seminario de tesis sandra

Índice general

Página

Introducción 2

1. Preliminares 3

1.1. Conceptos necesarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1. Variedades Diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2. Métricas Riemannianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.3. Conexión Afín . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.4. Conexión Riemanniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2. Geodésicas Riemannianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.1. La aplicación exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2. Curvatura y Campos de Jacobi 19

2.1. Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.1. Operador curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.2. Curvatura seccional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2. Campos de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2.1. La ecuación de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2.2. Calculo de Campos de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Aplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Conclusiones 36

Bibliografía 37

1

Introducción

En este seminario de Tesis 2, estudiaremos conceptos de Geometría Riemannia-

na. Sin embargo el objetivo del presente Trabajo es: Utilizar el conocimiento previo

sobre variedades diferenciables para el desarrollo de algunos conceptos de la geome-

tría Riemanniana. Se desarrollará el concepto de conexión, derivada covariante. Estos

conceptos se utilizarán para el estudio de las geodésicas. Se introducirá el operador

curvatura y la función curvatura seccional. Luego veremos los Campos de Jacobi, don-

de, comenzamos mediante la derivación de la ecuación de Jacobi, que es una ecuación

diferencial ordinaria satisfecho por el campo de variación de cualquier familia de un

sólo parámetro de geodésicas. Un campo vectorial que satisface esta ecuación a lo largo

de una geodésica se llama un campo de Jacobi.

A continuación se presentan un breve resumen de los contenidos de cada capítulo.

En el Capítulo 1 Tiene por objetivo explorar conceptos básicos de Geometría Rie-

manniana que serán utilizados en el Capítulo 2 para entender los Campos de Jacobi.

Los principales tópicos que se estudian son métricas y conexiones riemannianas y tam-

bién geodésicas riemannianas, debemos señalar que en este capítulo no se presentan

demostraciones de los resultados que se mencionan, debido a que estos son muy co-

nocidos y existe una extensa literatura en donde pueden ser consultados, por ejemplo

([2]), ([3]).

En el Capítulo 2 se estudia Curvatura y Campos de Jacobi, este capítulo aborda la

de�nición de curvatura en función de la conexión riemanniana y propiedades de curva-

tura, presentaremos algunos ejemplos elementales. También obtendremos una primera

relación entre los dos conceptos básicos, estos son, geodésicas y curvatura. Para pro-

porcionar la relación anterior introduciremos los llamados campos de Jacobi, el cual es

el principal resultado que se estudia en este trabajo.

2

Capítulo 1

Preliminares

En este capítulo serán revisados algunos conceptos básicos de geometría rieman-

niana que serán utilizados en el capítulo 2 para las pruebas de los Campos de Jaco-

bi. Los principales tópicos que abordamos son variedades y conexiones riemannianas,

geodésicas en una variedad riemanniana. Debemos señalar que en este capítulo no se

presentan demostraciones de los resultados que se mencionan, debido a que estos son

muy conocidos y existe una extensa literatura en donde pueden ser consultados.

1.1. Conceptos necesarios

1.1.1. Variedades Diferenciables

Recordemos que una variedad topógica n-dimensional es un espacio hausdor� con

una base numerable de conjuntos abiertos tal que cada punto posee una vecindad ho-

meomorfo a un subconjunto abierto de Rn. Cada par (U,ϕ), donde U es un subconjunto

abierto de Rn y ϕ : U → ϕ (U) ⊂ M es un homeomor�smo de U en un subconjun-

to abierto de M , se llama una parametrización. El inverso ϕ−1se llama un sistema

de coordenada o carta, y el conjunto ϕ (U) ⊂ M se llama una vecindad coordenada.

Cuando dos vecindades coordenadas tienen puntos en común, tenemos formulas para

el cambio de coordenada asociado. La idea de obtener variedades diferenciables será

elegir un subconjunto de parametrizaciones de modo que los cambios de coordenadas

son funciones diferenciables, dicha de�nición se enuncia de la siguiente manera.

De�nición 1.1. Una variedad diferenciable de dimensión n es una variedad topológica

de dimensión n y una familia de parametrizaciones ϕα : Uα →M de�nida en conjuntos

abiertos Uα ⊂ Rn, tal que:

i. las vecindades coordenadas cubren M , es decir,⋃α

ϕα (Uα) = M ;

3

ii. para cada par de índices α, β tal que

W := ϕα (Uα) ∩ ϕβ (Uβ) 6= φ,

las aplicaciones

ϕ−1β ◦ ϕα : ϕ−1α (W )→ ϕ−1β (W )

ϕ−1α ◦ ϕβ : ϕ−1β (W )→ ϕ−1α (W )

son C∞;

iii. La familia A = {(Uα, ϕα)} es maximal con respecto a (i.) y (ii.), lo que signi�ca

que si ϕ0 : U0 →M es una parametrización tal que ϕ−10 ◦ϕ y ϕ−1◦ϕ0 son C∞para

todo ϕ en A, entonces (U0, ϕ0) está en A.

1.1.2. Métricas Riemannianas

En esta subsección se de�ne el concepto de métrica riemanniana en una variedad

diferenciable, el cual enunciamos a continuación.

De�nición 1.2. Sea M una variedad diferenciable de dimensión n. Una métrica rie-

manniana (o estructura riemanniana) en M es una correspondencia que asocia a cada

punto p ∈ M un producto interno 〈, 〉p (esto es, una forma bilineal simétrica, de�nida

positiva) en el espacio tangente TpM que varia difernciablemente con p en el sentido

de que si ϕ : U ⊂ Rn → M es un sistema de coordenadas locales en torno de p, con

ϕ (x1, x2, ..., xn) = p ∈ ϕ (U) y{

∂∂x1

(p) , ..., ∂∂xn

(p)}es la base coordenada de TpM con

∂∂xi

(p) = dϕx (~ei) = dϕx (0, ..., 1, ..,0), entonces las funciones gij : ϕ (U)→ R de�nidas

por

gij (p) =

⟨∂

∂xi(p) ,

∂

∂xj(p)

⟩p

(1.1.1)

son diferenciables. Las funciones gij (= gji) son llamadas expresión de la métrica rie-

manniana en el sistema de coordenadas ϕ : U ⊂ Rn → M . Una variedad diferenciable

M equipado con una métrica riemanniana 〈, 〉 se llama una variedad riemanniana, y

es denotado por (M, 〈, 〉).

Ejemplo 1.3. Veamos los siguientes dos ejemplos de variedades riemannianas.

1. El ejemplo mas simple de una variedad riemanniana es obviamente el espacio

euclidiano de dimensión n con su métrica euclidiana 〈, 〉, que es sólo el producto

interno canónico en cada espacio tangente TpRn bajo la identi�cación natural

TpRn = Rn. Con ∂∂xi

identi�cado con ~ei = (0, ..., 1, ..., 0). La métrica es entonces

de�nido por:

gij = 〈~ei, ~ej〉 = δij,

4

donde

δij =

{1 para i = j

0 para i 6= j

es el símbolo estándar de kronecker.

2. (El espacio hiperbólico n-dimensional). Considere el semiespacio superior de Rn

Hn = {(x1, ..., xn) ∈ Rn | xn > 0} .

Con la topología inducida como abierto de Rn, Hn es una variedad diferenciable

de dimensión n. Si de�nimos directamente en Hn la métrica

gij (x1, ..., xn) =δij

(xn)2

entonces Hn es una variedad riemanniana llamada el espacio hiperbólico de di-

mensión n.

La siguiente de�nición se re�ere a isometría entre dos variedades riemannianas. Esta

de�nición nos garantiza que dos variedades riemannianas serán considerados como lo

mismo si ellos son isométricos.

De�nición 1.4. Sean M y N variedades riemannianas. Un difeomor�smo f : M → N

(esto es, f es una biyección diferenciable con inversa diferenciable) es llamado una

isometría si:

〈u, v〉p = 〈dfp (u) , dfp (v)〉f(p) (1.1.2)

para todos u, v ∈ TpM y para todo p ∈M . En este caso f−1es una isometría también.

Ejemplo 1.5. La aplicación antípoda A : Sn → Sn de�nida por A (x) = −x es una

isometría de Sn.Veamos, A ◦ A (x) = A (A (x)) = A (−x) = x entonces A ◦ A = id, luego A = A−1,

esto es, A es una biyección, note, también que A es diferenciable, pues cada función

coordenada es diferenciable y que ∂Ai∂xj

= −δij. Así, dAx (v) = −v, v ∈ TxSn. Sean

x ∈ Sn y u, v ∈ TxSn, entonces:

〈dAx (u) , dAx (v)〉A(x) = 〈−u,−v〉−x= 〈u, v〉−x= 〈u, v〉x

la última igualdad es considerando la métrica inducida de Rn+1. Luego la aplicación

antípoda A : Sn → Sn es una isometría.

