UNIDAD DIDÁCTICA

http://www.amolasmates.es/progresiones/Examen_aritmeticas.htm

SucesionesConcepto de sucesión

Se llama sucesión a un conjunto de números dispuestos uno a continuación de otro.

a1 , a2 , a3 ,..., an / 3, 6, 9,..., 3n

Los números a1 , a2 , a3 , ...; se llaman términos de la sucesión.

El subíndice indica el lugar que el término ocupa en la sucesión.

El término general es an es una expresión matemática que nos permite determinar cualquier término de la sucesión.

Determinación de una sucesión:

Por el término generalEl término general es an es un criterio que nos permite determinar cualquier término de la sucesión.

an= 2n-1a1= 2 ·1 - 1 = 1a2= 2 ·2 - 1 = 3a3= 2 ·3 - 1 = 5a4= 2 ·4 - 1 = 71, 3, 5, 7,..., 2n-1

No todas las sucesiones tienen término general. Por ejemplo, la sucesión de los números primos:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,...

Por una ley de recurrenciaLos términos se obtienen operando con los anteriores.Escribir una sucesión cuyo primer término es 2, sabiendo que cada término es el cuadrado del anterior: 2, 4, 16,...

Sucesión de Fibonacci:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ...

Los dos primeros términos son unos y los demás se obtienen sumando los dos términos anteriores.

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Sucesiones especiales

Números triangulares 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...

Esta sucesión se genera a partir de una pauta de puntos en un triángulo. Añadiendo otra fila de puntos y contando el total encontramos el siguiente número de la sucesión.

Pero es más fácil usar la regla xn = n(n+1)/2

Ejemplo: El quinto número triangular es x5 = 5(5+1)/2 = 15, y el sexto es x6 = 6(6+1)/2 = 21

Números cuadrados 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...

El siguiente número se calcula elevando al cuadrado su posición. La regla es xn = n2

  Números cúbicos 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, ...

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El siguiente número se calcula elevando al cubo su posición. La regla es xn = n3

Números factoriales ¡y cualquier otra sucesión que veas en tus

viajes!

Progresiones aritméticas

Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno

de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por d.

8, 3, -2, -7, -12, ...

3 - 8 = -5; -2 - 3 = -5; -7 - (-2) = -5; -12 - (-7) = -5…. d= -5.

Término general de una progresión aritmética

1 Si conocemos el 1er término y la razón d. an = a 1 + (n - 1) · d

8, 3, -2, -7, -12, .. a n= 8 + (n-1) (-5) = 8 -5n +5 = = -5n + 13

2 Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión y la razón d.

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an = ak + (n - k) · d

a 4= -7 y d= -5 an = -7+ (n - 4)· (-5)= -7 -5n +20 = -5n + 13

Interpolación de términos en una progresión aritmética

Interpolar medios diferenciales o aritméticos entre dos números, es construir una progresión aritmética que tenga por extremos los números dados. Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.

Interpolar tres medios aritméticos entre 8 y -12. 8, 3, -2, -7, -12.

Casi siempre, al hablar de interpolar medios, hemos de calcular la nueva diferencia o razón d.

En la fórmula para el cálculo del valor de d, tendremos que sustituir n por n+2:

Con esta última fórmula puedes halla la diferencia de la nueva progresión y volviendo al ejemplo:

La diferencia o razón es 1.

Esto quiere decir que la nueva progresión sería: 6. 7. 8. 9. 10

Como puedes comprobar, tenemos 3 medios intercalados entre 6 y 10.

1   Halla la d para interpolar 5 medios aritméticos entre 26 y 80.

Respuesta: 9  (la progresión es: 26. 35. 44. 53. 62. 71. 80)

2 Entre 65 y 165 queremos interpolar 9 medios aritméticos. Calcula d y la suma de todos los términos.

Respuestas: d = 10; S = 1265

3 Entre  –5 y  –35 interpolar 5 medios aritméticos. Escribe la progresión.

Respuesta: d = -5; la progresión es: -5,-10,-15,-20,-25,-30,-35.

