algebra lineal unidad cuatro

8/17/2019 Algebra Lineal Unidad Cuatro

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Índice de contenido.

Página

Unidad 4. Espacios vectoriales. 2-16

4.1 Defnición de espaciosvectoriales………………………………………….... 2

4.2 Defnición de suespacio vectorial ! suspropiedades………………. "

4." #o$inación lineal e %ndependencialineal……………………………….. &

4.4 'ase ! di$ensión de un espacio vectorial !ca$io de ase…… 1(

4.& Espacio vectorial con producto interno ! suspropiedades………14

'iliogra)*a……………………………………………………………………………………1&



4.1.- Espacio vectorial.

Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, denominadosvectores, junto con dos operaciones binarias llamadas su$a !$ultiplicación por un escalar y que satisfacen los diez axiomas

enumerados a continuación.

+,io$as de un espacio vectorial.

1. Si x Є V y y Є V, entonces x + y Є V !erradura bajo la suma".

#. $ara todo x , y , z en V, x + y " + z % x + y + z"&ey asociati'a de la suma de 'ectores"

(. )xiste un 'ector ( Є V tal que para todo x Є V, x + ( % ( + x % x

*. Si x Є V, existe un 'ector x en V tal que x + x " % ( x se llama in'erso aditi'o de x "

. Si x y y est-n en V, entonces x + y % y + x .&ey conmutati'a de la suma de 'ectores".

. Si x Є V y / es un escalar, entonces α x Є V!erradura bajo la multiplicación por un escalar".

0. Si x y y est-n en V y α es un escalar, entonces α x + y " % α x + αy

$rimer ley distributi'a"

. Si x Є V y α y 2 son escalares, entonces α + 2" x % α x + 2 x

Se3unda ley distributi'a"

4. Si x Є V y α y 2 son escalares, entonces α2 x " % α2" x

&ey asociati'a de la multiplicación por escalares"

15. $ara cada 'ector x Є V, 1 x % x .

1



4.2.- uespacio vectorial.

Defnición Sea H un subconjunto no 'ac6o de un espacio 'ectorial V ysupon3a que H es en s6 un espacio 'ectorial bajo las operaciones desuma y multiplicación por un escalar de7nidas en V . )ntonces se diceque 8 es un subespacio de V

$ara que H sea un sub espacio de V debe cumplir las propiedades decierre de la suma y la multiplicación por un escalar tambi9n debecumplir la ley del elemento neutro bajo la suma, el in'erso bajo la sumay el neutro bajo la multiplicación por un escalar.

Propiedades

I. Si x H y y H, entonces x + y H.

%%. Si x H, entonces αx H para todo escalar α.

#



)jemplos:

(



4.".- #o$inación lineal. E independencia lineal.

#o$inación lineal.

Se ;a 'isto que todo 'ector ' % a, b, c" en R( se puede escribir en laforma

V % ai 1 b j 1 ck

Defnición )n cuyo caso se dice que ' es una combinación lineal de lostres 'ectores i, / y 0 . <e manera m-s 3eneral, se tiene la si3uientede7nición.

Sean v1, v2, . . . , vn. 'ectores en un espacio 'ectorial V. )ntonces

cualquier 'ector de la forma

a1v1 + a2v2 + . . . + anvn

donde, a1, a2, . . . , an son escalares se denomina una co$inaciónlineal de

v1, v2, . . . , vn.

)jemplo 1: Una combinación &ineal en ( .

)jemplo #: Una combinación lineal en M23.

)jemplo (: !ombinaciones lineales en Pn

)n Pn todo polinomio se puede describir como una combinación lineal de

los =monomios> 1, x, x 2 ,…, x n.

*



%ndependencias lineales.

%ntroducción )n el estudio del -l3ebra lineal, una de las ideascentrales es la de dependencia o independencia lineal de los 'ectores.)n esta sección se de7ne el si3ni7cado de independencia lineal y semuestra su relación con la teor6a de sistemas ;omo39neos deecuaciones y determinantes.

