algebra 5° 4 b

01 02COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria ALGEBRA5to Año Secundaria

Objetivos Aplicar los capítulos desarrollados

anteriormente. Diferenciar una desigualdad y una

inecuación. Buscar la aplicación del curso a

problemas diarios mediante este capítulo.

Introducción

Toda la teoría de la investigación del máximo y del mínimo supone dos incógnitas y la regla siguiente:Sea a una incógnita cualquiera de la cuestión (con una, dos o tres dimensiones según el enunciado). Se expresará la cantidad máxima o mínima a por medio de términos que podrán ser de cualquier grado. Se substituirá luego a +e a la incógnita primitiva a y se expresará así la cantidad máxima o mínima y se quitarán los términos comunes de una y otra parte. Hecho esto se encontrará que en ambas partes todos los términos estarán afectados con e por una de sus potencias. Se dividirán todos los términos por e o por una potencia de grado más alto de modo que en cuando menos uno de los términos de cualquiera de los miembros e desaparezcan enteramente. Se suprimirán a continuación todos los términos donde entre e o alguna de sus potencias y se igualarán los demás, o bien, si en alguno de los miembros no queda nada, se igualarán, lo que es igual, los términos en más con los términos de

menos. La resolución de esta última ecuación dará el valor de a que conducirá al máximo o al mínimo retomando su primera expresión.

Consideramos AC =b, sea a uno de los segmentos y b - a el otro segmento; el producto del que se busca el máximo será ba-a2. Sea ahora a+e el primer segmento de b, el segundo será b - a - e, y el producto de los segmentos será ba - a2 + be - 2ae - e2A esto se le debe adigualar el precedente : ba - a2. Suprimiendo los términos comunes: be 2ae + e2. Dividiendo todos los términos: b 2a + e. Suprimir e: b=2a.Para resolver el problema hay que tomar la mitad de b. Es imposible proporcionar un método más grande.DESIGUALDADEs aquella comparación que se establece entre dos números reales, mediante los símbolos de desigualdad:

<,>, . Luego si a y b son números

reales, entonces: a < b, a > b, a y a b se llaman desigualdades, y se leen:

a < b: “a menor que b”a > b: “a mayor que b”a b: “a menor o igual que b”a b: “a mayor o igual que b”

DEFINICIONESSean a, b R Luego:1. a es positivo a > 02. b es negativo b < 03. a > b (a - b) es positivo4. a 1 pues 2 - 1 = 1 > 0

Sean a,b R, Luego :

1. La expresión simbólica “a > b” tiene el mismo significado que: “b < a”.Por ejemplo: 5 > 2 2 < 5

2. La expresión simbólica “a b” significa que a < b ó a = b, es decir, cuando se verifica cualquiera de las expresiones: a b a = b4. Si a b b c, escribiremos

abreviadamente a b cPor ejemplo:4 x x 9 entonces 4 x 9

LEY DE TRICOTOMÍA

Para cualquier número real “a”, una y solamente una de las siguientes relaciones se cumple:

a < 0 a = 0 a > 0

CorolarioPara cualesquiera dos elementos a,b R, una y solamente una de las siguientes relaciones se cumple:

a b

PruebaSean a y b números reales, entonces (- b) también es real, luego por la Ley de Clausura para la adición (+) en R se tiene que a+ (-b) es real, es decir (a-b) R. Aplicando la Ley de Tricotomía para (a - b) R:

a - b < 0 a - b = 0 a - b > 0

Equivalentemente [por las definiciones (3), (4) y por el principio: la diferencia de dos números es cero si y sólo si son iguales]

a b

LA RECTA NUMÉRICA REAL Es aquella recta geométrica donde existe una correspondencia biunívoca (uno a uno) entre los puntos de la recta y el conjunto de los números reales.

Se observa que la representación de los números irracionales en la recta numérica, determina la completitud, es decir, que a cada número real le corresponde uno y sólo un punto de la recta y cada punto de la recta es conjunto es continuo, es decir, no existe ningún vacío entre sus elementos.

INTERVALOS

Sea I un subconjunto de R (I R). Decimos que I es un intervalo, si y sólo si es el conjunto de todos los números reales que están comprendidos entre dos extremos (que pueden ser finitos o ideales)

S5AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."

IV

REGLA

Los símbolos + y - se llaman ideales.

Clases de intervalosSi I es un intervalo, puede ser, acotado o no acotado.

A. Intervalo acotado

1. AbiertoSi a, b R con a b, se llama intervalo abierto y se denota por

, al conjunto de los números reales x, tales que:a < x < b.

Es decir: =

Representación:

2. CerradoSi a b R con a b, se llama intervalo cerrado y se denota por [a;b], al conjunto de todos los números reales x, tales que a x b.Es decir : [a;b] = {x R / a x b}

Representación:

3. Semiabiertos

Si a, b R son extremos de un intervalo y uno, cualquiera de ellos, no está en dicho intervalo, éste se

llama intervalo semiabierto; es decir: <a; b] y [a; b> son intervalos semiabiertos donde :

bxa/Rxb;a

Representación:

B. Intervalo no acotadoEs aquel intervalo que tiene por lo menos un extremo ideal + ó - .Los siguientes intervalos son no acotados.

=

= R Toda la recta numérica

Operaciones con intervalosSean A y B intervalos se definen y se

denotan :A B = {x R / x A x B}

A B = {x R / x A x B}A - B = {x R / x A x B}CA = AC = A’ = A {x R / x A}A’ = Complemento de A respecto a RA’ = R - A

EJERCICIO

Sean los conjuntos (intervalos)A = {x R / x 5}B = {x R / - 8 x < 12}

Hallar:

TEOREMA DE DESIGUALDADES

Sean a, b, c, d números reales, luego:1. a 0: a bc5. a R: a2 06. (a 0 (a >0 b > 0) (a < 0 b < 0)9. ab<0 (a>0 b < 0) (a < 0 b > 0)

10. a > 0

11. b < 0 12. Si a y b tienen el mismo signo, entonces :

a < b es decir:

0< a < b

a < b < 0 13.

a<x<b 14. Para números positivos se cumple:

MA MG MHDonde:MA: Media AritméticaMG : Media Geométrica

MH : Media Armónica

Si se cumple que: 0 < a < b 0 < c <

d, no siempre es cierto que: 0 < < . Es decir, no se puede dividir miembro a miembro cuanto se tienen desigualdades del mismo sentido.Por ejemplo:

4 < 8 1 < 2 < ¡Falso!

INECUACIÓN

Es una desigualdad en la que hay una o más cantidades desconocidas (incógnitas) y que sólo se verifica para valores de las incógnitas, o tal vez nunca se verifica.Por ejemplo, la desigualdad: 2x+3 > x+5 es una inecuación porque tiene una incógnita “x”, y se verifica para valores de x mayores que 2.

También, la desigualdad: sen(x)+2 5, es una inecuación que nunca se verifica, porque los valores del “sen (x)” están comprendidos en el intervalo [-1;1] para todo x real, en consecuencia sen(x)+2 está en el intervalo [1;3] y ningún valor de este intervalo es mayor o igual que 5.SOLUCIÓN PARTICULAREs aquel valor (o valores) de la incógnita (o incógnitas) que verifica la inecuación.Por ejemplo, en la inecuación 2x + 3 > x + 5, una solución particular es x = 4, pues: 2(4)+3x > 5 +5 es cierto.También en la inecuación x + y 2, para x =1 é y = 1 la inecuación se verifica, pues 1+1 2 es cierto, luego (1;1) es una solución particular.CONJUNTO SOLUCIÓN

Es aquel conjunto denotado por C.S. que agrupa a todas las soluciones particulares (si existen) de una inecuación. Si la inecuación no tiene solución, entonces decimos que el C.S. es el conjunto vacío.RESOLVER UNA INECUACIÓNSignifica hallar su conjunto solución. La resolución se realiza sólo empleando pasos equivalentes, por ejemplo, si queremos resolver la inecuación: 2x + 3 > x +5, diremos:2x+3>x+5 2x + 3 + (-3) > x + 5 + (- 3)

2x > x + 2 2x + (- x) > x + (- x) + 2 x > 2

Gráficamente:x

2- +

Luego : C.S. = {x R / x > 2} = ;2

INECUACIÓN LINEALForma general:

P(x) = ax + b 0 ; a 0 a; b R

Resolver: ax + b 0; a < 0ax + b 0 ax + b + (-b) 0 + (- b)

ax - b; a < 0

0

a

1pues;b

a

1ax.

a

1

x a

b

Gráficamente:

xb- +a

-

Luego C.S. = a

b;

a

bx/Rx

Resolver: 1a

2x3

< 4x + 5, siendo a < 1

CRITERIO DE LOS PUNTOS CRÍTICOS

Es utilizado para analizar la variación de los signos de los factores lineales (de coeficientes reales) en una multiplicación indicada. Ejemplo 1: Sea P(x) = (x - 2)(x - 5)Las raíces del polinomio son: 2 5Ubiquemos estos valores en la recta real.

II

2- +5

IIII

Las raíces del polinomio particionan a la recta R en 3 zonas (intervalos)

I. x 2;

x < 2 x - 2 < 0 x - 5<- 3 < 0, luego: (x - 2)(x - 5)> 0

II. x 5;2

2 < x < 5 0 < x - 2 < 3 - 3< x - 5 <0, luego: (x - 2)(x - 5)< 0

III. x ;5

x>5 x - 2> 3 x - 5 > 0, luego: (x - 2)(x - 5) > 0Gráficamente: P(x) = (x - 2)(x - 5)

Ejemplo 2 :Sea P(x) = (x - 3) (x + 1)(x - 6), Las raíces son: -1, 3, 6.Ubiquemos estos valores en la recta

real.

-1- +3 6

Las raíces del polinomio particionan a la recta R en 4 zonas (intervalos).Analicemos las variaciones

Factor Zonax - 3x+1x - 6P(x)x < -1-----1 < x < 3-+-+3 < x < 6++--x > 6++++

-1- +3 6

- -+ +

Si se tratará de resolver: P(x) > 0,

tendríamos que: el C.S.= 3;1

;6

NOTA

Cuando formamos la inecuación polinomial los valores de las raíces del polinomio toman el nombre de puntos críticos.

INECUACIONES CUADRÁTICAS

Son aquellas inecuaciones de la forma :

0cbxaxxP 2

Siendo: a, b, c R a 0¿Qué sucedería si algún coeficiente no es real?Sería complejo, pero Ud. sabe que en C no está definido el orden. Bien vamos a comenzar el estudio de esta

inecuación: 0cbxax2

Resolución:Como (a 0) divide a ambos miembros entre “a”, teniendo cuidado el posible cambio en el sentido de la inecuación, entonces tenemos :

0a

cx

a

bxa 2

Ahora nuestra meta será tratar de completar cuadrados dentro del paréntesis.

0a

c

a4

b

a4

b

a2

bx2xa

2

2

2

22

0a2

ac4b

a2

bxa

22

Pero recuerde que ac4b2 es el ¡Discriminante!, el cual denotamos

ac4b2 . Vamos a reemplazar en () y tendremos:

0a4a2

bxa

2

2

Comenzaremos con el análisis de los casos posibles que dependen del discriminante.Caso ISi ( = 0) reemplazando en (), nos queda :

0a2

bxa

2

Cancelo “a” cuidándose de la variación del signo.En este caso tenemos por ejemplo :

A. 21x 0 C.S. = R, pues x R, cumple al ser reemplazada en la inecuación.

<<<<<<

B. 02x04x4x 22 , notamos que se verifica x R, excepto cuando x = 2.

03x09x6x 22 , obviamente la inecuación tiene el símbolo que hace que esta inecuación sea no verificable para algún valor real. C.S. =

D. 05x05x 22 Tenemos

que la única solución es x = 5.

= b2 - 4ac > 0, reemplazando en ( ), tenemos luego de elevar al cuadrado y tomar raíz.

0a4a2

bxa

2

22

Vamos a multiplicar por el inverso multiplicativo de “a” y aprovechando la diferencia de cuadrados, quedará:

0a2a2

bx

a2a2

bx

Y para resolverlo aplicaremos el método de ¡Puntos críticos!, vamos a verlo mejor en algunos ejemplos.Ejemplo:

1. Sea 4x5x2 0, factorizando por aspa simple, se tiene (x - 4)(x - 1) 0. Los puntos críticos serán : 1; 4 (que son valores que anulan cada factor)Reemplazamos en la recta numérica.

-

1- +4

++

NOTA

Empezamos de derecha a izquierda con el signo “+”, pues los coeficientes de “x” son positivos, además tomamos la parte positiva,

pues el símbolo en la inecuación es “”.

Luego C.S. = ;41,

2. Sea 05x4x2 , factorizando queda: 01x5x Puntos críticos: 5; - 1

-

-1- +5

++

5;1.S.C

3. Sea 0x32x Los puntos críticos son: 3, 2. Cuando reemplazo en la recta no empezaré la variación con (+), sino con (-), ¿Por qué?

+

2- +3

--

3;2.S.C Note que es posible multiplicar por (-1) a ambos miembros y nos quedará (x - 2)(x - 3) 0, ahora tenemos en la recta.

-

2- +3

++

3;2.S.C

4. Sea 05x3x0x5x3

-

3- +5

++

En lo posible usted, ha visto las variantes, ahora analicemos que pasa cuando ( < 0)

En el teorema siguiente.

Teorema (Trinomio positivo)

Sea P(x) = cbxax2 , donde a, b, c R < 0.

Demostración

P(x) =

2

22

a4a2

bxacbxax

Tenemos que (a > 0) y el factor:

2

2

a4a2

bx

el signo menos con el signo del discriminante se hará todo positivo y suma de positivos harán que P(x) sea siempre positivo, cualquiera que sea x R.

Ejemplo:

1.2x + 2x + 3 > 0 Su C.S. = R

pues = 22 - 4(3) = -8 < 0, y su

coeficiente principal es positivo.

2. 2x + 4x + 7 < 0 Su C.S. =

Pues = 24 - 4(7) < 0, y su

coeficiente principal es positivo.

