5 algebra 5to - ii

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto Año

Álgebra 1

CONTENIDO

Binomio de Newton 02 Radicación 14 Radicales Dobles 24 Racionalización 29 Números Complejos 37 Teoría General de Ecuaciones 52 Inecuaciones 62 Sistema de Inecuaciones 73

CONTENIDO

Binomio de Newton 02 Radicación 14 Radicales Dobles 24 Racionalización 29 Números Complejos 37 Teoría General de Ecuaciones 52 Inecuaciones 62 Sistema de Inecuaciones 73

COLEGIO PARTICULAR


TEMA: BINOMIO DE NEWTON

Introducción:Es un operador matemático que simboliza de la siguiente manera:

Factorial: El factorial es un operador exclusivo de números naturales. Matemáticamente se define:

Propiedad: Ejem:

Observación: Existen 2 operadores mas ; los cuales son:

Cofactorial:

Propiedad:

Número Combinatorio:

Álgebra 2


Propiedades Básicas:

1)

2) Complemento:

3) Degradación:

4) Reducción:

BINOMIO DE NEWTON

Definición: Es una expresión matemática que tienen la forma de una función polimonial.Es un binomio de la forma:

(a+b)n , para n = 0,1,2,3,.........

Sabemos:

Álgebra 3


en forma polimonial:

Ejm:

Para: n = 4 Términos

En general:

Un polinomio: P (x + a)n Tiene (n + 1) Términos

Un binomio: (x + a) n - Tiene (n + 1) Términos

Ejem:P (x + a) = (10x + 3a) 5 Tiene 5 + 1 = 6 Términos

Término General:

Contenido de Izquierda a derecha:

Álgebra 4


donde:T K+1 es el término de lugar ( k+1)

Ejm:En el desarrollo de P (x,a) = ( x2+a3) 6, determine el tercer termino

Solución:

Contando de derecha a izquierda:

donde:T K+1 es el término de lugar ( k+1)

Ejm: En el desarrollo de P (x,a) = ( x3+a2) 5, determine el término de lugar con respecto al final.

Solución:

Término Central:El desarrollo del binomio tendrá un único término central en cambio si “ n ” es par, luego la posición que ocupa este Término es:

; n es par

Ejem: En el siguiente problema; Determinar el término Central del desarrollo de: P(x; a) = (x2 + a) 6

Como : n = 6

n es par la posición será

Álgebra 5


Tc =

Sabemos :

Teorema:

Si : a = 1 x = 1

* Sea : (a+b) n = 1 binomio:

Propiedades:

1. (a+b) n tiene (n+1) Términos.2. Exponente de a van disminuyendo de n hasta 0

Exponente de b van aumentando de 0 hasta n.3. En cada término , la suma de exponentes de a y b es igual a “n”.4. Coeficientes del 1° y último Término son iguales a 1.

Coeficientes del 2° y penúltimo término son iguales a “n”.

En general: los coeficientes son SIMÉTRICOS.

Término Independiente:

Es el término que no tiene variable, quiere decir es constante.

Ejm:Sea:

Término Independiente

Álgebra 6

36

63

ax20Tc

201x2x34x5x6

C


Otro Caso:

Sabemos: P (x) =

O = a(n-k) + (-b)k

O = an – a k – b k

K(a+b) = an

K =

Si a = b

Eso quiere decir que es en el Término central y además n Tiene que ser par. Ejm: Hallar el T. Independiente:

a = 3 n = 5 b = 2

Álgebra 7

35

5x3)23(

)5(3k


k = 3

El Término independiente es 10.

Definiciones Previas Combinatorios:

-

-

-

- No se cumple:

PROBLEMAS PARA LA CLASE

1. En el desarrollo del Binomio:

¿Qué lugar ocupa el término de 2do grado?

Rpta.-

2. Señale el término independiente de x en el desarrollo de:

Rpta.-

3. Hallar (n+k,) si T3= 405 xk al desarrollar :

Rpta.-

4. Calcular (n +m)

Si:

Rpta.-

5. Efectuar:

Álgebra 8


Rpta.-6. Hallar (k+n) si:

Rpta.-

7. ¿Qué valor asume “n” en : (xn

+ x-2) 17 de modo que el producto de los términos centrales sea constante?

Rpta.-

8. Al efectuar:

Se obtiene 31 términos. Halle el segundo término.

Rpta.-

9. Determine la suma de los coeficientes del desarrollo de:

, sabiendo que uno de sus términos admite como parte literal x9y10

Rpta.-

10. ¿Qué lugar ocupa el Término que tiene como grado absoluto 17 ; en el desarrollo de:

Rpta.-

11. Calcular el valor de “n” para que el décimo término del desarrollo de:

Rpta.-

12. El equivalente de:

Rpta.-

13. Calcular (m+n) ; si : m, n, Z

Rpta.-

Álgebra 9


14. Dado el binomio:

Rpta.-

15. Si los coeficientes de los Términos 3ro y 2do del desarrollo de (a+b)n Suman 78.Calcular el número de términos del desarrollo.

Rpta.-

Álgebra 10


PROBLEMAS PARA LA CASA

1. Reducir:

a) x b) x-1

c) 1 d) e) x2

2. Hallar el valor de “n”

a) 5 b) 6c) 7 d) 4e) 3

3. Siendo :Calcular: ab :

a) 12 b) 15c) 20 d) 30e) 42

4. Si se cumple que:

Calcular : (x + 1)!

a) 60 b) 24c) 6 d) 20e) 720

5. Indicar el valor de “k” en el desarrollo de (x + 1)36. si los

términos de lugar k-4 y k2, tienen igual coeficientes.

a) 7 b) 6c) 5 d) 9e) 10

6. Si el grado absoluto del Término en el desarrollo de:

Hallar el grado absoluto del término central.a) 28 b) 27c) 26 d) 25e) 24

7. Dado el binomio (x + a)4. Calcular:

a) b) c) d) e) 4xa

8. En el desarrollo del binomio (x5+x3) 10. Calcular el séptimo término.

a) b) c) d) e)

9. ¿Qué lugar ocupa el término cuya suma de exponentes de x e y sea 48 con el desarrollo del binomio. (x2+ y3) 18.

a) 10 b) 11c) 12 d) 13

Álgebra 11


e) 14

10. Dado el binomio .Hallar “n” para que el 5to término resulte del 1er grado.

a) 12 b) 16c) 18 d) 20e) 24

11. Dado el binomio el

término de lugar 17 es de la forma a) 19 b) 20c) 21 d) 22e) 23

12. Indicar el valor de “m” es (x7+ ym) 25 si el término de lugar 14 es de la forma:

a) 2 b) 3c) 4 d) 5e) 6

13. Si en el desarrollo del binomio (3x3 + 2x-1y2) n existe un término cuyas potencias de “x” e “y” son respectivamente 5 y 8 encontrar el número de términos del desarrollo.

a) 7 b) 8c) 9 d) 10e) 6

14. Calcular el quinto términos del desarrollo de:

a) 59 b) 69c) 70 d) 71e) 19

15. Halla el valor de “n”

a) 7 b) 5c) 6 d) 8e) N.A.

16. Indicar el término independiente de “x” en el desarrollo de:

a) 72 b) 84c) 96 d) 112e) 124

17. Dar el número de términos del desarrollo de:

a) 28 b) 56c) 7 d) 21e) 30

18. ¿Cuántos términos racionales existen en el desarrollo de:

a) 5 b) 4c) 16 d) 7e) N.A.