?)xiste una relación especial entre los 'ectores

@

por supuesto, se puede apreciar que '# #'1A o si se escribe estaecuación de otra manera,

#1 2 % (

)n otras palabras, el 'ector cero se puede escribir como unacombinación no tri'ial de '1 y '# es decir, donde los coe7cientes en lacombinación lineal no son ambos cero". ?Bu9 tienen de especial los'ectores

v 1% @ @ &a respuesta a esta pre3unta es:

m-s dif6cil a simple 'ista. Sin embar3o, es sencillo 'eri7car que v" % (v1 + #v2A rescribiendo esto se obtiene

(1 C #2 " % (

Se ;a escrito el 'ector cero como una combinación lineal de '1, '# y '(.$arece que los dos 'ectores en la ecuación 1" y los tres 'ectores en la

ecuación #" tienen una relación m-s cercana que un par arbitrario de #C'ectores o una terna arbitraria de (C'ectores. )n cada caso, se dice quelos 'ectores son linealmente dependientes. )n t9rminos 3enerales, setiene la importante de7nición que a continuación se presenta.

Defnición Sean v 1 , v 2 , … , v n , n 'ectores en un espacio 'ectorial V .)ntonces se dice que los 'ectores son linealmente dependientes si



existen n escalares c1 , c2 , . . . , cn no todos cero tales que c1v 1 + c2v 2

+ … + cnv n = 0

Si los 'ectores no son linealmente dependientes, se dice que sonlinealmente independientes.

$ara decirlo de otra forma, '1, '#, D , 'n son linealmente independientessi la ecuación c1'1 + c#'# + . . . + cn'n % 5 se cumple Enicamente parac1 % c# % . . . % cn % 5. Son linealmente dependientes si el 'ector cero enV se puede expresar como una combinación lineal de '1, '#, . . . , 'n concoe7cientes no todos i3uales a cero. Fota. Se dice que los 'ectores'1, '#, . . . , 'n son linealmente independientes o dependientes", o que elconjunto de 'ectores G'1, '#, . . . , 'nH es linealmente independiente odependiente". )sto es, se usan las dos frases indistintamente.

?!ómo se determina si un conjunto de 'ectores es linealmente

dependiente o independiente@ )l caso de #C'ectores es sencillo.3eore$a <os 'ectores en un espacio 'ectorial son linealmentedependientes si y sólo si uno de ellos es un mEltiplo escalar del otro.$rimero supon3a que v 2 + cv 1 para al3En escalar c I 0. )ntonces cv 1 –

v 0 y v 1 y v 2 son linealmente dependientes. $or otro parte, supon3aque v 1 y v 2 son linealmente dependientes. )ntonces existen constantesc1 y c2 al menos uno distinto de cero, tales que c1'1 1 c#'# 5. Si c1 I5, entonces di'idiendo entre c1 se obtiene v1 + c#Jc1"v# % 0, o sea,

V 1 !"#1 $c2 % v 2

)s decir, v 1 es un mEltiplo escalar de v #. Si c1 % 5, entonces c# I 5 y, porlo tanto, v # % 5 % 5v 1.

)jemplo1: <os 'ectores linealmente dependientes en K*

)jemplo #: <os 'ectores linealmente dependientes en K(.



)jemplo (: <eterminación de la dependencia o independencia lineal detres 'ectores en K(

0



)jemplo *: <eterminación de la dependencia lineal de tres 'ectores en K(



4.4.- 'ase ! di$ensión de un espacio vectorial. #a$iode ase

'ase de un espacio vectorial.

%ntroducción

Defnición Un conjunto 7nito de 'ectores Gv 1 , v 2 , . . . , v nH es una base paraun espacio 'ectorial V si L. Gv 1 , v 2 , . . . , v nH es linealmente independiente.

LL. Gv1 v2 . . . vnH 3enera a V .

Ma se ;an analizado al3unos ejemplos de bases. )n el teorema *..0, porejemplo, se 'io que cualquier conjunto de n 'ectores linealmenteindependientes en n 3enera a n. <e esta forma,

Nodo conjunto de n 'ectores linealmente independiente en n es una base en n.

)jemplo: una base para un sub espacio R(

4



Di$ensión.

Defnición Si el espacio 'ectorial V tiene una base con un nEmero 7nito de

elementos, entonces la dimensión de V es el nEmero de 'ectores en todas lasbases y V se denomina espacio vectorial de di$ensión fnita. <e otramanera , V se denomina espacio 'ectorial de dimensión in7nita. Si V %G(H, entonces se dice que V tiene dimensión cero.

5otación. &a dimensión V se denota por di$ V .