0 < 2x + 4x + 7 < 0 0 < 0

¡Absurdo!C.S. Otra forma:

2x +4x+7 = 2x +4x+4+3 < 0

2)2x( + 3 < 0 C.S. =

+ +Un teorema análogo será el siguiente:

a2x + bx + c 0, x R a >

0 0; a, b, c R.

Teorema (trinomio negativo)

Sea P(x) = a2x + bx + x, siendo a, b, c

R, se cumple que: P(x) < 0; x R a< 0

< 0.

0a4a

bxa)x(P

)(

2

)(2

x

Notemos que el producto:

0

a4a

bx0a

2

2

0xP INECUACIÓN DE GRADO SUPERIOR

Que tal si consideramos el polinomio de grado “n”:

P(x) = 0axaxaxa 011n

1nn

n

Donde: 0an

Además cada n,,3,2,1,0i;Rai

Como nosotros recordamos por un Corolario del Teorema Fundamental del Algebra, se tienen raíces a las que

llamamos n4321 x,,x,x,x,x

Bien, si es que todas son reales, podemos factorizar:

0xxxxxxxxa n321n

Entonces para resolverla le aplicaremos Método de Puntos Críticos. Pero en general previamente simplificar, algunos factores de la que ya conocemos el signo. Para ello notemos que:

Teorema: Ra,x

1. Si : 0ax 1n2 0ax ; n

N

2. Si: 0ax 1n2 (x - a) 0; n N

Prueba:

1. Si: 0ax 1n2 0axax n2

Pero 0ax0ax n2

Si: 0ax multiplicando por

0ax n2

0ax 1n2

Por ejemplo podemos resolver:

1. 04x3x2x1x Los puntos críticos son: 1,2,3,4.

1- +3 4

- + -+ +

2

De lo cual el C.S. = 1;

3;2 ;4

2. 07x2x3x1x 42 .

Simplificando 02x3x Los puntos críticos son -2; 3

-

-2- +3

++

Notemos que el C.S. = 3;2

, pero

¡cuidado! el factor 21x , al ser cancelado para x = 1 es un valor que anula el factor y que reemplazando en la inecuación original tendríamos el absurdo (0 < 0).

Esto quiere decir que x = 1 es un valor no solución:

13;2.S.C

NOTA

Lo mismo pasa con x = 7, pero como no está en el C.S. no le afecta.

3. 06x5x1xxx14x 22722

Simplificando

272 1xx

, pues

1xx2 es positivo nos quedaría

06x5xx14x 22

, pero podemos factorizar y nos queda : 01x6x1x2x2x

-2- +1 2

+ - -- +

-1+

6

Luego el C.S. = 6;21;12;

INECUACIÓN FRACCIONARIA

DEFINICIÓN

Es aquella inecuación que se caracteriza, porque la variable esta presente en el denominador de cualquier expresión que forma parte de la inecuación.

Ejemplo:

1x

1x

1x

1x

Resolución:I. Garantizar la definición de las

expresiones con: x {1; -1}

II. Operaciones:

1x

1x

1x

1x

0

01x1x

x4

0x1x1x

-1 0 1

C.S. 1;01;

ECUACIÓN E INECUACIÓN IRRACIONAL

CONJUNTO VALORES ADMISIBLESEl conjunto de valores admisibles de una expresión matemática es aquel conjunto denotado por C.V.A. que agrupa a todos los valor(es) que garantizan la existencia de la expresión matemática, es decir, valores de la variable que permiten que la expresión esté bien definida.El C.V.A. se va a considerar respecto a R, salvo indicación contraria.Ejemplo:

1. F(x) = 1x2

x2

, el C.V.A está dado por todos aquellos valores reales para x, tal que 2x-10.

Es decir: C.V.A. = {x R/ x 2

1

} = R -

{ 2

1

}

2. G(x) = 2x , el C.V.A. está dado por todos aquellos valores reales para x, tal que el radicando es no negativo: x - 2 0.Es decir: C.V.A = {x R / x 2}=

;2

3. H(x) = 3 2 5x

C.V.A. (H(x)):…….......……………………………………

………………………………………………

………………………………………………

INECUACIÓN IRRACIONAL

Es toda inecuación que tiene la incógnita afectada por radicales. Presenta la siguiente forma general.

0xF

Siendo F(x) una expresión irracional sobre R.

Resolución:

1. Hallar la existencia (CVA) de la expresión irracional F(x)

2. Se transforma la inecuación, elevando a ambos miembros a un exponente que elimine el radical. (Si el índice del radical es par, ambos miembros de la inecuación deben ser positivos obteniendo el conjunto de posibles soluciones Sp).

3. El conjunto solución se obtiene interceptando el CVA con Sp.

Ejemplos:Resolver:

1. 2x3

2. 35x

3. 21x2

4. 05x3

5. 1x1x3 3

6. 9x1x3


ECUACIÓN IRRACIONAL

Una ecuación es irracional si la incógnita está afectada por radicales, presenta la siguiente forma general:

0xF Donde F(x) es una expresión irracional definida sobre los reales.La resolución de esta ecuación es similar a una inecuación irracional.Resolver:

4x5x1x2 1. C.V.A: 2x - 1 0 x - 5 0 x + 4 0

x 2

1

x 5 x - 4 x 52. Transponiendo:

5x4x1x2 Elevando al cuadrado:

2x - 1 = x + 4 + x - 5 + 2 5x.4x

2x - 1 = 2x - 1 + 2 )5x()4x(

0 = 2 )5x()4x(

x = - 4 x = 4 (Posibles soluciones)(SP)

3. C.S. = CVA SP = {5}ECUACIONES E INECUACIONES CON

VALOR ABSOLUTO

Antes de iniciar este tema es necesario recordar la definición y teoremas relativos al valor absoluto.

VALOR ABSOLUTODefiniciónEl valor absoluto de un número real “x”

se denota por x

y se define:

0x;x

0x;xx

Ejemplo :

22;55

22

De la definición se sigue que :Rx;0x

Teoremas

Sea {x; y} R; a R+

1.axax

2.222 xxx

3. yxyxyx

4.xxxx

5.yxyx

Desigualdad triangular

NOTA

La demostración de estos teoremas se van a omitir ya que en este capítulo nos interesa resolver ecuaciones con valor absoluto.

ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Forma general 0xM

Donde: M(x) es una expresión con valor absoluto.

Ejemplo :Las siguientes igualdades son ecuaciones con valor absoluto

1.5x3x2

2.07x

3.01x2x 2

4.05

2x

4

Teorema : Sean f(x) y g(x) expresiones definidas en R. xgxfxgxf0xgxgxf

Ejercicio : Resolver : 6xx54x2 2

Resolución :Por el Teorema 1, tenemos :

06x5x06xx5 22

02x3x

Por puntos críticos, tenemos:

-

-2 3

++

x [2, 3] ………………………………… (*)y además :

(1) : 2x- 4= 6xx5 2

(2) : 2x-4= -

6xx5 2

De (1) :

02x3x2 01x2x

6x5x2 010x7x2

2x5x02x5x

De (1) y (2) : x {1, 2, 5}Pero según (*) sólo es solución :

x = 2 C.S. = {2}Teorema

xgxfxgxfxgxf

Ejercicio: Halle “A”, si :

A =

2x23x/Rx 2

Resolución :Para hallar A, debemos resolver :

2x23x2

Considerando luego sólo las soluciones reales veamos:Por el teorema anterior :

2x23x2 2x23x2

01x2x2 05x2x2

01x 2 041x 2

x = 1 solución real A = {1}

INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Forma general

0xN

Donde N(x) es una expresión con valor absoluto.Ejemplo :Los siguientes ejemplos son inecuaciones con valor absoluto.

1.2

x

1x

2.3xx3x2

TeoremaSean f(x) y g(x) expresiones definidas en R luego :

xgxfxg0xgxgxf

Ejercicio: Resolver :

4x2x

x2

Resolución :Por el teorema anterior, tenemos :

4x04x

;4x…………… (*)

y además :


4x2x

x2

x - 4

4x2x

x2

4x2xx2

Pero de (*) :x 4 x - 2 2 > 0

2x2x

Reemplazando en ():2x (x - 2)(x - 4) 8x6xx 22

6x 8 x 4

3

……… (**)

Intersectando (*) y (**)

- +443

Teorema Sean f(x) y g(x) expresiones definidas en R.

i. xgxfxgxfxgxf

ii. xgxfxgxf 22

Ejercicio: Resolver : 3x26x

Resolución :Por el teorema anterior en la parte “i”. Tenemos :x + 6 > 2x - 3 x + 6 < - (2x-3) 9 > x x + 6 < - 2x +3

x < 9 x < - 1

- +-1 9

1;

Ejercicio

Resolver : x1x2

Resolución :Por la parte “ii” del teorema anterior, se tiene :

x1x2 22 x1x2

01x4x3x1x4x4 222

01x1x3

-

1- +1

++

3

.S.C1;

3

1

PRACTICA DE CLASE

Nivel I:

01. Sean los intervalos:

A = [-6; 5] AB = ]-2; 9[

Calcular la suma de los valores enteros de AB.

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14


C = [-4; 4]D= ]4; 8 [

Calcular C D

a) [-4; 4] b) ]4; 8 [ c) ]-4; 8[d) [0; 8] e) [-4; 8 [

03. Si la unión de los intervalos:

E = [-4; 5 [F = ]-2; 5 [

es: [a; b]. Calcular “ab”

a) -20 b) -10 c) 2d) 8 e) 25

04. Si: a > b > c > 0 y

M = [-a; 0]N = ]-c; c]P = [-b; a]

Calcular: M N P

a) [-c; 0] b) [0; c ] c) [-b; c ]d) ]-c; 0 [ e) [c; b ]


M = [-6; 13 [N = ]-3; 5 [

Si M N está representado por ]m + 1; n - 2[Calcular: m + n

a) -3 b) -1 c) 0d) 3 e) 5

06. Si la intersección de los intervalos:

M = ]-5; -1 [] 2; 11 [N = [-3; 4]

es: [a; b[ ]c; d]Calcular : a + b + c+ d

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


P = [-15; -9] [-3; 3] [10; 17]Q = [-12; -1] [1; 13]

Luego se interseca P Q, indique un intervalo de P Q.

a) [-12; -3] b) [-3; 10] c) [3;13]d) [-3; -1] e) [-9; 10]

Nivel II


A = RB = [-3; 4 [C = ]-1; 3 [

Calcular: A B C

a) ]-1; 4[ b) [-3; 3] c) ]-1; 3 [d) ]3; 4e e) [-3 ; -1[


A= ]-11; 7[ C = ]-8; 8 [B= [-6; 11[ D = [-15; 15]

Calcular (A C) (B D); dar como respuesta la suma de sus valores enteros.

a) 7 b) 17 c) 27d) 37 e) 47

10. Resolver:7(3 - 2x) + 2(2x+15) < 2(5x -7) - 3(2x -11)

a) x ]2; + [ b) x ]- ; -2 [c) x ]0; + [ d) x ]-2; + [e) x ]- ; 2 [

11. Resolver:

6

15x

4

1x4

3

x5

2

3x2

a) x > 5/6 b) x < 5/6 c) x > 5

d) x > 6 e) x < 6/5

12. Luego de resolver la inecuación:

)91x(3x11

x5

Indicar el menor valor entero de x

a) 77 b) 76 c) 80d) 79 e) 78

13. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

I. Si: -2 < x < 3 0 x2 < 9II. Si: -3 < x 4 9 < x2 16III. Si: x R x2 > 0

a) VVV b) VFF c) VFVd) FVF e) FFF

14. Si: b

a

< 0; entonces se cumple:

a) a < 0 b > 0 b) a > 0 b < 0c) a > b d) ab > 0e) ab < 0

15. Si x es tal que:

2x

1

3

x

1

Entonces:

a) -1/3 < x <1/2b) -1/2 < x < 3c) x > 1/2d) x > 1/2 - 1/3 x < x < 0e) x < -1/3 x > 1/2

Nivel III:

16. Resolver la inecuación:

3

2

2

1x2

6

2x3

5

1x2

E indicar un valor entero admisible para “x”

17. Resolver:(x+5)(x+3) (x+2) (x+ 1) + 3

a) x [-2; + [ b) x ]-; -3]c) x [2; + [ d) x ] - ; -2 ]e) x [3; + [

18. Resolver:

x211x3 84

a) x ]2/5; + [ b) x ]2/5; 3 [c) x ]3; + [ d) x ]2; + [e) x ]5/12; + [

19. La suma de los valores enteros y positivos de “x” que satisfacen la inecuación:

7 1x85

213x5

273

; es:

a) 1 b) 2 c) 3d) 6 e) 10

20. Si: a > b c RSon ciertas:

I. a + c2 > b + c2 II. c

b

c

a

III. a - c bc

a) Sólo I b) sólo II c) I y IIId) II y IV e) Todas

PROBLEMAS PROPUESTOS 01

01. Resolver: x2 - 3x < 4

a) x R b) x > -1 c) x > 4

d) -1 x 4 e) -1< x < 4

02. Resolver:

x2 + 2x >8e indicar un intervalo solución:

a) ]4; + [ b) ]- ; 2 [ c) ]2; + [d) ]1; + [ e) ]4; + [

03. Resolver:

(x + 2) (x + 4) 2x + 16

a) x [-6; 2 ]b) x ]- ; -6 [ [2; +]c) x [4; 8]d) x ]- ; -6 [e) x [3; + [

04. Resolver:

01x

)2x)(3x(

a) [-2; -1[ [3; + [b) [-2; 3 [c) ]- ; -2 [d) ]- ; 2 [ ]-1,3 [e) ]-2; [ -{-1}

05. Resolver:

06x5x

48x10x42

2

a) 2 < x < 3 b) -5 < x < 3 c) -3 < x < 2d) 4 < x < 6e) - 1< x < 6

06. Hallar el conjunto solución de la inecuación:

02x

4x3x 23

a) ] -; -2[ [1; + [b) ]-2; 1 [c) ]-; 2 [ ]1; + [

d) ]1; 8 [e)

07. Resolver:

7x

23

x

4

a) x ] -1/2; 0 [b) x ]0; 1/2 [c) x ]-; -1/2 [ ]0; + [d) x ]-; 1/4[ ]1/2; + [e) x ]1/4; 1/2 [

08. Determine el mayor valor entero de “M” que satisface la desigualdad:7x2 + 28x + 3 > 7Mse verifica para todo x R

a) 3 b) -3 c) 0d) -4 e) 4

09. El menor número entero “” que satisface la desigualdad:

2

5x2x2

; x R

a) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2

10. Sea el polinomio:P(x) = x2 - 4x +m - 5

Si P(x) >0; x R; entonces los valores que asume “m” son:

a) m > -9 b) m < -9 c) m > 9d) m < 9 e) m < -5

11. Resolver:

01xx

12

a) ]- 35 ; - 7 [ b) ]- 35 ; - 3 [c) R d)

e) R - ]- 35 ; - 7 [

12. Resolver:

x3x6

162x3x2

a) 6 < x < 12 b) -6 < x < 12c) -12 < x < -6 d) x < -12 x >6e) -12 < x < 6

13. Resolver:

55x

1x33

a) x > 14 b) x > 13 c) x > 12d) x > 15 e) x > 5

14. ¿Cuántos valores enteros satisfacen el sistema?

