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Nº 11 - AÑO 8 - Valencia, 1º de Noviembre de 2010 Tiraje: 100 ejemplares

No se puede dejar de reconocer que la matemática es necesaria, ya sea ciencia en sí o asignatura incorporada a un currículo escolar, en el desarrollo del pensamiento o razonamiento lógico de las personas, es decir desarrollo de una intelectualidad individual, una interfase, que posibilita interactuar al ciudadano dentro de su hábitat social. Pero, estando consciente de lo anterior, la gran preocupación es responder a qué y cómo hacer cuando la persona ha logrado un significativo desarrollo de la cualidad señalada. A la par, se debe considerar que esta condición está relacionada con un referencial, el Conocimiento Social Universal, el cual incluye al Conocimiento Matemático Universal y en consecuencia al Conocimiento Matemático Cotidiano, siendo este último al que tienen acceso el común de las personas, ya sea dentro de los procesos educativos, incluso el universitario, o en los del vivir diario. Pero las respuestas ya se ha visto que conducen a tratar de entender, manejar e involucrar una estructura compleja de conocimientos matemáticos relacionados más que con los sistemas educativos nacionales, con las particularidades de los medios ambientes laborales educativos diferenciados en su origen. Así surge el constructo Conocimiento Matemático Socializado. Su “existencia” conlleva la de docentes de matemática preocupados por ir más allá del papel de ser simples transmisores de una disciplina específica, dispuestos a reflexionar sobre el impacto social que se deriva de tener una posición dentro de la cultura como productores de saberes, conscientes que su conocimiento profesional está comprometido con una opción político-cultural, es decir tiene un propósito social. Este conocimiento profesional del docente de matemática queda caracterizado por la permanencia porque corresponde a una condición humana universal de todos los tiempos, por lo transitorio porque el tiempo y la vida son continuos pero las manifestaciones de conocimiento corresponden al momento oportunamente vivido, al devenir evolutivo de la humanidad, relacionado con las circunstancias de la actualidad contextual en la que aparece; y por la anticipación ya que el conocimiento que existe da indicios de muchas maneras del conocimiento que ha de venir: las ideas de una generación son hechos para la generación siguiente. Hablar de Conocimiento Matemático Socializado involucra descartar las “recetas didácticas” que hasta ahora se han utilizado; pero tal como cita la Doctora Paola Valero (Universidad de Aalborg, Dinamarca), los temas de matemática que se enseñan en los distintos niveles escolares, incluso en las universidades, a nivel mundial se han mantenido casi imperturbables en los últimos cien años, posiblemente porque la matemática que se cursa dentro de los sistemas educativos es la necesaria y suficiente para el objetivo que se persigue. Luego, Conocimiento Matemático Socializado está estrechamente ligado a la utilidad social de este conocimiento; y esta utilidad puede pensarse visualizando varias perspectivas, una de ellas es la naturalización de la matemática, siendo algunas propuestas para la misma las siguientes: 1) Realizado el proceso de instrucción para el aprendizaje del algoritmo correspondiente a cierto contenido matemático, se busca la solución de un problema del entorno circunscrito a la cotidianidad o vivencias de los estudiantes, adaptando el procedimiento de solución a un modelo matemático elaborado según el algoritmo aprendido; 2) La Educación Matemática Crítica propuesta por Erick Gutstein (Universidad de Illinois, Chicago, E. E. U. U. ) donde para él, los estudiantes deben utilizar el conocimiento matemático aprendido en la escuela con el propósito de obtener información sobre situaciones de sus comunidades que los afectan en su contexto social y así tomar decisiones y participar activamente en el logro de un mundo mejor, donde pueda tener oportunidades de vida para crecer como ser humano y como ser social: acceso a la educación permanente, lograr una carrera profesional y tener la posibilidad de una supervivencia económica. Sostiene que la enseñanza crítica de la matemática posibilita preparar a los estudiantes a través de la formación matemática para investigar y criticar sobre lo que puede ser justo o injusto, para apoyar o desafiar, con palabras o acciones, cuando se enfrentan a situaciones sobre las cuales deben tomar la decisión de si es un obstáculo o no; 3) Otro ejemplo de la naturalización de la matemática lo constituye lo trabajado en una investigación realizada en Venezuela por la profesora Carolina Vanegas (FACES, Universidad de Carabobo) quien a nivel universitario propone como estrategia didáctica, el uso de modelos matemáticos elaborados utilizando leyes de la Física o de la Economía, expresadas mediante Ecuaciones Diferenciales, para resolver problemas a los que denomina problemas contextualizados. Un problema contextualizado es un problema real, que existe pero que no necesariamente afecta a quien lo investiga pero su importancia radica en que sí afecta a un grupo humano realmente identificado. Usar estos modelos como herramientas de resolución de problemas, no solamente tienen como único propósito buscar solución al problema estudiado, sino que también pueden ser dirigidos a determinar si la situación problemática tiende a disminuir o a agravarse. Existen otras propuestas sobre naturalización de la matemática, analizables en próxima oportunidad. Pero un hecho es cierto, el Conocimiento Matemático Socializado debe considerarse desde ya un elemento curricular de preocupación.

LLuuiittzzeenn EEggbbeerrttuuss JJaann BBrroouuwweerr

Matemático holandés. Nació en 1881 en Overchie y

falleció en 1966 en Blaricum.

L. E. J. BROUWER (*1881-†1966)

Luitzen Egbertus Jan Brouwer. Se graduó en la Universidad de Amsterdam. Fue profesor de esta universidad y Miembro de la Academia de Ciencias de su país. Sus trabajos ocuparon temas como Lógica, Topología, Teoría de la Medida y Análisis Complejo. Formuló el Teorema de Brouwer. Demostró la importancia de los espacios cartesianos (la invariancia dimensional de los espacios cartesianos) y promovió la escuela matemática Intuicionista.

Brouwer, en efecto, funda el Intuicionismo Matemático, como antagónico al Formalismo Matemático de su época. Sus ideas principales fueron expuestas en su libro "Prueba del Teorema de Jordan para N Dimensiones" (1912). También destaca su obra Matemática, verdad, realidad (1919).

Brouwer invirtió mucho tiempo buscando la "Teoría Intuitiva para los Números Reales", a los cuales llamó especies. Este esfuerzo podría considerarse actualmente fuera de lugar: no existe una Teoría Única.

El Intuicionismo se fue haciendo más respetable una vez que Kurt Gödel, y más tarde Stephen Kleene, lo adoptaran para la lógica matemática.

Fue un hombre de carácter fuerte desde joven. Estuvo envuelto en un escándalo a principios del siglo XX con el matemático David Hilbert, según el renombrado periódico de la época "Mathematische Analen".

El desarrollo del Intuicionismo fue continuado por su estudiante Arend Heyting.

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CCÁÁTTEEDDRRAA DDEE CCÁÁLLCCUULLOO

DDEEPPAARRTTAAMMEENNTTOO

MMAATTEEMMÁÁTTIICCAA YY FFÍÍSSIICCAA

FACULTAD CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN UNIVERSIDAD DE CARABOBO

DIRECTOR–EDITOR: Prof. Rafael Ascanio Hernández

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Reflexiones "Miremos más que somos padres de nuestro porvenir que no hijos de nuestro pasado".

Miguel de Unamuno

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HHOOMMOOTTEECCIIAA

HOMOTECIA Nº 11–Año 8 Lunes, 1º de Noviembre de 2010

2

Aportes al conocimiento

MMAAGGNNIITTUUDD IINNFFIINNIITTEESSIIMMAALL.. PPRROOPPIIEEDDAADDEESS DDEE LLOOSS IINNFFIINNIITTEESSIIMMAALLEESS..

¿Qué es una magnitud infinitesimal? Considérese a α como una variable que toma valores de la

sucesión { }nx y se escoge un 0>ε tan pequeño como se quiera; entonces al tomar α valores desde el

lugar n de { }nx y continuar variando, se tendrá que siempre εα < . Pero al tomar valores para cualquier

ε que se escoja tan pequeño como se quiera, α tiende a 0 ( )0→α . Entonces α es una magnitud

infinitesimal (o simplemente “un infinitesimal”).

Ejemplo:

Sea α la variable y { } { }LL ,,,,,,1 141

31

21

nnx = ;

Entonces:

Si εαε <====⇒==

09,009,01,0 111

11

1

nn .

Si εαε <====⇒==

009,0009,001,0 1011

101

1

nn .

.

.

.

Si εαε <====⇒==

000009,0000009,000001,0 10100011

101000nn .

Se concluye que α es una magnitud infinitesimal.

Propiedades de los infinitesimales.-

1ª) “El producto de una constante por un infinitesimal es otro infinitesimal”.

Comprobación:

Sea α un infinitesimal, “a” una constante y se escoge un 0>ε tan pequeño como se quiera. Si εα < ,

entonces a

εα < , siendo εε <a

. Si a

εα < , entonces εα <⋅ a . Luego, se concluye que εα <⋅ a ,

comprobándose la propiedad.

2ª) “La suma de dos infinitesimales es otro infinitesimal”.

Comprobación:

Sea α un infinitesimal tal que εα < y Sea β otro infinitesimal tal que εβ < .

εεεε <∃>∀2

/2

,0 por lo que 22

εβεα <∧< .

Si sumamos estas dos expresiones, se tiene que: εβαεεβαεβεα <+⇒+<+⇒<+<2222

.

Pero βαβα +≤+ , luego εβα <+ , comprobándose la propiedad.

RAH-PGM


3

Discusiones de Postgrado

EEPPIISSTTEEMMOOLLOOGGÍÍAA DDEE LLAA EEDDUUCCAACCIIÓÓNN MMAATTEEMMÁÁTTIICCAA.. Siguiendo con las discusiones durante el periodo lectivo 1-2009 (enero-abril) en “Epistemología de la Educación Matemática”, que tal como señalamos en

números anteriores, es una asignatura conducente de la Maestría en Educación Matemática, ofertada por la Dirección de Estudios para Graduados de la

Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad de Carabobo, siendo el propósito de incluirla en estos estudios el fortalecer los fundamentos

filosóficos y epistemológicos en el docente durante sus estudios de cuarto nivel, tanto en la matemática dimensionada ciencia en sí como sobre el

conocimiento propio de su ejercicio profesional, después de haber leído y discutido los libros “La Epistemología” de Robert Blanché (1973) y “Epistemología

de la Matemática” de Jean Piaget (1979), tocó en la siguiente oportunidad trabajar con: “La epistemología del profesor sobre su propio conocimiento

profesional” de Gerardo Perafán (2004).

Este libro viene a ser la Tesis Doctoral de Gerardo Andrés Perafán Echeverri para optar al título de Doctor en Educación de la Universidad Pedagógica

Nacional de Colombia, y consiste en la realización bajo los principios de la investigación interpretativa, de un estudio sobre fundamentos epistemológicos de

los procesos de pensamiento del profesor en ciencias y del conocimiento que transfiere a sus estudiantes en el aula.

Elaborados por parte de los participantes los ensayos pensatorios conclusivos correspondientes, se realizó una selección de un cierto número de ellos para

publicarlos en nuestra Revista HOMOTECIA, previa solicitud a los autores, con características similares a artículos de opinión, lo cual comenzamos a realizar

en el número anterior.

A continuación presentamos el siguiente de ellos, cuya autora es la participante Johana Rangel.

LLAA EEPPIISSTTEEMMOOLLOOGGÍÍAA DDEELL PPRROOFFEESSOORR SSOOBBRREE SSUU PPRROOPPIIOO CCOONNOOCCIIMMIIEENNTTOO PPEERRSSOONNAALL..

Por: Johana D. J. Rangel G. C.I.: 16.319.860

El educador de hoy, más que centrarse en la transmisión de una herencia del pasado, debe abocarse a la

habilitación para forjar y afrontar escenarios futuros1. Así pues, nosotros como docentes, somos actores sociales rodeados de tendencias existentes que van desde la ciencia, tecnología y sociedad.

Que a pesar de los conocimientos científicos que conservemos, surge una posible desventaja en nosotros, que no es más que centrarnos en el verdadero objetivo de la educación, sin estar sujetos a la interferencia de pensamientos subjetivos de nuestro proceder.

Por ende, surge la necesidad de conocer ciertas actitudes sobre el docente, éstas pueden contribuir a la comprensión de su importancia e influencia dentro de la sociedad a través de la educación. Lo cual, permite analizar las diferentes posiciones que nos embargan y caracterizan como parte de una capa social, Considerada por Perafán (2004), como; aquellas personas que no emiten juicios de valor en la sociedad.

Puesto que, la sociedad es la que juzga, gestiona, necesita, y sobre todo obliga a investigar de acuerdo a lo que emerge como un problema social. Es decir, que esté dentro de los ámbitos; pol íticos, culturales y epistemológicos.

De acuerdo a esto, la investigación educativa, ocupa un lugar dentro de la educación, como una vía de posibles soluciones o alternativas dentro de las vicisitudes presentes en este sistema. Para el caso del pensamiento y conocimiento del profesor, Perafán (2004), asume la investigación interpretativa como principal herramienta en su estudio sobre este tema.

En este sentido, la investigación etnográfica, permite entender a través de su metodología y carácter vivencialmente, la visión del mundo del docente. Comprender ¿Por qué actúa de una manera? y sobre todo, ¿Por qué la limitación a nuevas concepciones educativas? Sabiendo que, estas limitaciones conducen a un proceso cultural permanente. Por lo tanto, este tema, dentro de los debates epistemológicos, permanece sobre la naturaleza de lo real en la educación, en la direccionalidad dentro del aula en pro a la concepción que mantenga el docente de la misma.