5

1.1.3. Conexión Afín

El nombre conexión se re�ere exactamente a la idea de identi�car (�conectar�) lo-

calmente los espacios tangentes de una variedad. Si X y Y son campos vectoriales en

espacios euclidianos, podemos de�nir la derivada direccional ∇XY de Y en la dirección

de X. Esta de�nición, sin embargo, utiliza la existencia de coordenadas cartesianas,

que ya no se sostiene en una variedad general. Para superar esta di�cultad debemos

introducir más estructura. Aquí es donde entra en juego una conexión: será una pieza

adicional de datos en una variedad, una regla para el calculo de las derivadas direc-

cionales de campos vectoriales, el cual se de�ne a continuación. Dada una variedad

diferenciable M , denotaremos por X (M) al conjunto de campos vectoriales de clase

C∞ en M y por D (M) el anillo de las funciones reales de clase C∞ en M .

De�nición 1.6. Sea M una variedad diferenciable. Una conexión afín ∇ en M es una

aplicación

∇ : X (M)×X (M)→ X (M)

denotada por (X, Y )→ ∇XY que satisface las siguientes propiedades:

i. ∇fX+gYZ = f∇XZ+g∇YZ,

ii. ∇X (Y + Z) = ∇XY +∇XZ,

iii. ∇X (fY ) = f∇XY +X (f)Y , donde X, Y, Z ∈ X (M) y f, g ∈ D (M).

El símbolo ∇ se lee �nabla� y ∇XY debe ser interpretado como la derivada direccional

del campo Y en la dirección X. El resultado a seguir refuerza esta idea:

Observación 1.7. La∇XY (p) depende solo del valor de X (p) y del valor de Y a lo largo

de una curva tangente a X en p. En efecto, de la parte (iii.) de la De�nición 1.6 sigue

que el valor de ∇XY (p) solo depende del comportamiento de X y Y en una vecindad

de p. Escogiendo un sistema de coordenadas (U,ϕ) en torno de p ∈M y escribiendo

X |U=n∑i=1

aiXi, Y |U=n∑j=1

bjXj

donde Xi = ∂∂xi

y ai, bj : U → R son funciones de U en R, i, j = 1, ..., n, tenemos

∇XY |U =n∑i=1

ai∇Xi

(n∑j=1

bjXj

)

=n∑

i,j=1

aibj∇XiXj +n∑

i,j=1

aiXi (bj)Xj.

haciendo ∇XiXj en términos de esta misma estructura:

6

∇XiXj =n∑k=1

ΓkijXk (1.1.3)

Esto de�ne n3 funciones diferenciables Γkij : U → R, llamado los símbolos de chris-

to�el de ∇ con respecto a esta estructura, Entonces concluimos que,

∇XY (p) =n∑k=1

(∑i,j

ai (p) bj (p) Γkij +X (bk) (p)

)Xk (p) ,

lo que muestra que ∇XY (p) depende de ai (p), bk (p) y de la derivada de bk por X (p).

Observe también que localmente, una conexión afín se determina unicamente especi�-

cando sus símbolos de christo�el en una vecindad coordenada. Sin embargo, la selección

de los símbolos de christo�el en diferentes cartas no son independientes.

En el siguiente ejemplo se ilustra la idea de la De�nición 1.6

Ejemplo 1.8. Identi�cando espacios tangentes en Rn con el propio Rn, vectores tan-

gentes con vectores en Rn y campos vectoriales en Rn con aplicaciones diferenciables

Rn → Rn, de�nimos la conexión euclidiana ∇ : X (Rn)×X (Rn)→ X (Rn) por

∇XY (p) = dYp (X (p)) ,

osea, la derivada direccional del campo Y en p en la dirección de X (p). Es fácil veri�car

que la conexión euclidiana satisface todas las condiciones de la De�nición 1.6 y observe

que Γkij = 0, para todo i, j, k ∈ {1, ..., n}.

Sin más, una curva en una variedad M signi�ca siempre para nosotros una curva

diferenciable, parametrizada; es decir, una aplicación diferenciable γ : I → M , donde

I ⊂ R es algún intervalo. A menos que se especi�que lo contrario. Un segmento de

curva es una curva cuyo dominio es un intervalo cerrado [a, b] ⊂ R.Un campo vectorial a lo largo de una curva γ : I → M es una aplicación

V : I → TM tal que V (t) ∈ Tγ(t)M para cada t ∈ I. Se dice que V es diferenciable

si para toda función diferenciable f en M , la función t → V (t) f es una función

diferenciable en I. Un ejemplo obvio es el vector velocidad dγdt∈ Tγ(t)M , es llamado

campo velocidad (o tangente) de γ.

Ahora podemos abordar la pregunta que originalmente motivó la de�nición de co-

nexión: ?cómo podemos dar sentido a la derivada direccional de un campo vectorial a

lo largo de una curva?

Proposición 1.9. Sea M una variedad diferenciable con una conexión afín ∇. En-tonces existe una única correspondencia que asocia a un campo vectorial V a lo largo

de una curva diferenciable γ : I → M un otro campo vectorial DVdt

a lo largo de γ,

denominado derivada covariante de V a lo largo de γ, tal que:

7

a) Ddt

(V +W ) = DVdt

+ DWdt

, donde W es un campo vectorial a lo largo de γ.

b) Ddt

(fV ) = dfdt

+ f DVdt, donde f es una función diferenciable en I.

c) Si V es inducido por un campo de vectores Y ∈ X (M), es decir, V (t) = Y (γ (t)),

entonces DVdt

= ∇ dγdtY .

Demostración. La demostración de este resultado puede ser encontrado en [2].

La noción de paralelismo surge ahora de manera natural.

De�nición 1.10. Sea M una variedad diferenciable con una conexión afín ∇. Un

campo vectorial V a lo largo de una curva γ : I →M se llama paralelo cuando DVdt

= 0,

para todo t ∈ I.

1.1.4. Conexión Riemanniana

En el caso de una variedad riemanniana, hay una elección particular de conexión,

llamada la conexión de Levi-Civita, con propiedades geométricas especiales; el cual

enunciaremos, para tal �n damos las de�niciones de conexión compatible y conexión

simétrica, dichas de�niciones se enuncian de la siguiente manera.

De�nición 1.11. Sea M una variedad diferenciable con una conexión afín ∇ y una

métrica riemanniana 〈, 〉. La conexión es dicha compatible con la métrica 〈, 〉, cuandopara toda curva diferenciable γ en M y cualesquiera par de campos vectoriales paralelos

V y W a lo largo de γ, tuviéramos 〈V,W 〉 = constante.

La De�nición 1.11 está justi�cada por la proposición siguiente que muestra que si

la ∇ es compatible con la 〈, 〉, entonces podemos diferenciar el producto interno por la

�regla del producto� usual.

Proposición 1.12. Sea M una variedad riemanniana. Una conexión ∇ en M es com-

patible con la métrica si y sólo si para todo par V y W de campos vectoriales a lo largo

de una curva diferenciable γ : I →M se tiene

d

dt〈V,W 〉 =

⟨DV

dt,W

⟩+

⟨V,DW

dt

⟩, t ∈ I (1.1.4)


De�nición 1.13. Una conexión ∇ en una variedad riemanniana (M, 〈, 〉) se dice que

es compatible con la métrica si

X 〈Y, Z〉 = 〈∇XY, Z〉+ 〈Y,∇XZ〉 , X, Y, Z ∈ X (M) (1.1.5)

8

De�nición 1.14. Una conexión afín ∇ en una variedad diferenciable M se dice que

es simétrica cuando

∇XY −∇YX = [X, Y ] ∀X, Y ∈ X (M) (1.1.6)

Observación 1.15. En un sistema de coordenadas (U,ϕ), el hecho de que la ∇ sea

simétrica implica que para todo 1 ≤ i, j ≤ n

∇XiXj −∇XjXi = [Xi, Xj] = 0, Xi =∂

∂xi(1.1.7)

lo cual justi�ca la terminología (observe que (1.1.7) es equivalente al hecho de que

Γkij = Γkji para todo 1 ≤ i, j, k ≤ n ).

A continuación enunciamos el teorema fundamental de esta subsección cuya demos-

tración puede ser encontrado en [2].

