ecuaciones algebra superior unidad iii rosadepena

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Ecuaciones UNIDAD3 Prof. Rosa De Pea

1 Algebra SuperiorRosa De PeaEcuaciones Unidad - 3 ndice 3.1 Expresin General de una ecuacin..2 3.2 Races o ceros de una ecuacin algebraica.2 3.3 Solucin grafica de una ecuacin......3 3.4 Teorema fundamental del algebra..3 3.5 Teoremade la descomposicin factorial..3 3.6 Multiplicidad de una raz. Teorema. Races simples y mltiples6 3.7 Teorema de lasraces mltiples.6 3.8 Interpretacin grafica de las races mltiples....9 3.9 Teorema de lasraces complejas.11 3.10 Binomio irracional cuadrtico12 3.11 Teorema de las races irracionalescuadrticas...12 3.12 Productos de binomios con un termino comn..13 3.13 Relacin entrecoeficientesy racesde una ecuacin algebraica.......14 3.14 Transformarunaecuacin conocida,respecto de otra a determinarquepresente:......16 3.14.1 Aumento de las races en unacantidad determinada a 3.14.2 Disminucinde las races en unacantidad determinada a 3.14.3 Mltiplos de las racesde la ecuacin dada. 3.14.4 Submltiplos de las racesde la ecuacin dada. 3.14.5 Races opuestas respecto a la conocida. 3.14.6 Races reciprocas respecto a la conocida. 3.14.7 Reduccin de las racesmltiples a otra con lasmismas races pero todas simples. 3.15Naturaleza de las races. Regla de los signos de Descartes....29 3.16Acotacin de races reales. Regla de Laguerre...31 3.17 Teorema de las races racionales de una ecuacin.....34 3.18 Teorema de Bolzano. Corolario...38 3.19 Separacin de races reales en una ecuacin..38 3.20 Aproximacin de racesirracionales porRuffini-Horner.......39 BIBLIOGRAFIACONSULTADA.....46 2 Algebra SuperiorRosa De PeaEcuaciones Unidad - 3 ECUACIONES 3.1 Expresin General de una Ecuacin Si un polinomio algebraico de grado n en X se iguala a cero, se obtiene una ecuacin de grado n: ( )( )( )( )( )0 ...0 12211= + + + + + =A x A x A x A x A x fnnnnnn(1) La expresin (1) es la forma general de una ecuacin de grado n con una incgnita X. Supondremos que: a)A0, A1,, An son nmeros reales. b) An 0 ypositivo c)n es entero positivo O sea, que nos referimos a ecuaciones algebraicas racionales enteras de coeficientes reales. La igualdad a cero en (1) no significa que cualquier valor de X satisface esa igualdad, pues entonces no se tratara de una ecuacin, sino de una identidad. De todos los valores reales o complejos que pueda tomar X, slo algunos satisfacen la igualdad a cero.A esos valores se les llama races de la ecuacin. 3.2Unarazdeunaecuacines,entonces,todovalorrealoimaginario(ocomplejo),queal reemplazarlo porXen el polinomio,hace que ste tome un valor cero. Esdecir,sir esunarazdelpolinomiof(x)esporque:f(r)=0,oloqueeslomismo,quef(x)es divisible por(x-r) . Ejemplos Si: 1)f(x) = x2 + 2x-15 = 0; comof(3) = 0f(x) es divisible por (x-3) Elprocesoparadeterminarlasracesdeunaecuacin,sellamaResolucindeunaEcuacin.De donde, resolver una ecuacin es determinar todas sus races. 2) f(x) = x2 + 11x+28 = (x+7)(x+4)

Como f(-7) = 0 entonces f(x)esdivisiblepor(x+7)f(-4) = 0 f(x) es divisiblepor(x-4) 3 Algebra SuperiorRosa De PeaEcuaciones Unidad - 3 3.3 Solucin Grfica de una Ecuacin Siserepresentagrficamentelafuncinpolinomial,sugrficaesunacurvacontinuaparatodos los valores de X comprendidos en el intervalo ( - , + ). LospuntosR0,R1,R2,R3, etc.,dondelacurvacortaelejeXcorrespondenaabscisascuyos valoressonracesrealesdelaecuacindeducidadelpolinomio.Luego,unamanerade determinar las races reales de una ecuacin es mediante su representacin grfica. 3.4 Teorema Fundamental del Algebra Toda ecuacin racional entera con una incgnita tiene por lo menos una raz real o imaginaria. Nota: Este teorema fue demostrado por primeravez por el llamado prncipe de las matemticas Federico Gauss en 1799. 3.5 Teorema de la Descomposicin Factorial Toda ecuacin de grado n tiene n y no ms de n races reales o imaginarias (o complejas) . De acuerdo con el teorema fundamental sif(x) = 0 es una ecuacin de grado n, tendr por lo menos una raz real o imaginaria(o compleja).Supongamos esta raz R1, luego: f(x) = (x-R1) Q1(x)(1) Q1(x)Es un polinomio entero en X de grado (n 1), luegoQ1(x) = 0tendr por lo menos una raz.Supongamos que sta sea R2, luego: 4 Algebra SuperiorRosa De PeaEcuaciones Unidad - 3 Q1(x) = (x-R2) Q2(x) (2) De igual manera: Q2(x) = (x-R3) Q3(x) (3) : . Y as sucesivamente: Q (n-1)(x) = (x-Rn) Qn(x)(4) [En(4)Qnes de grado cero] Entonces reemplazando sucesivamente, tenemos: f(x) = (x-R1) (x-R2) (x-R3) (x-Rn) (5) dondeR1,R2,...,Rn,sonlasnracesdelaecuacinynohaymsdenpuesslo reemplazando en(5)aXpor cualquiera de esasR1,R2,R3,etc. se obtienef(x) = 0. Nota:El teorema anterior establece tambin como conclusin evidente, que toda ecuacin de grado n se puede descomponer en n factores binmicos de la forma (x-Ri), dondeRi(i=1,2,3,...,n)sonlasnracesrealeseimaginarias(ocomplejas)dedichaecuacin. Debemos destacarque en la descomposicin hemos considerado A0 = 1. Ejemplo Resolver: 1)x3-2x2-x+2 = 0,sabiendo que x =1es una raz. Esto significa que la ecuacin es divisible por (x-1) o sea que: x3-2x2-x+2 = (x-1) Q(x) Q(x) se puede obtener por Ruffini 1-2 - 1211 - 1 -2 1 - 1 - 20 As: Q(x) = x2- x -2 5 Algebra SuperiorRosa De PeaEcuaciones Unidad - 3 A partir deQ(x) = 0, obtenemos dos races, R = -1 ,R =2 , luego las 3 races de la ecuacin dada son:R1= 1 R2= -1 R3= 2 Unavezdeterminadaslasraceslaecuacinpodemos escribirla utilizando factoresde primer gradoofactoreslineales: x3-2x2-x+2 = (x-R1)(x-R2)(x-R3) = 0 (x-1)(x-(-1))(x-2) = 0 (x-1)(x+1)(x-2) = 0

2)f(x) =x3-3x2+4x -12 = 0, conociendoque x=3esunaraz.

