guia lavin algebra ii
TRANSCRIPT
GUIAS ALGEBRA IIBACHILLERATO - INGENIERIAS
Prof. Atilio Pacha BustamanteProf. Manuel A. Rojas Troncoso
2007Arica-Chile
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAFACULTAD DE CIENCIAS
UNIVERSIDAD DE TARAPACA
Contenido
1 Vectores en IR2 o en IR3 2
2 Estructuras Algebraicas 5
3 Matrices 10
4 Determinantes 16
5 Sistemas de Ecuaciones Lineales. 23
6 Transformaciones Lineales 29
7 Valores-Vectores Propios 33
1
Capıtulo 1
Vectores en IR2 o en IR3
1. Hallar un vector de magnitud 3 y que sea paralelo a la suma de los vectores −→a = (1, 2, 1),−→b = (2,−1, 1) y −→c = (1,−1, 2).
2. Hallar un vector −→a , tal que sea perpendicular al vector −→b = (2, 1, 3) y de su productovectorial por el vector −→c = (1, 0, 1) resulte el vector i− 2j− k.
3. De entre los siguientes vectores determine cuales son perpendiculares entre si
. −→u = (−1,2,2); −→v = (1,5,2); −→w = (2,0,−1)4. Sean −→u = (2;−3) y −→v = (1;−4). Determine la proyeccion de −→u sobre −→v .5. Sean −→u = (3,2,1) y −→v = (1,2,−1). Determine la proyeccion de −→u sobre −→v .6. Sean −→u = (2,−1,1) y −→v = (1,−6,2) Determine para que valores de k se cumple que elvector −→w = (4,k,−1) se puede expresar como combinacion lineal de −→u y −→v
7. Demuestre que ||−→u - −→v || ≥ ||−→u ||− || −→v || ∀−→u , −→v ∈ IRn
8. Supongamos que −→u ·−→v = −→u ·−→w ¿ Esto implica que −→v = −→w ? Si es asi, proporcione unademostracion que sea valida en IRn, de otra forma muestre un contraejemplo ( es decir hallar−→u ,−→v ,−→w ∈ IRn, para los cuales −→u ·−→v = −→u ·−→w con −→v 6= −→w )
9. Demuestre que (−→u +−→v ) · (−→u −−→v ) = ||−→u ||2 − || −→v ||2, ∀−→u , −→v ∈ IRn
10. (a) ||−→u +−→v ||2 + ||−→u − −→v ||2 = 2||−→u ||2 + 2||−→v ||2, ∀−→u , −→v ∈ IRn(b) Dibuje un diagrama mostrando −→u ,−→v ,−→u +−→v ,−→u −−→v ∈ IR2 y utilice la demostraciondel incisiso (a) para deducir un resultado acerca de paralelogramos.-
11. Demuestre que −→u ·−→v = 14||−→u +−→v ||2 − 1
4||−→u − −→v ||2, ∀−→u , −→v ∈ IRn
12. (a) Demuestre que −→u +−→v y −→u − −→v son ortogonales Si y solo si ||−→u || = ||−→v ||(b) Dibuje un diagrama mostrando −→u ,−→v ,−→u +−→v ,−→u −−→v ∈ IR2 y utilice la demostraciondel incisiso (a) para deducir un resultado acerca de paralelogramos
13. (a) Demuestre que:
si −→u es ortogonal tanto a −→v como a −→w , entonces −→u es ortogonal a −→v + −→w(b) Demuestre que:
si −→u es ortogonal tanto a −→v como a −→w , entonces −→u es ortogonal a α−→v + β−→w14. Demuestre que: −→u es ortogonal a −→v − proy−→u (−→v ), ∀−→u , −→v ∈ IRn, con −→u 6= 015. Demuestre que en IR2 o en IR3:
|| proy−→u (−→v )|| ≤ ||−→v ||⇔ |−→u ·−→v | ≤ ||−→u ||||−→v || ( desigualdad de Cauchy-Schwarz )
2
16. Demuestre que : −→u x−→v es ortogonal con −→u y −→v ∀−→u , −→v ∈ IR3
17. Demuestre que: a) −→u · (−→v x−→w ) = (−→u x−→v ) ·−→wb) −→u x(−→v x−→w ) = (−→u ·−→w )−→v − (−→u ·−→v )−→w c) ||−→u x−→v ||2 = ||−→u ||2||−→v ||2 − (−→u ·−→v )2
18. Sean −→u y −→v vectores en IR3 y sea θ el angulo entre −→u y −→v(a) Demuestre que:
||−→u x−→v || = ||−→u ||||−→v ||Senθ ( use el resultado c) del ejercicio anterior )
(b) Demuestre que:
el area A del triangulo determinado por −→u y −→v , esta dado por : A = 12||−→u x−→v ||
(c) Utilice el resultado del inciso b) para calcular el area del triangulo con los verticesA(1,2,1), B(2,1,0) y C(5,−1,3)
19. Determinar el plano que pasa por los puntos (2,1,0), (−1,0,3) y (1,1,2).
Hallar la recta perpendicular a dicho plano trazada desde el origen de coordenadas.
20. Encuentre la ecuacion de la recta.
(a) que pasa por (−1,−1− 1) en la direccion del vector unitario bi.(b) que pasa por (0,2,1) en la direccion del vector 2bi+bk. donde bi,bk son lo s vectores
unitarios.
(c) que pasa por (−1,−1− 7) y (2,−4,7) .3.
21. Hallar los puntos de interseccion de la recta L(t) = (3+ 2t,7+ 8t,−2+ t) y los planoscoordenados.
22. Determine si el punto P(3,4,7) pertenece a la recta que pasa por A(2,4,5) y es paralela alvector −→u = (1,3,5).
23. Escribir las ecuaciones simetricas de la recta de IR3 que es perpendicular al plano 9y + 8z = 4y que pasa por el punto P = (1,3,−4).
24. Escribir la ecuacion vectorial del plano de IR3 que pasa por el punto P = (1,2,3) y esparalelo a los vectores −→u = (0,1,2), −→v = (3,0,4). Escribir
tambien la ecuacion cartesiana de dicho plano.
25. Escribir las ecuaciones simetricas de la recta de IR3 que pasa por el punto P = (2,3,−4) yes perpendicular al plano 7x+ 9y + 8z = 1.
26. El gato Tom persiguiendo Jerry camina 3,50 m al sur, luego 8,20 m a un angulo de 30o alnorte del oriente y, finalmente, 15,0 m al poniente. Encuentre el vector de desplazamientoresultante del gato Tom , usando el metodo grafico.
27. Un avion vuela desde su campamento base al lago A, una distancia 280 Km a una direccion20o al norte del oriente. Despues de lanzar abastecimientos, vuela al lago B que esta 190Km y 30o al oeste del norte del lago A. Determine graficamente la distancia y direccion dellago B al campamento base.
28. Un vector−→A tiene una magnitud de 8 unidades y hace un angulo de 45o con el eje x positivo.
El vector−→B tiene tambien una magnitud de 8 unidades y esta dirigido a lo largo del eje x
negativo. Determine por el metodo grafico la suma vectorial−→A +
−→B y la resta
−→A −−→B
29. .Un jugador de golf necesita dos tiros para meter la pelota en el hoyo una vez que llega algreen (circulo de grama alrededor del hoyo). El primer tiro desplaza la pelota 6 m al orientey el segundo 5,4 m al sur. ¿Que desplazamiento hubiera sido necesario para meter la pelotaen el primer tiro?
3
30. Una persona esta explorando una cueva. Empieza a caminar en la entrada y recorre lassiguientes distancias: 75 m al norte, 250 m al oriente, 125 m a un angulo de 30o al norte deloriente y 150 m al sur. Encuentre el desplazamiento resultante desde la entrada de la cueva.
31. Una pieza de maquinaria pesada es elevada deslizandola sobre una rampa que tiene unainclinacion de 20o respecto a la horizontal, una distancia d= 12,5 m. Que tan alto fueelevada respecto a su posicion original? Cual fue su desplazamiento horizontal?
32. La componente x de un vector−→A es -25,0 m y la componente y es 40,0 m. ¿Cual es la
magnitud de−→A ? ¿Cual es el angulo que forma la direccion de
−→A con el eje positivo de las
x?
33. Un velero zarpa dispuesto a navegar 120 km al norte. Una tormenta inesperada, empuja elbarco a 100 Km horizontalmente desde su punto de partida. ¿En que direccion debe arrancarde nuevo para llegar a su destino? ¿Si el buen viento le permite ir a 8 nudos, cuanto tiempotardara en llegar? (1 nudo equivale a 1,852 Km/h)
34. El vector−→A , que esta dirigido a lo largo del eje x, debe sumarse al vector
−→B que tiene una
magnitud de 7 cm. La suma es un tercer vector que esta dirigido a lo largo del eje y, con
una magnitud que es 3 veces la de−→A . ¿Cual es la magnitud de
−→A ?
35. Si−→d1 +
−→d2 = 5
−→d3 ,
−→d1 −−→d2 = 3−→d3 y
−→d3 = 2i + 4j ¿Cuales son las expresiones de
−→d1 y−→
d2 en termino de los vectores unitarios i j ?
4
Capıtulo 2
Estructuras Algebraicas
1. Determine si ∗, definida como se indica en cada caso es una L.C.I.(a)a ∗ b = a2 − 2b a, b ∈ ZZ; (b) a ∗ b = a/b a, b ∈ ZZ+;(c) a ∗ b = a+ b a, b ∈ ZZ; (d) a ∗ b = a− b a, b ∈ IR(e) a ∗ b = ab a, b ∈ ZZ+.
2. En IN se define a4b =(min(a, b)
acuando a 6= bcuando a = b
), a, b ∈ IN
a) Hallar 34 4 = , 54 2 = , 34 3=b) Si definimos a ∗ b = (a4 b) + 2,hallar 5 ∗ 3 = ; 4 ∗ 4 =c) Analice si ∗ es asociativa
3. En INse define m ∗ n = 2mn Estudiar si es una ley de composicion interna. En el caso enque sea ley de composicion interna, analizar sus propiedades.
4. ¿Cuales de las siguientes leyes definidas en ZZ son L.C.I.?
i) aob = a− b; ii) aob = a : b; iii) aob = a+ b+ 15. Sean ∗ y 4 operaciones definidas en IR, por : a ∗ b = 2ab; a4b = 2b+ a¿Distribuye ∗ sobre 4 o 4 sobre ∗?
