909003. ipn algebra maestro-guia del profesor

Álgebra

Guía para el profesor

2 G U Í A PA R A E L P R O F E S O R

DIRECTORIO

Lic. Miguel Angel Correa JassoDirector General

Lic. Jaime Antonio Valverde ArciniegaSecretario General

Dr. José Enrique Villa RiveraSecretario Académico

Dr. Efrén Parada AriasSecretario de Apoyo Académico

Dra. Ma. De la Luz Paniagua JiménezSecretario de Extensión y Difusión

Dr. Jorge Toro GonzálezSecretario Técnico

Ing. Rafael Esquivel PantojaDirector de Educación Media Superior

M. en C. Alfonso Ramírez OrtegaDirector de Tecnología Educativa

3Álgebra

ACADEMIA INSTITUCIONAL DE MATEMÁTICAS DEL

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

Leonor Delgado Hernández y Juan Manuel Cisneros Márquez CECyT 1 “Gonzalo Vázquez Vela”

Marcelo Briones Palacios CECyT 2 “Miguel Bernard Perales”

Fernando Arroyo García CECyT 3 “Estanislao Ramírez Ruiz”

Javier Montes de Oca Olvera y

Ramón Jordán Rocha CECyT 4 “Lázaro Cárdenas”

Francisco Bañuelos Tepallo CECyT 5 “Benito Juárez”

Pascual Pérez Caldelas y

José Calvillo Velázquez CECyT 6 “Miguel Othón de Mendizabal”

Jose Luis Torres Guerrero CECyT 7 “Cuauhtémoc”

Enrique Téllez López CECyT 8 “Narciso Bassols”

Arnulfo Ulloa Hernández CECyT 9 “Juan de Dios Bátiz”

Javier Patiño Monroy y

Florencio Beltrán Navarrete CECyT 10 “Carlos Vallejo Marquez”

Salvador Romano Reyes y Pedro Ortega Cuenca CECyT 11 “Wilfrido Massieu”

Joaquín Rafael Buendía Santos CECyT 12 “José María Morelos y Pavón”

Norberto Matus Ruiz y

Claudio Héctor Galván Aguirre CECyT 13 “Ricardo Flores Magón”

Carlos J. Quintero Martínez y María Aurora Maldonado Cruz CECyT 14 “Luis Enrique Erro Soler”

Wilfrido Apolonio Flores Medina CECyT 15 “Diódoro Antunez Echegaray”

Ludwing Javier Salazar Guerrero Y

Susana Ivonne Nieto Almaraz CET 1 “Walter Cross Buchanan”

Y la colaboración especial de:

Blanca Ruiz Hernández (ITESM Campus Monterrey)

Liliana Suárez Téllez (CICATA-IPN)


Coordinación GeneralDirección de Tecnología Educativa

Coordinación EditorialInstituto Mexicano de Investigaciones Educativas S.C.

Coordinación TécnicaMaría TriguerosSonia Ursini

EditoraAna María Sánchez

Revisión PedagógicaJavier AlfaroClaudia Martínez

Diseño y FormaciónJosé Fco. Gómez de León

La edición e impresión de esta guía no tiene carácter lucrativo.

Los juicios y opiniones para mejorar el contenido de este material pueden ser enviadosa las siguientes direcciones electrónicas:

Academia Institucional de Matemáticas

[email protected]

Dirección de Tecnología Educativa

[email protected]

5Álgebra

PRESENTACIÓN

El Instituto Politécnico Nacional, a través de la Secretaría Académica,la Secretaría de Apoyo Académico, la Dirección de Tecnología Educa-tiva y la Academia Institucional de Matemáticas como parte de las ac-ciones de fortalecimiento del Nivel Medio Superior, ha desarrollado laGuía para el Profesor de la asignatura de Álgebra, con la finalidad debrindar a los profesores un elemento más que apoye los procesos de en-señanza-aprendizaje y que contribuya a elevar la calidad y el rendimien-to académico de nuestra institución.

El contenido de la guía se desarrolla acorde con el programainstitucional de la asignatura, haciendo énfasis en aquellos temas esen-ciales que, por su complejidad, presentan cierta dificultad para su com-prensión. El enfoque metodológico que se presenta está basado en la re-solución de problemas, lo que facultará al estudiante para hacer un usoactivo de sus matemáticas, un saber hacer en el contexto en que se des-envuelve y en general en la dimensión matemática de sus quehacerespresentes y futuros.

El documento central de la guía es el de las secuencias de aprendiza-je, donde se presentan el conjunto de actividades didácticas (problemas,problemas guiados, proyectos, ejercicios, lecturas y autoevaluaciones)para desarrollar cada una de las unidades del curso de Álgebra. Ade-más se incluyen algunos materiales auxiliares para la organización delaprendizaje. La guía del estudiante va acompañada de un disco compac-to que contiene software especializado en Matemáticas. Estos apoyostecnológicos se conciben como una herramienta más para la compren-sión de la asignatura.

Se reconoce el trabajo de la Academia Institucional de Matemáticasdel Nivel Medio Superior y del Club de Matemáticas del CECyT“Wilfrido Massieu” quienes, para el desarrollo de esta guía, aportaronexperiencias valiosas para el logro de los aprendizajes en el salón de cla-ses adquiridas en el desarrollo de investigaciones sobre la educaciónmatemática.

Dr. José Enrique Villa Rivera Dr. Efrén Parada Arias Secretario Académico Secretario de Apoyo Académico

7Álgebra

Índice

Introducción 9

Justificación de la Secuenciade Aprendizaje 23

Sobre los MAPOA 39

Problemas 41

Lecturas 73

Ejercicios 133

Autoevaluaciones 151

Bibliografía 153

9Álgebra

EL MARCO INSTITUCIONAL

Hay un hecho que difícilmente podemos ignorar: pocos, muypocos, profesores de matemáticas están satisfechos con su tra-bajo; en general, no hemos logrado que los aprendizajes de losestudiantes sean sólidos y duraderos. Tampoco hemos logradoque los alumnos desarrollen una actitud activa y responsablehacia su aprendizaje en la escuela. Por supuesto, hay muchasexplicaciones que al limitar nuestra responsabilidad nos permi-ten tolerar una situación tan difícilmente tolerable. La cuestiónes muy compleja y hay excusas y razones.

A medida que los objetivos de la educación han evoluciona-do hacia un aprendizaje multidimensional para todos, acordescon una sociedad que se sustenta en el desarrollo tecnológico yque se pretende democrática, el énfasis se ha desplazado delconjunto de conocimientos rígidos centrados en el dominio detécnicas y en el desarrollo de habilidades mecánicas hacia eldesarrollo de las llamadas habilidades intelectuales de ordensuperior y la formación de actitudes que favorezcan la indepen-dencia, la autonomía y la toma de decisiones responsable, en lassituaciones cambiantes y de incertidumbre, como las que en-

Introducciónde la Guía Didácticade Álgebra para el profesor


frenta el individuo actualmente en los ámbitos personal, ciuda-dano y profesional.

La educación matemática, disciplina que trata del aprendizajede las matemáticas, ha florecido durante las últimas décadas apor-tando una gran diversidad de nuevos conocimientos acerca de lasmúltiples dimensiones del desarrollo de la cultura matemática. Así,se sabe que no basta que nosotros profesores “sepamos” de lamateria, es necesario convertirnos en profesionales de la docencia,en ingenieros en didáctica que estemos al tanto de los resultadosde la investigación en educación matemática y que tengamos cla-ro, de manera explícita, cuáles son los principios en que fundamen-tamos nuestra práctica.

Podemos decir que el propósito general de la educación ma-temática es lograr que el estudiante desarrolle una cultura ma-temática dinámica, que le permita enfrentar situaciones, tantofamiliares como inéditas, en las que se requiera la produccióno utilización de ideas matemáticas, que dé lugar a una valora-ción global fundamentada de estas situaciones, y logre definirvarias opciones con sus respectivos costos y beneficios.

El papel que se le reconoce al profesor actualmente en losdocumentos de la SEP como el organizador de las secuenciasde aprendizaje para lograr los propósitos de sus cursos presu-pone una amplia solvencia, tanto matemática como didáctica,en los temas que debe enseñar, pues «…los programas no estánconcebidos como una progresión de temas que deban estudiar-se uno a continuación del otro. Por el contrario, se recomiendaal maestro modificar el orden de los contenidos y entrelazar temasde distintos ejes en la forma que considere más adecuada para elaprendizaje de sus alumnos, sin más limitación que cumplir con lospropósitos del programa.» (Alarcón et al., 1994, p. 7).

La profesión docente se ha vuelto terriblemente difícil a cau-sa de los ambiciosos objetivos de la educación y, en consecuen-cia, de la gran complejidad de los fenómenos que enfrenta. Elprofesor ya no es el que tiene un conocimiento acabado y lotransmite fielmente, sino el administrador de las interaccionesentre un medio enseñante y el alumno. Ahora tenemos un pa-pel mucho más complejo e interesante.

El salón de clases es el sitio de concurrencia de los principa-les actores de la experiencia de la matemática educativa. Es ahídonde, de manera explícita o implícita, interactúan las costum-bres, los sistemas de ideas y creencias de profesores y alumnos.La institución escolar y la escuela se hacen presentes con susplanes y programas de estudio y sus propias normas, que pre-

11Álgebra

suponen visiones de lo que es enseñar y aprender matemáticas,que, a su vez, se apoyan en ideas de lo que son el saber mate-mático y las matemáticas mismas.

El modelo de cátedra expositiva en el que fuimos educadosha mostrado sus limitaciones cuando se trata de lograr apren-dizajes complejos, además de que fomenta actitudes en los es-tudiantes que son incompatibles con las competencias básicasdel nivel medio superior actual. Pero no se cambian las creen-cias ni se modifican los hábitos de un día a otro. No hay aquíun dictamen definitivo acerca de una costumbre entrañable,“dar clase”, sino una serie de evidencias que nos invitan a re-flexionar sobre nuestra responsabilidad como profesores.

Cada cual se tiene que convencer de que vale la pena em-prender esta revisión a fondo de su trabajo, porque implica ungrado muy alto de cuestionamiento. Pero también nos puedeconducir a adoptar una perspectiva nueva llena de retos sor-prendentes.

Para organizar aprendizajes complejos a partir de supuestoscualitativamente distintos de aquellos en los que se basa nues-tra formación, necesitamos identificar los conocimientos, habi-lidades, actitudes, así como los valores subyacentes, que debe-mos revisar.

No nos queda más remedio que reconocer la complejidad dela problemática que enfrentamos, así como la necesidad deinstrumentar propuestas que apunten a soluciones factibles,flexibles y duraderas, que tomen en cuenta los tiempos realesque se requieren para que den frutos. No hay recetas de aplica-ción mecánica para la enseñanza de las matemáticas. Afortuna-damente en nuestra profesión se requiere del análisis de situa-ciones complejas según criterios múltiples, que nos conducen ala formulación de juicios matizados y a una toma de decisionessiempre consciente de los riesgos.

El desarrollo de las Guías se basa fundamentalmente en el pro-grama de Álgebra, es decir, retoma como propósitos fundamen-tales que los estudiantes generen modelos algebraicos de situa-ciones problemáticas que se les presenten, en donde, para sussoluciones, hagan uso de polinomios, transformaciones elemen-tales de expresiones algebraicas, planteamiento y resolución deecuaciones, sus representaciones gráficas y una primera aproxi-

El curso de Álgebra


mación a las funciones lineales y cuadráticas, lo que les permiti-rá analizar situaciones y problemas surgidos en su entorno, asícomo tener el fundamento para el desarrollo posterior de con-ceptos y métodos matemáticos.

En el diseño de las Guías se consideró, como lo establece elPrograma de Álgebra, que la resolución de problemas es la ac-tividad que permite generar e integrar conocimiento, favorecesu asimilación y ayuda a distinguir lo esencial de lo menos im-portante. En este proceso el docente es un facilitador delaprendizaje que problematiza, proporciona información y creacódigos de instrucción, al mismo tiempo que organiza el traba-jo en clase de manera que sus alumnos puedan resolver los pro-blemas planteados y avanzar hacia nuevos conocimientos. Esimportante que, en el transcurso de las actividades, los alum-nos desarrollen su capacidad para comunicar su pensamientoy se acostumbren gradualmente a los diversos medios de expre-sión matemática: lenguajes natural, simbólico y gráfico, asícomo al uso de tablas y diagramas.

Uno de los supuestos metodológicos para la elaboración delas Guías es que las ideas o procedimientos matemáticos secomprenden si se articulan adecuadamente en una red de co-nocimientos y experiencias. En este sentido, el conjunto de ac-tividades de aprendizaje que se presenta en las Guías (proble-mas, problemas con guía, proyectos, ejercicios, lecturas yautoevaluaciones) constituye una secuencia de actividades quese organiza, por un lado, alrededor de las cuatro líneas de de-sarrollo del curso de Álgebra: lenguaje algebraico, modelación,ecuaciones y funciones, y, por otro lado, de acuerdo a las carac-terísticas del ambiente de aprendizaje integral que se necesitafomentar en nuestros salones de clase. Es importante señalaren este momento que en algunas de las soluciones popuestas enesta Guía para algnos problemas o ejercicios se hace uso deherraientas del Cálculo. Esta parte de las matemáticas es aje-na al programa de este curso y no podemos pedir al alumno quelas utilice; se incluyeron, sin embargo, con la idea de que elmaestro tenga más herramientas a su alcance y pueda tener unavisión de la integración de los métodos matemáticos. Es posi-ble asimismo que algún profesor desee utilizar este tipo demétodos con algún alumno que considere más avanzado.

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Para conformar y caracterizar la red de actividades que el estu-diante realizará en el curso, se definieron diez características:

1. Experiencia de aprendizaje2. Modalidad de trabajo3. Lugar de realización4. Herramientas tecnológicas5. Tiempo6. Producto7. Referencias curriculares8. Representaciones9. Estrategias10.Evaluación

Con esta caracterización de las actividades de aprendizaje,se puede establecer explícitamente la vinculación que hay en-tre ellas desde perspectivas diferentes que se deben articularpara organizar una sesión de clase. Hay que destacar que eltránsito hacia una educación integradora implica, en particular,una diversificación de los contenidos, hasta ahora principal-mente conceptuales, para atender los de tipo procedimental yactitudinal necesarios para una formación cultural básica yequilibrada de todos los estudiantes. Así, en el rubro de ‘Refe-rencias curriculares’ se consideraron, además de los contenidosque marca el programa, algunos contenidos procedimentales yactitudinales, las competencias básicas del estudiante de bachi-llerato y los estándares 9-12 del NCTM (Consejo Nacional deprofesores de Matemáticas de los Estados Unidos). La comple-jidad del diseño y de la instrumentación de las actividades noestá reñido con una consideración del tiempo disponible, quedebe ser suficiente para que los estudiantes puedan realizarrealmente las actividades, y de otros factores importantes comoel nivel de desarrollo cognitivo de los estudiantes, sus ideasprevias, sus expectativas y la pertinencia de los contenidos, quesuelen variar para cada grupo de estudiantes en particular. Porel contrario, si el profesor dispone de más información, se es-pera que la use para armonizar un trabajo que conduzca a unaprendizaje verdaderamente significativo para el estudiante.

La caracterización de las actividades


Nuestra perspectiva es la del profesor que quiere enseñar paraque todos sus alumnos logren los aprendizajes que los facultenpara un uso activo de sus matemáticas. Desde esta perspectivalos ambientes de resolución de problemas son potencialmentefecundos y pueden constituir uno más de los muchos recursosque el profesor necesita para organizar los aprendizajesmultidimensionales de sus alumnos. Los ambientes de resolu-ción de problemas son complejos e incluyen planes en variosniveles y decisiones frecuentes que conducen a escenarios dis-tintos. La posibilidad de organizar los aprendizajes curricularesen estos ambientes depende de la habilidad que tengamos losprofesores para administrarlos en función de ciertos objetivos.Para lograrlo necesitamos incorporar una perspectiva de traba-jo que nos permita convertirnos en productores de nuestrospropios saberes y prácticas.

En cuanto al ambiente, es importante poner en acción unconjunto de creencias que Pirie y Kieren (1992) resumen encuatro principios:

• Aunque un profesor puede tener la intención de impulsar alos estudiantes hacia objetivos de aprendizaje matemático,estará consciente de que tal progreso puede no ser logradopor algunos estudiantes y puede no ser logrado como se es-peraba por otros.

• Al crear un ambiente o proporcionar oportunidades a losalumnos de modificar su comprensión matemática, el profe-sor actuará sobre la creencia de que hay vías distintas parauna comprensión matemática similar.

• El profesor estará consciente de que las distintas personastendrán modos de comprensión distintos.

• El profesor sabrá que para cualquier tema hay diferentesniveles de comprensión y que éstos nunca se alcanzan ‘deuna vez por todas’.

El ambiente

Los ejemplosEn esta guía se incluyen, en cada capítulo, algunos ejemplos delos documentos que se consideran útiles para el trabajo del pro-fesor. Se presenta el desarrollo de la solución que podemos es-perar que produzcan los estudiantes del nivel y que llamamos‘de referencia’, sin dejar de lado las variantes posibles. Tambiénse incluye un comentario de la actividad que se detiene en lasdistintas vías que puede seguir un estudiante, con la aplicación

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de las estrategias correspondientes, para avanzar en la soluciónde la actividad y describe la articulación de las representacio-nes. Apunta algunas sugerencias para la interacción con los es-tudiantes, en forma individual o en equipo, durante la realiza-ción de la actividad y para la discusión de las soluciones que sehace con todo el grupo. El comentario concluye con una fichaque resume los aspectos más importantes. Así se irán confor-mando historias de problemas que se robustecerán cada vezque las trabajemos en clase. Estas historias se harán más deta-lladas y útiles en la medida en que podamos elaborar los docu-mentos que se describen en la sección siguiente. Esta labor lapodremos emprender aprovechando la red de interacción aca-démica en internet.

El trabajo del profesor

En esta Guía te presentamos una propuesta de trabajo que tomaen cuenta las características del quehacer docente mencionadasantes y, por tanto, se puede modificar o adaptar aprovechando lainformación que aporta. Cada profesor tiene su estilo de docencia,que se puede beneficiar de una práctica y una reflexión más siste-máticas, así como de las discusiones que se realicen alrededor denuestras preocupaciones comunes. En nuestras academias y en lared de interacción en Internet podremos ventilar nuestras inquie-tudes y dificultades y beneficiarnos de los comentarios y sugeren-cias de nuestros colegas.

Para utilizar las actividades en una sesión de clase, hay quehacer un plan, instrumentarlo y evaluarlo. Esta terna se repiteen distintos niveles: la actividad, la clase, el tema, la unidad, elcurso, el área, el ciclo, etc. Necesitamos desarrollar la habilidadde usar una especie de “zoom” que nos permita destacar losaspectos importantes que corresponden a cada nivel. En cadaacto de enseñanza, consideramos los objetivos de niveles distin-tos con los que se relaciona y la forma en que lo hace. Por ejem-plo, si se trata de una experiencia necesaria pero que no gene-ra un aprendizaje inmediato exigible, como es el caso dealgunas de las líneas que apuntan al desarrollo de las habilida-des intelectuales de orden superior, establecemos los lineamien-tos de interacción con los alumnos y los criterios de evaluacióncorrespondientes, vinculándolos con otras experiencias deaprendizaje posteriores y haciendo inferencias explícitas sobreel desarrollo de la comprensión de los conceptos y procesos quese ponen en juego. Así mismo identificamos, desde una pers-


pectiva sistémica, los factores que influyen en su práctica paraestablecer estrategias de acción, aun cuando la posibilidad deactuar sobre algunos factores sea muy escasa. En este sentido,es importante que nos veamos como parte de diferentessubsistemas y nos propongamos ampliar gradualmente nuestrocampo de competencia y responsabilidad. El «zoom del profe-sor» se constituye así en una herramienta para, desde perspec-tivas distintas pero pertinentes, superar algunos callejones sinsalida que parecen tales cuando sólo se atiende a la perspecti-va del salón de clases.

