algebra 5° 2 b

01 02COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to. Año Secundaria ÁLGEBRA 5to. Año Secundaria

Práctica N° 1:

I) OBJETIVOS ESPECÍFICOS: Expresa un polinomio como una

multiplicación indicada de factores primos.

Identifica un factor primo sobre un determinado campo numérico.

Comprende que la factorización es el proceso contrario a la multiplicación

II) COMENTARIO PREVIO:Desde tiempos muy lejanos en todo argumento matemático estuvo presente siempre, la teoría de números los cuales se apoyan en la parte algebraica, como una necesidad para facilitar la resolución de las ecuaciones polinómicas surgen los diversos procedimientos de transformación de polinomios a los cuales se les denomina FACTORIZACIÓN, en el cual se busca expresar un polinomio como una multiplicación indicada de otros polinomios de menor grado.

Recordemos que en la multiplicación algebraica se aplica la propiedad distributiva, de la siguiente manera.

Por medio de la factorización podremos restituir los factores de una expresión que se obtuvo de la ejecución de una multiplicación, veamos:

De lo expuesto concluimos que la factorización es el procedimiento

recíproco al establecido por la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición y/o sustracción. Con la finalidad de ser más objetivos observa la siguiente ilustración:

x (x + y + z) = x2 + xy + xz

En este capítulo desarrollamos el tema con algunos conceptos de los números reales, polinomio irreductible, factor primo, así como los criterios para poder factorizar polinomios sobre determinados conjuntos numéricos

III. CONTENIDO TEÓRICO

DEFINICION:Es el proceso de transformaciones sucesivas de un polinomio en una multiplicación indicada de polinomios primos, denominados Factores primos, dentro de un conjunto numérico.

FACTOR PRIMO:Es la mínima expresión algebraica en la que sus elementos se encuentran ligados por las diferentes operaciones aritméticas, excepto la adición y sustracción.

Ejemplo:

a) Factorizando en el conjunto Q.

Existen 2 factores primos en Q

b) Factorizando en el conjunto R

f(x) = (x2 + 7) (x2 – 7)

Existen 3 factores primos en R

c) Factorizando en C, tendremos:

f(x) = [x2 – ( i)2 ] (x+ ) (x – )

Existen 4 factores primos en C

OBSERVACIONES:

Generalmente el conjunto numérico a utilizarse será el de los racionales, salvo se indique lo contrario.

NÚMERO DE FACTORES PRIMOS

El número de factores primos depende del conjunto numérico en el que se trabaje. En los racionales el número de factores primos se calcula contando los factores de la base.

Ejemplos:

a) F(x) = (x + 1) (x2–x+1) Tiene 2 factores primos

b) P(x) = (x–1)2 (x+2) (x+2) (x–5)3 P(x) Tiene 3 factores primos

NÚMERO DE FACTORES DE UN POLINOMIO

Dado el polinomio “P”, el cual luego de ser factorizado totalmente se expresa así:

Siendo A, B y C sus factores primos; el número de factores del polinomio P, se calcula de la manera siguiente:

Ejemplo: Sea P(x)= (x–1)2 (x+2) (x–5)3

N° factores = (2+1) (1+1)(3+1)

NÚMERO DE FACTORES COMPUESTOS:Los Factores compuestos resultan de la combinación de los Factores primos:

Ejemplo:

P(x, y) = x2y, tienen los siguientes, factores:

Por lo tanto:

x2y: tiene 6 factores y 3 factores compuestos.

Cálculo de manera directa: P(x, y) = x2yN° factores = (2+1)(1+1) = 6

N° Fact. compuesto = 6 – 2 – 1= 3

FACTORES ALGEBRAICOS

Se denomina así, aquel que por lo menos tiene, o presenta una variable.

Ejemplos Explicativos:

01. F(x) = (x + 1)2 (x – 4)3.

S5AL32B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5AL32B “El nuevo símbolo de una buena educación...."

FACTORIFACTORI


Hallar el número de Factores algebraicos

Resolución:

* Número de factores = (2+1) (3+1) =

12

* Número de factores Algebraicos = 12 – 1 = 11

P(x) =

Por lo tanto colocamos los factores primos del 6, de la siguiente manera:

Luego:Nº de Fact. totales = (1+1)(1+1) (1+1) (2+1) =

Factores Primos del N° 6 : 2; 3N° de Divisores del 6 = (1+1) (1+1) = 4Por lo tanto:

N°Fact. Algebraicos = N° Fact totales - N° Divisores del número 6

Reemplazando:

N° Fact Algebraicos = 24 - 4

MÉTODOS DE LA FACTORIZACION:

A) FACTOR COMÚN MONOMIO Y/O POLINOMIO

Se utiliza cuando todos los términos del polinomio tienen un factor que le es común. El factor común puede ser un monomio o un polinomio.

Ejemplo:

Factorizar:

Factorizar:

P(x, y, z) = (x – y + z) a + (y – x – z) b

P(x, y, z) = (x – y + z) a – (x – y + z) b

P (x, y, z) =

B) MÉTODO DE AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS.Consiste en agrupar los términos del polinomio por binomios, trinomios, que luego de descomponerlos a su vez en dos factores, aparece algún factor común a todas las agrupaciones realizadas.

Ejemplos explicativos:

1) Factorizar:

F (a, b, c)= abc + ab + ac + bc + a + b + c + 1

Res olución :Agrupando en la forma indicada.

F = ab (c + 1) + a(c + 1) + b(c + 1) + (c + 1)

F = (c + 1) [a(b + 1) + (b + 1)]

Del corchete se extrae el factor común (b + 1):

2) Factorizar:

Res olución:

Agrupando convenientemente:

A(x, y)=x6 (x+y)+ x4 y2 (x+y)+ x2 y4

(x+y)+y6 (x+y)

Extrayendo Factor común:

A(x, y)=(x + y) ( )

A(x, y)=(x + y) [x4 (x2 + y2)+ y4 (x2 + y2)]

Extrayendo el Factor común: (x2 + y2) dentro del corchete.

Obsérvese que:Existen 3 factores primos: (x+y), (x2

+ 42) y (x4

+ y4)Presenta 1 Factor Lineal: (x + y)Presenta 1 Factor cuadrático: (x2 + y2)

C) MÉTODO DE LAS EQUIVALENCIASConsiste en aplicar las equivalencias o productos notables de manera directa o inversa, es decir, del producto pasar a los factores. Veamos algunos Ejemplos explicativos:

1. Factorizar

N = x6 – x4 + 2x2 – 1Res olución

Agrupando los tres últimos términos y extrayendo el signo (–).

N = x6 – ( )

N=x6 – ...... Diferencia de

cuadrados

2. Factorizar: P(a,b,c,d) =

Solución: P(a,b,c,d)=

P(a,b,c,d)= Diferencia

de cuadrados .

D) MÉTODO DEL ASPA SIMPLESe utiliza para factorizar polinomios que adoptan la siguiente forma general:

El método consiste en descomponer los términos extremos, de tal manera que al multiplicar en aspa y sumar los resultados y nos produzca el término central, siendo los factores las sumas horizontales.

Ejemplo Explicativos:

1. Factorizar: 8x2 – 22x + 15

Res olución

8x2 – 22x + 154x – 5 = – 10x +

2x – 3 = – 12x

– 22x

Los factores son: (4x - 5) (2x - 3)



2. Factorizar: abx2 + (a2 + b2)x + ab

Res olución :

abx2 + (a2 + b2)x + ab ax +b = b2 x

+

bx +a = a2 x

x(a2 + b2)

Los factores son: (ax + b) (bx + a)

E) MÉTODO DEL ASPA DOBLESe emplea para factorizar polinomios que tiene la sgte. forma general

Pasos:

1° Se trazan 2 aspas simples entre los

términos:

(Ax2 Cy2), admás (Cy2 F)

2° Si faltaran términos se completarán con ceros

3° Se traza un aspa simple de comprobación entre los extremos

5° Se forman factores como el método anterior (horizontalmente)

Ejemplos explicativos:

1) Factorizar:

A(x, y) = 3x2 + 4xy + y2 + 4x + 2y + 1

Resolución:

Comprobaciones:

(I) : (3x) y + x (y) = 4xy(II) : y (1) + y (1) = 2y(III) : 3x (1) + x (1) = 4x

Finalmente:

(3x + y + 1) (x + y + 1)

F. MÉTODO DEL ASPA DOBLE ESPECIAL:Se utiliza para factorizar polinomios de 4to. grado de la forma general.

Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E

Pasos:

1° Se aplica un aspa simple en los términos extremos: (Ax4 E)

2° El resultado se resta del término central: Cx2

3° Expresar las diferencias en dos factores y colocarlos debajo del término central.