6. Sea (IR, ∗), donde * esta definida por: a ∗ b = a+ b+ ab. ¿Es ∗ asi definida L.C.I.?
7. En el conjunto de los numeros naturales se definen las siguientes leyes .
Determinar si son leyes de composicion interna y en el caso que lo sean estudiar si cumplenla propiedad asociativa, conmutativa y poseen elemento neutro.
a) a ∗ x = ax b) a ∗ b = a8. Sea G = {1, 3, 5, 7, 9}. En G se define la siguiente operacion a ∗ b = c donde c es el digitode las unidades del producto usual de a y b en IN .
a) Estudiar las propiedades que verifica esta operacion
b) ¿Es un grupo (G, ∗)?c) Hallar un subconjuntoG0 deG que con la operacion inducida sea un grupo. De un posiblesubgrupo de G0
d) Resolver la ecuacion, si es posible tanto en G como en G0
a ∗ x = b ∀a, b ∈ G , ∀a, b ∈ G0
9. Determine si la operacion indicada es cerrada (estable), en el conjunto indicado. De uncontraejemplo para cada operacion que no posea dicha propiedad .
5
Conjunto Operacion
ZZ: enteros SubstraccionIP : enteros pares AdicionIP : enteros pares Multiplicacion
II: enteros impares SubstraccionII: enteros impares MultiplicacionII: enteros impares Adicion
10. Determine si la operacion ∗, definida en los conjuntos que se indica, tiene las propiedades de:Clausura, Conmutatividad, Asociatividad. Ilustre con un contraejemplo aquellas situacionesen que una propiedad no se cumple.
a, b ∈ IQ; a ∗ b = a+b3; a, b ∈ ZZ; a ∗ b = a+ 2b;
a, b ∈ ZZ; a ∗ b = a; a, b ∈ ZZ; a ∗ b = ab2;
a, b ∈ ZZ; a ∗ b = ab+ a− b; a, b ∈ ZZ; a ∗ b = a+ b− ab.11. Discutir la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
a) Si ∗ es cualquier operacion interna en cualquier conjunto S,entonces a ∗ a = a ∀a ∈ S.
b) Si ∗ es cualquier operacion interna asociativa en cualquier conjunto S,entonces a ∗ (b ∗ c) = (b ∗ c) ∗ a ∀a, b, c ∈ S.
c) Si ∗ es cualquier operacion interna conmutativa en cualquier conjunto S,entonces a ∗ (b ∗ c) = (b ∗ c) ∗ a ∀a, b, c ∈ S
d) Una operacion interna ∗ definida en un conjunto cualquiera S es conmutativa si existena, b ∈ S tal que a ∗ b = b ∗ a.e) Una operacion interna ∗ en un conjunto S asigna al menos un elemento de S a todo parordenado de elementos de S.
f ) Una operacion interna ∗ en un conjunto S asigna a lo mas un elemento de S a todo parordenado de elementos de S.
g) Una operacion interna ∗ en un conjunto S asigna exactamente un elemento de S a todopar ordenado de elementos de S.
12. Determine cuales de las siguientes operaciones son L.C.I en los conjuntos que se indican:
a) a ∗ b = a2 − 2b, a, b ∈ ZZ; b) a ∗ b = ab, a, b ∈ ZZ+;c) a ∗ b = a/b, a, b ∈ ZZ+; d) a ∗ b = a
b, a, b ∈ IQ;
e) a ∗ b = a+ b, a, b ∈ ZZ; f) a ∗ b = a− b, a, b ∈ IQ+;g) a ∗ b = a− b, a, b ∈ IR; h) a ∗ b = a− b, a, b ∈ ZZ;i) a ∗ b = a : b, a, b ∈ ZZ; j) a ∗ b = a+ b+ 1, a, b ∈ ZZ.k) a ∗ b = ab+ 3b, a, b ∈ IR; l) a ∗ b = 2ab, a, b ∈ IR;m) a ∗ b = a+ 2b, a, b ∈ IR.y para cada L.C.I. senale las propiedades que cumplen en los conjuntos donde estan definidas.¿Cuales de estos conjuntos constituyen grupos con la L.C.I. respectiva?
13. Sean
A = {1; 3; 5; 7}; B = {e; a; b; c}; y ∗; L.C.I. definidas por:1 3 5 7
1 1 3 5 73 3 1 7 55 5 7 1 37 7 5 3 1
* e a b c
e e a b ca a e c bb b c e ac c b a e
6
Pruebe que (A; ) y (B; ∗) son grupos.14. Verifique cuales de los siguientes conjuntos forman un grupo con respecto a la operacion
indicada:
a) (S; ¦) donde S = { 3√a/a ∈ ZZ} y 3
√a ¦ 3√b = 3√a+ b;
b) (ZZ; 4), con a4b = a+ b− 2.c) (A; 4), con x4y = (x+ y)/(1 + xy) A =]− 1, 1[⊂ IR
15. Sobre IQ se define la operacion binaria a ∗ b = a + b + ab. ¿Que estructrura algebraicatiene (Q, ∗)?, ¿En que subconjunto B de IQ, (B, ∗) sera un grupo?
16. ¿Para que valores naturales de a y b la operacion ∗ definida en ZZ mediante la expresionx ∗ y = ax+ by − 5 induce una estructura de grupo abeliano en ZZ?
17. ¿Es IR con la operacion a ∗ b = |a|b un grupo conmutativo?18. Sea S = IR− {1}. En S se define la L.C.I.: a¤ b = a+ b+ ab.
a) Pruebe que (S; ¤) es grupo
b) En S, resuelva la ecuacion 2¤X ¤ 3 = 7.
19. Determine cual, de los siguientes conjuntos, dotados de las operaciones usuales, es un anillo:
a) S = {a+ b√2 / a, b ∈ ZZ}; b) A = {a+ b√3 / a, b ∈ IQ}20. Demuestre si los siguientes conjuntos, con las operaciones usuales, son anillos:
S = {2x / x ∈ ZZ}; T = {2x+ 1 / x ∈ ZZ}.21. Demuestre que los conjuntos:
S = {a+ b√2 / a, b ∈ ZZ} yA = {a+ b√3 / a, b ∈ IQ}. Con las leyes usuales de adicion y multiplicacion en ZZ y IQrespectivamente, son anillos.
22. Si en A = {p; q; r}, se definen las siguientes L.C.I.:+ p q r
p r p qq p q rr q r p
· p q r
p p q rq q p rr r q p Determine el valor de verdad de las siguientes proposi-
ciones:
a) + es conmutativa; b) (A; +) posee neutro en A
c) + es asociativa; d) El inverso aditivo de p es q;
e) El inverso multiplicativo de p es q;
f) (A; +) es Grupo .Abeliano.; g) (A;·) Grupo .Abeliano;h) · distribuye sobre +; i) p[(p+ q) + r] = q;
j) A es anillo; k) A es cuerpo;
l) (p+ r) · (p− r) = r.23. Consideremos las operaciones:
x ∗ y = x2 + y2 sobre IR y x∇y = x+ y + xy sobre IQ−1estudiar las estructuras (IR, ∗) y (IQ−1,∇).
7
24. En el conjunto E = {(a, b) ∈ IR2 / a 6= 0} se define la operacion:(a, b) ∗ (c, d) = (ac, ad+ b)
a) Comprobar que (E, ∗) es un grupo.b) Probar que el subconjunto G de E formado por los elementos de la forma (a, 0) es unsubgrupo del grupo (E, ∗).
25. Si en ZZ se definen: a b = a+ 2b; a ∗ b = 2ab. Determine si (ZZ; ; ∗) es un anillo.26. Si en ZZ se definen: a b = a+ b− 1; a • b = a+ b− ab.
Determine si (ZZ; ; •), es un anillo conmutativo con unidad.27. En el conjunto ZZ × ZZ de pares de numeros enteros se definen las operaciones siguientes:
(n,m) + (n0,m0) = (n+ n0,m+m0) (n,m).(n0,m0) = (nn0, nm0 +mn0)
Se pide:
a) ¿Que estructura tiene ZZ ×ZZ respecto de cada una de las operaciones y cual respecto deambas?
b) Si no es cuerpo, ¿que condiciones le faltan para serlo?
c) ¿Puede ser nulo el producto de dos elementos distintos del elemento neutro de la suma?,es decir ¿tiene divisores de cero?
28. En IR2, si (a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d); (a, b) · (c, d) = (ac, ad+ bc).Pruebe que (IR2; +; ·) es un anillo conmutativo con unidad,
29. ¿Los sistemas: a) (IR; +; ·); b) (X; +; ·), dondeX = {a+ b√3 / a, b ∈ ZZ}, tienen estructura de cuerpo?
30. En IR2, se define:(a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d)
(a, b) • (c, d) = (a+ c, b+ d+ 2bd)a) ¿Es • una L.C.I.?; b) ¿Es (IR2; •) grupo?;c) ¿Es (IR2; + •) anillo?; d) ¿Es (IR2; + •) Cuerpo?
31. En S = {0; 1; 2; 3; 4; 5}, se definen:
32.
+ 0 1 2 3 4 5
0 0 1 2 3 4 51 1 2 3 4 5 02 2 3 4 5 0 13 3 4 5 0 1 24 4 5 0 1 2 35 5 0 1 2 3 4
· 0 1 2 3 4 5
0 0 0 0 0 0 01 0 1 2 3 4 52 0 2 4 0 2 43 0 3 0 3 0 34 0 4 2 0 4 25 0 5 4 3 2 1
a) Encuentre los elementos de S, que tienen inverso multiplicativo.
b) Encuentre los divisores del cero de S.
c) ¿Es (S; +; ·) Anillo.?33. Pruebe que:
a) ZZ3, con adicion y multiplicacion modulo 3, es cuerpo.
b) ZZ4, con adicion y multiplicacion modulo 4, es anillo y determine sus divisores del cero
c) ZZ7, con adicion y multiplicacion modulo 7, es un cuerpo.
8
34. Sean x, y dos elementos de un grupo G.
Si x5 = 1, y4 =1, xy = yx3, probar que x2y = yx, xy3 = y3x2
35. En IQ definimos la operacion: a ∗ b = αab, siendo α 6= 0 un elemento fijo de IQ.a) Demostrar que la estructura (IQ, ∗) cumple la propiedad asociativa y tiene elemento neutro.b) Comprobar que (IQ, ∗) no es un grupo y determinar k para que (IQ−k, ∗) sea un grupo.c) Determinar β para que ∗ sea distributiva con respecto a la operacion a∇b = a+ b+ β.
d) Determinar β para que (IQ,∇) sea un Grupoe) Determinar β para que (IQ,∇, ∗) sea un Anillo
9
Capıtulo 3
Matrices
1.- Escriba una matriz A = (aij) de orden nxn, para n =2, 3 con las caracteristicasindicadas
a) 0 ≤ aij ≤ 1, Pnj=1 aij = 1 ∀i; b) aij = (−1)i+j;
c)Pni=1 aij =
Pnj=1 aij = 1; d)
Pni=1 aij =
Pnj=1 aij =
Pni=1 aii =
Pni=1 ai(n−i+1) ;
e) akj = ik−j donde i es el complejo tal que i2 = −1
2.- Sea x ∈ IR entonces [x] =es la parte entera de x (es el menor entero que es mayor o iguala x ) construya las sgtes matrices.
a) A = (aij)3x5 donde aij = [ij]; b) B = (bij)4x3 donde bij = [i+
ij];
c) C = (cij)3x3 donde cij = [j+1i+2]; d) D = (dij)4x3 donde dij =
Pi+jk=1 k;
3.- Sean A = (aij)nxn con aij = 0 si i > j y 1 en caso contrario,
B = (bij)5x5 con bii = 1; b(i+1)i = bi(i+1) = 1 y cero en caso contrario
Encuentre una matriz X tal que AX = B
4.- Teniendo presente igualdad de matrices, determine x, y ∈ IR tales que:
a)
Ãx y2
x2 y
!=
à −1 11 −1
!; b)
Ãx2 + 3x5− y2
!=
à −32y + 4
!