1 -34- 12 33 0 12

1040 x2+4 = 0 x2 = - 4 x = (-4) = 2i x3-3x2+4x -12 = (x-3) (x2+4) = (x-3)(x+2i)(x-2i) 6 Algebra SuperiorRosa De PeaEcuaciones Unidad - 3 3.6Multiplicidadde una Raz Races Simples y Mltiples Puede suceder que una o varias de las n races de una ecuacinf(x) = 0 aparezcamsde una vez en la descomposicin factorial; a esa clase de raz se le llama Raz Mltiple; a las que no se repiten se les designa como Simples.A las veces que una raz mltiple se repite se le llama grado de multiplicidad. Unaecuacinf(x)=0degradonpuedetenertodassusracesmltiples.Slodebe satisfacer la condicin de que la suma de los grados demultiplicidad de sus races sea igual a n. Naturalmente, si algunas de las races de una ecuacin son mltiples, el nmero de races distintas que tendr ser menor que n, puesto que las que se repiten se cuentan como races tantas veces como se repitan. Supongamos que de una ecuacinf(x) = 0todas sus races sean mltiples, es decir: R1 sea demultiplicidad r R2 demultiplicidad s R3 demultiplicidad t, etc. Luego:( ) ( ) ( ) ( ) ...3 2 1t s rR x R x R x x f = de donde r + s + t + = n VeamosahoracomopodemosdeterminarlamultiplicidaddeunarazR1deunaecuaciny adems cul es su grado de multiplicidad. 3.7 TeoremadelasRacesMltiples Un nmeroes razmltiplede unaecuacinsi anulala ecuacinysus sucesivasderivadashasta un ciertonmerodellas.Si el nmerodederivadassucesivasqueanulaes ( h 1), entoncesserhelgradodemultiplicidad.Silasanulatodas; entoncessu multiplicidadserny laecuacinresultadel desarrollo de lapotenciande un binomio de la forma (x-a) n. Supongamos , para simplificar, que laecuacinf(x) = 0slotieneuna razmltipledeun gradode multiplicidadigualah. 7 Algebra SuperiorRosa De PeaEcuaciones Unidad - 3 f(x) = 0 = (x-R1)h(x-R2) (x-R3) (1) Donde h veces R1, R2, R3, R4 ,... son las n races de la ecuacin. Desarrollemosla funcin f(x) en trminos de las potencias de(x R1) : ( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )+ + + + + + =1111311211111! 1...! 3' ' '! 2' '! 1'hhR xhR fR xR fR xR fR xR fR f x f( )( )( )( )nnhhR xnR fR xhR f1111!...! + + +( ) 2

Si R1 es de multiplicidadh , segn (1) , entoncesf(x) es divisible por (x R1)h En(2)vemosquesloesposibleesto,sienelmiembrodeladerechadesaparecenlostrminos que no son divisibles por, o sea los trminos:

Ydelanicamaneraqueestostrminosdesaparecen,essisonnuloslosvaloresquetomala funciny lasprimeras derivadas para ,es decirsi:

Estonospermiteestablecer,queunnmeroquesearazmltipledeunaecuacin,anulala ecuacin y sus derivadas hasta un cierto nmero de ellas. Si el numero de derivadas sucesivas que anulaesh,entoncesserh+1elgradodemultiplicidad.Silasanulatodas;entoncessu multiplicidad ser h y la ecuacin resulta del desarrollo de la potencian de un binomio. As: Es una ecuacin con una raz amltiple, cuyo grado de Multiplicidad es n. Ejemplo: La ecuacintiene una razmltipleR= 1.Complete su resolucin y estudie la multiplicidadde sus races. Las derivadas sucesivas son:

8 Algebra SuperiorRosa De PeaEcuaciones Unidad - 3 Por divisin sinttica: 1 1 - 5- 18- 4 11 2 -3- 44 1 2 3- 440 1 30- 4 1 3 0- 40 1 44 1 4 40 Como : Para

Cuando x=1 anula la funcin y sus dos primeras derivadas, luego la razR=1 esmltiple y su grado de multiplicidad es 3. 9 Algebra SuperiorRosa De PeaEcuaciones Unidad - 3 Para

Cuandoanulalafuncinysu primeraderivada, luego , larazR = - 2 es mltipleysugrado demultiplicidad es2. 3.8 Interpretacin Grfica de las Races Mltiples a) Si una ecuacin tiene una raz real simpleR1; la curva correspondiente corta el eje de las x en el punto de abscisa cuyo valor sea igual al de la raz. R1 = Raz Simple b)SiunaecuacintieneunarazrealR2demultiplicidadpar,lacurvacorrespondientees tangente al eje de las x en el punto de abscisa cuyo valor sea igual al de la raz. R2 = Raz Mltiple de multiplicidad par 10 Algebra SuperiorRosa De PeaEcuaciones Unidad - 3 c) Si la razR3 es real de multiplicidad impar (lgicamente> 1), la curva presenta un punto de inflexin sobre el eje de las x. R3= Raz Mltiple de multiplicidadimpar Nota:Lasracescomplejasdeunaecuacinpuedensermltiplestambin,slohayquetener presente el hecho de que por lo general, ellas se presentan en parejas conjugadas; oseaque si decimos,porejemplo,queunaecuacintieneunarazcomplejademultiplicidad2esadmitir que hay4 races complejas en esa ecuacin. Construccin de la Grfica de un Polinomio y Localizacindesus Races Reales a)Construirlagrficadelpolinomioylocalizarlasraces reales de la ecuacin

Las races simplesson:31 = x,12 = x, 23 = xX-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.5 00.5 11.522.53 F(x)-18-6.875 03.375 42.625 0-3.125-6-7.875-8-5.62509.62524 11 Algebra SuperiorRosa De PeaEcuaciones Unidad - 3 b) Construir la grfica del polinomioY analizar las races de x-2 -1.5 1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.53 f(x)-192-18.8 0-2.93-8-13.3 -12-3.7 014.9208 Laecuacin ,tienecomo races: 12 1 = = x x Razdoble,25 4 3= = = x x x Raztriple y las races complejas conjugadas23 16ix+ =23 17ix = 3.9Teorema de las Races Complejas Siunacantidadcomplejaesrazdeunaecuacinenteradecoeficientes reales,entoncessuconjugado estambinrazdelaecuacin.Estoes,lasraces complejasaparecen siempre en pares conjugados en ecuaciones con coeficientes reales. Supongamos la ecuaciny, la raz compleja.Si reemplazamos a x poren elpolinomio, tendremos despus de operar, una serie de valores reales y otra de valores imaginarios.Supongamos sumados todos los reales y todos los imaginarios y llammosle P y Q, respectivamente, luego:

