guiasonda cap.5

Tema 5 - 1

Ingeniería de Telecomunicación Propagación de Ondas Guías de onda

TEMA

5J. Alpuente, R. Sánchez y P.L. López

Se definen las guías de onda como aquellos medios de transmisión que están formados por un solo conductor hueco por el interior del cual se propaga la energía electromagnética. Las ventajas de las guías de onda con respecto al cable coaxial pueden resumirse de la forma siguiente:

• Mayor capacidad de transmitir potencia. • Menores pérdidas por unidad de longitud. • Estructura mecánica más simple y de menor coste. • Las reflexiones producidas al conectar secciones de guía son menores.

En cuanto a las desventajas con respecto al coaxial, se pueden citar las siguientes:

• Mayores dimensiones transversales. • Menor ancho de banda.

En el estudio que se va a realizar de aquí en adelante, se supondrá en todos los cálculos que el grosor de las paredes es superior varias veces a la profundidad de penetración y, por tanto, no se considera en el análisis.

5.1. Ondas TM. [Alp01]

Cuando se considera la presencia de ondas transversales magnéticas (TM), la componente axial de la intensidad de campo magnético es nula, no siéndolo la componente axial de la intensidad del campo eléctrico, es decir, se cumple que

por lo que la solución de las ecuaciones de onda escalares para las componentes axiales del campo electromagnético se reduce a resolver la ecuación

2 2 2t z 1 2 z 1 2E (t , t ) (k ).E (t , t ) 0∇ + + γ =

teniendo en cuenta las condiciones de contorno en las superficies conductoras que establecen la continuidad de la componente axial de la intensidad del campo eléctrico, es decir, z 1 2 SUPERFICIES CONDUCTORAS

E (t , t ) 0= , si se considera que los conductores que

forman parte del medio de transmisión son prácticamente perfectos. Las soluciones así obtenidas para la ecuación de onda escalar sólo tienen significado físico para valores discretos de un parámetro kC, denominado valor característico o número de onda de corte del medio, que está dado por la expresión

( )( )

z 1 2

z 1 2

E t , t 0

H t , t 0

≠

=

Propagación de Ondas

2 – Guías de onda

2 2Ck k= + γ (rad/m)

Para cada uno de los valores discretos del valor característico del medio se obtiene una solución de la ecuación de onda o modo, z 1 2E (t , t ) , y de la constante de

propagación, 2 2 2 2C Ck k j k kγ = − = − .

Con estos valores, se pueden determinar los siguientes parámetros:

A partir de las ecuaciones de Maxwell, las componentes transversales del campo electromagnético estarán dadas por las expresiones

t 1 2 t z 1 22C

t 1 2 t 1 2

E (t , t ) E (t , t )k

j ˆH (t , t ) z E (t , t )

γ= ∇

ωε ⎡ ⎤= ×⎣ ⎦γ

r rm

r r

pudiendo escribirse el campo electromagnético en el medio considerado como la suma de las componentes axial y transversal, de la forma

1 2 t 1 2 z 1 2 t z 1 2 z 1 22C

1 2 t 1 2 z 1 2 t 1 2

E(t , t ) E (t , t ) E (t , t ) E (t , t ) E (t , t )k

j ˆH(t , t ) H (t , t ) H (t , t ) z E (t , t )

γ= + = ∇ +

ωε ⎡ ⎤= + = ×⎣ ⎦γ

r r r r rm

r r r r

La constante de propagación tendrá un valor imaginario puro cuando se cumpla que Ck k> , aportando únicamente término de fase; sin embargo, cuando

Ck k< , la constante de propagación será real pura, dando lugar a un término de atenuación.

5.2. Ondas TE. [Alp01]

Cuando se considera la presencia de ondas transversales eléctricas (TE), la componente axial de la intensidad de campo eléctrico es nula, no siéndolo la componente axial de la intensidad del campo magnético, es decir, se cumple que

por lo que la solución de las ecuaciones de onda escalares para las componentes axiales del campo electromagnético se reduce a resolver la ecuación

2 2 2t z 1 2 z 1 2H (t , t ) (k ).H (t , t ) 0∇ + + γ =

teniendo en cuenta las condiciones de contorno en las superficies conductoras que establecen la continuidad de la componente normal de la intensidad del campo

( )( )

z 1 2

z 1 2

E t , t 0

H t , t 0

=

≠

Grupo de Electromagnetismo – Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones

Tema 5 - 3

magnético, es decir, ( )z 1 2

SUPERFICIES CONDUCTORAS

H t , t0

n∂

=∂

, si se considera que los

conductores que forman parte del medio de transmisión son prácticamente perfectos. Las soluciones así obtenidas para la ecuación de onda escalar sólo tienen significado físico para valores discretos de un parámetro kC, denominado valor característico o número de onda de corte del medio, que está dado por la expresión

2 2Ck k= + γ (rad/m)

Para cada uno de los valores discretos del valor característico del medio se obtiene una solución de la ecuación de onda o modo, z 1 2E (t , t ) , y de la constante de

propagación, 2 2 2 2C Ck k j k kγ = − = − .