Teorema 1.16. (Levi-Civita). Dada una variedad riemanniana M , existe una única

conexión afín ∇ en M satisfaciendo las condiciones:

a) ∇ es simétrica

b) ∇ es compatible con la métrica riemanniana.

La conexión dada por el Teorema 1.16 es denominada conexión de Levi-Civita (o

riemanniana) de M . En un sistema de coordenadas (U,ϕ), los símbolos de christo�el

para esta conexión en términos de gij (dados por la métrica) son

Γkij =1

2

n∑m=1

{∂

∂xigjm +

∂

∂xjgim −

∂

∂xmgij

}gkm (1.1.8)

donde la matriz(gkm)

= (gmk)−1.

Se procede a ilustrar la idea anterior con los siguientes ejemplos.

Ejemplo 1.17. Sea Rn está equipado con la métrica euclidiana estándar, es decir,[gij

]= In. Dado que todos los componentes gij = δij, donde δij es el símbolo estándar

de kronecker, tenemos, por la ecuación (1.1.8), que

Γkij = 0

para todo i, j, k.

Consecuentemente de la expresión local de ∇, ilustraremos el Teorema 1.16 con el

siguiente ejemplo .

9

Ejemplo 1.18. (Conexión riemannniana en Rn) La conexión euclidiana de�nida en

el Ejemplo 1.8 es la conexión riemanniana de Rn con la métrica euclidiana estándar.

Efectivamente, la conexión es compatible con la métrica y es simétrica, la prueba de

esta deducción se puede consultar en ( [3]).

Ahora ilustraremos otro ejemplo de conexión riemanniana ∇ en el plano hiperbólico

H2.

Ejemplo 1.19. Sea H2 = {(x1, x2) ∈ R2 | x2 > 0} está equipado con la métrica

gij (x1, x2) =δij

(x2)2

donde δij es el símbolo estándar de kronecker, es decir,

[gij

]=

[1x22

0

0 1x22

],[gji]

=

[x22 0

0 x22

],

por lo tanto, la ecuación (1.1.8) es simpli�cado a

Γkij =1

2

{∂

∂xigjk +

∂

∂xjgik −

∂

∂xkgij

}gkk

obviamente tenemos∂

∂xjgik = − 2

x32

∂x2∂xj

δik

entonces

Γkij =1

2

{− 2

x32

∂x2∂xi

δjk −2

x32

∂x2∂xj

δik +2

x32

∂x2∂xk

δij

}x22

= − 1

x2

(∂x2∂xi

δjk +∂x2∂xj

δik −∂x2∂xk

δij

)inmediatamente obtenemos

Γ111 = Γ1

22 = Γ212 = Γ2

21 = 0

Γ211 = −Γ1

12 = −Γ121 = −Γ2

22 =1

x2

a continuación vamos a determinar la conexión riemanniana ∇ de H2. Dados X, Y ∈X (H2), si p = (x1, x2) ∈ H2 entonces X (p) = (a1 (p) , a2 (p)) y Y (p) = (b1 (p) , b2 (p)),

es decir, X = a1∂∂x1

+a2∂∂x2

, Y = b1∂∂x1

+b2∂∂x2

. Luego, tenemos, por la ecuación (1.1.3),

que

∇ ∂∂xi

∂

∂xj= Γ1

ij

∂

∂x1+ Γ2

ij

∂

∂x2

10

entonces

∇ ∂∂x1

∂

∂x1=

1

x2

∂

∂x2

∇ ∂∂x2

∂

∂x1= ∇ ∂

∂x1

∂

∂x2= − 1

x2

∂

∂x1

∇ ∂∂x2

∂

∂x2= − 1

x2

∂

∂x2

ahora

∇XY = ∇a1∂∂x1

+a2∂∂x2

(b1

∂

∂x1+ b2

∂

∂x2

)= a1b1∇ ∂

∂x1

∂

∂x1+ a1

(∂b1∂x1

)∂

∂x1+ a1b2∇ ∂

∂x1

∂

∂x2+ a1

(∂b2∂x1

)∂

∂x2+

a2b1∇ ∂∂x2

∂

∂x1+ a2

(∂b1∂x2

)∂

∂x1+ a2b2∇ ∂

∂x2

∂

∂x2+ a2

(∂b2∂x2

)∂

∂x2

= a1b11

x2

∂

∂x2+ a1

(∂b1∂x1

)∂

∂x1− a1b2

1

x2

∂

∂x1+ a1

(∂b2∂x1

)∂

x2−

a2b11

x2

∂

∂x1+ a2

(∂b1∂x2

)∂

∂x1− a2b2

1

x2

∂

∂x2+ a2

(∂b2∂x2

)∂

∂x2

=2∑j=1

(2∑i=1

ai∂bj∂xi

)∂

∂xj− b2

1

x2

(a1

∂

∂x1+ a2

∂

∂x2

)− a2b1

1

x2

∂

∂x1+ a1b1

1

x2

∂

∂x2

entonces la conexión riemanniana ∇ de H2está dada por:

∇XY (p) = dYpX (p)− b2 (p)1

x2X (p)−a2 (p) b1 (p)

1

x2

∂

∂x1(p) +a1 (p) b1 (p)

1

x2

∂

∂x2(p) .

Podemos calcular conexión ∇ no simétrica directamente de�niéndonos los símbolos

de christo�el de modo que Γkij 6= Γkji, como ilustramos en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1.20. Sea R2 una variedad diferenciable con conexión ∇. En una carta local

(U,ϕ) de R2 de�nimos los símbolos de christo�el{

Γ2ij

}como Γ1

21 = Γ221 = 1 y en los

demás casos Γ2ij = 0. Esta de�nición induce una conexión ∇ en R2 que no es simétrica.

En efecto, sean X, Y ∈ X (R2), si p = (x1, x2) ∈ R2 entonces X (p) = (a1 (p) , a2 (p))

y Y (p) = (b1 (p) , b2 (p)), es decir, X = a1X1+a2X2, Y = b1X1+b2X2, donde Xi = ∂∂xi

,

i = 1, 2. Luego, tenemos, por la ecuación (1.1.3), que

∇XiXj = Γ1ijX1 + Γ2

ijX2

entonces

∇X1X1 = Γ111X1 + Γ2

11X2 = 0

11

∇X2X1 = Γ121X1 + Γ2

21X2 = X1 +X2

∇X1X2 = Γ112X1 + Γ2

12X2 = 0

∇X2X2 = Γ122X1 + Γ2

22X2 = 0

ahora

∇XY = ∇X (b1X1 + b2X2)

= X (b1)X1 + b1∇XX1 +X (b2)X2 + b2∇XX2

= X (b1)X1 + b1∇a1X1+a2X2X1 +X (b2)X2 + b2∇a1X1+a2X2X2

= X (b1)X1 + b1a2∇X1X1 + b1a2∇X2X1 +X (b2)X2 + b2a1∇X1X2 + b2a2∇X2X2

= X (b1)X1 + b1a2X1 + b1a2X2 +X (b2)X2

= (db1 (X) + b1a2)X1 + (b1a2 + db2 (X))X2

= (db1 (X) + b1a2) (1, 0) + (b1a2 + db2 (X)) (0, 1)

= (db1 (a1, a2) + b1a2, b1a2 + db2 (a1, a2))

luego en p = (x1, x2)

∇XY (p) = (db1p (a1 (p) , a2 (p)) + b1 (p) a2 (p) , b1 (p) a2 (p) + db2p (a1 (p) , a2 (p)))

que es una conexión no simétrica en R2.

1.2. Geodésicas Riemannianas

En esta sección vamos a revisar la de�nición de geodésica en un punto. Primero uti-

lizaremos a las geodésicas para de�nir una importante aplicación, la exponencial. Con

base en ella enunciaremos el Lema de Gauss. Más adelante de�niremos los conceptos

de vecindad normal y bola normal.

De ahora en adelante, M será una variedad riemanniana equipada con su conexión

riemanniana ∇, sin más comentarios. Geodésicas con respecto a esta conexión se deno-

minan geodésicas riemannianas, o simplemente geodésicas, siempre y cuando no haya

ningún riesgo de confusión. De esta manera, podemos de�nir geodésica en un punto, el

cual enunciamos a continuación.

De�nición 1.21. Una curva parametrizada γ : I → M es una geodésica en t0 ∈ I,

si Ddt

(dγdt

)= 0 en el punto t0; se dice que γ es una geodésica si γ es una geodésica en

t, para todo t ∈ I. Si [a, b] ⊂ I y γ : I → M es una geodésica, la restricción de γ al

intervalo [a, b] sera denominada (segmento de) geodésica entre γ (a) y γ (b).