4 Las edades de 11 personas están en progresión aritmética y la suma de todas ellas es de 561, si la mayor tiene 86 años, ¿cuántos tiene la más joven?

Respuesta: 16 años.

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Solución:Primero calculamos el valor de d de la fórmula del último término:

Como nos ha quedado una ecuación con dos incógnitas, necesitamos otra ecuación que la tomamos de la fórmula de la suma:

Dividiendo ambos miembros del signo ‘=’ por 11 nos queda:

Conociendo el valor de d calculamos el valor del primer término:

Suma de términos equidistantes de una progresión aritmética

Sean a i y a j dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que la suma de términos equidistantes es igual a la suma de los extremos .

ai + aj = a1 + ana3 + an-2 = a2 + an-1 = ... = a1 + an8, 3, -2, -7, -12, ...3 + (-7) = (-2) + (-2) = 8 + (-12) -4 = -4 = -4

Suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética

5 Existe una progresión aritmética con este formato:

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      …………14,6.16.……………..44Sabemos que tiene 31 términos. ¿Cuánto vale la suma de todos los términos?Respuesta: 713

6 La sucesión   es una progresión aritmética?Si lo es, ¿cuánto vale el término 15 y la suma de los 50 primeros términos?

Respuestas: Se trata de una progresión aritmética de   

La suma de los 50 primeros términos = 127,50Solución:

Para calcular el valor de d restamos 

7 Desde el portal de mi casa a la farola más cercana hay 5 metros. Entre farola y farola hay una distancia constante de 7 metros.  ¿Cuántos metros hay desde el portal de mi casa hasta la farola 30?Respuesta: 208 metros

Solución:Debes tener en cuenta que entre la farola más cercana al portal de tu casa hasta la farola 30 hay 29 huecos de 7 metros, es decir, 29 x 7 = 203 metros.

Si a un alambre de 10 metros de largo le das 4 cortes, habrás obtenido 5 trozos:

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La diferencia o razón es 1.Esto quiere decir que la nueva progresión sería:     6. 7. 8. 9. 10Como puedes comprobar, tenemos 3 medios intercalados entre 6 y 10.

8   Halla la d para interpolar 5 medios aritméticos entre 26 y 80.

Respuesta: 9  (la progresión es: 26. 35. 44. 53. 62. 71. 80)

9 Entre 65 y 165 queremos interpolar 9 medios aritméticos. Calcula d y la suma de todos los términos.

Respuestas: d = 10; S = 1265

10 Entre  –5 y  –35 interpolar 5 medios aritméticos. Escribe la rogresión.

Respuesta: d = -5; la progresión es: -5,-10,-15,-20,-25,-30,-35.

11 Las edades de 11 personas están en progresión aritmética y la suma de todas ellas es de 561, si la mayor tiene 86 años, ¿cuántos tiene la más joven?

Respuesta: 16 años.

Solución:Primero calculamos el valor de d de la fórmula del último término:

Como nos ha quedado una ecuación con dos incógnitas, necesitamos otra ecuación que la tomamos de la fórmula de la suma:

Dividiendo ambos miembros del signo ‘=’ por 11 nos queda:

Conociendo el valor de d calculamos el valor del primer término:

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12 La sucesión   es una progresión aritmética?Si lo es, ¿cuánto vale el término 15 y la suma de los 50 primeros términos?

Respuestas: Se trata de una progresión aritmética de   

La suma de los 50 primeros términos = 127,50Solución:

Para calcular el valor de d restamos 

13 Desde el portal de mi casa a la farola más cercana hay 5 metros. Entre farola y farola hay una distancia constante de 7 metros.  ¿Cuántos metros hay desde el portal de mi casa hasta la farola 30?