)jemplo 1: <imensiones de Rn

!omo n 'ectores linealmente independientes en n constituyen una base, seobser'a que

di$ Rn n

)jemplo #: &a dimensión de &n

S6 los polinomios G1, x, x#, . . . , xnH constituyen una base en &n. )ntonces di$&n = n + 1.

15



)jemplo (: &a dimensión de 7$n.

)n Omn sea Pij la matriz de m ( n con un uno en la posición ij y cero en otraparte. )s sencillo demostrar que las matrices P ij para i 1, #, . . . , m y j % 1,#, . . . , n forman una base para Omn. Ps6, dim Omn % mn.

)jemplo *: & tiene dimensión in7nita.

Si se sabe que nin3En conjunto 7nito de polinomios 3enera a &. )ntonces $ notiene una base 7nita y, por lo tanto, es un espacio 'ectorial de dimensiónin7nita.

#a$io de ase.

En R2 se expresaron vectores en términos de la base canónica . )n Kn se

de7nió la base canonica . )n $n se de7nió la base estandra como

. )stas bases se usan ampliamente por la sencillez queofrecen a la ;ora de trabajar con ellas. $ero en ocasiones ocurre que es mascon'eniente al3una otra base. )xiste un numero in7nito de bases para ele3ir,

ya que en un espacio 'ectorial de dimensión n, cualesquiera n 'ectores,linealmente independientes, forman una base. )n esta sección se 'era comocambiar de una base a otra mediante el calculo de cierta matriz. Lniciaremos

por un ejemplo sencillo. Sean u . entonces, es la

base canonica en K#. Sean !omo '1 y '# son linealmente

11



independientes porque '1 no es un mEltiplo de '#", es una

se3unda base en K#. Sea un 'ector en K#. )sta notación si3ni7ca que

)s decir, x esta expresando en t9rminos de los 'ectores de la base Q. para

;acer ;incapi9 en este ;ec;o, se escribe !omo Q es otra base en

K#, existen escalares c1 y c# tales que 1" Una 'ez que se

encuentran estos escalares. Se puede escribir para indicar que xesta a;ora expresado en t9rminos de los 'ectores en Q. para encontrar los

nEmeros c1 y c#, se escribe la base anterior en t9rminos de la nue'a base. )s

sencillo 'eri7car que #"

y es decir,

)ntonces,

Ps6, de 1",

ó

$or ejemplo, si

1#



entonces

1(



4.&.- Espacio vectorial con producto interno ! suspropiedades

Un espacio 'ectorial complejo V se denomina espacio con productointerno si para cada par ordenado de 'ectores u y v en V , existe un

nEmero complejo Enico u, v ", denominaC do producto interno de u y v ,tal que si u, v y ' est-n en V y a / R ! , entonces se dan las si3uientespropiedades

(. !V ,V%%0((. !V , V % si y solo si V % 0(((. !u, V + )% !*,V% + !*,)%(V. !* +V , )% !*,)% + !V ,)%V. !*, V% !*, V%V(. !*, V% !*, V%V((. !* , V% !*, V%

&a barra en las condiciones '" y 'LL" denota el conju3ado complejo.

Fota. Si u, '" es real, entonces u, '" + u, '" y se puede eliminar labarra en '".

)jemplo 1: producto interno de dos 'ectores en !(

)n !( sean x%1+i, C(, *C(i" y y%#Ci, Ci, #+i". entonces

Sea V un espacio con producto interno y supon3a que u y ' est-n en V.entonces

Fota 1. Pqu6 se usa la doble barra en lu3ar de una sola para e'itarconfusión con el 'alor absoluto. $or ejemplo Tsen tT denota la norma desen t como un ='ector> en !5, #W mientras que Xsen tX denota el 'alorabsoluto de la función sen t.Fota #. &a ecuación anterior tiene sentido ya que u, u"Y5.

1*



)jemplo #: dos 'ectores orto3onales en c#

)n !# los 'ectores (,Ci" y #,i" son orto3onales porque

'iliogra)*a

1

Pl3ebra &ineal V: SubespaciosVectoriales. Z

[os9 Oar6a Kico Oart6nez

<epartamento de Ln3enier6aOec-nica

\acultad de Ln3enier6a Oec-nica)l9ctrica y electrónica

Uni'ersidad de ]uanajuato

Álgebra lineal

Sexta edición

Stanle !. "r#$$%an

algebra lineal unidad cuatro

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