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LOGARITMOS

DEFINICIÓN

El logaritmo de un número real positivo (N) en una base positiva (b) (diferente de la unidad) se define como el exponente (x) al cual hay que elevar a la expresión llamada base para que no reproduzca el número dado.

Así:

PROPIEDADES GENERALES No existe el logaritmo de los números negativos en el campo de los números reales, pero si en los complejos. Ejemplo:

en R : pero si en C.

9log 3

La escala logarítmica más conocida es la escala de Richter, utilizada para medir la intensidad de los terremotos. Toma su nombre del sismólogo estadounidense Charles Richter (1900-1985).

Se mide la energía liberada en un terremoto, mediante la amplitud máxima de las ondas que registra el sismógrafo. Dado que llega a haber diferencias enormes entre unos y otros casos, se define la magnitud M del seísmo utilizando logaritmos:

log E = 11,8 + 1,5·M

Donde M es la magnitud del terremoto en la escala de Richter y E la energía liberada (expresada en ergios)

Fig 1.Terremotos.[ilustración]. Consultado el 12 de junio del

2020. Recuperado de

https://www.eitb.eus/es/noticias/internacional/detalle/685067

7/terremoto-albania-situacion-balance-muertos-28-noviembre-

2019/

log Nb

= x N = bx

número

base logaritmo

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1. Logaritmo de una unidad en cualquier base es

igual a cero.

2. Logaritmo de la base es igual a la unidad.

3. Logaritmo de un producto.

Ejemplo:

log35+log37+log32+log3(x+1)=log370(x+1) 4. Logaritmo de un cociente.

Ejemplo:

logb

CD

AB = logb A+logb B+logb C–logb D

5. Logaritmo de una potencia:

No confundir:

6. Logaritmo de una raíz

7. Cambio de base

Sea “a” la base desconocida o no conveniente. Sea “b” la base conocida o conveniente.

8. Regla de la cadena.

Consecuencia:

Ejemplo:

9.

Ejemplo:

Si se invierte la base de un logaritmo este

sistema cambia de signo. Así:

Ejemplo:

Propiedad de la permuta

SISTEMAS DE LOGARITMOS

a) Logaritmos decimales, vulgares o de Brigg’s.

b) Logaritmos naturales o neperianos.

e = número inconmensurable.

donde: 2 < e < 3; (e 2,7182)

01log b

1blog b

BlogAlog)B.A(log bbb

BlogAlog)B

A(log bbb

NlognNlog bn

b

NlogNlog nb

nb

Nlogn

1Nlog b

nb

alog

NlogNlog

b

ba

1blog.alog ab

blog

1alog

ab

aLogdlog.clog.blog.alog eedcb

eLogelog.dlog.clog.alog bdcab

nn

b

nnb

bNlog

Nlog

Nlog

24log16log

216log16log216log

24

216

224

4

NlogNlog b

b

1

7

4log4log7log4log7log 3333

3

1

ablogcblogca

NlogNlog10

LNInNNloge

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Ejemplo:

Las propiedades también se cumplen en este

sistema de logaritmos:

In 1 = 0

In e = 1

In (AB) = In A + In B

In = In A – In B

In = k In N

In = k

ECUACIONES LOGARÍTMICAS El conjunto solución se le llama Conjunto de Valores Admisibles (CVA), luego se aplica las propiedades de los logaritmos en la ecuación, con el objeto de obtener otra más sencilla, que nos lleve a su solución o soluciones, que deben ser elementos del CVA. Se mencionará cuatro casos elementales de ecuaciones logarítmicas.

CASO I

Siendo: L > 0 L 1, la ecuación: es

equivalente a resolver:

CASO II

Siendo: L > 0 L 1, resolver la ecuación:

. Se resuelve así:

f(x) > 0 G(x) > 0: CVA

f(x) = G(x)

CASO III

Siendo: L > 0 L 1, resolver la ecuación:

. Se resuelve por:

f(x) > 0 G(x) > 0: CVA

f(x) . G(x) = L

CASO IV

logG(x) f(x) = R

Se resuelve:

f(x) > 0 G(x) > 0 G(x) 1 : CVA f(x) = [G(x)]R

7L7In7loge

B

A

kN

Ne NIn ke

R)x(fLog L

RL)x(f

0)x(f

)x(Glog)x(flog LL

R)x(Glog)x(flog LL

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EJERCICIOS DESARROLLADOS

01. Resolver:

Resolución

y2 + 3y > 0 y2 + 3y = 22

y2 + 3y = 4 y2 + 3y – 4 = 0

y = 1 v y = – 4

02. Resolver:

Resolución

CVA

07y404y2 y2 – 4 = 4y – 7

y = 1 v y = 3 Ojo: y = 1 (No satisface las relaciones iniciales). y = 3 Conjunto solución. 03. Resolver:

)3(log3y2log5ylog

Resolución

(y – 5) ( 2y – 3) = 9

– 13y + 6 = 0

y = 6 v y = 1/2 Sólo cumple con y = 6 Conjunto solución.

04. Resolver:

Resolución

5y+19>0y+1>0y+10 =5y+19

y = 6 v y = – 3 Cumple sólo y = 6 Conjunto solución.

05. Resolver:

Resolución

CVA está dado por:

y > 0 y 1

Luego por propiedad:

)y8(log16logy

2log

yy

18log16log.2logyyy

12log2log.2log 3y

4yy

12log3)2(log4y

2y

012log32log4y

2y

y = 2 y = 1/16

PRÁCTICA DE AULA

INSTRUCCIÓN: Aplica estrategias para resolver ejercicios

de logaritmos. Luego sube tus desarrollos a la carpeta

classrron

1) Hallar “L” en:

L =

a) 5/8 b)1

5

6

c) 3

d) 7/5 e) N.A. 2) Simplificar la expresión:

a) 2 b) 3 c) 5 d) 4 e) 16

3) Indicar el equivalente de:

L = a) 12 b) 4 c) 42 d) 6 e) 1 4) Reducir la expresión:

R =

a) 220 b) 150 c) 100 d) 12 e) 42 5) Indicar el equivalente de:

a) 60 b) 30 c) 15 d) 7,5 e) 3,75

2)y3y(log 22

)7x4(log)4y(log 22

2

7y44y2

03y4y2

3)3y2)(5y(3y205y

2y2

2)19y5(log 1y

2)1y(

018y3y9y5)1y( 22

y8162ylog

35,0log37log

72log25log

9 25log

)162log5(3log66 )9log4(log

32log123log123

35log152log15.2

56log156log23.2

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6) Efectuar la expresión:

a) 30 b) 42 c) 12 d) 10 e) 15 7) Para qué valor de “L” se verifica la relación: 5,2LlogLlogLlogLlog

3

12739

a) 27 b) 9 c) 4 d) 16 e) 3 8) Luego de resolver el sistema:

2logL = 4logR ........... ()

3logL + 4logR = 20 ........... () Calcular: logR L + R

a) 98 b) 102 c) 89 d) 202 e) 96 9) Resolver el sistema:

logL + logR2 = 5 ........... ()

logR + logM2= 8 ........... ()

logM + logL2 = 5 ........... () Indicar luego el valor de: log(L.R.M.) a) 9 b) 6 c) 3 d) 4 e) 5

10) Si:

logL+logR+logM= log

L

2 +log

R

3 +log

M

4

Hallar: L . R . M

a) 6 2 b) 4 2 c) 2 2 d) 2 2 e) 4 2

11) Si:

= 0 . Hallar: .

a) log 6 b) log

2

3 c) log

3

2

d)3log

2log e)

2log

3log

12) El valor de:

es:

a) 10000 b) 5050 c) 10100 d) 4950 e) 20000

13) Si: . Hallar el producto de

las soluciones: a) 0,001 b) 0,1 c) 0,01 d) 10 e) 100

14) Una escala utilizada para medir la cantidad de

energía liberada por un terremoto es la escala de

Ritcher, representada por la ecuación:

log 𝐸 = 1,5. 𝑅 + 11,8;

donde:

E: energía liberada, en ergios R: magnitud del terremoto, medida en grados en la escala de Ritcher. En el terremoto de del 13 de junio del 2005 en Haura, provincia de Iquique, que tuvo una magnitud de 7,8; ¿Qué energía liberó?

33log57log23log32log

25.4.9

RlogLlog 23 RlogL

)32(Rlog)21(Rlog)10(Rlog

RRRL

)10099(RlogR........

06Llog)L(log Llog