unidad 5. anualidades con gradientes, amortizaciÓn y...
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FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
1
UNIDAD 5. ANUALIDADES CON GRADIENTES, AMORTIZACIÓN Y FONDOS DE AMORTIZACIÓN
Amortizaciónycapitalización
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
2
Tabla de contenido
UNIDAD5.ANUALIDADESCONGRADIENTES,AMORTIZACIÓNYFONDOSDEAMORTIZACIÓN.............................................................................................................................1Tabladecontenido.................................................................................................................................2Introducción.............................................................................................................................................3Objetivos....................................................................................................................................................3Objetivogeneral:....................................................................................................................................................3Objetivosespecíficos:...........................................................................................................................................3
5.1Seriedepagosvariables................................................................................................................45.2Gradientearitméticoolineal.......................................................................................................45.3Gradientegeométrico..................................................................................................................385.4Amortizacióny/ocapitalización.............................................................................................52Resumen.................................................................................................................................................60Bibliografía............................................................................................................................................61
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Introducción
Existen anualidadesqueno sonuniformes sino variables y estas variacionespueden
ser en forma de una progresión aritmética o geométrica. Esta unidad ofrece la
metodología para resolver problemas en los que se trabaje con este tipo deanualidades; además, trabajará lo relativo a la cantidadquede las cuotas periódicas
que se pagan corresponde a la amortización al capital y cómo elaborar tablas de
amortización.
Objetivos
Objetivo general
Resolver e interpretar problemas que involucran anualidades con gradiente y oamortizacionesdedeudas.
Objetivos específicos
• Entenderquéesunaanualidadcongradienteeidentificarsiesteesaritméticoogeométrico.
• Resolver problemas de valor futuro y valor presente en anualidades congradientearitmético,seaestecrecienteodecreciente.
• Resolver problemas de valor futuro y valor presente en anualidades congradientegeométrico,seaestecrecienteodecreciente.
• Comprenderelconceptodeamortización.
• Resolverproblemasdeamortizacióndedeudas.
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5.1 Serie de pagos variables
Hastaahorasehantrabajadooperaciones financierasconseriesdepagosuniformes,
sinembargo,existenpagosquedeunperiodoaotrovaríanenunacantidadconstante.
Aestaseriedepagosselesdenominaseriedepagosvariablesogradientes,loscualessepuedenpresentardedosformas:
1. Comoungradientearitméticoolineal.2. Comoungradientegeométrico.
5.2 Gradiente aritmético o lineal
Anualidadcongradientearitméticocreciente SilaseriedepagosperiódicosvencidosAvaaumentandodeunperiodoaotroenuna
cantidad fija G, a una tasa de interés i% por periodo, se dice que es un gradiente
aritméticocreciente.Gráficamenteserepresentaasí:
AA+GA+2GA+(N-2)G
A+(N-1)G
Dónde:
A=serieuniforme
G=gradientearitmético
Cálculodelvalorfuturo
Elvalorfuturodeestetipodeseriedepagosperiódicostienedoscomponentes:porun
lado, el valor futuro del pago que es uniforme A y, por otro, el del valor que vacreciendodeunperiodoaotroG,esdecir:
0123n-1n
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VF=VFA+VFG, asuvezelvalorfuturodeAesiguala:
YeldeG:
Así,elvalorfuturodeunaseriedepagosperiódicoscongradientearitméticocreciente,secalculadeestaforma: Atasaefectiva
Atasanominal
Ejemplo
Vanessaquiere saberqué cantidaddedineropodrá acumular en5 años, si inicia unfondocondepósitosanualesde$2.793.000y,apartirdelsegundoaño,incrementasus
aportes en $250.000 anuales; la tasa de interés que le reconocen es del 5%efectivaanual.
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+=
iiAVFn
A11
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+=
ii
iGVF
n
G11
( ) ( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−++⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+= n
ii
iG
iiAVF
nn 1111
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ += nxm
mj
mj
mjG
mj
mj
AVF
nxmnxm
1111
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
6
Gráficamenteelproblemaseveasí:
Losdatossuministradosson:
A=$2.793.000G=$250.000
i=5%EA
n=5años Utilizandolaecuacióndetasaefectivasetiene:
SiVanessarealizaunplandeinversióniniciandocon$2.793.000y,apartirdelsegundo
añoincrementalosdepósitosanualesen$250.000,conunatasadel5%efectivaanualdurante5años,podráretirar$18.061.244,33.
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
33.244.061.1825,156.628.208.088.433.15
)52563125,0000.000.5(52563125.5000.793,2552563125.5000.000.552563125.5000.793.2
505,0
105,0105,0000.250
05,0105,01000.793.2
1111
55
=
+=
+=
−+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−++⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−++⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+=
VFVF
XXVFXXVF
VF
nii
iG
iiAVF
nn
012345
Vf=?
2.973.000
2.793.000+250.000
2.793.000+500.000
2.793.000+750.000
2.793.000+1.000.000
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Ejemplo
Apartirdelsiguientegráficoencontrarelvalorfuturo.
VF=?
STRES
La representación gráfica permite deducir que esta es una anualidad con gradientearitmético creciente, ya que se puede extraer una anualidad uniforme de $500.000
semestral yungradiente aritmético crecientede$25.000 semestrales. La tasa esdel
3%concapitalizaciónsemestralyeltiempo6semestres.
A=$500.000G=$25.000
j=3%CCS
m=2nxm=6semestres
Comolatasaesnominal,seutilizalafórmulacorrespondienteaestetipoasí:
( ) ( )
( )( )
35,360.397.388.584.28247,775.114.3
)22955093,067,666.666.1(47,775.114.3622955093.667,666.666.122955093.6000.500
6015,0
1015,01015,0000.25
015,01015,01000.500
6
203,0
1203,01
203,0000.25
203,0
1203,01
000.500
1111
66
66
=
+=
+=
−+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
VFVF
XVFXXVF
VF
VF
nxm
mj
mj
mjG
mj
mj
AVF
nxmnxm
0123456
500.000525.000550.000575.000600.000625.000
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Elvalorfuturosolicitadoapartirdelgráficoesde$3.397.360,35
Cálculodelacuotaperiódicauniforme(A)
Paracalcularelvalordelacuotaperiódicauniforme,apartirdelvalorfuturo,seutilizaunadelassiguientesecuaciones:
Atasaefectiva:
Atasanominal
Ejemplo
Unapersonadeseasaberconcuántodebeempezarunfondoparaacumular,en8años,$35.000.000 a una tasa del 9% efectivo anual, y si a partir del segundo año
incrementarálacuotaen$80.000.
VF=$35.000.000
G=$80.000i=9%EA
n=8años Dadoquelatasaesefectiva,sereemplazanlosvaloresenlafórmularespectiva,así:
( )
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−+−
=
ii
nii
iGVF
An
n
11
11
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−
=
imj
nxm
mj
mj
mjGVF
Anxm
nxm
11
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9
Lacantidadconlacualdebeiniciarelfondoesde$2.929.509,91
Ejemplo:
Resolver el problema anterior con una tasa del 9% con capitalización bimestral y elgradientebimestralde$8.000. Enestecaso:
VF=$35.000.000
G=$8.000bimestrales
j=9%CCBm=6
n=8años
( )
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−+−
=
ii
nii
iGVF
An
n
11
11
( )
( )
[ ]{ }
[ ]
.91,509.929.20284738,11
30,023.308.320284738,11
71,976.691.2000.000.350284738,11
0284738,389,888.888000.000.350284738,11
80284738,1189,888.888000.000.35
09,0109,01
809,0
109,0109,0000.80000.000.35
8
8
=
=
−=
−=
−−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−+−
=
A
A
A
xA
A
A
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Cálculodelgradiente Elcálculodelgradienteseefectúaapartirdeunadeestasecuaciones: Atasaefectiva
Atasanominal
( )( )[ ]
64,791.3375652193.69
78,549.498.235652193.69
22,450.501.11000.000.35
5652193,69485652193,6933.333.533000.000.35
015,01015,1
48015,0
1015,1015,0000.8000.000.35
609,0609,01
68
609,0
1609,01
609,0000.8000.000.35
11
11
48
48
68
68
=
=−
=
−−=
−
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−−
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+
−
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛+
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+
−
=
A
AA
xAA
x
A
mj
mj
nxm
mj
mj
mjG
VF
A x
x
nxm
nxm
( )
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−+
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+−
=
nii
i
iiAVF
Gn
n
111
11
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛+
−
=
nxm
mj
mj
mj
mj
mj
AVF
Gnxm
nxm
111
11
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
11
Ejemplo
Fabio inicio un fondo con una cuota mensual de $345.000 para adquirir un carro
dentro de 26 meses a una tasa del 0,10% efectiva mensual. Si incrementamensualmentesuscuotasenunacantidaddedinero,podráacumular$15.000.000.¿De
cuántodebeserelincremento? Esteesunproblemadecálculodegradienteapartirdevalorfuturodónde:
VF=$15.000.000
A=$345.000
i=0,10%EMn=26meses
Luego:
LacantidadenqueFabiodebeincrementarmensualmentesucuotade$345.000para
conseguir $15.000.000 en 26 meses, a una tasa del 0,10% efectiva mensual, es de$18.060,75.
