Sede Huacho

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIRA DE

SISTEMAS

ESTADSTICA INFERENCIAL

TEMA: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

DOCENTE TUTOR

SUSANA (D) GUZMAN BENITES

ALUMNO

GRANADOS SANTOS JHOON HENRRY

SEMESTRE ACADMICO

2015-1

CICLO: III

Huacho, 30 de Mayo Del 201

CAPTULO I: PLANTEAMIENTO TERICO

1.1 Descripcin del Problema

En vista que no se ha realizado proyectos de investigacin con respecto al tema de

prueba del valor Z de la distribucin normal estndar en el colegio de Mara

Reyna - Huaral, por ende queremos dar a conocer si los dos alumnos nuevos del

primer grado de secundaria estn en la talla promedio o conforman un nuevo

grupo de medidas

1.2 Justificacin del Problema

Se desarrolla este trabajo de investigacin para saber que los alumnos que tienen

tallas entre 1.46 a 160.

1.3 Interrogantes 1.3.1 Interrogantes General

Cul es el valor Z para los alumnos que tienen tallas entre 1.46 a 1.60?

1.3.2 Interrogantes Especficas

Cul de los alumnos nuevos estn en la talla promedio del grupo de los dems

alumnos?

1.4 Objetivos

1.4.1 Objetivo General

Dar a conocer si los alumnos nuevos de primero grado de secundaria del colegio Mara Reyna - Huaral se encuentran dentro del promedio de todos los dems alumnos.

1.4.2 Objetivos Especficos

Conocer las caractersticas de la distribucin de probabilidad normal

Aprender a calcular los valores de Z

Aprender a utilizar en aplicaciones la distribucin de probabilidad normal

Saber determinar la probabilidad de que una observacin est por encima (o

por debajo) de un cierto valor utilizando la distribucin de probabilidad normal o

prueba del valor Z

CAPTULO II: MARCO TERICO

2.1 Antecedentes

2.1.1 Regional

2.2 Bases tericas

DISTRIBUCIN NORMAL

Sin duda la distribucin continua de probabilidad ms importante, por la frecuencia con

que se encuentra y por sus aplicaciones tericas, es la distribucin normal, gaussiana

o de Laplace- Gauss. Fue descubierta y publicada por primera vez en 1733 por De

Moivre. A la misma llegaron, de forma independiente, Laplace (1812) y Gauss (1809),

en relacin con la teora de los errores de observacin astronmica y fsica.

UTILIDAD

Caracteres morfolgicos de individuos (personas, animales, plantas,...) de una especie

(tallas, pesos, dimetros, permetros,...).

Caracteres sociolgicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un mismo grupo

de individuos, puntuaciones de examen,

Caracteres fisiolgicos, por ejemplo: efecto de una misma dosis de un frmaco.

Errores cometidos al medir

ciertas magnitudes.

Valores estadsticos mustrales, por ejemplo: la media.

Y en general cualquier caracterstica que se obtenga como suma de muchos factores.

Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson se aproximan

a la normal.

DISTRIBUCIN NORMAL O GAUSSIANA

Est caracterizada por dos parmetros: la media, y la desviacin tpica, .

Su funcin de densidad es:

La curva normal adopta un nmero infinito de formas, determinadas por sus

parmetros y .

CARACTERSTICAS DE LA DISTRIBUCIN NORMAL

Tiene forma de campana, es asinttica al eje de las abscisas (para x = )

Simtrica con respecto a la media () donde coinciden la mediana (Mn) y la

moda (Mo )

Los puntos de inflexin tienen como abscisas los valores

0) ( 2

1)(),(

2

2

2

)(

x

exPN

N(, ): Interpretacin geomtrica

Podemos interpretar la media como un factor de

traslacin.

Y la desviacin tpica como un factor de escala,

grado de dispersin,

N(,):INTERPRETACIN PROBABILISTA

Entre la media y una desviacin tpica

tenemos siempre la misma probabilidad:

aproximadamente el 68%.

Entre la media y dos desviaciones tpicas

aprox. 95%

Si tomamos intervalos centrados en , y cuyos extremos estn

a distancia , tenemos probabilidad 68%

a distancia 2 , tenemos probabilidad 95%

a distancia 25 tenemos probabilidad 99%

PRUEBA DEL VALOR Z

Cmo calcular probabilidades asociadas a una curva normal especfica?