De tal manera, que esta perspectiva está orientada a interpretar los intereses, necesidades del docente que son variantes de su comportamiento en correspondencia al aprendizaje del estudiante. Cabe considerar, que dentro de las variantes del docente, se enmarcan principalmente en la falta de reconocimiento profesional en todos los aspectos dentro de la sociedad. Siendo así que Perafán (2004) aboga; por la reivindicación de los docentes como actores fundamentales en la construcción de una sociedad más justa.

1

Chavarría Olarte, Marcela (2004). Educación en un mundo globalizado. Retos y tendencias del Proceso Educativo. México: Ediciones Trillas.


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Particularmente, dentro de los problemas que atañen a la educación, es la condición del docente en relación a su carácter investigativo y su poca preocupación hacía a las acciones educativas. Manteniéndose, dentro de un contexto con falta de conocimiento e investigaciones que expl iquen las interacciones entre docentes y alumnos. Por ende, estas situaciones se prestan a que los docentes, en esta posición, estén sujetos a desviaciones políticas y poco éticas.

Entender el sentido educativo que el docente le proporciona a su educación dentro del aula, es una tarea, que no aparta la inferencia del contexto y conciencia del docente en el aula. Asimismo, que nuevos modelos sociopolíticos no se mantienen por la condición de que el profesor debe estar sujeto a cambios educativos.

Por tanto, considerar una mirada alternativa que tome en cuenta el contexto del docente dentro del sistema educativo. Amerita, reflexionar sobre el sentido implícito en la planificación interna en el aula. Pues, el objeto de estudio estaría centrado en conocer fundamentalmente las creencias, las teorías del profesor a través de su forma de interpretar y la atribución de éste en el rendimiento académico de los estudiantes.

Por último, si la lógica de la intencionalidad se visualiza en base al conocimiento del profesor, que es lo que principalmente existe en la actualidad y de allí radican los principales problemas socio-educativos, entonces, ¿Qué nombre recibe el aspecto que caracteriza al estudiante dentro de este proceso? y ¿Será que la política del estado seguirá concibiendo al ámbito educativo bajo el enfoque de la lógica de la intencionalidad durante la historia? ¿Implicará una correspondencia directa entre política de estado y educación?

Las relaciones del docente con el conocimiento, forma lo que se denomina, Huellas, que tienen que ver con la tierra que se pisa, el camino que se anda, el rastro que se busca, la marca que se deja (Cullen, 1997) 2.

Particularmente, lo anterior forma lo que seria, el conocimiento implícito del docente de ciencias, que se conforma a través de su desempeño profesional, de formación, y de interpretación contextual, institucional y cultural.

Por ende, relacionar a los profesores de ciencias con características similares en base a su desempeño profesional es como elaborar una definición generalizada de su labor dentro del aula. Así pues, como lo señala Perafán (2004); En las investigaciones didácticas se busca construir un concepto particular que designe las especificidades del conocimiento común como de la categoría de conocimiento científico.

Diferenciar, estas características contenidas en todo docente de ciencias, a través de un concepto general, implica considerar el objeto de estudio que se persigue, ya sea considerando ¿Si se podrá reconocer una epistemología amplia o una determinación de ciertas características presentes en el docente de ciencias?

Este objeto de estudio gira en torno, al contexto propio de cada docente, y la epistemología que lo caracterice es dependiente de su desarrollo profesional. Para tal caso, la epistemología compleja se presenta en el momento donde el orden, desorden y la organización son base de la construcción del profesor como tal.

Asimismo, el docente de ciencias en concordancia a su propio conocimiento profesional se encuentra inmerso entre cambios, resistencias, nuevas concepciones y subjetividad. Siendo ésta última, una característica de sus criterios o muy bien principios.

Así pues, como lo señala Cullen (1997) las desilusiones de la realidad esencial y de la verdad cierta, puede instalarse en la i lusión de la dispersión del sentido. De manera que, las decepciones condicionan las acciones del docente como individuo frente al sistema educativo desde el aula. Lo que corresponde un saber particular que no es filosófico.

Por tanto, creaciones de sentido, es lo que característicamente representan las instituciones educativas para el docente, que contienen un saber pedagógico, didáctico y transportador de conocimientos científicos, profesionales y comunes ajustados en el docente. Dándole, sentido y sobre todo direccionalidad a su proceder en pro a su conocimiento, producto de sus interpretaciones. Es decir, que cada docente mantiene una posición epistemología amplia de sus acciones.

Puesto que, cada docente de ciencias posee teorías implícitas, características y propias de su actividad, como actor social, se asemeja más a una epistemología idiosincrásica que interviene en el medio educativo. Sobre esto Cul len (1997) opina que cuando los docentes aprendamos a relacionarnos con los diferentes sentidos del conocimiento, con la diversidad de intereses que guían el trabajo de la razón por caminos lógicos, y sepamos qué obstáculos traban el deseo de conocernos, permitirá que nos adaptemos inteligentemente al medio.

Por lo tanto, nosotros como profesores contamos con una epistemología interna, que proporciona conocimiento de la labor, como docentes de ciencias. El cual se transpone a través de los sujetos o muy bien estudiantes involucrados en el hecho educativo. Siendo éstos portadores y ejemplo de la existencia de una nueva generación producto del propio conocimiento del profesor de ciencias.

Por lo tanto, si la génesis y la estructura del conocimiento del profesor, en consideración a todos los factores que interfieren en él, implica una posición epistémica individual, entonces, ¿Los estudiantes siempre estarán sujetos a los principios idiosincrásicos que nos const ituyen en una posición epistémica individual?

2 Cullen, Carlos A. (1997). Críticas de las Razones de Educar. Temas de Filosofía de la Educación. Paidós cuestiones de educación.


5

Diversidad y Polifonía Epistémica en el Aprendizaje de la educación en Ciencias.

Al considerar el concepto "polifonía" dentro de la tesis doctoral de Perafán. Particularmente, éste no escapa del significado original. Como por ejemplo, la música, como conjunto de sonidos simultáneos, en la que cada uno expresa su idea musical, conservando su independencia, formando así, un todo armónico. Sin embargo, el carácter polifónico toma en cuenta la idea de independencia melódica que el compositor haya ideado, así como también, la posibilidad de discriminación auditiva por parte del oyente. Distintas personas podrán escuchar con mayor o menor claridad las melodías independientes. 3

Entonces, ¿Cuál es el conjunto de sonidos simultáneos en la educación en ciencias?, ¿Cada docente expresa su ideal musical en la educación en ciencias?, ¿En dónde se encuentra inmerso el carácter polifónico en la educación en ciencias? y ¿Un docente en ciencias estará sujeto a discriminaciones por parte de la sociedad que lo envuelve por la naturaleza de sus epistemologías?

Es interesante, reflexionar en base a estas interrogantes, aunque las respuestas pueden ser dependientes, especialmente de la poli fonía que emerge en la educación en ciencias, ya que es epistemológica. Debido posiblemente a su inserción en la relación con la enseñanza, desde la óptica mantenida por el docente, producto de su formación y participación social. En este sentido, Perafán (2004) señala que la epistemología del profesor es construida socialmente, en los diferentes procesos de interacción social y simbólica que dicho profesor mantiene durante su vida personal, académica y profesional.

Así pues, en medio de esta perspectiva en la educación en ciencias, ¿Cuál es el objetivo que persigue esta educación a pesar de las posiciones epistemológicas del profesor que la coordina desde el aula?, posiblemente persigue contar con individuos que sean capaces de lograr la conexión entre los conocimientos previos y los conocimientos científicos, y lograr así, que estos individuos puedan desarrollar o muy bien que sean capaces de poner en práctica ese carácter inmerso, como sujeto racional, dentro de un contexto histórico contemporáneo.

Pero cabe resaltar, que este proceso se encuentra sujeto a la dirección a la cual está enmarcada o muy bien dirigida por la multiplicidad en la práctica del docente desde el aula. Es decir, es dependiente de cada profesor, ya que en la actualidad, éste representa un compendio de varios modelos de docente, opinando de acuerdo a sus ideales, caracterizándolo como único dentro del mismo proceso educativo. Representando, para Perafán (2004): Un fenómeno que se puede encontrar en la identificación de los referentes epistemológicos que constituyen el pensamiento y la acción de los profesores en ciencias.

Es decir, que si en un profesor se encuentran presentes varias epistemologías que caracterizan su proceder, y que su naturaleza epistémica, sea cual sea, no garantiza un único camino epistemológico que represente al profesor. Entonces, se abre paso, a la búsqueda de posiciones que permitan poner en práctica modelos o métodos para el aprendizaje en los estudiantes. Como es el caso, cuando un docente aplica diferentes estrategias de trabajo a secciones diferentes a pesar de ser el mismo contenido.

En cierto modo, no hay que olvidar que a pesar del carácter independiente que describe al docente y que en conjunto con todos los actores educativos, forman parte de este sistema, conformando así, un equipo en pro de la educación. Aún así, el profesor mantiene una única concepción de cómo trabajar. Sabiendo que, aunque el ámbito social que rodea a las instituciones educativas, no son capas sociales, ya que se encuentran prestos a realizar distinciones hacia los docentes de acuerdo a su labor e influencia en los estudiantes.

Por otra parte, si en la práctica del docente, en donde se evidencia los diversos referentes epistemológicos que lo simboliza y es en donde emplea su destreza en base a otros modelos pedagógicos que aprovecha. Entonces, unas de las diversidades epistémicas como lo es la "metáfora de la mirada" está sujeta a considerarla para atender o servir de herramienta, para la compresión de una materia. Tal y como lo señala Derriba, citado por Perafán (2004): Se invita a pensar el problema de la mirada como un principio determinante de lo que, en nuestros términos, puede llamarse epistemología hegemónica, ya no necesariamente empírica, sino racional.

Por ende, si la "metáfora de la mirada" representa una diversidad epistémica, ya que el discurso está comprendido o mediado entre lo cotidiano y académico del profesor. En sí, esto permite que los docentes puedan constituir o valerse de ésta, en su propio análisis para mejorar la dinámica de las acciones de la enseñanza que se ponen en escena en el aula (Perafán, 2004).

Pero hay que resaltar, que esta dinámica en la mayoría de los casos no es consciente en el profesor, y lo considera como natural en el ser humano. En fin, si como docentes coordinamos la acción desde el aula, entonces, ¿En Matemática será que estamos aún inconscientes al emplear la metáfora de la mirada y nos obstaculizamos por el carácter formal de la materia? o ¿Este referente epistemológico, resulta abstracto para lograr el aprendizaje a través de esta técnica?

3 Wikipedia. La Enciclopedia Libre.


6

DDeevveellaannddoo llaa mmeettááffoorraa ddee uunnaa pprrooppuueessttaa:: TTeeoorrííaa AAnnttrrooppoollóóggiiccaa ddee lloo DDiiddááccttiiccoo

Por: Pedro Angulo Landaeta

Email: [email protected]

Resumen

En el presente relato, el autor se propone a develar los argumentos sustanciales que estructura a la Teoría Antropológica de lo Didáctico, sustentada por el didactista francés Yves Chevallard. Su abordaje es través del ensayo escrito en prosa organizado en tres módulos de ideas y distribuidos a tenor del trayecto siguiente: 1) El significado y sentido de la metáfora en la actividad escolar matemática; 2) La hermenéutica de las Obras Matemáticas; y, 3) La Transposición Didáctica. Finalmente, se desplegarán interrogantes que posiblemente robustecerán a la metáfora en cuestión para promover encuentros de reflexión en la comunidad de educadores de matemática y sensibilizar insumos indagatorios en Educación Matemática.

Palabras Clave: Teoría Antropológica de lo Didáctico, Tendencia en Educación Matemática y Epistemología en Educación Matemática.

Introito.

La Educación Matemática es una referencia de supuestos empíricos cuya competencia de estudio sugiere la compresión de la naturaleza del saber matemático en la actividad escolar y la utilización de esa interpretación para gestionar los fenómenos de la enseñanza y aprendizaje en el marco de las instituciones educativas. Al parecer, el avance de su dinámica nos conduce hacia un progreso reticular de teorías, desarrollos y praxis. Faenas humanas de nunca terminar. De eso se trata, la Didáctica es de la experiencia, pero se concibe en la subjetividad, vuelve a la experiencia para enriquecer a la reflexión, retroacciones cada vez más complejas e inexorables; sin temor a la equivocación, es un continuo conjetural que dibuja el equilibrio de la forma en Educación Matemática.

Días históricos, dan cuenta de las tendencias en Educación Matemática. Entre sus manifestaciones culturales, brota la Teoría Antropológica de lo Didáctico cuyo objeto primario de investigación es el análisis de la actividad escolar matemática con sus relaciones humanas y enmarcadas en ciertas instituciones sociales. En las líneas siguientes, se propone un sucinto de su epistemología y los postulados que la caracterizan a los fines de hacer un acercamiento razonablemente inteligible tanto a un público candorosamente cognitivo como a un público moderado, en estos temas.

El significado y sentido de la metáfora en la actividad escolar.

La Teoría Antropológica de lo Didáctico fue diseñada por el francés Chevallard a finales de los años 1980; básicamente es una posición de estudio cuyo eje central es el hombre aprendiendo y enseñando la Estructura Matemática a través de las relaciones humanas frente a la relatividad del saber científico con respecto a las instituciones sociales. El punto concluyente al respecto es que, la Teoría Antropológica de lo Didáctico sitúa la actividad escolar matemática como una manifestación social cultural en cual tiene incidencia en la historicidad de los actores educativos (profesor-estudiantes), y en consecuencia la actividad de estudio del enfoque didáctico apela a la atención en el conjunto de actividades humanas cuya interacción brotan en las instituciones sociales que las promueve.