Ejemplo
Calcular el gradiente aritmético creciente que permitirá ahorrar, en 32 trimestres,
$28.0000.000aunatasadel5,6%concapitalizacióntrimestral.Lacuotaconlacualse
iniciaelfondoesde$725.000trimestralesvencidos.
( )
( )
( )
( )
{ }
[ ]
75,060.18
\615016.327
82,972.916.5001,0
327615016,018,027.083.9000.000.15
2632761502.26001,01
32761502.26000.345000.000.15
26001,0
1001,01001,01
001,01001,01000.345000.000.15
111
11
26
26
=
=
−=
−
−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−+
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+−
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−+
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+−
=
G
G
GXG
Gn
ii
i
iiAVF
Gn
n
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12
EsteejercicioimplicahallarelvalordeGcontasanominal,dónde:
VF=$28.000.000A=$275.000
j=5,6%CCTm=4
nxm=32trimestres. Utilizandolaecuacióndecálculodegradientecontasanominal,setiene:
El valor del gradiente aritmético que permite que en 32 trimestres se ahorren$28.000.000aunatasadel5,6%concapitalizacióntrimestral,iniciandoconunacuota
de$275.000,esde$29.653,33. Cálculodelvalorpresente
Partiendo del gráfico representativo del cálculo del valor presente de una anualidadcongradientearitméticocreciente,sededuciránlasfórmulasautilizarenestetipode
situaciones.
[ ]
[ ]
33,653.290774405.573
85,651.993.160774405.573
15,348.006.11000.000.28
3202308417.40014,01
02308417.40000.275000.000.28
32014,0
1014,1014,01
014,01014,1000.275000.000,28
32
4056,0
14056,01
4056,01
4056,0
14056,01
000.275000.000.28
111
11
32
32
32
32
=
=−
=
−
−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛+
−
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛+
−
=
G
GG
XGG
G
nxm
mj
mj
mj
mj
mj
AVF
Gnxm
nxm
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13
Atasaefectiva:
Atasanominal:
Dónde:
VA=valorpresente
A=Cuotaperiódicauniforme
G=gradientearitméticoi=tasaefectiva
j=tasanominaln=tiempo
m=periodosdecapitalizaciónenunaño
nxm=periodosdepagototal
Ejemplo
Hallarelvalorpresentedeunaseriedepagosqueseiniciancon$400.000bimestrales
y,apartirdelsegundobimestre,crecenen$40.000bimestrales.Eltiempodepagoson
5añosylatasadel0,9%efectivabimestral.
( ) ( )( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−
+−+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−=
−−
n
nn
in
ii
iG
iiAVA
11111
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−+
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−=
−−
nxm
nxmnxm
mj
nxm
mjmj
mjG
mjmj
AVA
1
1111
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
14
Lagráficadeestecasoes:
Elcasoreportalossiguientesdatos:
A=$400.000bimestrales
G=$40.000bimestralesi=0,9%EB
n=5añosX6=30bimestres
Comolatasaesefectiva,alutilizarlafórmulacorrespondienteseobtiene:
El valor presente de pagos que se inician con $400.000 bimestrales y, a partir del
segundo bimestre crecen en $40.000 bimestrales a una tasa del 0,9% efectivabimestral,durante5años,esde$24.962.587,47.
( ) ( )( )
( ) ( )( )
[ ]
47,587.962.2412,122.487.1435,465.475.10
92906089.2218866337.2644,444.444.418866337,26000.400009,130
009,0009,1144,444.444.4
009,0009,11000.400
009,0165
009,0009,011
009,0000.40
009,0009,011000.400
11111
30
3030
65
6565
=
+=
−+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−
+−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−
+−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−=
−−
−−
−−
VAVA
xxVA
VA
xVA
in
ii
iG
ii
AVA
x
xx
n
nn
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
15
Ejemplo
¿Acuántoequivalenhoyunaseriedepagosqueseinicianenelsegundocuatrimestre
con$938.000cuatrimestralesy,apartirdel3cuatrimestre,seincrementanen$25.000cuatrimestralmente?Eltiemposon2añosy4meses,ylatasadeinterésdel3,6%con
capitalizacióncuatrimestral. Este problema contiene un gradiente aritmético creciente con tasa nominal, el cual
comienzaenelperiododos.Comodebehallarseelvalorpresenteenelmomentocero,esnecesario:
1. Calcularel valorpresentede laanualidadutilizando laecuación respectiva, elcualquedaenelperiodo1.
2. ElVAencontradodebellevarsealmomentocero(0),atravésdelvalorpresentedeunpagoúnico.
A=$398.000
G=$25.000J=3,6%CCC
M=3Nxm=7cuatrimestres2x3=6+(4/4=1)=7
1.
( ) ( )[ ]
99.973.473.755,127.212.144,846.261.6
09392125,6675742474.633,333.083.2675742474,6000.938012,17
012,0012,11
012,0000.25
012,0012,11000.938
3036,01
7
3036,03036,01
3036,0000.25
3036,03036.011
000.938
1
1111
1
1
1
7
77
1
7
77
1
1
=
+=
−+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛++
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−+
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−=
−−
−−
−−
VAVA
XVA
VA
VA
mj
nxm
mjmj
mjG
mjmj
AVA nxm
nxmnxm
01234567
VA=?938.000963.000988.0001.013.0001.038.0001.063000
j=3,6%
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
16
2.
Los $938.000 que se incrementan en $25.000 cuatrimestralmente, durante 7cuatrimestres a una tasa del 3,6% con capitalización cuatrimestral, equivalen hoy a
$7.385.349,79.
Cálculodelacuotaperiódica Cuandoloquesequierehallareslacuotaperiódicaapartirdelvalorpresentedeuna
anualidadcongradientearitméticocreciente,seutilizaunadeestasecuaciones: Atasaefectiva
Atasanominal
( ) ( )[ ]
99.973.473.755,127.212.144,846.261.6
09392125,6675742474.633,333.083.2675742474,6000.938012,17
012,0012,11
012,0000.25
012,0012,11000.938
3036,01
7
3036,03036,01
3036,0000.25
3036,03036.011
000.938
1
1111
1
1
1
7
77
1
7
77
1
1
=
+=
−+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛++
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−+
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−=
−−
−−
−−
VAVA
XVA
VA
VA
mj
nxm
mjmj
mjG
mjmj
AVA nxm
nxmnxm
( )
79,349.385.79881422925,099.973.473.7
012,1 11
=
=
= −
VAXVA
VAVA
( )( )
( )⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−
+−−
=−
=
ii
in
ii
iGVA
An
n
n
11
111
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−−
=−
=
mjmj
mj
nxm
mjmj
mjG
VA
Anxm
nxm
nxm
11
1
11
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
17
Dónde:
VA=Valorpresente
A=anualidaduniformeGgradientearitméticocreciente
i=tasaefectiva
n=tiempoj=tasanominal
m=periodosdecapitalizaciónenunañonxm=periodostotalesdepago
Ejemplo
Jaimerequiereunpréstamode$40.000.000a5añosdeplazo.Elbancoleofrece:
1. Cuotasanualesquecomenzaráapagarapartirdelprimeraño,lascualesdebe
incrementarapartirdelsegundoañoen$225.000anualesyunatasadeinterés
del7,3%efectivaanual.2. Cuotas semestrales que comenzará a pagar a partir del primer semestre, las
cuales debe incrementar a partir del segundo semestre en $175.000semestrales yuna tasade interésdel7,3%con capitalización semestral. ¿Qué
alternativaleresultamásadecuada?