A modo de ilustración te presentamos cómo puedes planear,instrumentar y evaluar una sesión de resolución de problemas.

La planeacióndel problemaMarco

para el análisisde los problemas

Situaciónproblemáticaembrionaria

Descripciónde la situaciónproblematica

embrionaria segúnlas categorías del

Marco para elanálisis de los

problemas

Enunciado del problema

Propósitos del problemaPrecepto de evaluación

Solución de referenciaCuadro de soluciones

Lineamientospara la interacción

con los equipos

Guión de la discusión

Variables del problema

Documentos queconcretan la

planeación deun problema

1. La planeación de una sesión de trabajo

Figura 1. La planeación de un problema.

17Álgebra

Aquí describimos una manera de organizar una sesión a par-tir de una actividad que permite generar información sobre es-tos aspectos en cada instrumentación conformando una ‘histo-ria del problema’ o, en general, de la actividad de aprendizaje.

La fase de planeación requiere un análisis de la actividaddesde un marco de referencia y el registro por escrito de eseanálisis. Esto le permitirá al profesor definir previamente nosólo la actividad que trabajará, cuál es el objetivo de la sesión ylos tiempos disponibles, sino también cuáles son los obstáculoscon los que se puede topar el alumno, cuáles van a ser sus acti-tudes ante los obstáculos, hasta dónde debe llegar la sesión y encaso de no lograrlo, qué hará para cumplir sus objetivos. Unode los objetivos de la planeación es hacer explícitas nuestrasexpectativas.

Por supuesto que lo que ocurrirá en la sesión de trabajo nopuede estar completamente definido. Dentro del salón de cla-ses el profesor toma decisiones constantemente con base en elmarco de referencia que le brindan los documentos de laplaneación y la información que va registrando durante la se-sión. La planeación, entonces, debe ser flexible. Los documen-tos que concretarán nuestra planeación son:

Propósito de la actividad: que se manejará no únicamente des-de la perspectiva de un contenido programático sino conside-rando las representaciones que articula (gráfica, aritmética, tex-tual, icónica, etc.), los aprendizajes que prepara, las categoríasde resolución de problemas y los objetivos institucionales. Elpropósito de la actividad debe considerar que no todos losaprendizajes pueden ser inmediatos y que hay cuestiones quesólo se logran a largo plazo.

Recomendaciones durante la actividad: Cada uno de estosdocumentos está enfocado a los momentos que constituyen lasesión de trabajo; son una guía que nos permite dirigir la sesiónhacia el objetivo establecido, sin desvirtuar la actividad.

a) Lineamientos para la interacción con los equipos: darán laspautas a seguir en la interacción del profesor con los alum-nos mientras realizan la actividad. La intervención de unprofesor debe estar guiada por el ambiente, en el sentido deno invalidar el trabajo de los alumnos ni privarlos de la sa-tisfacción de encontrar la solución por sí mismos.


Figura 2. La interacción del profesor con un equipo.

b) Guión de la discusión: brinda un marco para la conducciónde la discusión. Se consideran los posibles desarrollos de lassoluciones y se establecen los lineamientos para la participa-ción del profesor.

Figura 3. Las interacciones durante la discusión del trabajo de un equipo.

Recomendaciones para la evaluación de la actividad: la eva-luación de la actividad debe considerar por lo menos:a) Solución de referencia: esta solución se elabora consideran-

do los conocimientos que se ponen en juego durante la re-solución del problema o la realización de la actividad.

b) Precepto de evaluación: este documento contiene la descrip-ción de los estándares de evaluación de un problema en par-

Lineamientos

Reporte

PProfesor

EEquipo

A1

A3A2

A4 M

Expectativas

PProfesor

EEquipo

A1

A3A2

A4M

G

R

U

P

O

19Álgebra

ticular. El precepto debe reflejar los principales aspectos delproblema y aportar información útil para orientar el cursode las acciones del profesor y del estudiante, ya sea paraavanzar o profundizar en los contenidos que se pusieron enjuego en el problema o para corregir las ideas erróneas quese hayan identificado.

2. La instrumentación

La planeación debe tomar en cuenta los cursos diversos quepuede seguir la acción durante la instrumentación, y sus posi-bles consecuencias en función de los propósitos de la sesión.

No es conveniente prodigar los comentarios ni lasreformulaciones. Sin embargo, hay algunas intervenciones enlas que se pueden solicitar aclaraciones, precisiones, explicacio-nes o justificaciones cuando el profesor advierte indicios deperplejidad o incomodidad en el equipo o en el grupo, que nologran formularse. La disyuntiva fundamental del profesor esdecidir cuándo conviene detenerse para profundizar algún as-pecto matemático.

Las intervenciones del profesor deben estar guiadas por loslineamientos para la interacción con los equipos y por el guiónde la discusión, de tal manera que no se vaya a desvirtuar laexperiencia de aprendizaje que le corresponde disfrutar a losestudiantes con comentarios impacientes o irreflexivos. Hay unprincipio básico para que la planeación resulte útil: antes dehablar, hay que escuchar. Hay que dar oportunidad a que surjala participación espontánea de los alumnos.

3. La evaluación de la actividad

Después de realizada la actividad, el profesor debe evaluar laefectividad y los resultados que se obtuvieron. No se trata sólode la evaluación de los conocimientos, habilidades, actitudes ytransferencia del alumno. La evaluación de la actividad debeaportar información útil y confiable para mejorar el diseño dela actividad.

Además de la evaluación en los alumnos, se tiene la evalua-ción de la actividad y parte importante de ella es ‘historiar elproblema’. La idea es contrastar los análisis previo y posteriora la instrumentación para hacer un registro cada vez más robus-to de las interacciones posibles, las formas de comprensión y eluso de las matemáticas que hacen los alumnos; se puede com-


plementar muy provechosamente con la investigación de losproblemas y las condiciones en que se originaron los conceptosque se ponen en juego. Pero, puesto que nuestra perspectiva esla del profesor, y lo que necesariamente hace el profesor es tra-bajar con los alumnos, hemos optado por basarnos en nuestraexperiencia y en la disposición de hacer explícitas nuestras ex-pectativas para que, aun cuando nuestro primer análisis seamuy rudimentario, se vaya robusteciendo en las sucesivas pues-tas en escena, de tal manera que esta historia del problema seconstituya en un saber propio del profesor generado en su prác-tica. Los registros audiovisuales brindan la oportunidad deaprovechar las ventajas de un análisis más detenido para incor-porar sus resultados en las historias de los problemas.

Figura 4. La historia de un problema.

registrosdel

profesor

produccionesde los

estudiantes

registrosaudiovisuales

organizadores

viñetas

documentosque concretanla planeacióndel problema

historia delproblema

Materiales Auxiliares Para la Organizacióndel Aprendizaje (MAPOA)

Se tiene, además, una propuesta para la organización del apren-dizaje de los alumnos que se plantea en una serie de materia-les. Estos auxiliares sirven como marcos de referencia compar-tidos que se pueden usar y comentar constantemente durante

21Álgebra

las actividades de aprendizaje con los estudiantes y deplaneación con los profesores. En la medida en que nos fami-liaricemos con ellos, pueden llegar a constituir un lenguaje co-mún, en el que se pueden expresar algunas de las dimensionesde aprendizaje más importantes. En el proceso de profesiona-lización de nuestro quehacer abundan, afortunadamente, lasoportunidades de aprender. La mejor manera de familiarizar-nos con los MAPOA es usarlos para organizar nuestro apren-dizaje. Así tendremos una experiencia de primera mano quecompartir con los estudiantes.

La Guía del Estudiante va acompañada de un disco compac-to que incluye tanto actividades interactivas como paquetes conherramientas de graficación y con sistemas de cálculoalgebraico. También hay algunas animaciones y ejercicios depráctica y autoevaluación. Estos recursos, que estarán a dispo-sición de los estudiantes, se deben integrar como parte de susexperiencias de aprendizaje con una planeación adecuada, yasea en el ámbito escolar o en forma de tareas. El uso cotidianoy responsable de las herramientas tecnológicas para la com-prensión de las matemáticas puede contribuir a crear un am-biente propicio para el desarrollo de los aprendizajes comple-jos e integradores que promete nuestra institución a todos susestudiantes.

Desafíos docentesEs importante que hagamos un esfuerzo sistemático por hacerexplícitos los sistemas de creencias que sustentan nuestra prác-tica docente. Puesto que somos profesores, tenemos una ideaclara de las condiciones reales en que se realiza nuestro traba-jo, pero hay que evitar la autocomplacencia y el victimismo; untránsito hacia un ejercicio profesional de la docencia implicatanto una revisión de la forma en que concebimos nuestro tra-bajo como una redefinición de las relaciones que tenemos conlas instituciones educativas. Para que estos cambios tengan lu-gar se requiere de un compromiso muy fuerte y del tiempo ne-cesario para fortalecer nuestras organizaciones y para darnoslas condiciones indispensables que nos permitan convertir nues-tro trabajo docente en el trabajo de un profesional reflexivo.

Hay una necesidad de plantear una reconceptualización delquehacer del profesor desde los ejes constitutivos de su traba-jo. Entre estos ejes se destacan:


• Las relaciones que enmarcan y posibilitan su labor académica• Los modelos educativos que orientan su práctica• La axiología social y educativa que lo identifica con los fines

y valores de una institución

En este sentido, los profesores tenemos un papel de inter-vención directa en el proyecto cultural de la institución, un pro-yecto que se concibe como un proyecto dinámico en construc-ción permanente, en el que participan todos los agenteseducativos.

Para que podamos asumir nuestro papel como sujeto delcambio que plantea una reforma académica integral, es nece-sario consolidar los espacios de reflexión en los que se definela orientación del ejercicio de la docencia. Al insertarnos enestos espacios, podremos dejar de ser entes aislados para con-vertirnos en sujetos participativos, cuyas acciones no sólo reper-cutan en el estudiante sino en todo lo que implica la institucióneducativa.

Dada la complejidad del quehacer docente en los niveles queincluyen las fases de planeación, instrumentación y evaluaciónpara el logro de los ambiciosos, pero pertinentes, objetivos delnivel, es necesario que, además del espacio privilegiado querepresenta la academia, se abran y consoliden otros espacios dereflexión, discusión y producción, en donde los profesores po-damos avanzar en nuestra profesionalización como docentes.

En este sentido, un elemento fundamental de la instrumen-tación de estas guías, es una red de interacción académica deprofesores de matemáticas del NMS del IPN en Internet.

23Álgebra

En la Guía se tienen señaladas distintas actividades de apren-dizaje: problemas, problemas con guía, proyectos, lecturas, ejer-cicios, tareas y autoevaluaciones. De todo esto lo que más seasemeja a lo que todavía muchos alumnos esperan del profesorcorresponde a ejercicios.

Esta variedad de actividades es necesaria para el cumplimien-to de los objetivos del programa y de la dimensión matemática delas Competencias Básicas del Estudiante de Bachillerato.

Las competencias básicas se refieren al dominio, por partedel estudiante, de los conocimientos, habilidades, valores y ac-titudes que son indispensables tanto para la comprensión deldiscurso de las ciencias, las humanidades y la tecnología, comopara su aplicación en la solución de los problemas de su vidaescolar, laboral o cotidiana, por lo que se considera que son -odeben ser- comunes a todos los bachilleratos del país.

Se considera que, en términos generales, las competenciasbásicas que deben estar presentes en el perfil del educando son:

C1. Expresarse correcta y eficientemente en español, tanto enforma oral como escrita, así como interpretar los mensajesen ambas formas.

Justificación de la

Secuencia de Aprendizaje(comentarios acerca de las secuencias de aprendizaje)


C2. Manejar la información formulada en distintos lenguajes y dis-cursos (gráficos, matemáticos, simbólicos, de cómputo, etc.).

C3. Utilizar los instrumentos culturales, científicos,metodológicos y técnicos, básicos para la resolución de pro-blemas en su dimensión individual y social, con actitudcreativa y trabajando individualmente o en grupos.

C4. Comprender, criticar y participar racional y científicamen-te, a partir de los conocimientos asimilados, en los proble-mas ecológicos, socioeconómicos y políticos de su comuni-dad, región y país.

C5. Aprender por sí mismo, poniendo en práctica métodos ytécnicas eficientes para propiciar su progreso intelectual.

C6. Evaluar y resolver las situaciones inherentes a su edad ydesarrollo, incluso en lo que se refiere al conocimiento de símismo, su autoestima y autocrítica, salud física y formacióncultural y estética, a efecto de tomar decisiones que lo bene-ficien en lo individual y en lo social.

C7. Desempeñarse individual o grupalmente de manera inde-pendiente en su vida escolar y cotidiana.

C8. Integrar los conocimientos de los diferentes campos, en unavisión global del medio natural y social, como paso normati-vo hacia la inter y multidisciplinariedad.

No se pueden fomentar estas competencias con un solo tipode actividad de aprendizaje; se impone el uso integral de variostipos para ello. Las actividades propuestas en las Guías lo per-miten.A continuación te proporcionamos comentarios sobre la impor-

tancia de cada una de estas actividades.

Problemas: Aquí se presenta un enunciado en el que se pidela respuesta a una o más preguntas y aa alumno le corresponderesponder. El profesor orienta el trabajo del alumno, pero noes él quien debe resolver y responder lo que se pide. La idea esque el alumno se vaya acostumbrando a tomar decisiones y ajustificarlas. Para ello debe comenzar por una lectura cuidado-sa del texto, encontrarle un sentido a la situación planteada, es-tablecer una forma de representar la situación mediante unatabla, gráfica o expresión algebraica (mejor si utiliza las tres) yal trabajar con ellas, podrá responder lo que se le pide. Pero notermina aquí su trabajo. Debe darse cuenta cuando su respues-ta tiene sentido, es decir si es aceptable a partir de la situaciónpresentada en el enunciado. Como es una actividad de apren-

25Álgebra

dizaje, encontrar una respuesta a la situación planteada no con-cluye el problema; éste continúa y se amplía al buscar otras for-mas de resolverlo o el establecimiento de un método de solu-ción, que facilite el tratamiento de otras situaciones similares yel planteamiento de otras preguntas.

Todo esto no es sencillo ni para el alumno ni para el profe-sor. El alumno, ante todo esto, fácilmente se puede paralizar ydecir “no entiendo”. Al trabajar en equipo con otros de suscompañeros reduce esta parálisis. Es más fácil que un alumnose anime a comentar con sus iguales lo que entiende y qué pue-de hacer. Desde luego que no es suficiente, y no faltarán alum-nos que digan que prefieren trabajar solos. Ante esto el profe-sor no debe simplemente imponerles la decisión de trabajar enequipo, sino tratar de convencerlos de la conveniencia de ello.

Trabajar en equipo no se reduce a separar temas y repartir-los entre los integrantes. Incluye discusiones para llegar a acuer-dos o para una comprensión mutua de los desacuerdos y la for-taleza o debilidad de la posición de cada uno de los integrantes.Estas discusiones requieren tiempo, más de lo que alumnos yprofesores estamos acostumbramos dedicarle a un tema, y pro-voca la sensación de que se está perdiendo el tiempo, a pesarde juzgar interesante e importante el tema tratado.

Mientras los alumnos están trabajando, el profesor debe es-tar al pendiente de lo que está ocurriendo en cada equipo. Apartir de preguntas y comentarios breves orienta el trabajo delos equipos. Debe cuidarse de no calificar el trabajo de los equi-pos, es decir, que ante la pregunta: “¿estamos bien profesor?”,no responda con un “sí” o un “no”. Los alumnos están acos-tumbrados a que sea el profesor quien establezca quiénes estánbien y quiénes no. No están acostumbrados a que sean ellosmismos quienes lo determinen. Pero si se va a fomentar su in-dependencia, deben acostumbrarse a hacerlo. Así, cuando unalumno pregunte si está bien, se les replica con otra pregunta:“¿Por qué no estás seguro?” y se invita a otros alumnos delequipo a que externen sus ideas. Si manifiestan que están deacuerdo, se les pide que preparen una presentación ante el res-to de sus compañeros. Cuando se trabaja un problema, es elgrupo en pleno quien decide qué soluciones están bien. Es cier-to, se corre el riesgo de que se acepte una solución con erroresy el profesor debe evitar la tentación de decirles que se equivo-caron. El profesor debe decidir si desde el primer momento lespresenta objeciones a su solución, o deja que pasen algunos díasantes de volver a tratar el mismo problema.


Para un alumno, la actividad del profesor en una sesión deresolución de problemas puede parecer bastante menor: pa-searse por los equipos, observar lo que están haciendo, hacer-les algunos comentarios y no decir quiénes están bien y quié-nes no. Pero no es sencillo lo que tiene que hacer el profesor.Antes de proponer a los alumnos un problema, el profesor debehaberlo estudiado y establecer un plan para su puesta en esce-na. De esta forma estará en condiciones de anticipar dificulta-des y preparar comentarios que permitan avances en los alum-nos. Pero no es seguro que lo anticipado ocurra exactamente.Así, la improvisación en sus intervenciones con los alumnos esinevitable, pero si el profesor tiene claro cuáles son los objeti-vos a lograr en el problema, le resultará más fácil decidir el sen-tido de sus intervenciones.

Cuando se tienen las primeras sesiones de resolución de pro-blemas es usual que tanto alumnos como y profesores percibanque aunque interesante, eso no es una clase de matemáticas;que, si acaso, es una actividad para quitar la tensión de lo quees la materia y las dificultades que se tienen para aprenderla.No es así; en ella se ponen en juego varios aspectos importan-tes: fomenta la lectura reflexiva, la discusión matemática, eldesarrollo de estrategias para enfrentar un problema, la impor-tancia de lo que se aprende mientras se busca resolver un pro-blema, la argumentación que sustenta las opiniones o conclu-siones de una persona o de un equipo, la presentación anteotros de las ideas propias, la importancia de saber escuchar yser escuchado.

Es tanto todo esto, que el profesor puede ser rebasado, ysentir que no tiene control en la sesión, pues ucuando todo elgrupo esté discutiendo el problema propuesto, el ruido que seprovoca y la variedad de ideas que se manejen pueden aturdiral profesor y al encontrar que no es posible tratar todo lo quesurge en el tiempo deque se dispone, hacerle sentir que muchode lo tratado en la sesión se pierde y, en consecuencia, es tiem-po perdido en el curso.

Hay algo más que se encuentra el profesor en una sesión deproblemas: cuando se busca convencer a un alumno de que suidea sobre cierta situación está equivocada, no a partir de unaposición de autoridad (“soy el profesor y si te digo que estásmal, es que así es”), sino de hacerle ver que hay inconsistenciaso contradicciones en su argumentación, se requiere de mástiempo y más cuidado en el argumento que el propio profesorconstruya para convencer a su alumno.

27Álgebra

Habitualmente los enunciados de los problemas son cortosy esto permite que los alumnos puedan pensar y seguir distin-tos caminos de solución. El profesor no debe prohibirles algu-no sólo por no haberlo él previsto antes en la planeación delproblema. Si está bien fundamentado el camino que sigue unequipo, el profesor debe respetar su trabajo. En todo caso,cuando se tenga la discusión general, de todos los equipos, delproblema y se presenten varias vías de solución, el profesor ten-drá la oportunidad de destacar la que más le interese y propo-ner, si es necesario, una comparación entre los distintos méto-dos de solución.