4° Luego se aplican dos aspas simples, y se toman horizontalmente.

Ejemplos explicativos

1) Factorizar: A(x) = x4 + 5x3 + 9x2 + 11x + 6

Res olución :

Se observa que:

(I) (2) (x2 + x2(3) = 5x2. Luego: 9x2

(término central) – 5x2 = 4x2. se descompone 4x2 en 2 factores: (4x) (x)

(II) x2(4x) + x2(x) = 5x3

(III) 4x(2) + x(3) = 11x

Finalmente:

A(x) = (x2 + 4x + 3) (x2 + x + 2)

G. CRITERIO DE LOS DIVISORES

BINOMIOS:

Se utiliza para factorizar polinomios de cualquier grado y de una sola variable que aceptan factores binomios de la forma (ax b).

Cero de un Polinomio : Es el valor o conjunto de valores que tienen la propiedad de anular (valor numérico cero) a determinado polinomio.

Ejemplo:Sea: F(x) = x3 + 3x – 4

Para x = 1 F(1) = 13 + 3(1) – 4 = 0

1 será un “cero” de F

REGLA PARA CALCULAR LOS POSIBLES CEROS DE UN POLINOMIO:

Posibles ceros =

Ejemplos explicativos

1. Factorizar: P(x) = x3 – 11x2 + 31x – 21

Res olución :

P.C. = 1, 3, 7, 21

Para x = 1, se anula, luego tendrá un factor (x – 1) determinando el otro factor por la Regla de Ruffini.

P(x) = (x – 1) (x2 – 10x + 21)

P(x) = (x – 1) (x – 7) (x – 3)

2. Factorizar: Q(x) = x3 – x – 6

Res olución :

P.C. = 1 , 3 , 6

Para x = 2, se anula, entonces tendrá un factor (x – 2). Luego por la Regla de Ruffini

Q (x) = (x – 2) (x2 + 2x +3)



PRÁCTICA DE CLASE

01. Factorizar. M(a; b) = a2 - 4 + 2ab + b2 e indicar un factor primo.

a) a + b + 2 b) b – 2 c) a + b – 4 d) a + 2 e) b + 2

02. Señalar un factor primo, luego de factorizar:P(x) = x2

+ (b + c + 2d)x + d2 + (b + c)d + bc

a) x + b + d b) x + 2d c) x + d + b + cd) x + c e) x – 2c

03. Señalar un factor primo de:

H(x) = (2x2 + x - 1)2 - (x2 - 3x - 5)2

a) 3x2 + 2x – 6 b) (x – 2)2 c) 3x2 – 2x –

6d) (x + 2)2 e) x – 2c

04. Factorizar:P (a; b; c) = a (b – c)2 + b(c – a)2 + c (a –

b)2 + 8 abc

a) (a2 + b2 + c2) (a + b + c)b) (ab + ac + bc) (a + b + c)c) (a + b ) (b + c) (c + a)d) (a – b) (b – c) (c – a)e) (ab + ac + bc) (a – b + c)

05. Indicar el factor primo cuadrático de mayor suma de coeficientes, después de factorizar:

M ( x) = x4 + 4x2 + 16

a) x2 + x – 2 b) x2 +2 x – 4 c) x2 + x – 8 d) x3 + 8 e) x2 + 2x + 4

06. ¿Cuántos divisores primos posee:T (a; b) = (a2 + b2 – 6ab)2 – 4ab (a + b)2 ?

a) 2 b) 5 c) 4

d) 3 e) 6

07. Indicar el número de factores irreductibles de:

P(x; y; z)=x4 y2 z7 + x y2 z7 + 3x2 y2 z7 + 3x3 y2 z7

a) 4 b) 3 z7 c) 2d) 5 e) 1

08. Indicar un factor primo de:P(x; y; z) = [(x - y + z) (x - y - z) + 1]2 -

4(x - y)2

a) x + y + z + 1 b) x – y + z + 1c) x – y + z d) x – y + z + 2e) z + y – z + 2

09. ¿Cuál de las siguientes expresiones no es término de un factor primo de:

F (x; y) = 1 + 2x2 - (6x2y2 + 4x3y + y4 + 4xy3)

a) – x2 b) 2xy c) y2

d) 2x2 e) –y2

10. Obtener la suma de coeficientes de un factor primo del polinomio.

H (x) = x3 – x2 – 17x + 33

a) –3 b) –6 c) –7 d) –5 e) –8

11. Factorizar:M (z) = z2 (z8 + 1) + z6 + (z2 - 1) ( 1 + z2

+ z4)

y dar como respuesta el número de factores primos

a) 2 b) 4 c) 5d) 3 e) 6

12. Señalar el factor primo cuadrático de mayor suma de coeficientes en:

P (x) = x4 - 4x3 + 11x2 - 14x + 10

a) x2 + 3x + 2 b) x2 - 2x + 5 c) x2 - 4x - 2d) x2 + 4x + 2 e) x2 - 2x + 2

13. Hallar la suma de coeficientes de un factor primo de:

P(x) = (1 + x2) (1 – x2)2 + (x – x2)2

a) 2 b) 4 c) 1d) 5 e) 3

14. Factorizar e indicar el factor primo cúbico de:

P (x) = x5 - x4 + 2x2 - 2x + 1

a) x3 + x + 1 b) x3 + x2 + 1c) x3 + x + x2 – 1 d) x3 – x + 1e) x3 – x2 + 1

15. Del polinomioP (a; b) = a4 + 5bc2 – a2b – a2c2 – 2b2 – 2c4

Decir si es verdadero o falso con respecto a las proposiciones siguientes:

I. Tiene 3 factores primosII. Tiene 2 factores primos cuadráticosIII. La mayor suma de coeficientes de un

factor primo es 2 -2c2 ; 0 < c < 1.

a) VVV b) VFF c) FVFd) FVV e) VVF

16. FactorizarF(a;b;c)=(a+ b+ c)2+(a+ b- c)2+4c(a+ b)+5(a+ b+ c)+ 2 E indicar el factor primo de mayor término independiente.

a) 2a + 2b + 2c + 1 b) a + b + c – 2 c) 2a + 2b + c – 1 d) a + b + c + 2e) 2a + 2b + 2c – 1

17. Factorizar y obtener la suma de factores primos del polinomio.

P (x; y) = (x + 2y)2 – 2xy (3x – 4xy + 6y)

a) x2 + 4y2 b) 2x2 + 2xy + 8y2

c) x2 – 4y2 d) 2x + 4y – 6xye) 2x2 – 2xy + 8y2

18. Factorizar y dar como respuesta la suma de coeficientes de un factor primo de:

P (x; y) = 6x2n – 4y2n + 7 + 5xnyn +3yn – 17xn

a) 0 b) 2 c) 12d) 1 e) 6

19. Con respecto al polinomio:P(a;b;c) = b3 (a – c2) +c3 (b – a2) + a3 (c – b2)+

abc (abc – 1)

Señalar el valor de verdad o falsedad de cada una de las proposiciones siguientes:

I. Un factor primo es a2 – b II. Un factor primo es a2 + bIII. a – c2 no es un factor primo

a) VVF b) VFV c) VFFd) VVV e) FFF

20. Mencionar un factor primo del polinomio:

a) b) c)

d) e)

