una sucesión es un conjunto de números dispuestos uno a continuación de otro
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Una sucesión es un conjunto de números dispuestos uno a
continuación de otro.
a1, a2, a3 ,..., an
Los números a1, a2 , a3 , ...; se llaman términos de la sucesión .
El subíndice indica el lugar que el término ocupa en la sucesión.
El término general es an es un criterio que nos permite determinar
cualquier término de la sucesión.
Determinación de una sucesión:Por el término general
an= 2n-1
Por una ley de recurrencia
Los términos se obtienen operando con los anteriores.
Sucesión de Fibonacci
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597,
2584, ...
Los dos primeros términos son unos y los demás se obtienen sumando los
dos términos anteriores.
Sucesiones estrictamente crecientes
an+1 > an
Sucesiones crecientes
an+1 ≥ an
Sucesiones estrictamente decrecientes
an+1 < an
Sucesiones decrecientes
an+1 ≤ an
Sucesiones constantes
an= k
Sucesiones acotadas inferiormente
an ≥ k
Sucesiones acotadas superiormente
an ≤ k'
Sucesiones acotadas
k ≤ an ≤ K'
Operaciones con sucesionesSuma con sucesiones:
(an) + (bn) = (an + bn)
(an) + (bn) = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3, ..., an + bn)
Diferencia con sucesiones:
(an) - (bn) = (an - bn)
(an) - (bn) = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3, ..., an - bn)
Producto con sucesiones:
(an) · (bn) = (an · bn)
(an) · (bn) = (a1 · b1, a2 · b2, a3 · b3, ..., an · bn)
Sucesión inversible
Cociente
Ejercicios
Hallar el término general de las siguientes sucesiones :
1 8, 3, -2, -7, -12, ...
3 - 8= -5
-2 - 3 = -5
-7 - (-2) = -5
-12 - (-7) = -5
d= -5.
an= 8 + (n - 1) (-5) = 8 -5n +5 = -5n + 13
2 3, 6, 12, 24, 48, ...
6 / 3 = 2
12 / 6 = 2
24 / 12 = 2
48 / 24 = 2
r= 2.
an = 3· 2 n-1
3 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...
22, 32, 42, 52, 62, 72, ...
Observamos que las bases están en progresión aritmética, siendo d = 1, y
el exponente es constante.
bn= 2 + (n - 1) · 1 = 2 + n -1 = n+1
Por lo que el término general es:
an= (n + 1)2
4 5, 10, 17, 26, 37, 50, ...
22 +1 , 32 +1, 42 +1, 52 +1, 62 +1 , 72 +1, ...
Hallamos el término general como vimos en el caso anterior y le sumamos
1.
an= (n + 1) 2 + 1
5 6, 11, 18, 27, 38, 51, ...
22 +2 , 32 +2, 42 +1, 52 +2, 62 +2 , 72 +2, ...
an= (n + 1)2 - 1
6 3, 8, 15, 24, 35, 48, ...
22 -1 , 32 -1, 42 -1, 52 -1, 62 -1 , 72 -1, ...
an= (n + 1)2 - 1
2, 7, 14, 23, 34, 47, ...
22 -2 , 32 -2, 42 -2, 52 -2, 62 -2 , 72 -2, ...
an= (n + 1) 2 - 2
7 -4, 9, -16, 25, -36, 49, ...
an= (-1)n (n + 1)2
8 4, -9, 16, -25, 36, -49, ...
an= (-1)n-1 (n + 1)2
9 2/4, 5/9, 8/16, 11/25, 14/36,...
Tenemos dos sucesiones:
2, 5, 8, 11, 14, ...
4, 9, 16, 25, 36, ...
La primera es una progresión aritmética con d= 3, la segunda es una
sucesión de cuadrados perfectos.
an= (3n - 1)/(n + 1) 2
10
Si prescindimos del signo, el numerador es una P. aritmética con una d= 2.
El denominador es una progresión aritmética de d= 1.
Por ser los términos impares los negativos multiplicamos por (-1) n.
Estudia la monotonía y las cotas :
1
Monotonía
3, 4/3, 1, 6/7,...
La sucesión va decreciendo.
Para cualquier valor de n se cumple la desigualdad.
Es monotona estrictamente decreciente .
Límite
a1= 3
a3= 1
a1000= 0.5012506253127
a1000 000 = 0.5000012500006
El límite es 0.5
Sucesión convergente
Cotas
Por ser decreciente, 3 es una cota superior, el máximo .
0.5 es una cota inferior, el ínfimo o extremo inferior.
Por tanto la sucesión está acotada .
1/2 < an ≤ 3
2
Monotonía
Cada término es mayor que la anterior.
Para cualquier valor de n se cumple la desigualdad.
Es monotona estrictamente creciente .
Límite
a1= 0.5
a3= 0.6666
a1000= 0.999000999001
a1000 000 = 0.999999000001
El límite es 1
Sucesión convergente
Cotas
Por ser creciente, 1/2 es una cota inferior, el mínimo.
1 es una cota superior, el supremo. o extremo superior.
Por tanto la sucesión está acotada.
0.5 ≤ an < 1
