Sucesión matemática

En terminología matemática se incluye sucesión para designar la existencia de elementos encadenados o sucesivos. Se excluye totalmente la sinonimia con el término serie. En textos académicos se suele llamar simplemente sucesión con el bien entendido que todas son del mismo tipo. Esto no impide la existencia de sucesiones de diversas entidades matemáticas. Cuando abundan sucesiones de todo tipo se puede cambiar incluso el nombre de sucesión por otro.

Definición abstracta

Clase de finitos o numerables objetos ordenados.

Definición conjuntista

Una sucesión en un conjunto X es una enumeración de elementos de X, es decir una aplicación de en X.

Notación

Notaremos por a una sucesión, donde x la identifica como distinta de otra

digamos .

La notación es permisiva en cuanto a su modificación si realmente es necesario.

Definición de término general

Llamaremos término general de una sucesión a ,donde indica el lugar que ocupa en dicha sucesión.

Definición de parcial

Llamaremos parcial de a una sucesión donde

Sucesiones numéricas

Habitualmente presentada como una aplicación de los naturales en los reales

Definición explícita del término general

Representación de una función (trazo continuo) y una sucesión (puntos rojos).

La definición es explícita si un está en función de n es decir un = f(n).

Representando en la figura los términos de la sucesión, los valores en ordenadas de los puntos rojos y en abscisas hay los enteros naturales .

Error grave, en ciertos círculos, es nombrar a la extensión en los reales de f por el mismo nombre como se aprecia en la figura, llamémosla por ejemplo P.

La función f(n) comparte propiedades con la extendida P(x) (por ejemplo: límites en el infinito, variaciones, extremos):

Si entonces también lo hace u. La recíproca es errónea, como lo muestra la función p(x) = sin(2πx) no tiene límite para mientras que un = f(n) es siempre 0 y u tiende por lo tanto hacia cero.

Si p es creciente en un intervalo [a, b] entonces u lo es para los valores enteros positivos del intervalo (o sea sobre [a, b] ∩ ).

En algunos casos un = f(n) no puede extenderse a . Es el caso si definimos un

como el número de factores propios de n por ejemplo, u otras funciones aritméticas, como la función fi de Euler o la Función de Möbius µ . El estudio clásico de las funciones, mediante la derivación, es entonces imposible.

Definición implícita del término general

La definición es implícita cuando un depende de otros términos de la sucesión, que se tendrán que calcular previamente.Dados u0, u1,..., un, podemos tener ui=f(u1,...,un) para i>n.

Es conocida la sucesión de Fibonacci definida por un=un-1+un-2 con n>1 y dado u0=0, u1=1.La fórmula que define un término con relación a los anteriores se llama relación de inducción.

Cuando el término general un sólo depende del término anterior , un-1, es decir cuando existe f tal que un = f(un-1) o; lo que viene a ser lo mismo un+1 = f(un) (para todo natural n), entonces existe un método gráfico de construirla, muy instructivo (ver imagen):

En un sistema de coordenadas se trazan la curva de f y la diagonal (de ecuación y = x). Se empieza por el punto de abscisa del eje horizontal uo y se sube (o baja) verticalmente hasta encontrar la curva de f. Como u1 = f(uo), la ordenada de este punto es u1. Sin embargo para obtener u2 necesitamos tener u1 en las abscisas. Por esto nos desplazamos horizontalmente hasta encontrar la diagonal. En la diagonal, abscisa y ordenada son iguales (por su ecuación y = x), luego bajamos hasta encontrar el eje de las abscisas lo que nos permite leer el valor de u1. A partir de ahí el proceso se repite igual, pues u2 = f(u1) etcétera.

En la práctica, basta trazar la escalera entre la curva y la diagonal para evidenciar el comportamiento de la sucesión ( creciente, decreciente u oscilatoria) y su eventual límite denotado l (ele): si es finito, tiene que ser la abscisa de un punto de intersección de la curva de f y de la diagonal porque tiene que verificar l = f(l), relación obtenida tomando el límite de un = f(un-1) ( con f continua). Si se acepta la

notación f(+ ∞) para designar el límite en el infinito, entonces la relación anterior se extiende tal cual a los infinitos.