PROBLEMAS PROPUESTOS

01. Con respecto al polinomio:a (x – 1) – b (1 – x) + cx – c.

Señale verdadero o falso:I) a + b + c es un factorII) x + 1 es un factorIII) solo tiene 2 factores primos

a) VVF b) VFV c) FVVd) FFF e) VVV

02.Al descomponer en dos factores la expresión:(a – 5) (a – 6) (a – 7) + (a – 5) (a – 6) – (a – 5)



El resultado del producto de los valores absolutos de los términos no literales es:

a) 157 b) 165 c) 156d) 175 e) 105

03.Factorizar: (n2 + n - 1)2 + (2n + 1)2, e indicar la suma de los términos independientes de sus factores primos.

a) 3 b) – 1 c) 4d) 2 e) – 2

04.Factorizar:(a – b)2 (x – y)2 + 2ab(x – y)2 + 2xy (a2 + b2)Indicando la suma de sus factores primos:

a) a2 + b2 + x2 + y2 b) a2 + 2b + 2x2

+ y2

c) 2a2 + b2 + x2 + 3y2 d) a2 + b2 + 3x2

+ y3

e) a2 + b2 + x3 + 3y2

05.Factorizar:a4 – a3 – 7a2 + a + 6, indicando uno de sus factores:

a) a + 3 b) a – 2 c) a + 1d) a2 + 1 e) a2 + 2

06.¿Cuál no es un factor de (1 + mx)2 – (m + x)2

a) 1 + m b) 1 + x c) 1 – xd) 1 – m e) m + x

07.El polinomio: 3x3 – 21x + 18, al factorizar tiene la forma: a(x –b) (x – c) (x – d), donde b < c < d. Calcular: a – b + c – d

a) 7 b) – 7 c) 9d) 5 e) 6

08.El número de factores primos de:

x3y2 + y3z2 – x3z2 – y5, es:

a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 1

09.Hallar el número de factores primos de:

64a7b – ab7

a) 3 b) 4 c) 6d) 5 e) 7

10.Indicar el término independiente de uno de los factores primos del trinomio.

P(x, y) (x + y + 3)2 + 7x + 7y + 31

a) 2 b) 7 c) 8d) 3 e) 39

11.Reconocer un factor del polinomio:

6a2 – 11ab + 4b2 – 8a + 14b – 8

a) 3a + 4b – 2 b) 3a – 2b + 4c) 2a – 2b + 1 d) 2a + 4b – 1e) 3a – 4b + 2

12.Un factor de: a(a – 1) + a3 – 1 es:

a) 1 – 2a b) a + 1 c) a + 2d) a - 2 e) a

13.Dar la suma de los factores primos de:P(x) = x4 – 5x2 + 4

a) x2 + 2 b) x2 + 5x c) 4xd) 3x + 7 e) N.a.

14.Luego de factorizar: R(x) = x3 + x2 + x + 1Se obtiene un factor de la suma (ax2 + b)Halle Ud. “a + b”

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

15.Hallar la suma de los factores primos de:x3 + (a + b + c)x2 + (ab + ac + bc) x + abc

a) x + a + 2b + c b) 2x + 2a + 2bc) 3x + a + b + c d) 2x + 2ª + 2b + 2ce) x + 3a + 2b + c

16.Si (x + 1) es un factor de x2 + cx – 2 y (2x – 1) es un factor de dx2 + 5x – 4, entonces el valor de d/c es:

a) 1/2 b) 4 c) –1/2

d) – 6 e) 6

17.Factorizar en “Ζ” al polinomio:P(x) = x6 + 4x5 – 21 x4 – 20x2 – 4

a) (x3 + 7x2 – 2) (x3 – 3x2 + 2)b) (x4 + 2) (x3 – 3x – 2)c) (x3 + 7x – 2) (x3 – x – 2)d) (x3 + 7x2 + 2) (x4 – 2)e) (x3 + 7x2 + 2) (x3 – 3x2 – 2)

18.El coeficiente de un término lineal de uno de los factores primos de:

P(x) = x4 + 2x3 + 5x + 2 es:

a) 2 b) – 2 c) 1d) – 1 e) – 3

TAREA DOMICILIARIA

01. Indicar un factor de:S(x) = (1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 )2 - x5

a) x4 + x3 + x2 + x + 1 b) x9 + 1x5 + 1d) x3 + x2 + x + 1 e) x4 + 1

02. Si x2 - 5x + 6 es un factor de:P(x)=x4

– 9x2+x+mx+n, hallar el valor de n / m

a) 1 b) – 3 c) 10d) –5 e) 3

03. Siendo b + 1 y a – 1 cuadrados perfectos, factorizar

M(x)=x6–(a+b+1)x4+(ab+2a–1)x2– a+b–ab+1y señale aquél que no es un factor de M(x).

a) b)

d) x2 – 1 e) x2 + 1 – a

04. Con respecto al polinomio

P(z) = z6 – 9z4 + 16z3 – 9z2 +1Indicar el valor de verdad de cada una de las proposiciones:

I. Un factor primo es z2 + 4z + 1II. Un factor algebraico es (z - 1)3

III. Tiene sólo 2 factores primos mónicos

a) VVV b) FVF c) VVFd) VFV e) FFF

05. Indicar aquel polinomio que no es factor de:Q(x;y) = x3 + 2x2y – 4xy2 – 8y3 – x + 2y

a) x – 2y b) x + 2y + 1c) x – 1 + 2y d) x + 2ye) x2 – 1 + 4y (x + y)

06. Luego de factorizar:P(x) = x5 + x4 + x2 + x + 2

Indique el valor de verdad o falsedad de cada una de las proposiciones:I. Un factor primo es x3 + x + 1II. Un factor primo es x2 - x + 1III. La suma de coeficientes de un factor

primo mónico es 1.

a) VVV b) VFV c) FFVd) VFF e) VFF

07. Señalar un factor de:

P(x) = 6x5 + 41x4 + 97x3 + 97x2 + 41x + 6

a) x – 1 b) x – 2 c) 2x – 1d) 3x2 – 7x + 2 e) 3x + 1

08. Luego de factorizar

S(x; y; z) = (3x + y - 5z)5+(2z - y - 2x)5 + (3z – x)5

Indique el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:I. Un factor primo es 2x + y – 2z II. La suma de 2 factores primos es 2x + y 2zIII. Un factor primo es 3x + y + 5z

a) VVV b) VVF c) VFVd) VFF e) FVF

09. Indicar el valor de verdad con respecto al polinomio:

P(x) = x(x 1) (x + 2) (x 3) + 8



I. Tiene 2 ceros racionales.II. Tiene 3 factores primos mónicos.III. Tiene 2 factores cuadráticos.

a) VVV b) VVF c) VFV d) VFF e) FVF

10. Luego de factorizar:

P(x) = (2x + 1)7 + 4x(x + 1) + 2

Indicar un factor primo cuadrático.

a) 4x2 + x + 1 b) x2 5x + 1c) 4x2 +x+3 d) 2x2 + x + 12e) 4x2 + 6x + 3

Práctica N° 2:

OBJETIVOS ESPECIFICOS:

Conoce una nueva operación matemática.

Determina el factorial de un número natural.

Resuelve ejercicios referidos a factoriales haciendo uso de las propiedades estudiadas.

COMENTARIO PREVIO:

El presente módulo comprende el estudio de una nueva operación matemática denominada factorial, el cual se refiere a determinar el resultado del producto de los números naturales consecutivos desde el 1 hasta el número indicado. Pero ¿Para que nos va a servir esta nueva operación matemática? Pues bien esta operación se va a utilizar como un apoyo en la potenciación de polinomios.