Con estos valores, se pueden determinar los siguientes parámetros:

A partir de las ecuaciones de Maxwell, las componentes transversales del campo electromagnético estarán dadas por las expresiones

pudiendo escribirse el campo electromagnético en el medio considerado como la suma de las componentes axial y transversal, de la forma

1 2 t 1 2 z 1 2 t 1 2

1 2 t 1 2 z 1 2 t z 1 2 z 1 22C

j ˆE(t , t ) E (t , t ) E (t , t ) z H (t , t )

H(t , t ) H (t , t ) H (t , t ) H (t , t ) H (t , t )k

ωμ ⎡ ⎤= + = ×⎣ ⎦γγ= + = ∇ +

r r r rm

r r r r rm

La constante de propagación tendrá un valor imaginario puro cuando se cumpla que Ck k> , aportando únicamente término de fase; sin embargo, cuando Ck k< , la constante de propagación será real pura, dando lugar a un término de tenuación.

5.3. Frecuencia de corte para las ondas TM y TE. [Alp01]

Cuando se trabaja con ondas TM o TE, se ha establecido que la ecuación de ondas escalar únicamente tiene solución para unos valores discretos del valor característico, 2 2

Ck k= + γ , que equivale a decir que la constante de propagación está dada por

C

2 2 2k kγ = − . Teniendo en cuenta esta última expresión, se define la frecuencia de corte de la onda como aquella frecuencia para la cual la constante de

t 1 2 t z 1 22C

t 1 2 t 1 2

H (t , t ) H (t , t )kj ˆE (t , t ) z H (t , t )

γ= ∇

− ωμ ⎡ ⎤= ×⎣ ⎦γ

rm

r r



propagación es nula, en cuyo caso C C

2 2 2 2Ck k k 0− = −ω με = , de donde se puede despejar

el valor de la frecuencia de corte,

2C

Ckf

π με= (Hz)

Teniendo en cuenta el valor de la frecuencia de corte, se puede expresar la constante de propagación como

22 22 2 21 1 1

2C C C CC CC

fk fk k k k kk ff

π μεγπ με

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − = − = −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(m-1)

De esta expresión se pueden sacar las siguientes conclusiones:

Si f > fC, la constante de propagación es imaginaria pura, representando un término de fase, dado por la expresión

22 2 1 C

Cfj j k k jkf

γ β ⎛ ⎞= = − = − ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (rad/m)

De este valor de la constante de propagación se puede deducir el valor de la longitud de onda en el dieléctrico dentro de la estructura conductora, λg, dado por

2 2

2 2

1 1g

C Cf fkf f

π π λλβ

= = =⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(m)

donde λ es la longitud de onda en el dieléctrico aislado, que se puede escribir en función de la velocidad de fase y de la frecuencia de trabajo como

2 2 1 pvk ffπ πλ

ω με με= = = = (m)

La longitud de onda de corte para el valor característico kC se puede escribir como

2 2 1 pC

C CC C

vk ffπ πλ

ω με με= = = = (m)

La relación entre las tres longitudes de onda, teniendo en cuenta la relación entre la constante de fase, el número de onda y el valor característico, se puede expresar como

2 2 2

1 1 1

g Cλ λ λ= +


Tema 5 - 5

lo que se interpreta como que la inversa del cuadrado de la longitud de onda de una onda TM o TE en el dieléctrico aislado es igual a la suma de las inversas de los cuadrados de la longitud de onda en el dieléctrico situado entre los conductores y de la longitud de onda de corte.

Si f < fC, la constante de propagación resulta ser real, dada por la expresión

22 2 1C C

C

fk k kf

γ α⎛ ⎞

= = + = − ⎜ ⎟⎝ ⎠

(Np/m)

representando un término de atenuación. Se dice en este caso que el modo se encuentra al corte o que se trata de un modo evanescente.

En función de los valores de la constante de propagación, el sistema por el que se propagan ondas TM o TE se comporta como un filtro paso alto, de manera que para un valor característico kC dado sólo se propagan ondas cuya frecuencia f cumpla que f > fC.

Para la frecuencia de trabajo (f > fC), la velocidad de fase en el dieléctrico dentro de la estructura conductora, vpg, estará dada por

( )21p g

pg p

C

vv v

f f

λωβ λ

= = =−

(m/s)

siendo vpg > vp, por lo que al ser la velocidad de fase en el dieléctrico dentro de la estructura conductora mayor que la velocidad de fase en el dieléctrico aislado.