12 Algebra SuperiorRosa De PeaEcuaciones Unidad - 3 O sea quey(condicin de nulidad de un nmero complejo) Si ponemos en vez de, tenemos: Pero como y Entoncesy Comoconsecuenciadeesteteorema,podemosafirmarqueunaecuacinenteracon coeficientesrealesy de gradoimpardebetenerpor lo menosuna razreal. 3.10 BinomioIrracionalCuadrtico Seanayb dos nmerosracionalesyseaun nmeroirracional. Entonces sellamabinomioirracionalcuadrtico y sellamabinomio irracionalcuadrticoconjugado. Por un mtodoanlogoal empleadoen la demostracin del teorema anterior, puede establecerse el siguiente teorema. 3.11 Teoremade lasRaicesIrracionalesCuadrticas Siunbinomioirracionalcuadrtico es razdela ecuacincon coeficientesracionales, entonces elbinomioirracionalcuadrticotambines razde la ecuacin. Enbasea losdosteoremas anteriores, podemosafirmarque: Todopolinomio deuna solavariablexy con coeficientesrealespuedeexpresarsecomo el productodefactoreslinealesycuadrticosconcoeficientesreales,correspondiendocadafactorlineala un cero realycada factorcuadrticoa un parde ceroso complejosconjugadosoirracionalescuadrticos conjugados. 13 Algebra SuperiorRosa De PeaEcuaciones Unidad - 3 3.12 Productos de Binomios con un Trmino Comn Consideremos el producto de varios binomios de la forma Por ejemplo Nosinteresaestablecerunaleygeneralalaqueobedezcaelproductode2,3,...,ndetales binomios. Para ello vamos formando tales productos: ( )( )( )( ) = + + d x c x b x a x( ) ( ) ( ) abcd x bcd acd abd abc x cd bd bc ad ac ab x d c b a x + + + + + + + + + + + + + + +2 3 4 Yaenestosdesarrollosseobservalaleygeneralquebuscbamosyquefcilmentepodemos generalizar diciendo: El producto( )( )( ) ( ) l x c x b x a x + + + + ... de n binomios con el primer trmino xcomn, es un polinomio de gradonrespectoa x.Ordenado en forma decreciente respecto de esa letra, el primer trmino es lapotencia de xde gradonquetienede coeficientela unidad ; el segundo trmino tiene como coeficiente la suma de los trminosa,b,c,... , l y la variable xtiene de exponente(n-1) ; el tercer trmino tiene como coeficientela suma de todos los productos binariosdea, b, c, ..., ly la variable x tiene de exponente (n-2), el cuarto trmino tiene como coeficientela suma de todoslos productos terciariosy la variabletiene como exponente(n-3), ... , y as sucesivamentehasta el ltimo trmino , que es el producto dea,b, c, ... , l. El resultado de dicho producto en el caso que los nbinomios sean diferencias: ( )( )( ) ( ) l x c x b x a x ... Seobtienedelosbinomiosanteriorescambiandolossignosde a,b,c,...,l y con ello cambia el signo de los productos que tengan un nmero impar de letras, pero no cuando el nmero de factores sea par. ( )( )( ) ( ) l x c x b x a x ... = ( )( )( )( )( ) ( ) l abc x bc al ac ab x l d c b a xn n n n... 1 ... ... ... ...2 1 + + + + + + + + + + + + (1) El factorindica los signos alternados, pues vale uno (1) si n es pary menos uno ( -1) si n es impar. 14 Algebra SuperiorRosa De PeaEcuaciones Unidad - 3 Loscoeficientesdelassucesivaspotenciasdex(sintenerencuentaelsigno)sellamanFunciones Simtricas Elementales dea, b, c, ... , h, k, l. Abreviando tenemos: l k c b a + + + + + = ...1o kl ac ab + + + = ...2ohkl abd abc + + + = ...3o. . . hkl abcn... = o Usandoestasabreviaturastenemoslasdosfrmulasparalosproductosdenbinomios,sean suma o diferencia:a)( )( )( ) ( ) l x c x b x a x + + + + ...( ) ( )( ) n nn n nx x x x o o o o + + + + + = 12211...b)( )( )( ) ( ) l x c x b x a x ...( ) ( )( )( )( )( )nnnn n n nx x x x o o o o 1 1 ...11 2211 + + + = 3.13 Relaciones entre Coeficientes y Races de una Ecuacin Algebraica Sea( )( )( )( )( )0 ...0 12211= + + + + + =A x A x A x A x A x fnnnnnn (1) unaecuacinalgebraicamnica,cuyoscoeficientespuedenserindistintamente realesocomplejos.Seanademsa,b,c,...,lsusracesrealesocomplejas,donde,no obstantelanotacin,algunaspuedensermltiples.Entoncespodemosexpresaraf(x)mediantela descomposicinfactorialsiguiente:

( ) ( )( )( ) ( ) l x c x b x a x x f = ...(2) Dado que ya vimosanteriormenteque ( )( )( ) ( ) = l x c x b x a x ...( ) ( )( )( )( )( )nnnn n n nx x x x o o o o 1 1 ...11 2211 + + + (3) Entonces igualando(1)y (3), obtenemos que: . . .

De esta manera la ecuacin(1) podemos expresarla: (4) Esascomoconcluimosquedadaslasracesdeunpolinomio,stequedadefinidoporla expresin(4),endondelosvaloresdeo1,o2,...,o ncorrespondenalasFuncionesSimtricas Elementales de lasracesa,b, c, ..., l del polinomio f(x). 15 Algebra SuperiorRosa De PeaEcuaciones Unidad - 3 Ejemplos Hallar la ecuacin algebraica que tenga por races los valores indicadosen cada caso.Usepara la formacin de la ecuacinlasrelacionesentre racesy coeficientes. a) Laecuacingenricaes: porconsideraruna ecuacin mnica.

1o = pues ) ( 11c b a + + = o

2o = Debido a que ,bd ac ab + + =2o

3o =Adems, ( ) abc331 = o

As tenemos: b) Laecuacin genrica es:

por serla ecuacinmnica ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 1 2 1 23 2 1 2 = + + + = + + = i i x x x A ) ( 11c b a + + = o 3 2 3 1 2 1 1x x x x x x A + + = ( )( ) ( ) ( )( )( ) () ( ) ( ) 9 4 1 4 2 1 4 2 1 2 1 2 1 2 2 1 22 2= + = + = + + + + = i i i i i ibd ac ab + + =2o ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) 10 4 1 2 2 1 2 1 2 1 12 33 2 130 = = + = = i i i x x x A

( ) abc331 = o Laecuacin pedida es : 16 Algebra SuperiorRosa De PeaEcuaciones Unidad - 3 c) Laecuacin genrica es: =) ... ( 11l k c b a + + + + + = o

kl ac ab + + + = ...2o bcd acd abd abc + + + = .3o La ecuacin es : 3.14 Transformaciones de Ecuaciones Transformarunaecuacinesobtenerotracuyasracessatisfaganrelacionespre-establecidas respectoalas races de la ecuacin original. Analizaremos diferentes tipos de transformaciones: 3.14.1Transformacinde una Ecuacin queposea races mltiplesen otra cuyas races sean las mismas de la ecuacin original,pero todasracessimples. 3.14. 2Transformacin Mediante Operaciones Elementales. 3.14.2.1Conocidaunaecuacin,transformarlaenotracuyasracesseanmltiploso submltiplos de las racesdelaecuacin dada. 3.14.2.2Opuestasrespecto a la ecuacin conocida. 3.14.2.3Conocidaunaecuacin,transformarlaenotracuyasracesestnaumentadaso disminuidas en una cantidad k,respectoa las races de laecuacindada. 3.14.2.4Conocidaunaecuacin, transformarlaen otracuyasraces sean las recprocas de las races de la ecuacin dada. Veamos las transformaciones en detalle: 17 Algebra SuperiorRosa De PeaEcuaciones Unidad - 3 3.14.1Transformacin de una Ecuacinque posea racesmltiples enotra cuyas races sean las mismas de la ecuacin original,pero todasracessimples Sea nuevamente

( )( )( )( )( )0 ...0 12211= + + + + + =A x A x A x A x A x fnnnnnn unaecuacinalgebraicadondeelpolinomiof(x)sesuponemnicoycuyoscoeficientespueden serindistintamenterealesocomplejos.Sabemosqueestaecuacintienenraces,cadauna consumultiplicidadcorrespondiente.Generalmentelasracesnoseconocenyesmuydifcil conocerlas.Tienen,pues,inters,todoslosprocedimientosquesirvanparasimplificaruna ecuacin;porejemplo,elqueahoraveremosparareducirunaecuacincualquieraaotra equivalente que tenga las mismas races de la ecuacin original, pero todas simples. Inicialmenterecordaremos que siba es una fraccin compuestaydes el mximo comn divisor (MCD) entreay b , entonces |.|

\||.|

\|dbba es una fraccin irreductible.O sea que, para hacer que una fraccin sea irreductible basta con dividir sus dos miembros (numeradory denominador) por elMCDde ambos. Por ejemplo: Los nmeros 42 y 18 tienen como MCD el 6, luego la fraccinla transformamos en una fraccin irreductible si dividimos ambosnmerosporsu MCD. Es una fraccin irreductible Supongamos, para simplificar, una ecuacin de 5to. grado y que slo tiene una raz mltiple, cuyo grado de multiplicidad es 3: Donde a , b , csonlas nicas races distintas que tiene la ecuacin, siendoamltipley b ,csimples. Es decir que si(1) Entonces(2) 18 Algebra SuperiorRosa De PeaEcuaciones Unidad - 3 Dondees un polinomio general de segundo grado no divisible por (ni , pues si lo fuera,byc seran races mltiples y ello estara en contradiccin con la hiptesis inicial. De esto se deduce que el grado de multiplicidad de una raz disminuye en una unidad en cada una de las derivadas sucesivas de la ecuacin. Siendo elMCD entre y ,yformando el cocientedeentre este MCD , se obtiene:

0es una ecuacin con las mismas races de la ecuacin original, pero todas simples. Deloanteriorsedesprendelareglasiguiente:Parareducirunaecuacinaotraqueslotenga racessimples,bastacondividirlaecuacinentreelMCDcorrespondienteaellayasu primera derivada. Ejemplo:Reducir la siguiente ecuacin a otra cuyas races sean simples: 1) ( )2 212'2 3 + = x x xx f

Aplicando el proceso de divisiones sucesivas se llega a:

Es otra ecuacin con las mismas races de, pero en este caso todasson simples. Las races deson : de multiplicidad Las racesde sonracessimples:

19 Algebra SuperiorRosa De PeaEcuaciones Unidad - 3 3.14.2Transformacin Mediante Operaciones Elementales 3.14.2.1Conocida unaecuacin,transformarlaenotracuyasracessean mltiplos o submltiplos delas racesdelaecuacin dada. Laideaesquepartiendodelaecuacin,cuyasracessonobtenerotra ecuacin(donde es un real) cuyasraces seran. En esta transformacin se dice que las races estn multiplicadas por el valor Veamos: Dada la ecuacin( )( )( )( )( )0 ...0 12211= + + + + + =A x A x A x A x A x fnnnnnn( ) 1Obtener otra ecuacin talque sus races sean las de (1) multiplicadas por un nmero real0 = k . Si esa ecuacin es: ( ) 0 = y f ,entonces kx y =( ) 2 ;de dondekyx = ( ) 3 Reemplazando en se tiene: ( )( )( )( )0 ...0 12211= + |.|

\|+ + |.|

\|+ |.|

\|+ |.|

\|AkyAkyAkyAkyAnnnnnn Multiplicando toda la ecuacin por: ( )( )( )( )( )( ) ( )0 ...0113 332 2211= + + + + + + n n nnnnnnnnk A y k A y k A y k A ky A y AEnero del 2011 Si cambiamosporse tiene: ( )( )( )( )( )( ) ( )0 ...0113 332 2211= + + + + + + n n nnnnnnnnk A x k A x k A x k A kx A x A Es decir que paraobtener de una ecuacin, otra con sus races multiplicadas por un nmero semultiplicacadatrminodelaecuacindadaporelevadoaunexponenteigualala diferencia entre el grado de la ecuacin dada y el exponente del trmino. Para obtener una ecuacin transformada cuyas races sean las de multiplicadas por un valor k, y que a la vez sea una ecuacin mnica, puede considerarse con lo cual la ecuacin transformada pasa a ser: ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )0 ...10213 232211= + + + + + + nnnnnn nnn nnnnA A x A A x A A x A A x A x 20 Algebra SuperiorRosa De PeaEcuaciones Unidad - 3 Ejemplos 1) Dadalaecuacin, transformarlaen otracuyas races seanlas de f(x)multiplicadaspor . Laecuacinpedida es: Las racesdela ecuacin dada son Las racesdela ecuacin transformadason Esimportante sealarque la ecuacintransformada mantiene el grado de la ecuacin conocida. 2) Dada la ecuacin transformarla en otras cuyas races seanel triple de las races de la ecuacin dada. Aplicando la regla:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 3 15 3 28 3 10 3 4 3 1 34 3 2 2 3 1 4 0= + = x x x x f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 3 15 3 28 3 10 3 4 3 1 34 3 2 2 3 1 4 0= + = x x x x f Siendo la ecuacin pedida:0 1215 756 90 122 3 4= + x x x x Las racesdela ecuacin dada son Las racesdela ecuacin transformadason: 92 1= = x x33 = x154 = x 21 Algebra SuperiorRosa De PeaEcuaciones Unidad - 3 3)Transformarlaecuacin( ) 0 1252132 3 4= + + + = x x x x x f enotraecuacinmnicade coeficientes enteros. MultiplicandoporelMCMdelosdenominadores, tenemos: La ecuacin Mnica de coeficientes enteros que resulta ser la ecuacin transformada cuyas races sern las de f(x) multiplicadas por 6. La ecuacin pedida es:( ) ( ) ( ) 0 6 2 6 5 6 23 2 2 3 4= + + + x x x x

Estecasodetransformacindeecuacionestambinseutilizacuandoapartirdeunaecuacin conocida,sedeseaobtenerotraecuacincuyasracesseanlasopuestasdelasracesdela ecuacin dada. 3.14.2.2Ecuacinderacesopuestasrespecto a la ecuacin conocida. La idea es a partir de la ecuacin, cuyas races son nR R R ,..., ,2 1 obtener otra ecuacin , cuyas racessean nR R R ,..., ,2 1. En esta transformacin se dice que las races estn cambiadas de signo respecto a las races de la ecuacin dada. Paraefectuarlatransformacinseprocededelamismamaneraqueexplicamosmsarriba, haciendo -Se pueden deducir fcilmente estas dos reglas para obtener la transformadade cualquier: a)Sielgradodelaecuacindadaespar,selescambianlossignosalostrminosdegrado impar. b)Si el grado de la ecuacin dada es impar se les cambian los signos a los trminos de grado par (recuerde que el trmino independiente es de grado par). Ejemplos Dada la ecuacin, obtener otracuyasraces sean opuestasrespectoa las races de la ecuacin conocida. a) Cambiandoel signo a los trminos pares se obtiene la ecuacin pedida: 22 Algebra SuperiorRosa De PeaEcuaciones Unidad - 3 b)

Cambiandoelsignoalostrminosimparesseobtienelaecuacinpedida: Lasraces deson:

Las races deson:12 1= = x x 53 = x 34 = x 3.14.2.3Conocidaunaecuacin,transformarlaenotracuyasracesestnaumentadaso disminuidas en una cantidad k,respectoa las races de laecuacindada La ideaes que partiendo de la ecuacin, cuyas races son nR R R ,..., ,2 1, obtener otra ecuacin(dondeesunreal)cuyasracesseran Enestatransformacinsedicequelasracesestn disminudas si el valor de es positivo y aumentadas sies negativo. Dada la ecuacin( )( )( )( )( )0 ...0 12211= + + + + + =A x A x A x A x A x fnnnnnn Obtener otracuyas races sean las de (1) disminuidas en un nmero real k = 0. Si esa ecuacin es,entonces ); de donde Reemplazandoensetienelaecuacin: ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ) ( ) 0 ...00 1332211= + + + + + + + + + + + +k y A k y A k y A k y A k y A k y Annnnnnnn Sienlaecuacinanteriordesarrollamostodoslosbinomiosyasociamostrminos semejantes, tendremos una ecuacin de la forma: ( )( )( )( )( )0 ...0 12211= + + + + + =B y B y B y B y B x fnnnnnn(5) que esla ecuacin buscada. Para determinar los coeficientes de (5):( ) ( ) 0 2 1,..., , , B B B Bn n n basta con observar que puesto que la ecuacin (5) se puede obtener de la ecuacin desarrollndola en trminos de las potencias de .Esto es, si la ecuacin la desarrollamos en funcin de las potencias de usando la Frmula de Taylor, obtenemosla ecuacin(6): ( ) ( )( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )( ) 0! ! 1...! 2' '! 1'112= + + + + + = nnnnk xnk fk xnk fk xk fk xk fk f k x fSi en se invierte el orden de los trminos y se reemplazaporobtenemos a. 23 Algebra SuperiorRosa De PeaEcuaciones Unidad - 3 Igualando y podemos determinarlos coeficientes indeterminados( ) ( ) 0 2 1,..., , , B B B Bn n n , pordivisinsintticaydelaformaqueveremosacontinuacin.Paramayorclaridad supongamos que la ecuacin es de cuarto. Luego, al igualar), tendramos: ( )( )( )( )( )( )( )( ) ( ) k f k xk fk xk fk xk fk xk fB y B y B y B y BIV+ + + + = + + + +! 1 ! 2' '! 3' ' '! 4'2 3 40 1223344 Comparando las dos igualdades se puede deducir: a)es igual al resto que se obtiene al dividir entre. b)es el resto que se obtiene al dividir el cociente de la divisin en entre. c)eselrestoqueseobtienealdividirelcocientedeladivisinenpor;yas sucesivamente. Ejemplos 1) Se deseatransformarla ecuacinen otraecuacincuyasraces seanlas dedisminuidas enla unidad. La ecuacin buscada ser de grado 3 ysepuede expresar como: ( ) 1 Losvaloresde 0 1 2 3, , , B B B B seencuentrandividiendosucesivamentelaecuacindadaporla unidad. As: Laecuacin pedidase obtiene sustituyendo en( ) 1 los0 1 2 3, , , B B B B es:

24 Algebra SuperiorRosa De PeaEcuaciones Unidad - 3 Lasraces de la ecuacin dada son: Las racesde la ecuacin transformada son: 1 = 2

2)Sea la ecuacin.Se desea transformar en otras cuyas races sean las de sta disminuidas en La ecuacin de grado cinco serde la forma: Los valores, etc. se encuentran dividendo sucesivamente la ecuacin dadapor. Aplicando Ruffini: 18 00 04 03 00 1 + + + 08 04 02 04 02 + + 2 10 04 02 01 02 1 + + 0B 32 18 08 02 + +

28 16 09 04 1 + + 1B 42 12 02 + 58 21 06 1 + 2B 16 02 + 37 08 1 + 3B 02

10 14B 15B Sustituyendo en la ecuacin: Luego la ecuacin buscada es: 25 Algebra SuperiorRosa De PeaEcuaciones Unidad - 3 Nota:Observemosquedisminuirenunvalornegativoequivaleaaumentarenelmismovalor positivo; esto es, para disminuir se lleva el nmero con el mismo signoy para aumentar se lleva con signo contrario. Notequedeacuerdoconlaigualdaddelademostracinanterior,medianteeseprocesose puede hacer desaparecer un trmino cualquiera de una ecuacin dada. Basta con que las races se disminuyan en un valor que anule la derivada de la funcin cuyo orden corresponda al exponente deltrminoquesequierehacerdesaparecer.Osea,quesiqueremosqueenunaecuacin desaparezcaeltrminoen,buscamosla,laresolvemos,ydisminumoslas races de la ecuacin dada en un valor cualquiera de los obtenidos en la solucinde esa derivada segunda. Interesaenparticularelcasodeeliminareldeunaecuacin.Comosteesel trminoen,entoncesbuscamosladerivadadeordenylaresolvemos.Dicha derivada es una funcin lineal y cualquiera que sea el grado de la ecuacin,tendr la forma: ( )( ) ( )( ) 11! 1 ! + =n nnA n x A n x f Igualando a cero se obtiene:( )nnnAAR x1 = =

Luego, siempre que las races de una ecuacin se disminuyan en ( )nnnAA1 la ecuacin que resulta no tiene trmino en( ) 1 nx .

Ejemplo Sea la ecuacin,

se quiere obtener otra que no tenga trmino en Aqu: = 1, = -8,, luego( )( )( )21 481= = = =nnnAAR x 26 Algebra SuperiorRosa De PeaEcuaciones Unidad - 3 Laecuacingeneral ser : 00 1223344= + + + + B x B x B x B x B Como14 = B , 03 = B, 242 = B, 661 = B 460 = B

La ecuacin pedida es: 24 66x 46 = 0 Note que aunque desapareci el trmino en x3como se quera, volvi a aparecer el trmino en que no exista en la ecuacin dada.Ello indica que no es posible eliminar ms de un trmino al mismo tiempo a menos que el valor con que se disminuyan las races de la ecuacin, anule a ms de una de las derivadas. 3.14.2.4Conocidaunaecuacin, transformarlaen otracuyasraces sean las recprocas de las races de la ecuacin dada. Dada la ecuacin ( )( )( )( )( )0 ...0 12211= + + + + + =A x A x A x A x A x fnnnnnn (1) Obtenerotraecuacin,talquesusracesseanlasrecprocasoinversasdelasracesdela ecuacin conocida. La ecuacin buscada es, entonces xy1=(2), yx1=(3)

Reemplazandoen : ( )( )( )( )( )( )01 1...1 1 1 100 1332211=||.|

\|+||.|

\|+ +||.|

\|+||.|

\|+||.|

\|+||.|

\|yAyAyAyAyAyAnnnnnnnn ( )( )( )( )( )( )01...1 1 1 10 1332211= +||.|

\|+ +||.|

\|+||.|

\|+||.|

\|+||.|

\|AyAyAyAyAyAnnnnnnnn 27 Algebra SuperiorRosa De PeaEcuaciones Unidad - 3 Multiplicando la ecuacin anterior por : ( ) ( ) ( )( )0 ...0113322 1= + + + + + + n nn n n ny A y A y A y A y A A Cambiandoyporx: ( ) ( ) ( )( )0 ...0113322 1= + + + + + + n nn n n nx A x A x A x A x A A

Reordenando: ( ) ( ) ( )( )0 ...1332211 0= + + + + + + n nn n n nA x A x A x A x A x A (4) Esdecirqueparaobtenerdeunaecuacin),otracuyasracesseanlas inversas de las races de la ecuacin dada, slo tenemos que invertir el orden de colocacin de los coeficientes de los trminos de la ecuacin dada. De estemodo,laecuacin se dirquees recproca delaecuacin Ejemplos 1)Dadala ecuacin Obtenerotracuyasracessean las inversasde lasracesde Lasraces de la ecuacin dada son: 21 = x, 12 = x ,33 = xLa ecuacindada se puede escribir en forma general: ( ) 00 12233= + + + = A x A x A x A x f Podemosdeducirque en la ecuacin conocidatenemosque: = 1,= 2 ,= -5 , = -6 A partir de estos valores, podemos hallarlos coeficientes de la nueva ecuacin: ( ) 03 22130= + + + = A x A x A x A x f ( ) 0 1 2 5 62 3= + + = x x x x f Ecuacin de racesreciprocasdeterminada. Cuyos valores son: 211 = x , 12 = x ,313 = x 28 Algebra SuperiorRosa De PeaEcuaciones Unidad - 3 2)Dada la ecuacin ;obtenerla ecuacin de racesrecprocas respecto a la ecuacin conocida. En general Loscoeficientes de la ecuacin dadason: = 1 , = 0, = -7, = -6

Laecuacin de racesreciprocas ser: f(x) =+ + + = 0 60 = A, 71 = A, = 0,13 = A La ecuacin de racesreciprocas es: Las races dela ecuacin son:= 3 ,= -1, = -2

Las racesde la ecuacin transformada son: =31 , = -1 , = 21 3) Dada la ecuacin La ecuacintransformada es: Lasracesde la ecuacin dada son:11 = x, 52 = x ,33 = x ,24 = x Las races de la ecuacin transformada son:11 = x , 512 = x ,313 = x, 214 = x 4)Dada la ecuacin Las races de este caso son: = 7 , = 3, = -1, = 0 La ecuacin transformada es: Lasraces de laecuacintransformadason: =71 , = 31, = -1, = 0

