Por qu son naturales los logaritmosneperianos?

Isabel Fernndez y Jos M. PachecoDepartamento de Matemticas

Universidad de Las Palmas de Gran Canaria

Abstract

Se hacen varias consideraciones acerca del origen calculstico delos logaritmos, as como sobre ciertas palabras, entre ellas natural,empleadas en la jerga matemtica. Con ellas se justifica el adjetivonatural, aplicado frecuentemente a los logaritmos neperianos, con-struyndolos como solucin de la ecuacin funcional procedente dela idea bsica del clculo logartmico, esto es, la existencia de unacorrespondencia entre dos progresiones, una geomtrica y otra arit-mtica. Finalmente, se utiliza esta construccin para resolver el prob-lema de valores iniciales para la ecuacin diferencial lineal homogneade primer orden x0 = x.

1 Introduccin

El clculo logartmico se desarroll de manera simultnea, a finales del sigloXVI, en varios lugares de Europa. En Escocia, John Napier (1550-1617),contemporneo de Cervantes y Shakespeare, adems de construir la clase delogaritmos que lleva su nombre Neper es una forma latinizada del apellidodel escocs, fue el primero en utilizar un punto para separar la parte enterade la mantisa en la representacin de los nmeros no enteros. En Suiza, JostBrgi (1552-1632) fue un relojero que descubri una variante del clculo conlogaritmos, al parecer anteriores a los naturales. El otro fundador de la teorafue el ingls Henry Briggs (1561-1631), creador de los logaritmos decimales ovulgares, quien fue capaz de calcular los logaritmos de ms de 30.000 nmeroscon 14 decimales, desde luego sin calculadoras de ningn tipo.

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Esa coincidencia temporal refleja que exista la necesidad de disponer deuna herramienta de clculo para simplificar tediosas operaciones, sobre todoastronmicas. Hoy da nos preguntamos de qu manera se podan construiraquellas primitivas tablas de logaritmos, pero la contestacin no es tan difcil.Veremos que con poco ms que las reglas elementales de la aritmtica es yaposible hacerlo.Otra cuestin interesante es de qu modo algunas denominaciones se con-

servan a lo largo de la historia y las utilizamos sin darnos cuenta de susignificado, y mucho menos de su posible origen. Desde el punto de vistadidctico esto no carece de importancia, pues el uso de ciertas palabras deforma indiscriminada e inmotivada hace un flaco favor a la claridad y pre-cisin en la transmisin de los conocimientos matemticos. Comenzaremoscon este ltimo extremo.

2 La jerga matemtica

Como en todas las ciencias y profesiones, tambin existe una jergamatemtica.No nos referimos al lenguaje tcnico y preciso que es necesario inclusoinevitable para el intercambio de ideas y la transmisin de conocimien-tos matemticos, sino al uso y abuso de ciertas palabras que salpican lasexplicaciones de los matemticos y sorprenden a los profanos. nicamentenos ocuparemos de unas pocas expresiones comunes cuyo significado es pococlaro, a veces tanto para quien las oye como para quien las utiliza.

2.1 Trivial

Omos con frecuencia a los matemticos la expresin eso es trivial, y a vecesnos sorprende. En el uso corriente tal adjetivo significa que lo dicho es claro,transparente y no necesita explicacin alguna. Sin embargo, trivial esherencia del sistema universitario medieval, y se refiere a que la comprensinde lo dicho puede obtenerse con habilidades pertenecientes al Trivium, unaprimera etapa educativa compuesta de tres disciplinas: Gramtica, Retricay Dialctica. Notemos, pues, que nos seala en su origen la posesin deciertas habilidades y capacidades para alcanzar el convencimiento en unaargumentacin: No es, por tanto, sinnimo de inmediato o evidente. Elverdadero sentido actual entre matemticos va ms en la lnea original: Msbien quiere decir que, entre colegas de la misma o parecida especialidad, o es

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en efecto claro, o como mximo necesita un momento de reflexin usandolos elementos del Trivium que se concreta, poco despus, en un triunfalevidentemente! Tambin se usa obvio con igual intencin.El abuso de esta muletilla conlleva el riesgo de pensar que todos los oyentes

son capaces de captar la obviedad, cosa que slo se consigue con una ciertaexperiencia. Por suerte, tambin encontramos a veces mentes bien preparadasque ven con facilidad, lo que hace fluir suavemente el discurso matemtico.Elemental y evidente suelen usarse como sinnimos de trivial y obvio,aunque son menos elegantes y ms utilizados en el lenguaje hablado que enel escrito.