125x

7x2

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 7

15. Resolver el sistema:

3x2 + 2x > 0x3 + x2 + x < 0

a) 0 < x < 2/3 b) x > 2/3c) x < 0 d) x < -2/3e)

16. Resolver el sistema:

22

1x74

3

1x4

a) x > 1 b) x < -1 c) x > 1,5d) x < -1 x > 1,5 e) x > 2

17. Luego de resolver:

1x

5x

2x

4x

se obtiene x [a; b [ ]c; + [el valor de a + b + c

a) -3 b) -4 c) -5d) -6 e) -7

18. Si:

3

2

1x

3x

5

1

Entonces “x” pertenece al intervalo

a) ]4; 11[ b) ]-1; 11[ c) ]-1; 4 [d) ]-; -1[ ]4; +[ e) ]4; 15 [

19. Dada la inecuación:

bx

bx

ax

ax

; a < b < 0entonces uno de sus intervalos solución es:

a) ]0; + [ b) ]a; b [ c) ]a; 0 [d) ]-; b [ e) ]b ; 0 [

20. Indique el intervalo solución de:

1x

1

1x

12

a) ]-1; 1[b) ]-; -1[ ]1; + [c) ]-1;0 [ ]0; 1[d) ]-1; 1[ ]1; + [e)

TAREA DOMICILIARIA

01. Sean los siguientes intervalos

A = ]0; + [B = ]2; 5 [

Determine A B

a) ]0; 2 [ b) ]5; + [ c) ]0; 5 [}d) ]2; + [ e) ]2; 5 [

02. Si:

P = [-1; 7]Q = ]3; 10 ]

determine el número de valores enteros de P Q

a) 12 b) 13 c) 11d) 14 e) 10

03. Relacione correctamente los gráficos con su intervalo.

A B1)

A

B

2)

AB

3)

A. A B B. B - A C. A B

a) 1A; 2B; 3C b) 1C; 2B; 3Ac) 1A; 2C; 3B d) 1B; 2A; 3Ce) 1C; 2A; 3B

04. Calcular la suma de los valores enteros de MN si:

M= ]-; -2] ]3; +]

N = ]-7; 8]

a) 8 b) 9 c) 10d) 11 e) 12

05. Indique el valor de verdad de los siguientes enunciados:

I. Si -a > b c > 0 (a + b) c < 0

II. Si x < 0 x

1

>0III. Si a > b > c > 0 < a - b > - (b - c)IV. Si n > 2 m < -1 n - m > 3

a) VVFF b) FFFF c) VFVVd) FFVV e) VFFV

06. Si a > 0 b < 0 entonces se puede afirmar siempre:

I. (a - b) b < 0II. (a + b) b < 0

III.0a

b

a2

a) sólo I b) sólo II c) II y IIId) sólo III e) I y II

07. Resolver

3(x + 5) -2(6 -x) > 5(1 - x)a) x < 0,3 b) x > 0,3 c) x < 0,5d) x > 0,5 e) x > 0,2

08. Si la inecuación: (x+2) (x+3) > (x+5) es equivalente a:

01n

nx

(n Z+)

Calcular : 2n

a) 3 b) 2 c) 5

d) 22 e) 3

09. Resolver el siguiente sistema:

2

5x

3

4x

.................... ()

4

x3

5

3x

.................... ()

a) ]-; 3] b) [3; +[ c) ]-; -23]d) [-23; 3] e) [-23; +[

10. Resolver: 7

3

x541

y determinar el mayor valor entero que lo verifica.

a) -3 b) -2 c) 3d) 2 e) 1

11. Si el conjunto A es la solución de la inecuación:

5x

2x83

Determine A’ (complemento de A)

a) ]-; - 3

2

] [- 11

2

; + [

b) [- 3

2

; - 11

2

] c) [- 11

2

; - 3

2

]

d) [-11; -3] e) [- 2

11

; - 2

3

]12. Resolver el siguiente sistema:

3x - 4 5x +2 -x + 8

a) 1 x 3 b) -3 x 1 c) -3 x -1d) x -3 e) x 1

13. Se define la siguiente operación:

a b = 2

ba

Calcule el número de valores enteros que verifican el sistema:(3) (x) > (2x) (5) (x - 1) (2x)

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

14. Si:A = {x Z/ x 7}B = {x Z/ x - 1 > -4}

Entonces la suma de los elemento de A B.

a) 21 b) 22 c) 23d) 24 e) 25

15. Resolver:

31x

12

xx2

2

3

2

1x

12x

a) x = 2 b) x 2 c) [ 3

2

; 2]

d) [ 3

2

;3] e) x 1

16. Resolver:

8x

7x28

8x

74x

a) [4; + [ b) [4; + [ - {8}c) R d) ]-; 4 [e)

17. Resolver el sistema:m + 3 > 2n .................(1)3n < 12 - m ................(2)

en Z+. Indique la suma de todos los valores de “n” que lo verifican.

a) 16 b) 22 c) 3

d) 4 e) 5

18. Si: m > n Resolver:n(m+x) +m(n-x) m2 + n2

a) x n - m b) x n + m c) x n - md) x n + m e) x nm

19. Si “x” es un número entero tal que:

m = 3x + 1 ........... (1)n = x + 9 ........... (2)p = 2x +3 ........... (3)m > n > p ........... (4)

Calcular: m + n + p

a) 40 b) 41 c) 42d) 43 e) 44

20. Si: -3 < 5x + 1 < 2 entonces el intervalo que le corresponde a:

2x2

1

es:

a) ]5/8; 5/4 [ b) ]-5/8; -5/18 [c) [5; 8 ] d) ]5; 8 [e) ]-5; 5 [

PRACTICA DE FIJACIÓN

01. Resolver:

0)5x(

)5x)(1x( 2

y dar como respuesta la suma de los valores enteros del conjunto solución

a) -15 b) -10 c) 0d) 5 e) 15

02. Calcular la suma de los valores enteros que verifican la siguiente desigualdad:

7x

x

7x

3x4

7x

210

a) 76 b) 70 c) 57d) 50 e) 38

03. Indique el conjunto solución de:

1x

1

1x

12

a) x b) x R - {-1; 1}c) x ]-1;1[- {0} d) x [-1; 1] - {0}e) x R - [-1; 1]

04. Resolver la siguiente inecuación:

4x

16

4x

5x4

Señalando la suma de dos valores enteros del conjunto solución.

a) 53 b) 54 c) 55d) 56 e) 57

05. Luego de resolver:

1x

5x

2x

4x

Dar como respuesta la semisuma de los extremos finitos de los intervalos solución.

a) -2 b) c) 4d) -3 e) 1

06. Resolver:

02x2x

1xx2

2

a) R+ b) R- c) Rd) Z e)

07. Luego de resolver la siguiente inecuación:


1x

2x

2x

1x

Indicar el conjunto solución

a) ]1; 2[ b) ]1; 2] c) [-1; 2]d) [1; 2[ e) ]-1; 3[

08. Resolver:

0ax

)bx()ax( 23

. Si: a > b > 0

a) ]-a; -b[ b) ]-b; a[ c) ]-a; a[d) ]-a; a[- {-b} e) ]-a; a[-{b}

09. Dada la inecuación:

bx

bx

ax

ax

con -a > -b > 0 entonces uno de los intervalos solución es:

a) ]0; + [ b) ]a; b [ c) ]a; 0 [d) ]-; b [ e) ]b; 0 [

10. Dar como respuesta un intervalo del conjunto solución de:

02x

8x2

2

a) ]-; - 2 [ b) ]- 2 ; 2 [

c) [ 2 ; +[ d) [-2 2 ; 2 2 ]

e) ]-2 2 ; 2 2 [

11. Resolver:

x4 + 3x2 + 2x + 2 > 0

a) R b) c) [3; -3]d) R - {-2; 3} e) [0; - [

12. Resolver:

0)3x2x)(1x(

)9x)(4x)(1x(22

222

y dar como respuesta in intervalo del conjunto solución.

a) ]-; -2 ] b) [-3; -1] c) [-1; 2]d) [1; +[ e) ]-1; 3[

13. Si: S representa al conjunto solución de la siguiente inecuación:

0)2x()3x(

)4x()2x()1x(6

523

marque la alternativa correcta:

a) ]1; 2] Sb) [4; +[ Sc) ]-3; 1] S d) ]1; 4] = Se) Más de una es correcta

Par Ordenado: Es un conjunto formado por dos elementos dispuestos en determinado orden:

ra1 Componente da2 Componente

(a ; b)

Propiedades:1. (a ; b) (b ; a) ( no conmutativa)2. Si: (a ; b) = (c ; d) a = c b = d

PRODUCTO CARTESIANO

Dados los conjuntos A y B no vacíos; se llama producto cartesiano A x B al conjunto de pares ordenados (a; b) donde a A y b B; es decir:

A x B = {(a; b) /a A b B}

Propiedades:

1. A x B B x A

2. n(A x B) = n (A) n (B)

Relación:

Definición: Sean a y b dos conjuntos no vacíos se llama relación de A en B, a todo subconjunto R de A x B es decir:

R es una relación de a en B R C A x B

En particular si A = b, R se llama una relación en A (ó relación entre elementos de A).

La definición anterior de relación exige la comparación de elementos por pares, por eso suele llamarse relaciones “BINARIAS”



Ejemplo:En el conjunto A = {9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1}Establecemos las siguientes, relaciones:

* “a” es el doble de “b”** “a” es igual a “b”*

Escribir los pares que cumplen las relaciones respectivamente.Sea:

R1 = {(a, b) /a es doble de b}R1 = {(2,1) (4,2) (6,3) (8,4)}R2 = {(a1 / b) es igual a b}R2 = {(1,1) (2,2)(3,3)(4,4)(5,5)(6,6)(7,7)(8,8)(9,9)}

Si R es una relación entre elementos de A y B al conjunto A se llama conjunto de partida de la relación y a B conjunto de llegada

Se llama dominio de una relación R al conjunto de todos los elementos a A tales que existe por lo menos un b B con (a,b)R

Se llama rango de una relación R al conjunto de todos los elementos b B tales que existe por lo menos un a a con (a,b) R.Ejemplo: De la relación:

R1 = {(1,2)(2,b)(2,7)(3,2)(1,-2)}

DR1= {1; 2; 3} RR1 = {2, b, 7, -2}DR1 = RR1 =

FUNCIONES

Definición: Sean A y b dos conjuntos no vacíos (pudiendo ser A = B) llamaremos función definida en A los

valores en B (función de A en B) a toda relación:

f A x B que tiene la propiedad:(a, b) f y (a, c) f, entonces b = c

Es decir, una función f es un conjunto de pares ordenados de elementos, tal que dos pares distintos nunca tienen el mismo primer elemento.

Notación: Si f es una función de A en B se designa por: f

f : A B ó A B ó

a b

A B

f

Se lee “f” es una función de A en “B” Ejemplos:

a

b

c

1

A BSiendo a

Af

bc diremos:

B

f={(a, 2) (b, 1) (c, 1)} Es función

1

2

3

abcd

M N

f

M Nf

ó

f={(1,c)(2,d)(3,b)}

Es función

1

2

a

bc

M S

f

f

f={(1,b)(2,a)(3,c)}

M S

Si a b c, luego, so es función porque se repite el 1er componente.

Si; a = c b, es función

* Toda función es una relación, pero no toda relación es un función.

Ejemplo: Hallar los valores de “a y b” para que el conjunto de pares ordenados sea una función:

A = {(2,5)(-1,-3)(2,2a - b)(-1; b-a)(a + b2, a)}

Resolución: En una función 2 pares distintos nunca tienen el mismo primer elemento.

A 5 = 2a - b.......... (1) (-1,3) y (-1, b - a) A b = -a = -3..... (2)

De (1) y (2) resolviendo a = 2 b = -1

El dominio de una función f, se designa por Df y se define como el conjunto siguiente:Df = {x A/ y tal que (x, y) f}

Es decir son las primeras componentes de los pares ordenados

El rango (o imagen) de una función f, se designa por “Rf” o “imf” y se define como el conjunto siguiente:

Rf = {y B/ x tal que (x, y) f}

Es decir son las segundas componentes de los pares ordenados.

Si el par ordenado (a, b) f escribiremos:

b = f(a) y diremos que b es imagen de a por f (o también, que b es el valor de f en a).f = {(a, b) A x b/b = f(a), a Df}

Ejemplo: Sea la función:f = {(2, 3)(3, 4)(7, 3)(-2, 6)(4, 1)}Hallar: M =f(2) + f(3) +f(7) +f(-2)+f(3)

Resolución:Como f(2) = 3; f(3) = 4; f(7) = 3 f (-2) = 6; f(4) = 1 M = 18

Regla de Correspondencia: Para que se pueda definir bien una función es suficiente conocer su dominio (Df), y una regla que permita asignar para cualquier x Df, su imagen f(x).