CONTENIDO TEÓRICO:

1. Factorial de un número

El factorial de un número natural “n” es el producto de todos los números naturales consecutivos desde 1 hasta “n”.La simbología a utilizar será: n! = n

n! = n= 1 x 2 x 3 x . . . x (n-1) x n

n N n 1

2. Propiedades del factorial de un número.

1. Los factoriales sólo están definidos para los números naturales. Así:

0! ...... 2½ .......

3! ...... (-6)! .......

...... (2/5)! .......

2.El factorial de un número natural puede expresarse en función del factorial de otro número natural menor.

7! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7

7! = 6! x 7

Luego: n! = (n – 1)! . n

De la relación anterior, se concluye:

Para n = 1 1! = 0! x 1 1! = 0! = 1

Observación:Sí n! =1, cabe dos posibilidades

para n:

n = 0 ó n = 1

Asimismo: 7! = 4! x 5 x 6 x 7Luego se concluye:

n! = (n – 3)! . (n – 2) . (n – 1) . n

3.Si: a! = b! a = b

4.En factoriales se debe recordar lo siguiente:


FACTORIAL DEFACTORIAL DE


(a b)! a! b! (a . b)! a! . b! (a/b)! a! / b!

3. Cofactorial o semifactorial

Sea “n” un número entero positivo, el cofactorial o semifactorial de”n” se denota por n!! ó n y se define:

a. Para “n” par:

8!! = 2 x 4 x 6 x 820!! = 2 x 4 x 6 x 8 x … x 18 x 20

b. Para “n” impar:7!! = 1 x 3 x 5 x 719!! = 1 x 3 x 5 x 7 x … x 17 x 19

Luego:

1x3x5x...x n si “n” es impar n!! = n =

2x4x6x...x n si “n” es par.

4. Relación entre el cofactorial y el factorial de un número.

Si el número es par:

(2n)!! = 2n = 2n n

Si el número es impar:

2n(2n-1)!! = 2n – 1 =

2n n

Observaciones:

3! = 6 factorial de 3 3!! = 3 cofactorial de 3

3 !!! No existe definición (3!)! = 6! =720 factorial del factorial de 3 ((3!)!)! = ( 6!)! = 720! 3 !!! (( 3! )!)!

Ejemplo:

Si ;

Calcula: A x B x

C

Resolución:Aplicando las propiedades estudiadas y reduciendo términos tendremos:

A = 64/8 = 8

Luego: A x B x C = 8 x 70 x 1/35 = 16

PRÁCTICA DE CLASE

01. Calcular “x” en:

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) N.a.

02.Se define la operación por:

a) 0 b) 3 c) 2 d) 1 e) N.a.

03. Hallar la suma de los valores de “x” en:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

04. Dada la relación:

a) 11 b) 12 c) 13 d) 10 e) N.a.

05.De las siguientes proposiciones:

I. ; a / a es impar

II. ; a / a es

par

III. a!! x (a - 1)!! = a! ; a

IV. 3!!! = 720!

V. ((3!)!)! = 720!

a) VVVVF b) VVVFF c) FFFFV d) FFVVV e) FFFFF.

06. Calcular “n” en:

2 + 2(2!) + 3(3!) +.... + (n + 3) (n + 3)! = 60!

a) 60 b) 58 c) 56 d) 54 e) 52

07. Calcular el valor de:

a) n! b) (n+1)! c) 1 d)1/n e) n

08.Si:

Encontrar “a + b”

a) 5 b) 3 c) 7 d) 8 e) 4

09. Siendo “n” un número natural, calcule su valor a partir de la siguiente igualdad:

a) 4 b) 3 c) 5 d) 2 e) 6




01. Hallar el equivalente de:

a) 0,01 b) 0,001 c) 0,005 d) 0,05 e) N.a.

02.Calcula el valor de n en:

a) 0 b) 3 c) 2 d) 1 e) N.a.

03. Para qué valor de “n” se cumple: 12n! + 5(n + 1)! = (n + 2)!

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

04. Sí:(x +1)! – x! = 18; el valor de (x + 1)! + x! es:

a) 24 b) 36 c) 30 d) 54 e) 60

05. Reduce:

a) n! b) (n + 2)! c) n! / 2 d) (n + 2)! / 2 e) N.a.

06. Simplifica:

a) 3/2 b) 2/3 c) 2/500 d) 500/3 e) 60

07. Halla “x” en:

1(1!) + 2(2!) + 3(3!) +.... + x(x!) = 19! – 1

a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19

08. En qué cifra termina N?

N = 1! + 2! + 3! + 4! + 5! + ......+ 50!

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

09. Calcula el valor de E:

a) b) c)

d) e) N.a.

10. Halla “n” en:

a) 39 b) 40 c) 41 d) 42 e) N.a.

TAREA DOMICILIARIA

01. Reduce la siguiente expresión:E = 2 x 4 x 6 x 8 x. . .x 2n

a) n! . nn b) (2n) . n! c) 2n . n !

d) 2n e) N.a.

02. Simplifica:

a) 19/12 b) 19!/12! c) 19! d) 12! e) 19! - 12!

03.Simplifica:

a) 50! – 20! b) 80!–40! c) 49! ∕ 19!d) 42! ⁄ 20! e) F.D.

04. Simplifica:

a) 54! b) 54 c) 27!d) 27 e) 53

05. Simplifica:

a) x b) x + 4 c) x + 6d) x + 5 e) x + 3

06.Reduce:

a) x + 4 b) x + 3 c) x + 2d) x + 1 e) x

07.Hallar n Sí: [(n! + 2)! – 4] ! = 20!

08. Sabiendo que:

, el valor de

“x” es :

09. Calcula “n” en:

10. Hallar el equivalente de:E = 2(2!) + 4(2!) + 6(3!) + 8(4!) + ... + 2n(n!)

Práctica N° 3:

OBJETIVOS ESPECIFICOS:

Define, conoce y aplica las propiedades del coeficiente binomial o número combinatorio para su posterior aplicación en la solución de problemas.

COMENTARIO PREVIO:

Newton que no es un matemático puro, sino un físico que aplicaba la matemática a los fenómenos de la naturaleza, su contribución más importante es su método de fluxiones que fue escrito en 1671, pero publicado en 1736, cuya esencia y notación, no es sino una forma de tratar los problemas del actual análisis infinitesimal.

Newton es considerado como una de las brillantes mentes de todos los tiempos, investigador profundo de la filosofía natural, no solo se limita a cuestiones infinitesimales sino a zonas del álgebra en donde uno de sus aportes es generalizar el desarrollo del binomio (x + y)n para exponente no natural cuya aplicación se manifiesta en matemática financiera. En la sesión anterior estudiamos el factorial de un número natural, ahora nos asiste estudiar el coeficiente binomial que se verá reforzado con los conocimientos previos de la sesión anterior.

CONTENIDO TEÓRICO:Coeficiente binomialEsta importante notación conocida como coeficiente binomial, se define de la siguiente manera: Si “n” es un número real y “r” un número natural, la notación

coeficiente binomial denotado por

. Se lee: “coeficiente n, r” y está definida por:


COEFICIENTESCOEFICIENTES


Puede comprobarse que el número de factores que hay en el numerador de ésta relación, coincide con “r”.

Propiedad:

Teorema del coeficiente binomial

El siguiente teorema, permite evaluar

de otra manera: Si “n” es un

entero positivo, “r” es un entero no negativo y 0 r n, se verifica que:

La expresión propuesta es semejante al cálculo del número de combinaciones de “n” objetos tomados de “r” en “r”, por lo que a este coeficiente binomial n, r también se le llama número combinatorio n, r.Una notación equivalente a la ya

establecida es: , Donde “n” recibe

el nombre de la base y “r” el de orden.

Propiedad de los números combinatorios:

1º Los números combinatorios complementarios, son aquellos que tienen igual base y la suma de las órdenes coincide con dicha base.Se verifica que los números combinatorios complementarios son iguales.