Supongamos f continua y derivable en l, límite potencial de la sucesión. Entonces se puede predecir su comportamiento local cerca de l (es decir si un es próximo a l, como evoluciona la sucesión a partir de este término). Este comportamiento, en primera aproximación, sólo depende de f '(l), el valor derivado en l:

Los tipos de sucesiones más comunes son:

Las sucesiones aritméticas Las sucesiones geométricas

Las sucesiones aritmeticogeométricas

Las sucesiones aritméticas

Una sucesión aritmética puede ser definida como una función de n:

También puede ser definida por inducción de la siguiente forma:

Al número real r se le denomina razón de la sucesión (revision).

Si la razón es positiva, la sucesión crece, y tiende hacia + ∞. Si es negativa, decrece y tiende hacia - ∞. Si es nula, la sucesión es constante.

Ejemplo:

Existe una fórmula muy sencilla para sumar números en progresión aritmética (es decir términos sucesivos de una sucesión aritmética): se multiplica el término medio, que es el promedio de los términos extremos, por el número de términos. Esta fórmula toma las formas siguientes, según el contexto:

Como caso particular muy frecuente:

A veces lo más difícil es encontrar el número de términos para poder aplicar la fórmula. Si el primer término a sumar vale a, el último vale b, y la razón es r, entonces el número de términos en la suma es:

Por ejemplo, para la suma: S = 1492 + 1499 + 1506 + ... 2003 de términos

consecutivos de una sucesión de razón 7, encontramos

términos, y la suma es .

Las sucesiones geométricas

Una sucesión geométrica puede ser definida como función de n:

También puede ser definida por inducción de la siguiente forma:

Al número real r se le denomina también razón de la sucesión. A menudo se la denota q.

Ejemplo:

El comportamiento de la sucesión geométrica depende del signo del primer término y del valor de su razón.

Si la razón es positiva, entonces la sucesión es monótona, y tiene un aspecto muy regular, que se puede prolongar por una función de tipo exponencial de base r:

se prolonga en f(x) = b·rx.

Se distinguen cuatro casos, como se ve en la figura siguiente; las ordenadas de los puntos negros son los valores de la sucesión, y la curva representa la función:

Si la razón es negativa, entonces la sucesión es oscilante. Se distinguen dos casos en función de si r es menor que -1 ó no. El signo del primer término no modifica el aspecto general de la sucesión (cambiar de signo equivale a una simetría alrededor del eje horizontal, y aquí no se nota mucho). Las potencias rn

con r negativo no se generalizan a los reales, salvo convención particular, y por lo tanto no existe una función natural que prolongue la sucesión. En la figura siguiente se ha multiplicado la función |r|x por el factor cos πx para simular el cambio periódico de signo.

Si el término inicial es nulo, o si la razón vale -1, 0 ó 1, la sucesión no entra en la clasificación anterior, pero no importa pues en tal caso carece de interés.

Descartando estos casos particulares, se puede decir que la convergencia de la sucesión depende del valor absoluto de la razón:

si |r| > 1, no converge, y si |r| < 1, converge hacia cero.

Notemos q la razón, y supongamos q ≠ 1. Entonces la suma de números en progresión geométrica es dada por la fórmula siguiente, bajo tres formas equivalentes:

Si -1 < q < 1, la suma de todos los términos de la sucesión es: .

Fórmulas

Suponiendo que An sea el término cualquiera, Ak el término que ocupa la posición "k", y A1 el primer término de la sucesión:

Para hallar un término cualquiera en una sucesión geométrica, se debe usar:

Para sumar los "n" primeros términos de una sucesión geométrica:

Para sumar todos los números de una sucesión (Suma infinita): . Esta fórmula sólo es aplicable cuando

Para calcular el producto de los nº primeros términos de una sucesión:

Las sucesiones aritmeticogeométricas

Es, como lo indica su nombre, una mezcla de las dos definiciones anteriores. Se pueden definir por inducción de la siguiente forma:

La fórmula de inducción hace intervenir la suma de la sucesión aritmética, y el producto de la sucesión geométrica.

Descartemos los casos q = 1 (sucesión aritmética) y r = 0 (sucesión geométrica). Entonces se puede afirmar que el comportamiento de la sucesión es de tipo geométrico, y determinado por q, y que su carácter aritmético solo aparece como una translación.

Más precisamente, sea l el único número que verifica l = ql + r.