12

Si γ : I →M es una geodésica, entonces∥∥∥∥dγdt∥∥∥∥ = constante

de ahora en adelante, admitiremos que∥∥dγdt

∥∥ = c 6= 0, donde c = constante. Entonces

la longitud de arco s de γ, a partir de un origen �jo, t = t0, está de�nido por

s (t) = ∫ tt0∥∥dγdt

∥∥ dt = c (t− t0) .

Por lo tanto, el parámetro de una geodésica es proporcional a la longitud de arco.

Cuando el parámetro es el propio longitud de arco, diremos que la geodésica γ esta

normalizada, esto es,∥∥dγdt

∥∥ = 1.

Sea γ : I →M una curva cuya imagen está contenida en una carta local (U,ϕ), tal

que γ (I) ∩ ϕ (U) 6= φ con coordenadas (x1 (t) , ..., xn (t)). Entonces γ es una geodésica

si, y sólo si

0 =D

dt

(dγ

dt

)=∑k

(d2xkdt2

+∑ij

Γkijdxidt

dxjdt

)∂

∂xk(1.2.1)

como los ∂∂xk

son linealmente independientes, entonces

d2xkdt2

+∑ij

Γkijdxidt

dxjdt

= 0, k = 1, ..., n (1.2.2)

universalmente conocida como las ecuaciones locales satisfechas por una geodésica γ

en una carta local (U,ϕ).

Examinemos geodésicas para varias de las métricas riemannianas que hemos en-

contrado hasta el momento.

Ejemplo 1.22. Considere Rn con la métrica euclidiana estándar gij = δij y conexión

riemanniana de�nida por Γkij = 0 para todo i, j, k. Entonces el sistema (1.2.2) toma la

formad2xkdt2

= 0, k = 1, ..., n

cuyas soluciones todos tienen la forma

γ (t) = (v1t+ b1, ..., vkt+ bk)

para las constantes vk, bk, k = 1, ...n. En otras palabras, las geodésicas de Rn son las

rectas a�nes recorridas con velocidad constante.

En el siguiente ejemplo se ilustran las geodésicas del plano hiperbólico H2.

Ejemplo 1.23. Sea H2 = {(x, y) ∈ R2 | y > 0} con la métrica gij (x1, x2) =δij

(x2)2 y

13

conexión riemanniana de�nida por

Γ111 = Γ1

22 = Γ212 = Γ2

21 = 0

Γ211 = −Γ2

22 = −Γ112 = −Γ1

21 =1

y

entonces el sistema (1.2.2) de las geodésicas toma la formad2xdt2− 2

ydxdtdydt

= 0

d2ydt2− 1

y

(dydt

)2+ 1

y

(dxdt

)2= 0

para resolver este sistema, consideremos dos casos:

a) Si dxdt

= 0 en un punto, entonces de la primera ecuación tenemos que dxdt

= 0, en

este caso, x (t) = x0, donde x0 = constante y de la segunda ecuación tenemos

d2y

dt2− 1

y

(dy

dt

)2

= 0

si reducimos el orden, sea z = dydt, así que

dydt

= z

dzdt

= d2ydt2

= 1y

(z)2=⇒ dz

dt=z

y

por lo tanto, dzz

= dyy, entonces ln |z| = ln |y| + c, para alguna constante c ∈ R,

luego z = (±ec) y = by, para alguna constante b ∈ R, entonces dydt

= by, así

que y (t) = y0ebt, donde y0 = constante. Consecuentemente, en este caso las

geodésicas son γ (t) =(x0, y0e

bt), las semirectas superiores del plano hiperbólico.

b) Si dxdt6= 0 y y es una función de x, entonces

d2y

dt=

d

dt

(dy

dx

dx

dt

)=

d

dt

(dy

dx

)dx

dt+dy

dx

d2x

dt2

=d2y

dx2

(dx

dt

)2

+dy

dx

d2x

dt2

de aquí, tenemos

1

y

(dy

dt

)2

− 1

y

(dx

dt

)2

=d2y

dx2

(dx

dt

)2

+dy

dx

d2x

dt2

=d2y

dx2

(dx

dt

)2

+dy

dx

d2x

dt2

14

dividiendo por(dxdt

)2nos permite eliminar t:

1

y

(dy

dx

)2

− 1

y=d2y

dx2+

2

y

(dy

dx

)2

yd2y

dx2+

(dy

dx

)2

= −1

d

dx

(ydy

dx

)= −1

ydy

dx= −x+ a, a ∈ R

y2 = −x2 + 2ax+ b, b ∈ R

así, �nalmente obtenemos la ecuación

y2 + x2 − 2ax− b = 0

y2 + x2 − 2ax− b+ a2 = a2

(x− a)2 + y2 = a2 + b

(x− a)2 + y2 = c2, c ∈ R

por lo tanto, en este caso las geodésicas son semicírculos superiores centrados en

los puntos (a, 0) del eje x.

1.2.1. La aplicación exponencial

Para de�nir esta aplicación, usaremos el siguiente resultado, donde coleccionamos

muchas geodésicas en una sola aplicación.

Proposición 1.24. Dado p ∈M , existen una vecindad V de p en M , un número ε > 0

y una aplicación C∞, γ : (−2, 2)× U →M , donde

U = {(q, w) ∈ TM | q ∈ V,w ∈ TqM, ‖w‖ < ε}

tal que para cada (q, w) ∈ U , la curva t→ γ (t, q, w) , t ∈ (−2, 2), es la única geodésica

de M que pasa por q con velocidad w en el instante t = 0. En símbolos,

γ (0, q, w) = q,dγ

dt(0, q, w) = w y

D

dt

dγ

dt= 0.


La aplicación γ se llama el �ujo geodésico en torno de p.

Nuestro siguiente resultado dice que, es posible aumentar la velocidad de una geo-

désica disminuyendo su intervalo de de�nición, o viceversa.

15

Lema 1.25. (Homogeneidad de una geodésica). Si la geodésica γ (t, q, v) está de�nida

en el intervalo (−δ, δ), entonces la geodésica γ (t, q, av), a ∈ R, a > 0, está de�nida en

el intervalo(− δa, δa

)y se veri�ca

γ (t, q, av) = γ (at, q, v) .


La Proposición 1.24 nos permite introducir el concepto de aplicación exponencial

de la siguiente manera. Sea p ∈M y U ⊂ TM un abierto dado por la Proposición 1.24.

Entonces la aplicación exp : U →M dada por

exp (q, v) = γ (1, q, v) = γ

(‖v‖‖v‖

, q, v

)= γ

(‖v‖ , q, v

‖v‖

), (q, v) ∈ U ,

es llamada la aplicación exponencial en U .Es claro que exp es diferenciable. En la mayoría de las aplicaciones, utilizaremos la

restricción de exp a un abierto del espacio tangente TqM , es decir, de�niremos

expq : Bε (0) ⊂ TqM →M

por expq (v) = exp (q, v). Aquí, y en lo que sigue, denotaremos por Bε (0) una bola

abierta de centro en el origen 0 de TqM y de radio ε. Es fácil veri�car que expq es

diferenciable y que expq (0) = q.

Geométricamente, expq (v) es el punto de M obtenido recorriendo una longitud

igual a ‖v‖, a partir de q, a lo largo de la geodésica que pasa por q con velocidad igual

a v‖v‖ .

Una importante propiedad es que expq es de hecho un difeomor�smo local alrededor

de 0 ∈ TqM . Los detalles de esto se enuncia de la siguiente manera.

Proposición 1.26. Dado q ∈ M , existe un ε > 0 tal que expq : Bε (0) ⊂ TqM → M

es un difeomor�smo de Bε (0) sobre un abierto de M .


En el siguiente ejemplo se ilustran las ideas anteriores.

Ejemplo 1.27. Considere Rn con la métrica euclidiana estándar gij = δij. Como la

geodésicas de Rn son las rectas a�nes parametrizadas proporcionalmente a la longitud

de arco, tenemos γ (t, p, v) = p + tv, ∀p, v ∈ Rn, ∀t ∈ R. Así la exp está de�nida en

todo TRn = Rn × Rn y vale

exp (p, v) = γ (1, p, v) = p+ v, , ∀p, v ∈ Rn

16

esto nos dice que �jado p ∈ Rn, la expp es la traslación del vector p en Rn.

Para �nalizar con esta subsección, enunciaremos Lemas que serán importantes en

el desarrollo de la parte �nal de este trabajo.

Lema 1.28. (de Simetría). Si M es una variedad diferenciable con una conexión si-

métrica y s : A→M es una super�cie parametrizada entonces:

D

∂v

∂s

∂u=

D

∂u

∂s

∂v.

para todo (u, v) ∈ A.