Ejemplo:

Hallar el dominio en las siguientes funciones:

a) f = {(2, 3)(4, 5)(6, 3)(-2, 1)} Df = { 2, 4, 6, -2 }


b) f(x) = 2x

Df : x - 2 > 0 : x 2 Df = [2, >

c) f(x) = 3x

3

5x

2x

Df : 5x

2x

0 y x - 3 0

-5 2

y x 3+ +

Df = <-, -5> [2, > -{3}

Ejemplo: Hallar el rango de las siguientes funciones:

a) f = {(2, 3) (4, 6) (5, 7)(7, 6)(-2, 3)}Rf = {3, 6, 7, 3}

b) Sea f(x) = x2

y = ;

Ry

Rxx2

Df= <-, >U {0} ; Rf=[0, >

* Tenemos varias formas de hallar rangos, presentaremos las mas conocidas:

Cuando tenemos una función donde su dominio no presenta rango, se despeja “x” en función de y;

Cuando tenemos un intervalo como dominio usamos desiguales.

c) Para la función definida por:g(x) = 2x2 + 3x + 2 / x R

Resolución:

y = 2x2 + 3x+ 22x2 + 3x + (2 - y) = 0

)2(2

)y2)(2(493x

Si x ; luego “y” también

Pero: 0; 9 - 8(2 - y) 0 y 7/8Rg = {7/8, >

d) Para la función definida por:h(x) = x2 - 4x + 7; x [2, 3]

Resolución:y = x2 - 4x + 7y = (x - 2)2 + 3

Como: 2 x 3 0 x - 2 1Al cuadrado: 0 (x - 2)2 1

Sumando tres a cada miembro:

43)2x(3 2 3 y 4

1x

x2

2

Resolución:

y = 1x

x2

2

; yx2 + y = x2 x2(y - 1) = -y

x2 = y1

y

x =

y1

y

y1

y

0; 1y

y

0

y [0,1> Rf = [0,1>

0 1

+ - +

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

Definición: Sea f una función real, la gráfica de f e el conjunto G, de todos los puntos (x, y) en el plano, tal que x está en el dominio de f e y, es la imagen de x por f, es decir:

G = {(x, y) R2 /y = f(x), x Df}

* Una gráfica cualquiera será función; si y sólo si al trazar una paralela al eje “y” corta a la gráfica en un sólo punto.

Ejemplo:

a)

x

L1

y

y

F(x)

F(x) es función L1, la recta paralela corta a la gráfica en solo un punto.

b)

x

L2

y

G(x)

G(x) no es función L2, la recta paralela, corta a la gráfica en más de un punto.

FUNCIONES ESPECIALES

1. Función Constante:- Regla de correspondencia f(x) = k

Df = R Rf = k

Significa que f = {.... (0, k) (1, k) (2, k) ....} f = {(x, k) / f(x) = k}Gráfica:

0

y

2 3 6 x

f(x)=k

2. Función Identidad:

- Regla de correspondencia x)x(f

Df = R Rf = R

Significa que F = {...(1, 1)(2, 2) (3, 3) ...}

x = y}

Gráfica:

y

x

f(x) = x

3. Función Valor Absoluto:

- Regla de correspondencia f(x) = |x|

Nota:

0xsi;x

0xsi;x|x|

Df = R; Rf = R+ {0}

Significa que

f = {... (-2, 2) (-1, 1)(0, 0)(1, 1)...}

f(x) = |x|y = |x| x = 1; y = 1 x = -1; y = 1

Gráfica:

x

y = |x|

y

4. Función Raíz Cuadrada:- Regla de correspondencia: f(x) =

x . x0- Df = R+; Rf = R+

Significa que:

f = {(0, 0)(1, 1)(2, 2 )(3, 3 ) ...}Gráfica:

x

y =

y

x

5. Función Lineal:

Es una función con dominio todos los reales y como regla de correspondencia:f(x) = ax +b, donde a y b son constantes cualesquiera. a 0 Su gráfica es un recta: con

pendiente “a” e intercepto “b”

Gráfica:

x

y

b

y = mx + bm > 0

x

y

y = mx + bm < 0

m = pendiente de la recta

m = tg

Ejemplo:

Calcular la función lineal que tenga:f(1)= 3 y además f(2) = 2f(3).

Resolución:

f(x) = mx + b f(1) = m + b = 3 ................ ()

Además: 2m + b = 2(3m +b) 2m + b = 6m + 2b b = - 4m .............

()

De () y (): m = -1 b = 4

f(x) = -x +4

6. Función Cuadrática:

Definición: Es una función con dominio el conjunto de lo números reales y cuya regla de correspondencia es:f(x) = ax2 + bx + c; a, b, c, ; a 0

Su gráfica es una parábola simétrica respecto a una recta vertical, llamada eje de simetría, abierta hacia arriba si a > 0 hacia abajo si a < 0.

Nota Gráfica:

Sea la función y = ax2 + bx + cD = Discriminante = b2 - 4ac

x

yI.

-b/2a

x

VERTICEf(-b/2a)

1 x2

x

y

x

VERTICEf(-b/2a)

1x2

a > 0D > 0

-b/2a

a < 0D > 0

{x1; x2 } raíces de la ecuación cuando y = 0

x

yII.

x1 x2= = - b/2a

a > 0D > 0

x

y

x1 x2= = - b/2a

a < 0D = 0

{x1; x2 } raíces iguales de la ecuación cuando y = 0

x

yIII.

f(-b/2a)

-b/2a

a > 0 , D < 0

x

y

f(-b/2a)

-b/2a

a < 0 , D < 0

En esta función cuando “y” = 0; los valores de “x” son números complejos.

Otras funciones

Funciones Pares:

Son aquellas funciones que se caracterizan por ser simétricas respecto del eje “y” ; y se cumple que:

i) Si x Df -x Df

ii) f(x) = f(-x) x Df

Funciones Impares:

Son aquellas funciones que se caracterizan por ser simétricas respecto del origen:

i) Si x Df -x Df

ii) f(x) = -f(-x) x Df

Ejemplo:

Indicar que funciones son pares, impares o ni par ni impar:

I) F(x) = x4 + 1II) G(x) = x3III) H(x) = x - |x|

I) F(x) es par porque: F(-x) = (-x)4 + 1 F(-x) = x4 + 1 F(-x) = F(x)

H(x); También H(-x)

H(x)

b

a

es:

a) 4 b) 2 c) 4

1

d) 3 e) 702. Si: G = {(6, 4)(3, 6),(3, |x|), (x, 5)}

Representa una función su rango y dominio son:a) {6, -6, 5} ; {3,6}b) {3,6,-6} ; {3; -6}c) {4, 6, 5} ; {3, 6, -6}d) {4, 6, 5, -6} ; {3, 6, -6}e) {4; -6; 5} ; {3, -6}

03. A partir de: f = {(5,2)(4,1) (3,8) (7,-6)}Hallar: f(4) + f(5) - f(7)

a) 3 b) -3 c) 9d) 6 e) -6

04. Si: g = {(-4, 2) (5, a), (8, b), (3, 1)}Y además: g(5) = 10; g(8) =

4.Hallar:f(-4) + a - b

a) 2 b) 6 c) 4d) 3 e) 8

05. Sea f = {(x, y) / y = 2x - 1}Y además Dom f = x {-5, 2, 3, 4}Hallar el rango de f

a) {-4, -1, 2, 3} b) {-4, 1, 2, 3}c) {-11, 5, 3, 7} d) {-9, 5, 3, 7}e) {-9, -3, 5, 7}

06. Dada; la función:G = {(x, y) N x N/ y = 2x 3 x

10}Indique uno de sus elementos:

a) (4, -8) b) (12, 6) c) (4,8)d) (8, 4) e) (3,12)

07. Calcular el Dominio de:

f(x) = 4x2

a) x -<-2, 2>b) x <-2, 2>c) x [-2, 2]d) x <-, -2> <2; +>

e) x +

08. Hallar el Dominio de:

2x

5x)x(f

2

a) x - {-2}b) x -{2}

c) x - {2, 5 , - 5 }d) x - [2, +>e) x {2}

09. Sea: 1x

32x)x(G

.Calcule su Dominioa) x [2, +>b) x [-2, -1]c) x [-2, > - {-1}d) x [-2; -1>e) x <-, 2] - {-1}

10. Obtener el Dominio de:

3 6x5|x|)x(H

a) x <-5, 5> b) x [-5, 5]c) x - [-5, 5] d) x - <-5, 5>e) x - {-5, 5}

11. Dada la función:

6xx

2xx)x(g

2

2

Obtener su dominio:

a) x <-, -2] [3; +]b) x <-2,3>c) x [-2, 3]d) x - [2, 3]e) x - [-2, 3]

12. Hallar el Dominio de:

4x3x

9x)x(f

2

2

a) x [1, 3] b) x [-1, 3]c) x -{-1, 3} d) x e) x - <-4, 1

13. Calcular el rango de:

6x

5x)x(f

a) y - {6} b) y - {1}c) y - {-1} d) y - <-5, 5>e) y - {-6}

14. Hallar el Rango en:

6x

3x)x(g

2

2

a) y - {1} b) y - {0}

c) y < - 2

1

; 1] d) y - - {-3}

e) y [ 2

1

, 1>


x

2

1x

3)x(H

a) y - b) y + {-1}c) y <-; 0>-{-1} d) y e) y + - {1}

16. Sean las funciones:

x2x

4)x(g;

x1

x)x(f

2

2

Luego podemos afirmar:

a) Presentan el mismo Rangob) Sus Rangos se diferencias en un valor

c) f(0) = g(0)d) f(1) = g(1)e) Hay 2 correctas

17. Obtener el Rango en:

f(x) = x2 + 5x +7

a) y [5,7] b) y [4/3 , + >c) y [3/4; +-> d) y <-: 4/3]e) y <-; 4/3>


H(x) = 2x2 - 4x +5

a) y <3; +> b) y [0,3]c) y <-, 3> d) y - <-, 3>e) y

19. Obtener el Rango en:

f(x) = x3x3

a) y [2, 3 2 ]

b) y [2, 6 ]

c) y [ 6 , 2 3 ]

d) y [0, 6 ]

e) y [2, 2 3 ]

20. Dada la función:

1x2x2

xy/)y,x(F

2

22

Indique la suma de sus valores extremos:

a) 2 b) 1 c) 0d) -1 e) 3

21. Sea:

f(x) = 3x

5x2

; 3 x 5

Hallar el rango

a) <3,5> b)

6

1;

8

1

c) [4, 6]

d) [11; 15] e)

8

15;

6

11

22. Hallar el Rango de: f(x) = x2 - 6x 10Si su dominio está dado por: x [-2, 1>

a) <4, 25] b) <5, 26] c) [-5,-2>

d) e)

23. ¿Qué gráficos representan funciones?

I)

x

y

II)

x

y

III)

x

y

IV)

x

y


V)

x

y

a) Sólo I b) I y II c) Sólo IId) I y III e) Todos

24. Del gráfico:

x

y

-4

-5

8

9

f(x)

Obtener el dominio de f(x)

a) x [-5, 9] b) x [-5, 9>c) x [-4; 8> d) x [-4, >e) x [-4, 8]

25. Graficar: g(x) = x + 2

a)

x

yb)

x

y

-2 2

c)

x

yd)

x

y

2

2

e)

x

y

2

26. Graficar: h(x) = 5 - x2

a)

x

yb)

x

y

5

-5c)

x

y d)

x

y

5

e)

x

y

27. Graficar: f(x) = x |x|

a)

x

yb)

x

y

c)

x

yd)

x

y

e)

x

y

28. Grafique: 5x

10x3x)x(f

2

a)

x

yb)

x

y

5

c)

x

yd)

x

y

5

c)

x

y

29. Del gráfico:

x

y

5

4-4

-3

Hallar f(-4) + f(4)

a) -2 b) 2 c) 1d) 3 e) 6

30. Dada la función: f(x) = ax2 + 2x +3 ; a 0Si: f(xo) f(x) x Dom f. Hallar “xo”

a) a-1 b) -a-1 c) -1

d) - 3

3

e) 3 / 3

TAREA DOMICILIARIA N° 02


01. Hallar el rango de:

G(x) = x3x3

a) [0, 6] b) [0, 6 ] c) [2, 6 ]

d) [ 2 , 3 ] e) [-2, 6 ]

02. Del problema anterior:Si los radicales estuvieran multiplicándose, ¿Cuál sería el Rango?

a) y - b) y + c) y [0,3]

d) y [0, 3 ] e) y [ 2 ,

3 ]

03. Sea:f(x) = {(3,3) (4,4) (5,5) (1,1)}Su gráfica es:

a)

x

yb)

x

y

c)

x

yd)

x

y

e)

x

y

04. De g(x) = 3x +5 , x <2, 6>

Hallar su Rango:

a) <11, 18>b) <0, 23> c) [11, 8]d) <11, 23>e) [11, 23]

05. De H = {(2, 6), (5, 4) , (6, 3) ,(9, 1)}Hallar: f(2) + 2f(5) + 3f(6) - f(9)

a) 19 b) 17 c) 22d) 24 e) 23

06. Hallar el dominio de:

g(x) = 6x

35x

a) x - {6} b) x {6}c) x <-, 5> d) x e) x [5, +> - {6}

07. Obtener de Dominio de:

2x

6x5x)x(F

2

a) x {2} b) x - {-2}c) x - {-1} d) x - {2}e) x - {1}

08. Calcular el Dominio de:

G(x) = 6x4x

a) x [-6, +> b) <-, -4]c) x <-, 4] d) x <-, -3]e) x [-4, +>

09. Halle el Rango: f(x) = x2 - 5x +2

a) <-, 17] b) <-,2] c) <-, 3]

d) y

;

4

17

e)

10. ¿Qué gráfica no representa una función?