Ejemplo:

2º La suma de dos números combinatorios de igual base, cuyas órdenes difieren en una unidad, es igual a otro número combinatorio cuya base es la de los sumandos aumentado en una unidad y cuyo orden es el mayor de los órdenes:

Ejemplo:

3º La suma de todos los números combinatorios de igual índice, cuyos órdenes varían desde cero hasta la propia base, vale 2 elevado a dicha base:

Ejemplo:

4º Degradación de índice: Consiste en descomponer un número

combinatorio en otro que tenga como índice superior e inferior el inmediato anterior. Es decir:

PRÁCTICA DE CLASE

01. Simplificar:

a) 42/13 b) 42/15 c) 42/11d) 42/7 e) N.a.

02. Sumar:

a) –2 b) –22n c) –2n

d) 22n e) N.a.

03. Halle n + p en la ecuación:

a) 52 b) 62 c) 60d) 56 e) N.a.

04. Sí: = 10; Hallar: 2n – 1

a) 5 b) 15 c) 13d) 9 e) 7

05. Sí: = , el valor de “x” es:

a) 4 b) 6 c) 2d) 10 e) 8

06. Simplifica:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

07. Resuelve:

a) 16 b) 18 c) 21d) 19 e) 20

08.

Entonces a . b es igual a:

a) 24 b) 96 c) 216d) 864 e) N.a.

09. Reduce:

a) 1/3 b) 1/5 c) 3/5d) 5/3 e) 1/15

10. ¿Para qué valor de “n”

se cumple:


índice superior

índice inferior


4 = 1331

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14


01. Hallar el valor máximo de (m + n)

en:

a) 30 b) 34 c) 22d) 35 e) N.a.


a) 20 b) 24 c) 22 d) 25 e) 9

03. Si x e y son primos entre sí. Calcula (x + y) en:

a) 13 b) 14 c) 15 d) 25 e) 16.

04. Calcular xy, si se cumple:

a) 15 b) 18 c) 21 d) 20 e) a y d

05. Calcula (x + y) si se cumple:

a) 15 b) 12 c) 13 d) 14 e) 16

06. Efectuar:

a) 105 b) 1081 c) 1010 d) 1201 e) 1000


a) -22/7 b) 7 c) 22 d) 3 e) N.a.

08. Calcula “n” y “p” en la siguiente igualdad:

a) 4; 6 b) 6; 4 c) 8; 10d) 5; 5 e) 3; 6

09. Calcula “x” en:

a) 18 b) 19 c) 20d) 22 e) 21

10. Un valor equivalente a es:

a) b) c)

d) e)

TAREA DOMICILIARIA

01. Sí n! = 720 y Halle la

suma de (n + k) si k es el menor valor.

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

02. Resolver:

a) 1 b) 5 c) 2 d) 3 e) 4

03. Reducir:

04. Reduce: (r n – 1)

a) b) c)

d) e) N.a.

05. Calcula: “n + k” de:

a) 15 b) 8 c) 12d) 9 e) 17

06. Halla el valor de “n” en la siguiente igualdad:

2 = 5

a) 6 b) 8 c) 10d) 12 e) 5

07. Calcula el valor de “x” en:

a) 12 b) 10 c) 8 d) 6 e) 5



Práctica N° 4:

OBJETIVOS ESPECIFICOS:OBJETIVOS ESPECIFICOS:

Desarrolla correctamente la potenciación de un binomio, haciendo uso de los coeficientes binomiales.

Determina el término que ocupa un determinado lugar en el desarrollo de dicha potencia.

Resuelve ejercicios y problemas referidos al binomio de Newton.

COMENTARIO PREVIO:COMENTARIO PREVIO:

El Binomio de Newton recibe el nombre de Isaac Newton (1642 – 1727), que ha sido el más grande los matemáticos ingleses y uno de los mayores científicos de la humanidad.

En este módulo introducimos las combinaciones de “n“ elementos tomados de “r” en “r“ para denotar los coeficientes de los términos del desarrollo del binomio.Estos valores funcionando como coeficientes del desarrollo del binomio, son llamados números combinatorios.

Cabe mencionar que un ilustre peruano Federico Villarreal (1850-1923) nacido en Túcume, Lambayeque quién a la edad de 23 años descubrió el método para elevar ya no solo un binomio sino un polinomio cualquiera a una potencia compleja inclusive, otro matemático peruano Cristóbal de Losada y Puga, le dedico profundos estudios a este descubrimiento e incluso lo llamó “polinomio de Villarreal” donde aquí el binomio de Newton viene a ser un caso particular. n +

CONTENIDO TEÓRICO:CONTENIDO TEÓRICO:

1. POTENCIACIÓN: BINOMIO DE

NEWTON

La potencia de un binomio es un polinomio que se denomina desarrollo binomial o de Newton. Así tenemos:

(x + a)1 = x + a(x + a)2 = x2 + 2xa + a2

(x + a)3 = x3 + 3x2 a + 3xa2 + a3

(x + a)4 = x4 + 4x3 a + 6x2 a2 + 4xa3

+a4

Veamos a continuación el desarrollo de los diversos tipos de exponentes que pueden afectar al binomio.

DESARROLLO DE LA POTENCIA DE UN BINOMIO CON EXPONENTE NATURAL (n IN): BINOMIO DE NEWTON

o también:

Como ; entonces también se

podría expresar haciendo uso de los coeficientes binomiales:

FORMAS PRÁCTICAS DE DEDUCIR el desarrollo del binomio:Veamos los siguientes ejemplos:

MÉTODO “1”

Desarrollar: (x + a)4

Nótese que cualquier coeficiente es igual al producto del coeficiente anterior por el exponente de “x”, dividido entre el exponente de “a” previamente aumentado en 1.

Así: El 3er coeficiente:

El 4to coeficiente:

Generalizando:

METODO “2" .

TRIÁNGULO DE PASCAL

Si distribuimos en línea los coeficientes del desarrollo del binomio para sus potencias consecutivas, toma la forma geométrica de un triángulo de Pascal o de Tartaglia en honor a sus descubridores.Veamos

(x + a)0 1(x + a)1 1 1 (x + a)2 1 2 1(x + a)3 1 3 3 1(x + a)4 1 4 6 4 1(x + a)5 1 5 10 10 5 1(x + a)6 1 6 15 20 15 6 1(x + a)7 1 7 21 35 35 21 7 1

También:1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

En donde un coeficiente cualquiera es igual a la suma de los dos que están encima de él en la fila anterior.

Ejemplo. Halla el desarrollo de (x + y)5

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

Luego:(x+y)5 = x5+5x4y+10x3y2+10x2y3 + 5xy4

+ y5

Además obsérvese estos detalles del triángulo:

4 6

10

Que en realidad comprueban que:

Es un caso particular de:


kknn

k

n

k

n yxyx

0

POTENCIACIÓNPOTENCIACIÓN


Además: 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 25 ó

Son una prueba de que la suma de los coeficientes de la fila n, es igual a 2n. Observación:

Tanto el método (1) como el método (2) son viables o factibles de emplear para potencias con exponentes pequeños, caso contrario habría que emplear la forma general.

Si los términos del binomio están ligados con el signo "", los términos del desarrollo estarán ligados en forma alternada con los signos , .

o también:

Siendo los de lugar: IMPAR positivo lugar: PAR negativo

TÉRMINO GENERAL DEL DESARROLLO DE LA POTENCIA DE UN BINOMIO

Para: (x a)n, se tiene que:

Donde :

(k + 1) lugar que ocupa el término

combinación de “n” elementos

tomados de “k” en “k”

n exponente del binomio

x primer término del binomio

a segundo término del binomio

k lugar del término buscado menos 1

Ejemplo: Halla el séptimo término del desarrollo de:

Resolución:

Tk + 1; entonces k = 6, luego de la fórmula se obtiene:

TÉRMINO GENERAL DEL DESARROLLO DE LA POTENCIA DE UN BINOMIO CONTADO A PARTIR DEL EXTREMO FINAL

Es necesario y suficiente intercambiar simultáneamente las bases y aplicar la fórmula conocida del término general.

