guia n° 8: logaritmos

LICEO BICENTENARIO Asignatura: MATEMATICA

Ge TECNICO PROFESIONAL

i %, “MARY GRAHAM” Nivel o curso: 2 MEDIO

VILLA ALEMANA : MARIA ISABEL ESPINOZA SILVA ap Profesoras: MARIA JOSE BERGER PEREZ

GUIA N° 8: LOGARITMOS

Unidad Programatica: | N° 1

Objetivo priorizado OA 2 Guia N° | 8

N°:

Semana N° Fecha : 29-10 al06- 11

Nombre: Curso:

Querida/o estudiante, a través de esta guia aprenderas conceptos y propiedades de los

logaritmos, que te permitiran relacionar potencias, rafces y logaritmos.

Objetivo: Establecer relaciones entre potencias, rafces enésimas y logaritmos.

Habilidad:

Argumentar y comunicar.

- Describir relaciones y situaciones matematicas, usando lenguaje matematico,

esquemas y graficos.

- Explicar soluciones propias y los procedimientos utilizados.

Objetivo: Adquirir concepto de logaritmos.

En la expresisn a" = D la incégnita podria tener 3 posiciones diferentes.

a" = x se busca el resultado de la potencia.

a" = b x" = b _ se busca el valor de la base de la potencia.

a* = b_ se busca el valor del exponente.

Def. logaritmos:

Sean a,x € IR*, a #1. Diremos que y es el logaritmo en base ade x ssi x =a’

es decir:

Ejemplo:

1) y=logs 16 & = 16> y = 2

2) y=log, 32 & B= 325 y = 5

3) y=logs 36 & & = 365 y = 2

ym , _LICEO BICENTENARIO Asignatura: MATEMATICA TECNICO PROFESIONAL ”

(CB) “MARY GRAHAM” Nivel 0 curso: 2° MEDIO

\ VILLA ALEMANA . MARIA ISABEL ESPIN OZA SILVA

% , Profesoras: MARIA JOSE BERGER PEREZ

4) y=log327 @ B= 275 y =3

y D yelnggt = (=f 39-2

6) y=logu 8 & O4°= 8 |S y = +

1\¥ 7) y=loga25 © (=) =25>y = -2 Tarea

9 y=loay

») yslogay

10) y = logs: 3

Grafica de la funcién logaritmica y = loge x

‘y

Ly}

+

+

,

*

+

+

—

2

‘

s 2 30 > 3s} 6 oe bP we Hee Kha hahah Hh hhh Ke Hae Hee HH + as a a el ft

2

~+

+

+

+

+

—s

”

'

oe Observacién:

i) y =loga x es una funcién real cuyo dominio es IR* y el recorrido es IR.

By

LICEO BICENTENARIO

TECNICO PROFESIONAL

“MARY GRAHAM”

VILLA ALEMANA

Asignatura: MATEMATICA

Nivel 0 curso: 2° MEDIO

Profesoras: MARIA ISABEL ESPINOZA SILVA

° MARIA JOSE BERGER PEREZ

ii) Cada valor real positivo distinto de 1 que toma la base a da origen a un sistema

completo de logaritmos.

ili) Si la base es 10 no se escribe el] sistema completo de logaritmos de base 10 se llama

logaritmos comunes, decimales o logaritmos de Briggs.

iv) Sila base ese = 2,7128

naturales o neperianos se denota por y =Inx

, entonces el sistema se denomina logaritmos

v) En los logaritmos la incégnita puede estar en la base del logaritmo, en el argumento

o en el exponente.

Ejemplo:

1) logal25=3 @ a@=125 >a=5

2) lom@ x= 5 @& D=

3) logs64 =y & 4Y

Ahora resuelves ti

4) logx = 3

5) log) 16 =y

125 6) logas> =-3

64 => y=3

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Ge TECNICO PROFESIONAL

i Y, “MARY GRAHAM” Nivel o curso: 2 MEDIO


Objetivo: Determinar el valor de la base del logaritmo, del argumento o del exponente, aplicando la definicién de logaritmos.

Ejercicios de tarea

Determina el valor de la incégnita en las siguientes expresiones, aplicando la definicién de logaritmos:

1) log,81 = x

2) log , 49 i} N

3) log, x = 4

4) log 5 (—)= x

5) log, x = —4

6) log,27 =—3

7) logy = = + 2

8) logy x = —5

9) logy 1 6 =X 216

10) = logox

NIB

i} -) 11) = logs x

12) log x=-5

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(B) “MARY GRAHAM” Nivel o curso: 2° MEDIO

VILLA ALEMANA : MARIA ISABEL ESPINOZA SILVA Sas? Profesoras: MARIA JOSE BERGER PEREZ

Objetivo: Adquirir las propiedades de los logaritmos, para aplicarlas en la resolucién de

expresiones logaritmicas.

Habilidad: Identificar y aplicar propiedades de los logaritmos.

