unidad 1. introducciÓn a las matemÁticas...

FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA

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UNIDAD 1. INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS FINANCIERAS

Introducciónalasmatemáticasfinancieras


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Tabla de contenido

UNIDAD1.INTRODUCCIÓNALASMATEMÁTICASFINANCIERAS.................................1Tabladecontenido.................................................................................................................................2Introducción.............................................................................................................................................3Objetivos....................................................................................................................................................3Objetivogeneral:....................................................................................................................................................3Objetivosespecíficos:...........................................................................................................................................3

1.1¿Quésonlasmatemáticasfinancieras?....................................................................................41.2Importanciadelasmatemáticasfinancieras.........................................................................41.3Repasodelogaritmos,exponentesyprogresiones..............................................................5Propiedadesgeneralesdeloslogaritmos....................................................................................................5

1.4Elvalordeldineroeneltiempo...............................................................................................131.5Principiodeequivalencia..........................................................................................................141.6Conceptosbásicos.........................................................................................................................14Resumen.................................................................................................................................................16Bibliografía............................................................................................................................................17


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Introducción

EstaunidadintroduciráalestudiantedeAdministracióndeEmpresasenladefinicióneimportanciadelasmatemáticasfinancierasyleayudaráarecordarlautilizacióndelos logaritmos, las progresiones, las potencias y los radicales, todos elementosfundamentales que utilizará con frecuencia en el desarrollo de la asignatura y en suvidaprofesional.

Objetivos

Objetivo general:

Comprender qué es la matemática financiera, manejar su lenguaje, reconocer suimportanciayutilizarsusherramientasmásútiles.

Objetivos específicos:

• Definirquéeslamatemáticafinanciera.• Trabajarconlogaritmos,progresionesaritméticasygeométricas,yexponentes.• Comprenderelprincipiodeequivalencia.• Entenderloquesignificaelvalordeldineroeneltiempo.• Reconocer lo que significan las expresiones: interés, capital, tiempo, tasa de

interésytasaderetorno.• Diferenciarloquesignificanelvalorpresentenetoyelvalorpresente.• Construirlíneasdetiempo.


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1.1 ¿Qué son las matemáticas financieras?

Las matemáticas financieras son el conjunto de principios, conceptos y técnicascuantitativasdeanálisis,útilesparalaevaluación,comparacióneconómicayselecciónde alternativas de inversión, con relación a fuentes, instrumentos, mecanismos,criteriosycondicionesparaelotorgamientoydisposiciónderecursoseconómicosquefinancienlosproyectos,tantodeinversióncomodedesarrollo.Esporestarazónquesehabla del “valor del dinero en el tiempo”, como el concepto más importante de lamatemáticafinanciera.TarquinyLeland,señalan:“Estaafirmaciónesenefectocierta,yaquesiunapersonadecideinvertirsudinerohoy(porejemplo,enunbanco,enunacorporacióndeahorrosypréstamos),enelmañanatendrámásdineroacumuladoqueelqueinvirtióinicialmente”.Como resultadoprincipal de esta variación, se introduce el conceptode interésparaqueeldineroinvertidooprestadoporunperiododetiempo,obtengalarentabilidadpornoutilizarlo hoy, sino aplazar su consumoparaunperiodo conocidode tiempo.Cuandose invierteoseprestaundineroysedejapasarel tiempopararecuperar lainversión o el préstamo, se está sacrificando la oportunidad de invertirlo en otroproyectoy,almismotiempo,sacrificandolarentabilidadquelehubierageneradounainversión alternativa, lo cual se podría considerar como un equivalente de lo que eldinerolehabríaproducidoenotrasalternativas.Así,puedeparecerindiferenterecibirunadeterminadasumaenlaactualidad,osuequivalenteencualquiermomentofuturo. Enlaevaluacióndeunproyecto, la inversiónseconsideracomounconsumomínimoenelpresenteyelvalordelosflujosdecajaeneltiempocomolarecuperacióndelainversión. Estohacenecesario que sedetermineuna tasade interés que, ademásderepresentar dos sumas de dinero en periodos diferentes, tenga en cuenta elrendimiento que va a generar el proyecto, para recuperar la inversión y, al mismotiempo,paraequilibrarelhechodehabersacrificadolosrendimientosdeinversionesalternativas.