Respuesta: 208 metrosSolución:Debes tener en cuenta que entre la farola más cercana al portal de tu casa hasta la farola 30 hay 29 huecos de 7 metros, es decir, 29 x 7 = 203 metros.

Si a un alambre de 10 metros de largo le das 4 cortes, habrás obtenido 5 trozos:

Ejercicios de progresiones aritméticas1 El cuarto término de una progresión aritmética es 10, y el sexto es

16. Escribir la progresión.2 Escribir tres medios aritméticos entre 3 y 23.3 Interpolar tres medios aritméticos entre 8 y -12.Sucesiones y Progresiones Página 9 de 21

4 El primer término de una progresión aritmética es -1, y el décimoquinto es 27. Hallar la diferencia y la suma de los quince primeros términos.

5 Hallar la suma de los quince primeros múltiplos de 5.6 Hallar la suma de los quince primeros números acabados en 5.7 Hallar la suma de los quince primeros números pares mayores que 5.8 Hallar los ángulos de un cuadrilátero convexo, sabiendo que están en

progresión aritmética, siendo d= 25º.9 El cateto menor de un triángulo rectángulo mide 8 cm. Calcula los

otros dos, sabiendo que los lados del triángulo forman una progresión aritmética.

10 Calcula tres números en progresión aritmética, que suman 27 y siendo la suma de sus cuadrados es 511/2.

Progresiones geométricas Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r, llamada razón.

Si tenemos la sucesión: 3, 6, 12, 24, 48, ...6 / 3 = 2; 12 / 6 = 2; 24 / 12 = 2; 48 / 24 = 2; r= 2.

Término general de una progresión geométrica

1 Si conocemos el 1er término y la razón r. an = a1 · r (n- 1)3, 6, 12, 24, 48, ..an = 3· 2 (n – 1) = 3· 2n· 2– 1 = (3/2)· 2n

2 Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión.

an = ak · r n- k

a4= 24, k=4 y r=2.an = a4 · rn – 4 an = 24· 2n – 4 = (24/16)· 2n = (3/2)· 2 n

Interpolación de términos en una progresión geométrica

Interpolar medios geométricos o proporcionales entre dos números, es construir una progresión geométrica que tenga por extremos los números dados. Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m. Interpolar tres medios geométricos entre 3 y 48. 3, 6, 12, 24, 48.

Suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica

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Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente

Calcular la suma de los términos de la progresión geométrica decreciente ilimitada:

En la fórmula de la suma de los n primeros términos de una PG , si -1 < r

< 1, se tiene que  , es decir, rn se acercará a cero tanto como queramos, tomando n suficientemente grande.

En consecuencia la fórmula de la suma de los infinitos términos de una PG

sería  . Calcula la longitud de la línea quebrada cuando el proceso de inscribir cuadrados se hace infinito. ¿Cómo será el perímetro del copo en ese mismo caso?

Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión: 3, 6, 12, 24, 48, ...

Producto de dos términos equidistantes

Sean ai y aj dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que el producto de términos equidistantes es igual al producto de los extremos.

ai . aj = a 1 . ana 3 · an- 2 = a 2 · an- 1 = ... = a 1 · an3, 6. 12, 24, 48, ... 48 · 3 = 6 · 24 = 12 · 12144 = 144 =144

Producto de n términos equidistantes de una progresión geométricaCalcular el producto de los primeros 5 términos de la progresión: 3, 6, 12, 24, 48, ...Series

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Toda "sucesión" tiene una "serie asociada” así: Ejemplo 1 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 … an Sucesión 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, … 1 (sucesión constante)

Serie s1 = a1 = 1__ s2 = a1+a2= 2____

s3 = a1+a2+a3 = 3____ s4 = a1+a2+a3+a4= 4_____

s5 = a1+a2+a3+a4+a5= 5_____ s6 = a1+a2+a3+a4+a5+a6= 6______

s7 = a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7= 7________ ……

sn = a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7 … + an = = n ______=> (serie de nº

naturales) Ejemplo 2 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 … an Sucesión 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, … n (sucesión nº naturales)