Analizando lo anterior se puede llegar a que la velocidad de fase pueda ser mayor que la velocidad de propagación de la onda en el vacío, es decir, a la existencia de velocidades de propagación mayores que la de la luz en el vacío (c). En caso de que esto ocurra, la velocidad de fase en la guía no tiene sentido físico. Sin embargo esto no ocurre, ya que la velocidad de transmisión de la información o velocidad de propagación de la energía coincide con la velocidad de grupo, y no con la velocidad de fase, cumpliéndose que esta velocidad de grupo está dada por la expresión

( )( ) ( )2 21 1 1grupo energia C p Cdv v k f f v f f

d d dβ ω ω= = = − = − (m/s)

Para la frecuencia de trabajo (f > fC), la impedancia de onda, definida como el cociente de las componentes transversales de los campos, en cada uno de los casos valdrá

( )

( )

2

2

1

1

TM C

TE

C

Z f fjjZ

f f

γ η ηωεωμ η ηγ

= = − <

= = >−

,



que en ambos casos representa una impedancia resistiva (óhmica pura), si bien, como se puede observar, su valor difiere del que adopta la impedancia intrínseca del medio, siendo menor que ésta en el caso de las ondas TM y mayor en el caso de las ondas TE.

5.4. Diagrama de dispersión. [Chen97]

Partiendo de la ecuación que relaciona la constante de fase β y la frecuencia f de las ondas TM o TE, si se dibuja la gráfica que representa la pulsación ω en función de β, teniendo en cuenta que / pk vω= y que 1/pv με= , dará lugar a la expresión

2 2 2C pvω ω β= +

Si se supone una estructura conductora dentro de la cual se utiliza un dieléctrico caracterizado por μ y ε, para una frecuencia de corte de fC, representando gráficamente la relación ω -β, resultará la gráfica de la figura 2.1.

Figura 2.1. Relación ω -β de un medio guiado para ondas TM o TE.

La gráfica 2.1 es conocida como diagrama de dispersión. Esta gráfica corta al eje ω (β=0) en Cω ω= . La pendiente de la línea que une el origen con cualquier punto P de la curva es igual a la velocidad de fase, para un caso específico con frecuencia de corte fC y que opera a una frecuencia f > fC .

La pendiente total de la curva en P es la velocidad de grupo a esa frecuencia de trabajo, siendo la velocidad de fase en el dieléctrico situado entre los conductores es mayor que la correspondiente al dieléctrico aislado, en tanto que la velocidad de grupo es menor que esta última. Si se aumenta la frecuencia por encima de la de corte las frecuencias de corte y de grupo en el dieléctrico situado entre los conductores se aproximan asintóticamente a la velocidad de fase para el dieléctrico aislado.

β

ω

Cω P


Tema 5 - 7

5.5. Guía de ondas rectangular.

El estudio de las guías de onda más sencillo, desde el punto de vista matemático, se corresponde con el caso en que se considere una guía de sección transversal rectangular. Las dimensiones de la guía son anchura a y altura b y se extiende indefinidamente en la dirección z. El dieléctrico que rellena la guía tiene constantes dieléctrica y magnética ε y μ tal y como muestra la figura 5.1.

Figura 5.1. Guía de ondas rectangular.

Se supondrá que el dieléctrico es lineal isótropo y homogéneo en todo el volumen interior. Además se supondrá que se encuentra libre de cargas y que no existen corrientes. Inicialmente se tomarán los conductores perfectos, es decir, con conductividad infinita.

Puesto que se trata de una estructura con un solo conductor, no pueden existir modos TEM, que exigen la presencia de dos conductores con una diferencia de potencial eléctrico aplicada entre ellos. Por tanto, en la guía sólo es posible la existencia de modos TE y TM.

Para conocer la forma de los modos es necesario plantear la ecuación de onda ya vista en el tema 2 para este tipo de modos. Puesto que la forma es idéntica para modos TE y TM, en lugar de resolver la ecuación para el campo eléctrico o el campo magnético resolveremos para un campo electromagnético genérico en la dirección longitudinal que llamaremos AZ.

2 2 0xy z c zA k A∇ + =

Al ser la estructura rectangular, es conveniente emplear coordenadas cartesianas para resolver el problema. Así, desarrollando la divergencia en coordenadas cartesianas,

2 22

2 2 0z zc z

A A k Ax y

∂ ∂+ + =∂ ∂

Esta es una ecuación en derivadas parciales, que es posible solucionar aplicando el método de separación de variables, para lo cual se requiere que el campo Az se pueda expresar como

AZ = X(x)Y(y)

a

μ, ε

b

x

y

z



donde X(x) es una función cualquiera que sólo depende de x, siendo Y(y) es una función cualquiera que sólo depende de y.

