cap 5 laplace

7/26/2019 Cap 5 Laplace

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Anlisis de Seales y Sistemas

Hector Pea M. EIE-UCV

CAPITULO 5

TRANSFORMADA DE LAPLACE


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Seales 149

5.1 Motivacin

La TF de una seal presentaba una dificultad

importante que dice relacin con la convergencia .

Esta no se satisface en una gran variedad de

seales de inters.

Ejemplo: Determinar la TF de un escaln unitario

Tenemos entonces!! "

"

# $%&

'(

)

"*+*

00

1)(!

!!

!

j

edteS

tjtj


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Seales 150

Se hace evidente que no es posible evaluar la

expresin anterior ya que el lmite superior no esta

definido unvocamente: no se verifica la

convergencia de la integral. Veamos que sucede si

incorporamos a la seal escaln un factor de

convergencia del tipo . Tendremos entonces:

(5.1)

t

e ""

!"

!"!

!"!"

j

j

edteeS

tjtjt

,*

$%

&'(

)

,"*+*

!,"!""#

1

)()(

0

)(

0


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Seales 151

Que, con " 0 se reduce a 1/j!. Sin embargo este

lmite no es, matemticamente, la TF de unescaln unitario. Esta afirmacin se comprueba aldeterminar la TIF de 1/j!.

Que no corresponde a un escaln unitario.

0

0

2

12

1

1

2

1)(

0

-

.

/0

/1

2 "*

** ##!!

!"

t

t

dtsen

dj

etf

tj

!!

!

#!

!#

!


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Seales 152

5.2 Transformada de Laplace (TL)(slo para tiempocontinuo)

En la seccin anterior, la integral de la ecuacin (5.1)podr evaluarse en el lmite superior si y slo si ellmite existe.

Esto se verifica slo si 3>0.Si se define

Obtenemos para el resultado de la ecuacin (5.1) laexpresin

(5.2)

tj

t e)(

lim !" ,"

!

!" js ,*

ssS 1)( *


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Seales 153

La ecuacin (5.2) representa la TL de un escaln

unitario. Claramente S(s) representa una funcin

compleja de una variable compleja, es decir,

Es importante destacar que la funcin S(s) esta

definida slo para aquellos nmeros complejos

para los cuales la parte real de s es estrictamente

positiva.El conjunto de todos los nmeros

complejos para los cuales 4e(s)>0 sedenomina regin de convergencia de la TL.

)()()(

)()(

smjsesS

smjses

5,4*

5,4*

!" js ,*


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Seales 154

5.3 TL Bilateral y Unilateral

Se define la TLB como

que puede verse como una generalizacin de la TFde x(t). Para valores de las seales x(t) slo para

t$0 se utiliza la TL unilateral, TLU, definidacomo:

La TLU puede aplicarse a seales que no son nulas

para t


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Seales 155

Ejemplo: TL de funcin exponencial

Sea con b un nmero real arbitrario.La

TL ser

Si y slo si existe el lmite

Es decir si (3+b)>0. As la regin de convergenciaser el conjunto de todos los nmeros complejos

tales que %e(s)>-b.

btetx "*)(

#!

""

,**

0

1)(

bsdteesX stbt

tbj

t e)(lim

,,"!

!"


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Seales 156

5.4 Propiedades de la TL

1.Linealidad

ax(t)+bv(t) a(X(s)+bV(s)

2.- Desplazamiento temporal a derecha

3.-Escalamiento temporal

4.- Multiplicacin por potencias de t

)()()( sXectsctxcs"

6""

)(1

)(a

sX

aatx 6

)()1()( sXds

dtxt

n

nnn "6


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Seales 157

5.-Multiplicacin por una exponencial

6.-Derivada temporal

En general:

)()( asXtxeat "6

)0()()( xssXtx "67

)0()0(....

)0()0()()(

12

21)(

""

7""

"

"""6NN

NNNN

xsx

xsxssXstx


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Seales 158

7.-Integracin

8.- Convolucin

9.-Teorema del valor inicial

)(1)(0

sXs

dx

t

# 6&&

# "*

t

dtvxtvtx0

)()()(*)( &&&

)]0(....