Si w0 = l (lo que equivale a w1 = w0 ) entonces w será una sucesión constante. Si no es fácil ver que v1 = wn - l es una sucesión geométrica (no nula) de razón q, y que por lo tanto:

si |q| > 1, w no converge (porque no lo hace v)si |q| < 1, w converge hacia l (porque v tiende hacia 0).

Lógicamente, la clasificación del párrafo anterior según los valores de q sigue siendo válida si trasladamos las curvas verticalmente de l unidades.

Serie matemática

En matemáticas, una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se

representa una serie con términos an como donde n es el índice final de la serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir,

Las series convergen o divergen. En cálculo, una serie diverge si no

existe o si tiende a infinito; converge si para algún .

Algunos tipos de series

Una serie geométrica es una serie en la cual cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante, llamada razón. Ejemplo (con constante 1/2):

En general, una serie geométrica, de razón z, es convergente, sólo si |z| < 1, a:

La serie armónica es la serie

La serie armónica es divergente. Una serie alternada es una serie donde los términos alternan el signo.

Ejemplo:

Una serie telescópica es la suma , donde an = bn − bn+1. Se representa de la siguiente manera:

La convergencia de dicha serie y su suma se pueden calcular fácilmente, ya que:

Una serie hipergeométrica1 es una serie de la forma , que cumple

que = .

Criterios de convergencia

Clasificar una serie es determinar si converge a un número real o si diverge ( u oscilante). Para esto existen distintos criterios que, aplicados a la serie en cuestión, mostrarán de que tipo es (convergente o divergente).

Condición del resto

Para que una serie sea divergente, una condición suficiente es que

.

Sin embargo, si resulta que , entonces la condición no da criterio acerca de su convergencia o divergencia y se tendrá que buscar metodos distintos para averiguar si converge o diverge.

Esta afirmación es muy útil, ya que nos ahorra trabajo en los criterios cuando el límite es distinto de cero.

Demostración:

Por Hipótesis:

Sk = a1 + a2 + ... + ak

para todo

Sabemos que Sk − 1 = a1 + a2 + ... + ak − 1 y que para todo

Por lo tanto teniendo en cuenta que Sk − Sk − 1 = ak entonces

Queda demostrada la proposición.

Criterio de D'Alembert o Criterio del Cociente (Criterio de la razón)

Sea una serie , tal que ak > 0 ( serie de términos positivos).

Si existe

con , el Criterio de D'Alembert establece que:

si L < 1, la serie converge. si L > 1, entonces la serie diverge.

si L = 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.

En este caso, es necesario probar otro criterio, como el criterio de Raabe.

Criterio de Cauchy (raíz enésima)

Sea una serie , tal que ak > 0 (serie de términos positivos). Y supongamos que existe

, siendo

Entonces, si:

L < 1, la serie es convergente. L > 1 entonces la serie es divergente.

L=1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de Raabe, o de comparación, para ver si podemos llegar a alguna conclusión.

Criterio de Raabe

En algunas series, puede ocurrir que ni el criterio de D'Alembert ni el de la raíz nos permitan determinar la convergencia o divergencia de la serie, entonces recurrimos al criterio de Raabe.

Sea una serie , tal que ak > 0 (serie de términos positivos). Y supongamos que existe

, siendo

Por tanto, si L > 1, entonces la serie es convergente y si L < 1, la serie es divergente

Tened cuidado aquí, pues las conclusiones son al contrario que en los criterios de D'Alembert y de la raíz.

Criterio de la integral de Cauchy

Si f(x) es una función positiva y monótonamente decreciente definida en el

intervalo [1, ∞) tal que f(n) = an para todo n, entonces converge si y sólo si

es finita.

Más generalmente, y para el tipo de función definida antes, pero en un intervalo [N,∞), la serie

converge sí y sólo sí la integral

converge.

Criterio de condensación de Cauchy

Sea una serie monótona de números positivos decrecientes. converge si y sólo si la serie

converge.

Criterio de Leibnitz

Una serie de la forma (con ) se llama alternada. Tal serie converge si se cumplen las siguientes condiciones:

a) para n par y n impar

b) La serie tiene que ser absolutamente decreciente es decir que:

Si esto se cumple la serie es condicionalmente convergente de lo contrario la serie diverge.

Nota:Se debe descartar primero la convergencia absoluta de antes de aplicar este criterio, usando los criterios para series positivas.