19. En el desarrollo de:

Álgebra 12


existen dos términos consecutivos ; el 1ro independiente de “x” ; el 2do independiente de “y”.Indicar el número de términos del desarrollo.

a) 59 b) 61c) 67 d) 91e) 93

20. Considerando la expansión de (3x+1) n Los términos consecutivos sexta y séptima tienen el mismo coeficiente, calcular la suma de coeficientes de dicha expansión.

a) b) c) d) e) 1

Álgebra 13


Álgebra 14

Radicando


TEMA: RADICACIÓN

Definimos la raíz n-ésima principal de un número real “a” denotado por :

Sea: Si “n” es par y a , b son números reales arbitrarios si “n” es impar:

“ n ” par a b son mayores iguales a 0.“ n ” impar a b son reales.

El símbolo para la raíz n – ésima principal de a se le llama RADICAL ; el entero “ n ” es el INDICE y “ a ” es el RADICANDO.

CASOS:- Si el índice de un radical es 2, es la raíz CUADRADA de a y el

índice se omite, escribiendo sólo - En general, si n 2 es un entero positivo y a b como real tenemos

que:

Propiedades básicas de los radicales:

Álgebra 15

Índice


Sean n 2 y m 2 enteros positivos y a , b son números reales, si todos los radicales están definidos. Tenemos las siguientes propiedades:

1)

2)

3)

4)

Observación:Simplificar un radical significa eliminar de éstos cualquier raíz perfecta que aparezca como factor.

Ejemplo : Simplificar :

Los radicales son valores para definir exponentes racionales de la siguiente manera.

Casos:

1. Si a R y n > 2 es un entero, entonces , siempre y cuando

exista.

Álgebra 16


2. Si a R y m n son enteros primos, n > 2 entonces

siempre y cuando exista.

Observación: Las Leyes de los exponentes son válidas para exponentes racionales.

Estos Términos , también se pueden definir en los conceptos de:- Racionalizando,- Radical doble.- Ecuaciones con radicales.- Inecuaciones con radicales.

Racionalizando: Racionalizando un cociente es rescribir este cociente de modo que el denominador no contenga radicales.

Ejm:

Racionalizar:

del ejercicio notamos que tanto en el

numerador como el denominador:

¿Por qué?

Por que : Queremos desaparecer el radical del denominador.

¿Cómo? a para que salga sólo 4.

Álgebra 17


En General : Si ; al racionalizar:

Hay que multiplicar por : ya sea en el numerador como el

denominador.

Radical Doble:

Tiene la expresión : es llamado radical doble:

Ejem :

Ecuaciones con Radicales: Si una expresión con radical de índice par, contiene una ecuación, tal

como:

Para que las soluciones sean Validas : a o

Ejem:

Inecuaciones con Radicales:

La resolución se basa en los siguientes Teoremas:

Si:

Álgebra 18


Operaciones:

Sea:

. . .

Si tenemos :

a a a1 3 1 4 1

X +

(multiplica y se suma)

(1x3+1) 4+1 = (4x4) +1 = 7

en el denominador : 2 x 3 x 4 = 24

Álgebra 19



1. Calcular x – 2y si:

Rpta.-

2. Calcular ab si:

Rpta.-

3. Si:Calcular “ x ” en:

Rpta.-

4. Calcular “ x ” si:

Rpta.-

5. Calcular “ x ” si:

Rpta.-6. Para que sea el valor de “ n ”

la expresión:

Resulte ser un monomio de 2° grado.

Rpta.-

7. Reducir:

Rpta.-

8. Reducir:

Rpta.-

9. Resolver:

Indicando el valor de:

Rpta.-

10. Efectuar:

Álgebra 20


Rpta.-

11. Si: Hallar

Rpta.-

12. Si al Reducir

El exponente final de “ x ” es

de la forma ; ; n N.

Halle : “ n ”

Rpta.-

13. Si se cumple que:

Calcular:

Rpta.-

14. Si:

Calcular:

Rpta.-

15. Racionalizar:

Rpta.-

Álgebra 21


Álgebra 22



1. Si: m =

Hallar “ x ” en

a) 1 b) 2c) 3 d) 4e) 5

2. Indicar la mayor solución al resolver:

a) -5 b) -10c) 10 d) 5

e) 2

3. Calcular “ x ”Si:

a) b)

c) d)

e)

4. Calcular:

Si:

a) 57 b) 50c) 58 d) 62e) 64

5. Si:

Calcular: AB

a) 2 b) 4c) 8 d) 16e) ¼

6. Evaluar:

a) 1 b) 2c) d) e) 4

7. Efectuar:

a) 2 b)

c) d)

e) +1

8. Si:

Halle el equivalente de:

Álgebra 23


a) 1 b) ½ c) 1/3 d) 2e) 4

9. Reducir:

a) 1 b) 2 c) 4 d) ½ e) ¼

10. Obtener

a) b) c) 3 d)

e) 3

11. Resolver:

Siendo: x 1

a) 4/3 b) 2 c) 3/2 d) 5e) 3

12. Hallar “ x ” en :

a) ½ b) -½ c) ¼ d) -¼ e) 1/16

13. Resolver:

a) ½ b) ¾ c) 8/27 d) 4/9 e) 2/3

14. Hallar “ x ” en:

a) b) 1 c) d) 3

e) 15. Calcular:

Álgebra 24


a) b)

c) d)

e)

16. Calcular:

a) b) c) d) e)

17. Calcular:

a) b)

c) d)

e) 18. Hallar “x ”

a) 2 b) 4c) 8 d) 16e) 32

19. Evaluar:

a) 1 b) 2c) d) e) 4

20. Hallar “ a ” Si:

Siendo : 3n =

a) 4 b) 3c) 8 d) 5e) 6

Álgebra 25


TEMA: RADICALES DOBLES

Tiene la expresión : (A B +)es llamado radical doble.

Ejm: Son ejemplos de radicales dobles.En algunas ocasiones es necesario expresar un radical doble como la suma de dos radicales simples (es decir ) el proceso mediante la cual esto es llevado a cabo se llama transformación de radicales dobles a simples.Nos preguntamos cuando es posible descomponer un radical doble en la suma de dos radicales simples, el siguiente teorema establece para que esto sea posible.

Teorema:

Si es un cuadrado perfecto entonces

Transformación de un Radical doble de la forma en radicales simples

; x y

Donde:

x . y = B x + y = AEjm:


Álgebra 26


1. Hallar: “x”

Rpta.:

2. Si:

Hallar “x”

Rpta.:

3. Realizar:

Rpta.:

4. Calcular “M” si la expresión:

Siendo x 1

Rpta.:

5. Determinar el valor de “M”

Rpta.:

6. Dada un función que depende de x:

Hallar la suma de 3 primero términos, siendo n N.

Rpta.:

7. Si:

Hallar “M”

Rpta.:

8. Si:

Rpta.:

9. Si C es un cuadrado perfecto

Se cumple:

Álgebra 27


Y su radical doble tiene la expresión , donde A 15. Hallar “B”.

