guia de estudio â€“ algebra lineal

Universidad Alonso de Ojeda. Facultad de Ingeniería

GUIA DE ESTUDIO – ALGEBRA LINEAL.

PROFESORA: Ing. Nelwi Báez P. e-mail:[email protected]

twitter:@nelwibaez www.nelwibaez.wordpress.com

UNIDAD III: TÓPICOS DE ANÁLISIS NUMÉRICOS

Determinante: E l determinante es un número real

asociado con una matriz mediante la función determinante. El

determinante de una matriz de 1 x 1 es igual a su elemento .

A cada matriz cuadrada A se le asigna un e scalar

part icular denominado determinante de A , denotado por |A|

o por det (A) .

A =

Determinante de orden uno

|a 1 1 | = a 1 1 |5| = 5

Determinante de orden dos

= a 1 1 a 2 2 - a 1 2 a 2 1

Determinante de orden tres

Considere una matriz 3 x 3 arbitraria A = ( a i j ) . E l det erminante

de A se defin e como sigue:

=a 1 1 a 2 2 a 3 3 + a1 2 a2 3 a 3 1 + a 1 3 a 2 1 a 3 2 - a 1 3 a 2 2

a 3 1 - a 1 2 a 2 1 a 3 3 - a 1 1 a 2 3 a3 2 .





=

3 · 2 · 4 + 2 · ( -5) · (-2) + 1 · 0 · 1 -

- 1 · 2 · (-2) - 2 · 0 · 4 - 3 · (-5) · 1 =

= 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) = 44 + 4 + 15 = 63

Obsérve se que hay seis product os , cada uno de el los

formado por tres elementos de la matriz . Tres de los productos

aparecen con signo p ositivo (conser van su signo) y tres con

signo negativo (cambian su signo).

Otro ejemplo de DETERMINANTE DE TERCER ORDEN

La resolución del determinante se consigue con la realización de los siguientes pasos:

a) Se escriben, al lado del determinante, las dos primeras columnas del mismo:

b) Se multiplican los elementos de las tres diagonales, en el sentido de izquierda a

derecha y de arriba abajo, seguido a cada producto del signo +

c) Se multiplican los elementos de las tres diagonales, en el sentido de derecha a

izquierda y de arriba abajo, seguido a cada producto del signo –





d) La suma algebraica de los seis productos es el desarrollo del determinante:[9]

Aplicar esta forma al siguiente ejercicio:

3 5 2

4 2 3

-1 2 4

SOLUCIÓN: -69

Otra forma para el cá lculo de Determinante de orden tres

es apl icar la regla de Sarrus:

R e g l a d e S a r r u s

L o s t é r m i n o s c o n s i g n o + e s t á n f o r m a d o s p o r l o s e l e m e n t o s d e l a d i a g o n a l

p r i n c i p a l y l o s d e l a s d i a g o n a l e s p a r a l e l a s c o n s u c o r r e s p o n d i e n t e v é r t i c e o p u e s t o .

L o s t é r m i n o s c o n s i g n o - e s t á n f o r m a d o s p o r l o s e l e m e n t o s d e l a d i a g o n a l

s e c u n d a r i a y l o s d e l a s d i a g o n a l e s p a r a l e l a s c o n s u c o r r e s p o n d i e n t e v é r t i c e

o p u e s t o .

E j e m p l o

Ahora apl icar Sarrus a la determinante:





Cálculo de un determinante de cualquier orden

Consiste en conseguir que una de las l íneas del determinante

esté formada por elementos nulos, menos uno: el elemento base

o pivote , que valdrá 1 ó -1 .

Seguiremos los siguientes pasos:

1. Si algún elemento del determinante vale la unidad , se

el ige una de la s dos l ínea s: la fi la o la columna , que contienen

a dicho elemento (se de be escoger a quel la que contenga el

mayor número posible de elementos nulos ) .

2. En caso negativo:

1. Nos f i jamos en una l ínea que c ontenga el mayor

número posible de elementos nul os y operaremos para que

uno de los elementos de esa línea sea un 1 ó -1 (operando

con alguna l ínea paralela) .





2. Dividiendo la línea por uno de sus elementos , por lo

cual deberíamos mult iplicar el determinante por dicho

elemento para que su valor no varíe . Es decir sacamos f actor

común en una l ínea de uno de sus elementos.