Dado que tanto como pueden asumir infinitos valores lo que hace impracticable

tabular las probabilidades para todas las posibles distribuciones normales, se utiliza la

distribucin normal reducida o tipificada.

Se define una variable z =

Dnde: Z = valor estadstico de la curva normal de frecuencias. X = cualquier valor de una muestra estadstica.

= promedio o media aritmtica obtenido de la muestra estadstica, valor representativo. = desviacin estndar.

La nueva variable z se distribuye como una normal con media = 0 y desviacin

tpica = 1

Recordemos de nuevo que en cualquier distribucin normal las probabilidades

delimitadas entre:

x

z

TIPIFICACIN

Dada una variable de media y desviacin tpica , se denomina valor tipificado z, de

una observacin x, a la distancia (con signo) con respecto a la media, medido en

desviaciones tpicas, es decir:

En el caso de variable X normal, la interpretacin es clara: asigna a todo valor de N(,

), un valor de N(0,1) que deja exactamente la misma probabilidad por debajo.

Nos permite as comparar entre dos valores de dos distribuciones normales diferentes,

para saber cul de los dos es ms extremo.

PASOS PARA REOLVER UN EJERCICIO

1. Calcular el promedio y la desviacin estndar de las observaciones de la

muestra en estudio.

2. Del valor del cual se desea obtener una inferencia estadstica, calcular la

diferencia que existe con respecto al promedio: X - .

3. Dividir la diferencia calculada entre la desviacin estndar obtenida de la

muestra en estudio, que corresponde al valor Z.

4. Localizar el valor Z calculado, en la tabla de probabilidades asociadas con

valores tan extremos como los valores observados de Z en la distribucin

normal y obtener la probabilidad de que exista una magnitud de discrepancia

entre los valores X y .

5. Decidir si se acepta o rechaza la hiptesis.

EJEMPLO

Se quiere dar una beca a uno de dos estudiantes de sistemas educativos diferentes y

se asignar al que tenga mejor expediente acadmico:

El estudiante A tiene una calificacin de 8 en un sistema donde la calificacin de los

alumnos se comporta como N (6,1).

El estudiante B tiene una calificacin de 80 en un sistema donde la calificacin de los

alumnos se comporta como N (70,10).

No podemos comparar directamente 8 puntos de

A frente a los 80 de B, pero como ambas

poblaciones se comportan de modo normal,

podemos tipificar y observar las puntuaciones

sobre una distribucin de referencia N (0,1).

Como zA > zB, podemos decir que el porcentaje de

compaeros del mismo sistema de estudios que

ha superado en calificacin al estudiante A es

mayor que el que ha superado B. En principio A

es mejor candidato para la beca. 1

10

7080

21

68

B

xz

xz

BBB

A

AAA

CAMBIO DE VARIABLE TIPIFICADA A LA FUNCIN DE DISTRIBUCIN F(X):

Las probabilidades de la variable tipificada (z) estn tabuladas para los diferentes

valores de la variable. Para calcular probabilidades, una vez transformada, la variable

a valores de z, se busca en una tabla el rea correspondiente.

CARACTERSTICA DE LA DISTRIBUCIN NORMAL TIPIFICADA

(Reducida o estndar)

No depende de ningn parmetro.

Su media es 0, su varianza es 1 y su desviacin tpica es 1.

La curva f(x) es simtrica respecto al eje de ordenadas y tiene un mximo en

este eje.

Tiene dos puntos de inflexin en z =1 y z = -1.

2

1)(

2

2

2

)(

dvexF

x v

duezZpzF

zezp

z

2

u

2

z

2

2

2

1)()(

;2

1)(

Hay varios tipos de tablas de la distribucin normal la que se explica aqu representa

las reas para los diferentes valores de z desde 0 hasta +.

La tabla consta de:

Margen izquierdo: Los enteros de z y su primer decimal.

Margen superior: segundo decimal

Cuerpo de la tabla: reas correspondientes, acumuladas, desde 0 hasta 3.99

EJEMPLO 2

1. Cul es la probabilidad de que un valor de z est entre 0 y -2.03?

Se busca en la tabla el rea correspondiente a z = 2.03

2. Determine la probabilidad de que una persona tenga un peso menor o igual a

150 libras

Paso 1.-

Interpretar grficamente el rea de inters. Grficamente si decimos que a=150

libras, el rea de la curva que nos interesa es la siguiente:

Pas 2.- Determinar el valor Z:

Paso 3.- Buscar en la tabla de probabilidades.