Ejemplo:

Calcular el t10 a partir del extremo final de: (x + y)40

Resolución:

Solamente intercambiamos las bases (y + x)40 y aplicamos la fórmula del término general.

Observación:

La suma de los coeficientes de (x + a)n

es:

La suma de los coeficientes de (x – a)n

es cero.

En general la suma de los coeficientes del desarrollo de la potencia de un binomio se obtiene reemplazando a las variables que aparecen en la base por la unidad.

P(x ; a) = (px qa)n P(1;1) = (p q)n

Término central: Tiene el coeficiente de valor máximo. Denominándose así, al término que equidista de los extremos.

Se presentan dos casos:

1. Cuando el exponente es un número par de la forma (x + a)2n existe un único término central y su lugar esta dado por:

2. Cuando el exponente es un número impar, de la forma (x + a)2n + 1, existen dos términos equidistantes de los extremos y sus lugares están dados por:

1er. término:

2do. término: n + 1 + 1 = n + 2

2. DESARROLLO DE LA POTENCIA DE UN BINOMIO CON EXPONENTE NEGATIVO Y/O FRACCIONARIO.

En la primera parte del módulo se estudió el Teorema del binomio cuando el exponente es un número entero y positivo cualquiera, ahora se trata de hallar la fórmula para exponente negativo y/o fraccionario.

Su desarrollo admite infinitos términos pudiéndosele llamar Serie binomial.

Ejemplo:Hállese los tres primeros términos de la

expansión de:

Resolución:De acuerdo con lo expuesto en la teoría se deberá plantear:

Y según las propiedades antes vistas, se tendrá:

Finalmente efectuando las operaciones indicadas conseguimos:



PROPIEDADES DEL DESARROLLO DEL BINOMIO:

1. El número de términos es infinito, y al desarrollo se le reconoce con el nombre de serie binómico de Newton.

2. Para determinar el desarrollo de (x + a)n

para un número fraccionario y / o negativo el valor de x debe ser uno y además x > a. Los valores de a deben ser 0 < a < 1.

3. Los términos del desarrollo con respecto a sus signos, no tienen ninguna relación.

4. Para determinar el término general en el desarrollo se utiliza la siguiente fórmula.

;

ó también:

3. FÓRMULA DE LEIBNITZAsí como se puede hallar el término que uno desee en la potencia de un binomio, se puede hallar un término cualquiera en la potencia de un polinomio, aplicando la llamada fórmula de Leibnitz. Por razones puramente pedagógicas estableceremos las reglas para el desarrollo de (a + b + c + d)m, en donde el término que contiene a: a . b . c . d es:

Donde:

El desarrollo de toda la potencia se expresa así:

Donde m se descompone en todos los modos posibles tales que: + + + pertenecen al conjunto:

{0; 1; 2;...;m}.

Ejemplo: Halla el coeficiente de x6

en el desarrollo de (1 + 2x – x2)5.

Resolución:El coeficiente estará expresado por:

......

....... (I)

Donde : + 2 = 6 (exponente de x6)

Además: + + = 5, donde los valores posibles que pueden asumir son:

= 0 ; = 4 ; = 1

= 1 ; = 2 ; = 2

= 2 ; = 0 ; = 3

Reemplazando en (I):

¡Importante!

Dado el polinomio

El número de términos de su desarrollo se calcula de la siguiente manera:

n° términos =

Ejemplo:El número de términos de (1 + x + y + z)6

es:

PRÁCTICA DE CLASE

01. Dado el binomio (3x5 + 5x3)43 hallar el lugar que ocupa el término que tiene x175

como parte variable.

a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 e) 22

02. Para que valores de “n” los coeficientes del término 5, término 6, término 7 del desarrollo de (1 + x)n

forman una progresión aritmética.

a) 7 y 14 b) 7 y 12 c) 7 y 11d) 6 y 14 e) 7 y 13

03. Si el término de lugar 12 del desarrollo (x + 1)13 es de la forma Mx2. Calcular R = A + 23.

a) 103 b) 102 c) 101d) 104 e) N.a.

04. Si los coeficientes de tres términos consecutivos en la expansión de (x + y)n son proporcionales a 3, 12 y 28. Hallar “n” sí n 10.

a) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) 6

05. Al multiplicar los términos tercero y octavo del desarrollo de (2x2 +

y3)24 se obtiene un término de la forma Rxnym; Hallar W = 3n + 2m

a) 288 b) 188 c) 388d) 287 e) 286

06. Determina el número de términos irracionales en el desarrollo de:

a) 14 b) 43 c) 42d) 45 e) 44

07. En el binomio:

,el coeficiente del

término 6 es .Halle el número de

términos.

a) 20 b) 10 c) 11d) 14 e) 12

08. El coeficiente de x45 en la expansión:

es ; a 20. Halle el

coeficiente de x4a –8

a) b) c)

d) e) N.a.

09. ¿Cuál de las siguientes expresiones es falsa en relación con el desarrollo de (x2

– 3y5)6?

a) El desarrollo consta de 7 términos.b) Los términos son alternadamente

positivos y negativos.c) La suma de los exponentes que

afectan a “x” é “y” en cada término es constante.

d) El coeficiente del segundo término es –18e) El coeficiente del cuarto término no es 540



10. El quinto término de (2x2 + y)20 tiene por coeficiente:

a) 170. 28 b) 570. 24 c) 570. 216

d) 340 . 25 e) 4845. 216

11. El término de segundo grado en el

desarrollo de: es:

a) -32x2 b) 24x2 c) -12x2

d) 4x2 e) -16x2

12. Halla el coeficiente del término independiente de “x” en el desarrollo de

a) 490 b) 492 c) 497d) 493 e) 425

13. Hallar n + k si se sabe que el cuarto término del desarrollo de (x + 2)n es 80xk

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

14. En el desarrollo de: .

Determinar el número de términos irracionales.

a) 9 b) 150 c) 118d) 112 e) Imposible

15. Al desarrollar la expresión:

Observamos que ésta admite un término

central cuya parte literal es:

.Calcula “m + n”

a) 41 b) 42 c) 43d) 44 e) 45


01. ¿Cuáles son los dos primeros términos

del desarrollo de: ?

a) 1– a2 b)10 – a20 c) 1 – 10a8

d) 10 – a2 e) 1+ a2

02. En el desarrollo de:

.El término que contiene a

x–8 es:

a) El 2do b) El 3ro c) El 4tod) El 5to e) El 6to

03. El desarrollo de (ax2 + 3y)n tiene 12 términos. El término que contiene x10 posee coeficiente 1 386; hallar el doble de “a”.

a) 6 b) 3/2 c) 2/3d) 2 e) N.a.

04. Por el teorema del binomio. ¿Cuántos términos de la

expansión de: son

números naturales?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

05. Si el término de lugar “n” contando a partir del último en la expansión del binomio.

B(x; y) = . Es px18 y–6.

Halle m+n+p

a) 82 b) 84 c) 90d) 88 e) 100

06. Hallar el lugar que ocupa el término independiente del desarrollo de:

a) 17 b) 18 c) 19d) 20 e) 21

07. Hallar el coeficiente que contiene a x2

en el desarrollo de: .

a) 12 b) 6 c) 4d) 18 e) 1

08. Calcular el coeficiente cuya parte literal es x9 en la expresión:

a) 70 b) –70 c) 80d) –80 e) 90

09. El número de términos que se obtiene

al desarrollar: es

84.Calcula n.

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

10. Hallar el término independiente del

desarrollo de . Indicar

también la posición que ocupa.

a) 21x220; 21 b) 20x220; 20c) 21x221; 21 d) 20x220; 21e) N.a.