Aquíserequiereencontrarelvalordelascuotasperiódicasuniformesyvercuálesla
másbaja.Elpunto1escontasaefectivayel2contasanominal.Procediendoaaplicarlaecuaciónpropiadecadacasosetiene:
1.
( )( )
( )
( ){ }
( )
84.065.829.7067471639.4
27.503.844.31067471639.4
73,496.155.8000.000.40067471639.4
645147404.278,191.083.3000.000.40067471639.4
422324234.1067471638.478,191.083.3000.000.40
073,0073,11
073,15
073,0073,11
073,0000.225000.000.40
11
111
5
5
5
=
=−
=
−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−−
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−
+−−
=
−
−
−
=
A
AA
xA
xA
A
ii
in
ii
iG
VA
An
n
n
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
18
2.
Conlaopción1lacuotaperiódicaesde$7.829.065,84,mientrasqueconlaopción2la
cuotaquedaen$4.109.619,97,locualindicaquelamejoropciónesla2.
CálculodelgradienteCuandoelrequerimientoeshallarelvalordelgradientearitméticocrecienteapartirdevalorpresente,sedebe:
( )( )
( )
( ){ }
( )
84.065.829.7067471639.4
27.503.844.31067471639.4
73,496.155.8000.000.40067471639.4
645147404.278,191.083.3000.000.40067471639.4
422324234.1067471638.478,191.083.3000.000.40
073,0073,11
073,15
073,0073,11
073,0000.225000.000.40
11
111
5
5
5
=
=−
=
−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−−
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−
+−−
=
−
−
−
=
A
AA
xA
xA
A
ii
in
ii
iG
VA
An
n
n
( )[ ]
97,619.109.425408097.8
136.921.3325408097.8
.864.078.6000.000.40
25408097.8987260512.625408079.855,520.794.4000.000.40
0365,0
100365,11
100365,1
100365,0
100365,110365,0000.175000.000.40
2073,0
252
073,011
25
2073,01
25
2073,0
252
073,011
2073,0000.175000.000.40
11
1
11
=
=−
=
−−=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡ −−
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡−
−−−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+
−⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+−
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+
−
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+−
−
=
A
AA
xAA
x
xx
x
A
mj
nxm
mj
nxm
mj
nxm
mj
nxm
mj
mjG
VA
A
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
19
Atasaefectiva
Atasanominal
Dónde:
VA=Valorpresente
A=anualidaduniforme
Ggradientearitméticocrecientei=tasaefectiva
n=tiempoj=tasanominal
m=periodosdecapitalizaciónenunaño
nxm=periodostotalesdepago
Ejemplo:
Santiago inviertehoy$50.000.000con laesperanzadeque leentreguen,apartirdel
primer periodo, una suma que inicie con $3.000.000 y, a partir del segundo año, se
incrementeenunaciertasumaanualqueleseaatractiva.Sieltiempoesde3añosylatasadel10%efectivoanual,¿decuántodebeseresegradiente?
( )
( )( ) ⎥
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−
+−
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−−
=−
−
n
n
n
in
ii
i
iiAVA
G
1111
11
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
−⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−−
=−
−
nxm
nxm
nxm
mj
nxm
mjmj
mj
mjmj
AVA
G
1
111
11
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
20
Elproblemaentrega:
VA=$50.000.000A=$3.000.000
i=10%EAn=3años
Comolatasaesefectiva,reemplazandolosvaloresrespectivossetiene:
Lacantidadenquesedebeincrementarlacuotaanualparacumplirlasexpectativasde
Santiagoesde$18.264.516,15. Anualidadcongradientearitméticodecreciente SilaseriedepagosperiódicosvencidosAvadisminuyendodeunperiodoaotroenuna
cantidad fija G, a una tasa de interés i% por periodo, se dice que es un gradientearitméticodecreciente.Gráficamenteserepresentaasí:
( )
( )( )
( )
( )( )
[ ]
[ ]
15,516.264.1832907588.2
97,555.460.7000.000.50
253944403,2486851991.210,01
486851991.2000.000.3000.000.50
10,013
10,010,011
10,01
10,010,011000.000.3000.000.50
1111
11
3
3
3
=
−=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−
+−
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−−
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−
+−
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−−
=
−
−
−
−
G
G
XG
G
in
ii
i
iiAVA
G
n
n
n
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
21
Dónde:
A=serieuniformeG=gradientearitmético
Cálculodelvalorfuturo Elvalorfuturodeestetipodeseriedepagosperiódicostienedoscomponentes:porun
lado, el valor futuro del pago que es uniforme A y, por otro, el del valor que vadecreciendodeunperiodoaotroG,esdecir: VF=VFA-VFG, asuvezelvalorfuturodeAesiguala:
YeldeG:
Así, el valor futuro de una serie de pagos periódicos con gradiente aritméticodecreciente,secalculadeestaforma:
Atasaefectiva
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+=
iiAVFn
A11
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+=
ii
iGVF
n
G11
( ) ( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−+−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+= n
ii
iG
iiAVF
nn 1111
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
22
Atasanominal
Ejemplo
Taliana quiere saber qué cantidad podrá acumular en 5 años, si inicia un fondo con
depósitosanualesde$2.397.000y,apartirdelsegundoaño,disminuyesusaportesen
$150.000anuales.Latasadeinterésquelereconocenesdel4%efectivaanual.
Gráficamenteelproblemaseveasí:
Losdatossuministradosson:
A=$2.397.000G=$150.000
i=4%EAn=5años
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ += nxm
mj
mj
mjG
mj
mj
AVF
nxmnxm
1111
012345
2.397.000
2.397.000+150.000
2.397.000+300.000
2.397.000+450.000
2.397.000+600.000
i=4%VF=?
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
23
Utilizandolaecuacióndetasaefectivasetiene:
SiTalianarealizaunplandeinversióniniciandocon$2.397.000y,apartirdelsegundo
añodisminuyelosdepósitosanualesen$150.000,conunatasadel4%efectivaanualdurante5años,podráretirar$14.544.134,78.
Ejemplo
Apartirdelsiguientegráficoencuentreelvalorfuturo.
La representación gráfica permite deducir que esta es una anualidad con gradiente
aritméticodecreciente,yaquesepuedeextraerunaanualidaduniformede$500.000semestralesyungradientearitméticodecrecientede$25.000semestrales.Latasaes
del3%concapitalizaciónsemestralyeltiempo6semestres.
A=$500.000
G=$25.000j=3%CCS
m=2nxm=6semestres
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
78,134.544.14)41632256,0000.750.3(41632256.5000.397.2541632256.5000.750.341632256.5000.397.2
504,0
104,0104,0000.150
04,0104,01000.397.2
1111
55
=
−=
−−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−+−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−+−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+=
VFXXVFXXVF
VF
nii
iG
iiAVF
nn
0123456
VF=?
500.000475.000450.000425.000400.000375.000
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
24
Comolatasaesnominalseutilizalafórmulacorrespondienteaestetipo,así:
Elvalorfuturosolicitadoapartirdelgráficoesde$2.832.190,59
Cálculodelacuotaperiódicauniforme(A)
Paracalcularelvalordelacuotaperiódicauniformeapartirdelvalorfuturo,seutilizaunadelassiguientesecuaciones:
Atasaefectiva:
( ) ( )
( )( )
59,190.832.288.584.28247,775.114.3
)22955093,067,666.666.1(47,775.114.3622955093.667,666.666.122955093.6000.500
6015,0
1015,01015,0000.25
015,01015,01000.500
6
203,0
1203,01
203,0000.25
203,0
1203,01
000.500
1111
66
66
=
−=
−=
−−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−+−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
VFVF
XVFXXVF
VF
VF
nxm
mj
mj
mjG
mj
mj
AVF
nxmnxm
( )
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−++
=
ii
nii
iGVF
An
n
11
11
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
25
Atasanominal:
Ejemplo:
Unapersonadeseasaberconcuántodebeempezarunfondoparaacumular,en8años,
$35.000.000aunatasadel9%efectivoanual,siapartirdelsegundoañodisminuyelacuotaen$80.000.