2.2 Cannico

He aqu una de las estrellas de la jerga matemtica. Su sonido nos traerecuerdos eclesisticos y musicales, y por ah podemos encontrar su verdaderosignificado, que nos remite a las ideas de invariancia y perpetuidad.EnMatemticas, algo es cannico cuando no depende de la representacin

concreta elegida para manejar el concepto u objeto de que se trate. En partic-ular pensemos en Algebra Lineal es muy til para denominar propiedadesinvariantes por cambios de coordenadas: Por ejemplo, la identificacin entreun espacio vectorial de dimensin finita y su bidual es cannica. En frmu-las, si v E, el elemento correspondiente v E es aqul que, para todaforma lineal E, satisface (v) = v(). Trivial o no?Posiblemente, el uso/abuso ms conocido de cannico en las Matemti-

cas Elementales sea ste: Supongamos k vectores escritos con respecto ala base cannica... Aqu nuestro vocablo, aunque tiene el significado antesdicho, slo sirve para complicar las cosas. Si {v1, v2, ..., vn} es una basecualquiera de un espacio vectorial, escribiendo las coordenadas de esos vec-tores respecto de s mismos, se tiene que, para todo i = 1, 2, ..., n, es vi =(i1, i2, ..., in), o sea cualquier base es cannica! Por tanto, lo mismo sepodra haber dicho: Elijamos una base cualquiera y sean k vectores escritosrespecto de ella...

2.3 Natural

Otra estrella, que por desgracia se confunde muchas veces con cannico. Porextraa casualidad, en Matemticas el significado de natural es el que

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naturalmente se nos ocurre: Decir de algo que es natural nos indica que seinfiere de manera simple natural del devenir del razonamiento.Volvamos al Algebra Lineal para poner un ejemplo, relacionado con el

que empleamos para cannico: El isomorfismo entre un espacio vectorial dedimensin finita E y su dual Ees natural (se nos ocurre establecerlo fijandouna base de E y calculando despus la base dual en E) pero no es cannicopues slo lo podemos construir as: A travs de una base.

3 Una pregunta inquietante: Por qu e?

No resultar exagerado si decimos que la primera vez que un estudiante deMatemticas se cruza con el apelativo natural es con relacin a los logarit-mos naturales o neperianos. S lo sera, por el contrario, suponer que nuestroestudiante considerase natural , a primera vista, la expresin e = lim

n(1+ 1

n)n

como base del sistema de logaritmos. A poca curiosidad que tenga, algunavez se habr preguntado por la naturalidad de tan enrevesada eleccin; tam-bin es probable que nadie se lo haya explicado nunca. A nuestro entender, lapresentacin de los logaritmos en cualquier base en la enseanza elementales irracional. Parece intuitivo que si 10 = 101 y 100 = 102, entonces 50 = 10p

para algn p entre 1 y 2. Sin embargo, la inocente cuestin, no ya de hallarp, sino de planterse cmo elevar 10 a digamos 1, 34567, deja muy malparadala forma habitual de introducir los logaritmos. Si, adems, elegimos una basetan peculiar como el nmero e, la situacin se vuelve bastante complicada.Por eso creemos que vale la pena intentar una justificacin.

3.1 Qu es un sistema de logaritmos?

La funcin real, de variable real positiva, x f(x) = log x es, salvo unaconstante, la nica solucin continua [3] de la ecuacin funcional f(xy) =f(x) + f(y). De la regla de definicin podemos obtener fcilmente algunaspropiedades:

Poniendo x = y = 1 queda f(1) = f(1) + f(1), de donde f(1) = 0. Si y = 1

x, tenemos f(xy) = f(1) = 0 = f(x) + f( 1

x), de donde f( 1

x) =

f(x).

