.............................................Lecciones popularesde matematlcas----------.AREASY LOGARITMOS----------.A. I. Markushevich

----------.y B" B

----------..-.--.-.-.--.-.-.-................... .

Moseu

..

nOnY.rJ5IPHblE JIEI(IJ.1111 no MATEMATI1KEA. l"I"lAPKYWEBJ1l1

nnOill,A1U1

11 nOfAPHa, entonces q>l). Obtenetnos las

igualdades:

OC=a, OE=aq, OF=aq2, 00=aq3, ... ,01 =aq"-I,OD=aqn=b.En la fig. 14 estan dibujados 6 rectanguios y, por tanto,n+ 1=7; en 10 sucesivo supondremos ti tan grande como se

desee, por ejemplo, n=lOOO, n=IO 000, 11=}00 000, etc.

L:J~ bases de los rectangulos forman una progresidn geo-

metrica de la misma razon q:CE=OE-OC=a(q-I), EF=OF-OE=aq(q-l),FO=OO-OF=aq2(q-l), ... , ID=OD-OI =aq"-I(q-l)(el numero de ter minos de esta progresion y de las que si- guen es igual a n, y no a n+I).16rl 8IIIrrc. 14Las alturas de los rectangulos son las ordenadas CA, EEl> FFb aGlt , Ill; eada una de eltas es igual a la quinta po- tencra de' Ia abscisa que le .corresponde (nos convenirnos que

!/=X6). Por consigulente,

CA=OC~=a~, ..EE\=OE~=a5q&, FFi=OF~=a6qlO,OG'l = a&ql~... , I/,=Ol~=a6q~tn-l).Advertirnos que Ias alturas de los rectangulos tarnbien for man una progresi6n geornetrlca de la raz6n q~(=qll).17.Como las bases de los' rectangulos forman la progresion de razon q, y las alturas, la progresion de razon q6(;=qTl), entonces las areas de los rectangulos deben Iormar una progresion de la razon qq5=qG(=qk+l):CECA =a(q-l)a5 =aO (q- 11; ,EP EE1= aq (q-l) (i'q" =aoqU (q_l); FG.FFt = aq2(q-l) a5q10=;:a8ql't. (q..- I); .

. .. . .. . . .. . . .. ~ ... .. . .. . . . ..I D /11,;:::aqn-1 (q-l) a5q5(n.,.o = aGqO(II-1l (q'- I).Por eso, la suma de areas de los rectangulos que ~s equiva- lente at area de la figura escalonada, es la suma de una pro- gresion geomctrica de razon q", cuyo primer termino es ali (q- J) Y el (lUi 1110terrnino es a1iqG(II-1l(q_l):_a....;Gq;..(j_(II_-_1)~(..:..q-----::-I..:..)..:..,qO

a6....;(:...:.q_I~)= [ (aq" ) 1I_a.n ] q-Itf-I '.b6-all- q6+q~ q;I_l-q~+ q _1_ Iq6_1

-- =q6_1(hemos aprovechado que Ir=aq" y q_1 =qG+q4+q:l+q2++q+l). .5. Hagamos aumentar indelinidamente el nurnero It de

los rectangulos. Puesto que las bases de los rectangulos consti- tuyen una progresion geometrica creciente (q>l), la primera de estas bases sera la menor en comparacion con las restantes. Pero, la suma de longitudes de todas It bases es igual a b-a; por eso a la base CE, Ie corresponde una magnitud menor que

bn-cr' es

de' crr , aq-aO, obtendremos un nuevo trapecio curvi lineo de la niisma area. Esta claro que la propiedad men- cionada se cornprueba bajo el supuesto de que la curva, cuyos areas li mi (an rlesde una parte los trapecios curvil ineos, e..c;Y.I.rrc, 22

obligaloriamenle una, hiperbola equilatera. En olras palabras,

bq b~ X-I dx= ~ X-I dx,aq- Dsear cual Iuera q (q>O).Para que Ia comprobacion sea mas Iacil, asignaremos a qun valor numerico determinado, par ejemplo, q=3.En Ia fig. 23 se exponen dos trapecios curvillneos cortes- pondientes, ACDB y A"C'D' B". El prirnero de elias es es- trecho pero mas alto. El segundo es mas ancho, pero bajo.