Buscamos en la Tabla 1 el valor Z=0.50 y obtenemos el rea de 0.6915

Paso 4.- Hacer la suma o resta de reas para encontrar la probabilidad deseada.

En este ejemplo no es necesario realizar ningn cmputo adicional ya que el rea es

la misma que se representa en la Tabla

50.020

140150

XZ

APLICACION:

En el aula de primero de secundaria se realiz el promedio de las tallas de los

alumnos pero recientemente se aadieron 2 alumnos. Se est interesado en saber si

las tallas de los dos alumnos corresponden a esta poblacin y qu tanto difiere del

grupo de los dems alumnos.

Las tallas de los alumnos estudiados se encuentran listados del ms bajo al ms alto

en la tabla1, y se ha marcado los puntos donde se localizan la media aritmtica, la

mediana y la moda. Las tallas de los alumnos que se desea agregar son de tallas 1.46

y 1.60 metros.

Tabla 1

Tabla 2

Alvares Osorio Gittel 1,45

Chau Anda Maria Fernanda 1,45

Quispe Huanca Eddy 1,46

Ochoa Medina Adrian 1,47

Arias Higa Yuriko 1,50

Lloclle Huayhuas Israel 1,51

Diaz Vizcarra Yosmark 1,53

Laura Chillcce Ivonne 1,53

Ochoa Aymara Ernesto 1,53

Ortiz Valdez Renso 1,53 Mediana, Moda, M.A

Rodriguez Huancollo Sergio 1,53

Umpire Llutari Karla 1,53

Lazo Villanueva Manuel 1,56

Cutipa Alvis Jimena 1,56

Qqueso Pumacayo Cristopher 1,57

Revilla Mendoza Mijael 1,58

Tuni Mamani Harold 1,59

Zegarra Ramirez Diana 1,59

Benavides Romero Zelith 1,60

Estadsticos

tallas de los alumnos

N Vlidos 19

Perdidos 0

Media 1,5300

Mediana 1,5300

Moda 1,53

tallas de los alumnos

Frecuenci

a

Porcentaj

e

Porcentaje

vlido

Porcentaje

acumulado

Vlidos

1,45 2 10,5 10,5 10,5

1,46 1 5,3 5,3 15,8

1,47 1 5,3 5,3 21,1

1,50 1 5,3 5,3 26,3

1,51 1 5,3 5,3 31,6

1,53 6 31,6 31,6 63,2

1,56 2 10,5 10,5 73,7

1,57 1 5,3 5,3 78,9

1,58 1 5,3 5,3 84,2

1,59 2 10,5 10,5 94,7

1,60 1 5,3 5,3 100,0

Total 19 100,0 100,0

Alvares Osorio Gittel 1,45

Benavides Romero Zelith 1,60

Chau Anda Maria Fernanda 1,45

Diaz Vizcarra Yosmark 1,53

Laura Chillcce Ivonne 1,53

Lazo Villanueva Manuel 1,56

Lloclle Huayhuas Israel 1,51

Ochoa Medina Adrian 1,47

Ochoa Aymara Ernesto 1,53

Ortiz Valdez Renso 1,53

Qqueso Pumacayo Cristopher 1,57

Quispe Huanca Eddy 1,46

Revilla Mendoza Mijael 1,58

Rodriguez Huancollo Sergio 1,53

Tuni Mamani Harold 1,59

Umpire Llutari Karla 1,53

Zegarra Ramirez Diana 1,59

Arias Higa Yuriko 1,50

Cutipa Alvis Jimena 1,56

Eleccin de la prueba estadstica.

El modelo de investigacin tiene una muestra. Las mediciones de la tabla anterior son

cuantitativas, de variable continua, por lo tanto, tienen una escala de intervalo. Los

intervalos entre una talla menor y otra mayor y entre todos los valores parecen no

diferir notoriamente y permiten suponer que se distribuyen normalmente.

Planteamiento de la hiptesis.

Hiptesis alterna (Ha). Las tallas corporales de los dos alumnos nuevos (1.46 y 1.60

metros) difieren significativamente del promedio, por lo tanto, no corresponden a la

poblacin.