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Por induccin se comprueba que si n N, entonces f(xn) = nf(x).Se puede probar que esta regla se extiende tambin para valores nonaturales del exponente.

Teorema: La funcin log, solucin de la ecuacin funcional anterior,transforma progresiones geomtricas en progresiones arimticasEn efecto: Dada una sucesin de nmeros en progresin geomtrica de

razn positiva r (elegimos r > 0 para que los trminos sean todos positivosy tenga sentido aplicar el logaitmo)

..., rn, ..., r2, r1, 1, r, r2, ..., rn, ...

apliquemos la funcin logaritmo trmino a trmino, escribiendo log r = d.Esta d es arbitraria (en esencia es la constante que aparece citada al definirel logaritmo) y por comodidad la tomamos positiva. Obtendremos, usandolas propiedades que acabamos de mostrar, la progresin aritmtica

...,nd, ...,2d,d, 0, d, 2d, ..., nd, ...

con diferencia d = log r. Observamos que este teorema es un resultadocannico: Es vlido aunque no sepamos ni siquiera cmo calcular los logarit-mos.Histricamente, este teorema se us como definicin de los logaritmos

[1, 6, 7]:Un sistema de logaritmos est constituido por un par de progresiones,

una de ellas geomtrica y la otra aritmtica. Los elementos de la progre-sin aritmtica se llaman logaritmos de los trminos de la progresin ge-omtrica.Vemos claramente cul es el objeto de la construccin de estos sistemas

o Tablas: Operaciones como el producto y la divisin de trminos de laprogresin geomtrica se transforman en la suma y la diferencia de sus corre-spondientes logaritmos, hecho del que pueden resultar notables ventajas enlas aplicaciones a clculos complicados.

3.2 Construimos una tabla natural de logaritmos

Vamos a comenzar a construir explcitamente la solucin de la ecuacin fun-cional. El clculo con logaritmos slo resultar prctico si, en nuestra pareja

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de progresiones, la geomtrica est formada por nmeros prximos entre s.Por otra parte, el logaritmo d de la razn r se puede elegir arbitrariamenteeste grado de libertad, que ya hemos comentado, est relacionado con elconcepto de base que veremos algo ms adelante, pero tambin convieneque no sea demasiado grande. As pues, para conseguir que la progresingeomtrica crezca lentamente, elegiremos r = 1+ c, con |c| 0. Si, adems, queremos que los clculos no involucrennmeros muy grandes, deberemos elegir la diferencia d = log r = log(1 + c)de modo que sea tambin pequea. Como el valor de d es arbitrario, senos ocurre naturalmente hacer d = c, y as slo manejamos un parmetro.Nuestra tabla de logaritmos ser:

Numero Logaritmo... ...

(1 + c)1 c1 0

1 + c c(1 + c)2 2c... ...

De esta manera tenemos construida la funcin logaritmo para un conjuntonumerable y discreto de valores reales positivos. Aunque las necesidadescomputacionales no nos lo exigen, un matemtico que se precie no quedartranquilo hasta haber extendido esta definicin a la semirrecta real positiva.Notemos tambin que en la construccin de la tabla de logaritmos slo in-

tervienen dos operaciones aritmticas bien conocidas: El producto y la suma.Ello desvela, de manera un tanto decepcionante, uno de los misterios delas Matemticas Elementales: Cmo se hicieron las tablas de logaritmos?

3.3 Mejoramos la tabla de logaritmos

Como ya hemos dicho, la tabla puede no ser lo bastante densa para nuestrospropsitos calculsticos. Tambin ese problema tiene remedio si recurrimosa la interpolacin de trminos en las respectivas progresiones.Sean g y gr > g dos trminos consecutivos de la progresin geomtrica.

Interpolar n trminos entre ambos es hallar n nmeros g1, g2, ..., gn tales que

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g < g1 < g2 < ... < gn < gr, y de modo que los n + 2 nmeros se hallenen progresin geomtrica. Usando la definicin de progresin geomtrica,bastar tomar como razn de la nueva progresin r0 = n+1

r.