VF=$35.000.000G=$80.000
i=9%EAn=8años
Dadoquelatasaesefectiva,sereemplazanlosvaloresenlafórmularespectiva,así:
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++
=
imj
nxm
mj
mj
mjG
VF
Anxm
nxm
11
11
( )
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−++
=
ii
nii
iGVF
An
n
11
11
( )
( )
[ ]{ }
[ ]
54,696.417.30284738,11
71.976.691.370284738,11
71,976.691.2000.000.350284738,11
0284738,389,888.888000.000.350284738,11
80284738,1189,888.888000.000.35
09,0109,01
809,0
109,0109,0000.80000.000.35
8
8
=
=
+=
+=
−+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−++
=
A
A
A
xA
A
A
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
26
Lacantidadconlacualdebeiniciarelfondoesde$3.417.696.54
Ejemplo
Resolver elproblemaanterior, conuna tasadel9%con capitalizaciónbimestral y el
gradientebimestralde$8.000. Enestecaso:
VF=$35.000.000G=$8.000bimestrales
j=9%CCB
m=6n=8años
( )
( )
[ ]{ }
[ ]
54,696.417.30284738,11
71.976.691.370284738,11
71,976.691.2000.000.350284738,11
0284738,389,888.888000.000.350284738,11
80284738,1189,888.888000.000.35
09,0109,01
809,0
109,0109,0000.80000.000.35
8
8
=
=
+=
+=
−+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−++
=
A
A
A
xA
A
A
( )( )[ ]
33,458.6685652193.69
22,450.501.465652193.69
22,450.501.11000.000.35
5652193,69485652193,6933.333.533000.000.35
015,01015,1
48015,0
1015,1015,0000.8000.000.35
609,0609,01
68
609,0
1609,01
609,0000.8000.000.35
11
11
48
48
68
68
=
=+
=
−+=
−
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−+
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛+
+
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛+
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛+
+
=
A
AA
xAA
x
A
mj
mj
nxm
mj
mj
mjG
VF
A x
x
nxm
nxm
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
27
Cálculodelgradiente Elcálculodelgradienteseefectúaapartirdeunadeestasecuaciones: Atasaefectiva
Atasanominal
Ejemplo
Fabio inicio un fondo con una cuota mensual de $345.000 para adquirir un carro
dentro de 26 meses a una tasa del 0,10% efectiva mensual, Si incrementa
mensualmentesuscuotasenunacantidaddedinero,podráacumular$15.000.000,¿Decuántodebeserelincremento?
Esteesunproblemadecálculodegradienteapartirdevalorfuturodonde:
VF=$15.000.000
A=$345.000i=0,10%EM
n=26meses
( )
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−+
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −++
=
nii
i
iiAVF
Gn
n
111
11
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛+
+
=
nxm
mj
mj
mj
mj
mj
AVF
Gnxm
nxm
111
11
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
28
Luego:
La cantidad enqueFabiodebedisminuir mensualmente su cuotade $345.000paraconseguir $15.000.000 en 26 meses a una tasa del 0,10% efectiva mensual, es de
$101.353,14.
Ejemplo
Calcule el gradiente aritmético decreciente que permitirá ahorrar en 32 trimestres$28.0000.000aunatasadel5,6%concapitalizacióntrimestral.Lacuotaconlacualse
iniciaelfondoesde$725.000trimestralesvencidos. EsteejercicioimplicahallarelvalordeGcontasanominal,dónde:
VF=$28.000.000
A=$275.000
j=5,6%CCTm=4
nxm=32trimestres
Utilizandolaecuacióndecálculodegradientecontasanominalsetiene:
( )
( )
( )
( )
{ }
[ ]
14.353.101
\615016.327
18,027.083.24001,0
327615016,018,027.083.9000.000.15
2632761502.26001,01
32761502.26000.345000.000.15
26001,0
1001,01001,01
001,01001,01000.345000.000.15
111
11
26
26
=
=
+=
−
+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−+
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −++
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−+
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −++
=
G
G
GXG
Gn
ii
i
iiAVF
Gn
n
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
29
El valor del gradiente aritmético que permite que en 32 trimestres se ahorren
$28.000.000aunatasadel5,6%concapitalizacióntrimestral,iniciandoconunacuotade$275.000,esde$68.064.71.
Cálculo del valor presente
Partiendo del gráfico representativo del cálculo del valor presente de una anualidad
congradientearitméticocreciente,sededuciránlasfórmulasautilizarenestetipode
situaciones.
[ ]
[ ]
71,064.68$0774405.573
15,348.006.390774405.573
15,006348.11000.000.28
3202308417.40014,01
02308417.40000.275000.000.28
32014,0
1014,1014,01
014,01014,1000.275000.000,28
32
4056,0
14056,01
4056,01
4056,0
14056,01
000.275000.000.28
111
11
32
32
32
32
=
=+
=
−
+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛+
+
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛+
+
=
G
GG
XGG
G
nxm
mj
mj
mj
mj
mj
AVF
Gnxm
nxm
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
30
Atasaefectiva:
Atasanominal:
Dónde:
VA=valorpresenteA=cuotaperiódicauniforme
G=gradientearitmético
i=tasaefectivaj=tasanominal
n=tiempo
m=periodosdecapitalizaciónenunañonxm=periodosdepagototal
Ejemplo
Hallar el valor presente de una serie de pagos que se inician con $4.000.000,
bimestrales, y a partir del segundo bimestre decrecen en $40.000 bimestrales, el
tiempodepagoson3añosylatasadel0,9%efectivabimestral.
Lagráficadeestecasoes:
( ) ( )( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−
+−−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−=
−−
n
nn
in
ii
iG
iiAVA
11111
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−−
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−=
−−
nxm
nxmnxm
mj
nxm
mjmj
mjG
mjmj
AVA
1
1111
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
31
Elcasoreportalossiguientesdatos:
A=$400.000bimestrales
G=$40.000bimestralesi=0,9%EB
n=5añosX6=30bimestres Comolatasaesefectiva,alutilizarlafórmulacorrespondienteseobtiene:
El valor presente de pagos que se inician con $4.000.000 bimestrales y a partir del
segundo bimestre decrecen en $40.000 bimestrales a una tasa del 0,9% efectivabimestral,durante3años,esde$60.729.441,28
Ejemplo
¿Acuántoequivalenhoyunaseriedepagosqueseinicianenelsegundocuatrimestre
con $938.000 cuatrimestrales y a partir del 3 cuatrimestre disminuyen en $25.000
( ) ( )( )
( ) ( )( )
[ ]
28,441.729.6044,134.467.572,575.196.66
31903868.1554914393.1644,444.444.454914393.16000.000.4009,118
009,0009,1144,444.444.4
009,0009,11000.000.4
009,0163
009,0009,011
009,0000.40
009,0009,011000.000.4
11111
18
1818
63
6363
=
−=
−−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−
+−−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−
+−−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−=
−−
−−
−−
VAVA
xxVA
VA
xVA
in
ii
iG
ii
AVA
x
xx
n
nn
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
32
cuatrimestralmente?Eltiemposon2años4mesesylatasadel3,6%concapitalización
cuatrimestral. Esteproblemacontieneungradientearitméticodecrecientecon tasanominalel cual
comienzaenelperiododos,perocomodebehallarseelvalorpresenteenelmomentoceroesnecesario:
1. Calcularel valorpresentede laanualidadutilizando laecuación respectiva, elcualquedaenelperiodo1.
2. ElVAencontradodebellevarsealmomentocero(0),atravésdelvalorpresentedeunpagoúnico.
A=$398.000
G=$25.000
J=3,6%CCCM=3
Nxm=7cuatrimestres2x3=6+(4/4=1)=7 1.
01234567
VA=?938.000913.000888.000863.000838.000813.000
j=3,6%
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
33
2.