Propiedades de los logaritmos

i) Logaritmo de la base: El logaritmo de la base es uno, es decir:

logaa = 1 dem: a! = a (por definicién de logaritmos)

Ejm. log33 = 1 porque 3! = 3

ii) Logaritmo de la unidad: El logaritmo de uno es cero, es decir:

loga 1 = 0 dem: a° = 1 (por definicién de logaritmos)

Ejm. log7 1 = 0 porque 7° = 1

iii) Logaritmo de un producto: El logaritmo de un producto es igual a la suma de los

logaritmo, es decir:

logamn = logam + logan

Ejm. logs 3pq = logs3 + logs p + logs q

iv) Logaritmo de un cociente: El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia de los

logaritmo, es decir:

loga (=) = logam — logan n

Bjm.1) log(4) = logy — log 12

2) logs (=) = log 1— 1og:32

= 0-5

= -5

ym , _LICEO BICENTENARIO Asignatura: MATEMATICA TECNICO PROFESIONAL ”

(CB) “MARY GRAHAM” Nivel 0 curso: 2° MEDIO

\ VILLA ALEMANA . MARIA ISABEL ESPIN OZA SILVA

% , Profesoras: MARIA JOSE BERGER PEREZ

v) Logaritmo de una potencia: El logaritmo de una potencia es igual al producto del

exponente por el logaritmo, es decir:

loga m” =n logam

Ejm.1) log; 4 = 2 logs 4

2) log 100x’y? = log 100 +2logx + 3logy

=2+2logx + 3logy

vi) Logaritmo de una raiz: El logaritmo de una raiz es igual al producto del exponente

fraccionario por el logaritmo, es decir:

loga Vb™ = ~loga b

Ejm. 1) log: V8? = = log, 8

-2. =3#

= 2

2) log 4/100xty5 = = log 100 + ~ log x + = log y

= 7 -7+ logx + ~ logy

1 5 z+ log x + zlosy

125 x3 3 By ) = Zlogs 5 + 3logsx — 2logs5 - 4logs y 3) logs (

= 4 + 3log, x- 2-1- 4logs y

= = - 2 + 3log; x- 4logs y

=--+ + 3log; x- 4logs y

BS, LICEO BICENTENARIO Asignatura: MATEMATICA We recnico proresionaL Nivel "TS MEDIO k %, “MARY GRAHAM” Ivel 0 curso:


vii) Teorema del cambio de base.

log.b c

log, b = log,a

Obs: Este teorema nos permite Hevar al logaritmo a una base que se pueda

calcular

log 3 Ejm. 1) log,3 = fog 5

log 3

log5

Como puedes observar la base 5 la cambiamos

a base 10 para poder realizar el cAlculo en la

calculadora que sélo nos permite calcular en

base 100 e. (log y In)

log3 — 0,477121254

log5 _ 0,698970004

= 0,682606194 = 0,683

Obs: Cuando resuelvas ejercicios de este tipo debes usar calculadora cientifica.

Ejercicios:

I. Desarrolla las siguientes expresiones aplicando las propiedades de los logaritmos: 1) log @Qab) =

3a 2) lbg—= ) log 4

2a? 3) bg—= ) bg 3

4) loga?b*=

5) log Jab =

6) log vx 2y

ym LICEO BICENTENARIO Asignatura: MATEMATICA

(B) ena Chota Nivel o curso: 2° MEDIO

Rap ia stress Pfowrs: | MAR SRS 7) log 2avb =

3

8) log 280 - c

274

9) log 5a bile =

2xy

10) log(abe)? =

11) loa y=

12) log 7ab3{5c? =

2ab

x? ¥

13) log

14) log(a® -b7) =

302

15) log =

b>

16) log "=

a(b—-c)

\y d?m 17) log

Il.

Re, LICEO BICENTENARIO

¥ 4 TECNICO PROFESIONAL

(B) “MARY GRAHAM”

&q at VILLA ALEMANA





18) log3 (a+b)” _ Se

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

Reduce a un solo logaritmo las siguientes expresiones:

log a+ log b=

log x — log y=

1 1 —log x+—lo = 3 8 3 gy

log a— log x— log y=

log p + log q—logr—-—logs=

log 2+ log3+log4 =

1 1 1 —log a——log b-——loge = 3 6 2 6 2 6

3 5 —loga+—logb = 2 e 2 e

log a+ log b~ 2log c=

10) log (a+ b) + log (a—b) =

Til.

Re, LICEO BICENTENARIO

¥ 4 TECNICO PROFESIONAL

(B) “MARY GRAHAM”

& o VILLA ALEMANA





1 1 1 11) —log x-—log y+—lo = 5 gx—zlog y+ logz

12) log(a —b) -log3 =

13) log a4 log b + = (log c-2logd)=

14) P log a +t bogb= n n

Si log 2 = 0,3; log 3 = 0,47; log 5 = 0,69 y log 7 = 0,84. Calcula:

Ejm. log4 - log2 +log2 = 0,3 +0,3= 0,6

1) log6 =

2) log 27=

3) log 14=

4) log 2 =

5) log?/i5=

6) lg =

7) log 3,5 =

2 1 3log —-4log— = 8) 85 oe

Ry Wy,

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“MARY GRAHAM”

VILLA ALEMANA




° MARIA JOSE BERGER PEREZ 9) log 18- log 16 =

IV.- Determina el valor de las siguientes expresiones aplicando teorema de cambio de base

cuando sea necesario y utilizando calculadora cientifica:

log 4 Ejm. log74 = ——— ®& 0,712

dine 1087 log7 ,

1) log, 5 =

2) logo2 -— log,6 =

3) log,10 — logs8 + logs 36 =

4)

5)

3 log , 16

4log 381 + logs 16 — 2log 119 =

— log, 12 + log 20 =

11

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