De esta forma, sustituyendo en la ecuación de onda se llega a

X''(x)Y(y) + X(x)Y''(y) + k2c X(x)Y(y) = 0

Dividiendo por X(x)Y(y) se obtiene la ecuación

2''( ) ''( )( ) ( ) c

X x Y y kX x Y y

+ = −

que se puede separar en dos ecuaciones independientes, una para X(x) y otra para Y(y) de manera que se obtienen

2''( )( ) x

X x kX x

= −

2''( )( ) y

Y y kY y

= −

Tmando 2 2 2c x yk k k= + , l solución de las ecuaciones diferenciales anteriores es de la forma

X(x) = A1 cos(kX.x + B1 sen(kX.)

Y(y) = C1 cos(kY.y+ D1 sen(kY.y)

siendo A1, B1, C1 y D1 constantes complejas. Por tanto, la solución general de la ecuación diferencial planteada es la siguiente

AZ(x, y) = [A1 cos(kX.) + B1 sen(kX.)].[C1 cos(kY. y) + D1 sen(kY. y)]

Añadiendo las condiciones de contorno particulares de la guía rectangular se llega a la solución de los modos TE y TM.

5.5.1. Modos TM.

La condición de contorno aplicable a los modos TM es que el campo eléctrico debe ser perpendicular a la superficie de los conductores perfectos. Es decir, la componente tangencial del campo eléctrico debe anularse en las superficies conductoras (

sup _0z erficies conductoras

E = ). Por tanto, se debe cumplir que EZ sea igual a cero en las caras

de la guía, o lo que es lo mismo, se ha de cumplir que EZ (0,y)= 0, ecuación de la que se deduce que A1 = 0. De igual forma, se ha de cumplir que EZ (a, y)= 0, de donde al ser A1=0 se deduce que sen(kX.x)=0, o bien que kX=mπ/a, con m=0,1,2,…

Por otra parte, como EZ (x,0)= 0, será C1 = 0, y como además ha de cumplirse que EZ(x, b)= 0, será sen(kY.y)=0, o bien que kY=nπ/b, con n=0,1,2,…


Tema 5 - 9

Por tanto, la forma del campo eléctrico longitudinal que queda, aplicando las condiciones de contorno, adopta la forma

EZ = B1D1sen(kX.x)sen(kY.y)=A sen(kX.x)sen(kY.y)

Puesto que la forma del campo eléctrico depende de los valores de m y n, los modos TM se designan como TM mn

La solución del campo eléctrico longitudinal de los modos TM tiene, por tanto, la forma

sen senzm nE A x ya bπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Si se incluye la dependencia temporal y espacial supuesta, el campo eléctrico en sentido longitudinal queda representado por0

( )sen sen j t zz

m nE e A x y ea b

ω βπ π −⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞=ℜ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

El valor característico kc, denominado también número de ondas al corte, estará dado por la expresión

2 22 2 2c x y

m nk k ka bπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

La constante de propagación está dada por

2 22 2 2 2 2

mn Cm nk h k k ka bπ πβ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

lo que significa que existe una constante de propagación distinta para cada modo TMmn.

Las componentes transversales de los campos se calculan según las expresiones vistas en el tema 2,

2

2

t t z

t t z

E EhjwH Eh

γ

ε

−= ∇

= ∇ ×

cuya aplicación, teniendo en cuenta el valor adoptado por la componente axial del campo magnético, da lugar a las componentes transversales de los campos eléctrico y magnético siguientes:

( ) ( ) ( )2 cos sen j t z

x x x yjE e Ak k x k y e

hω ββ − −⎡ ⎤−= ℜ ⋅⎢ ⎥

⎣ ⎦



( ) ( ) ( )2 sen cos j t z

y y x yjE e Ak k x k y e

hω ββ − −⎡ ⎤−= ℜ ⋅⎢ ⎥

⎣ ⎦

( ) ( ) ( )2 sen cos j t z

x y x yjwH e Ak k x k y eh

ω βε − −⎡ ⎤= ℜ ⋅⎢ ⎥

⎣ ⎦

( ) ( ) ( )2 cos sen j t z

y x x yjwH e Ak k x k y eh

ω βε − −⎡ ⎤−= ℜ ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦

Se verifica además que la impedancia de onda de un modo TMmn estará dada por

2

1mn

y xTM

x y

E E hZH H jw k

γ ηε

⎛ ⎞= − = = = − ⎜ ⎟⎝ ⎠

estando dada la constante de propagación por mn mnjγ β= .