Los$938.000quedecrecenen$25.000cuatrimestralmente,durante7cuatrimestresa
unatasadel3,6%concapitalizacióncuatrimestralequivalenhoya$4.989.840,80 Cálculo de la Cuota periódica Cuandoloquesequierehallareslacuotaperiódicaapartirdelvalorpresentedeuna
anualidadcongradientearitméticocreciente,seutilizaunadeestasecuaciones: Atasaefectiva:
Atasanominal:
( ) ( )[ ]
89,718.049.555,127.212.144,846.261.6
09392125,6675742474.633,333.083.2675742474,6000.938012,17
012,0012,11
012,0000.25
012,0012,11000.938
3036,01
7
3036,03036,01
3036,0000.25
3036,03036.011
000.938
1
1111
1
1
1
7
77
1
7
77
1
1
=
−=
−−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+−
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−−
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−=
−−
−−
−−
VAVA
XVA
VA
VA
mj
nxm
mjmj
mjG
mjmj
AVA nxm
nxmnxm
( )
8,840.989.49881422925,089,718.049.5
012,1 11
=
=
= −
VAXVA
VAVA
( )( )
( )⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−
+−+
=−
=
ii
in
ii
iGVA
An
n
n
11
111
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
34
Dónde:
VA=valorpresenteA=anualidaduniforme
Ggradientearitméticocreciente
i=tasaefectivan=tiempo
j=tasanominalm=periodosdecapitalizaciónenunaño
nxm=periodostotalesdepago
Ejemplo
Jaimerequiereunpréstamode$40.000.000a5añosdeplazo.Elbancoleofrece:
a. Cuotasanualesquecomenzaráapagarapartirdelprimeraño,lascualesdebendisminuirapartirdel segundoañoen$225.000anualesyuna tasade interés
del7,3%efectivaanual.
b. Cuotas semestrales que comenzará a pagar a partir del primer semestre, las
cualesdebendisminuirapartirdelsegundosemestreen$175.000semestralesyunatasadeinterésdel7,3%concapitalizaciónsemestral.
¿Quéalternativaleresultamásadecuada?
Aquíserequiereencontrarelvalordelascuotasperiódicasuniformesyvercuáleslamásbaja.Elpuntoa.escontasaefectivayelb.contasanominal.Procediendoaaplicar
laecuaciónpropiadecadacasosetiene:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−+
=−
=
mjmj
mj
nxm
mjmj
mjG
VA
Anxm
nxm
nxm
11
1
11
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
35
1.
2.
Conlaopcióna.lacuotaperiódicaesde$11.839.172,10,mientrasqueconlaopciónb.
lacuotaquedaen$5.582.555,37,locualindicaquelamejoropcióneslab.
( )( )
( )
( ){ }
( )
10,172.839.11067471639.4
73.496.155.48067471639.4
73,496.155.8000.000.40067471639.4
645147404.278,191.083.3000.000.40067471639.4
422324234.1067471638.478,191.083.3000.000.40
073,0073,11
073,15
073,0073,11
073,0000.225000.000.40
11
111
5
5
5
=
=+
=
+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−+
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−
+−+
=
−
−
−
=
A
AA
xA
xA
A
ii
in
ii
iG
VA
An
n
n
( )[ ]
37.555.582.525408097.8
864.078.4625408097.8
.864.078.6000.000.40
25408097.8987260512.625408079.855,520.794.4000.000.40
0365,0
100365,11
100365,1
100365,0
100365,110365,0000.175000.000.40
2073,0
252
073,011
25
2073,01
25
2073,0
252
073,011
2073,0000.175000.000.40
11
1
11
=
=+
=
−+=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡ −−
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡−
−−+
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+
−⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
+
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+−
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+
−
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+−
+
=
A
AA
xAA
x
xx
x
A
mj
nxm
mj
nxm
mj
nxm
mj
nxm
mj
mjG
VA
A
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
36
Cálculodelgradiente
Cuandoelrequerimientoeshallarelvalordelgradientearitméticocrecienteapartirdevalorpresentesedebe:
Atasaefectiva
Atasanominal
Dónde:
VA=valorpresente
A=anualidaduniforme
Ggradientearitméticocrecientei=tasaefectiva
n=tiempoj=tasanominal
m=periodosdecapitalizaciónenunaño
nxm=periodostotalesdepago
Ejemplo
Santiago inviertehoy $50.000.000 con la esperanzadeque le entreguen apartir del
primer periodo una suma que inicie con $3.000.000 y a partir del segundo año
( )
( )( ) ⎥
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−
+−
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−+
=−
−
n
n
n
in
ii
i
iiAVA
G
1111
11
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
−⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−+
=−
−
nxm
nxm
nxm
mj
nxm
mjmj
mj
mjmj
AVA
G
1
111
11
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
37
disminuyaenunaciertasumaanualqueleseaatractiva.Sieltiempoesde3añosyla
tasadel10%efectivoanual,¿decuántodebeseresegradiente?
Elproblemaentrega:
VA=$50.000.000
A=$3.000.000
i=10%EAn=3años
Comolatasaesefectivayreemplazandolosvaloresrespectivossetiene:
Lacantidadenquesedebeincrementarlacuotaanualparacumplirlasexpectativasde
Santiagoesde$2.467.096,93.
( )
( )( )
( )
( )( )
[ ]
[ ]
93,096.467.232907588.2
97,555.460.7000.000.50
253944403,2486851991.210,01
486851991.2000.000.3000.000.50
10,013
10,010,011
10,01
10,010,011000.000.3000.000.50
1111
11
3
3
3
=
+=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
+=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−
+−
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−+
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−
+−
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−+
=
−
−
−
−
G
G
XG
G
in
ii
i
iiAVA
G
n
n
n
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
38
5.3 Gradiente geométrico
Anualidadcongradientegeométricocreciente
Si la serie de pagos periódicos vencidos A va aumentando de un periodo a otro enporcentaje w%, a una tasa de interés i% por periodo, se dice que es un gradiente
geométricocreciente.Gráficamenteserepresentaasí:
A
Dónde:
A=serieuniforme
W=gradientegeométrico Cálculo del valor futuro Elvalorfuturodeestetipodeseriedepagosperiódicossecomportacomounafunción
continuadeforma , esdecir,unafunciónexponencialdebase(1+w)ycoeficienteA.Alaplicarelprocesopararesolverestetipodefunciones,setiene:
Esta es la fórmula a aplicar si la tasa es efectiva. Si la tasa esnominal, la fórmula se
convierteen:
Estasfórmulasfuncionansi(i)o(j/m)sondiferentesdew.Paraloscasosenqueseaniguales,lasecuacionesaaplicarserían:
( ) nwAnf )1( +=
( ) ( )[ ]nn wiwiAVF +−+−
= 11
( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−
= nxmnxm
wmj
wmjA
VF 11
0123n-1n
A(1+W)2
A(1+W)2 A(1+W)n-2
A(1+W)n-1
i%oj%
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
39
Atasaefectiva:
Atasanominal:
Ejemplo
Marcos iniciaun fondoaportando$1.000.000yapartirdel segundoaño incrementasuscuotasenun3%anual.Silatasaquelereconocenesdel8%anualyeltiemposon
9años,¿cuántopodráacumularalcabode9años?
Gráficamenteelproblemaseveasí:
Losdatossuministradosson:
A=$1.000.000
W=3%
i=8%EAn=9años
Comoi≠w,seutilizalaecuacióndetasaefectivaparaestoscasosyseobtiene:
1)1( −+= ninAVF
1
1−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=nxm
mj
nxmAVF
0123……..…………89
1.000.000
1.000.000*(1,03)
1.000.000*1,032 1.000.000*1,032
1.000.000*1,032
VF=?
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
40
Marcospodráretirardentrode9años$138.846.288,70.
Ejemplo
Apartirdelsiguientegráficoencuentreelvalorfuturo.
La representación gráfica permite deducir que esta es una anualidad con gradientegeométrico creciente, ya que se puede extraer una anualidad uniforme de $500.000
semestral yungradientegeométrico crecientedel1,5%semestral; la tasaesdel3%
concapitalizaciónsemestralyeltiempode6semestres.