Rpta.:

10. Si A = 11 y B = 72 de un radical doble, se tiene en la expresión final a simples:

Hallar “x”:

Rpta.:

11. Simplificar:

Rpta.:

12. Si;

Hallar “n”

Rpta.:

13. Evaluar:

Rpta.:

14. Reducir:

Rpta.:

15. Efectuar la descomposición en radicales simple de:

Rpta.:

Álgebra 28



1. Si:

Siendo: E un radical simple, donde su radical el doble tiene la expresión:

Hallar “N”:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

2. Se cumple que:

Hallar “n”:

a) 6 b) 4 c) 10d) 8 e) 2

3. Calcular:

a) 4 b) 6 c) 7d) 5 e) 3

4. Hallar “E”:

a) 4 b) 3 c) 2d) 5 e) 6

5. Determinar: “x”

a) b) c) d) e)

6. Hallar las soluciones de “x”:

a) 2,4 b) -2,3 c) -2, -4d) 1,3 e) 2,3

7. Hallar “M”:

a) -1 b) 1/2 c) 1/4d) 1 e) 2

8. Hallar:

a) b) c) d) e)

9. Reducir:

a) b) c) d) e)

10. Hallar “n”:

a) 3 b) 4 c) 2d) 6 e) 8

11. Si:

Hallar: a) 2 b) c) 1d) e) 3

12. Si:

Álgebra 29


a) 6 b) 1 c) 3d) 2 e)

13. Si:

Hallar el radical doble:

a) b)

c) d)

e)

14. Resolver:

a) 2 b) 1 c) 1/3d) e) 1/2

15. Determinar “M”:

a) 1 b) 2 c) 3d) 5 e) 4

16. Determinar:

a) 6 b) 5 c) 4d) 7 e) 8

17. Hallar:

a) 1/2 b) ¼ c) 1/3d) 2 e) 1

18. Resolver:

a) 2 b) 1 c) 1/3d) ½ e) ¼

19. Reducir:

a) 1 b) 1/4 c) 2

d) 1/2 e)

20. Si:

Hallar “n”

a) 1 b) 3 c) 5d) 2 e) 4

Álgebra 30


TEMA: RACIONALIZACION

Definición: Racionalizar un cociente es rescribir este cociente de modo que el denominador no contenga radicales. Aquí la idea principal para lograr lo que la definición se pide determinar una expresión adecuada de modo que, al ser multiplicada por el radical en el denominador, el nuevo denominador no tenga radicales.

Factor Racionalizante (F.R.): Es el menor número irracional que multiplicado por otro irracional da como resultado un número Racional.

Número Irracional x (FR) = Número Racional

La idea es encontrar un número Racional en el denominador.

Ejemplo: ( ) ( ) = 8FR, es el menor número irracional.

Casos:

I) PARA MONOMIO:

A es primo.

Ejemplo:

primo F.R.

Así concluimos:

; A un número primo

Álgebra 31


II) PARA BINOMIO:Aquí consideramos como productos notables:

OBS: Para denominadores:

* sale: a b

* no acepta C – N

* sale a – b (Por C – N)

¿Qué es C – N?

C – N (Cociente Notable):

Sea: ; n N*

Definición: (C – N) es el cociente de la división anterior siempre y cuando la división sea exacta.

CASO I:

Si:

x – y = 0 x = y R(x) = xn – (x)n

R(x) = 0

= xn – 1 + xn – 2y1 + xn – 3y2 + … + yn-1

CASO II: n: Impar

Álgebra 32


Si: = xn – 1 – xn – 2y1 + xn – 3y2 - … - yn - 1

CASO III: n: Par

Si: = xn – 1 – xn – 2 y + xn – 3 y2 - … - yn - 1

Observación:

Si: ; Genera C – N

Se cumple:

1) n = número de términos del C – N.

2) Es el C – N los exponentes de la primera base (xa) disminuyen de a en a, mientras que las exponentes de la segunda base (yb) aumentan de b en b.Ejemplo:

Álgebra 33



1. Simplificar:

Rpta.:

2. Resolver:

Rpta.:

3. Hallar:

Rpta.:

4. Determinar: E2 – 2. Si:

Rpta.:

5. Hallar “x”: si x 0

x2 + mx + m = 0

Además:

6. Racionalizar:

Rpta.:

7. Racionalizar:

Rpta.:

8. Si:

Hallar “a”

Rpta.:

9. Hallar: “E2 + 1”

Álgebra 34


Rpta.:

10. Hallar:

Rpta.:

11. Resolver “m”

Rpta.:

12. Efectuar:

Rpta.:

13. Resolver:

Rpta.:

14. Racionalizar:

Rpta.:

15. Hallar: (m)

Rpta.:

Álgebra 35


Álgebra 36



1. El valor Racionalizado de:

es:

a) b)

c) d)

e)

2. La sgte. Expresión:

a) Es un número entre 3 y 4.b) Igual a 5.c) Igual a 4.d) Es un # comprendido entre

4 y 5.e) Entre 2 y 3.

3. Hallar: “a”

a) 3 b) 1c) 3/2 d) 2e) 4

4. Racionalizar:

a) b)

c) d)

e)

5. Calcular “x”:

a) 30 b) 5c) 20 d) 13e) 10

6. Racionalizar:

a) b)

c) d)

e)

7. Racionalizar:

Álgebra 37


a) b)

c) d)

e)

8. Simplificar: se

obtiene:

a) 1/3 b) 1/9c) 2/9 d) 4/9e) 18/99

9. Racionalizar:

a)

b)

c)

d)

10. La expresión: es:

a)

b)

c)

d)

e)

11. Efectuar:

a) b)

c) d)

e)

12. Efectuar:

a) 0 b) 1c) d)

e)

13. Después de racionalizar el denominador es:

a) 9 b) 7c) 11 d) 13e) 17

14. Racionalizar:

Álgebra 38


a) b)

c) d)

e) N.A.

15. Racionalizar:

a)

b)

c)

d)

e) N.A.

16. Racionalizar:

a)

b)

c)

d)

e)

17. Simplificar:

a) 2 b) 1/2c) 1/4 d) 1/3e) 4

18. Racionalizar:

a)

b)

c)

d)

e)

19. Simplificar:

a) 1 b)

c) d)

e)

20. Efectuar y reducir:

Álgebra 39


a) b)

c) d)

e)

Álgebra 40


TEMA: NÚMEROS COMPLEJOS

Definición: Se denomina así a la reunión de todos los conjuntos numéricos existentes siendo el conjunto universo: el conjunto de los números complejos “C”.

Dado por: C = {(x , y) / x , y R}

Conjunto Numéricos: De acuerdo a la jerarquía se clasifican en:

1. Conjunto de los números Complejos.2. conjuntos de los números Imaginarios.3. conjuntos de los números Reales.

La unión de los 2 últimos conjuntos origina la 1era de ellas (conjunto de números complejos)

Expresión Imaginaria: Tradicionalmente se denomina así al resultado de extraer signo radical de índice por a números negativos.Ejm:

* * *

Unidad Imaginaria: Se denomina así al resultado de extraer Raíz Cuadrada al número “-1” y se simboliza como la letra “i”.