Serie s1 = a1 = 1__ s2 = a1+a2= 3____

s3 = a1+a2+a3 = 6____ s4 = a1+a2+a3+a4= 10____

s5 = a1+a2+a3+a4+a5= 15____ s6 = a1+a2+a3+a4+a5+a6= 21_____

s7 = a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7= 28_______ ……

sn = a1+a2+a3+a4+a7 … + an = = n(n+1)/2 ____=> (serie nº

triangulares)

Ejemplo 3 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 … an Sucesión 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, … … 2n-1 (sucesión nº impares)

Serie s1 = a1 = 1__ s2 = a1+a2= 4____

s3 = a1+a2+a3 = 9____ s4 = a1+a2+a3+a4= 16____

s5 = a1+a2+a3+a4+a5= 25____ s6 = a1+a2+a3+a4+a5+a6= 36_____

s7 = a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7= 49_______ ……

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sn = a1+a2+a3+a4+a7 … + an = = n2 __________=>(serie números

cuadrados)Cálculo del término general de una sucesión

1 Comprobar si la sucesión es una progresión aritmética.8, 3, -2, -7, -12, ...

d= -5

an= 8 + (n - 1) (-5) = 8 -5n +5 = -5n + 13

2 Comprobar si la sucesión es una progresión geométrica.3, 6, 12, 24, 48, ...

r= 2

an = 3· 2n- 1

3 Comprobar si los términos de la sucesión son cuadrados perfectos.

4, 9, 16, 25, 36, 49, ...

Observamos que las bases están en progresión aritmética, siendo d = 1, y el exponente es constante: bn= 2 + (n - 1) · 1 = 2 + n -1 = n+1

Por lo que el término general es: an= (n + 1)2

También nos podemos encontrar con sucesiones cuyos términos son números próximos a cuadrados perfectos.

5, 10, 17, 26, 37, 50 ... an= (n + 1)2+ 1

6, 11, 18, 27, 38, 51, ... an= (n + 1)2 + 2

3, 8, 15, 24, 35, 48, ... an= (n + 1)2 - 1

2, 7, 14, 23, 34, 47, ... an= (n + 1)2- 2

4 Si los términos de la sucesión cambian consecutivamente de signo.Si los términos impares son negativos y los pares positivos: Multiplicamos a n por (-1)n.

-4, 9, -16, 25, -36, 49, ... an= (-1)n(n + 1)2

Si los términos impares son positivos y los pares negativos: Multiplicamos a n por (-1)n- 1.

4, -9, 16, -25, 36, -49, ... an= (-1)n- 1(n + 1)2

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5 Si los términos de la sucesión son fraccionarios (no siendo una progresión). Se calcula el término general del numerador y denominador por separado.

a n= bn /cn 2/4, 5/9, 8/16, 11/25, 14/36,... an= (3n - 1)/(n + 1)2

II. Término General de una Sucesión

Se llama término general de una sucesión, y se simboliza con aun, al término que representa uno cualquiera de ella.

Hay sucesiones cuyo término general puede expresarse mediante una fórmula:

Dándole a n un cierto valor natural, se obtiene el término correspondiente.

En otras sucesiones, para hallar un término es necesario operar con dos o más de los anteriores y se llaman sucesiones recurrentes. Para hallar un término concreto hay que obtener, previamente, todos los anteriores.Ejemplos:1) 5; 8; 12; 17; 232) 42; 36; 28; 18; 6; 83) 1; 2 ;6 ; 24; 120; 720

III. Tipos De Sucesiones

a) Sucesión por RecurrenciaEn las cuales encontramos la serie Fibonacci. Es aquella en la cual se usa sus términos anteriores para formar el siguiente.