5.- Si M,N ∈Mn(K) y α,β ∈ K demuestre que :
i) (α+ β)M = αM + βM ; ii) α(M +N) = αM + αN
iii) α(βM) = (αβ)M
6.- Encuentre matrices X,Y ∈M2(IR) tales que verifiquen:
3X + 4Y =
Ã5 2
−12 9
!
−2X + 3Y =Ã
8 −7−9 −6
!¯¯¯
7.- Sean A =
Ã2 −810 6
!; B =
Ã1 −12 −3
!; C =
Ã0 2−2 −4
!encuentre λ1, λ2, λ3 ∈ IR tales que: λ1A+ λ2B + λ3C = 0
8.- Si A =
Ã1 −4 62 i 3
!B =
1 2−2 35 7
C = 2 −21 −11 −2
CalcularB + C; BA; A(2B − 3C); A+At; BCt; BtAt; (AAt)2
10
9.- Efectuar las siguientes operaciones
a)
2 1 13 1 00 1 2
2
; b)
Ã2 11 3
!3; c)
Ã1 10 1
!n; d)
Ãcosα −senαsenα cosα
!n;
e)
Ã1 11 1
!3·Ã
1 0 −1−3 3 1
3
!; f) (x y z) ·
4 −1 2−1 0 12 1 0
· xyz
10.- a) Sea A =
1 1 11 1 11 1 1
encuentre A2 y deduzca An
b) Sea A =
1 1 00 1 10 0 1
encuentre A2 y A3 haciendo; Ap = 1 ap bp0 1 ap0 0 1
11.- Sea A =
1 −1 −1−1 1 −1−1 −1 1
demuestre que An tiene la forma an bn bnbn an bnbn bn an
y los elementos an; bn satisfacen la relacion de recurrencia un = un−1 + 2un−2, obtengaan y bn.
12.- Demuestre que toda matriz A =
Ãa bc d
!, satisface
la ecuacion matricial X2 − (a+ d)X + (ad− bc)I2 = 0
13.- Sea f(t) = −2 + 5t− 3t2 encuentre f(A) donde A =Ã1 23 1
!
14.- Si A =
1 1 00 1 10 0 1
encuentre A5015.- Sean A = (a1 a2 a3 ... an)
t; B = (b1 b2 b3 ... bn) encuentre
a) AB; BA; b) BtAt; c) At +B ¿ Existe A+B ?
16.- a) Encuentre A,B ∈M5(IR) no nulas tales que AB = 0
b) Sean A,B ∈Mn(IR) tales que AB = BA demuestre que :(A+B)2 = A2 + 2AB +B2 y (A+B)(A−B) = A2 −B2
17.- Sean A =
2 −3 −5−1 4 51 −3 −4
y B =
−1 3 51 −3 −5−1 3 5
verifique las siguientes igualdades:
a) (A+B)(A−B) = A2 −B2 b) (A+B)2 = A2 +B2 c) (A−B)2 = A2 +B2analice si estas igualdades son siempre validas para cualquier A,B ∈M3(IR), en casoque no lo fuera, mencione un contrejemplo.
18.- Hallar todas las matrices que conmutan con la matriz A, donde.
a) A =
1 0 00 1 03 1 2
; b) A = Ã1 2−1 −1
!; c) A =
Ã1 10 1
!
11
19.- Sea A como en el ejercicio 17 , X = ( 1 0 0) ¿ Que es XA ?.Si X = ( 0 1 0 ) ¿Que es XA? Generalice lo observado para matrices A ∈Mn(K) y matrices
filas Xi = (xij) ∈M1xn(K) con xij = 1 si i = j y xij = 0 si i 6= j ¿Que es XiA?
20.- a) Demuestre que: ∀A ∈Mn(K), A2 = In ⇐⇒ (A+ In)(A− In) = 0
b) Sea A ∈Mn(CI) si A = (aij), demuestre que (A)t = At
c) Sea A = (aij) ∈Mn(K) ; aij = 0 si i ≥ j pruebe que An = 0d) Sea A = (aij) ∈Mn(K) ; aij = 0 si i > j ; aii = 1Sea N = A− In, entonces pruebe que:i) Nn = 0 ( Observe ejercicio 20.- c) )
ii) A es invertible, y A−1 = I −N +N2 −N3 + .....+ (−1)Nn−1
21.- Si A =
λ 0 02λ λ 03λ 2λ λ
calcule An ( Ayuda: exprese A = λI3 + λB )
22.- Verifique que la ecuacion matricial
X3 −X2 − 5X + 5I = 0 admite la solucion A =
1 2 02 −1 00 0 1
23.- Hallar una matriz X tal que: X
1 1 −12 1 01 −1 1
= 1 −1 34 3 21 −2 5
24.- Sea A ∈Mmxn(IR) tal que A
tA = 0 Pruebe que. A = 025.-Se dice que A ∈Mn(IR) es ortogonal ⇐⇒ AAt = I
Se dice que A ∈Mn(CI) es Hermıtica o Hermitiana ⇐⇒ A∗ = At= A
Se dice que A ∈Mn(CI) es Antihermıtica o Antihermitiana ⇐⇒ A∗ = −ASe dice que A ∈Mn(CI) es unitaria ⇐⇒ AA∗ = ISe dice que A ⇐⇒ es involutiva A2 = I
a) Demuestre que si A posee dos de las tres propiedades siguientes :Simetrica, involutiva,ortogonal entonces A tambien posee la tercera.
b) Demuestre que si A posee dos de las tres propiedades siguientes: real, unitaria,ortogonal entonces A tambien posee la tercera.
26.- Demuestre que:
a) Si P es idempotente, entonces Y = 2P − I es involutivab) Si Q es involutiva, entonces Y = 1
2(Q+ I) es idempotente
c) Si AB = A y BA = B entonces A y B son Idempotentes
27.-Demuestre que A,B conmutan ⇐⇒ At y Bt conmutan
28.- Sea A =
1 2 34 5 67 8 9
a) Escriba A como la suma de una matriz simetrica y de otra antisimetrica.
b) Escriba A como la suma de dos matrices triangulares
29.- Sean A,B ∈Mn(K) demuestre que:
a) (A+B)t = At +Bt, b) (AB)t = BtAt, c) A es simetrica ⇐⇒ At = A,
d) Si A es invertible, entonces (At)−1 = (A−1)t.
12
¿Que ocurre si A es antisimetrica?
30.- Si A,B ∈Mn(CI) y A∗ = A
tdemuestre que :
a) ((A)∗)∗ b) (A+B)∗ = A∗ +B∗ , b) (AB)∗ = B∗A∗
31.- Sean A =
Ã2− 3i 4 + 2i3i 5
!y B =
à −2 −2 + i3− 2i 4 + 2i
!encuentre (AB)∗ = y A∗ +B∗ =
32.- Demuestre que: si A es simetrica entonces A∗ es simetrica
Si A es antisimetrica ¿como es A∗?
33.- ¿Cual es la forma de una matriz triangular y simetrica ?
34.- Si A es invertible entonces demuestre que:B es simetrica ⇐⇒ AtBA es simetrica
35.- Encuentre una expresion para la potencia (A+B)p en los casos:
i) B = In; ii) AB = BA; iii) Se cumple ii) y B es nilpotente.
36.- Determine cuales de las matrices que se dan son Hermitianas.
a)
3 i2i 01 −3
b)
Ã1 1− i
1− i 0
!c)
1 2i 1− i−2i 3 −i1− i i −1
d)
1 1 i1 2 −i−i i 3
e)
1− i 1 00 i 3−1 2 −i
f)
1 1− i ii 1 −i
1− i i i
g)
3 i 4− i2i 0 −i1− i −i 2− i
37.- Demuestre que toda matriz A ∈Mn(CI) puede ser expresada como la suma de unamatriz Hermitiana y una Antihermitiana.
38.- Sean A,B ∈Mn(IR) se define A×B = AB −BA,Demuestre que : a) A×B = −B ×A; b) A× (B + C) = A×B +A× C39.- a) Demuestre que: Si BA = In y AC = In entonces B = C
b) Sea W ∈Mn(IR) tal que WtW = In y sea H = In − 2WW t (Matriz de Householder)
Pruebe que H es simetrica e invertible y H−1 = Ht
40.- a) Sea N una matriz cuadrada tal que N r+1 = 0 para algun r > 0. Pruebe que I −Nes invertible y que su inversa es I +N +N2 +N3 +N4 + ... +N r
b) Sea N =
0 1 20 0 30 0 0
usar a) para hallar (I −N)−141.- Sean X = (x1x2x3...xn)
t e Y = (y1y2y3...yn)a) Pruebe que Tr(XY t) = XtYb) Es XY t invertible ? Justifique
42 .- a) Si A,B y A+B ∈Mn(IR) son invertibles entonces pruebe que A−1 +B−1
es invertible y (A−1 +B−1)−1 = A(A+B)−1Bb) Si A,B y A+B−1 ∈Mn(IR) son invertibles entonces pruebe que A
−1 +Bes invertible y (A−1 +B)−1 = A(A+B−1)−1B−1
43.- Sean A,B, C matrices tales que C2 = 0; BC = CB y A = B + Cdemuestre que Ak+1 = Bk[B + (k + 1)C]; k ∈ IN
13
44.- a) Si A es una matriz invertible, demuestre que: (A−1 +A)t = 0 ⇒ A2 = −Ib) Sean A y B matrices tales que : B2 = B y B +BtAB = BtAdemuestre que B = 0
45 .- Sea A2 = −Aa) Demuestre que A2n = −A, ∀n ∈ INb) Demuestre que A+A3 +A5 +A7 + ....+A2n+1 = (n+ 1)A, ∀n ∈ IN
46.- Demuestre que ∼Fes una relacion de equivalencia enMn(IR)
47.- Utilizando operaciones elementales por filas determine la matriz escalonada reducidaequivalente a cada una de las matrices siguientes:
A =
Ã1 22 5
!; B =
1 −2 3 −12 −1 2 33 1 2 3
; C =
3 1 2 1 0 02 1 1 0 1 01 −3 0 0 0 1
;
D =
0 1 3 −22 1 −4 32 3 3 −1
; E =
0 1 2−1 3 01 −2 1
; F =
1 2 −1−1 1 22 −1 1
;
G =
2 3 44 3 11 2 4
; H =
1 2 −30 1 20 0 1
;
J =
1 3 −5 70 1 2 −30 0 1 20 0 0 1
; K =
1 1 1 11 1 −1 −11 −1 1 −11 −1 −1 1
48 Sean A =
Ã1 21 3
!B =
à −1 10 1
!Determine X tal que (2X −A−1)t = BX
49.- Si A =
1 −1 12 4 01 2 3
, B = 1
3−1
, Ct =
−121
, D = 4−23
resuelva la Ecuacion: AX+BCD = B
50.- Si A−1 =
1 2 10 −1 21 3 4
y (A+B)−1 =
1 2 32 3 13 1 2
, hallar la matriz B
51.- Para las matrices F y G del ejercicio 47 ¿ Es F ∼FG ? justifique
52 Demuestre que:Si A ∈M2x1(IR) y B ∈M1x2(IR) entonces AB no es invertible
53.- Encuentre Operaciones Elementales por Filas τ1, τ2, τ3, ...τs tales que:
B = τs ◦ τs−1 ◦ ... ◦ τ3 ◦ τ2 ◦ τ1(A); donde A =
4 6 25 3 14 10 5
y B =
4 6 21 −1 −11 2 4
54.- Sea B =
3 1 2 1 0 02 1 1 0 1 01 −3 0 0 0 1
a) Encuentre R escalonada reducida por filas tal que B ∼
FR y
b) Encuentre H invertible tal que Rt = BtH
55.- Determine el valor de λ de modo que la matriz dada sea invertible.