3. Tomando como referencia el elemento base ,

operaremos de modo que todos l os elementos de la fi la o

columna , donde se encuentre, sean ce ros .

4. Tomamos el adjunto del elemento base , con lo que

obtenemos un determinante de orden inferior en una unidad

al or ig inal .

= 2(-58)





Propiedades de los determinantes

1 . |A t |= |A|

El determinante de una matriz A y el de su traspuesta

A t son iguales.

2. |A|=0 Si :

Posee dos líneas iguales

Todos los elementos de una l ínea son nulos .

Los elementos de una l ínea son combinación lineal de

las otras.

F 3 = F 1 + F 2

3. Un determinante triangular e s igual al producto de

los elementos de la diagonal principal.





4.Si en un determinante se cambian entre sí dos líneas

paralelas su determinante cambia de signo.

5.Si a los elementos de una línea se le suman los

elementos de otra paralela multiplicados previamente por

un nº real el valor del determinante no varía.

6.Si se multiplica un determinante por un número

real, queda multiplicado por dicho número cualquier

línea, pero sólo una.

7. Si todos los elementos de una fi la o columna están

formados por dos sumandos, dicho determinante se

descompone en la suma de dos determinantes.

8.|A·B| =|A|· |B| . El determinante de un producto es igual





al producto de los determinantes.

Regla de Cramer

La regla de Cramer sirve para resolver sistemas d e

ecuaciones l ineale s. S e apl ica a sist e mas que cumplan las dos

condiciones siguientes:

El número de ecuaciones es igual al número de

incógnitas .

El determinante de la matriz de los coeficientes es

distinto de cero .

Tales sistemas se denominan sistemas de Cramer .

Sea Δ el determinante de la matriz de coeficientes.

Y sean: Δ 1 , Δ 2 , Δ 3 . . . , Δ n los determinantes que se

obtiene al sust i tuir los coeficientes del 2º miembro ( los

términos independientes) en la 1ª columna , en la 2ª columna,

en la 3ª columna y en la enésima columna respectivamente .





Un sistema de Cramer t iene una sola solución que viene

dada por las siguientes expresiones:

Ejemplo





Ejercicio resuelto :

*Resolver por la reg la de Cramer:

Ejercicios propuestos:

1. Resolver por la reg la de Cramer:

2. Discut ir y reso lver, s i es pos ib le, e l s is tema:





MÉTODO DE COFACTORES.-

Antes de comenzar con el desarrollo del determinante por el método de cofactores se debe tener un concepto muy importante:

MENOR.- Es igual al determinante de la matriz que resulta al eliminar una fila y columna, es decir es el determinante de la matriz que se obtiene al eliminar la i-ésima fila y la j-ésima columna de la matriz, por ejemplo si en una matriz de 3 x 3

eliminamos la fila y columna la menor viene denominada por:

COFACTOR.- Se representa con la letra y su cálculo se da de la siguiente manera:

Así para el cálculo del determinante se consigue de la siguiente manera si se escoge a la i-ésima fila para el desarrollo:

Para el cálculo con las j-ésima columna se obtiene de la siguiente manera:

Otra de las formas para la obtención del signo del menor es mediante la siguiente matriz de signos de n x n:

O como lo plantea Grossman en su libro:

=

1 si i es par

1- Si i es impar

http://www.monografias.com/trabajos36/signos-simbolos/signos-simbolos.shtml





4 0 2 7

Ejemplo: Cálculo de 2 cofactores de un matriz de 4 x 4. Encontrar el cofactor32 y el

cofactor24.

Sea A=(

)

1. Se realiza el calculo de dos menores en este caso M32 y M24

Se elimina el tercer renglón y la segunda columna de A y se

encuentra: M32

M32 =(

) de igual manera: M24 =(

)

2. Luego se aplica el Cofactor:

A32= (-1) 3+2| |= -|

| = -8

A24= (-1) 2+4| |= -|

| = -192

BIBLIOGRAFIA:

[1]Grossman, Stanley. Algebra Lineal. Mc GrawHill. Quinta edición

[2]Díaz, Mijael. Guía de estudio de Algebra Lineal.

[3]http://www.vitutor.com/algebra/sistemas%20I/gauss.html

[4]http://mit.ocw.universia.net/18.06/f02/study-materials/glossary.pdf

http://www.vitutor.com/algebra/sistemas%20I/gauss.html

guia de estudio â€“ algebra lineal

Documents