5.5.2. Modos TE

En este caso la condición de contorno a aplicar es que la derivada de la componente longitudinal del campo magnético con respecto a la normal de las superficies conductoras en dichas superficies vale cero, es decir,

sup _

0z

erficies conductoras

Hn

∂ =∂

. Derivando la solución de la ecuación diferencial obtenida

resultan

( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 1 1 1sen cos cos senzx x x x y y

H A k k x B k k x C k y D k yx

∂ = − + ⋅ +∂

( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 1 1 1cos sen sen coszx x y y y y

H A k x B k x C k k y D k k yy

∂ = + ⋅ − +∂

Las condiciones de contorno imponen que 0

0z

x

Hx =

∂ =∂

, de donde resulta B1 = 0.

De igual forma, será 0z

x a

Hx =

∂ =∂

, por lo que sen (kX.a) = 0, o bien kX = mπ/a, con

valores de m= 0, 1, 2,...


Tema 5 - 11

En las paredes conductoras restantes, 0

0z

y

Hy =

∂ =∂

, que implica que D1 = 0, y,

por último, 0z

y b

Hy =

∂ =∂

, de donde se deduce que sen (kY.b) = 0, lo que ocurre cuando

kY = nπ/b, con n= 0, 1, 2,...

Se obtienen así los mismos valores de kX y kY que para el caso de modos TM. Puesto que las soluciones se obtienen dando valores a m y n, las soluciones así obtenidas se designan como modos TE mn.

Imponiendo las restricciones dadas por las condiciones de contorno, el valor del campo magnético longitudinal en un modo TE está dado por la expresión

1 1 cos cos cos coszm n m nH AC x y B x ya b a bπ π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Incorporando la dependencia temporal y espacial supuesta será

( )cos cos j t zz

m nH e B x y ea b

ω βπ π − −⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞=ℜ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

El número de ondas al corte igualmente está dado por

2 22 2 2 2C x y

m nk h k ka bπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Por tanto, la constante de propagación del modo TEmn es

2 22 2 2 2 2

mn Cm nk h k k ka bπ πβ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Las componentes transversales se calculan aplicando las expresiones deducidas de las ecuaciones de Maxwell,

2

2

t t z

t t z

jH HhjwE Hh

β

μ

−= ∇

−= ∇ ×

de las que se obtienen las componentes transversales de los campos eléctrico y magnético, dadas por las expresiones

( ) ( ) ( )2 sen cos j t z

x x x yjH e Bk k x k y eh

ω ββ − −⎡ ⎤= ℜ ⋅⎢ ⎥

⎣ ⎦



( ) ( ) ( )2 cos sen j t z

y y x yjH e Bk k x k y eh

ω ββ − −⎡ ⎤= ℜ ⋅⎢ ⎥

⎣ ⎦

( ) ( ) ( )2 cos sen j t z

x y x yjwE e Bk k x k y eh

ω βμ − −⎡ ⎤= ℜ ⋅⎢ ⎥

⎣ ⎦

( ) ( ) ( )2 sen cos j t z

y x x yjwE e Bk k x k y eh

ω βμ − −⎡ ⎤−= ℜ ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦

Se verifica además que la impedancia de onda para los modos TEmn está dada por la expresión

2

1mn

yx CTE

y x

EE kjwZH H k

μ ηγ

⎛ ⎞= = = − = − ⎜ ⎟⎝ ⎠

estando dada la constante de propagación por mn mnjγ β= .

Todas las soluciones vistas, tanto para los modos TMmn como para los modos TEmn cumplen que

xmkaπ=

y

nkbπ=

2 22C mn

m nka bπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ó

2C mn

C mn

k πλ

=

2 22 2 2 2

mn C mng

m nk k ka bπ π πβ

λ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

donde la longitud de onda en la guía está dada por

2

2

1g

mnCff

π λλβ

= =⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎝ ⎠

expresión en la que fC es la frecuencia de corte del modo correspondiente.

5.6. Modos de propagación. Frecuencias de corte.

Cada pareja (m, n) describe un modo de transmisión de energía electromagnética por la guía. No todas las combinaciones posibles de m y n dan soluciones válidas, puesto que cada modo debe tener cinco soluciones de campos no nulas, correspondientes a las componentes transversales de los campos eléctrico y magnético y


Tema 5 - 13

a la componente axial correspondiente (campo eléctrico en los modos TM o campo magnético en los modos TE).

Así, si se consideran los modos TE, si m y n valen cero, entonces la componte axial Hz es constante, luego las componentes transversales que se obtienen a través de su derivada, son nulas. Por tanto, ambos índices no pueden ser cero simultáneamente.

Así, las posibles soluciones para los modos TEmn serán aquéllas en las que m= 0, 1, 2,... y n= 0, 1, 2,..., siempre que o bien m o bien n sean distintas de cero.