29 Algebra SuperiorRosa De PeaEcuaciones Unidad - 3 3.15 Naturaleza de las Races. Regla de los Signos de Descartes Unaecuacinentera,grado,tieneraces,lascualespuedenserrealeso complejas.La Regla de los Signos de Descartes permite determinar el nmero mximo de races positivas y negativas de una ecuacin racional entera con coeficientes reales.Sin embargo, antes de estudiar esta regla veremos ciertos conceptos preliminares. Parainiciardebemosconsiderarladeterminacindelasposiblesracesnulasdeunaecuacin entera, ya quetalesraces no son ni positivasni negativas.Es claro que si una ecuacin carece deltrminoindependiente,peronodeltrminodeprimergrado,entoncesposeeunasolaraz nula; si carece de los trminos independientey de primer grado, pero no del trmino de segundo grado,entonces posee dos races nulas,y as sucesivamente.O sea que, de aqu en adelante se entender que el primer paso en la resolucin de una ecuacin entera es la separacin de las races nulas. Ejemplos Identificar en lasecuaciones dadaslasracesnulas. 1)0 3 = x 2)0 5 32 3= x x3)0 4 22= x x 4)0 2 32 3= + + x x x ( ) 0 5 32= x x( ) 0 2 2 = x x( ) 0 2 32= + + x x x *Delasecuaciones anteriores las que corresponden a :poseen una raznula.*Laecuacin poseedosracesnulas. En un polinomio f(x) con coeficientes reales y ordenados segn las potencias descendentes de se dice que hay una variacin de signo o simplemente una variacin si dos trminos sucesivos difieren en el signo.Para contar las variaciones no importa que el polinomio sea incompleto. Por ejemplo, el polinomio: designoentresus trminos. Podemosdemostrarquecuandocualquierpolinomiosemultiplicaporunbinomiodelaforma ,siendounnmerorealpositivo,elpolinomioresultantepresentaporlomenosuna variacin ms que las que tena el polinomio original. Supongamoselpolinomio quetiene trminos. El producto tendr trminos.Deesos trminos el ultimo ser:,queesdesignocontrarioa;luegoenelcasoextremodequelosotrostrminosconservanelmismosignoquelosdelpolinomio,habrquecontar una variacin ms al pasar al ltimo trmino). 30 Algebra SuperiorRosa De PeaEcuaciones Unidad - 3 Ejemplos 1)Elpolinomiotienevariacin.Sisemultiplicapor,resulta entonces[quetiene variaciones de signo entre sus trminos. 2)Elpolinomiotiene3variaciones.Sisemultiplicapor resulta entonces que tiene variaciones. ComoconsecuenciadelovistoanteriormentesepuededemostrarlaRegladelossignosde Descartesquedice:Siesunaecuacinenteraconcoeficientesrealesysinraces nulas,entonceselnmeroderacespositivasdeesigualalnmerode variaciones de f(x) = 0 es menor que este nmero en un nmero par. Supongamosqueseanlasracespositivasdeunaecuacin,luegola descomposicin factorial: (1) Yavimosque:tieneporlomenosunavariacinmsqueyas sucesivamente. Entonces, el producto de la derecha de tendr variaciones ms que las de ; pero ese producto es igual a, luego si el total de variaciones de es entonces: *Paradeterminarelnmeromximoderacesrealesnegativasseaplicalamismareglaala ecuacintransformada,pueslasracespositivasdesonlas negativas de.

Ejemplos Por medio de la Regla de los Signos de Descartes, hallar toda la informacin posible acerca de lanaturaleza delas races de la ecuacin: 1)tiene dos (2) variaciones designosentresus trminos.Por tanto, hay races positivas.

Laecuacin:tiene solamente una variacin de signoentre sus trminos.Por tanto, hay exactamente una raz negativa. 31 Algebra SuperiorRosa De PeaEcuaciones Unidad - 3 Entonces existen dos posibles combinaciones para las races de la ecuacin. Importante:Cuando determinemoslasraces de la ecuacin conocida, tendremos unade lasopcionespropuestasmediante la regla de Descartes. 2) poseedos racesnulas Lanueva ecuacin a utilizar, despus de separar lasracesnulases g(x):tieneunavariacin de signoentre sus trminos posee dos variaciones de signo entre sus trminos. 3.16 Acotacin de Races Reales.Regla de Laguerre Sea dada una ecuacinentera de coeficientes reales ( )( )( )( )( )0 ...0 12211= + + + + + =A x A x A x A x A x fnnnnnn, cuyo primer coeficiente es positivo. La idea consiste en encontrar dos nmeros y , llamados, respectivamente, cota superiorycotainferior,talesquelasracesdeseencuentrendentrodelintervalo . Procederemosabuscarlamaneradeencontrarlacotasuperiordelasracespositivasdef(x) = 0, pues la cota inferior de las races negativas se obtendr aplicando la misma metodologa a laecuacintransformada;yaquelasracespositivasdesonlas negativas de, cambiando finalmente el signo del nmero encontrado. Si los coeficientes, deson todos positivos, no existen races positivas y GradoNulas+-C 50212 50014 GradoNulas+-C 52120 52104 32 Algebra SuperiorRosa De PeaEcuaciones Unidad - 3 Existenvariosmtodosparadeterminarloslmitesdelasracesdelaecuacin.Veremos a continuacin el que viene dado por la Regla de Laguerre. Regla de Laguerre Seaun nmero real positivo.Si al dividir por resultan positivosoceros todos los coeficientes del cociente yel resto, entonces es unacota superior de las races positivas de la ecuacin Demostracin: La divisin puede indicarse: (1) donde tiene todos sus trminos positivos oceros y.Supongamos un nmeroy reemplacemos en .Tendremos: (2) En: Comoesunnmerocualquieramayorque,loanteriorindicaqueentrey laecuacinnotomanuncaunvalornulo,oseaquenohayraceseneseintervalo , luego es una cota superior de las races positivas de la ecuacin ( ) 0 = x fL.Q.Q.D.

Prcticamenteseobtieneporelmtododeladivisinsinttica,probandovaloresenteros crecientes de hasta que resulten positivos todos los coeficientes del cociente y el resto. Ejemplos: Acotar las races reales de las ecuaciones dadas:

1) Determinacin de la cotasuperior de la ecuacin dada. ProbandoProbando 48 02 09 1 + + 48 02 09 1 + + 10 10 1 + + 1 48 22 2 + + 2 38 12 10 1 + + 00 24 11 1 + + + 33 Algebra SuperiorRosa De PeaEcuaciones Unidad - 3 es una cota superior de las races de Determinacindelacotainferior.Paraencontrarsta,obtenemosprimerolaecuacintransformada en . Estaecuacines : 8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 =iLno son cotas superiores de esta ecuacin.Probemos

es una cota inferior de las races de laecuacin Las races dese encuentran en el intervalo: 2)

Determinacin de la cota superior en la ecuacin dada. Probando con 4 , 3 , 2 , 1 =iLno son cota superior de . Probemoscon Lacotasuperior es Paradeterminar la cotainferior utilizamosla ecuacin: ProbandoconL = 2 . Lacotainferiores :2 ' = L Lasracesde seencuentranen el intervalo: ) 34 Algebra SuperiorRosa De PeaEcuaciones Unidad - 3 Notas: -Si una ecuacin tiene todos sus trminos positivos no tiene races positivas. Porejemplo:Comoestaecuacintienetodossustrminos positivos,entoncescualquiervalorinclusiveelceroeslmite;estosignificaquelaecuacinno tiene races positivas. Si una ecuacin tiene positivos los trminos de la misma paridad que su grado y negativos los de paridad contraria, no tiene races reales negativas Ejemplo: Laecuacin;notieneracesnegativasporque 3.17Races Racionales de una Ecuacin. Teorema Veamos ahora la determinacin de las races racionales no nulas de una ecuacin entera.Para este propsito tenemos el siguiente teorema: Sea( )( )( )( )( )0 ...0 12211= + + + + + =A x A x A x A x A x fnnnnnn(1)unaecuacin degrado donde todos los coeficientes son enteros.Si la fraccin qp, dondepy qZ eyson primos entre si, es una raz deentonces es un factor de y es un factor de . Ya queqpes una raz de (1), tenemos: ( )( )( )( )0 ...0 12211= +||.|

