aula de logaritmos
DESCRIPTION
material usado em sala para apresentar a Teoria de LogaritmosTRANSCRIPT
MATEMÁTICAProf. José Junior Barreto
Qual é o tempo?
Giovanna ganhou 1 000 reais de seu
pai pra fazer sua festa de 15 anos. Ao
receber o dinheiro, no entanto,
resolveu abrir mão da festa. É que ela
queria comprar um computador.
Mas havia um problema: o computador
que ela queria custava 1 500 reais. O
jeito era aplicar o dinheiro que tinha,
até conseguir o valor necessário.
MATEMÁTICA Prof. José Junior Barreto
MATEMÁTICA Prof. José Junior Barreto
Giovanna foi ao banco e conseguiu uma taxa de
5% ao mês, capitalizados mensalmente.
Chegando em casa, ficou curiosa. Em quanto
tempo os 1000 reais aplicados se transformariam
nos 1500 reais de que precisava?
Qual é o tempo?
Ela havia acabado de aprender a calcular
juros compostos.
Fez, então, as suas contas.
MATEMÁTICA Prof. José Junior Barreto
Veja os cálculos
Capital aplicado: C = 1 000Taxa: 5 % ao mês = 0,05 ao mêsMontante pretendido: M = 1 500,00
M = C.(1 + i)t ⇒ 1 500 = 1 000 . (1,05)t
⇒ 1,05t = 1,5
Giovanna concluiu, portanto, que seu objetivo seria atingido no final do 9º mês de aplicação.
1,057 ≈ 1,4071,058 ≈ 1,4771,059 ≈ 1,551
MATEMÁTICA Prof. José Junior Barreto
Qual é o expoente?
A teoria dos logaritmos é muito útil em
problemas como esse, que envolve a
determinação de um expoente.
Como poderia ser obtido, com uma aproximação
razoável e sem utilizar o método das tentativas,
o valor de t na equação 1,05t = 1,6?
MATEMÁTICA Prof. José Junior Barreto
HistóriaA invenção dos logaritmos ocorreu no
início do século XVII e é creditada ao
escocês John Napier e ao suíço
Jobst Burgi.
Inicialmente seu objetivo era
SIMPLIFICAR OS CÁLCULOS NUMÉRICOS,
principalmente em problemas ligados à
Astronomia e à Navegação.
MATEMÁTICA Prof. José Junior Barreto
História
Foi o matemático inglês Henry
Briggs (1561 – 1631) quem
propôs, inicialmente, a utilização
do sistema de logaritmos
decimais. Afinal, o nosso sistema
de numeração utiliza justamente
a base 10.
MATEMÁTICA Prof. José Junior Barreto
História
Atualmente, são inúmeras as
aplicações tecnológicas dos
logaritmos. Eles são úteis, por
exemplo, na resolução de
problemas que envolvem
desintegração radiotiva, o
crescimento de uma população
de animais ou bactérias, etc.
MATEMÁTICA Prof. José Junior Barreto
A base 10Todo número positivo pode ser escrito
como uma potência de base 10, ou
como uma aproximação dessa
potência. Veja os exemplos:
1 = 100 0,1 = 10–1
10 = 101 0,01 = 10–2
100 = 102 0,001 = 10–3
1 000 = 103 0,0001 = 10–4
10 000 = 104 0,00001 = 10–5
MATEMÁTICA Prof. José Junior Barreto
A base 10
2 = 100,301
3 = 100,477
7 = 100,845
Na maioria dos casos, torna-se difícil
escrever um número como potência
de base 10. Em valores aproximados
apresentamos os exemplos:
11 = 101,041
13 = 101,114
MATEMÁTICA Prof. José Junior Barreto
ExemplosUsando as igualdades 2 = 100,301 e 3
= 100,477, escreva os números 4, 5 e 6
como potência de base 10.