Si se consideran los modos TM, si m ó n valen simultáneamente cero, entonces el campo EZ es igual a cero y el resto de los campos también se hacen cero.

Por tanto, las posibles soluciones para los modos TMmn son aquellas en las que m=1,2,… y n=1,2,...

En uno y otro caso, los subíndices m y n indican el número máximo de ondas estacionarias transversales.

Para establecer las condiciones de propagación de un único modo en la guía es necesario establecer los valores de las frecuencias de corte de cada uno de ellos. El primero de los modos que se propaga es el TE10. Resulta habitual expresar el valor de la frecuencia de corte del resto de los modos en función de la frecuencia de corte del modo TE10.

La frecuencia de corte del modo TE10, conocida como 10TECf está dada por

10

12TECf a με

=

La relación entre la frecuencia de corte de cualquier modo TEmn con respecto al modo TE10 está dada por la expresión

22

mnTEnaR mb

⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎝ ⎠

con m, n = 0, 1, 2,... y m = n ≠ 0.

El primero de los modos TM confinados es el modo TM11. Este modo tiene una frecuencia de corte dada por

Por tanto, su frecuencia de corte es mayor que la del modo TE10. De manera similar, se expresa la relación entre la frecuencia de corte de cualquier modo TMm n con respecto al primero de los modos confinados, el modo TE10, mediante la expresión

11

21 12TMC

afba με

⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎝ ⎠



22

mnTMnaR mb

⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎝ ⎠

con m, n = 1, 2, 3,...

Las guiaondas rectangulares normalizadas tienen una relación entre sus dimensiones dada por a = 2b. Representando en una recta los valores de Rmn para los distintos modos TE y TM de una guía normalizada se obtiene la figura 5.2.

Figura 5.2. Valores Rmn para los modos de una guía normalizada.

La longitud de onda de corte depende tan sólo del orden del modo y de las dimensiones de la guía. En cambio, la frecuencia de corte depende además del dieléctrico que rellena la guía.

La tabla 5.1 muestra las dimensiones y frecuencias de corte de algunas guías de onda de tamaño estándar:

E.I.A MIL-W-85C DIMENSION INTERNA EN PULGADAS

DIMENSION EXTERNA EN

PULGADAS

FREC. DE CORTE TE10 EN

GHz WR28 ----- 0.280 x 0.140 0.360 x 0.220 21,091 WR34 RG355/U 0.340 x 0.170 0.420 x 0..250 17,369 WR42 RG121/U 0.420 x 0.170 0.500 x 0.250 14,061 WR51 ----- 0.510 x 0.255 0.570 x 0.315 11,579 WR51 RG351/U 0.510 x 0.255 0.590 x 0.335 11,579 WR62 RG349/U 0.622 x 0.311 0.702 x 0.391 9,494 WR75 RG347/U 0.750 x 0.375 0.850 x 0.475 7,874 WR90 RG67/U 0.900 x 0.400 1.000 x 0.500 6,561 WR102 RG320/U 1.020 x 0.510 1.148 x 0.638 5,790 WR112 RG68/U 1.122 x 0.497 1.250 x 0.625 5,263 WR137 RG106/U 1.372 x 0.622 1.500 x 0.750 4,304 WR159 RG344/U 1.590 x 0.795 1.718 x 0.923 3,714 WR187 RG95/U 1.872 x 0.872 2.000 x 1.000 3,155

Tabla 5.1. Características de algunos tipos de guías de onda.

1 2 3

10C

C

ff

mn TE10 TE01 TE20

TE11 TM11

TE21 TM21

TE30 TE31 TM31

√5 √8 √13


Tema 5 - 15

5.7. Potencia transmitida por los modos TE y TM

Para calcular la potencia transmitida por un medio guiado aplicamos el teorema de Poynting, según el cual

( )1 Re2mn

S

P E H dS∗⎡ ⎤= ×⎢ ⎥

⎣ ⎦∫∫

rr r

Puesto que se trata de una sección transversal el elemento diferencial de superficie puede ponerse como: ˆdS dx dy z= ⋅ ⋅

r, particularizando el rotacional para el

caso de las coordenadas cartesianas y considerando los límites de la sección transversal de la guía, la potencia transmitida está dada por la expresión

( ) ( )0 0 0 0

1 1 1e e2 2

a b a b

mn x y y x x x y yTE

P E H E H dxdy E E E E dxdyZ

∗ ∗ ∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ℜ − = ℜ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫

Otra manera de calcular las potencias transmitidas es a partir de las componentes longitudinales de los campos. En este caso la potencia transmitida, respectivamente, por un modo TM o TE se expresa como

222TM

TMT z

C S

Z fP E dSfη

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ó

22

2TET zTE C S

fP H dSZ fη ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

∫

Sustituyendo los valores de los campos se obtiene la potencia transmitida por el modo TEmn, resulta

2 2

0 0

1 12mn

CmnTE

C m n

fBw a bPk fμ

η ε ε⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

donde ε0i es el número de Newmann y su valor es

0

2 01 0i

ii

ε≠⎧= ⎨ =⎩

De igual modo se calcula la potencia transmitida por un modo TMmn,

2 2

18mn

CmnTM

C

fAw abPk fε η⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

Si existen varios modos propagándose, la potencia total transmitida es la suma de las potencias de cada uno de los modos, es decir,

ijT Ti j

P P=∑∑



El valor máximo de las constantes Ay B para cada modo está dado por las propiedades de ruptura del dieléctrico que rellena la guía.

