TORSIÓN

INTRODUCCIÓN

Una pieza está sometida a cargas de torsión cuando sobre ella están aplicadas Pares o Momentos dirigidos a lo largo de su eje centroidal y perpendicularmente a la sección transversal.

Barra sometida a Cargas de Torsión

Ejemplos reales de elementos sometidos a este tipo de carga son los árboles y ejes que por lo general tienen movimiento giratorio

Para la validez de las ecuaciones y resultados de este capítulo se asume la veracidad de las siguientes condiciones:

Los elementos son rectos

Los elementos tienen secciones transversales uniformes

Las dimensiones de la sección transversal son pequeños respecto a la longitud

Las secciones transversales permanecen planas y perpendiculares al eje axial

Las deformaciones son pequeñas comparadas con las dimensiones de la barra

Los esfuerzos no sobrepasan los límites de fluencia.

Las cargas se aplican en el eje de simetría de la sección transversal de la viga

ESFUERZOS

Considérese una pieza cilíndrica sometida a momentos de torsión en sus extremos. Las generatrices rectilíneas de la superficie lateral del cilindro (ab) se transforman en hélices (ab’) debido a la rotación entre secciones.

Rotación entre secciones

a

b

b'

Por la ausencia de cargas axiales se concluye que en torsión no aparecen esfuerzos normales sino únicamente tangenciales.

Elemento Diferencial

dy

Considérese un elemento diferencial de una barra torsionada. El ángulo que giran sus extremos es dq. Además

De acuerdo a la ley de Hooke

Expresión que muestra que los esfuerzos tangenciales varían linealmente con el radio, alcanzando su valor máximo en el borde de la sección:

De la estática

Por lo tanto

Esfuerzos provocados por Torsión

Para evitar la falla

𝜏𝑚𝑎𝑥 =16 𝑀𝑡

𝜋 𝑑3≤ 𝑆𝑦

′

De donde

DEFORMACIONES

El Angulo de la rotación relativa de las secciones extremas de una barra circular sujeta a torsión se calcula con:

𝑀𝑡 = 𝐺𝑑𝜃

𝑑𝑦𝐼0

ESFUERZOS Y DEFORMACIONES PARA BARRAS CIRCULARES HUECAS

Las anteriores ecuaciones son válidas para barras circulares huecas con la inercia igual a:

La sección hueca es más conveniente que la sección llena ya que siempre se requieremenor área para resistir el mismo esfuerzo. No debemos confundir área con diámetro,ya que para igual resistencia el diámetro de la sección maciza será menor que elexterior de la hueca. Lo que importa es que aún con menor diámetro, la secciónmaciza es siempre más pesada y por ende más cara. Lo que concluimos recientementese debe a que los esfuerzos desarrollados en la parte central de la sección maciza sonmuy pequeños y no tienen un aporte muy significativo, por lo que para resistir a latorsión las secciones más convenientes son las huecas.

EJERCICIOS

1. Una pieza cilíndrica de Acero de diámetro Ø = 3 cm y largo L=100 cm está sometida en sus extremos a una carga de torsión de 1000 Kg cm. Se pide hallar:a) Los esfuerzos máximosb) El coeficiente de seguridad si la fluencia es Sy´= 960 Kg/cm2c) Las deformadas total y unitaria longitudinal y transversal

Solución:

La inercia es I = p Ø4/32= 7,95 cm4

a) Esfuerzo máximot max = Mt R/Io = 1000(1,5)/7,95t max = 188,62 Kg/cm2

b) Coeficiente de seguridadh = S`y/tmax = 960/188,62 = 5,08h = 5,08

c) Deformada θ = Mt l / (GIo) = 1000(100)/(6,67 x 105 7,95)θ = 0,0188 rad

2. Un tambor cuyo diámetro es 30 cm está montado sobre un eje y debe levantar una carga de 1000 Kg Calcular el diámetro del eje. Tomar Sy`= 900 Kg/cm2

Solución:

El momento Mt = 1000(30)/2 = 15000 Kg cm

d = 4,39 cm se adopta 5 cm

3. En el sistema de la figura, se pide el ángulo de deformación del extremo libre respecto al empotramiento. El material es acero y las dimensiones están en cm

Solución:

Mt = F r = 100(3) = 300 Kg cm

θ1 = Mt L/(GIo) = 300(120)/(6.67 x 105 π 34/32) = 0.00678 rad

θ2 = Mt L/(GIo) = 300(40)/(6.67 x 105 π 14/32) = 0.182 rad

θtot = θ1 + θ2 = 0.189 rad

EJERCICIOS PARA RESOLVER

4. Un motor de 5 Hp esta acoplado por medio de una transmisión a un eje que gira a30 rpm. Tomando un límite de fluencia de S`y = 900 Kg/cm2 y h = 1,5 se pide calcularel diámetro del eje.

5. Halla el diámetro “d” y la masa “m” de un cilindro sólido que tenga la mismaresistencia que otro cilindro del mismo material pero hueco con un diámetro externoD = 5 cm y un espesor e = 0,3 cm.