31Es necesario demostrar que eJ' aumento de la anchura en el segundo caso es compensado por Ia dismlnucion de la altura. de una manera tal que el area queda invariable .. Can este objeto dividamos el primer trapecio en unos trapecios ele- mentales, mas estrechos todavia, y ca mbiemos por un .r. ectan- gulo a cada uno de estos ultimos (fig.. 23) . .$i aumentarnos tres veces la abscisa de cada pun to de 1a Iigura escalonada ACDB,y&IIiIFIG. 23

Icr-~! ,~'-.dejando invariables las ordenadas, obtendremos la Iigura A'G'D'E' cuya area es tres veces mayor, puesto que cada rectangulo se hizo tres veces mas aneho. Pero los extremes de ordenadas ya no se situan en nuestra hi perbola. En electo, esta hiperbola es una curva de la proporcionalidad inversa,

y= ~ , Y si deseamos que los puntos no se aparlen de ella, deberemos disrninuir la orden ada tantas veces como hernos

aumentado la abscisa. Si disminuimos tres veces todas lasordenadas de la Figura A'G'D' 8', obtendremos la otra fi-

gura, A C' D' 8". Esta es un trapecio curvllineo, Ii mitado

por arriba con un area de la hiperbola s= ~ ) y de los costados.

por ordenadas, construidas para x=3a y x=3b. Los redan- gulos correspondlentes tienen bases tres veces mayores que las de los rectangulos originales, y alturas tres veces menores.Por ello las areas de. los rectangulos obtenidos son iguales a las de los rectangulos origlnales. POI' 10 tanto, las areas de dos Iiguras escalonadas son iguales como son sus l imites, es decir , las areas de los trapecios curvi llneos:

ab b~ X-I dx = ~X-I dx,'1(1 aHernos demostrado In propiedad, suponiendo que a-cb . No obstante, es valida tarnbien, cuando a=b y cuando a>b. En efecio, si a=b, entonces aq=bq, y las dos integrales se red ucen a cero de modo que la igualdad sigue siendo v alicia.Si a>b, enlonces aq>bq; en esle caso se verifica la igualdadaq (I~X-l dx = ~ X-I dxbq b(ahora b; y per eso b y a carnbian de lugares). Pero, segun

b10 convenido en el p. 8, para el caso en que icb, ~ f(x)dx. absigni lica - ~ f (x) dx . Per consiguien te:

abq ~q~x-Idx=- ~x~ldx.aq bq

~ II~ x-1dx=- ~ xr v ax'Il by, como los segundos miernbros de estas correlaciones son iguales, deben ser iguales tarnbien los miernbros pri meros:

bq /JX-l dx = ~X-I dx,aq aAsf pues, la correlacion comprobada queda valida, cual-quiera que sea la correlacion entre a y b: a:b, a=b 0 azb,. ~ b12.. Hagarnos a= 1 y exarninernos ~ x=dx. Si b: 1, la

1integral indicada expresa el area del trapecio curvil Ineo ACDB (fig. 24). Si h=J, la integral se reduce a cero, Por fin, si es O0, cuando t>--1. Por eso,oe 'I' area _"1\ B CK

es POS.It I.va, es

deecciir,

Ia I.n tieSgra Tt:l+t dTt esf\ IIuna mcgill. tud

. . va que se di.'Ierencia de In

tegral .(J' 1f=+lId/'1posit I

IIIo'Solo PQr el signo y, por consiguiente, sus modules son equiva- lentes:

Observemos Iuego , que para t>~y ~>-1 sc verifica let desi-

.gualdad

por 10 tanto,

l+t>I+~>O,_1_7)A yI z....-tpcFIG. 29(esta magnltud es un numero positive, dado que ~:"+lO y 2n+l>O). Por consiguiente,

.. ~. t'dtl SO o dt ~211+1. J l+t dt = l+t InVX-X '(V x1-VX';) II =xl-2 V X1X2+ -'=2> 01(si Xl Y X2 son mimeros positives diferentes).Por consiguiente,

luego.