5.8. Atenuación en modos TE y TM.

Tal y como se introdujo en el tema 2, el cálculo de la potencia transmitida por un modo puede hacerse a partir de las componentes transversales de los campos eléctrico y magnético.

En el caso de un modo TM, la potencia transmitida por el mismo está dada por

2 212 2

TMT t t

TM S S

ZP E dS H dSZ

= =∫∫ ∫∫

donde S es la superficie transversal.

También se dedujo que la constante de atenuación se expresaba como

2l

T

PP

α =

donde Pl es la potencia perdida por unidad de longitud. La potencia de pérdidas es la suma de dos contribuciones, una debida a los conductores y la segunda debida al dieléctrico. El valor de las pérdidas debidas a los conductores es, aplicando la teoría de perturbaciones, la dada por la expresión

2

2 S

Sl c t

c

RP H dl= ∫

siendo c la curva contorno de todos los conductores del sistema.

Resolviendo las ecuaciones anteriores se llega a la siguiente expresión para las pérdidas debidas a conductores para un modo TMmn,

( ) ( )2 3 2 3

2 22

2

1TMmn

SC

Cmn

R m b n amb nakab

k

α

η

+= ⋅+⎛ ⎞− ⎜ ⎟

⎝ ⎠

La contribución a las pérdidas debida al dieléctrico, tal y como se dedujo es idéntica para los modos TE y TM, quedando expresada en función de la constante dieléctrica compleja y de la frecuencia de corte del modo como:

2

1

1'2''

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−

⋅=

ff

k

CmnDmn ε

εα


Tema 5 - 17

De manera similar a los modos TM, la potencia transmitida por un modo TE puede ponerse en función de su impedancia de onda y de las componentes transversales de los campos eléctrico y magnético,

2 212 2

TET t t

TE S S

ZP E dS H dSZ

= =∫∫ ∫∫

En el caso de los modos TE, la contribución a las pérdidas debida a los conductores está dada por

( )( ) ( )

2 2 22

0 0 2 22

0 0

2 1

1TEmn

S Cmn CmnC m n

Cmnm n

m ab naR f fb ba f a f mb nafb

f

α ε ε

ε ε η

⎡ ⎤⎛ ⎞ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟= ⋅ + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥+⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎝ ⎠⎣ ⎦− ⎜ ⎟⎝ ⎠

donde ε0i es el número de Newmann..

La atenuación en el dieléctrico es idéntica que para los modos TM puesto que para su cálculo no se hizo ninguna imposición de condiciones de contorno, resultando

2

'' 12 '

1mnD

Cmn

k

ff

εαε

= ⋅⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎝ ⎠

En función de la frecuencia, representando la atenuación resulta la gráfica de la figura 5.3.

Figura 5.3. Atenuación del conductor (cobre) en guías rectangulares.

La zona de interés para una guía estará entre la frecuencia de corte de los modos 1 y 2 y además en aquella zona donde las pérdidas sean mínimas.



Las aproximaciones que estamos haciendo tienen validez cuando el tamaño de las ondulaciones en la superficie de los conductores de la guía sean del orden de la profundidad de penetración.

5.9. Modo dominante TE10.

Tal y como se ha referido al hablar de las frecuencias de corte de los distintos modos TE y TM confinados en una guiaonda rectangular, el primero de los modos confinados es el TE10. Este modo se conoce como modo dominante en la guía. El modo TE10 resulta de gran importancia por los siguiente motivos:

• Su frecuencia de corte es independiente de una de las dimensiones de la guía. Es posible variar b para optimizar la atenuación.

• La polarización del campo eléctrico es fija. Lineal en la dirección y. La excitación y extracción de este modo es muy sencilla.

• Para una frecuencia dada, la atenuación debida a las pérdidas en el conductor es menor que en otros tipos de guía de tamaño comparable.