Para Chevallard (1989) el objeto principal del estudio de la didáctica de la Matemática es la manipulación social de los saberes científicos en el seno de la actividad humana, desarrollada en los diferentes sistemas didácticos y en los niveles estructurales de cierta institución, bajo una tipología de relación denominada praxeología, el cual alude a las formas de comprensión acerca de cómo deben hacerse las cosas dentro de las fronteras institucionales, su interior demanda fuerzas de equilibrio que conducen a mantener la memoria cultural de la institución, que dan por sentado, la caracterización del reparto en la divulgación y comunicación del saber matemático como casi natural, y a fin de cuenta obligado. Es de hacer notar que, la praxeología es la ciencia que estudia la estructura lógica de la acción humana, el término fue acuñado por primera vez por A. Espinas en el año 1890, en esa oportunidad su constructo se centraba en la atención de la pulsión del sujeto quien efectivamente e indudablemente actúa, socavando hallazgos que caracterizaban la acción del sujeto con las cuales es posible comprender la acción ejecutada.

(CONTINÚA EN LA PÁGINA SIGUIENTE)


7

(VIENE DE LA PÁGINA ANTERIOR)

La praxeología encuentra en la Teoría Antropológica de lo Didáctico la noción solidaria de esquemas de conductas que singularizas modos propios de actuar conforme a las instituciones sociales que se dedican a la actividad escolar matemática. Por lo tanto, La tarea es una solicitud institucional de acción puntual y particular en la dimensión del verbo y adverbio frente una secuencia de eventos; concretamente, el género de la tarea no existe más que bajo la forma de diferentes tipos de tareas cuyo contenido está estrechamente especificado. Por ejemplo, demandar a los estudiantes de un curso de cálculo II a calcular, la acción tendría un significado incompleto y estaría carente de sentido, ¿Qué se calcula? ¿El cálculo está referido a cuál objeto? Muy distinto

sería, Calcular el valor asociado de la siguiente integral ( ) ( )∫− ⋅π

πdxnxCosmxSen , este hecho es una acción puntual y

particular asociada al verbo calcular, lo cual supone un objeto relativamente preciso. Se trata de una puesta en práctica especialmente simple del principio antropológico basado en un comportamiento social evocado por la acción cultural compartida en un mismo nivel de frecuencia interpretativa por las partes involucradas (profesor-estudiante). Las tareas no son datos de la naturaleza ni tampoco maniobras divinas, son ajustes adaptativos de construcciones institucionales que diseña el profesor con el objeto de provocar en sus estudiantes el dinamismo de haciendo y aprendiendo el saber matemático.

La puesta en práctica de la tarea representa la forma estática de la praxeología, la cuestión dinámica y la razón de su génesis requiere una manera de realizar las tareas, determinada por una manera de hacer. Chevallard (1989) denomina el saber hacer una tarea en técnica, el autor sospecha, que la técnica define la competencia matemática cuya caracterización se ubica en: 1) tener el compromiso por solucionar la tarea, esto es, estar sensibilizado por el problema y asumir la responsabilidad por resolverlo; y; 2) contar con los medios y recursos tanto cognitivo como instrumentales en matemática para llevar a cabo la tarea.

El componente que contiene a la Tarea (T) y su técnica (t), dibuja una forma de praxeología relativa (T, t) denominada bloque práctico-técnico con el objeto de dar significado a la práctica de la actividad escolar matemática y que identificará genéricamente con lo que se llama un saber hacer tareas. El saber hacer tarea debe estar precedido de los medios y recursos para encarar dicha situación de reto, el saber. Serán las combinaciones inteligibles de los dispositivos cognitivos de origen antropológico e instrumentales de origen cultural, quienes estructuran el bloque de tecnologías (�) y teorías matemáticas (TM). El bloque de tecnologías y teorías (�, TM) es el saber en la Estructura Matemática, una ciencia de formalizaciones de un conjuntos de leyes descubierta en el seno de su misma estructura mediante un carácter deductivo de implicación lógica finita y sin contradicción, subordinados a los sistema de transformación que desembocan dentro de su frontera, Angulo (2002). Pues bien, la tecnología es un discurso formal interpretativo y justificativo que nace en la Estructura Matemática en su naturaleza clasificatoria como algoritmo o como elemento de una clase; al respecto Negel (1979) afirma:

Los sistemas formales que constituyen los matemáticos pertenecen al grupo denominado matemática; la descripción, discusión y teorización que se realiza en torno a los sistemas pertenecen a un grupo que lleva el epígrafe de metamatemática.

En palabras de Chevallard (1989) tenemos “El bloque tecnológico-teórico no es más que la conclusión de un discurso más amplio, que lo justifica o, como se dice en matemática, que lo demuestra”. Gascón (1998) sostiene que “Llamaremos teoría asociadas a una técnica a la tecnología de sus tecnología, esto es un discurso suficientemente amplio como para justificar e interpretar la tecnología de dicha técnica”. Entonces, el bloque de tecnología-teorías (�, TM) lo constituye la matemática y la metamatemática manipuladas por las instituciones, con ello se consuma, según la metáfora de esta posición, la praxeología completa (T, t, �, TM) la cual surge como respuesta a la matemática institucionalizada que organiza la actividad escolar en: prácticas matemáticas que consta en tareas-técnicas (T, t) utilizadas para llevar a cabo el trabajo escolar, y el discurso razonado sobre dichas prácticas que está constituido en dos niveles el de las tecnologías y el de la teoría (�, TM).

La hermenéutica de las Obras Matemáticas.

Chevallard no define en términos concreto el constructo de la obra; sin embargo, la postula en el contexto de las relaciones humanas como respuesta de un conjuntos de razones y como medio para llevar a cabo determinadas tareas institucionales, el cual modeliza en tipos de situaciones de estudio o momentos didácticos que en apariencia organiza estructuras temporales del proceso de estudio con dimensiones multidireccional y multifactorial en el proceso de acompañamiento del docente, un acompañar que vigoriza la comunión entre saber hacer y saber matemático (t, TM). En este sentido, el poder heurístico del texto de metáfora de la Teoría Antropológica de lo Didáctico plantea un programa de acción de alcance integral que convoca el concurso de muchos enfoques de naturaleza humana, tales como: epistemológicos, psicológicos, sociológicos, lingüísticos, entre otros. Introduciendo, diferentes formas de manipulación social, revisando y colocando adaptaciones necesarias en la evolución de los roles del proceso de aprendizaje activados por los estudiantes en el trabajo escolar; por ello, Chevallard formula una realidad funcional en seis momentos de cara a una realidad cronológica del discurso formal. (CONTINÚA EN LA PÁGINA SIGUIENTE)


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Primer momento del estudio es el primer encuentro con la organización o el objeto de enseñanza, es el encuentro de las expectativas entre los actores educativos, la colisión de ínter-subjetividades en el espacio de lo posible para promocionar desenlaces académicos exitosos. Segundo momento es el de la exploración del tipo de tarea y la de elaboración de la técnica, porque en esta fase el profesor no sólo debe buscar que los discursos sean armoniosos, sino que sean, y cada vez con mayor fuerza, cognitivamente coherente, Angulo (2002). Además, es la presentación de los problemas didácticos para que los estudiantes los asuman y se comprometa a resolverlos, es en ese justo momento, que emerge el corazón de la matemática, buscar el equilibrio de la tarea en la solución de la técnica. Tercer momento del estudio es el de la constitución del entorno tecnológico-teórico (�, TM), el discurso razonado sobre la Estructura Matemática y su Metamatemática, es el logo que explica, justifica, demuestra él porque, hace inteligible su proceder y hasta puede producir nuevos enfoque en la técnica. Cuarto momento es el del trabajo de la técnica, la puesta en práctica de la técnica sobre el corpus de tarea, ejecución de la estrategia, rutinas de procedimientos y cálculos en implicaciones lógicas. Quinto momento es el de la institucionalización, la apropiación de la razón del saber hacer en el marco de la organización. Sexto momento es el de la evaluación, consiste en la no ruptura intelectual y la consistencia del monitoreo metacognitivo del saber hacer para transformarse en fijación del saber.

Transposición Didáctica

La Transposición Didáctica apunta al proceso mediante el cual se ejecuta un trasplantar del saber, de un lugar a otro; es decir, en el ámbito escolar son los procesos de mutación o adecuación que sufre el conocimiento en el dominio cognitivo del profesor para convertirlo en objeto de enseñanza y esperar que los estudiantes se apropien de forma adecuada de él. Enseñar Matemática no puede en ningún caso, ser el análisis de simplificaciones sobre conclusiones formales proporcionadas por la sociedad científica; por el contrario, deben ser resultados reflexionados y planificados de ajustes didácticos en donde el docente despersonaliza y descontextualiza el rigor de la generalización matemática a los fines de promocionar requisitos o circunstancia ejemplarizantes en correspondencia al nivel de frecuencia interpretativa por los estudiantes, un saber enseñar. Chevallard (1989) nos comunica que “llamaremos transposición didáctica al proceso de adaptaciones sucesivas de los saberes por las cuales el conocimiento erudito se transforma en conocimiento a enseñar y éste en conocimiento enseñado”.

Es necesario, establecer cierto consenso con miras de dar sentido al retículo de significados; por conocimiento erudito, se entiende como aquel desarrollado y manejado por los profesionales de la ciencia matemática; por conocimiento a enseñar, es un saber didáctico con ajustes y adaptaciones de fines educativos con el propósito de enriquecer y potenciar formas estructuras de un discurso altamente significativos y expresivos para quien va dirigido; y, por último conocimiento enseñado, es el depósito del saldo final de la diáspora del conocimiento en significado y sentido por quien aprende. De modo que, la transposición didáctica es la acción de planificación intencional que transforma el docente un saber científico matemático en un saber posible de ser enseñado.

La reflexión sobre la acción de la metáfora, plantea las siguientes interrogantes: ¿Cuáles son las condiciones que aseguran la transferencia del saber matemático adecuado en el marco de una institución? ¿Existirán restricciones en dichas transferencias? ¿Cuáles son los mecanismos que permiten evaluar el curso de los avances de esas transferencias? La búsqueda de respuesta a estos cuestionamientos permitirá orientar las coordenadas de sentido de la metáfora y crear una referencia en términos de acciones educativas posibles.

Las condiciones de la metamorfosis del saber implican conducir un saber generado en el ámbito científico y convertirlo en un saber enseñar, aquel que se ubica en los programas de estudios (currículo); otra, cuando el saber enseñar es llevado al aula, es decir cuando aquel se transforma en un saber enseñado. Chevallard (1989) separa ambas transformaciones en: 1) Transformación externa: el saber matemático científico tiene su propia metamatemática, instancia que se debe descontextualizar, adaptarla y adecuarla para que los ambientes escolarizados formales puedan interpretar su texto; 2) Transformación interna: acontece cuando el profesor toma el documento oficial de los programa y lo lleva al aula, planifica lecciones cognitivamente coherente y despersonalizando lo que a su juicio serán elemento perturbadores a los fines de que los estudiante comprendan lo que el profesor entendió. Pues bien, la trayectoria de ajustes en el recorrido del saber matemático desde el campo científico hasta el saber enseñado postula tratamiento hermenéutico a luz de reflexiones de retroacciones subjetivas con el noble propósito de construir objetos culturales potencialmente significativos en un saber enseñar.

En lo tocante a las restricciones, el concepto de noosfera proporciona control epistemológico para explicar y predecir los fundamentos de la metáfora. Fue V. Ivanovich (1863-1945) quien por primera vez acuña el término, en su oportunidad, determinó la tercera fase del desarrollo de la tierra, donde el género humano empieza a crear recursos mediante transmutación de elementos. Pero, Teilhard de Chardin (1881-1955) lo emplea como un espacio virtual en que se da nacimiento la psiquis, un lugar donde ocurren todos los fenómenos de pensamiento e inteligible. Etimológicamente, noosfera proviene de griego noos, inteligencia, y esfera, lo cual hace pensar que es la esfera virtual donde los seres de potencia cognitiva racional habitan.

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Chevallard (1989) desarrolla el sistema didáctico en la triada: profesor, saber y alumno. Y, alrededor de él un tamiz de interacciones de entorno social, que forman fuentes de influencias que actúan en la selección de contenidos, objetivos y métodos que serán parte de los programas educativos y que determinaran el funcionamiento de los procesos didáctico, hecho que Chevallard lo recalca en la noosfera. Una comunidad de fenómenos de pensamientos encontrados culturalmente en la sociedad; parte de la noosfera son: científicos, profesores, especialista, políticos, escritores de texto y otros agentes de la educación.

Más aun, dentro los sistemas didácticos y la noosfera adscrita a ellos, crean el sistema de enseñanza. Ahora bien, estos sistemas de enseñanza pueden envejecer. Chevallard (1989) define dos sistema de envejecimiento: 1) envejecimiento biológico: es el distanciamiento de los sistema de enseñanza con respecto al avance natural de las ciencias; y, 2) envejecimiento moral: es distanciamiento con respecto a los cambios sociales. Consecuentemente, la transmutación de los saberes tendrá estas restricciones la cual converge al balance de lo que se hace en las organizaciones educativas y lo que la noosfera espera que hagan estas organizaciones.