Potencia de la Unidad Imaginaria:

Considerando: i0 = 1 i1 = i

i1 = i i2 = -1 i3 = -i i4 = 1 i5 = i i6 = -1

Propiedades:

1. in + in + 1 + in + 2 + in + 3 = n Z2. i4° = 1 4° Z3. 14k + n = in n QNúmero complejo: (Z), se define como un par ordenado (x ; y) donde:

Álgebra 41


Z = (x ; y) = x + yi / {x , y} R i =

x: Parte Real del Complejo Z = Re (Z)

y: Parte Imaginaria de Z = Im (Z)

Para: Z = 4 + 3i ; tenemos

Clasificación de los números complejos:

Sea: Z = x + yi / {x ; y} R

I) Si y = 0 Z = x ; número Real.II) Si x = 0 Z = yi ; Imaginario puroIII) Si x = 0 y = 0 Z = 0 ; NULO

Igualdad de número complejos:

Dados los complejos:

Z1 = x + yi Z2 = a + biSi se cumple:

Z1 = Z2

O sea: x + yi = a + bi

Tenemos; x = 9 y = b

Números Complejos Especiales:Dado el complejo:

Z = x + yi / {x ; y} R se definen 2 nuevos complejos:

1) Complejo Conjugado de Z: Z = x + yi

= x – yi

Álgebra 42


2) Complejo opuesto de Z:

Zop = -Z = -x – yi

Zop = complejo opuesto de Z

Ejm:Para: 2 – 5i

= 2 + 5i para los Zop = -2 + 5i 2 casos

Plano Complejo:IIEje Imaginario

0

Polo eje real

- Plano Gauss- Diagrama de Argan´d- Diagrama de Wenssel

Álgebra 43


- Ubicación de Z en el plano:II

Sea: Z = x + yi = (x ; y) y (x ; y)

|Z|

X R

*Modulo de un número Complejo: (Z)

Def: es la distancia del polo al punto fijo de Z. Matemáticamente:

Ejm: Para: Z = 3 + 4i

|Z| = 5

Propiedades:

1) |Z| 0 ; Z C2) |Z1 + Z2| |Z1| + |Z2|3) |Z| = | | = |Zop|4) |Z1 . Z2| = |Z1| . | 2|

5) ; Z2 0

6) |Zn| = |Z|n n R7) Z . = | |2 = |Z|2

Ejm: Sea: Z = 2 + 3i Z . = (2 + 3i) (2 – 3i) = 22 – (3i)2 = 4 + 9 = 13

Álgebra 44


|Z|2 =

Representación de Números Complejos:

1) Forma polar o trigonométrica: I

Y A fijo|Z| |Z| Sen

R

Polo |Z| Cos

En la figura se muestra al componente:

Z = (x ; y) = x + yi ; luego:Z = |Z| Cos + i |Z| SenZ = |Z| (Cos + i Sen)

Llamemos Cos + i Sen = Cos .

Z = |Z | Cos: Argumento Principal.

menor ángulo principal positivo; la cual verifica:

Tg = … (I)

De (I) : obtenemos: =Arc Tg (y/x)

Ejm: Z = + i

Álgebra 45


I

1 Z

R

Operadores: Consideramos a las siguientes complejos:

Z = |Z| Cos ; Z1 = |Z1| Cos1

Z2 = |Z2| Cos 2

I) Multiplicación:

II) División:

Álgebra 46


III) Potencia: n Z+

Zn = (|Z| Cos)n = |Z|n Cos (n)

IV) Radicación:

K = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …, n- 1}

Ejm: Obtener 3 raíces cúbicas: -8

Sea: Z = -8 Z = 8 Cos ()

Forma Exponencial: Dado un complejo Z = x + yi / {x ; y} R su forma exponencial se define así:

Z = |Z| ei

Álgebra 47

Z


Donde: : Argumento, en Radianes : Número de Naipier = 2,7182

Ejm: Expresar en forma exponencial:

a) Z = i |Z| = |i| = 1 = / 2

Formula de Euler: Sea el complejo Z, tal que:

Z = |Z| (Cos + iSen)Z = |Z| ei

Igualando: |Z| ei = |Z| (Cos - iSen)ei = Cos - iSen

También: e-i = Cos - iSen

Raíces n-esimas de la unidad:

Sea: Z = 1 ; obs que |Z| = 1

Luego:Z = Cos (0)

Finalmente las raíces n-esimas se obtienen así:

Caso Particular: Raíces Cúbicas de la unidad:

Z = 1 = Cos

Cos + i Sen

Álgebra 48


Si k = 0 = Cos + iSen = 1

Si k = 1 = Cos + iSen =

Si k = 2 =

Conclusión: 1, W, W2 son las 3 raíces cúbicas de la unidad y verifican:

1) 1 + W + W2 = 02) W3K = 1 k: múltiplos

Además: W3K + m = Wm

Graficando:I

L1 R

Y L =

Formula de DEMOIVRE:

Se puede generalizar:|Z1 Z2 … Zn| = |Z1| |Z2| … |Zn|

Arg (Z1 Z2 … Zn) = Arg (Z1) + Arg (Z2) + … + Arg (Zn)

Si: Z1 = Z2 = Z3 = … = Zn = Z , |Z| = r

|Zn| = |Z|n = rn

Arg (Zn) = nArg (Z) = n

Álgebra 49

60°Área:

60°


De esto: si Z = x + iy = r(Cos + iSen) = r(Cos , iSen) = rei

Zn = (rei)n = rnein = rn (Cosn + iSenn)En particular si:

S = 1

(ei)n = (Cos , iSen)n = Cosn + iSen

Ejercicio: Verificar que la formula de Demoivre se cumple para n Z.

Calcular:

Polinomios sobre los complejos:Un polinomio sobre el conjunto de los números complejos tiene la forma:

P(Z) = anZn + an – 1Zn – 1 + … + a1Z1 + a0Z0

Donde los a; y Z toma valores complejos, n es segundo.

Teorema:

Todo polinomio:P(Z) = anZn + an – 1Zn – 1 + … + a1Z + a0 sobre el campo de los

complejos con n 0, tiene exactamente “n” raíces, algunas de los cuales pueden repetir y P(z) puede ser expresado de la forma:

P(Z) = an(Z – r1) (Z – r2) … (Z - rn) .

Álgebra 50



1. Simplificar:

Rpta.:

2. Calcular:

Rpta.:

3. Indicar el modulo:

Rpta.:

4. Reducir:

Rpta.:

5. Reducir:

Rpta.:

6. Hallar el valor de “a” para que sea real el complejo:

Rpta.:

7. Reducir:

Rpta.:

8. Si: Z = 4 + 3i; hallar el valor de:

E= |1 + Z|2 - |1 – Z|2

donde Z C

Rpta.:

9. Sea Z = x + yi, tal que: Z39 = 1 ; Z 1. Hallar: Re (Z + Z2 + Z3 + … + Z37)

Rpta.:

Álgebra 51


10. Si: ,; x N i

= . Calcular:

Rpta.:

11. Dados los complejos: Z1 = 4 (Cos25° - iSen25°) y Z2 = 2(-Cos70° + iSen70°).

Calcular:

Rpta.:

12. Calcular el módulo y argumento principal de:

Rpta.:

13. Hallar el complejo de Z a partir de:

Arg (Z + a) = / 12Arg (Z - a) = 7 / 12 a R

Rpta.:

14. Hallar el área del triángulo formado por los afijos de

con el polo, sabiendo que:

Rpta.:

15. Calcular:

Rpta.:

Álgebra 52



1. Calcular:

a) 3 b) -3c) i d) 3ie) 1

2. Efectuar:

a) -3 b) -5c) -2 d) 3e) 4

3. Simplificar:

a) 1/4 b) 1/2c) 2 d) 1e) -1

4. Calcular:

a) 0 b) 1c) 3 d) 3ie) -3i

5. Reducir:

a) 1 b) ic) –i d) 10e) 0

6. Reducir:

a) -1 b) -2c) 0 d) 2e) 10

7. Hallar:

E = i2 + 2i4 + 3i6 + … + (2n - 1)i4n – 2 + 2ni4n n Z+

a) n b) 4nc) 0 d) 2nie) 4i

8. Sea:

Hallar: Re (Z)

a)

Álgebra 53


b)

c)

d)

e)

9. Calcular: Z = (1 + i)71 + (1 - i)71

a) 236 b) 218

c) 236i d) 236ie) -218i

10. Sabiendo que: m, n, x, y R. además:

Hallar el equivalente de:

a) 6 b) 4c) 8| d) 12ie) 10

11. Sean:

Hallar:

a) 2i b) 5ic) -5i d) -4ie) 4i

12. Indique el modulo de:

a) 1 b)

c) d) e) 2

13. Indique la parte real:

Z = (1 + i)2 + (1 + 2i)2 + (1 + 3i)2

+ … + (1+ni)2 ; n Z+

a) b) n

c) d)

e)

14. Hallar:

a) -3 b) 3c) 1 d) 0e) 2

15. Resolver:

En C : Z2 + 2|Z| = 0 ; Z (0 , 0)

Indique:

Álgebra 54


Re (3Z) – Im (Z)

a) -3 b) 4c) 1 d) -2e) 2

16. Calcular “n”:

a) 6 b) 1/4c) 1 d) 2e) 4i

17. Dado:

Indique el mayor valor de |Z|

a) 35 b) 29c) d) e) 34

18. Sabiendo que:

Donde:

A, b R ; a 0Calcular la parte imaginaria del conjugado de:

F(1+2i) . f(2+3i) ..... f(199+100i)

a) -100 b) c) d) e) 99

19. Hallar el módulo de:

Z = 1 + Cos74° + iSen74°

Sabiendo:

1 + Cos = 2Cos2

a) 1,7 b) 1,5c) 1 d) 1,6e) 1,8

20. Indique verdadero (v) o falso (F)

I. |Zn| = |Z|n ; Z C Z+

II. |Z1 + Z2|2 + |Z1 – Z2|2 = 2{|Z1|2 + |Z2|2} Z1, Z2 C

III. | | = |-Z| = |Z|; Z C.

a) VFF b) FVVc) VVF d) VFVe) VVV

Álgebra 55


TEMA: TEORÍA GENERAL DE ECUACIONES

Ecuaciones: (Igualdad Condicional)Es una igualdad que sólo se satisface o verifica para sistemas particulares de valores numéricos atributos a sus letras. Las letras reciben el nombre de incógnitas, que por lo general se representa con las últimas letras del alfabeto.

Así: 5x – 3 = 3x + 12x = x = 2

Ya que: 5(2) – 3 = 3 (2) + 17 = 7

Clasificación de las ecuaciones: Las ecuaciones pueden ser:

1. Ecuación posible o compatible.- Admite solución. Pueden ser:

- Determinada.- # limitado de soluciones.- Indeterminada.- # ilimitado de soluciones.

2. Ecuación Imposible incompatible o absurda.- Aquella que no admite solución

3. Ecuación Algebraica.- Pueden ser:

- Racional.- Pueden ser racional entera o fraccionaria.- Irracional.- Si alguita incógnita, figura bajo radical

Ejm:

(1) 4x + 9 = x2 – 12 racional entera.X = (-3) y x =7

(2) racional fraccionaria.

Álgebra 56


(3) Irracional

4. Ecuación Trascendente.- Son no algebraicas.Ejm:

(1) log (2) ax + 1 = 5(3) Sen 3x + 1 = 0

Ecuaciones Equivalentes: Son ecuaciones que tienen las mismas soluciones.Ejm:

5x – 3 = 2x + 9 4x – 1 = x + 11 3x = 12 3x = 12 x = 4 x = 4

Ambas soluciones es x = 4, son iguales.

Ecuaciones de primer grado con una incógnita:

Definición: Una ecuación de primer grado o lineal con una incógnita es aquella que puede reducirse a la forma:

ax + b = 0Siendo:

a y b coeficientesResolviendo

ax = -b Pasando b al segundo miembro con signo cambiado.. De acuerdo a los valores que tomen a y b pueden suceder:

1) Si a 0 , b 0 tendremos:

2) Si a 0 y b 0 tendremos:x = 0

3) Si a = 0 y b = 0 tendremos:0x = 0

Observamos que x puede tomar cualquier valor.4) Si a = 0 y b 0tendremos:

Álgebra 57


0x = -b Observamos que esta solución es absurda.

Ejm:

. Resolver y discutir:

m2 (x – 1) = 5 (5x – m)

Solución:

Efectuando: m2x – m2 = 25x – 5m(m2 – 25) x = m2 – 5m (m + 5) (m – 5) x = m (m – 5)

Discusión:(1) Si m2 – 25 0

(2) Si m = 5 ; 0x = 0

La ecuación es compatible indeterminada.

(3) Si: m = -5 ; 0x = 50

La ecuación es incompatible.

Solución extraña de una ecuación: Una solución extraña (jamás) verifica la ecuación inicial.

Ejm: x3 = 2 : tiene 3 soluciones.(x3)4 = 24x12 = 16 tiene 12 soluciones.

Entonces hay 9 soluciones extrañas.

Álgebra 58


Solución despreciable de una ecuación: Son soluciones o valores que se pierden durante el procedimiento de Resolución.

Ejm: x12 = 8 12 soluciones X4 = 2 4 soluciones

Por lo general:

A = B

An = Bn

A = B

Ecuación de Segundo Grado:

Forma General: ax2 + bx + c = 0x incógnita

Hay dos soluciones:

Discusión de las Raíces.- Se define como discriminante de la ecuación: ax2 + bx + c = 0 ; a 0

D = b2 – 4ac D Discriminante

1) Si D 0 ; las soluciones son números reales diferentes.

Álgebra 59

Hay 8 soluciones despreciables

Son ecuaciones parciales

equivalentes

Aparecen soluciones extrañas

Son ecuaciones parciales

equivalentes

Aparecen soluciones

despreciables

Dos formas de resolver una

ecuación de 2do grado


2) Si D = 0 ; las soluciones son números reales iguales.3) Si D 0 ; las soluciones son números complejos conjugados.

Propiedades de las Raíces:

Sea: x1 , x2 raíces de ax2 + bx + c = 0 ; a 0

Suma: x1 + x2 = -b/a

producto: x1 + x2 = c/a

Diferencia: x1 + x2 = ; x1 x2

Reconstrucción:

x2 – (suma de raíces) x + (producto de raíces) = 0

Álgebra 60



1. Para que valor de m: las raíces de la ecuación:

, serán iguales

en magnitud pero de signo contrario.