En los problemas con guía se tienen sesiones similares a lasde los problemas. La diferencia consiste en que, en los prime-ros, el enunciado incluye preguntas o actividades que se pide alos alumnos realizar para responder la pregunta (o preguntas)principales del problema. De esta manera se dirige más al alum-no hacia un camino o forma de resolver el problema. La inten-ción es disminuir las sensaciones de parálisis, tensión y angus-tia que algunos alumnos pueden tener con los problemas quedejan abierta la vía de solución.

Los proyectos son problemas que requieren de mayor tiem-po para trabajarlos y fuera del salón de clases. La intención esfomentar la importancia de la perseverancia en el trabajo y deenfrentar compromisos que se hacen. Para que un equipo pue-da entregar un buen reporte de un proyecto, se requiere que seinteresen en él, que no lo vean como una tarea más que se dejaen una materia para la cual basta entregar un reporte donde seanote lo que el alumno sabe que quiere el profesor.

Para el curso no es necesario que se trabajen todos los pro-yectos que contiene, pueden ser sólo algunos de ellos. Quedaen el profesor decidir cuáles son los proyectos que se destacan.

Las lecturas pueden verse como simple complemento al cur-so, una introducción de temas que predispongan al alumno parael trabajo en serio de la materia. Pero no es así. El alumno debedesarrollar su habilidad de leer, de manera que pueda aprenderde ella. Delas lecturas propuestas no se espera que el alumnohaga un resumen, sino que sean puntos de partida para discutirlos temas que tratan. Para que esto se logre, se requiere la ela-boración previa de un cuestionario que el profesor debe tenery el cual sirva de guía para la discusión de la lectura. Fomentar


en el alumno una lectura crítica y reflexiva (cuidadosa) contri-buye a la elaboración de argumentos mejor estructurados, y unacomunicación más eficaz de sus ideas. Particularmente es im-portante esto porque ahora estamos inundados de informaciónde todo tipo, y se requieren habilidades para hacer a un lado lainformación que no sea importante y, en cambio, analizar cui-dadosamente la que sí lo es.

Los ejercicios en la guía tienen un significado diferente al delos problemas. En un ejercicio ya se conoce el tipo de situaciónplanteada y que existe un procedimiento para resolverlo. Loque se busca es que se utilice ese procedimiento y que, en loposible, se desarrolle cierta soltura en el manejo de estas situa-ciones de manera que se adquiera rapidez y precisión en lo quese hace. Para lograrlo se requiere de un trabajo cuidadoso enel alumno, de manera que no confunda la importancia de escri-bir signos, paréntesis, signos de igualdad y líneas de fraccióndonde sea necesario.

Esta actividad algunos alumnos la identificarán como lo quees una clase de matemáticas. Sin embargo, el apoyo importan-te lo tendrá el alumno en su libro de texto. Vale la pena desta-carlo de nuevo: esta Guía no es un texto de matemáticas endonde se encuentra todo lo que el alumno necesita para apren-der Álgebra. Contiene todas las actividades que al alumno lepermitirán tener una buena comprensión de la misma, pero estaGuía va acompañada de un texto. Lo ideal es que cada alumnotenga su Guía y su texto, pero si no es posible, que al menos eltexto esté disponible para él en la biblioteca de su escuela. Aun-que se señala como texto el libro Álgebra con aplicaciones deElizabeth D. Phillips y otros, es posible que la academia dematemáticas de cada escuela decida utilizar otro equivalente encontenido y calidad.

Ante las primeras dudas que surjan de un ejercicio, el alum-no deberá recurrir a su texto para leer las explicaciones corre-spondientes y revisar los ejercicios resueltos en él (aquí se des-taca la importancia de la lectura). Al disponer de un texto, elprofesor podrá sugerirle revisar otros temas correspondientesal que se esté trabajando. Si el profesor logra sensibilizar alalumno de la importancia de aprovechar el poco tiempo de quese dispone en el salón de clases, más fácilmente el alumno tra-bajará buena parte de los ejercicios fuera del salón de clases,permitiendo que en el salón de clases se discutan problemas(con guía y sin ella), lecturas y autoevaluaciones. El profesor

29Álgebra

debe conocer en detalle el texto que esté utilizando para orien-tar más fácilmente a sus alumnos sobre la mejor manera de uti-lizarlo. Cuando lo juzgue necesario discutirá en clase algunosejercicios, pero siempre después de que ya los trabajaron susalumnos.

Las tareas se refieren a las actividades que los alumnos de-berán realizar fuera del horario de clase. Buena parte de ellasconsiste en el trabajo que deberán realizar con su libro de tex-to, pero también están las lecturas y la conclusión de algunaactividad que no se terminó en clase.

Las autoevaluaciones le permiten al alumno conocer su com-prensión y dominio de los temas tratados. El profesor conocelas soluciones de las mismas, y su actividad principal es señalaral alumno el momento adecuado de utilizarlas y destacar unaspecto que usualmente se olvida en las evaluaciones: identifi-car dónde se tienen deficiencias y, en consecuencia, se tiene quetrabajar más.

En cada unidad se presentan actividades de aprendizaje paralos alumnos. Estas actividades están presentadas por bloques,suponiendo 12 horas para cada unidad. Debes revisar todas es-tas actividades de cada unidad y planear la secuencia que vas allevar a cabo con tus alumnos. Si decides excluir alguna activi-dad, asegúrate de incluir las que permiten cubrir los objetivosde aprendizaje requeridos en la unidad. Recuerda que podemosidentificar tres momentos importantes en nuestro trabajo comoprofesores: planear, instrumentar y evaluar cada actividad deaprendizaje de nuestros alumnos. No olvides que es enriquece-dor compartir con los colegas tus inquietudes y los resultadosde las actividades de aprendizaje instrumentadas por ti, y mástodavía si planeas y evalúas actividades en equipo con tus com-pañeros de trabajo.

A continuación presentamos las actividades propuestas paracada unidad.


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37Álgebra

Sobre los MAPOA

No basta decirle a los alumnos que se pongan a estudiar. Lo quese tiene que aprender, las habilidades a desarrollar y las actitu-des requeridas no se logran simplemente al escuchar o leeracerca de ellas. Nuestros alumnos requieren de ciertos linea-mientos, comentarios, referencias y sugerencias para que orga-nicen su trabajo y esto les permita cumplir con los requerimien-tos que se les hace.

Los Materiales de Apoyo para la Organización del Apren-dizaje (MAPOA) se elaboraron con este fin; por ello es nece-sario que los conozcas en detalle antes de que los alumnos lostengan en sus manos. De esta manera podrás referirte a ellos enel momento oportuno; el alumno debe incorporarlos poco apoco en su trabajo cotidiano en las diversas actividades deaprendizaje que realice.

Recuerda que tú también debes utilizar estos materialescuando sea oportuno, pues el ejemplo que refuerza o contradi-ce el discurso tiene una influencia a veces definitiva.

Parte de tu trabajo es dosificar la lectura e incorporar en for-ma paulatina lo contenido en estos materiales. Desde las prime-ras clases solicita a tus alumnos que recorten y enmiquen lasfichas para que las tengan a la mano para una consulta rápida,


y al mismo tiempo evitar que se vuelvan inservibles al romper-se o al borrarse su contenido.

Los MAPOA contienen el modelo PER, la Heurística, elportafolios, las fichas y formatos de evaluación, además de do-cumentos de introducción. Desde luego puedes agregar otrosdocumentos que juzgues necesarios. Si encuentras que faltaalgo en estos materiales, agrégalo y coméntalo con tus compa-ñeros de la escuela donde laboras (mejor aún si te comunicascon el resto a través de Internet).

A continuación te presentamos dos documentos de losMAPOA acompañados de comentarios acerca de su uso o as-pectos relevantes para su discusión con los alumnos.

PARA ENTRAR EN MATERIA

En este breve texto se discute el aprendizaje de la resolución deproblemas en el contexto de las habilidades intelectuales de altonivel y se propone un modelo de aprendizaje esquemático, «ha-cer, reflexionar y comunicar», que contrasta con el tradicional«oír, ver y reproducir».

Hay algunas actividades que, a estas alturas de la vida, unestudiante ya sabe hacer, y las hace muy bien. Son acciones yrealizaciones a veces más complejas que las que se aprenden enla escuela. Esta capacidad ya probada debe generarte confian-za en tu capacidad de aprender también en la escuela. La escue-la es el ámbito de los saberes sistemáticos. Para la mayoría delas personas, los aprendizajes más importantes de la vida se danfuera de los muros y las rejas escolares. Sin embargo, en estostiempos, pasamos tanto tiempo en la escuela (haz la cuenta)que lo menos que podemos exigirnos, y exigirle a la escuela, esque nos brinde algunos aprendizajes verdaderamente significa-tivos en el presente, que además nos resulten provechosos enel futuro.

Para lograr los objetivos del bachillerato, el estudiante in-vierte tiempo, dinero y esfuerzo, en la adquisición de conoci-mientos, en el desarrollo de habilidades y en la formación deactitudes.

Cuando el estudiante se acerca a la escuela y no hay convic-ción, o interés genuino, fácilmente cae en la farsa típica de com-plicidades compartidas: el profesor hace como que enseña y el

Este párrafo tiene

como propósito

mostrar la principal

característica de los

aprendizajes que se

dan en la escuela.

¿Identificas esta

característica en tu

vida escolar?, ¿de

qué manera?

39Álgebra

estudiante hace como que estudia y aprende.El estudiante acude a la escuela con una idea muy definida

de lo que debe encontrar en la escuela:

• Saber algo significa responder lo que el profesor consideracorrecto.

• Se realizan actividades siguiendo procedimientos que se en-señan explícitamente.

• Los exámenes se resuelven aplicando un sistema de clavesde baja complejidad.

Estas creencias son incompatibles con los aprendizajes quepretendes lograr en este bachillerato. Aquí se trata de que de-sarrolles tus habilidades intelectuales de alto nivel. Estas habi-lidades, de nombre tan elegante, son las que aplicas cuando to-mas decisiones, resuelves problemas, organizas tu propioaprendizaje o haces aportaciones creativas en tus trabajos yactividades. Pero si quieres aprender a resolver problemas, tie-nes que enfrentarte a verdaderos problemas; si quieres apren-der a tomar decisiones, tienes que tomarlas y asumir las conse-cuencias… Todo esto es más difícil, pero es lo que haces, y vasa seguir haciendo cada vez más, fuera de la escuela.

Nuestro modelo de aprendizaje se puede resumir en los si-guientes tres pensamientos:

Oigo y olvido,veo y recuerdo,

hago y comprendo.(Un viejo proverbio chino)

Hacer… y reflexionar acerca de lo que se hace.(S. Papert)

No hay conocimiento verdaderosi no se es capaz de comunicarlo eficazmente.

(Así decían los griegos)

Así nuestro modelo se puede sintetizar en la tríada:

Hacer - Reflexionar - Comunicar

Estas características

de lo que se aprende

en la escuela sólo

funcionan para

aquellos

aprendizajes

memorísticos, que si

bien son

importantes,

debemos

desprendernos de

ellos para aprender

en otro nivel.

Recuerda estas

tres palabras

antes de

emprender

cualquier

actividad.


El desarrollo de la clase ya no puede ser responsabilidadexclusiva del profesor, sino que debe contar con una nueva ac-titud del estudiante, que también se responsabiliza y se compro-mete con su aprendizaje. Juntos podrán definir las distintasmaneras de desarrollar las actividades de aprendizaje, con susrazones, sus ventajas, sus desventajas y sus riesgos.

Los nuevos objetivos son más complejos; lograrlos es unatarea más difícil pero también, creemos, más atractiva e intere-sante. La resolución de problemas es un proceso muy comple-jo cuando los problemas que enfrentas son verdaderos proble-mas. Debido a esta complejidad, los factores que intervienenpara que logremos resolver exitosamente un problema y com-prender algo de la interacción con el problema son muchos y dedistintos niveles. La desatención de uno, o varios, de estos fac-tores puede entorpecer y a veces hacer imposible la solución deun problema o la comprensión que se deriva de la interacciónfecunda con el problema. Una componente que influye de ma-nera determinante corresponde a la forma en que las personasinteractúan durante la resolución de un problema. Piensa en unlaboratorio en el que se estudian algunos procesos; los factoresque intervienen en los procesos se administran, se registrancontinuamente y algunos de ellos se controlan. En cada una delas modalidades de participación durante la resolución de losproblemas (individual, grupo chico y grupo completo) se hanidentificado algunas formas de actuación que obstaculizan yotras que contribuyen a la solución y a la comprensión. Te da-mos algunos ejemplos y queremos que pienses en otros, los co-mentes con tus compañeros y propongas formas de evitarlos ofavorecerlos.

¿De qué manera

puedes contribuir a

adquirir tus

propios

aprendizajes?

¿Recuerdas haber

resuelto

problemas?, ¿qué

características

tienen?, ¿ha sido

fácil su resolución?

41Álgebra

Problemas

En una sesión resolución de problemas se integran varios pro-cesos. Es, tal vez, el tipo más importante de actividades debidoa la riqueza tan grande que ofrece al estudiante; sin embargo,también es una de las más difíciles de implementar, que requie-re más tiempo y presenta mayor dificultad para los estudiantes.En la resolución de problemas los alumnos trabajan por equi-po, exponen y reportan, y validan su solución. En todo momen-to está presente la discusión y argumentación matemática, y espertinente el uso de casi todos los Materiales Auxiliares Para laOrganización del Aprendizaje (MAPOA). Una actividad deresolución de problemas difícilmente queda concluida en unaprimera aproximación al problema, pero dependiendo del gra-do de avance y el objetivo de aprendizaje, la actividad se pue-de retomar posteriormente en clase o extraclase.

Recordemos el contenido de una de las fichas de losMAPOA acerca de las características de un problema.

Un problema es una situación matemática o extramatemáti-ca que no tiene una solución inmediata, admite varias vías deaproximación y posiblemente varias soluciones, puede consu-mir mucho tiempo, quizás varias clases, o hasta varios cursos yexige esfuerzo mental, imaginación y creatividad.


Además, un buen problema no es paralizante, no es inmedia-to, es potencialmente soluble, es generador de conjeturas y pre-guntas, es controlable por parte del alumno, es decir, el alum-no puede generar criterios para decidir cuando está resuelto elproblema, genera un conflicto emocional y contribuye a que elalumno produzca conocimientos nuevos o reorganice los que haadquirido.

En sesiones de resolución de problemas se busca la vincula-ción de las herramientas matemáticas con una dimensión deuso; se introducen conceptos matemáticos utilizando contextos;se interactúa con una situación familiar, o no, en la que se re-quiere de las matemáticas, y se formulan y responden pregun-tas que contribuyen a la conceptualización de los objetos ma-temáticos. Se pretende que el alumno haga uso de lasmatemáticas con las que cuenta para dar respuesta a las pregun-tas planteadas en el contexto de la situación; que busque co-nexiones entre diferentes registros de representación, logre di-ferentes vías de acceso trabajando varios enfoques, generalicesus soluciones y reformule, ampliándolo, el problema en otroscampos; que genere criterios para validar interpretaciones y losmodelos matemáticos, surjan y evolucionen los conceptos ma-temáticos como respuesta a sus propias preguntas, y desarrolleactitudes que le permitan enfrentar y manejar situaciones com-plejas con un alto grado de incertidumbre.

Así, un problema ofrece una oportunidad para que el alum-no logre adquirir varios aprendizajes importantes, pero paraello es necesario que cuando se le proponga un problema, él seinvolucre, lo acepte como propio, lo haga suyo, es decir que seolvide de que el problema se lo propuso el profesor y que seconcentre en la búsqueda de su solución.

Es posible que nuestros alumnos no estén acostumbrados aresolver problemas, sino a ver que otros lo hagan, especialmen-te el profesor. Cuando varios alumnos sólo leen el enunciadodel problema y de inmediato dicen “no entiendo”, podemosdesesperarnos y en nuestro afán de ayudarles, terminar por sernosotros quienes resolvamos el problema, que ya no fue tal,mientras los alumnos sólo toman anotaciones de lo hecho en elpizarrón. Cuando esto sucede, la actividad perdió toda su rique-za como medio y fin de aprendizaje.

Desde luego tampoco hay que dejar a nuestros alumnos so-los esperando simplemente a que terminen el problema. Nece-sitan apoyo, pero mediante preguntas y comentarios que haga-mos de su trabajo.

43Álgebra

Los MAPOA son importantes para cuando los alumnos re-suelven problemas. Hay que solicitarles que recorten copias delas fichas, que las enmiquen y que siempre las tengan a la mano,para poder consultarlas con facilidad. Un documento especial-mente importante para resolver problemas es La Heurística deSchoenfeld. En él se describe una estrategia sistemática quefacilita resolver un problema. También se describen estrategiasheurísticas que llegan a ser muy útiles al resolver problemas.Conviene que tengamos este escrito a la mano para no perderoportunidad de comentarlo cuando se resuelven problemas eidentificar y destacar estrategias heurísticas que se utilizan.

Una sesión de resolución de problemas

Para aprovechar de la mejor manera las posibilidades de apren-dizaje y desarrollo de habilidades en los alumnos es necesariopreparar cuidadosamente las sesiones de resolución de proble-mas. Para crear las condiciones propicias para el logro deaprendizajes y desarrollo de habilidades en los alumnos nece-sitamos planear, instrumentar y evaluar las actividades llevadasa cabo en el curso. La importancia de esto en una sesión de re-solución de problemas se manifiesta cuando nos enfrentamos ala necesidad de improvisar durante la instrumentación. Si tene-mos claro cuáles son los objetivos de la sesión y la manera delograrlo, además de anticipar dificultades en los alumnos, esmás fácil improvisar sin que se pierdan los objetivos de la acti-vidad, es decir, sin que perdamos el control de la sesión.

Una sesión completa de resolución de problemas consta detres momentos: la resolución de la actividad, la presentación ydiscusión de las soluciones, y los anexos y la retroalimentación.

En la resolución de la actividad los alumnos trabajan en equi-po y escriben al mismo tiempo el reporte de su trabajo. Al tra-bajar en equipo es más fácil que los alumnos comenten sus du-das, propongan procedimientos para resolver la situaciónpropuesta, lo lleven a cabo y lleguen a resultados. Nosotroshacemos recomendaciones para la organización del trabajo delos equipos, planteamos preguntas y damos sugerencias a losequipos de acuerdo al trabajo desarrollado por cada uno. De-bemos evitar expresiones como “están bien, ese es el resulta-do”, “están mal en su resultado. Empiecen de nuevo”. Y es quemás adelante, en la presentación y discusión de las soluciones estodo el grupo el que debe validar las soluciones discutidas, y nonosotros.


El trabajo en equipo no deja de tener riesgos, como que enlugar de impulsar el aprendizaje, lo dificulte. Hay fichas sobreesto en los MAPOA. Hay que pedirles a los equipos que lasutilicen cuando sea pertinente.

En la presentación y discusiones de las soluciones elegimos ados o tres equipos para que presenten y discutan ante los de-más sus soluciones. En cada momento el equipo que se encuen-tra al frente es quien dirige la discusión. Nuestra participaciónes como la de los alumnos, es decir, debemos solicitar la pala-bra al equipo que dirige la discusión. Unos minutos antes deque pase un equipo les avisamos a sus integrantes para que seorganicen. Debemos estar al pendiente de que la discusión quese tenga corresponda a los objetivos de aprendizaje identifica-dos en la planeación.