Finalmente, es menester hacer un seguimiento sobre los procesos de transformaciones que tienen lugar en la Transposición Didáctica y los operadores que influyen en los distanciamientos del contenido para acortar la brecha epistemológica de fondo y forma entre el saber científico originario de la comunidad de profesionales de la matemática y el saber enseñado en la aula. Es imperioso asumir una actitud crítica, Chevallard la denomina Vigilancia Epistemológica, para mantener una duda sistémica, una mirada cuidadosa que debe estar preguntándose a cada momento ¿Los objetos de enseñanzas corresponden a la génesis original del contenido matemático o serán otros objetos que no tiene nada que ver?

Enigmas del asunto.

El tratamiento epistemológico de la Teoría Antropológica de lo Didáctico esta articulado en la actividad escolar matemática como una manifestación cultural en donde conviven, comparte y comulgan el sistema didáctico dentro la frontera de cierta institución educativa. Su enfoque antropológico se centra en un modelo culturalmente heurístico interpretativo que emplea a la Transposición Didáctica en los fenómenos relacionados con la reconstrucción de la matemática escolar. Las obras dan maniobrabilidad didáctica en el llevar a cabo un saber erudito a un saber enseñar. Sin embargo, la premisa de arranque es la difusión de tareas vivificantes, aquella donde el alumno la asuma con sentido responsabilidad y que además se comprometa a resolverla. ¿Cuáles serán los mecanismos de búsqueda que debe activar la acción docente para tal propósito?

El distanciamiento entre el saber erudito y el saber enseñar en el saber enseñado, tal vez estructura un acto educativo en encuentros humanos secos y vacíos, lejos de significado y sentido en la dinámica científica social actual, reduciéndolo al punto de transformarlo en letra muerta. ¿Hacia dónde debe dirigir la reflexión el profesor para minimizar la brecha epistemológica? ¿Qué variables educativas se deben introducir en los momentos didácticos para lograr una extensión de alcance social?

Referencias bibliográficas.

1. ANGULO, P. (2002). Efecto de la Estrategia Metodológica Condicionamiento Piter (EMCOPI) en el aprendizaje de las ecuaciones diferenciales de primer orden en el cuarto semestre de Ingeniería Mecánica. Trabajo Final de Grado en el nivel de Maestría, UC, Valencia.

2. CHEVALLARD, Y. (1999). El análisis de las prácticas docentes en la Teoría Antropológica de lo Didáctico. Recherches en Didactique des Mathématiques, Vol. 19, nº 2, pp. 221-266.

3. GASCÓN, J. (1998). Evolución de la Didáctica de las matemáticas como disciplina científica. Recherches en Didactique des Mathématiques, Vol. 18, nº 52, pp. 7-33.

4. NEGEL, E. (1979). El Teorema de Gödel. Primera edición, traducido por Adolfo Martín. Madrid: Ediciones Tecnos S. A.


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LLaa eesseenncciiaa ffiinnaall ddeell hhoommbbrree

Por: Andreas Angourakis [email protected]

19 Noviembre 2004

“El TODO crea en su mente infinita innumerables universos, que existen por eones de tiempo; y sin embargo, para el TODO, la creación, el desarrollo, el ocaso y la muerte de un millón de universos es como el tiempo del pestañear de un ojo”.

El Caibalion, filosofía hermética.

En los últimos casi dos mil quinientos años, la percepción humana sobre la materia ha cambiado radicalmente. No obstante, ha conservado la dicotomía forma-sustancia, planteada por primera vez en estos términos por Aristóteles. Se trata de la vieja cuestión de “la idea abstracta que da forma a la materia indistinta”, y de “la materia indistinta que da sustancia a la idea abstracta”. Esta visión bifurcada de la realidad ha sobrevivido de cierto modo hasta nuestra época, encarnada en el concepto de partícula. Por supuesto que hay importantes diferencias entre las ideas de Aristóteles y la física cuántica de inicios del siglo XX, pero las dos concuerdan en un aspecto esencial: la materia se divide en forma y movimiento, por un lado, y sustancia, aunque sea puntual, por el otro.

A mediados del siglo XX, los físicos descubrieron cientos de partículas diferentes, a las cuales aplicaron un creativo afán de clasificación. Citando a Michio Kaku en su libro Beyond Einstein "por definición, partículas elementares deberían ser pocas en número, pese a esto los físicos de los años 50 se inundaron con nuevos hadrons descubiertos en los laboratorios. Obviamente, se requería una nueva teoría para organizar este caos”.

En efecto, en la década de los 70 surgió una nueva tendencia teórica para explicar toda esta diversidad e incongruencia: la supersimetría. De esta nueva herramienta matemática surgió toda una variedad de teorías y conceptos, de los cuales la teoría de las cuerdas tiene una especial importancia para el enfoque de este comentario. La idea de "cuerdas" unidimensionales que difieren entre sí solamente por el modo de vibración y por la condición cerrada/abierta, sumada al repaso del concepto de espacio-tiempo de la relatividad, nos da una impresión de un "no sé qué" de inmaterialidad. Es decir, ¿dónde esta la sustancia? Lo que era materia que se movía en relación a materia, es en realidad movimiento puro, una dimensión cerrada en si misma que vibra, y, vibrando, interacciona con otras de su género. Todo se reduce a la "deformación" del espacio-tiempo y de las otras posibles dimensiones. De ese modo, todo es información; siempre que entendida como la organización o estructura intrínseca a un objeto.

Teniendo como base, entonces, que toda energía es información dimensional —sean las basadas en radiación de partículas como la luz, sean las provocadas por vibración de moléculas como el calor—, podemos formular una imagen de nuestro universo explicada solamente por una gradación entre el mínimo y el máximo de densidad de información, entre las partículas dispersas y desordenadas (radiación) y las concentradas y ordenadas (átomos y moléculas). La materia, formada por interacciones más o menos estables entre partículas, posee, además de la información inherente de las partículas que la constituyen, un incremento de información que se refiere al comportamiento constante de dichas partículas. Dicho comportamiento es dictado por un aproximado equilibrio entre la fuerza electromagnética, que mueve los electrones alrededor del núcleo, y la nuclear fuerte, que mantiene unidas las partículas del núcleo del átomo.

Con este fundamento construido —siempre en el campo de las hipótesis—, incorporo la idea de entropía. Sabiendo que todo el sistema se desarrolla hacia el "desorden"—y nuestro universo es un gran sistema—, justificamos la formación de los átomos y posteriormente de las moléculas a través de la minoritaria probabilidad, que varia con la cantidad de energía del sistema, de que, en medio de un caos de partículas con movimientos aleatorios, se agrupen todos los ingredientes de una configuración equilibrada. De este mismo modo, aunque después de algunos miles de millones de años, las moléculas de nuestra Tierra pudieron formar una macromolécula orgánica, algo como una proteína o un ADN primitivo.

La información que contiene una molécula de ADN ya no es comparable a la de una partícula. La complejidad de esta molécula representa claramente un marco en el histórico de la configuración de la materia. A modo de ilustración, un cromosoma, escrito en el alfabeto cuatripartito de los nucleótidos, tiene veinte mil millones de bits, la información equivalente a una colección de cuatro mil libros de aproximadamente quinientas páginas cada uno.

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La gran revolución del ADN, juntamente con el alto grado de complejidad, fue el surgimiento de una configuración capaz de trasmitir la información. Se trata del aspecto de la herencia genética que es imprescindible para el mecanismo evolutivo biológico. La evolución comporta una acumulación de información con el paso de las generaciones, de modo que "la evolución biológica —escribió Carl Sagan en Los Dragones del Edén— ha venido acompañada de un incremento de complejidad. Los organismos más perfeccionados hoy existentes en la Tierra contienen un caudal de información, tanto genética como extragenética, mucho mayor que la de los más complejos organismos de, pongamos por caso, doscientos millones de años atrás (...)".

Es evidente, pues, que la información es un aspecto decisivo en la evolución de la vida; aunque, como dijo el propio Sagan, cantidad de información es diferente de calidad de información, en general cuanto mayor el caudal de información genética, mayor la probabilidad de que haya información útil. El balance de la información genética de las especies terrestres varía desde los treinta mil bits de los virus hasta los treinta mil millones de bits del ser humano. Sin embargo este proceso no es lineal; las diferencias entre los niveles biológicos van disminuyendo en la medida en que aumenta la complejidad, siendo que hoy la diferencia entre un virus y una bacteria es la misma que la que existe entre el hombre y las algas unicelulares.

El proceso evolutivo genético hubiera continuado de este modo por tiempo indeterminado, si este no hubiese provocado una nueva "revolución": la inteligencia. El cómo surgió exactamente el aparato nervioso sería una explicación demasiado extensa y, además, incompleta. Me limito solo a mencionar que es un atributo exclusivo de la mayoría de especies del reino Animalia, y que tuvo un rápido desarrollo en los vertebrados. En estos surgió un sistema nervioso central mayor y más especializado, que con los reptiles logró la equiparación de cantidad de bits del cerebro con la de su ADN. El ser humano viene de la ramificación de los mamíferos, que probablemente tuvo origen en los reptiles, y que llevó aun más allá la complejidad cerebral. Sagan defiende la teoría del cerebro "trino", según la cual el hombre posee resquicios de sus antepasados en la fisiología de su cerebro, transmitidos por la herencia genética. De ese modo, el cerebro humano se parece a una cebolla. Está formado por varias capas cerebrales sobrepuestas acumulativamente alrededor de un "núcleo reptílico", cada una adoptando funciones diferentes. La más importante para nuestra condición de seres racionales es la última de las capas, la externa, el neocórtex. Es ahí donde se da la más pura manipulación de la información, no como en las otras regiones del cerebro, donde solo se almacenan datos sensoriales o se interactúa químicamente con otros tejidos nerviosos. Es en el lóbulo frontal del neocórtex donde se localizan los mecanismos mentales de los que tanto nos enorgullecemos, tales como el pensamiento analítico, la conciencia, el lenguaje y la imaginación. Y es a través de este último gran logro de la evolución de la materia que introduzco mi consideración final.

Después de todo lo expuesto, me viene la pregunta: ¿qué diferencia lo imaginario de lo real? ¿Qué diferencia una novela o un videojuego de la vida rutinaria? ¿Existe efectivamente una diferencia de esencia entre el producto de la mente y la realidad? Mi conclusión es que no. Si todo se reduce a información, entonces la realidad, por más "concreta" que nos parezca, tiene la misma naturaleza que un sueño, que es información en nuestro cerebro. Sin embargo, sí que hay una diferencia importante de grado. La realidad es extremadamente compleja y extensa, que posee en si desde la información de todas las partículas hasta la de nosotros mismos. Por eso no debemos tomar la idea con euforia impensada, diciendo: "¡Podré recrear un universo en mi mente!", porque una mente como la nuestra está delimitada por nuestro ego, nuestro punto de referencia, y no somos capaces de pensar en varias ideas desde varias perspectivas simultáneamente. Lo único que somos capaces de hacer es crear pseudos-universos basados en nuestro ámbito de existencia y percepción sensorial. La cima de este afán divino podría ser la realidad virtual, que crea universos pequeños que consiguen simular ciertos comportamientos de la materia, tales como la gravedad. Otro gran afán que puede surgir es el de pensar todo el universo —es decir, tener en si toda su información— y así ser uno con él. No me arriesgo en condenar o confirmar ninguna posibilidad futura; creo que la humanidad tiene un agradable futuro, pese que haya tantos problemas, y que estas cuestiones deben ser discutidas siempre sobre lo que aprendamos del universo.


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RRiicchhaarrdd PPhhiilllliippss FFeeyynnmmaann Nació el 11 de mayo de 1918 en Nueva York, y falleció el 15 de febrero de 1988, en

Los Ángeles, California, ambas localidades en E. E. U. U.

Está considerado como uno de los más importantes científicos de la historia de la Humanidad y ha sido uno de los más populares físicos del

siglo XX.

RRIICCHHAARRDD PP.. FFEEYYNNMMAANN (*1918-†1988)

Feynman, nacido en la ciudad de Nueva York, pasó su niñez y juventud en el barrio Far Rockaway en Manhattan, y cuando tenía cerca de 10 años, comenzó a comprar viejas radios para coleccionar sus dispositivos y componentes eléctricos con el objeto de utilizarlos en su «laboratorio personal» y, con tan solo 12 años, ya era capaz de arreglar los desperfectos de las radios de su vecindario. Feynman, a través del desarrollo de una serie de entretenidas ilustraciones describió los acontecimientos que le fueron ocurriendo desde su niñez y durante su vida profesional. Un trabajo autobiográfico que primero fue conocido como la colección Surely You're Joking, Mr. Feynman! Y luego, como The Meaning of It All: Thoughts of a Citizen Scientist and Tuva or Bust!: Richard Feynman's Last Journey.

Finalizada su enseñanza media, Feynman entró a estudiar al Instituto de Tecnológico de Massachusetts (MIT) y, posteriormente a la universidad de Princeton, en donde rindió su tesis de doctorado en física teórica en el año 1942, teniendo como profesor guía a John Wheeler. Su tesis se trató sobre las ondas avanzadas, que se pueden describir como la teoría de las ondas electromagnéticas que viajan «hacia atrás» en el tiempo. Su primera conferencia en Princeton sobre el tema concertó gran interés y una amplia audiencia, en la cual se encontraban nada menos que Einstein, Pauli y von Neumann. Pauli, en esa ocasión, hizo el siguiente comentario:

No pienso que esta teoría pueda ser correcta...