Xl +X::. > 2Vx1x:.y, por fin,

Inx~+>x

V-X1X2'que es 10 que tenfamos que demostrar.Asi pues, el punta de un areo, correspondiente al valor

medio arltmetico de las abscisas de los extremes del area,

.supera .al punto medio de la cuerda, sea eual fuese el area de'

la graftca de logaritmo. De ahi provlene que Ia graflca de' logaritmo siempre gira su convexidad hacia Ia parte positlva .

. del eje de las y., .' En caso contrario (fig. 33) se encontrarfa un arco, para, el cual la 'propiedad indicada plerde su valldez (el punta me dio M de la cuerda se situar ia por arriba del punta correspon-

diente L. del arco).

Basandonos en las propledades de logaritmo, podr iamos, deducir olras propiedades notables de. la graJica de logarit mo, Sin embargo, nos limitamos a las indicadas,

5720. Muy a menudo tenemos que recurrir a los .Ioga'ritmos naturales, resolviendo unos problemas mate maticos y fi sicos que, a primera vista, no tienen nada que ver con las

areas de trapecios curvil ineos limitados con arcos de hiper- bola. He aqui un problema de esta indole que plantec P. Chebishev, celebre rnatematlco ruso: obtener una for- mula, sencilla al maximo, que perrnitir ia el calculo aproxi- made de la cantidad .de todos los ruirneros. simples que no superarian al rnimero prelijado It cualquiera,

FlO. 33Si n no es grande, el problema de la cantidad buscada,

:rc. (n), no tiene dificultades (hemos de observar que aqui n no tiene ninguna relaclon al nurnero 3,14159 ... ). Asi, por ejemplo, si n=IO, los numeros simples que no superan al nurnero 10 son: 2, 3, 5, 7; su cantidad es Igual a 4. Por consi- guiente, ,,'(10)=4. Si n=100, entonces, ernpleando el pro- cedimiento conocido de la criba de Heratostenes, obtendrernos

25 numeros simples: 2, 3, 5, 7. l1, 13, 17, 19, 23,29,31,37,41,43,47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79,83,89, 97. Por con- siguiente, 1t (100)=25. Sin embargo, euando n es grande,

Ia solucion del problema se haee bastante difici1.,:_ C6mo se catcula n (n), aunque de manera aproxi mada, cuando n es igual a un rnillon , mil millones, etc.?

Chebishev encontr6 que para el calculo aproximado de

IL~n) es suf.iciente dividir n por el logaritmo natural de n:n (n.) ~ J"n!:n"" ;58el error relative de esta igualdad. puede ser bastante grande. sin embargo este tlende a cero, cuando :1.11 tiende a HI.tnfinidad ,. La formula aproxirnada de Chebishev es particularmente

comoda para el. case en que It es una potenCiad~l numero 10 con exponents entero y positivo: rt= 1OIf .: En .electo, In n= In lOk=k In 1O~2,303k, y, por 10. tanto... (10") 10k.11: ~

..!" 0Teniendo en cuenta que 2,!03~0:,43~:, ohleneruos la Ion-mula, mas comoda en calculos:rokrt (lOll) ~ 0,4347,As) pues, cuando k= 2 Y k=2, tenemos-:

:t(10)~O,43410=4,34 (el resultado-correcto es 4)

n(JOO)~0,434.I~O~21,7 (el resultadocorrecto es 25).

Procediendo de esta manera, obtenemos:

:rc:(lOOO)~0.434.1~O ~ 145 (el' resuitado correcto es 168)!~

10000 ' .:1 (10000) ~0.434 '~4- ~ J090,(eLnesuUadocorredo es 1229)":t( 106) ~

0,434

106 ~ 72300 (eJ resuitade correct a es 78498) ..El error relative del ultimo sesuitado constituye

78498 - 72300, """ 0 (i}878498 """es decir, el8 por ciento yes, porconstguiente. bastante grande,Sin embargo, ..se puede demostnatr con, toda Ia,rigu,rosidad que--elerrorrelative, obtenido segun 130 fOp'miJl~.de Chebishev .. puede ser. disrninuldo y he