Los estudiantes

• Trabajan por equipo o individualmente sobre la

actividad propuesta por el profesor

• Elaboran un reporte por escrito en el que registran

el proceso de solución

• Presentan sus soluciones a todo el grupo de

manera oral

LOS MOMENTOS DE UNA SESIÓN DE TRABAJO

El profesor

• Selecciona la actividad de aprendizaje a

desarrollarse en esa sesión

• Propone y organiza la actividad

• Hace preguntas y sugerencias a los estudiantes de

acuerdo a lineamientos preestablecidos

• Atiende el trabajo de todos los equipos

• Decide el orden de presentación de las soluciones

Primer momentoLa resolución de la actividad

Segundo momentoLa presentación y discución de soluciones

Los estudiantes

• Presentan la solución al resto del grupo

• Intervienen en la presentación de las soluciones de

los otros estudiantes con el propósito de validarlas

en grupo

El profesor

• Selecciona a los equipos y el orden de

presentación

• Dirige la discusión de las soluciones según el

objetivo de la actividad

45Álgebra

En los anexos y la retroalimentación los alumnos evalúan sutrabajo y el de otros equipos. Además se les solicita que cadaquien, de manera individual, entregue un anexo del problematratado y discutido.

En la introducción de esta Guía del Profesor se ofrecen co-mentarios más amplios sobre la planeación, instrumentación yevaluación. Aquí sólo destacamos la importancia del contrasteentre el análisis previo que se concreta en los documentos dela planeación (los lineamientos para la interacción con los equi-pos, el guión de discusión, la solución de referencia y el precep-to de evaluación) y el análisis posterior de la situación. Estacomparación entre lo esperado y lo obtenido proporciona loselementos para la elaboración de la historia del problema, quenos permitirá hacer un registro cada vez más robusto de lasinteracciones posibles, las formas de comprensión y el uso delas matemáticas que hacen los alumnos. Aun cuando un primeranálisis puede ser muy rudimentario, el manejo sucesivo de laactividad dentro del salón de clases hará que esta historia delproblema se constituya en un saber propio de nosotros los pro-fesores.

Tercer momentoLos anexos y la retroalimentación

Los estudiantes

• Retoman individualmente el trabajo realizado en el

primer momento y lo vinculan con la discusión

general

• Evalúan su trabajo y el de otros equipos

El profesor

• Comenta con los estudiantes sus reportes de

sesiones anteriores

• Define, de acuerdo a los resultados obtenidos, la

actividad siguiente


En las actividades de aprendizaje se habla de problemas, pro-blemas con guía y proyectos. En realidad las tres actividadesson problemas. Todos ellas comparten la misma idea de proble-ma que mencionamos en los párrafos anteriores. Pero explique-mos la diferencia que hay entre ellas.

I. Problema: consta de un enunciado en el que se describe lasituación y lo que se quiere que haga y responda el alumno.El momento estimado para discutirlo provechosamente esdespués de una o dos horas de haberlo trabajado.

II. Problema con guía: además del enunciado contiene un cues-tionario o una secuencia de pasos que le permiten al estu-diante seguir avanzando en el problema usualmente desdesituaciones sencillas a otras más complejas. También el mo-mento estimado para discutirlo provechosamente es despuésde una a dos horas de haberlo trabajado.

III. Proyecto: es un problema, o un problema con guía, que re-quiere más de dos horas de trabajo antes de discutirlo pro-vechosamente. Es posible que el estudiante tenga que gene-rar él mismo los datos, y que una parte importante deltrabajo la tenga que hacer fuera del salón de clases.

Mencionamos algo más sobre los problemas con guía. Comoen los problemas y proyectos, estas actividades se trabajan enequipo y son recomendable al introducir de manera deliberadaalguna herramienta matemática en particular, debido a que pre-paran al estudiante en herramientas heurísticas importantes ygeneran confianza al trabajar en equipo. La resolución proble-mas con guía permite que se pueda llegar a resolver el proble-ma planteado siguiendo una serie de pasos establecidos, auncuando el problema y las instrucciones requieran una interpre-tación. Debemos vigilar el progreso de los equipos durante sutiempo de trabajo y destacar la importancia de los pasos que sesugieren dentro del contexto del problema; hay que evitar quelos estudiantes trivialicen la actividad resumiéndola en una se-rie de procedimientos matemáticos o contestando exclusiva-mente los puntos que el cuestionario establece. Hay que recor-dar que la experiencia de aprendizaje puntualiza cuestiones enlas que el estudiante debe profundizar.

Problemas, problemas con guía y proyectos

47Álgebra

Una buena herramienta para la comprensión es la hoja decálculo, y hay varias comerciales que pueden utilizar. Vale lapena que busquemos incorporarla en nuestro trabajo con losalumnos.

A continuación te presentamos dos ejemplos, un problemay un problema con guía. La intención es mostrarte cómo po-demos explotar la riqueza que tiene un problema como mediode aprendizaje, a partir de un análisis cuidadoso del mismo.

Ejemplo de problema: “Voi che sapete...”

ENUNCIADO:Una compañía de discos estima que podrá vender siete milálbumes de una nueva versión de “Le nozze di Figaro” deMozart-Da Ponte a $290 cada álbum. Por cada reducción de$5 en el precio por álbum, calcula que venderá 300 álbumesmás. A la compañía cada álbum le cuesta $95 y sus costos fi-jos son de $100,000.Encuentra el número de álbumes que dará a la compañía laganancia máxima.Encuentra el número de álbumes que dará a la compañía laganancia máxima por cada peso invertido.

SOLUCIÓNSean n el número de reducciones de $5 que se hace al precio deventa de cada álbum, C el costo total para producir 7,000 + 300ndiscos, V lo que se obtiene por la venta de todos esos discos yG la ganancia obtenida.

Por las condiciones del problema contenidas en el enunciado,se tiene:

G n V n C n n n( ) ( ) ( )= - = - + +1500 23500 12650002

V n n n( ) ( )( )= - +290 5 7000 300

C n n( ) ( )= + +95 7000 300 100000


A partir de estas expresiones se puede construir la siguiente tabla.

n 7,000+300n C(n) V(n) G(n) G(n)/C(n)0 7,000 765,000 2,030,000 1,265,000 1.65361 7,300 793,500 2,080,500 1,287,000 1.62192 7,600 822,000 2,128,000 1,306,000 1.58883 7,900 850,500 2,172,500 1,322,000 1.55444 8,200 879,000 2,214,000 1,335,000 1.51885 8,500 907,500 2,252,500 1,345,000 1.48216 8,800 936,000 2,288,000 1,352,000 1.44447 9,100 964,500 2,320,500 1,356,000 1.40598 9,400 993,000 2,350,000 1,357,000 1.36669 9,700 1,021,500 2,376,500 1,355,000 1.3265

De aquí se desprende que la máxima ganancia se tiene cuan-do se venden 9,400 álbumes, pues con esta cantidad se obtienela mayor ganancia registrada en la tabla.

Ahora, para calcular la ganancia máxima por cada peso in-vertido se divide G(n) entre C(n). Esto corresponde a la últi-ma columna de la tabla anterior. En ella se observa que los va-lores siempre están decreciendo, de manera que el más alto esel primero, es decir, cuando se venden 7,000 álbumes al preciode $ 290 cada uno.

Otra forma de resolver el problema es a partir de la cons-trucción de una tabla similar a la anterior, pero en donde no seestablezcan relaciones algebraicas, sino simplemente se hagancálculos a partir de la comprensión de las condiciones del pro-blema. En este caso el encabezado de cada columna de la tablasería: número de discos producidos, costos, ingresos, gananciasy ganancias por peso invertido.

En cambio, si se sigue un trabajo algebraico, al expresar lasganancias de la forma

se sigue que la máxima ganancia se tiene cuando

es decir cuando se producen 9,350 álbumes. En cuanto a la ga-nancia máxima por peso invertido, al efectuar una divisiónalgebraica se obtiene la siguiente expresión:

G n n( ) ( )= - - +150047

6

4071125

32

n =47

6

49Álgebra

El análisis de esta expresión involucra un tratamientoalgebraico más complejo (al hacerlo resulta que se tiene unmínimo en –44.09585 y un máximo en –9.58836, con una dis-continuidad en –26.84211); sin embargo, al observar el denomi-nador de la última fracción, se tiene que al tomar valores de ncercanos a

- = -510

1926 84211.

aunque mayores a este valor, el cociente

G n

C n

( )

( )

resulta ser muy grande y negativo, mientras que al tomar valo-res de n grandes y positivos, el cociente

G n

C n

( )

( )

resulta ser muy grande y negativo. Esta observación permitejustificar que para valores mayores de el cociente es decrecien-te y por ello el valor máximo del cociente es cuando se venden7,000 álbumes.

Una tercera forma de resolver el problema es mediante eluso de una calculadora con poder de graficación. Para esto esnecesario llegar a las expresiones algebraicas de la gananciaG(n) y de la ganancia por peso invertido , para luego introdu-cirlas en la calculadora y obtener sus gráficas. Al aprovecharopciones de la calculadora, como “zoom”, es posible obtener laganancia máxima y la ganancia por peso invertido máxima.

G n

C n

n

n

( )

( ) ( )= - -

+

2423

1083 19

322400

1083 19 510


CLASIFICACIÓNEn el siguiente cuadro se tiene la clasificación del problema.

Título ‘Voi che sapete’1. Experiencia de aprendizaje 1.1 Resolución de problemas

2. Modalidad de trabajo 2.2 Equipo; 2.3 Grupo

3. Lugar de realización 3.1 Salón de clases

4. Herramientas tecnológicas 4.3 Calculadora científica;4.4 Calculadora con poder de graficación

5. Tiempo 60 minutos(si se tiene limitación de tiempo,el profesor puede seleccionar algunaspreguntas para que se trabajen como tareay ampliar la discusión en otra sesión)

6. Producto 6.1 Reporte de RP

7. Referencias curriculares 1.1. Contenidos1.1.1. Conceptuales (2.1, 2.2, 2.3); (6.1, 6.3)1.1.2. Procedimentales p1, p2, p3, p4, p5, p6, p8, p101.1.3. Actitudinales a2, a3, a6, a7, a131.2. Competencias básicas del estudiantede bachillerato cb1, cb2, cb3, cb5, cb71.3. Estándares 2000 del NCTM e1.2, e1.3 e2.1.2,e2.1.3, e2.1.4, e2.2.3, e.2.2.4, e2.2.5, e2.3,e2.4 e3.4.5 e4.1.1 e6 e8 e9 e10

8. Representaciones 8.1 Textual - 8.2 Tabular - 8.4 Algebraica -8.3 Gráfica

9. Estrategias ‘Construye una tabla’‘Indica sin efectuar’‘Trata casos particulares’‘Usa una notación adecuada’‘Reformula el problema’‘Cambia el registro de representación’

10. Evaluación Evaluación del reporteEvaluación de la presentación

Observaciones Se recomienda trabajar esta actividad por lomenos en dos ocasiones, en la primera se puedecentrar la atención en el uso de lasrepresentaciones tabular y algebraica;en las posteriores se puede destacar la representacióngeométrica y sus relaciones con las otras formas derepresentación

51Álgebra

COMENTARIO:En este problema se empieza por darle sentido al texto del mis-mo. De éste, el fragmento: “Por cada reducción de $5 en el pre-cio por álbum, calcula que venderá 300 álbumes más”, es clave.Es posible que entre los integrantes de un equipo se suscite ladiscusión acerca de lo que significa. Para algunos se refiere aque cada vez que se reduce el precio de venta de los álbumesen $5 (pasando la primera vez de $290 a $285) por cada uno delos álbumes que se venda más baratos, se venderán 300 más aese precio menor (de manera que con el primer descuento enlugar de venderse 7,000 álbumes se venden 2,100,000). Otros lointerpretan como que cada vez que se reduce el precio de ven-ta de los álbumes en $5, se venden sólo 300 álbumes más en to-tal (pasando la primera vez de 7,000 a 7300).

Es importante que el profesor no les explique a los alumnosel significado del texto si se presenta la primera interpretaciónen un equipo. Si hace esto, buena parte del sentido del proble-ma se pierde. Uno de los propósitos de este problema es que elalumno pase del registro textual al algebraico o aritmético. Enel caso de que en algún equipo se dé una interpretación equi-vocada del texto, el profesor no debe decirles que lo interpre-taron mal, sino pedirles que traten de aplicar esa interpretaciónpara dos o más casos, remitiéndolos al enunciado del problema,es decir que cuiden ajustarse a lo señalado en el texto. Si es ne-cesario, el profesor puede provocar una discusión en el equipoacerca de la interpretación del texto.

Otra dificultad que pueden tener los alumnos en la interpre-tación del enunciado es el tecnicismo “costos fijos”. Aquí la in-tervención del profesor sí puede llegar hasta ser una explicacióndel término, pues no es un objetivo de este problema que losalumnos discutan ampliamente el significado del mismo. El pro-fesor puede preguntarle al equipo: “Imagínense que van a ini-ciar un negocio, ¿qué gastos tendrán que hacer al principio,antes de empezar a vender?”

Una vez que se ha comprendido la situación, se tienen dis-tintas formas de resolverlo. Tal vez la más accesible sea la arit-mética, a partir de la construcción de una tabla que contenganúmero de álbumes, costos, ventas, ganancia y ganancia porpeso invertido. En este caso el número de álbumes empieza en7,000 y luego va cambiando de 300 en 300 (el segundo valor esde 7,300). Para responder la primera pregunta se observan losvalores que se van obteniendo para la ganancia, los cuales vancreciendo, hasta que dejen de crecer y empiecen a disminuir. En


cuanto a la ganancia por peso invertido, se observa que siem-pre va decreciendo, de manera que el máximo se tiene en elprimer renglón. En este problema se presentan dos formas decomparar la ganancia: mediante una diferencia simple (ventasmenos costos) y mediante el cociente de la diferencia anteriory los costos. De esta manera, un punto a discutir es cuál de losdos criterios es mejor para estimar los beneficios de un nego-cio.

Si en un equipo se presenta la anterior vía aritmética pararesolver el problema, hay que solicitarle al equipo que llegue aexpresiones algebraicas al utilizar la estrategia de ‘indicar sinefectuar’. De esta forma se tiene que la ganancia se expresamediante el polinomio de segundo grado

G n n n( ) = - + +1500 23500 12650002

(n es el número de veces en que se reduce el precio de venta yla reducción total llega a ser de 5n pesos). En cuanto a la ga-nancia por peso invertido, la expresión es .

G n

C n

n n

n

( )

( )=

- + +

+

1500 23500 1265000

28500 765000

2

A partir de estas expresiones se abre la discusión, que pue-de surgir en la discusión grupal, de las características de las grá-ficas de ambas expresiones. La primera es más fácil de analizare identificar: se trata de una parábola. El punto máximo se pue-de obtener a partir de la simetría de la parábola y de los puntosde cruce de la parábola con el eje X, por ejemplo, o a partir deun tratamiento algebraico al expresar la ganancia de la forma .

G n n( ) ( )= - - +150047

6

4071125

32

En cuanto a la ganancia por peso invertido, la expresión esmás complicada de analizar. Puede ser conveniente en un pri-mer tratamiento pasar al registro gráfico y señalar lo que allí seobserva.

El análisis de las expresiones algebraicas plantea otro puntode discusión: sólo se consideran incrementos de 300 en 300 ál-bumes o se acepta hacer interpolaciones, pues el máximo de la

53Álgebra

parábola que corresponde a la ganancia no se tiene para uno deestos valores, sino para 9,350 álbumes. Es decir, se discute sieste es un problema de una situación discreta o continua.

Si se acepta que la situación es discreta, la ganancia máximase obtiene con 9400 ejemplares y estrictamente la gráfica co-rresponde no a la parábola, que es continua, sino sólo a ciertospuntos. La decisión de lo discreto o continuo de la situaciónrecae en el grupo, no en el profesor.

También es posible que una vez establecidas las expresionesalgebraicas de la ganancia y de la ganancia máxima por pesoinvertido se utilice una calculadora con poder de graficaciónpara obtener las gráficas. Dado que los valores de la gananciay de la ganancia por peso invertido son muy diferentes, no esposible ver al mismo tiempo las dos gráficas en la pantalla dela calculadora, pues las escalas que se requieren son del ordende cien mil para la ganancia y de uno para la ganancia por pesoinvertido. Sin embargo, no se requiere ver a un mismo tiempolas dos gráficas. Se pueden analizar por separado.

Darle sentido ala situación

planteada en eltexto

Propiedades delas funcionescuadrática y

racional

Tabla convalores deejemplares

costos, ventas,ganancia y

ganancia porpeso invertido

Relaciones entreejemplares,

costos, ventas yganancias

Ganancia máximaGanancia por pesoinvertido máxima


En la gráfica de la ganancia, si se elige una escala y valoresde la “ventana de la pantalla” que permitan ver los ejes de co-ordenadas, se observa una parábola “muy abierta”, es decir,con poca variación en los valores de la ganancia. Al cambiar deescala y “ventana de la pantalla” puede verse una gráfica másfamiliar de la parábola y en la cual más fácilmente se observeel máximo de la ganancia.

De acuerdo a las características de la calculadoragraficadora se puede obtener el máximo al usar la opción de‘zoom’ o una opción específica de máximo de una función quetienen algunas calculadoras.

En cuanto a la gráfica de la ganancia máxima por peso in-vertido, se pueden tomar para n valores de –2 a 10. En este casose observa una curva decreciente.

Las gráficas de la ganancia y de la ganancia por peso inver-tido permiten discutir la diferencia entre lo que es la situaciónde un problema y el modelo matemático que se utiliza para susolución. En ambas gráficas se aprecia que las curvas no se in-terrumpen para valores negativos de n, aunque para la situa-ción planteada sólo tiene sentido trabajar con valores no nega-tivos de n.

1200000

1210000

1220000

1230000

1240000

1250000

1260000

1270000

1280000

1290000

1300000

1310000

1320000

1330000

1340000

1350000

1360000

ganancia

1 2 3 4 5 6 7 8 9

gananciapor pesoinvertido

55Álgebra

También a partir de las gráficas se puede discutir la diferen-cia entre lo discreto y lo continuo. Si se admite que los descuen-tos al precio de venta sólo pueden ir de cinco en cinco pesos,los valores de n sólo pueden ser números enteros y en conse-cuencia la gráfica que representa eso corresponde sólo a algu-nos de los puntos que se observan en las gráficas. De esta for-ma el máximo de la ganancia (para 9,400 álbumes) no coincidecon el máximo de la parábola que la representa.

La gráfica de la ganancia por peso invertido puede analizar-se más. Si se amplía la “ventana de la pantalla” se puede obser-var que la curva sí tiene un máximo, pero este máximo se tienepara un valor de n cercano a –10.

-28 -26 -24 -22 -20 -18 -16 -1 4-12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-0.5

0.5

1.0

1.5

gananciapor pesoinvertido

Si se acepta que la situación sigue siendo válida para valo-res negativos de n, es decir no sólo para descuentos sino tam-bién para aumentos, el máximo de la ganancia por peso inver-tido no se obtiene cuando no se ha hecho ningún descuento,sino cuando se aumenta el precio de venta en $50.

Pero la gráfica tiene algo más. Varios modelos de calculado-ra trazan una recta vertical cuando la curva tiene una asíntotavertical, que es lo que ocurre con la gráfica de ganancia por


peso invertido. Así pues, lo que se observa en la calculadoragraficadora lleva a un análisis de la ecuación

G n

C n

n n

n

( )

( )=

- + +

+

1500 23500 1265000

28500 765000

2

Para facilitar tal análisis conviene hacer la divisiónalgebraica del numerador del lado derecho de la expresión en-tre el denominador del mismo lado. De esta forma se obtiene:

G n

C n

n

n

( )

( ) ( )= - -

+

2423

1083 19

322400

1083 19 510

De aquí se sigue que cuando se toman valores muy grandesde n, positivos o negativos, el último cociente toma valores cer-canos a cero, comportándose la gráfica como si fuera la recta deecuación

y nn

( ) = -2423

1083 19

De hecho esta recta resulta ser una asíntota de la curva. Encambio, cuando n toma valores cercanos a

-510

19

(que es aproximadamente -26.84211), los valores del últimocociente llegan ser muy grandes en valor absoluto. De hecho,la ecuación de la ganancia por peso invertido es la de una hi-pérbola.