Después de terminar su doctorado, Feynman se fue a la universidad de Cornell en 1945 como profesor de física teórica. Allí, se juntó con Hans Bethe y ambos fueron reclutados para participar en el desarrollo del proyecto Manhattan. Movilizado y mientras se construía el laboratorio secreto en Los Álamos, Feynman se burló de la disciplina de los militares con una serie de bromas y de raros y prácticos trucos. Estaba empecinado en demostrar la inseguridad de las cajas fuertes de Los Álamos donde se guardaban los planos de la bomba atómica. Sus conclusiones sobre la inseguridad de las cajas las expuso en sus ilustraciones ¡Surely You're Joking, Mr. Feynman! Mientras Feynman trabajaba en Los Álamos, su esposa enfermó y murió.

Terminada la guerra, Feynman fue contratado como profesor visitante en la universidad de Río de Janeiro, Brasil. Posteriormente, en el año 1950, fue nombrado profesor titular de la cátedra de física teórica en el Instituto de Tecnología de California, pero dado su encanto por el Brasil una de las «condiciones» que puso para su nombramiento fue la de retornar como visita a ese país antes de ocupar el cargo. En realidad, no comenzó realmente a dictar sus clases en Caltech hasta 1951. Mientras que en el Brasil, Feynman dio, durante diez meses, conferencias sobre el electromagnetismo, al mismo tiempo que se preparaba para desfilar en una escuela de samba de Copacabana en Río de Janeiro.

Al siguiente año, después de haber regresado a Caltech, Feynman volvió a poner su atención en la electrodinámica cuántica, desarrollando con mucho éxito las reglas que deben ser obedecidas por las teorías de campo cuánticas. Durante su trabajo, descubrió la forma de renormalizar la teoría de la electrodinámica cuántica. Junto a lo anterior, inventó los llamados «diagramas de Feynman» para representar sumas de interacciones.



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Trabajó también en mecánica estadística, en particular en fenómenos de bajas temperaturas como los que presenta helio líquido. Por todas estas contribuciones y, especialmente, por la de la renormalización de la electrodinámica cuántica, Feynman compartió el premio Nobel de 1965 de física con Shin-Ichiro Tomonaga y Julián Schwinger, quienes también contribuyeron a formular el proceso de renormalización de la teoría. Feynman también aportó importantes fundamentos a la teoría de las interacciones nucleares.

Para visualizar y describir las interacciones electrodinámicas cuánticas, Feynman introdujo una forma de dibujos esquemática e ingeniosa conocida como el diagrama de Feynman. En tal diagrama, todas las partículas son representadas por líneas. Con líneas rectas se representan los fermiones y con las onduladas los bosones (a excepción del bosón de Higgs, que es representado generalmente por una línea discontinua, y de los gluones, que son representados generalmente por los lazos).

El diagrama ilustrado corresponde a dos electrones. Cada electrón es representado por una línea recta, que intercambian un fotón (virtual) que después es repelido por otro.

DIAGRAMA DE FEYNMAN

Richard Feynman era poseedor de una vocación innata por la docencia. Como pedagogo siempre estaba buscando la forma de explicar de manera simple lo complicado. Por lo mismo buscaba dictar los cursos de primer año, generalmente desdeñados por sus colegas. Así surgieron los textos «The Feynman's lectures on physics» en los cuales buena parte de la física es recreada o repensada. Además de estos y otros libros científicos de nivel general, publicó una cantidad importante de artículos técnicos sobre sus trabajos de investigación.

Como profesor y científico, la principal preocupación de Feynman siempre estuvo centrada en los sistemas educativos orientados a la física. Durante su visita al Brasil, evaluó el sistema educativo brasileño, escribiendo un ensayo y dando una conferencia sobre él en el último semestre académico del año 1950. También, durante dos años, fue miembro del consejo para la evaluación de libros de matemáticas y de física para las escuelas públicas primarias y secundarias de California. Perfeccionó y fortaleció las enseñanzas de física de pregrado en Caltech, donde sus experiencias que tuvo en sus cuatro años como académico allí fueron recopiladas y editadas en los tres volúmenes de «The Feynman's lectures on physics», que se ha convertido en una inspiración para los estudiantes de física desde que Feynman también publicó un número de popularizaciones de la física, incluyendo QED: The Strange Theory of Light and Matter (La extraña teoría de la luz y de la materia).

Después de la explosión en vuelo del trasbordador de la NASA Challenger, en 1986, Feynman fue designado para participar en el consejo que investigó las causas del desastre. Con su tradicional estilo directo, carente de majaderías, Feynman cortó con la burocracia e identificó la causa del desastre como la falta de un sello anillo (o'ring) en el launch-pad de bajas temperaturas de la nave, incluso remojó un o'ring similar en cubos de hielo de agua delante de otros miembros del comité para probar su conclusión.

En los comienzos de la década de 1980, Feynman desarrolló un cáncer abdominal. Después de una lucha de cinco años, sucumbió en Los Ángeles el 15 de febrero de 1988, dos semanas después de dictar su última exposición como docente: su postrera clase versó sobre la curvatura espaciotemporal. Durante su vida, Feynman recibió numerosos meritorios premios, incluyendo el Premio Albert Einstein (1954, Princeton) y el Premio Lawrence (1962). Fue también miembro de la sociedad de física americana, de la asociación americana para el adelanto de la ciencia, la National Academy of Sciences, y fue elegido como miembro extranjero de la Royal Society, Londres (Gran Bretaña) en 1965.

FUENTE:


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MUJERES DESTACADAS EN LAS CIENCIAS:

GGrraaccee MMuurrrraayy HHooppppeerr 9 de diciembre de 1906 - 1 de enero de 1992.

RESEÑA BIOGRÁFICA PREPARADA POR: DARIANNA BERNÀEZ, C.I. Nº: 19363241 y GIANINA DE CANHA, C.I. Nº: 19472505. Estudiantes cursantes de la asignatura Cálculo II, Sección 11, Periodo 1-2010, de la Mención Matemática, Facultad de Ciencias de la Educación (FaCE), Universidad de Carabobo. Valencia-Venezuela. 14 de Agosto de 2010.

Desde tiempos antiguos el aporte de la mujer al conocimiento científico ha sido invaluable. Sin embargo, también ha sido tradicional que se la segregue de las fuentes de información, de los sistemas educativos y de los centros de investigación, a pesar de que el trabajo individual de muchas de las grandes investigadoras haya sido reconocido por Academias, Papas, Reyes y por sus colegas a lo largo de la historia. Uno de los síntomas de esa segregación es el silencio y la omisión.

El silencio, porque a pesar de haber existido mujeres científicas en el pasado, no han recibido el reconocimiento que merecen en los textos normales. Por otra parte, la incursión de la mujer en la formación universitaria, un fenómeno que cada día deja de ser exclusivo del Primer Mundo, se ha hecho cotidiana.

Sin embargo, aun en estos días, la lucha de las mujeres por lograr que su trabajo y creatividad sean considerados iguales a los de sus colegas aún debe continuar.

Ubicación Temporal y Espacial (Línea de vida). Grace Brewster Murray, nació el 9 de diciembre de 1906 en Nueva York (EEUU), es la mayor de tres hermanos. Grace fue bisnieta de Alexander Russell, un almirante de la Armada de los Estados Unidos. Este fue su modelo y su héroe personal. También fue nieta de un ingeniero civil, John Van Horne. Sus padres fueron Walter Fletcher Murray, corredor de seguros y Mary Campbell Van Horne, que tenía un amor por las matemáticas que transmitió a su hija. Desde muy pequeña demostró aptitudes para las ciencias y las matemáticas. Recibió siempre el apoyo de su abuelo y de su padre para que las estudiara, pues quería que sus hijas tuvieran las mismas oportunidades que su hijo varón.

En 1930 se casa con Vincent Foster Hopper, un doctor en inglés, que durante muchos años fue presidente del departamento de inglés de la universidad de Nueva York, fue un educador, que la impulso a trabajar enseñando matemáticas en Vassar en 1931. Consiguió el nombramiento de profesor asociado en 1941 cuando ganó una beca para estudiar en el New York University's Courant Institute for Mathematics. Vicent y Grace se divorciaron en 1945 sin tener hijos.

Falleció el 1 de Enero de 1992 mientras dormía en Arlington, Virginia (USA). Al final de su vida estaba orgullosa del servicio prestado a su país. Por ello, fue enterrada con honores en el cementerio nacional militar de Arlington el 7 de enero de 1992.

Algunos aspectos resaltantes de su vida fuera del ambiente de la matemática.

Le atrajo mucho cualquier tipo de dispositivo mecánico, tanto es así, que con 7 años desarmó todos los relojes de su casa para ver si podía entender cómo funcionaban.

En 1943 decidió unirse a las fuerzas armadas en plena Segunda Guerra Mundial, para lo cual tuvo que obtener un permiso especial. Asistió a la Escuela de cadetes navales para Mujeres, graduándose la primera de su clase en 1944 y obteniendo el rango de teniente. Fue enviada a Harvard para trabajar en el Proyecto de Computación que dirigía el comandante Howard Aiken, la construcción de la Mark I.

Tras el final de la Segunda Guerra Mundial, Hopper quiso seguir en la Armada pero como ya había cumplido los 40 años en 1946 (el límite eran 38) fue rechazada permaneciendo en la reserva. Por lo que siguió en Harvard como Investigadora junto a Aiken. Desarrolló varias aplicaciones contables para la Mark I, que estaba siendo utilizada por una compañía de seguros.

Permaneció en Harvard hasta 1949, cuando Hopper empezó a trabajar en la Eckert - Mauchly Corporation en Filadelfia (compañía fundada por los inventores del ENIAC, Eckert y Mauchly), que en esos momentos estaban desarrollando las computadoras BINAC y UNIVAC I. Trabajó en esa compañía y en sus sucesoras hasta su retiro en 1971. Allí fue donde Hopper realizó sus mayores contribuciones a la programación moderna.

Hopper permaneció en la reserva de la Armada hasta 1966, cuando tuvo que retirarse con el grado de Comandante, por haber alcanzado el límite de edad nuevamente. Pero este retiro duró poco ya que la Armada la volvió a llamar en 1967 para que estandarizara los lenguajes de alto nivel que usaban. Se reincorporó y permaneció en el servicio durante 19 años más.

En 1986, Hopper se retiró de la Armada de manera definitiva, siendo en ese momento la oficial de más edad de la Armada de los EE.UU. Tras su retiro, se incorporó como asesora en Digital Equipment Corporation, participando en foros industriales, dando unas 200 conferencias por año y participando en programas educativos hasta 1990, cuando la "increíble Grace", que era como la conocían sus amistades, se retiró definitivamente.



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Campo de estudio y desempeño profesional con respecto a la matemática.

Su padre siempre motivó a su hija para que estudiara y llegará a la universidad para así ser autosuficiente. Hopper estudió en varias escuelas privadas para mujeres, y en 1924 ingresó en Vassar College en Nueva York, donde cursó estudios en matemáticas y física, graduándose con honores en 1928. A continuación obtuvo una beca para cursar un master en matemáticas en la universidad de Yale, de donde se graduó en 1930.

Vassar College le ofreció un puesto como asistente en su departamento de matemáticas, en donde permaneció hasta 1943 mientras continuaba sus estudios en Yale, obteniendo el doctorado en matemáticas en 1934.

Aportes reconocidos a la matemática y a la ciencia en general.

En 1952, desarrolló el primer compilador de la historia, un programa intermedio que traduce instrucciones del lenguaje natural (inglés) al lenguaje interno (instrucciones de código máquina), llamado A-0, y en 1957 realizó el primer compilador para procesamiento de datos que usaba comandos en inglés, el B-0 (FLOW-MATIC), cuya aplicación principal era el cálculo de nóminas.

Según dijo, lo diseñó porque era perezosa y pretendía con eso que el programador volviera a ser matemático. Su trabajo implicó e impulsó un enorme desarrollo: subrutinas, formulas de traducción, direcciones relativas, cargador de enlaces, optimización de código, e incluso manipulación simbólica del tipo que actualmente hacen Matemática o Maple.

Tras su experiencia con FLOW-MATIC, Hopper pensó que podía crearse un lenguaje de programación que usara comandos en inglés y que sirviera para aplicaciones de negocios. La semilla de COBOL había sido sembrada, y 2 años después se creó el comité que diseño el famoso lenguaje. Aunque Hopper no tuvo un papel preponderante en el desarrollo del lenguaje, fue miembro del comité original para crearlo, y el FLOW-MATIC fue una influencia tan importante en el diseño de COBOL, que se considera a Hopper como su creadora.

Utilizó por primera vez el término “bug” para referirse a un fallo informático, cuando descubrió un insecto (bug, en ingles) atrapado en la computadora con la que estaba trabajando. El insecto tuvo una muerte gloriosa al quedar archivado y pegado en el libro de registro de la actividad del equipo, con el comentario escrito por la propia Grace: “First actual case of bug being found” (primer caso real de bug encontrado).

Obra o producción literaria relacionada con la matemática.

No se le conocen obras o producción literaria relacionada con la matemática.

Obra o producción literaria no relacionada con la matemática.

En 1944 mientras trabajaba en la universidad de Harvard junto al profesor Howard Aiken desarrolla el Automatic Sequence Controlled Calculator, un manual de operaciones de más de 500 páginas en el que se repasaban los principios operacionales fundamentales de las computadoras.

Reconocimientos honoríficos.

A lo largo de su vida, recibió numerosos reconocimientos, que incluyen más de 40 doctorados honoris causa, la Medalla Wilbur Lucius Crossde Yale, el rango de capitán en 1973, el de comodoro en 1983 y el de contraalmirante en 1985. Única mujer con el grado de almirante de su país. Recibió el Premio al desarrollo de la artillería de Marina por su precoz éxito en la programación de aplicaciones en los ordenadores Mark I, Mark II y Mark III. Podemos destacar:

• 1969 – Paradójicamente recibió el título de Hombre del año en ciencias de la computación (Data Processing

Management Association).