A =
1 −1 i1 + i −1 + i 1− i2 + i −2 + i λ
; B = 1 1 11 λ 11 1 λ
14
56.- Determine la matriz inversa de:
i) A = (aij)3x3, con aij =2160
i+ j − 1ii) Las matrices de los ejercicios 47.- y 50.- cuando corresponda.
57.- Si A =
Ã1 25 3
!Hallar una matriz P invertible tal que P−1AP =
Ã6 00 −1
!
58.- Determine (x, y) ∈ IR2 tal que (x y)Ã6 00 −1
!Ãxy
!= 1
59.- Sean A =
1 1 10 1 01 2 3
, B =
2 1 2 1−1 0 1 02 −1 1 1
,
C =
1 −1−1 12 00 1
, D = 1 12 23 1
a) Calcular A−1
b) Usar A−1 para resolver la ecuacion AX +BC = D
60.- Dadas las matrices A =
Ã0 31 0
!y B =
Ã0 14 3
!, resuelva la siguiente ecuacion
matricialXB(A+A2)− (XB −B2)A−B2A = A
61.- Considerando la funcion F :M2(IR) −→M2(IR) tal que F (A) = A(I2 −At)a) Si A =
Ã1 23 4
!hallar T (A−1)
b) Demuestre que: T (I2 −At) = [T (At)]t
15
Capıtulo 4
Determinantes
1.- Hallar los valores de t para los cuales el determinante se anula:
a)
¯¯ t− 1 −2
1 t− 4¯¯ , b)
¯¯ t1 −1 −20 t− 2 20 0 t− 3
¯¯ , c)
¯¯ t− 1 0 1−2 t −10 0 t+ 1
¯¯ .
e)
¯¯ t− 1 2
3 t− 2¯¯ , f)
¯¯ t 45 t− 8
¯¯ , g)
¯¯ t− 1 0 1−2 t −10 0 t+ 1
¯¯ ,
h)
¯¯ t− 1 −1 −2
0 t− 2 20 0 t− 3
¯¯ i) ¯¯ t− 1 2
3 t− 2¯¯ j)
¯¯ t 45 t− 8
¯¯
2.- Calcule los siguientes determinantes:
a)
¯¯¯1 3 4 −12 2 0 00 −1 1 4−2 0 −1 2
¯¯¯ , b)
¯¯¯x y z 11 1 1 10 1 1 11 0 1 1
¯¯¯ , c)
¯¯¯
0 i −i 1 + ii 0 i −1−i i 0 i
1 + i −1 i 0
¯¯¯ .
3.- Calcule las sgtes determinantes:
a)
¯¯ 2 1 13 1 00 1 2
¯¯ ; b)
¯¯ 2 3 44 3 11 2 4
¯¯ ; c)
¯¯¯
2 1 −1 21 3 2 −3−1 2 1 −12 −3 −1 4
¯¯¯
4.- Pruebe que Ej(k) = Ej1E1(k)Ej1.
5.- Pruebe que Eij = Ei(−1)Eji(1)Eij(−1)Eji(1).6.- Demuestre que el determinante de una matriz triangular inferior L es igual al producto de suselementos en la diagonal principal.
7.- Compruebe que el det(A) = det(At)para la matriz general de 2x2.
8.- Demuestre que det(A) = det(At)
9.- Sea f cualquier funcion no-constante deMn(K) en K, tal quef(AB) = f(A)(f(B) ∀A,B ∈Mn(K) demuestre que:
a) f(I) = 1; b) f(Eij(k)) = 1, ∀k ∈ K; c) f(Eij) = ±1.10.- Demuestre que:
a)
¯¯ 1 a a2
1 b b2
1 c c2
¯¯ = (b− c)(c− a)(a− b)
16
b)
¯¯ 1 1 1a b ca3 b3 c3
¯¯ = (b− c)(c− a)(a− b)(a+ b+ c)
11.- Comprobar que: a) |A| =¯¯ 1 2 102 3 94 5 11
¯¯ = −4
b) Si B es la matriz que se obtiene de A al multiplicar los elementos de su segunda columnapor 5 hallar |B|
c) Demostrar que |A| =¯¯ 1 2 72 3 54 5 8
¯¯+
¯¯ 1 2 32 3 44 5 11
¯¯
d) Obtenga |D| =¯¯ 1 2 72 3 34 5 −1
¯¯ a partir de |A| restando el triple de los elementos de la primera
columna a los elementos correspondientes de la tercera columna.
12.- Utilice operaciones elementales por filas para evaluar el determinante de1 1 3 0 23 1 0 1 20 1 3 0 24 −2 3 1 05 1 0 0 6
.
13.- Suponga que
¯¯ a b cd e fg h i
¯¯ = S. Encuentre:
a)
¯¯ d e fg h ia b c
¯¯ , b)
¯¯ a+ d b+ e c+ f
d e fg h i
¯¯ , c)
¯¯ a b cd− 3a e− 3b f − 3c
2g 2h 2i
¯¯ .
14.- Pruebe que si A =
Ãa b0 c
!y B =
Ãα β0 γ
!,
entonces AB = BA ⇐⇒¯¯ b a− cβ α− γ
¯¯ = 0.
15.- Pruebe que: ¯¯ (a12 + a13) (a13 + a11) (a11 + a12)(a22 + a23) (a23 + a21) (a21 + a22)(a32 + a33) (a33 + a31) (a31 + a32)
¯¯ = 2
¯¯ a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
¯¯ .
16.- Para cada una de las siguientes proposiciones, de una demostracion o un contraejemplo:
a) det(A+B) = det(A) + det(B), b) det[(A+B)2] = [det(A+B)]2,
c) det[(A+B)2] = det(A2 + 2AB +B2), d) det[(A+B)2] = det[A2 +B2].
17.- a) Compruebe que se obtiene el mismo resultado si se desarrolla el determinante de la siguientematriz, con respecto a cualquier fila o con respecto a cualquier columna. 2 0 3
10 1 177 12 −4
.17
b) SI A = (aij) ∈M3(K), deduzca una expresion general para det(A), mediante el desarrollopor la segunda fila de A.
18.- Demuestre que si los elementos de una fila en un determinante son no nulos, entonces podemoshacerlos iguales, mediante multiplicaciones de filas y columnas.-
19.- Sea A ∈Mn(K), y k una constante cualquiera; demostrar que: |kA| = kn |A|
20.- a) Si A es antisimetrica de orden p, demuestre que:el det(A) = (−1)p det(A), y concluya que el det(A) = 0 si p es impar.b) Sean A y B matrices de orden n , demuestre que:si A es invertible , entonces det(B) = det(A−1BA).
21.- Una matriz de permutacion P ∈ Mn(K), es cualquier matriz de orden n que resulta depermutar ( es decir, reordenar) el orden de las filas de In. De modo mas preciso: Cada fila deP contiene exactamente un elemento diferente de cero, es decir 1; y cada columna de P contieneexactamente un elemento diferente de cero, es decir 1. Demuestre que det(P ) = ±1.
22.- La ecuacion de una linea recta en el plano tiene la forma ax+ by = c.Considere tres rectas, con ecuaciones :
aix+ biy = ci para i = 1, 2, 3
Demuestre que las tres rectas tienen un punto comun si y solo si el Det(A,B,C) = 0, dondeA, B, C son de orden 3x1 tal que ∀i, ai1 = ai, bi1 = bi, ci1 = ci.
23.- Demuestre que los tres puntos del plano (xi, yi), i = 1, 2, 3 en el plano, son colineales si ysolo si el determinante de la siguiente matriz es igual a cero: x1 y1 1
x2 y2 1x3 y3 1
.
24.- Demuestre que la ecuacion de la linea recta que pasa por los puntos (x1, y1) y (x2, y2) estadada por :
det
x y 1x1 y1 1x2 y2 1
= 0
25.- Considere el cırculo que pasa por los tres puntos no colineales (x1, y1), (x2, y2) y (x3, y3).Demuestre que la ecuacion de este cırculo es:
det
x2 + y2 x y 1x21 + y
21 x1 y1 1
x22 + y22 x2 y2 1
x23 + y23 x3 y3 1
= 0
26.- Demuestre que el area del triangulo con vertices (xi, yi), siendo i=1,2,3 numerados en sentidoinverso a las manecillas del reloj, es igual a 1
2det(A), donde
A =
x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1
.27.- Demuestre que :
a) det(An) = {det(A)}n , ∀ n ∈ Z+
18
b) Si A es no singular, entonces Det(A) = {Det(A)}n ∀ n ∈ Z..
28.- Demuestre que:
¯¯ a b ca0 b0 c0
a00b00c00
¯¯ = 1
abc
¯¯ 1 1 1a0bc b0ac c0aba00bc b
00ac c
00ab
¯¯
29.- Pruebe que:
a)
¯¯¯4 3 6 12 7 5 36 1 8 58 5 7 2
¯¯¯ =
1
3
¯¯¯1 1 1 13 14 5 189 2 8 3012 10 7 2
¯¯¯ ; b)
¯¯ 1 a2 a3
1 b2 b3
1 c2 c3
¯¯ =
¯¯ bc a a2
ca b b2
ab c c2
¯¯
30.- Sin calcular directamante demuestre que el
¯¯ b+ c c+ a b+ a
a b c1 1 1
¯¯ = 0
31.- Puebe que:
a) Si A2 = A, entonces A es singular o det(A) = 1. b) det(A) = det(A).