Lema 1.29. (de Gauss). Sea p ∈M y sea v ∈ TpM tal que expp (v) este de�nido. Sea

w ∈ TpM ≈ Tv (TpM). Entonces

⟨d(expp

)v

(v) , d(expp

)v

(w)⟩

= 〈v, w〉 . (1.2.3)

Demostración. Sea w = wT +wN , donde wT es paralelo a v y wN es normal a v. Como

d(expp

)es lineal y, por de�nición de expp,⟨

d(expp

)v

(v) , d(expp

)v

(wT )⟩

= 〈v, wT 〉 ,

basta probar (1.2.3) para w = wN . Es claro que podemos suponer wN 6= 0.

Como expp (v) está de�nida, existe ε > 0 tal que, expp (u)está de�nida para

u = tv (s) , 0 ≤ t ≤ 1, −ε < s < ε,

donde v (s) es una curva en TpM con v (0) = v, v′ (0) = wN y ‖v (s)‖ = const. Podemos,

por lo tanto, considerar la super�cie parametrizada

f : A→M, A = {(t, s) ; 0 ≤ t ≤ 1,−ε < s < ε}

dada por

f (t, s) = expp (tv (s)) .

Observe que las curvas t→ f (t, s0) son geodésicas (ver la siguiente Figura). Elaborado

por Do Carmo (2005):

17

Para probar (1.2.3) para w = wN , observamos primero que⟨∂f

∂s,∂f

∂t

⟩(1, 0) =

⟨d(expp

)v

(wN) , d(expp

)v

(v)⟩

(1.2.4)

Además de esto, para todo (t, s), tenemos

∂

∂t

⟨∂f

∂s,∂f

∂t

⟩=

⟨∂f

∂s,∂f

∂t

⟩+

⟨∂f

∂s,D

∂t

∂f

∂t

⟩.

El último termino de la expresión anterior es cero, pues ∂f∂t

es el vector tangente de una

geodésica. Por la simetría de la conexión, el primer termino de la suma de transforma

en ⟨D

∂t

∂f

∂s,∂f

∂t

⟩=

⟨D

∂s

∂f

∂t,∂f

∂t

⟩=

1

2

∂

∂s

⟨∂f

∂t,∂f

∂t

⟩= 0

se sigue de ahí que⟨∂f∂s, ∂f∂t

⟩es independiente de t. Como

lımt→0

∂f

∂t(t, 0) = lım

t→0d(expp

)tvtwN = 0,

concluimos que⟨∂f∂s, ∂f∂t

⟩(1, 0) = 0, lo que junto con (1.2.4) pueba el lema.

Es conveniente usar la siguiente terminología. Sea V una vecindad del origen 0 de

TpM , si expp : V → M es un difeomor�smo sobre algún conjunto abierto U ⊂ M

conteniendo p, entoncesU es llamada una vecindad normal de p. Si Bε (0) es tal que

Bε (0) ⊂ V , llamamos exppBε (0) = Bε (p) la bola normal (o geodésica) de centro p y

radio ε. Luego la mayor vecindad normal de cualquier punto de (Rn, 〈, 〉) es todo Rn.

Por el lema de Gauss la frontera de una bola normal es una hipersuperfície (subvariedad

de codimensión 1) enM ortogonal a las geodésicas que parten de p;ella es denotada por

Sε (p) y denominada esfera normal (o geodésica). Las geodésicas en Bε (p) que parten

de p son llamadas geodésicas radiales.

18

Capítulo 2

Curvatura y Campos de Jacobi

Este capítulo aborda la de�nición de curvatura en función de la conexión riemannia-

na y propiedades de curvatura, presentaremos algunos ejemplos elementales. También

obtendremos una primera relación entre los dos conceptos básicos, estos son, geodé-

sicas y curvatura. Para proporcionar la relación anterior introduciremos los llamados

campos de Jacobi.

2.1. Curvatura

En esta sección se introduce el operador curvatura en función de la conexión rieman-

niana, y, para variedades riemannianas, el equivalente noción de curvatura seccional.

2.1.1. Operador curvatura

A continuación, presentaremos una de�nición de operador curvatura que, intuitiva-

mente, mide el cuanto una variedad riemanniana deja de ser euclidiana.

De�nición 2.1. La curvatura R de una variedad riemanniana M es una correspon-

dencia que asocia a cada par de campos vectoriales X, Y ∈ X (M) una aplicación

R (X, Y ) : X (M)→ X (M) de�nido por

R (X, Y )Z = ∇Y∇XZ −∇X∇YZ +∇[X,Y ]Z, Z ∈ X (M) ,

donde ∇ es la conexión riemanniana de M .

Observe que si M = Rn, entonces R (X, Y )Z = 0 para todo X, Y, Z ∈ X (Rn).

En efecto, En este caso tenemos ∇XY = dY (X). Considerando una parametrización

ϕ : U ⊂ Rn → Rn, en torno de p, es posible escribir

X (p) =n∑i=1

xi (p)−→ei ,

19

donde cada xi : U → R es una función en U y {−→ei } es la base canonica de Rn asociada

a ϕ, i = 1, ..., n. Entonces

Y =n∑j=1

yi−→ej , Z =

n∑k=1

zk−→ek

de ahí,

∇YZ = ∇Y

(n∑k=1

zk−→ek

)

=n∑k=1

{zk∇Y−→ek + Y (zk)

−→ek}

=n∑k=1

Y (zk)−→ek

consecuentemente

∇X∇YZ = ∇X

(n∑k=1

Y (zk)−→ek

)

=n∑k=1

X (Y (zk))−→ek

y

∇Y∇XZ =n∑k=1

Y (X (zk))−→ek

por lo tanto

R (X, Y )Z = ∇Y∇XZ −∇X∇YZ +∇[X,Y ]Z

=n∑k=1

Y (X (zk))−→ek −

n∑k=1

X (Y (zk))−→ek +∇[X,Y ]

(n∑k=1

zk−→ek

)

=n∑k=1

(Y (X (zk))−X (Y (zk)))−→ek +

n∑k=1

(∇[X,Y ]zk

−→ek)

=n∑k=1

([Y,X] (zk))−→ek +

n∑k=1

[X, Y ] (zk)−→ek

= 0

como habíamos a�rmado. Podemos, por lo tanto, pensar en R como una manera de

medir cuanto M deja de ser euclidiana.

Otra manera de ver la De�nición 2.1 es considerar un sistema de coordenadas

20

ϕ : V ⊂M → Rn en torno de p ∈M . Como[∂∂xi, ∂∂xj

]= 0, obtenemos

R

(∂

∂xi,∂

∂xj

)∂

∂xk=

(∇ ∂

∂xj

∇ ∂∂xi

−∇ ∂∂xi

∇ ∂∂xj

)∂

∂xk,

es decir, la curvatura mide la no-conmutatividad de la conexión (o el cuanto M deja

de ser euclidiano).

La curvatura R cumple las siguientes propiedades:

Proposición 2.2. La curvatura R de una variedad riemanniana gosa de las siguientes

propiedades:

1. R es bilineal en X (M)×X (M), es decir,

R (fX1 + gX2, Y1) = fR (X1, Y1) + gR (X2, Y1) ,

R (X1, fY1 + gY2) = fR (X1, Y1) + gR (X1, Y2)

para todo f, g ∈ D (M), y X1, X2, Y1, Y2 ∈ X (M).

2. Para todo par X, Y ∈ X (M), el operador curvatura R (X, Y ) : X (M)→ X (M)

es lineal, es decir,

R (X, Y ) (Z +W ) = R (X, Y )Z +R (X, Y )W,

R (X, Y ) fZ = fR (X, Y )Z

para todo f ∈ D (M) y Z,W ∈ X (M).

3. Primera Identidad de Bianchi:

R (X, Y )Z +R (Y, Z)X +R (Z,X)Y = 0

4. De ahora en adelante, escribiremos por conveniencia, 〈R (X, Y )Z, T 〉 = (X, Y, Z, T ).

Si X, Y, Z, T son campos vectoriales en M y ∇ es la conexión de Levi-Civita, en-

tonces

a) (X, Y, Z, T ) + (Y, Z,X, T ) + (Z,X, Y, T ) = 0

b) (X, Y, Z, T ) = − (Y,X,Z, T )

c) (X, Y, Z, T ) = − (X, Y, T, Z)

d) (X, Y, Z, T ) = (Z, T,X, Y ).