Al observar las gráficas de la ganancia y de la ganancia por pesoinvertido, es posible que algún alumno señale que un indicio deque se está acercando a un máximo es el comportamiento de ladiferencia de los valores de la ganancia (o la ganancia por pesoinvertido) para distintos valores de n igualmente espaciados (deunidad en unidad, por ejemplo). Si la diferencia va disminuyendo,se está acercando a un punto máximo. Desde luego que no bastacon el señalamiento, se les tiene que pedir a los alumnos que ar-gumenten sus señalamientos, al tratar otros casos, o al trazar cur-vas que tengan algún máximo.

57Álgebra

Como puede apreciarse de lo señalado, este problema sus-cita varios aspectos a discutir y tratar en el grupo. El que sea asídependerá del grupo, pues si estos asuntos no aparecen de ma-nera natural en la discusión, poco recordarán y aprenderán losalumnos. En todo caso el profesor podrá retomar el problemaen otro momento para destacar alguno de los temas aquí seña-lados.

En resumen, algunos aspectos del problema que convieneatender durante el trabajo de los equipos y retomar en la dis-cusión con todo el grupo son:

Darle sentido a la situación

Interpretar la situación

presentada en forma textual

(recomendar la validación

explícita de los resultados

obtenidos)

Función cuadrática

Función racional

Modelación

Representaciones

Representaciones

Características de la forma

geométrica

Representaciones

Características de la forma

geométrica

Textual a tabular

Textual a algebraica

Tabular a algebraica

Tabular a geométrica

Algebraica a geométrica

Vértice

Eje de simetría

Tabular a Algebraica

Tabular a Geométrica

Algebraica a Geométrica

Discontinuidad

Asíntotas

Transcripción de situaciones problemáticas a un

lenguaje algebraico; utilización de las técnicas

matemáticas apropiadas para resolverlas y dar una

interpretación, ajustada al contexto, de las soluciones

obtenidas


Darle sentido a la situación Interpretar la situación presen-tada en forma textual (recomendar la validación explícita de losresultados obtenidos) Representaciones Textual a tabu-lar

-100 100 200 300 400 500 600 700

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000

90000

100000 pesos

ejemplares

IngresosCostos

Ejemplo de problema: “Ifigenia Cruel” de Alfonso Reyes

ENUNCIADO:En la gráfica se muestran los costos de edición y los ingresos porla venta de una edición facsimilar del poema dramático de Al-fonso Reyes, “Ifigenia Cruel”.

CUESTIONARIO1. ¿Cuáles son los costos, los ingresos y la ganancia por produ-

cir y vender 0, 100, 200, 350, 550 y 600 ejemplares?2. ¿Dentro de qué límites se debe mantener la oferta para ob-

tener ganancias?3. ¿Cuál debe ser la oferta para obtener el mayor ingreso?4. ¿A cuánto ascienden los costos fijos de producción?5. ¿Cuánto cuesta producir cada libro si no se consideran los

costos fijos?

59Álgebra

6. ¿Hay una ganancia máxima? Justifica tu respuesta. Si hayuna ganancia máxima calcúlala.

7. ¿Cuál es la ecuación de los costos?8. ¿Cuál es la ecuación de los ingresos?9. ¿Cuál es la ecuación de la ganancia?10. Traza la gráfica de la ganancia en los mismos ejes.11. Plantea tres preguntas sobre esta misma situación y respón-

delas.12. Si se reducen los costos, tanto el de producción de cada li-

bro como los fijos, a $120 y $8,5000, respectivamente, ¿cuáles la ganancia máxima?

SOLUCIÓN:1. ¿Cuáles son los costos, los ingresos y la ganancia por produ-

cir y vender 0, 100, 200, 350, 550 y 600 ejemplares?Se parte de la gráfica. Para dar respuesta a la pregunta sepueden hacer estimaciones obtenidas de la gráfica “al tan-teo”, o encontrar las ecuaciones de costos e ingresos.

a) Si se resuelve por tanteo se espera que las respuestas en cadacaso se encuentren en cierto intervalo.Los costos y los ingresos se obtienen de la gráfica. En cuan-to a las ganancias, es el resultado de la resta de los ingresosmenos los costos.

b) Obtención de las ecuaciones.

EJEMPLARES COSTOS INGRESOS GANANCIAS

0 $ 10,000 $ 0 – $10,000

100 $ 24,000 - $26,000 $36,000 - $38,000 $10,000 - $14,000

200 $39,000 - $41,000 $64,000 - $66,000 $23,000 - $27,000

350 $ 62,000 - $64,000 $87,000 - $89,000 $23,000 - $27,000

550 $ 92,000 - $94,000 $82,000 - $84,000 – $12,000 - –$8,000

600 $ 99,000 - $101,000 $74,000 - $76,000 – $27,000 - –$23,000

De la recta que representa los costos se precisan dos puntos(0, 10,000) y (200, 40,000). A partir de ellos se pueden encon-trar los valores del costo para cada número de ejemplares se-ñalados en la pregunta, la ecuación es

C n= +150 10000


En cuanto a la curva que representa los ingresos, lo primeroes pensar en una parábola; es decir, en una curva que es la grá-fica de una expresión cuadrática. En la gráfica se distingue unpunto: (50, 20,000). Tal vez también (400, 90,000) y, desde lue-go, el punto (0, 0)es un punto de la curva. De esta manera, laexpresión es de la forma

I an bn= +2

(donde I es el ingreso; n el número de ejemplares vendidos; ay b constantes a determinar). De los primeros dos puntos seña-lados se obtiene el sistema

20000 2500 50

90000 160000 400

= +

= +

a b

a b

Al resolverlo se obtiene I n n= - +1

24252

Como G I C= - , donde Ges la ganancia, se obtiene

G = - + -1

2275 100002n n

Al usar estas expresiones y lo que se mencionó de costos, setiene:

EJEMPLARES COSTOS INGRESOS GANANCIAS

0 $10,000 $0 – $10,000

100 $25,000 $37,500 $12,500

200 $40,000 $65,000 $25,000

350 $62,500 $87,500 $25,000

550 $92,500 $82,500 – $10,000

600 $100,000 $75,000 – $25,000

Desde luego que los valores negativos de las ganancias indi-can pérdidas.

61Álgebra

2. ¿Dentro de qué límites se debe mantener la oferta para ob-tener ganancias?De la gráfica, corresponde a aquella región donde la curvade los ingresos está arriba de la recta de costos. Los límitescorresponden a los puntos de intersección de la curva y larecta. La respuesta se puede dar por tanteo o al encontraralgebraicamente los puntos de intersección.

a) Por tanteo en la gráfica.Desde entre 35 y 45 ejemplares hasta entre 505 y 515 ejem-plares.

b) Al utilizar las ecuaciones.

Al tomar C I= , se tiene 150 100001

24252n n n+ = - + ,

de donde se sigue 1

2275 10000 02n n- + =

Al resolver la ecuación, se obtienen valores irracionales. Sise redondean, se tiene que deben producirse y venderse entre40 y 510.3. ¿Cuál debe ser la oferta para obtener el mayor ingreso?a) Al usar la gráfica, se observa que el punto más alto de la cur-

va de ingresos está entre 400 y 450. Si se observa la simetría,el punto máximo es cuando se producen 425 ejemplares. Elingreso está entre $90,000 y $91,000.

b) Al usar las expresiones algebraicas calculadas y la simetríade la curva, se obtiene el máximo ingreso para 425 ejempla-res. El ingreso es de $90,312.5

4. ¿A cuánto ascienden los costos fijos de producción?Ascienden a $10,000 y esto corresponde al punto de intersec-ción de la recta que representa los costos con el eje vertical.

5. ¿Cuánto cuesta producir cada libro si no se consideran loscostos fijos?

a) De la gráfica se observa que para 200 ejemplares los costosascienden a $40,000, pero esta cantidad incluye los costos fi-jos de producción ($10,000). Se obtiene que, al eliminar loscostos fijos, cuesta $30,000 producir 200 libros. De aquí se si-gue que el costo promedio por libro es de $150. Mediante unrazonamiento similar se obtiene el mismo costo promedio apartir de que para 400 ejemplares los costos ascienden a$70,000. Como la gráfica de costos es una recta, este costopromedio no cambia. Así pues, sin considerar los costos fi-


jos, producir cada libro cuesta $150.b) De la ecuación de la recta de costos, C n= +150 10000 , se

sigue que el coeficiente de n, 150, corresponde al costo porlibro en pesos.

6. ¿Hay una ganancia máxima? Justifica tu respuesta. Si hayuna ganancia máxima calcúlala.

La ganancia se obtiene de la resta de los ingresos menoslos costos. En la gráfica, para cada número de ejemplares dado,la ganancia corresponde a la separación entre la recta y la pa-rábola, es decir, a la longitud del segmento vertical que tiene susextremos en la recta de costos y la curva de ingresos.

a) Por tanteo.Al utilizar escuadras graduadas se encuentra que la máximaganancia se obtiene entre 250 y 300 ejemplares y está entre$27,000 y $29,000.

b) Al utilizar las ecuaciones.La ecuación de las ganancias es G n n= - + -

12

275 100002

La gráfica de esta ecuación también es una parábola. Deaquí se sigue que la ganancia máxima se obtiene cuando el nú-mero de ejemplares producidos y vendidos es 275 y la gananciaes $27,812.5 .

Si se quisiera usar la tabla construida para responder la pri-mera pregunta, hay que revisar lo que sucede entre 200 y 350ejemplares, pues en ambos casos la ganancia es la misma. Porsimetría, se espera que la ganancia máxima esté en 275 ejem-plares.7. ¿Cuál es la ecuación de los costos?

Ya lo señalamos antes: C n= +150 10000

8. ¿Cuál es la ecuación de los ingresos?

Como ya ha se había discutido I= - +1

24252n n

9. ¿Cuál es la ecuación de la ganancia?

Es G n n= - + -1

2275 100002

63Álgebra

10. Traza la gráfica de la ganancia en los mismos ejes.A partir de la ecuación de la ganancia y mediante una tablade valores de n y G, se obtienen puntos que luego segrafican.(También se pude usar una calculadora con poder degraficación).

11. Plantea tres preguntas sobre esta misma situación y respón-delas.Se pueden plantear varias preguntas, algunas sin modificarlas condiciones iniciales, por ejemplo: ¿Cuál es la gananciapara 50 ejemplares? ¿Cuántos ejemplares producidos cues-tan $50,000? ¿Cuál es la ganancia cuando se producen 300ejemplares, pero se venden 200?Otras involucran cambios en las condiciones iniciales. Porejemplo: Si los costos fijos son de $20,000 ¿entre qué límitesde número de ejemplares se obtienen ganancias? ¿Cuál debeser el valor de los costos fijos para que no haya ganancias?¿Es posible cambiar los coeficientes de las ecuaciones decostos y de ingresos de manera que la máxima ganancia co-incida con el máximo ingreso?

12. Si se reducen los costos, tanto el de producción de cada li-bro como los fijos, a $120 y $8,500, respectivamente, ¿cuál esla ganancia máxima?

-100 100 200 300 400 500 600 700

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000

90000

100000 pesos

ejemplares

Ingresos

Costos

Ganancias


En este caso la expresión del costo es C n= +120 8500 y la

de la ganancia es G x n n( ) = - + -1

2305 85002

. La ganancia

máxima se obtiene cuando el número de ejemplares es 305, yes de $38,012.5

CLASIFICACIÓN

Título ‘Ifigenia Cruel’ de Alfonso Reyes

1. Experiencia de aprendizaje 1.2 Resolución de problemas guiada con exploración

2. Modalidad de trabajo 2.2 Equipo; 2.3 Grupo

3. Lugar de realización 3.1 Salón de clases

4. Herramientas tecnológicas 4.1 Juego de geometría; 4.3 Calculadora científica

5. Tiempo 60 minutos (si se tiene limitación de tiempo, el profesorpuede seleccionar algunas preguntas para que se trabajencomo tarea y ampliar la discusión en otra sesión)

6. Producto 6.1 Reporte de RP

7. Referencias curriculares 1.4. Contenidos1.4.1. Conceptuales (3.1, 3.2); (4.1, 4.2); (5.2)1.4.2. Procedimentales p1, p2, p3, p4, p5, p6, p8, p101.4.3. Actitudinales a2, a3, a6, a7, a131.5 Competencias básicas del estudiante de bachillerato cb1,cb2, cb3, cb5, cb71.6. Estándares 2000 del NCTMe1.3, e2.1.2, e2.1.3, e2.2, e2.3, e2.4 e3.4.5 e4.1.1,e4.2.1 e6 e8 e9 e10

8. Representaciones 8.3 Gráfica- 8.2 Tabular - 8.4 Algebraica - 8.3 Gráfica

9. Estrategias Localiza los puntos en la gráfica que te permiten responderlas preguntas Haz una estimación razonable de los valoresrepresentados por estos puntos Haz una tabla Obtén la ecuación

10. Evaluación Evaluación del reporteEvaluación de la presentación

Observaciones Se recomienda trabajar esta actividad por lo menos en dosocasiones; en la primera se puede centrar la atención en el usode las representaciones gráfica y tabular; en las posteriores sepuede destacar la representación algebraica y sus relacionescon las otras formas de representación

65Álgebra

COMENTARIO:

Las ecuaciones que se utilizaron para hacer las gráficas son:

Costos, y=150x+10,000

Ingresos, y=-0.5x2+425x

En esta actividad se parte de la representación gráfica de dosfunciones: los costos de edición y los ingresos por las ventas. Enla gráfica se especifican las variables representadas en cada ejey las escalas con sus unidades correspondientes. Se puede su-poner que se trata de una recta para los costos y de una pará-bola para los ingresos. Las estrategias básicas de solución son:

• La lectura de la gráfica y la organización de los valoresobtenidos en una tabla.

• La lectura de la gráfica, la aplicación de algún algoritmopara la obtención de las representaciones algebraicas y el cál-culo de los valores necesarios para responder las preguntas.

A partir únicamente de la lectura de la gráfica se puede res-ponder la mayoría de las preguntas, si se han comprendido lasrelaciones entre las cantidades que intervienen en la situación:la ganancia se obtiene de la diferencia de los ingresos y los cos-tos. Así, en las preguntas sobre los costos, los ingresos y la ga-nancia correspondientes a la producción y venta de un cierto

1 00 200 30 0 4 00 500 60

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000

90000

x

y

cos tos

ingresos


número de ejemplares, basta con la lectura sobre las gráficas delas ordenadas de los ingresos y los costos, y del cálculo de ladiferencia entre ambas para la ganancia. El intervalo que co-rresponde a una ganancia positiva se puede ubicar visualmentedonde la parábola está encima de la recta, y está limitado porlas intersecciones, que se pueden leer sobre la gráfica. Para ob-tener el ingreso máximo se puede tratar de ubicar visualmenteel vértice, o usar la propiedad de simetría de la parábola, tra-zando una recta horizontal y obteniendo la mediatriz del seg-mento determinado por los puntos de intersección de la rectay la parábola; esta mediatriz corta a la parábola en su vértice ypuede ayudar a hacer una mejor lectura de las coordenadas delvértice. Para la obtención de la ganancia máxima se puede usarun recurso similar, considerando que la diferencia de una fun-ción cuadrática y una lineal es también una función cuadrática,de donde resulta que la ganancia es una parábola cuyos puntosde intersección con el eje horizontal coinciden con las intersec-ciones de la curva de ingresos y la recta de costos, en donde laganancia es nula. La ganancia máxima es la ordenada del vér-tice de esta parábola y se puede obtener trazando una verticalpor el punto medio del segmento determinado por las intersec-ciones, aprovechando nuevamente la propiedad de simetría dela parábola con respecto a su eje.

Lectura depuntos sobre las

gráficas

Propiedades delas funciones

lineal ycuadrática

Tabla convalores de

ingresos, costosy ganancia

Relaciones entreingresos, costos

y ganancia.(Cuestiones delcontexto de la

situación)

Ingreso máximo.Ganancia máxima.Gráfica de ganancia

67Álgebra

Para responder las preguntas se pueden obtener las ecuacio-nes de la recta de costos y la parábola de ingresos. Para obte-ner la ecuación de la recta se puede utilizar algún algoritmo, porejemplo:• Leer dos puntos para calcular la pendiente y con la intersec-

ción de la recta con el eje vertical (0,b) usar la formay=mx+b.En este caso se pueden escoger los puntos (0, 10,000) y (600,100,000), de donde m=150 y b=10,000. Así que la ecuaciónde la recta de costos es y=150x+10,000.

• Otro procedimiento se basa en la semejanza de los triángu-los señalados:

y

x

-

-=

-

-

10000

0

85000 10000

500 0

de donde resulta y=150x+10000.

100 200 300 400 500

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000

90000 y

(x,y)

(0,10000)

(500,850 00)

Para obtener la curva de los ingresos, se puede aplicar algu-no de los algoritmos siguientes:• Leer tres puntos de la curva y sustituir sus coordenadas en

y=ax2+bx+c, suponiendo que se trata de una funcióncuadrática. Al resolver el sistema de tres ecuaciones (en rea-


lidad dos, si consideramos que uno de los puntos es el ori-gen) se obtienen los coeficientes de la función cuadrática. Deser posible, es conveniente que los puntos elegidos sean si-métricos con respecto al eje de la parábola; de esta maneraimplícitamente se estaría eligiendo el vértice, algo que con laelección de dos puntos no simétricos no puede garantizarse.

Por ejemplo, algunos de los que se señalan en la gráfica:De (0,0), resulta c=0De (50, 20,000), resulta 20,000=a(50)2+b(50)De (400, 90,000), resulta 90,000=a(400)2+b(400)Al resolver este sistema se obtiene: a=-0.5, b=425, de donde la

ecuación de los ingresos es y=-0.5x2+425x

• Otra forma de obtener la ecuación de los ingresos es a par-tir de la forma y= K(x-x1)(x-x2), en donde x1 y x2 son las in-tersecciones de la parábola con el eje horizontal y K unaconstante. Como en este caso no aparecen los dos puntos deintersección de la curva con el eje horizontal, se aprovechanuevamente la propiedad de simetría de la parábola con res-pecto a su eje. Al trazar la mediatriz del segmento horizon-tal determinado por los puntos de intersección de una rectahorizontal con la parábola, se identifica el eje de la parábo-la, que es esta mediatriz, cuya ecuación es x=425; al reflejarel punto de intersección visible (0,0) con respecto a este eje,

10 0 2 00 30 0 4 00 50 0

1 00 00

2 00 00

3 00 00

4 00 00

5 00 00

6 00 00

7 00 00

8 00 00

9 00 00y

( 20 0,65 00 0)

( 50,20 000 )

( 40 0,90 00 0)

69Álgebra

se obtiene el otro punto de intersección (850,0). Y con otropunto, por ejemplo (200, 65,000) se calcula la constante K.Así, x1=0, x2=850, de donde resulta y=K(x-0)(x-850).Asimismo, con (200, 65,000), se tiene 65,000=K(200)(200-850), de donde K=-0.5

La gráfica de la ganancia se obtiene graficando la parábolaque representa la función cuadrática que se obtiene restando delos ingresos los costos:

y= (-0.5x2+425x)-(150x+10,000)y= -0.5x2+275x-10,000Para encontrar la ganancia máxima se utiliza nuevamente la

simetría; la abscisa será el punto medio de los puntos de cortede una horizontal con la parábola; particularmente se puedenutilizar los ceros, pero la suma de las raíces está relacionada conlos coeficientes de la función cuadrática mediante:

x xb

a1 2+ = - , y x1x2 =

c

a y puesto que h

x x=

+1 2

2

la ganancia máxima se obtiene cuando se producen y venden275 ejemplares.

