unidad i - algebra de boole

Constantes y Variables Booleanas Tabla de Verdad. Funciones lógicas (AND, OR, NOT) Representación de las funciones lógicas con compuerta lógicas básicas (AND, OR, NOT) Formas Canónicas y Standard (mini términos ,maxi términos) Otras Compuertas lógicas (NAND,NOR, EXOR.NEXOR) Análisis de circuitos combinatorios. Álgebra de Boole Método de Minimización con álgebra de Boole Serie TTL y CMOS.

Introducción

El sistema numerico Binario utiliza solo dos digitos: 1 y 0, dos posibles condiciones, por lo que es perfecto para representar relaciones logicas. Los cktos logicos digitales utilizan intervalos de voltajes predefinidos para representar estos estados binarios. El proposito de estos temas es describir la relacion entre la salida de un circuito logico(la decision) y sus entradas(las condiciones), ademas utilizar la simplificacion de circuitos logicos combinatorios para las diferentes tecnicas de analisis, sintesis y documentacion.

Constantes y Variables BooleanasUna variable booleana es una cantidad que puede, en determinadas ocasiones, ser igual a 0 o a 1.Las variables booleanas se emplean con frecuencia para representar niveles de voltaje en la entradas y salidas de un circuito.

Ejemplo: 0 0.0 - 0.8 volts1 2.0 – 2.4 volts.

El 0 y el 1 booleanos no representan números, sino que en su lugar representan el estado de una variable o bien lo que se conoce como su “nivel lógico”.

Representación de una función de Booleana

Tabla de Verdad:Una tabla de verdad es una herramienta para describir la forma en que la salida de un circuito logico depende de los niveles logicos presentes en las entradas del circuito. Muestra la forma en que la salida de un circuito lógico responde a las diversas combinaciones de niveles lógicos. Si existen n variables, entonces existe 2n formas de asignarle valores.

Ejemplo:

Unidad I: Fundamentos de los Circuitos Digitales Combinatorios. Elaborado por: Ing. Carlos Ortega

a b a+b

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

a b a·b

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Compuerta AND (Multiplicación booleana)

La lampara encenderá solo si ambos interruptores se cierran o se activan simultáneamente. Si uno de los de los interruptores esta abierto, el circuito se interrumpe y la lampara no se enciende.

Interruptores de entrada

Luz de salida

A B Y

Abierto Abierto Cerrado Cerrado

Abierto Cerrado Abierto Cerrado

Apagado Apagado ApagadoEncendido

Figura 1: Circuito equivalente de una puerta AND

La salida es Verdadera si y solamente si todas las entradas son Verdaderas.

Compuerta OR(Suma booleana)

El esquema nos muestra la idea de la puerta OR, en el cual los interruptores han sido conectados en paralelo. El encendido de la lampara se producirá si se cierra cualquiera de los dos interruptores o ambos.


Representación de la Compuerta OR

La salida es Verdadera si al menos una de las Entradas es Verdadera.

Compuerta NOT(Negación Booleana)

Su función es producir una salida inversa o contraria a su entrada es decir convertir unos a ceros y ceros a unos. Esta operación se indica con una barra sobre la variable o por medio de un apóstrofe en el lado superior derecho de la variable. B=A'

Ejemplo de Aplicación


Ejemplo: Determine la expresion de Salida (Expresion Logica).

Representación de una función Booleana

Formas Algebraicas

SOP (Suma de Productos): se construye al sumar (or) términos productos (and).Ejm.:

POS (Producto de Sumas): se construye con el producto (and) de términos suma (or).Ejm.:


Representación de una función de Conmutación

Formas Canónicas: Son formas SOP y POS con características especiales. Existe una única forma canónica para cada función de conmutación.

Mintérmino: es un término producto (and) para una función de n variables, en donde cada una aparece bien sea complementada o sin complementar.

Ejm:

Maxtérmino: es un término suma (or) para una función de n variables, en donde cada una aparece bien sea complementada o sin complementar.

Ejm:

Relación con la tabla de verdad y SOP :

Cada mintérmino esta asociado con la línea de la tabla, tal que:

Las variables que tienen 1 no están complementadas Las variable que tienen 0 aparecen complementadas

Relación con la tabla de verdad y POS:

Cada maxtérmino esta asociado con la línea de la tabla, tal que:

Las variables que tienen 0 no están complementadas Las variable que tienen 1 aparecen complementadas


Otras Compuertas lógicas (NAND,NOR, EXOR.NEXOR)

NOR NAND

Ex: Encuentre la expresión de Salida del Ckto.


EXOR EXNOR

Simbología Alternativa de las Compuertas Lógicas

Interpretación de Estados de un símbolo Digital


Analisis de Cktos Combinatorios

A partir de una Tabla de Verdad.

Dependiendo de la representacion que usemos: Suma de Productos o Productos de Suma obtendremos la expresion logica de Salida.