\|+ +||.|

\|+||.|

\|+||.|

\|AqpAqpAqpAqpAnnnnnn(2) Multiplicando ambos miembrosde (2)por, tenemos: ( )( )( )( ) ( )0 ...0112 2211= + + + + + n n nnnnnnq A pq A q p A q p A p A(3) Transponiendo alsegundomiembrode(3)ysacandoacomofactordelprimer miembro, obtenemos: ( )( )( )( )( ) ( ) n n nnnnnnq A q A q p A q p A p A p0112 32211) ... ( = + + + + (4) 35 Algebra SuperiorRosa De PeaEcuaciones Unidad - 3 Yaque son todos nmeros enteros, se concluyequeambos miembros derepresentannmerosenteros.Adems,yaqueesunfactorcomndelprimermiembro, debesertambinfactorcomndelsegundomiembro.Ahorabien,debidoaqueyno tienen factores comunes, resultaque es un factorde . Dada la ecuacin, tenemos: ( )( )( )( ) ( ) ( ) nnn n nnnnp A q A pq A q p A p A q = + + + + ) ... (10212211 (5) Si aplicamos el razonamiento anterior a la ecuacinencontramosquees un factorde. A partir del teorema anterior, llegamos a la conclusin de que: Sienlaecuacinentera,cuyoscoeficientessonenteros,severificaqueelcoeficiente principal=1ysutrminoindependiente,entoncestodarazracionaldees enteray divide exactamentea . Disponemos, ahora, de los elementosnecesarios para encontrar las races racionales, si existen, de una ecuacin de coeficientesracionales.Prcticamentese procedeas: 1)Setransformalaecuacindadaenotracuyoscoeficientesseanenterosycuyoprimer coeficientes sea iguala la unidad. 2)Se acotan las races de la ecuacin. 3)SeensayanporlaregladeRuffini,comenzandopor,losnmerosenteros divisores de einteriores al intervalo . Aquellos que conducen a divisin exacta son races enteras de la ecuacin. Aplicando a esas races la transformacin se obtienen las races racionales de la ecuacin original. Ejemplos Encontrar las races racionales de la ecuacin: a) 1)Obtencin de la transformada , poniendoy = 2x 2)Acotacin de races. Las races se encuentran en el intervalo[Verifquese] 3)Comolasracesseencuentranenelintervaloycomo,lasraces probables son: 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 36 Algebra SuperiorRosa De PeaEcuaciones Unidad - 3 Aplicandoelprocesodedivisinsintticaseencuentraquelasracesdeson:

4)Laecuacintienetodassusracesenteras.Lasracesracionalesdelaecuacin originalseobtieneaplicandolatransformacinalasracesde. Asresulta: 1221= = x , 3262= = x ,2243 == x ,254= x De otromodo, podemoshallarlas races dede la siguiente forma: Tomamosel coeficiente yel coeficiente Determinamoslosfactoresenterosde =2que son: Determinamoslosfactoresenterosde= 30que son: Lasposiblesraces racionales son de la forma qp siendoun factor enterode

y un factor enterode Es decir, lasposibles races racionales de son: qp: 215, 15 , 10 , 6 ,25, 5 ,23, 3 , 2 ,21, 1Al probarcon estos valoresusandoRuffinien la ecuacinf(x) = 0, tenemos: 37 Algebra SuperiorRosa De PeaEcuaciones Unidad - 3 Por tantolasracesson: b)Laecuacinesmnicay de coeficientesenteros. Realizandola acotacinde races, probandopara para determinar la cota superior. Lacota superiorde es Determinacin de la cota inferioren: Probamoscon Lacotainferiordees Elintervalo de acotacin es: Como Losfactores enteros deson: Losfactoresenterosde son: Lasposibles racesracionalesson de la formap/q, de modo que seraun factor entero de y un factorenterode . Las posibles races racionalesson:24 , 12 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 38 Algebra SuperiorRosa De PeaEcuaciones Unidad - 3 Probaremosconlosvaloresquesiendoposiblesraces,seencuentrandentrodelintervalode acotacin. Lasracesson: =1= 2 = 3= -4 3.18 Teorema de Bolzano Siunpolinomio( )( )( )( )( )0 ...0 12211= + + + + + =A x A x A x A x A x fnnnnnn tomapara yvaloresydesignosopuestos,laecuacin tiene por lo menos una raz en el intervalo Supongamos.Sidividimosendospartesigualesyelpolinomio se anula en el punto de divisin el teorema est probado.En caso contrario, existe uno y slo uno de los intervalos parciales, llammosle(a1, b1), en el cual cambia de signo; es decir f( ) 0.Apartirdeesteintervalomitad,repetimoselrazonamientoytendremos subintervalos( ,),( ,paraloscuales Sienalgunadelassucesivas subdivisiones, se llega a un punto en el que ( ) x f se anula, el teorema queda demostrado. 3.19ElteoremadeBolzanopermitelaseparacindelasracesrealesdeunaecuacin algebraica. Ejemplo SepararlasracesrealesdelasecuacionesdadasaplicandoelTeoremadeBolzano. En la ecuacindada determinamosel intervalo de acotacin, de modo que:Cota superior: L= 5Cota inferior: L = -2, o sea

Para ^ ocurrecuando 39 Algebra SuperiorRosa De PeaEcuaciones Unidad - 3 Analizamosdistintosvaloresdexdentro del intervalo de acotacin de races y encontramosque: - 2 = x ,( ) 0 24 2 < = fycuando 1 = x , ( ) 0 15 1 > = f portanto enel intervalo ( ) 1 , 21 = ITenemosunaraz1x-1 = x,( ) 0 15 1 > = fsiendo en 3 = x, ( ) 0 9 3 < = fportanto enelintervalo( ) 3 , 12 = I Tenemosunaraz2x-3 = x, ( ) 0 9 3 < = f ycuando5 = x ,( ) 0 39 5 > = fportanto enelintervalo ( ) 5 , 33 = I Tenemosunaraz 3x Comolaecuacinesdegradotresconcluimosqueposeetresracesreales,lascualesse encuentran dentro de los intervalos ya sealados. Podemosdarnoscuentaquelos intervalos 3 2 1, , I I Ipertenecenalintervalodeacotacin 2x 1x3x Eje Real 2 1 0 1 234 5 X-2 -10 12 3 4 5F(X)-24 1524 150-9 039 Es decir, los intervalosquecontienencada uno unaraz son: 1x ( ) 1 , 2 e ,2x ( ) 3 , 1 e ,3x ( ) 5 , 3 eHemosseparadolasracesde laecuacindada enI. 3.20 Races Irracionales de una Ecuacin.Mtodo de Ruffini-Horner Dada una ecuacin entera con coeficientes racionales, primeramente se aplica el procedimiento ya estudiadoparaobtenerlasracesracionales.Esdecir,separaremostodaslasracesnulasy/o racionales,ycualquierrazirracionalexistentelaobtendremosdelaecuacinreducida.Sila ecuacinreducidaescuadrticalasracesseobtienenfcilmentepormediodelafrmula correspondiente(solucinecuacinde2do.grado).Portanto,enelsiguienteanlisis supondremos que el grado de la ecuacin reducida es igual o mayor que 3.En este caso las races irracionalesvendrndadasenformadecimal,ysugradodeprecisin,dependeresencialmente delgradodeaproximacinquesedeseeobteneratendiendoalmayorahorroposiblede operaciones. 40 Algebra SuperiorRosa De PeaEcuaciones Unidad - 3 Mtodode Ruffini Horner Estemtodoquesloesaplicableaecuacionesalgebraicas,permitecalcularlasraces irracionales de una ecuacin mediante un procedimiento de clculo sencillo. La facilidad de clculo es debida a que cada cifra de la raz se determina individualmente. Veamoselrazonamientofundamentaldelmtodo.Supongamosquetieneunaraz irracional que con tres cifras decimales esPara determinaresta raz primeramenteveremos que la ecuacin dada tiene una razentre3y4. Despus disminuiremos las races de entres(3)unidades,obteniendolanuevaecuacinf1(x1)=0quetienelarazEntonceshacemosverquetieneunarazentreyy disminuimos sus racesen ,obtenindoseuna nuevaecuacin que tiene la raz.Repitiendo el paso anterior, vemos quetiene una razentrey y disminumos sus racesen obtenindose una nueva ecuacinque tienela raz.continuandoesteproceso,esposibleobtenerlarazconelnmerodecifrasdecimales correctas que se desee. Consideremos la ecuacin de coeficientes reales: ( )( )( )( )( )0 ...0 12211= + + + + + =A x A x A x A x A x fnnnnnn(1) Que tiene una sola raz simplereal,en el intervalo Porsimplicidad,supondremosquesondosnmerosenterossucesivos;as tendremos que la parte entera de esy podemosescribir: 10yr + = o es decir,10yr = o( ) 2 dondees un nmero comprendidoentre Desarrollando(1)por la Frmula de Taylor,segn potenciasde r - o , seobtiene ( ) ( )( )( )( )( )( )( )( ) 0 ...0 12211= + + + + + =A r A r A r A r A x fnnnnnno o o o yteniendo en cuenta(2) resulta: ( )( )( )( )( )010...10 1001111= + + + + =Ay Ay Ay Ay fnnnnnn 41 Algebra SuperiorRosa De PeaEcuaciones Unidad - 3 Multiplicando la expresin anterior por( )( )( )( )( )( )( )( ) 0 10 10 ... ) 10 ( 100 11 222 11= + + + + + = A y A y A y A y A y fn n nnnnnn (3) Ecuacin cuyas races estn disminuidas en el valor . Ensayandoen estaecuacin valores enterosde de0 a , habrn dos valores sucesivos, digamos, para los quecambia de signo, y la parte entera dees. Poniendo 101zy + =otambin 101zy = o (4) donde,desarrollamos(3)porlaFrmuladeTaylorsegnpotenciasdey-o1, teniendo en cuenta ( )( )( )( )( )( )( )( ) 0 10 10 ... ) 10 ( 100 11 222 11= + + + + + = B z B z B z B z B z gn n nnnnnn(5)