a)

x

yb)

x

y

c) d)

e)

x

y

11. Hallar Df Rf . A partir de:

6x

2x)x(f

a) - {6, 1}b) - {1} c) - {6}d) [1,6] e) <1, 6>

12. Hallar el Rango: 2x

3x)x(f

2

2

a) y + b) y - <-3/2; 1]c) y - [-3/2, 1> d) y [-3/2, 1>e) y <-3/2, 1>

13. Si: f = {(3,5) (2,6) (3, a - b) (2, a - 1)}Es función, Hallar: a + b

a) 8 b) 5 c) 9d) 7 e) 10

14. Graficar: f(x) = 3x - 5

a)

x

yb)

x

y

-3

c)

x

yd)

x

y


c)

x

y

15. Graficar: G(x) =x2 - 10x + 28

a) b)

x

y

c) d)

x

y

e)y

x

16. Hallar el dominio: f(x) = x + x

1

a) x - b) x c) x +d) x -o e) x + - {0}

17. ¿Qué gráfica no representa función?

a) b)

x

y

c) d)

x

y

e)

x

y

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo IIId) I y II e) II y III

18. Graficar: g(x) = 2x2 + 4

a) b)

x

y

c) d)

x

y

e)

19. Graficar: f(x) = 4x

12xx2

a) b)

4

-4

y

x

c) d)

3 3

4

y

x

d)

-34

20. Graficar:

4x

)2x)(2x)(9x()x(H

2

2

a) b)y

x

-9

9

c) d)y

x2-2

y

x

9

e)

-4

y

x4


01. Si:

F = {(1; 3) (2; 5) (0; 2)}

G = {(3; 2) (-1; 0) (2; 10)}. Hallar:

)3(G)1(F

)))1(G(F(G)))1(F(G(F



a) 3 b) 2 c) 1d) 0 e) -1

02. Si:

3x;3

3x2;1

2x;2

F

Hallar: E = F(3) + F(2) + F(5/2)

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

03. Hallar m. n sabiendo que:

F= {(3; 4); (2; 1) (3; m-n); (2; m-4n); (mn; n2)}

Es una función:

a) 4 b) 10 c) 6d9 5 e) 8

04. Dado: F: A B

1

2

3

1

2

3

F

A B

Si: F(1) + F(2) + F(3) = 0, hallar:

a) 3 b) -3 c) 2d) 6 e) 1

05. Determine el rango de “F” si

1x

1)x(F

2

a) [0; 1] b) ]-1; 1[ c) [-1; 0]d) ]0; 1] e) ]-1; 0[

06. Calcular la suma de los valores enteros de la siguiente función:

4x

1x)x(F

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 10

07. Sea la regla de correspondencia de una función:F(x) = x2 - 2x - 1 / x [-2; 5[Hallar el rango de dicha función

a) [7; 14[ b) [-2; 14[ c) ]7; [d) ]-7; 7[ e) ]-14; 14[

08. Si: 18x4x)x(F 2 .Podemos afirmar que:

a) DF = [O; [ b) RF = [3; [c) RF = [0; [ d) DF = R - {-2}

e) RF = [1+2 2 ; [

09. La gráfica de: F(x) = 3x es aproximadamente:

a) b)

xx

y y

c) d)

xx

y y

e)

x

y

10. Siendo la gráfica de F(x) = x2

y

x

y = x2

Hallar el rango de G(x) = x2 + 3

a) R b) R+ c) R-d) ]-3; [ e) [3; [

11. Indicar qué funciones son idénticas:

I.2x

x)x(F

x

1)x(G

II. x

x)x(G

2

G(x) = x

III. F(x) = x G(x) = 2x

a) Sólo I b) Sólo II c) I y IId) I y III e) Todas

12. Hallar el dominio y el rango de:F(x) = x2 - 6x + 8. e indicar DF - RF

a) ]1; [ b) [-1; 1] c) ]- ; -1[d) ]-1; [ e) ]-1; 1[

13. Sea “F” una función constante , tal que:

104)1(F

)7(F)5(F

. Hallar:

)0042(F

)0022(F)0002(FE

a) 1 b) 2 c) 5d) 10 e) Absurdo

14. Encontrar una función lineal “F” tal que:F(2) = 3 y F(3) = 2F(4)

a) F(x) = x + 2 b) F(x) = 3x + 6

c) F(x) = 2x + 3/2 d) F(x) = x/2 + 2e) F(x) = -x + 5

15. Sean F y G dos funciones definidas en Q por: F(x) ax - 1; G(x) 3x + bTales que: F (1) = G (-1); F (-1) = G (1)Entonces: F (2) + G (3) es igual a:

a) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2

16. La gráfica de la función:

cbxx3

2y 2

intercepta al eje “x” en los puntos (-2; 0) y (5; 0) y al eje “y” en el punto (0; k). Hallar el valor de (b - c + k)

a) 23/5 b) -23/5 c) -46/3d) 46/3 e) 50/3

17. Dada la función cuadrática: F(x) = ax2 + bcuya gráfica se muestra, calcular abc


x

y

-2 C

-24

-9

-4

a) -20 b) 20 c) -24d) 18 e) -12

18. La gráfica de F es aproximadamente:

x

y

Parábola

Si F(x) F(-8) x R, hallar la media geométrica de los valores de t, al resolver F(2 - T) = 0

a) 6 b) 4 c) 5d) 8 e) 3

19. Dada la función polinomial:F(x) = ax7 + bx3 + cx - 5; a, b c Si: F(-7) = 7, hallar el valor de F(7)

a) -7 b) 14 c) 21s) -17 e) No se puede determinar

20. Sea F: R; F(x) = ax2 + bx + c;

cuya gráfica se da en la figura. Hallar el conjunto solución de (9 - x2) F(x) < 0

24

F

a) ]-4; 3] [2; 3] b) ]-4; -3[ ]2; 3[c) ]-4; 3[ d) ]-; 4[ ]3; [e) ]-4; -3[ ]3; [

TAREA DOMICILIARIA

01. Sea la función F tal que:F = {(2; 5); (3; a2); (2; a + b); (3; 4);

(b; 5)}Hallar: “ab”

a) 14 b) 6 c) -6d) -14 e) 21

02. Si F representa a una función dada por:

F= {(3; 7a + 2b); (2; 5); (2; a + 2); (3; 5b-2a)}Diga cuál de los conjuntos son también funciones:P= {(a; b); (b - a; 5); (5; b - a); (a+b; 5)}Q={(3; b); (b; 3); (3; 8); (9; 2a - b)} R= {(3; 5); (9; 7); (b; a); (5a; 3b)}

a) P y Q b) Sólo P c) sólo Rd) Q y R e) P y R

03. Indicar el dominio de: )5x(x)x(F

a) ]-; 0] [5; +[ b) ]- ; 0[ [5; +[c) ]- ;0] ]5; +[ d) ]- ;2] [5; +[e) ]- ; 0] ]2; +[

04. Sea: nx

n)x(F

2

, n constante positiva, hallar el rango de “F”

a) [0; 1] b) ]- ; 0] ]1; +[c) ]- ; 0[ ]1; +[ d) [0; n]e) ]0; 1]

05. Hallar el rango de la siguiente función:

2x

x4x)x(F

3

a) b) [1; +[ c) [-1; +[d) - {-2} e) ]1; [

06. Con respecto a la función:

}x

1xy/R)y;x{(F 2

Podemos afirmar que:a) Dom(F) = b) Ran(F) = -{0}c) Dom(F) = ]0; +[d) Ran(F) = [-2; 2]e) Ram(F) = - ]-2; 2[

07. Con respecto a la función:

1x2

3x4y/R)y;x(F 2

No es verdad que:

a) Dom(F) = - {1/2}b) Ran(F) = - {2}c) (0;3) Fd) (1;1) Fe) Ran(F) = - {1/2}

08. Determine el rango de la función de variable real con regla de correspondencia es:

15xx24)x(F 2

a) ]4; 12] b) ]0; 8] c) [0;8[d) [4; 8] e) ]4;8]

09. Determine el rango de:

1xx

x4)x(F

2

a) ]-3; 3[ b) R - [-4; 3

4

]c) ]-; -2[ ]2; +[ d) R

e) [-4; 3

4

]

10. Se tiene la función definida en Z, cuya regla de correspondencia es:

100x));5x(F(F

100x;3x)x(F

Calcular el valor de F(97)

a) 96 b) 97 c) 98d) 99 e) 100

Si b es un número real positivo distinto a la unidad , se llama función logarítmica en base b a aquella función que tiene por dominio al conjunto de los números reales positivos, cuya regla de correspondencia viene dada por:

xlog)x(F b

Es decir:

Rx1bRb;xlogy/)y;x(F b

Frecuentemente a la función logaritmo en base b se le define como la función inversa de la función exponencial de base b.

LOGARITMO

“Se denomina logaritmo de un número real positivo al exponente al cual será necesario elevar una base positiva y diferente de la unidad para obtener como resultado una potencia igual al número propuesto”

Notación: xlogy b

................................( I ) Donde: y = logaritmo ( y R)

x = número propuesto

)Rx(

b = base )1bRb(

De acuerdo con la definición de logaritmo y de la notación (I), se puede establecer que:

xby ........................................( II )

Si se sustituye (I) en (II) se obtendrá la siguiente igualdad fundamental:

xb xlogb Esto equivale a simplificar

b con blog

Ejemplo: De acuerdo con la definición de logaritmo, podemos establecer:

2 3= entonces,

3log8 : =

281) Como:

Esto se lee así: “3 es el logaritmo de 8 en base 2”

3 3= entonces,-3 log: - =3

2) Como : 127

127

Esto se lee así: “- 3 es el

logaritmo de 27

1

en base 3”

PROPIEDADES GENERALES DE LA FUNCION LOGARITMICA

1. En el campo de los números reales no existe el logaritmo para números negativos.

2. Si la base b está comprendida entre cero y uno (0 < b< 1) los números comprendidos entre cero y uno tienen logaritmos positivos y los logaritmos de números mayores que uno serán negativos.

3. Si la base b es mayor que uno ( b > 1), los números comprendidos entre cero y uno tienen logaritmos negativos y los

logaritmos de números mayores que uno serán positivos.

4. El logaritmo de la unidad es cero.

1bRb01logb

5. El logaritmo de la base es uno.

1bRb1blogb

PROPIEDADES OPERATIVAS DE LOS LOGARITMOS

A) Logaritmo de un Producto:

Rx,x;1b0b 21

2b1b21b xlogxlog)x.x(Log

Ejemplo: 15LogT 8 , podríamos expresarlo como:

5log3log)5.3(logT 888

B) Logaritmo de un Cociente:

Rx,x;1b0b 21

2b1b2

1b xlogxlog)

x

x(Log

Ejemplo: )

2

17(logT 5

, podríamos expresarlo como:

2log17logT 55

C) Logaritmo de una Potencia:

Qn;Rx;1b0b

xlognxlog bn

b

Ejemplo:

Reducir: 3

75

24

3 7log2log3logT

Por la propiedad:

7log32log53log4T 723

)1(3)1(5)1(4T

T= 4+5+3 12T

D) Podemos elevar a una misma potencia a la base y al número, y el logaritmo no varía.

Qn;Rx;1b0b

nbb xlogxlog n

Ejemplo: Para 16log9 tenemos:

256log16log16log 812

99 2 , o

también

4log16log16log 399

* Corolario : n

mblog m

bn

E) Cambio de base:Permite expresar el logaritmo de un número x en base b en otra base m, según la fórmula:

logb

x =log

mx

logm

b blog

mx log

bx log

m= .

Incógnita Dato

Dato

Ejemplo: Expresar 5log3 , en base 2De acuerdo con la 1ra. Fórmula :


3log

5log5log

2

23

Ejemplo: Expresar 3log7 en base 7Según la 1ra. Fórmula:

7log

3log3log

3

37

, es decir: 7log

13log

37

PROPIEDAD: El logaritmo de un número x en base b es igual al inverso del logaritmo de b en base x.

blog

1xlog

xb

REGLA DE LA CADENA

Es una relación matemática que permite multiplicar logaritmos dispuestos en la forma.

elogelog.dlog.clog.alog bdcab

Ejemplo: Calcular el valor de x de la igualdad :

532log.7log 7x

Aplicar la regla de la cadena en el primer miembro es equivalente a hacer simplificaciones sucesivas, tal como se indica:

532log.7log 7x

Después de simplificar cuidadosamente, nos queda:

532log x

Por definición de logaritmo se debe establecer que:

32x5

De donde : x = 5Observaciones: Para la resolución de algunos ejercicios pueden ser útil tener en cuenta las siguientes relaciones.

I) Si:

212b1b xxxlogxlog

1b0b

Rx,x 21

II)alogclog bb ca

SISTEMAS DE LOGARITMOS

Un sistema de logaritmo de base b, es el conjunto de todos los logaritmos de los números reales positivos en base b,

tal que b > 0 1b

Ejemplo: Para los conjuntos:

Rx;xlogy/RyA 2

Rx;xlogy/RyB 8,0

Tenemos: A : Es un sistema de logaritmos en base 2B : Es un sistema de logaritmos en base 0,8

Es fácil deducir que así como existen infinitas bases; existen también infinitos sistemas de logaritmos de entre los cuales los de mayor uso son dos.

A) SISTEMA DE LOGARITMOS DECIMALES

También llamados logaritmos vulgares o logaritmos de Briggs, es

el sistema que tiene como base al número 10, es decir:

Rx;xlogy/RyA 10

Notación utilizada: xlogxlogy 10

Lectura: y= log x: logaritmos del número x

B) SISTEMA DE LOGARITMOS NATURALES

También llamado sistema de logaritmos neperianos, en honor a su inventor Jhoan Napier, es el sistema que tiene como base al número irracional: e= 2, 718 281 82....

Notación utilizada: xlnxlogy e

Lectura: y= ln x: logaritmo natural del número x

C) FORMULAS DE CONVERSION

I.Conversión de logaritmos naturales en decimales.

log x = 0,4343 ln x

DatoIcógnita

II.Conversión de logaritmos decimales en naturales.

x = 2,3026ln x

DatoIcógnita

log

COLOGARITMO Y ANTILOGARITMO

COLOGARITMOSe llama cologaritmo de un número de una base dada al opuesto (negativo) del logaritmo de dicho número, es decir:

xlogxlogCo bb

1b0b

Rx

ANTILOGARITMOLlamada también exponencial, se define así:

xb bxloganti

1b0b

Rx

Ejemplo: Reducir:

)5,0(loganti4logCoT 42

Por las definiciones: 5,0

2 44logT

21

22 42logT

Por propiedad:

4)2(log2T 2

2)1(2T T = 0

RELACIONES ENTRE OPERACIONES: Colog ; antilog y log

I. x)x(logloganti bb

II. x)xloganti(log bb

III. x)xloganti(logco bb


GRAFICA DE LA FUNCION LOGARITMICA

CASO I:Si : 0 < b < 1

Para este caso la gráfica de la función logaritmo es como se muestra; de donde se pueden apreciar las siguientes propiedades:

I) ;)F(Ran;;0)F(Dom

Esto significa que la curva está situada siempre a la derecha del eje de las ordenadas (eje Y)

II) F es univalente (inyectiva) en todo su dominio.Esto significa que tiene inversa.