21

Es conveniente escribir lo que fue visto anteriormente en un sistema de coordenadas

(U,ϕ) en torno del punto p ∈M . Indicaremos, ∂∂xi

= Xi. Pongamos

R (Xi, Xj)Xk =∑l

RlijkXl.

Entonces, Rlijk son las componentes de la curvatura R en (U,ϕ). Tenga en cuenta que

para los campos vectoriales

X =∑i

uiXi, Y =∑j

vjXj, y Z =∑k

wkXk

obtenemos, por la linealidad de R,

R (X, Y )Z =∑i,j,k

uivjwk (R (Xi, Xj)Xk)

=∑l

(∑i,j,k

uivjwkRlijk

)Xl.

Para expresar Rlijk en términos de los coe�cientes Γkij de la conexión riemanniana,

usando el hecho que[∂∂xi, ∂∂xj

]= 0, escribimos

R (Xi, Xj)Xk = ∇Xj∇XiXk −∇Xi∇XjXk

= ∇Xj

(∑l

ΓlikXl

)−∇Xi

(∑l

ΓljkXl

)=∑l

(XjΓ

lik −XiΓ

ljk

)Xl +

∑s,l

(ΓlikΓ

sjl − ΓljkΓ

sil

)Xs

=∑s

(XjΓ

sik −XiΓ

sjk +

∑l

ΓlikΓsjl −

∑l

ΓljkΓsil

)Xs

y así

Rsijk =

∑l

ΓlikΓsjl −

∑l

ΓljkΓsil +XjΓ

sik −XiΓ

sjk.

Se procede a ilustrar la idea anterior con el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2.3. Consideremos M = Rn con la métrica euclidiana y el correspondiente

conexión riemanniana (es decir, con los símbolos de christo�el Γkij = 0). Entonces

Rsijk = 0, y la curvatura R es cero. Por lo tanto, también podemos interpretar la

curvatura como una manera de medir cuanto una conexión en una variedad dada di�ere

de la conexión de Levi-Civita del espacio euclidiano.

Luego haciendo,

22

〈R (Xi, Xj)Xk, Xs〉 =

⟨∑l

RlijkXl, Xs

⟩=∑l

Rlijk 〈Xl, Xs〉

=∑l

Rlijkgls

= Rijks,

podemos escribir las identidades de la Proposición 2.2(4) como:

a) Rijks +Rjkis +Rkijs = 0 (2.1.1)

b) Rijks = −Rjiks (2.1.2)

c) Rijks = −Rijsk

d) Rijks = Rksij. (2.1.3)

Todas estas simetrías y relaciones reducen drásticamente los cálculos requeridos

para calcular el n4 componentes de la curvatura R. Por ejemplo, Si M es una variedad

riemanniana de dimensión 2, entonces de las 24 = 16 componentes de la curvatura,

existen 12 componentes no nulas y apenas una componente independiente. En efecto:

Por la Proposición 2.2(4), vale

(X,X,Z, T ) = (X, Y, Z, T ) = 0

en términos de las componentes de la curvatura,

Riiks = Rijkk = 0

entonces tenemos

R1111 = R1112 = R1121 = R1122 = 0

R2211 = R2212 = R2221 = R2222 = 0

R1211 = R2111 = 0

R1222 = R2122 = 0

las componentes potencialmente no nulas son apenas R1212, R1221, R2112, R2121. Es posi-

ble escoger una de entre estas cuatro y escribir las tres otras en función de ella usando

las relaciones de simetría. Por ejemplo, escogiendo R1212, tenemos

23

R1221 = −R1212

R2112 = −R1212

R2121 = −R2112 = R1212

observe que la simetría de la Identidad de Bianchi no desempeña ningún papel, porque

en el caso de n = 2, ella es consecuencia de (2.1.2)-(2.1.3). De hecho, como máximo 3

indices son diferentes en estos casos, por lo menos uno de los coe�cientes en la suma

cíclica de (2.1.1) sera de la forma Rijkk y por lo tanto nulo, luego ella se reducirá a una

o dos de las propiedades (2.1.2)-(2.1.3). Basta ver eso en el caso k = s:

Rijkk +Rjkik +Rkijk = 0

es equivalente a (Rijkk = 0)

Rjkik +Rkijk = 0

osea,

Rjkik = −Rkijk

que corresponde a aplicar (2.1.3) y después (2.1.2).

Con estas observaciones, ahora procedemos a algunos ejemplos.

Ejemplo 2.4. (Curvatura del plano hiperbólico). Sea H2 es el semiplano superior con

la métrica [gij

]=

[1y2

0

0 1y2

]y asociado la conexión riemanniana dado por los símbolos de christo�el

Γ111 = Γ1

22 = Γ212 = Γ2

21 = 0

Γ211 = −Γ1

12 = −Γ121 = −Γ2

22 =1

y

como vimos en el Ejemplo 1.19. Primero calculamos las componentes de la curvatura:

Rsiji = Γ1

iiΓsj1 − Γ1

jiΓsi1 + Γ2

iiΓsj2 − Γ2

jiΓsi2 +

∂Γsii∂xj−∂Γsji∂xi

en el caso s = 1, para i 6= j,

24

R1iji = Γ1

iiΓ1j1 − Γ1

jiΓ1i1 + Γ2

iiΓ1j2 − Γ2

jiΓ1i2 +

∂Γ1ii

∂xj−∂Γ1

ji

∂xi

= −Γ1jiΓ

1i1 + Γ2

iiΓ1j2 −

∂Γ1ji

∂xi

de ahí,

R1121 = −Γ1

21Γ111 + Γ2

11Γ122 −

∂Γ121

∂x= 0,

R1212 = −Γ1

12Γ121 + Γ2

22Γ112 −

∂Γ112

∂y= − 1

y2

en el caso s = 2, para i 6= j

R2iji = Γ1

iiΓ2j1 − Γ1

jiΓ2i1 + Γ2

iiΓ2j2 − Γ2

jiΓ2i2 +

∂Γ2ii

∂xj−∂Γ2

ji

∂xi

= Γ2iiΓ

2j2 − Γ1

jiΓ2i1 +

∂Γ2ii

∂xj

de ahí,

R2121 = Γ2

11Γ222 − Γ1

21Γ211 +

∂Γ211

∂y= − 1

y2

R2212 = Γ2

22Γ212 − Γ1

12Γ221 +

∂Γ122

∂x= 0

por lo tanto

R1122 = −R1

212 = −R2121 = R2

211 =1

y2

y las demás 12 componentes son todas nulas.

Para calcular las componentes de la curvatura del plano hiperbólico, basta calcular

la componente no nula

R1212 = g12R1121 + g22R

2121 = − 1

y4

por lo tanto, las 4 componentes no nulas de la curvatura del plano hiperbólico son

R1212 = − 1

y4

R1221 = −R1212 =1

y4

R2112 = −R1212 =1

y4

25

R2121 = R1212 = − 1

y4.

2.1.2. Curvatura seccional

Íntimamente relacionado con el operador curvatura es la curvatura seccional (o rie-

manniana), que pasamos a de�nir. En lo que sigue conviene usar la siguiente notación.

Dado un espacio vectorial V , indicaremos por |x ∧ y| la expresión√‖x‖2 ‖y‖2 − 〈x, y〉2

que representa la área del paralelogramo 2-dimensional determinado por el par de

vectores x, y ∈ V . Enunciaremos una proposición que será muy importante para la

de�nición de curvatura seccional.

Proposición 2.5. Sea σ ⊂ TpM un subespacio 2-dimensional del espacio tangente

TpM y sean x, y ∈ σ dos vectores linealmente independientes. Entonces

K (x, y) =(x, y, x, y)

|x ∧ y|2

no depende de la elección de los vectores x, y ∈ σ.


Ahora estamos preparados para formular la De�nición de la curvatura seccional.

De�nición 2.6. Dado un punto p ∈ M y un subespacio 2-dimensional σ ⊂ TpM , el

número real K (x, y) = K (σ), donde {x, y} es una base cualquiera de σ, es llamado la

curvatura seccional de σ en p.

La De�nición 2.6 toma una forma especial en el caso 2-dimensional, es decir, cuando

U ∈ R2. El único subespacio σ ⊂ TpU es TpU propia. Por lo tanto K es solo una función

escalar de p ∈ U . Se puede expresar de forma explícita utilizando la base de campos

coordenados X1 = ∂∂x1

y X2 = ∂∂x2

utilizando las componentes de la curvatura:

K (x, y) =R1221

g11g22 − (g12)2 =

−R1212

g11g22 − (g12)2

Presentemos dos ejemplos de un calculo de curvatura seccional.