)0()0()([lim)0(

1

11)(

"

7",

! """6

N

NNN

s

N

sx

xsxssXsx


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Seales 159

10.-Teorema del valor final

Si x(!) existe entonces

5.5 Transformada Inversa de Laplace (TIL)Puede obtenerse la TIL de una sealX(s) aplicando

la expresin

)(lim)(lim0

ssXtx st *!

#

!,

!"*

jc

jc

st

dsesXjtx )(2

1

)( #


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Seales 160

Esta expresin debe evaluarse sobre el camino

s=c+j8 en el plano complejo, desde c-j! hastac-j! , donde c es cualquier numero real para elcual el camino (o paso), se encuentra en la regin

de convergencia de X(s). Sin duda es una

expresin no fcil de evaluar, en consecuencia seutilizan de mtodos algebraicos para evaluar la

TIL.

5.5.1 TL Racionales

Seax(t) con TLX(s), con

)(

)()(

sA

sBsX *


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Seales 161

Donde se definen A(s) y B(s) como polinomios en la

variable compleja s y se expresan como:

Donde m y n son enteros positivos y los coeficientes

ai, bi son nmeros reales. Si bm'0 y an'0 elgrado

de A(s) es n y el de B(s) es m.Se supone que los

dos polinomios no tiene factores comunes.

La transformada X(s) es una funcin racional en s

porque es la razn entre dos polinomios en s.

01

1

1

01

1

1

..)(

..)(

asasasasA

bsbsbsbsB

n

n

n

n

m

m

m

m

,,,,*

,,,,*"

"

""


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Seales 162

Elgrado n del polinomio del denominador se conoce

como el orden de la funcin racional.

Seanp1,p2,..,pn races de A(s)=0. Entonces es posible

factorizar A(s) como:

Es evidente que sisi=pi algn i, entonces A(s)=0 y

por lo tanto las races se denominan los ceros del

polinomio A(s). Se puede escribir entonces:

)).....()(()(21 nn

pspspsasA """*

)).....()((

)()(

21 nn pspspsa

sBsX

"""*


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Seales 163

Ahora los valores desi=pi se denominan lospolos de

la funcin racional X(s). En consecuencia lospolos de X(s) son iguales a los ceros de A(s). Se

supondr que m


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Seales 164

Las constantes ci se denominan los residuos y su

calculo es va el mtodo de residuos.

Caso de polos diferentes y dos o mas polos

complejos

Sea el polo complejo y

su complejo conjugado. Ambos polos de X(s).

Entonces el residuo correspondiente a ( ) ser

el complejo conjugado del residuo

correspondiente a p1 (c1). Luego la expansin en

fracciones parciales deX(s) ser:

0,1 =,* !!" jp>1p

>1p

>1c

n

n

ps

c

ps

c

ps

csX

",,

",

"*

>

...)(2

1

1

1


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Seales 165

Es relativamente simple probar que si X(s) tiene un

par de polos complejos la sealx(t) contendr un termino de la forma:

Es posible evitar el trabajar con nmeros complejos,

si no se factorizan los trminos cuadrticos cuyasraces son complejas. As, sea

!" jp ?*2,1

)cos( ctcet @,!"

01

2

01)(

asas

bsbsX

,,

,*


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Seales 166

Defina , entoncesX(s) puede

escribirse de la forma

Y la TIL se puede obtener de una tabla de

transformadas.

4

2

10

aa "*!

221

110

11

)2(

)2

()2

(

)(

!,,

",,*

a

s

abb

asb

sX


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Seales 167

Caso de Polos repetidos

SeaX(s) estrictamente propia. Sea el polop1 deX(s)

de multiplicidad r. Los (n-r) polos restantes son

diferentes., entonces la expansin en fracciones

parciales deX(s) viene dada como:

)(

..

)()(

..

..)()(

)(

1

1

1

2

1

2

1

1

n

n

r

r

r

r

ps

c

ps

c

ps

c

ps

c

ps

csX

,

,,

"

,

"

,

,"

,"

*

,

,


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Seales 168

Los residuos cr+1, cr+2,..,cn se calculan siguiendo las

instrucciones del caso polos diferentes.La constante crse calcula como:

Y las constantes c1, c2,...,cr-1 se calculan utilizando

de:

9 :ips

r

ir sXpsc *"* )(

;

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