III)Intercepta al eje X en (1; 0)Esto significa que el punto: (1; 0) F

IV) La función es decreciente en todo su dominio

,Fx,x 21 si: )x(F)x(Fxx 2121

V) Si x crece ilimitadamente, F(x) decrece ilimitadamente.

VI) Si x se aproxima cero, F(x) crece ilimitadamente.

F(x2)

Y

x2 X1x1

F(x )

y=x

1F:y=bx

F-1: y = log bx

1

CASO IISi : b > 1

La gráfica de la función es como la mostrada en la figura

De donde podemos apreciar las siguientes propiedades:

I) ;)F(Ran;;0)F(Dom

, la curva está situada siempre a la derecha del eje de las ordenadas (eje Y)

II) F. es univalente (inyectiva) en todo su dominio por lo tanto tiene inversa.

III)Intercepta al eje X en (1; 0) es decir el punto (1; 0) F

IV) La función es creciente en todo su dominio:

Fx,x 21 , Si: )x(F)x(Fxx 2121

V) Si x crece ilimitadamente, F(x) crece ilimitadamente.

VI) Si x se aproxima a cero F(x) decrece ilimitadamente.

y=x F( x )1

x1

1 x2 X

Y

1

F( x )2

F: y =logbx

F: y = bx

LOGARITMOS DECIMALES

Reciben este nombre todos aquellos logaritmos de base 10 como por ejemplo:

xlogy , donde: x= y10

Es fácil deducir que si “x” es una potencia exacta de 10, es decir de exponente entero, su logaritmo “y” decimal, es también un número entero; en cambio si “x” es una potencia de exponente fraccionario de 10, su logaritmo decimal “y” será también un número fraccionario.

Ejemplo:

210log100log 2

310log001,0log 3

4

110log10log 4

14

Si “x” no es una potencia racional de 10, su logaritmo es un número irracional.

Observación: Dentro del cálculo logarítmico , es frecuente usar logaritmos de 2 y 3 ya que conociendo a estos, y con el auxilio de las propiedades de los logaritmos, se podrán conocer los logaritmos de todos los números compuestos por ellos.

I) log 2 = 0, 30103II) log 3 = 0, 47712

A) FORMA GENERAL DE UN LOGARITMO DECIMAL

MANTISA,TICACARACTERISxlog x > 0

Donde la característica y la mantisa se definen de la siguiente manera:

I) Característica .- Es la parte entera del log x; ésta puede ser positiva o negativa y se puede calcular mediante reglas sencillas.

II) Mantisa .- Es la parte decimal del log x, y se calcula mediante tablas.

B) DETERMINACION DE LA CARACTERISTICA

Considerando al logaritmo de x: log x, se distinguen dos casos para determinar su característica, la misma que se calculará teniendo en cuenta las siguientes reglas:

I) Si x > 1 log x > 0

La característica en estos casos es positiva e igual al número de cifras de la parte entera de x disminuido en uno ( 1 ).

Ejemplo : log 457

log 2 457,29

,

,

la característica es


3

4 1

1=

=-

- 2

3:

:

II) Si 0 < x < 1 log x < 0

La característica en estos casos es negativa e igual al número de ceros que suceden a la primera cifra significativa de x incluyendo al cero ubicado a la izquierda de la coma decimal.

Ejemplo : log 0,000923

log 0,0089

,

,



-4 =

=-3

4

3:

:


Observación .- la expresión 091176,3

indica que solo la parte entera es negativa, es decir, no debe confundirse con: - 3,176 091.

Si se desea saber el valor de 091176,3 , se deberá efectuar así: - 3 + 0,176 091 = - 2,823 909

PRÁCTICA DE CLASE

01. La igualdad: xlogaax

Se cumple si y sólo si:

a) a > 0 ; x Rb) a > 1 ; x R - {0}c) a 1 ; x > 0 a > 0d) a R - {1} ; x R - {0}e) a > 1 ; x > 0

02. Calcule:

169Log64Log216LogE 1386

a) 5 b) 7 c) 9d) 11 e) 3

03. Con los siguientes datos: Log 2 = a y Log 3 = bHallar: Q = Log 72

a) 2b + a b) a - 2b c) 3b - 2ad) 2b + 3a e) 3 - 2a

04. Hallar el valor de :

P =

37log72log

5 2log

9 5log

a) 2 b) 4 c) 1/4 d) 1/2 e) N.a.

05. Simplificar :M = log94 . log53 . log725 . log2 49

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

06. Calcular “” en : = (log tan 1° ) ( log tan 2° ) ( log tan 3°) .......

(log tan 89°)

a) log tan 89! b) 1 c) 0 d) -1 e) [log tan 89° ]89

07. El valor de “x” diferente de L que verifica :log x2 = ( log x )2, es :

a) 10 b) 2 c) 100 d) 0,1 e) 0,01

08. A partir de la igualdad :

5log32

)2x(7

log

Indicar el valor de “x”.

a) 48 b) 51 c) 55 d) 58 e) 16

09. Halle el mayor valor de “x” en la igualdad :

2511

211 log)21x7x(log 35

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

10. Resolver y hallar “x” en la ecuación

15log10log

1

10log

1

)1x()3x(

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

11. Determinar “x” a partir de : 3x = 5

a) x = log5 3 b) x = log35 c) x = 3log 5 d) x = 5log 3 e) x = log 1/35

12. Obetener el valor reducido de :

A = Antilog

3logCo75log

2logAnti8log2

55

32

a) 10 b) 10 c)

100 10

d) 10 10 e) 1

13. Hallar “x” en: 4)3x2(LogLog 524

a) 10 b) 14 c) 6d) 2 e) 4

14. Calcular: 43Log

74Log

7 5Log3

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 7

15. Calcular:

3Log4Log

5Log3Log

4Log2Log

a

c

c

b

b

a

5

a) 2 b) 25 c) 5d) 1/5 e) 125

16. Calcular:

3LogxLog aa x73

si se sabe que: aLog32x

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

17. Reducir:

cLog1

1

bLog1

1

aLog1

1

abacbc

a) ½ b) abc c) a + b + cd) ab + ac + bc e) 2

18. Calcular:

81LogLog25,0 35,09logCo 16

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

19. Calcular: 2logco

325.0 779Logloganti2Log

a) 2 b) 8 c) 4d) 0,5 e) 0,25

20. Señalar la menor raíz de la ecuación:

1710

103.100xLog

10LogxLog

a) 2/3 b) 2/5 c) 3/2d) 5/2 e) 5

21. Hallar “x” en:


Lnx3Lnx2Lnx1 233

a) e b) e2 c) e-1

d) e e) e/2

22. Luego de resolver: 13Lnx Lnx42Lnx señalar el

producto de sus soluciones

a) e4 b) e7 c) e6d) e8 e) e13

23. Si: 2a4Logy3bLog ba , indicar el valor

de “b”

a) 582 b)

522 c) 324

d) 2 e) 322

24. Resolver:

Loga64 Logxa = 3

a) 2 b) 8 c) 6d) 4 e) 5

25. Al resolver la

ecuación: 25x

2x 4xlog

podemos afirmar:

a) Admite como solución a la unidadb) Se verifica para x = -9c) Su C.S. = {-9; 1}d) Es inconsistentee) Es indeterminada

26. El valor de :

M = 26log24log23log 55332 2 ; es

:

a) 198 b) 190 c) 187d) 202 e) 1181

27. El equivalente de :

Q = 34log

9 8log16

a) 2 b) 4 c) 8 d) 16 e) 32

28. Sabiendo que :

5,0)23(alog 3 2a

Obtener el valor de :

5,0)23(alog 4a

a) 0,8355 b) 0,9375 c) 0,5724d) 0,7218 e) 0,6521

29. Calcular :

9

1

25

15Log

+ 25,0logAnti 9log 8logCo 0,5

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

30. Hallar “x” en :

2xLog 3

5logAnti

3logAnti 2 = 3

31. Hallar “x” en :

xlogAntilogCo

10logLog3

= Colog x

x

a) 1/5 b) 1/3 c) 2/3d) 2/5 e) 3/5

32. Si :yx =

1010 ………… (1)xlogy =

2510 ……… (2)

Calcular (x - y) .

a) 10 b) 210 c)

310

d) 410 e) N.A.

33. Encontrar el dominio de la función F definida por:

F(x) = x23log 3x4

a) < 4

3

; 3

2

> b) <0; 2

3

> c) < 2

1

; 2

3

>

d) < 4

3

; 4

5

> e) < 4

3

; 2

3

> - {1}

34. En la figura C representa una función logarítmica

y L una función lineal. Hallar la suma de las coordenadas en el punto P.

L

P

C

4xa

41

-1-2a

y

a) 2

3

b) 3

2

c) 1

d) 2

1

e) 2

35. Del siguiente gráfico :

recta

Q

Curva

xa45°

y

Logarítmica

O

2a; -21

Calcule el segmento OQ

a) 2 b) 2

1

c) 2

d) 2

1

e) 1


01. Calcular : 77logE

(7

7 )

a) 1 b) 7 c) 7

d) 2

7

e) 2

7

02. El valor : 100

aalog

a . 3 10

b blog

es :

a) 100 b) 1000 c) alog 100

d) 10 e) blog 100

03. Calcular log y si :


y = 2log 4

2loganti

6 2

logco 8

a) - 3 log 3 b) 2 log 3 c) - 2 log 3d) 3 log 2 e) No existe en R

04. De las proposiciones siguientes :

1,0logco 1000 000 = 6

log 1000logco 1000loganti (-1) = 0Los logaritmos de números reales

positivos son siempre positivos.Es falso que en ningún caso se

cumple que :

log x + log y = log(x+y)

¿Cuántas son falsas?

a) todas b) 3 c) 2d) 1 e) Ninguna

05. Siendo : a > 1 b > 1, reducir :

E =

alog

abloglog

ab

a) a b) b c) ba

d) ab e) ab

06. Siendo a + b > 0, reducir :

L =

baloglog1

baloglog

39

1893

a) 2 b) 2

3

c) 1

d) 2

1

e) 4

1

07. Siendo : {a; b; c; x;

y} R - {1}

reducir :

L =

xlog

y

ylog abcy

xlog

xlogyx

x

xabc

a) y

x

b) x

y

c) 1

d) xy e) xyabc

08. El equivalente de :

E = e3log1

1

30Ln1

1

e10log1

1

3

es :

a) 1 b) log 3 c) Ln 10d) Ln 30 e) log (3e)

09. Resolver la ecuación logarítmica :

xlogx =

24

x

10

y dar el producto de sus soluciones :

a) 100 b) 10 c) 0,1d) 0,01 e) 1

10. Resolver :

xxxx xlog

=

2x2x

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

11. Resolver : 3

xlog

9 = 27 x

Dar la menor de sus soluciones :

a) 3 b) 3

1

c) 9

1

d) 27

1

e) 81

1

12. Hallar una solución de la ecuación :

x

1

xlog

4logxlog

4

x 4

a) 22 b) 4 c)

24

d) 16 e) 242

13. Una solución de la ecuación :

31x2log

x6x54log2log 2

es :

a) 2

1

b) 2

3

c) 2

d) 2

5

e) Ecuación Absurda

14. Resolver :

3xlog1xlog

2

1

2

1

= 1

a) 5 b) 7 c) 4

d) - 5 e) No tiene solución

15. Hallar el valor de “x” en la ecuación :

1xxlog

= 2x log 3

a) 13 b)

23 c) 33

d) 3 e) 23

16. Resolver : }

xlog

xlog

4

22

xlog

xlog6

= 1

a) 4

1

b) 2

1

c) 2d) 4 e) 8

17. Resolver :

13x3xlog

4xlog1

2

2

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

18. Resolver :

5,0xlog

xloglogco

x

8

88

a) 9

1

b) - 9

1

c) 3

1

d) - 3

1

e) Absurdo

19. Calcular el valor de :

E = 3log2 . 3log6 + 2log3 . 2log6



- 6log3 . 6log2

a) 3

1

b) - 3

1

c) 3d) - 3 e) 0

20. Sabiendo que : log log log x = 1 + log 2

Calcular :

xlogloglogR

a) 10 b) 2

10

c) 2

1

d) 2

2

e) 2

PRÁCTICA DOMICILIARIA

01. Hallar:

2Log

4Log100

a) 1/2 b) 2 c) 1d) 4 e) N.a.