11. La suma de los coeficientes numéricos del desarrollo completo de (x2 – 2xy + y2)7, es:

a) 0 b) 7 c) 14d) 128 e) 1282

12. Dado el binomio:

; Hallar el lugar del término

que contiene a: x-10 como parte variable.

a) 21 b) 31 c) 23d) 27 e) 25

13. Al desarrollar: ( x + y + z + w )8, se obtienen “n” términos en el cual uno de ellos toma la forma: x2 y2

zw3. De acuerdo a lo anterior, calcular el valor de: “λ + n”

a) 1805 b) 1584 c) 1845d) 1854 e) 1580

14. Hallar el término que contenga la cuarta potencia de “a” en el desarrollo

de:

a) 1280 a4 b) 1380 a4 c) 1480 a4

d) 1580 a4 e) 1680 a4

15. En el desarrollo de

, el coeficiente de a-1/2 es:

a) – 7 b) 7 c) – 21 d) 21 e) 35

16. La suma de los coeficientes numéricos de todos los términos del desarrollo de: (x - 2y)18 es:

a) 0 b) 1 c) 2d) – 19 e) 19

17. En el desarrollo del

binomio , el tercer término es:

405xk. Calcula (n + k)

a) 18 b) 26 c) 32d) 48 e) 59



18. Deduce el exponente de x6

en el desarrollo de:(x2 – 2x + 1)5.

a) 420 b) 120 c) 210d) 140 e) 312

19. A cuanto equivale la suma de todos los elementos situados en el perímetro del triángulo de Pascal de 100 filas?

a) 196 + 298 b) 196 + 297 c) 197 + 299

d) 196 + 299 e) 195 + 295

20. Se sabe que el cuadrado del t6 del desarrollo de (5x3 + 3y4)26 es de la forma Exayb. Hallar (a+b).

a) 164 b) 165 c) 254d) 166 e) N.a.

TAREA DOMICILIARIA

01. Determinar el valor de “n” si se sabe que el término central del desarrollo de:

es 6

a) 8 b) 9 c) 10d) 7 e) N.a.

02. Calcular el lugar del término que contiene a x2 en el desarrollo de:

a) 6 b) 7 c) 9d) 8 e) N.a.

03. Indicar el lugar que ocupa el término independiente de “x” en la expansión de:

a) 57 b) 63 c) 97d) 112 e) 113

04. En la expansión de: (3x3 + x-1)n existe un término en la cual su grado es numéricamente igual a la posición que ocupa. Indica dicha posición si la suma de los coeficientes de todos los términos del desarrollo es igual a 234

a) 8 b) 11 c) 10d) 12 e) 9

05. En el desarrollo de:

. Determina

el número de términos racionales e irracionales.

a) 9 y 12 b) 15 y 104 c) 17 y 104d) 20 y 101 e) N.a.

06. Al desarrollar la expresión:

,

Observamos que ésta admite un sólo término central cuya parte literal es : x60 y600. Calcular: “m + n”

a) 41 b) 42 c) 43d) 44 e) 45

Práctica N° 5:

OBJETIVOS ESPECÍFICOSOBJETIVOS ESPECÍFICOS:

Opera correctamente con radicales, haciendo uso de las propiedades enunciadas en el presente módulo.

Transforma radicales dobles a radicales simples, haciendo uso de

las fórmulas de transformación demostradas en clase.:

COMENTARIO PREVIO:COMENTARIO PREVIO:En el siglo V A. C.., los griegos pitagóricos, buscando la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado uno, descubrieron otra clase de números distintos a los naturales y a los fraccionarios, les pareció tan poco razonable lo que obtuvieron que le llamaron irracional.Las raíces que no pueden expresarse exactamente mediante números racionales representan números irracionales y reciben el nombre de radicales. Por ejemplo: , son radicales.


1. CONOCIMIENTOS PREVIOS:

1.1. VALOR PRINCIPAL DE UNA RAÍZ

Ejemplos:

a) b)

Luego:

c)

1.2. EXPRESIÓN RADICAL: Las raíces de expresiones algebraicas que no pueden expresarse exactamente mediante una expresión algebraica racional, representan expresiones algebraicas irracionales y reciben el nombre de radicales. Ejemplo:

; son

radicales.

1.3. RADICALES HOMOGÉNEOS: Son aquellos radicales que presentan el mismo orden o índice, sin importar el radicando.

Ejemplo: ;

Son radicales homogéneos.

1.4. RADICALES SEMEJANTES:Son aquellos radicales que presentan el mismo orden o índice y la misma cantidad subradical, sin importar la expresión que lo multiplica. Ejemplo:

;

son radicales semejantes.

1.5. HOMOGENIZACIÓN DE RADICALES:Es la operación que consiste en transformar radicales con diferente índice (radicales heterogéneos), en radicales con igual índice (radicales homogéneos).


RADICALERADICALE

0asia

0asiaaa2


Se recomienda tener en cuenta las siguientes; reglas:

Se halla el M.C.M. de los índices de los radicales, que será el índice común.

Se divide el M.C.M. encontrado entre el índice original de cada radical, y cada cociente se multiplica por el exponente también original de la cantidad subradical.

Ejemplo:

,

expresarlos como radicales homogéneos.

En primer lugar se debe reconocer que el M.C.M. de 3, 4 y 5 es 60.

(60 3 = 20)

(60 4 = 15)

(60 5 = 12)

1.2. SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES:

Se dice que un radical está simplificado al máximo cuando al descomponer en factores primos el radicando, todos los factores primos están elevados a exponentes menores que el índice del radical.Ejemplo:

está simplificado al máximo porque descomponiendo 330 en factores primos tendremos:

330 2165 355 511 111

en cambio, no está simplificado al máximo porque descomponiendo 384 en factores primos tendremos:

384 2192 296 248 224 212 26 23 31

Para simplificar al máximo procederemos del modo siguiente.

1.3. PRINCIPIO DE LA EXTRACCIÓN: Consiste en extraer una expresión del radicando; así:

Ejemplos:

a) b)

c)

1.4. PRINCIPIO DE LA INTRODUCCIÓN: Consiste en introducir una expresión en el radicando; así:

Ejemplos:

a) b)

c)

2. OPERACIONES CON RADICALES

2.1. ADICIÓN DE RADICALES

a) Para radicales semejantes se

procede así:

b) En la adición de radicales con distinto índice, la expresión queda indicada.

no son

semejantes

Observación.- En las operaciones de adición y sustracción los radicales se simplifican al máximo y a continuación se efectúan las operaciones

2.2. MULTIPLICACIÓN DE RADICALES

a)

b)

2.3. DIVISIÓN DE RADICALES

a)

b)

3. DESCOMPOSICIÓN DE RADICALES DOBLES EN SIMPLES

3.1. PRIMER CASO:

De donde:

Siendo:

En resumen la fórmula para descomponer una raíz doble en raíces simples es:

Es decir que, para transformar radicales dobles, en radicales simples: A2 - B, debe ser un número cuadrado perfecto.

3.2. SEGUNDO CASO:

Donde:

Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos x, y, z.

Ejemplo: Transformar a radicales simples:

Resolución


zyxDCBA

330 = 2 x 3 x 5 x 11, todos los factores primos están elevados a exponentes menores que 2.

384 = 27 x 3, como se puede observar, no todos los factores primos están elevados a exponentes


Luego:

Pero:

3.3. TERCER CASO:

Donde:

Siendo: cubo

perfecto.

Ejemplo:

Transformar: a radicales

simples.

Resolución

Cálculo de C:

Siendo:

Cálculo de x:

La igualdad se

cumple cuando:

Cálculo de y:

;Luego:

PRÁCTICA DE CLASEPRÁCTICA DE CLASE

01. Transforma a radicales simples

A) G)

B) H)

C) 7 4 34 I)

D) J)

E) K)

F)

02. Calcula el valor de:

03. Simplificar:

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

04. Al descomponer en

radicales simples:

Se obtiene una expresión de la forma , dar como resultado el valor de k.

a) b)

c) d) e) Ninguna

05. Si se tiene que: . Hallar el

equivalente de:

a) a – b b) a2 – b c) a – b2

d) E = 0 e) a2 – b2 06. Simplificar:

a) 5 b) 7 c) 4 d) 6 e) N.a.