En este problema es particularmente importante el manejode las representaciones. Puesto que el planteamiento es básica-

1 00 200 30 0 4 00 500

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000

90000

y

ganancia


mente gráfico, conviene hacer algunas observaciones sobre lascaracterísticas de esta representación. En un primer nivel se dauna lectura local de los puntos que sólo permitiría responderalgunas de las preguntas sobre los ingresos y los costos corre-spondientes a un número dado de ejemplares. Aún en este casoes necesario tomar en cuenta las escalas de los ejes para darrespuestas adecuadas, considerando la imprecisión naturalmen-te asociada con la representación gráfica. Una cuestión que sepuede discutir en los equipos y, posteriormente, con todo el gru-po es: ¿qué es una lectura aceptable de las coordenadas de unpunto en una gráfica?

Las respuestas relativas a otras características, como losmáximos o los ceros, hacen intervenir aspectos geométricos delas curvas y consideraciones sobre el significado de las intersec-ciones, si se mantienen relacionadas básicamente con las tablas.En caso de que se avance hacia el establecimiento de las repre-sentaciones algebraicas, hay algunos aspectos visuales de lascurvas que sirven de control para que se evalúe la correspon-dencia entre la ecuación y la gráfica, que van desde la compro-bación de que algunos valores obtenidos de la ecuación estánen la gráfica hasta algunas características como el valor y signode la pendiente de la recta y los coeficientes de la funcióncuadrática. Cada uno de estos aspectos se pueden tratar prove-chosamente en la discusión profundizando particularmente enlas estrategias que utilizaron para pasar de la representacióngráfica a la algebraica, tanto en el caso de la función linealcomo en el de la cuadrática.

71Álgebra

Lectura de las gráficas

Representación gráfica e interpretación de las

funciones lineales y cuadráticas a través de sus

elementos característicos (pendiente de la recta,

puntos de corte con los ejes, vértice y eje de

simetría de la parábola)

Función lineal

Función cuadrática

Sistemas de ecuaciones

Modelación

Lectura local

Lectura global

Representaciones

Representaciones

Características de la

forma geométrica

Puntos, coordenadas

Escalas, unidades

Intervalos de crecimiento y

decrecimiento, extremos

Concavidad

Gráfica a tabular

Gráfica a algebraica

Gráfica a tabular

Gráfica a algebraica

Vértice

Eje de simetría

Representación, algoritmo e interpretación de los

resultados

Transcripción de situaciones problemáticas a un

lenguaje algebraico, utilización de las técnicas

matemáticas apropiadas para resolverlas y dar una

interpretación, ajustada al contexto, de las

soluciones obtenidas

En resumen, algunos aspectos del problema que conviene atender durante el traba-jo de los equipos y retomar en la discusión con todo el grupo son:

73Álgebra

La lectura, seguida de la discusión de un artículo (o el ver y es-cuchar una película) no tiene como finalidad solamente presen-tarles a los alumnos un lado amable de las matemáticas y com-batir con ello la llamada matematifobia de los alumnos. Comolas demás actividades, las lecturas juegan un papel importantespara el aprendizaje de los alumnos.

Ahora se tiene información por todas partes: en la radio, te-levisión, periódicos, revistas e Internet. Sin embargo, para queresulte útil esta información disponible es necesario desarrollaruna actitud crítica y reflexiva de quien recibe la información,especialmente de nuestros alumnos. Esto también se aplica enla escuela. Para nuestros alumnos es natural, porque así los he-mos acostumbrado, suponer que cada materia que estudian esindependiente de las demás y que en matemáticas no se lee,sino que se aprenden y aplican procedimientos. No es as;, nues-tros alumnos requieren desarrollar habilidades más complejasque lo anterior. Y una de ellas es que sean lectores críticos y re-flexivos, que comprendan conceptos y sean capaces de fundamen-tar sus opiniones o conclusiones a partir de la elaboración de ar-gumentos claros, coherentes y lógicamente estructurados.

Lecturas


También, que donde aparezca una relación matemática la iden-tifiquen y hagan uso de las matemáticas para comprender la lec-tura.

Estas habilidades no se desarrollan simplemente solicitándo-le a nuestros alumnos que lean o vean ciertos artículos o pelí-culas. Es necesario que en las discusiones durante o posterio-res a ellas se les señale la importancia de una revisión cuidadosade su contenido y de los nuevos temas que surgen para una in-vestigación posterior y que depende de cada uno de nosotros sila hacemos o no.

Nuestros alumnos deben aprender a ser buenos lectores ypara ello resulta especialmente útil la ficha o guía que se tieneen los MAPOA sobre la lectura.

Como en las demás actividades de aprendizaje, debes pla-near cada lectura antes de solicitársela a los alumnos. Elaborapreguntas que puedes entregarles a los alumnos antes de la lec-tura para que las respondan en su reporte o para que te sirvancomo guía de la discusión. Mediante estas preguntas destacaslos objetivos de aprendizaje que buscas lograr con la actividad.También puedes anticipar las inquietudes y preguntas de losalumnos. Ante las palabras cuyos significados desconozcan, hayque acostumbrarlos a consultar diccionarios.

Los artículos y películas que se señalan en la guía delibera-damente no están muy cercanos a los temas del programa deÁlgebra, pues se pretende que los alumnos identifiquen la di-mensión matemática que contienen y que buena parte de aná-lisis se centre en ella. Debes ser cuidadoso de exigirles a losalumnos que cuando acepten una cierta conclusión, se deba ala argumentación que la acompañe.

Como un ejemplo, te presentamos un control de lectura delartículo “Ética y matemáticas”.

75Álgebra

Ética y matemáticas, o cómo la matemática ayuda a compren-der la ética.

El artículo trata del uso de las matemáticas en la ética. Gene-ralmente lo que se usa de matemáticas para comprender razo-namientos éticos es la aritmética. La ética se refiere al compor-tamiento del individuo y a criterios que orienten esecomportamiento. Al analizar el comportamiento a partir de susconsecuencias, importa reflexionar sobre la cantidad de perso-nas que se benefician o perjudican con ese comportamiento. Esaquí donde interviene la aritmética. Un pequeño cálculo arit-mético puede ser muy ilustrativo. Como ejemplo el autor noshabla de la cantidad de niños que mueren por causas (enferme-dades) que no deberían tener efectos tan severos. Esta situacióncambiaría radicalmente si los recursos que se utilizan para con-tinuar con hábitos o costumbres dañinas a la salud individual ysocial, se canalizaran para prevenir estas muertes.

El autor señala una situación discutible. Afirma que si setoma una decisión riesgos, a que al adoptarla provoca un cam-bio de vida radical de un grupo de personas (cambiar de lugarde residencia y actividades productivas, entre otros), y luegodurante siglos produce beneficios en la situación económica delas personas, pero después causa la muerte de 50 millones depersonas, esta decisión no fue mala para nadie, pues aun losmuertos gozaron de sus beneficios mientras vivieron.

Al calcular para comprender la

situación que se analiza

Por la necesidad de una

“aritmética cantoriana” para lo

que tiene valor infinito

Mediante argumentos

cuasimatemáticos

Al contrastar la pequeña

aportación al bien colectivo y

una gran aportación al bien

individual

La matemáticaayuda a la ética

1. Estructura

2. Resumen


Por último, con el llamado dilema del preso ilustra que elbien individual puede significar un mayor daño colectivo y que,por lo general, es mejor, socialmente, tener una actitud de co-operación y no una individualista.

3. Comentarios y opiniones

Es cierto, la matemática nos permite comprender principioséticos y “fallas” de nuestra sociedad. Si nos fijáramos más enel bien común que en el propio, tendríamos una sociedad másequilibrada, menos cruel e injusta.

La toma de una decisión riesgosa es un buen tema de dis-cusión. Si las consecuencias de esa decisión fuese en lo inme-diato un mayor empobrecimiento general, sería una mala de-cisión a corto plazo. Si antes de que esa decisión tuviese losefectos benéficos que se esperan ocurre una catástrofe no atri-buible a ella, sería una decisión que no podría calificarse comobuena. De esta forma, es relativo decir que una decisión fuebuena o mala.

Quien no sepa de Cantor y su aportación a la teoría de lacardinalidad, no entenderá bien a bien el sentido de lo que sedice en el texto. Se les puede sugerir a los alumnos que lean elartículo “¡Al infinito y más allá!” en el número 15 de la revis-ta ¿Cómo ves?, publicada por la UNAM.

4. Preguntas y respuestas (parciales)

¿La moral y la ética son lo mismo? No; la moral es la parte dela filosofía que enseña las reglas que deben gobernar la activi-dad libre del hombre; la ética se refiere a los principios de lamoral; es decir, la ética le da sentido a las reglas de la moral.

¿La ética es parte de la matemática?No, pues la matemática no tiene como parte esencial la acti-

vidad libre del hombre.¿Qué relación hay entre la ética y la matemática?La matemática permite comprender razonamientos éticos.¿Spinoza utilizó figuras geométricas en su obra Ética?No exactamente. Escribió su libro manteniendo una estruc-

tura similar a lo que hizo Euclides con sus Elementos; dedujoprincipios a partir de otros que justificó por ser evidentementeaceptables (conocidos como axiomas en matemáticas).

¿Hay que obligar a las compañías tabaqueras a que en lugarde pagar para publicitar sus productos destinen ese dinero para

77Álgebra

programas de asistencia a la niñez y control de la natalidad?No, sino sensibilizar a la comunidad mundial para apoyar

programas de bienestar social, así como actitudes que puedencausarnos pequeñas molestias, pero que colectivamente tienenun gran impacto si todos las llevamos a cabo.

¿Los responsables de tomar una decisión riesgosa deben infor-mar de ella a las personas involucradas o simplemente tomarla?

Deben informarles.¿Quiénes deben opinar sobre una decisión riesgosa, sólo es-

pecialistas o las personas afectadas, aunque no entiendan lasituación?

Deben opinar especialistas y la toma de decisión debe ser apartir de los argumentos de los especialistas; los afectados de-ben ser informados de la decisión y del por qué. ¿Puedes dar unejemplo de una decisión riesgosa?

¿Puedes dar un ejemplo de una situación de tu vida cotidia-na que tenga la estructura del dilema del preso?

La basura. Si levanto los papeles que están alrededor de mimesabanco, como todos mis demás compañeros lo hacen, ten-dremos limpio el salón. Si sólo yo lo hago y nadie más, el salónestará sucio y a mí se me cargará el trabajo, pues otros lanza-rán papeles en mi mesabanco.

¿Es posible calificar cada una de nuestras decisiones comobuenas o malas?

No siempre. Hay decisiones que sí pueden calificarse de in-mediato; otras hasta después de conocer sus consecuencias; ypara otras nunca sabremos las consecuencias.

5. Glosario Moral: parte de la filosofía que enseña las reglas que debengobernar la actividad libre del hombre.

Ética: relativo a los principios de la moral.Rawls John: filósofo contemporáneo.Kant (Emmanuel): filósofo alemán (1724-1804), autor de

Crítica de la razón pura. Crítica de la razón práctica y Crítica deljuicio. Formuló un idealismo trascendental.

Trascendental: que se extiende a otras cosas.Idealismo: sistema filosófico que considera la idea como

principio del ser y del conocer.Spinoza (Baruch de): filósofo holandés (1632-1677), cuyo

racionalismo le dio una visión panteísta del universo.Panteísmo: sistema filosófico según el cual Dios se identifi-

ca con el mundo.


Euclides: matemático griego que enseñaba en Alejandría (s.III a. de J. C.). Fundador de la geometría plana.

Estoicismo: doctrina filosófica de Zenón de Citio, llamadatambién doctrina del Pórtico, según la cual el bien supremo re-side en el esfuerzo que obedece a la razón y queda indiferenteante las circunstancias exteriores.

6. Aspectos de la lectura que se relacionan con el curso

1. Uso de la matemática en otras áreas.2. Uso de la aritmética para comprender argumentos.3. Conocer de manera superficial otros aspectos de las matemá-

ticas y de la filosofía.

Desde luego no sólo a los alumnos les son provechosas las lec-turas de diversos artículos. También a nosotros los profesores.Su lectura y discusión entre colegas enriquece la vida académi-ca, tan necesitada de consolidarse en nuestras escuelas. Apro-vechemos la guía para el control de la lectura que viene en losMAPOA. A continuación te presentamos tres artículos de me-diana extensión. Con tus compañeros elige otros que juzguespertinentes para su discusión.

Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática EducativaVol. 1, Núm. 1, marzo 1998, 23-40.

Complejidad del currículo de matemáticascomo herramienta profesional

Luis Rico1

En este trabajo se presenta el concepto de currículo comoun plan de formación, que se propone responder a: ¿Quées y en qué consiste el conocimiento matemático? ¿Qué esel aprendizaje? ¿Cómo se caracteriza el aprendizaje de lasmatemáticas? ¿Qué es la enseñanza? ¿En qué consiste laeducación matemática? ¿Qué es y en qué consiste el cono-cimiento útil? ¿Cómo se evalúa el conocimiento matemá-tico? Estas cuatro cuestiones permiten establecer cuatro di-

LECTURAS PARA LOS PROFESORES

79Álgebra

mensiones en torno a las que se pueden organizar los nive-les de reflexión curricular. La funcionalidad del conceptode currículo se ha desarrollado mediante la búsqueda sis-temática de niveles de reflexión, estableciendo componen-tes por cada nivel y relaciones entre las componentes dediferentes niveles. También se presentan los organizado-res del currículo. El conocimiento didáctico sobre cada unode los contenidos del currículo de matemáticas ha de que-dar estructurado mediante la aportación que hace cada unode los organizadores a dicho contenido.

La iniciativa y la responsabilidad, la sensación de ser útil, e inclu-so indispensable, son necesidades vitales del alma humana. (...)La satisfacción de la necesidad de responsabilidad exige que unhombre tome con frecuencia decisiones en los problemas, gran-des o pequeños, que afectan a intereses que no son los suyos pro-pios, pero con los que se siente comprometido. También es nece-sario que tenga que aportar su esfuerzo continuamente. Porúltimo, debe poder abarcar intelectualmente la obra entera de lacolectividad de la que es miembro, incluidos los ámbitos en quenunca tiene decisión que tomar o consejo que dar. Para ello es in-dispensable que se le dé a conocer esa obra, que se le exija tomarinterés, que se le haga percibir su valor, su utilidad y, llegado elcaso, su grandeza; y que se le haga comprender claramente elpapel que desempeña en ella.

S. Weyl, 1996

Conocimiento profesional en educación matemática

En fechas recientes se ha desarrollado con fuerza la idea de quepara trabajar en la enseñanza de las matemáticas son necesariosconocimientos y destrezas específicos, que sean complementodel saber convencional sobre estructuras formales y algoritmos.Las limitaciones y dificultades que los profesores encuentranpara desarrollar su trabajo profesional en el sistema educativomuestran la necesidad de trabajar con esquemas fundamenta-dos mediante los cuales organizar el conocimiento pedagógicode los contenidos, así como contrastar pautas de actuación paraponer en práctica tales esquemas. Esta idea se contextualizacon las siguientes reflexiones:

1 Departamento de Didáctica de la Matemática, Universidad de Gra-nada, España


* Existe un campo profesional denominado matemática edu-cativa, o educación matemática, en el que trabajan los pro-fesores de los sistemas educativos de nuestros países y los in-vestigadores comprometidos en la solución de los problemasde la enseñanza de las matemáticas. El campo profesionaldel educador matemático tiene entidad propia, es ejercidopor decenas de miles de profesionales y afecta a millones deescolares (Rico y Sierra, 1991).

* Los profesores de matemáticas de secundaria del sistemaeducativo constituyen parte importante y diferenciada delcolectivo de los educadores matemáticos. Se presentan algu-nas características de este colectivo.

* Al ejercicio como profesor de matemáticas de secundaria sellega con una formación inicial descompensada. Hay unafuerte valoración sobre algunos componentes científicos ytécnicos que coincide con una ignorancia cultivada sobre loscomponentes didácticos y técnicos necesarios para el ejerci-cio de la profesión. La mala organización en la formación delos profesores de matemáticas tiene carácter estructural, re-percute en la calidad de la enseñanza que reciben los esco-lares y afecta el nivel cultural, científico y técnico de los ciu-dadanos.

* Con carácter general, los planes de formación inicial y per-manente del profesorado tienen una estructura administra-tiva inadecuada, están mal diseñados, carecen de calidad ensu realización, y su ejecución conlleva una mala gestión derecursos públicos. En España, en particular, las sucesivasreformas institucionales no terminan de incorporar en launiversidad los planes de formación del profesorado, no en-cuentran el apoyo académico, estructural y económico ade-cuado y no contemplan la necesaria especialización profesio-nal (Rico, 1994).

* Aunque el perfil del profesor de matemáticas en ejercicio noes uniforme, se encuentran rasgos compartidos que indicannecesidades formativas comunes a todos ellos. Los profeso-res de matemáticas tienen interés genérico por actividadespara el aula, ejercicios y problemas, unidades didácticas ela-boradas, pruebas de evaluación y, en general, por los nuevosmateriales de orientación práctica. Manifiestan curiosidadpor la historia y la filosofía de la matemática cuando se pre-sentan en términos divulgativos; este interés decrece cuan-do los temas se presentan con cierto nivel de profundidad(Rico y Coriat, 1992).

81Álgebra

* Los profesores de matemáticas presentan acusadas carenciasformativas en psicología, pedagogía, sociología de la educa-ción, epistemología, historia y didáctica de la matemática, locual implica una desconexión entre su trabajo profesional ylas bases y desarrollos teóricos correspondientes. Esta des-conexión produce una falta de criterios claros sobre cuálesdeben ser los conocimientos necesarios y el marco teóricoadecuado para ejercer satisfactoriamente como profesor dematemáticas; tampoco se dispone de criterios para valorar laexcelencia profesional (Rico y Gutiérrez, 1994).

* Los profesores de matemáticas son razonablemente críticosante los planteamientos innovadores. Aceptan con muchasreservas los cambios y modificaciones con profundidad so-bre el diseño y desarrollo del currículo de matemáticas.

* Por encima de todo el profesor de matemáticas de secunda-ria es un profesional honesto, que quiere realizar su trabajolo mejor posible; a veces se encuentra desorientado por lafalta de un marco conceptual preciso con propuestas claras,y por la pérdida creciente de legitimidad del plan inicial deformación con el que inició su trabajo.

Necesidades formativas del profesor de matemáticas

El profesor es un profesional que, por lo general, se ha inicia-do en la práctica de la enseñanza mediante ensayo y error, queha logrado un nivel de competencia y capacitación con escasaayuda institucional. Es tarea del profesor ayudar a sus alumnosa introducirse en una comunidad de conocimientos y capacida-des que otros ya poseen. Su trabajo es una actividad social quelleva a cabo mediante el desarrollo y puesta en práctica del cu-rrículo de matemáticas.

El desempeño adecuado de esta actividad profesional, queconsiste en la educación de niños y jóvenes mediante las mate-máticas, exige el desarrollo y puesta en práctica de un comple-jo plan de formación. El profesor ha de tener formación y co-nocimientos adecuados para controlar y gestionar la diversidadde relaciones que se presentan en los procesos de enseñanza yaprendizaje.