Ejemplo:1; 1; 2;3 ; 5; 8; 13; …….

b) Sucesiones Aritméticas

Ejemplos: 5; 8; 12; 17; 22;… 30; 28; 26; 24; 22;…

c) Sucesiones geométricas

Ejemplos: 5; 20; 80; 320; 1280;… 600; 300; 150; 75;…

d) Sucesiones combinadas

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Ejemplos: 0; 4; 8; 12; 24; 28;….. 30; 15; 20; 10; 15;…

e) Sucesiones alternadasSon las que se dan al intercalar don o más sucesiones que se rigen cada uno de ellas por su respectiva ley de formación.

Ejemplos: 6; 5; 8; 7; 11; 10; 15; 14; 20; 19

Solución1º) 6; 8; 11; 15; 202º) 5; 7; 10; 14; 19

2; 17; 2; 16; 4; 14; 12; 11; 48; 7Solución 1º) 2; 2; 4; 12; 482º) 17; 16; 14; 11; 7

f) Sucesiones LiteralesEs un conjunto de letras del abecedario, cuyo procedimiento es el mismo que el de una sucesión numérica.Se considera a la letra “CH” y “LL” cuando por lo menos una de ellas aparece como dato del problema.

Ejemplos: A; C; E; G; I; J A; CH; G; J; N; P

g) Sucesiones AlfanuméricasEs una sucesión donde convergen una sucesión numérica y una sucesión literal o alfanumérica, cada uno con respecto a la ley de formación.

Ejemplos: 1; C; 2; E; 4; I; 7; Ñ

Solución1º) 1; 2; 4; 72º) C; E; I; Ñ

h) Sucesiones graficasSe da por lo general en los gráficos circulares, cuya ley de formación puede ser en sentido horario o antihorario.Solución 4; 9; 16; 25; 36; XDonde x=36+13=49

IV. Termino EnésimoEs el término general mediante el cual se obtiene un término cualquiera de la sucesión en función de otros anteriores.Sucesiones y Progresiones Página 15 de 21

Este término será dado por la variable “n” que toma los valores de 1, 2, 3, …. y así sucesivamente donde se obtiene el primer, segundo,… y así sucesivamente el Enésimo Termino.

a) Sucesión LinealSe dice así cuando la razón es constante, cuya ley de formación o termino enésimo es dada por la siguiente sucesión:

b) Sucesión no Lineal Se dice cuando la razón de sus términos no son constantes

c) Sucesión CuadráticaSean los términos de una sucesión cuadrática:

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1 Hallar el término general de las siguientes sucesiones1  8, 3, -2, -7, -12, ...2  3, 6, 12, 24, 48, ...3  4, 9, 16, 25, 36, 49, ...4  5, 10, 17, 26, 37, 50, ...5  6, 11, 18, 27, 38, 51, ...6  3, 8, 15, 24, 35, 48, ...7  -4, 9, -16, 25, -36, 49, ...8  4, -9, 16, -25, 36, -49, ...9  2/4, 5/9, 8/16, 11/25, 14/36,...

10  2 Calcular el término general de las siguientes sucesiones:

1  

2  

3  4  

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5 

6  7  

8  

9 

10 

11  TÉRMINO GENERAL DE ALGUNAS SUCESIONES RECURRENTES:Veamos que, en determinados casos particulares, se puede averiguar el término general de una sucesión recurrente.Ecuación característica de una sucesión recurrenteSi una relación de recurrencia es del tipo: siendo los ci números reales, Se denomina ecuación característica de la relación a la expresión: Está claro que la sucesión  verifica la relación de recurrencia sii b es raíz de la ecuación característica. En general, si la ecuación tiene  raíces no nulas y distintas, entonces cualquier sucesión del tipo:

 , donde las ci son arbitrarias, verifica la relación de recurrencia. Si se dan k condiciones iniciales  , entonces se puede obtener una solución particular, pues estas condiciones determinan un sistema de ecuaciones lineales en las incógnitas ci:

Y al ser las raíces distintas y no nulas, el determinante de la matriz de los coeficientes, que es el producto de  por un determinante de Vandermonde, es diferente de cero y obtenemos una solución particular para An

Veamos, como ejemplo, cómo obtener el término general de la sucesión anterior:Una sucesión de Fibonacci viene definida en los términos

 ,la ecuación característica asociada es

.