4 = 22 = (100,301)2 = 10 0,602
5 = = = 101 – 0,301102
10100,301 = 10 0,699
6 = 2.3 = 10 0,301 . 100,477 = 100,301 + 0,477
= 100,778
MATEMÁTICA Prof. José Junior Barreto
Exemplos Usando as igualdades 2 = 100,301 e
3 = 100,477, escreva o número 60 como
potência de base 10.
60 = 2.3.10 = 10 0,301 . 10 0,477 . 10
⇒ 60 = 10 0,301 + 0,477 + 1
⇒ 60 = 10 1,778
MATEMÁTICA Prof. José Junior Barreto
Exemplos
Usando as igualdades 2 = 100,301 e 3 = 100,477,
resolva a equação exponencial 2x = 12.
2x = 12 ⇒ 2x = 22.3
⇒ (100,301)x = (100,301)2 . 100,477
⇒ 100,301.x = 100,602 . 100,477
⇒ 100,301.x = 101,079
⇒ 0,301.x = 1,079 ⇒ x = 1,0790,301
⇒ x ≈ 3,585
MATEMÁTICA Prof. José Junior Barreto
Logaritmo como expoente
O conceito de logaritmo está associado à
operação potenciação: mais precisamente
à determinação do expoente. Veja:
2X = 8 ⇒ X = 3
No caso, dizemos, que o logaritmo de 8, na base 2 , é igual ao expoente 3. Em símbolos,
log2 8 = 3
MATEMÁTICA Prof. José Junior Barreto
Observe: calcular o log2 8 é descobrir o
expoente ao qual se deve elevar a base 2,
para obter, como resultado, a potência 8.
Vale, portanto a equivalência:
log2 8 = 3 ⇔ 23 = 8
Calcular um logaritmo é obter um expoente.Logaritmo é o mesmo que expoente.
Logaritmo como expoente
MATEMÁTICA Prof. José Junior Barreto
DefiniçãoSuponhamos dois reais positivos a e
b (a ≠ 1). Se ax = b, dizemos que x
é o logaritmo de b na base a
(simbolicamente loga b = x).
loga b = x ⇔ ax = b
a é a base b é o logaritmando ou antilogaritmo
x é o logaritmo
MATEMÁTICA Prof. José Junior Barreto
Exemplos
log5 √25 = 2/3, porque 52/3 = √25
log2 32 = 5, porque 25 = 32
log3 (1/81) = –4, porque 3–4 = 1/81
log10 0,001 = –3, porque 10–3 = 0,0013 3
De acordo com a definição, calcular um logaritmo é descobrir o expoente, ou seja,
resolver uma equação exponencial.
MATEMÁTICA Prof. José Junior Barreto
Exemplos
Calcular log4 8.
log4 8 = x ⇒ 4x = 8
⇒ (22)x = 23
⇒ 22x = 23
⇒ x = 3/2
MATEMÁTICA Prof. José Junior Barreto
Exemplos
Calcular log1/3 √9.5
log1/3 √9 = x5 ⇒ 13
x
= √95
⇒ (3–1)x = 32/5
⇒ 3–x = 32/5
⇒ –x = 2/5
⇒ x = –2/5
MATEMÁTICA Prof. José Junior Barreto
Condição de existência do logaritmo
Da definição, concluímos que o logaritmo
só existe sob certas condições:
loga b = x ⇔ b > 0 a > 0 a ≠ 1
MATEMÁTICA Prof. José Junior Barreto
Condição de existência
Analise quais seriam os significados de log2 (–4), log(–2) 8, log7 0, log1 6 e
log0 2, caso fossem definidos.
log2 (–4) = x ⇒ 2x = –4 impossívellog–2 8 = x ⇒ (–2)x = 8 impossívellog7 0 = x ⇒ 7x = 0 impossívellog1 6 = x ⇒ 1x = 6 impossívellog0 2 = x ⇒ 0x = 2 impossível
MATEMÁTICA Prof. José Junior Barreto
Consequências da definição
Admitindo-se válidas as condições de existência
dos logaritmos, temos os seguintes casos
especiais, que são consequências da definição.