Criterios de convergencia comparativos

Son aplicables en caso de disponer de otra serie tal que se conozca su condición, tal como la divergencia para la serie geométrica. Entonces:

Criterio de comparación directa ( de la mayorante o de Gauss )

Si

Si converge converge

Si diverge diverge

Criterio de comparación por paso al límite del cociente

Entonces:

Si L = 0 y converge converge

Si y diverge diverge

En otro caso, ambas series comparten la misma condición (ambas convergen, o bien ambas son divergentes).

Serie de potencias

Definición

Una serie de potencias alrededor de x=0 es una serie de la forma:

Una serie de potencias alrededor de x=a es una serie de la forma:

En el cual el centro es a, y los coeficientes cn son constantes.

cn

Ejemplos

La serie geométrica es una serie de potencias absolutamente convergente si | x | < 1 y divergente si | x | > 1 ó | x | = 1

La serie de potencias es absolutamente convergente para todo

La serie de potencias solamente converge para x = 0

SUBTEMA 6.3.4.- Series de Taylor y Serie de McLaurin.

SERIES DE MCLAURIN Y TAYLOR:

Sea la fórmula de McLaurin

f(x)= f(0)+ f (0)x+

f (0)x

2!+...+

f (0)

n!x +R (x)

2 (n)n

n+1

siendo n+1

(n+1)n+1R (x)=

f (z)

(n+1)!x

con 0 < z < x.

Es decir

f(x)=f (0)

n!x +R (x)

0

n (n)n

n+1.

Llamaremos serie de MacLaurin asociada a una función f(x) a la expresión

0

(n)n 2

(n)n

f (0)

n!x = f(0)+ f (0)x+

f (0)

2!x +....+

f (0)

n!x +...

Esta serie describe exactamente a la función f(x) cuando coincida con la fórmula de McLaurin y para ello deberá cumplirse que:

1)Se trabaje en el intervalo de convergencia de la serie y

2)límn

R (x)= 0n+1 .

Ejemplo: Sea f(x) = ex

x

2 3 n z n+1e = 1+ x+

x

2!+x

3!+...+

x

n!+e x

(n+1)!

Veremos silímn

R (x)= 0n+1 .

límn

e x

(n+1)!= e lím

n

x

(n+1)!= e .0 = 0

z n+1z

n+1z

que límn

x

(n+1)!= 0

n+1

.

SERIE DE TAYLOR

De lo que se obtiene:

Si a = 0 entonces se habla de serie de Mc. Laurin.

Serie de Taylor

En matemáticas, la serie de Taylor de formula función f infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define con la siguiente suma:

sin(x) y aproximaciones de Taylor, con polinomios de grado 1, 3, 5, 7, 9, 11 y 13.

Aquí, n! es el factorial n y f (n)(a) indica la n-ésima derivada de f en el punto a.

Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor.

Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin.

Esta representación tiene tres ventajas importantes:

La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales.

Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función.

Es posible demostrar que, si es viable la transformación de una función a una serie de Taylor, es la óptima aproximación posible.

Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen alguna singularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x (véase Serie de Laurent. Por ejemplo f(x) = exp(−1/x²) se puede desarrollar como serie de Laurent.

DESARROLLO EN SERIE DE TAYLOR

Se ha visto que una serie de potencias representa una función ( su suma ) analítica en . A continuación se va a establecer un recíproco, fundamental en la teoría de funciones de variable compleja.

a) Teorema

Si f(z) es analítica en un círculo abierto , admite en dicho dominio

una representación en serie:

que podemos escribir: con .

Esta serie de potencias es el llamado desarrollo de f(z) en serie de Taylor en un

entorno de .

Si la serie de Taylor se conoce como serie de MacLaurin de f(z).

Series de Taylor notables

A continuación se enumeran algunas series de Taylor de funciones importantes. Todos los desarrollos son también válidos para valores complejos de x.

Función exponencial y logaritmo natural:

Serie geométrica:

Teorema del binomio:

Función trigonométrica:

Función hiperbólica:

Función W de Lambert:

Los números Bk que aparecen en los desarrollos de tan(x) y tanh(x) son Números de Bernoulli. Los valores C(α,n) del desarrollo del binomio son los coeficientes binomiales. Los Ek del desarrollo de sec(x) son Números de Euler.