02. Resolver:

1x49 )7x(Log9

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 1/2

03. Hallar un valor de “x” en:

4)x(Log xLog5 5

a) 0,04 b) 5 c) 0,4d) 0,2 e) 0,02

04. Halle un valor aproximado de “x” si:

Log2 = 0,3 y Log3 = 0,47

2x = 24

a) 3,5 b) 4,5 c) 2,5d) 5,5 e) 6,5

05. El valor de “b” que satisface la

siguiente igualdad: 2

3125Log 4

b es:

a) 1/5 b) 3 c) 5

d) 5 e) 25

06. Indicar el valor de “n” en:

1n5x )1n(Log2 x

a) 3 b) 2 c) 5d) 4 e) 6

07. Sabiendo que: Log3300 = mCalcule: Log3

a) m + 1 b) 2/m c) 2/(m+1)d) 2/(m-1) e) m2

08. Calcular el producto de las raíces de la ecuación:

6xxLog LogxLog2 x

a) 105 b) 10-2 c) 10-3d) 10-4 e) 10-1

09. Si: Logmnm= 4; Calcular:

n

mLog

3mn

a) -3 b) 13/12 c) 17/6d) 4/3 e) 17/16

10. Hallar el valor de:

2LogLogLogLog28

9416

a) -1/4 b) -1/8 c) -1/2d) 1/4 e) 1/8

11. Resolver: Log2Log3Log2Log3x = 0

a) 1 b) 3 c) 243d) 6 561 e) 1 024

12. Resolver:

)1x)(7x(125Log.8Log 21x

5

a) C.S. = {-1} b) C.S. = {2}c) C.S. = {2; 3} d) C.S. = {-1;2]e) C.S. = {-7; 2}

13. Si: F(x+Logx)= x - Logx. Hallar: F(11)

a) 2 b) 3 c) 7d) 9 e) 11

14. Considerando a > 1 indique el menor valor de “x” que cumple:

2aaa xLog4LogxLog a3aa

a) 1/2 b) -1/2 c) 1d) -1 e) 4/3

15. Indicar la menor solución de:

2)1x(Log41

5

)1x(Log45

1

a) 8 b) 9 c) 10

d) 10 +1 e) 10 -1

16. Reducir:

7Log.2Log214Log

7Log2Log

552

5

23

23

a) Log 6 b) Log 15 c) Log35d) 1 e) Log53

17. Sean: a; b y c tres números en progresión geométrica en ese orden

2

Logc3Loga3Logb

Calcular la razón de la progresión

a) c b) a c) b

d) 3c e)

2c

18. Indicar la suma de valores de “y” luego de resolver:

)II.(..........yLog4x5

)I.....(....................y2

42

x

a) 2 b) 1 024,25 c) 1 024d) 4 096,25 e) 256

19. Hallar el valor de “m” si:

)]4logAnti(logCo[logAntim885

a) 1/5 b) 2 c) 1/4d) 1/25 e) N.a.

20. Calcular:3 55 2Antilo04,0logCoE

a) 2 b) 4 c) 3



d) 5 e) 1

AUTOEVALUACIÓN

01. CEPUNT 96: III SUMAT. AREA “A”

Al resolver la ecuación:

2Log5,0xlog6log x6x2

Una de sus raíces es :

a) 4 b) 3 c) 2d) 1 e) 0

02. UNT - 96: AREA “A”La expresión:

xLog

1

xLog

1

xLog

1

rqp

Es equivalente a :

a) xLogpqr b)

xLog.xLog.xLog rqp

c) 3

pqrxLogd)

xLog

1

pqr e) 3

pqrxLog

1

03. UNT - 96: AREA “A” y “B”

El conjunto solución de la ecuación: xLog82logco2loganti 4xx es :

a) {-2} b) {-2 ; 2} c) {2}d) {-2 ; 4} e) {2 ; 4}

04. UNT - 96: AREA “B”

En la expresión: N5 10Loga ; se cumple la siguiente relación :

1) El valor de “N” es el doble del valor de “a”

2) El valor de “N” es igual que el valor de “a”

3) El valor de “N” es el cuadrado del valor de “a”

4) El valor de “N” es mayor que el valor de “a”

5) El valor de “N” es menor que el valor de “a”

Son ciertas:

a) 1 y 4 b) 2 y 4 c) 3 y 4d) 5 e) N.A

05. UNT - 97: AREA “B”El valor de “x” que satisface la ecuación:

01x

xLog

2

xLog

es:

a) 010 b) -

010 c) 110

d) -110 e)

210

06. UNT - 99: AREA “B”Al simplificar la expresión:

x

Lnx

e

ex

. Se obtiene:

a) -1 b) 0 c) 1

d) xe

ex

e) xe

07. UNT - 99: AREA “A”

La suma de las raíces de la ecuación:

2x15xLog 2

es :

a) 25 b) 20 c) 15d) 10 e) 5

08. UNT - 99: AREA “A”

El valor de x en la ecuación:25LogxLog x5 ; es :

a) 1 b) 5 c) 5d) 25 e) 125

09. CEPUNT 1999 - 2000: AREA “A”

El valor de “x” en la ecuación:

3x3xlog)4x(log1

22

Es:

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

10. CEPUNT 2000 - I SUMATIVO AREA “A”Al efectuar:

5162)1(4log2log6

Se obtiene:a) 19 b) 4 c) 11

d) 2/1

7 e) 7


I. PROGRESIONES ARITMETICAS (P.A.)

DEFINICIÓN: Se llama progresión aritmética o por diferencia, a una sucesión de números, en la cual cada término siguiente después del primero, se obtiene sumándoles al anterior una cantidad constante llamada razón o diferencia de la Progresión.Símbolos:

t1 = 1er términotn = término de lugar “n” o último términor = razón o diferencian = número de términos,S = suma de términos

NOTACION DE UNA PROGRESION ARITMETICA

t1, t2 , t3 , ......tn-1 . tnLa razón de una P.A. se obtiene restando de un término cualquiera su inmediato anterior.

Si : r > 0, la P.A. es crecienteEjemplo: 3, 8, 13, 18, i = 8 - 3 = 5 > 0

Si: r < 0, la P.A. es decrecienteEjemplo: 7, 4, 1, - 2,........ r = 4 - 7 = - 3

> 0La progresión se llama limitada cuanto tiene un número FINITO de términos,, llamándose al primer y último término extremos.

Ejemplo

extremos

n21 t,.......t,t

:La progresión es ilimitada cuando tiene infinitos término:

Ejemplo: n21 t,.....t.t

PROPIEDADES1. En una P.A., un término cualquiera

es igual al primer término más tantas la razón como términos le preceden.

Tn = t1 + (n - 1) r1.1 Una progresión aritmética se compone de 50 términos. Si el primero es 81 y la razón - 3. Hallar el último término.............................................................................................................................................................................................................................................................................1.2. Una P.A. se compone de 15 términos. La razón es 0,5 y el último es 8. ¿ Cuánto vale el primero?............................................................................................................................................................................................................................................................................1.3. En una P.A. el primer término es -6 y el último es 30. Si la razón es 4. ¿De cuántos términos se compone la progresión?.........................................................................................................................................................................................................1.4 Una P.A. se compone de 6 términos el primero de los cuales es 2 y el último es 4. Hallar la razón..........................................................................................................................................................................................................

02. En una P.A., la suma de dos términos equidistantes de los extremos es constante e igual a la suma de los extremos.En efecto, sea la P.A. de razón “r”:

losextremosde

equidistantestérminos

.x

términos)1k(

nt.....c,y

términos)1k(

1 b.....t

. . . . .

03. En una P.A. de un número impar de términos, el término central es igual a la semisuma de los extremos.En efecto, sea P.A. de un número impar de términos de razón “r”.

términos"n"

n1 a...........x..........,a

término Central

extremos

Si n = impar, entonces:

2

ttx n1

04. La suma de los términos de una P.A. LIMITADA, es igual a la semisuma de los extremos multiplicada por él número de términos.

n2

)tt(S n1

n

Ejemplo:

4.1 En una P.A. de 10 términos la razón es 1,5 y la suma de sus términos vale 92,5. Hallar el primero y el último término....................................................................4.2 En una P.A., la razón y el número de términos son iguales, la suma de los términos es 156 y la diferencia de los extremos es 30. Calcular el último término..........................................................................................................................................................................................................

4.3 Calcular el término que ocupa el lugar 17 en una P.A. CRECIENTE de 18 términos, sabiendo que la suma de todos estos términos vale 549 y que los términos extremos tienen por producto 280.

..........................................................

.........

..........................................................

.........

..........................................................

.........

MEDIOS ARITMETICOS O DIFERENCIALES

Son los términos de una P.A. comprendido entre sus extremos:

t 2 n-1t 1 , . . . . . . . . . . . . . . .

"m" medios aritmeticos

"n" términos

tn,.._ t

Donde: 2mn

03. INTERPOLAR MEDIOS ARITMETICOS O DIFERENCIALES

Es formar una P.A., cuyos extremos sean precisamente los números dados:Ejemplo:

3.1 Interpolar “m” medios aritméticos o diferenciales entre a1 y an. Se debe formular la P.A.

t , (t + r) , (t + 2r) , (t + 2r) . . . . . . t1 1 1 1 n

"n" términos

"m" medios aritméticos

* Se debe calcular la razón de:r)1n(tt 1n

1n

ttr 1n

Pero: n = m + z

Luego:

1m

ttr 1n

3.2 Interpolar 5 medios diferenciales entre 32 y 80.

..................................................

............

..................................................

............

..................................................

............

II. PROGRESIONES GEOMETRICAS

01. DEFINICION

Se denomina progresión geométrica o por cociente a una sucesión de números en la cual el primer término es distinto de cero y cada una de los términos siguientes se obtiene multiplicando al anterior por una cantidad constante, distinta de cero, llamada razón de la progresión.Símbolos

1t =primer término

nt =término de lugar “n” o último término R = razón n = número de términos s = suma de términos

p = producto de términosNotación de una progresión geométrica

n)1n(321 t:t.....,t:t:t, La razón de una P.G. , se obtiene dividiendo un término cualquiera entre su inmediato anterior.

(*) Si: R > 1, la P.G. es CRECIENTE

5, 20, 80,. . . . ., R = 14

5

20

(**) Si: O < R <1, la progresión geométrica es DECRECIENTE 48, 12, 3,. . . . . ., R =

14

1

48

12

(***) Si: R <O, la P.G. es OSCILANTE 6, -12, 24, -48, . . .

R = 02

6

12

02. PROPIEDADES1. En una P.G., un término

cualquiera es igual al primer término multiplicado por la razón elevada al número de términos que le preceden.

1n1n R.tt

Ejemplos:De la siguiente progresión:

2; 4; 8;. . Calcular: 6

9t

t

..........................................................

.........

..........................................................

.........

..........................................................

.........

2. En una P.G. el producto de 2 términos equidistantes de los extremos es constante e igual al producto de los extremos.

1t . . . . . . . . a , x . . . . . . . . y , b . . . . . . . . tn

"K" términos equidistantede los extremos

"K" términos "K" términos

n1 t.txy

3. En una P.G. de un número impar de términos, el término central es igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos. En efecto, sea la P.G. de un número impar de términos de razón :”R” .

1t , . . . . . . . x . . . . . nt

termino central

n1 t.tx

4. En una P.G. limitada el producto de sus términos es igual a la raíz cuadrada del producto de sus extremos, elevada al número de términos de la progresión.

nn1 )t.t(P

5. La suma de los términos de una P.G. imitada es igual al último término, multiplicada por la razón menos el primer término, dividido todo esto entre la diferencia de la razón y la unidad.

1R

tR.tS 1n

Si no se diera el último término (tn) como dato, la fórmula sería:

1R

)1R(tS

n1

Ejemplo:1. De la siguiente (P.G.) 1 ; 3 ; 9 ; . . . .

Calcular: 20S

E indique en cifra termina dicha suma.

................................................................... ................................................................... ...................................................................

2. Sea la P.G. 7 ; 21 ; 63 ; . . . . . . .Hallar 2 términos consecutivos de dicha progresión geométrica cuya suma sea 2268, indicando como respuesta el producto de las posiciones de dichos términos...........................................................

......... ....................................

............................... ................

...................................................3. Encontrar cuatro números en una P.G., sabiendo que la suma del primer y último término es 140; y la suma del segundo y tercero 60. Dar como respuesta el mayor de estos números...........................................................

......... ....................................

............................... ................

...................................................

4. El límite de la suma de los términos de una P.G. decreciente ilimitada es igual al primer término dividido entre la diferencia de la unidad y la razón.

R1

tSLim 1

Para una P.G. decreciente: O < q < 1 Ilimitada n 0Ejemplos:1. Calcular la siguiente suma:

......7

2

7

1

7

2

7

1S

432

................

............................................. ...........

.................................................. ...

..........................................................

MEDIOS GEOMÉTRICOS O PROPORCIONALES

Son términos de una P.G. comprendidas entre sus extremos.

n

cosgeométrimedios

1n21 t,t......,t,t

INTERPOLAR MEDIOS GEOMETRICOS ENTRE DOS

NUMEROS DADOSEs formar una P.G., cuyos extremos sean precisamente los números dados.Ejemplo:1. interpolar “m” medios geométricos

o proporcionales entre n1 tyt .SoluciónSe sabe formar P.G.

t ; t . R ; t R , . . . . . . t1 n2

1 1

"m" medios geométricos

"n" términos Para lo cual se debe calcular la razón.