1.2 Importancia de las matemáticas financieras

Tanto los individuos como las empresas luchan por sus objetivos, haciendo frente arecursoslimitados.Estohacedeseableobtenerlamayorcantidaddeproductoconuninsumo dado, lo cual resulta en operar con alta eficiencia. No debe buscarse unarazonable o buena oportunidad para el uso de los recursos limitados sino la mejoroportunidad. Uno de esos recursos es el dinero. Al ser la matemática financiera laherramienta más adecuada para encontrar los efectos de la tasa de interés y/o eltiemposobreelvalordeldinero, seconvierteenunelementodecapital importanciaparaquelatomadedecisionesrespectodelusodeesterecursoseaelmásadecuado,tantoensituacionesempresarialescomopersonales.


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A modo de ejemplo se presenta esta situación. Una persona quiere comprar unapropiedady recibedospropuestas: Laprimeraprovienedeun familiarquienofreceprestarle la cantidad que requiere, es decir, $80.000.000 para adquirir la vivienda,esperando que se los devuelva a los 2 años por $100.000.000 de pesos. La otrapropuestaesdeunaentidad financieraquienofrece prestarle lamismacantidaddedinero a 15 años, con cuotasmensuales de $960.134 pesos. El comprador acepta laofertadesufamiliar.Pasadoslosdosañosseveantelaimposibilidaddepagarladeudayporestemotivolequitanlapropiedad.Sielcompradorhubierasabidocómocalcularel valor del dinero, tanto a los dos como a los 15 años, utilizando la matemáticafinanciera, hubiera podido tomar una decisión diferente y no habría perdido suviviendaylaplataquepagóporella.Lamatemática financiera es la única herramienta que permite analizar la viabilidadeconómica de una inversión, sea esta en dinero o en la adquisición de un bien oservicio.

1.3 Repaso de logaritmos, exponentes y progresiones

Dentrode los conceptosbásicos a repasar, se hacenecesario recordar toda la teoríasobre logaritmos, ya que en las matemáticas financieras se utilizan fórmulas queposeen variables, como por ejemplo, exponentes y éstas requieren ser despejadasmediantelaaplicacióndelogaritmos.Logaritmos:Sea(y)unexponentey(a)unabase,sepuededecirque:

Lasdosexpresiones y sonequivalentes.

1.3.1 Propiedades generales de los logaritmos

1. Ellogaritmoencualquierbasede1escero:

2. Ellogaritmoenbaseadeaesiguala1:

3. Ellogaritmodeunproductoesigualalasumadeloslogaritmosdelosfactores:


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4. El logaritmo del cociente de dos cantidades es igual al logaritmo del dividendo,menosellogaritmodeldivisor:

5. Ellogaritmodelapotenciadeunacantidad,esigualalexponentemultiplicadoporellogaritmodelacantidad:

6. El logaritmodeunapotenciacuyabasees iguala labasedel logaritmoes igualalexponente:

7. El logaritmode un radical es igual al cociente entre el índice y el logaritmode lacantidadsubradical:

Esnecesariorecordar:

• Losnúmerosnegativosnotienenlogaritmo.• Labasedeunlogaritmonopuedesernegativa.• Ellogaritmoencualquierbasedeunoescero.• Todonúmeromayorqueunotienelogaritmopositivo.• Todonúmeromenorqueuno,peromayorquecerotienelogaritmonegativo.