32.- Utilizando propiedades:
a) Demuestre que
¯¯ 1 α βγ1 β γα1 γ αβ
¯¯ =
¯¯ 1 α α2
1 β β2
1 γ γ2
¯¯ .
b) Exprese como producto de 4 factores
¯¯ a
3 b3 c3
a b c1 1 1
¯¯ .
33.- Demuestre las siguientes igualdades sin desarrollar las determinantes:
a)
¯¯ 1 1 1a b cbc ca ab
¯¯ =
¯¯ 1 1 1a b ca2 b2 c2
¯¯
b)
¯¯¯a2 a 1 bcdb2 b 1 acdc2 c 1 abdd2 d 1 abc
¯¯¯ =
¯¯¯a3 a2 a 1b3 b2 b 1c3 c2 c 1d3 d2 d 1
¯¯¯ = (a− b)(a− c)(a− d)(b− c)(b− d)(c− d)
34.- Hallar
a)
¯¯ 1 a b+ c1 b c+ a1 c a+ b
¯¯ ; b)
¯¯ 3 4 51 2 3−2 5 −4
¯¯ ; c)
¯¯ 2 3 −45 −6 34 2 −3
¯¯ ; d)
¯¯ 0 1 + i 1 + 2i1− 5i 0 2− 3i1− 2i 2 + 3i 0
¯¯ ;
e)
¯¯¯1 0 −1 22 3 2 −22 4 2 13 1 5 −3
¯¯¯ ;f)
¯¯¯1 2 3 4−1 1 2 31 −1 1 2−1 1 −1 1
¯¯¯ ; g)
¯¯¯1 2 3 41 3 6 101 4 10 201 5 15 35
¯¯¯ ; h)
¯¯¯0 1 1 11 0 a b1 a 0 c1 b c 0
¯¯¯ ;
i)
¯¯¯3 1 1 11 3 1 11 1 3 11 1 1 1
¯¯¯ ;j)
¯¯¯0 1 1 11 0 a2 b2
1 a2 0 c2
1 b2 c2 0
¯¯¯ ; k)
¯¯¯1 0 a a2
0 1 b b2
1 0 c c2
0 1 d d2
¯¯¯ ; l)
¯¯¯0 a b c−a 0 d e−b −c 0 f−d −e −f 0
¯¯¯ ;
m)
¯¯¯−4 1 1 1 11 −4 1 1 11 1 −4 1 11 1 1 −4 11 1 1 1 −4
¯¯¯ ; n)
¯¯¯−1 1 1 1 11 −1 1 1 11 1 −1 1 11 1 1 −1 11 1 1 1 −1
¯¯¯ ; o)
¯¯¯3 −2 1 6 05 −4 2 11 1−2 2 −1 −5 31 −6 3 10 4−7 7 −3 −16 2
¯¯¯ ;
19
p)
¯¯¯5 6 0 0 01 5 0 0 00 1 5 6 00 0 1 5 60 0 0 1 5
¯¯¯ ; q)
¯¯¯1 1 1 0 01 2 3 0 00 1 1 1 10 a b c d0 a2 b2 c2 d2
¯¯¯ ; r)
¯¯ 1 Cos(z) Cos(y)Cos(z) 1 Cos(x)Cos(y) Cos(x) 1
¯¯
35.- Determine los siguientes polinomios definidos por:
P(x) =
¯¯¯a x x xx b x xx x c xx x x d
¯¯¯ ; H(x) =
¯¯¯x a a aa x a aa a x aa a a x
¯¯¯ ; S(x) =
¯¯¯1 1 1 1x a a ax a a ax a a a
¯¯¯
36.- Exprese el polinomio P(x), como un producto de factores lineales:
P(x) =
¯¯ x+ 2 2x+ 3 3x+ 42x+ 3 3x+ 4 4x+ 53x+ 5 5x+ 8 10x+ 17
¯¯ ; P (x) =
¯¯¯x a b ca x c bb c x ac b a x
¯¯¯
37.- Evalue las siguientes determinantes:
a)
¯¯¯0 a b ca 0 c bb c 0 ac b a 0
¯¯¯ ; b)
¯¯¯x x x xx y y yx y z zx y z u
¯¯¯ ; c)
¯¯¯¯
1 2 3 4 ... n−1 0 3 4 ... n−1 −2 0 4 ... n−1 −2 −3 0 ... n... ... ... ... ... ...−1 −2 −3 −4 ... n
¯¯¯¯;
d)
¯¯¯¯
0 1 1 1 ... 11 a1 3 4 ... 01 −0 a2 4 ... 01 0 0 a3 ... 0... ... ... ... ... ...1 0 0 0 ... an
¯¯¯¯; e)
¯¯¯¯¯
a 0 0 0 ... 0 0 b0 a 0 0 ... 0 b 00 0 a 0 ... b 0 00 0 0 a ... 0 0 0... ... ... ... ... ... ... ...0 0 b 0 ... a 0 00 b 0 0 ... 0 a 0b 0 0 0 ... 0 0 a
¯¯¯¯¯(2nx2n)
f)
¯¯¯¯¯
1 2 3 4 5 6 ... n1 1 2 3 4 5 ... n− 11 x 1 2 3 4 ... n− 21 x x 1 2 3 ... n− 31 x x x 1 2 ... n− 41 x x x x 1 ... n− 5... ... ... ... ... ... ... .......1 x x x x x ... 1
¯¯¯¯¯
38.- Considere la matriz en bloques diagonales A = diag(A11, . . . , Arr):A11 0 · · · 00 A22 · · · 0
· · ·0 0 · · · Arr
,
donde los bloques diagonales Aii no necesariamente deben ser cuadrados. Demuestre que A tieneuna inversa derecha D si y solo si todos los bloques Aii tienen inversas derechas Dii.Lo mismopara inversas izquierdas y bilateras.
20
39.- Defina dp como el determinante de la matriz Ap tal que:
[Ap]ij =
ai si j = i1 si j = i− 11 si j = i+ 10 en otro caso
Demuestre que para p ≥ 3 : dp = apdp−1 − dp−2.
40.- Demuestre que el determinante de Vandermonde V (x1, x2, · · · , xp) es igual al producto detodos los terminos de la forma (xj − xi), para i < j, esto es,
V (x1, x2, · · · , xp) = Det
1 x1 x21 · · · xp−11
1 x2 x22 · · · xp−12
· · ·1 xp x2p · · · xp−1p
=Yi<j
(xj − xi).
41.- Resuelva las siguientes ecuaciones :¯¯¯¯¯
1 x x2 x3 x4 x5 ... xn−1
1 a1 a21 a31 a41 a51 ... an−11
1 a2 a22 a32 a42 a52 ... an−12
1 a3 a23 a33 a43 a53 ... an−13
1 a4 a24 a34 a44 a54 ... an−14
...... ... ... ... ... ... ... ...1 an−1 a2n−1 a3n−1 a4n−1 a5n−1 ... an−1n−1
¯¯¯¯¯= 0 ;
¯¯¯¯¯
1 1 1 1 1 1 ... 11 1− x 1 1 1 1 ... 11 1 2− x 1 1 1 ... 11 1 1 3− x 1 1 ... 11 1 1 1 4− x 1 ... 1...... ... ... ... ... ... ... ...1 1 1 1 1 1 ... (n− 1)− x
¯¯¯¯¯= 0
42.- Dada la matriz A =
−1 3 23 1 −1−2 2 −1
, evaluar:
a) Los menores M11, M13, M22, M31, M33.
b) Los cofactores A12, A21, A23, A32.
c) El determinante de A.
43.- Usando Adjunta, calcule A−1, si:
a) A =
0 6 08 6 83 2 2
, b) A =
1 1 1k r ek2 r2 e2
, c) A =
1 3 1 12 5 2 21 3 8 91 3 2 2
.
44.- Demuestre que si A es invertible entonces la Adj(A) tambien lo es.
21
45.- Si A =
1 3 −5 70 1 2 −30 −1 1 22 0 0 1
a) Encuentre la adjunta de A
b) Encuentre A ·Adj(A) y |Adj(A)|c) Encuentre A−1 si es que existe
46.- Demuestre que :
a) det(An) = {det(A)}n , ∀ n ∈ Z+b) Si A es no singular, entonces Det(A) = {Det(A)}n ∀ n ∈ Z..
47.- Encuentre Adj(A) y A·Adj(A) si 4 5 61 2 37 8 9
.48.- Demuestre que si A es singular, entonces A · Adj(A) = 0, y que Adj(A) · A = 0; de unejemplo de una matriz A singular que tenga Adj(A) 6 =0.
49.- Usar la adjunta para encontrar la inversa, si existe, de cada una de las siguientes matrices:
a)
Ã4 2−1 3
!, b)
2 1 1−1 0 31 2 0
, c) 2 −1 0−1 2 −10 −1 2
.50 .- De un ejemplo de una matriz A tal que la Adj(A) = 0.
22
Capıtulo 5
Sistemas de Ecuaciones Lineales.
1.- Defina y de un ejemplo de:
a) Sistema de Ecuaciones Lineales (S.E.L.)b) Sistema de Ecuaciones Lineales Homogeneo (S.E.L.H.)c) Sistemas Inconsistentes.d) Solucion de un S.E.L.
2.- Exprese el siguiente S.E.L. como una representacion matricial y senale su matriz de coefi-cientes.
4a+ 9b = 83a+ c = −16b+ 6c = −1
3.- Exprese los siguientes sistemas en una representacion matricial y resuelvalos
a)2x+ 3y + z = 9x+ 2y + 3z = 63x+ y + 2z = 8
b)x1 + x2 − 2x3 + x4 + 3x5 = 12x1 − x2 + 2x3 + 2x4 + 6x5 = 23x1 + 2x2 − 4x3 + 3x4 − 9x5 = 3
c)
4x+ 2y = −1x+ y = −13x+ y = 0x+ 3y = 4
d)5ax− 2by = 3ab2a2x1 + 3aby = 5a2b
%
e)x1 + x2 + 2x3 + x4 = 52x1 + 3x2 − x3 − 2x4 = 24x1 + 5x2 + 3x3 = 7
f)
12x+ 2
3y − 3
4z = −8
14x+ 1
2y + 1
8z = −1
23x+ 5
6y + 1
4z = 3
g)
4x1 + 2x2 + 5x3 + 7x4 + x5 = 82x1 + 3x2 + 4x3 + 5x4 + 6x5 = 3x1 + 4x2 + x3 + x4 + 5x5 = 43x1 + 9x2 + 7x3 + x4 + 8x5 = 167x1 + x2 + x3 + 6x4 + x5 = 9
h)
x+ 2y + z = 53x+ z + 2u = 94x− y − z + u = −5−y − z + u = 7
i)
3x− 2y + 4z = 3x+ 4y − 2z = 1x− y = 1y + z = 0
j)
r − 3s+ 3t− 2u = 4r + 2s− t = −3r + 3t+ 2u = 3s+ t+ 5u = 6
4.- Dado el S.E.L.