Hiptesis nula (Ho). Las diferencias de las tallas de los dos alumnos nuevos se deben

al azar, por lo cual no hay diferencias significativas y corresponden a la misma

poblacin.

Nivel de significacin.

Para todo valor de probabilidad igual o menor que 0.05, se acepta Ha y se

rechaza Ho.

Zona de rechazo.

Para todo valor de probabilidad mayor que 0.05, se acepta Ho y se rechaza Ha.

Aplicacin de la prueba estadstica.

Tomando en cuenta el paso, se calcula el promedio o media aritmtica. De

acuerdo con la siguiente frmula:

( ) ( ) ( ) ( )

La desviacin estndar se calcula con la ecuacin siguiente:

frecuencia X Fx Fx2

2 1,45 2,90 4,21

1 1,46 1,46 2,13

1 1,47 1,47 2,16

1 1,50 1,50 2,25

1 1,51 1,51 2,28

6 1,53 9,18 14,05

2 1,56 3,12 4,87

1 1,57 1,57 2,46

1 1,58 1,58 2,50

2 1,59 3,18 5,06

1 1,60 1,60 2,56

Total 29,07 44,52

Una vez calculados el promedio y la desviacin estndar, se calcula el valor Z.

En la tabla de probabilidades asociadas en valores extremos como los de 2 en la

distribucin normal, se busca la localizacin de los valores Z1 y Z2 calculados, a fin de

obtener la probabilidad de su magnitud de discrepancia con respecto a la media

aritmtica.

El primer valor de Z1 es de modo que se localiza el 1.4 y en la interseccin

de la columna 0.05, correspondiente a las centsimas, se observa el valor 0.4265.

Esta es la probabilidad de que el valor 1,46 metros pertenezca a la poblacin de tallas

corporales, donde el promedio es 1.53 metros y la desviacin estndar 0.048.

El segundo valor de Z2 es , de manera que en la tabla se observa esa cifra el

mismo valor 0.4265.

Decisin:

El valor de Z1 la probabilidad es aproximadamente de 0.42. Para este caso, se acepta

Ho y se rechaza Ha. Para el valor de Z2, la probabilidad es igual a Z1, pero de

cualquier manera mayor que el nivel de significancia, el cual se ubica en la zona de

rechazo. Se acepta Ho y se rechaza Ha.

Interpretacin:

La talla del alumno que tiene 1.46 metros est dentro del promedio, a un nivel de

confianza mayor que 0.05; y tambin, el otro alumno est a un nivel de confianza

mayor que 0.05, lo cual significa que est dentro de la poblacin de tallas similares.

La siguiente figura contiene tanto el polgono de frecuencias en funcin de una serie

de clases elaboradas con las observaciones de 19 tallas, como los lmites de las

desviaciones estndar con respecto al promedio. Los valores Z de las dos tallas

problema se dibujan con dos flechas, de acuerdo con los valores de talla que

corresponden. La Z1 se encuentra por fuera de -1 desviacin estndar. Para ser ms

precisos, tiene desviaciones estndar, igual al valor Z; en cambio, el valor

Z2 tiene desviaciones estndar y se encuentra dentro del lmite de +2

desviaciones estndar. Cabe recordar que +1 y -1 desviaciones estndar se

encuentran aproximadamente en el 68% de las mediciones y -2 a 2 desviaciones

estndar se encuentran aproximadamente en el 95% de las mediciones

Con todo lo anterior se comprende el significado del valor Z en la curva normal de

frecuencias: es el nmero de desviaciones estndar que se desvan con respecto al

promedio o media aritmtica.

Est caracterizada por dos parmetros: La media, , y la desviacin estndar, . Su funcin de densidad es:

Entre la media y una desviacin estndar a tenemos siempre la misma probabilidad:

aprox. 68%

-3 3

X=1.53

4. BIBLIOGRAFIA

Miguel Angel, T. (2009). Mienbro de la Camara Nacional de la Editorial

Mexico,Cuarta edicion. Theory and Problems of Statistics.

Mark, L. (2009).Estadstica para la administracin.

Escuela Politcnica del Ejercito.(2010) Prueba De la Z Estadstica Disponible

en:

www.vitutor.net/1/55.html