A=$500.000w=1,5%
j=3%CCS
m=2nxm=6semestres
Enestecasoj=wycomolatasaesnominal,seutilizalafórmulacorrespondienteaeste
tipoasí:
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
[ ]
7.288.846.1386942314433,0000.000.200
304773184.1999004627.105,0000.000.1
03,0108,0103,008,0000.000.1
11
99
=
=
−=
+−+−
=
+−+−
=
VFxVF
VF
VF
wiwiA
VF nn
0123456
500.000507.500515.113522.839530.682538.642
J=3%
VF=?
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
41
Elvalorfuturosolicitadoapartirdelgráficoesde$3.231.852,01
Nota:Enestetipodeanualidadesnosecalculanielvalordelacuotaperiódicaniladelgradiente.
Cálculo del valor presente
Partiendo del gráfico representativo del cálculo del valor presente de una anualidad
congradientegeométricocreciente,sededuciránlasfórmulasautilizarenestetipodesituaciones.
Atasaefectiva:
Atasanominal:
01,852.231.3077284004,1000.000.3015,1000.000.3
203,01000.5006
1
5
16
1
=
=
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
−
−
VFxVFxVF
xVF
mj
nxmAVFnxm
( )( ) ⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
+−
−=
n
iw
wiAVA
111
( )
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
+−
−=
nxm
mjw
wmjA
VA1
11
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
42
Dónde:
VA=valorpresenteA=cuotaperiódicauniforme
G=gradientearitméticoi=tasaefectiva
j=tasanominal
n=tiempom=periodosdecapitalizaciónenunaño
nxm=periodosdepagototal
Estasfórmulasseaplicansi(i)o(j/m)son≠aw.Encasocontrariolafórmulautilizada
será:
Atasaefectiva Atasanominal:
Ejemplo
Hallarelvalorpresentedeunaseriedepagosqueseiniciancon$800.000bimestrales
y a partir del segundo bimestre crecen en 1%bimestrales. El tiempode pago son 5añosylatasadel1%efectivabimestral.
Lagráficadeestecasoes:
Elcasoreportalossiguientesdatos:
A=$800.000bimestralesw=1%bimestrales
i=1%EB
n=5añosX6=30bimestres
inAVA+
=1
mj
nxmAVA
+=1
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
43
Aquíi=wycomolatasaesefectiva,alutilizarlafórmulacorrespondienteseobtiene:
El valor presente de pagos que se inician con $800.000 bimestrales y a partir delsegundo bimestre crecen en un 1% bimestral a una tasa de1% efectiva bimestral,
durante5años,esde$23.762.376.24.
Ejemplo
¿Acuántoequivalenhoyunaseriedepagosqueseinicianeneltercercuatrimestre
con$893.000cuatrimestralesyapartirdel4cuatrimestreseincrementanenun0,9%cuatrimestralmente?Eltiemposon4años8mesesylatasadel4,5%concapitalización
cuatrimestral.
Este problema contiene un gradiente geométrico creciente con tasa nominal, el cual
comienzaenelperiodotres,perocomodebehallarseelvalorpresenteenelmomento
ceroesnecesario:
1. Calcularel valorpresentede laanualidadutilizando laecuación respectiva, elcualquedaenelperiodo3.
2. ElVAencontradodebellevarsealmomentocero(0),atravésdelvalorpresentedeunpagoúnico.
24.376.762.2301,1000.000.2401,01000.80030
1
=
=
+=
+=
VA
VA
xVA
inA
VA
0123451314
VA=?893.000901.037890.808898.825
j=4,5%
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
44
A=$893.000
w=0,9%
j=4,5%CCCj/m=0,045/3=0,015m=3
nxm=14cuatrimestres4x3=12+(8/4=2)
1. Comoj/m≠wylatasaesnominalseutilizalafórmula:
2.
Los $893.000 que se incrementan en un 0,9% cuatrimestralmente durante 14
cuatrimestresaunatasadel4,5%concapitalizacióncuatrimestral,equivalenhoya$11.337.117,86.
Aligualqueconelvalorfuturo,aquínosecalculannilacuotaperiódicauniformeniel
gradientegeométrico.
( )
( )
( )[ ][ ]
98,978.854.110796527143,033,333.833.1489203472847,0133.333.833.148
99408867,01006,0000.893
015,1009,11
009,0015,0000.893
3045,01
009,011009,0
3045,0
000.893
1
11
1
1
1
141
14
1
14
1
1
=
=
−=
−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
−=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +
+−
−=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
+−
−=
VAxVA
VA
VA
VA
VA
mjw
wmjA
VA
nxm
( )
.86,117.337.119563169937,098,978.854.11
015,1 31
=
=
= −
VAxVA
VAVA
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
45
Anualidad con gradiente geométrico decreciente
Si la seriedepagosperiódicosvencidosAvadisminuyendodeunperiodoaotro en
porcentaje w a una tasa de interés i% por periodo, se dice que es un gradiente
geométricodecreciente.Gráficamenteserepresentaasí:
Dónde:
A=serieuniformeW=gradientegeométrico
CálculodelvalorfuturoParacalcularelvalorpresentedeunaanualidadcongradientegeométricodecreciente,
seutilizanlassiguientesfórmulas:
Esta es la fórmula a aplicar si la tasa es efectiva. Si la tasa es nominal la fórmula seconvierteen:
Estasfórmulasfuncionansi(i)o(j/m)sondiferentesdew.Paraloscasosenquesean
iguales,sereemplazaioj/mporwoviceversaenlasfórmulasantesexpresadas.
Ejemplo
Marcosiniciaunfondoaportando$1.000.000yapartirdelsegundoañodisminuyesus
cuotasenun3%anual.Si latasaquelereconocenesdel8%anualyeltiemposon9años,¿cuántopodráacumular?
0 1 2 3 n-1 nA(1-w)n-1
A(1-w)n-2
A(1-w)2
A(1-w)A I%o%j
( ) ( )[ ]nn wiwiAVF −−++
= 11
( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++
= nxmnxm
wmj
wmjA
VF 11
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
46
Gráficamenteelproblemaseveasí:
Losdatossuministradosson:
A=$1.000.000
W=3%i=8%EA
n=9años. Comoi≠wseutilizalaecuacióndetasaefectivaparaestoscasosyseobtiene:
Marcospodráretirardentrode9años,$11.861.574,41
Ejemplo
Apartirdelsiguientegráficoencuentreelvalorfuturo.
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
[ ]
41,574.861.11304773184.110,909.090.9
7602310587,0999004627.111,0000.000.1
03,0108,0103,008,0000.000.1
11
99
=
=
−=
−−++
=
−−++
=
VFxVF
VF
VF
wiwiA
VF nn
0123……..…………..89
1000.000
1000.000*(1,03)
1000.000*(1,03)2 1000.000*(1,03)7
1000.000*(1,03)8
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
47
La representación gráfica permite deducir que esta es una anualidad con gradiente
geométricodecreciente,yaquesepuedeextraerunaanualidaduniformede$500.000semestralyungradientegeométricodecrecientedel1,5%semestral.Latasaesdel3%
concapitalizaciónsemestralyeltiempode6semestres.
A=$500.000w=1,5%
j=3%CCS=j/m=0,015
m=2nxm=6semestres
Enestecasoj=wycomolatasaesnominal,seutilizalafórmulacorrespondienteaeste
tipoasí:
Elvalorfuturosolicitadoapartirdelgráficoes$3.002.250,15
Nota:Enestetipodeanualidades,comoenlasdegradientegeométricocreciente,nosecalculanielvalordelacuotaperiódicaniladelgradiente.
( )
( )
[ ]
15,250.002.31801350091.067,666.666.16
985,0015,1015,0015,0
000.500
015,01203,01
015,0203,0
000.500
11
66
66
=
=
−+
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ +
+=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++
=
VFxVF
VF
VF
wmj
wmjA
VF nxmnxm
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
48
Cálculodelvalorpresente
Gráficamenteelvalorpresentedeunaanualidadcongradientegeométricodecrecienteseveasí:
Lasfórmulasautilizarenestecasoson:
Atasaefectiva:
Atasanominal:
Dónde:
VA=valorpresenteA=cuotaperiódicauniforme
G=gradientearitmético
i=tasaefectivaj=tasanominal
n=tiempom=periodosdecapitalizaciónenunaño
nxm=periodosdepagototal
Estasfórmulasseaplicansi(i)o(j/m)son≠aw.Encasocontrarioenlasfórmulasse
reemplazanioj/mporwoviceversa.