De:

1n1

n1n1n t

tRR.tt

. . . . . (*)

Pero : n = m + 2 n - 1 = m + 1+1

+1 . . . (**)=

Reemplazando:

1m1

nt

tR

Llamada Razón de interpolación

PRÁCTICA DE CLASE

01. La suma del segundo y quinto término de una progresión aritmética es 14 y la suma del 3ro. Y 7mo. es 8. Halla el primer término aumentado en la razón.a) 12 b) -2 c) 10d) 14 e) 15

02. En una progresión aritmética el primero y el último término son: 47 y 207 respectivamente. hallar el término de lugar 12, si la suma de dicha serie es 2667.a) 225 b) 135 c) 155d) 235 e) 145

03. Dada la siguiente progresión aritmética:a2 (b + c). b2 (a + c). c2 (a + b)

Calcular: ca

bM

a) 2 b) -2 c) 1/2d) -1/2 e) 1

04. De una progresión aritmética se sabe que:Sn - Tn = (n + 3) (n - 1). Donde:Sn = Suma de los “n” primeros términosTn = Término generalSi “n” es impar, indique el término central.

a) n + 1 b) n + 2 c) n + 3d) n + 4 e) n + 5

05. En una progresión aritmética se cumple:

2

2

n

m

n

m

S

S

; Entonces: n

ma

a

es igual a:

Nota:Sm = suma de los “m” primeros términosSn = suma de los “n” primeros términos

a) m/n b) n/m c) n2/m2

d) 1n2

1m2

e) 1m2

1n2

06.Se tiene: a . b . c. d, que verifican: a +b + c + d = 48

35

27

bc

ab

. ¿Cuál es el número mayor?a) 16 b) 17 c) 18d) 20 e) 21

07. La suma de los términos de una progresión aritmética creciente es 16 y el valor del último término es “u” y de la razón “r” están determinados por las ecuaciones:

u3 - r3 = 335; u2r - ur2 = 70Hallar el número de términos de la progresión.

a) 3 b) 5 c) 6d) 7 e) 4

08. Dada la progresión aritmética: a1; a2 ................................. an. Calcular:

nn433221 a1a

1...

aa

1

aa

1

aa

1S

a) n - 1 b) 1a

1n

c) n1aa

1n

d) na

1n

e) 1

na

a)1n(

09. Si los términos de lugares: m; n; p de una progresión aritmética son: a, b y c respectivamente. Calcular:

(n - p) a + (p - m) b + (m - n) c

a) -1 b) 1 c) 0d) -2 e) 2

10. Una compañía comercial decide poner 20 avisos separados por intervalos iguales a partir del kilómetro 50 hasta el kilómetro 164 de la Panamericana Norte. ¿En qué kilómetro estará ubicado el duodécimo aviso?a) 116 b) 117 c) 118d) 119 e) 120

11. Se han interpolado “m” medios aritméticos entre 4 y 18; además “m+2” medios aritméticos entre 10 y 24 de tal manera que la razón de la progresión aritmética formada en el primer caso es a la razón de la segunda como 9 es a 7. Halle el número de términos de la segunda progresión.

a) 10 b) 11 c) 12


d) 14 e) 18

12. Dados los números: x; y; z; w; se observa que los tres primeros están en progresión aritmética y los 3 últimos en progresión geométrica siendo la suma de los extremos 14 y la suma de los medios igual a 12. Señale un valor que adopta “x”.

a) 3/4 b) 4/3 c) 12d) 1/2 e) 18

13. Sabiendo que “s” es la suma de los “n” primeros términos de una progresión geométrica y “T” la suma de las recíprocas de estos términos. Hallar el producto de los “n” primeros términos de dicha progresión:

a)

1n

T

S

b)

n

T

S

c)

21n

T

S

d)

2n

T

S

e)

2n

S

T

14. Sumar:

...3

24

3

23

3

22

3

2S

8642

a) 36/25 b) 25/26 c) 1/4d) 4 e) 20

15. Sí U1; U2; U3; U4, ...................., están en progresión geométrica, donde:

U1 + U2 + U3 + U4 + U5 = 31U2 + U3 + U4 + U5 + U6 = 62

Calcular: 24

23

12

21 UUUU

a) 85 b) 90 c) 95d) 100 e) 105

16. Se interpolan cuatro medios geométricos entre 160 y 5. Hallar la suma de los dos últimos términos de la progresión geométrica formada.

a) 240 b) 200 c) 60d) 35 e) 15

17. Se tiene dos sucesiones, una geométrica cuyo primer término es distinto de cero y otra aritmético con primer término igual a cero; si se suman los términos correspondientes de ambas se logra obtener una tercera sucesión: 1; 1; 2; ......... sobre la base de ello halle la sumatoria de los diez primeros términos de esta nueva sucesión.

a) 1078 b) 979 c) 1079d) 279 e) 978

18. Si los términos de lugares p; q; r; s de una progresión aritmética están en progresión geométrica. Entonces los números:

(p - q); (q - r); (r - s)

a) Están en progresión aritméticab) Están en progresión geométricac) Están en progresión armónicad) Son igualese) No se puede afirmar nada

19. Dada una progresión geométrica de un número impar de términos, el producto de los términos de lugar impar es 65 536 y el producto de los términos de lugar par 4 096. Determine el número de términos y el término central.a) 4, 15 b) 8; 17 c) 3; 16d) 7; 16 e) 5; 17

20. Sí; S1; S2; S3; .. ;Sp son las sumas de unas series

geométricas infinitas; cuyos primeros términos son 1, 2, 3 .... p; y cuyas razones son:

1p

1;.......;

4

1;

3

1;

2

1

respectivamente.Calcular: S = S1 + S2 + S3 + ... + Sp

a) 3

1p2

b) 3

2p2

c) )2p(

3

p

d) )3p(

2

p

e) )2p(

2

p

21. La suma de los 6 primeros términos de una progresión geométrica es igual a 9 veces la suma de los tres primero términos. Hallar la razón:

a) 1/2 b) 4 c) 3d 2 e) 1/3

22. Si: m

1;

m2

1;

nm

1

formar una progresión aritmética, se puede afirmar que:

a) m= n2p2 b) m = n+p c) m = npd) n = mp e) n; m;p están en P.G.

23. Un andinista que sube a una montaña alcanzó en el transcurso de la primera hora la altura de 800 m; mientras que durante cada hora siguiente subió a una altura de 25 m menor en la anterior. ¿Cuántas horas pasarán hasta alcanzar la altura de 5700 m?a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e 9

24. El término de lugar “p” de una progresión aritmética es “q” y el término de lugar “q” es “p”. Hallar el término de lugar “m”.a) p + q + m b) p +q - m

c) p - q - m

d) - q + m e) p + q25. Si: a, b, c, y d son 4

términos consecutivos de una progresión aritmética y r la razón.Calcular:

2

2222

r2

cbdaS

a) 4 b) 2 c) 1d) abcd e) a+b+c+d

26. Indicar el 5to. término de una progresión geométrica de 7 términos. Si la suma de los tres primeros es 26 y la suma de los tres últimos 2106.

a) 42 b) 216 c) 152d) 162 e) 144

27. Sea la progresión aritmética:

ca

1.

cb

1.

ba

1

Calcular:

2

22

a

cbE

a) 1 b) 2 c) 1/2d) 1/4 e) 4

28. Sea la progresión aritmética: a . b. c. d. ; si la suma de sus términos es n y la razón es 2n. Calcular: E = a2 . d2

a) -3n2 b) 12n c) 6n2d) 4n e) -n2

29. Los 2 primeros términos de una progresión geométrica ilimitada suman 5 y cada término es igual a 3 veces la suma de todos los términos que le siguen. Indicar la



razón de esta progresión y el primer término.a) 1/2; 2 b) 1/4; 4 c) 1/3; 3d) 2; 1/2 e) 4; 1/2

30. Si: x . y . z. Calcular:

3

222

)zyx(

)yx(z)xz(y)zy(xM

a) 2/9 b) 9/2 c) 4/5d) 5/4 e) 7/8

31. Los términos de lugares 2a y 2b de una progresión geométrica son respectivamente m2 y n2. ¿Cuál es el término de lugar a + b?

a) (mn)2 b) mn/2 c) mnd) (m+n)2 e) m2 + n2

32. Si al soltarse una pelotita desde 1 metro de altura. Esta adquiere en cada rebote los 3/4 de la altura anterior. Calculatr el límite de la distancia que recorre hasta que se detiene.a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

32. Calcular el límite de la suma:

.......256

31

64

15

16

7

4

31S

a) 9/4 b) 8/3 c) 7/2d) 6 e) 4

34. Calcular el límite de la siguiente suma:

......3

3

3

2

3

3

3

2

3

3

3

2S

65432

a) 9/2 b) 2/9 c) 80/81d) 9/8 e) 7/4

35. Asumiendo que knS es la suma de los “kn” primero términos de una progresión aritmética. Calcular el valor de:

n4n5

n9SS

SM

a) 3 b) 6 c) 9d) 12 e) 15

36. Si los términos de lugares m; n y p de una progresión geométrica son en ese orden a; b y c. Calcular:

a) mnp b) a+b+c c) m+n+pd) abc e) 1

37. Determinar la suma de coeficientes de la ecuación ax2 + bx + c = 0; donde: a, b, c Z sabiendo que sus raíces y el producto de ellas están en progresión geométrica creciente; además el producto de sus raíces están en progresión aritmética.

a) 3 b) 7 c) 10d) 5 e) 4

38. Indicar las raíces de la ecuación:x3+px + q = 0. Si están en progresión aritmética (p 0)

a) -q; 0; q b) q;0;q

c) p;0;p d)

qp;p;qp

e) p;0;p

39. Indicar la razón entre “x” e “y” de tal manera que el medio de lugar r entre “x” y “2y” sea el mismo que el medio de lugar r entre “2x” e “y”. Haciendo “n” medios aritméticos interpolados en cada caso.

a) rn

1

b) 1rn

n

c) 1rn

1

d) 1rn

r

e) r1n

r

40. Calcular la suma:

340....1310

1

107

1

72

1S

sumandos

a) 8 b) 10 c) 12d)7 14 e) 16

EJERCICIOS PROPUESTOS 04

01. La cantidad que hay que sumar a 5, 13, 29, para que formen una P.G,. es:

a) 1 b) 1 c) 3 d) 4 e) 5

02. El número de términos de la siguiente; progresión:

..

..

2, 8, ........., 8192 es

a) 4 b) 5 c) 7 d) 8 e) 6

03. Dada la PG ..

..

7, 14, ......., en la cual el producto de dos términos consecutivos es

25088. La suma de éstos términos es:

a) 336 b) 448 c) 224d) 560 e) 112

04. El producto de tres números en una P.G. es 216 y la suma de sus productos que resultan tomados 2 a 2 es 156. Hallar los números.

a) 2,6,10 b) 6,10,18c) 6,18,26

d) 2,6,18 e) N.a.

05. Determinar la suma de los “n” primeras potencias de 3.

a) 3n - 1 b) 3/2 c) 3

2

(3n - 1)

d) (3n - 1) e) N.a.

06. Siendo a,b,c; tres números positivos de una P.G. (en ese orden). Calcular:

6333

333

cba

cba

a) a b) b c) ac d) abc e) c

07. Hallar la razón de una P.G. decreciente ilimitada, cuya suma es el doble de la suma de los “k” primeros términos.a) 2K b) 21/K c) 22K

d) 1/2K e) K

2/1

08. En una P.G. de 6 términos en la cual el primer término es igual a la razón y la suma del primer y tercer término es 30. La suma de sus términos es:



a) 120 b) 363 c) 1290d) 1902 e) 1092

09. La razón de una P.G. es 2, el número de términos 9 y la suma de ellos 1533. La suma de los extremos es:a) 771 b) 387 c) 195d) 770 e) 386

11. Entre 3 y 768 y entre 7 y 112 se han interpolado el mismo número de medios proporcionales. Calcular la diferencia de los penúltimos términos de dichas progresiones, teniendo en cuenta que la razón de la primera es el doble de la segunda.a) 136 b) 165 c) 208d) 275 e) 189

12. En un cuadrado cuyo lado es “a” se unen los puntos medios de los 4 lados y se forma otro cuadrado cuyos puntos medios se unen también para formar un nuevo cuadrado y así sucesivamente. Encontrara el límite de la suma de las áreas de todas los cuadrados formados.

a) 2a2 b) a2 c) 2a

2

3

d)

22

2

a

e) 2a2

13. En una P.G. creciente, la suma de sus primeros cuatro términos es igual a 45 y la suma de sus cuadrados es igual a 765. El octavo término de esta progresión es:a) 96 b) 768 c) 153d) 192 e) 384

14. El número de términos de una P.G. es 6; la suma de todos ellos es 364; y l a diferencia entre el cuarto término y el tercero es igual

al séxtuple del segundo. Calcular el primer término, si es positivo.a) 1 b) 3 c) 9d) 2 e) 5

15. Calcular el valor de F, si:

E = 3 + 32 + 33 + ...... + 39

a) 36244 b) 88572 c) 29523d) 59046 e) N.a

16. Calcular el valor de M, si:

M = 6 + 3 + 3/2 + ¾ + ..........

a) 9 b) 11,5 c) 12 d) 12,5 e) N.A.

TAREA DOMICILIARIA

01. Calcular el valor de R, si:

R = .......

8

1

8

2

4

1

4

2

2

1

2

2

a) 2 + 1 b) 2 + ½ c) 2 + 2

d) ( 2 + 1)/2 e) N.a02. La suma de los

términos de una progresión geométrica infinita es 6 y la suma de los dos primeros términos es 4 ½.Entonces el primer término de la progresión es:a) 3 ó 3/2 b) 3 c) 2 ½ d) 3 ó 9 e) N.a

03. ¿Cuál e el término central de una progresión geométrica de tres términos positivos si el producto de los dos primeros es 24 y los dos últimos es 54?a) 8 b) 12 c) 3 d) 9 e) 6

04. Seis medios geométricos se interrelacionan

entre 3 y 384, el sexto término de la sucesión es:a) 48 b) 124 c) 96 d) 140 e) N.a

05. Los dos primeros términos de una P.G, decreciente infinita suman 5 y cada término es iguala 3 veces la suma de todos los términos que le siguen. Hallar el segundo término.a) 2 b) 1 c) 3

d) 4 e) 506. Si en una P.G de 6

términos, la suma de los términos de lugar par es 546 y la suma de los términos que ocupan lugares impares es 182. Hallar la razón.a) 1/3 b) ½ c) 4d) 3 ó 5 e) 3

07. El primer término de una P.G es igual a (x - 2), el tercer término es igual a (x + 6) y la media aritmética de los términos primero y tercero se refiere al segundo como 5 : 3.Calcular “x”a) 2 b) 4 c) 7 d) 3 e) 6

08. Calcular el t5 de una P.G. de 7 términos; conociendo la suma 26 de los tres primeros y la suma 2106 de los tres últimos.a) 162 b) 103 c) 96d) 156 e) 308

09. Si se sabe que la suma de los 6 primeros términos de una P.G, cuyo primer término es 4, es 126 veces la suma de los 3 primeros términos de la misma progresión.Calcular la suma de los 4 primeros términos de dicha progresión.a) 324 b) 408 c) 624d) 789 e) 924

10. Sn representa la suma de los “n” términos de una P.G.

Calcular: E =

2nn2

n2n3

SS

SSSn

a) 1 b)

c) d) n e) n2

SOLUCIONARIO

NºEjercicios

Propuestos01 02 03

01. B D C

02. A C B

03. D E D

04. E B D

05. C A B

06. B D B

07. D C B

08. A C D

09. C A B

10. E D C

11. A C D

12. B D A



13. C A B

14. A B D

15. D D C

16. B B C

17. B C E

18. C D A

19. C C D

20. A E B


algebra 5° 4 b

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