El profesor de matemáticas necesita conocimientos sólidossobre los fundamentos teóricos del currículo y sobre los princi-pios para el diseño, desarrollo y evaluación de unidadesdidácticas de matemáticas. Cuando los profesores no tienen una


formación teórica adecuada ven limitadas sus funciones a las demeros ejecutores de un campo de decisiones cuya coherencia ylógica no dominan y no entienden (Howson, Keitel yKilpatrick, 1981).

A los profesores no les basta con dominar los contenidos téc-nicos de su materia. El campo de actuación en el que el profe-sor de matemáticas tiene que desempeñar su tarea como edu-cador necesita del conocimiento didáctico del contenido, quetiene otras bases disciplinares.

El educador matemático que se concibe es un profesionalintelectualmente autónomo y crítico, responsable de sus actua-ciones, con capacidad para racionalizar sus acuerdos y sus des-acuerdos con sus colegas de profesión en el ejercicio de sus ta-reas. Para ello el educador matemático debe contar con basesteóricas e instrumentos conceptuales que le permitan planificarsu trabajo, tomar decisiones fundadas y encauzar sus actuacio-nes en el logro de las finalidades establecidas por un plan deformación socialmente determinado (Contreras, 1997).

Campo de trabajo: matemáticas escolares

El aula de matemáticas es el campo de trabajo del profesor ysu argumento son las matemáticas escolares. La reflexión y lavaloración sobre las matemáticas escolares han experimentadoen los últimos años cambios profundos y consistentes derivadosde los nuevos avances en el campo de la educación, de los estu-dios sobre sociología del conocimiento, del desarrollo de la edu-cación matemática y de la profesionalización creciente de loseducadores matemáticos.

En las modernas sociedades el sistema escolar es una insti-tución compleja, que implica a multitud de personas y organis-mos y trata de satisfacer una diversidad de objetivos no siem-pre bien delimitados y coordinados. Dentro del sistema escolartiene lugar gran parte de la formación matemática de las gene-raciones jóvenes; esta institución debe promover las condicio-nes para que los más jóvenes lleven a cabo su construcción delos conceptos matemáticos mediante la elaboración de signifi-cados simbólicos compartidos (Rico, 1995-a).

La dimensión educativa lleva a considerar el conocimientomatemático como una actividad social, propia de los interesesy de la afectividad del niño y del joven, cuyo valor principal estáen que organiza y da sentido a una serie de prácticas útiles, acuyo dominio hay que dedicar esfuerzo individual y colectivo.

83Álgebra

El educador se ocupa de iniciar a los niños y adolescentes en lacultura de la comunidad a la que pertenecen y de transmitirlessus valores sociales; de esta cultura también forma parte el co-nocimiento matemático, que debe comunicarse en toda pleni-tud a cada generación.El profesor es el agente principal de la puesta en práctica delcurrículo de las matemáticas escolares. Por este motivo es necesarioque tenga una formación diversificada y profunda, que lo dote decapacidad para controlar y gestionar la complejidad de las relacionesentre teoría y práctica. Para contribuir eficazmente, desde lasmatemáticas, a la puesta en práctica de un plan educativo, al profesorde matemáticas no le basta con dominar los contenidos de su mate-ria. El campo de actuación en que el profesor de matemáticas tieneque desempeñar su tarea como educador necesita del conocimientode otros campos disciplinares, lo que algunos especialistas llamanconocimiento de contenido pedagógico (Rico, 1995-b).

Este conocimiento tiene dos fuentes de reflexión encontradas:

* la complejidad conceptual e ideológica con la que se presen-ta la educación en las sociedades modernas;

* la necesidad de disponer de medios técnicos adecuados paraactuar eficazmente en el sistema educativo.

Noción de currículo

La tensión entre organización teórica y realización técnica po-lariza, al menos en España, la discusión de los últimos años so-bre la noción de currículo. De esta manera, el teórico, en defen-sa de un planteamiento humanista o crítico de la educación,elabora y estructura nuevas ideas y conceptos que dan cuentade la riqueza y profundidad de esta noción, apoya y sostiene eldesarrollo de la capacidad de reflexión del profesor y ejerce sucapacidad crítica sobre propuestas ya elaboradas o en procesode serlo. El tecnólogo, sin renunciar a la reflexión, defiende laeficacia como valor prioritario y, en su interés por mejorar elfuncionamiento del sistema educativo real, propone organiza-ciones técnicas simples y precisas para llevar adelante las tareasde la enseñanza (Rico, Castro y Coriat, 1997).

En su acepción educativa, el concepto de currículo se ha con-vertido en un término genérico con el que se denomina todaactividad que planifique una formación (Rico, 1990).


El currículo de la educación obligatoria es un plan de forma-ción, que se propone dar respuesta a las siguientes cuestiones:* ¿Qué es, en qué consiste el conocimiento?* ¿Qué es el aprendizaje?* ¿Qué es la enseñanza?* ¿Qué es, en qué consiste el conocimiento útil?

La intención del currículo es ofrecer propuestas concretassobre:* modos de entender el conocimiento,* interpretar el aprendizaje,* poner en práctica la enseñanza,* valorar la utilidad y dominio de los aprendizajes realizados.

Estas cuestiones marcan dimensiones prioritarias para orga-nizar la reflexión curricular, pero no señalan su contenido ex-plícito.

La primera cuestión, ¿qué es el conocimiento?, sirve de re-ferencia para otras preguntas más precisas, tales como:* ¿Qué es, en qué consiste el conocimiento matemático?* ¿Qué características relevantes diferencian este conocimien-

to de otros?* ¿Por qué es importante este conocimiento?* ¿Qué relaciones sostiene el conocimiento matemático con las

determinaciones culturales de nuestra sociedad?La discusión sobre ¿qué es el conocimiento matemático? no

es trivial y afecta profundamente al diseño y desarrollo del cu-rrículo de matemáticas.

La segunda cuestión, ¿qué es el aprendizaje? interviene en eldiseño y desarrollo del currículo. También esta cuestión gené-rica encierra un núcleo amplio de preguntas importantes:* ¿En qué consiste el aprendizaje?* ¿Cómo se produce? ¿Cómo aprenden niños y jóvenes?* ¿Es resultado el aprendizaje de una evolución o efecto de la

instrucción?* ¿Qué función tiene una teoría del aprendizaje?

Por lo que se refiere a nuestra disciplina, la pregunta básicase enuncia así:* ¿Cómo se caracteriza el aprendizaje de las matemáticas?

Todo currículo de matemáticas necesita estar basado en al-guna teoría o esquema conceptual que permita dar respuestafundada a cuestiones generales como las siguientes:* ¿Cómo son las personas en el trabajo con matemáticas?* ¿Cómo se desarrolla la comprensión de los conceptos mate-

máticos?

85Álgebra

* ¿En qué consiste la capacidad matemática?La tercera cuestión, ¿qué es la enseñanza?, da también lugar

a una diversificación de interrogantes específicas y precisas.Entre estas cuestiones se encuentran las siguientes:* ¿En qué consiste educar?* ¿En qué consiste la educación matemática?* ¿Cómo puede llevarse a cabo la formación de niños y jóve-

nes en un campo específico del conocimiento?* ¿En qué consiste la instrucción?

Finalmente, la cuarta cuestión, ¿para qué sirve el conoci-miento?, admite una serie de cuestiones más precisas:* ¿Cómo se establece la utilidad del conocimiento matemáti-

co?* ¿Cuándo un individuo dispone de conocimiento útil?* ¿Qué criterios determinan la capacidad matemática de una

persona?* ¿Mediante qué instrumentos se valora esa capacidad mate-

mática?* ¿Cuáles son los mecanismos sociales que sostienen esa valo-

ración?* ¿Mediante qué criterios se valora la eficacia de un currículo?* ¿Cómo y con cuáles criterios se valora la capacidad de un

profesor o de unos materiales curriculares?* ¿Qué mecanismos modifican un currículo, cómo se ponen en

práctica?* ¿Quiénes tienen la responsabilidad de la valoración y de los

cambios?

Dimensiones del currículo

Las cuatro cuestiones consideradas tienen carácterontológico y permiten establecer cuatro dimensiones en tornode las cuales se pueden organizar los niveles de reflexióncurricular.

Estas cuatro dimensiones son:* Dimensión cultural/conceptual* Dimensión cognitiva o de desarrollo* Dimensión ética* Dimensión social

Se visualizan estas dimensiones mediante la siguiente repre-sentación gráfica:


Cultural / conceptual

Cognitiva

Etica / formativa

Social

Finalidades del currículo

Estas cuatro dimensiones admiten diversos niveles de análi-sis (Rico, 1997-a).

Cuando se toman como nivel de análisis las finalidades, setiene un sistema que organiza la extensa lista de finalidadespara el currículo de las matemáticas escolares. Atendiendo a lascuatro dimensiones mencionadas, se organizan las finalidadescomo un sistema interconectado de cuatro tipos:

Culturales

Desarrollo personal y aprendizaje

Políticas y morales

Sociales

87Álgebra

El conocimiento matemático que transmite el sistema edu-cativo se ha de considerar parte integrante de la cultura, social-mente construido y determinado: en él han de intervenir lasnecesidades formativas de las matemáticas y tenerse en cuentalas connotaciones políticas y morales, generales y específicas,conectadas con la formación matemática de los escolares (Rico,1997-b).

Igualmente, se pueden considerar otros niveles de reflexiónsobre el currículo que se pueden analizar en términos de estascuatro dimensiones. Otro nivel de reflexión sobre el currículode matemáticas considera las disciplinas que fundamentan elcurrículo (Coll, 1987):

En el diseño de un plan concreto de formación es necesarioconsiderar su ubicación y conexión con los diferentes agentes einstituciones del sistema educativo, así como las relaciones en-tre ellos.

Los agentes son los responsables de la administración edu-cativa y su ámbito de reflexión son los diversos centros del sis-tema educativo.

El currículo se presenta como un plan que se organiza y es-tructura al especificar las competencias profesionales de losprofesores y las funciones de los alumnos, al caracterizar cadauna de las disciplinas escolares y al especificar la organizacióny estructura de la escuela. En este nivel los componentes delcurrículo son el profesor, el alumno, el conocimiento y la escue-la (Romberg, 1992-b):

Psicología

Epistemología e Historia de las MatemáticasPedagogía

Sociología

Fuentes disciplinares del currículo


Alumnos

ConocimientoEscuela

Profesor

Currículo como plan para la administración

El currículo se presenta, la mayor parte de las veces, median-te documentos y propuestas curriculares.

En este nivel el agente encargado de llevar a cabo el plande formación es el profesor y el ámbito de actuación es el aula.El plan de formación se concreta al determinar:* objetivos* contenidos* metodología* criterios e instrumentos de evaluación

Estos cuatro componentes caracterizan el currículo comoplan operativo de actuación para el profesor (Steiner, 1980).

Objetivos

Contenidos

Metodología

Evaluación

Currículo como esquema de trabajo para los profesores

89Álgebra

Niveles que organizan el estudio del currículo

Los diferentes niveles de reflexión han surgido al poner el én-fasis sobre el currículo desde un planteamiento teórico deter-minado. Así, cuando se ha asumido el currículo como un plande acción para el profesor, el nivel es la actuación en el aula.Cuando se considera el currículo como planificación para laadministración educativa, el nivel de actuación es el sistemaeducativo. Cuando se acepta el currículo como objeto de estu-dio se está en un nivel de reflexión académico y cuando seatiende a los fines generales de la educación se está situado enuna perspectiva teleológica. En cada uno de estos niveles dereflexión el currículo se ha podido caracterizar mediante cua-tro componentes, que proporcionan un núcleo de conceptosadecuados para organizar ese nivel.

Componentes por

nivel

===========

Niveles

Planificación para

los profesores

Sistema

Educativo

Disciplinas

Académicas

Teleológico o de

finalidades

1ª dimensión:

Cultural /

conceptual

Contenidos

Conocimiento

Epistemología e

Historia de la

Matemática

Fines culturales

2ª dimensión:

Cognitiva o de

desarrollo

Objetivos

Alumno

Teorías del

Aprendizaje

Fines formativos

3ª dimensión:

Ética o formativa

Metodología

Profesor

Pedagogía

Fines políticos

4ª dimensión:

Social

Evaluación

Aula

Sociología

Fines sociales

Niveles y dimensiones en el estudio del currículo


El análisis que se resume en la tabla pone de manifiesto que,en las diferentes aproximaciones al estudio del currículo, haycuatro órdenes de ideas o dimensiones permanentes, con baseen las cuales se estructura la noción de currículo. Estas cuatrodimensiones se encuentran a lo largo de los niveles de reflexión.

También se puede señalar que los niveles de reflexión sobreel currículo no se agotan en las cuatro dimensiones considera-das anteriormente. Estas consideraciones ofrecen sólo un ba-lance parcial. Los puntos de vista posibles sobre el currículoadmiten una mayor riqueza de interpretaciones que dan razónde otros estudios y reflexiones sobre el concepto (Rico, 1997a).

El problema de las unidades didácticas

Cuando el profesor inicia la puesta en práctica de las directri-ces curriculares con un grupo concreto de alumnos, necesitatomar una serie de decisiones de carácter general que se con-cretan mediante criterios para la selección, secuenciación y or-ganización de los contenidos; criterios para la organización,desarrollo y control del trabajo en el aula; prioridades en el pro-ceso de construcción del conocimiento y en la asignación de sig-nificados por parte de los alumnos; y, finalmente, criterios paravalorar los logros en el aprendizaje y para el tratamiento ade-cuado de los errores.

Estos criterios se ajustan a las cuatro componentes genera-les del currículo: contenidos, metodología, objetivos y evalua-ción. Se trata de componentes que surgen cuando se considerael aula como espacio de trabajo y al profesor como agente prin-cipal del proceso educativo. Estos cuatro componentes deter-minan el esquema usual en el diálogo que mantiene la adminis-tración educativa con el profesorado. Por ello los documentoscurriculares que elabora la administración educativa vienenestructurados mediante estas cuatro componentes.

Pero la estructura de los documentos curriculares sólo apor-ta un marco de referencia, que no es exhaustivo. Si se conside-ra cada uno de los tópicos o unidades de contenidos de mate-máticas para la educación secundaria obligatoria y se proponeestablecer objetivos generales para cada una de ellas se encuen-tra que, con pequeñas diferencias, los objetivos para las unida-des de números no son muy distintos de los objetivos para lasde álgebra o para las de funciones; más bien lo que surge sonconcreciones o puntualizaciones de los objetivos generales paracada una de las unidades, pero no objetivos distintos para cada

91Álgebra

una de ellas. Los diferentes bloques de contenidos y unidadesno se distinguen por sus objetivos.

Igualmente, si se consideran las orientaciones sobre metodo-logía, es difícil establecer diferencias para los distintos bloquesde contenidos. Cuando hay que mencionar la componentemetodológica de cada unidad didáctica se encuentran los crite-rios generales como única referencia. Esta consideración es vá-lida también cuando se trata de establecer criterios de evalua-ción para cada tópico.

Se constata así un hecho: los bloques de contenidos y lasunidades didácticas se distinguen unos de otros por sus conte-nidos específicos. Por ello, cuando se tiene el propósito de pla-nificar cada una de las unidades a partir del currículo para elárea de matemáticas, se encuentran enunciados generales co-munes sobre objetivos, metodología y evaluación y contenidosdistintos para cada una.

Cuando se diseñan unidades didácticas en matemáticas me-diante los cuatro componentes del currículo (objetivos, conte-nidos, metodología y evaluación) hay algo que no encaja, yaque el análisis de los cuatro componentes se reduce al análisisde los contenidos y a consideraciones genéricas sobre los otrostres componentes.

Podría derivarse de esta argumentación que el concepto decurrículo no es útil para la planificación y diseño de unidadesdidácticas, ya que de sus cuatro componentes sólo uno de ellostiene peso específico propio en cada unidad. No es esa la tesisque se sostiene en este trabajo. La tesis es que el profesor dematemáticas de secundaria de hoy no dispone de herramientasconceptuales adecuadas y suficientemente desarrolladas, a par-tir de las cuales pueda realizar una buena planificación. Estasdeficiencias provocan las dificultades señaladas en el uso delconcepto de currículo, considerado como un conjunto de obje-tivos, contenidos, metodología y evaluación. Los documentospara el currículo de matemáticas no proporcionan informaciónsuficiente para utilizar de manera efectiva los cuatro compo-nentes mencionados en la planificación de temas y unidades.Esto es así puesto que no ofrecen criterios para la selección,secuenciación y organización de los contenidos, criterios parala organización, desarrollo y control del trabajo en el aula, cri-terios sobre prioridades en el proceso de construcción del co-nocimiento y en la asignación de significados por parte de losalumnos, y criterios para valorar los logros en el aprendizaje ypara el tratamiento adecuado de los errores, para cada una de


las unidades del currículo de matemáticas.Se necesitan nuevas herramientas conceptuales con las cua-

les abordar las tareas de diseño, desarrollo y evaluación de uni-dades didácticas en el área de matemáticas. La caracterizaciónoperacional del currículo mediante objetivos, contenidos, me-todología y evaluación no es inadecuada, sólo lo es su empleoen tareas de trabajo para el aula, sin criterios de referencia.

Se tratará de poner de manifiesto algunas limitaciones quesurgen al considerar el concepto general de currículo anterior-mente descrito. Una de tales limitaciones se produce por olvi-dar la funcionalidad de ese concepto y el contexto en el que sepresenta. Cuando se encuentra un discurso sobre objetivos,contenidos, metodología y evaluación, no se debe olvidar quese trata de un medio dialéctico que elabora la administracióneducativa, o los expertos en educación, para dirigirse a los pro-fesores en ejercicio. Este discurso se encuentra en los documen-tos oficiales o en los libros elaborados para la orientación pro-fesional. Mediante tal discurso se organiza el diálogo que laadministración establece con los profesionales de la educación.La reflexión sobre objetivos, contenidos, metodología y evalua-ción va dirigida, casi en exclusiva, a profesores y educadores;nunca va dirigida a los alumnos.

Por ello carece de sentido que, cuando los profesores re-flexionan sobre su trabajo en relación con los alumnos, tratende reiterar el esquema anterior y comportarse como si cadaprofesor fuese el legislador o la administración para sus alum-nos. No tiene sentido que el profesor organice inicialmente sureflexión y planificación sobre unidades didácticas en términosde objetivos, contenidos, metodología y evaluación, con carác-ter general, puesto que la relación del profesor con sus alum-nos es distinta de la que tiene la administración educativa conlos profesores. Empeñarse en ese esquema produce una simpli-ficación y trivialización de las actividades de programación que,como ya se ha visto, no resulta saludable para su puesta en prác-tica.

Se verá más adelante que es posible expresar las unidadesdidácticas mediante estos cuatro componentes: objetivos, con-tenidos, metodología y evaluación, pero como resultado de unproceso de reflexión más elaborado, cuyo hilo conductor tieneelementos conceptuales y bases disciplinares diferentes a loscomponentes mencionados. Tales referencias conceptuales pro-porcionan criterios adecuados para organizar el currículo dematemáticas.

93Álgebra

El profesor, cada profesor, no es el ministro o consejero deEducación de sus alumnos; por ello la línea de reflexión quecada profesor elabora para desarrollar el trabajo con los alum-nos tiene una base argumental diferente de la línea de reflexiónque la administración educativa elabora para organizar el tra-bajo de los profesores. El único elemento coincidente que se haadmitido, hasta el momento, para ambas líneas de reflexión esel que se denomina contenidos, que se va a tomar como refe-rencia para la búsqueda de nuevos elementos que permitan ca-racterizar la elaboración de unidades didácticas.