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Potenciación La potenciación es una multiplicación de varios factores iguales. Al igual que lamultiplicaciónesunasumadevariossumandos iguales(lapotenciaciónseconsideraunamultiplicaciónabreviada).Enlanomenclaturadelapotenciaciónsediferenciandospartes:labaseyelexponente,esteúltimoqueseescribeenformadesuperíndice.Elexponentedeterminalacantidaddevecesquelabasesemultiplicaporsímisma.Porejemplo:


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Engeneral:

PropiedadesdelapotenciaciónLas propiedades de la potenciación son las que permiten resolver por diferentesmétodosunapotencia.Estasson:Potenciasdeexponente0Todapotenciadeexponente0ybasedistintade0esiguala1.

a0 =1sisecumpleque

00 eslaindeterminación,dadoque:

Potenciadeexponente1Todapotenciadeexponente1esigualalabase

a1 = a

ProductodepotenciasdebaseigualElproductodedosomáspotenciasdeigualbaseaes iguala lapotenciadebaseayexponenteigualalasumadeloscorrespondientesexponentes.Secolocalamismabaseysesumanlosexponentes.

DivisióndepotenciasdebaseigualLadivisióndedospotenciasdeigualbaseaesigualalapotenciadebaseayexponenteigualalarestadelosexponentesrespectivos.Secolocalamismabaseyserestanlosexponentes.

PotenciasdeunadivisiónLapotenciadeunadivisiónesigualaladivisióndelapotencia.


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PotenciadeunapotenciaLa potencia de una potencia de basea es igual a la potencia de basea elevada a lamultiplicación de ambos exponentes. Se coloca la misma base y se multiplican losexponentes.

PropiedaddistributivaLapotenciaciónesdistributivaconrespectoalamultiplicaciónyaladivisión,peronoloesconrespectoalasumanialaresta.Esdistributivaconrespectoalamultiplicaciónydivisión:

Noesdistributivaconrespectoalaadiciónysustracción:

PropiedadconmutativaLa propiedad conmutativa no se cumple para la potenciación, exceptuando aquelloscasosenquebaseyexponentesonelmismonúmero/lamismacifraoequivalentes.Engeneral:

Enparticular:

ab = ba Siysólosi a=b.

PropiedadasociativaLapropiedadasociativanosecumpleparalapotenciación.


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Potenciadebase10Todapotenciadeexponente1esigualalaunidaddelabase.

101 = 10

Laspotenciassonunconjuntodenúmerospotenciadosoelevadosaunexponente.

106=1000000104=10000842000=8.42x105

PotenciasdeexponentesfraccionariosEsunapotenciaquetienesuexponenteenformadefracciónyenlaquesecumpleque:

RadicaciónLaradicacióneslaoperacióninversadelapotenciación.Supongaquedanunnúmeroxy piden calcular otro, tal que,multiplicado por símismo un número yde veces delnúmerox.Por ejemplo: Calcular qué número multiplicado por sí mismo 2 veces da 144. Esenúmeroes12.Elnúmeroqueestádentrodelaraízsellamaradicando,elgradodelaraízsellamaíndicedelradicalyelresultadosellamaraíz.

Se puede considerar la radicación como un caso particular de la potenciación. Enefecto, la raíz cuadrada de un número (por ejemplo a) es igual que a1/2, delmismomodolaraízcúbicadeaesa1/3 y,engeneral,laraízenésimadeunnúmeroaes a1/n.

Lamejor forma de resolver los ejercicios de operaciones con raíces es convertir lasraícesapotenciasyoperarteniendoencuentalaspropiedadesdadasparalaoperacióndepotenciación.

Progresiones Progresionesaritméticas


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Unasucesióndenúmerosrealesesunconjuntoordenadodeinfinitosnúmerosreales a1, a2, a3, a4, a5,..., an,... Cada uno de los números reales se llama término de lasucesión.

El conjunto ordenado de números impares 3, 5, 7, 9, 11, 13,... es una sucesión denúmerosreales.Altérmino:an = 3 + 2(n-1) selellamatérminogeneral.Sin embargo, no todas las sucesiones tienen término general. Por ejemplo, en laimportante sucesión de los números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,... no hayningunafórmulaqueexpreseeltérminogeneral.

Alconsiderarlasucesióndetérminogeneral an = 3n + 2

5,8,11,14,17,20,...

Seobservaquecadatérminodelasucesiónesigualqueelanteriormás3.Sedicequela sucesión an es una progresión aritmética y que G = 3 es la diferencia de laprogresión.

Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos(salvoelprimero),es igualalanteriormásunnúmero fijo llamadodiferenciaqueserepresentaporG.

Enlaprogresiónanterior a1 = 5, a2 = 8 y G = 8 - 5 = 3.

Enocasioneshayquereferirsealaprogresiónformadaporlosnprimerostérminosdelaprogresión;enestecasosetratadeunaprogresiónaritméticalimitada. Términogeneral

Hayquefijarseenlaprogresiónaritméticailimitada a1, a2, a3, a4, a5,..., an,... Segúnladefinición,cadatérminoesigualalanteriormásladiferencia.

a2 = a1 + d

a3 = a2 + d = a1 + d + d = a1 + 2d

a4 = a3 + d = a1 + 2d + d = a1 + 3d

Generalizandoesteproceso,seobtieneeltérminogeneral:

+= 1aan (n-1) xG


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Ejemplos:

• Eltérminogeneraldelaprogresiónaritmética5,8,11,14...es:an = 5 + (n - 1) · 3 = 5 + 3n - 3 = 3n + 2

• Eltérminogeneraldeunaprogresiónaritméticaenlaque a1 = 13 y d = 2 es: an = 13 + (n - 1) · 2 = 13 + 2n - 2 = 2n + 11

• Hayquehallarelprimertérminodeunaprogresiónaritméticasabiendoque a11 = 35 y d = 4. Paraello,seescribe a11 = a1 + (11 - 1) · 4, esdecir, 35 = a1 + 40, dedonde a1 = 35 - 40 = -5

Sepuedeconseguirotraexpresiónparaeltérminogeneralenfuncióndeotrotérminocualquiera,enlugardelprimertérmino. Como an = a1 + (n - 1) · d y ak = a1 + (k - 1) · d, despejando a1 enambasexpresioneseigualandoresulta:

Gknaa kn ×−+= )( Progresionesgeométricas

Observelaspotenciasde10queresultandelasucesión an = 10n-1.

1, 10, 102, 103, 104, 105,...

Cadatérminodeestasucesiónesigualalanteriormultiplicadopor10.Estasucesiónesunaprogresióngeométrica.Unaprogresióngeométricaesunasucesióndenúmerostalesquecadaunodeellos(salvoelprimero),esigualalanteriormultiplicadoporunnúmeroconstantellamadorazón,queserepresentaporr. Términogeneral

Según la definición anterior, en la progresión geométrica a1, a2, a3, a4, a5,..., an, severifica:

a2 = a1 · r

a3 = a2 · r = a1 · r · r = a1 · r 2

a4 = a3 · r = a1 · r 2 · r = a1 · r 3

Generalizandoesteprocesoseobtieneeltérminogeneral.


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Ejemplos:

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−×= nn raa

¿Cuál es la razón de la progresión geométrica 3, 6, 12,...? Larazónseobtienedividiendountérminoporelanterior:r=6:3=2.

¿Cuál es el quinto término de una progresión geométrica en la que a1 = 2 y r = 3? Se puede hallar cada uno de los términos (2, 6, 18, 54, 162,...) multiplicando cadatérminopor3.Tambiénsepuedeobtenerdirectamente:a5 = a1 · r 5 - 1 = a1 · r 4; a5 = 2 · 3 4 = 2 · 81 = 162.

1.4 El valor del dinero en el tiempo

A menudo se dice que el dinero produce dinero. Esta aseveración es realmenteverdadera.Siunapersonaeligeinvertirdinerohoyenunbanco,unfondodeinversiónu otra forma de acumular dinero, mañana tendrá más dinero que el que invirtióoriginalmente. También debe notarse que si una persona o empresa encuentranecesario pedir prestado dinero hoy, mañana la deuda será mayor que laoriginalmenteprestada.Enunouotrocasoloqueseproduceesuncambioenelvalordeldineroeneltiempo.Alaevidenciadelvalordeldineroeneltiemposeledenominainterés.Así,siinviertedinero,elinterésserá: Interés=cantidadacumulada–cantidadinicial. Siporelcontrario,pidedineroprestadoelinterésserá:Interés=cantidadapagar–cantidadrecibidaenpréstamo.