3x1 + 5x2 + 12x3 − x4 = −3x1 + x2 + 4x3 − x4 = −62x2 + 2x3 + x4 = 5
i) Discuta la solucion del sistema
23
ii) Agregue la ecuacion 2x3+ kx4 = 9 a este sistema y encuentre un valor de k, de modo queeste sistema sea inconsistente.
5.- Para cada uno de los casos encuentre un S.E.L.H. (Sist. de Ecuac. Lin. Hom. )Axt = 6 0 de modo que :i) u = (1,0,0); v = (0,1,0); w = (0,0,1)
ii) u = (1,1)
iii) u = (1,1,0); v = (0,1,1)
iv) u = (0,0,1,1); v = (-1,1,8,6)
v) u = (1,2,3); v = (7,3,-1)
sean soluciones del S.E.L.
6.- Si A =
6 −4 04 −2 0−1 0 3
hallar todas las soluciones de AX = 3X y todas las soluciones
de AX = 2X, donde X = (x,y,z)t
7.- Discutir segun los valores de a, b, c,λ, la existencia y los valores de las soluciones de lossiguientes sistemas lineales.:
a)ax+ y + z = 0x+ ay + z = 0x+ y + az = 0
; b) λx− y + z = ax+ y − 2z = bx− y + z = c
c)2x− y − 3z = 33x+ y − 5z = 04x− y + z = ax+ 3y − 13z = b
8.- Calcular el valor de λ de modo que el sistema tenga infinitas soluciones :
x− y + 2z = 1λx+ y − z = 02x+ y − 3z = −1
9.- En el siguiente S.E.L.H.
mx+ y − z = 02x+my + z = 0y +mz = 0
a) ?‘Cual es el determinante principal ?
b) Determine m tal que:i) el sistema sea inconsistente.ii) el sistema tenga solucion unica . En tal caso encuentrelaiii) el sistema tenga varias soluciones . En talcaso determınelas.
10.- Dado el sistema :x− y + (4a2 + 1)z = by + (3− a)z = 0
2x− y + (7− a)z = −2
con a,b ∈ IR
Hallar condiciones de tal manera que el sistema :
a) Tenga solucion unica ; b) no tenga solucion
c) tenga varias soluciones; d) Para el caso c) hallar las soluciones en funcion de a y b yencuentre dos ejemplos numericos de soluciones.
11.- Encuentre a,b,c, tal que (1,2,3) sea solucion del sistema:
a+ 3by + 4cz = 5x+ 3cy + 4bz = 6x+ y + 5cz = 7
24
12.- Encuentre el conjunto solucion del sistema:−x− 2y + z + 2u− 3w = −1x+ 2y + u+ 2w = 4
3x+ 6y + 3u+ v + 5w = 14−2x− 4y − 2u− 4w = −8
13.- Hallar los valores para a, b, c ( no nulos) de modo que el sistema siguiente tenga infinitas
soluciones:ax+ by + z = abx− y + z = by + z = c
14.- Encuentre los valores de λ para que el sistema
(λ+ 1)x+ 2λy + 2λz = 12x+ (λ+ 1)y + 2z = 1
y + z = 1
a) Tenga infinitas solucionesb) tenga solucion unicac) no tenga soluciones15.-Encuentre los valores de λ para que el sistema
(1− λ)x+ λz = 12x+ (1− λy + λz = 1x+ (1− λ)y = 1
a) Tenga infinitas solucionesb) tenga solucion unicac) no tenga soluciones
12.- Use el metodo de Cramer , si es posible, para resolver el sistema:
x1 − x2 + x3 = 7−x1 + 2x2 − x3 = 12x1 − x2 + x3 = 0
Espacios Vectoriales, subespacios, dependencia lineal, bases de un e.v.
13.- Sea V= {(x, y) ∈ IR2 / x, y ∈ IR+}; ∀(x, y), (u, v) ∈ V y ∀λ ∈ IR se definen lassiguientes leyes:(x, y) + (u, v) = (xu, yv); λ(x, y) = (xλ, yλ) (∗)Analice si V es un e.v. sobre IR con respecto a las leyes definidas en (*).
14.- En IR2 se definen las leyes :(x, y) + (u, v) = (x+ u, y + v); λ(x, y) = (5λx, 5λy) ∀λ ∈ IR
¿ Es IR2 un e.v. sobre IR con respecto a estas leyes ? justifique.
15.- Sea K[x] = {p(x) / p(x) es un polinomio con coeficentes en K. }, K cuerpo. Demuestre queK[x] es un e.v. sobre K con respecto alas leyes usuales de adicion de polinomios y multiplicacionde un escalar por un polinomio.-
16.- a) Sea Pn[x] = {p(x) ∈ IR[x] / grad(p(x)) ≤ n}, pruebe que Pn[x] es un e.v. sobre IR, conlas leyes usuales de adicion y multiplicacion escalar de polinomios .-
b) Sea F([0, 1], IR) = {f / f : [0, 1] −→ IR }, pruebe que F([0, 1], IR) es un e.v. sobre IR, conlas leyes usuales de adicion y multiplicacion escalar de funciones reales .-
17.- a) ¿ Que entiende por Subespacio vectorial ?; b) ¿ Es el espacio definido en 13.-, unsubespacio de IR2 ? c) ¿ Existe una condicion necesaria y suficiente, para determinar si unsubconjunto A de un e.v. V, es o no es un subespacio de V ?. Enunciela si es que existe.
18.- Sean V un e.v. sobre K , u ∈ V ; λ,α ∈ K, −→0 ∈ V
25
Demuestre que : i) λ−→0 =
−→0 ; 0u =
−→0 ii) Sı λ 6= 0 y λu = −→0 entonces u = −→0
iii) Sı λ 6= α y λu = αu, entonces u =−→0
19.- Cuales de los sgtes. conjuntos son subespacios de los e.v. que se indican en cada caso?.-i) W1 = {(x, y) ∈ IR2 / y = x+ 1} de V = IR2 sobre IRii) W2 = {f ∈ F([0, 1], IR) / f(0) = 0} de V = F([0, 1], IR) sobre IRiii) W3 = {(x1, x2, x3, ..., xn) ∈ IRn / x1x2 > 0} de V = IRn sobre IRiv) W4 = {(x1, x2, x3, ..., xn) ∈ IRn / x1xn = 0} de V = IRn sobre IR
20.- Sea V =Mn(IR), el e.v. de las matrices cuadradas de orden n, con las leyes usuales. ¿Cuales de los sgtes. conjuntos son subespacios deMn(IR) ?W1 = {A ∈ V / A es invertible}; W2 = {A ∈ V / A es Simetrica}W3 = {A ∈ V / AB = BA, B es fija}; W4 = {A ∈ V / A es singular}
21.- ¿ Cuales de los sgtes. subconjuntos de IR3 son subespacios el ?W1 = {(x, y, z) ∈ IR3 / x− 2y = 5}; W2 = {(x, y, z) ∈ IR2 / x2 + y2 = 25}W3 = {(x, y, z) ∈ IR3 / ex+y + ez = 5}; W4 = {(x, y, z) ∈ IR3 / 2x+ 3y + z = 0}W5 = {(x, y, z) ∈ IR3 / Senx = 0}; W6 = {(x, y, z) ∈ IR3 / x, y, x ∈ QI}22.- Sea V un e.v. sobre K y seanW1,W2 subespacios de V, se define
el conjunto Suma de W1 y de W2 de la siguiente manera:W1 +W2 = {v1 + v2 / v1 ∈W1, v2 ∈W2}
demuestre que W1 +W2 es un subespacio de V.-
23.- i) Sea A = {(1, 0,−1), (0, 1,−1), (1, 1− 2)} ⊆ IR3 ?‘ Es (1,3,8) una combinacion lineal delos vectores de A ?, ¿ Por que ?.-
ii) Sean v1 = (−1, 0, 2), v2 = (−1, 2, 4) determine si los vectores u = (−1, 1, 3), yv = (1, 2, 2) son combinaciones lineales de v1 y v2.−
iii) ¿ Para que valor de k el vector (1,−3, k+12) ∈ IR3 es una combinacion lineal de (1,2,3)y (2,-1,-5) ?
24.-Muestre que los vectores (1,2,3) , (0,1,2) y (0,0,1) generan a IR3
25.- En IR4 ¿ (2, 14,−13, 7) ∈< {(1, 4,−5, 4), (1, 23, 1, 0)} >?
26.-Determine si los polinomios x2−x+3; x−5; y 4x3−3x+5 pertenecen a los subespaciosU =< {x3 + 2x2 + 1, x3 + x} > y W =< {x3 + 2x2 + 1, x3 + x, x2 − 2} >
27.- Sean B = (−4 − 8 1 − 8 0) ∈M1x5(IR) y A =
1 2 0 3 00 0 1 4 00 0 0 0 1
¿ B ∈ F(A) ?28.- Sean v1, v2, v3, v4 ∈ V con v3 + v1 + 2v2 + v3 + v4 = 0Demuestre que:Sı < {v1, v2, v3, v4} >= V entonces < {v1, v2, v3} >= V
29.- Demuestre que los vectores (1,1,1,0) y (2,1,0,1) generan el subespacio de las solucionesdel S.E.L.H.: 3x− 2y − z − 4w = 0 ; x+ y − 2z − 3w = 0
30.- Sean A = {(1, 0,−1), (1, 1, 0), (0, 1, 1)}; B = {(2, 1,−1), (1, 2, 1)} yC = {(2, 1,−1), (1,−1, 0)} Pruebe que <A> = <B> y <C> = <A>
31.- Sea V un e.v. sobre K y A ⊆ V ; B ⊆ V ;W ⊆E.V
V .
demuestre que : i) Sı A ⊆ B entonces <A> ⊆ <B>ii) Sı <A> = V y A ⊆ W entonces W = V
32.- Sı V es un e.v. y S1, S2 subespacios de V, demuestre que: S1 + S2 = <S1 ∪ S2 >
33.- Determine si los vectores (1,0,1,0), (0,2,-1,3) y (1,4,2,-1) son l.i. o l.d. ¿
26
Se puede expresar (1,2,3,4), como una combinacion lineal de estos vectores ? .-
34.- Sean A =
Ã2 −810 6
!, B =
Ã1 −12 −3
!y C =
Ã0 2−2 4
!determine si {A, B, C} es
un conjunto l.d. -
35.- En el espacio P3[t] determine si 1 + t2; t2; 1; 3 + t3 son l.d.
36.- En el espacio F(IR) de las funciones reales de IR en IR,pruebe que los siguientes conjuntos{f, g, h} son l.i. donde:i) f(x) = e2x, g(x) = x2, h(x) = x ; ii) f(x) = Senx, g(x) = Cosx, h(x) = x
37.- En IR2 ¿Que condiciones debe cumplir t para que {(1+t,1-t), (1-t,1+t)} sea l.d. ?38.- En el espacioMn(IR), si A 6= 0 es un matriz simetrica yB 6= 0 es una matriz antisimetrica,
demuestre que A y B son l.i.-
39.- Sea {u1, u2, u3} l.i. , pruebe que {u1 + u2, u2 + u3, u1 + u3}es l.i.