La búsqueda de nuevos elementos

Como los profesores disponen de información suficiente sobrelos contenidos, puede parecer que éstos nunca están en discu-sión. Nada más lejos de la realidad. Los profesores de matemá-ticas suelen sostener planteamientos diversos sobre el modo deorganizar cada uno de los bloques de contenidos. Al compartiruna cultura matemática con cierto nivel de profundidad, losprofesores pueden articular de maneras diversas sus conoci-mientos sobre cada uno de los temas y, aun cuando no la com-partan plenamente, son capaces de entender opciones alterna-tivas y apreciar sus ventajas o señalar sus inconvenientes. Dichoen otros términos, los profesores de matemáticas tienen forma-ción suficiente y fuentes documentales adecuadas para dar for-ma y expresión coherente a sus coincidencias sobre los conte-nidos pero también a sus discrepancias, lo cual es aún másimportante.

Lo interesante de los contenidos en las unidades didácticases que expresan una información común para todos los profe-sores sobre la cual se pueden establecer coincidencias pero, so-bre todo, se puede disentir sin que ello suponga problemas es-peciales de planificación y ejecución. Esta información básicacomún se encuentra en libros y documentos sobre matemáticasque están a disposición de los profesores en las bibliotecas.

Pero no hay una cultura objetivamente compartida equiva-lente para los objetivos, la metodología y la evaluación por cadauno de los bloques de temas. Hay prácticas compartidas conmultitud de variantes, pero no un marco teórico que permitatratar con objetividad tales prácticas. Los profesores encuen-tran muy difícil exponer con precisión sus propios puntos devista sobre estos tres componentes, pero encuentran muchomás difícil aún dar validez objetiva a los puntos de vista de los


compañeros. Si ya resulta complicado expresar las coinciden-cias, es casi imposible caracterizar las discrepancias y encontrarreferencias comunes que permitan asumir provisionalmente elpunto de vista alternativo como opción propia. Cuando los pro-fesores de matemáticas hablan de objetivos, metodología y eva-luación, salvo excepciones, emplean un discurso muy personal,genérico e impreciso, con pocas referencias externas y datosobjetivos con soporte físico concreto.

Caracterización de los organizadores del currículo

Como consecuencia de las reflexiones anteriores se plantean las siguientespreguntas:

* ¿Es posible encontrar otros elementos, distintos de los con-tenidos, que expresen un conocimiento objetivo y útil parala elaboración de unidades didácticas?

* ¿Existen fuentes objetivas de conocimientos, adecuadas paraorganizar unidades didácticas en matemáticas?

* ¿Qué otros conocimientos, distintos de los contenidos, sonútiles y necesarios para una adecuada programación?

* ¿Sobre qué tópicos pueden discutir los profesores cuandoestán planificando cada uno de los temas?

* ¿Es posible encontrar organizadores para este nivel de re-flexión sobre el currículo de matemáticas, además de loscontenidos?Está claro que la respuesta ha de ser afirmativa ya que no es

cierto que la planificación de un tema se reduzca a una simpleorganización secuenciada de conceptos y procedimientos. Ennuestra más extendida tradición de organización de unidadesdidácticas, es decir en los libros de texto, se encuentran otroselementos, distintos de los contenidos, mediante los cuales seorganiza cada una de las lecciones.

Cuando los profesores indagan en su propia práctica, sobrela base de las reflexiones anteriores, comienzan a encontrar res-puestas adecuadas. Hay algunas opciones más obvias y otrasmás difíciles de localizar, pero, tras alguna sesión de debate so-bre las características de un organizador, cualquier grupo mo-tivado de profesores puede encontrar una lista de organizado-res aceptable sobre la cual continuar la discusión. Se llamaráorganizadores a aquellos conocimientos que se adoptan comocomponentes fundamentales para articular el diseño, desarro-llo y evaluación de unidades didácticas. Se habla así de organi-zadores del currículo (Rico, 1997c).

95Álgebra

Dos condiciones exigidas para aceptar un tipo de conoci-mientos como organizador del currículo de matemáticas son: sucarácter objetivo y que genere una diversidad de opciones. Unorganizador debe ofrecer un marco conceptual para la enseñan-za de las matemáticas, un espacio de reflexión que muestre lacomplejidad de los procesos de transmisión y construcción delconocimiento matemático y criterios para abordar y controlaresa complejidad.

Los organizadores deben mostrar su capacidad para estable-cer distintos marcos de estructuración de las unidadesdidácticas, con una base objetiva de interpretación y discusión.Los organizadores han de ubicar las distintas opciones de losprofesores para la planificación, gestión y evaluación de unida-des didácticas y han de situar estas opciones en referencias co-munes, que permitan precisar las coincidencias y las discrepan-cias. Los organizadores deben tener una base disciplinaradecuada, que permita su tratamiento objetivo.

El conocimiento didáctico sobre cada uno de los contenidosdel currículo de matemáticas ha de quedar estructurado me-diante la aportación que hace cada uno de los organizadores adicho contenido.

También ha de resultar posible encontrar documentos yfuentes de información sobre cada uno de los organizadores, yaque éstos no deben ser producto de la inspiración de un grupode personas o de una moda; cada profesor debe tener acceso adiversos documentos, libros y publicaciones mediante los quesea posible profundizar en la aportación que cada uno de elloshace a cada tópico y, además, proporcionar información con-trastada sobre la validez y utilidad de estas aportaciones. Deesta manera, cada organizador proporciona una base sólida yunos criterios para estructurar todas y cada una de las unidadesdidácticas y para la delimitación del conocimiento didáctico desus contenidos.

Organizadores para el currículo de matemáticas

Las diferentes disciplinas matemáticas (Álgebra, Análisis,Aritmética, Geometría, Estadística, Probabilidad) satisfacentodas las condiciones que se acaban de mencionar: tienen carác-ter objetivo, ofrecen una diversidad de opciones para estructu-rar unidades didácticas, permiten reconocer coincidencias y dis-crepancias entre distintas estructuraciones así como discutirsobre ellas; tienen, obviamente, una fundamentación disciplinar


y académica, y se dispone de fuentes documentalesdiversificadas que proporcionan información suficiente paracada tópico. Pero las disciplinas matemáticas no agotan las ne-cesidades organizativas del currículo de matemáticas; de ahíque, como se ha argumentado, sea necesario proceder a la bús-queda de nuevos organizadores. Resulta imprescindible teneren cuenta otros criterios, de los que en seguida se hace una se-lección.

En primer lugar, se consideran los errores y dificultadesusualmente detectados en el aprendizaje de las matemáticas,que se presentan sobre cada tópico, así como los problemas uobstáculos de aprendizaje que se detectan o plantean para cadaconcepto.

En segundo término, la diversidad de representaciones uti-lizadas para cada sistema conceptual, junto con algunas de lasmodelizaciones usuales de los correspondientes conceptos.

En tercer lugar, la fenomenología de los conocimientos im-plicados, así como las aplicaciones prácticas de cada bloque decontenidos.

En cuarto lugar, la diversidad de los materiales de tipomanipulativo y de los recursos que pueden emplearse en la en-señanza de cada tópico.

Y, en quinto término, la evolución histórica de cada campo,e incluso, de cada concepto.

Estas cinco perspectivas, junto con los propios contenidos,no agotan las posibilidades de reflexionar sobre cada una de lasunidades del currículo de matemáticas desde un planteamien-to didáctico. Posiblemente hay otras alternativas u otros modosde considerar los organizadores, pero son éstos los que consti-tuyen nuestra opción. Todos ellos, conjuntamente, ofrecen laposibilidad de realizar un análisis didáctico de cada uno de lostemas del currículo de matemáticas, es decir, un análisis de loscontenidos de las matemáticas al servicio de la organización desu enseñanza en el sistema educativo. Este análisis forma parteineludible del trabajo que los profesores de matemáticas debenrealizar en sus tareas de planificación de unidades didácticas, yes por ello que son necesarios los organizadores mencionadosu otros alternativos.

Usualmente, la información sobre los organizadores se pre-senta incorporada en las tareas y actividades que se encuentranen los libros de texto, sin que de ello se haga mención explícita.Por ello no es usual que el profesor perciba su interés para laestructuración de las unidades didácticas.

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A continuación se verán algunos ejemplos de cómo aparece in-formación sobre diferentes organizadores en los libros de tex-to; se toma como referencia los textos de la editorial Algaida.

Los errores se ponen de manifiesto como conocimientos in-adecuados, por ello su detección se organiza mediante unescalonamiento de ejercicios, problemas y actividades; tambiénse trata de controlarlos en las recomendaciones que los autoresvan haciendo al lector para que ponga atención sobre determi-nados aspectos o para que no confunda nociones similares.Durante la realización de los ejercicios es necesario un obser-vador externo para evaluar la distancia entre la afirmaciónerrónea y el conocimiento correcto, y conducir al alumno extra-viado hasta el conocimiento que se ha estipulado como correc-to. Se encuentra un ejemplo de aproximación a los errores enel libro de Matemáticas para tercer curso (Rico, Coriat, Maríny Palomino, 1994a):

Para comparar números decimales hay que tener en cuen-ta algunas ideas importantes. Así, si se quiere ordenar 0.1,0.23 y 0.115, observamos que:Mayor número de cifras en un decimal no significa que seamayor; la comparación no puede hacerse por el número decifras decimales.Entre dos números decimales el mayor no tiene por qué serel de más cifras: 0.115 es menor que 0.23. p. 39

Las diferentes representaciones para los conceptos y proce-dimientos matemáticos se presentan explícitamente, así comolas conexiones entre ellas, pero raras veces se insiste en queexpresan diversas facetas y propiedades de un mismo concep-to. Un ejemplo de uso explícito de diferentes representacionesse encuentra en el libro de Matemáticas para cuarto curso(Rico, Coriat, Marín y Palomino, 1994b):

Cuando n no es un cuadrado perfecto, la expresión n(raíz cuadrada de n) representa:Primero, una operación para calcular números de un ordendecimal determinado, cuyo cuadrado es el valor más próxi-mo a n (por defecto o por exceso) para ese orden decimal.Segundo, un punto de la recta, con un proceso de construc-ción explícito y conocido.

Ejemplos de organizadores


Tercero, una notación decimal con infinitas cifras no perió-dicas.Cuarto, un segmento de longitud n , inconmensurablecon el segmento unidad.

La consideración del conocimiento matemático como mode-lo también se puede encontrar con frecuencia; igualmente lasmodelizaciones surgen en los problemas de aplicación. En cadauno de los siguientes ejemplos, tomados del texto del tercercurso, se tiene una propuesta para considerar un tipo de mode-lo matemático:

La proporcionalidad es un modo de asociar cantidades dedos magnitudes. Las personas usamos el razonamiento pro-porcional en una gran variedad de situaciones.El razonamiento proporcional es muy útil y frecuente, peroen muchas situaciones no resulta adecuado. Debes apren-der a distinguir las situaciones en las que éste no es apro-piado. p. 50

Los poliedros, como modelos de estructuras y como mode-los que rellenan una región del espacio, se usan como he-rramientas para resolver problemas de muy diversas clases,como las modernas teorías cristalográficas y las teorías dela estructura molecular de los sólidos. p. 91

La fenomenología de cada uno de los conceptos debiera es-tar en la base de los diferentes ejercicios y actividades que seproponen o de las actividades de motivación y ampliación; noes usual que los libros de texto hagan un barrido explícito de lasprincipales opciones fenomenológicas para un determinadoconcepto, pero está claro que, si se quiere presentar un tópicomatemático con toda su riqueza y pluralidad de significados,debe considerarse en conexión con diferentes fenómenos ydebe aplicarse a otros campos diferentes del conocimiento. Enel texto ya mencionado, se encuentra:

Hay situaciones cotidianas en las que se escogen o seleccio-nan grupos de objetos. La elección de un almuerzo de un menúde un restaurante es un ejemplo de selección.

Con frecuencia se establecen ordenaciones; las posiciones delos muebles en una habitación o las formas de alojarse cuatropersonas en un vehículo implican posibles ordenaciones. Nues-tro lenguaje y el sistema de numeración decimal se componen

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de agrupaciones ordenadas -palabras o números- tomadas delalfabeto o de los 10 dígitos.

Las situaciones comentadas y muchas otras similares sedenominan situaciones combinatorias. Se reconocen por-que existe un conjunto sobre cuyos objetos aplicamos algúncriterio de colocación, selección u ordenación, generándosevarias soluciones acordes con el criterio. p. 200

La caracterización histórica de cada tópico se viene incorpo-rando recientemente a nuestros libros de texto; de nuevo se tie-ne un ejemplo:

El Álgebra se caracteriza por sus métodos para determi-nar valores o cantidades desconocidos mediante las relacio-nes que guardan con otras cantidades conocidas; estos mé-todos conllevan el uso de letras y expresiones literales conlas que se realizan operaciones.Descartes (1596-1650), en su Geometría publicada en 1637,se expresaba así:“Una ecuación está integrada por varios términos, algunosde ellos conocidos y algunos de ellos desconocidos, siendounos iguales a otros, o más bien, considerados todos con-juntamente son iguales a cero.” p. 149

Todavía resulta necesario profundizar más y mejor en losusos didácticos de la evolución histórica del concepto o concep-tos que se estén considerando para cada unidad didáctica.

Materiales y recursos son tópicos más familiares al profesorde matemáticas, y es usual encontrar referencias explícitas enlos libros de texto:

Si dispones de un balón, marca con rotulador sobre él unared de paralelos y meridianos. Elige dos puntos que esténen el mismo paralelo y, estimando, traza el círculo máximoque pasa por esos dos puntos; comprueba que la distanciaentre esos dos puntos medida sobre el círculo máximo esinferior a la distancia medida sobre el paralelo. p. 100

Tres pelotas de tenis se venden en contenedores cilíndricos;se trata de un ejemplo de apilamiento de esferas congruen-tes. Queremos calcular la fracción del volumen del cilindroocupado por las esferas p. 116


Es evidente que en la realización de un libro de texto inter-vienen, con mayor o menor extensión, profundidad ysistematicidad, los tipos de información que se acaban de revi-sar. Un libro de texto moderno no queda nunca reducido a lasimple presentación secuenciada de definiciones, conceptos,operaciones, propiedades, estructuras y teoremas matemáticos.

El trabajo de los profesores de matemáticas tampoco puedereducirse a planificar los estrictos conocimientos formales dematemáticas. Sin embargo, por la cultura en la que han sidoformados los profesores, los únicos datos que parecen compar-tir son las informaciones exclusivamente matemáticas, y es so-bre estos datos sobre los que únicamente se producen discusio-nes en las tareas de planificación y diseño. Se trata de unaconsideración obviamente deficiente que tiene su repercusiónen las tareas de elaboración, puesta en práctica y valoración deunidades didácticas. También tiene implicaciones para el traba-jo dentro del seminario o departamento de matemáticas encada centro, y en la consideración de la dimensión social de esetrabajo.

Organizadores y componentes del currículo

Se ha cuestionado la utilidad de la información que ofrecen losdocumentos oficiales sobre los cuatro componentes del currícu-lo (objetivos, contenidos, metodología y evaluación) para laelaboración de unidades didácticas. Las deficiencias detectadaspara el análisis y construcción de unidades didácticas con el es-quema que proporcionan estos componentes nos llevaron a ela-borar la noción de organizador y a profundizar en ella. Toman-do como referencia los organizadores, se sostiene que es posibleun análisis didáctico con profundidad de los distintos temas delcurrículo de matemáticas. Los organizadores se han escogidopara satisfacer esta demanda.

Obtenida la información más relevante sobre cada tópico, enrelación con los diferentes organizadores, es posible establecer cri-terios precisos mediante los cuales estructurar la información dis-ponible y organizar un diseño de las unidades didácticas según elesquema general de los cuatro componentes del currículo.

El diseño general debe tener en cuenta diferentes alternati-vas, a partir de las cuales los profesores llevan adelante sus ta-reas de planificación. En cada caso es necesario establecer prio-ridades y seleccionar la información aportada por los diferentesorganizadores. De este modo se obtienen informaciones con-

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cretas para establecer los objetivos, contenidos, metodología yevaluación de cada tema. En el paso que se da de obtener lainformación con respecto los organizadores a las decisiones so-bre cada una de las cuatro dimensiones del currículo, se tendráen cuenta el siguiente marco:

1. Objetivos, referentes a:1.1. Prioridades en el dominio conceptual y procedimental de

cada tema.1.2. Conocimiento de los sistemas de representación y dominio

de las tareas de conversión en los diferentes sistemas. Nive-les convenientes de dominio en cada caso.

1.3. Competencias en la ejecución de procedimientos, con espe-cial énfasis en las tareas de modelización.

1.4. Familiaridad con los contextos y situaciones en los que losconceptos y procedimientos tienen un uso y aplicación con-venidos; comprensión de los principales significados de cadacampo conceptual.

1.5. Control de los errores usuales y superación de las dificul-tades conceptuales de cada tópico.

1.6. Prioridades en los medios tecnológicos, en la selección derecursos específicos y en el dominio de tales medios y recur-sos.

1.7. Fomento de actitudes positivas respecto a las matemáticastales como: satisfacción por la tarea bien hecha, por la cons-trucción coherente de argumentos, la resolución de proble-mas, búsqueda de la verdad y apreciación de la belleza en lasrealizaciones matemáticas

2. Contenidos, relativos a:2.1. Criterios para organizar y estructurar cada campo concep-

tual.2.2. Organización y secuenciación de dificultades que se prevén

en cada caso.2.3. Selección de los sistemas de representación adecuados, de

sus relaciones y limitaciones, y de los procedimientos rela-cionados.

2.4. Delimitación de los campos de aplicaciones y de los fenó-menos en cuya modelización se va a trabajar.

2.5. Preconceptos y errores previsibles, así como su conexióncon la estructura del campo conceptual.

2.6. Prioridades en los materiales y recursos mediante los quese va a tratar cada uno de los temas.

2.7. Conexión de cada campo conceptual con algunos de los


momentos relevantes de su evolución histórica.3. Metodología prevista.4. Evaluación, con respecto a:4.1. Diseño y selección de tareas encauzados a valorar la com-

prensión y dominio alcanzados en conocimientos concretos.4.2. Diagnóstico y corrección de errores conceptuales y

procedimentales.4.3. Cuestiones relevantes que controlar; detección de carencias

en el uso de las representaciones y en las tareas de traduc-ción.

4.4. Tareas abiertas enfocadas a valorar la comprensión globaly las estrategias de alto nivel.

4.5. Sistemas para obtener información sobre el conocimientoadquirido por los alumnos, seleccionarla y registrarla.

4.6. Métodos adecuados para la valoración del aprendizaje al-canzado y de las actitudes desarrolladas por los alumnos.Se cierra así la propuesta que se presenta en este trabajo. Se

ha argumentado que, antes de comenzar la planificación de lasunidades didácticas sobre las cuatro dimensiones convenciona-les del currículo, es necesario hacer una reflexión amplia sobreel conocimiento didáctico de cada uno de los temas. Se preten-de que esta reflexión no sea arbitraria y carente de criterios.Para ello se ha tomado como base fuentes disciplinares a lasque se ha llamado organizadores del currículo, los cuales, con-juntamente, enmarcan el conocimiento didáctico de los conte-nidos del área de matemáticas.

Conclusiones

El profesor de matemáticas necesita autonomía intelectual ycapacidad crítica para el ejercicio de su profesión; para conse-guirlas es imprescindible conocer las herramientas conceptua-les de su profesión.

De ahí la necesidad de entender y controlar el concepto decurrículo y su complejidad; igualmente, destaca la convenien-cia de utilizar este concepto en los diversos contextos en los quese presenta y de analizar los posibles criterios para su organi-zación.

Objetivo principal de este artículo ha sido reflexionar sobrela necesidad de poner a disposición de los profesores de mate-máticas conceptos sólidos y útiles de currículo y de sus organi-zadores, que sirvan para profundizar y mejorar la actividad pro-fesional.

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