Ejemplo 2.7. Sea gij = δij la métrica en R2, donde δij es el símbolo estándar de kro-

necker, y sea R la correspondiente curvatura (ver Ejemplo 2.3). En este caso, podemos

veri�car que

g11g22 − (g12)2 = 1

26

y por lo tanto la curvatura seccional esta dada por

K (x, y) =−R1212

g11g22 − (g12)2 =

0

1= 0.

Presentemos un último ejemplo de un calculo de curvatura seccional, esta vez cuan-

do M = H2.

Ejemplo 2.8. Sea H2 es el semiplano superior con la métrica gij =δijy2

y la curvatura

correspondiente R, como en el Ejemplo 2.4. La curvatura seccional es entonces

K (x, y) =− 1y4(

1y2

)(1y2

)− 0

= −1.

El Ejemplo 2.8 muestra que la métrica de H2 es especial en el sentido de que la

curvatura seccional es constante. Para �nalizar con esta subsección, enunciaremos dos

Lema que serán muy importante en el desarrollo de la parte �nal de este trabajo.

Lema 2.9. SeaM una variedad riemanniana y p un punto deM . De�na una aplicación

trilineal R′ : TpM × TpM × TpM → TpM por

〈R′ (X, Y,W ) , Z〉 = 〈X,W 〉〈Y, Z〉 − 〈Y,W 〉〈X,Z〉 ,

para todo X, Y, Z,W ∈ TpM . Entonces M tiene curvatura seccional constante igual a

K0 si, y sólo si R = K0R′, donde R es la curvatura de M .


Lema 2.10. Sea f : A ⊂ R2 → M una super�cie parametrizada y sean (s, t) las

coordenadas de R2. Sea V = V (s, t) un campo vectorial a lo largo de f . Entonces para

cada (s, t)D

∂t

D

∂sV − D

∂s

D

∂tV = R

(∂f

∂s,∂f

∂t

)V.


2.2. Campos de Jacobi

Comenzamos mediante la derivación de la ecuación de Jacobi, que es una ecuación

diferencial ordinaria satisfecho por el campo de variación de cualquier familia de un

sólo parámetro de geodésicas. Un campo vectorial que satisface esta ecuación a lo largo

de una geodésica se llama un campo de Jacobi. También en esta sección estudiaremos

como la curvatura afecta a las geodésicas. En un punto p, las geodésicas radiales par-

ten de este punto y se irradian. Veremos que en una región de curvatura positiva las

27

geodésicas convergen, mientras que en una región de curvatura negativa las geodésicas

se expanden.

2.2.1. La ecuación de Jacobi

SeaM una variedad riemanniana y p ∈M . En la demostración del Lema 1.29(lema

de Gauss) vimos que si expp está de�nida en v ∈ TpM , y escogemos w ∈ Tv (TpM),

entonces

d(expp

)vw =

∂f

∂s(1, 0) ,

donde f es una super�cie parametrizada dada por

f (t, s) = expp tv (s) , 0 ≤ t ≤ 1, −ε ≤ s ≤ ε

y v (s) es una curva de TpM con v (0) = v, v′ (0) = w.

Conviene extender ligeramente nuestro objetivo es estudiar el campo

d(expp

)tv

(tw) =∂f

∂s(t, 0)

de�nido a lo largo de la geodésica γ : [0, 1]→M ,

γ (t) = expp (tv)

La primera observación es que ∂f∂s

satisface una ecuación diferencial. En efecto, como

γ (t) = fs (t) es una geodésica y

∂f

∂t(t, s) = γ′ (t)

valeD

∂t

∂f

∂t= 0.

Luego por el Lema 2.10 y del Lema ?? sigue que

0 =D

∂s

(D

∂t

∂f

∂t

)=D

∂t

(D

∂s

∂f

∂t

)−R

(∂f

∂s,∂f

∂t

)∂f

∂t

=D

∂t

(D

∂t

∂f

∂s

)+R

(∂f

∂t,∂f

∂s

)∂f

∂t

=D2

∂t2∂f

∂s+R

(∂f

∂t,∂f

∂s

)∂f

∂t.

denotemos ∂f∂s

(t, 0) = J (t), obtendremos que J satisface la ecuación

D2J

∂t2+R (γ′ (t) , J (t)) γ′ (t) = 0 (2.2.1)

28

La ecuación arriba es llamada la ecuación de Jacobi. Puesto que aparece en una

diversidad de situaciones, es útil hacer un estudio separado de ella. Empezaremos pues

con una de�nición.

De�nición 2.11. Sea γ : [0, a] → M una geodésica de M . Un campo vectorial J a

lo largo de γ es un campo de Jacobi si satisface la ecuación de Jacobi (2.2.1), para

t ∈ [0, a].

Un campo de Jacobi es determinado por las condiciones iniciales J (0), DJ∂t

(0). En

efecto, sean −→e1 (t) , ...,−→en (t) campos paralelos y ortonormales a lo largo de γ, luego e

conjunto {−→e1 (t) , ...,−→en (t)} forma una base ortonormal. Escribimos:

J (t) =n∑i=1

fi (t)−→ei (t) , n = dimM

entoncesDJ

dt(t) =

n∑i=1

∂fi (t)

dt−→ei (t)

yD2J

dt2(t) =

n∑i=1

∂fi (t)

dt2−→ei (t)

luego

R (γ′ (t) , J (t)) γ′ (t) =n∑j=1

〈R (γ′ (t) , J (t)) γ′ (t) ,−→ej (t)〉−→ej (t)

=n∑j=1

⟨R

(γ′ (t) ,

n∑i=1

fi (t)−→ei (t)

)γ′ (t) ,−→ej (t)

⟩−→ej (t)

=n∑

i,j=1

fi (t) 〈R (γ′ (t) ,−→ei (t)) γ′ (t) ,−→ej (t)〉−→ej (t)

=n∑

i,j=1

aij (t) fi (t)−→ej (t)

donde aij (t) = 〈R (γ′ (t) ,−→ei (t)) γ′ (t) ,−→ej (t)〉. Por lo tanto, la ecuacion (2.2.1) es equi-

valente al sistema

∂2fj (t)

dt2+

n∑i,=1

aij (t) fi (t) = 0, j = 1, ..., n

que es un sistema lineal de segundo orden, esta ecuación se distingue con la denomi-

nación de lineal porque tanto fi (t) como dfj(t)

dtaparecen por separado. Así, dadas las

condiciones iniciales J (0), DJdt

(0), existe una solución C∞ del sistema, de�nida en [0, a].

Existen, por lo tanto, 2n campos de Jacobi linealmente independientes a lo largo de γ.

29

Figura 2.2.1: campos de Jacobi Triviales. Elaborado por Lee (1997)

Presentemos dos ejemplo triviales de campos de Jacobi a lo largo de una geodésica γ

(ver Figura 2.2.1).

Ejemplo 2.12. Existen siempre dos campos de Jacobi triviales a lo largo de una geo-

désica γ:

J0 (t) = γ′ (t)

que satisface las condiciones iniciales J0 (0) = γ′ (0) y DJ0dt

(0) = 0, y

J1 (t) = tγ′ (t)

que satisface las condiciones iniciales J1 (0) = 0 y DJ1dt

(0) = γ′ (0).

El primero es un campo de Jacobi porque

D2J0dt2

(t) =D

dt

Dγ′ (t)

dt=D

dt0 = 0,

R (γ′ (t) , J0 (t)) γ′ (t) = R (γ′ (t) , γ′ (t)) γ′ (t) = 0

recordando que la curvatura de una variedad riemanniana es anti simétrico en las

primeras dos variables; el segundo es un campo de Jacobi porque

D2J1dt2

(t) =D

dt

(DJ1dt

(t)

)=D

dt

(γ′ (t) + t

Dγ′ (t)

dt

)=Dγ′ (t)

dt= 0,

R (γ′ (t) , J1 (t)) γ′ (t) = R (γ′ (t) , tγ′ (t)) γ′ (t) = tR (γ′ (t) , γ′ (t)) γ′ (t) = 0.

2.2.2. Calculo de Campos de Jacobi

Para las métricas con curvatura seccional constante, tenemos un tipo deferente de

formula explícita para los campos de Jacobi, éste expresa un campo de Jacobi como

un múltiplo escalar de un campo vectorial paralelo. Se tiene así el siguiente ejemplo de

campos de Jacobi.

30

Ejemplo 2.13. (Campos de Jacobi en variedades de curvatura constante). Sea M una

variedad riemanniana con curvatura seccional constante K, y sea γ : [0, `] → M una

geodésica normalizada en M y sea J un campo de Jacobi a lo largo de γ, normal a γ′.