loga 1 = 0
loga a = 1
loga ak = k
porque a0 = 1
porque a1 = a
porque ak = ak
MATEMÁTICA Prof. José Junior Barreto
Exemplos
log3 3 = log10 10 = log3,7 3,7 = 1
log3 1 = log10 1 = log3,7 1 = 0
log3 39 = 9
log10 10–3 = –3
MATEMÁTICA Prof. José Junior Barreto
SISTEMAS DELOGARITMOS
DECIMAIS
MATEMÁTICA Prof. José Junior Barreto
Sistema de logaritmos
Sistema de logaritmos é o conjunto de
todos os logaritmos numa determinada
base. Entre os infinitos sistema de
logaritmos, destaca-se o sistema de
logaritmos decimais, que utiliza a base 10.
No cálculo de logaritmos decimais,
convenciona-se não escrever a base, ou
seja, log x é o mesmo que log10 x.
log x → logaritmo decimal de x (base 10)
MATEMÁTICA Prof. José Junior Barreto
Exemplos
log 1000 = log10 1000 = 3
log 0,01 = log10 10–2 = –2
log 1 = log10 1 = 0
log 100 = log10 100 = 2
MATEMÁTICA Prof. José Junior Barreto
Logaritmos decimais
O primeiro a utilizar os logaritmos
decimais foi o matemático inglês
Henry Briggs (1561-1631).
Foi ele quem construiu a primeira
tábua de logaritmos decimais.
MATEMÁTICA Prof. José Junior Barreto
Tábua de logaritmos decimaisn log n n log n n log n n log n
1 0 11 1,041 21 1,322 31 1,491
2 0,301 12 1,079 22 1,342 32 1,505
3 0,477 13 1,114 23 1,362 33 1,519
4 0,602 14 1,146 24 1,380 34 1,531
5 0,699 15 1,176 25 1,398 35 1,544
6 0,778 16 1,204 26 1,415 36 1,556
7 0,845 17 1,230 27 1,431 37 1,568
8 0,903 18 1,255 28 1,447 ... ...
9 0,954 19 1,279 29 1,462 99 1,996
10 1 20 1,301 30 1,477 100 2
log 13 = 1,114ou
101,114 = 13
log 35 = 1,544ou
101,544 = 35
MATEMÁTICA Prof. José Junior Barreto
PROPRIEDADES DOS
LOGARITMOS
multiplicações em adições
divisões em subtrações
potenciações em multiplicações
MATEMÁTICA Prof. José Junior Barreto
Propriedades dos logaritmos
O logaritmo tem uma particularidade
importante. Ele transforma operações
mais complicadas em operações mais
simples.
Com as propriedades dos logaritmos
podemos transformar:
MATEMÁTICA Prof. José Junior Barreto
Logaritmo do produto Vamos calcular o valor do log 21, a partir dos
valores de log 3 = 0,477 e log 7 = 0,845.
log 3 = 0,477 ⇒ 100,477 = 3log 7 = 0,845 ⇒ 100,845 = 7
log 21 = x ⇒ 10x = 21
⇒ 10x = 3.7 ⇒ 10x = 100,477.100,845
⇒ x = 0,477 + 0,845 ⇒ x = 1,322
⇒ 10x = 100,477 + 0,845
log 21 = log (3.7) = log 3 + log 7
MATEMÁTICA Prof. José Junior Barreto
Logaritmo do produto
De modo geral, o logaritmo do
produto de dois números, numa certa
base, é a soma dos logaritmos desses
números, na mesma base.
Loga (x.y) = loga x + loga y
OBS: Para o produto de três ou mais fatores, a propriedade continua válida.