• En 1970 recibió el M Harry Goode Memorial Award, una medalla y 2.000 dólares otorgado por la Sociedad

Informática

• En 1973 - Primera mujer nombrada miembro distinguido de la British Computer Society, también fue elegida

miembro de la Academia Nacional de Ingeniería y la Legión de Mérito.

• En 1986 - Tras su jubilación, recibió la Medalla de Servicio Distinguido de Defensa.

• En 1988 – Recibió el Premio Golden Gavel en la convención Toastmasters Internacional en Washington, DC.

• En 1991 – el presidente George Bush le otorgo a Hopper la Medalla Nacional de Tecnología.

• En 1996 – Se pone en marcha el buque de guerra, USS Hopper (DDG-70). Apodado Amazing Grace en su honor.

• En su nombre se lleva a cabo una conferencia denominada "LA COLABORACIÓN A TRAVÉS DE FRONTERAS". (CONTINÚA EN LA SIGUIENTE PÁGINA)


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La Celebración Grace Hopper de la Mujer en Informática es una serie de conferencias destinadas a llevar los intereses de investigación y profesional de las mujeres en la informática a la vanguardia. Los presentadores son líderes en sus respectivos campos, lo que representa industrial, académico y de gobierno. Los principales investigadores presentarán su trabajo actual, mientras que las sesiones especiales hacen hincapié en el papel de la mujer en los campos de la tecnología actual, incluida la informática, tecnología de la información, la investigación y la ingeniería.

Grace Hopper anteriores celebraciones han dado lugar a propuestas de colaboración, trabajo en red, la tutoría, y una mayor visibilidad de las contribuciones de las mujeres en la informática.

Conferencia que este año se planificó para realizarla en Atlanta, Georgia el 28 septiembre-2 octubre 2010.

"Si usted hace algo una vez, la gente lo llamará accidente, si usted lo hace dos veces, lo

llamarán coincidencia. Pero hágalo tres veces, y ¡acabará de probar una ley natural! ".

Grace Murray Hopper

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS.

Anita Borg (2010) Disponible en:

http://translate.google.es/translate?hl=es&sl=en&u=http://gracehopper.org/&ei=WjVkTKUUhoqXB5zUjaQL&sa=X&oi=transla

te&ct=result&resnum=3&ved=0CC8Q7gEwAg&prev=/search%3Fq%3Dgrace%2Bhopper%26hl%3Des%26prmd%3Div

Autor desconocido. (06-05-2010). Disponible en: http://es.wikipedia.org/wiki/Grace_Murray_Hopper

Autor desconocido. (2010). Disponible en: http://www.dma.eui.upm.es/historia_informatica/Doc/Personajes/GraceHooper.htm

Daniel Martínez. (2010). Disponible en: http://www.recbib.es/blog/biografia-de-grace-murray-hopper

Laura Arribas Fernández (2010). Disponible en:

http://centros5.pntic.mec.es/~barriope/matematicas/web_taller_0203/mujeres/laura/grace_murray_hopper.htm


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CUENTOS MATEMÁTICOS

MMII PPRROOFFEE RRAAMMÓÓNN--33 Por: ARMANDO SAMANIEGO

Colombiano, escritor y conferencista de Matemática Recreativa. (En este tercer capítulo del libro Mi Profe Ramón, narro el funcionamiento de la más vieja de las calculadoras)

FECHA: 19 ABRIL 2008

Era viernes, cuarto día de nuestro año escolar, y tercer día de matemáticas de la semana.

Esta vez, nuestro profe iba dispuesto a empezar con el álgebra, cuya palabra causaba más de un dolor de cabeza, especialmente a mis amigos, excepto a Farid, que como se podrán dar cuenta era un excelente algebrista. El profe empezó hablando de Asia menor, de tierras desconocidas y fantásticas, porque las relacionaba con un libro que hace poco había leído llamado Las mil y una noches, luego nos presentó a sus amigos los monomios, binomios (no faltó el apunte del loco Johan David, que lo relacionó con un grupo vallenato), trinomios, etc.

Empezamos a sumar algunos monomios, cuando al flojo de Rodrigo le dio por sacar una calculadora (máquina gorda que funcionaba con dos pilas AA y con números de luz verde) y a escondidas empezó a hacer sumas reduciendo términos semejantes. Pero como en todo salón que se respete no falta el… que le contó al profe la picardía de Rodrigo y cuando todos esperábamos el grito o el regaño del profe quedamos sorprendidos cuando el profe tomó la calculadora del tembloroso Rodrigo y preguntó: ¿Saben ustedes cuál fue la primera calculadora?

Farid levantó la mano y dijo haber leído sobre una máquina de un tal Pascal; Johan aseguró que su abuelo un tal Johan Casio la había inventado, pero descubrí que era falso al ver la sonrisa que le hizo el profe Ramón, que añadió: “Jóvenes, la primera calculadora fueron las manos”

¿Las manos? Dijimos en coro, recordando el sonsonete con que contestan los niños de primaria; ¿Por qué? dijo la bonita Ángela (linda pregunta me dije a mi mismo, sonrosándome cuando advirtió que le miraba con cara de cordero degollado)

Sí, afirmaba el profe, los dedos de la mano no solo se usaron para sumar sino también para multiplicar, por ejemplo la multiplicación por nueve es así: Se numeran los dedos del 1 al 10,

y se doblará aquel marcado por el factor que multiplica a nueve, por ejemplo si es 3 x 9, doblamos el dedo 3 y la cantidad de dedos de la izquierda nos dará las decenas, en este caso 2 mientras que los dedos de la derecha del doblado nos dará las unidades en este caso 7, es decir 3 x 9 = 27. En el otro ejemplo está 6 x 9, se dobla el 6º y quedan 5 a izquierda y 4 a derecha, es decir 6 x 9 = 54.

Cuando queramos multiplicar por números mayores que 10, separamos el dedo que indica las decenas del multiplicando y seguido a ello leemos por grupos, las centenas, decenas y unidades, teniendo en cuenta que se dobla el dedo correspondiente a las unidades. Por ejemplo, dijo el profe:

Tarea 3. Hallar el modo de multiplicar por 8 con los dedos de las manos.

Armando SOLANO SAMANIEGO [email protected]


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DDeessccuubbrreenn ccóóddiiggoo sseeccrreettoo eenn oobbrraa ddee PPllaattóónn

El filósofo utilizó un patrón regular de símbolos, heredado de antiguos seguidores de Pitágoras, para dar a sus libros una estructura musical.

PLATÓN HABRÍA DEJADO ESTOS MENSAJES MUSICALES OCULTOS EN SUS ESCRITOS, PARA EVITAR SER

EJECUTADO POR SUS IDEAS SOBRE UN UNIVERSO CONTROLADO POR LEYES MATEMÁTICAS SIN NINGUNA INTERVENCIÓN DIVINA.

Autor: Andrés Eloy Martínez

El Universal. Martes 21 de septiembre de 2010

Enviado por: Prof. José Fernández (FaCE – UC)

Platón no sólo contribuyó con su obra en la política, ética, filosofía, física y matemáticas, entre otras ciencias, sino también en la música al dejar partituras ocultas en sus textos.

Un nuevo descubrimiento realizado por el doctor Jay Kennedy de la Universidad de Manchester, podría revolucionar la historia de los orígenes del pensamiento occidental.

Kennedy descubrió que Platón utilizó un patrón regular de símbolos, heredado de antiguos seguidores de Pitágoras, para dar a sus libros una estructura musical.

Un siglo antes, Pitágoras había declarado que los planetas y las estrellas, producían una música inaudible, una "música de las esferas". Platón escribió las partituras de esta música ocultándola en sus libros.

Los códigos ocultos musicales, demuestran que Platón se anticipó a la revolución científica dos mil años antes de que Isaac Newton descubriera su idea más importante, el hecho de que el libro de la naturaleza está escrito en el lenguaje de las matemáticas, asegura un artículo publicado en la página de la Universidad de Manchester.

Kennedy encontró que Platón dividió cada diálogo en 12 partes, cada una de las cuales correspondía a una nota musical en una escala de 12 notas. Esta escala fue similar a la escuela griega llamada de Los Armonistas y a la de producción con un monocorde, un instrumento importante en la tradición posterior de Pitágoras.

De esta forma Kennedy asegura que las estructuras simbólicas en los diálogos son una prueba del pitagorismo de Platón.

Su investigación se publicó en la revista Apeiron a mediados de junio de 2010 y publicó un libro al respecto.

"Es una historia larga y emocionante, pero básicamente al descifrar el código, he demostrado rigurosamente que los libros contienen códigos y símbolos, que desentrañan y revelan la filosofía oculta de Platón. Este es un verdadero descubrimiento, no sólo una reinterpretación", afirmó Kennedy.

Kennedy pasó cinco años estudiando los escritos de Platón y encontró que en el trabajo mejor conocido del filosofo, La República, colocó grupos de palabras relacionadas con la música en cada doceava parte del texto; una en la primera doceava parte, dos en la segunda doceava parte hasta que encontró un patrón regular, en donde representó las doce notas de la escala musical griega.

Algunas notas son armónicas, otras disonantes. En los sitios de las notas armónicas, describió estos sonidos asociados con el amor o la risa, mientras que las ubicaciones de notas disonantes que producen sonidos chirriantes, se relacionan con pasajes referentes a la guerra o la muerte. Este código musical fue clave para descifrar todo el sistema simbólico de Platón.

Platón habría dejado estos mensajes musicales ocultos en sus escritos, para evitar ser ejecutado por sus ideas sobre un universo controlado por leyes matemáticas sin ninguna intervención divina.

Para algunos historiadores, Platón también sembró las bases del misticismo moderno, al crear una religión basada únicamente en las matemáticas, sin aplicar el método científico, nacido algunos años antes también en Grecia, en la región jónica.

El filósofo dividiría el mundo entre las ideas matemáticas eternas y perfectas y el mundo de los sentidos con sus imperfecciones, identificando al cielo y los astros con la armonía matemática y a la Tierra con la corrupción e imperfección. Sus ideas influirán siglos mas adelante en la filosofía cristiana, que adoptaría esta dualidad en su teología. De acuerdo a Kennedy "al leer sus libros, nuestras emociones siguen las subidas y bajadas de una escala musical. Platón juega con sus lectores como instrumentos musicales".


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CCáállccuulloo UUllttrraarrrrááppiiddoo La capacidad para efectuar rápidamente operaciones aritméticas mentales parece tener sólo una moderada correlación con la inteligencia general y menor aún con la intuición y creatividad matemáticas. Algunos de los matemáticos más sobresalientes han tenido dificultades al operar, y muchos «calculistas ultrarrápidos» profesionales (aunque no los mejores) han sido torpes en todas las demás capacidades mentales. Sin embargo, algunos grandes matemáticos han sido también diestros calculistas mentales. Carl Friedrich Gauss por ejemplo, podía llevar a cabo prodigiosas hazañas matemáticas en la mente. Le gustaba hacer alarde de que aprendió antes a calcular que a hablar. Se cuenta que en cierta ocasión su padre, de oficio albañil, estaba confeccionando la nómina general de sus empleados, cuando Friedrich, que entonces tenía 3 años, le interrumpió diciéndole: «Papá, la cuenta está mal...». Al volver a sumar la larga lista de números se comprobó que la suma correcta era la indicada por el niño. Nadie le había enseñado nada de aritmética. John von Neumann era un genio matemático que también estuvo dotado de este poder peculiar de computar sin usar lápiz ni papel. Robert Jungk habla en su libro Brighter than a Thousand Suns acerca de una reunión celebrada en Los Álamos, durante la Segunda Guerra Mundial, en la que von Neumann, Enrico Fermi, Edward Teller y Richard Feynman lanzaban continuamente ideas. Siempre que había que efectuar un cálculo matemático, Fermi, Feynman y von Neumann se ponían en acción. Fermi empleaba una regla de cálculo, Feynman una calculadora de mesa, y von Neumann su cabeza. «La cabeza», escribe Jungk (citando a otro físico), «terminaba normalmente la primera, y es notable lo próximas que estaban siempre las tres soluciones».

La capacidad para el cálculo mental de Gauss, von Neumann y otros leones matemáticos como Leonhard Euler y John Wallis puede parecer milagrosa; palidece, sin embargo, ante las hazañas de los calculistas profesionales, una curiosa raza de acróbatas mentales que floreció a lo largo del siglo XIX en Inglaterra, Europa y América. Muchos comenzaron su carrera de niños. Aunque algunos escribieron acerca de sus métodos y fueron examinados por psicólogos, probablemente ocultaron la mayoría de sus secretos, o quizás ni ellos mismos entendían del todo como hacían lo que hacían. Zerah Colburn, nacido en Cabot, Vt., en 1804, fue el primero de los calculistas profesionales. Tenía seis dedos en cada mano y en cada pie, al igual que su padre, su bisabuela y al menos uno de sus hermanos. (Se le amputaron los dedos de sobra cuando tenía alrededor de 10 años. Nos preguntamos si acaso fue eso lo que le alentó en sus primeros esfuerzos por contar y calcular). El niño aprendió la tabla de multiplicar hasta el 100 antes de que pudiese leer o escribir. Su padre, un pobre granjero, se dio cuenta rápidamente de sus posibilidades comerciales, y cuando el rapaz tenía solamente seis años le llevó de gira por primera vez. Sus actuaciones en Inglaterra, cuando tenía ocho años, están bien documentadas. Podía multiplicar cualesquiera números de cuatro dígitos casi instantáneamente, pero dudaba un momento ante los de cinco. Cuando se le pedía multiplicar 21.734 por 543, decía inmediatamente 11.801.562. Al preguntarle cómo lo había hecho, explicó que 543 es igual a 181 veces 3. Y como era más fácil multiplicar por 181 que por 543, había multiplicado primero 21.734 por 3 y luego el resultado por 181. Washington Irving y otros admiradores del niño recaudaron dinero suficiente para enviarlo a la escuela, primero en París y luego en Londres. No se sabe si sus poderes de cálculo decrecieron con la edad o si perdió el interés por actuar. Lo cierto es que volvió a América cuando tenía 20 años, ejerciendo luego otros diez como misionero metodista. En 1833 publicó en Springfield, Mass., su pintoresca autobiografía titulada A Memoir of Zerah Colburn: written by himself. . . with his peculiar methods of calculation. En el momento de su muerte, a los 35 años, enseñaba lenguas extranjeras en la Universidad de Norwich en Northfield, Vt.