Ejemplo 1:

Fabián abreuna cuentade ahorros en elBancoElPorvenir con$500.000y a los12meses tiene acumulado $589.910. Para saber qué interés obtuvo sobre la inversión,realizalasiguienteoperación: Interés=$589.910-$500.000=$89.910.


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Ejemplo 2:

SantiagolepideprestadoalBancoSermag$500.000yalos15mesespaga$589.910.Parasaberquéinteresespagó,realizalasiguienteoperación:Intereses=589.919–500.000=$89.910. Tambiénpuedeseñalarsequeeldinerotienevaloreneltiempodebidoaquesupoderadquisitivocambiaconel tiempo.Sinembargo,aunqueestecambioes importante,elconceptodevalordedineroeneltiempodentrodeestecursoselimitaráalhechodequeeldinerotieneunpotencialdeganancias.

1.5 Principio de equivalencia

Sedicequedoscantidadesubicadasendiferentesperiodosdetiemposonequivalentesaunque no iguales, si producen el mismo resultado económico. Así, $1 de hoy esequivalentea$1,30dentrodeunaño,silatasadeinterésesdel30%anual.Todas las personas y organizaciones cuando realizan una inversión o un préstamo,utilizanelcriteriodeequivalencia,puesestándispuestosaentregar(invertir)orecibir(préstamo)hoy, una sumadedineroX a cambiode recibir o pagar en el futurounacantidadqueequivaleal valor inicialmás los interesesocasionadospor laoperaciónfinancierarealizada.El concepto de equivalencia es relativo dado que las expectativas de cada personarespectoalosrendimientosqueesperansondiferentes.Entérminosgenerales,sedicequeunvalorpresenteesequivalenteaunvalorfuturo,siesteúltimocubreelvalordelprimeromáslosinteresesexigidosporelpropietariodeldinero.

1.6 Conceptos básicos

Interés:Gananciaqueseobtienedeunainversión.Capital:Paralasmatemáticasfinancieras,elcapitalestárepresentadoporlainversióninicialquesehaceconelobjetivodeobtenerunaganancia.Tiempo:Distanciaquehayentreelmomentoenqueserealizalainversiónoelcréditoy elmomento en que se retira o se paga. Puede estarmedido enmeses, bimestres,trimestres,cuatrimestres,semestresoaños.


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Tasadeinterés:Costoorendimientodelcapitalexpresadoentérminosporcentuales.Tasaderetorno:Todainversiónquesehaceproduceunrendimientopropio.Aéste,convertidoenformaporcentual,sedenominatasaderetorno.Construccióndelíneasdetiempo:Representacióngráficadelosingresosyegresosdeunaalternativaenunsegmentoderectaquetienelalongituddeltiempoqueduralaoperaciónmedidaenperiodos.


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Resumen

Lamatemáticafinancieraesimportanteparacualquierpersonay,enespecial,paraunadministradordeempresas,dadoquelesuministraherramientasquelepermitetomardecisionesacertadasrespectoainversionesoendeudamientos.Los tres operadoresmás utilizados en la solución de problemas financieros son: loslogaritmos,losexponentesylasprogresiones.Elconceptomás importanteal interiorde lasmatemáticas financieraseselvalordeldinero en el tiempo, yaque el dinero sufre aumentosodisminuciones en el tiempodebido a dos elementos importantes: la tasa de interés o a la pérdida de poderadquisitivo.Elprincipiodeequivalenciademuestraqueunacantidaddedinerohoyesigualaunacantidaddedineroenelfuturo,graciasalefectodeltiempoylatasadeinterésquelaafecte.


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Bibliografía

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• Tarquin, A. y Leland, B. (1991). Ingeniería económica. Editorial Mcgraw-Hill,terceraedición.

Referencias electrónicas

• www.matematicas-financieras.com

• www.aulafacil.com/CursoMatematicasFinancieras

• www.casua.contad.unam.mx/apuntes/interiores/docs/98/.../mate_fin.pdf

unidad 1. introducciÓn a las matemÁticas...

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