Particularizando los valores de m=1 y n=0, se obtienen las distintas componentes de campo:

10

102

cos

sen

0

z

xC

y

xH BaB xH j

k a a

H

π

β π π

=

=

=

10

10

102

00

sen

z

x

y TEC

EE

B xE jZk a aβ π π

==

=

Introduciendo la dependencia temporal y espacial en las expresiones anteriores:

( )

( )

( )10

10

10

10

1010

1010

cos cos

sen sen

sen sen

z

xC

y TEC

xH B t za

xH B t zk a

xE Z B t zk a

π ω β

β π ω β

β π ω β

= −

= − −

= −

Las líneas de los campos eléctrico y magnético para este modo están representadas en la figura 5.4.


Tema 5 - 19

Figura 5.4. Líneas de campo para el modo TE10 en una guía rectangular.

La longitud de onda, la frecuencia y el número de onda de corte para el modo TE10 están dados por las siguientes expresiones:

λC = 2ª kC = π/a 12Cf a με

=

Las velocidades de fase y grupo y la longitud de onda en la guía para el modo dominante TE10 están dadas por las expresiones siguientes:

( )( )

( )

2

2

2

1

1 21 1 2

2

1 2

p

g

pg

v

a

v a

vf

a

λμε

λμε

π λλβ λ

=−

= −

= = =−

La potencia transmitida por el modo TE10 se expresa como

10

10

10

2 2

14

TE

TE

CTE

C

fBw abPk f

μη

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Las atenuaciones del dieléctrico y del conductor son las dadas por las expresiones



10

10

2

'' 12 '

1 TE

D

C

k

ff

εαε

= ⋅⎛ ⎞

− ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

10

10

10

2

2

21

1

TE

TE

TE

CSC

C

fR ba ff

bf

α

η

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞⎢ ⎥= ⋅ + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎣ ⎦− ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

5.9.1. Máxima potencia transmitida por el modo dominante TE10.

Para obtener la máxima potencia transmitida por el modo dominante es necesario introducir el concepto de campo eléctrico de ruptura de un dieléctrico (ERUP). Este valor de campo eléctrico es la máxima cantidad de campo que puede soportar el dieléctrico y es una propiedad conocida de cada material. Puesto que en el modo dominante tan sólo existe una componente de campo, su valor máximo deberá ser menor que este campo de ruptura, Ey (máximo) ≤ ERUP.

La expresión del campo eléctrico en el modo TE10 es, tal y como se ha visto,

( )10

10

1010sen seny TE

C

xE Z B t zk aβ π ω β= −

Por tanto, su valor máximo es el dado por

( )10

10

10máxy TEC

E Z Bkβ=

De esta expresión es posible obtener el valor máximo de la constante B, dado por

10

10 10

CRUP

TE

kB E

Z β≤

Entonces, la potencia máxima transmisible, sustituyendo los valores en la expresión general de la potencia transmitida por el modo TE10, es

( )10

22máx 1

4TE

CT RUP

fabP Efη

⎛ ⎞= − ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Al aumentar el valor de b aumenta la potencia máxima que se puede transmitir por la guía, sin embargo, esto hace que se reduzca el ancho de banda.

Una buena solución de compromiso es tomar a = 2b, tal y como se hace en las guías normalizadas estándar.


Tema 5 - 21

5.9.2. Ancho de banda útil de la guía

Dentro de las frecuencias donde es posible la propagación del modo dominante no todas son igualmente adecuadas. Las frecuencias más próximas al corte tienen valores de atenuación mucho más elevados que aquellas que están más alejadas. Por este motivo la frecuencia límite inferior puede tomarse como 1,25 veces la frecuencia de corte del modo TE10. En cuanto al valor límite superior se suele tomar como 0,95 veces la frecuencia de corte del siguiente modo que pueda propagarse, esto es, 0,95 veces la frecuencia del modo TE20.

Referencias bibliográficas.

[Alp01] J. Alpuente Hermosilla, M.P. Jarabo Amores, P. L. López Espí y J. A. Pamies Guerrero.- Líneas de transmisión y redes de adaptación en circuitos de microondas.- Servicio de Publicaciones de la Universidad de Alcalá. Colección Electromagnetismo y Comunicaciones, Nº 1. 2001. pp.15-50, 61-71, 86-103.

[Del87] A. Delgado y C. Blanco.- Problemas de microondas.- Servicio de Publicaciones de la ETSIT de la Universidad Politécnica de Madrid. 1987. pp. 115-118.

[Lop06] P.L. López.- Transparencias de medios de transmisión. Tema 2: líneas de transmisión.- agamenon.tsc.uah.es/Asignaturas/ittst/mt/apuntes/tema2.pdf. 2006. pp. 10-22.

[Ort73] V. Ortega.- Introducción a la teoría de microondas. Tomo I. Líneas de transmisión y guiaondas.- Servicio de Publicaciones de la ETSIT de la Universidad Politécnica de Madrid. 1973. pp. 90-97.

guiasonda cap.5

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