Paralelamente a la carrera profesional de Colburn se desarrolla en Inglaterra la de George Parker Bidder, nacido en 1806 en Devonshire. Se dice que adquirió la destreza en el cálculo aritmético jugando con piedrecitas y botones, porque su padre, un picapedrero, sólo le enseñó a contar. Tenía nueve años cuando se fue de gira con su progenitor. Entre las preguntas que le planteaban los espectadores puede elegirse la que sigue: si la Luna dista 123.256 millas de la Tierra y el sonido viaja a cuatro millas por minuto ¿cuánto tiempo tarda éste en hacer el viaje de la Tierra a la Luna (suponiendo que pudiese)? En menos de un minuto el niño respondía: 21 días, 9 horas y 34 minutos. Cuando se le preguntó (a los 10 años) por la raíz cuadrada de 119.550.669.121, contestó 345.761 en 30 segundos. En 1818, cuando Bidder tenía 12 años y Colburn 14, coincidieron en Derbyshire, donde hubo un cotejo. Colburn da a entender en sus memorias que ganó el concurso, pero los periódicos de Londres concedieron la palma a su oponente. Los profesores de la Universidad de Edimburgo persuadieron al viejo Bidder para que les confiase la educación de su hijo. El joven se desenvolvió bien en la universidad y finalmente llegó a ser uno de los mejores ingenieros de Inglaterra. Los poderes de cálculo de Bidder no decrecieron con la edad. Poco antes de su muerte, acaecida en 1878, alguien citó delante de él que hay 36.918 ondas de luz roja por pulgada. Suponiendo que la velocidad de la luz es de 190.000 millas por segundo, ¿cuántas ondas de luz roja, se preguntaba, llegarán al ojo en un segundo? «No hace falta que lo calcules», dijo Bidder. «El número de vibraciones es 444.433 .651.200.000».

Tal vez haya sido Alexander Craig Aitken el mejor de los calculistas mentales recientes. Profesor de matemáticas de la Universidad de Edimburgo, nació en Nueva Zelanda en 1895 y fue coautor de un libro de texto clásico, The Theory of Canonical Matrices, en 1932. A diferencia de otros calculistas ultrarrápidos, no comenzó a calcular mentalmente hasta la edad de 13 años, siendo el álgebra, no la aritmética, lo que despertó su interés. En 1954, casi 100 años después de la histórica conferencia de Bidder, Aitken pronunció otra en la Sociedad de Ingenieros de Londres sobre el tema «El arte de calcular mentalmente: con demostraciones». El texto fue publicado en las Transactions de la Sociedad (Diciembre, 1954), con el fin de conservar otro testimonio de primera mano de lo que ocurre dentro de la mente de un calculista mental rápido. Un prerrequisito esencial es la capacidad innata para memorizar números rápidamente. Todos los calculistas profesionales hacen demostraciones de memoria. Cuando Bidder tenía 10 años, pidió a alguien que le escribiera un número de cuarenta dígitos y que se lo leyera. Lo repitió de memoria inmediatamente. Al final de una representación, muchos calculistas eran capaces de repetir exactamente todos los números con los que habían operado. Hay trucos mnemotécnicos mediante los que los números pueden transformarse en palabras, que a su vez pueden memorizarse por otro método, pero tales técnicas son demasiado lentas para emplearlas en un escenario y no hay duda de que ningún maestro las empleaba. «Nunca he utilizado reglas mnemotécnicas», dijo Aitken, «y recelo profundamente de ellas. No hacen más que perturbar con asociaciones ajenas e irrelevantes una facultad que debe ser pura y límpida». Aitken mencionó en su conferencia haber leído recientemente que el calculista francés contemporáneo Maurice Dagbert había sido culpable de una aterradora pérdida de tiempo y energía» por haber memorizado pi (v.) hasta el decimal 707 (el cálculo había sido hecho por William Shanks en 1873). «Me divierte pensar», dijo Aitken, «que yo lo había hecho algunos años antes que Dagbert y sin encontrar ninguna dificultad. Sólo necesité colocar los digitos en filas de cincuenta, dividir cada una de ellos en grupos de cinco y luego leerlas a un ritmo particular. De no ser tan fácil habría sido una hazaña reprensiblemente inútil». Veinte años después, cuando los computadores modernos calcularon pi con miles de cifras decimales, Aitken se enteró de que el pobre Shanks se había equivocado en los 180 últimos dígitos. «De nuevo me entretuve», continuó Aitken «en aprender el valor correcto hasta el decimal 1000, y tampoco entonces tuve dificultad alguna, excepto que necesitaba 'reparar' la unión donde había ocurrido el error de Shanks. El secreto, a mi entender, es relajarse, la completa antítesis de la concentración tal como normalmente se entiende. El interés es necesario. Una secuencia de números aleatorios, sin significación aritmética o matemática, me repelería. Si fuera necesario memorizarlos, se podría hacer, pero a contrapelo». Aitken interrumpió su conferencia en este punto y recitó pi hasta el dígito 250, de un modo claramente rítmico. Alguien le pidió comenzar en el decimal 301. Cuando había citado cincuenta dígitos se le rogó que saltase al lugar 551 y dar 150 más. Lo hizo sin error, comprobándose los números en una tabla de pi.


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Entre los días 5 y 8 de Octubre del presente año, se realizó en la ciudad de Caracas el VII Congreso Venezolano de Educación Matemática – COVEM 2010, siendo su temática principal “CURRÍCULO EN MATEMÁTICAS – Por una Educación Matemática con una visión crítica y socialmente comprometida”; cuyos principales organizadores fueron la Asociación Venezolana de Educación Matemática (ASOVEMAT) y Departamento de Matemática y Física del Instituto Pedagógico de Caracas – IPC; copatrocinado por el Fondo Editorial IPASME, el IPASME, el FONACIT, la Fundación Empresas Polar y CASIO Académico.

Aprovechamos citar acá el escrito Presentación que aparece en el Libro-Resumen del Congreso:

“El Congreso Venezolano de Educación Matemática (COVEM) ha sido concebido como el espacio de encuentro de todos los integrantes de nuestra comunidad de educadores matemáticos; el mismo está orientado a propiciar y mantener las relaciones entre los docentes de los distintos niveles educativos, así como a la divulgación de la producción académica e investigativa de nuestros colegas. Esperando con ello coadyuvar al mejoramiento de la calidad de la Educación Matemática en Venezuela.

Por ello, en esta ocasión, se ha estructurado una programación académica que incorpora propuestas

de diversa índole: Conferencias, Reportes de Investigación, Comunicaciones Breves, Talleres, Carteles, Conversatorios, etc.; todas ellas producto de las actividades de aula e investigativas de docentes y estudiantes provenientes de escuelas, liceos e instituciones de educación universitaria de nuestro país y países latinoamericanos como Argentina, Brasil, Colombia y México.

Además, la organización y realización del VII COVEM ha sido posible gracias al esfuerzo de un equipo de trabajo comprometido que ha permitido llevar adelante al VII COVEM, superando las dificultades confrontadas y contar con una programación académica bien estructurada. Es así como se ha configurado una nueva edición (la séptima) del Congreso Venezolano de Educación Matemática que, en su parte presencial, echará a andar a partir del martes 5 de octubre de 2010 cuando ponentes y talleristas, contando con el apoyo logístico de un buen contingente de educador@s matemátic@ venezolan@s. Es conveniente acotar la diligencia de los integrantes de la JDN de la ASOVEMAT, para gestionar lo relacionado a lo académico, y la del Comité Organizador en la ASOVEMAT, Región Capital, para atender lo operativo y logístico. Este trabajo armoniosamente conjunto, reitera la importancia del trabajo en equipo. Así que esta programación académica es la materialización esfuerzo de los organizadores, de quienes presentaron sus propuestas, de quienes contribuyeron con el arbitraje y, en fin de todos quienes se atrevieron a soñar con que un nuevo COVEM era posible a pesar de todas las adversidades”.

La Conferencia Inaugural fue desarrollada por la Dra. Paola Valero, de la Universidad Aalborg, de Dinamarca, titulada “¡BÁJENLO DEL CIELO! LA CONSTITUCIÓN SOCIAL Y POLÍTICA DEL CURRÍCULO DE LAS MATEMÁTICAS ESCOLARES”. El resumen de la conferencia refiere lo siguiente:

“Los currículos escolares son artefactos culturales que expresan cómo, en un momento histórico, la escuela y las distintas materias escolares son manejadas para alcanzar fines políticos y económicos determinados. Los currículos escolares se constituyen en la confluencia de racionalidades diferentes, todas ellas orientadas hacia la formación de los ciudadanos que le son funcionales a la organización dominante de la sociedad. El currículo de matemáticas no es una excepción, a pesar de que aparentemente todos aquellos quienes han estado involucrados en su construcción, al igual que quienes usan sus formulaciones, tienen la idea de que el currículo de matemáticas expresa principalmente las intenciones de formación de la disciplina científica llamada matemáticas. El currículo de las matemáticas escolares, como una tecnología social y como un artefacto cultural, no obedece


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solamente a las prioridades de formación de una mente matemática. El currículo escolar de matemáticas pone en operación una serie de ideas sobre cómo construir sujetos con y a través las formas de interactuar y de conocer de las matemáticas escolares. En este sentido, el currículo de matemáticas es un tipo particular de práctica social que les enseña a sus participantes más que ser “pequeñas mentes matemáticas”. Mi intención en esta charla es invitar a una reflexión sobre cómo se constituye históricamente el currículo como resultado de los múltiples factores sociales, culturales, políticos y económicos que están presentes en la educación escolar. Con base en herramientas teóricas socio-culturales y políticas propias de la educación matemática crítica, examinaré distintos discursos curriculares que han estado presentes en el mundo en los últimos 20 años. El análisis me permitirá generar preguntas sobre las posibles direcciones del currículo de las matemáticas escolares hacia el futuro, en especial en países como Venezuela y su actual proyecto de democratización. Palabras Clave: Educación matemática crítica; visión socio-política de la educación matemática”.

La Conferencia de Cierre estuvo a cargo del Dr. Walter Beyer, docente de la Universidad Nacional Abierta, del Instituto Pedagógico de Caracas y Universidad Pedagógica Experimental Libertador, titulada: “LAS MATEMÁTICAS, LA TRANSPOSICIÓN DIDÁCTICA, LOS LIBROS DE TEXTO Y EL CURRÍCULUM ESCOLAR ¿INSTRUMENTOS DE LIBERACIÓN O DE DOMINACIÓN?”. El resumen de esta conferencia hace referencia a lo siguiente:

“La presente conferencia, como su título lo indica, se asienta sobre cuatro pilares: el conocimiento matemático, el proceso de transposición didáctica, los libros de texto y el currículum escolar. En primer lugar, se hará un análisis crítico de cada uno de ellos y luego se establecerán diversas interconexiones entre éstos. Elementos importantes para el análisis serán la noción de modelo pedagógico de Flórez Ochoa (1994) y los niveles curriculares señalados por Gimeno Sacristán (1998), tomándose en consideración además una visión crítica de la transposición didáctica (Beyer, 2009 y 2010) y la idea de cosmovisión (Beyer, 2010). Estas herramientas aunadas a una visión histórica, particularizada hacia el ámbito venezolano, permitirán trascender del contexto meramente disciplinar para ubicarnos en una perspectiva histórico-social desde la cual será posible discutir el sentido de la interrogante expresada en el nombre de la conferencia y dar pasos decisivos hacia una aproximación de respuesta a la misma”.

Sorprendió grandemente, el alto número de ponencias presentadas en este congreso, lo que es significativa evidencia de la actual tendencia a investigar de los docentes de matemática. Esto

requirió solicitar la participación de una gran número de árbitros y entre estos podemos destacar a algunos docentes de nuestra Universidad de Carabobo, así como otros que tienen una estrecha relación con la institución; a saber, ellos son: ALDORA DOS SANTOS, ALEXIS FERNÁNDEZ, ANA B. RAMOS P., ANTONINO VIVIANO, CIRILO OROZCO, JHONATTAN MEDINA, JOSE ORTIZ, MARIO ARRIECHE, PRÓSPERO GONZÁLEZ, RAFAEL ASCANIO y RAMÓN FARFÁN, todos ellos reconocidos investigadores educacionales a nivel nacional.

Por el gran número de ponencias presentadas, sólo citaremos acá las relacionadas con los docentes y egresados de nuestra universidad. En algunos casos de Trabajos de Grado y Tesis, citaremos tanto el nombre del ponente (subrayado) como el de su tutor.