MATEMÁTICA Prof. José Junior Barreto
ExemplosA partir de log 2 = 0,301 e log 13 = 1,114,
calcular log 26 e log 2000.
log 26 = log (2.13) = log 2 + log 13
log 26 = 0,301 + 1,114 = 1,415
log 2000 = log (2.1000) = log 2 + log 1000
log 2000 = 0,301 + 3 = 3,301
MATEMÁTICA Prof. José Junior Barreto
Exemplos
Transformar num único logaritmo e
calcular o valor da expressão
log 4 + log 5 + log 50.
log 4 + log 5 + log 50 = log (4.5.50)
log 4 + log 5 + log 50 = log 1000= 3
Logaritmo do quociente
Vamos calcular o valor do log (3/2), a partir dos
valores de log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477.
log 2 = 0,301 ⇒ 100,301 = 2log 3 = 0,477 ⇒ 100,477 = 3
log (3/2) = x ⇒ 10x = 3/2
⇒ 10x = 32 =
100,477
100,301 = 100,477 – 0,301
⇒ x = 0,477 – 0,301 ⇒ x = 0,176
log (3/2) = log 3 – log 2
MATEMÁTICA Prof. José Junior Barreto
MATEMÁTICA Prof. José Junior Barreto
Logaritmo do quociente
De modo geral, o logaritmo do
quociente de dois números, numa
certa base, é a diferença dos
logaritmos desses números, na
mesma base.
Loga (x/y) = loga x – loga y
MATEMÁTICA Prof. José Junior Barreto
Exemplos
A partir de log 2 = 0,301 obter log 5.
log 5 = log 102 = log 10 – log 2
⇒ 1 – 0,301
⇒ log 5 = 0,699
MATEMÁTICA Prof. José Junior Barreto
Logaritmo da potência
Vamos calcular o valor do log 34, a
partir do valor de log 3 = 0,477.
log 3 = 0,477 ⇒ 100,477 = 3
log 34 = x ⇒ 10x = 34 ⇒ 10x = (100,477)4
⇒ x = 4 . 0,477
⇒ x = 1,908
log 34 = 4 . log 3
MATEMÁTICA Prof. José Junior Barreto
Logaritmo da potência
Generalizando, o logaritmo de uma
potência, é igual ao produto do expoente
da potência pelo logaritmo da base.
Loga xk = k . loga x
ExemplosA partir do log 3 = 0,477, calcular log 0,009.
log 0,009 = log 9
100 = log 9 – log 100
= log 32 – 2 = 2 . log 3 – 2 = 2 . 0,477 – 2
= 0,954 – 2 = – 1,046
MATEMÁTICA Prof. José Junior Barreto
MATEMÁTICA Prof. José Junior Barreto
MUDANÇA DE BASE DOS LOGARITMOS
MATEMÁTICA Prof. José Junior Barreto
Mudança de base
Observe uma calculadora científica. Ela
permite o cálculo apenas dos logaritmos
decimais (tecla log)
Como obter então, numa calculadora,
logaritmos em outras bases?
Será possível achar, por exemplo, os
valores de log3 5 e log7 23?
MATEMÁTICA Prof. José Junior Barreto
Mudança de base Na tábua de logaritmos decimais, encontramos
que log10 23 = 1,362 e log10 7 = 0,845. A partir
deles, determine o valor log7 23.
log10 23 = 1,362 ⇒ 101,362 = 23log10 7 = 0,845 ⇒ 100,845 = 7
log7 23 = x ⇒ 7x = 23
⇒ (100,845)x = 101,362 ⇒ 100,845.x = 101,362
⇒ 0,845.x = 1,362 1,3620,845 ⇒ x = = 1,612
log7 23 = log10 23
log10 7
MATEMÁTICA Prof. José Junior Barreto
Fórmula de mudança de base
De modo geral, podemos calcular
logba, utilizando uma outra base k
arbitrária. Para isso, dividimos o
logaritmo de a pelo logaritmo de b,
na base k escolhida.
logk alogk b
Logb a =
MATEMÁTICA Prof. José Junior Barreto
Exemplos
Resolver a equação 5x = 20, dados os
logaritmos decimais
log 5 = 0,699 e log 20 = 1,301.
5x = 20 ⇒ x = log5 20
log10 20log10 5
log5 20 = log 20log 5
=1,3010,699
= = 1,861