A�rmamos que del hecho de que ‖γ′ (t)‖ = 1 y del Lema 2.9, sigue que

R (γ′, J) γ′ = KJ.

En efecto, para todo campo vectorial T a lo largo de γ se tiene

〈R (γ′, J) γ′, T 〉 = K 〈R′ (γ′, J) γ′, T 〉

= K {〈γ′, γ′〉〈J, T 〉 − 〈J, γ′〉〈γ′, T 〉}

= K 〈J, T 〉

lo cual es lo a�rmado.

Por lo tanto la ecuación de Jacobi se escribe

D2J

dt2+KJ = 0 (2.2.2)

Sea w (t) un campo paralelo a lo largo de γ con 〈γ′ (t) , w (t)〉 = 0 y ‖w (t)‖ = 1. Se

veri�ca fácilmente que

J (t) =

sin(t

√K)√

Kw (t) si K > 0

tw (t) si K = 0sinh(t

√−K)√

−K w (t) si K < 0

es solución de (2.2.2) con las condiciones iniciales J (0) = 0 y DJdt

(0) = w (0). En

efecto:

1. Si K = 0,

=⇒D2J

dt2(t) = 0

=⇒DJ

dt(t) = c, c = cte.

=⇒J (t) = ct

analizando las condiciones iniciales

J (0) = 0 =⇒ 0 = 0,

DJ

dt(0) = w (0) =⇒ c = w (0)

por lo tanto, J (t) = tw (t).

31

2. Si K > 0,

=⇒D2J

dt2+KJ = 0

luego, la ecuación característica r2 + K = 0 tiene raíces complejas r1 = i√K y

r2 = −i√K. Por lo tanto,

er1t = e(i√K)t = cos

(t√K)

+ i sin(t√K)

como consecuencia

J (t) = A cos(t√K)

+B sin(t√K)

para cualquier par de constantes A,B. Las constantes A y B se determinan a

partir de las condiciones iniciales, veamos

J (0) = 0 =⇒ 0 = A cos (0) +B sin (0) = A =⇒ A = 0,

DJ

dt(0) = w (0) =⇒ w (0) = −A (sin (0))

√K +B (cos (0))

√K =⇒ B =

w (0)√K

por lo tanto, J (t) =sin(t

√K)√

Kw (t).

3. Si K < 0,

=⇒D2J

dt2+KJ = 0

luego, la ecuación característica r2 + K = 0 tiene dos raíces diferentes r1 =√−K y r2 = −

√−K. Por lo tanto, J1 (t) = et

√−K y J2 (t) = e−t

√−K forman

un conjunto fundamental de soluciones de (2.2.2) y cualquier solución J (t) de

(2.2.2) es del tipo

J (t) = c1et√−K + c2e

−t√−K

para cualesquiera constantes c1, c2. Las constantes c1 y c2 se determinan a partir

de las condiciones iniciales, veamos

J (0) = 0 =⇒ 0 = c1e0 + c2e

0 = c1 + c2 =⇒ c1 = −c2,DJ

dt(0) = w (0) =⇒ w (0) = c1e

0(√−K

)− c2e0

(√−K

)=⇒ w (0) = 2c1

√−K.

32

Entonces

c1 =w (0)

2√−K

y c2 = − w (0)

2√−K

por lo tanto,

J (t) =w (t)

2√−K

et√−K − w (t)

2√−K

e−t√−K

=w (t)√−K

(et√−K − e−t

√−K

2

)

=w (t)√−K

sinh(t√−K

).

lo que prueba lo a�rmado.

Como vimos anteriormente, dados p ∈ M , v ∈ TpM y w ∈ Tv (TpM), podemos

construir un campo de Jacobi a lo largo de la geodésica γ : [0, 1] → M , dada por

γ (t) = expp tv. Para esto consideramos la super�cie parametrizada dada por f (t, s) =

expp tv (s), donde v (s) es una curva en TpM con v (0) = v, v′ (0) = w, y hacemos

J (t) = ∂f∂s

(t, 0). Observe que J (0) = 0.

Vamos a mostrar que esta es esencialmente la única manera de construir campos de

Jacobi a lo largo de γ (t) con J (0) = 0. De manera más precisa, tenemos la siguiente

Proposición.

Proposición 2.14. Sea γ : [0, a] → M una geodésica normalizada y sea J un campo

de Jacobi a lo largo de γ con J (0) = 0. Hagamos DJdt

(0) = w y γ′ (0) = v. Concidere

a w como un elemento de Tav(Tγ(0)M

)y construya una curva v (s) en Tγ(0)M con

v (0) = av, v′ (0) = w. Hagamos f (t, s) = expp tv (s), p = γ (0), y de�na un campo de

Jacobi J por J (t) = ∂f∂s

(t, 0). Entonces J = J en [0, a].

Demostración. Vimos en el inicio de la sección que J es un campo de Jacobi. Es fácil

ver que

J (0) = 0

ya que

J (0) =∂f

∂s(0, 0) = d

(expp

)0

(0) = 0.

Para mostrar queDJ

dt(0) = w

33

calculamos

DJ

dt(t) =

D

dt

(∂f

∂s(t, 0)

)=D

dt

[d(expp

)tv

(tw)]

=D

dt

[td(expp

)tv

(w)]

= d(expp

)tv

(w) + tD

dt

[d(expp

)tv

(w)]

luego,DJ

dt(0) = d

(expp

)0

(w) = w

como J (0) = J (0) = 0 y DJdt

(0) = DJdt

(0) = w, concluimos, por el teorema de la

unicidad, que J = J .

Se tiene así el siguiente resultado.

Corolario 2.15. Sea γ : [0, a]→ M una geodésica. Entonces un campo de Jacobi J a

lo largo de γ con J (0) = 0 está dado por

J (t) =(d expp

)tγ′(0)

(tDJ

dt(0)

), t ∈ [0, a] .

Aplicación

A continuación de�nimos el �ujo geodésico.

Sea M una variedad riemanniana, el �ujo geodésico de M es una familia de difeo-

mor�smos asociados a un parámetro real ϕt tal que

ϕt : TM → TM

(p, v)→ (γv (t) , γ′v (t))

donde γv es la única geodésica de M con γv (0) = p y γ′v (0) = v. Sea π : TM → M la

proyección (π (p, v) = p)y si (p, v) , θ ∈ TM , de�namos la conexión Kθ : TθTM → TpM

de�nida:

Sea ξ ∈ TθTM =⇒ ∃α : I → TM diferenciable con α (0) = p y w es campo de

vectores diferenciables a lo largo de γ con w (0) = v, entonces se de�ne

Kθ (ξ) =DW

dt(0) .

Se prueba que Kθ está bien de�nida (esto es, si α (t) = (γ (t) , w (t)) una curva diferen-

ciable con α (0) = θ y α′(0) = ξ =⇒ Kθ (ξ) = Dw

dt(0) = Dw

dt(0)) para una demostración

ver ([1]). En este mismo trabajo se prueba que Kθ es lineal y que ker (dπθ)∧ker (Kθ) =

34

{0} y como dim ker (dπθ) = dim ker (Kθ) = n entonces, TθTM = H (θ) ⊕ v (θ) donde

H (θ) = ker (Kθ) y v (θ) = ker (dπθ), esto es, ξ ∼= (ξH , ξv)

Sea θ ∈ TM , θ = (p, v), ξ ∈ TθTM y γv : I →M la única geodésica con γv (0) = p,

γ′v (0).

Consideremos Jξ el campo de Jacobi a lo largo de γv con Jξ (0) = ξH y DJξdt

(0) = ξv.

Tenemos,

d (ϕt)θ : TθTM → Tϕt(θ)TM

ξ → d (ϕt)θ (ξ)

como ξ = (ξH , ξv) =(Jξ (0) ,

DJξdt

(0))entonces se prueba que

d (ϕt)θ (ξ) =

(Jξ (t) ,

DJξdt

(t)

)esta teoría la analizaremos cuando elaboremos la TESIS.

35

Conclusiones

1. Usando campos de Jacobi se puede establecer una conexión entre la geometría

de una variedad y la dinámica del �ujo geodésico.

2. Para las métricas con curvatura seccional constante, tenemos un tipo deferente

de formula explícita para los campos de Jacobi, éste expresa un campo de Jacobi

como un múltiplo escalar de un campo vectorial paralelo.

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Bibliografía

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[2] do Carmo, M., Riemannian Geometry, Impa, Rio de Janeiro, 2005.

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37

seminario de tesis sandra

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