• Celina Marelli Espinoza García1 y José María Fernández Batanero2. 1Universidad de Carabobo, Campus la Morita. Maracay, Estado Aragua. Venezuela. 2Universidad de Sevilla, España. Ponencia: DISEÑO, DESARROLLO Y EVALUACIÓN DE UN MATERIAL AUDIOVISUAL DIDÁCTICO PARA LA ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE LA UNIDAD DIDÁCTICA MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL.

• Lisbet Castillo y Prospero González, Universidad de Carabobo. Ponencia. HACIA UNA EPISTEMOLOGÍA DE LA ETNOMATEMÁTICA: VÍNCULO DE LA MATEMÁTICA CON LA PRODUCCIÓN SOCIO-CULTURAL DE UN SECTOR AGRÍCOLA.

• Antonino Viviano, UPEL I.P. de Maracay. Ponencia: LA RELACIÒN DEL PROFESOR DE MATEMÁTICA AL SABER MATEMÁTICO: EL CASO DE LA ECUACIÒN CUADRÀTICA.

• Dorenis Mota y Mario Arrieche. UPEL I.P. de Maracay. Ponencia: SIGNIFICADOS INSTITUCIONALES DE LOS POLINOMIOS EN EDUCACIÓN BÁSICA.

• Fabiola Guerrero1 y José Ortiz2, 1Liceo Bolivariano “El Molino", Valencia. Carabobo. 2Universidad de Carabobo, Campus La Morita, Maracay. Aragua. Ponencia: COMPETENCIAS DE MODELIZACIÓN MATEMÁTICA EN ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN MEDIA”.

• Kenibel Munevar, Universidad de Carabobo. Ponencia: ANÁLISIS DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS GENERADAS POR LOS DOCENTES DE


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MATEMÁTICA DE LAS ESCUELAS TÉCNICAS ROBINSONIANAS ADSCRITAS AL MUNICIPIO ESCOLAR N° 10.1 DEL ESTADO CARABOBO SEGÚN LA TEORÍA DE GUY BROUSSEAU.

• María Santamaría y Julia Sanoja de Ramírez, UPEL I.P. de Maracay. EXPLORANDO LOS CONCEPTOS BÁSICOS DE ESTADÍSTICA EN ESTUDIANTES DE SEGUNDO AÑO.

• María Santamaría y Julia Sanoja de Ramírez, UPEL I.P. de Maracay. EXPLORANDO LAS ACTITUDES HACIA LA ESTADÍSTICA EN LOS PROFESORES DE MATEMÁTICA.

• Pedro José Angulo Landaeta, U.E. “Eloy J. Ortega P.”, Municipio Falcón, Tinaquillo-Edo. Cojedes. Universidad Nacional Abierta, Centro Local Carabobo, municipio Naguanagua. Ponencia: MODELO ENDOCRÍTICO APROXIMACIONES TEÓRICA-METODOLÓGICAS DEL PENSAMIENTO MATEMÁTICO.

• Rafael Ascanio Hernández y Próspero González Méndez, Universidad de Carabobo. República Bolivariana de Venezuela. Estado Carabobo. Municipio Naguanagua. Ponencia: HOLÍSTICA CULTURAL. CONSTRUCTO EPISTÉMICO EN LA TRANSICIÓN DEL SER AL DEBER-SER DE LOS ESTUDIANTES EN FORMACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA.

• Ángela M. Mora Zuluaga1 y José Ortiz Buitrago2. 1Universidad de Los Andes. San Cristóbal, Estado Táchira. 2Universidad de Carabobo, Campus La Morita. Maracay, Estado Aragua. Ponencia: CONSTRUCCIÓN DEL CONOCIMIENTO DIDÁCTICO EN UN PROGRAMA DE FORMACIÓN INICIAL DE PROFESORES DE MATEMÁTICAS.

• Arnaldo Mendible1, José Ortiz2. 1Universidad Nacional Experimental de la Fuerza Armada, Núcleo Cagua, Aragua. 2Universidad de Carabobo, Campus La Morita. Maracay. Aragua. Ponencia: COMUNICACIÓN GRUPAL COMO ESTRATEGIA DE APRENDIZAJE DEL CÁLCULO INTEGRAL.

• Arnaldo Mendible1, José Ortiz2. 1Universidad Nacional Experimental de la Fuerza Armada, Núcleo Cagua, Aragua. 2Universidad de Carabobo, Campus La Morita. Maracay. Aragua. Ponencia: EVALUACIÓN EMPÍRICA. LA TAREA OBLIGADA.

• Cristóbal Reyes y Alexis Fernández, Universidad de Carabobo, Campus La Morita. Maracay. Aragua. NECESIDADES DE INNOVACIÓN EN LA ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LA INTEGRAL DEFINIDA.

• Yely Noguera y Próspero González, Universidad de Carabobo, Valencia - Carabobo. Ponencia: ANÁLISIS DE LA RELACIÓN ENTRE LOS ELEMENTOS SEMIÓTICOS DE LOS OBJETOS MATEMÁTICOS Y SU ASOCIACIÓN CON EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO ABSTRACTO.

• Martha Iglesias Inojosa y José Ortiz Buitrago, UPEL I.P. de Maracay y Universidad de Carabobo, Campus La Morita. Problemas. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN AMBIENTES DE GEOMETRÍA DINÁMICA. DIFICULTADES CONFRONTADAS POR FUTUROS PROFESORES.

• Edelci Sánchez Rodríguez, Universidad de Carabobo, Campus La Morita. Ponencia: ERRORES EN EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS. UN ESTUDIO CON ESTUDIANTES UNIVERSITARIOS EN EL INICIO DE LA CARRERA.

• José López y Carlos Zambrano, Universidad de Carabobo. Ponencia: CONSTRUCTIVISMO COMO PLATAFORMA EPISTÉMICA EN DIDÁCTICA ALTERNATIVA PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS.

• José Ortiz y Alexis Fernández, Universidad de Carabobo, Campus La Morita. Ponencia: EXPECTATIVA Y REALIDAD DE LAS EXIGENCIAS MATEMÁTICAS EN LAS PRUEBAS DE INGRESO A LA UNIVERSIDAD. UN ESTUDIO DE CASO.

• Delisa Bencomo, UNEG. Ponencia. LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMA: UNA TAREA INTELECTUAMENTE EXIGENTE QUE DEBE SER CONSIDERADA EN EL DISEÑO DE PROYECTOS DE APRENDIZAJE.

• Luis Capace y José Ortiz, Instituto Universitario Experimental de Tecnología de La Victoria. La Victoria, Estado Aragua y Universidad de Carabobo, Campus La Morita. Maracay, Estado Aragua. UNA APROXIMACIÓN AL FENÓMENO DE LA REPITENCIA EN MATEMÁTICA EN LA UNIVERSIDAD.


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• Mariela Lilibeth Herrera Ruiz, Universidad de Carabobo. Ponencia: ERRORES EN EL APRENDIZAJE DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES: UN ESTUDIO CON ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN MEDIA.

• Luis Alejandro Díaz Bayona y Rafael Ascanio Hernández. Universidad de Carabobo. Ponencia: MÉTODO DE LA CINTA (COMPORTAMIENTO INTERNO DE ARGUMENTOS).

• Vanesa Pacheco. Universidad de Carabobo. Ponencia: EL PERIÓDICO ESCOLAR: SU DISEÑO COLECTIVO FOMENTA LA ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA.

• María Castillo y Kemberli De Oliveira. Universidad de Carabobo. Ponencia: ESTRATEGIA DIDÁCTICA PARA EL APRENDIZAJE DE LA UNIDAD DE MATRICES EN EL SEGUNDO AÑO DE CIENCIAS DE LA UNIDAD EDUCATIVA “TERESA CARREÑO”.

• Roberto Ortega. Ponencia. EXPERIENCIA EN USO DE LA TECNOLOGÍA EN LA ASIGNATURA MATEMÁTICA I DE LA U.N.E.F.A. extensión Bejuma.

• Lorena Cedillo y Próspero González. Universidad de Carabobo. Ponencia: NOCIÓN DE NÚMERO PARA ORIENTAR UN CAMBIO CONCEPTUAL EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA.

• José Vargas Guerra. Universidad de Carabobo, Núcleo Aragua. Ponencia: PROPUESTA DE INNOVACIÓN EN LA ENSEÑANZA DEL CÁLCULO DIFERENCIAL.

• Ángela Mora y José Ortiz. Universidad de Los Andes (Táchira) y Universidad de Carabobo (Aragua). Ponencia: COMPETENCIA DIDÁCTICA DEL PROFESOR DE MATEMÁTICAS EN FORMACIÓN. LA PLANIFICACIÓN DE LA ENSEÑANZA.

• Luisana Sánchez y Próspero González. Universidad de Carabobo. Ponencia: APROXIMACIÓN TEÓRICA DE LOS VÍNCULOS EXISTENTES ENTRE LA ETNOMATEMÁTICA Y LA CREATIVIDAD.

• Estiven Méndez1 y José Ortiz2. 1UPEL. I. P. Maracay y 2Universidad de Carabobo. Ponencia: COMPETENCIAS MATEMÁTICAS DE PROFESORES EN FORMACIÓN EN UN CONTEXTO DE SUCESIONES Y SERIES UTILIZANDO CALCULADORA GRÁFICA.

En la Sala de EXPOSICIÓN DE MATERIALES EDUCATIVOS PROFESORA GISELA MARCANO COELLO” vimos en el Renglón Fotografía la serie “LA SALIDA PENTAGONAL” de Mary Santamaría; y en el Renglón Carteles “ANALISIS VECTORIAL DE UNA JUGADA DE VOLEIBOL” de Mariela L. Herrera Ruiz. En el Renglón Talleres, en representación de la Secretaría de Educación del Estado Carabobo, la Profesora Mayibe Rodríguez Romero presentó “TALLER DE ORIGAMI PARA LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA EN EDUCACIÓN BÁSICA”. Pudimos observar como asistentes al Congreso, a los siguientes estudiantes de la Mención Matemática de nuestra Facultad de Ciencias de la Educación: Mayling Franco, Marcos Herrera, Dorty Rodríguez, Alexander Vegas, Yuletsy Aldana, Orlando Tachau, Braian Briceño, Jhonathan Espinoza, entre otros. También se aprovechó este Congreso para elegir la nueva directiva nacional de la Asociación Venezolana de Educación Matemática – ASOVEMAT, quedando esta presidida por el destacado profesor Dr. Fredy González, quien será acompañado en esta labor por un grupo de reconocidos profesores. En lo que respecta al Capítulo Carabobo de ASOVEMAT, buscando la reactivación del mismo, se nombró una junta directiva interina, la cual será presidida por el profesor Luis Pérez Godoy, acompañado en esta labor por los profesores Javier Brizuela, Yeli Noguera, Lorena Cedillo y Mayibe Rodríguez. En una reunión previa de la saliente Junta Directiva Nacional de ASOVEMAT, se tomó la decisión de seleccionar como cede para la realización del VIII COVEM en el año 2013, a la ciudad de Coro, considerándose como cede alternativa la ciudad de Trujillo. Esperamos estar en ese octavo congreso.


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ZENÓN DE ELEA (490 AC-430 AC)

Zenón de Elea, nació alrededor del 490 AC y falleció

alrededor del 430 AC, ambas fechas en Elea,

Lucania, hoy en día en Italia Meridional.

Zenón de Elea sostenía que el universo entero es

una única unidad. Es decir, Zenón trató de probar

que el ser tiene que ser algo homogéneo, único y en

consecuencia, no puede existir el espacio formado

por elementos discontinuos.

Inventó la demostración llamada ad/absurdum (del

Absurdo), que tomaba por hipótesis las afirmaciones

del adversario y que por medio de hábiles

deducciones conduce al adversario a aceptar la tesis

contradictoria.

Sus principales argumentos son:

1.- Contra la pluralidad como estructura de lo real.

2.- Contra la validez del espacio.

3.- Contra la realidad del movimiento.

4.- Contra la realidad del transcurrir el tiempo.

Es necesario dejar constancia que los sofismas de

Zenón constituyen la huella más vieja que se

conserva del pensamiento infinitesimal desarrollado

muchos siglos después. El cálculo diferencial nace

con Leibniz el año 1666. Por lo tanto, podría decirse

y considerarse a este eleata como un precursor del

Cálculo Infinitesimal, pero en ningún caso se puede

decir que el dominaba este pensamiento.

La paradoja de Aquiles y la tortuga de Zenón de Elea.

Cuentan que Zenón de Elea, empeñado en

demostrar la imposibilidad de la existencia del

movimiento, realizó el siguiente argumento:

“El guerrero Aquiles, el de los pies veloces, decide

salir a competir en una carrera contra una tortuga.

Ya que corre mucho más rápido que ella, y seguro

de sus posibilidades, le da una gran ventaja inicial.

Al darse la salida, Aquiles recorre en poco tiempo la

distancia que los separaba inicialmente, pero al

llegar allí descubre que la tortuga ya no está, sino

que ha avanzado, más lentamente, un pequeño

trecho. Sin desanimarse, sigue corriendo, pero al

llegar de nuevo donde estaba la tortuga, esta ha

avanzado un poco más. De este modo, Aquiles no

ganará la carrera, ya que la tortuga estará siempre

por delante de él”.

homotecia nº 11-2010servicio.bc.uc.edu.ve/homotecia/2010/11-2010.pdfnº 11 - aÑo 8 - valencia, 1º...

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