unidad v algebra lineal

8/16/2019 UNIDAD v Algebra Lineal..

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UNIDAD V: TRANSFORMACIONES LINEALES.

5.1 Introducción a la tran!or"acion# lin#al#.

Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un

vector para convertirlo en otro vector. Los espacios vectoriales son conjuntos con

una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar

por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha

estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales. Más adelante

mostraremos que las transformaciones lineales se pueden representar en trminos

de matrices, y viceversa. !e denomina transformación lineal a toda función cuyo

dominio e ima"en sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones

necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el

ál"ebra lineal y en otras ramas de las matemáticas.

D#!inicion#$ #%#"&lo ' &ro&i#dad# ()ica.

Tran!or"acion# lin#al#.

D#!inición:

!ean # y $ espacios vectoriales reales. Una transformación lineal % de # en $ es

una función que asi"na a cada vector v # un vector &nico %v $ y que satisface,

para cada u y v en # y cada escalar.

%'u ( v) * %u ( %v

+

%'av)*a %v

TRES O*SERVACIONES SO*RE NOTACI+N


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1. !e escribe % v $ para indicar que % toma el espacio vectorial real # y lo lleva al

espacio vectorial real $- esto es, % es una función con # como su dominio y un

subconjunto de $ como su ima"en.

,. !e escriben indistintamente %v y % 'v). enotan lo mismo- las dos se leen /% de

v0. Esto es análo"o a la notación funcional '1), que se lee / de 10. ʄ ʄ

-. 2ran parte de las definiciones y teoremas en este cap3tulo tambin se cumplen

para los espacios vectoriales complejos 'espacios vectoriales en donde los

escalares son n&meros complejos).

D#!inición: !ean '#, (#, 4#) y '$, ($, 4$) dos 56espacios vectoriales. Una

función f # 7 $ se llama una transformación lineal 'u homomorfismo, o

simplemente morfismo) de # en $ si cumple i) f 'v (# v 8) * f 'v) ($ f 'v 8) ∀ v,

v8 ∈ #. ii) f '9 4# v) * 9 4$ f 'v) ∀ 9 ∈ 5, ∀ v ∈ #.

E%#"&lo.

:allar, si es posible, una transformación lineal f ; < 7 ; < que verifique f '=, =) *

'8, =) y f '=, 8) * ').

ado '1=, 1


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D#!inición: !i f # 7 $ es una transformación lineal, entonces f '8#) * 8$. En

efecto, puesto que f'8# ) * f'8# ( 8# ) * f'8# ) ( f'8# ), entonces 8$ * f'8# ) (

'?f'8# )) * D f'8# ) ( f'8# ) ( '?f'8# )) * * f'8# ) ( D f'8# ) ( '?f'8# )) * f'8# ) (

8$ * f'8# )

ro&oición

!ea f # 7 $ una transformación lineal. Entonces =. !i ! es una subespecie de

#, entonces f'!) es una subespecie de $.


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E/EMLOS: 0alla la r#&r##ntación "atricial AT ' #l rano d# latran!or"ación lin#al dada:


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Ejemplo:


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5., N2cl#o # i"a#n d# una tran!or"ación lin#al.

En esta sección se desarrollan al"unas propiedades básicas de las

transformaciones lineales.

T#or#"a 1. !ea % # $ una transformación lineal. Entonces para todos losvectores u, v, v=, v


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Entonces, del inciso iii) del teorema =, %=v * %='O= v= ( O


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Entonces

!ur"e otra pre"unta- si G=,G


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Vbservación . K&cleo e ima"en de la transformación cero!ea %v * 8 para todo v #'% es la transformación cero).ϵ Entonces un % * v e m %

* F8I.

Ejemplo W K&cleo e ima"en de la transformación identidad

!ea %v * v para v #'% es la transformación identidad).ϵ Entonces un %* F8I e m %

* #.

Las transformaciones cero e identidad proporcionan dos e1tremos. En la primera

todo se encuentra en el n&cleo. En la se"unda sólo el vector cero se encuentra en

el n&cleo. Los casos intermedios son más interesantes.


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E%#"&lo 5 N2cl#o # i"a#n d# un orador d# &ro'#cción

!ea % ;> ;> definida por

% es el operador de proyección de ;> en el plano 1y.