Rpta.:

2. Resolver:

Rpta.:

3. Resolver:

Rpta.:

4. Resolver:

Rpta.:

5. Resolver la ecuación.

Rpta.:

6. Dar los valores de x:

Rpta.:

7. Dar los valores de X:

Rpta.:

8. Resolver:

Rpta.:

9. Hallar el valor de x:

Álgebra 61


Rpta.:

10. Resolver:

Rpta.:

11. Resolver:

Rpta.:

12. Hallar m, n tal que tengan igual solución:

(5m – 52) x2 – (m – 4) x + 4 = 0(2n + 1) x2 – 5nx + 20 = 0

Rpta.:

13. Hallar tal que la ecuación tenga raíces iguales:

( + 4) x2 – 1 = (2 + 2) x -

Rpta.:

14. Resolver:

Rpta.:

15. Hallar el conjunto solución de:

Rpta.:

Álgebra 62



1. Resolver la ecuación:

a) {9 , 6/5}b) {36/25 , 10}c) {9 , 36/25}d) {19}e) {6/5}

2. Resolver:

a) {5/4} b) {45/4 , 95}c) {95} d) {5/4 . 45/4}e) {5/4 , 95}

3. Resolver:

a) {2} b) {3/2}c) {3/2 , 2} d) e) {5/2 , 2}

4. Dar: a2 + ab + b2, para que las raíces de la ecuación sea igual

a3;

a) 3 b) 3/2c) 3/4 d) 3/5e) 1/3

5. Hallar los valores de k de modo de que las raíces de la ecuación 4x2 – 16x + k2 = 0, estén en el intervalo 1 , 3 , si k a , b c , d. Hallar “a + b + c + d”

a) -3 b) -2c) -4 d) 0e) 5

6. Si r, s son las raíces de la ecuación x2 + bx + 4c = 0 ; (2r + b), (25 + b) de x2 + mx + n; hallar:

a) 1 b) 2c) 4 d) 8e) 1/2

7. Resolver:

(x – 5,5)4 + (x – 4,5)4 = 1

a) -5,5 b) -4,5

Álgebra 63


c) 4,5 d) 3,5e) 6,5

8. Dada la ecuación –x2 + mx – m = 3. Hallar si existe el menor entero m para que una de sus raíces sea menor que 10. Dar la suma de las cifras “m”.

a) 3 b) 2c) 4 d) 5e) 6

9. Resolver la ecuación: x6 – 9x5 + 30x4 = 45x3 – 30x2 + 9x – 1. Si una raíz es de la

forma . Hallar “A + B”

a) 5 b) 3c) 8 d) 7e) 6


. Dar la

suma de todas las raíces.

a) 2 b) 1c) 10 d) 12e) 13

11. Si a 1, obtener la suma de las soluciones reales de la ecuación: .

a) -1/2

b)

c)

d)

e)

12. Dar (m + n) para las cuales las ecuaciones:

(m – 2)x2 – (m + 2)x – (n3 + 6) = 0 (m – 1)x2 – (m2 + 1)x – (4n3 – 4) = 0

Tendrán las mismas relaciones.

a) 3 b) 2c) 5 d) 4e) 1

13. Halar “m” a fin de que la suma de las raíces positivas de la ecuación bicuadrada: x4 – (3m + 4) x2 + (m + 1)2 = 0 sea 6.

a) 3 b) 23c) 34 d) 6e) 15

Álgebra 64



a) (a – 1)2 b) 2a

c) c)

e)

15. Si el conjunto solución de la ecuación: mx2 + nx + 2 = 0, es

, calcular “n”.

a) -10 b) -6c) 0 d) 2e) 5

16. Si es el discriminante positiva de la ecuación:

determinar el conjunto solución:

a) {5/2 , 9/2}b) {5/2 , 11/2}c) {3/2 , 9/2}d) {3/2 , 1/2}e)

17. Resolver:

a) 1 , b) Nc) 10 , d) {10}e) {0 , 10}

18. Si x es un número real, que valor numérico no puede tomar la expresión:

a) 5 b) -35c) -10 d) 1e) 10

19. Si una de las raíces es el cuadrado de la otra de la ecuación. x2 – ax + b = 0,

calcular

a) a b) bc) 1/a d) 1/6e) 1

20. El perímetro de un rectángulo es 90m y su área es superior a 504m2, si sus lados son números enteros ¿En cuanto excede el largo al ancho?

a) 1 b) 2c) 3 d) 4e) 5

TEMA: INECUACIONES

Álgebra 65


Definición: Es una desigualdad.

Desigualdad: Es una relación que nos indica que una cantidad o expresión es mayor o menor que otra.Estos se establecen solo en el campo de los números reales.

Signos: (Sirven para designar a las desigualdades)

diferente a mayor que menor que

También:

mayor o igual que menor o igual que

- + | | | | | | | | | -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Si a es (+) a 0 Si a es (-) a 0

Definiciones:1. Se dice que una cantidad “a” es mayor que otra cantidad “ ”, si la

diferencia (a – b) es una cantidad positiva, es decir:

a b si a – b 0Ejm: -2 -7 porque -2 – (-7) = 5 , es (+)

2. En caso contrario:

Si a ba – b 0

Ejm: -3 -1 -3 – (-1) = -2, es (-)

Álgebra 66

Menores de cero (-)

Mayores de cero (+)


3. Si: a b c d son desigualdades de sentido contrario.

Propiedades de las Desigualdades

1. Sea: a bSi se le suma o resta: c

a c b c (NO VARIA)

2. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por la misma cantidad, el sentido de la desigualdad NO VARIA.

Si: a b ac bc

y c 0

3. Si a b c 0

Cumple: se invierte

4. Si a b b c

a b c a c

5. Si a b c > d

Se cumple: a + c b + d

6. Si a b c d

Se cumple: a – c c - d

7. Si a b c d b 0 d 0

Se cumple: ac bdConsecuencias: Si a b siendo b 0

Álgebra 67

0 2 4

+ +


8. Si: a b c d siendo b 0 c 0

Se cumple:

CLASES DE DESIGUALDADES:

1. Desigualdad condicional o inecuaciones: Son aquellos que verifican solo para determinados valores o sistemas de valores atribuido a sus incógnitas y para los cuales están definidos sus miembros.

Ejm: 3x – 2 13 x 5

2. Desigualdad Incondicional: Toman cualquier valor o sistemas de valores.

Ejm: a2 + 5 0

“a” toma cualquier valor real.

Solución; a2 -5Pero como a2 0 0 -5

a2 -5 es OBVIO

Clasificación de las Inecuaciones de acuerdo a sus soluciones:

1. Inecuación Posible:

a. Inecuación determinada: Sea:

(x – 2) (x – 4) 0

Porque 2 x 4 (ya esta determinada)

b. Inecuación Indeterminada: Sea (x – 3)2 + 1 0, cuando satisface para cualquier valor de x.

Álgebra 68


2. Inecuación Imposible o absurda: Cuando carece de soluciones:Ejm:

X2 -2 (es imposible)

a. Inecuación equivalente: Cuando tiene las mismas soluciones.}Ejm:

3x – 5 2x + 15x + 2 4 (x + 2)

Inecuaciones de Primer Grado con una incógnita

Una inecuación de primer grado con una incógnita es aquella que puede reducirse a la forma:

ax + b 0 ó ax + b 0Si: ax + b 0

Si: ax + b 0

Si a = 0, la inecuación se reduce a:

b 0

Para todo valor de x; es positivo, lo cual se denomina ecuación indeterminada.Ejm:

Resolver la inecuación:

Solución: 5 – 6 – 2 – 3 | 30

Multiplicando por 30:

Álgebra 69


12x – 6 + 15x – 10 30x + 15 + 20-3x 51x -17

Graficando:

| | | |- -17 0 +

- x -17ó x -, -17

Inecuaciones de 2 do grado:

Toda inecuación de 2do grado puede reducirse siempre a:

ax2 + bx + c 0 ; a 0

El conjunto solución: {x R / ax2 + bx + c 0} y dependerá de la naturaleza del discriminante.

