,

entonces la representacin matricial de T es

de manera que

se comienza con este rectngulo.b)Expansin en la direccin de x c = 2.c)Expansin en la direccin de y con c = 4.

Compresin a lo largo de los ejes x o y.Una compresin a lo largo de los ejes x o y es una transformacin lineal que multiplica ala coordenada x o y de un vector en R2por una constante positiva 0