Anlogamente, sean a y a+d > a dos trminos consecutivos de la progre-sin aritmtica. Interpolar n trminos entre ambos ser hallar n elementosa1, a2, ..., an tales que a < a1 < a2 < ... < an < a+d, y de modo que los n+2nmeros se hallen en progresin aritmtica. De la definicin de progresinaritmtica se sigue que hemos de tomar como diferencia para la nueva pro-gresin d0 = d

n+1. Si a = log g y a + d = log gr, el proceso de interpolacin

ha generado una tabla con menores intervalos entre sus constituyentes, y sededuce que se puede hacer tan densa como deseemos recurriendo a interpolartantas veces como haga falta. Notemos que si los elementos de la progresingeomtrica estn ya bastante prximos entre s, la interpolacin de un nicoelemento puede bastar para calcular con bastante precisin. Interpolar unslo elemento es equivalente al clculo de una simple raz cuadrada, y hallarla raz cuadrada de un nmero muy prximo 1, tal como 1 + d, se reducea modificar la ltima cifra, as que las operaiones para finar la tabla siguensiendo elementales.Es interesante observar que, desde el punto de vista de posibles clculos,

slo necesitaremos interpolar en aquellos tramos de valores donde vayamosa trabajar. As pues, para interpolar n nmeros entre cada par de elementosde la progresin geomtrica y hallar sus logaritmos, tomaremos como razny diferencia de las nuevas progresiones los nmeros rn = n+1

1 + c = 1 + cn

y dn = cn+1 . Es claro que ahora no ser cierto que cn = dn.Todava no hemos conseguido extender la definicin de logaritmo a la

totalidad de la semirrecta positiva, pero podemos aventurar una contestacina la pregunta que da ttulo a este trabajo, y que nos conducir a la deseadaextensin.

4 Por qu son naturales los logaritmos nepe-rianos?

Recordemos las dos ideas que hemos visto ms arriba: Hacer iguales lascantidades que definen las progresiones, c y d, y considerar la interpolacin.Adems, para reencontrar la presentacin habitual, deberemos incorporarel concepto de base del sistema de logaritmos. Con estos tres elementos

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podremos construir una respuesta a la pregunta inquietante.La base B del sistema de logaritmos definido por una pareja de progre-

siones es aquel nmero cuyo logaritmo es 1.Veamos, pues, que la base depende de la razn r y de la diferencia d, y

comprobaremos que la eleccin c = d nos har aparecer una base natural.En un trabajo anterior de uno de los autores [4] se presentaba este mismorazonamiento con menor detalle y algunos que otros errores de tipografa y declculo. Supongamos que partimos de nuestro par original de progresiones,con c = d, y que en la progresin aritmtica encontramos el nmero 1, paralo cual basta que elijamos para c un nmero racional cuya representacinirreducible tenga numerador 1. En ese caso, existe un elemento (1+ c)n en laprogresin geomtrica tal que su logaritmo es nc = 1, c = 1

n, y obtenemos

para la base la siguiente expresin, que sin duda nos resulta bastante familiar:

Bn = (1 +1

n)n

Tomando n lo bastante grande obtenemos algunos casos simples: n = 100nos da la base B100 = (1 + 1100)

100 = 2, 7048..., y con n = 1000 tendremosB1000 = (1+

11000

)1000 = 2, 7169..., que coincide con el nmero e, que definire-mos un poco ms abajo, en las tres primeras cifras. Recordemos que laintroduccin de la notacin e se debe a Leonhard Euler (1707-1783). Elnmero e es irracional y trascendente y sus primeras cifras son, como es biensabido, 2, 71828...Si el nmero 1 no aparece en nuestra progresin aritmtica, lo que ocurre

si la eleccin para c es un nmero racional no reducible a otro con numerador1, o bien un irracional, existir algn n tal que:

nc < 1 < (n+ 1)c, de donde (1 + c)n < B < (1 + c)n+1

De la primera cadena de desigualdades obtenemos 1n> c > 1

n+1, que nos

proporciona en la segunda la relacin

(1 +1

n+ 1)n < B < (1 +

1

n)n+1

La expresin anterior se puede escribir tambin como

1

1 + 1n

(1 +1

n+ 1)n+1