X1 X0 Y1 Y0 Z(Salida)

0 0 0 0 1

0 0 0 1 0

0 0 1 0 0

0 0 1 1 0

0 1 0 0 0

0 1 0 1 1

0 1 1 0 0

0 1 1 1 0

1 0 0 0 0

1 0 0 1 0

1 0 1 0 1

1 0 1 1 0

1 1 0 0 0

1 1 0 1 0

1 1 1 0 0

1 1 1 1 1

La Salida o expresion logica de la tabla de verdad usando SOP daria:

La Salida o expresión lógica de la tabla de verdad usando POS daria:

1. Dibuje la tabla de verdad para cada una de las siguientes funciones: _ _ _ _ _ _

1.F=ABC+ABD+A+B+CD_ _ _

2.F=XY+XZ+XYZ_ _ _

3.F=(X+Y)(X+Z)(X+Z)_ _ _ _ _ _

4.F=AB(C+D)+ABC+CD_ _

5.F = ( X+ Y + Z ) ( Y + Z )


A partir de una Expresion Booleana

y= AC + B C + A BC

Algebra de Boole

Teoremas de Boole

Son reglas booleanas que pueden ayudarnos a simplificar las expresiones logicas y los circuitos logicos. Los teoremas booleanos se explican con la gráfica a continuación.

(9) x+y = y+x(10) x·y = y·x(11) x + (y + z) = (x + y) + z = x + y + z(12) x(yz) = (xy)z = xyz(13) x(y + z) = xy + xz(14) (w + x) (y + z) = wy + xy + wz + xz(15) x + xy = x + y(16) x + x y= x + y

(17) x + xy = x + y


Simplifique las siguientes Expresiones:

1) y= A B D+ A B D

Factorice las variables comunes AB mediante el uso del teorema 13

y=A B (D+ D)

Si utilizamos el teorema 8 el termino entre parentesis es equivalente a 1. Asi.

y= A B⋅1

Utilizando el teorema 2 y= A B

2) z=( A+ B)(A+B)

Expandimos la expresion multiplicando los terminos (teorema 13b)

Aplicando teorema 3 y 4

Si factorizamos la variable B tenemos que:

Aplicando teorema 2 y 6

3)

Factorizamos las variables comunes CD tenemos que:

Utilizando el teorema 16

EX: Simplifique las siguientes expresiones


Teoremas de DeMorgan

Dos de los teoremas mas importantes del algebra booleana fueron aportados por un gran matematico de apellido DeMorgan. Los teoremas son extremadamente utiles para simplificar expresiones en las cuales se invierte un producto o las sumas de variables.

16)17) (x⋅y )= x+ y

Ex: 1)

2)

z =( A+ C )+(B+ D )

3)

Realice los siguientes ejercicios : y

Universalidad de las Compuertas NAND y NOR

NAND


NOR

Ex:


Familia TTL y CMOS

Tecnología TTL: Lógica de Transistor a Transistor. Esta tecnología, hace uso de resistencias, diodos y transistores bipolares para obtener funciones lógicas estándar.

Tecnología CMOS: Lógica MOS Complementaria. Esta tecnología, hace uso básicamente detransistores de efecto de campo NMOS Y PMOS.

En la familia lógica MOS Complementaria, CMOS (Complementary Metal-Oxide Semiconductor), el término complementario se refiere a la utilización de dos tipos de transistores en el circuito de salida, en una configuración similar a la tótem-pole de la familia TTL. Se usan conjuntamente MOSFET (MOS Field-Effect transistor, transistor de efecto campo MOS) de canal n (NMOS) y de canal p (PMOS ) en el mismo circuito, para obtener varias ventajas sobre las familias P-MOS y N-MOS. La tecnología CMOS es ahora la dominante debido a que es más rápida y consume aún menos potencia que las otras familias MOS. Estas ventajas son opacadas un poco por la elevada complejidad del proceso de fabricación del CI y una menor densidad de integración. De este modo, los CMOS todavía no pueden competir con MOS en aplicaciones que requieren lo último en LSI.

Características de ambas familias

Fan Out (Cargabilidad de salida): Es el máximo número de cargas que pueden ser gobernadas en la salida de la compuerta sin alterar su operación normal.

Fan In (Cargabilidad de entrada): Es el máximo número de entradas que puede tener una compuerta.

Margen de ruido: Es el límite de tensión de ruido admisible a la entrada del elemento lógico, sin registrar cambios en el estado de la salida. Existen dos márgenes de un ruido, uno para el estado lógico uno y otro para el estado lógico cero.

Tiempo de programación medio (tpd): Es el tiempo de retardo promedio en la transición de una señal de la entrada a la salida en los casos que esta pasa del estado 1 a 0 y viceversa.

Potencia disipada: Es la potencia consumida por la compuerta. La disipación de potencia en función de la frecuencia de una compuerta TTL es constante dentro del rango de operación. En cambio, la compuerta CMOS depende de al frecuencia


Producto potencia dispada-tiempo de propagación: Es el producto de los dos tipos de características mencionadas.

La velocidad de la compuerta es inversamente proporcional al retardo de propagación.

Niveles Logicos de Voltaje

TTL

CMOS


Las diferencias más importantes entre ambas familias son:

a) En la fabricación de los circuitos integrados se usan transistores bipolares par el TTL y transistores MOSFET para la tecnología CMOS

b) Los CMOS requieren de mucho menos espacio (área en el CI) debido a lo compacto de lostransistores MOSFET. Además debido a su alta densidad de integración, los CMOS están superando a los CI bipolares en el área de integración a gran escala, en LSI - memorias grandes, CI de calculadora, microprocesadores-, así como VLSI.

c)Los circuitos integrados CMOS es de menor consumo de potencia que los TTL.

d) Los CMOS son más lentos en cuanto a velocidad de operación que los TTL.

e) Los CMOS tienen una mayor inmunidad al ruido que los TTL.

f) Los CMOS presenta un mayor intervalo de voltaje y un factor de carga más elevado que los TTL.

En resumen podemos decir que:TTL: diseñada para una alta velocidad.CMOS: diseñada para un bajo consumo.


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