40.- Sea {u+ v, u+ w,w + v} l.i., pruebe que {u, v, w}es l.i.
41.- Sean u,v,w vectores l.i. demuestre que u+v, u-v, y u-2v+w son l.i.-
42.- Mostrar que {(1,1,1), (1,-1,1), (2,0,3)} es una base de IR3
43.,- Analice si { 1, x-1, (x-1)2 } es una base de P3[x]
44.- Encuentre una base ( distinta a la base canonica ) paraM3(IR)
45.- Determine un vector u ∈ IR3 tal que u, v, w ∈ IR3 forman una base de IR3,donde v = (1, 0, 2), y w = (0, 1, 1).−
46.- Encontrar una base para el espacio de las soluciones del sistema :x+ y + z = 0 ; x+ 2y + 3z = 0
47.- Dados los subespacios de IR4, S1 = {(x, y, z, t) / x− t = 0} yS2 = {(x, y, z, t) / x+ y − t = 0, x− z + 2t = 0},determine bases para los subespacios: S1; S2; S1 ∩ S2; S1 + S2
48.- Sı {u, v, w} es una base de un e.v. sobre IR,demuestre que (1 + t)u+ (1 + t2)v + (1 + t3)w 6= 0, ∀t ∈ IR
49.- Hallar una base de IR4 respecto a la cual el vector (-3,1,2,1)tenga las coordenadas 1,1,1, y 1 .-
50.- Sean x = (1 1 2 4), y = (1− 1− 4 0), u = (2 1 1 6), y v = (2 − 1 − 5 2).Sea V =< {x, y, u, v} > encuentre una matriz A tal que V = F(A) luego aplicandoOperaciones Elementales por Filas sobre A, encuentre una base de V.-
51.- Sea B = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0)} una base de IR3 sea v = (2, 4, 5)encuentre la matriz de coordenada [v]B .
52.- Sea P2[t] y sea B = {3 + 2t− t2, −4 + 3t+ 2t2, 5 + t2} encuentre:[1]B, [t]B, [t
2 − 2]B53.- Sean v = (0,−5,−6) ; B1 = {(2, 3, 2), (7, 10, 6), (6, 10, 7)} yB2 = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0)}demuestre que B1 y B2 son bases de IR3 y encuentre[v]B1 y [v]B2.−
54.- Sea B = {u1, u2, u3} Una base del e.v. V y sean w1 = 2u1 − u2 − 2u3;w2 = u1 + 2u2 − u3 y v = 4u1 − 7u2 − 4u3;Encuentre dimIR(< {w1, w2} >), > v ∈< {w1, w2} > ?
27
55.- Hallar la dimension del subespacio generado por el conjunto{1, sen2x, senx, cos2 x }
56.- Sean U =
(Ãx −xy z
!/ x, y, z ∈ IR
)U =
(Ãa b−a c
!/ a, b, c ∈ IR
),
subespacios deM2(IR),encuentre las dimensiones de U , W , U ∩W y < U ∪W >
57.- Encuentre una base de IR4 de tal manera que una parte de ella sea base del subespacio< {(2,−2, 3, 1), (−1, 4, 6,−2)} > .−
58.- En IR4 se consideran los vectores (1, 4− 1, 0), (6, 10, 1, 0) y (2, 2, 1, 1).Encuentre un cuarto vector, para completar una base de IR4.−
59.- i) En IR5 sea B = {(1, 1, 1, 0,−1), (0, 1,−1, 3, 0)}encuentre una base B1 de IR
5 tal que B ⊆ B1.−ii) En IR3 sea G = {(1, 1, 0), (1, 2, 3), (4, 2, 1), (1, 1, 1), (1, 4, 3)}encuentre una base B de IR3 tal que B ⊆ G.−
28
Capıtulo 6
Transformaciones Lineales
1.- Indique cuales de las siguientes funciones son transformaciones lineales (T. L.).Justifique su respuesta.
a) L: IR2 −→ IR3, L(x, y) = (x− y, x+ y, xy)b) L: IR3 −→ IR3, L(x, y, z) = (−z, x− y,−y + 2z)c) L: IR3 −→ IR3, L(x, y, z) = (Cosx,Cosy, cosz)d) L: IR3 −→ IR3, L(x, y, z) = (3x− y, x− y, 3z + 8y)e) L: P1[x] −→ P2[x], L(p(x)) = xp(x) + p(0)f) L:M3(IR) −→M3(IR), L(X) = AX −XA, A matriz fijag) L:Mn(IR) −→Mn(IR), L(X) =
X+Xt
2
2.- Demuestre que las siguientes funciones son T. L.:
a) L: IR2 −→ IR2, L(x, y) = (x,−y)b) L:M2x1(IR) :−→M2x1(IR), L(
Ãxy
!) =
ÃCosα −SenαSenα Cosα
!Ãxy
!; α ∈ [0, π
2]
c) L: IR2 −→ IR2, L(x, y) = (-x, y)d) L: IR2 −→ IR2, L(x, y) = k(x, y); k > 0e) L: IR2 −→ IR2, L(x, y) = (-x, -y)
3.- Dadas las siguientes T. L. del plano
i) L(x,y) = (-x, -y) ; ii) L(x,y) = (3x,-5y, 2x-3y) ; iii) L(x,y) (x+2y, 3x+6y) yel cuadrado de vertices en (0,0), (2,0), (2,2), (0,2).
a) Determinar el grafico de las imagenes de dicho cuadrado bajo cada una de las T.L. dadas.b) Calcule el area del cuadrado dado y las areas de las imagenes.¿ Que relacion existe entre estas cantidades ?.
4.- Encuentre una transformacion lineal L: IR2 −→ IR3, de modo que:L(1,0) = (7,1,-5), L(0,1) = (-1,2,3)
5.- Sea C1(]− 1, 1[) el e.v. sobre IR de las funciones contınuas derivables en ]-1, 1[, determinesi T definida en C1(] − 1, 1[) por T(f(x)) = xf’(x) ∀x ∈] − 1, 1[ , es una T. L.. en caso de serlodetermine Ker(T) e Im(T).
6.- Describa una T. L. F: IR2 −→ IR3 tal que la Im(F)sea generado por { (1,0,-1), (1,2,2) }.7.- Sean V y W e.v. sobre K, LK(V,W ) = {L / L : V −→W, es una T. L. },se definen ∀ L, T ∈ LK(V,W ), ∀α ∈ K las leyes L+ T , αT ; como:(L+T)(v) = L(v)+T(v) y L(αv) = αL(v) ∀v ∈ Vdemuestre que LK(V,W ) es un e.v. sobre K
29
8.- Sea T :M2(IR) −→M2(IR) tal que T (A) = BA donde B =
Ã1 −1−4 4
!a) Determine dimension de Ker(T ), Im(T )b) Encuentre T ◦ T9.- Dadas las siguientes T. L.:i) L: IR2 −→ IR3, L(x, y) = (x, x-y,3x+8y)ii) L: IR4 −→ IR4, L(x, y, z,u) = (3x-y, z-u,3z+8y,x+z)iii) L: P2[x] −→ P3[x] , L(p(x)) = x
2p’(x) donde p’(x) indica la derivada de p(x)
iv) L:M5x1(IR) :−→M4x1(IR), tal que L(
x1x2x3x4x5
) =1 0 −1 3 −11 0 0 2 −12 0 −1 5 −10 0 −1 1 0
x1x2x3x4x5
v) L: P2[x] −→ IR ; L(p(x)=
R 10 p(x)dx
vi) L: M3(IR) −→M3(IR) , L(X) = AX −XA , A ∈M3(IR), fijaa)Determine el nucleo y la imagen de cada una de ellas,b)Encuentre la dimension del Nucleo y de la imagen indicando una base .
10.- Verifique que dim(V) = dim(Ker(T)) + dim(Im(T)) para los casos del ejercicio 9.-
11.- Sea T : IR3 −→ IR3 tal que T(x,y,z) =
1 3 4
3 4 7−2 2 0
xyz
t
Demuestre que el Nucleo de T es una recta que pasa por el origen, escriba sus ecuacionesparametricas.
12.- Sea T : IR3 −→ IR3 una T. L.
a) Si dim(Ker(T)) = 2, ¿Cual es la dim(Im(T))?b) Si dim(Im(T)) =3, ¿Cual es la dim(Ker(T))?c) ¿Puede ser T biyectiva?
13.- Sea L(x,y,z) = (x+y+z, y+2z, x+2y+2z), demuestre que L es un isomorfismo y encuentreL−1.14.- Sean L y T transformaciones lineales en IR3 , tales que:L(x, y, z) = (z, x, y); T (x, y, z) = x, x+ y, x+ y + z)
a) Determine L ◦ T ; T ◦ L; L ◦ T ◦ L ◦ L; T ◦ T ; L ◦ T ◦ L ◦ T.b) Demuestre que L y T son invertibles, halle: L−1, T−1; (L ◦ T )−1
15.- En las T. L. dadas en los ejercicios 2.- y 3.- determine cuales son isomorfismos y cuandocorresponda encuentre su inversa.
16.-. Sea T : IR3 −→ IR3 definida por T (1, 0, 0) = (1, 2, 3); T (0, 1, 0) = (0, 1, 1);T (0, 0, 1) = (1, 1, 0). determine:
a) T (x, y, z); b) Ker(T ); c) Im(T ); y d) T−1 si es que existe.
17.- Determine una transformacion lineal T : IR2 −→ IR3 de modo que:
T(1,-1) = (7,1,-5); T(5,1) = (-1,2,3)
18.- Determine una transformacion lineal T : IR2 −→ IR3 de modo que:S = { (1,-1,2), (3,1,-1) } sea una base de Im(T)19.- a)Demuestre que {t2 + t, t+ 1, 1} es una base de P2[t]b) Encuentre L(p(t)) , sabiendo que :L(t2 + t) = 3t2 − 2t; L(t+ 1) = 5t2 + 2t; L(1) = t− 7c) Encuentre Ker(L) e Im(L)
30
20.- Sean V un e.v. tal que dim(V) = 2 y {e1, e2} una base de Vsea T: V −→ V , una T. L. tal queT (e1 + e2) = 3e1 + 9e2 y T (3e1 + e2) = 7e1 + 23e2a) Calcule T (e1 − e2).b) Determine dim(Ker(T)) y dim(Im(T))
21.- Sean L(x,y) = (x+2y, 2x-y), E la base canonica de IR2 y B = { (-1,2), (2,0) }determine la representacion matricial de L respecto de la base:a) E a E ; b) E a B ; c) B a E ; d) B a B
22.- Sea L: IR3 −→ IR3, tal que [L]EE =
1 3 11 2 00 1 1
; donde E es la base canonica.Encuentre L(1, 2, 3) y L(0, 1, 1)
23.- Sea T: P1[x] −→ P2[x] , L(p(x)) = xp(x) + p(0), considere las basesB = {x− 5, −1} S = {x2 + 1, x− 1, x+ 1}; Encuentre [T]SB
24.- Determine la matriza standard ( con respecto a las bases caonicas ) de cada una de lassiguientes T. L.
a) T(x,y) = (2x-y,x+y); b) T(x,y,z) = (x+2y+z, x+5y, z)c) T(x,y,z,u) = (u,x,z,x+y-z)
25.- Determine la representacion matricial de L y L−1 con respecto a las bases canonicas decada una de las T. L de los ejercicios 2 y 3.