( )( ) ⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
−−
+=
n
iw
wiAVA
111
( )
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
−−
+=
nxm
mjw
wmjA
VA1
11
A
A(1-I)
A(1-I)2 A(1-I)n-2A(1-I)n-1
0123 n-1n
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
49
Ejemplo
Hallarelvalorpresentedeunaseriedepagosqueseiniciancon$800.000bimestrales
yapartirdelsegundobimestredecrecenen1%bimestrales.Eltiempodepagoson5añosylatasadel1%efectivabimestral.
Lagráficadeestecasoes:
Elcasoreportalossiguientesdatos:
A=$800.000bimestralesw=1%.Bimestrales
i=1%EBn=5añosX6=30bimestres
Aquíi=wycomolatasaesefectiva,alutilizarlafórmulacorrespondienteseobtiene:
( )( )
( )
[ ]( )63,973.047.18
5488006593,01000.000.409801980198,01000.000.40
01,199,01
02,0000.800
01,0101,011
01,001,0000.800
111
30
30
65
=
−=
−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+
−−
+=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
−−
+=
VAxVA
VA
VA
VA
iw
wiA
VA
x
n
0123 2930
800.000
800.000*0,97
800.000*097 800.000*09728800.000*09729
VA=?
I=1%
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
50
El valor presente de pagos que se inician con $800.000 bimestrales y a partir del
segundobimestredecrecenenun1%bimestralauna tasade1%efectivabimestral,
durante5años,esde$18.047.973,63
Ejemplo
¿Acuántoequivalenhoyunaseriedepagosqueseinicianeneltercercuatrimestre
con $893.000 cuatrimestrales y a partir del 4 cuatrimestre disminuyen en un 0,9%cuatrimestralmente?Eltiemposon4años8mesesylatasadel4,5%concapitalización
cuatrimestral.
Este problema contiene un gradiente geométrico creciente con tasa nominal, el cual
comienzaenelperiodotres,perocomodebehallarseelvalorpresenteenelmomentoceroesnecesario:
1. Calcularel valorpresentede laanualidadutilizando laecuación respectiva, elcualquedaenelperiodo3.
2. ElVAencontradodebellevarsealmomentocero(0),atravésdelvalorpresentedeunpagoúnico.
A=$893.000
w=0,9%j=4,5%CCCj/m=0,045/3=0,015
m=3
nxm=14cuatrimestres4x3=12+(8/4=2)
0123451314
VA=?893.000884.963801.190793.979
j=4,5%
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
51
Comoj/m≠wylatasaesnominal,seutilizalafórmula:
2.
Los $893.000 que disminuyen en un 0,9% cuatrimestralmente, durante 14
cuatrimestres a una tasa del 4,5% con capitalización cuatrimestral, equivalen hoy a$10.129.393,90.
Al igual que con el valor futuro, no se calculan ni la cuota periódica uniforme ni elgradientegeométrico.
( )
( )
( )[ ][ ]
15,088.592.102846697824,033,333.208.377153302176,0133,333.208.37
9763546798,01024,0000.893
015,1991,01
009,0015,0000.893
3045,01
009,011009,0
3045,0
000.893
1
11
1
1
1
141
14
1
14
1
1
=
=
−=
−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
+=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +
−−
+=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
−−
+=
VAxVA
VA
VA
VA
VA
mjw
wmjA
VA
nxm
( )
90,393.129.109563169937,015,088.592.10
015,1 31
=
=
= −
VAxVA
VAVA
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
52
5.4 Amortización y/o capitalización
La amortización se define como el pago que se hace periodo a periodo de una
obligación durante un tiempo dado y a una determinada tasa de interés. La
amortizacióntienesumáximaexpresiónenlatabladeamortización. Enlaamortizaciónsemanejanlossiguientestérminos:
• Periodo:Representaelmomentoenelcualsehaceelpago.• Saldo inicial (SI): Cantidad que se debe del préstamo al inicio de un
determinadoperiodo.
• Intereses(I):Costodelpréstamoporperiododepago.• Cuota(A):Valorquesecancelacadaperiodo.Puedeseruniformeovariabley
su cálculodepende del tipodeanualidadque se trabaje.Equivale al valorde
cuotaapartirdevalorpresente.
• Amortización: Es la cantidad que de la cuota va a cancelar realmente elpréstamo.
• Saldofinal:Eslacantidadadeudadaalfinaldecadaperiodo.
TabladeamortizaciónParasaberquécantidadsevaamortizandoencadaperiododepago,seutilizalatabla
deamortizacióncuyapresentaciónes: Elprocesoparaelaborarlatablaeselsiguiente:
1. Identificarloselementosdelproblema.2. Calcularelvalordelacuotaperiódica.3. Construirelesquemadelatabla.4. Calcularcadaunodeloselementosquelaconstituyen.
Parahacermásdirectoelaprendizajedecómorealizarunatabladeamortización, la
explicaciónseharábasadaenunejemplo.
SupongaqueelBancoXXXleofreceunpréstamodelibreinversiónpor$2.000.000a
dos años de plazo, con cuotas semestrales vencidas y una tasa del 1,5% concapitalización semestral. Usted quiere saber, paso a paso, cómo será el pago de este
préstamoparadecidirsileconviene. Siguiendoelprocedimientoantesdescritosetiene:
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
53
1. Identificarloselementosdelproblema:
VA=$2.000.000n=2años
j=1,5%CCSm=2elañotiene2semestres
2. Calcularelvalordelacuotaperiódica.
Comoescuotavencidaseutilizalafórmula
Parafacilitarlasoperacionessetrabajarácon$509.410.
3. Construirelesquemadelatabla.
4. Calcularcadaunodeloscomponentesdelatabla.
a. El primer paso es colocar el valor de la cuota en su casilla como es uniforme y
vencida,secolocaensuespacioapartirdelperiodo1.
02,410.50992611041.3
000.000.2
2015,02015,01
000.000.2
1
22
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
=
−
−
A
A
A
mjmj
VAA
x
nxm
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
54
PERIODOS SALDO INICIAL INTERESES CUOTA AMORTIZACIÓN SALDO
FINAL 0 2.000.000 0 0 0 2.000.000 1 509.410 2 509.510 3 509.410 4 509.410
b. El saldo final de un periodo es el inicial del periodo siguiente, por eso los
$2.000.000queaparecenenelaño0comosaldofinal,secolocancomosaldoinicial
enelaño1.
PERIODOS SALDO INICIAL INTERESES CUOTA AMORTIZACIÓN SALDO
FINAL 0 2.000.000 0 0 0 2.000.000 1 2.000.000 509.410 2 509.510 3 509.410 4 509.410
c. Secalculanlosinteresesdelprimerperiodoasí:
Saldo inicial X tasa de interés semestral = 2.000.000 x 0,015/2 =
2.000.000x0,0075=15.000yseubicaensusitio.