Entonces 1 * y * 8. Bs3, nu % * F'1,y,z)1 * y * 8, z ;I, es decir, el eje z, e m % *ϵ

F'1,y,z) z * 8I, es decir el plano 1y. Vbserve que dim un % * = y dim m % *


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5.- La "atri d# una tran!or"ación lin#al.

!i B es una matriz de mZn y % ;n6;m está definida por %1 * B1, entonces, % es una

transformación lineal. Bhora se verá que para toda transformación lineal de ;n en

;m

e1iste una matriz B de mZn tal que %1 * B1 para todo 1 ϵ ;n

. Este hecho es de

"ran utilidad. !i %1 * B1. Entonces un % * K B e m % * ; B. más aun, v'%) * dim un %

* v'B) y p'%) * dim m % * p'B). Bs3 se puede determinar el n&cleo, la ima"en, la

nulidad y el ran"o de una transformación lineal de ;n6;m determinando el espacio

nulo y la ima"en de la matriz correspondiente. Bdicionalmente, una vez que se

sabe que %1 * B1. !e puede evaluar %1 para cualquier 1 en ;n mediante una

simple multiplicación de matrices.

Cero esto no es todo. Tomo se verá, cualquier transformación lineal entre

espacios vectoriales de dimensión finita se puede representar mediante una

matriz.

%eorema =

!ea %;n 6;m una transformación lineal. E1iste entonces una matriz &nica de mZn,

B% tal que

emostración

!ea G= * %e=,G


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Entonces

e esta forma, B%ei * Gi para i * =,


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%EV;EMB < sea B% la matriz de transformación correspondiente a la

transformación lineal %. entonces.

i)m % * m B * T B%

ii)C'%) * p'B%)

iii)Un % * K B%

iv) v '%) * v 'B%

Ejemplo = ;epresentación matricial de una transformación de proyección

Encuentre la matriz de transformación B% correspondiente a la proyección de un

vector en ;> sobre el plano 1y.

!olución

%eorema W

!ean # y $ espacios vectoriales de dimensión finita con dim # * n. sea % #6$

una transformación lineal y sea B% una representación matricial de % respecto a las

bases Q= en # y Q< en $. entonces

i. p'%) *p'B%) ii. #'B) * v'B%) iii. #'a) ( p'%) * n


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e manera similar, una e1pansión a lo lar"o del eje y es una transformación lineal

que multiplica la coordenada y de todo vector en ;


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2raficar un conjunto de puntos en otro es lo que se conoce como transformación

lineal de un conjunto de puntos. E1isten ciertas propiedades básicas de las

transformaciones lineales, las cuales si son tomadas en cuenta y aplicadas al

momento de resolver un problema, pueden reducirlo un problema simple. La

notación "eneral utilizada para una transformación lineal es % ;n ◊ ;m.

1. R#!l#6ión: Tuando un conjunto de puntos dados es "raficado desde el espacio

euclidiano de entrada a otro de manera tal que este es isomtrico al espacio

euclidiano de entrada, llamamos a la operación realizada la refle1ión del conjunto

de puntos dado. Esto puede realizarse tambin con respecto a la matriz, en tal

situación la matriz de salida es llamada la matriz de refle1ión. La refle1ión es

realizada siempre con respecto a uno de los ejes, sea el eje 1 o el eje y. Esto escomo producir la ima"en espejo de la matriz actual.

,. E6&anión: Bl i"ual que en la refle1ión, tambin es posible e1pandir los puntos

dados en una dirección particular. La e1pansión se realiza habitualmente para un

cierto "rado. Es como realizar una operación de multiplicación de los elementos

del conjunto de puntos dados con un trmino escalar hacia la dirección donde

tiene que ser e1pandido. !ea para un punto ') si el "rado de e1pansión < es la

dirección de y, entonces el nuevo punto obtenido es '


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Tomo ejemplo, dirijámonos a producir la matriz estándar para la representación de

la transformación lineal reflejando un conjunto de puntos en el plano 16y a travs

de la recta y * '?).

El primer paso para esto es determinar los vectores base.

Cor lo tanto, podemos afirmar que,

ado que y pertenece a ;


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Esto produce,

e manera similar, la ima"en del vector base resulta ser

+ tenemos la matriz de transformación lineal final como,

ZQiblio"raf3a.

67ro"an$ Stanl#' I. ' Flor# 7odo'$ /o# /o(. Bl"ebra Lineal, !ptima

Edición, Tiudad de M1ico Mc2raG :ill,

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