= b2 – 4ac

Luego:

Caso 1: Si = b2 – 4ac 0 = ax2 + bx + c, tiene dos raíces reales diferentes, por ejemplo x1, x2, con x1 x2 entonces.

ax2 + bx + c = (x – x1) (x – x2)1.1) ax2 + bx + c 0 a (x - X1) (x – x2) 0

a) Si a 0 x - , x1 U x2 , b) Si a 0 x x1 , x2

1.2) Ax2 + bx + c 0 a (x – x1) (x – x2) 0a) Si a 0 x x1 , x2b) Si a 0 a (x – x1) (x – x2) 0

Álgebra 70


Caso 2: Si = b2 – 4ac = 0 ax2 + bx + c, tiene dos raíces iguales, es decir: x1 = x2, luego:

Sea: ax2 + bx + c = a(x – x1)2

2.1 ax2 + bx + c 0 a (x – x1)2 0a) Si a 0 x R – {x1} b) Si a 0 x

2.2 Ax2 + bx + c 0. a (x – x1)2 0a) Si a 0 x b) Si a 0 x R – {x1}

Caso 3: Si = b2 -4ac 0 ax2 + bx +c, no tiene raíces reales:

3.1. Si a 0 ax2 +bx + c 0 , x R

3.2. Si a 0 ax2 + bx + c 0 , x R

Ejm: Sea: x2 – 7x + 6 0 (x - 6) (x - 1) 0

x - , 1 U 6 ,

Álgebra 71



1. Si: -1 b a 0; donde a y b R de las siguientes proposiciones:

I. a2 b2

II. a2 b3

III. a3 b3 ¿Son ciertas?

Rpta.:

2. Resolver en “x”

,

si: a b a , b R+

Rpta.:

3. Si: ¿A que

intervalo pertenece: ?

Rpta.:

4. Resolver en x:

Rpta.:

5. Resolver:

Rpta.:

6. Resolver:

Rpta.:

7. Resolver:

0

Rpta.:

8. Resolver:

x2 – x – 6 0

Rpta.:

Álgebra 72


9. Resolver:

x4 – 5x2 – 36 0

Su intervalo es:

Rpta.:

10. Resolver:

x8 – 2x4 + 1 0 indicando la suma de los valores que la verifiquen.

Rpta.:

11. Resolver:

Rpta.:

12.

Rpta.:

13. Resolver:

Rpta.:

14. Hallar: x

Si el C.S. es S: indicar: SC

Rpta.:

15. Hallar el intervalo:

Rpta.:

Álgebra 73



1. Dar el equivalente al conjunto:

a) - ; 14 b) 5 ; +c) 5 ; 14 d) 5 ; 14e) 0 ; 14

2. Dado:

Indique el menor valor que presenta:

a) 15 b) 14c) 13 d) 12e) 16

3. Dado:

Indique su cardinal:

a) 1 b) 2c) 3 d) 4e) 5

4. Resolver:

a) x -65 ; +b) x c) x -63 ; +d) x 1 ; +e) x R

5. Resolver: |2x – 7| 9

a) x 1 ; 6b) x 1 ; 8)c) x 1 ; 2d) x -1 ; +e) x -1 ; 8

6. Hallar los valores de “a” para que la desigualdad:

Se verifique para todo valor real de x.

a) -1 , 4 b) -1 , 2c) -1 , 0 d) 1 , 2e) N.A.

7. Resolver:

(x - 7)2 – 9|x – 7| + 18 0

a) 1 ; 4 U 12 ; 14b) 1 ; 5 U 6 ; 7c) 1 ; 4 U 10 ; 13d) 2 ; 5 U 10 ; 16e) - ; 5 U 10 ;

8. Calcular:

Álgebra 74


Si: x -3 , -2a) -2 b) 1c) 3 d) 2e) 5

9. Resolver: 2x2 – 10x – 12 0

a) x -1 ; 6b) x -1 ; -6c) x 2 ; 4d) x -2 ; 8e) N.A.

10. Resolver:

indicar el intervalo de la solución:

a)

b)

c) x

d) x - ,

e) x -3 ; 3

11. Resolver: x2 – 14x + 50 0

a) x R

b) x R –{3}c) x 2 ; 4d) x -7 ; e) x

12. Resolver: |x2 - 4| (x + 2)2

Hallar su intervalo.

a) x 0 ; -{2}b) x 0 ; U {-2}c) x 0 ; 7 U {-2}d) x e) x R

13. Si: x R se verifica x2 + (m – 1) x + 4 0. El mayor valor natural de “m” es:

a) 2 b) 3c) 4 d) 5e) 8

14. Hallar los valores de “m” de modo que las raíces de la ecuación:

4x2 – 16x + m2 = 0Estén en el intervalo 1 ; 3. Si:

m a , b U c , dEntonces: ad – bc es:

a) -3 b) -2c) -4 d) 0e) 5

15. Resolver:

Álgebra 75


a) x 0 ; +b) x -0 ; +c) x 2 , +d) x -1 , +e) x -4 , +

16. La solución de la desigualdad es:

a) -3 x 3b) -6 x c) - x -6 , 3 x d) x = 3e) x = -6

17. Si: ; su intervalo

de “x” es:

a) 5 ; b) 3 ; 5c) - ; 5 d) 12 ; e) 15 ;

18. Hallar “x” si se cumple:

, es:

a) 1 b) 2c) 3 d) 4e) 5

19. La solución es:

a) -3 ; -1 b) -3 ; 1c) -1 ; -1 d) -3 ; -1e) -3 ; 1

20. Los valores de “x“ son:

a) 0 x 4b) 2 x 4c) -6 x 0d) -6 x 0 ; 3 x 4e) -6 x -3 ; 3 x 4

Álgebra 76

-3 5

-2 3

2

2

(2,2)

Y

X

2

Y

X

-4


TEMA: SISTEMAS DE INECUACIONES

Se llama sistema de inecuaciones, al conjunto de inecuaciones que se verifican, para los mismos valores numéricos de las incógnitas.

Así las inecuaciones: ax + b 0cx + d 0ex + f 0

Forman un sistema de tres inecuaciones de primer grado con una incógnita.

Ejemplos:

Si: x 5 … (I)x -3 … (II)

Solución común a partir de x 5.

5 x ó x 5 ; Si: x -2 … (I)

x 3 … (II)Solución Común

-2 x 3 ó x -2 , 3 x + y … (I)

2x – y … (II)

Primero:

o x + y 2

o 2x – y 4

Álgebra 77

2

2

Y

X

-4

Solución Común

-4 1

-7 -3 10


Ahora interceptando las gráficas:

. Sea: x 1 … (I)x -4 … (II)

Graficando la recta:

Como el sistema no tiene Solución Común, se llama: Sistema Incompatible.

Nota: Cuando todas las inecuaciones dan límite superiores, es decir cuando x es menor que una serie de valores, la solución común a todas ellas es x menor que la menor.Así, si:

x 10x -3x -7

La solución común: x -7

Porque: -7 -3 10

Álgebra 78


menor

Inecuaciones con dos variables sistema de inecuación

Una inecuación con dos variables, es una desigualdad de la forma:

F(x , y) 0

Cuyo conjunto de solución, es una región del plano xy, cuyos puntos

satisfacen la desigualdad.