PERIODOS SALDO INICIAL INTERESES CUOTA AMORTIZACIÓN SALDO FINAL
0 2.000.000 0 0 0 2.000.000 1 2.000.000 15.000 509.410 2 509.510 3 509.410 4 509.410
d. Secalculalaamortizaciónqueesigualalacuotamenoslosinteresesdelperiodoasí:509410-15.000=394.410yseubicaensupuestoasí:
PERIODOS SALDO INICIAL INTERESES CUOTA AMORTIZACIÓN SALDO
FINAL 0 2.000.000 0 0 0 2.000.000 1 2.000.000 15.000 509.410 494.410 2 509.510 3 509.410 4 509.410
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
55
e. Secalculaelsaldofinalqueesigualalsaldoinicialmenoslaamortización,esdecir,2.000.000-394.410=1.605.590yseubicaensucasillaasí:
PERIODOS SALDO INICIAL INTERESES CUOTA AMORTIZACIÓN SALDO
FINAL 0 2.000.000 0 0 0 2.000.000 1 2.000.000 15.000 509.410 494.410 1.505.590 2 509.510 3 509.410 4 509.410
Serepitenlasoperacionesparaelsegundoperiodoasí:
PERIODOS SALDO INICIAL INTERESES CUOTA AMORTIZACIÓN SALDO
FINAL 0 2.000.000 0 0 0 2.000.000 1 2.000.000 15.000 509.410 494.410 1505.590 2 1.505.590 11.293 509.510 498.117 1.107.473 3 509.410 4 509.410
Ahoraparaelterceroasí:
PERIODOS SALDO INICIAL INTERESES CUOTA AMORTIZACIÓN SALDO
FINAL 0 2.000.000 0 0 0 2.000.000 1 2.000.000 15.000 509.410 494.410 1.505.590 2 1.505.590 11.293 509.510 498.117 1.007.473 3 1.007.473 7.556 509.410 501.854 505.619 4 509.410
Yporúltimo,paraelcuartoperiodoasí:
PERIODOS SALDO INICIAL INTERESES CUOTA AMORTIZACIÓN SALDO
FINAL 0 2.000.000 0 0 0 2.000.000 1 2.000.000 15.000 509.410 494.410 1.505.590 2 1.505.590 11.293 509.510 498.117 1.108. 222 3 1.007.473 7.556 509.410 501.854 505.619 4 505.619 3.793 509.410 505.617 2
Laideaesqueelsaldofinaldelúltimoperiodoseacero;ladiferenciaestádadaporlos
decimalesconlosquesetrabajó.
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
56
Paraconfirmarqueloquesehizoestábien,lasumadelasamortizacionesdebeseral
valordelpréstamo,enestecaso$2.000.000,yalsumarlacolumnadeinteresessesabe
cuántosepagódeintereses.
PERIODOS SALDO INICIAL INTERESES CUOTA AMORTIZACIÓN SALDO
FINAL 0 2.000.000 0 0 0 2.000.000 1 2.000.000 15.000 509.410 494.410 1.505.590 2 1.505.590 11.293 509.510 498.117 1.108. 222 3 1.007.473 7.556 509.410 501.854 505.619 4 505.619 3.793 509.410 505.617 2
Total 37.642 1.999,998 Fondodecapitalización Por otro lado, existe la capitalización, es decir, ir ahorrando periodo a periodo unadeterminadacantidadpararetirarenundeterminadotiempoyaunatasade interés
compuestadada,unasumadedineropreestablecida.Al igualqueen laamortización,existeuna tablaparasaberdeantemano, cómosevaalcanzando la sumadeseada.A
estatablaseleconocecomofondodecapitalización. Enestecaso,losconceptostienenelsiguientesignificado:
• Periodo:Representaelmomentoenelcualsehaceeldepósito.• Intereses(I):Cantidaddeinteresesrecibidosenelperiodo.• Cuota(A):Valorquesedepositacadaperiodo.Puedeseruniformeovariabley
su cálculodepende del tipodeanualidadque se trabaje; equivale al valordecuotaapartirdevalorfuturo.
• Valoragregadoalfondo:Eslacantidadenlaquecreceelahorroporperiodo.• Saldofinal:Eslacantidadahorradahastaelperiodorespectivo.
Elprocesoparaelaborarelfondodecapitalizaciónes:
1. Identificarloselementosdelproblema.2. Calcularelvalordelacuotaperiódica3. Construirelesquemadelfondo.4. Calcularcadaunodeloselementosquelaconstituyen.
Parahacermásdirectoelaprendizajedecómorealizarunfondodecapitalización,la
explicaciónseharábasadaenunejemplo.
Suponga que debe pagar una deuda de $2.000.000 dentro de 2 años y para hacerlo
constituye un fondo que le permita pagarlo sin problema. La tasa de interés que le
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
57
reconocen es del 1,5% con capitalización semestral y los depósitos deben ser
semestrales también. A fin de saber periodo a periodo cómo se comporta el fondo,
ustedquiereconstruirelfondodecapitalización. Siguiendoelprocedimientoantesdescritosetiene:
1. Identificarloselementosdelproblema:
a. VF=$2.000.000b. n=2añosc. j=1,5%CCSd. m=2elañotiene2semestres
2. Calcularelvalordelacuotaperiódica.
Comoescuotavencidaseutilizalafórmula:
Parafacilitarlasoperacionessetrabajarácon$494.410
3. Construirelesquemadelfondo.
02,410.494045225422.4
000.000.2
2015,02015,01
000.000.2
1
22
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
=
A
A
A
mjmj
VFA
x
nxm
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
58
FONDODEAMORTIZACIÓN
PERIODOS CUOTA INTERESES TOTAL
AGREGADO AL FONDO
SALDO FINAL
4. Calcularcadaunodeloscomponentesdelatabla.
Elprimerpasoescolocarelvalordelacuotaensucasilla.Comoesuniformey
vencida,secolocaensuespacioapartirdelperiodo1.
PERIODOS CUOTA INTERESES TOTAL
AGREGADO AL FONDO
SALDO FINAL
0 0 0 0 0 1 494.410 2 494.410 3 494.410 4 494.410
PERIODOS CUOTA INTERESES TOTAL
AGREGADO AL FONDO
SALDO FINAL
0 0 0 0 0 1 494.410 0 0 494.410 2 494.410 3 494.410 4 494.410
Se calcula el valor de los intereses para el segundo año, es decir, =494.410x0,015/2=3.708yeltotalagregadoalfondoqueesigualalacuotamás
losintereses.
PERIODOS CUOTA INTERESES TOTAL
AGREGADO AL FONDO
SALDO FINAL
0 0 0 0 0 1 494.410 0 0 494.410 2 494.410 3.708 498.118 3 494.410 4 494.410
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Secalculaelsaldofinalqueseráigualalsaldoinicial+lacapitalización,eneste
caso,0+498.118.
PERIODOS CUOTA INTERESES TOTAL
AGREGADO AL FONDO
SALDO FINAL
0 0 0 0 0 1 494.410 00 0 494410 2 494.410 3.708 498.118 992.528
Losinteresesdeltercerperiodoenadelantesonigualesalsaldofinalporlatasadeinterésasí:996.264x0,0075=7.472
Serepitenlasoperacionesparaeltercerperiodoasí:
PERIODOS CUOTA INTERESES TOTAL
AGREGADO AL FONDO
SALDO FINAL
0 0 0 0 0 1 494.410 0 0 494.410 2 494.410 3.708 498.118 992.528 3 494.410 7.444 501.852 1.494.382
Ahoraparaelcuartoperiodoasí:
PERIODOS CUOTA INTERESES TOTAL
AGREGADO AL FONDO
SALDO FINAL
0 0 0 0 0 1 494.410 0 0 494.410 2 494.410 3.708 498.118 996.264 3 494.410 7.444 501.852 1.494.382 4 494.410 11.208 505.618 2.000.000
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
60
Resumen
Las series variables son cuotas periódicas que varían, bien sea en forma de una
progresión aritmética o geométrica. Pueden darse en forma creciente o decreciente.
Regularmente se les llama anualidades con gradiente aritmético o anualidades congradientegeométrico.Encadaunadeellas,sepuedecalcularelvalorfuturoyelvalor
presente.
El valor futuro y el valor presente de cualquier tipo de anualidad, tienen como
herramienta de presentación, tanto el fondo de capitalización como la tabla deamortización,quesondegranayudaparairvisualizado,periodoaperiodocómoseva
acomportar,tantoelvalorfuturocomoelvalorpresente.
FACULTADDEESTUDIOSADISTANCIA
61
Bibliografía
• Aliaga, C, y Aliaga, C. Matemáticas Financieras, un enfoque práctico. Editorial
PRENTICE.
• DíazA,YAguilera,V.Matemáticas financieras.EditorialMcGrawHill,Tercera
edición.
• García, J.Matemáticas financierasconecuacionesdediferencia finita.Editorial
Pearson.
• Gómez,A.MatemáticasFinancieras.EditorialUniversidaddelQuindío.
• Portus,L.(2003).Matemáticasfinancieras,EditorialMacGrawHill.