26.- Demuestre que la representacion matricial de la T. L. identica en un e.v. V, no dependede la base escogida.
27.- Dada la T. L. F : IR3 −→ IR4, F (x, y, z) = (x− y − 2z, 2x + y + 7z,−y, 3x − 2y + 4z)determine:
a) Ker(F), Im (F), e indique una base y la dimension para cada uno de estos subespacios.b) [F]EB, donde S = { (1,-1,1), (2,1,3), (-1,2,-1) } es base de IR3 y E es la base canonica de IR4.28.- Sean F (x, y, z) = (x+ 2y, y + 2z, x− z), T (x, y, z) = (x− y + z, x+ y, 3x− y + 2z)a) Encuentre F ◦ T, T ◦ F ; T 2; F 2
b) Determine la representacion matricial de F y L con respecto a las bases canonicas de IR3
c) Determine la representacion matricial de las T. L. encontradas en a) con respecto a las basescanonicas de IR3.
29.- Sea T una T. L. en IR3 cuya representacion matricial con respecto a la base canonica E
esta dada por [T]EE =
−17 12 18−16 −9 −24−5 −4 −4
,determine [T]BB, donde B = { (10,-8,-3), (-3,3,1), (-3,2,1) }
30.- Sea T :M2(IR) −→M2(IR) tal que T (X) = AX - XA donde A =
Ã1 23 4
!,
a) Encuentre Ker(T)b) Encuentre [T]ES ; [T]
SS; [T]
SE, donde E y B son las bases:
E = {Ã1 00 0
!,
Ã0 10 0
!,
Ã0 01 0
!,
Ã0 00 1
!};
B = {Ã1 00 1
!,
Ã1 10 0
!,
Ã1 01 0
!,
Ã0 10 1
!}
31.- Sea V el e.v. generado por B = { Cosx, Senx } y sea
31
F : V −→ V, tal que T (f(x)) = f 0(x), donde f’ es la derivada de f
a) Demuestre que B1 = { 2Senx+Cosx, 3Cosx } es base de Vb) Encuentre [T]B1B ; [T]
BB1; [T]
B1B1
c) Encuentre la matriz de coordenadas de h(x) = 2Senx -5Cosx, con respecto a la base Bc) Encuentre la matriza cambio de base de B a B1 para obtener [h(x)]B1
32.- Sean D: P2[x] −→ P2[x] , D(p(x)) = p”(x) - 2p’(x) + p(x), donde p” y p’ representan lasegunda y primera derivada del polinomio p respectivamente yB = {1, x, x+ 1}; B1 = {x2 + 2x− 1, x− 1,−3}:a) Encuentre la matriz cambio de base de B a B1b) Encuentre [D]B1B1c) Usando a) y b) encuentre [D]BB
33.- Sea L(x,y,z ) = (3x+5y, x+3y-7z)a) Si B1 = { (1,0,0), (2,2,0), (3,3,3) } y C1 = { (-1,4), (-1,3) }, encuentre [L]C1B1b) Si B2 = { (1,2,3), (-4,5,6), (7,-8,9) } y C2 = { (2,3, (-1,2) }, encuentre [L]C2B2c) Demuestre que [L]C1B1 y [L]C2B2 son semejantesindicando las matrices P y Q tal que [L]C2B2 = P [L]
C1B1Q.
d) ¿Existe alguna relacion entre P y Q?
32
Capıtulo 7
Valores-Vectores Propios
1.- Sea L : IR3 −→ IR3, L(x, y, z) = (x + y - z, x-y-z, -y+2z)encuentre los valores propios de L.
2.- Sea L :M2(IR) −→M2(IR) , L(X) = AX - XA , A =
Ã1 23 4
!encuentre los valores propios de L y sus vectores propios asociados.
3.- Dadas las siguientes T. L.
a) L: IR2 −→ IR2, L(x, y) = (x, -y) ( Simetrıa respecto al eje x )b) L: IR2 −→ IR2, L(x, y) = (-x, y) ( Simetrıa respecto al eje y )c) L: IR2 −→ IR2, L(x, y) = k(x, y); k > 0 ( Homotecia )d) L: IR2 −→ IR2, L(x, y) = (-x, -y)( L es rotacion de los ejes en π rad. en sentido contrario a las agujas del reloj)
e) L:M2x1(IR) :−→M2x1(IR), L(
Ãxy
!) =
ÃCosα −SenαSenα Cosα
!Ãxy
!; α ∈ [0,π
2]
f) L: P2[x] −→ P2[x], L(ax2 + bx+ c) = (2a+ b+ c)x2 + (2c− 3b)x+ 4c
g) L: P2[x] −→ P2[x], L(ax2 + bx+ c) = (a+ 2b)x2 + (b+ 8c)x+ (5a+ 6b+ 2c)
Para cada una de ellas determine:i) Valores propios
ii) Vectores propios asociados a los valores propiosiii) Indique los subespacios propios ( o invariantes ) del e.v.iv) Encuentre, si es que existe, una base de vectores propios.
3.- Determine si las transformaciones lineales dadas son o no diagonalizables,en caso de serlo, indique la matriz diagonal y la base para tal representacion.
a) L(x,y,z) = (x, x+y, x+y+z)b) L(x,y,z) = (xCosα-ySenα, zSenα+xCosα, z) , α constante real.
4.- Sea T : IR3 −→ IR3, tal que [T]BB =
5 −6 −6−1 4 23 −6 −4
, dondeB = {(1,1,1), (1,1,0), (0,1,1) } es base de IR3. ¿es T diagonalizable? justifique.5.- Para cada una de las sgtes. matrices, encuentre los valores propios y todos los
vectores propios linealmente independiente como sea posible:Ã2 45 3
!;
Ã12 22 −2
!;
Ã2 −23 −2
!;
1 3 43 4 7−2 2 0
; 4 9 00 −2 80 0 7
; 7 4 −4
4 −8 −1−4 −1 −8
; 1 2 1
0 1 2−1 3 2
; 4 −1 30 2 10 0 3
; 3 2 2
1 4 1−2 −4 −1
6.- Para cada una de las sgtes matrices
33
Ã1 12 4
!;
Ã2 45 3
!;
Ã0 −12 3
!;
Ã2 1−1 4
!;
2 −2 30 3 −22 1 2
; 2 −2 30 3 −22 1 2
; 1 1 −24 0 41 −1 4
; 1 2 30 −1 20 0 2
; 2 −2 30 3 −22 1 2
; 4 2 3
2 1 2−1 −2 0
; 3 −2 10 2 00 0 0
; 0 0 00 0 05 0 1
;−2 0 0 00 −2 0 00 0 3 00 0 0 3
a) Encuentre el polinomio caracterıstico, los valores propios, los vectores propios.b) Determine si son diagonalizables en caso de serlo encuentre: una base de vectores propios,
la matriz diagonal D semejante a la matriz dada, la matriz cambio de base P y verifique que :D = P−1AP
7.- Sea A =
6 −3 −24 −1 −210 −5 −3
¿Es A semejante a alguna matriz diagonal D ∈M3(IR)?
¿Existe una matriz diagonal D ∈M3(CI)?
8.- Determine condiciones necesarias y suficientes para que A =
Ãa bc d
!, sea diagonalizable.
9.- Pruebe que A y At tienen los mismos valores propios. ¿Que puede decir acerca de losvectores propios?
10.- Si
¯¯ a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3
¯¯ = 8, calcule
¯¯ a1 + 2b1 − 3c1 a2 + 2b2 − 3c2 a3 + 2b3 − 3c3
b1 b2 b3c1 c2 c3
¯¯
11.- Resuelva la ecuacion¯¯ t− 1 0 1−2 t+ 2 −10 0 t+ 1
¯¯ =
¯¯ 1 −1 2
56
−13
−112−2 0 3
¯¯
12.- Sea A ∈Mn(K), pruebe que:
a) Si λ es valor propio de A entonces λn es valor propio de An
b) Si p(x) ∈ K[x] y λ es un valor propio de A entonces p(λ) es valor propio de p(A).c) Si A es diagonalizable entonces An, n ∈ IN es diagonalizable.d) Si A es diagonalizable entonces At es diagonalizablee) Si A es invertible y λ es un valor propio de A, entonces λ−1 es valor propio de A−1.
f) Si A es semejante con B entoncs A y B tienen los mismos valores propios.
13.- Sean A,B ∈ Mn(K) , con A no-singular, demuestre que AB y BA tienen el mismopolinomio caracterıstico.
14.- Sea f(x) = a0 + a1x+ a2x2 + a3x
3 + ...+ an−1xn−1 + xn ∈ K[x].demuestre que el polinomio caracterıstico de la matriz
0 0 0 ... 0 0 −a01 0 0 ... 0 0 −a10 1 0 ... 0 0 −a20 0 1 ... 0 0 −a3... ... ... ... ... ... ...0 0 0 ... 1 0 −an−20 0 0 ... 0 1 −an−1
es f(x)
15.- Escriba una matriz cuadrada cuyo polinomio caracterıstico sea x4 − x2 + 1 y verifıquelo.
34
16.- Detrermine el polinomio caracterıstico de la matriz−2 0 0 00 −2 0 00 0 3 00 0 0 3
17.- Sea A una matriz ortogonal ( A−1 = At ) demuestre que:
a) det(A) = ±1b) los valores propios de A son ±1
18.- Sea A ∈Mn(K) tal que A2 = A demuestre que A admite solo los valores propios 1 y 0.
19.- Sea A ∈Mn(IR) tal que A2 = In demuestre las siguientes afirmaciones referentes a la
matriz A
a) A es no-singular b) n es parc) A no tiene valores propios reales d) det(A) = 1
20.- SeanL: P2[x] −→ P2[x], L(p(x)) = p(x) + p(−x)T : P2[x] −→ P2[x], T (ax
2 + bx+ c) = (2a+ b+ c)x2 + (2c+ 3b)x+ 4c
S :M2(IR) −→M2(IR) tal que S(
Ãa bc d
!) =
Ãa+ 2c a+ cb− 2c d
!F : IR4 −→ IR4, F (x, y, z, w) = (3x− 4z, 3y + 5z,−z,−w)a) Determine el polinomio caracterıstico de cada uno de los operadores.b) Determine los operadores diagonalizables.c) Cuando corresponda encuentre una base de vectores propios para el e.v. IR4.
35