Un sistema de inecuaciones cuadráticas, son desigualdades de la forma:

a1x2 + b1x + c1 0

a2x2 + b1x + c2 0

anx2 + bnx + cn 0

Cuyo conjunto solución, es el conjunto de números reales que esta dado

por el intervalo COMÚN, que satisface todas las desigualdades.

Ejm: x3 + 6x2 – 69x – 154 0… (I)

x3 - 3x2 – 13x – 15 0 … (II)

x3 - 3x2 – 36x – 108 0 … (III)

Álgebra 79



1. Determinar el sistema:x -2 … (I)x 11 … (II)x 5 … (III)x 15 … (IV)x 9 … (V)x -15 … (VI)x 20 … (VII)

Rpta.:

2. Hallar los valores de x:

2x – 5 x + 3 3x – 7

Rpta.:

3. Resolver el sistema de inecuaciones:

… (I)

… (II)

Rpta.:

4. Que valores de “x” verifican simultáneamente las siguientes inecuaciones:

X4 - 4x3 - 31x2 + 94x +120 0 … (I)X3 – 2x2 – 55x + 56 0 … (II)

Rpta.:5. Hallar los valores enteros de x

e y en:

5x – 3y 2 … (1)2x + y 11 … (2)y 3 … (3)

Rpta.:

6. Hallar las soluciones enteras y positivas de en:

2x – 5y x + 4 … (I)3x + 12 2y + 4x … (II)

Rpta.:

7. Hallar las soluciones enteras de x, y, z que satisfacen al siguiente sistema:

2x + 3y + 5z 23 … (I)2x – y + 5z 13 … (II)y – z 1 … (III)y 4 … (IV)

Rpta.:

8. Sea x un número entero hallarlo:

3x – 95 87 … (I)2x – 40 79 … (II)

Rpta.:9. Si: 4 x – 5 31

5x + 8 52

Siendo x entero: Hallar “x”

Rpta.:

Álgebra 80


10. Hallar las soluciones enteras de x, y, z de la siguiente inecuación:

x + y 6 … (1) y z … (2)x + 1 z … (3)

Rpta.:

11. Sea:

10 x + y … (1)3 + x y … (2)y + x 15 … (3)y x … (4)

Siendo x e y enteros: Hallarlos.

Rpta.:

12. La suma de los valores enteros de “X” para que satisfacen la siguiente inecuación:

-(I)

(II)

Rpta.:

13. En el sistema de inecuaciones:

2x + 5y x – 4 … (1)3x – 2 4x – 8 – 2y… (2)

El número de valores enteros positivos y diferentes de “x” que dan valores enteros para “y” es:

Rpta.:

14. El valor entero de “x” que satisface al siguiente sistema de inecuaciones:

x + y 76 … (1)x – y 10 … (2)x + 2y 112 … (3)

Rpta.:

15. Siendo “x”, “y”, “z” los valores enteros que satisfacen al siguiente sistema de inecuaciones:

x + y + z 14x – y + z 6y zz 7

El valor de la expresión:

es:

Rpta.:


Álgebra 81


1. El valor entero y positivo “x” que satisface al siguiente sistema:

… (I)127 x – y 213 … (II)

a) 729 b) 512c) 343 d) 125e) 64

2. La solución siguientes sistema de inecuaciones:

4x2 + 3x + 2 0x2 + 6x – 72 0x2 – 12x – 45 0

a) 12 x -3b) -3 x 6c) 6 x 15d) - x -12e) 15 x

3. La soluciones enteras y positivas de “x” e “y” que satisfacen al siguiente de sistema inecuaciones:

y – x2 – 3x + 8 0 … (1)2y – x 4 … (2)

a) x1 = 1 , y1 = 1b) x1 = 2 , y1 = 1c) x1 = 1 , y1 = 1 ; x2 = 2 ; y2 = 2d) x1 = 1 , y1 = 1 ; x2 = 1 ; y2 = 2e) x1 = 1 , y1 = 1 ; x2 = 2 ; y2 = 1

4. La solución del sistema:

… (1)

… (2)

a)

b)

c)

d) e) -2 x 1/2 ; 1 x 5

5. La solución del sistema de inecuación es:

0 … (1)

0… (2)

a) 5 x 7b) 3 x 5c) -2 x -1d) - x -2 ; 5 x 7e) 3 x 5 ; 7 x

6. La solución de la inecuación:

x3 + 6x2 – 69x – 154 0 … (1)x3 – 3x2 – 13x + 15 0 … (2)x3 – 3x2 – 36x + 108 0 … (3)

a) -6 x -3 b) -6 x -2c) 1 x 3 d) - x -1e) 7 x

Álgebra 82


7. Resolver:

x2 + 18 9x … (1)x2 2x … (2)

a) 8 , 6 b) 2 , 4c) 3 , 6 d) -1 , 4e) x R

8. ¿Cuál es el valor apropiado para “n” de tal manera que el sistema?

2x2 + 3x – 9 02x2 – 3x – 5 0x n

Admita una solución única en Z

a) -0,3 b) 0,2c) 1,2 d) -1,3e) 2

9. Hallar el intervalo en que se encuentra “m”, si 0 a by:

m2– (a+b+6)m + 3(a+b) +ab + 9 0

a) b + 3 ; a +3b) a ; bc) b ; ad) a + 3 , be) a + 3 ; b + 3

10. Sea:

De las proposiciones

anteriores; hallar:

a) -30 b) 15c) -20 d) 25e) 10

11. Indicar cuantos valores de k satisfacen el sistema:

a) 5 b) 4c) 3 d) 2e) 1

12. Si el sistema:

x2 + 3 4x x2 + 4 6 + xx2 ; Z

Se verifica para un único valor de “x”, según ellos calcule “”

a) 1 b) -1c) 2 d) 3e) -2

13. Hallar: a + b, de modo que el conjunto solución de:ax2 + 2ax 5bx +1 sea el mismo de:

a) 1/3 b) 1/4c) 1/5 d) 1/2e) 1/6

Álgebra 83


14. Si U, N, I son variables que Z, tal que:

U + N + I 8U – N + I 4 I – N 0 I 5

Hallar U + N + I:

a) 7 b) 9c) 10 d) 12e) 14

15. Hallar las soluciones enteras negativas del sistema:

x – 3y 0x – y – 4z 0y – z – 2 0

Dar: xy + z

a) 0 b) 2c) 3 d) 4e) 1

16. La suma de todas las soluciones enteras y positivas del sistema:

y + 3 2x3x 12 – y

a) 6 b) 8b) 7 d) 5e) 9

17. Hallar la suma de los enteros que verifican simultáneamente la inecuaciones:

a) -21 b) -36c) -18 d) 18e) 25

18. Determine el número de soluciones enteras que presenta el sistema:

y 4 – x2 y x – 1

a) 15 b) 16c) 17 d) 18e) más de 18

19. Resolver el sistema en Z.

Dando la respuesta: y – x a) 0 b) -2c) -6 d) 12e) 6

20. Dado el sistema de inecuación:

xy (x + y) 421x3 + y3 467Hallar: 2x + 2y

a) 12 b) 22c) 16 d) 18

Álgebra 84


e) 24

Álgebra 85

5 algebra 5to - ii

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