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 Si concretamos en nuestro ejemplo del número de caminos, las condiciones iniciales son d1 = 1, d2 = 2. Tenemos así el

sistema 

cuyas soluciones son:  . Así pues, el término general de la sucesión viene dado por la reglarque se llama fórmula de Binet (1786-1856) porque que la obtuvo. Igual hicieron, de manera independiente, Moivre y D. Bernouilli.

Dado que  , tenemos que  Por lo tanto para n suficientemente grande.

Encuentra el término general de la secuencia 1, 2, 5, 14, 41, ... en la que cada término se obtiene multiplicando por cuatro el término anterior y restándole el triple del que está detrás de éste.

SUCESIONES Y PROGRESIONES

1.- Halla el noveno término de la progresión 5, 8, 11, 14, ...

2.- El primer término de una p. a. es 7 y el sexto es –3. ¿Cuál es la diferencia?. Calcula la suma de los 100 primeros términos de esta progresión.

3.- Halla el trigésimo término de la progresión 36, 18, 9, 4’5, .....

4.- Halla la suma de los infinitos términos de la progresión geométrica 2, 1, ½, ¼, .....

5.- Halla la suma de los 13 primeros términos de la p. g. cuyo primer término es a1=5 y cuya razón es r=2.

6.- Comprueba si las siguientes progresiones son aritméticas o geométricas. Escribe cuatro términos más de cada una de ellas. Calcula sus términos generales.

a) 2, 5, 8, 11, 14, ... b) 30, 28, 26, 24, 22, ...c) 8, -16, 32, -64, 128, ... d) 0, -5, -10, -15, -20, ...e) 7, 7, 7, 7, 7, ... f) –16, -15’5, -15, -14’5, -14, ...g) 1, 0’2, 0’04, 0’008, 0’0016,… h) 5, 10, 20, 40, …i) –3, -9, -27, -81, -243, … j) 2, -6, 18, -54, …

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7.- Compramos un televisor a plazos, y tenemos que pagar 63€ el primer mes; 69€ el segundo; 75€ el tercero, y así sucesivamente. El último mes pagamos 117€. ¿Durante cuántos meses hemos estado pagando?

8.- Juan envía dos postales a dos amigos el día 1 de enero, pidiéndoles que envíen a otros dos amigos dos postales el día primero del mes siguiente. Si no se rompe la cadena y los destinatarios son distintos, ¿cuántas postales se envían en un año?

9.- Una hoja de papel tiene aproximadamente un grosor de 0’13 mm. Supongamos que podemos hacer dobleces en ella de forma indefinida.

a) ¿Qué grosor alcanzará cuando hayamos hecho 10 dobleces?b) ¿Y después de hacer 20?c) Comprueba que si pudiéramos doblar la hoja por la mitad 42 veces, el

grosor resultante superaría la distancia de la Tierra a la Luna, que es de unos 384000 Km.

10.- Una moto cuesta 3000€. Cada año que pasa, por su uso y envejecimiento, pierde un 20% de su valor. ¿Por cuánto la podremos vender al cabo de diez años?

11.- Observa cómo se construye con palillos la siguiente sucesión de triángulos. Escribe la sucesión que indica el número de palillos necesarios para construir cada término y calcula el término general. ¿Qué tipo de sucesión es?

12.- Progresiones aritméticas de segundo orden:

a) 49, 64, 81, 100, 121, 144, ...

b) 2, 2, 4, 8, 14, ...

c) 9, 18, 31, 48, 69,...

d) 8, 24, 46, 74, 108,...

e) 7, 11, 19, 31, 47,...

f) -3, 0, 7, 18, 33,...

g) 3, 10, 23, 42, 67,...

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