07. Simplificar:

08. dividirlo entre

09. Efectuar la operación:

10. Simplificar:

EJERCICIOS PROPUESTOS

01. Reducir:

a) b) c)

d) e) Ninguno

02. Calcula el valor de:

a) 2 b) 1 c) 0d) –2 e) N.a.

03. Simplifica:

a) 3 + 2 b) 2 – 3 c) 3d) – 2 e) 2

04. Reduce:

E = + +

a) 2 b) c) 2

d) e) 0

05. Reduce:

a) 1 b) 0 c) 8


yxBA3


d) 12 e) 6

06. Si: la relación

que cumple es:

a) x < y b) x = y c) x/y =cd) x/y = 3 e) x > y

07. Efectuar:

a) 1 b) 2 c) 4d) 2 2 e) 4 2

08. Calcula (a + b) si se

cumple:

a) 42 b) 45 c) 47d) 49 e) 51

09. Sí:

Halla el valor de:

a) 1 b) 2 c)

d) +1 e) 3

10. Proporcionar el radical

equivalente a:

a) b)

c) d)

e)

TAREA DOMICILIARIATAREA DOMICILIARIA

01. Transformar radicales simples:

a) 10 + 2 b) 10 +

c) 10 +20 d) 5 10 +10

e) 10 5 – 20

02. Calcula:

03. Reduce:

04. Transformar:

05. Reducir:

06. Efectuar las operaciones indicadas:

07. Al transformar:

Como una suma de radicales simples se obtiene x > y > z.Calcular: x + y +z

08. Al transformar la

expresión: se obtiene

, el valor de x + y es:

09. Calcular:

10. Sabiendo que los radicales son homogéneos, reducir:

Práctica N° 6:

OBJETIVOS ESPECÍFICOSOBJETIVOS ESPECÍFICOS:

Determina correctamente el factor racionalizante de una determinada expresión algebraica.

Resuelve ejercicios referidos a racionalización de fracciones algebraicas con denominador irracional.

COMENTARIO PREVIO:COMENTARIO PREVIO:

Muchas veces hemos escuchado hablar acerca de racionalizar una determinada fracción algebraica, y hemos entendido por racionalización al proceso mediante el cual se puede convertir una fracción cuyo denominador sea una expresión algebraica irracional, en otra fracción equivalente con denominador racional.

Generalmente se realiza la racionalización del denominador de una fracción, pero en algunos casos también se presentan ejercicios en donde se nos pide racionalizar el numerador.


1. RACIONALIZACIÓN

Racionalizar una fracción con denominador irracional, consiste en transformarlo a otro equivalente con denominador racional.


RACIONALRACIONAL

01 02

ba

)FR.(N

)FR)(ba(

)FR.(N

ba

N3333

ba

)FR.(N

)FR)(baba(

)FR.(N

baba

N

3 233 23 233 2

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to. Año Secundaria ÁLGEBRA 5to. Año Secundaria

Para lograrlo es necesario multiplicar los términos de la fracción por otra expresión irracional llamado factor racionalizanteFACTOR RACIONALIZANTE.

Si al multiplicar dos expresiones algebraicas irracionales se obtiene como resultado una expresión algebraica racional, entonces ambos términos serán denominados factor racionalizante uno del otro.

EXPRESIÓNIRRACIONAL

EXPRESIÓN IRRACIONAL

EXPRESIÓN RACIONAL

Factor Racionalizante Producto

2. CASOS DE LA RACIONALIZACIÓN:

PRIMER CASO: ; n > m

Factor racionalizante: n

> m

Observamos que la fracción presenta en su denominador un monomio.

Ejemplo:

Racionalizar:

Resolución: F. R.

SEGUNDO CASO:

Factor racionalizante: Observamos que la fracción presenta en su denominador un binomio cuyos sumandos son radicales de índice 2, para racionalizarlos hemos aplicado el criterio de la conjugada.

Ejemplo:

Racionalizar:

Resolución: F. R.

TERCER CASO: cuando la fracción presenta en su denominador expresiones cuyos términos poseen radical de índice superior a 2; será necesario tratarlo teniendo en cuenta los siguientes aspectos:

a) Cuando la fracción presenta en su denominador expresiones en las cuales sus términos poseen radicales cuyo índice es potencia de 2, para racionalizar se aplica el criterio de la conjugada las veces que sea necesario.

Factor racionalizante:

b) Cuando la fracción presenta en su denominador una suma algebraica de radicales de tercer orden.

Ejemplo: Racionaliza:

Resolución:

Observación:

Lo antes expuesto; se puede aplicar cuando el denominador presenta radicales que se están sumando algebraicamente y que son de cualquier orden impar mayor que 3.Previamente se tendrá en cuenta criterios estudiados en las divisiones notables que originan cocientes notables exactos.

EXPRESIÓN IRRACIONAL

FACTOR RACIONALIZANTE P

PRÁCTICA DE CLASEPRÁCTICA DE CLASE

01. Después de racionalizar el denominador de:


a

)FR.(N

)a)(a(

)FR.(N

a

N

n mnn mn m

ba

)FR.(N

ba

bax

ba

N

ba

N

ba

)FR.(N

)ba)(ba(

)ba)(ba(x

ba

N

ba

N44

44

4444


. Resulta:

02. Después de hacer racional el denominador de la fracción:

. Se obtiene:

03. Al racionalizar el denominador de la siguiente fracción:

Éste se convierte en:

04. Después de reducir a su mínima expresión:

Resulta.05. El denominador de las

fracciones, una vez racionalizado es:

;

06. Sí: ;

Hallar: m9 – 9m3 n3 – n9

a) 27 b) 72 c) 30d) 20 e) 25

07. Calcula (a + b) si se cumple:

a) 42 b) 45 c) 47d) 49 e) 51

08. Indique el denominador después de racionalizar:

a) x b) x + 1 c) x + 2d) 1 e) 2

09. Sí: A = ;

B =

Entonces:

a) (A + B) N b) (A – B) Nc) AB > 1 d) AB < 1e) (A + B) Z

10. Al efectuar:

obtendremos una expresión que adopta la forma:

.

Hallar A + B + C.


01. Calcula: E =

a) 1 b) 5 c) 8d) 10 e) 12

02. E =

, su

valor será:

a) 13 b) 11 c) 9d) 7 e) 8

03. Al racionalizar:

se obtiene como

denominador.

a) 6 b) 2 c) 10d) 12 e) N.a.

04. Simplificar:

a) b) c)

d) e)

05. Al racionalizar el denominador de la expresión adjunta, el grado del producto de los términos del denominador será:

a) 16384 b) 8192 c) 4096d) 2048 e) 8

06. Al racionalizar y

simplificar:

el denominador de la fracción resultante es:

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

07. Efectuar:

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

08. La equivalente de:

E =

es

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) N.a.

09. Racionalizar: ,

se obtiene como denominador:

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

10. Al reducir:

Se puede afirmar que:

a) T > 2 b) T = 1 c) T <1d) 1< T < 2 e) N.a.

TAREA DOMICILIARIA


T = se obtiene:

a) 11 b) 21 c) 31d) 41 e) N.a.



01. Al efectuar:

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

03. Racionaliza e indica el

denominador:

a) 300 b) 350 c) 400d) 430 e) 450

04. Efectuar:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

05. Calcular:

1

a) 2 b) 3 c) 4d) 1 e) 5

06. Racionalizar:


Señalar el denominador resultante.

SOLUCIONARIO

NºEjercicios Propuestos

01 02 03 04 05 06

01. B C D A B A

02. D A E A C C

03. A E A C E A

04. A C E C A D

05. C D B E D E

06. E B E D E D

07. D D D B C A

08. B C A E C E

09. C E E A B C

10. C B C A E E

11. E A

12. B B

13. C C

14. B E

15. C C

16. D B

17. E B

18. D C

19. D

20. D


algebra 5° 2 b

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