Existendos enteros sucesivos:o2,|2, comprendidosentre0y 10, para los que el polinomiog(z)cambia de signo, y la parteentera de zeso2. Nuevamente, haciendo 102tz + =o;es decir, 102tz = o 10 0 < < t , se puede obtener la parte entera de aplicando el proceso descrito. Aesta altura del procedimiento es fcil ver que hemos calculado trescifrasde laraz ( ) ( )...10 10103322 1+ + + + =o o oo r Sisedeseamayorprecisin,sedeberepetirelprocesolasvecesnecesarias.Paracalcularlos coeficientes de los desarrollos , se aplica el Esquema deHornerya visto.

42 Algebra SuperiorRosa De PeaEcuaciones Unidad - 3 Ejemplo Dada la ecuacin. Calcular con tres cifras decimalesla razsimple que se encuentra en el intervalo Comoen laecuacin dadatenemosque

Luego, como hay un cambiode signo, entonces confirmamos que la existencia de una raz en el intervalo 1erPaso: La parte entera de la razes,luego 101yr + =101yr =

Desarrollemos la ecuacin segn potenciasde r-1, aplicando el Esquemade Horner: 1 5 2 6 11 4 2 14 2 4 ( ) y F 1 3 1 3 5 ( )! 1'y F 1 1 2 ( )! 2' 'y F 1 ( )! 3' ' 'y F

Resulta as la ecuacin transformada: ( ) ( ) ( ) 0 4 5 212131= + y y y como 101yy = entoncesreemplazando 1y porsuequivalentetenemos; 43 Algebra SuperiorRosa De PeaEcuaciones Unidad - 3 0 4105102102 3= + |.|

\| |.|

\| |.|

\| y y y Multiplicandoportenemos: que cambia de signo en el intervalo.

Luego, la parte entera dees ,es decir: 106zy + =, 106zy = ,10 0 < < z 101zz = 2do. Paso: Apliquemos nuevamente el esquemade Hornerapara desarrollar segn potencias de. 1 20 500 4000 6684 3504 1 14 584 496( ) y F 6 48 18 632 ( )! 1'y F 6 1 2 ( )! 2' 'y F 1 ( )! 3' ' 'y F 44 Algebra SuperiorRosa De PeaEcuaciones Unidad - 3 De ah se obtiene ( ) ( ) ( ) 0 496 632 212131= + z z z sustituyendo101zz = yMultiplicando portenemos:( ) 0 496000 63200 202 3= + = z z z z f quecambiadesignoenel intervalo

luego, hacemos: 107tz + = , 107tz = ,donde 10 0 < < t , 101tt = 1 20 63200 496000 7 7 91 443037 1 13 63291 52963 ( ) t F 742 1 6 63333 ( )! 1't F7 11 ( )! 2' 't F 1( )! 3' ' 't F ( ) ( ) ( ) 0 52963 6333312131= + + t t tcomo 101tt = sustituyendo y 45 Algebra SuperiorRosa De PeaEcuaciones Unidad - 3 Multiplicandopor seobtiene ( ) 0 52963000 6333300 102 3= + + = t t t t f que cambia de signo en el intervalo,; luego hacemos108ut + = 108ut = donde10 0 < < u

En resumen tenemos: 101yr + = ,106zy + =,107tz + = ,108ut + = de donde resulta que la raz buscada es: ( ) ( )= + + + + = ...10810710613 2r = + + + + ...1000810071061 ... 008 . 0 07 . 0 6 . 0 1 + + + + ... con tres cifras decimales. En este ejemploel intervalo de acotacin es Tenemostres races irracionales, 46 Algebra SuperiorRosa De PeaEcuaciones Unidad - 3 Bibliografa Consultada Poole, David (2006). Algebra Lineal. Unaintroduccin moderna. (Segunda edicion). Mexico: Thomson Learning Iberoamerica. Grossman, Stanley I. (1996). Algebra Lineal. (Quinta edicin). Mxico: MacGraw-Hill Interamericana. Zill, Dennis G.; Dewar, Jacqueline M. (1999). Algebra y Trigonometria. ( Segunda edicin actualizada). Colombia: McGraw-Hill. Interamericana S. A. Fliz Lebreault, Rubn. (2007).Algebra y Anlisis Matricial. (Primera edicin). Repblica Dominicana: Editora Universitaria UASD. Serie Multitexto. Millar, Charles-Heeren; CERN-Homsby,John. (2006). Matemtica. ( Dcima edicin). Mxico: Pearson. Smith, Stanley A.; Charles, Randall I.; Dossey,John A. ; Keedy, Mervin L.; Bittinger, Marvin L. (1998). Algebra y Trigonometra con Geometra Analtica. (Primera edicin). Mxico: Pearson. Zill, Dennis G.; Dewar, Jacqueline M. (2008). Preclculo con avances de Clculo. (Cuarta edicin). Mxico: McGraw-Hill. Interamericana EditoresS. A. Bez Veras, Jos Justo;De Pea Olivares, Rosa Cristina.(2010). Manual de Prcticas. (Dcima edicin). Repblica Dominicana: Editora Universitaria UASD. Notas de Ctedra de: Mateo, Tulio; De Pea, Rosa. (2007). Curso de Algebra Superior. Navarro Pea, Toms Daro. (2008).Apuntes de Algebra Superior. Direcciones Electrnicas: http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n http://matematicasies.com/?-Ecuaciones,13- http://www.vitutor.com/ecuaciones/2/res.html http://www.vitutor.com/ecuaciones/2/ecu2_Contenidos.html http://www.vitutor.com/ecuaciones/2/ecu5_Contenidos.html http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Ecuaciones_primer_grado_resolucion_problemas/ecuacion3.htm http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Ecuaciones2grado/inicio.htm http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Ecuaciones2grado/eg24.htm http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Teoremas_bolzano_weierstrass/continuas_bolzano2.htm